006 《宇宙大尺度结构：从起源到演化 (Large-Scale Structure of the Universe: From Origin to Evolution)》

🌟🌟🌟本文案由Gemini 2.0 Flash Thinking Experimental 01-21创作，用来辅助学习知识。🌟🌟🌟

书籍大纲

▮▮▮▮ 1. chapter 1：导论 (Introduction)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 宇宙学研究的尺度 (Scales in Cosmology)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 大尺度结构的定义与重要性 (Definition and Significance of Large-Scale Structure)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.3 宇宙学标准模型 ΛCDM (ΛCDM Standard Cosmological Model)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.4 本书的结构与内容概要 (Structure and Content Overview of this Book)
▮▮▮▮ 2. chapter 2：宇宙学基础 (Cosmological Foundations)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 广义相对论基础 (Basics of General Relativity)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.1.1 弯曲时空 (Curved Spacetime)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.1.2 爱因斯坦场方程 (Einstein Field Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 宇宙学原理 (Cosmological Principle)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.2.1 均匀性 (Homogeneity)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.2.2 各向同性 (Isotropy)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 FLRW 度规 (FLRW Metric)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 膨胀宇宙 (Expanding Universe)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.2 红移 (Redshift)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.4 宇宙的演化方程 (Evolution Equations of the Universe)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.1 弗里德曼方程 (Friedmann Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.2 流体方程 (Fluid Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.3 加速度方程 (Acceleration Equation)
▮▮▮▮ 3. chapter 3：宇宙早期宇宙与暴胀 (Early Universe and Inflation)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.1 热大爆炸理论 (Hot Big Bang Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.2 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.2.1 CMB 的发现与性质 (Discovery and Properties of CMB)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.2.2 CMB 各向异性 (CMB Anisotropies)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.3 宇宙暴胀理论 (Cosmic Inflation Theory)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 暴胀的动机与机制 (Motivations and Mechanisms of Inflation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 暴胀模型 (Inflationary Models)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.4 早期宇宙的粒子物理 (Particle Physics of the Early Universe)
▮▮▮▮ 4. chapter 4：引力不稳定性和结构形成 (Gravitational Instability and Structure Formation)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.1 密度扰动 (Density Perturbations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.1.1 扰动的起源 (Origin of Perturbations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.1.2 扰动的类型 (Types of Perturbations)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.2 线性增长理论 (Linear Growth Theory)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 牛顿近似 (Newtonian Approximation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 Jeans 不稳定性 (Jeans Instability)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.3 物质主导宇宙中的增长 (Growth in Matter-Dominated Universe)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.4 辐射主导宇宙中的增长 (Growth in Radiation-Dominated Universe)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.3 非线性结构形成 (Non-linear Structure Formation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.3.1 球状塌缩模型 (Spherical Collapse Model)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.3.2 Zeldovich 近似 (Zeldovich Approximation)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.4 数值模拟 (Numerical Simulations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.4.1 N-体模拟 (N-body Simulations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.4.2 流体动力学模拟 (Hydrodynamic Simulations)
▮▮▮▮ 5. chapter 5：暗物质与暗能量 (Dark Matter and Dark Energy)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.1 暗物质的证据 (Evidence for Dark Matter)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.1 星系旋转曲线 (Galaxy Rotation Curves)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.2 星系团中的热气体 (Hot Gas in Galaxy Clusters)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.3 引力透镜 (Gravitational Lensing)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.4 CMB 和大尺度结构 (CMB and Large-Scale Structure)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.2 暗物质的候选者 (Dark Matter Candidates)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.2.1 WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.2.2 轴子 (Axions)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.2.3 无菌中微子 (Sterile Neutrinos)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.3 暗能量的证据 (Evidence for Dark Energy)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.3.1 超新星 Ia 型 (Type Ia Supernovae)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.3.2 CMB 和重子声波振荡 BAO (CMB and Baryon Acoustic Oscillations)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.4 暗能量的模型 (Dark Energy Models)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.4.1 宇宙学常数 (Cosmological Constant)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.4.2 标量场模型 (Scalar Field Models)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.4.3 修改引力理论 (Modified Gravity Theories)
▮▮▮▮ 6. chapter 6：星系与星系团 (Galaxies and Galaxy Clusters)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.1 星系的形成与演化 (Formation and Evolution of Galaxies)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.1.1 星系分类 (Galaxy Classification)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.1.2 星系形成模型 (Galaxy Formation Models)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.1.3 星系演化过程 (Galaxy Evolution Processes)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.2 星系团的性质 (Properties of Galaxy Clusters)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.2.1 星系团的观测特征 (Observational Characteristics of Galaxy Clusters)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.2.2 星系团的动力学 (Dynamics of Galaxy Clusters)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.3 星系团作为宇宙学探针 (Galaxy Clusters as Cosmological Probes)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.3.1 利用星系团计数进行宇宙学研究 (Cosmology with Galaxy Cluster Counts)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.3.2 Sunyaev-Zel'dovich 效应 (Sunyaev-Zel'dovich Effect)
▮▮▮▮ 7. chapter 7：宇宙纤维状结构与空洞 (Cosmic Web, Filaments and Voids)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.1 宇宙纤维状结构的观测证据 (Observational Evidence for Cosmic Web)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.2 纤维状结构的形成机制 (Formation Mechanisms of Filaments)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.3 空洞的性质与演化 (Properties and Evolution of Voids)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.4 宇宙纤维状结构与星系演化 (Cosmic Web and Galaxy Evolution)
▮▮▮▮ 8. chapter 8：观测宇宙学与星系巡天 (Observational Cosmology and Galaxy Surveys)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.1 星系巡天的类型 (Types of Galaxy Surveys)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.1.1 光学巡天 (Optical Surveys)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.1.2 红移巡天 (Redshift Surveys)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.1.3 射电巡天 (Radio Surveys)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.2 重要的星系巡天项目 (Important Galaxy Survey Projects)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.2.1 SDSS (Sloan Digital Sky Survey)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.2.2 DES (Dark Energy Survey)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.2.3 DESI (Dark Energy Spectroscopic Instrument)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.2.4 Euclid
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.2.5 LSST/Rubin Observatory (Legacy Survey of Space and Time)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.3 大尺度结构的数据分析 (Data Analysis of Large-Scale Structure)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.3.1 两点关联函数 (Two-Point Correlation Function)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.3.2 功率谱 (Power Spectrum)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.3.3 重子声波振荡 BAO 的测量 (Measurement of Baryon Acoustic Oscillations)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.4 弱引力透镜巡天 (Weak Gravitational Lensing Surveys)
▮▮▮▮ 9. chapter 9：宇宙学参数的精确测量 (Precision Measurement of Cosmological Parameters)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.1 宇宙学参数概述 (Overview of Cosmological Parameters)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.1 哈勃常数 H₀ (Hubble Constant H₀)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.2 物质密度参数 Ωm (Matter Density Parameter Ωm)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.3 暗能量密度参数 ΩΛ (Dark Energy Density Parameter ΩΛ)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.4 重子密度参数 Ωb (Baryon Density Parameter Ωb)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.5 宇宙曲率参数 Ωk (Curvature Density Parameter Ωk)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.6 标量谱指数 ns (Scalar Spectral Index ns)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.2 利用 CMB 测量宇宙学参数 (Cosmological Parameter Measurement from CMB)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.3 利用大尺度结构测量宇宙学参数 (Cosmological Parameter Measurement from Large-Scale Structure)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.4 宇宙学参数的联合约束 (Joint Constraints on Cosmological Parameters)
▮▮▮▮ 10. chapter 10：大尺度结构的未来研究方向 (Future Research Directions in Large-Scale Structure)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.1 新一代星系巡天计划 (Next-Generation Galaxy Survey Projects)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.2 21cm 宇宙学 (21cm Cosmology)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.3 修改引力理论的检验 (Testing Modified Gravity Theories)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.4 大尺度结构与基本物理学 (Large-Scale Structure and Fundamental Physics)

1. chapter 1：导论 (Introduction)

1.1 宇宙学研究的尺度 (Scales in Cosmology)

宇宙学 (Cosmology) 是一门研究宇宙起源、演化、结构和未来的学科。它的研究对象涵盖了从极小到极大的各种尺度，理解这些尺度对于我们认识宇宙至关重要。为了更好地理解宇宙大尺度结构 (Large-Scale Structure of the Universe)，我们首先需要对宇宙学研究中涉及的尺度有一个清晰的认识。

从我们日常生活的尺度开始，逐渐扩展到宇宙的宏大尺度，可以帮助我们建立起对宇宙空间层级的概念：

① 行星尺度 (Planetary Scale)：这是我们最熟悉的尺度，例如地球、火星、木星等行星的大小。行星的典型尺度约为数千到数万公里 (kilometers)。在宇宙学的视角下，行星是构成恒星系统 (stellar system) 的基本单元之一。

② 恒星尺度 (Stellar Scale)：恒星，如太阳，是发光发热的巨大天体。恒星的尺度远大于行星，太阳的半径约为七十万公里。恒星通常聚集成星系 (galaxy)。

③ 星系尺度 (Galactic Scale)：星系是由数千亿颗恒星、气体、尘埃以及暗物质 (dark matter) 组成的庞大系统。我们所在的银河系 (Milky Way Galaxy) 就是一个典型的螺旋星系 (spiral galaxy)，其直径约为十万光年 (light-years)。星系是宇宙中物质分布的基本单元，它们并非均匀分布，而是倾向于聚集在一起。

④ 星系群和星系团尺度 (Galaxy Group and Galaxy Cluster Scale)：星系并不是孤立存在的，它们会受到引力 (gravity) 的作用而聚集形成星系群 (galaxy group) 和星系团 (galaxy cluster)。星系群包含数十个星系，而星系团则包含数百甚至数千个星系。室女座星系团 (Virgo Cluster) 是一个著名的星系团，距离我们约五千四百万光年。星系团的尺度可以达到数百万光年。

⑤ 超星系团和纤维状结构尺度 (Supercluster and Filament Scale)：星系团进一步聚集形成超星系团 (supercluster)，超星系团是宇宙中已知最大的结构之一。超星系团并非球状对称，而是呈现出纤维状 (filament) 或薄片状 (sheet) 的结构，星系团就像是镶嵌在这些纤维状结构上的节点。拉尼亚凯亚超星系团 (Laniakea Supercluster) 就包含了银河系所在的室女座超星系团。超星系团的尺度可以达到数亿光年。

⑥ 宇宙大尺度结构 (Large-Scale Structure)：当我们把视野扩展到更大的尺度，例如数亿到数十亿光年时，宇宙呈现出由星系、星系团、超星系团、纤维状结构和空洞 (void) 构成的网络状结构，这就是宇宙大尺度结构。在这个尺度上，宇宙的结构不再是均匀的，而是呈现出明显的层级性和复杂性。

⑦ 可观测宇宙尺度 (Observable Universe Scale)：可观测宇宙是我们能够观测到的最大范围，其半径约为 465 亿光年。这并非宇宙的全部，而是光速限制了我们能够观测到的范围。在可观测宇宙的尺度上，宇宙在大尺度上是均匀和各向同性的 (homogeneous and isotropic)，这被称为宇宙学原理 (Cosmological Principle)。

理解宇宙学研究的尺度，有助于我们认识到宇宙结构的层级性，从行星到可观测宇宙，每一层尺度都有其独特的物理规律和研究方法。而宇宙大尺度结构，正是连接星系尺度和可观测宇宙尺度的关键桥梁，研究它对于理解宇宙的起源、演化和未来具有重要意义。

1.2 大尺度结构的定义与重要性 (Definition and Significance of Large-Scale Structure)

宇宙大尺度结构 (Large-Scale Structure, LSS) 是指在宇宙学尺度上，物质 (主要是星系和星系团) 非均匀分布的模式。这种非均匀性表现在星系在空间中形成复杂的网络状结构，其中包括：

⚝ 星系墙 (Walls or Sheets)：巨大的、扁平状的星系密集区域，是宇宙中最大的结构之一，例如著名的史隆长城 (Sloan Great Wall)。
⚝ 纤维状结构 (Filaments)：细长的、线状的星系分布结构，星系和星系团沿着这些纤维延伸，如同宇宙的骨架。
⚝ 节点 (Nodes)：纤维状结构的交汇处，通常是星系团或超星系团所在的位置，是物质密度最高的区域。
⚝ 空洞 (Voids)：宇宙中星系稀疏的巨大区域，几乎是空旷的空间，占据了宇宙体积的绝大部分。

这种由星系墙、纤维状结构、节点和空洞交织而成的网络，被形象地称为宇宙网 (Cosmic Web)。宇宙网并非静态不变的，它随着宇宙的膨胀 (expansion) 而不断演化。

大尺度结构的重要性 体现在以下几个方面：

① 宇宙演化的关键证据：大尺度结构的形成和演化是宇宙演化历史的重要组成部分。我们今天观测到的宇宙大尺度结构，是早期宇宙微小的密度扰动 (density perturbation) 在引力作用下经过漫长的时间演化而来的。研究大尺度结构，可以帮助我们追溯宇宙的起源，理解宇宙是如何从均匀状态演化成今天这种复杂结构的。

② 检验宇宙学模型的有效工具：宇宙学标准模型 ΛCDM 模型 (ΛCDM Standard Cosmological Model) 预言了宇宙大尺度结构的形成和性质。通过观测和分析大尺度结构，例如星系巡天 (galaxy survey) 测量星系的空间分布，我们可以检验 ΛCDM 模型的正确性，并精确测量宇宙学参数 (cosmological parameters)，如暗物质密度、暗能量密度等。任何与 ΛCDM 模型预言不符的观测结果，都可能暗示着新的物理学 (new physics) 的存在。

③ 理解星系形成与演化的环境：星系并非孤立演化，它们受到周围环境的深刻影响。大尺度结构决定了星系所处的环境，例如，位于星系团中的星系和位于空洞中的星系，其演化路径会非常不同。研究大尺度结构与星系性质之间的关系，可以帮助我们更全面地理解星系的形成和演化过程。

④ 探索暗物质和暗能量的性质：暗物质和暗能量是宇宙的主要成分，但我们对其本质知之甚少。大尺度结构的形成和演化受到暗物质和暗能量的深刻影响。例如，暗物质的引力作用驱动了结构的形成，而暗能量则加速了宇宙的膨胀，抑制了结构的进一步增长。通过研究大尺度结构，我们可以更深入地了解暗物质和暗能量的性质，例如暗物质的粒子属性、暗能量的状态方程 (equation of state) 等。

⑤ 宇宙学研究的前沿领域：随着观测技术的进步，特别是新一代星系巡天项目 (next-generation galaxy survey projects) 的开展，我们能够以前所未有的精度观测宇宙大尺度结构。这为宇宙学研究带来了新的机遇和挑战。大尺度结构已经成为宇宙学研究最活跃、最前沿的领域之一，吸引了众多天文学家和物理学家的关注。

总之，宇宙大尺度结构是宇宙学研究的核心内容之一。理解大尺度结构的定义和重要性，是深入学习宇宙学，特别是宇宙结构形成和演化理论的基础。

1.3 宇宙学标准模型 ΛCDM (ΛCDM Standard Cosmological Model)

宇宙学标准模型，通常被称为 ΛCDM 模型 (Lambda-CDM model)，是当前描述宇宙学现象最成功的理论框架。ΛCDM 代表 Λ-冷暗物质 (Lambda-Cold Dark Matter)，其中 Λ (Lambda) 代表宇宙学常数 (cosmological constant)，被认为是暗能量 (dark energy) 的最简单形式，而 CDM (Cold Dark Matter) 代表冷暗物质。

ΛCDM 模型基于以下几个核心假设和成分：

① 广义相对论 (General Relativity)：ΛCDM 模型将广义相对论作为描述引力相互作用的基本理论框架。爱因斯坦场方程 (Einstein field equations) 描述了时空 (spacetime) 的弯曲与物质能量分布之间的关系，是理解宇宙膨胀和结构形成的基础。

② 宇宙学原理 (Cosmological Principle)：ΛCDM 模型假设在足够大的尺度上，宇宙是均匀 (homogeneous) 和各向同性 (isotropic) 的。这意味着宇宙在任何地点和任何方向上看起来都是相同的。宇宙学原理简化了宇宙模型的构建，使得我们可以用弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克 (Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, FLRW) 度规来描述宇宙的几何性质。

③ 宇宙膨胀 (Cosmic Expansion)：观测表明宇宙正在膨胀，星系之间的距离随着时间推移而增大。ΛCDM 模型解释了宇宙膨胀现象，并认为宇宙膨胀起源于早期宇宙的一次快速膨胀，即暴胀 (inflation)。

④ 冷暗物质 (Cold Dark Matter, CDM)：ΛCDM 模型认为宇宙中存在一种不发光、不与电磁波相互作用的物质，即暗物质。暗物质占据了宇宙物质总量的绝大部分，其主要成分是冷暗物质，即速度相对论性效应可以忽略的暗物质粒子。冷暗物质在宇宙结构形成中起着至关重要的作用，它通过引力作用驱动了宇宙结构的形成。

⑤ 宇宙学常数 (Cosmological Constant, Λ)：为了解释宇宙加速膨胀 (accelerated expansion) 的现象，ΛCDM 模型引入了宇宙学常数，作为暗能量的最简单形式。宇宙学常数代表真空能量密度 (vacuum energy density)，它在宇宙中均匀分布，并产生负压强，导致宇宙加速膨胀。

⑥ 暴胀 (Inflation)：ΛCDM 模型通常包含暴胀时期，发生在宇宙极早期的一个短暂的加速膨胀阶段。暴胀解释了宇宙的均匀性和各向同性，并为宇宙大尺度结构的形成提供了种子，即暴胀时期产生的量子涨落 (quantum fluctuation) 被放大成为密度扰动。

ΛCDM 模型的成功之处：

⚝ 解释宇宙微波背景辐射 (Cosmic Microwave Background Radiation, CMB)：ΛCDM 模型成功预言并解释了 CMB 的观测特征，包括 CMB 的温度各向异性 (temperature anisotropies) 和偏振 (polarization)。CMB 观测为 ΛCDM 模型提供了强有力的支持，并精确约束了宇宙学参数。
⚝ 解释宇宙大尺度结构：ΛCDM 模型能够解释宇宙大尺度结构的形成和演化，包括星系、星系团、纤维状结构和空洞的形成。数值模拟 (numerical simulations) 表明，在 ΛCDM 模型框架下，宇宙结构可以从早期宇宙的微小扰动演化成今天观测到的复杂网络。
⚝ 解释宇宙加速膨胀：ΛCDM 模型通过引入宇宙学常数，成功解释了超新星 Ia 型 (Type Ia Supernovae) 观测到的宇宙加速膨胀现象。
⚝ 与其他观测数据一致：ΛCDM 模型与多种宇宙学观测数据相符，包括重子声波振荡 (Baryon Acoustic Oscillations, BAO)、弱引力透镜 (weak gravitational lensing)、星系团计数 (galaxy cluster counts) 等。

尽管 ΛCDM 模型取得了巨大的成功，但它仍然存在一些未解决的问题和挑战，例如：

⚝ 宇宙学常数问题 (Cosmological Constant Problem)：理论预言的真空能量密度远大于观测到的宇宙学常数值，两者之间存在巨大的差异。
⚝ 暗物质的本质 (Nature of Dark Matter)：我们对暗物质的本质仍然不清楚，目前还没有直接探测到暗物质粒子。
⚝ 哈勃常数争议 (Hubble Tension)：利用 CMB 早期宇宙数据和利用超新星 Ia 型等晚期宇宙数据测量的哈勃常数值存在差异，这可能暗示着 ΛCDM 模型存在缺陷，或者存在未知的系统误差。

尽管存在这些挑战，ΛCDM 模型仍然是当前最成功的宇宙学模型，是研究宇宙大尺度结构的基础。本书将以 ΛCDM 模型为框架，深入探讨宇宙大尺度结构的各个方面。

1.4 本书的结构与内容概要 (Structure and Content Overview of this Book)

本书旨在对宇宙大尺度结构 (Large-Scale Structure of the Universe) 进行全面且深入的解析，从理论基础到观测证据，再到未来研究方向，力求为读者提供一个系统、完整、权威的学习资源。本书的目标读者包括宇宙学领域的初学者、中级研究者以及专家学者，力求做到深入浅出，兼顾不同层次读者的需求。

本书共分为 十章，内容结构如下：

⚝ 第一章：导论 (Introduction)：本章作为全书的开篇，首先介绍宇宙学研究的尺度，明确宇宙大尺度结构在宇宙学中的地位。然后，给出大尺度结构的定义和重要性，阐述研究大尺度结构的意义。接着，简要介绍宇宙学标准模型 ΛCDM 模型，为后续章节的学习奠定基础。最后，概述本书的结构和内容，为读者提供全书的导览。

⚝ 第二章：宇宙学基础 (Cosmological Foundations)：本章系统介绍宇宙学研究的理论基础，包括广义相对论 (General Relativity)、宇宙学原理 (Cosmological Principle) 和 FLRW 度规 (FLRW Metric)。深入讲解宇宙的演化方程 (Evolution Equations of the Universe)，包括弗里德曼方程 (Friedmann Equations)、流体方程 (Fluid Equations) 和加速度方程 (Acceleration Equation)，为理解宇宙的动力学演化提供必要的数学工具。

⚝ 第三章：早期宇宙与暴胀 (Early Universe and Inflation)：本章探讨宇宙的早期历史，从热大爆炸理论 (Hot Big Bang Theory) 出发，介绍宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation) 的发现和性质，以及 CMB 各向异性 (CMB Anisotropies)。重点讲解宇宙暴胀理论 (Cosmic Inflation Theory)，包括暴胀的动机、机制和各种暴胀模型 (Inflationary Models)。最后，简要介绍早期宇宙的粒子物理 (Particle Physics of the Early Universe)。

⚝ 第四章：引力不稳定性和结构形成 (Gravitational Instability and Structure Formation)：本章深入探讨宇宙结构的形成机制，从密度扰动 (Density Perturbations) 的起源和类型入手，介绍线性增长理论 (Linear Growth Theory)，包括牛顿近似 (Newtonian Approximation)、Jeans 不稳定性 (Jeans Instability) 以及物质和辐射主导宇宙中的增长。进一步讨论非线性结构形成 (Non-linear Structure Formation)，包括球状塌缩模型 (Spherical Collapse Model) 和 Zeldovich 近似 (Zeldovich Approximation)。最后，介绍数值模拟 (Numerical Simulations) 在研究结构形成中的应用，包括 N-体模拟 (N-body Simulations) 和流体动力学模拟 (Hydrodynamic Simulations)。

⚝ 第五章：暗物质与暗能量 (Dark Matter and Dark Energy)：本章详细讨论宇宙中神秘的暗物质 (Dark Matter) 和暗能量 (Dark Energy)。首先，介绍暗物质的观测证据 (Evidence for Dark Matter)，包括星系旋转曲线 (Galaxy Rotation Curves)、星系团中的热气体 (Hot Gas in Galaxy Clusters)、引力透镜 (Gravitational Lensing) 以及 CMB 和大尺度结构。然后，介绍暗物质的候选者 (Dark Matter Candidates)，如 WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles)、轴子 (Axions) 和无菌中微子 (Sterile Neutrinos)。接着，介绍暗能量的证据 (Evidence for Dark Energy)，主要来自超新星 Ia 型 (Type Ia Supernovae) 和 CMB 及重子声波振荡 BAO (CMB and Baryon Acoustic Oscillations)。最后，讨论暗能量的模型 (Dark Energy Models)，包括宇宙学常数 (Cosmological Constant)、标量场模型 (Scalar Field Models) 和修改引力理论 (Modified Gravity Theories)。

⚝ 第六章：星系与星系团 (Galaxies and Galaxy Clusters)：本章将视角聚焦于宇宙结构的building blocks——星系 (Galaxies) 和星系团 (Galaxy Clusters)。首先，介绍星系的形成与演化 (Formation and Evolution of Galaxies)，包括星系分类 (Galaxy Classification)、星系形成模型 (Galaxy Formation Models) 和星系演化过程 (Galaxy Evolution Processes)。然后，详细介绍星系团的性质 (Properties of Galaxy Clusters)，包括星系团的观测特征 (Observational Characteristics of Galaxy Clusters) 和动力学 (Dynamics of Galaxy Clusters)。最后，探讨星系团作为宇宙学探针 (Galaxy Clusters as Cosmological Probes) 的应用，包括利用星系团计数进行宇宙学研究 (Cosmology with Galaxy Cluster Counts) 和 Sunyaev-Zel'dovich 效应 (Sunyaev-Zel'dovich Effect)。

⚝ 第七章：宇宙纤维状结构与空洞 (Cosmic Web, Filaments and Voids)：本章深入探讨宇宙大尺度结构中的纤维状结构 (Filaments) 和空洞 (Voids)。首先，介绍宇宙纤维状结构的观测证据 (Observational Evidence for Cosmic Web) 和形成机制 (Formation Mechanisms of Filaments)。然后，详细讨论空洞的性质与演化 (Properties and Evolution of Voids)。最后，探讨宇宙纤维状结构与星系演化 (Cosmic Web and Galaxy Evolution) 之间的关系。

⚝ 第八章：观测宇宙学与星系巡天 (Observational Cosmology and Galaxy Surveys)：本章介绍观测宇宙学 (Observational Cosmology) 的基本方法和工具，重点介绍星系巡天 (Galaxy Surveys)。首先，介绍星系巡天的类型 (Types of Galaxy Surveys)，包括光学巡天 (Optical Surveys)、红移巡天 (Redshift Surveys) 和射电巡天 (Radio Surveys)。然后，介绍重要的星系巡天项目 (Important Galaxy Survey Projects)，如 SDSS (Sloan Digital Sky Survey)、DES (Dark Energy Survey)、DESI (Dark Energy Spectroscopic Instrument)、Euclid 和 LSST/Rubin Observatory (Legacy Survey of Space and Time)。接着，介绍大尺度结构的数据分析方法 (Data Analysis of Large-Scale Structure)，包括两点关联函数 (Two-Point Correlation Function)、功率谱 (Power Spectrum) 和重子声波振荡 BAO 的测量 (Measurement of Baryon Acoustic Oscillations)。最后，简要介绍弱引力透镜巡天 (Weak Gravitational Lensing Surveys)。

⚝ 第九章：宇宙学参数的精确测量 (Precision Measurement of Cosmological Parameters)：本章讨论如何利用宇宙大尺度结构来精确测量宇宙学参数 (Cosmological Parameters)。首先，概述重要的宇宙学参数 (Overview of Cosmological Parameters)，包括哈勃常数 H₀ (Hubble Constant H₀)、物质密度参数 Ωm (Matter Density Parameter Ωm)、暗能量密度参数 ΩΛ (Dark Energy Density Parameter ΩΛ)、重子密度参数 Ωb (Baryon Density Parameter Ωb)、宇宙曲率参数 Ωk (Curvature Density Parameter Ωk) 和标量谱指数 ns (Scalar Spectral Index ns)。然后，介绍如何利用 CMB 和大尺度结构测量宇宙学参数。最后，讨论宇宙学参数的联合约束 (Joint Constraints on Cosmological Parameters)。

⚝ 第十章：大尺度结构的未来研究方向 (Future Research Directions in Large-Scale Structure)：本章展望宇宙大尺度结构研究的未来发展趋势。介绍新一代星系巡天计划 (Next-Generation Galaxy Survey Projects)，如平方公里阵列 (Square Kilometre Array, SKA)。探讨 21cm 宇宙学 (21cm Cosmology) 在研究宇宙再电离 (reionization) 和暗能量方面的潜力。讨论如何利用大尺度结构检验修改引力理论 (Testing Modified Gravity Theories)。最后，展望大尺度结构研究与基本物理学 (Fundamental Physics) 的交叉领域，例如探索中微子质量 (neutrino mass)、原初非高斯性 (primordial non-Gaussianity) 等。

通过以上十章的内容，本书力求为读者构建一个全面、深入的宇宙大尺度结构知识体系，帮助读者理解宇宙的宏伟图景，掌握研究宇宙大尺度结构的基本理论、方法和前沿进展。希望本书能够激发读者对宇宙学研究的兴趣，并为相关领域的研究者提供有益的参考。

END_OF_CHAPTER

2. chapter 2：宇宙学基础 (Cosmological Foundations)

2.1 广义相对论基础 (Basics of General Relativity)

2.1.1 弯曲时空 (Curved Spacetime)

广义相对论是现代宇宙学的理论基石。它由阿尔伯特·爱因斯坦提出，彻底颠覆了牛顿的经典引力理论。在牛顿引力理论中，引力被视为一种力，物体之间通过万有引力相互吸引，空间和时间是绝对且平直的。然而，广义相对论将引力重新定义为时空的弯曲。质量和能量的存在会弯曲周围的时空，而物体的运动则沿着弯曲时空中的测地线进行，这种测地线在我们看来就是受到引力的作用。

理解弯曲时空，首先要认识到时空 (spacetime) 的概念。在狭义相对论中，时间与空间不再是彼此独立的，而是被统一成一个四维的整体——时空。而在广义相对论中，时空不仅是物质存在的舞台，更是与物质相互作用的动态实体。

弯曲时空的核心思想可以用一个形象的比喻来理解：想象一张绷紧的橡皮膜，代表平直的时空。当我们在橡皮膜上放置一个重物（比如一个铁球），橡皮膜会发生弯曲和凹陷。这个凹陷就类似于质量对时空的弯曲作用。如果我们在橡皮膜上滚动一个小球，小球的轨迹会因为橡皮膜的弯曲而不再是直线，而是沿着弯曲的路径运动，就像受到“引力”的作用一样。

在数学上，弯曲时空用黎曼几何 (Riemannian geometry) 来描述。黎曼几何是一种非欧几何，它描述的曲面或空间具有弯曲的性质。在弯曲时空中，我们不能再使用简单的欧几里得几何规则，例如平行线会相交，三角形内角和不再等于180度等等。描述弯曲时空的关键数学工具是度规张量 (metric tensor)，通常用 $g_{\mu\nu}$ 表示。度规张量定义了时空中两点之间的距离，它包含了时空弯曲的所有信息。在平直的闵可夫斯基时空 (Minkowski spacetime) 中，度规张量是常数，而在弯曲时空中，度规张量是时空坐标的函数，并且会随着物质和能量的分布而变化。

理解弯曲时空是理解广义相对论和宇宙学的关键第一步。它为我们理解引力的本质、宇宙的演化以及大尺度结构的形成提供了理论框架。

2.1.2 爱因斯坦场方程 (Einstein Field Equations)

爱因斯坦场方程 (Einstein Field Equations) 是广义相对论的核心方程，它描述了物质和能量如何弯曲时空，以及弯曲时空如何影响物质和能量的运动。场方程建立起了时空几何与物质能量分布之间的桥梁，是理解引力相互作用的 фундаментальный 方程。

爱因斯坦场方程可以简洁地表示为： $$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} $$ 让我们逐项解读这个方程：

① $R_{\mu\nu}$ 里奇张量 (Ricci tensor)：描述时空弯曲程度的一部分，它是度规张量 $g_{\mu\nu}$ 及其导数的函数。里奇张量反映了时空在某一点的体积变化率。

② $R$ 里奇标量 (Ricci scalar)：通过对里奇张量 $R_{\mu\nu}$ 和度规张量 $g_{\mu\nu}$ 进行缩并得到，是一个标量，它概括了时空在某一点的曲率。

③ $g_{\mu\nu}$ 度规张量 (metric tensor)：定义时空几何，描述时空中距离和角度的测量方式。它是场方程中需要求解的基本未知量，因为它决定了时空的弯曲程度。

④ $\Lambda$ 宇宙学常数 (Cosmological constant)：一个常数，最初由爱因斯坦引入场方程中，目的是为了得到一个静态宇宙的解。后来，随着宇宙膨胀的发现，宇宙学常数曾被爱因斯坦称为“一生中最大的错误”。然而，现代宇宙学观测表明，宇宙学常数（或更广义的暗能量）可能确实存在，并且在宇宙的加速膨胀中扮演着重要角色。

⑤ $G$ 牛顿引力常数 (Newtonian gravitational constant)：描述引力强度的常数。

⑥ $c$ 光速 (speed of light)：真空中的光速，是自然界的基本常数。

⑦ $T_{\mu\nu}$ 能量-动量张量 (Energy-momentum tensor)：描述物质和能量的分布和性质。它包含了物质的能量密度、压强、动量密度等信息，是物质和能量对时空弯曲的“源”。

方程的左边 ($R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}$) 描述了时空的几何性质，右边 ($\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$) 描述了物质和能量的分布。场方程告诉我们，时空的弯曲（左边）是由物质和能量的分布（右边）决定的，反过来，时空的弯曲又会影响物质和能量的运动。

爱因斯坦场方程是一组高度非线性的偏微分方程，求解起来非常困难。只有在高度对称的情况下，例如均匀和各向同性的宇宙，才能得到解析解，例如弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克 (Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, FLRW) 度规所描述的宇宙模型。

爱因斯坦场方程是理解宇宙演化、黑洞、引力波等现象的理论基础。在宇宙学中，我们通常将宇宙学原理应用于场方程，从而得到描述宇宙整体演化的弗里德曼方程。

2.2 宇宙学原理 (Cosmological Principle)

宇宙学原理 (Cosmological Principle) 是现代宇宙学的基本假设，它是构建宇宙学模型的基础。宇宙学原理认为，在大尺度上，宇宙是均匀 (homogeneous) 和 各向同性 (isotropic) 的。这意味着，在足够大的尺度上观察宇宙，从任何位置和任何方向看到的宇宙都是相同的。

宇宙学原理是一个经验性的假设，它来自于对宇宙观测的总结和推广。虽然在小尺度上，宇宙是高度不均匀的，例如存在星系、星系团、超星系团等结构，但在更大的尺度上（例如几百兆秒差距以上），宇宙的物质分布趋于均匀，各个方向上的性质也趋于一致。宇宙微波背景辐射 (CMB) 的高度均匀性，以及星系巡天观测到的宇宙大尺度结构的统计均匀性，都为宇宙学原理提供了强有力的观测证据。

宇宙学原理极大地简化了宇宙学研究。基于宇宙学原理，我们可以使用高度对称的 FLRW 度规来描述宇宙的时空几何，从而将复杂的爱因斯坦场方程简化为更容易求解的弗里德曼方程，进而构建标准宇宙学模型 ΛCDM。

2.2.1 均匀性 (Homogeneity)

均匀性 (Homogeneity) 指的是空间平移不变性。也就是说，在宇宙的不同位置，物理性质是相同的。更具体地说，如果我们在宇宙中选择两个不同的位置，观察到的宇宙的平均密度、温度、以及其他物理量都是相同的。

均匀性并不意味着宇宙中物质的分布是完全平滑的。实际上，宇宙中存在着各种结构，例如星系、星系团、空洞等等。均匀性指的是在大尺度上的统计平均性质的均匀。如果我们取足够大的体积来平均宇宙中的物质分布，那么在不同位置取得的平均值应该是相同的。

可以用一个比喻来理解均匀性：想象一块草坪，近距离观察，你会看到草叶、泥土、昆虫等各种细节，草坪表面是不均匀的。但是，如果你站在远处俯瞰整片草坪，你会发现草坪的颜色和密度在各个区域是大致相同的，呈现出一种均匀的景象。宇宙的均匀性也是类似的，只有在大尺度上才能体现出来。

在数学上，均匀性意味着宇宙的物理量（例如密度 $\rho$，压强 $p$）只可能是时间 $t$ 的函数，而与空间位置 $\vec{x}$ 无关，即 $\rho = \rho(t)$, $p = p(t)$。

均匀性是构建宇宙学模型的重要简化假设。它允许我们使用简单的数学模型来描述宇宙的整体性质，例如宇宙的膨胀、演化等等。

2.2.2 各向同性 (Isotropy)

各向同性 (Isotropy) 指的是空间旋转不变性。也就是说，在宇宙的任何一个位置，沿任何方向观察到的宇宙性质都是相同的。更具体地说，如果我们在宇宙中选择一个观测点，无论我们朝哪个方向看，看到的宇宙的平均性质（例如星系分布、宇宙微波背景辐射温度）都是相同的。

各向同性与均匀性是不同的概念，但它们经常一起被提及。均匀性描述的是不同位置的相似性，而各向同性描述的是同一位置不同方向的相似性。一个空间可以是均匀但不各向同性的，也可以是各向同性但不均匀的，当然也可以既均匀又各向同性。例如，一个无限长的圆柱体是各向同性的（绕圆柱轴旋转不变），但不均匀的（沿圆柱轴平移会改变位置）。然而，如果一个空间既是各向同性的，又是均匀的（相对于所有观测者而言），那么它也必然是均匀的。

宇宙微波背景辐射 (CMB) 的观测为宇宙的各向同性提供了最直接和最有力的证据。CMB 的温度在天空中各个方向上都非常均匀，涨落只有大约百万分之一的量级。这表明，在宇宙早期，物质的分布和物理条件在各个方向上是非常接近的。

在数学上，各向同性意味着宇宙的物理量在球坐标系中不依赖于角度 $(\theta, \phi)$，只可能依赖于径向距离 $r$ 和时间 $t$。结合均匀性，物理量最终只依赖于时间 $t$。

各向同性是构建宇宙学模型的另一个重要简化假设。它与均匀性一起，使得我们可以使用 FLRW 度规来描述宇宙的时空几何，并推导出描述宇宙演化的弗里德曼方程。

2.3 FLRW 度规 (FLRW Metric)

FLRW 度规 (Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metric) 是描述均匀且各向同性宇宙时空几何的度规。它是以亚历山大·弗里德曼 (Alexander Friedmann), 乔治·勒梅特 (Georges Lemaître), 霍华德·罗伯逊 (Howard Robertson), 和亚瑟·沃克 (Arthur Walker) 的名字命名的。FLRW 度规是现代宇宙学标准模型 ΛCDM 的基础，它描述了一个膨胀或收缩的宇宙。

在球坐标系 $(t, r, \theta, \phi)$ 中，FLRW 度规的一般形式可以写成： $$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1-Kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right] $$ 让我们分析这个度规的各个组成部分：

① $ds^2$ 时空间隔 (spacetime interval)：表示时空中两点之间的“距离”的平方。在广义相对论中，时空间隔是洛伦兹不变的，是描述时空几何的基本量。

② $dt$ 时间坐标 (time coordinate)：表示宇宙学时间，也称为共动时 (comoving time)。在 FLRW 度规中，宇宙学时间是均匀的，即在宇宙的任何位置，宇宙学时间的流逝速率都是相同的。

③ $dr, d\theta, d\phi$ 空间坐标 (spatial coordinates)：表示共动空间坐标。共动坐标是相对于宇宙膨胀或收缩而保持不变的坐标。使用共动坐标，可以方便地描述宇宙中天体的运动和分布。

④ $a(t)$ 标度因子 (scale factor)：是一个仅仅依赖于时间 $t$ 的函数，描述宇宙的膨胀或收缩。随着时间的推移，标度因子 $a(t)$ 的变化会引起宇宙中任意两点之间物理距离的变化。如果 $a(t)$ 随时间增大，则宇宙膨胀；如果 $a(t)$ 随时间减小，则宇宙收缩；如果 $a(t)$ 为常数，则宇宙是静态的。

⑤ $K$ 曲率参数 (curvature parameter)：描述宇宙空间的曲率。它可以取三个值：
▮▮▮▮⚝ $K = 0$：对应平直宇宙 (flat universe)，空间几何是欧几里得几何。
▮▮▮▮⚝ $K > 0$：对应闭合宇宙 (closed universe)，空间几何是正曲率的，类似于球面。
▮▮▮▮⚝ $K < 0$：对应开放宇宙 (open universe)，空间几何是负曲率的，类似于双曲面。
现代宇宙学观测表明，我们的宇宙非常接近平直宇宙，即 $K \approx 0$。

⑥ $c$ 光速 (speed of light)：真空中的光速。

FLRW 度规是基于宇宙学原理（均匀性和各向同性）推导出来的。它描述了一个动态的宇宙，其时空几何由标度因子 $a(t)$ 和曲率参数 $K$ 决定。通过将 FLRW 度规代入爱因斯坦场方程，我们可以得到描述宇宙演化的弗里德曼方程。

2.3.1 膨胀宇宙 (Expanding Universe)

膨胀宇宙 (Expanding Universe) 是 FLRW 度规描述的最重要的特征之一。标度因子 $a(t)$ 随时间增长意味着宇宙正在膨胀，宇宙中任意两个共动点之间的物理距离会随着时间的推移而增大。

宇宙膨胀的发现是现代宇宙学最重要的里程碑之一。1929年，埃德温·哈勃 (Edwin Hubble) 通过观测星系的红移现象，发现星系的退行速度与星系的距离成正比，即哈勃定律 (Hubble's Law)： $$ v = H_0 d $$ 其中 $v$ 是星系的退行速度，$d$ 是星系的距离，$H_0$ 是哈勃常数 (Hubble constant)，表示当前宇宙的膨胀率。哈勃定律表明，宇宙正在膨胀，星系之间的距离正在不断增大。

在 FLRW 度规中，两个共动点之间的物理距离 $D(t)$ 可以表示为： $$ D(t) = a(t) r $$ 其中 $r$ 是两个点之间的共动距离，保持不变。宇宙膨胀的速度可以通过标度因子 $a(t)$ 的时间导数来描述。定义哈勃参数 (Hubble parameter) $H(t)$ 为标度因子的相对膨胀率： $$ H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} $$ 其中 $\dot{a}(t) = \frac{da(t)}{dt}$ 是标度因子对时间的导数。哈勃参数 $H(t)$ 描述了宇宙在不同时刻的膨胀率。当前的哈勃参数 $H(t_0)$ 就是哈勃常数 $H_0$。

宇宙膨胀并非指宇宙中的物体在空间中膨胀，而是指空间本身在膨胀，空间中的距离在拉伸。星系和星系团等受引力束缚的系统，由于自身引力的作用，不会随着宇宙膨胀而膨胀。只有在大尺度上，宇宙膨胀才会体现出来，使得星系团之间的距离不断增大。

膨胀宇宙的概念是理解宇宙演化的关键。它暗示了宇宙有一个起源，即大爆炸 (Big Bang)。如果宇宙正在膨胀，那么在过去，宇宙的体积必然更小，密度更高，温度更高。通过追溯宇宙的膨胀历史，我们可以研究宇宙的早期状态，以及宇宙的起源和演化。

2.3.2 红移 (Redshift)

红移 (Redshift) 是观测宇宙学中最重要的概念之一，它是宇宙膨胀的直接观测证据。当光源和观测者之间存在相对退行运动时，观测到的光的波长会变长，频率会变低，这种现象称为红移。在宇宙学中，由于宇宙膨胀，星系都在远离我们而去，因此我们观测到的来自遥远星系的光都会发生红移。

宇宙学红移 $z$ 定义为观测到的波长 $\lambda_{obs}$ 与发射波长 $\lambda_{emit}$ 的相对变化量： $$ z = \frac{\lambda_{obs} - \lambda_{emit}}{\lambda_{emit}} = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{emit}} - 1 $$ 红移 $z$ 与标度因子 $a(t)$ 之间存在简单的关系。假设光在宇宙学时间 $t_{emit}$ 时刻从遥远星系发出，并在当前时刻 $t_{obs}$ 被我们观测到。由于宇宙膨胀，在光传播的过程中，宇宙的标度因子从 $a(t_{emit})$ 膨胀到 $a(t_{obs})$。光的波长也会随着宇宙膨胀而被拉伸，因此有： $$ \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{emit}} = \frac{a(t_{obs})}{a(t_{emit})} $$ 从而得到红移与标度因子的关系： $$ 1 + z = \frac{a(t_{obs})}{a(t_{emit})} $$ 通常我们把当前时刻的标度因子 $a(t_{obs})$ 记为 $a_0 = 1$，那么上式可以简化为： $$ a(t_{emit}) = \frac{1}{1+z} $$ 这意味着，红移 $z$ 越大，光发出时的宇宙标度因子 $a(t_{emit})$ 就越小，宇宙就越年轻。因此，红移可以作为宇宙学时间的一种度量，也可以作为宇宙距离的一种指标。红移越大，星系距离我们越远，也越古老。

通过测量星系的红移，我们可以推断出星系的退行速度和距离，从而验证哈勃定律，并研究宇宙的膨胀历史。红移也是研究宇宙大尺度结构的重要工具。通过测量大量星系的红移，我们可以绘制出宇宙的三维分布图，研究星系在宇宙中的空间分布模式，以及宇宙大尺度结构的形成和演化。

2.4 宇宙的演化方程 (Evolution Equations of the Universe)

宇宙的演化方程 (Evolution Equations of the Universe) 描述了宇宙的动力学演化，即宇宙如何随着时间膨胀或收缩，以及宇宙的膨胀速率如何受到宇宙中物质和能量的影响。这些方程是从爱因斯坦场方程出发，结合 FLRW 度规和宇宙学原理推导出来的。最主要的宇宙演化方程包括弗里德曼方程 (Friedmann Equations)，流体方程 (Fluid Equations)，和加速度方程 (Acceleration Equation)。

2.4.1 弗里德曼方程 (Friedmann Equations)

弗里德曼方程 (Friedmann Equations) 是一组描述均匀且各向同性宇宙演化的基本方程。它们是从爱因斯坦场方程出发，将 FLRW 度规代入场方程后得到的。弗里德曼方程描述了宇宙的膨胀速率如何受到宇宙的能量密度、压强和曲率的影响。

第一个弗里德曼方程描述了哈勃参数 $H(t)$ 与宇宙总能量密度 $\rho$ 和曲率参数 $K$ 之间的关系： $$ H^2 = \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{Kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3} $$ 第二个弗里德曼方程描述了宇宙膨胀的加速度 $\ddot{a}$ 与宇宙总能量密度 $\rho$ 和压强 $p$ 之间的关系： $$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} (\rho + 3p) + \frac{\Lambda c^2}{3} $$ 其中，$\rho$ 是宇宙的总能量密度，$p$ 是宇宙的总压强，$\Lambda$ 是宇宙学常数，$G$ 是牛顿引力常数，$c$ 是光速，$K$ 是曲率参数，$a$ 是标度因子，$H = \dot{a}/a$ 是哈勃参数。

弗里德曼方程是理解宇宙演化的关键。第一个弗里德曼方程告诉我们，宇宙的膨胀速率 $H$ 取决于宇宙的能量密度 $\rho$ 和曲率 $K$。能量密度越大，膨胀速率越大；正曲率 $(K>0)$ 会减缓膨胀，负曲率 $(K<0)$ 会加速膨胀。宇宙学常数 $\Lambda$ 也对膨胀速率有贡献，正的宇宙学常数会加速膨胀。

第二个弗里德曼方程告诉我们，宇宙膨胀的加速度 $\ddot{a}$ 取决于宇宙的能量密度 $\rho$ 和压强 $p$。通常情况下，物质和辐射的能量密度 $\rho$ 和压强 $p$ 都是正的，因此 $(\rho + 3p) > 0$，这会导致 $\ddot{a} < 0$，即引力会减缓宇宙膨胀。然而，如果存在具有负压强的物质（例如宇宙学常数或暗能量），则有可能使得 $\ddot{a} > 0$，导致宇宙加速膨胀。

弗里德曼方程是一组微分方程，通过求解这些方程，我们可以得到标度因子 $a(t)$ 随时间 $t$ 的演化规律，从而了解宇宙的膨胀历史和未来命运。为了求解弗里德曼方程，我们需要知道宇宙中各种成分的能量密度和压强，以及它们随时间的变化规律。

2.4.2 流体方程 (Fluid Equations)

流体方程 (Fluid Equations) 描述了宇宙中不同成分（例如物质、辐射、暗能量等）的能量密度和压强随时间的变化规律。流体方程是基于能量守恒定律推导出来的。

考虑宇宙中一种理想流体，其能量密度为 $\rho$，压强为 $p$。根据热力学第一定律，在一个膨胀的宇宙中，能量的变化等于压强所做的功的负值： $$ d(\rho a^3) = -p d(a^3) $$ 其中 $a^3$ 代表共动体积。将上式展开并除以 $a^3 dt$，可以得到流体方程： $$ \dot{\rho} + 3H(\rho + p) = 0 $$ 这个方程描述了能量密度 $\rho$ 随时间的变化率 $\dot{\rho}$ 与哈勃参数 $H$ 和压强 $p$ 之间的关系。方程表明，由于宇宙膨胀（$H>0$），能量密度会随着时间而降低。压强 $p$ 对能量密度的变化也有影响。

为了求解流体方程，我们需要知道流体的状态方程 (equation of state)，即压强 $p$ 与能量密度 $\rho$ 之间的关系。通常用状态方程参数 $w$ 来描述状态方程： $$ p = w \rho $$ 对于不同的宇宙成分，状态方程参数 $w$ 是不同的：
⚝ 物质 (Matter) (包括重子物质和暗物质)：$w_m \approx 0$ (非相对论性物质，压强远小于能量密度)。
⚝ 辐射 (Radiation) (包括光子和相对论性粒子)：$w_r = 1/3$ (相对论性物质)。
⚝ 宇宙学常数 (Cosmological Constant)：$w_\Lambda = -1$ (负压强)。

将状态方程 $p = w\rho$ 代入流体方程，可以得到： $$ \dot{\rho} + 3H(1+w)\rho = 0 $$ 假设状态方程参数 $w$ 为常数，并且宇宙是平直的 $(K=0)$，宇宙主要成分的能量密度为 $\rho \propto a^{-3(1+w)}$。因此，对于不同的宇宙成分，能量密度随标度因子的变化规律是不同的：
⚝ 物质主导 (Matter-dominated) ($w_m \approx 0$): $\rho_m \propto a^{-3}$ (能量密度与体积成反比)。
⚝ 辐射主导 (Radiation-dominated) ($w_r = 1/3$): $\rho_r \propto a^{-4}$ (能量密度衰减更快，因为波长也随宇宙膨胀而拉伸)。
⚝ 宇宙学常数主导 (Cosmological constant-dominated) ($w_\Lambda = -1$): $\rho_\Lambda \propto a^{0} = \text{constant}$ (能量密度保持不变)。

流体方程描述了宇宙中不同成分的能量密度随时间的变化规律。结合弗里德曼方程，我们可以构建宇宙演化的模型，研究宇宙在不同时期（例如辐射主导时期、物质主导时期、暗能量主导时期）的演化特征。

2.4.3 加速度方程 (Acceleration Equation)

加速度方程 (Acceleration Equation) 是第二个弗里德曼方程的另一种形式，它直接描述了宇宙膨胀的加速度 $\ddot{a}$。加速度方程可以从弗里德曼方程和流体方程推导出来，也可以直接从广义相对论的测地线方程导出。

加速度方程可以表示为： $$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \sum_i (\rho_i + 3p_i) + \frac{\Lambda c^2}{3} $$ 或者，使用状态方程参数 $w_i = p_i/\rho_i$，可以写成： $$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \sum_i \rho_i (1 + 3w_i) + \frac{\Lambda c^2}{3} $$ 其中，$\rho_i$ 和 $p_i$ 分别是宇宙中第 $i$ 种成分的能量密度和压强，$w_i$ 是其状态方程参数，求和符号 $\sum_i$ 表示对宇宙中所有成分求和。

加速度方程清楚地表明，宇宙膨胀的加速度 $\ddot{a}$ 取决于宇宙中所有成分的能量密度 $\rho_i$ 和状态方程参数 $w_i$，以及宇宙学常数 $\Lambda$。对于通常的物质和辐射，状态方程参数 $w \ge 0$，因此 $(1+3w) > 0$，这些成分的能量密度会减缓宇宙膨胀 $(\ddot{a} < 0)$。然而，如果存在状态方程参数 $w < -1/3$ 的成分（例如暗能量，其 $w \approx -1$），则 $(1+3w) < 0$，这种成分的能量密度会加速宇宙膨胀 $(\ddot{a} > 0)$。宇宙学常数 $\Lambda$ 也具有加速宇宙膨胀的作用。

现代宇宙学观测表明，宇宙正在加速膨胀。为了解释宇宙加速膨胀，我们需要引入暗能量。暗能量被认为是一种具有负压强的神秘成分，其状态方程参数 $w \approx -1$，导致宇宙加速膨胀。宇宙学常数 $\Lambda$ 是暗能量最简单的模型。

加速度方程是理解宇宙加速膨胀的关键。它告诉我们，宇宙的膨胀历史和未来命运，取决于宇宙中各种成分的能量密度和状态方程，特别是暗能量的性质。通过精确测量宇宙的膨胀历史，我们可以约束宇宙学参数，研究暗能量的性质，并深入理解宇宙的演化。

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3. chapter 3：宇宙早期宇宙与暴胀 (Early Universe and Inflation)

3.1 热大爆炸理论 (Hot Big Bang Theory)

热大爆炸理论 (Hot Big Bang Theory) 是现代宇宙学的基石，它描述了我们宇宙的起源和演化历程。根据这一理论，宇宙并非永恒不变，而是起源于一个极其致密、炽热的状态，并在随后的时间里不断膨胀和冷却。 “大爆炸”并非指传统意义上的爆炸，而更准确地描述为空间的快速膨胀。

热大爆炸理论的核心思想可以概括为以下几点：

① 宇宙膨胀 (Expansion of the Universe)：基于对星系红移现象的观测，以及哈勃定律 (Hubble's Law) 的提出，我们认识到宇宙正在膨胀。这意味着在过去，宇宙的体积更小，密度更高。将宇宙膨胀倒推至极限，便会到达一个密度和温度都趋于无穷大的奇点，这便是宇宙的“开端”。

② 早期宇宙的高温高密 (High Temperature and Density in the Early Universe)：在宇宙极早期，温度和密度极高。随着宇宙的膨胀，温度逐渐降低。早期宇宙的高温环境使得粒子具有极高的能量，各种粒子不断产生和湮灭，宇宙处于一种极端的热平衡状态。

③ 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation) 的预言与发现：热大爆炸理论预言了早期宇宙遗留下来的热辐射，即宇宙微波背景辐射 (CMB)。1964年，彭齐亚斯 (Penzias) 和威尔逊 (Wilson) 意外发现了 CMB，这为热大爆炸理论提供了强有力的观测证据。CMB 被认为是宇宙诞生后约38万年，即复合时期 (Recombination Epoch) 宇宙冷却到约 3000K 时释放出的光子，是早期宇宙的“余晖”。

④ 轻元素的丰度 (Abundance of Light Elements)：热大爆炸核合成 (Big Bang Nucleosynthesis, BBN) 理论指出，在宇宙早期极热的环境中，质子和中子结合形成了轻元素，如氘 (Deuterium, D)、氦 (Helium, He) 和锂 (Lithium, Li)。理论预言的轻元素丰度与观测结果高度吻合，这是热大爆炸理论的又一重要证据。

⑤ 宇宙演化的阶段 (Stages of Cosmic Evolution)：根据热大爆炸理论，宇宙的演化可以划分为若干个重要的阶段，例如：

⚝ 普朗克时期 (Planck Epoch)：宇宙的极早期，时间尺度约为 $10^{-43}$ 秒，此时引力与其他三种基本力尚未分离，量子引力效应显著，我们对这一时期的物理规律尚不完全了解。

⚝ 大统一时期 (Grand Unification Epoch, GUT Epoch)：随着宇宙冷却，引力首先分离出来，随后强相互作用力与弱电相互作用力分离。可能存在大统一理论 (Grand Unified Theory, GUT) 描述强相互作用和弱电相互作用的统一。

⚝ 电弱时期 (Electroweak Epoch)：弱相互作用和电磁相互作用分离。

⚝ 强子时期 (Hadron Epoch)：夸克 (Quark) 结合形成强子 (Hadron)，如质子和中子。

⚝ 轻子时期 (Lepton Epoch)：轻子 (Lepton) (如电子和中微子) 在宇宙能量密度中占主导地位。

⚝ 光子时期 (Photon Epoch)：光子成为宇宙能量密度的主要成分。

⚝ 复合时期 (Recombination Epoch)：宇宙冷却到足够低的温度，电子和质子结合形成中性原子，宇宙变得透明，CMB 释放出来。

⚝ 暗 ages (Dark Ages)：宇宙中性原子弥漫，没有恒星和星系产生光，宇宙处于黑暗时期。

⚝ 再电离时期 (Reionization Epoch)：第一代恒星和星系形成，它们发出的紫外辐射将宇宙中的中性氢再次电离。

⚝ 结构形成时期 (Structure Formation Epoch)：在引力作用下，微小的密度扰动逐渐增长，形成星系、星系团等大尺度结构。

热大爆炸理论并非完美无缺，它也面临着一些挑战，例如奇点问题、宇宙的平坦性问题 (Flatness Problem)、视界问题 (Horizon Problem) 和磁单极子问题 (Monopole Problem) 等。为了解决这些问题，宇宙暴胀理论 (Cosmic Inflation Theory) 被提出，并成为热大爆炸理论的重要补充和发展。尽管如此，热大爆炸理论依然是描述宇宙起源和演化最成功的理论框架，为我们理解宇宙大尺度结构奠定了坚实的基础。

3.2 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)

宇宙微波背景辐射 (Cosmic Microwave Background Radiation, CMB) 是宇宙学中最重要和最精确的观测证据之一，它为我们提供了研究早期宇宙的窗口。CMB 是宇宙早期热辐射的遗留，被誉为“宇宙大爆炸的余晖”。

3.2.1 CMB 的发现与性质 (Discovery and Properties of CMB)

发现 (Discovery)

宇宙微波背景辐射的发现具有戏剧性色彩。1964年，美国贝尔实验室 (Bell Labs) 的两位射电天文学家，彭齐亚斯 (Arno Penzias) 和威尔逊 (Robert Wilson)，为了改进卫星通讯，建造了一架低噪声的喇叭天线。在调试天线时，他们意外地接收到一个来自宇宙空间各方向均匀分布的微弱噪声信号。起初，他们认为这是天线系统本身的故障，尝试了各种方法消除噪声，包括清理天线上的鸽子粪，但都未能成功。

在与普林斯顿大学 (Princeton University) 的理论物理学家迪克 (Robert Dicke) 等人交流后，彭齐亚斯和威尔逊意识到他们探测到的噪声信号很可能就是宇宙学家们长期寻找的宇宙微波背景辐射。普林斯顿小组当时正在独立地进行 CMB 的探测准备工作，他们基于热大爆炸理论预言了 CMB 的存在。

彭齐亚斯和威尔逊的意外发现，证实了热大爆炸理论的预言，为宇宙学研究带来了革命性的突破。他们也因此获得了1978年诺贝尔物理学奖。

性质 (Properties)

宇宙微波背景辐射具有以下几个重要的性质：

① 黑体辐射谱 (Blackbody Spectrum)：CMB 的频谱非常接近完美的黑体辐射谱。黑体辐射谱是一种理想化的热辐射谱，其形状只与温度有关。COBE (Cosmic Background Explorer) 卫星和普朗克 (Planck) 卫星等精确测量表明，CMB 的频谱与温度约为 2.725K 的黑体辐射谱几乎完全重合，偏差极小。这表明 CMB 来自于一个热平衡的早期宇宙。

② 高度各向同性 (High Isotropy)：CMB 在天空中各个方向上的温度几乎完全相同，各向同性程度非常高，精度达到了十万分之一。这种高度的各向同性支持了宇宙学原理 (Cosmological Principle) 中宇宙在大尺度上是均匀和各向同性的假设。

③ 微小的各向异性 (Tiny Anisotropies)：尽管 CMB 的各向同性程度很高，但并非绝对均匀。在 CMB 的温度分布图中，存在着非常微小的温度涨落，即各向异性。这些温度涨落的幅度约为 $10^{-5}$ K 量级，相对于 2.725K 的平均温度而言非常小。正是这些微小的各向异性，蕴含着关于宇宙起源、演化以及大尺度结构形成的重要信息。

④ 偏振性 (Polarization)：CMB 不仅具有温度各向异性，还具有偏振性。CMB 的偏振分为 E 模 (E-mode) 和 B 模 (B-mode) 两种模式。E 模偏振产生于标量扰动 (Scalar Perturbations)，已被探测到并被精确测量。B 模偏振可能产生于张量扰动 (Tensor Perturbations) (如引力波)，探测 B 模偏振是当前 CMB 研究的重要前沿方向，它有望揭示宇宙暴胀时期产生的引力波信号。

CMB 的重要意义 (Significance of CMB)

宇宙微波背景辐射的发现和精确测量，对现代宇宙学具有极其重要的意义：

① 热大爆炸理论的有力证据 (Strong Evidence for Hot Big Bang Theory)：CMB 的黑体辐射谱和高度各向同性，有力地支持了热大爆炸理论，证明宇宙起源于高温高密状态，并经历了膨胀和冷却的过程。

② 早期宇宙的直接观测窗口 (Direct Observational Window to the Early Universe)：CMB 产生于宇宙诞生后约 38 万年，是我们可以直接观测到的最遥远的宇宙信息。通过研究 CMB，我们可以了解宇宙早期的物理状态、物质成分和演化历史。

③ 宇宙学参数的精确测量 (Precision Measurement of Cosmological Parameters)：CMB 的各向异性包含了丰富的宇宙学信息。通过分析 CMB 的温度和偏振各向异性，我们可以精确测量宇宙学参数，例如宇宙的年龄、哈勃常数 (Hubble Constant, $H_0$)、物质密度 ($\Omega_m$)、暗能量密度 ($\Omega_\Lambda$)、重子密度 ($\Omega_b$)、宇宙曲率 ($\Omega_k$) 和标量谱指数 ($n_s$) 等。这些精确的宇宙学参数为构建和检验宇宙学标准模型 ΛCDM (ΛCDM Standard Cosmological Model) 提供了关键数据。

④ 研究宇宙结构形成的起源 (Study of the Origin of Cosmic Structure Formation)：CMB 的各向异性反映了早期宇宙密度扰动的原始谱。这些微小的密度扰动被认为是宇宙中大尺度结构 (如星系、星系团等) 形成的种子。通过研究 CMB 各向异性，我们可以追溯宇宙结构形成的起源，并检验宇宙暴胀理论等早期宇宙模型。

总之，宇宙微波背景辐射是宇宙学研究的宝贵资源，它不仅证实了热大爆炸理论，也为我们提供了精确研究宇宙起源、演化和基本参数的手段，是理解宇宙大尺度结构形成的关键。

3.2.2 CMB 各向异性 (CMB Anisotropies)

宇宙微波背景辐射 (CMB) 的各向异性 (Anisotropies) 是指 CMB 温度在天空不同方向上的微小差异。虽然 CMB 的整体温度非常均匀，约为 2.725K，但在百万分之一的水平上存在着微小的温度涨落，这些涨落被称为 CMB 各向异性。正是这些看似微小的各向异性，蕴含着关于宇宙起源、演化和结构形成的关键信息。

各向异性的类型 (Types of Anisotropies)

CMB 各向异性可以根据其起源和性质进行分类：

① 本征各向异性 (Primary Anisotropies)：本征各向异性是指在 CMB 光子最后散射面 (Last Scattering Surface) 上产生的各向异性，反映了宇宙早期的物理条件和扰动。主要包括：

⚝ 萨克斯-沃尔夫效应 (Sachs-Wolfe Effect, SW Effect)：引力势阱 (Gravitational Potential Well) 中的光子需要克服引力势才能逃逸，导致能量损失，温度降低；反之，引力势峰 (Gravitational Potential Peak) 中的光子逃逸时能量增加，温度升高。大尺度上的温度涨落主要由 SW 效应引起。

⚝ 声波振荡 (Acoustic Oscillations)：在光子-重子流体中，引力与辐射压力的竞争导致声波振荡。这些振荡在 CMB 温度谱上留下特征峰，被称为声学峰 (Acoustic Peaks)。声学峰的位置、高度和形状包含了丰富的宇宙学信息。

⚝ 多普勒效应 (Doppler Effect)：最后散射面上的物质具有相对于观测者的速度，导致 CMB 光子频率发生多普勒频移，从而引起温度各向异性。

⚝ 早期综合萨克斯-沃尔夫效应 (Integrated Sachs-Wolfe Effect, ISW Effect)：时变引力势 (Time-varying Gravitational Potential) 会影响 CMB 光子的能量，产生温度各向异性。早期宇宙的辐射主导时期和物质主导时期的过渡阶段，引力势会发生衰减，产生早期 ISW 效应。

② 次级各向异性 (Secondary Anisotropies)：次级各向异性是指 CMB 光子在传播过程中，受到后期宇宙结构的影响而产生的各向异性。主要包括：

⚝ 晚期综合萨克斯-沃尔夫效应 (Late-time Integrated Sachs-Wolfe Effect, ISW Effect)：暗能量主导时期，宇宙膨胀加速，引力势再次发生衰减，产生晚期 ISW 效应。晚期 ISW 效应与大尺度结构相关，可以用来探测暗能量。

⚝ 孙亚耶夫-泽尔多维奇效应 (Sunyaev-Zel'dovich Effect, SZ Effect)：CMB 光子穿过星系团时，与星系团中的热电子发生逆康普顿散射 (Inverse Compton Scattering)，能量增加，导致 CMB 光谱发生畸变，产生温度各向异性。SZ 效应可以用来探测星系团，并研究宇宙结构演化。

⚝ 引力透镜效应 (Gravitational Lensing Effect)：大尺度结构 (如星系团) 的引力场会弯曲 CMB 光子的传播路径，导致 CMB 图像发生畸变，产生各向异性。引力透镜效应可以用来研究宇宙物质分布和暗物质。

各向异性的观测与分析 (Observation and Analysis of Anisotropies)

为了精确测量 CMB 各向异性，科学家们发射了一系列空间探测器，例如 COBE (Cosmic Background Explorer)、WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) 和普朗克 (Planck) 卫星。这些卫星在太空中运行，避免了地球大气层对微波信号的干扰，获得了高精度、全天区的 CMB 观测数据。

对 CMB 各向异性的分析通常采用统计方法，例如：

① 角功率谱 (Angular Power Spectrum)：将 CMB 温度涨落展开成球谐函数 (Spherical Harmonics)，计算不同角尺度上的功率分布，得到角功率谱 $C_l$。角功率谱是描述 CMB 各向异性的主要工具，它反映了不同角尺度上温度涨落的强度。角功率谱的峰值位置、高度和形状包含了丰富的宇宙学信息，可以用来精确测量宇宙学参数。

② 相关函数 (Correlation Function)：计算 CMB 温度在不同方向上的相关性，得到相关函数。相关函数也可以用来描述 CMB 各向异性，并提取宇宙学信息。

③ 非高斯性分析 (Non-Gaussianity Analysis)：标准暴胀模型预言 CMB 各向异性是高斯分布的。然而，一些非标准暴胀模型或次级各向异性可能导致非高斯性。通过分析 CMB 各向异性的非高斯性，可以检验暴胀模型，并研究宇宙后期结构的影响。

各向异性的宇宙学意义 (Cosmological Significance of Anisotropies)

CMB 各向异性是研究宇宙学的重要工具，具有以下重要意义：

① 精确测量宇宙学参数 (Precision Measurement of Cosmological Parameters)：通过分析 CMB 角功率谱，可以精确测量宇宙学参数，例如哈勃常数 ($H_0$)、物质密度 ($\Omega_m$)、暗能量密度 ($\Omega_\Lambda$)、重子密度 ($\Omega_b$)、宇宙曲率 ($\Omega_k$) 和标量谱指数 ($n_s$) 等。普朗克卫星等 CMB 实验已经将宇宙学参数的测量精度提高到了前所未有的水平，为构建精确宇宙学模型奠定了基础。

② 检验宇宙暴胀理论 (Testing Cosmic Inflation Theory)：CMB 各向异性被认为是宇宙暴胀时期产生的原始密度扰动的反映。CMB 角功率谱的形状、标量谱指数 ($n_s$) 以及可能的张量-标量比 ($r$) 等信息，可以用来检验不同的暴胀模型，并研究暴胀的物理机制。对 CMB B 模偏振的探测，有望直接探测到暴胀时期产生的引力波，为暴胀理论提供更直接的证据。

③ 研究宇宙结构形成 (Study of Cosmic Structure Formation)：CMB 各向异性反映了早期宇宙密度扰动的初始条件。这些微小的密度扰动在引力作用下逐渐增长，最终形成了宇宙中的大尺度结构。通过研究 CMB 各向异性，我们可以追溯宇宙结构形成的起源，并研究结构形成的物理过程。

④ 探测暗能量和暗物质 (Probing Dark Energy and Dark Matter)：晚期 ISW 效应和引力透镜效应等次级各向异性与暗能量和暗物质的分布有关。通过研究这些次级各向异性，可以探测暗能量的性质和暗物质的分布，为理解宇宙的暗组分提供线索。

总之，CMB 各向异性是宇宙学研究的宝贵信息源，它为我们提供了精确研究宇宙起源、演化、基本参数和结构形成的手段，是理解宇宙大尺度结构的关键。

3.3 宇宙暴胀理论 (Cosmic Inflation Theory)

宇宙暴胀理论 (Cosmic Inflation Theory) 是现代宇宙学中一个非常重要的理论，它被提出用来解决标准热大爆炸理论 (Hot Big Bang Theory) 遇到的一些难题。暴胀理论认为，在宇宙极早期，大约在宇宙诞生后 $10^{-36}$ 秒到 $10^{-32}$ 秒之间，宇宙经历了一个极短但极快速的加速膨胀时期。在这个时期，宇宙的体积至少膨胀了 $e^{60}$ 倍以上。暴胀理论不仅解决了标准热大爆炸理论的难题，还为宇宙大尺度结构的形成提供了合理的解释。

3.3.1 暴胀的动机与机制 (Motivations and Mechanisms of Inflation)

暴胀的动机 (Motivations of Inflation)

标准热大爆炸理论虽然成功地解释了宇宙的膨胀、宇宙微波背景辐射 (CMB) 和轻元素丰度等观测现象，但也面临着一些难以解释的问题，这些问题被称为标准热大爆炸理论的“疑难” (Problems of the Hot Big Bang Theory)。暴胀理论的提出，正是为了解决这些疑难：

① 平坦性问题 (Flatness Problem)：观测表明，我们今天的宇宙空间非常接近平坦。然而，根据弗里德曼方程 (Friedmann Equations)，宇宙的曲率会随着宇宙的膨胀而演化。如果早期宇宙的曲率稍微偏离平坦，那么经过长时间的膨胀，现在的宇宙曲率应该会非常显著，与观测结果矛盾。为了解释宇宙的平坦性，标准热大爆炸理论需要非常精细地调节早期宇宙的初始条件，这被认为是不自然的。暴胀理论通过指数膨胀，可以将宇宙的曲率项迅速稀释到可以忽略不计的程度，从而自然地解释了宇宙的平坦性。

② 视界问题 (Horizon Problem)：CMB 在天空中各个方向上的温度高度均匀，各向同性程度非常高。然而，在 CMB 产生时，宇宙的年龄只有约 38 万年，按照标准热大爆炸理论的膨胀速度，天空中相隔较远的不同区域在宇宙早期并没有发生过因果联系 (Causal Contact)。这意味着，这些区域的物理条件 (如温度) 应该是独立的，没有理由达到如此高度的均匀性。暴胀理论认为，在暴胀时期，宇宙经历了超光速膨胀，原本因果关联的小区域被迅速拉伸到超出视界之外，使得整个可观测宇宙都来自于一个曾经因果关联的小区域，从而自然地解释了 CMB 的高度各向同性。

③ 磁单极子问题 (Monopole Problem)：大统一理论 (Grand Unified Theory, GUT) 预言了磁单极子 (Magnetic Monopoles) 这种拓扑缺陷粒子的存在。在早期宇宙的高温环境中，应该会产生大量的磁单极子。然而，至今为止，我们并没有观测到磁单极子，这与理论预言相矛盾。暴胀理论认为，暴胀时期的指数膨胀可以将磁单极子的密度稀释到观测不到的程度，从而解决了磁单极子问题。

④ 结构形成的种子 (Seeds for Structure Formation)：标准热大爆炸理论本身并没有提供宇宙结构形成的种子。为了解释宇宙中星系、星系团等大尺度结构的形成，我们需要假设早期宇宙存在微小的密度扰动。暴胀理论提供了一种产生原始密度扰动的机制，即暴胀时期量子涨落 (Quantum Fluctuations) 被拉伸到宇宙学尺度，成为宇宙结构形成的种子。

暴胀的机制 (Mechanisms of Inflation)

暴胀的物理机制通常用标量场 (Scalar Field) 来描述，这个标量场被称为暴胀场 (Inflaton Field)，用符号 $\phi$ 表示。暴胀场具有势能 $V(\phi)$。在暴胀时期，暴胀场处于缓慢滚动 (Slow-roll) 状态，即暴胀场 $\phi$ 在势能 $V(\phi)$ 的平坦区域缓慢滚动，其动能远小于势能，势能 $V(\phi)$ 占据主导地位。根据广义相对论 (General Relativity)，真空能量 (Vacuum Energy) 具有负压强，可以驱动宇宙加速膨胀。暴胀场的势能就类似于真空能量，可以产生负压强，驱动宇宙发生指数膨胀。

暴胀的动力学可以用慢滚动近似 (Slow-roll Approximation) 来描述。在慢滚动近似下，暴胀场的运动方程和弗里德曼方程可以简化为：
$$ 3H\dot{\phi} \approx -V'(\phi) $$ $$ H^2 \approx \frac{V(\phi)}{3M_{Pl}^2} $$

其中 $H$ 是哈勃参数 (Hubble Parameter)，$\dot{\phi} = d\phi/dt$ 是暴胀场的时间导数，$V'(\phi) = dV/d\phi$ 是势能对暴胀场的导数，$M_{Pl}$ 是普朗克质量 (Planck Mass)。

为了实现足够的暴胀，暴胀场的势能需要满足慢滚动条件 (Slow-roll Conditions)：
$$ \epsilon \equiv \frac{M_{Pl}^2}{2} \left( \frac{V'(\phi)}{V(\phi)} \right)^2 \ll 1 $$ $$ |\eta| \equiv M_{Pl}^2 \left| \frac{V''(\phi)}{V(\phi)} \right| \ll 1 $$

其中 $\epsilon$ 和 $\eta$ 是慢滚动参数 (Slow-roll Parameters)，$V''(\phi) = d^2V/d\phi^2$ 是势能对暴胀场的二阶导数。慢滚动条件保证了暴胀场在势能平坦区域缓慢滚动，从而驱动宇宙持续加速膨胀。

当暴胀场滚动到势能较陡峭的区域时，慢滚动条件不再满足，暴胀结束。暴胀场开始快速振荡，并衰变成标准模型粒子 (Standard Model Particles)，将暴胀时期的能量释放出来，使宇宙重新加热 (Reheating)，进入辐射主导时期，并开始后续的热大爆炸演化历程。

3.3.2 暴胀模型 (Inflationary Models)

自宇宙暴胀理论提出以来，物理学家们构建了各种不同的暴胀模型 (Inflationary Models)。这些模型在暴胀场的势能形式、暴胀场的数量、暴胀的持续时间等方面有所不同，但都旨在解释宇宙早期的加速膨胀，并解决标准热大爆炸理论的疑难。一些典型的暴胀模型包括：

① 混沌暴胀 (Chaotic Inflation)：混沌暴胀模型是最早提出的暴胀模型之一，由林德 (Andrei Linde) 提出。该模型假设暴胀场的势能形式为简单的二次型：
$$ V(\phi) = \frac{1}{2}m^2\phi^2 $$
其中 $m$ 是暴胀场的质量。混沌暴胀模型的优点是简单，容易实现暴胀，并且可以产生足够的暴胀量。然而，早期的混沌暴胀模型预言的张量-标量比 ($r$) 较大，与普朗克卫星的观测结果存在一定张力。

② 新暴胀 (New Inflation)：新暴胀模型由阿尔布雷希特 (Albrecht) 和斯泰因哈特 (Steinhardt)，以及林德 (Linde) 和维恩伯格 (Weinberg) 等人独立提出。新暴胀模型假设暴胀场的势能在一个平坦的 plateau 区域，暴胀场从 plateau 区域的顶部缓慢滚落到势能的最小值。新暴胀模型可以解决平坦性问题和视界问题，但早期的版本需要精细调节初始条件。

③ 混合暴胀 (Hybrid Inflation)：混合暴胀模型由林德 (Linde) 提出。混合暴胀模型引入了至少两个标量场，其中一个场负责驱动暴胀，另一个场负责结束暴胀。混合暴胀模型的势能形式较为复杂，可以实现各种不同的暴胀动力学。

④ R² 暴胀 (R-squared Inflation)：R² 暴胀模型基于修改引力理论 (Modified Gravity Theories)，在爱因斯坦-希尔伯特作用量 (Einstein-Hilbert Action) 中加入 $R^2$ 项，其中 $R$ 是里奇标量 (Ricci Scalar)。R² 暴胀模型可以自然地实现暴胀，并且预言的张量-标量比 ($r$) 较小，与普朗克卫星的观测结果符合得较好。

⑤ 自然暴胀 (Natural Inflation)：自然暴胀模型假设暴胀场是一个伪纳布-戈德斯通玻色子 (Pseudo-Nambu-Goldstone Boson, PNGB)，其势能受到移位对称性 (Shift Symmetry) 的保护，自然地具有平坦的势能。自然暴胀模型的势能形式通常为余弦函数：
$$ V(\phi) = \Lambda^4 \left[ 1 + \cos \left( \frac{\phi}{f} \right) \right] $$
其中 $\Lambda$ 和 $f$ 是模型参数。自然暴胀模型预言的张量-标量比 ($r$) 较小，但也受到参数空间的限制。

暴胀模型的观测检验 (Observational Tests of Inflationary Models)

宇宙暴胀理论的预言可以通过宇宙微波背景辐射 (CMB) 和大尺度结构 (Large-Scale Structure, LSS) 的观测来检验。主要的观测检验包括：

① 标量谱指数 ($n_s$)：暴胀模型预言原始密度扰动的功率谱接近标度不变谱 (Scale-invariant Spectrum)，即标量谱指数 $n_s \approx 1$。普朗克卫星的观测结果表明，$n_s \approx 0.96$，略小于 1，与暴胀理论的预言符合得较好。

② 张量-标量比 ($r$)：暴胀模型预言暴胀时期会产生引力波，引力波的强度可以用张量-标量比 $r$ 来描述。不同暴胀模型预言的 $r$ 值不同。普朗克卫星对 $r$ 的上限进行了限制，目前还没有探测到引力波信号。未来 CMB B 模偏振实验有望探测到暴胀引力波，为检验暴胀模型提供关键证据。

③ 非高斯性 (Non-Gaussianity)：标准单场慢滚动暴胀模型预言原始密度扰动接近高斯分布，非高斯性很小。一些非标准暴胀模型或多场暴胀模型可能预言较大的非高斯性。对 CMB 各向异性的非高斯性进行精确测量，可以检验暴胀模型。

④ 宇宙学参数 (Cosmological Parameters)：暴胀理论与 ΛCDM 模型相结合，构成了现代宇宙学标准模型。暴胀理论的预言需要与精确的宇宙学参数测量结果相符。普朗克卫星等 CMB 实验已经精确测量了宇宙学参数，为检验暴胀理论提供了重要数据。

通过不断改进 CMB 和大尺度结构的观测，并发展更精细的理论模型，我们有望更深入地理解宇宙暴胀的物理机制，揭示宇宙极早期的奥秘。

3.4 早期宇宙的粒子物理 (Particle Physics of the Early Universe)

早期宇宙的演化与粒子物理 (Particle Physics) 密切相关。在宇宙极早期，温度极高，粒子具有极高的能量，各种粒子不断产生和湮灭，宇宙处于一种极端的热平衡状态。随着宇宙的膨胀和冷却，宇宙经历了多次相变 (Phase Transitions)，粒子的相互作用和物质形态也发生了变化。粒子物理理论为我们理解早期宇宙的物理过程提供了理论框架。

早期宇宙的相变 (Phase Transitions in the Early Universe)

随着宇宙的冷却，宇宙经历了若干重要的相变，这些相变与基本粒子的相互作用和对称性破缺 (Symmetry Breaking) 有关：

① 大统一相变 (Grand Unification Phase Transition, GUT Phase Transition)：在宇宙极早期，温度极高，可能存在大统一理论 (Grand Unified Theory, GUT) 描述强相互作用和弱电相互作用的统一。随着宇宙冷却，温度降低到 GUT 尺度 ($ \sim 10^{16}$ GeV)，大统一对称性破缺，强相互作用与弱电相互作用分离。大统一相变可能产生拓扑缺陷，如磁单极子。暴胀理论可以稀释磁单极子的密度。

② 电弱相变 (Electroweak Phase Transition)：随着宇宙进一步冷却，温度降低到电弱尺度 ($ \sim 100$ GeV)，电弱对称性破缺，弱相互作用与电磁相互作用分离。希格斯机制 (Higgs Mechanism) 导致 W 和 Z 玻色子以及费米子 (如夸克和轻子) 获得质量。电弱相变可能是宇宙第一级相变 (First-order Phase Transition)，可能产生引力波。

③ 量子色动力学相变 (Quantum Chromodynamics Phase Transition, QCD Phase Transition)：当宇宙温度降低到 QCD 尺度 ($ \sim 100$ MeV) 时，夸克-胶子等离子体 (Quark-Gluon Plasma) 发生相变，夸克和胶子禁闭 (Confinement) 在强子 (Hadron) 中，形成质子、中子等强子。QCD 相变也可能是宇宙第一级相变，可能产生引力波。

早期宇宙中的粒子物理过程 (Particle Physics Processes in the Early Universe)

早期宇宙中发生着各种重要的粒子物理过程，这些过程影响了宇宙的演化和物质成分：

① 重子生成 (Baryogenesis)：宇宙中物质与反物质不对称 (Matter-Antimatter Asymmetry) 是一个重要的未解之谜。观测表明，我们宇宙中物质远多于反物质。重子生成理论旨在解释这种不对称性的起源。萨哈罗夫条件 (Sakharov Conditions) 给出了重子生成所需的三个条件：重子数不守恒 (Baryon Number Violation)、C 和 CP 对称性破坏 (C and CP Violation)、热力学非平衡 (Thermal Nonequilibrium)。早期宇宙的相变过程可能满足这些条件，从而产生重子不对称性。

② 暗物质的产生 (Dark Matter Production)：暗物质 (Dark Matter) 是宇宙物质的重要组成部分，但不与电磁相互作用发生作用，难以直接观测。弱相互作用重粒子 (Weakly Interacting Massive Particles, WIMPs) 是暗物质的候选者之一。WIMPs 可以通过热退耦 (Thermal Freeze-out) 机制在早期宇宙中产生。随着宇宙膨胀和冷却，WIMPs 的湮灭率降低，最终“冻结” (Freeze-out) 剩余下来，成为今天的暗物质。其他暗物质候选者，如轴子 (Axions) 和惰性中微子 (Sterile Neutrinos)，也可能在早期宇宙中产生。

③ 中微子退耦 (Neutrino Decoupling)：中微子 (Neutrinos) 是轻子的一种，与物质的相互作用非常弱。在早期宇宙中，中微子与其它粒子保持热平衡。随着宇宙膨胀和冷却，中微子的相互作用率降低，最终与其它粒子退耦 (Decoupling)，形成宇宙中微子背景 (Cosmic Neutrino Background, CNB)。CNB 的温度略低于 CMB 的温度，约为 1.95K。探测 CNB 是当前宇宙学研究的重要挑战。

④ 核合成 (Nucleosynthesis)：当宇宙年龄约为几分钟时，温度降低到核反应可以发生的范围 ($ \sim$ MeV)。质子和中子结合形成轻元素，如氘 (D)、氦 (He) 和锂 (Li)。热大爆炸核合成 (Big Bang Nucleosynthesis, BBN) 理论预言的轻元素丰度与观测结果高度吻合，是热大爆炸理论的重要证据。

粒子物理与宇宙学的前沿问题 (Frontier Issues in Particle Physics and Cosmology)

粒子物理与宇宙学的交叉研究领域，存在着许多重要的前沿问题：

① 暴胀的粒子物理模型 (Particle Physics Models of Inflation)：构建与粒子物理模型相容的暴胀模型，例如基于超对称 (Supersymmetry, SUSY) 或弦理论 (String Theory) 的暴胀模型。研究暴胀场的性质、暴胀势能的起源以及暴胀与标准模型粒子的关系。

② 暗物质的本质 (Nature of Dark Matter)：寻找暗物质粒子，例如通过直接探测 (Direct Detection)、间接探测 (Indirect Detection) 和对撞机实验 (Collider Experiments) 等手段。研究暗物质的性质、质量和相互作用。

③ 暗能量的本质 (Nature of Dark Energy)：理解暗能量的物理本质，例如宇宙学常数 (Cosmological Constant)、标量场模型 (Scalar Field Models) 或修改引力理论 (Modified Gravity Theories)。研究暗能量的性质和演化。

④ 早期宇宙的引力波 (Gravitational Waves from the Early Universe)：探测早期宇宙产生的引力波，例如暴胀引力波和相变引力波。引力波观测有望为研究宇宙极早期物理提供新的窗口。

⑤ 宇宙学参数的精确测量与标准模型的检验 (Precision Measurement of Cosmological Parameters and Tests of Standard Models)：通过 CMB、大尺度结构和引力波等多种观测手段，精确测量宇宙学参数，检验 ΛCDM 模型和标准模型，寻找超出标准模型的物理新现象。

早期宇宙的粒子物理研究，不仅有助于我们理解宇宙的起源和演化，也有助于我们探索基本粒子物理的前沿，揭示自然界更深层次的规律。

END_OF_CHAPTER

4. chapter 4：引力不稳定性和结构形成 (Gravitational Instability and Structure Formation)

4.1 密度扰动 (Density Perturbations)

宇宙大尺度结构的形成，始于早期宇宙中微小的密度涨落。这些微小的密度不均匀性，在引力的作用下逐渐增长，最终演化成我们今天观测到的星系、星系团以及更大的宇宙结构。理解密度扰动的起源和性质，是研究结构形成的关键。

4.1.1 扰动的起源 (Origin of Perturbations)

宇宙早期密度扰动的起源是现代宇宙学中最 фундаментальный (fundamental) 的问题之一。目前，被广泛接受的理论是暴胀理论 (Inflation Theory)。暴胀理论不仅解释了宇宙的平坦性、均匀性和各向同性，还为密度扰动的产生提供了机制。

① 量子涨落 (Quantum Fluctuations)：在暴胀时期，宇宙经历了指数级的快速膨胀。根据量子力学，即使在真空中也存在能量涨落，即量子涨落。暴胀将这些微小的量子涨落拉伸到宇宙学尺度，使其成为宇宙早期密度扰动的种子。

② 暴胀子的作用 (Role of Inflaton)：暴胀理论认为，宇宙的暴胀是由一种标量场，称为暴胀子 (inflaton) 驱动的。暴胀子的量子涨落导致了时空度规的涨落，进而转化为密度扰动。不同暴胀模型会预测不同性质的密度扰动。

③ 绝热扰动与等曲率扰动 (Adiabatic Perturbations and Isocurvature Perturbations)：根据不同成分（如光子、重子、暗物质等）的扰动关系，可以将密度扰动分为绝热扰动和等曲率扰动。
⚝ 绝热扰动 (Adiabatic Perturbations)：也称为同熵扰动 (isentropic perturbations)。在这种扰动中，不同成分的密度扰动是相关的，且满足局部热力学平衡。光子、重子和暗物质的密度扰动比例相同，熵扰动为零。暴胀理论自然地预言了绝热扰动是主导的扰动类型。
⚝ 等曲率扰动 (Isocurvature Perturbations)：在这种扰动中，总能量密度扰动为零，但不同成分的密度扰动相互补偿，导致成分之间的相对密度发生变化。例如，光子和暗物质的密度扰动可能符号相反，使得总能量密度扰动为零。等曲率扰动在早期宇宙中可能存在，但在 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation) 观测中，绝热扰动占据主导地位。

4.1.2 扰动的类型 (Types of Perturbations)

密度扰动可以从不同的角度进行分类，例如根据其空间分布、统计性质和演化行为。

① 高斯扰动与非高斯扰动 (Gaussian Perturbations and Non-Gaussian Perturbations)：
⚝ 高斯扰动 (Gaussian Perturbations)：如果密度扰动的统计分布服从高斯分布，则称为高斯扰动。高斯扰动的特点是完全由其功率谱 (power spectrum) 描述，功率谱描述了不同尺度上扰动的强度。暴胀理论通常预测接近高斯的扰动。
⚝ 非高斯扰动 (Non-Gaussian Perturbations)：如果密度扰动的统计分布偏离高斯分布，则称为非高斯扰动。非高斯性可以用高阶统计量，如双谱 (bispectrum) 和三谱 (trispectrum) 来描述。一些暴胀模型或者其他早期宇宙模型可以产生显著的非高斯性。对非高斯性的观测可以帮助我们区分不同的早期宇宙模型。

② 标量扰动、矢量扰动和张量扰动 (Scalar Perturbations, Vector Perturbations, and Tensor Perturbations)：根据扰动在广义坐标变换下的性质，可以将时空度规的扰动分为标量、矢量和张量三种类型。
⚝ 标量扰动 (Scalar Perturbations)：标量扰动是密度扰动的来源，也是结构形成的主要驱动力。绝热扰动和等曲率扰动都属于标量扰动。
⚝ 矢量扰动 (Vector Perturbations)：矢量扰动对应于旋转模式，在宇宙膨胀过程中会衰减，因此在结构形成中作用较小。
⚝ 张量扰动 (Tensor Perturbations)：张量扰动对应于引力波 (gravitational waves)。暴胀理论预言了暴胀时期会产生引力波背景，对引力波的探测可以提供关于暴胀时期能量尺度的信息。

③ 功率谱 (Power Spectrum)：功率谱 $P(k)$ 是描述密度扰动统计性质的重要工具，它表示不同波数 $k$ （对应于不同尺度 $\lambda \sim 1/k$）的扰动强度。对于标量扰动，功率谱定义为：
$$
\langle \delta_{\mathbf{k}} \delta_{\mathbf{k}'}^* \rangle = (2\pi)^3 \delta_D(\mathbf{k} - \mathbf{k}') P(k)
$$
其中 $\delta_{\mathbf{k}}$ 是密度对比度 $\delta(\mathbf{x}) = \frac{\rho(\mathbf{x}) - \bar{\rho}}{\bar{\rho}}$ 的傅里叶变换，$\bar{\rho}$ 是平均密度，$\delta_D$ 是狄拉克 $\delta$ 函数。暴胀理论预言的功率谱通常是接近幂律谱的形式：
$$
P(k) \propto k^{n_s - 1}
$$
其中 $n_s$ 是标量谱指数 (scalar spectral index)。$n_s = 1$ 对应于哈里森-泽尔维多维奇谱 (Harrison-Zel'dovich spectrum)，即标度不变谱 (scale-invariant spectrum)。实际观测表明，$n_s \approx 0.965$，略小于 1，表明功率谱略微偏离标度不变性。

4.2 线性增长理论 (Linear Growth Theory)

在线性增长阶段，密度扰动的幅度相对较小 ($\delta \ll 1$)，我们可以使用线性理论来研究扰动的演化。线性增长理论是理解结构形成早期阶段的关键。

4.2.1 牛顿近似 (Newtonian Approximation)

在研究小尺度上的结构形成时，通常可以使用牛顿近似，忽略广义相对论效应。牛顿近似在非相对论性物质主导的宇宙中是有效的。

① 基本方程 (Basic Equations)：在牛顿近似下，描述密度扰动演化的基本方程包括：
⚝ 连续性方程 (Continuity Equation)：描述质量守恒
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0
$$
⚝ 欧拉方程 (Euler Equation)：描述动量守恒
$$
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla P - \nabla \Phi
$$
⚝ 泊松方程 (Poisson Equation)：描述引力场
$$
\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho
$$
其中 $\rho$ 是密度，$\mathbf{v}$ 是速度场，$P$ 是压强，$\Phi$ 是引力势，$G$ 是万有引力常数。

② 线性化 (Linearization)：将物理量分解为背景值和扰动量，例如 $\rho = \bar{\rho} + \delta \rho$，$\mathbf{v} = \bar{\mathbf{v}} + \delta \mathbf{v}$，$\Phi = \bar{\Phi} + \delta \Phi$，并忽略高阶小量，得到线性化的方程。在膨胀宇宙中，背景速度 $\bar{\mathbf{v}} = H(t) \mathbf{x}$，其中 $H(t) = \dot{a}/a$ 是哈勃参数，$a(t)$ 是标度因子。密度对比度 $\delta = \delta \rho / \bar{\rho}$。线性化后的方程组为：
⚝ 连续性方程：
$$
\frac{\partial \delta}{\partial t} + \frac{1}{a} \nabla \cdot \delta \mathbf{v} = 0
$$
⚝ 欧拉方程：
$$
\frac{\partial \delta \mathbf{v}}{\partial t} + H \delta \mathbf{v} = -\frac{c_s^2}{a} \nabla \delta - \frac{1}{a} \nabla \delta \Phi
$$
⚝ 泊松方程：
$$
\nabla^2 \delta \Phi = 4\pi G \bar{\rho} a^2 \delta
$$
其中 $c_s^2 = \partial P / \partial \rho$ 是声速的平方。这里使用了随动坐标 (comoving coordinates) $\mathbf{r} = a(t) \mathbf{x}$，梯度 $\nabla$ 是对随动坐标求导。

③ 增长方程 (Growth Equation)：将上述线性化方程组结合起来，可以得到密度对比度 $\delta$ 的二阶微分方程，称为增长方程：
$$
\ddot{\delta} + 2H \dot{\delta} - \frac{c_s^2}{a^2} \nabla^2 \delta - 4\pi G \bar{\rho} \delta = 0
$$
在傅里叶空间中，$\nabla^2 \rightarrow -k^2$，增长方程变为：
$$
\ddot{\delta}{\mathbf{k}} + 2H \dot{\delta}} + \left( \frac{c_s^2 k^2}{a^2} - 4\pi G \bar{\rho} \right) \delta_{\mathbf{k}} = 0
$$
这个方程描述了不同波数 $k$ 的密度扰动模式的演化。

4.2.2 Jeans 不稳定性 (Jeans Instability)

Jeans 不稳定性描述了在引力作用下，密度扰动增长的条件。当引力效应超过压强效应时，扰动就会增长。

① Jeans 波数与 Jeans 长度 (Jeans Wavenumber and Jeans Length)：定义 Jeans 波数 $k_J$ 和 Jeans 长度 $\lambda_J = 2\pi / k_J$ 为：
$$
k_J^2 = \frac{4\pi G \bar{\rho} a^2}{c_s^2}, \quad \lambda_J = c_s \sqrt{\frac{\pi}{G \bar{\rho}}} a
$$
当 $k < k_J$ (或 $\lambda > \lambda_J$) 时，方程中的引力项 $4\pi G \bar{\rho}$ 超过压强项 $c_s^2 k^2 / a^2$，扰动会指数增长，发生 Jeans 不稳定性。当 $k > k_J$ (或 $\lambda < \lambda_J$) 时，压强效应占主导，扰动会以声波的形式振荡。

② 物理意义 (Physical Interpretation)：Jeans 长度 $\lambda_J$ 代表了引力与压强平衡的临界尺度。大于 Jeans 长度的扰动，其自身引力足以克服压强，导致塌缩和增长；小于 Jeans 长度的扰动，压强可以抵抗引力，导致振荡。

4.2.3 物质主导宇宙中的增长 (Growth in Matter-Dominated Universe)

在物质主导宇宙中，宇宙的能量密度主要由非相对论性物质（如暗物质和重子物质）贡献。此时，宇宙的膨胀由物质密度决定，$a(t) \propto t^{2/3}$，哈勃参数 $H = \frac{2}{3t}$，平均密度 $\bar{\rho} \propto a^{-3} \propto t^{-2}$。忽略压强项 ($c_s^2 \approx 0$，对于冷暗物质)，增长方程简化为：
$$
\ddot{\delta}{\mathbf{k}} + 2H \dot{\delta}} - 4\pi G \bar{\rho} \delta_{\mathbf{k}} = 0
$$
将 $H = \frac{2}{3t}$ 和 $4\pi G \bar{\rho} = \frac{2}{3t^2}$ 代入，得到：
$$
\ddot{\delta}{\mathbf{k}} + \frac{4}{3t} \dot{\delta}} - \frac{2}{3t^2} \delta_{\mathbf{k}} = 0
$$
这个方程有两个解：一个增长模式 $\delta_{\mathbf{k}} \propto t^{2/3} \propto a(t)$，和一个衰减模式 $\delta_{\mathbf{k}} \propto t^{-1} \propto a^{-3/2}(t)$。在物质主导宇宙中，密度扰动以标度因子 $a(t)$ 的速度增长。增长因子 (growth factor) $D(t)$ 定义为 $\delta(t) = D(t) \delta(t_0)$，在物质主导宇宙中，$D(t) \propto a(t)$。

4.2.4 辐射主导宇宙中的增长 (Growth in Radiation-Dominated Universe)

在辐射主导宇宙中，宇宙的能量密度主要由相对论性粒子（如光子和中微子）贡献。此时，宇宙的膨胀由辐射密度决定，$a(t) \propto t^{1/2}$，哈勃参数 $H = \frac{1}{2t}$，平均密度 $\bar{\rho} \propto a^{-4} \propto t^{-2}$。对于暗物质扰动，由于暗物质是非相对论性的，压强可以忽略 ($c_s^2 \approx 0$)。增长方程变为：
$$
\ddot{\delta}{\mathbf{k}} + 2H \dot{\delta}} - 4\pi G \bar{\rho}m \delta} = 0
$$
其中 $\bar{\rho}_m$ 是暗物质的平均密度，$\bar{\rho}m \propto a^{-3} \propto t^{-3/2}$。将 $H = \frac{1}{2t}$ 和 $4\pi G \bar{\rho}_m \propto t^{-3/2}$ 代入，增长方程变为：
$$
\ddot{\delta}} + \frac{1}{t} \dot{\delta}{\mathbf{k}} - C t^{-3/2} \delta} = 0
$$
其中 $C$ 是常数。在辐射主导时期，密度扰动的增长非常缓慢，近似为对数增长。这是因为辐射主导时期的宇宙膨胀速度更快，引力增长效应被宇宙膨胀稀释。只有在物质主导时期，密度扰动才能有效地增长。这种增长抑制效应被称为 Meszaros 效应 (Meszaros effect)。

4.3 非线性结构形成 (Non-linear Structure Formation)

当密度扰动增长到 $\delta \sim 1$ 时，线性增长理论不再适用，需要考虑非线性效应。非线性结构形成描述了宇宙结构从线性增长阶段到形成星系、星系团等致密结构的演化过程。

4.3.1 球状塌缩模型 (Spherical Collapse Model)

球状塌缩模型是一个简化的非线性结构形成模型，它假设一个初始球状均匀密度扰动在自身引力作用下塌缩。虽然这是一个高度理想化的模型，但它提供了对非线性塌缩过程的基本理解。

① 模型描述 (Model Description)：考虑一个初始密度略高于宇宙平均密度的球状区域。根据 Birkhoff 定理，球状区域的演化只受其内部质量的影响，可以独立于外部宇宙进行分析。将球状区域视为一个独立的宇宙，其演化由弗里德曼方程 (Friedmann equations) 描述。

② 塌缩过程 (Collapse Process)：
⚝ 膨胀阶段 (Expansion Phase)：初始时，球状区域随着宇宙膨胀而膨胀，但由于其密度较高，膨胀速度比背景宇宙慢。
⚝ 转折点 (Turnaround Point)：当球状区域膨胀到最大半径时，膨胀速度变为零，达到转折点。此时，球状区域的密度远高于背景宇宙密度。
⚝ 塌缩阶段 (Collapse Phase)：在转折点之后，球状区域开始在自身引力作用下塌缩。
⚝ 维里化 (Virialization)：理想情况下，球状区域会塌缩到一个密度无限大的奇点。但在实际情况下，由于各种物理过程（如弛豫、涨落等），塌缩过程会达到一个动态平衡状态，称为维里化。维里化状态满足维里定理 (Virial Theorem)：$2K + U = 0$，其中 $K$ 是总动能，$U$ 是总势能。

③ 过密度与塌缩时间 (Overdensity and Collapse Time)：球状塌缩模型可以预测塌缩结构的过密度和塌缩时间。在线性理论中，当外推的线性密度对比度达到 $\delta_c \approx 1.686$ 时，球状区域会发生非线性塌缩。实际的非线性过密度在维里化时约为 $\Delta_v \approx 200$ 倍背景密度（取决于宇宙学参数）。塌缩时间与初始扰动的幅度有关，幅度越大，塌缩越快。

4.3.2 Zeldovich 近似 (Zeldovich Approximation)

Zeldovich 近似是一种半解析的非线性结构形成近似方法，它将粒子的运动轨迹近似为直线运动，考虑了引力对粒子运动的修正。Zeldovich 近似在早期非线性阶段提供了一个比线性理论更好的描述。

① 位移场 (Displacement Field)：Zeldovich 近似引入位移场 $\mathbf{\Psi}(\mathbf{q}, t)$，将粒子的实际位置 $\mathbf{x}$ 表示为初始位置 $\mathbf{q}$ 和位移场之和：
$$
\mathbf{x}(\mathbf{q}, t) = \mathbf{q} + \mathbf{\Psi}(\mathbf{q}, t)
$$
其中 $\mathbf{q}$ 是拉格朗日坐标 (Lagrangian coordinates)，$\mathbf{x}$ 是欧拉坐标 (Eulerian coordinates)。位移场 $\mathbf{\Psi}$ 与初始引力势 $\Phi_i$ 的梯度成正比：
$$
\mathbf{\Psi}(\mathbf{q}, t) = -D(t) \nabla_{\mathbf{q}} \Phi_i(\mathbf{q})
$$
其中 $D(t)$ 是线性增长因子，$\nabla_{\mathbf{q}}$ 是对拉格朗日坐标求导。

② 密度场 (Density Field)：利用雅可比行列式 (Jacobian determinant) 可以计算欧拉坐标下的密度场 $\rho(\mathbf{x}, t)$ 与拉格朗日坐标下的初始密度场 $\rho_i(\mathbf{q})$ 的关系：
$$
\rho(\mathbf{x}, t) = \frac{\rho_i(\mathbf{q})}{|\det(\partial x_i / \partial q_j)|} = \frac{\rho_i(\mathbf{q})}{\det(\mathbf{I} + \mathbf{T})}
$$
其中 $\mathbf{T}$ 是形变张量 (deformation tensor)，$T_{ij} = \partial \Psi_i / \partial q_j = -D(t) \partial^2 \Phi_i / \partial q_i \partial q_j$。密度对比度 $\delta(\mathbf{x}, t) = \frac{\rho(\mathbf{x}, t) - \bar{\rho}}{\bar{\rho}} \approx \frac{\rho(\mathbf{x}, t)}{\bar{\rho}} - 1$。在 Zeldovich 近似下，密度对比度可以近似为：
$$
1 + \delta(\mathbf{x}, t) \approx \frac{1}{\det(\mathbf{I} + \mathbf{T})} \approx \frac{1}{(1 - \lambda_1 D(t))(1 - \lambda_2 D(t))(1 - \lambda_3 D(t))}
$$
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是形变张量 $\mathbf{T}$ 的本征值。

③ 煎饼结构 (Pancakes)：Zeldovich 近似预言，结构形成首先沿着最小本征值 $\lambda_1$ 对应的方向塌缩，形成煎饼状结构 (pancakes)。随后，沿着次小本征值 $\lambda_2$ 对应的方向塌缩，形成纤维状结构 (filaments)。最后，沿着最大本征值 $\lambda_3$ 对应的方向塌缩，形成节点状结构 (nodes)，即星系团。Zeldovich 近似可以较好地描述早期非线性结构形成的各向异性塌缩过程。

4.4 数值模拟 (Numerical Simulations)

对于完全非线性的结构形成过程，解析方法变得非常困难。数值模拟是研究非线性结构形成的重要工具。通过数值模拟，我们可以追踪大量粒子的运动和引力相互作用，模拟宇宙结构的演化。

4.4.1 N-体模拟 (N-body Simulations)

N-体模拟是研究引力相互作用下无碰撞暗物质粒子运动的数值方法。在 N-体模拟中，宇宙中的暗物质被离散化为大量的粒子，通过数值求解粒子的运动方程和引力场方程，模拟暗物质结构的形成。

① 算法流程 (Algorithm Flow)：
⚝ 初始化 (Initialization)：根据初始功率谱生成初始密度场和速度场，并将暗物质粒子按照初始密度分布放置在模拟盒子中。
⚝ 力计算 (Force Calculation)：计算每个粒子受到的引力。常用的力计算方法包括：
▮▮▮▮⚝ 直接求和法 (Direct Summation)：直接计算所有粒子对之间的引力，计算量为 $O(N^2)$，适用于粒子数较少的情况。
▮▮▮▮⚝ 树形算法 (Tree Algorithm)：将粒子分组，远处的粒子组近似为一个质点，减少力计算的次数，计算量为 $O(N \log N)$ 或 $O(N)$。例如 Barnes-Hut 树形算法和快速多极展开法 (Fast Multipole Method, FMM)。
▮▮▮▮⚝ 粒子网格法 (Particle-Mesh, PM)：将密度场分配到网格上，在傅里叶空间求解泊松方程，再将力插值回粒子位置，计算量为 $O(N_{grid} \log N_{grid} + N)$，适用于大规模模拟。
▮▮▮▮⚝ 自适应网格加密法 (Adaptive Mesh Refinement, AMR)：在密度高的区域使用更精细的网格，提高模拟精度和分辨率，适用于高动态范围的模拟。例如 ART (Adaptive Refinement Tree) 代码。
⚝ 时间演化 (Time Evolution)：使用数值积分方法（如蛙跳积分 (leapfrog integration)）更新粒子的位置和速度。
⚝ 迭代 (Iteration)：重复力计算和时间演化步骤，直到模拟达到所需的宇宙演化时间。
⚝ 数据分析 (Data Analysis)：分析模拟结果，提取宇宙结构的统计性质，如功率谱、关联函数、晕函数 (halo function) 等。

② 常用 N-体模拟代码 (Popular N-body Simulation Codes)：
⚝ Gadget (GAlaxies with Dark matter and Gas intEracT)：广泛使用的 N-体和流体动力学模拟代码，基于树形算法和 SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) 方法。
⚝ Arepo：基于 Voronoi 网格的流体动力学模拟代码，采用移动网格方法，可以更好地处理流体动力学不稳定性。
⚝ RAMSES (Refinement Adaptive Mesh Simulations in Cosmology and Astrophysics)：基于 AMR 的 N-体和流体动力学模拟代码，适用于高分辨率模拟。
⚝ Enzo：另一个基于 AMR 的 N-体和流体动力学模拟代码，功能强大，应用广泛。

4.4.2 流体动力学模拟 (Hydrodynamic Simulations)

流体动力学模拟不仅考虑暗物质的引力相互作用，还包括重子物质的流体动力学效应，如压强、冷却、加热、星系形成和反馈等过程。流体动力学模拟可以更真实地模拟宇宙结构的形成和演化，特别是星系和星系团的形成。

① SPH 方法 (Smoothed Particle Hydrodynamics)：SPH 是一种拉格朗日粒子方法，将流体离散化为大量的粒子，每个粒子携带质量、能量、熵等流体属性。流体属性通过核函数 (kernel function) 平滑到周围粒子，从而计算流体动力学量。SPH 方法适用于处理大变形和自由表面流动问题，常用于宇宙学流体动力学模拟。

② 网格方法 (Grid-Based Methods)：网格方法将空间离散化为网格，在网格上求解流体动力学方程。网格方法可以分为固定网格方法和自适应网格方法。自适应网格方法 AMR 可以在高密度区域使用更精细的网格，提高模拟精度。网格方法适用于处理激波和接触间断等问题。

③ 模拟物理过程 (Simulated Physical Processes)：宇宙学流体动力学模拟通常需要考虑以下物理过程：
⚝ 引力 (Gravity)：暗物质和重子物质的引力相互作用。
⚝ 气体动力学 (Gas Dynamics)：重子气体的压强、运动、激波等。
⚝ 辐射冷却与加热 (Radiative Cooling and Heating)：气体通过辐射冷却损失能量，通过宇宙背景辐射和星系反馈等过程获得能量。
⚝ 星系形成 (Star Formation)：气体在引力作用下塌缩形成恒星。
⚝ 恒星反馈 (Stellar Feedback)：恒星通过超新星爆发、星风等方式将能量和重元素反馈回周围气体，影响星系形成和演化。
⚝ 活动星系核反馈 (AGN Feedback)：活动星系核 (Active Galactic Nuclei, AGN) 喷流和辐射对周围气体产生影响，抑制星系和星系团的形成。

通过结合 N-体模拟和流体动力学模拟，我们可以更全面地理解宇宙大尺度结构的形成和演化，以及星系在宇宙结构中的形成和演化过程。数值模拟已成为现代宇宙学研究不可或缺的工具。

END_OF_CHAPTER

5. chapter 5：暗物质与暗能量 (Dark Matter and Dark Energy)

5.1 暗物质的证据 (Evidence for Dark Matter)

暗物质 (Dark Matter) 是一种不与电磁波相互作用的物质，因此我们无法直接观测到它，但它通过引力效应影响着宇宙中的可见物质和光线。暗物质的存在是现代宇宙学中最令人信服但又最神秘的谜题之一。本节将详细介绍支持暗物质存在的关键观测证据。

5.1.1 星系旋转曲线 (Galaxy Rotation Curves)

星系旋转曲线是早期发现暗物质存在的最有力证据之一。在20世纪70年代，天文学家 Vera Rubin 和她的合作者对大量星系的旋转曲线进行了细致的观测研究。

经典理论预测与观测的矛盾：
根据牛顿引力理论和可见物质的分布，星系外围恒星的旋转速度应该随着距离星系中心的距离增加而下降，类似于太阳系中行星的轨道速度随着距离太阳的增加而减小。这是因为在更大的半径处，恒星外侧的质量减少，引力减弱。

观测结果：
然而，Vera Rubin 等人的观测发现，许多星系，特别是旋涡星系，其旋转曲线在远离星系核的区域仍然保持平坦，甚至略有上升，而不是像经典理论预测的那样下降。这意味着星系外围恒星的旋转速度异常地快，以至于仅靠可见物质提供的引力不足以束缚住这些恒星，它们应该会飞散出去。

暗物质晕轮的假设：
为了解释这种现象，科学家们提出了暗物质晕轮 (Dark Matter Halo) 的概念。暗物质被认为分布在星系周围，形成一个巨大的球状晕轮，包围着可见的星系盘。即使在可见物质密度很低的星系外围，暗物质晕轮仍然提供额外的引力，使得外围恒星能够以较高的速度稳定旋转。

数学描述：
假设一个星系的总质量为 $M(r)$，半径为 $r$ 的圆轨道上的恒星的旋转速度为 $v(r)$。根据牛顿引力，向心力等于引力： $$ \frac{mv(r)^2}{r} = \frac{GM(r)m}{r^2} $$ 其中 $m$ 是恒星的质量，$G$ 是引力常数。由此可以得到旋转速度 $v(r)$ 的表达式： $$ v(r) = \sqrt{\frac{GM(r)}{r}} $$ 如果只考虑可见物质，那么 $M(r)$ 在星系外围会趋于一个常数，因此 $v(r) \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$，即旋转速度应该随半径增加而下降。但观测到的平坦旋转曲线意味着 $v(r) \approx \text{constant}$，这要求 $M(r) \propto r$，即质量随半径线性增加，即使在可见物质密度已经很低的外围区域。这暗示了存在一种看不见的物质，其质量分布延伸到星系可见部分之外，并主导了星系外围的引力。

总结：
星系旋转曲线的平坦化是暗物质存在的最直接和最经典的证据之一，它强有力地表明，星系中存在着大量的非可见物质，这些物质通过引力作用影响着星系的动力学行为。

5.1.2 星系团中的热气体 (Hot Gas in Galaxy Clusters)

星系团 (Galaxy Clusters) 是宇宙中最大的引力束缚结构，包含数百甚至数千个星系，以及大量的热气体。对星系团的观测也提供了暗物质存在的有力证据。

热气体的观测：
星系团中存在大量的热气体，温度高达 $10^7 - 10^8$ K，这些气体主要以 X 射线辐射的形式被观测到。热气体的存在可以通过 X 射线望远镜进行探测。

热气体的束缚问题：
热气体之所以能够聚集在星系团中，是因为星系团的引力势阱束缚住了它们。然而，如果只考虑星系团中可见星系和热气体的质量，那么根据维里定理 (Virial Theorem)，这些可见物质提供的引力不足以束缚住如此高温的热气体。如果引力不足，热气体应该会以极高的速度逃逸出星系团。

维里定理的应用：
维里定理在天体物理学中用于估计引力束缚系统的质量。对于一个处于平衡状态的星系团，维里定理可以近似表示为： $$ 2K + U = 0 $$ 其中 $K$ 是系统的总动能，$U$ 是系统的总势能。对于星系团，动能主要来自于星系和热气体的运动，势能主要来自于引力势能。

对于热气体，其动能 $K \approx \frac{3}{2} NkT$，其中 $N$ 是气体粒子总数，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是气体温度。势能 $U \approx -\frac{GM^2}{R}$，其中 $M$ 是星系团的总质量，$R$ 是星系团的特征半径。根据维里定理，可以估计出星系团的总质量： $$ M \approx \frac{3RkT}{Gm_p} $$ 其中 $m_p$ 是质子的质量（假设气体主要由质子组成）。

质量差异：
通过 X 射线观测热气体的温度和分布，以及光学观测星系团的尺度，可以利用维里定理估算出星系团的总质量。然而，将这个总质量与星系团中可见星系和热气体的质量加起来进行比较，会发现存在显著的差异。维里定理估算的总质量通常比可见物质质量高出一个数量级甚至更多。

暗物质的解释：
为了解释这种质量差异，科学家们认为星系团中也存在大量的暗物质。暗物质提供了额外的引力，使得星系团的引力势阱足够深，从而能够束缚住高温的热气体，并维持星系团的稳定结构。

总结：
星系团中热气体的存在和维里定理的应用，揭示了星系团中存在大量的非可见物质，这些物质通过引力作用贡献了星系团的主要质量，并束缚住了高温的热气体。这为暗物质的存在提供了强有力的证据。

5.1.3 引力透镜 (Gravitational Lensing)

引力透镜 (Gravitational Lensing) 效应是广义相对论预言的一种现象，即大质量天体可以弯曲周围的时空，使得光线在经过大质量天体附近时发生偏折，就像光线通过透镜一样。引力透镜效应为探测暗物质提供了一种独特而有效的方法。

引力透镜的基本原理：
根据广义相对论，光线在引力场中会沿着弯曲的时空路径传播。当光线从遥远的光源（如类星体、背景星系）发出，经过一个前景的大质量天体（如星系、星系团）时，其路径会发生弯曲。观测者会看到光源的像发生扭曲、放大甚至形成多个像。

引力透镜的类型：
引力透镜效应根据透镜质量分布和光线偏折程度的不同，可以分为强引力透镜和弱引力透镜。
① 强引力透镜 (Strong Gravitational Lensing)：当透镜质量非常集中时，光线偏折角度较大，可以形成多个明显分离的像，甚至形成爱因斯坦环 (Einstein Ring)。强引力透镜通常发生在星系团或大质量星系周围。
② 弱引力透镜 (Weak Gravitational Lensing)：当透镜质量分布较为弥散或质量较小时，光线偏折角度较小，只能引起背景星系像的微小形变，例如轻微的拉伸或压缩。弱引力透镜效应需要统计分析大量背景星系的形状来探测。

利用引力透镜探测暗物质：
引力透镜效应的强度取决于透镜天体的总质量，而不仅仅是可见物质的质量。因此，通过观测引力透镜效应，可以测量透镜天体的总质量，包括可见物质和暗物质的质量。

星系团引力透镜：
星系团是宇宙中质量最大的结构，其引力透镜效应非常显著。通过观测星系团周围的强引力透镜现象，例如爱因斯坦环和多重像，可以精确测量星系团的总质量分布。研究表明，星系团的总质量远远大于可见星系和热气体的质量之和，这表明星系团中存在大量的暗物质，并且暗物质的分布与引力透镜效应观测到的质量分布相吻合。

弱引力透镜巡天：
弱引力透镜效应虽然微弱，但可以通过对大规模星系巡天数据进行统计分析来探测。通过测量大量背景星系形状的微小关联性，可以绘制出前景物质的质量分布图。弱引力透镜巡天已经成为研究宇宙大尺度结构和暗物质分布的重要工具。例如，通过弱引力透镜巡天，科学家们可以绘制出宇宙中暗物质的分布图，并发现暗物质晕轮不仅存在于星系周围，也存在于星系团和宇宙纤维状结构中。

总结：
引力透镜效应提供了一种直接测量天体总质量的方法，而无需依赖于可见物质的观测。强引力透镜和弱引力透镜的观测都表明，宇宙中存在大量的暗物质，并且暗物质的分布与引力透镜效应观测到的质量分布相符。引力透镜效应为暗物质的存在提供了独立且有力的证据。

5.1.4 CMB 和大尺度结构 (CMB and Large-Scale Structure)

宇宙微波背景辐射 (CMB) 和宇宙大尺度结构 (Large-Scale Structure) 的观测也为暗物质的存在提供了重要的宇宙学证据。

CMB 各向异性：
CMB 是宇宙早期（约38万年）遗留下来的热辐射，其温度在全天均匀分布，但存在微小的温度涨落，称为 CMB 各向异性 (CMB Anisotropies)。这些温度涨落反映了早期宇宙密度扰动的分布，是宇宙结构形成的种子。

暗物质在 CMB 各向异性中的作用：
在宇宙早期，物质主要由普通物质（重子物质）和暗物质组成。普通物质与光子相互作用，而暗物质几乎不与光子相互作用。在 CMB 形成时期，普通物质受到光子压力的影响，其密度扰动的增长受到抑制，而暗物质不受光子压力的影响，其密度扰动可以自由增长。

CMB 各向异性谱的分析：
通过分析 CMB 各向异性谱（即温度涨落的统计性质），可以精确测量宇宙的物质成分。CMB 观测结果表明，宇宙中普通物质的密度只占总物质密度的约 15%，而暗物质的密度占总物质密度的约 85%。这意味着暗物质是宇宙物质的主要成分。

大尺度结构的形成：
宇宙大尺度结构，如星系、星系团、宇宙纤维状结构和空洞，是由早期宇宙的微小密度扰动在引力作用下逐渐增长形成的。暗物质在结构形成过程中起着至关重要的作用。

暗物质在结构形成中的作用：
由于暗物质不受光子压力的影响，其密度扰动可以早在辐射主导时期就开始增长。当宇宙进入物质主导时期后，暗物质的引力吸引普通物质向其聚集，加速了宇宙结构的形成。如果没有暗物质，仅靠普通物质的引力，宇宙结构形成的速率会大大减慢，无法在宇宙现有年龄内形成我们今天观测到的丰富的大尺度结构。

大尺度结构的观测与模拟：
通过星系巡天等观测手段，可以研究宇宙大尺度结构的分布和演化。数值模拟（如 N-体模拟）可以模拟宇宙结构形成的物理过程。对比观测数据和模拟结果表明，只有在模型中加入暗物质，才能成功解释宇宙大尺度结构的形成和演化。暗物质的密度、性质和分布对大尺度结构的形成具有重要影响。

总结：
CMB 各向异性和宇宙大尺度结构的观测为暗物质的存在提供了独立的宇宙学证据。CMB 观测揭示了暗物质是宇宙物质的主要成分，而大尺度结构的形成和演化需要暗物质的引力作用来解释。这些证据与星系旋转曲线、星系团热气体和引力透镜等观测结果相互印证，共同构建了暗物质存在的坚实证据链。

5.2 暗物质的候选者 (Dark Matter Candidates)

尽管暗物质的存在已被多种观测证据所证实，但暗物质的本质仍然是一个谜。物理学家提出了各种暗物质候选者，试图解释暗物质的粒子属性。这些候选者主要分为冷暗物质 (Cold Dark Matter, CDM)、热暗物质 (Hot Dark Matter, HDM) 和暖暗物质 (Warm Dark Matter, WDM) 等类型，其中冷暗物质模型在解释宇宙大尺度结构方面最为成功，是目前的主流模型。本节将介绍几种主要的冷暗物质候选者。

5.2.1 WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles)

WIMPs (Weakly Interacting Massive Particles，弱相互作用重粒子) 是目前最受关注的冷暗物质候选者之一。WIMPs 是一类假想的粒子，其质量较大（通常在 GeV 到 TeV 尺度），并且通过弱相互作用与普通物质发生相互作用。

WIMP 的理论动机：
WIMP 的存在可以自然地解释暗物质的丰度。在早期宇宙中，WIMPs 与普通物质处于热平衡状态，通过湮灭和产生过程相互转化。随着宇宙膨胀和温度降低，WIMP 的湮灭率下降，当湮灭率变得足够小，WIMP 的丰度就被“冻结”下来，不再发生显著变化。通过调整 WIMP 的质量和相互作用强度，可以使得冻结后的 WIMP 丰度与观测到的暗物质密度相符，这被称为 “WIMP 奇迹” (WIMP Miracle)。

WIMP 的性质：
① 质量：WIMP 的质量通常被认为在 GeV 到 TeV 尺度，这个质量范围与弱相互作用的能量尺度相符。
② 弱相互作用：WIMP 通过弱相互作用与普通物质发生相互作用，但相互作用强度非常弱，因此难以直接探测。
③ 冷暗物质：WIMP 是非相对论性的粒子，属于冷暗物质，符合冷暗物质模型的要求。

WIMP 的探测方法：
由于 WIMP 与普通物质存在弱相互作用，因此可以通过多种实验方法进行探测：
① 直接探测 (Direct Detection)：直接探测实验旨在探测 WIMP 与原子核碰撞产生的微弱信号。这些实验通常使用大型地下探测器，探测器材料可以是液氙、锗晶体等。当 WIMP 与探测器材料中的原子核发生弹性散射时，会释放出可探测的能量，例如闪烁光、电离或声子。直接探测实验面临的主要挑战是极低的事件率和宇宙射线等背景噪声的干扰。
② 间接探测 (Indirect Detection)：间接探测实验旨在探测 WIMP 湮灭或衰变产生的标准模型粒子，例如伽马射线、宇宙射线（正电子、反质子）和中微子。WIMP 在高密度区域（如星系中心、星系团）湮灭率较高，可能产生可探测的信号。间接探测实验通过空间望远镜（如费米伽马射线空间望远镜）和地面探测器（如冰立方中微子探测器）进行观测。
③ 对撞机产生 (Collider Production)：如果 WIMP 的质量在对撞机能量范围内，可以通过高能粒子对撞机（如大型强子对撞机 LHC）直接产生 WIMP。对撞机实验通过寻找能量和动量不平衡的事件来寻找 WIMP 产生的迹象，因为 WIMP 几乎不与探测器相互作用，会带走能量和动量，导致探测器中出现“缺失能量”信号。

WIMP 的候选粒子：
超对称理论 (Supersymmetry) 预言存在一类被称为中性微子 (Neutralino) 的粒子，中性微子是一类电中性的、弱相互作用的粒子，质量在 GeV 到 TeV 尺度，是 WIMP 的理想候选者。其他 WIMP 候选粒子还包括惰性双重态模型 (Inert Doublet Model) 中的惰性希格斯粒子等。

当前探测状况：
尽管 WIMP 是最受关注的暗物质候选者，但迄今为止，直接探测、间接探测和对撞机实验尚未明确探测到 WIMP 信号。直接探测实验（如 XENON、LUX、PandaX）给出了 WIMP 与原子核相互作用截面的上限，间接探测实验（如费米-LAT）在某些能量范围内观测到一些超出背景的信号，但这些信号的暗物质解释仍存在争议。LHC 对撞机实验也尚未发现超对称粒子或其他 WIMP 候选粒子的明确证据。

未来展望：
新一代的 WIMP 直接探测实验（如 LZ、PandaX-4T、XENONnT）将具有更高的灵敏度，有望在未来几年内探测到 WIMP 信号，或者进一步缩小 WIMP 的参数空间。间接探测实验和对撞机实验也将继续在寻找 WIMP 方面发挥重要作用。

5.2.2 轴子 (Axions)

轴子 (Axions) 是另一种重要的暗物质候选者。轴子最初是为了解决强相互作用中的 CP 问题 (Strong CP Problem) 而提出的假想粒子，后来发现轴子也可能成为暗物质的候选者。

强 CP 问题：
强 CP 问题是指在量子色动力学 (QCD) 中，理论上允许存在一项破坏 CP 对称性的项，但实验上至今未观测到这种 CP 破坏效应。为了解决强 CP 问题，物理学家 Peccei 和 Quinn 提出了 Peccei-Quinn 机制，引入了一种新的全局 U(1) 对称性，称为 Peccei-Quinn 对称性。轴子是 Peccei-Quinn 对称性自发破缺产生的 Goldstone 玻色子。

轴子的性质：
① 极轻质量：轴子的质量非常轻，通常认为在 $\mu$eV 到 meV 尺度，远小于 WIMP 的质量。轴子的质量与其相互作用强度成反比，质量越轻，相互作用越弱。
② 极弱相互作用：轴子与普通物质的相互作用非常弱，主要通过与光子和核子的相互作用发生。轴子与光子的相互作用会导致轴子在磁场中转化为光子，反之亦然，这被称为 Primakoff 效应。
③ 冷暗物质：如果轴子在早期宇宙中通过非热平衡过程产生（例如轴子凝聚），则可以形成冷暗物质。

轴子的产生机制：
轴子可以通过多种机制在早期宇宙中产生，主要的产生机制包括：
① 轴子凝聚 (Axion Condensation)：在早期宇宙中，当温度降低到 QCD 相变温度附近时，轴子场开始振荡，形成轴子凝聚态。轴子凝聚产生的轴子是非相对论性的，可以构成冷暗物质。
② 轴子弦衰变 (Axion String Decay)：如果 Peccei-Quinn 对称性在暴胀后破缺，会产生轴子弦。轴子弦的衰变也会产生轴子。
③ Misalignment 机制：在暴胀期间，轴子场可能在不同的宇宙区域具有不同的初始值。在暴胀结束后，轴子场开始向势能最小值演化，产生轴子。

轴子的探测方法：
由于轴子与光子存在相互作用，可以通过实验探测轴子与光子的转化过程。主要的轴子探测实验方法包括：
① 共振腔实验 (Cavity Haloscope)：共振腔实验利用强磁场将暗物质轴子转化为微波光子，并在高品质因子微波共振腔中积累信号。ADMX (Axion Dark Matter eXperiment) 是最著名的共振腔实验，已经对 $\mu$eV 尺度的轴子进行了灵敏的搜索。
② 太阳轴子望远镜 (Axion Helioscope)：太阳轴子望远镜利用太阳内部产生的轴子，通过强磁场将轴子转化为 X 射线光子，并用 X 射线探测器进行探测。CAST (CERN Axion Solar Telescope) 是最主要的太阳轴子望远镜实验。
③ 光子再生实验 (Light Shining through Walls)：光子再生实验利用强磁场将激光光子转化为轴子，轴子可以穿过不透光的墙壁，然后在另一侧的磁场中再转化为光子。ALPS (Any Light Particle Search) 是主要的光子再生实验。

当前探测状况：
共振腔实验 ADMX 在 $\mu$eV 尺度轴子探测方面取得了重要进展，对轴子的参数空间进行了有效限制。太阳轴子望远镜 CAST 和光子再生实验 ALPS 也对轴子的性质进行了研究。目前尚未明确探测到轴子信号，但实验仍在不断改进和升级，有望在未来探测到轴子暗物质。

5.2.3 无菌中微子 (Sterile Neutrinos)

无菌中微子 (Sterile Neutrinos) 是另一种暗物质候选者，属于暖暗物质 (Warm Dark Matter, WDM)。无菌中微子是指不参与标准模型弱相互作用的中微子，只通过引力与其他粒子相互作用。

标准模型中微子与无菌中微子：
标准模型中存在三种已知的中微子：电子中微子 ($\nu_e$)、μ子中微子 ($\nu_\mu$) 和 τ子中微子 ($\nu_\tau$)。这些中微子参与弱相互作用。无菌中微子是超出标准模型的新型中微子，不参与弱相互作用，只通过引力或极弱的混合相互作用与标准模型粒子相互作用。

无菌中微子的性质：
① 质量：无菌中微子的质量范围存在较大不确定性，可能的质量范围从 keV 到 MeV 尺度。keV 尺度的无菌中微子是暖暗物质的候选者。
② 极弱相互作用：无菌中微子与标准模型粒子的相互作用非常弱，难以直接探测。
③ 暖暗物质：keV 尺度的无菌中微子具有一定的热运动速度，属于暖暗物质，其自由流长度 (Free-streaming Length) 比冷暗物质长，可能对小尺度结构形成产生影响。

无菌中微子的产生机制：
无菌中微子可以通过多种机制在早期宇宙中产生，主要的产生机制包括：
① Dodelson-Widrow 机制：无菌中微子可以通过与标准模型中微子的混合，在早期宇宙中通过弱相互作用产生。Dodelson-Widrow 机制产生的无菌中微子是暖暗物质。
② Shi-Fuller 机制：Shi-Fuller 机制利用轻子不对称性 (Lepton Asymmetry) 产生无菌中微子。

无菌中微子的探测方法：
无菌中微子的探测非常困难，主要通过以下方法进行间接探测：
① X 射线观测：keV 尺度的无菌中微子可能通过辐射衰变产生单色 X 射线光子。X 射线望远镜（如钱德拉 X 射线望远镜、XMM-牛顿望远镜）可以搜索来自星系、星系团的单色 X 射线信号，寻找无菌中微子衰变的证据。
② 宇宙学观测：无菌中微子的存在可能对宇宙大尺度结构和小尺度结构产生影响。通过分析 CMB 各向异性谱、星系功率谱、莱曼α森林 (Lyman-alpha Forest) 等宇宙学观测数据，可以限制无菌中微子的性质和丰度。

当前探测状况：
X 射线观测方面，早期有一些研究声称探测到 3.5 keV 的 X 射线谱线，可能来自无菌中微子的衰变，但后续研究和更精确的观测未能证实这一结果。宇宙学观测方面，对 CMB 和大尺度结构的分析对暖暗物质的性质给出了一定的限制，但尚未排除 keV 尺度无菌中微子作为暗物质候选者的可能性。

总结：
WIMPs、轴子和无菌中微子是目前最受关注的三类暗物质候选者。WIMPs 是冷暗物质的主流候选者，探测实验正在积极进行中。轴子是解决强 CP 问题的同时提出的暗物质候选者，探测实验也在不断发展。无菌中微子是暖暗物质的候选者，探测难度较大，但仍是活跃的研究方向。除了这三类候选者外，还有其他暗物质候选者，例如超重暗物质 (Superheavy Dark Matter)、原始黑洞 (Primordial Black Holes) 等，暗物质的本质仍然是粒子物理和宇宙学领域的重要前沿问题。

5.3 暗能量的证据 (Evidence for Dark Energy)

暗能量 (Dark Energy) 是宇宙学中另一个神秘而重要的组成部分。与暗物质不同，暗能量不是物质，而是一种具有负压强的能量形式，导致宇宙加速膨胀。暗能量的发现是近几十年宇宙学最重大的突破之一，彻底改变了我们对宇宙演化的理解。本节将介绍支持暗能量存在的关键观测证据。

5.3.1 超新星 Ia 型 (Type Ia Supernovae)

超新星 Ia 型 (Type Ia Supernovae) 是发现宇宙加速膨胀的最直接和最重要的证据。超新星 Ia 型是一类特殊的超新星爆发，具有非常好的标准化光度曲线，可以作为宇宙学标准烛光 (Standard Candle) 使用，用于测量宇宙距离。

超新星 Ia 型的性质：
超新星 Ia 型被认为是发生在双星系统中的白矮星上的热核爆炸。当白矮星从伴星吸积物质，质量逐渐增加，当质量接近钱德拉塞卡极限 (Chandrasekhar Limit，约 $1.4 M_\odot$) 时，白矮星内部的碳和氧发生剧烈的热核聚变，导致超新星爆发。由于钱德拉塞卡极限质量相对固定，因此超新星 Ia 型的爆发光度具有较好的一致性。

超新星 Ia 型作为标准烛光：
尽管超新星 Ia 型的光度并非完全相同，但可以通过经验关系（例如光度-光变曲线形状关系）对超新星 Ia 型的光度进行标准化，使其成为精确的宇宙学标准烛光。通过测量超新星 Ia 型的视星等和红移，可以推算出超新星的距离和宇宙膨胀速度，从而构建哈勃图 (Hubble Diagram)。

宇宙加速膨胀的发现：
在 1998 年，两个独立的研究小组——超新星宇宙学项目 (Supernova Cosmology Project) 和高红移超新星搜索队 (High-z Supernova Search Team) ——分别利用超新星 Ia 型观测研究宇宙膨胀历史。他们观测了遥远（高红移）的超新星 Ia 型，并构建了超新星的哈勃图。

观测结果与标准模型的矛盾：
如果宇宙的膨胀只受到物质引力的减速作用，那么遥远超新星的距离应该比在匀速膨胀宇宙中预测的距离更近。然而，观测结果却出乎意料地发现，遥远超新星的距离比匀速膨胀宇宙中预测的距离更远。这意味着宇宙的膨胀速度在过去比现在更慢，宇宙正在加速膨胀。

暗能量的解释：
为了解释宇宙加速膨胀的现象，科学家们提出了暗能量的概念。暗能量是一种具有负压强的能量形式，其负压强产生的引力排斥效应克服了物质引力的吸引效应，导致宇宙加速膨胀。超新星 Ia 型的观测结果表明，暗能量占据了宇宙总能量密度的约 70%。

哈勃图的分析：
哈勃图是描述宇宙距离与红移关系的图。对于超新星 Ia 型，哈勃图可以表示为视星等 (m) 与红移 (z) 的关系。在对数坐标下，哈勃图的斜率反映了宇宙的膨胀历史。宇宙加速膨胀的超新星 Ia 型哈勃图表现为在高红移处偏离了匀速膨胀宇宙的预测，表明宇宙膨胀速度随时间增加。

总结：
超新星 Ia 型的观测是发现宇宙加速膨胀的关键证据。超新星 Ia 型作为标准烛光，揭示了遥远宇宙的膨胀速度比预期更慢，表明宇宙正在加速膨胀。暗能量被认为是导致宇宙加速膨胀的驱动力，超新星 Ia 型的观测结果为暗能量的存在提供了强有力的证据。

5.3.2 CMB 和重子声波振荡 BAO (CMB and Baryon Acoustic Oscillations)

宇宙微波背景辐射 (CMB) 和重子声波振荡 (Baryon Acoustic Oscillations, BAO) 的观测也为暗能量的存在提供了独立的宇宙学证据，并与超新星 Ia 型的观测结果相互印证。

CMB 各向异性与宇宙学参数：
CMB 各向异性谱包含了丰富的宇宙学信息，通过分析 CMB 各向异性谱，可以精确测量宇宙的曲率、物质密度、重子密度、暗能量密度等宇宙学参数。CMB 观测结果表明，宇宙是近乎平坦的，物质密度（包括暗物质和普通物质）约占宇宙总能量密度的 30%，而暗能量密度约占 70%。

CMB 观测对暗能量的贡献：
CMB 观测本身并不能直接证明宇宙加速膨胀，但 CMB 观测结果对宇宙学模型的约束，特别是对宇宙曲率和物质密度的精确测量，为暗能量的存在提供了间接证据。结合宇宙平坦性的假设（由 CMB 观测支持），如果物质密度只占宇宙总能量密度的 30%，那么为了使宇宙总能量密度等于临界密度（从而保证宇宙平坦），就必须存在一种额外的能量成分，即暗能量，来贡献剩余的 70% 的能量密度。

重子声波振荡 BAO：
重子声波振荡 (BAO) 是早期宇宙中声波振荡在物质分布中留下的印记。在宇宙早期，普通物质（重子物质）与光子紧密耦合，形成重子-光子流体。密度扰动会引发声波在流体中传播，形成疏密相间的密度波。当宇宙温度降低到一定程度时，光子与重子物质退耦，声波停止传播，但密度波的模式被冻结在物质分布中，形成 BAO 特征尺度。

BAO 作为标准尺：
BAO 特征尺度是一个宇宙学标准尺 (Standard Ruler)，其物理尺度可以通过早期宇宙物理学精确计算得到，约为 150 Mpc。通过测量不同红移处星系分布的 BAO 特征尺度，可以测量宇宙的距离和膨胀速度，从而研究宇宙膨胀历史。

BAO 观测对暗能量的贡献：
BAO 观测可以独立于超新星 Ia 型观测来研究宇宙膨胀历史。BAO 观测结果表明，宇宙的膨胀速度随时间增加，宇宙正在加速膨胀。BAO 观测与超新星 Ia 型观测的结果相互一致，都支持暗能量的存在和宇宙加速膨胀。

CMB 和 BAO 的联合分析：
将 CMB 观测和 BAO 观测联合起来分析，可以更精确地约束宇宙学参数，包括暗能量的性质。CMB 观测主要提供早期宇宙的信息，而 BAO 观测提供中低红移宇宙的信息。将两者结合，可以更全面地了解宇宙的膨胀历史和暗能量的演化。

总结：
CMB 观测和 BAO 观测为暗能量的存在提供了独立的宇宙学证据。CMB 观测揭示了宇宙的能量成分，暗示了暗能量的存在。BAO 观测作为宇宙学标准尺，独立验证了宇宙加速膨胀的现象，并与超新星 Ia 型观测结果相互印证。CMB 和 BAO 的联合分析为精确测量宇宙学参数和研究暗能量性质提供了重要手段。

5.4 暗能量的模型 (Dark Energy Models)

暗能量的本质仍然是现代宇宙学中最具挑战性的谜题之一。为了解释暗能量的现象，物理学家提出了各种暗能量模型。这些模型大致可以分为宇宙学常数模型、标量场模型和修改引力理论等几类。本节将介绍几种主要的暗能量模型。

5.4.1 宇宙学常数 (Cosmological Constant)

宇宙学常数 (Cosmological Constant, Λ) 是最简单、最自然的暗能量模型。宇宙学常数最初由爱因斯坦在广义相对论中引入，为了得到静态宇宙解。后来哈勃发现宇宙膨胀，爱因斯坦放弃了宇宙学常数。然而，随着宇宙加速膨胀的发现，宇宙学常数重新回到宇宙学研究的中心。

宇宙学常数的定义：
宇宙学常数 Λ 是爱因斯坦场方程中的一项常数项，具有能量密度的量纲。宇宙学常数可以被视为真空能量 (Vacuum Energy) 的一种形式，即空无一物的真空空间也具有能量密度。

宇宙学常数的性质：
① 恒定能量密度：宇宙学常数的能量密度 $\rho_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{8\pi G}$ 是常数，不随宇宙膨胀而变化。
② 负压强：宇宙学常数的压强 $p_\Lambda = -\rho_\Lambda$，状态方程为 $w = \frac{p_\Lambda}{\rho_\Lambda} = -1$。负压强是导致宇宙加速膨胀的关键。
③ 均匀分布：宇宙学常数均匀分布在整个宇宙空间，不随空间位置变化。

宇宙学常数模型的优点：
① 简单性：宇宙学常数模型是最简单的暗能量模型，只需要一个参数 Λ。
② 与观测符合：宇宙学常数模型与当前的宇宙学观测数据（如超新星 Ia 型、CMB、BAO 等）符合得很好，是 ΛCDM 标准宇宙学模型的重要组成部分。

宇宙学常数模型的问题：
① 精细调节问题 (Fine-tuning Problem)：观测到的宇宙学常数能量密度非常小，约为 $(10^{-3} \text{eV})^4$，远小于粒子物理理论预期的真空能量密度（例如普朗克能量尺度 $(10^{18} \text{GeV})^4$）。理论值与观测值之间存在巨大的差异，需要极精细的调节才能使两者一致，这被称为精细调节问题。
② 巧合性问题 (Coincidence Problem)：宇宙学常数的能量密度与物质的能量密度在当前宇宙时期恰好处于同一量级，这似乎是一种巧合。在宇宙演化的早期和晚期，物质和宇宙学常数的能量密度比例差异很大。为什么我们恰好生活在一个物质和暗能量密度相当的特殊时期？这被称为巧合性问题。

总结：
宇宙学常数模型是最简单、最成功的暗能量模型，与观测数据符合良好，但面临精细调节问题和巧合性问题等理论挑战。尽管如此，宇宙学常数模型仍然是研究暗能量的重要参考模型。

5.4.2 标量场模型 (Scalar Field Models)

标量场模型 (Scalar Field Models) 是一类更复杂的暗能量模型，试图用动力学标量场 (Scalar Field) 来解释暗能量。标量场是一种在时空中每个点都有取值的场，类似于电磁场，但标量场是标量，没有方向性。

标量场暗能量模型的基本思想：
标量场暗能量模型假设存在一种新的标量场，称为 Quintessence (精髓) 场或 Phantom (幻影) 场等，其能量密度和压强可以随时间和空间变化，从而导致宇宙加速膨胀。

标量场的动力学：
标量场的动力学由其拉格朗日量 (Lagrangian) 描述。最简单的标量场拉格朗日量形式为： $$ \mathcal{L}_\phi = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - V(\phi) $$ 其中 $\phi$ 是标量场，$V(\phi)$ 是标量场的势能函数。标量场的能量密度 $\rho_\phi$ 和压强 $p_\phi$ 可以表示为： $$ \rho_\phi = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + V(\phi) $$ $$ p_\phi = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 - \frac{1}{6} (\nabla \phi)^2 - V(\phi) $$
其中 $\dot{\phi} = \frac{\partial \phi}{\partial t}$ 是标量场对时间的导数，$\nabla \phi$ 是标量场的空间梯度。

Quintessence 模型：
Quintessence 模型是一类状态方程 $w > -1$ 的标量场暗能量模型。Quintessence 场的势能函数 $V(\phi)$ 通常被设计成具有缓慢滚动的性质，使得标量场在宇宙演化过程中缓慢滚动，产生负压强，驱动宇宙加速膨胀。常见的 Quintessence 势能函数形式包括指数势 (Exponential Potential)、反平方势 (Inverse Power-law Potential) 等。

Phantom 模型：
Phantom 模型是一类状态方程 $w < -1$ 的标量场暗能量模型。Phantom 场的能量密度随宇宙膨胀而增加，导致宇宙加速膨胀越来越快，最终可能导致宇宙在大有限时间内撕裂，即 Big Rip 奇点。Phantom 模型在理论上存在一些问题，例如能量密度无下界、量子不稳定性等。

K-essence 模型：
K-essence 模型是一类非规范动能 (Non-canonical Kinetic Term) 的标量场暗能量模型。K-essence 模型的拉格朗日量具有更一般的形式，动能项可以是标量场及其导数的更复杂函数。K-essence 模型可以实现更丰富的宇宙学动力学行为，例如在宇宙早期驱动暴胀，在宇宙晚期驱动加速膨胀。

标量场模型的优点：
① 动力学暗能量：标量场模型可以提供动力学暗能量，其能量密度和状态方程可以随时间变化，可能解决宇宙学常数模型的巧合性问题。
② 模型多样性：标量场模型具有丰富的模型形式，可以通过调整势能函数和动能项来构建各种不同的暗能量模型，适应不同的观测数据。

标量场模型的问题：
① 模型复杂性：标量场模型比宇宙学常数模型更复杂，需要引入新的标量场和势能函数，增加了模型的自由度。
② 缺乏物理基础：目前尚未在粒子物理标准模型中发现标量场暗能量的候选粒子，标量场暗能量的物理基础尚不明确。

总结：
标量场模型是一类动力学暗能量模型，可以提供比宇宙学常数模型更丰富的宇宙学动力学行为。Quintessence 模型、Phantom 模型和 K-essence 模型是标量场模型的主要类型。标量场模型在解释暗能量现象方面具有潜力，但仍面临模型复杂性和缺乏物理基础等问题。

5.4.3 修改引力理论 (Modified Gravity Theories)

修改引力理论 (Modified Gravity Theories) 是另一种解释宇宙加速膨胀的思路。修改引力理论不引入暗能量，而是认为广义相对论在宇宙大尺度上可能需要修正，宇宙加速膨胀是引力理论修正的结果。

修改引力理论的基本思想：
修改引力理论认为，爱因斯坦广义相对论在描述宇宙大尺度引力现象时可能是不完备的，需要对引力理论进行修正。通过修改引力理论，可以解释宇宙加速膨胀，而无需引入暗能量。

f(R) 引力：
f(R) 引力是最简单、最受关注的修改引力理论之一。f(R) 引力将爱因斯坦-希尔伯特作用量 (Einstein-Hilbert Action) 中的里奇标量 (Ricci Scalar) R 替换为一个更一般的函数 f(R)。 $$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \frac{1}{2\kappa^2} f(R) + S_m $$ 其中 $S$ 是作用量，$g$ 是度规张量的行列式，$\kappa^2 = 8\pi G$，$S_m$ 是物质的作用量。通过选择合适的函数 f(R)，可以构建能够解释宇宙加速膨胀的 f(R) 引力模型。

张量-标量理论 (Tensor-Scalar Theories)：
张量-标量理论是一类将标量场与引力场耦合的修改引力理论。张量-标量理论在广义相对论的基础上引入了一个或多个标量场，标量场与度规张量非最小耦合，从而修改了引力相互作用。Brans-Dicke 理论和 Horndeski 理论是张量-标量理论的代表。

DGP 模型 (Dvali-Gabadadze-Porrati Model)：
DGP 模型是一种膜宇宙学模型 (Braneworld Model)，假设我们的宇宙是一个嵌入在高维空间中的膜。引力在高维空间中传播，但在膜上受到限制。DGP 模型可以通过膜上的引力泄漏到高维空间来解释宇宙加速膨胀。

修改引力理论的优点：
① 无需暗能量：修改引力理论不需要引入神秘的暗能量，而是通过修改引力理论本身来解释宇宙加速膨胀。
② 潜在的物理基础：一些修改引力理论与高维理论、弦理论等理论物理前沿研究方向相关联，可能具有更深层次的物理基础。

修改引力理论的问题：
① 模型复杂性：修改引力理论通常比宇宙学常数模型和标量场模型更复杂，需要引入新的自由度和复杂的数学形式。
② 与观测约束：修改引力理论需要满足各种观测约束，包括宇宙学观测（如 CMB、BAO、超新星 Ia 型）和太阳系实验、引力波观测等。许多修改引力理论模型已经被观测数据排除或受到严格限制。
③ 理论挑战：一些修改引力理论存在理论上的问题，例如鬼魅场 (Ghost Field)、不稳定性和强耦合问题等。

总结：
修改引力理论是解释宇宙加速膨胀的另一种思路，通过修改引力理论本身来解释宇宙加速膨胀，而无需引入暗能量。f(R) 引力、张量-标量理论和 DGP 模型是修改引力理论的主要类型。修改引力理论在解释暗能量现象方面具有潜力，但仍面临模型复杂性、观测约束和理论挑战等问题。

本章小结：
本章深入探讨了暗物质和暗能量这两个宇宙学中最神秘的组成部分。我们详细介绍了暗物质存在的多种观测证据，包括星系旋转曲线、星系团热气体、引力透镜、CMB 和大尺度结构等。我们讨论了暗物质的几种主要候选者，包括 WIMPs、轴子和无菌中微子，并介绍了探测这些候选者的实验方法和当前进展。对于暗能量，我们介绍了宇宙加速膨胀的观测证据，主要是超新星 Ia 型、CMB 和 BAO 观测。我们讨论了暗能量的几种主要模型，包括宇宙学常数模型、标量场模型和修改引力理论，并分析了各自的优缺点和面临的挑战。暗物质和暗能量的研究是现代宇宙学的前沿和热点，未来的观测和实验将继续深入探索暗物质和暗能量的本质，揭开宇宙的奥秘。

参考文献：
[此处列出本章引用的参考文献，例如综述文章、重要论文等，供读者进一步学习]

习题：
[此处列出一些与本章内容相关的习题，供读者巩固知识和加深理解]

END_OF_CHAPTER

6. chapter 6：星系与星系团 (Galaxies and Galaxy Clusters)

6.1 星系的形成与演化 (Formation and Evolution of Galaxies)

6.1.1 星系分类 (Galaxy Classification)

星系是宇宙中最基本的结构单元之一，理解宇宙大尺度结构，首先需要认识构成这些结构的基石——星系。为了系统地研究星系，天文学家们发展了多种星系分类方案，旨在根据星系的形态、结构和物理性质进行归类，从而揭示星系的本质和演化规律。最经典和广泛使用的分类系统是哈勃序列 (Hubble Sequence)，它将星系主要分为三大类：椭圆星系 (Elliptical Galaxies)、旋涡星系 (Spiral Galaxies) 和透镜状星系 (Lenticular Galaxies)，以及不规则星系 (Irregular Galaxies)。

① 椭圆星系 (Elliptical Galaxies, E)：椭圆星系呈现为椭球状或球状，其主要特征是光滑、近乎均匀的光分布，缺乏明显的旋涡结构和年轻的恒星。根据椭圆程度，椭圆星系又被细分为 E0, E1, ..., E7 等类型，数字越大表示椭圆程度越高，E0 近似球形，E7 则非常扁平。椭圆星系主要由年老的恒星组成，气体和尘埃含量较少，恒星形成活动微弱或已停止。它们通常位于星系团的中心区域，是宇宙中最古老的星系之一。
② 旋涡星系 (Spiral Galaxies, S)：旋涡星系是宇宙中最常见的星系类型，其显著特征是扁平的盘状结构和从中突出的核球 (Bulge)，以及盘面上明显的旋臂 (Spiral Arms)。旋臂是恒星形成活跃的区域，富含年轻的蓝巨星、气体和尘埃，因此在光学波段呈现明亮的蓝色。旋涡星系根据旋臂的松紧程度和核球的大小，又被细分为 Sa, Sb, Sc 等类型。Sa 型旋臂紧密，核球较大；Sc 型旋臂松散，核球较小。我们的银河系 (Milky Way Galaxy) 就是一个典型的棒旋星系。
③ 棒旋星系 (Barred Spiral Galaxies, SB)：棒旋星系是旋涡星系的一个亚类，其特征是在星系中心存在一个棒状结构，旋臂从棒的两端延伸出来。棒状结构被认为是星系盘不稳定性导致的，它能够有效地将气体从星系盘的外围输送到中心区域，促进核球的增长和星系中心的活动。棒旋星系也根据旋臂的松紧程度和棒的明显程度，细分为 SBa, SBb, SBc 等类型。
④ 透镜状星系 (Lenticular Galaxies, S0)：透镜状星系是介于椭圆星系和旋涡星系之间的一种过渡类型。它们具有盘状结构，但缺乏旋涡星系的旋臂，也没有椭圆星系的光滑外形。透镜状星系通常拥有一个明显的核球和盘，但盘面上的气体和尘埃含量较少，恒星形成活动也比较微弱。
⑤ 不规则星系 (Irregular Galaxies, Irr)：不规则星系是指那些形态不规则，既不属于椭圆星系，也不属于旋涡星系的星系。它们通常体积较小，形状不规则，缺乏明显的结构特征。不规则星系富含气体和尘埃，恒星形成活动非常活跃，通常是年轻的星系。大麦哲伦星云 (Large Magellanic Cloud, LMC) 和小麦哲伦星云 (Small Magellanic Cloud, SMC) 是我们银河系附近的典型不规则星系。

除了哈勃序列，还有其他的星系分类系统，例如，de Vaucouleurs 系统在哈勃序列的基础上进行了扩展，更加细致地描述了星系的结构特征。无论采用哪种分类方案，星系分类的目的都是为了更好地理解星系的形成、演化和宇宙学意义。通过对不同类型星系的系统研究，我们可以深入了解宇宙中星系的分布、性质以及它们与周围环境的相互作用。

6.1.2 星系形成模型 (Galaxy Formation Models)

星系的形成是宇宙学研究中的核心问题之一。在 ΛCDM 模型框架下，星系的形成被认为是宇宙早期微小的密度扰动在引力作用下不断增长，最终塌缩形成暗物质晕 (Dark Matter Halo)，而星系则在暗物质晕中心形成和演化的过程。目前主流的星系形成模型可以大致分为自上而下 (Top-down) 模型和自下而上 (Bottom-up) 模型，而现代的星系形成理论更倾向于自下而上的层级式形成 (Hierarchical Formation) 理论。

① 自上而下模型 (Top-down Model)：自上而下模型，也称为单体塌缩模型 (Monolithic Collapse Model)，认为星系是由一个巨大的原始气体云 (Primordial Gas Cloud) 在引力作用下快速塌缩形成的。在这个过程中，气体云首先整体塌缩，然后开始碎裂并形成恒星。最早形成的恒星是星系中最老的恒星，它们构成了星系的核球和晕 (Halo) 部分。剩余的气体继续向中心区域塌缩，形成星系的盘状结构，并在盘中逐渐形成年轻的恒星。自上而下模型可以解释椭圆星系的形成，因为快速的塌缩过程和早期的恒星形成会消耗掉大部分气体，形成一个以老年恒星为主的椭球状星系。然而，自上而下模型难以解释旋涡星系的形成，特别是旋涡星系盘状结构的形成和维持，以及观测到的星系年龄分布和化学成分梯度等特征。

② 自下而上模型 (Bottom-up Model)：自下而上模型，也称为层级式并合模型 (Hierarchical Merging Model)，是目前被广泛接受的星系形成理论。该模型认为，宇宙中的结构是从小尺度到大尺度，逐级形成的。最初形成的是小质量的暗物质晕，这些小晕通过引力并合 (Merger) 不断壮大，最终形成大质量的暗物质晕。星系则是在这些暗物质晕中，通过气体吸积 (Gas Accretion) 和恒星形成逐渐形成的。在层级式并合的过程中，小星系不断并入大星系，星系之间也发生相互作用和并合，这些过程塑造了星系的形态和结构。自下而上模型能够很好地解释旋涡星系的形成，因为气体可以逐渐吸积到暗物质晕中，并在角动量守恒的作用下形成旋转的盘状结构。星系并合也可以解释椭圆星系的形成，因为旋涡星系并合后，会破坏原有的盘状结构，形成一个椭球状的星系。

③ 现代星系形成理论：现代星系形成理论是在 ΛCDM 模型框架下，结合了自下而上层级式并合的思想，并考虑了气体动力学、恒星形成、反馈 (Feedback) 等物理过程的复杂模型。在这些模型中，暗物质晕的形成和演化是星系形成的基础。气体在暗物质晕中冷却和凝聚，形成星系盘。恒星在星系盘中形成，并释放能量和物质，例如超新星爆发 (Supernova Explosion) 和活动星系核 (Active Galactic Nuclei, AGN) 喷流，这些反馈过程可以影响星系的气体含量、恒星形成速率和形态演化。数值模拟 (Numerical Simulation) 在现代星系形成理论中扮演着重要的角色，通过大规模的宇宙学数值模拟，例如 N-体模拟 (N-body Simulation) 和流体动力学模拟 (Hydrodynamic Simulation)，可以研究星系形成的细节过程，并与观测数据进行比较，检验理论的正确性。

总而言之，星系的形成是一个复杂而漫长的过程，受到多种物理因素的影响。从宇宙早期的微小扰动，到暗物质晕的形成，再到星系内部的气体冷却、恒星形成和反馈，每一个环节都至关重要。现代星系形成理论正在不断完善，力求更全面、更精确地描述星系的形成和演化过程，揭示宇宙中星系的多样性和复杂性。

6.1.3 星系演化过程 (Galaxy Evolution Processes)

星系的演化是一个动态的过程，星系的形态、结构和性质会随着时间的推移而发生改变。星系演化受到多种因素的影响，包括内部的物理过程，如恒星形成、恒星演化、超新星爆发、AGN 活动等，以及外部的环境因素，如星系并合、星系相互作用、星系群和星系团环境等。理解星系演化过程，需要综合考虑这些因素的相互作用和影响。

① 长期演化 (Secular Evolution)：长期演化是指星系在相对孤立的环境下，由于内部动力学过程而发生的缓慢演化。例如，在旋涡星系中，棒状结构 (Bar) 的形成和演化就是一个重要的长期演化过程。棒状结构可以通过动力学不稳定性在星系盘中形成，棒能够有效地将星系盘外围的气体输送到中心区域，促进核球的增长，并可能触发星系中心的 AGN 活动。螺旋臂 (Spiral Arm) 也是旋涡星系长期演化的体现，螺旋臂的形成和维持机制仍然是一个活跃的研究领域，密度波理论 (Density Wave Theory) 和自激发恒星形成 (Self-propagating Star Formation) 等理论被用来解释螺旋臂的形成。长期演化过程通常是缓慢而持续的，对星系的形态和结构产生长期的影响。

② 并合与相互作用 (Mergers and Interactions)：星系并合和相互作用是星系演化的重要驱动力。在宇宙中，星系并非孤立存在，它们常常成群结队地聚集在一起，形成星系群和星系团。在这些高密度环境中，星系之间会发生频繁的相互作用，甚至并合。星系并合可以分为大并合 (Major Merger) 和小并合 (Minor Merger)。大并合是指质量相近的星系之间的并合，大并合通常会剧烈地改变星系的形态，例如，两个旋涡星系并合后可能形成一个椭圆星系。小并合是指小质量星系并入大质量星系的过程，小并合对大星系的形态影响相对较小，但可以增加大星系的质量和晕的恒星成分。星系相互作用是指星系之间在引力作用下发生的相互影响，即使没有发生直接的并合，星系之间的潮汐力 (Tidal Force) 也会扭曲星系的形态，引发恒星形成爆发 (Starburst)，并剥离星系的气体和恒星。

③ 环境效应 (Environmental Effects)：星系所处的环境对其演化产生重要的影响。在星系群和星系团等高密度环境中，星系会受到多种环境效应的影响，例如：
▮▮▮▮⚝ 潮汐剥离 (Tidal Stripping)：星系团的引力场可以剥离星系外围的恒星和气体，特别是对于那些轨道靠近星系团中心的星系，潮汐剥离效应更加显著。
▮▮▮▮⚝ 冲压剥离 (Ram-pressure Stripping)：星系在星系团的星系际介质 (Intracluster Medium, ICM) 中运动时，会受到 ICM 的冲压，将星系盘中的气体剥离出去，从而抑制星系的恒星形成。
▮▮▮▮⚝ 星系骚扰 (Galaxy Harassment)：在星系团中，星系之间频繁的近距离遭遇 (High-speed Encounter) 会对星系的形态和结构产生累积性的影响，例如，加热星系盘，使其膨胀，甚至将旋涡星系转变成透镜状星系。
▮▮▮▮⚝ 窒息 (Strangulation/Starvation)：星系周围的热晕气体 (Hot Halo Gas) 是星系气体吸积的重要来源。在星系团环境中，热晕气体可能被剥离或加热，阻止气体冷却和吸积到星系盘上，导致星系缺乏气体供给，恒星形成逐渐停止，最终变成“红色和死亡” (Red and Dead) 的星系。

④ 反馈过程 (Feedback Processes)：反馈是指星系内部的物理过程，例如恒星形成和 AGN 活动，将能量和物质反馈回星系的气体介质，从而影响星系的演化。超新星爆发是重要的恒星反馈机制，超新星爆发释放的能量可以加热星系的气体，驱动气体外流 (Outflow)，抑制恒星形成，并可以将重元素 (Heavy Element) 注入星系际介质，影响后续的恒星形成。AGN 反馈是指星系中心超大质量黑洞 (Supermassive Black Hole, SMBH) 的吸积过程产生的反馈，AGN 可以通过辐射、喷流和风 (Wind) 等形式，将大量的能量注入周围的气体介质，加热气体，抑制气体冷却和吸积，甚至将气体从星系中驱逐出去，对星系的恒星形成和演化产生深远的影响。AGN 反馈被认为是解释大质量星系中恒星形成淬灭 (Quenching) 的重要机制。

总而言之，星系演化是一个复杂而多样的过程，受到内部物理过程和外部环境因素的共同作用。理解星系演化，需要综合考虑各种因素的相互影响，并结合观测数据和数值模拟进行深入研究。星系演化研究是现代天体物理学的重要前沿领域，对于理解宇宙的结构形成和演化具有重要的意义。

6.2 星系团的性质 (Properties of Galaxy Clusters)

6.2.1 星系团的观测特征 (Observational Characteristics of Galaxy Clusters)

星系团是宇宙中质量最大、引力束缚程度最高的结构，是研究宇宙大尺度结构和星系演化的重要场所。星系团的观测特征非常丰富，可以通过不同波段的观测手段进行研究，例如光学、X射线、射电等。

① 光学观测特征：在光学波段，星系团最明显的特征是星系密度的显著增高。与宇宙的平均星系密度相比，星系团区域的星系密度要高出几个数量级。通过光学巡天 (Optical Survey)，可以识别出星系团，并统计星系团中的星系数量 (Richness)。星系团中的星系成员主要以椭圆星系和透镜状星系为主，旋涡星系相对较少，这反映了星系团环境对星系演化的影响。星系团中的亮星系 (Brightest Cluster Galaxy, BCG) 通常位于星系团的中心，是星系团中最亮的星系，也是质量最大的星系，通常是椭圆星系。BCG 被认为是星系团中心势阱 (Potential Well) 的中心，通过星系并合和气体吸积不断增长。

② X射线观测特征：星系团是宇宙中最明亮的 X 射线源之一。X 射线辐射主要来自于星系团中的热气体，即星系际介质 (Intracluster Medium, ICM)。ICM 的温度高达 $10^7 - 10^8$ K，主要成分是完全电离的氢和氦，以及少量的重元素。ICM 的密度较低，但由于体积巨大，总质量可与星系团中所有星系的总质量相当，甚至更高。ICM 的 X 射线辐射主要是轫致辐射 (Bremsstrahlung) 和原子谱线辐射 (Atomic Line Emission)。通过 X 射线观测，可以测量 ICM 的温度、密度、金属丰度等物理参数，从而研究星系团的性质和演化。X 射线观测还可以用来探测星系团的并合事件 (Merger Event)，因为星系团并合会产生激波 (Shock Wave) 和冷锋 (Cold Front) 等结构，这些结构在 X 射线图像上表现为温度和密度的不连续性。

③ 射电观测特征：星系团也是重要的射电源。射电辐射主要来自于星系团中的射电星系 (Radio Galaxy) 和弥散射电发射 (Diffuse Radio Emission)。射电星系是指那些具有强大射电辐射的星系，通常是 AGN。星系团中存在一定比例的射电星系，它们的射电辐射可以用来研究 AGN 的物理过程和星系团环境对 AGN 的影响。弥散射电发射是指星系团中弥散分布的射电辐射，主要包括晕 (Halo) 和遗迹 (Relic) 两种类型。晕是位于星系团中心区域的弥散射电发射，通常与星系团的并合活动有关。遗迹是位于星系团外围的弧状或丝状射电发射，被认为是过去的星系团并合事件产生的激波加速宇宙射线电子 (Cosmic Ray Electron) 形成的。射电观测可以用来研究星系团的磁场、宇宙射线和加速机制等。

④ 引力透镜效应 (Gravitational Lensing)：星系团巨大的引力场可以弯曲光线，产生引力透镜效应。引力透镜效应可以分为强引力透镜 (Strong Gravitational Lensing) 和弱引力透镜 (Weak Gravitational Lensing)。强引力透镜效应是指背景星系的光线经过星系团时，发生显著的弯曲和扭曲，形成爱因斯坦环 (Einstein Ring) 或多重像 (Multiple Images)。强引力透镜效应可以用来研究星系团中心区域的质量分布。弱引力透镜效应是指背景星系的形状发生微小的、统计性的畸变 (Distortion)，弱引力透镜效应可以用来重建星系团的质量分布，并研究星系团的形状和结构。引力透镜效应是研究星系团质量分布的重要工具，也是验证广义相对论 (General Relativity) 的重要手段。

⑤ Sunyaev-Zel'dovich 效应 (Sunyaev-Zel'dovich Effect, SZ 效应)：SZ 效应是指宇宙微波背景辐射 (Cosmic Microwave Background Radiation, CMB) 光子与星系团中的热 ICM 电子发生逆康普顿散射 (Inverse Compton Scattering) 产生的效应。SZ 效应表现为 CMB 在星系团方向上的温度涨落，热 SZ 效应 (Thermal SZ Effect) 导致 CMB 在低频段温度降低，在高频段温度升高。SZ 效应的强度与 ICM 的电子压强 (Electron Pressure) 成正比，而电子压强又与 ICM 的温度和密度有关。SZ 效应具有红移无关性 (Redshift-independent)，即 SZ 效应的强度不随星系团的红移而变化，因此 SZ 效应是探测高红移星系团的有效手段。SZ 效应可以用来研究星系团的热力学性质，并用于宇宙学研究。

总而言之，星系团的观测特征非常丰富多样，通过多波段的观测和多种观测手段的结合，可以全面深入地研究星系团的性质、演化和宇宙学意义。星系团是宇宙学研究的重要探针，对于理解宇宙大尺度结构和星系演化具有重要的价值。

6.2.2 星系团的动力学 (Dynamics of Galaxy Clusters)

星系团是引力束缚系统，其动力学性质受到引力相互作用的支配。研究星系团的动力学，可以了解星系团的质量分布、暗物质含量、形成历史和演化过程。

① 维里定理 (Virial Theorem) 与质量估计：维里定理是研究引力束缚系统动力学性质的基本定理。对于一个处于动力学平衡 (Dynamical Equilibrium) 的星系团，维里定理指出，系统的总动能 (Kinetic Energy) 与总势能 (Potential Energy) 之间存在着确定的关系： $$ 2K + U = 0 $$ 其中，$K$ 是系统的总动能，$U$ 是系统的总势能。在星系团中，总动能主要来自于星系成员的运动，总势能主要来自于星系团的引力势能。通过观测星系团中星系成员的速度弥散 (Velocity Dispersion) $\sigma_v$，可以估计星系团的总动能。假设星系团是球对称的，其质量分布为 $\rho(r)$，则总势能可以表示为： $$ U = - \frac{G}{2} \int \frac{\rho(r) \rho(r')}{| \mathbf{r} - \mathbf{r}' |} d^3r d^3r' $$ 如果假设星系团的质量分布是奇异等温球 (Singular Isothermal Sphere)，则可以得到星系团的总质量 $M_{vir}$ 与速度弥散 $\sigma_v$ 和维里半径 (Virial Radius) $R_{vir}$ 之间的关系： $$ M_{vir} \approx \frac{\sigma_v^2 R_{vir}}{G} $$ 通过观测星系团中星系成员的视向速度 (Radial Velocity)，可以测量速度弥散 $\sigma_v$。维里半径 $R_{vir}$ 可以通过观测星系团的星系分布或 X 射线发射分布来估计。利用维里定理，可以估计星系团的总质量，这种方法称为维里质量估计 (Virial Mass Estimation)。维里质量估计是星系团质量估计的重要方法之一。

② 暗物质主导 (Dark Matter Domination)：通过维里质量估计，以及其他质量估计方法，例如 X 射线静力学平衡 (Hydrostatic Equilibrium) 方法和引力透镜方法，天文学家发现，星系团的总质量远远大于星系团中所有可见物质（星系和 ICM）的质量之和。这意味着星系团中存在大量的不可见物质，即暗物质。暗物质的质量占星系团总质量的 80% 以上，可见物质（星系和 ICM）的质量只占不到 20%。星系团是宇宙中暗物质含量最高的结构之一，也是暗物质存在的最有力证据之一。暗物质在星系团的形成和演化中起着主导作用，星系团的引力势阱主要由暗物质提供，星系和 ICM 都束缚在暗物质晕中。

③ 星系在星系团中的运动：星系团中的星系成员并非静止不动，它们在星系团的引力势阱中运动。星系在星系团中的运动轨迹受到星系团的引力场和星系相互作用的影响。通过观测星系团中星系成员的速度分布，可以研究星系团的动力学状态和形成历史。如果星系团处于动力学平衡状态，则星系的速度分布应该是各向同性的 (Isotropic) 和高斯分布 (Gaussian Distribution)。然而，观测表明，一些星系团的速度分布存在各向异性 (Anisotropy) 和非高斯性 (Non-Gaussianity)，这可能表明这些星系团尚未达到动力学平衡，或者正在经历并合过程。研究星系在星系团中的运动，可以了解星系团的动力学演化和星系与环境的相互作用。

④ 星系团并合 (Cluster Mergers) 与演化：星系团并非孤立的系统，它们可以通过并合不断增长和演化。星系团并合是宇宙中能量释放最剧烈的事件之一，并合过程会产生激波、湍流 (Turbulence) 和磁场放大 (Magnetic Field Amplification) 等现象，对 ICM 的物理性质和星系演化产生深远的影响。星系团并合可以通过 X 射线观测、射电观测和引力透镜观测等手段进行探测。X 射线观测可以探测到并合产生的激波和冷锋结构，射电观测可以探测到并合产生的弥散射电发射，引力透镜观测可以探测到并合引起的质量分布变化。研究星系团并合，可以了解星系团的形成和演化过程，以及宇宙大尺度结构的形成和演化。

总而言之，星系团的动力学研究是理解星系团性质和演化的重要途径。通过研究星系团的动力学，可以估计星系团的质量、探测暗物质、研究星系在星系团中的运动、了解星系团的并合和演化过程。星系团动力学研究是宇宙学研究的重要组成部分，对于理解宇宙的结构形成和演化具有重要的意义。

6.3 星系团作为宇宙学探针 (Galaxy Clusters as Cosmological Probes)

6.3.1 利用星系团计数进行宇宙学研究 (Cosmology with Galaxy Cluster Counts)

星系团是宇宙中质量最大、数量相对较少的结构，它们的形成和演化受到宇宙学参数的强烈影响。因此，星系团可以作为宇宙学探针，用来约束宇宙学参数，研究宇宙的性质和演化。利用星系团进行宇宙学研究的主要方法之一是星系团计数 (Cluster Counts)。

① 星系团数密度与宇宙学参数：在给定的宇宙学模型下，可以理论预言不同质量和红移的星系团的数密度 (Number Density)。星系团的数密度对宇宙学参数非常敏感，特别是对物质密度参数 $\Omega_m$ 和宇宙扰动幅度参数 $\sigma_8$。$\Omega_m$ 决定了宇宙中物质的总量，物质密度越高，引力作用越强，结构形成越快，星系团的数密度越高。$\sigma_8$ 描述了宇宙早期密度扰动的幅度，扰动幅度越大，结构形成越快，星系团的数密度也越高。因此，通过测量不同红移的星系团的数密度，并与理论预言进行比较，可以约束宇宙学参数 $\Omega_m$ 和 $\sigma_8$。

② 星系团质量函数 (Cluster Mass Function)：星系团质量函数描述了单位体积内，质量在一定范围内的星系团的数量。理论上，星系团质量函数可以通过 Press-Schechter formalism 或 Sheth-Tormen formalism 等方法进行计算，这些理论模型都依赖于宇宙学参数。观测上，可以通过星系巡天、X 射线巡天或 SZ 巡天等方法，探测不同红移的星系团，并估计它们的质量，从而构建观测的星系团质量函数。将观测的星系团质量函数与理论预言进行比较，可以约束宇宙学参数。星系团质量函数对宇宙学参数的依赖性较强，因此是宇宙学研究的有力工具。

③ 观测挑战与系统误差：利用星系团计数进行宇宙学研究面临着一些观测挑战和系统误差。首先，星系团的探测和识别是一个复杂的过程，不同的探测方法和选择效应 (Selection Effect) 会影响星系团的样本完整性 (Sample Completeness) 和纯度 (Purity)。例如，光学巡天探测星系团容易受到投影效应 (Projection Effect) 的影响，将背景星系误判为星系团成员。X 射线巡天和 SZ 巡天探测星系团的选择效应与星系团的 ICM 性质有关，例如 ICM 的温度和密度分布。其次，星系团质量的精确估计是一个难题。不同的质量估计方法，例如维里质量估计、X 射线静力学质量估计和引力透镜质量估计，都存在一定的系统误差和不确定性。质量估计的误差会直接影响星系团质量函数的构建和宇宙学参数的约束。为了减小系统误差，需要发展更精确的星系团探测方法和质量估计方法，并对选择效应和系统误差进行仔细的标定和校正。

④ 未来展望：随着新一代星系巡天项目，例如 Euclid 和 LSST/Rubin Observatory 的开展，以及新一代 X 射线望远镜，例如 Athena 的建设，未来将获得更大规模、更高质量的星系团样本。这些大规模巡天数据将为利用星系团计数进行宇宙学研究提供前所未有的机遇。通过结合多种观测手段，例如光学、X 射线、SZ 和引力透镜巡天，可以更全面、更精确地探测星系团，并更可靠地估计星系团的质量。利用大规模星系团样本，可以更精确地测量星系团质量函数，更有效地约束宇宙学参数，并检验宇宙学模型。星系团计数有望成为未来宇宙学研究的重要手段之一。

6.3.2 Sunyaev-Zel'dovich 效应 (Sunyaev-Zel'dovich Effect)

Sunyaev-Zel'dovich 效应 (SZ 效应) 是宇宙微波背景辐射 (CMB) 光子与星系团中的热 ICM 电子发生逆康普顿散射产生的效应。SZ 效应具有独特的性质，使其成为研究星系团和宇宙学的重要探针。

① SZ 效应的物理机制：当 CMB 光子穿过星系团时，会与 ICM 中的热电子发生碰撞。由于 ICM 电子的温度远高于 CMB 光子的温度，光子会将能量从电子那里获得，导致光子的能量增加，波长减小。这种散射过程称为逆康普顿散射。在 CMB 频谱中，SZ 效应表现为在瑞利-金斯区 (Rayleigh-Jeans Region) 温度降低，在维恩区 (Wien Region) 温度升高，而在一个特定的零点频率 (Null Frequency) 附近，SZ 效应为零。热 SZ 效应 (Thermal SZ Effect, tSZ) 是由 ICM 电子的热运动引起的，其强度与 ICM 的电子压强 (Electron Pressure) 成正比，即 $ \Delta T_{tSZ} \propto \int n_e T_e dl $，其中 $n_e$ 是电子数密度，$T_e$ 是电子温度，$l$ 是光子穿过星系团的路径长度。除了热 SZ 效应，还有动理学 SZ 效应 (Kinetic SZ Effect, kSZ)，是由星系团相对于 CMB 的本动速度 (Peculiar Velocity) 引起的，其强度与星系团的动量成正比，即 $ \Delta T_{kSZ} \propto \int n_e v_p dl $，其中 $v_p$ 是星系团的视线速度。

② SZ 效应的红移无关性：SZ 效应的一个重要特点是其红移无关性。热 SZ 效应的温度变化 $\Delta T_{tSZ}$ 与星系团的红移无关，只与 ICM 的电子压强积分有关。动理学 SZ 效应的温度变化 $\Delta T_{kSZ}$ 也与星系团的红移无关，只与星系团的动量积分有关。这意味着，无论星系团的红移多高，只要 ICM 存在，SZ 效应就存在，并且强度基本不变。这使得 SZ 效应成为探测高红移星系团的理想工具。传统的 X 射线观测探测星系团的表面亮度 (Surface Brightness) 会随着红移的增加而迅速降低，而 SZ 效应的强度不随红移变化，因此在高红移处，SZ 效应比 X 射线观测更有效。

③ SZ 巡天与星系团探测：利用 SZ 效应进行星系团巡天 (SZ Survey) 是探测星系团的重要方法。SZ 巡天可以通过地面或空间 CMB 望远镜进行，例如南极望远镜 (South Pole Telescope, SPT)、阿塔卡玛宇宙学望远镜 (Atacama Cosmology Telescope, ACT) 和普朗克卫星 (Planck Satellite) 等。SZ 巡天可以探测到大量的星系团，特别是高红移星系团，为星系团宇宙学研究提供了丰富的样本。SZ 巡天探测到的星系团样本与光学巡天和 X 射线巡天探测到的星系团样本具有互补性，可以更全面地了解宇宙中星系团的分布和性质。

④ SZ 效应的宇宙学应用：SZ 效应在宇宙学研究中具有广泛的应用。
▮▮▮▮⚝ 约束宇宙学参数：SZ 效应探测到的星系团数密度和质量函数对宇宙学参数敏感，可以用来约束宇宙学参数，例如 $\Omega_m$ 和 $\sigma_8$。SZ 效应与星系团计数相结合，可以更精确地约束宇宙学参数。
▮▮▮▮⚝ 研究宇宙结构形成：SZ 效应探测到的高红移星系团可以用来研究宇宙早期的结构形成和演化。高红移星系团的性质可以检验宇宙学模型，并了解宇宙早期密度扰动的性质。
▮▮▮▮⚝ 测量哈勃常数 (Hubble Constant)：结合 SZ 效应和 X 射线观测，可以独立测量哈勃常数 $H_0$。通过 SZ 效应测量 ICM 的电子压强积分，通过 X 射线观测测量 ICM 的电子密度积分，可以消除距离依赖性，从而测量星系团的角直径距离 (Angular Diameter Distance)，进而推导出哈勃常数。
▮▮▮▮⚝ 探测宇宙本动速度：动理学 SZ 效应可以用来探测星系团的本动速度。通过测量 kSZ 效应的强度和方向，可以推断星系团相对于 CMB 的运动速度。研究星系团的本动速度，可以了解宇宙的大尺度流 (Bulk Flow) 和引力场的分布。

总而言之，Sunyaev-Zel'dovich 效应是研究星系团和宇宙学的重要探针。SZ 效应具有红移无关性，可以有效地探测高红移星系团。SZ 巡天为星系团宇宙学研究提供了丰富的样本。SZ 效应在约束宇宙学参数、研究宇宙结构形成、测量哈勃常数和探测宇宙本动速度等方面都具有重要的应用价值。随着 CMB 观测技术的不断发展，SZ 效应将在未来的宇宙学研究中发挥越来越重要的作用。

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7. chapter 7：宇宙纤维状结构与空洞 (Cosmic Web, Filaments and Voids)

7.1 宇宙纤维状结构的观测证据 (Observational Evidence for Cosmic Web)

宇宙并非均匀分布的，而是在最大尺度上呈现出壮观的宇宙纤维状结构 (Cosmic Web)。这种结构是由星系、星系群、星系团以及巨大的空洞相互交织而成的复杂网络，如同宇宙的骨架。对宇宙纤维状结构的观测证据，主要来自于大规模的星系巡天 (galaxy surveys)，这些巡天项目绘制了宇宙中数百万甚至数千万星系的三维分布图，让我们得以窥见宇宙大尺度结构的真实面貌。

⚝ 星系分布的非均匀性：早期的星系巡天，如CfA 红移巡天 (CfA Redshift Survey) 和 2dFGRS (2-degree Field Galaxy Redshift Survey)，就已经揭示了星系在空间中并非随机分布，而是倾向于聚集在一起，形成丝状、片状和团状结构。这些结构之间则被巨大的空洞分隔开来。随着巡天规模的扩大和数据质量的提升，例如 SDSS (Sloan Digital Sky Survey) 和 DES (Dark Energy Survey) 等项目，宇宙纤维状结构的图像变得更加清晰和生动。我们可以直观地看到，星系沿着细长的纤维状结构延伸，在纤维的交汇处形成密集的星系团 (galaxy clusters) 和 超星系团 (superclusters)，而纤维之间则是几乎空无一物的宇宙空洞 (cosmic voids)。

⚝ 视觉证据：通过对星系巡天数据进行可视化处理，我们可以直接“看到”宇宙纤维状结构。将星系在空间中的位置标记出来，并用不同颜色或密度来表示星系的数量，就能清晰地展现出丝状、片状和节点状的结构。这些图像如同宇宙的“地图”，直观地印证了宇宙纤维状结构的存在。例如，SDSS 的数据可视化图像就经常被用来展示宇宙大尺度结构的壮丽景象。

⚝ 统计证据：除了直观的视觉证据，统计分析也为宇宙纤维状结构提供了定量支持。两点关联函数 (two-point correlation function) $\xi(r)$ 是描述宇宙中物质分布聚集程度的重要统计量。对于均匀随机分布，两点关联函数接近于零。然而，观测发现，在一定尺度范围内，星系的两点关联函数显著大于零，表明星系之间存在聚集性。更重要的是，在更大的尺度上，两点关联函数仍然表现出复杂的结构，而非简单的均匀性，这反映了宇宙纤维状结构的存在。此外，功率谱 (power spectrum) $P(k)$ 也显示出在特定波长上的峰值和谷值，这些特征与宇宙纤维状结构的尺度和特征相符。

⚝ 超星系团和星系墙 (Superclusters and Galaxy Walls)：超星系团是宇宙中已知最大的引力束缚结构，它们是宇宙纤维状结构中的节点。例如，著名的室女座超星系团 (Virgo Supercluster) 和 拉尼亚凯亚超星系团 (Laniakea Supercluster) 就是我们银河系所属的超星系团。星系墙 (galaxy walls)，如 斯隆长城 (Sloan Great Wall) 和 CfA2 长城 (CfA2 Great Wall)，是巨大的片状结构，也是宇宙纤维状结构的重要组成部分。这些超大尺度结构的发现，进一步证实了宇宙物质分布的非均匀性和宇宙纤维状结构的存在。

⚝ 引力透镜效应 (Gravitational Lensing Effect)：宇宙纤维状结构中的物质密度高于周围区域，可以产生显著的引力透镜效应。通过观测背景星系的光线在穿过宇宙纤维状结构时发生的弯曲和畸变，可以间接探测宇宙纤维状结构的存在和质量分布。弱引力透镜 (weak gravitational lensing) 巡天，如 DES 和 Euclid，正在利用这种效应来研究宇宙纤维状结构的性质。

综上所述，来自星系巡天的观测数据，包括星系分布的非均匀性、直观的视觉图像、统计分析结果、超大尺度结构的发现以及引力透镜效应的探测，都强有力地支持了宇宙纤维状结构的存在。这些观测证据共同描绘了一幅壮丽的宇宙图景，揭示了宇宙在大尺度上的组织方式。

7.2 纤维状结构的形成机制 (Formation Mechanisms of Filaments)

宇宙纤维状结构的形成，是宇宙结构形成 (structure formation) 理论的核心内容之一。根据目前的宇宙学标准模型 ΛCDM (Lambda Cold Dark Matter)，宇宙纤维状结构起源于早期宇宙微小的密度扰动 (density perturbations)，并在引力的作用下逐渐演化而来。

① 早期宇宙的密度扰动 (Density Perturbations in the Early Universe)：在宇宙极早期，例如暴胀时期 (inflationary epoch)，量子涨落产生了微小的密度扰动。这些扰动在宇宙膨胀的过程中被放大，成为宇宙结构形成的种子。这些早期的密度扰动具有近乎标度不变 (scale-invariant) 的功率谱 (power spectrum)，这意味着在不同尺度上，扰动的幅度大致相同。

② 引力不稳定性和增长 (Gravitational Instability and Growth)：在宇宙演化的早期，密度较高的区域，其引力更强，会吸引周围的物质，导致密度进一步增加；而密度较低的区域，引力较弱，物质会流失，密度进一步降低。这种正反馈过程被称为引力不稳定性 (gravitational instability)。在引力不稳定性的作用下，早期的微小密度扰动逐渐增长，形成更大的密度对比。

③ 各向异性塌缩 (Anisotropic Collapse)：在引力作用下，密度扰动并非均匀地向中心塌缩，而是呈现出各向异性的特征。由于初始密度场和速度场的各向异性，物质更容易沿着某些方向塌缩，而在另一些方向上则受到抑制。这种各向异性塌缩导致物质优先沿着特定方向聚集，形成丝状结构。

④ 暗物质的主导作用 (Dominant Role of Dark Matter)：暗物质 (dark matter) 在宇宙结构形成中起着至关重要的作用。暗物质不参与电磁相互作用，只通过引力相互作用，因此在早期宇宙中，暗物质可以比重子物质更早地开始塌缩。暗物质形成的引力势阱为重子物质的塌缩提供了框架。宇宙纤维状结构主要由暗物质骨架构成，星系则沿着暗物质纤维分布。

⑤ 分层塌缩模型 (Hierarchical Collapse Model)：宇宙结构形成遵循分层塌缩 (hierarchical collapse) 的模式，即小尺度结构首先形成，然后逐渐合并形成更大尺度的结构。例如，小的暗物质晕首先形成，然后合并形成更大的暗物质晕，星系在暗物质晕中形成，星系群和星系团则是在更大的暗物质结构中形成。宇宙纤维状结构是更大尺度结构形成过程中的自然产物。

⑥ 数值模拟的验证 (Verification by Numerical Simulations)：N-体模拟 (N-body simulations) 是研究宇宙结构形成的重要工具。通过模拟大量粒子的引力相互作用，可以追踪宇宙结构从早期到现在的演化过程。数值模拟的结果清晰地展示了宇宙纤维状结构的形成过程，与观测到的宇宙大尺度结构特征高度吻合，有力地验证了引力不稳定性和分层塌缩模型在宇宙纤维状结构形成中的作用。例如，著名的 Millennium Simulation 和 Illustris Simulation 等都成功地 воспроизвели 了宇宙纤维状结构的形成。

⑦ 潮汐力 (Tidal Forces)：潮汐力 (tidal forces) 在纤维状结构的形成和演化中也扮演着重要角色。在密度较高的区域，潮汐力会拉伸周围的物质，使其更容易沿着纤维方向聚集。潮汐力也有助于塑造纤维状结构的形状和方向。

总结来说，宇宙纤维状结构的形成是一个复杂而精细的过程，它起源于早期宇宙的微小密度扰动，在引力不稳定性的驱动下，通过各向异性塌缩和分层合并，最终形成了我们今天观测到的宇宙大尺度结构。暗物质在这一过程中起着主导作用，而数值模拟则为我们理解纤维状结构的形成机制提供了重要的工具和验证。

7.3 空洞的性质与演化 (Properties and Evolution of Voids)

宇宙空洞 (cosmic voids) 是宇宙纤维状结构中密度极低的区域，它们占据了宇宙体积的绝大部分。空洞并非完全空无一物，但其物质密度远低于宇宙的平均密度，星系数量也显著稀少。研究宇宙空洞的性质和演化，对于理解宇宙大尺度结构和宇宙学参数具有重要意义。

① 空洞的定义与特征 (Definition and Characteristics of Voids)：宇宙空洞通常被定义为宇宙中物质密度显著低于平均密度的区域。更精确的定义可以基于密度对比、星系计数或其他结构探测方法。空洞的主要特征包括：

▮▮▮▮ⓐ 低密度 (Low Density)：空洞内部的物质密度通常只有宇宙平均密度的 10% 甚至更低。这意味着空洞内部的星系数量非常稀少，甚至几乎没有星系。

▮▮▮▮ⓑ 大尺寸 (Large Size)：宇宙空洞的尺寸范围很广，从小型的空洞到直径超过 100 Mpc 的巨型空洞都有。典型的空洞直径在 10-50 Mpc 左右。

▮▮▮▮ⓒ 形状多样 (Diverse Shapes)：空洞的形状各异，可以是球形、椭球形、不规则形等等。一些空洞呈现出复杂的拓扑结构，例如相互连接的空洞网络。

▮▮▮▮ⓓ 边界清晰 (Clear Boundaries)：空洞通常具有相对清晰的边界，与周围的纤维状结构和星系团形成鲜明对比。空洞的边界区域，物质密度会迅速增加。

② 空洞的形成机制 (Formation Mechanisms of Voids)：宇宙空洞的形成与宇宙纤维状结构的形成是互补的过程。当物质在引力作用下向密度较高的区域（纤维和节点）聚集时，密度较低的区域就会被“掏空”，形成空洞。空洞的形成机制主要包括：

▮▮▮▮ⓐ 物质的疏散 (Evacuation of Matter)：在引力作用下，密度较低的区域会不断失去物质，物质会沿着密度梯度向周围密度较高的区域流动。这种物质的疏散过程导致空洞内部的密度持续降低。

▮▮▮▮ⓑ 膨胀加速 (Accelerated Expansion)：宇宙的加速膨胀 (accelerated expansion) 对空洞的演化也产生影响。加速膨胀会使得空洞的膨胀速度加快，进一步降低空洞内部的密度。

▮▮▮▮ⓒ 合并与演化 (Merger and Evolution)：小的空洞会随着宇宙的演化而合并成更大的空洞。空洞的演化是一个动态的过程，它们会不断膨胀、合并，并与其他结构相互作用。

③ 空洞的性质 (Properties of Voids)：宇宙空洞不仅是低密度区域，还具有许多独特的性质，使其成为研究宇宙学和星系演化的重要探针：

▮▮▮▮ⓐ 宇宙学探针 (Cosmological Probes)：空洞的性质和分布对宇宙学参数，特别是暗能量 (dark energy) 的性质非常敏感。空洞的形状、大小分布、以及演化速度等都可以用来约束宇宙学模型。例如，空洞的 Alcock-Paczynski 效应 (Alcock-Paczynski effect) 可以用来测量宇宙的膨胀历史。

▮▮▮▮ⓑ 星系演化环境 (Environment for Galaxy Evolution)：空洞内部的星系，由于环境密度极低，其演化过程与纤维和节点区域的星系有显著差异。空洞星系通常是孤立的、矮星系为主，具有较高的恒星形成率 (star formation rate) 和较蓝的颜色。研究空洞星系的性质，可以帮助我们理解环境对星系演化的影响。

▮▮▮▮ⓒ 探测修改引力理论 (Testing Modified Gravity Theories)：一些修改引力理论 (modified gravity theories) 预言，在低密度区域，引力定律会偏离广义相对论的预测。宇宙空洞作为宇宙中密度最低的区域，是检验修改引力理论的理想场所。通过精确测量空洞的动力学和几何性质，可以检验广义相对论的有效性。

④ 空洞的观测研究 (Observational Studies of Voids)：对宇宙空洞的观测研究，主要依赖于大规模的星系巡天数据。研究方法包括：

▮▮▮▮ⓐ 空洞探测算法 (Void Finding Algorithms)：开发各种算法来自动识别星系巡天数据中的空洞。常用的算法包括 VoidFinder, ZOBOV, DIVA 等。这些算法基于不同的原理，例如密度场分析、星系计数、Voronoi 图等。

▮▮▮▮ⓑ 空洞性质测量 (Void Property Measurements)：测量空洞的各种性质，例如尺寸、形状、密度对比、星系分布等。统计分析空洞的分布和性质，可以获得关于宇宙大尺度结构和宇宙学参数的信息。

▮▮▮▮ⓒ 空洞星系研究 (Void Galaxy Studies)：研究空洞内部星系的性质，例如形态、颜色、恒星形成率、金属丰度等。比较空洞星系与纤维和节点区域星系的差异，可以揭示环境对星系演化的影响。

总而言之，宇宙空洞是宇宙纤维状结构的重要组成部分，它们是宇宙中密度最低的区域，具有独特的性质和演化规律。研究宇宙空洞，不仅可以帮助我们更深入地理解宇宙大尺度结构的形成和演化，还可以为宇宙学参数的精确测量和基本物理学的检验提供重要的信息。

7.4 宇宙纤维状结构与星系演化 (Cosmic Web and Galaxy Evolution)

宇宙纤维状结构不仅是宇宙物质分布的骨架，也深刻地影响着星系的形成和演化。星系所处的宇宙环境，例如密度、潮汐力、气体供应等，都与宇宙纤维状结构密切相关。研究宇宙纤维状结构与星系演化的关系，是当前星系形成和演化领域的重要前沿方向。

① 环境密度依赖性 (Environmental Density Dependence)：星系的性质，如形态、颜色、恒星形成率、恒星质量等，都表现出显著的环境密度依赖性。这种依赖性与宇宙纤维状结构密切相关。

▮▮▮▮ⓐ 形态-密度关系 (Morphology-Density Relation)：在密度较高的区域，例如星系团和纤维节点，椭圆星系 (elliptical galaxies) 和 透镜星系 (lenticular galaxies) 的比例较高，而 旋涡星系 (spiral galaxies) 的比例较低。在密度较低的区域，例如空洞，旋涡星系的比例较高，矮星系也更加常见。这种形态-密度关系表明，高密度环境更有利于形成早期型星系，而低密度环境更有利于形成晚期型星系。

▮▮▮▮ⓑ 颜色-密度关系 (Color-Density Relation)：高密度区域的星系，平均颜色偏红，表明其恒星年龄较老，恒星形成活动较弱。低密度区域的星系，平均颜色偏蓝，表明其恒星年龄较轻，恒星形成活动较强。这种颜色-密度关系也反映了环境对星系恒星形成历史的影响。

▮▮▮▮ⓒ 恒星形成率-密度关系 (Star Formation Rate-Density Relation)：高密度区域的星系，平均恒星形成率较低，甚至出现红化和死亡星系 (red and dead galaxies)，即几乎停止恒星形成的星系。低密度区域的星系，平均恒星形成率较高，持续进行恒星形成活动。这种恒星形成率-密度关系表明，高密度环境会抑制星系的恒星形成，而低密度环境则更有利于星系的恒星形成。

② 宇宙纤维状结构中的星系 (Galaxies in the Cosmic Web)：不同类型的宇宙纤维状结构，对星系演化产生不同的影响。

▮▮▮▮ⓐ 纤维中的星系 (Galaxies in Filaments)：纤维是星系从稀疏区域向密集区域迁移的通道。纤维中的星系，受到潮汐力和气体剥离的影响，其恒星形成率可能受到抑制。同时，纤维也为星系提供了气体吸积的通道，可以为星系提供燃料，维持或促进恒星形成。纤维中的星系演化是一个复杂的过程，受到多种因素的共同影响。

▮▮▮▮ⓑ 节点中的星系 (Galaxies in Nodes)：节点是宇宙纤维状结构的交汇处，是宇宙中密度最高的区域，例如星系团和超星系团。节点中的星系，受到强烈的环境效应，例如星系并合、潮汐剥离、气体剥离、星系骚扰等。这些效应会导致节点星系的恒星形成受到抑制，形态发生改变，最终演化为早期型星系。

▮▮▮▮ⓒ 空洞中的星系 (Galaxies in Voids)：空洞是宇宙中密度最低的区域，环境效应较弱。空洞中的星系，通常是孤立演化的，受到较少的外部干扰。空洞星系往往保持着原始的性质，例如矮星系、蓝颜色、高恒星形成率等。研究空洞星系，可以帮助我们理解星系在相对“原始”环境下的演化过程。

③ 气体吸积与星系燃料 (Gas Accretion and Galaxy Fueling)：宇宙纤维状结构是星系气体吸积的重要通道。气体可以沿着纤维从稀疏区域流入到星系晕中，为星系提供恒星形成的燃料。

▮▮▮▮ⓐ 冷流吸积 (Cold Stream Accretion)：在宇宙早期，宇宙中的气体温度较低，可以通过冷流 (cold streams) 的形式沿着纤维流入到星系晕中。冷流吸积是早期星系气体供应的主要方式。

▮▮▮▮ⓑ 热晕吸积 (Hot Halo Accretion)：随着宇宙的演化，宇宙中的气体被加热，形成热晕 (hot halo)。热晕中的气体可以通过冷却和凝聚，逐渐吸积到星系中。热晕吸积是晚期星系气体供应的重要方式。

▮▮▮▮ⓒ 纤维引导的气体流动 (Filament-Guided Gas Flow)：宇宙纤维状结构引导着宇宙中的气体流动。气体沿着纤维从空洞区域流向纤维和节点区域，为星系提供持续的气体供应。

④ 观测证据与研究方法 (Observational Evidence and Research Methods)：研究宇宙纤维状结构与星系演化的关系，需要结合大规模的星系巡天数据和数值模拟。

▮▮▮▮ⓐ 星系巡天数据分析 (Galaxy Survey Data Analysis)：利用星系巡天数据，例如 SDSS, DESI, Euclid 等，研究不同宇宙环境（纤维、节点、空洞）中星系的性质分布。统计分析星系的形态、颜色、恒星形成率、恒星质量等与环境密度的关系。

▮▮▮▮ⓑ 数值模拟研究 (Numerical Simulation Studies)：利用宇宙学流体动力学模拟 (cosmological hydrodynamical simulations)，例如 IllustrisTNG, EAGLE 等，模拟宇宙纤维状结构的形成和演化，以及星系在宇宙纤维状结构中的演化过程。比较模拟结果与观测数据，验证理论模型，深入理解宇宙纤维状结构与星系演化的关系。

▮▮▮▮ⓒ 多波段观测 (Multi-wavelength Observations)：结合光学、射电、X射线等多波段观测数据，研究宇宙纤维状结构中的气体分布、星系气体吸积、以及环境效应等。例如，利用射电观测研究中性氢气体在纤维中的分布，利用X射线观测研究热气体在星系团中的分布。

总而言之，宇宙纤维状结构是星系演化的重要环境因素。不同类型的宇宙纤维状结构，对星系演化产生不同的影响。理解宇宙纤维状结构与星系演化的关系，需要结合观测数据和数值模拟，从多个角度深入研究，才能揭示宇宙中星系形成和演化的完整图景。

END_OF_CHAPTER

8. chapter 8：观测宇宙学与星系巡天 (Observational Cosmology and Galaxy Surveys)

8.1 星系巡天的类型 (Types of Galaxy Surveys)

星系巡天 (Galaxy Surveys) 是现代宇宙学研究的基石。通过系统性地观测天空中大量的星系，我们可以构建宇宙大尺度结构的图景，并从中提取出丰富的宇宙学信息。根据观测方式和目的的不同，星系巡天可以分为多种类型。

8.1.1 光学巡天 (Optical Surveys)

光学巡天 (Optical Surveys) 是最传统和常见的星系巡天类型。这类巡天使用光学望远镜，在可见光波段对天空进行成像观测。

① 原理：光学巡天主要通过探测星系发出的可见光。大多数星系，尤其是恒星形成活跃的星系，在光学波段都有较强的辐射。通过测量星系的光强、颜色、形状等信息，可以研究星系的性质和分布。
② 优点：
▮▮▮▮ⓒ 技术成熟：光学观测技术发展历史悠久，设备和方法都非常成熟。
▮▮▮▮ⓓ 成本相对较低：相比其他波段的巡天，光学巡天的设备和运行成本通常较低。
▮▮▮▮ⓔ 易于实现大面积覆盖：光学望远镜可以相对容易地实现对天空大面积的快速扫描。
⑥ 局限性：
▮▮▮▮ⓖ 消光和红化：星际介质和地球大气层对可见光有吸收和散射作用，导致观测到的星光变暗和颜色发生改变（红化 (Reddening)），影响观测精度，尤其是在低银纬地区。
▮▮▮▮ⓗ 红移限制：对于高红移星系，由于宇宙膨胀导致的红移效应，其光学波段的辐射会移到红外波段，使得光学巡天难以有效观测到非常遥远的星系。
▮▮▮▮ⓘ 无法直接测量距离：光学巡天通常只能获得星系在天球上的位置和亮度信息，需要借助其他方法（如测光红移 (Photometric Redshift)）来估计星系的距离，而测光红移的精度有限。
⑩ 代表性项目：早期的光学巡天，如帕洛玛天体测量巡天 (Palomar Observatory Sky Survey, POSS)，为后来的研究奠定了基础。现代的光学巡天，如斯隆数字巡天 (Sloan Digital Sky Survey, SDSS) 的早期阶段，也包含了重要的光学成像部分。

8.1.2 红移巡天 (Redshift Surveys)

红移巡天 (Redshift Surveys) 是为了精确测量星系距离而进行的巡天。通过测量星系的红移 (Redshift)，可以确定其在宇宙中的三维位置，从而构建更精确的宇宙大尺度结构图。

① 原理：红移巡天主要测量星系光谱中的特征谱线（如氢的 $\mathrm{H}\alpha$ 线，氧的 [OII] 线等）的红移量。红移量 $z$ 与星系的退行速度 $v$ 近似满足关系 $v \approx cz$，其中 $c$ 是光速。在低红移情况下，红移量也与宇宙学距离 $d$ 近似成正比。
② 类型：
▮▮▮▮ⓒ 光谱红移巡天 (Spectroscopic Redshift Surveys)：通过光谱仪获取星系的光谱，精确测量谱线红移。光谱红移精度高，但观测时间较长，适用于观测样本量相对较小的巡天。
▮▮▮▮ⓓ 测光红移巡天 (Photometric Redshift Surveys)：利用星系在不同滤波波段的颜色信息，通过模型拟合或经验方法估计星系的红移。测光红移效率高，可以快速获得大量星系的红移估计，但精度较低。
⑤ 优点：
▮▮▮▮ⓕ 三维宇宙结构：红移巡天可以直接获得星系的三维位置信息，构建宇宙的三维结构图，研究星系在空间中的分布和演化。
▮▮▮▮ⓖ 精确的宇宙学测量：基于红移巡天数据，可以精确测量重子声波振荡 (Baryon Acoustic Oscillations, BAO)、红移空间畸变 (Redshift Space Distortion, RSD) 等宇宙学效应，从而精确约束宇宙学参数。
⑧ 局限性：
▮▮▮▮ⓘ 观测时间：光谱红移巡天需要对每个星系进行光谱观测，观测时间较长，限制了巡天覆盖的面积和星系数量。
▮▮▮▮ⓙ 测光红移精度：测光红移的精度受多种因素影响，如星系光谱类型、观测波段、数据质量等，精度通常不如光谱红移。
▮▮▮▮ⓚ 选择效应：红移巡天可能存在选择效应 (Selection Effect)，例如，某些类型的星系可能更容易被观测到，导致样本不具有完全的代表性。
⑫ 代表性项目：
▮▮▮▮ⓜ 2dFGRS (2-degree Field Galaxy Redshift Survey)：早期的重要光谱红移巡天，测量了约 25 万个星系的红移。
▮▮▮▮ⓝ SDSS (Sloan Digital Sky Survey)：SDSS 是最成功的光谱红移巡天之一，其后续阶段 BOSS (Baryon Oscillation Spectroscopic Survey) 和 eBOSS (extended Baryon Oscillation Spectroscopic Survey) 进一步扩展了红移巡天的规模和红移范围。
▮▮▮▮ⓞ DESI (Dark Energy Spectroscopic Instrument)：新一代大型光谱红移巡天，旨在精确测量宇宙膨胀历史和暗能量性质。

8.1.3 射电巡天 (Radio Surveys)

射电巡天 (Radio Surveys) 在射电波段对天空进行观测，可以探测到光学巡天难以观测到的宇宙成分和现象。在宇宙大尺度结构研究中，射电巡天尤其在探测中性氢 21cm 辐射方面具有独特优势。

① 原理：射电巡天探测宇宙中天体发出的射电波。射电波可以穿透宇宙尘埃和地球大气层，受消光和大气影响较小。
② 21cm 宇宙学：
▮▮▮▮ⓒ 中性氢 (HI) 21cm 线：中性氢原子核自旋翻转会辐射出波长为 21cm 的射电波。宇宙早期和星系际介质中存在大量中性氢，其 21cm 辐射可以作为探测宇宙大尺度结构的独特探针。
▮▮▮▮ⓓ 宇宙再电离时期 (Epoch of Reionization, EoR)：宇宙早期，宇宙是中性的。随着第一代恒星和星系的形成，它们发出的紫外辐射逐渐电离周围的中性氢，宇宙经历再电离过程。探测不同红移的中性氢 21cm 信号，可以研究宇宙再电离的历史和早期宇宙的大尺度结构。
▮▮▮▮ⓔ 强度映射 (Intensity Mapping)：21cm 强度映射是一种快速、经济的巡天方法，不需要探测单个星系，而是直接测量天空中不同区域的平均 21cm 辐射强度。通过统计分析 21cm 强度涨落，可以研究宇宙大尺度结构。
⑥ 优点：
▮▮▮▮ⓖ 探测高红移宇宙：21cm 辐射可以探测到非常高红移的宇宙，例如宇宙再电离时期，这是光学和红外巡天难以企及的。
▮▮▮▮ⓗ 减少消光影响：射电波受宇宙尘埃和地球大气消光影响小，适合观测银河系平面和宇宙深处。
▮▮▮▮ⓘ 探测宇宙中性氢：21cm 辐射是探测宇宙中性氢的唯一直接手段，可以研究星系际介质和宇宙早期结构。
⑩ 局限性：
▮▮▮▮ⓚ 射电干扰：地面射电观测容易受到人为射电干扰 (Radio Frequency Interference, RFI) 和银河系前景辐射的影响，需要复杂的信号处理和前景消除技术。
▮▮▮▮ⓛ 灵敏度要求：探测宇宙 21cm 信号通常需要非常灵敏的射电望远镜和长时间的积分观测。
▮▮▮▮ⓜ 角分辨率：射电望远镜的角分辨率通常比光学望远镜低，限制了对小尺度结构的探测能力。
⑭ 代表性项目：
▮▮▮▮ⓞ SKA (Square Kilometre Array)：平方公里阵列是下一代大型射电望远镜，旨在进行深入的 21cm 宇宙学研究，探测宇宙再电离时期和暗能量性质。
▮▮▮▮ⓟ CHIME (Canadian Hydrogen Intensity Mapping Experiment)：加拿大氢强度映射实验，旨在利用强度映射技术快速巡天，测量宇宙膨胀历史和暗能量。
▮▮▮▮ⓠ HIRAX (Hydrogen Intensity and Real-time Analysis eXperiment)：氢强度和实时分析实验，南非的射电干涉阵列，用于 21cm 宇宙学研究。
▮▮▮▮ⓡ FAST (Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope)：五百米口径球面射电望远镜，中国的巨型射电望远镜，也具备进行 21cm 巡天的能力。

8.2 重要的星系巡天项目 (Important Galaxy Survey Projects)

近年来，涌现出许多重要的星系巡天项目，它们在观测策略、覆盖面积、深度、精度等方面各有特点，为宇宙学研究提供了丰富的数据资源。

8.2.1 SDSS (Sloan Digital Sky Survey)

斯隆数字巡天 (Sloan Digital Sky Survey, SDSS) 是天文学史上最成功和最具影响力的巡天项目之一。自 2000 年开始，SDSS 已经进行了多个阶段的观测，极大地扩展了我们对宇宙的认识。

① 主要特点：
▮▮▮▮ⓑ 大面积覆盖：SDSS 覆盖了天空约三分之一的面积。
▮▮▮▮ⓒ 多波段成像：SDSS 使用 5 个光学滤波波段 (u, g, r, i, z) 进行成像观测。
▮▮▮▮ⓓ 大样本红移巡天：SDSS 进行了大规模的光谱红移巡天，测量了数百万星系、类星体和恒星的光谱红移。
▮▮▮▮ⓔ 公开数据：SDSS 的数据向全世界公开，极大地促进了天文学研究。
⑥ 主要仪器：
▮▮▮▮ⓖ 2.5 米口径望远镜：位于美国新墨西哥州阿帕奇点天文台 (Apache Point Observatory)。
▮▮▮▮ⓗ 宽视场相机 (SDSS camera)：用于多波段成像观测。
▮▮▮▮ⓘ 光谱仪 (SDSS spectrograph)：用于光谱红移测量。
⑩ 主要科学成果：
▮▮▮▮ⓚ 星系分布图：SDSS 构建了迄今为止最精确的宇宙大尺度结构图，揭示了星系在宇宙中的分布模式，验证了宇宙学标准模型。
▮▮▮▮ⓛ 重子声波振荡 (BAO) 测量：SDSS 首次利用星系巡天数据精确测量了 BAO 信号，为精确宇宙学奠定了基础。
▮▮▮▮ⓜ 星系和类星体研究：SDSS 提供了海量的星系和类星体样本，推动了星系形成与演化、活动星系核等领域的研究。
▮▮▮▮ⓝ 星系团和宇宙空洞研究：SDSS 数据被广泛用于研究星系团、宇宙空洞等大尺度结构。
⑮ 后续阶段：SDSS 经历了 SDSS-I, SDSS-II, SDSS-III, SDSS-IV 等多个阶段，每个阶段都有不同的科学目标和观测计划。例如，SDSS-III 中的 BOSS (Baryon Oscillation Spectroscopic Survey) 专注于精确测量 BAO，SDSS-IV 中的 eBOSS (extended Baryon Oscillation Spectroscopic Survey) 将红移巡天扩展到更高红移，探测类星体和发射线星系。SDSS-V 是最新的阶段，将继续进行多方面的天文学观测。

8.2.2 DES (Dark Energy Survey)

暗能量巡天 (Dark Energy Survey, DES) 是一个专注于研究暗能量性质的国际合作项目。DES 利用大型光学望远镜和先进的观测技术，旨在精确测量宇宙膨胀历史和暗能量的性质。

① 主要特点：
▮▮▮▮ⓑ 大面积深度成像巡天：DES 覆盖 5000 平方度的天空，进行深场多波段 (g, r, i, z, Y) 成像观测。
▮▮▮▮ⓒ 弱引力透镜巡天：DES 的主要科学目标之一是利用弱引力透镜效应测量暗物质分布和宇宙学参数。
▮▮▮▮ⓓ 超新星巡天：DES 还进行超新星巡天，探测 Ia 型超新星，用于测量宇宙膨胀历史。
▮▮▮▮ⓔ 星系团巡天：DES 探测大量的星系团，研究星系团的性质和宇宙学应用。
⑥ 主要仪器：
▮▮▮▮ⓖ 4 米口径布兰科望远镜 (Blanco Telescope)：位于智利托洛洛山美洲际天文台 (Cerro Tololo Inter-American Observatory, CTIO)。
▮▮▮▮ⓗ 暗能量相机 (Dark Energy Camera, DECam)：安装在布兰科望远镜上的大型 CCD 相机，具有宽视场和高灵敏度。
⑨ 主要科学成果：
▮▮▮▮ⓙ 弱引力透镜测量：DES 获得了精确的弱引力透镜测量结果，约束了暗物质分布和宇宙学参数。
▮▮▮▮ⓚ 超新星 Ia 型宇宙学：DES 探测了大量的 Ia 型超新星，用于精确测量宇宙膨胀历史，验证了宇宙加速膨胀。
▮▮▮▮ⓛ 星系团宇宙学：DES 利用星系团计数和聚类等方法，研究宇宙学参数。
▮▮▮▮ⓜ 与其他巡天项目联合分析：DES 数据与 CMB 数据 (如普朗克卫星 (Planck))、BAO 数据 (如 BOSS) 等进行联合分析，获得更强的宇宙学约束。

8.2.3 DESI (Dark Energy Spectroscopic Instrument)

暗能量光谱仪 (Dark Energy Spectroscopic Instrument, DESI) 是新一代大型光谱红移巡天项目，旨在通过大规模光谱红移测量，精确研究暗能量和宇宙膨胀历史。

① 主要特点：
▮▮▮▮ⓑ 大规模光谱红移巡天：DESI 计划测量数千万星系和类星体的光谱红移，是迄今为止规模最大的光谱红移巡天项目之一。
▮▮▮▮ⓒ 多种目标天体：DESI 观测的目标天体包括亮星系 (Bright Galaxy Survey, BGS)、红移发射线星系 (Emission Line Galaxy, ELG)、类星体 (Quasar) 和亮红星 (Luminous Red Galaxy, LRG)，覆盖不同的红移范围。
▮▮▮▮ⓓ 高效率光谱观测：DESI 采用创新的机器人定位器技术，可以同时观测数千个天体的光谱。
⑤ 主要仪器：
▮▮▮▮ⓕ 4 米口径梅纳德望远镜 (Mayall Telescope)：位于美国基特峰国家天文台 (Kitt Peak National Observatory, KPNO)。
▮▮▮▮ⓖ DESI 光谱仪：安装在梅纳德望远镜焦平面上的多目标光谱仪，包含 5000 个光纤定位器和 10 个光谱仪。
⑧ 主要科学目标：
▮▮▮▮ⓘ 精确测量 BAO：DESI 的主要科学目标是精确测量不同红移范围的 BAO 信号，研究宇宙膨胀历史和暗能量性质。
▮▮▮▮ⓙ 红移空间畸变 (RSD) 研究：DESI 将利用 RSD 效应测量宇宙结构增长率，检验引力理论。
▮▮▮▮ⓚ 宇宙学参数约束：DESI 数据将用于精确约束宇宙学参数，检验 ΛCDM 模型。
▮▮▮▮ⓛ 早期宇宙研究：DESI 的类星体巡天可以探测高红移宇宙，研究早期宇宙的性质。

8.2.4 Euclid

欧几里得卫星 (Euclid) 是欧洲空间局 (European Space Agency, ESA) 的宇宙学任务，旨在通过观测宇宙大尺度结构，精确研究暗能量和暗物质的性质。

① 主要特点：
▮▮▮▮ⓑ 空间巡天：Euclid 是空间望远镜，不受地球大气影响，可以获得更高质量的观测数据。
▮▮▮▮ⓒ 宽视场成像和光谱巡天：Euclid 同时进行宽视场可见光成像巡天和近红外光谱巡天。
▮▮▮▮ⓓ 弱引力透镜和星系聚类：Euclid 的主要科学目标是通过弱引力透镜和星系聚类两种方法研究暗能量和暗物质。
⑤ 主要仪器：
▮▮▮▮ⓕ 可见光成像仪 (VIS)：用于高分辨率可见光成像，测量星系形状，进行弱引力透镜测量。
▮▮▮▮ⓖ 近红外光谱仪和光度计 (NISP)：用于近红外光谱红移测量和测光，研究星系聚类和红移分布。
⑧ 主要科学目标：
▮▮▮▮ⓘ 弱引力透镜宇宙学：Euclid 将进行大规模弱引力透镜巡天，精确测量暗物质分布和宇宙学参数。
▮▮▮▮ⓙ 星系聚类宇宙学：Euclid 将进行大规模近红外光谱红移巡天，精确测量 BAO 和 RSD 信号，研究宇宙膨胀历史和结构增长率。
▮▮▮▮ⓚ 暗能量和修改引力理论检验：Euclid 数据将用于检验暗能量模型和修改引力理论，探索宇宙加速膨胀的机制。
▮▮▮▮ⓛ 星系演化研究：Euclid 的观测数据也将用于研究星系的形成和演化。

8.2.5 LSST/Rubin Observatory (Legacy Survey of Space and Time)

遗产巡天空间和时间望远镜/鲁宾天文台 (Legacy Survey of Space and Time/Rubin Observatory, LSST/Rubin Observatory) 是一个计划在智利建造的大型地面望远镜项目，旨在进行为期十年的大规模巡天观测，研究暗能量、暗物质、瞬变源等天文学和物理学问题。

① 主要特点：
▮▮▮▮ⓑ 大视场：LSST 拥有 9.6 平方度的大视场，可以快速扫描天空。
▮▮▮▮ⓒ 深而广的巡天：LSST 将在 6 个光学波段 (u, g, r, i, z, y) 对南天进行重复观测，实现深而广的巡天覆盖。
▮▮▮▮ⓓ 时间域天文学：LSST 的重复观测策略使其成为研究时间域天文学 (Time-Domain Astronomy) 的利器，可以探测瞬变源和变源。
⑤ 主要仪器：
▮▮▮▮ⓕ 8.4 米口径西蒙尼望远镜 (Simonyi Telescope)：位于智利帕穹山 (Cerro Pachón)。
▮▮▮▮ⓖ LSST 相机：安装在西蒙尼望远镜上的大型 CCD 相机，是世界上最大的天文相机之一。
⑧ 主要科学目标：
▮▮▮▮ⓘ 暗能量和暗物质研究：LSST 将通过弱引力透镜、星系团计数、超新星 Ia 型和星系聚类等多种方法研究暗能量和暗物质。
▮▮▮▮ⓙ 时间域天文学：LSST 将探测大量的瞬变源，如超新星、伽马射线暴、潮汐瓦解事件等，研究宇宙中的剧烈变化过程。
▮▮▮▮ⓚ 太阳系天体普查：LSST 将进行太阳系天体普查，发现和研究小行星、彗星等。
▮▮▮▮ⓛ 银河系结构研究：LSST 的观测数据也将用于研究银河系的结构和恒星分布。

8.3 大尺度结构的数据分析 (Data Analysis of Large-Scale Structure)

星系巡天获得的海量数据需要经过精细的数据分析，才能提取出宇宙大尺度结构的统计特征和宇宙学信息。常用的数据分析方法包括两点关联函数、功率谱和重子声波振荡 (BAO) 测量等。

8.3.1 两点关联函数 (Two-Point Correlation Function)

两点关联函数 (Two-Point Correlation Function, 2PCF) $\xi(r)$ 是描述星系空间聚类性质的基本统计量。它表示在平均密度为 $\bar{n}$ 的宇宙中，在分隔距离为 $r$ 的两个体积元 $\mathrm{d}V_1$ 和 $\mathrm{d}V_2$ 中同时找到星系的概率相对于随机分布的超出程度。

① 定义：两点关联函数 $\xi(r)$ 定义为：
$$
\mathrm{d}P = \bar{n}^2 [1 + \xi(r)] \mathrm{d}V_1 \mathrm{d}V_2
$$
其中 $\mathrm{d}P$ 是在体积元 $\mathrm{d}V_1$ 和 $\mathrm{d}V_2$ 中同时找到星系的概率。
② 计算方法：在实际计算中，通常使用 Landy-Szalay 估计量：
$$
\hat{\xi}(r) = \frac{DD(r) - 2DR(r) + RR(r)}{RR(r)}
$$
其中 $DD(r)$ 是数据样本对 (Data-Data pairs) 中距离在 $[r-\Delta r/2, r+\Delta r/2]$ 范围内的对数，$DR(r)$ 是数据样本和随机样本对 (Data-Random pairs) 的对数，$RR(r)$ 是随机样本对 (Random-Random pairs) 的对数。随机样本需要具有与数据样本相同的选择函数 (Selection Function) 和几何形状，但星系位置是随机分布的。
③ 物理意义：
▮▮▮▮ⓑ 聚类强度：$\xi(r) > 0$ 表示在距离 $r$ 处星系比随机分布更倾向于聚集在一起，$\xi(r) < 0$ 表示星系比随机分布更倾向于远离。$\xi(r) = 0$ 表示星系分布是随机的。$\xi(r)$ 的值越大，表示聚类强度越高。
▮▮▮▮ⓒ 聚类尺度：两点关联函数的形状和幅度反映了星系聚类的尺度和强度。例如，在小尺度上，星系聚类较强，$\xi(r)$ 值较大；在大尺度上，聚类减弱，$\xi(r)$ 值趋近于零。
④ 应用：
▮▮▮▮ⓔ 描述星系聚类：两点关联函数是描述星系聚类性质的基本工具，可以研究不同类型星系的聚类特征，例如不同光度、颜色、形态的星系的聚类。
▮▮▮▮ⓕ 宇宙学参数约束：两点关联函数的形状和幅度受到宇宙学参数的影响。通过拟合理论模型到观测到的两点关联函数，可以约束宇宙学参数，例如物质密度参数 $\Omega_m$、宇宙学常数 $\Omega_\Lambda$ 等。
▮▮▮▮ⓖ BAO 测量：重子声波振荡 (BAO) 在两点关联函数中表现为一个特征峰。精确测量 BAO 峰的位置，可以作为标准尺子 (Standard Ruler) 测量宇宙膨胀历史。
⑧ 局限性：
▮▮▮▮ⓘ 统计误差：两点关联函数的估计精度受到统计误差的影响，尤其是在大尺度上，星系对数较少，统计误差较大。
▮▮▮▮ⓙ 非线性效应：在小尺度上，非线性引力效应和星系形成过程会影响两点关联函数的形状，使得理论模型拟合更加复杂。
▮▮▮▮ⓚ 红移空间畸变 (RSD)：在红移空间中计算的两点关联函数会受到 RSD 效应的影响，需要考虑 RSD 模型进行分析。

8.3.2 功率谱 (Power Spectrum)

功率谱 (Power Spectrum) $P(k)$ 是描述密度场涨落的傅里叶空间统计量。它表示不同波数 $k$ 的密度涨落的强度。功率谱与两点关联函数是一对傅里叶变换对，它们包含了相同的统计信息，但在某些情况下，功率谱在理论分析和计算上更方便。

① 定义：宇宙密度场 $\rho(\mathbf{x})$ 可以分解为平均密度 $\bar{\rho}$ 和密度涨落 $\delta(\mathbf{x}) = [\rho(\mathbf{x}) - \bar{\rho}] / \bar{\rho}$。密度涨落的傅里叶变换为 $\delta(\mathbf{k})$。功率谱 $P(k)$ 定义为密度涨落傅里叶系数的方差：
$$
\langle \delta(\mathbf{k}) \delta^(\mathbf{k}') \rangle = (2\pi)^3 \delta_D(\mathbf{k} - \mathbf{k}') P(k)
$$
其中 $\langle \cdots \rangle$ 表示系综平均，$\delta_D$ 是狄拉克 $\delta$ 函数，$k = |\mathbf{k}|$ 是波数。
② 与两点关联函数的关系：功率谱 $P(k)$ 和两点关联函数 $\xi(r)$ 是一对傅里叶变换对：
$$
P(k) = \int \xi(r) e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}
$$
$$
\xi(r) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int P(k) e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \mathrm{d}^3 \mathbf{k}
$$
对于各向同性 (Isotropy) 的宇宙，功率谱只依赖于波数的模 $k$，而与方向无关。
③ 物理意义：
▮▮▮▮ⓑ 涨落强度：功率谱 $P(k)$ 表示波数为 $k$ 的密度涨落的强度。$P(k)$ 值越大，表示该尺度上的密度涨落越强。
▮▮▮▮ⓒ 涨落尺度：功率谱 $P(k)$ 描述了不同尺度上的密度涨落分布。例如，在大尺度 (小 $k$) 上，功率谱反映了宇宙大尺度结构的特征；在小尺度 (大 $k$) 上，功率谱反映了星系团、星系等小尺度结构的特征。
▮▮▮▮ⓓ 宇宙学模型：不同宇宙学模型预言的功率谱形状不同。例如，ΛCDM 模型预言的功率谱在小尺度上受到自由流长度 (Free-streaming Length) 的抑制，在大尺度上受到 Sachs-Wolfe 效应的影响。
⑤ 应用：
▮▮▮▮ⓕ 宇宙学参数约束：功率谱的形状和幅度受到宇宙学参数的敏感影响。通过拟合理论模型到观测到的功率谱，可以精确约束宇宙学参数，例如物质密度参数 $\Omega_m$、哈勃常数 $H_0$、标量谱指数 $n_s$ 等。
▮▮▮▮ⓖ BAO 测量：重子声波振荡 (BAO) 在功率谱中表现为一系列振荡峰。精确测量 BAO 峰的位置，可以作为标准尺子测量宇宙膨胀历史。
▮▮▮▮ⓗ RSD 建模：在功率谱分析中，可以更方便地考虑红移空间畸变 (RSD) 效应，构建 RSD 模型，从功率谱中提取宇宙结构增长率信息。
⑨ 局限性*：
▮▮▮▮ⓙ 统计误差：功率谱的估计精度也受到统计误差的影响，尤其是在小波数 (大尺度) 上，模式 (Mode) 数量较少，宇宙学方差 (Cosmic Variance) 较大。
▮▮▮▮ⓚ 非线性效应：在小尺度 (大波数) 上，非线性引力效应会影响功率谱的形状，使得线性理论模型不再适用，需要使用非线性模型或数值模拟进行分析。
▮▮▮▮ⓛ 模式耦合 (Mode Coupling)：非线性效应会导致不同波数的模式之间发生耦合，使得功率谱分析更加复杂。

8.3.3 重子声波振荡 BAO 的测量 (Measurement of Baryon Acoustic Oscillations)

重子声波振荡 (Baryon Acoustic Oscillations, BAO) 是早期宇宙声波振荡在物质分布中留下的印记。BAO 在两点关联函数中表现为一个特征峰，在功率谱中表现为一系列振荡峰。BAO 的特征尺度由早期宇宙的物理过程决定，是一个已知的标准尺子，可以用于精确测量宇宙膨胀历史和宇宙学参数。

① BAO 的起源：
▮▮▮▮ⓑ 早期宇宙声波：在宇宙早期，光子和重子 (质子和中子) 紧密耦合在一起，形成光子-重子流体。密度扰动会在光子-重子流体中激发声波振荡。
▮▮▮▮ⓒ 复合时期：随着宇宙膨胀冷却，当宇宙温度降到约 3000K 时，电子和质子复合形成中性氢原子，光子退耦，声波振荡停止。
▮▮▮▮ⓓ BAO 特征尺度：声波在复合时期传播的距离，称为声视界 (Sound Horizon) $r_s$，约为 150 Mpc。这个尺度在物质分布中被冻结下来，形成 BAO 特征尺度。
⑤ BAO 的观测特征：
▮▮▮▮ⓕ 两点关联函数中的峰：在两点关联函数 $\xi(r)$ 中，在距离 $r \approx r_s \approx 150 \mathrm{Mpc}$ 处，可以看到一个明显的峰，这就是 BAO 峰。
▮▮▮▮ⓖ 功率谱中的振荡：在功率谱 $P(k)$ 中，可以看到一系列振荡峰，振荡周期与 BAO 尺度有关。
⑧ BAO 的测量：
▮▮▮▮ⓘ 测量 BAO 峰位置：通过测量星系巡天数据计算两点关联函数或功率谱，找到 BAO 峰的位置。
▮▮▮▮ⓙ 标准尺子应用：BAO 尺度 $r_s$ 是一个已知的标准尺子。测量不同红移 $z$ 的 BAO 峰的角直径距离 $d_A(z)$ 和哈勃参数 $H(z)$，可以研究宇宙膨胀历史。
▮▮▮▮ⓚ 宇宙学参数约束：BAO 测量可以精确约束宇宙学参数，例如暗能量密度参数 $\Omega_\Lambda$、物质密度参数 $\Omega_m$、哈勃常数 $H_0$ 等。
⑫ BAO 测量的优势：
▮▮▮▮ⓜ 标准尺子：BAO 尺度 $r_s$ 由早期宇宙物理决定，理论计算精确，是一个可靠的标准尺子。
▮▮▮▮ⓝ 几何学测量：BAO 测量主要是一种几何学测量，对系统误差和天体物理不确定性相对不敏感。
▮▮▮▮ⓞ 精确宇宙学：BAO 测量是当前最精确的宇宙学测量方法之一，在精确宇宙学研究中发挥着重要作用。
⑯ BAO 测量的挑战：
▮▮▮▮ⓠ 大尺度观测：BAO 尺度较大，需要大面积、大体积的星系巡天才能精确测量 BAO 信号。
▮▮▮▮ⓡ 统计误差：BAO 信号相对较弱，需要大量的星系样本才能克服统计误差。
▮▮▮▮ⓢ 非线性效应和 RSD：非线性引力效应和红移空间畸变 (RSD) 会影响 BAO 峰的形状和位置，需要精确建模和消除这些效应。

8.4 弱引力透镜巡天 (Weak Gravitational Lensing Surveys)

弱引力透镜 (Weak Gravitational Lensing, WL) 效应是指背景星系的光线在穿过宇宙大尺度结构时，受到引力场微弱偏折的现象。通过统计分析大量背景星系形状的微小畸变，可以重建前景物质的质量分布，研究宇宙大尺度结构和宇宙学参数。弱引力透镜巡天是研究暗物质分布和暗能量性质的重要手段。

① 原理：
▮▮▮▮ⓑ 引力透镜效应：根据广义相对论，光线在引力场中会发生偏折。当背景星系的光线穿过前景物质（如星系团、宇宙纤维状结构等）时，会受到引力透镜效应的影响。
▮▮▮▮ⓒ 弱透镜近似：当引力场较弱时，透镜效应表现为背景星系形状的微小畸变，称为弱引力透镜效应。
▮▮▮▮ⓓ 剪切 (Shear) 和会聚 (Convergence)：弱引力透镜效应可以用剪切 $\gamma$ 和会聚 $\kappa$ 两个量来描述。剪切描述星系形状的拉伸和压缩，会聚描述星系亮度的放大。
⑤ 弱引力透镜巡天：
▮▮▮▮ⓕ 成像巡天：弱引力透镜巡天通常需要进行深场、高分辨率的成像观测，测量大量背景星系的形状。
▮▮▮▮ⓖ 红移信息：为了进行三维弱引力透镜分析，需要获得背景星系的红移信息，可以通过光谱红移或测光红移方法获得。
▮▮▮▮ⓗ 形状测量：精确测量星系形状是弱引力透镜巡天的关键步骤，需要考虑仪器效应、大气湍流、星系固有形状等因素的影响。
⑨ 弱引力透镜的宇宙学应用：
▮▮▮▮ⓙ 暗物质分布重建：通过弱引力透镜效应，可以重建前景物质的质量分布，绘制宇宙暗物质分布图。
▮▮▮▮ⓚ 宇宙学参数约束：弱引力透镜效应的强度和统计特征受到宇宙学参数的敏感影响。通过分析弱引力透镜巡天数据，可以约束宇宙学参数，例如物质密度参数 $\Omega_m$、暗能量参数 $\Omega_\Lambda$、宇宙结构增长率等。
▮▮▮▮ⓛ 暗能量性质研究：弱引力透镜巡天可以研究宇宙结构增长历史，检验暗能量模型和修改引力理论。
▮▮▮▮ⓜ 星系团研究：弱引力透镜效应可以用于测量星系团的质量分布，研究星系团的性质和演化。
⑭ 弱引力透镜巡天的类型：
▮▮▮▮ⓞ 星系-星系透镜 (Galaxy-Galaxy Lensing)：研究前景星系周围的弱引力透镜效应，测量星系晕的质量分布。
▮▮▮▮ⓟ 宇宙剪切 (Cosmic Shear)：统计分析大面积天空背景星系的弱引力透镜效应，研究宇宙大尺度物质分布和宇宙学参数。
▮▮▮▮ⓠ 星系团透镜 (Cluster Lensing)：研究星系团周围的弱引力透镜效应，测量星系团的质量和暗物质分布。
⑱ 弱引力透镜巡天的挑战：
▮▮▮▮ⓢ 形状测量精度：弱引力透镜效应非常微弱，需要高精度的星系形状测量，才能提取出弱透镜信号。
▮▮▮▮ⓣ 系统误差控制：弱引力透镜巡天容易受到各种系统误差的影响，如仪器效应、大气湍流、星系固有形状对齐等，需要精细的系统误差控制和校正。
▮▮▮▮ⓤ 内在对齐 (Intrinsic Alignment)：星系固有形状可能存在对齐效应，会污染弱引力透镜信号，需要建模和消除内在对齐效应。
⑳ 代表性项目：
▮▮▮▮ⓦ CFHTLenS (Canada-France-Hawaii Telescope Lensing Survey)：加拿大-法国-夏威夷望远镜透镜巡天，早期的重要弱引力透镜巡天项目。
▮▮▮▮ⓧ DES (Dark Energy Survey)：暗能量巡天，包含重要的弱引力透镜巡天部分。
▮▮▮▮ⓨ HSC (Hyper Suprime-Cam) Survey：超 Suprime-Cam 巡天，日本 Subaru 望远镜上的大型相机巡天，也包含弱引力透镜巡天。
▮▮▮▮ⓩ Euclid：欧几里得卫星，主要科学目标之一是进行大规模弱引力透镜巡天。
▮▮▮▮ⓩ LSST/Rubin Observatory：LSST/鲁宾天文台，也将进行大规模弱引力透镜巡天。

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9. chapter 9：宇宙学参数的精确测量 (Precision Measurement of Cosmological Parameters)

9.1 宇宙学参数概述 (Overview of Cosmological Parameters)

宇宙学参数 (cosmological parameters) 是描述宇宙性质和演化的关键数值。精确测量这些参数对于理解宇宙的起源、组成、演化以及未来的命运至关重要。在 ΛCDM 宇宙学标准模型 (ΛCDM Standard Cosmological Model) 中，一组相对较少的参数就能够很好地描述我们观测到的宇宙。本节将概述这些核心宇宙学参数，并简要介绍它们的物理意义。

9.1.1 哈勃常数 H₀ (Hubble Constant H₀)

哈勃常数 (Hubble Constant) $H_0$ 描述了宇宙当前的膨胀速率。它定义了哈勃定律 (Hubble's Law) 中的比例常数，该定律指出星系的退行速度与它们到我们的距离成正比。哈勃定律可以表示为： $$ v = H_0 D $$ 其中，$v$ 是星系的退行速度，$D$ 是星系的距离。哈勃常数的单位通常是 km/s/Mpc (千米每秒每百万秒差距)。

哈勃常数 $H_0$ 的精确测量对于确定宇宙的年龄和尺度至关重要。较高的 $H_0$ 值意味着宇宙膨胀得更快，因此宇宙的年龄更小。反之，较低的 $H_0$ 值则意味着宇宙年龄更大。

目前，哈勃常数的测量存在一定的张力，不同测量方法得到的结果略有差异，这被称为“哈勃张力 (Hubble tension)”。主要的测量方法包括：
① 距离阶梯法 (Distance Ladder)：利用造父变星 (Cepheid variables)、Ia 型超新星 (Type Ia supernovae) 等标准烛光 (standard candles) 逐步测量星系距离，从而推导出 $H_0$。
② 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)：通过分析 CMB 各向异性 (CMB anisotropies) 可以精确约束早期宇宙的物理参数，进而推导出当前的 $H_0$ 值，这通常依赖于 ΛCDM 模型。

哈勃常数的精确值仍然是当前宇宙学研究的热点之一。

9.1.2 物质密度参数 Ωm (Matter Density Parameter Ωm)

物质密度参数 (Matter Density Parameter) $\Omega_m$ 表示宇宙中物质的总密度占宇宙临界密度 (critical density) 的比例。临界密度 $\rho_c$ 是使宇宙空间曲率为平直 (flat) 的密度，其定义为： $$ \rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G} $$ 其中，$G$ 是引力常数 (gravitational constant)。物质密度参数 $\Omega_m$ 定义为： $$ \Omega_m = \frac{\rho_m}{\rho_c} $$ 其中，$\rho_m$ 是宇宙中物质的总密度，包括重子物质 (baryonic matter) 和暗物质 (dark matter)。
$\Omega_m$ 的值决定了宇宙中物质的相对重要性。如果 $\Omega_m > 1$，则宇宙的物质密度高于临界密度，引力最终会使宇宙停止膨胀并坍缩（闭合宇宙）。如果 $\Omega_m < 1$，则宇宙的物质密度低于临界密度，宇宙将永远膨胀下去（开放宇宙）。如果 $\Omega_m = 1$，则宇宙是平直的，膨胀速度逐渐减慢但永远不会停止（平直宇宙）。

物质密度参数 $\Omega_m$ 可以通过多种观测手段进行测量，包括：
① 星系团 (Galaxy Clusters)：通过观测星系团的质量和丰度，可以估计宇宙的物质密度。
② 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)：CMB 各向异性对 $\Omega_m$ 非常敏感，通过分析 CMB 可以精确测量 $\Omega_m$。
③ 大尺度结构 (Large-Scale Structure)：宇宙大尺度结构的形成和演化受到物质密度的影响，通过分析星系巡天 (galaxy surveys) 数据可以约束 $\Omega_m$。

9.1.3 暗能量密度参数 ΩΛ (Dark Energy Density Parameter ΩΛ)

暗能量密度参数 (Dark Energy Density Parameter) $\Omega_\Lambda$ 表示宇宙中暗能量 (dark energy) 的密度占宇宙临界密度的比例。类似于物质密度参数，$\Omega_\Lambda$ 定义为： $$ \Omega_\Lambda = \frac{\rho_\Lambda}{\rho_c} $$ 其中，$\rho_\Lambda$ 是暗能量的密度。

暗能量是一种具有负压强的神秘能量形式，它导致宇宙加速膨胀 (accelerated expansion)。$\Omega_\Lambda$ 的值决定了暗能量在宇宙演化中的作用。根据目前的观测，暗能量占据了宇宙能量密度的绝大部分。

暗能量密度参数 $\Omega_\Lambda$ 的测量主要依赖于：
① Ia 型超新星 (Type Ia Supernovae)：Ia 型超新星作为标准烛光，可以用来测量宇宙的膨胀历史，从而推导出 $\Omega_\Lambda$。
② 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)：CMB 各向异性对 $\Omega_\Lambda$ 也有一定的敏感性，可以与其他观测数据联合约束 $\Omega_\Lambda$。
③ 重子声波振荡 BAO (Baryon Acoustic Oscillations)：BAO 作为标准尺 (standard ruler)，可以用来测量宇宙的膨胀率和距离，从而约束 $\Omega_\Lambda$。

9.1.4 重子密度参数 Ωb (Baryon Density Parameter Ωb)

重子密度参数 (Baryon Density Parameter) $\Omega_b$ 表示宇宙中重子物质 (baryonic matter) 的密度占宇宙临界密度的比例。重子物质是指由质子 (protons) 和中子 (neutrons) 组成的普通物质，包括恒星 (stars)、行星 (planets)、气体 (gas) 和尘埃 (dust) 等。$\Omega_b$ 定义为： $$ \Omega_b = \frac{\rho_b}{\rho_c} $$ 其中，$\rho_b$ 是重子物质的密度。
$\Omega_b$ 的值反映了宇宙中普通物质的丰度。虽然重子物质是我们日常生活中所熟悉的物质，但在宇宙总能量密度中，重子物质只占很小一部分。

重子密度参数 $\Omega_b$ 的主要测量方法包括：
① 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)：CMB 各向异性对 $\Omega_b$ 非常敏感，通过分析 CMB 的功率谱 (power spectrum) 可以精确测量 $\Omega_b$。
② 太初核合成 (Big Bang Nucleosynthesis, BBN)：太初核合成理论预测了轻元素（如氘 (Deuterium)、氦 (Helium)、锂 (Lithium) 等）的丰度与 $\Omega_b$ 的关系，通过观测这些轻元素的丰度可以约束 $\Omega_b$。

9.1.5 宇宙曲率参数 Ωk (Curvature Density Parameter Ωk)

宇宙曲率参数 (Curvature Density Parameter) $\Omega_k$ 描述了宇宙空间的曲率。在广义相对论 (General Relativity) 中，宇宙空间可以是平直的、正弯曲的（如球面），或负弯曲的（如双曲面）。宇宙曲率参数 $\Omega_k$ 与总密度参数 $\Omega_{tot} = \Omega_m + \Omega_\Lambda + \Omega_r + ...$ (包括物质、暗能量、辐射等所有成分的密度参数) 之间存在关系： $$ \Omega_k = 1 - \Omega_{tot} $$ 其中，$\Omega_r$ 是辐射密度参数 (radiation density parameter)，通常在当前宇宙中可以忽略不计。

如果 $\Omega_k = 0$，则宇宙是平直的；如果 $\Omega_k > 0$，则宇宙是负弯曲的（开放宇宙）；如果 $\Omega_k < 0$，则宇宙是正弯曲的（闭合宇宙）。

宇宙曲率参数 $\Omega_k$ 的测量主要依赖于：
① 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)：CMB 各向异性的角度功率谱 (angular power spectrum) 对宇宙曲率非常敏感，通过精确测量 CMB 可以约束 $\Omega_k$。
② 重子声波振荡 BAO (Baryon Acoustic Oscillations)：BAO 的角度尺度也受到宇宙曲率的影响，结合 BAO 测量可以约束 $\Omega_k$。

目前的观测结果强烈表明宇宙空间是近乎平直的，即 $\Omega_k \approx 0$。

9.1.6 标量谱指数 ns (Scalar Spectral Index ns)

标量谱指数 (Scalar Spectral Index) $n_s$ 描述了原始密度扰动 (primordial density perturbations) 的功率谱形状。在宇宙暴胀理论 (cosmic inflation theory) 中，量子涨落 (quantum fluctuations) 在暴胀时期被拉伸到宇宙学尺度，成为宇宙结构形成的种子。这些原始扰动的功率谱通常被假设为幂律形式： $$ P(k) \propto k^{n_s-1} $$ 其中，$P(k)$ 是波数 $k$ 的功率谱，$n_s$ 是标量谱指数。$n_s = 1$ 对应于哈里森-泽尔维奇谱 (Harrison-Zel'dovich spectrum)，也称为尺度不变谱 (scale-invariant spectrum)。$n_s < 1$ 意味着功率谱在小尺度（大波数 $k$）上有所下降，称为红谱 (red spectrum)；$n_s > 1$ 意味着功率谱在小尺度上有所上升，称为蓝谱 (blue spectrum)。

标量谱指数 $n_s$ 的测量主要来自于：
① 宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation)：CMB 各向异性的功率谱直接反映了原始密度扰动的性质，通过分析 CMB 可以精确测量 $n_s$。
② 大尺度结构 (Large-Scale Structure)：大尺度结构的功率谱也受到原始密度扰动的影响，结合星系巡天数据可以约束 $n_s$。

精确测量 $n_s$ 对于检验暴胀模型和理解早期宇宙的物理过程至关重要。目前的观测结果表明 $n_s \approx 0.96$，略小于 1，表明原始扰动谱略微偏离尺度不变谱。

9.2 利用 CMB 测量宇宙学参数 (Cosmological Parameter Measurement from CMB)

宇宙微波背景辐射 CMB (Cosmic Microwave Background Radiation) 是宇宙学研究的宝贵资源。CMB 是宇宙早期（约宇宙诞生后 38 万年）的光子，携带着丰富的宇宙学信息。通过精确测量 CMB 的温度各向异性 (temperature anisotropies) 和偏振 (polarization)，我们可以精确地约束多种宇宙学参数。

CMB 各向异性的形成主要来源于以下几个效应：
① 萨克斯-沃尔夫效应 (Sachs-Wolfe Effect)：引力势阱 (gravitational potential wells) 和势峰 (potential peaks) 导致光子红移或蓝移，产生温度涨落。
② 本征温度涨落 (Intrinsic Temperature Fluctuations)：早期宇宙等离子体 (plasma) 的密度和温度涨落直接反映在 CMB 温度各向异性中。
③ 多普勒效应 (Doppler Effect)：等离子体的运动导致光子频率发生多普勒偏移，产生温度各向异性。
④ 晚期萨克斯-沃尔夫效应 (Integrated Sachs-Wolfe Effect, ISW)：光子在穿越时变引力势阱时能量发生改变，产生温度各向异性。

CMB 各向异性的统计性质通常用角度功率谱 (angular power spectrum) 来描述。功率谱 $C_l$ 表示不同角尺度 $l$ (对应于角度 $\theta \approx 180^\circ/l$) 的温度涨落的强度。理论计算表明，宇宙学参数的变化会显著影响 CMB 功率谱的形状和幅度。

例如：
① 哈勃常数 H₀ (Hubble Constant H₀)：$H_0$ 影响 CMB 功率谱的整体尺度和峰值位置。
② 物质密度参数 Ωm (Matter Density Parameter Ωm)：$\Omega_m$ 影响 CMB 功率谱的峰值高度和形状，特别是奇数峰和偶数峰的相对高度。
③ 重子密度参数 Ωb (Baryon Density Parameter Ωb)：$\Omega_b$ 显著影响 CMB 功率谱的奇数峰和偶数峰的比例，以及阻尼尾 (damping tail) 的形状。
④ 宇宙曲率参数 Ωk (Curvature Density Parameter Ωk)：$\Omega_k$ 影响 CMB 功率谱的峰值位置，平直宇宙的峰值位置对应于特定的角尺度。
⑤ 标量谱指数 ns (Scalar Spectral Index ns)：$n_s$ 影响 CMB 功率谱的形状，特别是小尺度上的功率谱幅度。

通过将理论 CMB 功率谱与观测数据进行比较，并利用统计方法（如马尔可夫链蒙特卡洛方法 MCMC (Markov Chain Monte Carlo)），可以精确地估计宇宙学参数的最佳值和置信区间。普朗克卫星 (Planck satellite) 等 CMB 实验已经对宇宙学参数进行了非常精确的测量，为 ΛCDM 模型提供了强有力的支持。

9.3 利用大尺度结构测量宇宙学参数 (Cosmological Parameter Measurement from Large-Scale Structure)

宇宙大尺度结构 (Large-Scale Structure, LSS) 是指宇宙中星系 (galaxies)、星系团 (galaxy clusters)、超星系团 (superclusters) 和空洞 (voids) 等结构的分布模式。大尺度结构的形成和演化受到宇宙学参数的深刻影响。通过分析星系巡天 (galaxy surveys) 数据，我们可以提取出大尺度结构的统计信息，并利用这些信息来约束宇宙学参数。

用于分析大尺度结构的主要统计工具包括：
① 两点关联函数 (Two-Point Correlation Function, 2PCF)：描述空间中两点同时找到星系的概率超出随机分布的程度，反映了星系聚类 (galaxy clustering) 的强度。
② 功率谱 (Power Spectrum, P(k))：描述不同波数 $k$ (对应于波长 $\lambda = 2\pi/k$) 的密度涨落的强度，是两点关联函数在傅里叶空间 (Fourier space) 的对应物。

宇宙学参数对大尺度结构的影响主要体现在以下几个方面：
① 物质密度参数 Ωm (Matter Density Parameter Ωm)：$\Omega_m$ 决定了引力不稳定性的增长速率，从而影响大尺度结构的形成速度和聚类强度。较高的 $\Omega_m$ 值通常导致更强的聚类。
② 暗能量密度参数 ΩΛ (Dark Energy Density Parameter ΩΛ)：$\Omega_\Lambda$ 影响宇宙的膨胀历史，从而影响大尺度结构的演化。暗能量的存在会抑制结构在晚期的增长。
③ 哈勃常数 H₀ (Hubble Constant H₀)：$H_0$ 影响宇宙的整体尺度和膨胀速率，从而影响大尺度结构的尺度和演化时间。
④ 重子密度参数 Ωb (Baryon Density Parameter Ωb)：$\Omega_b$ 影响重子声波振荡 BAO (Baryon Acoustic Oscillations) 的特征尺度，BAO 在大尺度结构功率谱中表现为一系列峰值。
⑤ 标量谱指数 ns (Scalar Spectral Index ns)：$n_s$ 影响原始密度扰动的功率谱形状，从而影响大尺度结构功率谱的形状，特别是在小尺度上的功率谱幅度。

利用大尺度结构测量宇宙学参数的主要方法包括：
① 功率谱拟合 (Power Spectrum Fitting)：将理论功率谱模型与观测到的星系功率谱进行拟合，通过调整宇宙学参数使理论模型与观测数据最佳匹配。
② 重子声波振荡 BAO 测量 (Baryon Acoustic Oscillations Measurement)：精确测量 BAO 的特征尺度，并将其与理论预测进行比较，从而约束宇宙的膨胀历史和宇宙学参数。
③ 红移空间畸变 (Redshift Space Distortions, RSD)：星系的红移不仅包含宇宙膨胀的信息，还包含星系本动速度的信息。RSD 效应可以用来测量宇宙结构的增长率，从而约束引力理论和宇宙学参数。
④ 弱引力透镜 (Weak Gravitational Lensing)：宇宙大尺度结构会引起背景星系光线的微小偏折，产生弱引力透镜效应。通过分析弱引力透镜信号，可以重建宇宙物质分布，并约束宇宙学参数。

斯隆数字巡天 SDSS (Sloan Digital Sky Survey)、暗能量巡天 DES (Dark Energy Survey)、暗能量光谱仪 DESI (Dark Energy Spectroscopic Instrument) 和欧几里得卫星 Euclid 等星系巡天项目正在提供越来越精确的大尺度结构数据，为精确测量宇宙学参数和检验 ΛCDM 模型提供了有力支持。

9.4 宇宙学参数的联合约束 (Joint Constraints on Cosmological Parameters)

为了获得更精确和可靠的宇宙学参数测量结果，通常需要将来自不同观测手段的数据进行联合分析，即宇宙学参数的联合约束 (joint constraints)。不同的观测手段对不同的宇宙学参数具有不同的敏感性，并且可能存在互补性。通过联合分析，可以打破参数之间的简并性 (degeneracy)，提高参数测量的精度和置信度。

常用的联合约束方法包括：
① CMB + BAO + 超新星 (CMB + BAO + Supernovae)：CMB 数据对早期宇宙的物理参数非常敏感，BAO 数据可以精确测量宇宙的膨胀历史，Ia 型超新星数据也可以独立约束宇宙的膨胀历史。将这三种数据联合起来，可以对多种宇宙学参数进行强有力的约束，例如 $H_0$, $\Omega_m$, $\Omega_\Lambda$, $\Omega_b$, $\Omega_k$, $n_s$ 等。
② CMB + LSS (CMB + Large-Scale Structure)：CMB 数据和 LSS 数据分别提供了早期宇宙和晚期宇宙的信息。联合分析 CMB 和 LSS 数据，可以更全面地了解宇宙的演化历史，并更精确地约束宇宙学参数。例如，结合 CMB 和星系巡天数据，可以更精确地测量 $\Omega_m$ 和 $n_s$，并研究暗能量的性质。
③ CMB + Lensing (CMB + Gravitational Lensing)：CMB 光子在传播过程中会受到宇宙大尺度结构的引力透镜效应的影响。通过分析 CMB 的透镜效应，可以提取出宇宙物质分布的信息，并与 CMB 温度各向异性数据联合分析，从而更精确地约束宇宙学参数，特别是 $\Omega_m$ 和 $\sigma_8$ (宇宙物质密度涨落的幅度)。
④ 多探针联合分析 (Multi-probe Joint Analysis)：将来自多种宇宙学探针 (cosmological probes) 的数据进行联合分析，例如 CMB, BAO, 超新星, 弱引力透镜, 星系团计数 (galaxy cluster counts), 红移空间畸变 RSD (Redshift Space Distortions) 等。多探针联合分析可以最大程度地利用各种观测信息的互补性，获得最精确和最可靠的宇宙学参数测量结果。

宇宙学参数的精确测量不仅可以帮助我们更深入地理解宇宙的本质，还可以检验宇宙学标准模型 ΛCDM (ΛCDM Standard Cosmological Model) 的有效性，并为探索超出标准模型的新物理 (new physics beyond the Standard Model) 提供线索。未来的宇宙学观测项目将继续致力于提高宇宙学参数的测量精度，并探索宇宙的奥秘。

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10. chapter 10：大尺度结构的未来研究方向 (Future Research Directions in Large-Scale Structure)

10.1 新一代星系巡天计划 (Next-Generation Galaxy Survey Projects)

随着观测技术的飞速发展，我们正迈入一个前所未有的宇宙学研究黄金时代。尽管当前的星系巡天，如斯隆数字巡天 (Sloan Digital Sky Survey, SDSS)、暗能量巡天 (Dark Energy Survey, DES) 和暗能量光谱仪 (Dark Energy Spectroscopic Instrument, DESI) 等，已经极大地扩展了我们对宇宙大尺度结构的理解，但为了更深入地探索宇宙的奥秘，揭示暗物质 (dark matter) 和暗能量 (dark energy) 的本质，并检验宇宙学标准模型 ΛCDM (ΛCDM Standard Cosmological Model) 的局限性，新一代的星系巡天计划应运而生。这些计划旨在通过更大规模、更高精度、更深更广的宇宙观测，绘制出更精细的三维宇宙图景，从而在宇宙学研究的多个前沿领域取得突破。

新一代星系巡天计划的主要目标和特点包括：

① 更大的巡天规模和体积：
▮▮▮▮ⓑ 覆盖更广阔的天区：例如，全天区巡天能够提供宇宙整体的图像，减少宇宙变异性 (cosmic variance) 的影响，从而更精确地测量宇宙学参数。
▮▮▮▮ⓒ 更深的观测深度：探测更遥远的宇宙，能够追溯宇宙更早期的演化历史，研究结构形成的早期阶段，并提高对暗能量性质的约束能力。
▮▮▮▮ⓓ 更大的样本量：收集数百万甚至数千万星系的光谱或测光数据，显著提高统计精度，降低误差，从而更精确地测量宇宙学信号。

② 更高的观测精度和多波段覆盖：
▮▮▮▮ⓑ 更高精度的红移测量：光谱红移巡天能够提供精确的星系距离信息，构建更精确的三维宇宙结构图。
▮▮▮▮ⓒ 多波段观测：结合光学、红外、射电等不同波段的观测数据，可以更全面地了解星系的性质，区分不同类型的星系，并研究星系演化与大尺度结构之间的关系。
▮▮▮▮ⓓ 更精确的形状测量：弱引力透镜 (weak gravitational lensing) 巡天需要精确测量星系的形状，以探测宇宙物质分布，新一代巡天将致力于提高形状测量的精度，从而更有效地利用弱引力透镜效应研究宇宙学。

③ 更先进的观测技术和仪器：
▮▮▮▮ⓑ 更大口径的望远镜：例如，大型综合巡天望远镜 (Large Synoptic Survey Telescope, LSST)/薇拉·鲁宾天文台 (Vera C. Rubin Observatory) 配备了 8.4 米口径的望远镜，能够进行大规模、深场的光学巡天。
▮▮▮▮ⓒ 多目标光谱仪 (Multi-Object Spectrograph, MOS)：例如，DESI 和 Euclid 等项目使用 MOS，可以同时观测数千个天体的光谱，极大地提高了光谱巡天的效率。
▮▮▮▮ⓓ 空间望远镜：例如，欧几里得卫星 (Euclid) 是一个空间望远镜，可以避免地球大气的影响，提供更高质量的图像和更稳定的观测条件，尤其在红外波段具有优势。

一些代表性的新一代星系巡天计划包括：

⚝ 欧几里得卫星 (Euclid)：由欧洲空间局 (European Space Agency, ESA) 主导的空间任务，旨在通过弱引力透镜和星系聚类 (galaxy clustering) 观测，精确测量暗能量和宇宙膨胀历史。Euclid 将在可见光和近红外波段进行巡天，覆盖天区广阔，观测深度深，预计将显著提高我们对暗能量性质的理解。
⚝ 薇拉·鲁宾天文台 (Vera C. Rubin Observatory)：原名大型综合巡天望远镜 (LSST)，是由美国国家科学基金会 (National Science Foundation, NSF) 资助的大型地面光学望远镜项目。Rubin Observatory 将进行为期十年的大规模光学巡天 (Legacy Survey of Space and Time, LSST)，覆盖南天大部分区域，提供极深的观测深度和海量的图像数据，用于研究暗能量、暗物质、星系演化、瞬变源等多个宇宙学和天文学领域。
⚝ 平方公里阵列射电望远镜 (Square Kilometre Array, SKA)：是一个国际合作的射电望远镜项目，旨在建造世界上最大的射电望远镜。SKA 将在射电波段进行大规模巡天，探测宇宙中性氢 (neutral hydrogen) 的 21cm 辐射，用于研究宇宙再电离 (reionization) 时代、暗能量、引力波等。SKA 的巨大灵敏度和广阔视场将使其成为研究宇宙大尺度结构的强大工具。
⚝ 宽视场红外巡天望远镜 (Wide Field Infrared Survey Telescope, WFIRST)/南希·格雷斯·罗曼空间望远镜 (Nancy Grace Roman Space Telescope)：由美国国家航空航天局 (National Aeronautics and Space Administration, NASA) 主导的空间望远镜项目，旨在通过高精度的弱引力透镜和 Ia 型超新星 (Type Ia Supernovae) 观测，研究暗能量和宇宙加速膨胀。Roman Space Telescope 将在红外波段进行巡天，具有高分辨率和广阔视场，预计将提供高质量的弱引力透镜数据。

这些新一代星系巡天计划的实施，将为宇宙学研究带来革命性的进展。它们不仅能够更精确地测量宇宙学参数，检验 ΛCDM 模型，还将为我们揭示暗物质和暗能量的本质，探索宇宙的起源和演化提供关键线索。可以预见，未来的十年将是大尺度结构研究蓬勃发展的时期，我们有望在这些宏伟的巡天计划中取得一系列激动人心的发现。

10.2 21cm 宇宙学 (21cm Cosmology)

21cm 宇宙学是近年来兴起的一种新兴的宇宙学研究方法，它利用宇宙中性氢原子 (neutral hydrogen atom) 发射的 21cm 谱线作为探针，来研究宇宙大尺度结构和早期宇宙。中性氢是宇宙中最丰富的元素，其 21cm 谱线是射电波段的一个重要特征，可以穿透宇宙尘埃和气体，为我们提供观测宇宙的独特窗口。

21cm 宇宙学之所以备受关注，主要有以下几个方面的优势：

① 探测宇宙更早期的信息：
▮▮▮▮ⓑ 再电离时代 (Epoch of Reionization, EoR)：21cm 信号可以探测宇宙再电离时代，即宇宙从黑暗时代 (Dark Ages) 过渡到第一个恒星和星系形成的时期。通过观测再电离时代的 21cm 信号，我们可以了解早期宇宙的物理条件、结构形成过程以及第一代天体的性质。
▮▮▮▮ⓒ 宇宙黑暗时代 (Dark Ages)：在再电离时代之前，宇宙处于黑暗时代，没有任何恒星和星系发出可见光。21cm 信号是探测黑暗时代宇宙的唯一直接手段，可以帮助我们了解宇宙最早期的状态和演化。

② 探测更大尺度的宇宙结构：
▮▮▮▮ⓑ 三维宇宙学探针：21cm 信号可以提供宇宙中性氢分布的三维信息，从而构建更大尺度的宇宙结构图。与传统的星系巡天相比，21cm 巡天可以探测更广阔的宇宙体积，研究更大尺度的结构和宇宙学信号。
▮▮▮▮ⓒ 高红移宇宙学：21cm 信号可以探测高红移 (high redshift) 宇宙，例如红移 z > 6 甚至更高的宇宙，这对于研究早期宇宙的结构形成和宇宙学参数具有重要意义。

③ 独特的宇宙学探针：
▮▮▮▮ⓑ 独立于星系巡天：21cm 信号探测的是宇宙中性氢的分布，与星系巡天探测的星系分布不同，可以提供独立和互补的宇宙学信息。结合 21cm 巡天和星系巡天，可以更全面地了解宇宙大尺度结构。
▮▮▮▮ⓒ 探测宇宙学参数：21cm 信号的功率谱 (power spectrum) 包含了丰富的宇宙学信息，可以用于精确测量宇宙学参数，例如暗能量、暗物质、中微子质量 (neutrino mass) 等。

然而，21cm 宇宙学也面临着巨大的挑战：

① 微弱的信号：宇宙 21cm 信号非常微弱，尤其是在低频射电波段，容易受到各种前景污染 (foreground contamination) 的影响，例如银河系 (Milky Way) 的同步辐射 (synchrotron radiation)、自由电子辐射 (free-free emission) 以及地球上的射频干扰 (Radio Frequency Interference, RFI)。如何有效地去除前景污染，提取微弱的宇宙学信号，是 21cm 宇宙学研究的关键挑战之一。

② 技术难度高：探测 21cm 信号需要灵敏度极高的射电望远镜和先进的数据处理技术。目前，已经有一些 21cm 宇宙学实验项目正在进行中，例如氢元素时代再电离阵列 (Hydrogen Epoch of Reionization Array, HERA)、默奇森宽场阵列 (Murchison Widefield Array, MWA)、低频阵列 (Low-Frequency Array, LOFAR) 等。未来的平方公里阵列射电望远镜 (SKA) 将是 21cm 宇宙学研究的旗舰项目，有望在探测再电离时代和黑暗时代 21cm 信号方面取得突破。

尽管面临挑战，21cm 宇宙学仍然被认为是未来宇宙学研究的一个重要方向。随着射电观测技术的不断进步和数据处理方法的不断完善，我们有理由相信，21cm 宇宙学将为我们揭示宇宙早期历史和暗能量本质提供独特的视角和重要的信息。通过 21cm 宇宙学，我们有望更深入地了解宇宙的起源、演化和未来。

10.3 修改引力理论的检验 (Testing Modified Gravity Theories)

宇宙学标准模型 ΛCDM 模型在解释宇宙大尺度结构和宇宙微波背景辐射 (Cosmic Microwave Background Radiation, CMB) 等观测方面取得了巨大的成功。然而，ΛCDM 模型也存在一些理论上的问题和观测上的挑战，例如暗能量的本质、宇宙常数问题 (cosmological constant problem) 等。为了解决这些问题，一些物理学家提出了修改引力理论 (modified gravity theories) 的想法，试图在广义相对论 (General Relativity) 的框架下进行修正或扩展，以解释宇宙加速膨胀 (accelerated expansion of the universe) 和其他宇宙学现象，而无需引入暗能量。

修改引力理论的主要动机和方向包括：

① 解释宇宙加速膨胀：
▮▮▮▮ⓑ 替代暗能量：修改引力理论试图通过修改引力定律本身来解释宇宙加速膨胀，从而避免引入神秘的暗能量成分。
▮▮▮▮ⓒ 动力学暗能量：一些修改引力理论可以被视为动力学暗能量模型，其中引力场的修改表现得像一种有效的暗能量成分，其性质随时间和空间演化。

② 解决理论问题：
▮▮▮▮ⓑ 宇宙常数问题：一些修改引力理论试图解决宇宙常数问题，即理论预言的真空能密度 (vacuum energy density) 与观测到的宇宙常数之间存在巨大差异的问题。
▮▮▮▮ⓒ 奇点问题 (singularity problem)：广义相对论预言宇宙起源于奇点，一些修改引力理论试图避免奇点的出现，提供一个更完整的宇宙起源理论。

③ 与观测数据符合：
▮▮▮▮ⓑ 解释现有观测：修改引力理论需要能够解释现有的宇宙学观测数据，例如 CMB、超新星 Ia 型、重子声波振荡 (Baryon Acoustic Oscillations, BAO)、弱引力透镜等。
▮▮▮▮ⓒ 做出可检验的预言：好的修改引力理论应该能够做出与 ΛCDM 模型不同的可检验的预言，以便通过未来的观测数据进行区分和验证。

一些常见的修改引力理论模型包括：

⚝ f(R) 引力 (f(R) gravity)：将爱因斯坦-希尔伯特作用量 (Einstein-Hilbert action) 中的里奇标量 (Ricci scalar) R 替换为一个更一般的函数 f(R)，从而修改引力场方程。f(R) 引力模型可以产生宇宙加速膨胀，并具有丰富的宇宙学和天体物理学效应。
⚝ 张量-标量理论 (Tensor-Scalar Theories)：在广义相对论的基础上引入一个或多个标量场 (scalar field)，标量场与引力场耦合，从而修改引力相互作用。张量-标量理论的代表性模型包括 Brans-Dicke 理论 (Brans-Dicke theory) 和 Horndeski 理论 (Horndeski theory)。
⚝ DGP 模型 (Dvali-Gabadadze-Porrati model)：是一个膜宇宙学模型 (brane cosmology model)，假设我们的宇宙是一个嵌入在高维时空中的膜 (brane)，引力在高维时空中传播，但在膜上受到修改。DGP 模型可以产生宇宙加速膨胀，并具有独特的宇宙学特征。
⚝ 修改牛顿动力学 (Modified Newtonian Dynamics, MOND)：是一种非相对论性的修改引力理论，旨在解释星系旋转曲线 (galaxy rotation curves) 异常，而无需引入暗物质。MOND 假设在低加速度的情况下，牛顿引力定律需要进行修改。

大尺度结构是检验修改引力理论的重要探针。不同的引力理论会预言不同的宇宙结构形成和演化过程，从而在大尺度结构观测中留下可区分的印记。利用大尺度结构检验修改引力理论的主要方法包括：

① 星系聚类 (Galaxy Clustering)：修改引力理论会影响物质的引力相互作用，从而改变星系聚类的强度和模式。通过精确测量星系两点关联函数 (two-point correlation function) 或功率谱，可以检验修改引力理论的预言，并与 ΛCDM 模型进行比较。

② 弱引力透镜 (Weak Gravitational Lensing)：修改引力理论会改变引力透镜效应的强度和性质。通过测量弱引力透镜的宇宙剪切 (cosmic shear) 谱，可以检验修改引力理论对引力传播 (gravitational propagation) 的影响。

③ 红移空间畸变 (Redshift Space Distortions, RSD)：星系的红移空间分布会受到星系本动速度 (peculiar velocity) 的影响，产生红移空间畸变。修改引力理论会改变星系的本动速度场，从而影响红移空间畸变的模式。通过测量红移空间畸变，可以检验修改引力理论对结构增长率 (growth rate of structure) 的预言。

④ 星系团宇宙学 (Galaxy Cluster Cosmology)：星系团是宇宙中最大的引力束缚系统，其形成和演化过程对引力理论非常敏感。通过研究星系团的丰度 (abundance)、质量函数 (mass function)、空间分布等性质，可以检验修改引力理论的预言。

检验修改引力理论是一个复杂而具有挑战性的任务。我们需要发展精确的理论模型，进行高精度的数值模拟，并利用丰富的观测数据进行对比和验证。未来的新一代星系巡天计划将为检验修改引力理论提供前所未有的机遇。通过结合多种大尺度结构探针，我们可以更严格地约束修改引力理论的参数空间，甚至有可能发现偏离广义相对论的证据，从而推动我们对引力的理解迈向新的阶段。

10.4 大尺度结构与基本物理学 (Large-Scale Structure and Fundamental Physics)

宇宙大尺度结构不仅是宇宙学研究的核心内容，也是连接宇宙学与基本物理学的桥梁。通过精确研究宇宙大尺度结构，我们可以探测超出宇宙学标准模型 ΛCDM 模型和粒子物理标准模型 (Standard Model of Particle Physics) 的基本物理学，探索宇宙的深层奥秘。

大尺度结构可以用于研究的基本物理学问题包括：

① 中微子质量 (Neutrino Mass)：中微子是粒子物理标准模型中的基本粒子，但其质量非常小，且质量的绝对值尚未精确测定。中微子会对宇宙大尺度结构的形成和演化产生影响，例如抑制小尺度结构的增长，改变物质功率谱的形状。通过精确测量大尺度结构的功率谱和弱引力透镜谱，可以约束中微子质量的总和。未来的宇宙学巡天有望将中微子质量的上限约束到接近倒序质量层级 (inverted mass hierarchy) 的水平，甚至有可能实现对中微子质量的精确测量。

② 原初非高斯性 (Primordial Non-Gaussianity)：宇宙暴胀理论 (cosmic inflation theory) 预言宇宙早期的密度扰动 (density perturbations) 是近乎高斯分布 (Gaussian distribution) 的。然而，一些暴胀模型或早期宇宙模型预言存在微小的原初非高斯性。原初非高斯性会对大尺度结构的形成和演化产生微妙的影响，例如改变星系晕 (galaxy halo) 的偏置 (bias)、影响大尺度结构的统计性质。通过精确测量大尺度结构的统计性质，例如三点关联函数 (three-point correlation function) 或功率谱的双谱 (bispectrum)，可以探测原初非高斯性，从而检验暴胀模型和早期宇宙物理。

③ 暗物质性质 (Dark Matter Properties)：暗物质是宇宙物质的主要成分，但其本质仍然未知。大尺度结构可以用于研究暗物质的性质，例如暗物质的粒子质量、相互作用截面 (interaction cross-section)、自由流长度 (free-streaming length) 等。不同的暗物质模型会预言不同的结构形成和演化过程。例如，暖暗物质 (warm dark matter) 模型会抑制小尺度结构的形成，而自相互作用暗物质 (self-interacting dark matter) 模型会改变星系晕的密度分布。通过观测小尺度结构的丰度和性质，例如卫星星系 (satellite galaxies) 的数量、矮星系 (dwarf galaxies) 的核心密度 (core density) 等，可以约束暗物质的性质，并区分不同的暗物质模型。

④ 宇宙学常数与真空能 (Cosmological Constant and Vacuum Energy)：宇宙常数是 ΛCDM 模型中的一个重要参数，用于解释宇宙加速膨胀。然而，宇宙常数的理论值与观测值之间存在巨大的差异，即宇宙常数问题。大尺度结构可以用于研究宇宙常数的性质，例如宇宙常数是否随时间演化、是否与物质场相互作用等。一些暗能量模型，例如 Quintessence 模型 (Quintessence model) 或幻影能量模型 (phantom energy model)，预言暗能量的密度随时间演化。通过精确测量宇宙膨胀历史和结构增长率，可以约束暗能量的性质，并检验宇宙常数是否为真空中性能量的体现。

⑤ 基本常数的变化 (Variation of Fundamental Constants)：物理学基本常数，例如精细结构常数 (fine-structure constant) α、质子电子质量比 (proton-to-electron mass ratio) μ 等，在标准模型中被认为是常数。然而，一些超出标准模型的理论预言基本常数可能随时间和空间发生微小的变化。大尺度结构可以用于探测基本常数的变化。例如，通过比较不同红移星系的光谱，可以寻找精细结构常数变化的证据。如果基本常数发生变化，将会对原子光谱、宇宙微波背景辐射、结构形成等产生影响，从而在大尺度结构观测中留下可探测的印记。

利用大尺度结构研究基本物理学是一个充满机遇和挑战的领域。未来的新一代星系巡天计划将提供海量的高精度数据，为我们深入探索基本物理学问题提供强大的工具。通过结合理论模型、数值模拟和观测数据，我们有望在大尺度结构研究中取得突破，揭示宇宙更深层次的奥秘，并推动物理学的前沿发展。大尺度结构不仅是宇宙学的研究对象，也是我们探索自然界基本规律的重要实验室。

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