009 《非欧几何：从基础到前沿》

🌟🌟🌟本文案由Gemini 2.5 Flash Preview 04-17创作，用来辅助学习知识。🌟🌟🌟

书籍大纲

▮▮▮▮ 1. chapter 1： 章节标题1
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 小节标题1
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 小节标题2
▮▮▮▮▮▮▮ 1.3 小节标题3
▮▮▮▮▮▮▮ 1.4 小节标题4
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.4.1 子小节 4-1
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.4.2 子小节 4-2
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.4.3 子小节 4-3
▮▮▮▮ 2. chapter 2： 章节标题2
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 小节标题1
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 小节标题2
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 小节标题3
▮▮▮▮▮▮▮ 2.4 小节标题4
▮▮▮▮ 1. chapter 1： 几何学的基石与平行公设之谜
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 什么是几何学？ (What is Geometry?)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 欧几里得《几何原本》 (Euclid's Elements)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.3 欧几里得公设 (Euclid's Postulates)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.4 平行公设 (Parallel Postulate) 的特殊性
▮▮▮▮▮▮▮ 1.5 证明平行公设的漫长尝试
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.5.1 萨凯里 (Saccheri) 的工作
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.5.2 兰伯特 (Lambert) 的贡献
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.5.3 否定平行公设的早期推论
▮▮▮▮▮▮▮ 1.6 非欧几何的黎明：高斯 (Gauss)、玻尔约 (Bolyai) 与罗巴切夫斯基 (Lobachevsky)
▮▮▮▮ 2. chapter 2： 双曲几何 (Hyperbolic Geometry)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 双曲几何的公理体系 (Axiomatic System)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 双曲平面上的直线 (Lines) 与平行线 (Parallel Lines)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 双曲三角形 (Hyperbolic Triangles) 的性质
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 内角和 (Angle Sum) 小于180度
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.2 面积与亏格 (Area and Defect)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.4 双曲几何的经典模型 (Models)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.1 庞加莱圆盘模型 (Poincaré Disk Model)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.2 庞加莱上半平面模型 (Poincaré Half-Plane Model)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.3 克莱因模型 (Klein Model)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.4 双曲面模型 (Hyperboloid Model)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.5 双曲几何中的圆 (Circles)、极限圆 (Horocycles) 与超圆 (Equidistant Curves)
▮▮▮▮ 3. chapter 3： 椭圆几何 (Elliptic Geometry)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.1 椭圆几何的公理体系
▮▮▮▮▮▮▮ 3.2 椭圆平面上的直线与无平行线
▮▮▮▮▮▮▮ 3.3 椭圆三角形的性质
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 内角和大于180度
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 面积与盈格 (Area and Excess)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.4 椭圆几何的经典模型
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.4.1 球面几何 (Spherical Geometry) - 作为相关概念
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.4.2 射影平面模型 (Projective Plane Model)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.5 椭圆几何中的圆
▮▮▮▮ 4. chapter 4： 三种几何的比较与统一视角
▮▮▮▮▮▮▮ 4.1 欧几里得、双曲与椭圆几何的对比分析
▮▮▮▮▮▮▮ 4.2 曲率 (Curvature) 的概念
▮▮▮▮▮▮▮ 4.3 黎曼几何 (Riemannian Geometry) 简介
▮▮▮▮▮▮▮ 4.4 空间形式 (Space Forms) 与常曲率空间 (Constant Curvature Spaces)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.5 等距变换 (Isometries) 与变换群 (Transformation Groups)
▮▮▮▮ 5. chapter 5： 非欧几何的进阶主题与应用
▮▮▮▮▮▮▮ 5.1 非欧几何与物理学 (Physics)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.1 狭义相对论 (Special Relativity) 与闵可夫斯基空间 (Minkowski Space)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.2 广义相对论 (General Relativity) 与弯曲时空 (Curved Spacetime)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.2 非欧几何与拓扑学 (Topology)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.3 非欧几何与群论 (Group Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.4 高维非欧几何 (Higher-Dimensional Non-Euclidean Geometry)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.5 非欧几何在其他领域的应用 (Applications in Other Fields)
▮▮▮▮ 6. chapter 6： 附录与参考文献
▮▮▮▮▮▮▮ 6.1 术语表 (Glossary)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.2 重要定理与证明选讲
▮▮▮▮▮▮▮ 6.3 历史人物小传
▮▮▮▮▮▮▮ 6.4 推荐阅读与参考文献 (References)

1. chapter 1： 几何学的基石与平行公设之谜

欢迎来到非欧几何的世界！🌍 在我们踏上这段探索之旅之前，我们需要先回顾一下我们所熟知的几何学——欧几里得几何 (Euclidean Geometry)。它是我们从小学习的几何体系，也是人类历史上最伟大的数学成就之一。然而，正是对其中一个看似简单的公设的深入探究，最终开启了通往非欧几何的大门。本章将带您回顾几何学的起源，深入了解欧几里得的《几何原本》，特别是那个引发了长达两千年争议的平行公设，以及数学家们为证明它所做的艰辛努力，最终揭示非欧几何黎明的到来。

1.1 什么是几何学？ (What is Geometry?)

几何学 (Geometry) 是数学的一个分支，主要研究空间中的形状、大小、位置关系以及空间的性质。它的名字来源于希腊语 "geo"（土地）和 "metron"（测量），最初确实与土地测量和建筑实践紧密相关。

① 早期文明的几何实践：
▮▮▮▮ⓑ 古埃及人利用几何知识进行尼罗河泛滥后的土地重新划分和金字塔建造。
▮▮▮▮ⓒ 古巴比伦人发展了测量技术和简单的几何公式。
▮▮▮▮ⓓ 古希腊人将几何从实用的测量提升到抽象的、逻辑严密的科学。

② 几何学的演变：
几何学不仅仅是关于点、线、面和体的研究。随着历史的发展，几何学的范畴不断扩展，从欧几里得几何发展到解析几何 (Analytic Geometry)、微分几何 (Differential Geometry)、拓扑学 (Topology) 等等。非欧几何正是几何学发展史上的一个重要里程碑，它挑战了我们对空间的直观认识。

1.2 欧几里得《几何原本》 (Euclid's Elements)

公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得 (Euclid) 在亚历山大城撰写了不朽巨著《几何原本》 (Elements)。这本书系统地整理和发展了当时已有的几何学知识，以公理化 (Axiomatic) 的方法构建了一个逻辑严密的几何体系。

⚝ 《几何原本》的结构：
▮▮▮▮⚝ 定义 (Definitions)：给出基本概念的精确描述，如点 (Point)、线 (Line)、面 (Plane) 等。
▮▮▮▮⚝ 公设 (Postulates) 或公理 (Axioms)：被认为是无需证明的基本命题，是整个体系的出发点。
▮▮▮▮⚝ 公共概念 (Common Notions) 或常识 (Common Sense)：适用于所有量的基本原则，如“等于同量的量彼此相等”。
▮▮▮▮⚝ 定理 (Propositions) 或命题 (Theorems)：从定义、公设和公共概念出发，通过逻辑推理证明的结论。

《几何原本》的巨大影响在于它建立了一种严谨的数学推理范式，即从少数不证自明的真理出发，通过逻辑推导得出所有其他结论。这种方法成为后世数学乃至科学研究的典范。

1.3 欧几里得公设 (Euclid's Postulates)

《几何原本》中提出了五个公设，它们是欧几里得几何体系的基石。

① 公设1：任意两点可以通过一条直线连接。 (To draw a straight line from any point to any point.)
② 公设2：一条有限直线可以任意延长。 (To produce a finite straight line continuously in a straight line.)
③ 公设3：以任意点为圆心，任意长度为半径，可以画圆。 (To describe a circle with any center and radius.)
④ 公设4：所有直角 (Right Angles) 都彼此相等。 (That all right angles are equal to one another.)
⑤ 公设5：若一条直线与两条直线相交，使同侧内角 (Interior Angles on the same side) 之和小于两直角，则这两条直线无限延长后，必在那一侧相交。 (That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.)

这五个公设在欧几里得时代被认为是关于空间的直观真理。前四个公设简洁明了，似乎无可争议。然而，第五个公设，即平行公设，却显得冗长且不那么“自明”。

1.4 平行公设 (Parallel Postulate) 的特殊性

平行公设，也称为第五公设，在欧几里得时代及其后的许多世纪里，一直被数学家们视为一个“异类”。

⚝ 与前四个公设的对比：
▮▮▮▮⚝ 前四个公设描述的是局部性质或构造可能性，它们简洁且似乎直接反映了我们对直线的直观理解。
▮▮▮▮⚝ 第五公设则涉及直线的无限延长以及它们在无穷远处的行为，这使得它在概念上更为复杂，也更难被视为一个“不证自明”的起点。

⚝ 等价表述：
平行公设有很多等价的表述，其中最著名的是普莱费尔公理 (Playfair's Axiom)：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 (Through a point not on a given line, there is exactly one line parallel to the given line.) 这种表述更为简洁，但其内容与欧几里得的第五公设是等价的。

⚝ 争议的焦点：
许多数学家认为，第五公设不像一个基本的公理，而更像一个可以从前四个公设推导出来的定理。因此，从欧几里得时代开始，就有人试图证明平行公设，将其降级为定理的地位。这一尝试持续了近两千年，成为了数学史上最著名的未解之谜之一。

1.5 证明平行公设的漫长尝试

无数数学家投入到证明平行公设的努力中。他们通常采用反证法 (Proof by Contradiction)，即假设平行公设不成立，然后试图从前四个公设和这个否定假设出发，推导出矛盾。然而，这些尝试最终都未能成功证明平行公设，反而无意中探索了不同于欧几里得几何的可能性。

1.5.1 萨凯里 (Saccheri) 的工作

意大利数学家乔瓦尼·吉罗拉莫·萨凯里 (Giovanni Girolamo Saccheri, 1667-1733) 是尝试证明平行公设的最著名的数学家之一。他在1733年出版了《没有污点的欧几里得》(Euclides ab omni naevo vindicatus) 一书。

⚝ 萨凯里的四边形 (Saccheri Quadrilateral)：
萨凯里考虑了一种特殊的四边形：底边 \(AB\) 与腰 \(AC\) 和 \(BD\) 垂直，且 \(AC = BD\)。他称 \(CD\) 为顶边 (summit)。在欧几里得几何中，顶角的角度 (\(\angle ACD\) 和 \(\angle BDC\)) 是直角。
\[ \text{A} \quad \text{B} \]
\[ | \quad | \]
\[ \text{C} \quad \text{D} \]
萨凯里基于前四个公设，分析了顶角的三种可能性：
① 顶角是直角 (Angle of the summit is a right angle)：这等价于平行公设成立。
② 顶角是钝角 (Angle of the summit is an obtuse angle)：萨凯里试图从这个假设推导出矛盾，但他得到的结论实际上是椭圆几何的性质。他错误地认为自己找到了矛盾。
③ 顶角是锐角 (Angle of the summit is an acute angle)：萨凯里也试图从这个假设推导出矛盾。他推导出了许多奇怪但逻辑上一致的结论，这些结论后来被证明是双曲几何的性质。尽管他未能找到矛盾，但他坚信平行公设必须成立，因此认为自己只是还没有找到真正的矛盾。

萨凯里的工作虽然未能证明平行公设，但他系统地研究了否定平行公设后产生的几何性质，为非欧几何的诞生奠定了基础。

1.5.2 兰伯特 (Lambert) 的贡献

德国数学家约翰·海因里希·兰伯特 (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777) 也独立地研究了否定平行公设的情况。他考虑了一种具有三个直角的四边形，即兰伯特四边形 (Lambert Quadrilateral)。
\[ \text{A} \quad \text{B} \]
\[ | \quad | \]
\[ \text{C} \quad \text{D} \]
其中 \(\angle A = \angle B = \angle C = 90^\circ\)。在欧几里得几何中，\(\angle D\) 也是直角，且对边相等 (\(AB=CD\), \(AC=BD\))。
兰伯特分析了 \(\angle D\) 的三种可能性：
① \(\angle D = 90^\circ\): 欧几里得几何。
② \(\angle D > 90^\circ\): 对应于萨凯里四边形顶角为钝角的情况，后来发现与球面几何 (Spherical Geometry) 或椭圆几何相关。在这种情况下，对边不等 (\(AB < CD\), \(AC > BD\))。
③ \(\angle D < 90^\circ\): 对应于萨凯里四边形顶角为锐角的情况，后来发现是双曲几何的性质。在这种情况下，对边不等 (\(AB > CD\), \(AC < BD\))。

兰伯特注意到，在后两种情况下，三角形的内角和不再是180度。他甚至猜测第三种情况（内角和小于180度）可能对应于一个半径为虚数的球面，这在某种程度上预示了双曲几何与伪球面 (Pseudosphere) 的联系。

1.5.3 否定平行公设的早期推论

萨凯里和兰伯特等人的工作表明，仅仅基于欧几里得的前四个公设，并不能排除平行公设不成立的可能性。更重要的是，当假设平行公设不成立时，他们推导出了一系列内部一致的几何结论，尽管这些结论与我们日常经验中的欧几里得几何大相径庭。

⚝ 否定平行公设的两种主要方式：
① 假设过直线外一点，没有直线与已知直线平行。
② 假设过直线外一点，至少有两条（从而无穷多条）直线与已知直线平行。

第一种假设最终导致了椭圆几何的发现（尽管需要对欧几里得的其他公设进行一些修改，例如关于直线的无限延长性）。第二种假设则直接导致了双曲几何的发现。这些早期尝试虽然未能达到证明平行公设的初衷，但它们揭示了存在不同于欧几里得几何的、逻辑上一致的几何体系的可能性。

1.6 非欧几何的黎明：高斯 (Gauss)、玻尔约 (Bolyai) 与罗巴切夫斯基 (Lobachevsky)

19世纪初，三位伟大的数学家几乎同时或独立地认识到，否定平行公设并不会导致矛盾，而是会产生一种新的、逻辑上完全一致的几何学。他们是：

⚝ 卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)：
高斯，被誉为“数学王子”，很早就对平行公设产生了怀疑，并私下里发展了非欧几何的一些思想，特别是双曲几何。他甚至进行了一些测量实验（如测量山顶三角形的内角和），试图通过实验来判断我们所处的空间是否是欧几里得的。然而，由于担心引起争议和不被理解，高斯从未公开发表他的非欧几何研究成果。他在给朋友的信中提到了这种“反欧几里得几何”(anti-Euclidean geometry) 或“非欧几里得几何”(non-Euclidean geometry)，并称赞了玻尔约和罗巴切夫斯基的工作。

⚝ 亚诺什·玻尔约 (János Bolyai, 1802-1860)：
匈牙利数学家亚诺什·玻尔约是沃尔夫冈·玻尔约 (Wolfgang Bolyai) 的儿子。沃尔夫冈曾是高斯的同学，也曾试图证明平行公设。亚诺什在1820年代独立地发展了双曲几何。他在1832年将其成果作为附录发表在他父亲的一本数学著作中，题为《关于平行公设的绝对真实的科学》(The Science Absolutely True of Space)。他称这种新的几何为“绝对几何”(Absolute Geometry) 的一部分（绝对几何是指不依赖于平行公设的几何）。

⚝ 尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基 (Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 1792-1856)：
俄国数学家罗巴切夫斯基也独立地发展了双曲几何。他从1826年开始发表关于这种新几何的论文，称其为“虚几何学”(Imaginary Geometry)。罗巴切夫斯基是第一个公开发表非欧几何研究成果的数学家。

这三位数学家的工作标志着非欧几何的正式诞生。他们证明了否定平行公设所产生的几何体系是逻辑上一致的，只要欧几里得几何本身是逻辑上一致的。这一突破性进展彻底改变了人们对几何学本质的认识，揭示了几何学并非仅仅是对物理空间的描述，而是可以有多种逻辑上有效的形式。非欧几何的发现是数学史上的一次思想革命，它不仅开辟了新的数学研究领域，也对哲学、物理学等领域产生了深远影响。

2. chapter 2： 双曲几何 (Hyperbolic Geometry)

欢迎来到非欧几何的奇妙世界！在上一章中，我们回顾了几何学的基石——欧几里得的《几何原本》及其公设，特别是那个引发了数千年争议的平行公设。我们看到了数学家们如何试图证明它，以及这些尝试如何最终指向了另一种可能性：存在一种几何，其中平行公设不成立。本章，我们将深入探索这第一种非欧几何——双曲几何。

双曲几何，有时也被称为罗巴切夫斯基几何（Lobachevskian Geometry）或玻尔约几何（Bolyai Geometry），是数学史上一个革命性的突破。它挑战了我们基于日常经验形成的关于空间的基本直觉，揭示了几何学远比我们想象的要丰富和多样。我们将从其公理体系出发，逐步构建起对双曲平面的理解，探索其独特的性质，并通过各种模型来“看”到这个非凡的空间。

2.1 双曲几何的公理体系 (Axiomatic System)

双曲几何的公理体系与欧几里得几何非常相似，它保留了欧几里得的前四个公设，但用一个不同的公设替代了第五公设，即平行公设。

欧几里得的前四个公设（简述）：
① 任意两点可以通过一条直线（line segment）连接。
② 任意线段可以无限延长成为一条直线。
③ 给定任意一点和半径，可以画一个圆（circle）。
④ 所有直角（right angles）都相等。

双曲几何的关键在于其对平行公设的修改。欧几里得的第五公设（平行公设）是这样表述的：
“若一条直线与另外两条直线相交，且在同一侧的内角和小于两个直角，则这两条直线若无限延长，必在那一侧相交。”

这个表述等价于我们更熟悉的“普莱费尔公设（Playfair's Axiom）”形式：
“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。”

而双曲几何则用以下公设替代了欧几里得的第五公设：
双曲平行公设 (Hyperbolic Parallel Postulate):
“过直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行。”

更精确的表述是：
“过直线 \(l\) 外一点 \(P\)，存在不止一条（实际上是无穷多条）直线通过 \(P\) 且与 \(l\) 不相交。”

这个看似微小的改变，却导致了几何学性质的巨大差异。在双曲几何中，许多我们认为理所当然的欧几里得几何定理都不再成立。例如，三角形的内角和不再是180度，矩形（rectangle）也不存在。

双曲几何的公理体系通常建立在希尔伯特（Hilbert）或伯克霍夫（Birkhoff）等人的公理基础上，这些公理更加严谨和完整，涵盖了联结（incidence）、序（order）、全等（congruence）和连续性（continuity）等概念。但核心的区别始终在于平行公设。

2.2 双曲平面上的直线 (Lines) 与平行线 (Parallel Lines)

在双曲几何中，“直线”的概念仍然是基本的、未定义的（primitive）概念，但它们的行为方式与欧几里得几何中的直线截然不同。

⚝ 直线 (Lines): 在双曲平面上，直线仍然是无限延伸的、没有宽度的“曲线”（在某些模型中它们看起来是弯曲的，但在双曲几何内部，它们是“直”的）。两点确定一条直线，这是联结公理的一部分，在双曲几何中依然成立。

⚝ 平行线 (Parallel Lines): 这是双曲几何中最引人注目的特征。根据双曲平行公设，过直线 \(l\) 外一点 \(P\)，存在无穷多条通过 \(P\) 且与 \(l\) 不相交的直线。这些不相交的直线都被称为与 \(l\) 平行。

那么，如何区分这些“平行线”呢？考虑点 \(P\) 和直线 \(l\)。从 \(P\) 向 \(l\) 作垂线 \(PQ\)，垂足为 \(Q\)。通过 \(P\) 的直线可以分为几类：
① 与 \(l\) 相交的直线。
② 与 \(l\) 不相交的直线。

在不相交的直线中，又可以进一步细分：
▮▮▮▮ⓐ 极限平行线 (Limiting Parallel Lines) 或渐近平行线 (Asymptotic Parallel Lines): 存在两条特殊的平行线，它们是所有不相交直线中“最接近”与 \(l\) 相交的。它们无限接近 \(l\) 但永不相交。从 \(P\) 出发，这两条直线分别向 \(l\) 的两个方向“趋近”。
▮▮▮▮ⓑ 超平行线 (Hyperparallel Lines) 或不相交线 (Non-intersecting Lines): 除了那两条极限平行线之外，所有其他通过 \(P\) 且与 \(l\) 不相交的直线都称为超平行线。它们与 \(l\) 之间存在一个最小距离，并且随着向无穷远处延伸，它们之间的距离会先减小到这个最小值，然后又增大。

极限平行线具有一个重要的性质：它们与直线 \(l\) 在无穷远点（ideal point 或 omega point）相交。双曲平面上有无穷远点，它们构成了双曲平面的边界。所有通过同一个无穷远点的直线都是极限平行的。

超平行线则没有共同的无穷远点。它们在无穷远处是“分开”的。

这种丰富的平行关系是双曲几何与欧几里得几何的根本区别之一。

2.3 双曲三角形 (Hyperbolic Triangles) 的性质

在双曲几何中，三角形（triangle）仍然是由三条直线段连接三个不共线点形成的图形。然而，双曲三角形的性质与欧几里得三角形大相径庭。

2.3.1 内角和 (Angle Sum) 小于180度

这是双曲几何中最著名、最反直觉的性质之一。

定理: 在双曲几何中，任意三角形的内角和总是小于180度（或 \(\pi\) 弧度）。

证明这个定理需要依赖于双曲几何的公理或模型。例如，在庞加莱圆盘模型中，双曲直线是圆盘内的圆弧（垂直于边界）或直径。你会发现，由这些“直线”构成的三角形，其内角之和确实小于18ayyy0度。

内角和与三角形的面积密切相关。

2.3.2 面积与亏格 (Area and Defect)

在双曲几何中，三角形的内角和与180度之差被称为该三角形的亏格 (Defect)。
亏格 \(D = 180^\circ - (\alpha + \beta + \gamma)\)，其中 \(\alpha, \beta, \gamma\) 是三角形的三个内角。

定理: 在双曲几何中，三角形的面积 (Area) 与其亏格成正比。

具体来说，如果我们将角度单位设为弧度，那么双曲三角形的面积 \(A\) 与其亏格 \(D\) 之间的关系是：
\[ A = k^2 \cdot D \]
其中 \(k\) 是一个常数，取决于双曲平面的曲率（curvature）。通常，我们选择单位使得 \(k=1\)，此时面积等于亏格。

这意味着：
⚝ 亏格越大，面积越大。
⚝ 亏格的取值范围是 \(0 < D < 180^\circ\) (或 \(0 < D < \pi\) 弧度)。因此，双曲三角形的面积有一个上限，即 \(k^2 \pi\)。
⚝ 不存在相似但不全等的三角形。如果两个双曲三角形的内角完全相同，那么它们的亏格相同，面积相同，从而它们是全等的（congruent）。这是与欧几里得几何的另一个重要区别（在欧几里得几何中，相似三角形可以有不同的面积）。

这个面积公式是双曲几何的一个深刻结果，它将角度和面积这两个看似独立的量紧密地联系在一起。

2.4 双曲几何的经典模型 (Models)

理解非欧几何的一个重要方法是通过模型。模型提供了一个具体的“图像”，在这个图像中，抽象的公理得到了满足。双曲几何有几个著名的模型，它们在欧几里得空间中构造了一个“世界”，使得这个世界里的某些对象和关系（被定义为“点”、“直线”、“距离”、“角度”等）满足双曲几何的公理。

重要的是要理解，模型本身存在于欧几里得空间中，但模型中的“几何”是双曲几何。模型中的“直线”在欧几里得看来可能是弯曲的，但从模型内部的视角来看，它们是“直”的。

2.4.1 庞加莱圆盘模型 (Poincaré Disk Model)

⚝ 点 (Points): 欧几里得单位圆盘（不包含边界）内的所有点。
⚝ 直线 (Lines): 垂直于圆盘边界的圆弧（或直径）。
⚝ 距离 (Distance): 通过一个积分公式定义，使得越靠近边界，距离的“感觉”越被拉伸。
⚝ 角度 (Angles): 两个双曲直线（圆弧或直径）之间的角度定义为它们在交点处的切线在欧几里得意义下的夹角。

在庞加莱圆盘模型中：
① 圆盘的边界代表无穷远。
② 通过圆盘内一点，可以画出无穷多条不与给定“直线”相交的“直线”。
③ 三角形的内角和小于180度。

这个模型的好处是角度是“保真”的（conformal），即双曲角度等于欧几里得角度。这使得理解角度关系变得直观。

2.4.2 庞加莱上半平面模型 (Poincaré Half-Plane Model)

⚝ 点 (Points): 欧几里得平面上半平面（即 \(y > 0\) 的区域）内的所有点。
⚝ 直线 (Lines): 垂直于x轴的直线（即形如 \(x=c\) 的直线）或圆心在x轴上的圆弧。
⚝ 距离 (Distance): 类似于圆盘模型，通过积分定义，越靠近x轴，距离越被拉伸。
⚝ 角度 (Angles): 两个双曲直线（垂直线或圆弧）之间的角度定义为它们在交点处的切线在欧几里得意义下的夹角。

这个模型与庞加莱圆盘模型是等价的（可以通过一个变换相互转化），它也具有保角性。x轴代表无穷远。

2.4.3 克莱因模型 (Klein Model)

⚝ 点 (Points): 欧几里得单位圆盘（不包含边界）内的所有点。
⚝ 直线 (Lines): 欧几里得单位圆盘内的直线段。
⚝ 距离 (Distance): 通过一个对数公式定义。
⚝ 角度 (Angles): 在克莱因模型中，角度不是欧几里得意义下的角度，需要通过一个更复杂的公式计算。

克莱因模型的好处是“直线”看起来是直的，这与我们的直觉更接近。然而，它不是保角的。这个模型也称为贝尔特拉米-克莱因模型（Beltrami-Klein Model）。

2.4.4 双曲面模型 (Hyperboloid Model)

⚝ 点 (Points): 在三维闵可夫斯基空间（Minkowski space）中，满足方程 \(x^2 + y^2 - z^2 = -1\) 且 \(z > 0\) 的双叶双曲面（two-sheet hyperboloid）的上半叶上的点。闵可夫斯基空间使用一个特殊的度量（metric）。
⚝ 直线 (Lines): 双曲面上与原点构成的平面相交的曲线（这些曲线是双曲线）。
⚝ 距离 (Distance): 通过闵可夫斯基空间的度量诱导的距离。

双曲面模型是双曲几何的一个更“内在”的模型，它将双曲平面视为一个具有常负曲率（constant negative curvature）的曲面。这个模型是等距的（isometric），即它忠实地反映了双曲几何的距离和角度。

这些模型证明了双曲几何的相容性 (Consistency)。如果在欧几里得几何中不存在矛盾，那么在双曲几何中也不存在矛盾，因为这些模型在欧几里得几何中是构造出来的。

2.5 双曲几何中的圆 (Circles)、极限圆 (Horocycles) 与超圆 (Equidistant Curves)

在双曲几何中，除了直线和三角形，还有其他有趣的曲线。我们熟悉的“圆”的概念依然存在，但其性质与欧几里得圆有所不同。此外，双曲几何还引入了两种独特的曲线：极限圆和超圆。

⚝ 圆 (Circles): 定义为到给定中心点距离相等的点的轨迹。双曲圆看起来像欧几里得圆（在庞加莱模型中），但给定半径的圆周长和面积与欧几里得几何中的公式不同。对于半径 \(r\) 的双曲圆，其周长 \(C\) 和面积 \(A\) 的公式涉及双曲函数（hyperbolic functions）：
\[ C = 2\pi \sinh(r/k) \]
\[ A = 2\pi k^2 (\cosh(r/k) - 1) \]
其中 \(k\) 是曲率常数。注意，当 \(r\) 趋近于0时，\(\sinh(r/k) \approx r/k\) 且 \(\cosh(r/k) - 1 \approx (r/k)^2/2\)，公式近似于欧几里得公式 \(C \approx 2\pi r\) 和 \(A \approx \pi r^2\)。但对于较大的 \(r\)，周长和面积增长得比欧几里得几何快得多。

⚝ 极限圆 (Horocycles): 极限圆是到一条给定极限平行线族（即所有与某条直线在同一方向上极限平行的直线）的无穷远点“等距”的点的轨迹。或者，可以将其视为圆心在无穷远点的圆。极限圆的曲率处处为零（在双曲几何内部看来）。在庞加莱圆盘模型中，极限圆是与圆盘边界相切的圆。

⚝ 超圆 (Equidistant Curves): 超圆是到一条给定直线距离相等的点的轨迹。在欧几里得几何中，这样的轨迹是两条平行于给定直线的直线。但在双曲几何中，超圆是弯曲的。它们是双曲几何中曲率恒定的曲线，但曲率非零。超圆可以视为圆心在直线上的无穷远处的圆。

这三种曲线——圆、极限圆、超圆——是双曲平面上具有常曲率的曲线。圆具有正曲率，极限圆具有零曲率，超圆具有负曲率（从双曲几何内部的视角看）。它们共同构成了双曲几何中重要的几何对象，揭示了双曲空间丰富的结构。

通过本章的学习，我们对双曲几何的基本概念、公理体系、独特的平行线性质、三角形的内角和与面积关系，以及各种模型有了初步的认识。双曲几何不仅是一个抽象的数学构造，它在物理学、宇宙学、计算机科学等领域都有着重要的应用，这些将在后续章节中探讨。

1. chapter 1： 几何学的基石与平行公设之谜

欢迎来到非欧几何的奇妙世界！🌍 在我们踏上这段探索之旅之前，我们需要先回顾一下我们所熟知的几何学——欧几里得几何，以及它赖以建立的基石。理解这些基础，特别是那个困扰了数学家们两千多年的“平行公设”，是非欧几何诞生的关键。

1.1 什么是几何学？ (What is Geometry?)

几何学（Geometry）是数学的一个古老分支，它研究空间（space）的性质、图形（figures）的形状、大小以及它们之间的相对位置。从古埃及测量土地到巴比伦的天文观测，再到古希腊的哲学思辨，几何学一直是人类认识和改造世界的重要工具。

最初，几何学更多地是基于经验和直觉的实践知识。人们通过观察和测量，总结出关于直线（lines）、平面（planes）、三角形（triangles）、圆（circles）等的性质。然而，古希腊的数学家们，尤其是欧几里得（Euclid），将几何学提升到了一个新的高度，使其成为一门严谨的演绎科学。

1.2 欧几里得《几何原本》 (Euclid's Elements)

大约在公元前300年，欧几里得在亚历山大（Alexandria）写下了不朽巨著《几何原本》（Elements）。这本书系统地整理和发展了当时已知的几何学知识，并以一种前所未有的逻辑结构呈现出来。

《几何原本》的伟大之处在于，它不是简单地列举几何事实，而是从少量不证自明的基本命题出发，通过严格的逻辑推理（logical deduction），推导出大量的定理（theorems）或命题（propositions）。这种从公理（axioms）或公设（postulates）出发进行演绎推理的方法，成为了数学乃至整个科学研究的典范。

《几何原本》全书共13卷，内容涵盖了平面几何（plane geometry）、立体几何（solid geometry）以及数论（number theory）的一些基本概念。它对后世数学和科学的发展产生了极其深远的影响，是历史上最成功的教科书之一。

1.3 欧几里得公设 (Euclid's Postulates)

《几何原本》的逻辑体系建立在一系列定义（definitions）、公设（postulates）和公理（common notions）之上。公设是关于几何图形存在性和性质的基本假设，被认为是无需证明的。欧几里得提出了五个公设：

① 任意两点可以通过一条直线（straight line）连接。
② 任意线段（line segment）可以无限地延长成为一条直线。
③ 以任意点为圆心（center）、任意线段为半径（radius），可以画圆（circle）。
④ 所有直角（right angles）都相等。
⑤ 若一条直线与另外两条直线相交，且在同一侧的内角（interior angles）之和小于两个直角，则这两条直线若无限延长，必在该侧相交。

这五个公设构成了欧几里得几何（Euclidean Geometry）的逻辑基础。前四个公设都非常直观，似乎直接描述了我们对空间的日常感知。然而，第五个公设，也就是著名的平行公设（Parallel Postulate），却显得不那么简洁和自明。

1.4 平行公设 (Parallel Postulate) 的特殊性

欧几里得的第五公设，通常被称为平行公设，其表述相对复杂。一个更常见的等价表述是：

“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（parallel）。”

这个等价表述是由苏格兰数学家约翰·普莱费尔（John Playfair）在18世纪提出的，因此也常被称为普莱费尔公理（Playfair's Axiom）。

与前四个公设的简洁和直观性相比，平行公设显得冗长且不那么“基本”。它不像前四个那样描述了点、线、圆的基本构造或性质，而是涉及到了无穷远处的性质（直线无限延长后是否相交）。这使得许多数学家从《几何原本》问世之初就对其产生了怀疑：它真的是一个独立的、不可证明的公设，还是可以从前四个公设推导出来的定理？🤔

1.5 证明平行公设的漫长尝试

正是对平行公设独立性的怀疑，引发了长达两千多年的尝试去证明它。无数数学家投入了巨大的精力，试图从前四个公设出发，逻辑地推导出第五公设。这些尝试虽然最终都失败了，但它们并非徒劳无功，反而为非欧几何的诞生奠定了基础。

这些尝试大致可以分为两类：
⚝ 试图直接从前四个公设推导出第五公设。
⚝ 试图使用归谬法（reductio ad absurdum），即假设第五公设不成立，然后从前四个公设和这个否定假设出发，推导出矛盾。如果能找到矛盾，就说明否定假设是错误的，从而证明第五公设为真。

许多数学家在第二类尝试中取得了重要进展，他们探索了否定平行公设可能导致的几何学。

1.5.1 萨凯里 (Saccheri) 的工作

意大利数学家乔瓦尼·萨凯里（Giovanni Saccheri, 1667-1733）是这方面的杰出代表。他在1733年出版了《欧几里得免于一切瑕疵》（Euclid Freed of Every Flaw）一书。他采用了归谬法，研究了一种特殊的四边形——萨凯里四边形（Saccheri quadrilateral）。

萨凯里四边形定义为：底边（base）上的两个角是直角，且腰（legs）相等。如下图所示（想象中的图形）：

                                
                                    

                            
1
                            
      D-------C
                        

                            
2
                            
      |       |
                        

                            
3
                            
      |       |
                        

                            
4
                            
      A-------B
                        
                                
                            

其中 AB 是底边，AD 和 BC 是腰，∠DAB = ∠CBA = 90°，AD = BC。

在欧几里得几何中，顶点角（summit angles）∠ADC 和 ∠BCD 都是直角。萨凯里研究了在不假设平行公设成立的情况下，这两个顶点角可能的情况：

① 顶点角是直角（Hypothesis of the Right Angle）：这等价于欧几里得几何。
② 顶点角是钝角（Hypothesis of the Obtuse Angle）：大于90度。
③ 顶点角是锐角（Hypothesis of the Acute Angle）：小于90度。

萨凯里成功地证明了“钝角假设”会导致一些与前四个公设相矛盾的结论（例如，直线是有限的，这与公设②矛盾），因此他错误地认为钝角假设是不可能的。实际上，他推导出的矛盾是基于他对直线无限性的某种隐含的欧几里得式理解。

对于“锐角假设”，萨凯里推导出了许多在欧几里得几何中看起来非常反直觉的结论（例如，三角形内角和小于180度，相似三角形（similar triangles）必须全等（congruent））。但他未能从中找到逻辑矛盾，尽管他坚信这些奇怪的结论最终会导出矛盾，从而证明锐角假设也是不可能的。他最终还是错误地总结说，只有直角假设（即平行公设）是正确的。

萨凯里的工作虽然未能证明平行公设，但他系统地探索了否定平行公设可能产生的几何学性质，为后来的非欧几何研究提供了宝贵的素材。

1.5.2 兰伯特 (Lambert) 的贡献

德国数学家约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728-1777）也独立地进行了类似的研究。他研究了一种具有三个直角的四边形——兰伯特四边形（Lambert quadrilateral）。这可以看作是萨凯里四边形的一个顶点角也是直角的情况。

兰伯特也考虑了第四个角的三种可能性：直角、钝角、锐角。他发现：
⚝ 如果第四个角是直角，则得到欧几里得几何。
⚝ 如果第四个角是钝角，他观察到这与球面几何（spherical geometry）的性质相似（例如，球面三角形内角和大于180度）。
⚝ 如果第四个角是锐角，他推导出了三角形内角和小于180度的结论，并且发现三角形的面积（area）与内角和的亏格（defect，即180度减去内角和）成正比。他甚至猜测这种几何可能存在于一个“虚数半径的球面”上，这在某种程度上预示了双曲几何（hyperbolic geometry）与伪球面（pseudosphere）的联系。

与萨凯里一样，兰伯特也未能证明平行公设，但他对否定平行公设产生的几何学性质有了更深入的理解，特别是其与曲率（curvature）概念的潜在联系。

1.5.3 否定平行公设的早期推论

萨凯里和兰伯特等人的工作表明，如果平行公设不成立，那么几何学将呈现出与欧几里得几何截然不同的图景。例如：

⚝ 三角形内角和不再固定为180度。
⚝ 相似但不全等的图形可能不存在（在锐角假设下）。
⚝ 直线之间的距离行为异常（在锐角假设下，平行线之间的距离可能趋于零或无穷大）。

尽管这些结论在当时看来是“怪异的”或“反直觉的”，但重要的是，这些数学家们在推导过程中并未发现逻辑上的矛盾。这暗示着，否定平行公设所产生的几何体系，可能是一个与欧几里得几何一样逻辑自洽（logically consistent）的体系。

1.6 非欧几何的黎明：高斯 (Gauss)、玻尔约 (Bolyai) 与罗巴切夫斯基 (Lobachevsky)

经过两千多年的努力，数学家们逐渐意识到，平行公设可能确实独立于前四个公设。最终，在19世纪上半叶，三位伟大的数学家几乎同时或独立地得出了这一革命性的结论，并各自发展了否定平行公设所产生的几何学。他们是：

⚝ 卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）：这位“数学王子”早在1790年代末就对平行公设的证明产生了怀疑，并私下里发展了否定平行公设的几何学，他称之为“反欧几里得几何”（anti-Euclidean geometry）。高斯推导出了这种几何中的许多重要公式，甚至尝试通过测量三角形的内角和来判断我们宇宙的几何结构。然而，由于担心引起争议和不被理解，高斯并未公开发表他的研究成果。

⚝ 亚诺什·玻尔约（János Bolyai, 1802-1860）：匈牙利数学家。他的父亲法卡斯·玻尔约（Farkas Bolyai）是高斯的大学同学，也曾试图证明平行公设。年轻的亚诺什·玻尔约继承了父亲的研究，并在1820年代独立地发现了否定平行公设所产生的几何学。他在1832年将自己的发现作为附录（Appendix）发表在父亲的一本数学著作中，题为《关于空间科学的绝对真实的科学》（The Science of Absolute Space）。他在信中兴奋地告诉父亲：“我从虚无中创造了一个新的、不同的世界！”🌎

⚝ 尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 1792-1856）：俄国数学家。他也在1820年代独立地发展了否定平行公设的几何学，并称之为“泛几何学”（Pangeometry）。罗巴切夫斯基是第一位公开发表非欧几何研究成果的数学家，他的第一篇相关论文发表于1829年。

高斯、玻尔约和罗巴切夫斯基的独立发现，标志着非欧几何（Non-Euclidean Geometry）的正式诞生。他们证明了，至少存在一种与欧几里得几何不同但同样逻辑自洽的几何体系，在这个体系中，过直线外一点可以引不止一条直线与已知直线平行。这种几何后来被称为双曲几何（Hyperbolic Geometry）。

非欧几何的出现，是数学史上一次深刻的革命。它打破了欧几里得几何作为唯一可能的空间几何的统治地位，极大地拓展了数学家的视野，并对后来的数学（如微分几何（differential geometry）、拓扑学（topology））和物理学（如相对论（relativity））产生了深远的影响。它也改变了人们对数学本质的认识，强调了公理体系的选择性，以及数学真理的相对性（相对于所选的公理体系）。

2. chapter 2： 双曲几何 (Hyperbolic Geometry)

欢迎来到非欧几何的奇妙世界！在上一章中，我们探讨了几何学的基石——欧几里得的《几何原本》以及那个困扰了数学家们两千多年的平行公设。我们看到了无数试图证明平行公设是其他公设推论的努力，但这些尝试最终都未能成功，反而为非欧几何的诞生埋下了伏笔。本章，我们将深入探索非欧几何中最著名的一种：双曲几何 (Hyperbolic Geometry)。

双曲几何是一个完全独立于欧几里得几何的体系，它挑战了我们基于日常经验形成的关于空间和形状的直觉。在这里，“直线”的行为方式与我们在平面上习惯的直线截然不同，三角形的内角和不再是固定的180度，甚至“平行”的概念也变得更加丰富和复杂。通过学习双曲几何，我们将不仅理解一种新的几何体系，更能体会到数学公理化方法的强大以及人类思维突破传统束缚的创造力。

2.1 双曲几何的公理体系 (Axiomatic System)

任何几何学都是建立在一组基本假设或公理 (Axioms) 之上的。欧几里得几何基于欧几里得的五条公设（或称公理）。双曲几何的公理体系与欧几里得几何非常相似，它们共享了欧几里得的前四条公设：

① 任意两点可以通过一条直线连接。
② 任意线段可以无限地延长为一条直线。
③ 给定任意一点和任意半径，可以画一个圆。
④ 所有直角都相等。

然而，双曲几何与欧几里得几何的关键区别在于第五条公设，即平行公设 (Parallel Postulate)。欧几里得的平行公设通常表述为：

如果一条直线与另外两条直线相交，且在同一侧的内角和小于两个直角，则这两条直线如果无限延长，必在那一侧相交。

一个更常见的等价表述是普莱费尔公设 (Playfair's Axiom)：

过不在已知直线上的一个点，恰好有一条直线与已知直线平行。

双曲几何正是通过否定欧几里得的平行公设而建立起来的。双曲几何的平行公设表述为：

过不在已知直线 \(L\) 上的一个点 \(P\)，至少有两条直线与 \(L\) 平行。

事实上，在双曲几何中，过点 \(P\) 与直线 \(L\) 平行的直线有无穷多条。正是这一条公设的改变，导致了整个几何体系性质的巨大差异。

双曲几何的公理体系是一致的 (Consistent)。这意味着它的公理之间不会产生矛盾。这一点是通过构建双曲几何的模型 (Models) 来证明的。如果存在一个模型，其中的“点”、“直线”和“距离”等概念可以被具体定义，并且这些定义满足双曲几何的所有公理，那么双曲几何就是一致的。我们将在本章后面详细探讨这些模型。

双曲几何的出现，彻底打破了欧几里得几何是唯一可能的几何学的观念，揭示了几何学的多样性，并深刻影响了后来的数学和物理学发展。

2.2 双曲平面上的直线 (Lines) 与平行线 (Parallel Lines)

在双曲几何中，“直线”的概念与欧几里得几何中的直线有所不同，但它们仍然是空间中最“直”的路径，被称为测地线 (Geodesics)。在不同的双曲几何模型中，测地线的具体表现形式不同，但它们都满足“两点之间测地线最短”的性质。

双曲几何中最令人惊讶的特性之一是其平行线的行为。回想欧几里得几何，过直线 \(L\) 外一点 \(P\)，只有一条直线与 \(L\) 平行。这条平行线与 \(L\) 永不相交，且它们之间的距离处处相等。

在双曲几何中，情况则完全不同。过直线 \(L\) 外一点 \(P\)，存在无穷多条直线与 \(L\) 平行。这些平行线可以分为两类：

① 极限平行线 (Limiting Parallel Lines) 或 渐近平行线 (Asymptotic Parallel Lines)：过点 \(P\)，存在恰好两条直线，它们与直线 \(L\) 在一个方向上无限接近，但在有限远处不相交。这两条直线将通过点 \(P\) 的所有直线分成了两组：与 \(L\) 相交的直线和与 \(L\) 不相交的直线。这两条分界线就是极限平行线。它们与 \(L\) 在“无穷远点”相交。
② 超平行线 (Ultraparallel Lines) 或 不相交线 (Non-intersecting Lines)：除了那两条极限平行线之外，过点 \(P\) 的所有其他不与 \(L\) 相交的直线都称为超平行线。这些直线与 \(L\) 既不相交，也不会在任何一个方向上无限接近。有趣的是，任意两条超平行线之间存在一条唯一的公垂线 (Common Perpendicular)，它们在这条公垂线上距离最短，然后向两边无限延伸时距离逐渐增大。

\[ \text{欧几里得几何：} \quad \text{过 } P \text{ 恰有 1 条直线平行于 } L \]
\[ \text{双曲几何：} \quad \text{过 } P \text{ 有 无穷多条 直线平行于 } L \]

这种丰富的平行关系是双曲几何区别于欧几里得几何的根本特征之一。

2.3 双曲三角形 (Hyperbolic Triangles) 的性质

三角形是几何学中最基本的图形之一。在双曲几何中，三角形的性质与欧几里得几何中的三角形性质有着显著的区别。

2.3.1 内角和 (Angle Sum) 小于180度

在欧几里得几何中，任意三角形的内角和总是等于180度 (\(\pi\) 弧度)。这是我们从小就熟悉的几何事实。然而，在双曲几何中，这一性质不再成立。

定理： 在双曲几何中，任意三角形的内角和总是小于180度 (\(\pi\) 弧度)。

\[ \text{双曲三角形 } \triangle ABC \text{ 的内角和 } \alpha + \beta + \gamma < \pi \]

这个差值 \( \pi - (\alpha + \beta + \gamma) \) 被称为三角形的亏格 (Defect)。亏格是一个正值，它反映了双曲空间“弯曲”的程度。

一个有趣的推论是，在双曲几何中，不存在相似但不全等的三角形。如果两个双曲三角形的内角对应相等，那么它们一定是全等的。这是因为内角和决定了三角形的亏格，而亏格与三角形的面积直接相关（见下一小节）。

2.3.2 面积与亏格 (Area and Defect)

双曲三角形的面积与它的亏格之间存在一个非常简洁而深刻的关系。

定理： 在双曲几何中，一个三角形的面积 (Area) 与其亏格 (Defect) 成正比。具体来说，如果双曲平面的曲率 (Curvature) 是常数 \(-k^2\) (其中 \(k>0\))，那么三角形的面积 \(A\) 等于其亏格除以 \(k^2\)。通常我们选择单位使得 \(k=1\)，此时面积就等于亏格。

\[ A = \frac{1}{k^2} (\pi - (\alpha + \beta + \gamma)) \]
或者，如果 \(k=1\)，则
\[ A = \pi - (\alpha + \beta + \gamma) \]

这意味着，双曲三角形的面积完全由其内角决定。内角和越小，亏格越大，面积也就越大。

这个定理有一个惊人的推论：双曲平面上三角形的最大面积是有限的！考虑一个“理想三角形 (Ideal Triangle)”，它的三个顶点都在无穷远点上。这样的三角形的内角都是0。根据面积公式，其亏格是 \(\pi - (0+0+0) = \pi\)，因此其面积为 \(\pi/k^2\)。这是双曲平面上三角形面积的上限。

这种面积与内角和的直接关系，以及存在面积上限的事实，都与欧几里得几何形成了鲜明对比。在欧几里得几何中，三角形的内角和固定为180度，面积可以任意大。

2.4 双曲几何的经典模型 (Models)

如前所述，构建模型是证明双曲几何一致性的重要方法。一个双曲几何模型是一个具体的数学结构，其中的元素被解释为“点”、“直线”等，并且这些元素之间的关系（如距离、角度、相交性）满足双曲几何的公理。存在多个不同的模型，它们在欧几里得空间中呈现出不同的“形状”，但它们都描述了同一种抽象的双曲几何结构。理解这些模型有助于我们直观地感受双曲几何的特性。

2.4.1 庞加莱圆盘模型 (Poincaré Disk Model)

庞加莱圆盘模型是最直观和常用的双曲几何模型之一。

⚝ 空间 (Space)：模型中的“点”是欧几里得平面上单位圆盘（不包含边界）内的点。
⚝ 直线 (Lines)：模型中的“直线”是单位圆盘内的圆弧，这些圆弧与单位圆的边界正交（垂直相交），或者穿过圆心的直径。
⚝ 距离 (Distance)：两点之间的距离通过一个对数公式定义，这个公式确保了越靠近圆盘边界，点之间的“双曲距离”会急剧增加。
⚝ 角度 (Angles)：模型中的角度就是欧几里得意义下的角度。因此，庞加莱圆盘模型是一个保角模型 (Conformal Model)，它保留了角度的测量。

在庞加莱圆盘模型中，我们可以直观地看到双曲几何的特性：
▮▮▮▮⚝ 过圆盘内一点，可以画出无穷多条“直线”（圆弧或直径）不与给定的“直线”相交。
▮▮▮▮⚝ 靠近边界的区域在双曲意义下是无限大的。
▮▮▮▮⚝ 双曲三角形的边是圆弧或直线段，其内角和小于180度。

2.4.2 庞加莱上半平面模型 (Poincaré Half-Plane Model)

庞加莱上半平面模型是另一个重要的保角模型，与圆盘模型密切相关（它们可以通过共形映射相互转换）。

⚝ 空间 (Space)：模型中的“点”是欧几里得平面上 \(y > 0\) 的上半平面内的点。
⚝ 直线 (Lines)：模型中的“直线”是实轴上的半圆（圆心在实轴上）或者垂直于实轴的射线。
⚝ 距离 (Distance)：距离通过一个积分公式定义，同样使得越靠近实轴，双曲距离越大。
⚝ 角度 (Angles)：模型中的角度就是欧几里得意义下的角度，因此它也是一个保角模型。

上半平面模型在复分析和数论中有着重要的应用，特别是与模形式 (Modular Forms) 的理论相关。

2.4.3 克莱因模型 (Klein Model)

克莱因模型（也称为贝尔特拉米-克莱因模型，Beltrami-Klein Model）是另一个使用单位圆盘作为空间的模型，但它对“直线”和“距离”的定义不同于庞加莱圆盘模型。

⚝ 空间 (Space)：模型中的“点”是欧几里得平面上单位圆盘（不包含边界）内的点。
⚝ 直线 (Lines)：模型中的“直线”是单位圆盘内的直线段（即圆盘的弦）。
⚝ 距离 (Distance)：距离通过一个涉及交比 (Cross-ratio) 的公式定义。
⚝ 角度 (Angles)：克莱因模型不保留角度。欧几里得意义下的角度与双曲意义下的角度不同。

克莱因模型的优点在于它的“直线”在欧几里得背景下看起来是直的，这使得理解平行线等概念相对容易。然而，由于它不是保角模型，图形的形状会发生扭曲。

2.4.4 双曲面模型 (Hyperboloid Model)

双曲面模型（也称为闵可夫斯基模型，Minkowski Model）将双曲几何嵌入到一个更高维的伪欧几里得空间（闵可夫斯基空间）中。

⚝ 空间 (Space)：模型中的“点”是三维闵可夫斯基空间 \(\mathbb{R}^{2,1}\) 中满足方程 \(x^2 + y^2 - z^2 = -1\) 且 \(z > 0\) 的双曲面的一叶上的点。闵可夫斯基空间的度量 (Metric) 定义为 \(ds^2 = dx^2 + dy^2 - dz^2\)。
⚝ 直线 (Lines)：模型中的“直线”是双曲面与通过原点的平面的交线。
⚝ 距离 (Distance)：距离通过闵可夫斯基空间的度量诱导的测地距离来定义。

双曲面模型在理论研究中非常重要，因为它提供了一个相对简洁的代数框架来处理双曲几何的等距变换 (Isometries) 和距离计算。它也与狭义相对论中的时空结构有着深刻的联系。

这些模型虽然看起来不同，但它们都是同一种双曲几何的“快照”。它们之间的等距映射 (Isometry) 表明它们在几何意义上是等价的。

2.5 双曲几何中的圆 (Circles)、极限圆 (Horocycles) 与超圆 (Equidistant Curves)

在欧几里得几何中，圆是所有到给定中心点距离相等的点的轨迹。在双曲几何中，圆的定义是相同的，但由于距离的定义不同，双曲圆的形状在欧几里得模型中看起来可能与欧几里得圆不同。例如，在庞加莱圆盘模型中，双曲圆仍然是欧几里得圆，但其圆心在双曲意义下与欧几里得圆心不重合（除非圆心是圆盘的中心）。

除了圆之外，双曲几何中还有两种特殊的曲线，它们在欧几里得几何中没有直接的对应物：

① 极限圆 (Horocycles)：极限圆可以看作是圆心趋向无穷远点（理想点）的圆的极限。通过双曲平面上的每一点，恰好有两个极限圆通过该点，它们分别朝向两个不同的无穷远点。极限圆可以被认为是“曲率”为零的曲线（在某种意义上）。在庞加莱圆盘模型中，极限圆是与圆盘边界相切的圆。在庞加莱上半平面模型中，极限圆是平行于实轴的直线或与实轴相切的圆。

② 超圆 (Equidistant Curves)：超圆是所有到给定直线距离相等的点的轨迹。在欧几里得几何中，这样的轨迹是与给定直线平行的两条直线。但在双曲几何中，由于平行线的性质不同，超圆是弯曲的曲线。给定一条直线 \(L\) 和一个距离 \(d\)，到 \(L\) 的距离为 \(d\) 的点的轨迹是两条超圆，它们分别位于 \(L\) 的两侧。超圆的“曲率”是常数，但不是零。

这三种曲线——圆、极限圆和超圆——在双曲几何中扮演着重要的角色，它们是具有常曲率的曲线族。圆具有正的常曲率，超圆具有负的常曲率，而极限圆的曲率为零。

通过本章的学习，我们对双曲几何的基本概念、公理体系、独特的平行线性质、三角形的内角和与面积关系，以及各种经典模型有了初步的认识。双曲几何是一个充满反直觉但又极其优美的数学世界，它的发现不仅拓展了几何学的边界，也为我们理解更复杂的空间结构（如黎曼几何）以及物理学中的时空概念奠定了基础。在下一章中，我们将转向另一种非欧几何——椭圆几何，它以另一种方式否定了平行公设，展现出与双曲几何和欧几里得几何截然不同的特性。

3. chapter 3： 椭圆几何 (Elliptic Geometry)

欢迎来到非欧几何的另一片奇妙天地——椭圆几何 (Elliptic Geometry)。如果说双曲几何 (Hyperbolic Geometry) 是对欧几里得 (Euclid) 平行公设 (Parallel Postulate) 的一种否定，允许通过直线外一点引无数条平行线，那么椭圆几何则是另一种截然不同的否定：它不允许存在任何平行线。在本章中，我们将深入探索椭圆几何的公理体系、其独特的性质以及重要的模型，感受这个“没有平行线”的世界的魅力。

3.1 椭圆几何的公理体系 (Axiomatic System)

椭圆几何的诞生同样源于对欧几里得第五公设的质疑。与双曲几何不同，椭圆几何通过修改或替换第五公设来构建其体系。最常见的表述是：

⚝ 椭圆平行公设 (Elliptic Parallel Postulate): 通过直线外一点，不能引任何平行于该直线的直线。换句话说，任意两条不同的直线都相交。

除了平行公设，椭圆几何还需要对欧几里得的其他公设进行一些调整，特别是关于直线的无限性。在标准的椭圆几何（有时称为黎曼几何 (Riemannian Geometry) 或球形几何 (Spherical Geometry) 的变体）中，直线是“闭合”的，并且长度有限。而在另一种形式（射影几何 (Projective Geometry)）中，直线是无限的，但仍然没有平行线。

为了构建一个一致的公理体系，通常需要修改以下欧几里得公设：

① 欧几里得第一公设：任意两点可以连接成一条直线。在椭圆几何中，这通常需要修改为：任意两点（除非它们是特殊的对径点 (antipodal points)）可以连接成唯一一条直线。如果两点是对径点，则有无数条直线连接它们。
② 欧几里得第二公设：线段可以无限延长成直线。在椭圆几何中，直线是有限的（例如，在球面上是大圆 (great circle)，其周长有限）。
③ 欧几里得第五公设：被替换为椭圆平行公设。

这些修改共同定义了一个与欧几里得几何和双曲几何都不同的几何结构。

3.2 椭圆平面上的直线与无平行线 (Lines and No Parallel Lines)

在椭圆几何中，“直线”的概念与我们在欧几里得几何中的直观感受大相径庭。

⚝ 在一个常见的椭圆几何模型（例如球面几何）中，直线被定义为球面上的大圆。大圆是球面上通过球心的平面与球面的交线。
⚝ 任意两个不同的大圆（即椭圆几何中的“直线”）总是在两个对径点处相交。
⚝ 因此，通过球面上的任意一点，无法引出一条直线与另一条给定的直线（大圆）平行。它们总会相交。

这种“无平行线”的性质是椭圆几何最显著的特征。它意味着在椭圆空间中，你沿着一条“直线”前进，最终会回到起点，并且任何两条“直线”最终都会相遇。

考虑一个例子：地球表面可以近似看作一个球面。经线 (lines of longitude) 都是大圆，它们都在北极 (North Pole) 和南极 (South Pole) 相交。赤道 (Equator) 也是一个大圆。任何一条经线都与赤道相交。在地球表面上，你无法找到两条“平行”的经线或纬线（除了赤道本身与自身“平行”，或者纬线不是直线）。

3.3 椭圆三角形的性质 (Properties of Elliptic Triangles)

椭圆几何中三角形的性质与欧几里得几何和双曲几何都有显著差异。

3.3.1 内角和大于180度 (Angle Sum Greater Than 180 Degrees)

这是椭圆三角形最著名的性质。

⚝ 在欧几里得几何中，三角形内角和等于180度 (\(\pi\) 弧度)。
⚝ 在双曲几何中，三角形内角和小于180度。
⚝ 在椭圆几何中，三角形内角和总是大于180度。

考虑球面上的一个三角形，其顶点分别是北极 (N) 和赤道上的两个点 (A, B)。连接 N 到 A 和 N 到 B 的“直线”是经线，它们在 N 点相交。连接 A 和 B 的“直线”是赤道上的一段大圆弧。

\[ \angle NAB = 90^\circ \\ \angle NBA = 90^\circ \]

而 \(\angle ANB\) 是两条经线在北极的夹角，它取决于 A 和 B 的经度差，可以取任意大于0小于180度的值。

这个三角形的内角和是 \(90^\circ + 90^\circ + \angle ANB = 180^\circ + \angle ANB\)。显然，这个和大于180度。

3.3.2 面积与盈格 (Area and Excess)

在椭圆几何中，三角形的内角和与它的面积之间存在一个直接的关系。

⚝ 我们定义一个椭圆三角形的盈格 (Excess) 为其内角和减去180度（或 \(\pi\) 弧度）。如果三角形内角为 \(\alpha, \beta, \gamma\)，则盈格 \(E = (\alpha + \beta + \gamma) - \pi\) (使用弧度制)。
⚝ 盈格 \(E\) 总是正的。
⚝ 椭圆三角形的面积 (Area) 与其盈格成正比。在一个曲率 (curvature) 为常数 \(K > 0\) 的椭圆平面上，三角形的面积 \(A\) 由以下公式给出：

\[ A = \frac{E}{K} = \frac{(\alpha + \beta + \gamma) - \pi}{K} \]

或者，在一个半径为 \(R\) 的球面上（常曲率 \(K = 1/R^2\)），面积公式为：

\[ A = R^2 \times ((\alpha + \beta + \gamma) - \pi) \]

这个公式表明，椭圆三角形越大（面积越大），其内角和就越大，盈格也越大。这与欧几里得几何形成鲜明对比，在欧几里得几何中，三角形大小不影响内角和。

3.4 椭圆几何的经典模型 (Classic Models)

理解非欧几何的关键在于理解它们的模型。模型提供了一个具体的“世界”，在这个世界里，抽象的公理得到了实现。

3.4.1 球面几何 (Spherical Geometry) - 作为相关概念 (As a Related Concept)

球面几何是理解椭圆几何的一个非常直观的模型。

⚝ 点 (Points): 球面上的点。
⚝ 直线 (Lines): 球面上的大圆。
⚝ 距离 (Distance): 沿着大圆弧测量的两点之间的最短距离。
⚝ 角度 (Angles): 两条大圆弧在交点处的切线之间的夹角。

球面几何满足椭圆平行公设（任意两个大圆都相交于两点）。然而，它在严格意义上与标准的椭圆平面几何略有不同，因为它引入了对径点 (antipodal points) 的概念。在球面上，每条“直线”（大圆）都通过一对对径点。任意两点（非对径点）确定唯一一个大圆，但一对对径点可以位于无数个大圆上。

标准的椭圆几何（有时称为实射影平面 (Real Projective Plane)）通过识别对径点来解决这个问题。也就是说，将球面上的每一对对径点视为椭圆几何中的一个“点”。

3.4.2 射影平面模型 (Projective Plane Model)

实射影平面 \(RP^2\) 是椭圆几何的一个标准模型。

⚝ 点 (Points): 在 \(R^3\) 空间中通过原点的所有直线。
⚝ 直线 (Lines): 在 \(R^3\) 空间中通过原点的所有平面。
⚝ 点与直线之间的关系 (Incidence): 一个“点”（通过原点的直线）位于一条“直线”（通过原点的平面）上，当且仅当该直线完全包含在该平面内。

让我们看看这个模型如何满足椭圆几何的公理：

① 任意两点确定一条直线： 考虑 \(R^3\) 中通过原点的两条不同的直线 \(L_1\) 和 \(L_2\)。这两条直线唯一确定一个通过原点的平面 \(P\)。在射影平面模型中，\(L_1\) 和 \(L_2\) 是两个“点”，而 \(P\) 是连接它们的“直线”。这条“直线”是唯一的。
② 任意两条直线相交于一点： 考虑 \(R^3\) 中通过原点的两个不同的平面 \(P_1\) 和 \(P_2\)。这两个平面的交集是一条通过原点的直线 \(L\)。在射影平面模型中，\(P_1\) 和 \(P_2\) 是两条“直线”，而 \(L\) 是它们的交点。这个交点是唯一的。这直接体现了椭圆几何“无平行线”的性质。
③ 直线的结构： 在 \(R^3\) 中通过原点的平面是一个无限延展的平面。它包含无数条通过原点的直线。因此，射影平面模型中的“直线”是无限的，但它们是“闭合”的，因为沿着通过原点的平面上的任何一条直线（在 \(R^3\) 中），你最终会回到原点，并且在射影平面中，通过原点的直线被视为一个点。

射影平面模型更准确地体现了椭圆几何的结构，特别是它自然地处理了球面几何中对径点被视为同一个点的情况。球面几何可以看作是射影平面模型的一个“双覆盖”。

3.5 椭圆几何中的圆 (Circles in Elliptic Geometry)

在椭圆几何中，圆 (Circle) 的定义与欧几里得几何类似：它是到给定中心点 (center) 距离相等的点的轨迹 (locus)。

⚝ 在球面模型中，以球面上一点 P 为中心，半径为 r 的圆，是球面上所有到 P 的大圆距离为 r 的点的集合。如果 r 小于大圆周长的一半，这个圆就是一个普通的圆（一个小的圆圈）。如果 r 等于大圆周长的一半，这个圆就是一个大圆（同时也是一条“直线”）。如果 r 大于大圆周长的一半，这个圆实际上是围绕 P 的对径点的一个小圆。

与双曲几何不同，椭圆几何中没有极限圆 (Horocycles) 或超圆 (Equidistant Curves) 的概念，因为没有平行线，也就没有渐近平行的直线。

椭圆几何中的圆具有一些有趣的性质，例如：

⚝ 随着半径的增加，圆的周长先增大，达到最大值（对应于大圆），然后减小，最终收缩为一个点（对应于中心点的对径点）。
⚝ 随着半径的增加，圆所围成的面积先增大，直到覆盖整个空间（对应于半径为大圆周长一半的情况），然后面积开始计算“外部”区域，并随着半径增加而减小。

这些性质都与椭圆空间的有限性和“无平行线”的特性紧密相关。

4. chapter 4： 三种几何的比较与统一视角

在前面的章节中，我们分别深入探讨了欧几里得几何（Euclidean Geometry）、双曲几何（Hyperbolic Geometry）和椭圆几何（Elliptic Geometry）。虽然它们都起源于对欧几里得《几何原本》（Euclid's Elements）中平行公设（Parallel Postulate）的探索，但最终发展出了截然不同的性质。本章旨在对这三种几何进行系统的比较，并引入更高级的数学工具，如曲率（Curvature）和黎曼几何（Riemannian Geometry），来提供一个统一的视角，理解它们之间的内在联系和区别。

4.1 欧几里得、双曲与椭圆几何的对比分析

这三种几何最根本的区别在于它们对平行公设的处理方式。欧几里得几何接受了平行公设，双曲几何否定了它，而椭圆几何则以另一种方式否定了它（或者说，在某些表述中，它没有平行线）。这种公设上的差异导致了它们在许多基本几何性质上的显著不同。

让我们通过几个关键点来对比这三种几何：

① 平行公设（Parallel Postulate）：
▮▮▮▮ⓑ 欧几里得几何：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
▮▮▮▮ⓒ 双曲几何：过直线外一点，至少有两条（实际上是无穷多条）直线与已知直线平行。
▮▮▮▮ⓓ 椭圆几何：过直线外一点，没有直线与已知直线平行（所有直线都相交）。

② 直线（Lines）的性质：
▮▮▮▮ⓑ 欧几里得几何：直线是无限延伸的，没有起点也没有终点。任意两条不同的直线要么平行要么相交于一点。
▮▮▮▮ⓒ 双曲几何：直线是无限延伸的。平行线可以分为极限平行（asymptotic parallel）和超平行（hyperparallel）。极限平行线在无穷远处相交，超平行线则永不相交且距离先减小后增大。
▮▮▮▮ⓓ 椭圆几何：直线是有限长度的（例如，在球面模型中是大圆），但没有边界（可以无限次地沿着直线行走）。任意两条不同的直线都相交于一点（在球面模型中是两点，但在射影平面模型中是一点）。

③ 三角形（Triangles）的内角和（Angle Sum）：
▮▮▮▮ⓑ 欧几里得几何：任意三角形的内角和等于180度（或 \(\pi\) 弧度）。
▮▮▮▮ⓒ 双曲几何：任意三角形的内角和小于180度。内角和的亏格（defect）与三角形的面积成正比。
▮▮▮▮ⓓ 椭圆几何：任意三角形的内角和大于180度。内角和的盈格（excess）与三角形的面积成正比。

④ 相似三角形（Similar Triangles）：
▮▮▮▮ⓑ 欧几里得几何：存在相似但不全等的三角形。
▮▮▮▮ⓒ 双曲几何：不存在相似但不全等的三角形。如果两个三角形的内角对应相等，则它们全等。
▮▮▮▮ⓓ 椭圆几何：不存在相似但不全等的三角形。如果两个三角形的内角对应相等，则它们全等。

⑤ 圆（Circles）的周长（Circumference）与半径（Radius）的关系：
设圆的半径为 \(r\)。
▮▮▮▮ⓐ 欧几里得几何：周长 \(C = 2\pi r\)。
▮▮▮▮ⓑ 双曲几何：周长 \(C > 2\pi r\)。具体公式涉及双曲函数。
▮▮▮▮ⓒ 椭圆几何：周长 \(C < 2\pi r\)。具体公式涉及三角函数。

⑥ 面积（Area）的度量：
▮▮▮▮ⓑ 欧几里得几何：面积与边长的平方成正比。
▮▮▮▮ⓒ 双曲几何：三角形的面积由其内角和的亏格决定。最大面积是有限的（例如，在庞加莱圆盘模型中，整个圆盘的面积是有限的）。
▮▮▮▮ⓓ 椭圆几何：三角形的面积由其内角和的盈格决定。整个空间的面积是有限的（例如，球面的面积是 \(4\pi r^2\)）。

下表总结了这些主要区别：

通过这些对比，我们可以看到，仅仅改变一个公设，就会导致整个几何体系发生根本性的变化。这充分展示了公理化方法（Axiomatic Method）在数学中的强大力量和微妙之处。

4.2 曲率 (Curvature) 的概念

如何用一个统一的数学概念来描述和区分这三种几何呢？答案是曲率（Curvature）。直观地说，曲率衡量了空间（或曲面）弯曲的程度。

⚝ 在二维空间中，我们可以考虑曲面上的曲率。例如：
▮▮▮▮⚝ 平面（Plane）是平坦的，其曲率为零。
▮▮▮▮⚝ 球面（Sphere）是向外弯曲的，其曲率为正。
▮▮▮▮⚝ 马鞍面（Saddle Surface）或双曲抛物面（Hyperbolic Paraboloid）是向不同方向弯曲的，其曲率为负。

这与我们之前讨论的三种几何的性质有着深刻的联系：

① 欧几里得几何可以看作是生活在零曲率（Zero Curvature）的平面上的几何。
② 椭圆几何（特别是球面几何）可以看作是生活在正曲率（Positive Curvature）的球面上的几何。
③ 双曲几何可以看作是生活在负曲率（Negative Curvature）的曲面上的几何。

对于二维空间，我们可以定义高斯曲率（Gaussian Curvature）。高斯曲率是一个内蕴（intrinsic）概念，意味着它只依赖于曲面本身的度量性质，而与曲面如何嵌入到更高维空间无关。例如，一个圆柱体的表面在局部看起来是弯曲的，但它的高斯曲率为零，这解释了为什么我们可以将一张平面的纸弯曲成圆柱体而不会撕裂或拉伸——圆柱体的几何性质在局部与平面是相同的。

高斯曲率 \(K\) 可以通过测量曲面上小圆的周长或面积与欧几里得平面上相应圆的周长或面积的偏差来定义。更正式的定义涉及第二基本形式（Second Fundamental Form）或黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。

对于常曲率（Constant Curvature）的二维空间，高斯曲率 \(K\) 在空间中处处相等。
⚝ 欧几里得平面：\(K = 0\)
⚝ 球面：\(K > 0\) (例如，半径为 \(R\) 的球面的高斯曲率为 \(1/R^2\))
⚝ 双曲平面：\(K < 0\) (例如，曲率为 \(-1\) 的双曲平面)

三角形的内角和与曲率之间存在一个重要的关系，由高斯-博内定理（Gauss-Bonnet Theorem）给出。对于一个单连通（simply connected）的曲面区域 \(R\) 及其边界 \(\partial R\)，其高斯曲率 \(K\) 的积分与边界的测地曲率（geodesic curvature）以及区域的拓扑性质（如亏格）有关。对于一个简单的三角形，其内角和 \(\Sigma\) 与面积 \(A\) 和曲率 \(K\) 之间的关系大致是：
\[ \Sigma = \pi + K \cdot A \]
或者更精确地说，对于常曲率 \(K\) 的空间中的三角形，其内角和 \(\Sigma\) 与 \(\pi\) 的差（盈格或亏格）正比于其面积 \(A\)，比例系数就是曲率 \(K\)。
\[ \Sigma - \pi = K \cdot A \]
⚝ 欧几里得几何 (\(K=0\))：\(\Sigma - \pi = 0 \implies \Sigma = \pi\) (180度)
⚝ 双曲几何 (\(K<0\))：\(\Sigma - \pi = K \cdot A < 0 \implies \Sigma < \pi\) (小于180度)
⚝ 椭圆几何 (\(K>0\))：\(\Sigma - \pi = K \cdot A > 0 \implies \Sigma > \pi\) (大于180度)

这个公式完美地统一了三种几何中三角形内角和的性质，并将其与空间的曲率联系起来。曲率成为了区分这三种几何的内在属性。

4.3 黎曼几何 (Riemannian Geometry) 简介

为了在更一般和更高维的背景下理解曲率和非欧几何，我们需要引入黎曼几何（Riemannian Geometry）。黎曼几何是微分几何（Differential Geometry）的一个分支，它研究带有黎曼度量（Riemannian Metric）的光滑流形（Smooth Manifold）。

⚝ 流形（Manifold）：流形是一种局部看起来像欧几里得空间的空间。例如，地球表面是一个二维流形，局部看起来像一个平面。三维空间中的曲面是二维流形。更高维的流形在局部看起来像高维欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\)。
⚝ 黎曼度量（Riemannian Metric）：黎曼度量是在流形的每一点上定义的一个内积（Inner Product），它允许我们在流形上测量向量的长度和夹角。通过积分向量的长度，我们可以定义曲线的长度，进而定义点之间的距离。黎曼度量本质上是一个光滑变化的对称正定双线性形式（Symmetric Positive-Definite Bilinear Form），通常用 \(g\) 或 \(ds^2\) 表示。在局部坐标系 \((x^1, \dots, x^n)\) 下，黎曼度量可以写成 \(ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j\)，其中 \(g_{ij}\) 是度量张量（Metric Tensor）的分量。

黎曼几何的核心思想是，空间的几何性质（如距离、角度、曲率）可以完全由黎曼度量决定。通过黎曼度量，我们可以定义：

① 曲线长度（Curve Length）：对于流形上的一条曲线 \(\gamma(t)\)，其长度可以通过对 \(\sqrt{g(\gamma'(t), \gamma'(t))}\) 积分得到。
② 测地线（Geodesics）：测地线是流形上的“直线”，它们是局部最短路径的曲线。在欧几里得空间中，测地线就是直线。在球面上，测地线是大圆的弧。
③ 曲率（Curvature）：在黎曼几何中，曲率是一个更复杂的概念，由黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor） \(R\) 描述。黎曼曲率张量衡量了平行移动（Parallel Transport）沿闭合回路的失败程度，或者说空间在不同方向上的弯曲程度。从黎曼曲率张量可以导出里奇曲率（Ricci Curvature）和标量曲率（Scalar Curvature）等。对于二维流形，黎曼曲率张量只有一个独立分量，它与高斯曲率成比例。

黎曼几何提供了一个统一的框架来研究各种弯曲空间，包括我们之前讨论的三种常曲率空间。欧几里得空间、双曲空间和椭圆空间都可以看作是具有特定黎曼度量的流形。

4.4 空间形式 (Space Forms) 与常曲率空间 (Constant Curvature Spaces)

在黎曼几何的框架下，欧几里得几何、双曲几何和椭圆几何可以被精确地描述为具有常截面曲率（Constant Sectional Curvature）的完备（Complete）、单连通（Simply Connected）黎曼流形。这类空间被称为空间形式（Space Forms）。

⚝ 截面曲率（Sectional Curvature）：在黎曼流形上的每一点 \(p\) 和通过 \(p\) 的任意一个二维平面（由两个线性无关的切向量 \(u, v\) 张成），可以定义一个截面曲率 \(K(u, v)\)。它衡量了流形沿着这个二维方向的弯曲程度。
⚝ 常截面曲率（Constant Sectional Curvature）：如果一个黎曼流形在每一点、每个二维平面上的截面曲率都相等，那么它就具有常截面曲率。

具有常截面曲率 \(k\) 的 \(n\) 维完备、单连通黎曼流形只有三种（ up to isometry，即在等距变换下是唯一的）：

① 欧几里得空间（Euclidean Space） \(E^n\): 截面曲率 \(k = 0\)。这是我们熟悉的 \(n\) 维欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\)，其度量是标准的欧几里得度量 \(ds^2 = (dx^1)^2 + \dots + (dx^n)^2\)。
② 双曲空间（Hyperbolic Space） \(H^n\): 截面曲率 \(k < 0\)。通常标准化为 \(k = -1\)。双曲空间是欧几里得空间的“负弯曲”对应物。我们在第二章讨论的庞加莱模型、克莱因模型等都是二维双曲平面 \(H^2\) 的不同表示。高维双曲空间也有类似的构造。
③ 球面（Sphere） \(S^n\): 截面曲率 \(k > 0\)。通常标准化为 \(k = +1\)。\(n\) 维球面是嵌入在 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 中的单位球面。我们在第三章讨论的球面几何是二维球面 \(S^2\) 的几何。椭圆几何（特别是实射影空间 \(\mathbb{R}P^n\)）是球面的商空间（quotient space），它也具有常正曲率，但不是单连通的。

因此，从黎曼几何的视角看，欧几里得几何、双曲几何和椭圆几何（或更准确地说，球面几何和射影几何）是具有常曲率的“最简单”的空间形式。它们是黎曼几何中最基础和最重要的例子。

4.5 等距变换 (Isometries) 与变换群 (Transformation Groups)

研究几何的一种重要方法是通过研究保持其结构不变的变换。在黎曼几何中，这种变换被称为等距变换（Isometry）。等距变换是流形到自身的微分同胚（Diffeomorphism），它保持黎曼度量不变，从而保持距离、角度、曲率等所有几何性质不变。

⚝ 等距变换（Isometry）：一个映射 \(f: M \to M\) 是一个等距变换，如果它是可逆的，并且对于流形 \(M\) 上的任意两个点 \(p, q\)，它们在 \(f\) 映射下的距离等于它们原来的距离：\(d(f(p), f(q)) = d(p, q)\)。等价地，等距变换保持黎曼度量不变：\(f^*g = g\)，其中 \(f^*g\) 是度量 \(g\) 在 \(f\) 下的拉回（pullback）。

所有等距变换构成一个群（Group），称为等距群（Isometry Group）。等距群的大小和结构反映了空间的对称性。

⚝ 变换群（Transformation Group）：一个变换群是一个群 \(G\)，其元素是某个空间 \(X\) 的变换（如映射），并且群的运算是变换的复合。

对于具有常曲率的空间形式，它们的等距群非常大且具有丰富的结构。

① 欧几里得空间 \(E^n\)：其等距群是欧几里得群（Euclidean Group） \(E(n)\)，它由平移（Translations）和旋转（Rotations）/反射（Reflections）组成。欧几里得群是一个李群（Lie Group），其维度是 \(n(n+1)/2\)。欧几里得空间是齐次的（Homogeneous）和各向同性的（Isotropic），这意味着对于任意两点 \(p, q\) 和任意两个在 \(p\) 和 \(q\) 处的切向量 \(v_p, v_q\) 且长度相等，都存在一个等距变换将 \(p\) 映到 \(q\) 并将 \(v_p\) 映到 \(v_q\)。

② 双曲空间 \(H^n\)：其等距群是洛伦兹群（Lorentz Group）的一个子群，具体来说是 \(O^+(n, 1)\) 的连通分支。双曲空间的等距群也很大，使得双曲空间也是齐次的和各向同性的。庞加莱圆盘模型和上半平面模型的等距变换就是保持圆盘边界或实轴不变的莫比乌斯变换（Möbius Transformations）的子群。

③ 球面 \(S^n\)：其等距群是正交群（Orthogonal Group） \(O(n+1)\)。球面也是齐次的和各向同性的。球面上的等距变换就是 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 中保持原点不变的正交变换限制在球面上。

研究这些空间的等距群是理解它们几何性质的有力工具。例如，齐次性和各向同性保证了空间在任何地方、任何方向看起来都是一样的，这与它们的常曲率性质是一致的。

通过等距变换和变换群的视角，我们可以从对称性的角度再次统一和区分这三种几何。它们是仅有的几种具有最大对称性的空间形式。

总结本章，我们通过对比平行公设、基本几何性质以及引入曲率、黎曼几何和等距变换等概念，提供了一个统一的框架来理解欧几里得几何、双曲几何和椭圆几何。它们不再是孤立的、仅仅因为否定平行公设而产生的“怪异”几何，而是具有不同常曲率的、在黎曼几何框架下可以被系统研究和分类的基本空间形式。这种统一的视角不仅加深了我们对非欧几何本身的理解，也为进一步学习更复杂的弯曲空间（如广义相对论中的时空）奠定了基础。

5. chapter 5： 非欧几何的进阶主题与应用

非欧几何的诞生不仅是数学史上的一个里程碑，它更是打开了通往现代数学和物理学多个前沿领域的大门。本章将深入探讨非欧几何如何与其他数学分支（如拓扑学、群论）交织，以及它在物理学（特别是相对论）中的关键作用。我们还将触及高维非欧几何的概念及其在更广泛领域的应用，展示非欧几何作为一种强大的数学工具，其影响力远超纯粹的几何学范畴。

5.1 非欧几何与物理学 (Physics)

几何学最初被认为是描述我们现实宇宙空间的唯一正确框架。然而，非欧几何的出现挑战了这一观念。更令人惊奇的是，非欧几何后来被证明是描述宇宙某些基本物理现象的不可或缺的工具，尤其是在爱因斯坦 (Einstein) 的相对论中。

5.1.1 狭义相对论 (Special Relativity) 与闵可夫斯基空间 (Minkowski Space)

狭义相对论处理的是惯性参考系 (Inertial Frames of Reference) 中的物理定律。它基于两个基本公设：
① 物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式。
② 光在真空中的速度 \(c\) 在所有惯性参考系中都相同，与光源的运动状态无关。

这些公设导致了对空间和时间观念的根本性改变。在狭义相对论中，空间和时间不再是独立的实体，而是融合为一个四维的“时空” (Spacetime)。德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基 (Hermann Minkowski) 意识到，狭义相对论中的时空可以用一种特殊的几何结构来描述，这种结构被称为闵可夫斯基空间。

闵可夫斯基空间是一个四维的实向量空间 (Real Vector Space)，其中三个维度代表空间，一个维度代表时间。与欧几里得空间 (Euclidean Space) 使用欧几里得度量 (Euclidean Metric) 来定义距离不同，闵可夫斯基空间使用闵可夫斯基度量 (Minkowski Metric) 来定义“间隔” (Interval) 或“时空间隔” (Spacetime Interval)。

考虑两个时空事件 (Spacetime Events) \(A = (t_1, x_1, y_1, z_1)\) 和 \(B = (t_2, x_2, y_2, z_2)\)。它们之间的时空间隔 \(s^2\) 定义为：
\[ s^2 = -(c\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \]
其中 \(\Delta t = t_2 - t_1\)， \(\Delta x = x_2 - x_1\)， \(\Delta y = y_2 - y_1\)， \(\Delta z = z_2 - z_1\)。

这个度量具有一个重要的特征：它不是正定的 (Positive Definite)。这意味着时空间隔 \(s^2\) 可以是正的、负的或零。
⚝ 如果 \(s^2 > 0\)，间隔是“类空间” (Spacelike) 的。
⚝ 如果 \(s^2 < 0\)，间隔是“类时” (Timelike) 的。
⚝ 如果 \(s^2 = 0\)，间隔是“类光” (Lightlike) 或“零” (Null) 的。

这种度量结构与欧几里得几何中的正定度量（如 \(ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\)）截然不同。闵可夫斯基空间可以被视为一种特殊的“平坦”非欧几何空间，尽管它不是双曲几何或椭圆几何，但其度量的非正定性使其具有独特的几何性质，例如存在“光锥” (Light Cone) 结构，这直接反映了狭义相对论中的因果关系 (Causality)。

在闵可夫斯基空间中，物理定律在洛伦兹变换 (Lorentz Transformations) 下保持不变，这些变换可以被视为闵可夫斯基空间中的“旋转”和“平移”，它们构成了洛伦兹群 (Lorentz Group)。这与欧几里得几何中物理定律在欧几里得变换（旋转和平移）下不变相对应。

5.1.2 广义相对论 (General Relativity) 与弯曲时空 (Curved Spacetime)

广义相对论是爱因斯坦对引力 (Gravity) 的几何理论。它认为引力不是一种力，而是时空本身的弯曲 (Curvature) 表现。物质和能量使时空弯曲，而弯曲的时空则告诉物质如何运动。

广义相对论的核心思想是等效原理 (Equivalence Principle)，它指出引力效应与加速度效应在局部是无法区分的。这导致爱因斯坦得出结论，引力场可以被视为一个弯曲的时空几何。

描述弯曲时空的数学框架是黎曼几何 (Riemannian Geometry)。在黎曼几何中，空间（或时空）的几何性质由一个度量张量 (Metric Tensor) \(g_{\mu\nu}\) 决定，这个张量可以随位置变化。时空间隔 \(ds^2\) 由下式给出：
\[ ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \]
这里使用了爱因斯坦求和约定 (Einstein Summation Convention)，对重复的上下标求和。

在弯曲时空中，“直线”的概念被推广为“测地线” (Geodesics)。测地线是时空中两点之间最短（或最长）的路径，或者更准确地说，是自由落体 (Free Fall) 物体在没有其他力作用下的运动轨迹。行星绕恒星运动的轨道，在广义相对论中被解释为行星在恒星引起的弯曲时空中的测地线运动。

时空的弯曲程度由黎曼曲率张量 (Riemann Curvature Tensor) 描述。爱因斯坦场方程 (Einstein Field Equations) 将时空的曲率与物质和能量的分布联系起来：
\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]
其中 \(R_{\mu\nu}\) 是里奇张量 (Ricci Tensor)，\(R\) 是标量曲率 (Scalar Curvature)，\(g_{\mu\nu}\) 是度量张量，\(G\) 是牛顿引力常数 (Newtonian Gravitational Constant)，\(c\) 是光速，\(T_{\mu\nu}\) 是应力-能量张量 (Stress-Energy Tensor)，描述了物质和能量的分布。

这个方程表明，物质和能量 ( \(T_{\mu\nu}\) ) 决定了时空的几何结构 ( \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R\) )。在没有物质和能量的区域 (\(T_{\mu\nu} = 0\))，爱因斯坦场方程简化为 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0\)，这并不意味着时空是平坦的，而是说它满足真空场方程。例如，黑洞 (Black Hole) 周围的时空就是弯曲的，即使黑洞外部没有物质分布。

广义相对论中的弯曲时空是黎曼几何的一个具体应用，而黎曼几何正是非欧几何思想的集大成者。欧几里得几何可以看作是黎曼几何在曲率为零的特殊情况。双曲几何和椭圆几何则是具有常负曲率和常正曲率的黎曼流形 (Riemannian Manifolds) 的简单例子。广义相对论表明，我们宇宙的时空在引力作用下通常是弯曲的，因此其几何是非欧几里得的。

5.2 非欧几何与拓扑学 (Topology)

拓扑学是研究空间在连续变形下保持不变的性质的数学分支，它关注的是空间的“形状”或“连通性”，而不关心具体的度量或曲率。然而，非欧几何与拓扑学之间存在深刻的联系。

① 局部与整体几何 (Local vs. Global Geometry)：
非欧几何（特别是黎曼几何）描述的是空间的局部几何性质，即在空间中任意一点的邻域内的几何特征（如曲率）。拓扑学则关注空间的整体性质，如连通性、紧致性 (Compactness)、亏格 (Genus) 等。一个空间可以局部看起来像欧几里得空间、双曲空间或椭圆空间，但其整体拓扑结构可能非常不同。例如，一个环面 (Torus) 在局部是平坦的（欧几里得），但其整体拓扑是一个甜甜圈的形状。同样，我们可以构造具有不同拓扑结构的黎曼流形，它们在局部可能具有相同的常曲率（例如，具有常负曲率的不同双曲流形）。

② 流形 (Manifolds) 的概念：
非欧几何通常在流形上进行研究。一个 \(n\) 维流形是一个局部看起来像 \(n\) 维欧几里得空间的空间。黎曼流形是在流形上赋予一个黎曼度量，从而可以在其上定义长度、角度、面积、体积和曲率。非欧几何的模型（如双曲平面、球面）都是黎曼流形的例子。拓扑学为研究这些几何结构提供了基础的整体框架。

③ 几何化猜想 (Geometrization Conjecture)：
由瑟斯顿 (Thurston) 提出并由佩雷尔曼 (Perelman) 证明的几何化猜想是拓扑学和几何学结合的典范。它提出，任何一个紧致的三维流形都可以分解成一些具有特定几何结构的块，这些结构包括欧几里得几何、双曲几何以及其他一些非欧几何类型。这表明非欧几何是理解三维空间整体拓扑结构的基本工具。

④ 基本群 (Fundamental Group) 与覆盖空间 (Covering Spaces)：
空间的整体拓扑结构，特别是其基本群，与该空间上可能存在的几何结构密切相关。例如，双曲流形的基本群具有非常丰富的结构，反映了双曲空间的复杂性。通过研究空间的覆盖空间，我们可以更好地理解其几何和拓扑性质。例如，双曲平面是所有具有常负曲率的二维流形的通用覆盖空间 (Universal Covering Space)。

5.3 非欧几何与群论 (Group Theory)

群论是研究对称性 (Symmetry) 的数学分支。在几何学中，对称性通常由变换群 (Transformation Groups) 来描述，这些变换保持空间的几何结构不变。

① 等距变换群 (Isometry Groups)：
等距变换是保持距离不变的变换。在欧几里得几何中，等距变换包括平移、旋转和反射，它们构成了欧几里得群 (Euclidean Group)。在非欧几何中，我们也有相应的等距变换群。
⚝ 双曲几何的等距变换群：双曲平面的等距变换群比欧几里得群更复杂，它包括双曲旋转、双曲平移和反射。在庞加莱圆盘模型中，这些变换对应于保持圆盘边界不变的莫比乌斯变换 (Möbius Transformations)。双曲等距变换群是一个李群 (Lie Group)，其结构反映了双曲空间的对称性。
⚝ 椭圆几何的等距变换群：球面几何（作为椭圆几何的一个模型）的等距变换群是旋转群 \(SO(3)\)，它由三维空间中的旋转组成。射影平面模型的等距变换群与此密切相关。

② 克莱因纲领 (Klein's Erlangen Program)：
费利克斯·克莱因 (Felix Klein) 在其埃尔朗根纲领中提出，几何学可以被定义为在某个变换群作用下保持不变的性质的研究。
▮▮▮▮ⓐ 欧几里得几何是研究在欧几里得群作用下不变的性质。
▮▮▮▮ⓑ 双曲几何是研究在双曲等距变换群作用下不变的性质。
▮▮▮▮ⓒ 射影几何 (Projective Geometry) 是研究在射影变换群作用下不变的性质。
这个纲领将不同的几何学统一在一个群论的框架下，强调了变换群在定义和理解几何结构中的核心作用。非欧几何的出现极大地推动了这一思想的发展，因为它提供了欧几里得几何之外的丰富例子。

③ 离散群 (Discrete Groups) 与流形构造：
研究非欧几何空间的离散等距变换群对于理解这些空间的商空间 (Quotient Spaces) 至关重要。例如，通过将双曲平面除以其一个离散等距变换群（称为福克斯群 (Fuchsian Group)），我们可以构造出具有常负曲率的曲面，这些曲面具有复杂的拓扑结构。同样，通过球面除以一个有限旋转群，可以得到椭圆几何的某些模型。离散群在构造和分类非欧几何流形中扮演着关键角色。

5.4 高维非欧几何 (Higher-Dimensional Non-Euclidean Geometry)

非欧几何的概念可以自然地推广到任意维度。一个 \(n\) 维的常曲率空间只有三种类型：
① \(n\) 维欧几里得空间 (\(E^n\))：曲率为零。
② \(n\) 维双曲空间 (\(H^n\))：曲率为常负。
③ \(n\) 维球面 (\(S^n\))：曲率为常正。

这些高维空间可以通过推广二维和三维的构造来理解。
⚝ 高维双曲空间 \(H^n\) 可以被建模为 \(n+1\) 维闵可夫斯基空间中满足特定方程的点集，或者通过推广庞加莱模型和克莱因模型到高维。
⚝ 高维球面 \(S^n\) 可以被建模为 \(n+1\) 维欧几里得空间中到原点距离为常数的点集。

研究高维非欧几何不仅是纯粹数学的兴趣所在，它在理论物理学中也扮演着重要角色。例如，在某些弦理论 (String Theory) 和宇宙学模型中，时空可能具有超过四维的结构，而这些高维空间可能具有非欧几里得几何。

高维非欧几何的研究涉及更复杂的黎曼几何、代数拓扑 (Algebraic Topology) 和群论工具。例如，高维双曲空间的等距变换群是李群 \(SO(n, 1)\)，而高维球面的等距变换群是 \(SO(n+1)\)。这些群的性质与相应空间的几何和拓扑性质紧密相连。

5.5 非欧几何在其他领域的应用 (Applications in Other Fields)

除了物理学，非欧几何的思想和工具在许多其他领域也找到了应用。

① 计算机图形学 (Computer Graphics) 和可视化 (Visualization)：
双曲几何模型，特别是庞加莱圆盘模型，被用于可视化具有复杂层次结构的数据，如大型网站结构、文件系统或生物分类树。在双曲空间中，随着远离中心，空间会迅速扩张，这使得在有限的区域内可以“容纳”无限多的信息，同时保持局部结构的清晰度。这种“双曲树”可视化方法在处理大数据时非常有用。

② 机器人学 (Robotics) 和控制理论 (Control Theory)：
某些机器人运动规划问题可以在非欧几何空间中建模和解决。例如，描述机器人姿态的空间可能具有非欧几里得结构，对其进行路径规划需要使用黎曼几何或相关的几何方法。

③ 数据分析 (Data Analysis) 和机器学习 (Machine Learning)：
在处理某些类型的数据时，欧几里得距离可能不是衡量数据点之间相似性的最佳方式。研究表明，在某些情况下，数据可能自然地分布在具有非欧几里得几何的流形上。例如，在自然语言处理中，词嵌入 (Word Embeddings) 有时在双曲空间中表现更好，因为双曲几何能够更有效地表示具有层次结构的数据。

④ 宇宙学 (Cosmology)：
除了广义相对论对时空弯曲的描述，宇宙的整体形状（空间部分的几何）也是宇宙学研究的一个重要问题。根据宇宙的物质和能量密度，宇宙的空间部分可能具有零曲率（平坦的，欧几里得）、负曲率（开放的，双曲）或正曲率（封闭的，椭圆）。当前的宇宙学观测（如宇宙微波背景辐射 (Cosmic Microwave Background Radiation)）强烈支持宇宙空间部分是极其接近平坦的，但非欧几何的可能性仍然是理论研究的一部分。

⑤ 艺术和设计 (Art and Design)：
非欧几何的视觉模型，特别是庞加莱圆盘模型中的分形图案 (Fractal Patterns)，激发了许多艺术家和设计师的灵感。埃舍尔 (M.C. Escher) 的作品《圆极限》(Circle Limit) 系列就是直接基于庞加莱圆盘模型的双曲镶嵌 (Hyperbolic Tiling)。

非欧几何从一个纯粹的数学抽象，发展成为一个具有广泛应用的基础理论。它不仅改变了我们对空间和几何的理解，也为探索宇宙的奥秘和解决实际问题提供了强大的工具。

6. chapter 6： 附录与参考文献 (Appendix and References)

本章作为本书的附录部分，旨在为读者提供进一步学习和查阅的便利。我们将梳理书中出现的重要术语，精选一些关键定理进行简要阐述或证明选讲，回顾非欧几何发展史上的重要人物及其贡献，并提供一份推荐阅读与参考文献列表，帮助读者拓展视野，深入研究。

6.1 术语表 (Glossary)

本节列出了本书中出现的一些关键术语及其简要解释，旨在帮助读者回顾和理解核心概念。

⚝ 公设 (Postulate)：在欧几里得几何中，被视为不证自明的基本命题。
⚝ 定理 (Theorem)：通过逻辑推理从公设、定义或其他已证明的定理中推导出的命题。
⚝ 欧几里得几何 (Euclidean Geometry)：基于欧几里得五条公设（特别是第五条平行公设）构建的几何体系，描述了我们日常经验中的平面和空间性质。
⚝ 平行公设 (Parallel Postulate)：欧几里得的第五条公设，有多种等价表述，例如：“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。”
⚝ 非欧几何 (Non-Euclidean Geometry)：不满足欧几里得平行公设的几何体系。主要包括双曲几何和椭圆几何。
⚝ 双曲几何 (Hyperbolic Geometry)：一种非欧几何，其中过直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行。常被描述为具有负常曲率的空间的几何。
⚝ 椭圆几何 (Elliptic Geometry)：一种非欧几何，其中不存在平行线（任意两条直线都相交）。常被描述为具有正常曲率的空间的几何。
⚝ 直线 (Line)：在几何中，通常指没有宽度、没有厚度、向两边无限延伸的几何对象。在非欧几何模型中，“直线”可能对应于欧几里得空间中的曲线或圆弧。
⚝ 测地线 (Geodesic)：在弯曲空间中，连接两点之间最短路径的曲线。在欧几里得空间中，测地线就是直线；在球面上，测地线是大圆弧；在非欧几何模型中，测地线对应于模型中的“直线”。
⚝ 曲率 (Curvature)：衡量空间弯曲程度的量。欧几里得空间的曲率为零；双曲空间的曲率为负常数；椭圆空间的曲率为正常数。
⚝ 高斯曲率 (Gaussian Curvature)：衡量曲面上一点局部弯曲程度的量。
⚝ 黎曼几何 (Riemannian Geometry)：研究具有黎曼度量的光滑流形的几何学，为统一描述具有不同曲率的空间提供了框架。
⚝ 模型 (Model)：一种将抽象的几何公理体系具体化的方式。通过在某个已知的几何空间（如欧几里得空间）中构造对象和关系，使其满足非欧几何的公理。
⚝ 庞加莱圆盘模型 (Poincaré Disk Model)：双曲几何的一种模型，双曲平面是欧几里得单位圆盘的内部，双曲直线是与圆盘边界正交的圆弧或直径。
⚝ 庞加莱上半平面模型 (Poincaré Half-Plane Model)：双曲几何的另一种模型，双曲平面是欧几里得平面上半部分（\(y > 0\)），双曲直线是与x轴正交的圆弧或垂直于x轴的射线。
⚝ 克莱因模型 (Klein Model)：双曲几何的一种模型，双曲平面是欧几里得单位圆盘的内部，双曲直线是圆盘内的线段。
⚝ 双曲面模型 (Hyperboloid Model)：双曲几何的一种模型，双曲平面是闵可夫斯基空间中一个双叶双曲面的一个叶。
⚝ 球面几何 (Spherical Geometry)：研究球面上的几何，是椭圆几何的一个重要相关概念（特别是黎曼椭圆几何）。球面上的“直线”是大圆。
⚝ 射影平面模型 (Projective Plane Model)：椭圆几何的一种模型，将椭圆平面视为实射影平面。
⚝ 三角形内角和 (Triangle Angle Sum)：三角形三个内角的度数之和。在欧几里得几何中等于180度（或 \( \pi \) 弧度）；在双曲几何中小于180度；在椭圆几何中大于180度。
⚝ 亏格 (Defect)：双曲三角形的内角和与180度之差（\( \pi - \text{Angle Sum} \)>0）。双曲三角形的面积与其亏格成正比。
⚝ 盈格 (Excess)：椭圆三角形的内角和与180度之差（\( \text{Angle Sum} - \pi \)>0）。椭圆三角形的面积与其盈格成正比。
⚝ 等距变换 (Isometry)：保持距离不变的几何变换。在不同几何中，等距变换群的结构不同。
⚝ 变换群 (Transformation Group)：由等距变换组成的群，描述了几何空间的对称性。
⚝ 闵可夫斯基空间 (Minkowski Space)：狭义相对论中描述时空的四维空间，其度量是伪欧几里得的，与双曲几何有联系。
⚝ 弯曲时空 (Curved Spacetime)：广义相对论中描述引力效应的时空模型，其几何由物质和能量分布决定，是黎曼几何的应用。
⚝ 拓扑学 (Topology)：研究空间在连续变形下保持不变的性质的数学分支。非欧几何的模型与拓扑学概念（如流形）密切相关。
⚝ 群论 (Group Theory)：研究群的数学分支。几何空间的等距变换群是理解其结构的重要工具。

6.2 重要定理与证明选讲 (Selected Important Theorems and Proofs)

本节选取非欧几何中的几个重要定理，并提供简要的阐述或证明思路，以加深理解。

6.2.1 双曲三角形的内角和与面积 (Angle Sum and Area of a Hyperbolic Triangle)

定理 (Theorem)：在双曲几何中，任意三角形的内角和总是小于 \( \pi \) 弧度（或180度）。双曲三角形的面积 \( A \) 与其亏格 \( D = \pi - (\alpha + \beta + \gamma) \) 成正比，即 \( A = kD \)，其中 \( \alpha, \beta, \gamma \) 是三角形的内角，\( k \) 是一个依赖于双曲平面曲率的正常数。

证明选讲 (Sketch of Proof)：
① 考虑庞加莱圆盘模型。双曲直线是与边界正交的圆弧或直径。
② 考虑一个双曲三角形，其顶点位于圆盘内部。
③ 双曲三角形的内角是其边（作为圆弧或线段）在顶点处的切线之间的欧几里得角。
④ 可以证明，随着三角形“变大”（顶点靠近圆盘边界），其内角会趋近于零。
⑤ 考虑一个理想三角形 (Ideal Triangle)，其三个顶点都在圆盘边界上。这样的三角形的内角都是0。其亏格为 \( \pi - (0+0+0) = \pi \)。
⑥ 可以通过积分计算证明面积与亏格的比例关系。例如，在曲率为-1的双曲平面上，面积 \( A = D \)。
⑦ 这个定理深刻揭示了双曲几何与欧几里得几何的区别：在欧氏几何中，内角和固定为 \( \pi \)，面积与形状大小有关；在双曲几何中，内角和随三角形大小变化，且面积完全由内角和决定。

6.2.2 椭圆三角形的内角和与面积 (Angle Sum and Area of an Elliptic Triangle)

定理 (Theorem)：在椭圆几何中，任意三角形的内角和总是大于 \( \pi \) 弧度（或180度）。椭圆三角形的面积 \( A \) 与其盈格 \( E = (\alpha + \beta + \gamma) - \pi \) 成正比，即 \( A = kE \)，其中 \( \alpha, \beta, \gamma \) 是三角形的内角，\( k \) 是一个依赖于椭圆平面曲率的正常数。

证明选讲 (Sketch of Proof)：
① 考虑球面几何作为黎曼椭圆几何的一个例子。球面上的“直线”是大圆。
② 考虑一个球面三角形，其边是大圆弧。
③ 球面三角形的内角是其边所在大圆在顶点处的切线之间的欧几里得角。
④ 考虑一个由球面上两点和北极点组成的三角形。如果两点在赤道上，且经度差为 \( \Delta \lambda \)，则在北极点的内角为 \( \Delta \lambda \)。在赤道上的两个角都是 \( \pi/2 \)。内角和为 \( \Delta \lambda + \pi \)。这显然大于 \( \pi \)。
⑤ 考虑一个由三个互相正交的大圆（例如赤道和两条相差90度的经线）围成的三角形。其三个内角都是 \( \pi/2 \)，内角和为 \( 3\pi/2 \)。这个三角形覆盖了球面的八分之一。
⑥ 可以证明，在半径为 \( R \) 的球面上，面积 \( A = R^2 E \)。这里的 \( k = R^2 \)，与曲率 \( 1/R^2 \) 相关。
⑦ 这个定理表明，在椭圆几何中，三角形越大，其内角和越大。

6.2.3 庞加莱圆盘模型中的距离公式 (Distance Formula in the Poincaré Disk Model)

定理 (Theorem)：在庞加莱圆盘模型中，单位圆盘 \( D = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\} \) 内两点 \( z_1, z_2 \) 之间的双曲距离 \( d(z_1, z_2) \) 由下式给出：
\[ d(z_1, z_2) = \text{arccosh}\left(1 + \frac{2|z_1 - z_2|^2}{(1 - |z_1|^2)(1 - |z_2|^2)}\right) \]
或者等价地：
\[ d(z_1, z_2) = 2 \text{arctanh}\left(\left|\frac{z_1 - z_2}{1 - \bar{z_1} z_2}\right|\right) \]
其中 \( \text{arccosh} \) 是双曲余弦的反函数，\( \text{arctanh} \) 是双曲正切的反函数。

证明选讲 (Sketch of Proof)：
① 庞加莱圆盘模型是具有常负高斯曲率的黎曼流形。其度量（线元）为 \( ds^2 = \frac{4(dx^2 + dy^2)}{(1 - (x^2 + y^2))^2} = \frac{4|dz|^2}{(1 - |z|^2)^2} \)。
② 两点之间的距离是连接这两点的测地线的长度。测地线是度量下的最短路径。
③ 可以通过积分计算沿测地线的线元来找到距离。
④ 利用莫比乌斯变换 (Möbius Transformation) 的性质可以简化计算。庞加莱圆盘模型的等距变换群是保持单位圆盘不变的莫比乌斯变换群。
⑤ 任意两点 \( z_1, z_2 \) 都可以通过一个等距变换移动到特殊位置，例如将 \( z_1 \) 移动到圆盘中心 \( 0 \)，将 \( z_2 \) 移动到实轴上的点 \( r \)。等距变换保持距离不变。
⑥ 将 \( z_1 = 0 \) 和 \( z_2 = r \) 代入距离公式，得到 \( d(0, r) = \text{arccosh}\left(1 + \frac{2r^2}{1 - r^2}\right) = \text{arccosh}\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right) \)。
⑦ 沿实轴从 \( 0 \) 到 \( r \) 的测地线就是实轴上的线段。其长度为 \( \int_0^r \frac{2dx}{1 - x^2} = [ \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| ]_0^r = \ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) \)。
⑧ 利用双曲函数的关系 \( \text{arccosh}(u) = \ln(u + \sqrt{u^2 - 1}) \) 和 \( \frac{1+r^2}{1-r^2} + \sqrt{(\frac{1+r^2}{1-r^2})^2 - 1} = \frac{1+r^2}{1-r^2} + \sqrt{\frac{4r^2}{(1-r^2)^2}} = \frac{1+r^2 + 2r}{1-r^2} = \frac{(1+r)^2}{(1-r)(1+r)} = \frac{1+r}{1-r} \) (assuming \( 0 \le r < 1 \)), 可以验证 \( \text{arccosh}\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right) = \ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) \)。
⑨ 这验证了公式在特殊情况下的正确性。通过等距变换的性质，可以推广到任意两点。

6.3 历史人物小传 (Short Biographies of Historical Figures)

非欧几何的诞生和发展是许多杰出数学家和思想家共同努力的结果。本节简要介绍其中一些关键人物。

⚝ 欧几里得 (Euclid) (约公元前325年 - 约公元前265年)：
▮▮▮▮⚝ 古希腊数学家，被誉为“几何学之父”。
▮▮▮▮⚝ 他的巨著《几何原本》(Elements) 系统地整理了几何学知识，并首次采用了公理化方法，对后世数学发展产生了深远影响。
▮▮▮▮⚝ 《几何原本》中的五条公设，特别是第五条平行公设，引发了长达两千多年的探讨，最终促成了非欧几何的诞生。

⚝ 乔瓦尼·吉罗拉莫·萨凯里 (Giovanni Girolamo Saccheri) (1667 - 1733)：
▮▮▮▮⚝ 意大利耶稣会神父和数学家。
▮▮▮▮⚝ 他试图通过反证法证明平行公设，即假设平行公设不成立，然后推导出矛盾。
▮▮▮▮⚝ 他研究了“萨凯里四边形”(Saccheri Quadrilateral)，即底边与腰垂直的等腰四边形，并考察了顶角的三种可能性（直角、钝角、锐角），分别对应于欧几里得几何、椭圆几何和双曲几何。
▮▮▮▮⚝ 尽管他未能找到矛盾，但他推导出了许多非欧几何的定理，为后来的发展奠定了基础。

⚝ 约翰·海因里希·兰伯特 (Johann Heinrich Lambert) (1728 - 1777)：
▮▮▮▮⚝ 德国数学家、物理学家和天文学家。
▮▮▮▮⚝ 他也尝试证明平行公设，研究了“兰伯特四边形”(Lambert Quadrilateral)，即有三个直角的四边形。
▮▮▮▮⚝ 他注意到，在平行公设不成立的情况下，三角形的内角和与面积之间存在关系，并猜测锐角情况（双曲几何）可能对应于一个虚半径的球面。

⚝ 卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) (1777 - 1855)：
▮▮▮▮⚝ 德国数学家、物理学家、天文学家和测量学家，被誉为“数学王子”。
▮▮▮▮⚝ 他独立地发现了双曲几何的可能性，并称之为“反欧几里得几何”。
▮▮▮▮⚝ 他对双曲几何进行了深入研究，但由于担心引起争议，并未公开发表他的成果。
▮▮▮▮⚝ 他在微分几何中的工作，特别是高斯曲率的概念，为理解不同几何空间的内在性质提供了强大的工具。

⚝ 亚诺什·玻尔约 (János Bolyai) (1802 - 1860)：
▮▮▮▮⚝ 匈牙利数学家。
▮▮▮▮⚝ 他独立地发现了双曲几何，并将其成果发表在他父亲（数学家法卡斯·玻尔约）的一本著作的附录中，题为《关于完全不依赖于平行公设的空间科学》。
▮▮▮▮⚝ 他的工作是双曲几何最早公开发表的系统性论述之一。

⚝ 尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基 (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) (1792 - 1856)：
▮▮▮▮⚝ 俄国数学家。
▮▮▮▮⚝ 他也独立地发现了双曲几何，并称之为“虚几何”(Imaginary Geometry)。
▮▮▮▮⚝ 他是第一个公开发表关于双曲几何著作的数学家，比玻尔约稍早。
▮▮▮▮⚝ 他的工作最初并未得到广泛认可，但最终与玻尔约和高斯的工作一起，确立了双曲几何作为一种合法的几何体系的地位。

⚝ 伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) (1826 - 1866)：
▮▮▮▮⚝ 德国数学家。
▮▮▮▮⚝ 他在1854年的就职演说《论作为几何基础的假设》中，提出了黎曼几何的概念，将几何学的研究从具体的空间推广到抽象的流形。
▮▮▮▮⚝ 黎曼几何提供了一个统一的框架来描述具有不同曲率的空间，包括欧几里得空间（零曲率）、双曲空间（负常曲率）和椭圆空间（正常曲率）。
▮▮▮▮⚝ 他的工作为广义相对论描述弯曲时空提供了数学工具。

⚝ 亨利·庞加莱 (Henri Poincaré) (1854 - 1912)：
▮▮▮▮⚝ 法国数学家、物理学家和哲学家。
▮▮▮▮⚝ 他在非欧几何的研究中做出了重要贡献，特别是构造了庞加莱圆盘模型和庞加莱上半平面模型，这些模型在欧几里得空间中具体地展示了双曲几何，证明了双曲几何的相容性。

⚝ 费利克斯·克莱因 (Felix Klein) (1849 - 1925)：
▮▮▮▮⚝ 德国数学家。
▮▮▮▮⚝ 他提出了“埃尔朗根纲领”(Erlangen Program)，建议将几何学视为在特定变换群下不变的性质的研究。
▮▮▮▮⚝ 他构造了克莱因模型（射影模型）来表示双曲几何，并认识到欧几里得几何、双曲几何和椭圆几何可以统一在射影几何的框架下，通过选择不同的绝对圆锥曲线来区分。

⚝ 赫尔曼·闵可夫斯基 (Hermann Minkowski) (1864 - 1909)：
▮▮▮▮⚝ 德国数学家。
▮▮▮▮⚝ 他将狭义相对论中的时空描述为一个四维的伪欧几里得空间，即闵可夫斯基空间。这个空间具有一个不定号的度量，其几何与双曲几何有密切联系。

⚝ 阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein) (1879 - 1955)：
▮▮▮▮⚝ 德裔美国物理学家。
▮▮▮▮⚝ 他的广义相对论将引力解释为时空的弯曲。他利用黎曼几何作为数学工具来描述弯曲时空，将非欧几何的应用推向了物理学的最前沿。

6.4 推荐阅读与参考文献 (Recommended Reading and References)

本节提供一份推荐阅读列表，包括一些经典的和现代的关于非欧几何、几何学史以及相关领域的书籍和文章，供读者进一步学习和研究。

⚝ 经典著作与历史文献 (Classic Works and Historical Documents)：
▮▮▮▮⚝ 欧几里得 (Euclid). 《几何原本》(Elements). (有多种中译本和英译本).
▮▮▮▮⚝ 玻尔约 (János Bolyai). 《关于完全不依赖于平行公设的空间科学》(The Science of Absolute Space). (通常作为其父著作的附录出版，有英译本).
▮▮▮▮⚝ 罗巴切夫斯基 (Nikolai Lobachevsky). 《虚几何》(Geometriya). (有英译本).
▮▮▮▮⚝ 黎曼 (Bernhard Riemann). 《论作为几何基础的假设》(On the Hypotheses which Lie at the Bases of Geometry). (有英译本).

⚝ 非欧几何入门与概览 (Introductions and Overviews of Non-Euclidean Geometry)：
▮▮▮▮⚝ 《非欧几何史》(History of Non-Euclidean Geometry) by 莫里斯·克莱因 (Morris Kline). (数学史经典著作，其中有关于非欧几何发展的详细章节).
▮▮▮▮⚝ 《非欧几何》(Non-Euclidean Geometry) by 罗伯托·博纳奥拉 (Roberto Bonola). (较早但经典的非欧几何历史和理论介绍).
▮▮▮▮⚝ 《非欧几何》(Non-Euclidean Geometry) by H.S.M. Coxeter. (几何学大师的著作，内容严谨且清晰).
▮▮▮▮⚝ 《非欧几何初步》(Introduction to Non-Euclidean Geometry) by Marvin J. Greenberg. (流行的教材，从不同角度介绍非欧几何).

⚝ 更深入的几何学著作 (More Advanced Geometry Texts)：
▮▮▮▮⚝ 《微分几何入门与流形》(Introduction to Differential Geometry and Manifolds) by 迈克尔·斯皮瓦克 (Michael Spivak). (多卷本巨著，对黎曼几何有深入探讨).
▮▮▮▮⚝ 《黎曼几何》(Riemannian Geometry) by Manfredo P. do Carmo. (标准的黎曼几何教材).
▮▮▮▮⚝ 《几何学》(Geometry) by David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray. (涵盖欧氏、非欧、射影等多种几何).

⚝ 相关领域著作 (Related Fields)：
▮▮▮▮⚝ 《时空几何》(Space-time Geometry) by Sean Carroll. (关于狭义和广义相对论的物理学著作，涉及闵可夫斯基空间和弯曲时空).
▮▮▮▮⚝ 《拓扑学》(Topology) by James Munkres. (经典的拓扑学教材).

⚝ 在线资源 (Online Resources)：
▮▮▮▮⚝ MathWorld (Wolfram Research). (提供大量数学术语和概念的定义和解释).
▮▮▮▮⚝ Wikipedia. (提供非欧几何及其相关主题的概览信息).
▮▮▮▮⚝ 各大学的数学系网站通常会提供课程讲义或推荐书目。

希望本附录能为您的非欧几何学习之旅提供有益的帮助！📚✨