028 《控制理论：原理、分析与设计 (Control Theory: Principles, Analysis, and Design)》

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书籍大纲

▮▮▮▮ 1. chapter 1： 绪论 (Introduction)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 控制理论概述 (Overview of Control Theory)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.1 控制理论的定义与发展 (Definition and Development of Control Theory)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.2 控制系统的基本组成 (Basic Components of Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.3 控制理论的应用领域 (Application Areas of Control Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 控制系统的分类 (Classification of Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.1 开环控制系统 (Open-Loop Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.2 闭环控制系统 (Closed-Loop Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.3 线性系统与非线性系统 (Linear Systems and Nonlinear Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.4 连续时间系统与离散时间系统 (Continuous-Time Systems and Discrete-Time Systems)
▮▮▮▮ 2. chapter 2： 数学基础 (Mathematical Foundations)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 线性代数 (Linear Algebra)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.1.1 向量空间与线性变换 (Vector Spaces and Linear Transformations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.1.2 矩阵理论 (Matrix Theory)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.1.3 特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 微积分与微分方程 (Calculus and Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.2.1 微分与积分 (Differentiation and Integration)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.2.2 常微分方程 (Ordinary Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.2.3 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 复变函数 (Complex Variables)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 复数与复平面 (Complex Numbers and Complex Plane)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.2 解析函数 (Analytic Functions)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.3 留数定理 (Residue Theorem)
▮▮▮▮ 3. chapter 3： 系统建模 (System Modeling)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.1 物理系统建模 (Modeling of Physical Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.1.1 力学系统建模 (Modeling of Mechanical Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.1.2 电气系统建模 (Modeling of Electrical Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.1.3 热力学系统建模 (Modeling of Thermal Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.2 数学模型表示 (Mathematical Model Representation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.2.1 传递函数模型 (Transfer Function Model)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.2.2 状态空间模型 (State Space Model)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.3 模型线性化与简化 (Linearization and Simplification of Models)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 线性化方法 (Linearization Methods)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 模型降阶 (Model Order Reduction)
▮▮▮▮ 4. chapter 4： 线性系统的分析 (Analysis of Linear Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.1 稳定性分析 (Stability Analysis)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.1.1 BIBO 稳定性 (BIBO Stability)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.1.2 Routh-Hurwitz 稳定性判据 (Routh-Hurwitz Stability Criterion)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.1.3 Nyquist 稳定性判据 (Nyquist Stability Criterion)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.2 时域分析 (Time-Domain Analysis)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 瞬态响应 (Transient Response)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 稳态误差 (Steady-State Error)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.3 频域分析 (Frequency-Domain Analysis)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.3.1 Bode 图 (Bode Plots)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.3.2 Nyquist 图 (Nyquist Plots)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.3.3 频域性能指标 (Frequency-Domain Performance Indices)
▮▮▮▮ 5. chapter 5： 线性控制系统设计 (Design of Linear Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.1 PID 控制 (PID Control)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.1 PID 控制器原理 (Principle of PID Controller)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.1.2 PID 参数整定方法 (PID Parameter Tuning Methods)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.2 根轨迹法 (Root Locus Method)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.2.1 根轨迹绘制规则 (Rules for Plotting Root Locus)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.2.2 基于根轨迹的控制器设计 (Controller Design Based on Root Locus)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.3 频域设计方法 (Frequency-Domain Design Methods)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.3.1 Bode 图设计 (Bode Plot Design)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.3.2 Nyquist 图设计 (Nyquist Plot Design)
▮▮▮▮ 6. chapter 6： 状态空间控制系统 (State Space Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.1 状态反馈与极点配置 (State Feedback and Pole Placement)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.1.1 可控性与可控性判据 (Controllability and Controllability Criterion)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.1.2 状态反馈控制器设计 (State Feedback Controller Design)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.1.3 极点配置方法 (Pole Placement Method)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.2 观测器设计 (Observer Design)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.2.1 可观测性与可观测性判据 (Observability and Observability Criterion)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.2.2 全维观测器 (Full-Order Observer)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.2.3 降维观测器 (Reduced-Order Observer)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.3 分离定理 (Separation Theorem)
▮▮▮▮ 7. chapter 7： 非线性控制系统 (Nonlinear Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.1 非线性系统分析 (Analysis of Nonlinear Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.1.1 相平面分析 (Phase Plane Analysis)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.1.2 李雅普诺夫稳定性理论 (Lyapunov Stability Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.2 常见的非线性控制方法 (Common Nonlinear Control Methods)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.2.1 反馈线性化 (Feedback Linearization)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.2.2 滑模控制 (Sliding Mode Control)
▮▮▮▮ 8. chapter 8： 鲁棒控制 (Robust Control)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.1 不确定性建模 (Uncertainty Modeling)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.1.1 参数不确定性 (Parametric Uncertainty)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.1.2 未建模动态 (Unmodeled Dynamics)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.2 鲁棒稳定性与鲁棒性能 (Robust Stability and Robust Performance)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.2.1 小增益定理 (Small Gain Theorem)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 8.2.2 H∞ 控制 (H∞ Control)
▮▮▮▮ 9. chapter 9： 最优控制 (Optimal Control)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.1 最优控制问题 (Optimal Control Problems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.1 性能指标 (Performance Indices)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.2 动态规划 (Dynamic Programming)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.2 线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.2.1 LQR 问题描述 (LQR Problem Description)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.2.2 Riccati 方程 (Riccati Equation)
▮▮▮▮ 10. chapter 10： 自适应控制 (Adaptive Control)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.1 自适应控制的基本概念 (Basic Concepts of Adaptive Control)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 10.1.1 自适应控制的类型 (Types of Adaptive Control)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 10.1.2 模型参考自适应控制 (Model Reference Adaptive Control, MRAC)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.2 自校正控制 (Self-Tuning Control, STR)
▮▮▮▮ 11. chapter 11： 离散时间控制系统 (Discrete-Time Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.1 离散系统建模与分析 (Modeling and Analysis of Discrete Systems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.1.1 Z 变换 (Z-Transform)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.1.2 离散传递函数 (Discrete Transfer Function)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.1.3 离散状态空间模型 (Discrete State Space Model)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.2 离散控制器设计 (Discrete Controller Design)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.2.1 数字 PID 控制 (Digital PID Control)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.2.2 离散状态反馈控制 (Discrete State Feedback Control)
▮▮▮▮ 12. chapter 12： 控制系统的应用 (Applications of Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 12.1 工业自动化中的应用 (Applications in Industrial Automation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 12.1.1 过程控制 (Process Control)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 12.1.2 机器人控制 (Robot Control)
▮▮▮▮▮▮▮ 12.2 航空航天中的应用 (Applications in Aerospace)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 12.2.1 飞行控制 (Flight Control)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 12.2.2 卫星姿态控制 (Satellite Attitude Control)
▮▮▮▮ 13. chapter 13： 高级 टॉपिक 与展望 (Advanced Topics and Outlook)
▮▮▮▮▮▮▮ 13.1 网络化控制系统 (Networked Control Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 13.2 模型预测控制 (Model Predictive Control, MPC)
▮▮▮▮▮▮▮ 13.3 多智能体系统控制 (Multi-agent Systems Control)
▮▮▮▮▮▮▮ 附录 A 常用数学公式 (Common Mathematical Formulas)
▮▮▮▮▮▮▮ 附录 B MATLAB/Simulink 仿真 (MATLAB/Simulink Simulation)

1. chapter 1： 绪论 (Introduction)

1.1 控制理论概述 (Overview of Control Theory)

1.1.1 控制理论的定义与发展 (Definition and Development of Control Theory)

控制理论 (Control Theory) 是一门工程和数学交叉学科，其核心目标是研究如何控制 动态系统，使其行为达到期望的性能指标。更具体地说，控制理论关注于设计控制器 (Controller)，通过对系统输入 (Input) 的调节，使得系统的输出 (Output) 能够尽可能地接近或跟踪期望的参考信号 (Reference Signal) 或设定值 (Set-point)，同时保证系统的稳定性 (Stability)、鲁棒性 (Robustness) 和最优性 (Optimality) 等性能。

控制理论的发展历史可以追溯到古代的机械控制 (Mechanical Control) 装置，例如中国的指南车、水运仪象台，以及欧洲的蒸汽机调速器等。这些早期的控制系统主要依赖于机械、液压 或 气动 原理，属于经验性设计 (Empirical Design)。

现代控制理论的真正发展，与以下几个关键的历史事件和理论突破紧密相关：

① 经典控制理论的奠基 (19世纪末 - 20世纪中期)：
▮▮▮▮ⓑ 詹姆斯·瓦特 (James Watt) 的离心调速器 (Centrifugal Governor) (1788年)：虽然不是严格意义上的理论，但瓦特的调速器是第一个广泛应用的反馈控制 (Feedback Control) 系统，用于蒸汽机的速度控制，标志着自动控制的萌芽。
▮▮▮▮ⓒ 麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 的稳定性分析 (Stability Analysis) (1868年)：麦克斯韦对蒸汽机调速器的稳定性进行了数学分析，首次提出了特征方程 (Characteristic Equation) 的概念，为线性系统稳定性分析奠定了基础。
▮▮▮▮ⓓ 劳斯 (Edward John Routh) 和 赫尔维茨 (Adolf Hurwitz) 稳定性判据 (Routh-Hurwitz Stability Criterion) (1877年, 1895年)：劳斯和赫尔维茨分别独立提出了代数稳定性判据，用于判断线性系统特征方程的根是否都具有负实部，从而确定系统的稳定性。
▮▮▮▮ⓔ 奈奎斯特 (Harry Nyquist) 稳定性判据 (Nyquist Stability Criterion) (1932年)：奈奎斯特提出了基于频率响应 (Frequency Response) 的稳定性判据，通过分析开环系统的奈奎斯特图 (Nyquist Plot) 来判断闭环系统的稳定性，为频域分析方法奠定了基础。
▮▮▮▮ⓕ 波德图 (Bode Plot) 和根轨迹法 (Root Locus Method) (20世纪40年代 - 50年代)：波德 (Hendrik Wade Bode) 提出了波德图，用于分析系统的频率特性；埃文斯 (Walter R. Evans) 提出了根轨迹法，用于分析系统参数变化对闭环极点的影响。这些方法构成了经典控制理论的核心内容，主要应用于单输入单输出 (SISO)、线性时不变 (LTI) 系统的分析与设计。

② 现代控制理论的兴起 (20世纪50年代 - 至今)：
▮▮▮▮ⓑ 状态空间方法 (State Space Method) (20世纪50年代)：卡尔曼 (Rudolf E. Kálmán) 等人提出了基于状态空间 (State Space) 的系统描述方法，将系统表示为一阶向量微分方程组，为多输入多输出 (MIMO)、时变系统 和 非线性系统 的分析与设计提供了有力工具。
▮▮▮▮ⓒ 最优控制理论 (Optimal Control Theory) (20世纪50年代 - 60年代)：庞特里亚金 (Lev Pontryagin) 提出了最大值原理 (Pontryagin's Maximum Principle)，贝尔曼 (Richard Bellman) 提出了动态规划 (Dynamic Programming)，卡尔曼提出了线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR)，这些理论为设计最优控制器提供了数学基础。
▮▮▮▮ⓓ 自适应控制 (Adaptive Control) 和 鲁棒控制 (Robust Control) (20世纪70年代 - 至今)：为了应对系统参数不确定性、外部扰动等问题，自适应控制和鲁棒控制理论应运而生。自适应控制能够根据系统运行情况在线调整控制器参数，鲁棒控制则致力于设计对不确定性具有鲁棒性的控制器。
▮▮▮▮ⓔ 非线性控制 (Nonlinear Control) (20世纪80年代 - 至今)：随着控制对象日益复杂，非线性控制理论得到了快速发展，例如反馈线性化 (Feedback Linearization)、滑模控制 (Sliding Mode Control)、李雅普诺夫稳定性理论 (Lyapunov Stability Theory) 等。
▮▮▮▮ⓕ 智能控制 (Intelligent Control) (20世纪90年代 - 至今)：模糊控制 (Fuzzy Control)、神经网络控制 (Neural Network Control)、进化计算 (Evolutionary Computation) 等智能控制方法，为解决复杂、不确定、难以建模的控制问题提供了新的思路。
▮▮▮▮ⓖ 网络化控制系统 (Networked Control Systems) (21世纪初 - 至今)：随着信息技术的发展，控制系统越来越多地通过网络进行信息交换和控制指令传递，网络化控制系统成为新的研究热点。

控制理论的发展是一个不断演进的过程，从最初的经验性设计，到经典控制理论的数学分析方法，再到现代控制理论的 state-space 方法、最优控制、鲁棒控制、自适应控制、非线性控制，以及最新的智能控制和网络化控制，控制理论始终在不断拓展其应用范围和解决问题的能力。

1.1.2 控制系统的基本组成 (Basic Components of Control Systems)

一个典型的控制系统，无论其复杂程度如何，通常都包含以下几个基本组成部分：

① 被控对象 (Plant/Process)：
⚝ 被控对象是控制系统要实现控制目标的主体，也称为受控系统 (Controlled System) 或 过程 (Process)。它可以是任何需要被控制的物理系统、化学过程、生物系统、经济系统等。
⚝ 例如，在温度控制系统中，被控对象是加热炉或空调系统；在飞行控制系统中，被控对象是飞机；在机器人控制系统中，被控对象是机器人本体。
⚝ 被控对象的特性通常用数学模型 (Mathematical Model) 来描述，例如微分方程 (Differential Equation)、传递函数 (Transfer Function) 或 状态空间方程 (State Space Equation) 等。

② 传感器 (Sensor)：
⚝ 传感器是控制系统的感知器官，用于测量 被控对象的输出量 (Output) 或状态量 (State)，并将测量结果转换为电信号 或其他形式的信号，以便控制器进行处理。
⚝ 常见的传感器包括：
▮▮▮▮⚝ 位置传感器 (Position Sensor)：例如编码器 (Encoder)、电位器 (Potentiometer)、线性可变差动变压器 (LVDT) 等，用于测量位移、角度等位置信息。
▮▮▮▮⚝ 速度传感器 (Velocity Sensor)：例如测速发电机 (Tachogenerator)、加速度计 (Accelerometer) 等，用于测量速度、角速度等速度信息。
▮▮▮▮⚝ 温度传感器 (Temperature Sensor)：例如热电偶 (Thermocouple)、热敏电阻 (Thermistor)、铂电阻 (RTD) 等，用于测量温度。
▮▮▮▮⚝ 压力传感器 (Pressure Sensor)：例如压阻式传感器、压容式传感器等，用于测量压力。
▮▮▮▮⚝ 流量传感器 (Flow Sensor)：例如涡轮流量计、电磁流量计等，用于测量流体流量。
⚝ 传感器的精度 (Accuracy)、分辨率 (Resolution)、响应速度 (Response Speed) 等性能指标直接影响控制系统的性能。

③ 控制器 (Controller)：
⚝ 控制器是控制系统的大脑，接收来自传感器的测量信号和参考信号 (Reference Signal)，根据一定的控制算法 (Control Algorithm) 计算出控制信号 (Control Signal)。
⚝ 控制器的作用是比较 期望输出与实际输出之间的误差 (Error)，并根据误差调整控制信号，使得被控对象的输出尽可能接近期望输出。
⚝ 控制器可以是硬件 (Hardware) 电路，例如模拟电路、数字电路、可编程逻辑控制器 (PLC) 等，也可以是软件 (Software) 程序，例如运行在计算机、微控制器 (Microcontroller)、数字信号处理器 (DSP) 上的控制程序。
⚝ 常见的控制器类型包括：比例-积分-微分 (PID) 控制器 (Proportional-Integral-Derivative Controller)、状态反馈控制器 (State Feedback Controller)、最优控制器 (Optimal Controller)、自适应控制器 (Adaptive Controller)、鲁棒控制器 (Robust Controller) 等。

④ 执行器 (Actuator)：
⚝ 执行器是控制系统的执行机构，接收来自控制器的控制信号，并将其转换为能够直接作用于被控对象的物理作用，例如力、力矩、电压、电流、流量等，从而改变被控对象的行为。
⚝ 常见的执行器包括：
▮▮▮▮⚝ 电机 (Motor)：例如直流电机 (DC Motor)、交流电机 (AC Motor)、步进电机 (Stepper Motor)、伺服电机 (Servo Motor) 等，用于提供旋转运动或直线运动。
▮▮▮▮⚝ 液压缸 (Hydraulic Cylinder) 和 气缸 (Pneumatic Cylinder)：利用液压或气压驱动活塞运动，产生直线推力或拉力。
▮▮▮▮⚝ 阀门 (Valve)：例如电磁阀 (Solenoid Valve)、比例阀 (Proportional Valve)、伺服阀 (Servo Valve) 等，用于调节流体流量、压力等。
▮▮▮▮⚝ 加热器 (Heater) 和 冷却器 (Cooler)：用于调节温度。
▮▮▮▮⚝ 变频器 (Variable Frequency Drive, VFD)：用于调节交流电机的转速。
⚝ 执行器的响应速度、精度、功率 等性能指标也直接影响控制系统的性能。

⑤ 参考信号 (Reference Signal)：
⚝ 参考信号是控制系统期望被控对象输出跟踪 或 达到 的目标信号，也称为设定值 (Set-point) 或 指令信号 (Command Signal)。
⚝ 参考信号可以是常值 (Constant Value)，例如恒温控制中的设定温度；也可以是时变信号 (Time-Varying Signal)，例如机器人轨迹跟踪中的期望轨迹。
⚝ 控制系统的目标是设计控制器，使得被控对象的输出尽可能地跟随 参考信号的变化。

⑥ 扰动 (Disturbance)：
⚝ 扰动是指外部环境 或 系统内部 对被控对象产生不利影响 的因素，使得被控对象的输出偏离期望值。
⚝ 扰动可以是可测量的 (Measurable)，例如前馈控制 (Feedforward Control) 中可以测量的扰动；也可以是不可测量的 (Unmeasurable)，例如随机噪声、未建模动态等。
⚝ 扰动是影响控制系统性能的重要因素，鲁棒控制 的主要目标之一就是抑制扰动的影响。

⑦ 反馈 (Feedback)：
⚝ 反馈是闭环控制系统 (Closed-Loop Control System) 的核心特征，指将系统的输出信号 (Output Signal) 通过传感器反馈 回控制器，与参考信号 (Reference Signal) 进行比较，形成误差信号 (Error Signal)，控制器根据误差信号调整控制作用，从而实现闭环控制。
⚝ 反馈能够有效地消除 或 减小 扰动和模型不确定性对系统性能的影响，提高系统的精度 和 鲁棒性。

这些基本组成部分相互作用，共同构成一个完整的控制系统。理解这些组成部分的功能和相互关系，是学习和应用控制理论的基础。

1.1.3 控制理论的应用领域 (Application Areas of Control Theory)

控制理论作为一门应用广泛的学科，其应用领域几乎涵盖了所有工程技术和社会科学领域。以下列举一些典型的应用领域：

① 工业自动化 (Industrial Automation) 🏭：
⚝ 过程控制 (Process Control)：化工、石油、冶金、电力、制药、食品等工业过程的温度、压力、流量、液位、成分等参数的自动控制，例如炼油厂的精馏塔控制、化工厂的反应器控制、发电厂的锅炉控制等。
⚝ 运动控制 (Motion Control)：数控机床 (CNC Machine Tools)、机器人 (Robotics)、自动化生产线 (Automated Production Lines)、伺服系统 (Servo Systems) 等的精确位置、速度、加速度控制。
⚝ 制造执行系统 (Manufacturing Execution System, MES) 和 企业资源计划 (Enterprise Resource Planning, ERP) 中的生产调度、库存管理、质量控制等优化与决策。

② 航空航天 (Aerospace) 🚀：
⚝ 飞行控制 (Flight Control)：飞机、导弹、无人机 (Unmanned Aerial Vehicle, UAV) 的姿态控制、轨迹跟踪、自动驾驶等，例如自动驾驶仪 (Autopilot)、飞行管理系统 (Flight Management System, FMS)。
⚝ 卫星姿态控制 (Satellite Attitude Control) 和 轨道控制 (Orbit Control)：人造卫星、空间站 (Space Station)、深空探测器 (Deep Space Probe) 的姿态稳定、轨道维持、精确指向等。
⚝ 火箭 (Rocket) 和 导弹 (Missile) 的制导与控制：发射过程中的姿态控制、飞行过程中的轨迹制导、末端精确打击等。

③ 交通运输 (Transportation) 🚗 🚄 🚢：
⚝ 汽车自动驾驶 (Autonomous Driving)：车辆的横向控制 (车道保持、自动变道)、纵向控制 (自适应巡航、自动紧急制动)、路径规划、环境感知等。
⚝ 高速列车 (High-Speed Train) 运行控制：列车速度控制、运行调度、安全防护系统等，例如列车自动控制系统 (Automatic Train Control, ATC)。
⚝ 船舶 (Ship) 自动驾驶 和 港口自动化 (Port Automation)：船舶的航向控制、速度控制、靠泊控制、货物装卸自动化等。
⚝ 空中交通管制 (Air Traffic Control, ATC)：飞机起降调度、航线规划、空域管理等。

④ 能源电力 (Energy and Power) ⚡️：
⚝ 电力系统 (Power System) 稳定控制：发电机励磁控制、频率控制、电压控制、电力系统保护与自动化等，保障电力系统安全稳定运行。
⚝ 新能源发电 (Renewable Energy Generation) 控制：风力发电 (Wind Power)、太阳能发电 (Solar Power) 的最大功率点跟踪 (Maximum Power Point Tracking, MPPT)、并网控制、微电网 (Microgrid) 控制等。
⚝ 智能电网 (Smart Grid) 控制：需求侧响应 (Demand Response)、分布式能源管理、电网优化调度等。

⑤ 生物医学 (Biomedical) 🧬 🩺：
⚝ 生物过程控制 (Bioprocess Control)：发酵过程控制、细胞培养过程控制、生物反应器控制等，优化生物制药、生物化工等生产过程。
⚝ 医疗设备控制 (Medical Equipment Control)：人工心脏 (Artificial Heart) 控制、呼吸机 (Ventilator) 控制、麻醉机 (Anesthesia Machine) 控制、手术机器人 (Surgical Robot) 控制、康复机器人 (Rehabilitation Robot) 控制等。
⚝ 生理系统建模与控制：人体血糖控制、血压控制、体温控制等，为疾病诊断和治疗提供理论基础和技术手段。

⑥ 经济管理 (Economics and Management) 📈 📊：
⚝ 宏观经济调控 (Macroeconomic Regulation)：利用财政政策、货币政策等手段，控制通货膨胀、失业率、经济增长率等宏观经济指标。
⚝ 供应链管理 (Supply Chain Management)：库存控制、物流优化、生产计划、需求预测等。
⚝ 金融系统建模与控制：股票市场预测、风险管理、投资组合优化等。

⑦ 环境工程 (Environmental Engineering) 🌍 💧：
⚝ 水处理 (Water Treatment) 过程控制：污水处理、自来水生产、水质监测与控制等。
⚝ 大气污染控制 (Air Pollution Control)：工业废气处理、汽车尾气控制、环境监测与预警等。
⚝ 气候模型 (Climate Model) 与气候控制：地球气候系统建模、温室气体减排控制、气候变化预测与应对等。

⑧ 信息技术 (Information Technology) 💻 🌐：
⚝ 计算机系统控制：CPU 调度、内存管理、网络拥塞控制、服务器负载均衡等。
⚝ 通信系统控制：无线通信资源分配、网络路由优化、服务质量 (Quality of Service, QoS) 保障等。
⚝ 人工智能 (Artificial Intelligence, AI) 系统控制：机器学习算法优化、强化学习 (Reinforcement Learning) 控制、机器人自主导航与决策等。

除了以上列举的领域，控制理论还在农业、军事、教育、娱乐等领域有着广泛的应用。随着科技的不断发展，控制理论的应用领域还将不断拓展和深化，为人类社会的发展进步做出更大的贡献。

1.2 控制系统的分类 (Classification of Control Systems)

控制系统可以根据不同的标准进行分类，常见的分类方式包括：

1.2.1 开环控制系统 (Open-Loop Control Systems)

① 定义：
⚝ 开环控制系统 (Open-Loop Control System) 是指控制作用 (Control Action) 只取决于输入信号 (Input Signal)，而不依赖于 系统输出信号 (Output Signal) 的控制系统。
⚝ 在开环控制系统中，没有反馈 (Feedback) 环节，控制器根据预先设定的控制规律产生控制信号，直接作用于被控对象，而不检测 实际输出是否达到了期望值。

② 结构框图：
⚝ 开环控制系统的结构框图可以用下图表示：

                                
                                    

                            
1
                            
[输入信号 R(s)] ----> [控制器 Gc(s)] ----> [执行器] ----> [被控对象 Gp(s)] ----> [输出信号 Y(s)]
                        
                                
                            

其中，\(R(s)\) 是输入信号（参考信号），\(Gc(s)\) 是控制器传递函数，\(Gp(s)\) 是被控对象传递函数，\(Y(s)\) 是输出信号。

③ 特点：
⚝ 结构简单，成本低廉，易于设计和实现。
⚝ 不需要反馈传感器，系统维护简单。
⚝ 抗扰动能力差，对外部扰动和系统内部参数变化不敏感，控制精度较低。
⚝ 稳定性 主要取决于开环系统的稳定性，通常不需要考虑 闭环稳定性问题。
⚝ 适用场合：被控对象的特性已知 且 稳定，外部扰动较小 或 可预测，对控制精度要求不高 的场合。

④ 实例：
⚝ 定时器控制的洗衣机：洗衣机的洗涤时间、脱水时间等由定时器预先设定，不根据衣物的实际洗涤效果进行调整，属于典型的开环控制。
⚝ 步进电机开环控制：步进电机根据输入的脉冲信号进行步进运动，其位置精度取决于脉冲数量，但实际位置与脉冲数量之间可能存在误差，开环控制无法消除这种误差。
⚝ 交通信号灯定时控制：交通信号灯的红绿灯切换时间通常根据预先设定的时间表进行，不根据实际交通流量进行调整，也属于开环控制。
⚝ 电饭煲煮饭：简单的电饭煲根据预设的加热时间进行煮饭，不检测米饭是否煮熟，也属于开环控制。

⑤ 优缺点总结：

1.2.2 闭环控制系统 (Closed-Loop Control Systems)

① 定义：
⚝ 闭环控制系统 (Closed-Loop Control System)，也称为反馈控制系统 (Feedback Control System)，是指控制作用 (Control Action) 不仅取决于输入信号 (Input Signal)，而且依赖于 系统输出信号 (Output Signal) 的控制系统。
⚝ 在闭环控制系统中，存在反馈 (Feedback) 环节，将系统的输出信号通过传感器反馈回控制器，与参考信号 (Reference Signal) 进行比较，形成误差信号 (Error Signal)，控制器根据误差信号调整控制作用，使得系统的输出尽可能接近期望值。

② 结构框图：
⚝ 闭环控制系统的基本结构框图可以用下图表示：

                                
                                    

                            
1
                            
                               [反馈信号 B(s)]
                        

                            
2
                            
                                   ↑
                        

                            
3
                            
                                  -
                        

                            
4
                            
[参考信号 R(s)] ----> [+ 比较器 Σ ] ----> [控制器 Gc(s)] ----> [执行器] ----> [被控对象 Gp(s)] ----> [输出信号 Y(s)]
                        

                            
5
                            
                                   ↑
                        

                            
6
                            
                               [传感器 H(s)]
                        

                            
7
                            
                                   ↑
                        

                            
8
                            
                               [输出反馈]
                        
                                
                            

其中，\(R(s)\) 是参考信号，\(Y(s)\) 是输出信号，\(E(s) = R(s) - B(s) = R(s) - H(s)Y(s)\) 是误差信号，\(Gc(s)\) 是控制器传递函数，\(Gp(s)\) 是被控对象传递函数，\(H(s)\) 是传感器传递函数，\(B(s) = H(s)Y(s)\) 是反馈信号。

③ 特点：
⚝ 结构相对复杂，成本较高，设计和实现难度较大。
⚝ 需要反馈传感器，系统维护相对复杂。
⚝ 抗扰动能力强，能够有效地抑制外部扰动和系统内部参数变化的影响，控制精度较高。
⚝ 稳定性 需要重点考虑，闭环系统的稳定性分析是控制系统设计的重要内容。
⚝ 适用场合：被控对象的特性不确定 或 易变，外部扰动较大 或 不可预测，对控制精度要求较高 的场合。

④ 实例：
⚝ 恒温空调：空调通过温度传感器检测室内实际温度，与设定的目标温度进行比较，根据温差自动调节制冷或制热量，实现恒温控制。
⚝ 汽车巡航控制系统：巡航控制系统通过车速传感器检测实际车速，与设定的巡航速度进行比较，自动调节油门开度或刹车，保持车速稳定。
⚝ 工业机器人伺服控制系统：伺服系统通过位置传感器和速度传感器检测机器人关节的实际位置和速度，与期望的位置和速度进行比较，精确控制机器人的运动轨迹。
⚝ 人体体温调节系统：人体通过神经系统和内分泌系统感知体温变化，并调节代谢率、血管收缩或舒张、汗液分泌等生理过程，维持体温恒定，这是一个复杂的生物闭环控制系统。

⑤ 优缺点总结：

⑥ 负反馈与正反馈：
⚝ 负反馈 (Negative Feedback)：闭环控制系统通常采用负反馈，即反馈信号与参考信号在比较器中进行相减 运算，误差信号 \(E(s) = R(s) - B(s)\) 用于减小输出与期望值之间的偏差，实现稳定控制。上述闭环控制系统结构框图即为负反馈系统。
⚝ 正反馈 (Positive Feedback)：如果反馈信号与参考信号在比较器中进行相加 运算，则构成正反馈系统。正反馈通常会导致系统不稳定，但也可以用于某些特殊场合，例如振荡器、放大器 等。在控制系统中，正反馈通常应避免 使用，除非有特殊设计目的。

1.2.3 线性系统与非线性系统 (Linear Systems and Nonlinear Systems)

① 定义：
⚝ 线性系统 (Linear System)：如果一个系统满足叠加原理 (Superposition Principle) 和 齐次性 (Homogeneity)，则称该系统为线性系统。
▮▮▮▮ⓐ 叠加原理：若输入 \(u_1(t)\) 产生输出 \(y_1(t)\)，输入 \(u_2(t)\) 产生输出 \(y_2(t)\)，则输入 \(u_1(t) + u_2(t)\) 产生的输出为 \(y_1(t) + y_2(t)\)。
▮▮▮▮ⓑ 齐次性：若输入 \(u(t)\) 产生输出 \(y(t)\)，则输入 \(cu(t)\) (其中 \(c\) 为常数) 产生的输出为 \(cy(t)\)。
⚝ 非线性系统 (Nonlinear System)：不满足叠加原理或齐次性 (或两者都不满足) 的系统称为非线性系统。

② 数学描述：
⚝ 线性系统 通常可以用线性微分方程 (Linear Differential Equation) 或 线性差分方程 (Linear Difference Equation) 来描述。在频域中，可以用线性传递函数 (Linear Transfer Function) 来描述。
⚝ 非线性系统 通常用非线性微分方程 (Nonlinear Differential Equation) 或 非线性差分方程 (Nonlinear Difference Equation) 来描述。非线性系统没有统一的数学描述方法，分析和设计难度较大。

③ 常见非线性特性：
⚝ 饱和 (Saturation)：执行器输出能力有限，当控制信号过大时，输出会达到饱和值，不再线性增长。例如电机转速饱和、阀门开度饱和等。
⚝ 死区 (Dead Zone)：当输入信号在一定范围内变化时，系统输出保持不变。例如机械传动间隙、摩擦力等。
⚝ 迟滞 (Hysteresis)：系统输出不仅取决于当前的输入，还取决于过去的输入历史。例如磁滞、摩擦滞后等。
⚝ 间隙 (Backlash)：机械传动系统中存在的空隙，导致输入输出之间存在非线性关系。
⚝ 量化 (Quantization)：数字控制系统中，信号幅值被量化为离散值，引入量化误差。
⚝ 非线性函数：例如乘积项、平方项、三角函数、指数函数等，使得系统方程呈现非线性。

④ 分析与设计方法：
⚝ 线性系统：经典控制理论和现代控制理论的大部分方法都是针对线性系统提出的，例如传递函数分析、状态空间分析、根轨迹法、频率响应法、PID 控制、状态反馈控制等。
⚝ 非线性系统：非线性控制理论发展了许多专门的分析和设计方法，例如相平面分析、描述函数法、李雅普诺夫稳定性理论、反馈线性化、滑模控制、自适应控制、鲁棒控制等。

⑤ 线性化 (Linearization)：
⚝ 在许多情况下，非线性系统可以在小范围 运行条件下近似看作线性系统。线性化 (Linearization) 是将非线性系统在平衡点 (Equilibrium Point) 或 工作点 (Operating Point) 附近用线性系统近似描述的方法。
⚝ 常见的线性化方法包括泰勒级数展开 (Taylor Series Expansion) 和 雅可比线性化 (Jacobian Linearization)。
⚝ 线性化后的模型可以利用线性系统理论进行分析和设计，但线性化近似的有效范围 有限，超出范围后精度会下降。

⑥ 线性系统与非线性系统的关系：
⚝ 线性系统是理想化的模型，现实世界中绝大多数系统都是非线性的。
⚝ 线性系统理论是控制理论的基础，许多非线性控制方法也是基于线性系统理论发展而来的。
⚝ 对于某些非线性程度较弱的系统，可以采用线性控制方法进行设计；对于非线性程度较强的系统，则需要采用非线性控制方法。

1.2.4 连续时间系统与离散时间系统 (Continuous-Time Systems and Discrete-Time Systems)

① 定义：
⚝ 连续时间系统 (Continuous-Time System)：系统的信号 (输入信号、输出信号、状态信号等) 在时间上是连续变化 的系统。
⚝ 离散时间系统 (Discrete-Time System)：系统的信号 只在离散的时间点 上定义，而在时间间隔之间没有定义的系统。

② 数学描述：
⚝ 连续时间系统 通常用微分方程 (Differential Equation) 来描述。例如，线性时不变连续时间系统的状态空间模型为：
\[ \begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \end{aligned} \]
其中，\(\mathbf{x}(t)\) 是状态向量，\(\mathbf{u}(t)\) 是输入向量，\(\mathbf{y}(t)\) 是输出向量，\(\mathbf{A}\)、\(\mathbf{B}\)、\(\mathbf{C}\)、\(\mathbf{D}\) 是常数矩阵。
⚝ 离散时间系统 通常用差分方程 (Difference Equation) 来描述。例如，线性时不变离散时间系统的状态空间模型为：
\[ \begin{aligned} \mathbf{x}(k+1) &= \mathbf{G}\mathbf{x}(k) + \mathbf{H}\mathbf{u}(k) \\ \mathbf{y}(k) &= \mathbf{C}\mathbf{x}(k) + \mathbf{D}\mathbf{u}(k) \end{aligned} \]
其中，\(\mathbf{x}(k)\)、\(\mathbf{u}(k)\)、\(\mathbf{y}(k)\) 分别是第 \(k\) 个采样时刻的状态向量、输入向量、输出向量，\(\mathbf{G}\)、\(\mathbf{H}\)、\(\mathbf{C}\)、\(\mathbf{D}\) 是常数矩阵。

③ 信号类型：
⚝ 连续时间信号：例如正弦信号、阶跃信号、斜坡信号等，在时间轴上连续取值。
⚝ 离散时间信号：例如脉冲序列、数字序列等，只在离散时间点上有定义。

④ 系统类型：
⚝ 物理系统 多数是连续时间系统，例如机械系统、电气系统、热力学系统等。
⚝ 数字控制系统 (Digital Control System) 是典型的离散时间系统，控制器采用数字计算机或微处理器实现，信号采样、量化、计算、输出等操作都是在离散时间点进行的。
⚝ 采样控制系统 (Sampled-Data Control System) 是一种混合系统，系统中既有连续时间部分 (被控对象)，又有离散时间部分 (数字控制器)，需要采用特殊的理论和方法进行分析和设计。

⑤ 分析与设计方法：
⚝ 连续时间系统：经典控制理论和现代控制理论的大部分方法最初都是针对连续时间系统提出的，例如拉普拉斯变换 (Laplace Transform)、传递函数、频率响应、根轨迹、状态空间方法等。
⚝ 离散时间系统：离散时间系统有其独特的分析和设计方法，例如 Z 变换 (Z-Transform)、离散传递函数、离散状态空间方法、数字 PID 控制、离散状态反馈控制等。
⚝ 连续系统离散化：在数字控制系统设计中，通常需要将连续时间模型离散化 (Discretization)，得到离散时间模型，才能进行数字控制器设计。常用的离散化方法包括零阶保持器 (Zero-Order Hold, ZOH) 等效、一阶保持器 (First-Order Hold, FOH) 等效、双线性变换 (Bilinear Transformation) 等。

⑥ 连续时间系统与离散时间系统的关系：
⚝ 连续时间系统是离散时间系统的极限 情况，当采样周期趋于零时，离散时间系统逼近连续时间系统。
⚝ 离散时间控制理论是现代控制理论的重要组成部分，随着数字计算机和微处理器的广泛应用，离散时间控制系统在实际工程中占据越来越重要的地位。
⚝ 连续时间控制理论为离散时间控制理论提供了理论基础和方法借鉴，两者相互补充，共同构成了完整的控制理论体系。

2. chapter 2： 数学基础 (Mathematical Foundations)

2.1 线性代数 (Linear Algebra)

线性代数是控制理论的基石，提供了描述和分析线性系统的数学工具。本节将回顾向量空间、线性变换、矩阵理论以及特征值与特征向量等核心概念，这些概念在系统建模、分析和控制设计中至关重要。

2.1.1 向量空间与线性变换 (Vector Spaces and Linear Transformations)

向量空间 (Vector Space) 是线性代数的基本概念之一，它是一个集合，其中的元素称为 向量 (vectors)，并且定义了向量加法和标量乘法两种运算，且满足一定的公理。向量空间为我们提供了一个抽象的框架来处理各种类型的向量，例如几何向量、函数、多项式等。

① 向量空间的定义 (Definition of Vector Space)：
一个向量空间 \(V\) 是一个非空集合，在其上定义了两种运算：
▮▮▮▮ⓐ 向量加法 (Vector Addition)：对于任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)，存在唯一的向量 \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V \)，称为 \( \mathbf{u} \) 和 \( \mathbf{v} \) 的和。
▮▮▮▮ⓑ 标量乘法 (Scalar Multiplication)：对于任意 \( \mathbf{u} \in V \) 和标量 \( c \in \mathbb{R} \) (或 \( \mathbb{C} \))，存在唯一的向量 \( c\mathbf{u} \in V \)，称为 \( \mathbf{u} \) 与标量 \( c \) 的积。

这些运算必须满足以下公理：
▮▮▮▮⚝ 加法公理 (Addition Axioms)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 结合律 (Associativity)：\( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 交换律 (Commutativity)：\( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 零向量 (Zero Vector)：存在零向量 \( \mathbf{0} \in V \)，使得对于任意 \( \mathbf{u} \in V \)，有 \( \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 负向量 (Additive Inverse)：对于任意 \( \mathbf{u} \in V \)，存在 \( -\mathbf{u} \in V \)，使得 \( \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} \)
▮▮▮▮⚝ 标量乘法公理 (Scalar Multiplication Axioms)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 结合律 (Associativity)：\( c(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 分配律 (Distributivity)：\( c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v} \) 和 \( (c + d)\mathbf{u} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 单位元 (Multiplicative Identity)：\( 1\mathbf{u} = \mathbf{u} \)

② 线性变换 (Linear Transformation)：
线性变换 (Linear Transformation) 是向量空间之间保持向量加法和标量乘法的映射。它在控制理论中用于描述系统的输入-输出关系，以及状态空间表示中的状态转移。

▮▮▮▮ⓐ 线性变换的定义 (Definition of Linear Transformation)：
设 \( V \) 和 \( W \) 是向量空间。一个从 \( V \) 到 \( W \) 的映射 \( T: V \rightarrow W \) 称为线性变换，如果对于任意向量 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \) 和标量 \( c \)，满足以下两个条件：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 可加性 (Additivity)：\( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 齐次性 (Homogeneity)：\( T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \)

▮▮▮▮ⓑ 线性变换的矩阵表示 (Matrix Representation of Linear Transformation)：
在有限维向量空间中，任何线性变换都可以用矩阵来表示。如果 \( V \) 是 \( n \) 维向量空间，\( W \) 是 \( m \) 维向量空间，选择 \( V \) 和 \( W \) 的基底后，线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 可以表示为一个 \( m \times n \) 的矩阵 \( \mathbf{A} \)。对于 \( \mathbf{v} \in V \)，其在基底下的坐标表示为列向量 \( \mathbf{x} \)，则 \( T(\mathbf{v}) \in W \) 的坐标表示为列向量 \( \mathbf{y} = \mathbf{Ax} \)。

案例 (Case Study)：
考虑一个简单的线性系统，其输入 \( u \) 和输出 \( y \) 之间的关系为 \( y = 2u \)。这可以看作是从一维向量空间 \( \mathbb{R} \) 到自身的一个线性变换 \( T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)，其矩阵表示为 \( \mathbf{A} = [2] \)。

2.1.2 矩阵理论 (Matrix Theory)

矩阵理论 (Matrix Theory) 是线性代数的核心内容，矩阵是表示线性变换和处理线性方程组的有力工具。在控制理论中，矩阵广泛应用于系统建模、状态空间表示、系统分析和控制器设计。

① 基本矩阵运算 (Basic Matrix Operations)：
▮▮▮▮⚝ 矩阵加法 (Matrix Addition)：两个相同维度的矩阵 \( \mathbf{A} \) 和 \( \mathbf{B} \) 可以相加，结果 \( \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} \) 的每个元素 \( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \)。
▮▮▮▮⚝ 标量乘法 (Scalar Multiplication)：标量 \( c \) 乘以矩阵 \( \mathbf{A} \)，结果 \( \mathbf{D} = c\mathbf{A} \) 的每个元素 \( d_{ij} = ca_{ij} \)。
▮▮▮▮⚝ 矩阵乘法 (Matrix Multiplication)：若矩阵 \( \mathbf{A} \) 是 \( m \times n \) 维，矩阵 \( \mathbf{B} \) 是 \( n \times p \) 维，则它们的乘积 \( \mathbf{E} = \mathbf{AB} \) 是 \( m \times p \) 维矩阵，其元素 \( e_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \)。
▮▮▮▮⚝ 矩阵转置 (Matrix Transpose)：矩阵 \( \mathbf{A} \) 的转置 \( \mathbf{A}^T \) 是将 \( \mathbf{A} \) 的行变为列得到的矩阵，即若 \( \mathbf{A} \) 是 \( m \times n \) 维，则 \( \mathbf{A}^T \) 是 \( n \times m \) 维，且 \( (\mathbf{A}^T)_{ij} = a_{ji} \)。
▮▮▮▮⚝ 逆矩阵 (Inverse Matrix)：对于一个 \( n \times n \) 的方阵 \( \mathbf{A} \)，如果存在一个 \( n \times n \) 的矩阵 \( \mathbf{A}^{-1} \)，使得 \( \mathbf{AA}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I} \)，其中 \( \mathbf{I} \) 是 \( n \times n \) 的单位矩阵，则称 \( \mathbf{A}^{-1} \) 为 \( \mathbf{A} \) 的逆矩阵。逆矩阵存在的条件是 \( \mathbf{A} \) 的行列式不为零，即 \( \det(\mathbf{A}) \neq 0 \)。

② 矩阵的秩与线性方程组 (Rank of Matrix and Linear Equations)：
▮▮▮▮⚝ 矩阵的秩 (Rank of Matrix)：矩阵的秩是衡量矩阵“大小”的一个重要指标，它可以定义为矩阵的线性无关的行（或列）的最大数目。矩阵的秩也等于矩阵奇异值的非零个数。
▮▮▮▮⚝ 线性方程组 (Linear Equations)：线性方程组可以用矩阵形式表示为 \( \mathbf{Ax} = \mathbf{b} \)，其中 \( \mathbf{A} \) 是系数矩阵，\( \mathbf{x} \) 是未知向量，\( \mathbf{b} \) 是常数向量。线性方程组的解的存在性和唯一性与矩阵 \( \mathbf{A} \) 的秩密切相关。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 若 \( \text{rank}(\mathbf{A}) = \text{rank}([\mathbf{A}|\mathbf{b}]) = n \)，其中 \( n \) 是未知数的个数，则方程组有唯一解。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 若 \( \text{rank}(\mathbf{A}) = \text{rank}([\mathbf{A}|\mathbf{b}]) < n \)，则方程组有无穷多解。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 若 \( \text{rank}(\mathbf{A}) < \text{rank}([\mathbf{A}|\mathbf{b}]) \)，则方程组无解。

③ 正定矩阵与二次型 (Positive Definite Matrix and Quadratic Form)：
▮▮▮▮⚝ 正定矩阵 (Positive Definite Matrix)：一个对称矩阵 \( \mathbf{P} \) 被称为正定矩阵，如果对于任意非零向量 \( \mathbf{x} \)，都有 \( \mathbf{x}^T\mathbf{Px} > 0 \)。正定矩阵在稳定性分析（例如李雅普诺夫稳定性）和最优控制中起着重要作用。
▮▮▮▮⚝ 二次型 (Quadratic Form)：对于一个对称矩阵 \( \mathbf{P} \)，二次型定义为 \( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T\mathbf{Px} \)。正定矩阵的二次型总是正的。

案例 (Case Study)：
考虑线性方程组
\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 - x_2 = 1 \end{cases} \]
可以表示为矩阵形式 \( \mathbf{Ax} = \mathbf{b} \)，其中 \( \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \)。通过求解这个线性方程组，可以得到 \( x_1 = 2, x_2 = 1 \)。

2.1.3 特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)

特征值 (Eigenvalues) 和 特征向量 (Eigenvectors) 是矩阵理论中非常重要的概念，它们揭示了线性变换的内在特性。在控制理论中，特征值常用于分析系统的稳定性和动态特性。

① 特征值与特征向量的定义 (Definition of Eigenvalues and Eigenvectors)：
对于一个 \( n \times n \) 的方阵 \( \mathbf{A} \)，如果存在非零向量 \( \mathbf{v} \) 和标量 \( \lambda \)，使得
\[ \mathbf{Av} = \lambda \mathbf{v} \]
成立，则称 \( \lambda \) 为矩阵 \( \mathbf{A} \) 的 特征值 (eigenvalue)，\( \mathbf{v} \) 为对应于特征值 \( \lambda \) 的 特征向量 (eigenvector)。

② 特征多项式与特征方程 (Characteristic Polynomial and Characteristic Equation)：
为了求得矩阵 \( \mathbf{A} \) 的特征值，可以将 \( \mathbf{Av} = \lambda \mathbf{v} \) 改写为 \( (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0} \)。要使存在非零解 \( \mathbf{v} \)，矩阵 \( \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} \) 的行列式必须为零，即
\[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \]
这个关于 \( \lambda \) 的方程称为 特征方程 (characteristic equation)，\( p(\lambda) = \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \) 称为 特征多项式 (characteristic polynomial)。特征方程的根就是矩阵 \( \mathbf{A} \) 的特征值。

③ 特征值的性质与应用 (Properties and Applications of Eigenvalues)：
▮▮▮▮⚝ 稳定性分析 (Stability Analysis)：在控制系统中，系统的稳定性与系统矩阵的特征值密切相关。对于线性时不变系统，系统的稳定性取决于系统矩阵特征值的分布。例如，对于连续时间系统，系统稳定的充要条件是所有特征值的实部都为负数。
▮▮▮▮⚝ 系统动态特性 (System Dynamics)：特征值决定了系统的动态响应模式。实特征值对应于指数衰减或增长模式，复特征值对应于振荡模式。
▮▮▮▮⚝ 对角化 (Diagonalization)：如果矩阵 \( \mathbf{A} \) 有 \( n \) 个线性无关的特征向量，则 \( \mathbf{A} \) 可以对角化，即存在可逆矩阵 \( \mathbf{P} \)，使得 \( \mathbf{P}^{-1}\mathbf{AP} = \mathbf{D} \)，其中 \( \mathbf{D} \) 是对角矩阵，对角线元素为 \( \mathbf{A} \) 的特征值。

案例 (Case Study)：
考虑矩阵 \( \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)。
其特征方程为
\[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \det\left(\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix}\right) = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 \]
解得特征值 \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 \)。
对于 \( \lambda_1 = 1 \)，解 \( (\mathbf{A} - \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0} \)，得到特征向量 \( \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) (或其倍数)。
对于 \( \lambda_2 = 3 \)，解 \( (\mathbf{A} - 3\mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0} \)，得到特征向量 \( \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) (或其倍数)。

2.2 微积分与微分方程 (Calculus and Differential Equations)

微积分和微分方程是描述和分析动态系统的数学基础。控制系统通常用微分方程来建模，而微积分则提供了分析这些方程的工具，例如拉普拉斯变换。

2.2.1 微分与积分 (Differentiation and Integration)

微分 (Differentiation) 和 积分 (Integration) 是微积分的两个核心概念，它们描述了函数的变化率和累积量。在控制理论中，微分和积分用于描述系统的动态行为，例如速度、加速度、位移等之间的关系。

① 微分 (Differentiation)：
▮▮▮▮⚝ 导数 (Derivative)：函数 \( f(t) \) 在点 \( t \) 的导数 \( \frac{df(t)}{dt} \) (或 \( \dot{f}(t) \)) 描述了函数在 \( t \) 点的变化率。从几何上看，导数是函数曲线在该点切线的斜率。
▮▮▮▮⚝ 常用微分法则 (Common Differentiation Rules)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 常数法则 (Constant Rule)：\( \frac{d}{dt}(c) = 0 \) (其中 \( c \) 是常数)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 线性法则 (Linearity Rule)：\( \frac{d}{dt}(af(t) + bg(t)) = a\frac{df(t)}{dt} + b\frac{dg(t)}{dt} \) (其中 \( a, b \) 是常数)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 乘积法则 (Product Rule)：\( \frac{d}{dt}(f(t)g(t)) = \frac{df(t)}{dt}g(t) + f(t)\frac{dg(t)}{dt} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 商法则 (Quotient Rule)：\( \frac{d}{dt}\left(\frac{f(t)}{g(t)}\right) = \frac{\frac{df(t)}{dt}g(t) - f(t)\frac{dg(t)}{dt}}{[g(t)]^2} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 链式法则 (Chain Rule)：\( \frac{d}{dt}(f(g(t))) = f'(g(t))g'(t) \)

② 积分 (Integration)：
▮▮▮▮⚝ 不定积分 (Indefinite Integral)：函数 \( f(t) \) 的不定积分是所有导数为 \( f(t) \) 的函数集合，表示为 \( \int f(t) dt = F(t) + C \)，其中 \( F'(t) = f(t) \)，\( C \) 是积分常数。
▮▮▮▮⚝ 定积分 (Definite Integral)：函数 \( f(t) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的定积分 \( \int_{a}^{b} f(t) dt \) 表示函数曲线与 \( t \) 轴在区间 \( [a, b] \) 之间围成的面积（带符号）。
▮▮▮▮⚝ 常用积分法则 (Common Integration Rules)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 线性法则 (Linearity Rule)：\( \int [af(t) + bg(t)] dt = a\int f(t) dt + b\int g(t) dt \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 分部积分法 (Integration by Parts)：\( \int u dv = uv - \int v du \)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 换元积分法 (Integration by Substitution)：\( \int f(g(t))g'(t) dt = \int f(u) du \) (其中 \( u = g(t) \))

案例 (Case Study)：
考虑一个匀加速运动的物体，其加速度 \( a(t) = a \) (常数)。
速度 \( v(t) \) 是加速度的积分：\( v(t) = \int a(t) dt = \int a dt = at + v_0 \)，其中 \( v_0 \) 是初始速度。
位移 \( s(t) \) 是速度的积分：\( s(t) = \int v(t) dt = \int (at + v_0) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + s_0 \)，其中 \( s_0 \) 是初始位移。

2.2.2 常微分方程 (Ordinary Differential Equations)

常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs) 是描述系统动态行为的数学模型。控制系统的建模和分析通常涉及到求解常微分方程。

① 常微分方程的定义 (Definition of Ordinary Differential Equation)：
包含未知函数及其导数的方程称为微分方程。如果未知函数只依赖于一个自变量，则称为常微分方程。一般形式为：
\[ F(t, y(t), y'(t), y''(t), \dots, y^{(n)}(t)) = 0 \]
其中 \( y(t) \) 是未知函数，\( y'(t), y''(t), \dots, y^{(n)}(t) \) 是 \( y(t) \) 的各阶导数，\( t \) 是自变量。\( n \) 称为微分方程的阶数。

② 线性常微分方程 (Linear Ordinary Differential Equations)：
如果微分方程关于未知函数及其导数是线性的，则称为线性常微分方程。\( n \) 阶线性常微分方程的一般形式为：
\[ a_n(t)y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t) + \dots + a_1(t)y'(t) + a_0(t)y(t) = b(t) \]
其中 \( a_i(t) \) 和 \( b(t) \) 是关于 \( t \) 的已知函数。如果 \( a_i(t) \) 都是常数，则称为 常系数线性常微分方程 (Linear Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients)。如果 \( b(t) = 0 \)，则称为 齐次线性常微分方程 (Homogeneous Linear Ordinary Differential Equations)，否则称为 非齐次线性常微分方程 (Nonhomogeneous Linear Ordinary Differential Equations)。

③ 常系数线性常微分方程的解法 (Solution Methods for Linear ODEs with Constant Coefficients)：
▮▮▮▮⚝ 特征方程法 (Characteristic Equation Method)：对于齐次常系数线性常微分方程，可以假设解的形式为 \( y(t) = e^{rt} \)，代入方程得到关于 \( r \) 的特征方程。特征方程的根决定了解的形式。
▮▮▮▮⚝ 待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients)：对于某些特定形式的非齐次项 \( b(t) \)，可以猜测特解的形式，然后通过待定系数求解特解。
▮▮▮▮⚝ 拉普拉斯变换法 (Laplace Transform Method)：拉普拉斯变换可以将常微分方程转化为代数方程，求解代数方程后再进行反变换得到原方程的解。

案例 (Case Study)：
考虑二阶常系数线性常微分方程：
\[ \ddot{y}(t) + 3\dot{y}(t) + 2y(t) = u(t) \]
这是一个典型的二阶系统模型，在控制理论中广泛应用。当 \( u(t) = 0 \) 时，为齐次方程，其特征方程为 \( r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2) = 0 \)，特征根为 \( r_1 = -1, r_2 = -2 \)。因此，齐次方程的通解为 \( y_h(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t} \)。

2.2.3 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)

拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 是一种重要的积分变换，它将时域函数转换为复频域函数，简化了线性常微分方程的求解和系统分析。在控制理论中，拉普拉斯变换是分析线性系统传递函数和频率响应的重要工具。

① 拉普拉斯变换的定义 (Definition of Laplace Transform)：
对于时域函数 \( f(t) \)，其拉普拉斯变换 \( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} \) 定义为：
\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt \]
其中 \( s = \sigma + j\omega \) 是复变量，\( \sigma \) 和 \( \omega \) 分别是实部和虚部。拉普拉斯变换将时域函数 \( f(t) \) 映射到复频域函数 \( F(s) \)。

② 常用拉普拉斯变换性质 (Common Properties of Laplace Transform)：
▮▮▮▮⚝ 线性性 (Linearity)：\( \mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{L}\{f(t)\} + b\mathcal{L}\{g(t)\} = aF(s) + bG(s) \)
▮▮▮▮⚝ 微分性质 (Differentiation Property)：\( \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) \)
\( \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \)
\( \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) \)
▮▮▮▮⚝ 积分性质 (Integration Property)：\( \mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau\right\} = \frac{1}{s}F(s) \)
▮▮▮▮⚝ 时移性质 (Time-Shifting Property)：\( \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s) \) (其中 \( u(t) \) 是单位阶跃函数)
▮▮▮▮⚝ 终值定理 (Final Value Theorem)：若 \( \lim_{t\to\infty} f(t) \) 存在，则 \( \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s) \)
▮▮▮▮⚝ 初值定理 (Initial Value Theorem)：若 \( \lim_{s\to\infty} sF(s) \) 存在，则 \( f(0) = \lim_{s\to\infty} sF(s) \)

③ 常用拉普拉斯变换对 (Common Laplace Transform Pairs)：
▮▮▮▮⚝ 单位阶跃函数 (Unit Step Function) \( u(t) \): \( \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \)
▮▮▮▮⚝ 单位脉冲函数 (Unit Impulse Function) \( \delta(t) \): \( \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 \)
▮▮▮▮⚝ 指数函数 (Exponential Function) \( e^{at} \): \( \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a} \)
▮▮▮▮⚝ 正弦函数 (Sine Function) \( \sin(\omega t) \): \( \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \)
▮▮▮▮⚝ 余弦函数 (Cosine Function) \( \cos(\omega t) \): \( \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \)
▮▮▮▮⚝ 幂函数 (Power Function) \( t^n \): \( \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}} \)

④ 拉普拉斯反变换 (Inverse Laplace Transform)：
拉普拉斯反变换是将复频域函数 \( F(s) \) 转换回时域函数 \( f(t) \) 的过程，表示为 \( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)。常用的方法包括部分分式分解和查表法。

案例 (Case Study)：
求解微分方程 \( \ddot{y}(t) + 3\dot{y}(t) + 2y(t) = u(t) \)，假设初始条件 \( y(0) = 0, \dot{y}(0) = 0 \)，输入 \( u(t) \) 为单位阶跃函数 \( u(t) = u(t) \)。
对微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到：
\[ s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = U(s) \]
由于 \( U(s) = \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \)，所以
\[ (s^2 + 3s + 2)Y(s) = \frac{1}{s} \]
传递函数 (Transfer Function) 为 \( G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^3 + 3s^2 + 2s} = \frac{1}{s(s+1)(s+2)} \)。
对 \( G(s) \) 进行部分分式分解：
\[ G(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+2} = \frac{1/2}{s} - \frac{1}{s+1} + \frac{1/2}{s+2} \]
进行拉普拉斯反变换，得到时域响应：
\[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} = \frac{1}{2}u(t) - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t} \]

2.3 复变函数 (Complex Variables)

复变函数 (Complex Variables) 理论是控制理论中分析系统稳定性和频率响应的重要数学工具。复数、复平面、解析函数和留数定理等概念在 Nyquist 稳定性判据、Bode 图分析等频域分析方法中起着核心作用。

2.3.1 复数与复平面 (Complex Numbers and Complex Plane)

复数 (Complex Number) 是形如 \( z = x + jy \) 的数，其中 \( x \) 和 \( y \) 是实数，\( j \) 是虚数单位，满足 \( j^2 = -1 \)。\( x \) 称为复数 \( z \) 的实部 (real part)，记为 \( \text{Re}(z) = x \)，\( y \) 称为虚部 (imaginary part)，记为 \( \text{Im}(z) = y \)。

① 复数的表示形式 (Representations of Complex Numbers)：
▮▮▮▮⚝ 代数形式 (Algebraic Form)：\( z = x + jy \)
▮▮▮▮⚝ 极坐标形式 (Polar Form)：\( z = r(\cos\theta + j\sin\theta) = re^{j\theta} \)，其中 \( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) 是复数 \( z \) 的模 (modulus) 或绝对值，\( \theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \) 是复数 \( z \) 的辐角 (argument) 或相位。
▮▮▮▮⚝ 指数形式 (Exponential Form)：\( z = re^{j\theta} \) (欧拉公式：\( e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \))

② 复平面 (Complex Plane)：
复平面 (Complex Plane) 是用平面上的点来表示复数的几何表示方法。水平轴称为实轴 (real axis)，表示实部 \( x \)，垂直轴称为虚轴 (imaginary axis)，表示虚部 \( y \)。每个复数 \( z = x + jy \) 对应复平面上的一个点 \( (x, y) \)。

③ 复数的运算 (Operations of Complex Numbers)：
▮▮▮▮⚝ 加法 (Addition)：\( z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + j(y_1 + y_2) \)
▮▮▮▮⚝ 减法 (Subtraction)：\( z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + j(y_1 - y_2) \)
▮▮▮▮⚝ 乘法 (Multiplication)：\( z_1z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + j(x_1y_2 + x_2y_1) \)
▮▮▮▮⚝ 除法 (Division)：\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}} = \frac{(x_1 + jy_1)(x_2 - jy_2)}{(x_2 + jy_2)(x_2 - jy_2)} = \frac{(x_1x_2 + y_1y_2) + j(x_2y_1 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2} \) (其中 \( \bar{z_2} = x_2 - jy_2 \) 是 \( z_2 \) 的共轭复数)
▮▮▮▮⚝ 共轭 (Conjugate)：\( \bar{z} = x - jy \)
▮▮▮▮⚝ 模 (Modulus)：\( |z| = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{x^2 + y^2} \)
▮▮▮▮⚝ 辐角 (Argument)：\( \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \)

案例 (Case Study)：
设 \( z_1 = 1 + j2 \)，\( z_2 = 3 - j \)。
\( z_1 + z_2 = (1+3) + j(2-1) = 4 + j \)
\( z_1z_2 = (1\times 3 - 2\times (-1)) + j(1\times (-1) + 2\times 3) = 5 + j5 \)
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{1+j2}{3-j} = \frac{(1+j2)(3+j)}{(3-j)(3+j)} = \frac{(3-2) + j(1+6)}{3^2 + (-1)^2} = \frac{1 + j7}{10} = 0.1 + j0.7 \)

2.3.2 解析函数 (Analytic Functions)

解析函数 (Analytic Function) 是复变函数理论中的核心概念，它指的是在复平面上某区域内处处可微的函数。解析函数具有许多优良的性质，例如无限次可微、局部幂级数展开等，在控制理论的频域分析中，传递函数通常是复变量的解析函数。

① 复变函数的导数 (Derivative of Complex Function)：
设 \( f(z) \) 是定义在区域 \( D \) 内的复变函数，\( z_0 \in D \)。如果极限
\[ f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} \]
存在，且与 \( \Delta z \) 趋近于 0 的方式无关，则称 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 点 可微 (differentiable)，\( f'(z_0) \) 称为 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 点的导数。

② 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)：
设 \( f(z) = u(x, y) + jv(x, y) \)，其中 \( z = x + jy \)，\( u(x, y) = \text{Re}(f(z)) \)，\( v(x, y) = \text{Im}(f(z)) \)。函数 \( f(z) \) 在点 \( z_0 = x_0 + jy_0 \) 可微的 必要条件 (necessary condition) 是在 \( (x_0, y_0) \) 点满足 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
如果 \( u(x, y), v(x, y) \) 在区域 \( D \) 内具有连续的一阶偏导数，且满足柯西-黎曼方程，则 \( f(z) = u(x, y) + jv(x, y) \) 在 \( D \) 内 解析 (analytic)。

③ 解析函数的性质 (Properties of Analytic Functions)：
▮▮▮▮⚝ 无限次可微 (Infinitely Differentiable)：解析函数在其解析区域内无限次可微。
▮▮▮▮⚝ 局部幂级数展开 (Local Power Series Expansion)：解析函数在其解析区域内的每一点都可以展开成幂级数（泰勒级数）。
▮▮▮▮⚝ 柯西积分定理 (Cauchy Integral Theorem)：如果 \( f(z) \) 在单连通区域 \( D \) 内解析，\( C \) 是 \( D \) 内的闭曲线，则 \( \oint_C f(z) dz = 0 \)。
▮▮▮▮⚝ 柯西积分公式 (Cauchy Integral Formula)：如果 \( f(z) \) 在单连通区域 \( D \) 内解析，\( C \) 是 \( D \) 内包围点 \( z_0 \) 的正向闭曲线，则 \( f(z_0) = \frac{1}{2\pi j} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz \)。

案例 (Case Study)：
考虑函数 \( f(z) = z^2 = (x + jy)^2 = (x^2 - y^2) + j(2xy) \)。
则 \( u(x, y) = x^2 - y^2 \)，\( v(x, y) = 2xy \)。
计算偏导数：
\( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \)，\( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \)
\( \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \)，\( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y \)
柯西-黎曼方程成立：\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) 和 \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)。
因此，\( f(z) = z^2 \) 是解析函数。

2.3.3 留数定理 (Residue Theorem)

留数定理 (Residue Theorem) 是复变函数积分理论中的一个重要定理，用于计算闭曲线积分。在控制理论中，留数定理常用于计算反拉普拉斯变换、评估系统稳定性等。

① 奇点与留数 (Singularities and Residues)：
▮▮▮▮⚝ 奇点 (Singularity)：如果函数 \( f(z) \) 在点 \( z_0 \) 不解析，但 \( z_0 \) 的任意邻域内都存在 \( f(z) \) 的解析点，则称 \( z_0 \) 为 \( f(z) \) 的奇点。
▮▮▮▮⚝ 孤立奇点 (Isolated Singularity)：如果奇点 \( z_0 \) 的某个邻域内没有其他奇点，则称 \( z_0 \) 为孤立奇点。常见的孤立奇点有可去奇点、极点和本性奇点。
▮▮▮▮⚝ 留数 (Residue)：设 \( z_0 \) 是 \( f(z) \) 的孤立奇点，\( C \) 是以 \( z_0 \) 为中心，逆时针方向绕行的充分小的圆周，使得圆内只包含奇点 \( z_0 \)。则 \( f(z) \) 在奇点 \( z_0 \) 的留数定义为：
\[ \text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi j} \oint_C f(z) dz \]
对于极点，留数可以用公式计算。若 \( z_0 \) 是 \( f(z) \) 的 \( m \) 阶极点，则
\[ \text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z - z_0)^m f(z)] \]
特别地，若 \( z_0 \) 是 \( f(z) \) 的一阶极点 (简单极点)，则
\[ \text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) \]

② 留数定理 (Residue Theorem)：
设 \( C \) 是复平面内一条正向简单闭曲线，\( D \) 是 \( C \) 围成的区域，\( f(z) \) 在 \( D \) 内除有限个孤立奇点 \( z_1, z_2, \dots, z_n \) 外解析，在 \( C \) 上解析，则
\[ \oint_C f(z) dz = 2\pi j \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k) \]
即沿闭曲线 \( C \) 的积分等于 \( 2\pi j \) 乘以 \( C \) 内所有奇点留数之和。

③ 留数定理的应用 (Applications of Residue Theorem)：
▮▮▮▮⚝ 计算闭曲线积分 (Calculating Contour Integrals)：留数定理可以直接用于计算复杂的闭曲线积分。
▮▮▮▮⚝ 反拉普拉斯变换 (Inverse Laplace Transform)：对于有理函数 \( F(s) \)，可以使用留数定理计算反拉普拉斯变换。
▮▮▮▮⚝ 稳定性分析 (Stability Analysis)：Nyquist 稳定性判据的推导和应用中，需要使用留数定理来评估闭环系统的稳定性。

案例 (Case Study)：
计算积分 \( \oint_C \frac{e^{z}}{z(z-1)^2} dz \)，其中 \( C \) 是以原点为中心，半径为 1.5 的圆周，正向。
函数 \( f(z) = \frac{e^{z}}{z(z-1)^2} \) 有两个奇点：\( z_1 = 0 \) (一阶极点) 和 \( z_2 = 1 \) (二阶极点)，都在圆 \( C \) 内。
计算留数：
在 \( z_1 = 0 \) 处：
\[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} (z - 0) \frac{e^{z}}{z(z-1)^2} = \lim_{z \to 0} \frac{e^{z}}{(z-1)^2} = \frac{e^{0}}{(0-1)^2} = 1 \]
在 \( z_2 = 1 \) 处：
\[ \text{Res}(f, 1) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \frac{d}{dz} [(z - 1)^2 \frac{e^{z}}{z(z-1)^2}] = \lim_{z \to 1} \frac{d}{dz} \left(\frac{e^{z}}{z}\right) = \lim_{z \to 1} \frac{ze^{z} - e^{z}}{z^2} = \frac{1\cdot e^{1} - e^{1}}{1^2} = 0 \]
应用留数定理：
\[ \oint_C \frac{e^{z}}{z(z-1)^2} dz = 2\pi j [\text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 1)] = 2\pi j (1 + 0) = 2\pi j \]

本章回顾了控制理论所需的数学基础，包括线性代数、微积分与微分方程以及复变函数。这些数学工具是理解和应用控制理论的基石，后续章节将在此基础上深入探讨控制系统的建模、分析和设计方法。

3. chapter 3： 系统建模 (System Modeling)

3.1 物理系统建模 (Modeling of Physical Systems)

物理系统建模 (Modeling of Physical Systems) 是控制理论的基础环节，它旨在将实际的物理系统抽象为可以用数学语言描述的模型，从而为后续的系统分析、控制设计和仿真提供基础。建模的准确性和有效性直接影响控制系统的性能。本节将介绍力学系统 (Mechanical Systems)、电气系统 (Electrical Systems) 和热力学系统 (Thermal Systems) 的建模方法。

3.1.1 力学系统建模 (Modeling of Mechanical Systems)

力学系统建模 (Modeling of Mechanical Systems) 主要研究物体在力的作用下的运动规律。常见的力学元件包括质量 (mass)、弹簧 (spring) 和阻尼器 (damper)。

① 基本力学元件

⚝ 质量 (Mass)：质量 \(m\) 是物体惯性的度量，表示物体抵抗加速度变化的能力。根据牛顿第二定律，质量与力 \(F\) 和加速度 \(a\) 的关系为：
\[ F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} \]
其中，\(x\) 是位移。质量元件储存动能。

⚝ 弹簧 (Spring)：弹簧产生与形变成正比的力，称为弹性力。线性弹簧的弹性力 \(F\) 与位移 \(x\) 的关系为：
\[ F = kx \]
其中，\(k\) 是弹簧常数 (spring constant)，表示弹簧的刚度。弹簧元件储存势能。

⚝ 阻尼器 (Damper)：阻尼器产生与速度成正比的阻力，用于耗散系统能量。线性阻尼器的阻尼力 \(F\) 与速度 \(v\) 的关系为：
\[ F = cv = c \frac{dx}{dt} \]
其中，\(c\) 是阻尼系数 (damping coefficient)，表示阻尼的大小。

② 力学系统的建模方法

力学系统的建模通常基于牛顿定律 (Newton's Laws) 或拉格朗日方程 (Lagrange Equations)。对于简单的系统，牛顿定律可以直接应用；对于复杂的系统，拉格朗日方程可能更为方便。

⚝ 牛顿定律方法：
1. 确定系统的自由度 (Degrees of Freedom)：确定描述系统运动所需的独立坐标数量。
2. 隔离物体 (Isolate Bodies)：将系统分解为独立的物体，并分析每个物体受到的力。
3. 应用牛顿第二定律：对每个物体，沿每个自由度方向列写牛顿第二定律方程 \(\sum F = ma\)。
4. 建立系统方程：将各物体的方程联立，得到系统的动力学方程。

⚝ 拉格朗日方程方法：
1. 确定系统的自由度。
2. 选择广义坐标 (Generalized Coordinates)：选择一组独立坐标 \(q_i\) 描述系统构型。
3. 计算动能 \(T\) 和势能 \(V\)：用广义坐标和广义速度 \(\dot{q}_i\) 表示系统的总动能 \(T\) 和总势能 \(V\)。
4. 写出拉格朗日量 \(L\)：拉格朗日量定义为 \(L = T - V\)。
5. 应用拉格朗日方程：对每个广义坐标 \(q_i\)，应用拉格朗日方程：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i \]
其中，\(Q_i\) 是广义力 (generalized force)，包括非保守力，如阻尼力。

③ 案例分析：弹簧-质量-阻尼系统 (Spring-Mass-Damper System)

考虑一个经典的弹簧-质量-阻尼系统，如图 3.1 所示。质量为 \(m\)，弹簧常数为 \(k\)，阻尼系数为 \(c\)，外力为 \(u(t)\)，位移为 \(x(t)\)。

使用牛顿定律建模：

对质量 \(m\) 进行受力分析，受力包括：外力 \(u(t)\)、弹簧力 \(-kx(t)\) 和阻尼力 \(-c\frac{dx(t)}{dt}\)。根据牛顿第二定律：
\[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} = u(t) - kx(t) - c\frac{dx(t)}{dt} \]
整理得到系统的微分方程模型：
\[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = u(t) \]

这个二阶常微分方程描述了弹簧-质量-阻尼系统的动态行为。

3.1.2 电气系统建模 (Modeling of Electrical Systems)

电气系统建模 (Modeling of Electrical Systems) 研究电路中电压和电流的关系。基本的电气元件包括电阻 (resistor)、电容 (capacitor) 和电感 (inductor)。

① 基本电气元件

⚝ 电阻 (Resistor)：电阻阻碍电流的流动，产生电压降。根据欧姆定律 (Ohm's Law)，电阻两端的电压 \(v\) 与流过电阻的电流 \(i\) 的关系为：
\[ v = Ri \]
其中，\(R\) 是电阻值 (resistance)。电阻元件耗散能量，以热的形式释放。

⚝ 电容 (Capacitor)：电容储存电荷，电容两端的电压 \(v\) 与电荷 \(q\) 的关系为：
\[ q = Cv \]
电流 \(i\) 是电荷随时间的变化率，因此电容电流与电压的关系为：
\[ i = \frac{dq}{dt} = C \frac{dv}{dt} \]
其中，\(C\) 是电容值 (capacitance)。电容元件储存电场能。

⚝ 电感 (Inductor)：电感储存磁场能，电感两端的电压 \(v\) 与流过电感的电流 \(i\) 的关系为：
\[ v = L \frac{di}{dt} \]
其中，\(L\) 是电感值 (inductance)。电感元件储存磁场能。

② 电气系统的建模方法

电气系统的建模主要基于基尔霍夫定律 (Kirchhoff's Laws)，包括基尔霍夫电压定律 (Kirchhoff's Voltage Law, KVL) 和基尔霍夫电流定律 (Kirchhoff's Current Law, KCL)。

⚝ 基尔霍夫电压定律 (KVL)：在任一闭合回路中，所有元件上的电压降之和等于零。
\[ \sum v_i = 0 \quad \text{ (闭合回路)} \]

⚝ 基尔霍夫电流定律 (KCL)：在任一节点处，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。
\[ \sum i_{in} = \sum i_{out} \quad \text{ (节点)} \]

③ 案例分析：RLC 串联电路 (RLC Series Circuit)

考虑一个 RLC 串联电路，如图 3.2 所示。电阻为 \(R\)，电感为 \(L\)，电容为 \(C\)，输入电压为 \(v_{in}(t)\)，输出电压为电容两端的电压 \(v_{out}(t)\)，电路电流为 \(i(t)\)。

使用基尔霍夫定律建模：

⚝ KVL 方程：沿闭合回路，电压降之和为零：
\[ v_{in}(t) - Ri(t) - L\frac{di(t)}{dt} - v_{out}(t) = 0 \]
即
\[ L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) + v_{out}(t) = v_{in}(t) \]

⚝ 电容关系：电容电流等于电路电流：
\[ i(t) = C\frac{dv_{out}(t)}{dt} \]

将电容关系代入 KVL 方程，得到关于输出电压 \(v_{out}(t)\) 的微分方程：
\[ LC\frac{d^2v_{out}(t)}{dt^2} + RC\frac{dv_{out}(t)}{dt} + v_{out}(t) = v_{in}(t) \]

这个二阶常微分方程描述了 RLC 串联电路的动态行为。

3.1.3 热力学系统建模 (Modeling of Thermal Systems)

热力学系统建模 (Modeling of Thermal Systems) 研究热量传递和温度变化规律。基本的热力学元件包括热阻 (thermal resistance) 和热容 (thermal capacitance)。

① 基本热力学元件

⚝ 热阻 (Thermal Resistance)：热阻阻碍热量的传递，类似于电阻阻碍电流。热阻 \(R_{th}\) 定义为温度差 \(\Delta T\) 与热流量 \(q\) 之比：
\[ R_{th} = \frac{\Delta T}{q} \]
热阻的单位通常为 \(^\circ C/W\) 或 \(K/W\)。热阻描述了材料阻止热量传递的能力。

⚝ 热容 (Thermal Capacitance)：热容表示物体储存热量的能力，类似于电容储存电荷。热容 \(C_{th}\) 定义为物体温度变化 \(\Delta T\) 所需的热量 \(Q\) 与温度变化之比：
\[ C_{th} = \frac{Q}{\Delta T} \]
热容的单位通常为 \(J/^\circ C\) 或 \(J/K\)。热容与物体的质量和比热容有关。热容与温度变化率的关系为：
\[ q = C_{th} \frac{dT}{dt} \]
其中，\(q\) 是热流量，\(T\) 是温度。

② 热力学系统的建模方法

热力学系统的建模主要基于热平衡原理 (Thermal Equilibrium Principle) 和热传递定律 (Laws of Heat Transfer)。

⚝ 热平衡原理：对于一个封闭系统，流入系统的热量等于流出系统的热量加上系统内部能量的变化。
\[ q_{in} = q_{out} + \frac{dQ}{dt} \]
其中，\(q_{in}\) 是流入热流量，\(q_{out}\) 是流出热流量，\(dQ/dt\) 是系统内部能量变化率。

⚝ 热传递定律：
▮▮▮▮⚝ 热传导 (Conduction)：热量在静止介质内部，从高温部分向低温部分传递。热传导的热流量 \(q\) 与温度梯度成正比，符合傅里叶定律 (Fourier's Law)：
\[ q = -kA \frac{dT}{dx} \]
其中，\(k\) 是热导率 (thermal conductivity)，\(A\) 是传热面积，\(dT/dx\) 是温度梯度。
▮▮▮▮⚝ 热对流 (Convection)：热量在流体（气体或液体）中，通过流体的宏观运动进行传递。热对流的热流量 \(q\) 与温差成正比，符合牛顿冷却定律 (Newton's Law of Cooling)：
\[ q = hA(T_s - T_\infty) \]
其中，\(h\) 是对流换热系数 (convective heat transfer coefficient)，\(A\) 是传热面积，\(T_s\) 是物体表面温度，\(T_\infty\) 是流体温度。
▮▮▮▮⚝ 热辐射 (Radiation)：物体通过电磁波发射能量，无需介质。热辐射的热流量 \(q\) 与物体温度的四次方成正比，符合斯蒂芬-玻尔兹曼定律 (Stefan-Boltzmann Law)：
\[ q = \epsilon \sigma A T^4 \]
其中，\(\epsilon\) 是发射率 (emissivity)，\(\sigma\) 是斯蒂芬-玻尔兹曼常数 (Stefan-Boltzmann constant)，\(A\) 是辐射面积，\(T\) 是物体绝对温度。

③ 案例分析：房间温度模型 (Room Temperature Model)

考虑一个简单的房间温度模型，如图 3.3 所示。房间的热容为 \(C_{th}\)，房间与外界环境之间的热阻为 \(R_{th}\)，房间内部热源（如加热器）的热流量为 \(q_{in}(t)\)，房间温度为 \(T(t)\)，外界环境温度为 \(T_{amb}\)。

使用热平衡原理建模：

⚝ 热流量平衡：流入房间的热量包括热源 \(q_{in}(t)\)，流出房间的热量通过热阻传递到外界环境，热流量为 \(\frac{T(t) - T_{amb}}{R_{th}}\)。根据热平衡原理：
\[ q_{in}(t) - \frac{T(t) - T_{amb}}{R_{th}} = C_{th} \frac{dT(t)}{dt} \]

整理得到关于房间温度 \(T(t)\) 的微分方程：
\[ C_{th} \frac{dT(t)}{dt} + \frac{1}{R_{th}} T(t) = q_{in}(t) + \frac{1}{R_{th}} T_{amb} \]

这是一个一阶常微分方程，描述了房间温度随时间变化的动态行为。

3.2 数学模型表示 (Mathematical Model Representation)

数学模型表示 (Mathematical Model Representation) 是将物理系统的动态特性用数学形式表达出来，以便于分析和设计控制系统。控制理论中常用的数学模型表示方法主要有传递函数模型 (Transfer Function Model) 和状态空间模型 (State Space Model)。

3.2.1 传递函数模型 (Transfer Function Model)

传递函数模型 (Transfer Function Model) 描述了线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTI) 系统在拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 域中，输出与输入之间的关系。

① 传递函数的定义

对于一个 LTI 系统，假设输入为 \(u(t)\)，输出为 \(y(t)\)。在零初始条件下，输出 \(y(t)\) 的拉普拉斯变换 \(Y(s)\) 与输入 \(u(t)\) 的拉普拉斯变换 \(U(s)\) 之比，定义为系统的传递函数 \(G(s)\)：
\[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \]
其中，\(s\) 是复频率变量。传递函数 \(G(s)\) 是一个复变函数，它完全描述了 LTI 系统的动态特性。

② 传递函数的性质

⚝ 仅适用于 LTI 系统：传递函数是基于拉普拉斯变换定义的，而拉普拉斯变换主要应用于线性时不变系统。
⚝ 零初始条件：传递函数的定义基于零初始条件，即系统在初始时刻处于静止状态。
⚝ 代数运算：传递函数将微分方程的求解转化为代数运算，简化了系统分析和设计。
⚝ 频域特性：传递函数 \(G(s)\) 包含了系统的频域特性，通过分析 \(G(j\omega)\) 可以了解系统对不同频率信号的响应。

③ 传递函数的推导

对于由微分方程描述的 LTI 系统，可以通过拉普拉斯变换推导其传递函数。以弹簧-质量-阻尼系统为例，其微分方程为：
\[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = u(t) \]
对上式两边取拉普拉斯变换（假设零初始条件）：
\[ m s^2 X(s) + c s X(s) + k X(s) = U(s) \]
整理得到输出 \(X(s)\) 与输入 \(U(s)\) 的关系：
\[ (ms^2 + cs + k) X(s) = U(s) \]
传递函数 \(G(s) = \frac{X(s)}{U(s)}\) 为：
\[ G(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{ms^2 + cs + k} \]

④ 传递函数的应用

⚝ 系统分析：通过分析传递函数的极点 (poles) 和零点 (zeros)，可以判断系统的稳定性、响应速度和阻尼特性。
⚝ 控制系统设计：基于传递函数，可以使用根轨迹法 (Root Locus Method)、频域设计方法 (Frequency-Domain Design Methods) 等设计控制器。
⚝ 系统仿真：传递函数可以方便地在 MATLAB/Simulink 等仿真软件中进行系统建模和仿真。

3.2.2 状态空间模型 (State Space Model)

状态空间模型 (State Space Model) 是一种更通用的数学模型表示方法，适用于线性系统和非线性系统、时变系统和时不变系统。它从系统的内部状态出发，描述系统的动态行为。

① 状态空间模型的定义

状态空间模型用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性，其一般形式为：
\[ \begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) \end{aligned} \]
其中：
⚝ \(\mathbf{x}(t)\) 是 \(n\) 维状态向量 (state vector)，表示系统的内部状态。
⚝ \(\mathbf{u}(t)\) 是 \(m\) 维输入向量 (input vector)，表示系统的外部输入。
⚝ \(\mathbf{y}(t)\) 是 \(p\) 维输出向量 (output vector)，表示系统的外部输出。
⚝ \(\mathbf{A}\) 是 \(n \times n\) 系统矩阵 (system matrix)，描述状态向量的动态特性。
⚝ \(\mathbf{B}\) 是 \(n \times m\) 输入矩阵 (input matrix)，描述输入如何影响状态。
⚝ \(\mathbf{C}\) 是 \(p \times n\) 输出矩阵 (output matrix)，描述状态如何影响输出。
⚝ \(\mathbf{D}\) 是 \(p \times m\) 直馈矩阵 (direct feedforward matrix)，描述输入直接影响输出的部分，通常在物理系统中 \(\mathbf{D} = \mathbf{0}\)。
⚝ \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}\) 是状态向量的导数。

第一个方程称为状态方程 (state equation)，描述状态向量随时间的变化规律；第二个方程称为输出方程 (output equation)，描述输出向量与状态向量和输入向量的关系。

② 状态空间模型的建立

建立状态空间模型的关键是选择合适的状态变量 (state variables)。状态变量通常选择能够完整描述系统动态特性的物理量，例如：

⚝ 力学系统：位移、速度、角位移、角速度等。
⚝ 电气系统：电容电压、电感电流等。
⚝ 热力学系统：温度等。

以弹簧-质量-阻尼系统为例，其微分方程为：
\[ m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c\frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = u(t) \]
选择状态变量为 \(x_1(t) = x(t)\) (位移) 和 \(x_2(t) = \dot{x}(t)\) (速度)。则有：
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1(t) &= x_2(t) \\ \dot{x}_2(t) &= \frac{1}{m} [u(t) - cx_2(t) - kx_1(t)] \end{aligned} \]
写成矩阵形式：
\[ \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u(t) \]
如果输出选择为位移 \(y(t) = x(t) = x_1(t)\)，则输出方程为：
\[ y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + [0] u(t) \]
因此，状态空间模型为：
\[ \begin{aligned} \mathbf{A} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} \\ \mathbf{C} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = [0] \end{aligned} \]

③ 状态空间模型的优点

⚝ 通用性：适用于线性、非线性、时变、时不变系统，以及多输入多输出 (Multiple-Input Multiple-Output, MIMO) 系统。
⚝ 内部状态信息：状态空间模型描述了系统的内部状态，可以进行更深入的系统分析和控制设计，如状态反馈控制 (State Feedback Control)、观测器设计 (Observer Design)。
⚝ 便于计算机求解：状态空间模型是一阶微分方程组，便于使用计算机进行数值求解和仿真。

④ 状态空间模型与传递函数模型的转换

⚝ 状态空间模型转换为传递函数模型：
对于单输入单输出 (Single-Input Single-Output, SISO) 系统，给定状态空间模型 \(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}\)，其传递函数 \(G(s)\) 可以通过以下公式计算：
\[ G(s) = \mathbf{C} (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D} \]
其中，\(\mathbf{I}\) 是单位矩阵。

⚝ 传递函数模型转换为状态空间模型：
传递函数模型转换为状态空间模型不是唯一的，存在多种实现方式，如可控标准型 (Controllable Canonical Form)、可观标准型 (Observable Canonical Form) 等。

3.3 模型线性化与简化 (Linearization and Simplification of Models)

实际物理系统往往是非线性的，且模型可能非常复杂。为了便于分析和设计控制系统，常常需要对模型进行线性化 (Linearization) 和简化 (Simplification)。

3.3.1 线性化方法 (Linearization Methods)

线性化方法 (Linearization Methods) 是将非线性系统在某个工作点附近近似为线性系统的方法。常用的线性化方法包括泰勒级数展开法 (Taylor Series Expansion Method)。

① 泰勒级数展开法

对于一个非线性函数 \(f(x)\)，在工作点 \(x_0\) 附近进行泰勒级数展开：
\[ f(x) \approx f(x_0) + \left. \frac{df(x)}{dx} \right|_{x=x_0} (x - x_0) + \frac{1}{2!} \left. \frac{d^2f(x)}{dx^2} \right|_{x=x_0} (x - x_0)^2 + \cdots \]
在工作点附近，忽略高阶项，取一阶近似，得到线性化模型：
\[ f(x) \approx f(x_0) + \left. \frac{df(x)}{dx} \right|_{x=x_0} (x - x_0) \]
令 \(\Delta x = x - x_0\)，\(\Delta f(x) = f(x) - f(x_0)\)，则线性化模型可以表示为：
\[ \Delta f(x) \approx \left. \frac{df(x)}{dx} \right|_{x=x_0} \Delta x \]
其中，\(\left. \frac{df(x)}{dx} \right|_{x=x_0}\) 是函数 \(f(x)\) 在工作点 \(x_0\) 处的雅可比矩阵 (Jacobian matrix)。

对于非线性状态空间模型：
\[ \begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) \end{aligned} \]
在工作点 \((\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)\) 附近进行线性化。设工作点处状态和输入满足 \(\dot{\mathbf{x}}_0 = \mathbf{f}(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0) = \mathbf{0}\) (平衡点)。令 \(\Delta \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0\)，\(\Delta \mathbf{u} = \mathbf{u} - \mathbf{u}_0\)，\(\Delta \mathbf{y} = \mathbf{y} - \mathbf{y}_0\)。将非线性函数 \(\mathbf{f}\) 和 \(\mathbf{h}\) 在 \((\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)\) 处进行泰勒级数展开并取一阶近似，得到线性化状态空间模型：
\[ \begin{aligned} \Delta \dot{\mathbf{x}}(t) &\approx \left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)} \Delta \mathbf{x}(t) + \left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{u}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)} \Delta \mathbf{u}(t) \\ \Delta \mathbf{y}(t) &\approx \left. \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)} \Delta \mathbf{x}(t) + \left. \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{u}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)} \Delta \mathbf{u}(t) \end{aligned} \]
定义线性化系统矩阵 \(\mathbf{A}\)、输入矩阵 \(\mathbf{B}\)、输出矩阵 \(\mathbf{C}\) 和直馈矩阵 \(\mathbf{D}\) 为：
\[ \begin{aligned} \mathbf{A} &= \left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)}, \quad \mathbf{B} = \left. \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{u}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)} \\ \mathbf{C} &= \left. \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)}, \quad \mathbf{D} = \left. \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{u}} \right|_{(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)} \end{aligned} \]
则线性化状态空间模型为：
\[ \begin{aligned} \Delta \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A} \Delta \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \Delta \mathbf{u}(t) \\ \Delta \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \Delta \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \Delta \mathbf{u}(t) \end{aligned} \]

② 案例分析：单摆的线性化 (Linearization of a Simple Pendulum)

单摆的非线性运动方程为：
\[ \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin(\theta) = \frac{1}{mL^2} u \]
其中，\(\theta\) 是摆角，\(u\) 是输入力矩。选择状态变量 \(x_1 = \theta\)，\(x_2 = \dot{\theta}\)，则状态空间模型为：
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= -\frac{g}{L} \sin(x_1) + \frac{1}{mL^2} u \end{aligned} \]
输出选择为摆角 \(y = \theta = x_1\)。在平衡点 \((\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0) = (\mathbf{0}, 0)\) 附近进行线性化。
\[ \mathbf{f}(\mathbf{x}, u) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -\frac{g}{L} \sin(x_1) + \frac{1}{mL^2} u \end{bmatrix}, \quad \mathbf{h}(\mathbf{x}, u) = [x_1] \]
计算雅可比矩阵：
\[ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{g}{L} \cos(x_1) & 0 \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial u} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{mL^2} \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial u} = [0] \]
在 \((\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0) = (\mathbf{0}, 0)\) 处，\(\cos(0) = 1\)，\(\sin(0) = 0\)。线性化系统矩阵为：
\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{g}{L} & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{mL^2} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = [0] \]
线性化状态空间模型为：
\[ \begin{aligned} \Delta \dot{\mathbf{x}}(t) &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{g}{L} & 0 \end{bmatrix} \Delta \mathbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{mL^2} \end{bmatrix} \Delta u(t) \\ \Delta y(t) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \Delta \mathbf{x}(t) \end{aligned} \]
当摆角 \(\theta\) 较小时，\(\sin(\theta) \approx \theta\)，非线性模型近似为线性模型 \(\ddot{\theta} + \frac{g}{L} \theta = \frac{1}{mL^2} u\)，与线性化模型一致。

3.3.2 模型降阶 (Model Order Reduction)

模型降阶 (Model Order Reduction) 是在保证模型精度的前提下，降低模型阶数，简化模型复杂度的技术。高阶模型计算量大，不利于控制系统设计和实时仿真。常用的模型降阶方法包括模态截断法 (Modal Truncation Method) 和平衡截断法 (Balanced Truncation Method)。

① 模态截断法

模态截断法 (Modal Truncation Method) 基于系统模态分析，保留对系统动态特性影响较大的主导模态，忽略影响较小的非主导模态，从而降低模型阶数。

⚝ 模态分析：将系统矩阵 \(\mathbf{A}\) 对角化，得到系统的模态 (eigenmodes)。模态与系统矩阵的特征值 (eigenvalues) 和特征向量 (eigenvectors) 相关。
⚝ 模态选择：根据特征值的大小（实部绝对值小的特征值对应慢模态，影响较大；实部绝对值大的特征值对应快模态，影响较小），选择保留主导模态，截断非主导模态。
⚝ 降阶模型：保留主导模态对应的状态变量，构成降阶模型。

② 平衡截断法

平衡截断法 (Balanced Truncation Method) 是一种基于可控性和可观性的模型降阶方法。它通过状态空间变换，将系统的可控性和可观性“平衡化”，然后截断可控性和可观性较弱的状态，得到降阶模型。

⚝ 可控性和可观性分析：计算系统的可控性格拉姆矩阵 (controllability Gramian) \(\mathbf{W}_c\) 和可观性格拉姆矩阵 (observability Gramian) \(\mathbf{W}_o\)。
⚝ 平衡实现：通过状态空间变换 \(\mathbf{x} = \mathbf{T} \mathbf{x}_b\)，将系统转换为平衡实现，使得平衡实现的状态空间模型 \(\mathbf{A}_b, \mathbf{B}_b, \mathbf{C}_b, \mathbf{D}_b\) 的可控性格拉姆矩阵和可观性格拉姆矩阵相等且对角化，即 \(\mathbf{W}_{cb} = \mathbf{W}_{ob} = \mathbf{\Sigma} = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n)\)，其中 \(\sigma_i\) 是汉克尔奇异值 (Hankel singular values)。
⚝ 模型截断：根据汉克尔奇异值的大小，选择保留前 \(r\) 个较大的奇异值对应的状态，截断后 \(n-r\) 个较小的奇异值对应的状态，得到 \(r\) 阶降阶模型。

平衡截断法能够保证降阶模型的稳定性，并给出降阶误差的界限，是一种有效的模型降阶方法。

模型线性化和模型降阶是系统建模的重要环节，它们使得复杂的物理系统模型能够简化为便于分析和设计的线性低阶模型，为控制系统的设计奠定基础。

4. chapter 4： 线性系统的分析 (Analysis of Linear Systems)

4.1 稳定性分析 (Stability Analysis)

稳定性 (Stability) 是控制系统分析与设计中的核心概念之一。一个稳定的系统能够在其受到扰动后，最终回到或保持在其期望的工作状态附近。对于线性系统而言，稳定性通常指的是系统在有界输入下，其输出也是有界的，即 BIBO 稳定性。此外，根据系统特征根的位置，也可以判断系统的稳定性。本节将介绍线性系统稳定性的基本概念和判据。

4.1.1 BIBO 稳定性 (BIBO Stability)

BIBO 稳定性，即有界输入有界输出稳定性 (Bounded-Input Bounded-Output Stability)，是描述线性系统稳定性的重要概念。

定义 4.1.1 (BIBO 稳定性)：一个系统被称为是 BIBO 稳定的，如果对任何有界输入 \( u(t) \)，其输出 \( y(t) \) 也是有界的。

简单来说，如果输入信号的幅度始终在一个有限的范围内，那么稳定系统的输出信号的幅度也必须始终在一个有限的范围内。如果一个系统不是 BIBO 稳定的，那么即使是很小的有界输入，也可能导致系统输出无界，这在实际工程应用中是不可接受的。

对于线性时不变 (LTI) 系统，BIBO 稳定性可以通过其传递函数 \( G(s) \) 的极点位置来判断。

定理 4.1.1 (BIBO 稳定性判据 - 传递函数)：一个因果的线性时不变系统是 BIBO 稳定的，当且仅当其传递函数 \( G(s) \) 的所有极点都位于复平面 (complex plane) 的左半平面 (left-half plane)，即所有极点的实部都为负。

证明概要：
系统的输出 \( Y(s) \) 与输入 \( U(s) \) 之间的关系为 \( Y(s) = G(s) U(s) \)。传递函数 \( G(s) \) 可以表示为部分分式展开形式。系统的时域输出 \( y(t) \) 是通过对 \( Y(s) \) 进行拉普拉斯反变换得到的。如果 \( G(s) \) 的极点位于右半平面或虚轴上，则在拉普拉斯反变换后，时域输出 \( y(t) \) 将包含指数增长项或持续振荡项，从而导致输出无界。反之，如果所有极点都位于左半平面，则时域输出 \( y(t) \) 将随时间衰减，系统是 BIBO 稳定的。

例 4.1.1：考虑一个传递函数为 \( G(s) = \frac{1}{s+a} \) 的系统。

① 当 \( a > 0 \) 时，极点为 \( s = -a \)，位于左半平面，系统是 BIBO 稳定的。
② 当 \( a < 0 \) 时，极点为 \( s = -a \)，位于右半平面，系统不是 BIBO 稳定的。
③ 当 \( a = 0 \) 时，极点为 \( s = 0 \)，位于虚轴上，系统也不是 BIBO 稳定的（积分器，阶跃输入导致输出斜坡增长）。

对于状态空间模型描述的系统：
\[ \begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) \end{aligned} \]
BIBO 稳定性主要由系统矩阵 \( \mathbf{A} \) 的特征值决定。

定理 4.1.2 (BIBO 稳定性判据 - 状态空间)：一个状态空间描述的线性时不变系统是 BIBO 稳定的，当且仅当系统矩阵 \( \mathbf{A} \) 的所有特征值都位于复平面的左半平面，即所有特征值的实部都为负。

证明概要：
系统的稳定性由其内部动态特性决定，而内部动态特性由状态方程 \( \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \) 中的系统矩阵 \( \mathbf{A} \) 决定。系统矩阵 \( \mathbf{A} \) 的特征值 \( \lambda_i \) 决定了系统状态 \( \mathbf{x}(t) \) 的模态 \( e^{\lambda_i t} \)。为了保证状态 \( \mathbf{x}(t) \) 是有界的，所有特征值 \( \lambda_i \) 的实部必须为负。由于输出 \( \mathbf{y}(t) \) 是状态 \( \mathbf{x}(t) \) 和输入 \( \mathbf{u}(t) \) 的线性组合，因此状态的稳定性直接决定了输出的 BIBO 稳定性。

4.1.2 Routh-Hurwitz 稳定性判据 (Routh-Hurwitz Stability Criterion)

Routh-Hurwitz 稳定性判据是一种代数方法，用于判断线性时不变系统的特征方程的所有根是否都具有负实部，从而确定系统的稳定性。该判据不需要求解特征方程的根，只需根据特征方程的系数构造 Routh 阵列，并分析 Routh 阵列第一列的符号变化即可。

考虑线性系统的闭环特征方程为：
\[ a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 = 0 \]
其中 \( a_i \) 为实系数，且 \( a_n > 0 \)。

Routh 阵列的构造步骤：

1. 第一行：由特征方程的奇次幂系数构成：\( a_n, a_{n-2}, a_{n-4}, \ldots \)
2. 第二行：由特征方程的偶次幂系数构成：\( a_{n-1}, a_{n-3}, a_{n-5}, \ldots \)
3. 第三行及以下各行：根据以下公式计算：
   \[ b_1 = \frac{a_{n-1} a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}}, \quad b_2 = \frac{a_{n-1} a_{n-4} - a_n a_{n-5}}{a_{n-1}}, \quad \ldots \]
   \[ c_1 = \frac{b_1 a_{n-3} - a_{n-1} b_2}{b_1}, \quad c_2 = \frac{b_1 a_{n-5} - a_{n-1} b_3}{b_1}, \quad \ldots \]
   以此类推，直到构造完成一个三角形阵列。

Routh 稳定性判据：线性系统稳定的充要条件是 Routh 阵列第一列的所有元素都为正。如果第一列出现符号变化，则系统不稳定，且不稳定根的个数等于第一列符号变化的次数。

特殊情况处理：

⚝ 某行第一列元素为零，但该行不全为零：用一个很小的正数 \( \epsilon \) 替代该零元素，继续完成 Routh 阵列，然后分析 \( \epsilon \rightarrow 0^+ \) 时的符号变化。
⚝ 某行全为零：表明特征方程存在关于原点对称的根，或者虚根。此时，需要构造辅助方程。全零行的上一行系数构成辅助方程，求解辅助方程的根，这些根也是特征方程的根。然后用辅助方程的导数系数代替全零行，继续完成 Routh 阵列。

例 4.1.2：考虑特征方程 \( s^3 + 2s^2 + 3s + 6 = 0 \)。

构造 Routh 阵列：

第三行第一列元素为零，且第三行不全为零。用 \( \epsilon \) 替代 0：

当 \( \epsilon \rightarrow 0^+ \) 时，第一列符号变化为 \( + \rightarrow + \rightarrow + \rightarrow - \)，符号变化一次。因此，系统有一个右半平面根，系统不稳定。

例 4.1.3：考虑特征方程 \( s^3 + 2s^2 + 2s + 1 = 0 \)。

构造 Routh 阵列：

Routh 阵列第一列元素均为正，系统稳定。

4.1.3 Nyquist 稳定性判据 (Nyquist Stability Criterion)

Nyquist 稳定性判据是频域分析方法，用于判断闭环系统的稳定性。它基于开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 的 Nyquist 图，通过考察 Nyquist 曲线包围 \((-1, j0)\) 点的圈数来判断闭环系统的稳定性。

Nyquist 曲线：将开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 中的 \( s \) 用 \( j\omega \) 替换，得到 \( G(j\omega)H(j\omega) \)，当 \( \omega \) 从 \( -\infty \) 变化到 \( +\infty \) 时，\( G(j\omega)H(j\omega) \) 在复平面上描绘出的曲线称为 Nyquist 曲线。

Nyquist 判据：设闭环传递函数为 \( T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \)。令 \( P \) 为开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 在右半平面的极点数，\( N \) 为 Nyquist 曲线顺时针包围 \((-1, j0)\) 点的圈数，\( Z \) 为闭环传递函数 \( T(s) \) 在右半平面的极点数（即闭环不稳定极点数）。则 Nyquist 判据可以表示为：
\[ Z = N + P \]
为了使闭环系统稳定，必须 \( Z = 0 \)，即右半平面闭环极点数为零。因此，闭环系统稳定的条件是：
\[ N = -P \]
或者说，Nyquist 曲线逆时针包围 \((-1, j0)\) 点的圈数等于开环右半平面极点数 \( P \)。如果开环系统稳定（\( P = 0 \）），则闭环系统稳定的条件是 Nyquist 曲线不包围 \((-1, j0)\) 点（\( N = 0 \））。 **应用步骤**： 1. **确定开环传递函数 \( G(s)H(s) \)。
2. 确定开环右半平面极点数 \( P \)。
3. 绘制 Nyquist 曲线：令 \( s = j\omega \)，分析 \( G(j\omega)H(j\omega) \) 在 \( \omega \) 从 \( 0 \) 到 \( +\infty \) 的变化趋势，得到正频率部分的 Nyquist 曲线。负频率部分的 Nyquist 曲线通常是正频率部分的共轭对称。对于包含积分环节的系统，需要考虑 \( s = 0 \) 附近的 Nyquist 曲线，以及 \( s \rightarrow \infty \) 时的曲线。
4. 计算 Nyquist 曲线包围 \((-1, j0)\) 点的圈数 \( N \)。顺时针包围为正，逆时针包围为负。
5. 根据 Nyquist 判据 \( Z = N + P \) 判断闭环稳定性**。若 \( Z = 0 \)，则闭环系统稳定；若 \( Z > 0 \)，则闭环系统不稳定。

例 4.1.4：设开环传递函数为 \( G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)} \)，分析闭环系统稳定性。

⚝ 开环极点为 \( s = 0, -1, -2 \)，没有右半平面极点，\( P = 0 \)。
⚝ 绘制 Nyquist 曲线（略，需要具体分析 \( G(j\omega)H(j\omega) \) ）。
⚝ 假设通过绘制 Nyquist 曲线，得到当 \( K \) 较小时，Nyquist 曲线不包围 \((-1, j0)\) 点，\( N = 0 \)，则 \( Z = 0 + 0 = 0 \)，闭环系统稳定。当 \( K \) 增大到一定程度时，Nyquist 曲线顺时针包围 \((-1, j0)\) 点，例如 \( N = 2 \)，则 \( Z = 2 + 0 = 2 \)，闭环系统有两个右半平面极点，不稳定。

Nyquist 判据不仅可以判断稳定性，还可以提供关于稳定裕度 (stability margin) 的信息，例如相角裕度 (phase margin) 和幅值裕度 (gain margin)，这些将在后续章节中讨论。

4.2 时域分析 (Time-Domain Analysis)

时域分析是研究系统在时间域内的响应特性。通过分析系统对典型输入信号（如阶跃信号、脉冲信号、斜坡信号等）的响应，可以了解系统的动态性能，例如响应速度、超调量、稳态误差等。时域分析主要关注瞬态响应和稳态响应两个方面。

4.2.1 瞬态响应 (Transient Response)

瞬态响应是指系统输出量从初始状态到最终稳态的响应过程。它反映了系统的动态特性，例如响应速度和阻尼程度。典型的瞬态响应指标包括：

① 上升时间 (Rise Time, \( t_r \))：输出响应第一次达到稳态值的 10% 到 90% (或 0% 到 100%) 所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。

② 峰值时间 (Peak Time, \( t_p \))：输出响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

③ 最大超调量 (Maximum Overshoot, \( M_p \))：输出响应的最大峰值与稳态值之差的百分比。超调量反映了系统的阻尼程度，超调量过大可能导致系统不稳定或性能下降。
\[ M_p\% = \frac{y_{max} - y_{ss}}{y_{ss}} \times 100\% \]
其中 \( y_{max} \) 是响应的最大峰值，\( y_{ss} \) 是稳态值。

④ 调节时间 (Settling Time, \( t_s \))：输出响应进入并保持在稳态值的 \( \pm 2\% \) 或 \( \pm 5\% \) 误差带内所需的最短时间。调节时间反映了响应的快速性和平稳性。

这些瞬态响应指标通常针对二阶系统进行分析和定义，对于高阶系统，可以近似简化为二阶系统进行分析。

二阶系统瞬态响应分析：

考虑典型的二阶系统传递函数：
\[ G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \]
其中 \( \omega_n \) 是无阻尼自然频率 (undamped natural frequency)，\( \zeta \) 是阻尼比 (damping ratio)。

根据阻尼比 \( \zeta \) 的不同，二阶系统的瞬态响应可以分为以下几种情况：

⚝ 欠阻尼 (Underdamped, \( 0 < \zeta < 1 \))：系统响应呈振荡衰减形式，有超调。瞬态响应指标计算公式如下：
▮▮▮▮⚝ 上升时间 \( t_r \approx \frac{\pi - \arccos(\zeta)}{\omega_d} \)，其中 \( \omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} \) 是阻尼振荡频率 (damped oscillation frequency)。
▮▮▮▮⚝ 峰值时间 \( t_p = \frac{\pi}{\omega_d} \)。
▮▮▮▮⚝ 最大超调量 \( M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\% \)。
▮▮▮▮⚝ 调节时间 \( t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} \) (\( 2\% \) 准则) 或 \( t_s \approx \frac{3}{\zeta\omega_n} \) (\( 5\% \) 准则)。

⚝ 临界阻尼 (Critically Damped, \( \zeta = 1 \))：系统响应最快且无超调。

⚝ 过阻尼 (Overdamped, \( \zeta > 1 \))：系统响应缓慢且无超调。

⚝ 无阻尼 (Undamped, \( \zeta = 0 \))：系统响应呈等幅振荡，不稳定。

通过调整系统参数 \( \omega_n \) 和 \( \zeta \)，可以改变系统的瞬态响应特性，以满足不同的性能要求。

4.2.2 稳态误差 (Steady-State Error)

稳态误差是指系统输出响应的稳态值与期望输入信号之间的偏差。稳态误差反映了系统跟踪输入信号的精度。

定义 4.2.1 (稳态误差)：稳态误差 \( e_{ss} \) 定义为时间趋于无穷时，期望输入信号 \( r(t) \) 与系统输出信号 \( y(t) \) 之差：
\[ e_{ss} = \lim_{t \rightarrow \infty} [r(t) - y(t)] = \lim_{t \rightarrow \infty} e(t) \]
其中 \( e(t) = r(t) - y(t) \) 是误差信号。

稳态误差的大小取决于系统的类型和输入信号的形式。系统的类型由开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 中积分环节的个数决定。

系统类型：

⚝ 0 型系统：开环传递函数中不含积分环节。
⚝ I 型系统：开环传递函数中含有一个积分环节。
⚝ II 型系统：开环传递函数中含有两个积分环节。
以此类推。

稳态误差计算：

利用终值定理 (Final Value Theorem)，可以计算稳态误差。假设闭环系统稳定，且误差信号 \( E(s) = R(s) - Y(s) \) 的拉普拉斯变换存在，则稳态误差为：
\[ e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0} s E(s) = \lim_{s \rightarrow 0} s \frac{1}{1+G(s)H(s)} R(s) \]
其中 \( R(s) \) 是输入信号 \( r(t) \) 的拉普拉斯变换。

典型输入信号下的稳态误差：

① 阶跃输入 (Step Input), \( r(t) = R_0 u(t) \), \( R(s) = \frac{R_0}{s} \)：
⚝ 0 型系统：\( e_{ss} = \frac{R_0}{1+K_p} \)，其中 \( K_p = \lim_{s \rightarrow 0} G(s)H(s) \) 是位置误差系数 (position error constant)。
⚝ I 型及以上系统：\( e_{ss} = 0 \)。

② 斜坡输入 (Ramp Input), \( r(t) = V_0 t u(t) \), \( R(s) = \frac{V_0}{s^2} \)：
⚝ 0 型系统：\( e_{ss} = \infty \)。
⚝ I 型系统：\( e_{ss} = \frac{V_0}{K_v} \)，其中 \( K_v = \lim_{s \rightarrow 0} s G(s)H(s) \) 是速度误差系数 (velocity error constant)。
⚝ II 型及以上系统：\( e_{ss} = 0 \)。

③ 抛物线输入 (Parabolic Input), \( r(t) = \frac{1}{2} A_0 t^2 u(t) \), \( R(s) = \frac{A_0}{s^3} \)：
⚝ 0 型系统：\( e_{ss} = \infty \)。
⚝ I 型系统：\( e_{ss} = \infty \)。
⚝ II 型系统：\( e_{ss} = \frac{A_0}{K_a} \)，其中 \( K_a = \lim_{s \rightarrow 0} s^2 G(s)H(s) \) 是加速度误差系数 (acceleration error constant)。
⚝ III 型及以上系统：\( e_{ss} = 0 \)。

通过提高系统的类型（增加积分环节）或增大开环增益，可以减小或消除稳态误差。但增加积分环节可能会降低系统的稳定性。

4.3 频域分析 (Frequency-Domain Analysis)

频域分析是研究系统在频率域内的响应特性。通过分析系统对不同频率正弦信号的响应，可以了解系统的频率特性，例如幅频特性和相频特性。频域分析方法主要包括 Bode 图和 Nyquist 图。

4.3.1 Bode 图 (Bode Plots)

Bode 图，也称伯德图或对数频率响应图，是描述线性系统频率特性的常用图形工具。Bode 图由两部分组成：

① 幅频特性曲线 (Magnitude Plot)：以分贝 (dB) 为单位表示系统输出信号与输入信号幅值之比（增益）随频率变化的曲线。横坐标为频率 \( \omega \)，通常采用对数坐标 (logarithmic scale)。纵坐标为增益 \( 20\log_{10}|G(j\omega)H(j\omega)| \)。

② 相频特性曲线 (Phase Plot)：以度 (degree) 或弧度 (radian) 为单位表示系统输出信号与输入信号相位差随频率变化的曲线。横坐标为频率 \( \omega \)，通常采用对数坐标。纵坐标为相角 \( \angle G(j\omega)H(j\omega) \)。

基本环节的 Bode 图：

⚝ 比例环节 \( G(s) = K \)：幅频特性为水平直线 \( 20\log_{10}|K| \)，相频特性为水平直线 \( 0^\circ \) (当 \( K > 0 \)) 或 \( -180^\circ \) (当 \( K < 0 \))。
⚝ 积分环节 \( G(s) = \frac{1}{s} \)：幅频特性斜率为 -20dB/dec，穿越 0dB 线时频率为 \( \omega = 1 \)，相频特性为恒定 \( -90^\circ \)。
⚝ 微分环节 \( G(s) = s \)：幅频特性斜率为 +20dB/dec，穿越 0dB 线时频率为 \( \omega = 1 \)，相频特性为恒定 \( +90^\circ \)。
⚝ 一阶惯性环节 \( G(s) = \frac{1}{Ts+1} \)：低频段幅频特性为 0dB，高频段斜率为 -20dB/dec，转折频率 (corner frequency) \( \omega = \frac{1}{T} \)。相频特性从 0° 变化到 -90°，在转折频率处为 -45°。
⚝ 一阶微分环节 \( G(s) = Ts+1 \)：与一阶惯性环节相反，低频段幅频特性为 0dB，高频段斜率为 +20dB/dec，转折频率 \( \omega = \frac{1}{T} \)。相频特性从 0° 变化到 +90°，在转折频率处为 +45°。
⚝ 二阶振荡环节 \( G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \)：低频段幅频特性为 0dB，高频段斜率为 -40dB/dec，转折频率 \( \omega = \omega_n \)。当 \( \zeta < 0.707 \) 时，在转折频率附近有峰值。相频特性从 0° 变化到 -180°，在转折频率处为 -90°。

绘制 Bode 图的步骤：

1. 将开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 表示为典型环节的乘积形式。
2. 分别绘制各基本环节的 Bode 图。
3. 将各环节的幅频特性曲线和相频特性曲线分别叠加（幅频特性曲线相加，相频特性曲线相加），得到系统的 Bode 图。

Bode 图可以直观地表示系统的频率响应特性，用于分析系统的稳定性、带宽、谐振峰值等性能指标。

4.3.2 Nyquist 图 (Nyquist Plots)

Nyquist 图，也称奈奎斯特图，是另一种重要的频域分析工具。Nyquist 图是在复平面上绘制开环传递函数 \( G(j\omega)H(j\omega) \) 的轨迹，当频率 \( \omega \) 从 \( -\infty \) 变化到 \( +\infty \) 时。Nyquist 图可以直观地判断闭环系统的稳定性，并提供稳定裕度的信息。

绘制 Nyquist 图的步骤：

1. 将开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 中的 \( s \) 替换为 \( j\omega \)，得到 \( G(j\omega)H(j\omega) \)。
2. 分析 \( G(j\omega)H(j\omega) \) 在 \( \omega \) 从 \( 0^+ \) 到 \( +\infty \) 的变化趋势，得到正频率部分的 Nyquist 曲线。通常计算一些关键频率点（如 \( \omega = 0^+, \omega \rightarrow \infty \)，以及幅值或相角变化剧烈的频率点）。
3. 根据对称性绘制负频率部分的 Nyquist 曲线。对于实系数传递函数，\( G(-j\omega)H(-j\omega) \) 是 \( G(j\omega)H(j\omega) \) 的共轭，因此负频率部分的 Nyquist 曲线是正频率部分关于实轴的对称曲线。
4. 对于包含积分环节的系统，需要考虑 \( \omega = 0 \) 附近的 Nyquist 曲线。当 \( \omega \rightarrow 0^+ \) 时，若 \( G(j\omega)H(j\omega) \rightarrow \infty \)，则 Nyquist 曲线从无穷远处开始。需要分析 \( \omega \) 从 \( 0^- \) 到 \( 0^+ \) 变化时，Nyquist 曲线如何连接。通常，若有 \( n \) 个积分环节，则 Nyquist 曲线在无穷远处绕 \( n \times 180^\circ \) 圆弧连接。
5. 根据 Nyquist 判据判断闭环稳定性，并分析 Nyquist 曲线与 \((-1, j0)\) 点的关系，获取稳定裕度信息。

Nyquist 图能够提供比 Bode 图更全面的稳定性信息，尤其是在处理复杂系统和非最小相位系统时。

4.3.3 频域性能指标 (Frequency-Domain Performance Indices)

频域性能指标是基于频率响应特性来评价系统性能的指标，主要包括：

① 幅值裕度 (Gain Margin, \( GM \))：当相频特性曲线穿越 \( -180^\circ \) 时，幅频特性曲线对应的增益与 0dB 的差值。幅值裕度表示系统增益可以增加多少倍而保持稳定。通常要求 \( GM > 6dB \)。

② 相角裕度 (Phase Margin, \( PM \))：当幅频特性曲线穿越 0dB 时，相频特性曲线对应的相角与 \( -180^\circ \) 的差值。相角裕度表示系统相角可以滞后多少度而保持稳定。通常要求 \( PM > 30^\circ \) 或 \( 45^\circ \)。

③ 剪切频率 (Gain Crossover Frequency, \( \omega_g \))：幅频特性曲线穿越 0dB 时的频率。剪切频率反映了系统的响应速度，\( \omega_g \) 越大，响应速度越快。

④ 相位剪切频率 (Phase Crossover Frequency, \( \omega_p \))：相频特性曲线穿越 \( -180^\circ \) 时的频率。

⑤ 带宽 (Bandwidth, \( \omega_b \))：系统频率响应幅值下降到低频幅值的 \( -3dB \) 时的频率。带宽反映了系统的响应速度和抗干扰能力，带宽越大，响应速度越快，抗高频干扰能力越强。

⑥ 谐振峰值 (Resonance Peak, \( M_r \))：幅频特性曲线的最大峰值。谐振峰值反映了系统的阻尼程度，\( M_r \) 越大，阻尼越小，超调量越大。通常要求 \( M_r \) 在 1.1 ~ 1.5 (或 0dB ~ 3dB) 之间。

⑦ 谐振频率 (Resonance Frequency, \( \omega_r \))：谐振峰值对应的频率。

这些频域性能指标可以通过 Bode 图或 Nyquist 图直接读取或计算得到，用于评估和改进系统的性能。例如，增大相角裕度和幅值裕度可以提高系统的稳定性，增大带宽可以提高系统的响应速度，控制谐振峰值可以改善系统的瞬态响应特性。

5. chapter 5： 线性控制系统设计 (Design of Linear Control Systems)

5.1 PID 控制 (PID Control)

5.1.1 PID 控制器原理 (Principle of PID Controller)

PID 控制器 (PID controller) 是工业控制中最常用的一种反馈控制器。PID 代表比例 (Proportional)、积分 (Integral)、微分 (Derivative) 三种控制模式。PID 控制器根据系统的误差信号，通过比例、积分和微分的运算，产生控制作用，以减小误差，使系统输出稳定在期望值附近。

① 比例 (P) 控制：比例控制是最基本的控制方式。其控制输出与误差信号成比例关系。
\[ u(t) = K_p e(t) \]
其中，\( u(t) \) 是控制器的输出，\( e(t) \) 是误差信号（期望值与实际输出之差），\( K_p \) 是比例增益 (Proportional Gain)。

⚝ 比例控制的优点是响应速度快，能够及时对误差做出反应。
⚝ 比例控制的缺点是存在稳态误差 (Steady-State Error)。即使系统达到稳定状态，由于需要一定的误差来维持控制输出，因此输出量与期望值之间会存在偏差。

② 积分 (I) 控制：积分控制的作用是消除稳态误差。积分项累积误差信号，只要存在误差，积分项就会不断增大，从而驱动系统消除误差。
\[ u(t) = K_i \int_0^t e(\tau) d\tau \]
其中，\( K_i \) 是积分增益 (Integral Gain)。

⚝ 积分控制的优点是可以消除稳态误差，提高系统的控制精度。
⚝ 积分控制的缺点是响应速度较慢，积分作用的累积效应可能导致系统超调 (Overshoot) 增大，甚至引起积分饱和 (Integral Saturation) 现象，降低系统的动态性能。

③ 微分 (D) 控制：微分控制反映误差信号的变化率，具有超前控制作用。微分项对误差信号的变化趋势进行预测，可以在误差信号变化之前就产生控制作用，从而减小系统的超调，提高系统的动态响应速度和稳定性。
\[ u(t) = K_d \frac{de(t)}{dt} \]
其中，\( K_d \) 是微分增益 (Derivative Gain)。

⚝ 微分控制的优点是可以改善系统的动态性能，减小超调，提高系统的稳定性。
⚝ 微分控制的缺点是对噪声敏感，误差信号中的噪声会被放大，影响控制效果。此外，理想微分器在物理上难以实现，实际应用中通常使用近似微分。

PID 控制器的控制规律：将比例、积分和微分三种控制作用组合起来，就构成了 PID 控制器。PID 控制器的控制规律可以表示为：
\[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]
或者在拉普拉斯域 (Laplace Domain) 表示为：
\[ G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s} \]
其中，\( G_c(s) \) 是 PID 控制器的传递函数 (Transfer Function)。

PID 控制器通过调节比例增益 \( K_p \)、积分增益 \( K_i \) 和微分增益 \( K_d \) 这三个参数，可以获得不同的控制性能，以满足不同的控制需求。

5.1.2 PID 参数整定方法 (PID Parameter Tuning Methods)

PID 参数整定 (PID parameter tuning) 是 PID 控制器设计的核心环节。合适的 PID 参数能够保证系统具有良好的稳定性、快速性和准确性。PID 参数整定方法有很多种，主要可以分为理论计算整定法和实验整定法两大类。

① 理论计算整定法：理论计算整定法是基于系统的数学模型，通过理论分析和计算来确定 PID 参数。常用的理论计算整定方法包括：

⚝ 临界比例度法 (Ultimate Sensitivity Method)：也称为齐格勒-尼科尔斯 (Ziegler-Nichols) 第一方法。该方法首先将积分和微分增益设置为零，逐步增大比例增益 \( K_p \)，直到系统输出出现等幅振荡。记录此时的比例增益 \( K_{cr} \) (临界增益) 和振荡周期 \( P_{cr} \) (临界周期)。然后根据 \( K_{cr} \) 和 \( P_{cr} \) ，按照经验公式计算 PID 参数。

Ziegler-Nichols 第一方法的 PID 参数整定公式如下表所示：

其中，\( T_i = K_p / K_i \) 是积分时间常数 (Integral Time Constant)，\( T_d = K_d / K_p \) 是微分时间常数 (Derivative Time Constant)。

⚝ 响应曲线法 (Process Reaction Curve Method)：也称为齐格勒-尼科尔斯第二方法。该方法适用于具有 S 型响应曲线的系统。首先给系统施加阶跃输入 (Step Input)，记录系统的响应曲线。从响应曲线上提取两个特征参数：最大斜率切线的斜率 \( R \) 和延迟时间 \( L \)。然后根据 \( R \) 和 \( L \) ，按照经验公式计算 PID 参数。

Ziegler-Nichols 第二方法的 PID 参数整定公式如下表所示：

⚝ 内模控制 (Internal Model Control, IMC) 法：IMC 方法是一种基于模型预测的控制方法，其 PID 参数整定与系统的模型参数直接相关。IMC 方法的设计思想是使闭环系统具有期望的动态性能，通常期望闭环系统具有一阶或二阶响应特性。

② 实验整定法：实验整定法是在实际系统或仿真系统上，通过实验和调整来确定 PID 参数。常用的实验整定方法包括：

⚝ 试凑法 (Trial and Error Method)：试凑法是最简单直观的实验整定方法。首先根据经验或参考值设定一组 PID 参数，然后观察系统的响应曲线，根据响应曲线的形状，逐步调整 PID 参数，直到获得满意的控制性能。

试凑法的一般步骤如下：

▮▮▮▮ⓐ 首先调整比例增益 \( K_p \)。增大 \( K_p \) 可以加快响应速度，减小稳态误差，但过大的 \( K_p \) 会导致系统超调增大，甚至不稳定。
▮▮▮▮ⓑ 然后调整积分增益 \( K_i \)。在比例控制的基础上，增加积分控制可以消除稳态误差，但过大的 \( K_i \) 会导致系统积分饱和，响应变慢。
▮▮▮▮ⓒ 最后调整微分增益 \( K_d \)。在 PI 控制的基础上，增加微分控制可以减小超调，提高系统的动态性能，但过大的 \( K_d \) 会使系统对噪声敏感。

在试凑过程中，可以遵循以下经验规律：

▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 先比例，后积分，再微分 (Tune \(K_p\) first, then \(K_i\), and finally \(K_d\)).
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 先粗调，后微调 (Rough tuning first, then fine tuning).
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 结合实际，反复调整 (Adjust repeatedly based on practical results).

⚝ 基于优化的整定方法 (Optimization-Based Tuning Methods)：基于优化的整定方法是将 PID 参数整定问题转化为一个优化问题，通过优化算法自动搜索最优的 PID 参数。常用的优化算法包括梯度下降法 (Gradient Descent Method)、遗传算法 (Genetic Algorithm)、粒子群优化算法 (Particle Swarm Optimization) 等。

⚝ 自动整定 (Auto-tuning) 技术：现代 PID 控制器通常具有自动整定功能。自动整定技术通过一定的实验方法（如继电器反馈实验），自动辨识系统的动态特性，并根据预设的整定规则或优化算法，自动计算 PID 参数。自动整定技术大大简化了 PID 参数整定的过程，提高了整定效率。

选择合适的 PID 参数整定方法需要根据具体的系统特性和控制要求来决定。对于模型精确已知的系统，可以采用理论计算整定法；对于模型难以获取或精度不高的系统，可以采用实验整定法或自动整定技术。在实际应用中，常常需要将理论计算和实验调整相结合，才能获得最佳的控制效果。

5.2 根轨迹法 (Root Locus Method)

5.2.1 根轨迹绘制规则 (Rules for Plotting Root Locus)

根轨迹 (Root Locus) 是开环系统某一参数（通常是开环增益）从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 s 平面 (s-plane) 上 loci 的集合。根轨迹法 (Root Locus Method) 是一种图解方法，用于分析和设计线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTI) 闭环控制系统。通过绘制根轨迹，可以直观地了解闭环系统极点 (Poles) 随开环增益变化的规律，从而分析系统的稳定性、动态性能，并进行控制器设计。

绘制根轨迹需要遵循一系列规则。考虑单位负反馈系统，其开环传递函数为 \( G(s)H(s) \)，闭环传递函数为 \( \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \)。闭环特征方程为 \( 1+G(s)H(s) = 0 \)，或 \( G(s)H(s) = -1 \)。设 \( G(s)H(s) = \frac{K B(s)}{A(s)} \)，其中 \( K \) 是开环增益，\( B(s) \) 和 \( A(s) \) 是多项式。则闭环特征方程为 \( A(s) + K B(s) = 0 \)。根轨迹是当 \( K \) 从 0 变化到 \( \infty \) 时，该特征方程的根在 s 平面上的轨迹。

根轨迹绘制规则如下：

① 根轨迹的起点和终点 (Start and End Points of Root Locus)：当 \( K = 0 \) 时，闭环特征方程变为 \( A(s) = 0 \)，闭环极点与开环极点重合。因此，根轨迹的起点为开环极点。当 \( K \to \infty \) 时，闭环特征方程近似为 \( B(s) = 0 \)，闭环极点趋于开环零点。如果开环零点个数少于开环极点个数，则剩余的根轨迹分支将趋于无穷远处。因此，根轨迹的终点为开环零点或无穷远处。

② 根轨迹的分支数 (Number of Root Locus Branches)：根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数，也等于开环传递函数极点的个数 \( n \)。每一分支始于一个开环极点，终于一个开环零点或无穷远处。

③ 根轨迹的对称性 (Symmetry of Root Locus)：由于闭环特征方程的系数均为实数，因此其根（闭环极点）要么是实数，要么是共轭复数对。所以，根轨迹关于实轴对称。

④ 实轴上的根轨迹 (Root Locus on the Real Axis)：实轴上的某一点 \( s \) 在根轨迹上，当且仅当开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 在该点右侧的实轴上的开环极点和零点个数之和为奇数。实轴上的根轨迹总是位于实轴上开环极点和零点之间，或者位于最右端的开环极点右侧或最左端的开环零点左侧。

⑤ 根轨迹的渐近线 (Asymptotes of Root Locus)：当根轨迹趋于无穷远处时，其渐近线存在。渐近线的条数 \( m = n - z \)，其中 \( n \) 是开环极点个数，\( z \) 是开环零点个数。渐近线与实轴的交点（渐近线中心） \( \sigma_a \) 和渐近线与实轴的夹角 \( \theta_a \) 可以通过以下公式计算：
\[ \sigma_a = \frac{\sum_{i=1}^n p_i - \sum_{j=1}^z z_j}{n - z} \]
\[ \theta_a = \frac{(2k+1) \pi}{n - z}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, m-1 \]
其中，\( p_i \) 是开环极点，\( z_j \) 是开环零点。

⑥ 根轨迹的分离点和会合点 (Breakaway and Break-in Points)：分离点 (Breakaway Point) 是指根轨迹从实轴分离出去的点，会合点 (Break-in Point) 是指根轨迹会合到实轴上的点。分离点和会合点是根轨迹上重根点，可以通过求解方程 \( \frac{dK}{ds} = 0 \) 或 \( \frac{d}{ds} [G(s)H(s)] = 0 \) 得到。分离点通常位于两个相邻的开环极点之间，会合点通常位于两个相邻的开环零点之间，或者位于开环极点和零点之间。

⑦ 根轨迹与虚轴的交点 (Intersection with Imaginary Axis)：根轨迹与虚轴的交点对应于闭环系统临界稳定的情况。可以通过劳斯判据 (Routh-Hurwitz Criterion) 或令闭环特征方程的 \( s = j\omega \) ，然后分离实部和虚部，解方程组得到交点和对应的开环增益 \( K \)。

⑧ 根轨迹的出射角和入射角 (Departure and Arrival Angles)：根轨迹从复数开环极点出发的出射角 (Departure Angle) 和到达复数开环零点的入射角 (Arrival Angle) 可以通过相角条件计算。对于复数开环极点 \( p_i \)，其出射角为 \( 180^\circ + \angle G(p_i)H(p_i) \) (不计 \( p_i \) 本身提供的相角)。对于复数开环零点 \( z_j \)，其入射角为 \( 180^\circ - \angle G(z_j)H(z_j) \) (不计 \( z_j \) 本身提供的相角)。

综合运用以上规则，可以绘制出较为精确的根轨迹图。绘制根轨迹图是进行根轨迹分析和设计的基础。

5.2.2 基于根轨迹的控制器设计 (Controller Design Based on Root Locus)

根轨迹法不仅可以用于分析系统性能，还可以用于控制器设计。基于根轨迹的控制器设计主要是通过调整开环增益 \( K \) 或在开环系统中增加合适的控制器（如比例-微分 (PD) 控制器、比例-积分 (PI) 控制器、超前-滞后 (Lead-Lag) 控制器等），来改变根轨迹的形状，使闭环极点位于 s 平面上的期望区域，从而获得期望的闭环系统性能。

① 调整开环增益 \( K \) 的设计：通过调整开环增益 \( K \)，可以改变闭环极点在根轨迹上的位置，从而调整系统的动态性能。

⚝ 稳定性设计：为了保证闭环系统的稳定性，需要选择合适的 \( K \) 值，使闭环极点位于 s 平面的左半平面。通过根轨迹图，可以直观地确定使系统稳定的 \( K \) 值范围。临界稳定增益 \( K_{cr} \) 对应于根轨迹与虚轴的交点。

⚝ 动态性能设计：通过选择合适的 \( K \) 值，可以调整闭环系统的阻尼比 \( \zeta \) 和自然频率 \( \omega_n \)，从而满足对超调量、调节时间等动态性能指标的要求。在 s 平面上，阻尼比 \( \zeta \) 对应的闭环极点位于与负实轴夹角为 \( \theta = \arccos \zeta \) 的射线上，自然频率 \( \omega_n \) 对应的闭环极点位于半径为 \( \omega_n \) 的圆弧上。根据期望的 \( \zeta \) 和 \( \omega_n \) ，可以在 s 平面上确定期望的闭环极点区域，然后在根轨迹上选择合适的 \( K \) 值，使闭环极点尽可能接近期望区域。

② 增加串联控制器的设计：当仅调整开环增益 \( K \) 无法满足控制性能要求时，需要在开环系统中串联控制器，通过改变开环传递函数的极点和零点分布，来改变根轨迹的形状，从而改善闭环系统性能。常用的串联控制器包括：

⚝ PD 控制器：PD 控制器的传递函数为 \( G_c(s) = K_c (s + z_c) \)，其中 \( K_c \) 是控制器增益，\( -z_c \) 是控制器的零点。PD 控制器在开环系统中增加一个零点，可以使根轨迹向左弯曲，提高系统的阻尼比，减小超调，加快响应速度。PD 控制器主要用于改善系统的动态性能。

⚝ PI 控制器：PI 控制器的传递函数为 \( G_c(s) = K_c \frac{s + z_c}{s} \)，其中 \( K_c \) 是控制器增益，\( -z_c \) 是控制器的零点。PI 控制器在开环系统中增加一个极点（原点）和一个零点。增加的极点可以提高系统的型别，消除稳态误差。零点的作用类似于 PD 控制器，可以改善系统的动态性能。PI 控制器主要用于消除稳态误差，同时兼顾动态性能。

⚝ 超前-滞后控制器：超前-滞后控制器的传递函数为 \( G_c(s) = K_c \frac{s + z_1}{s + p_1} \frac{s + z_2}{s + p_2} \)。超前控制器 (Lead Controller, \( z_1 < p_1 \)) 主要用于改善系统的动态性能，提高系统的响应速度和稳定性裕度 (Stability Margin)。滞后控制器 (Lag Controller, \( z_2 > p_2 \)) 主要用于改善系统的稳态性能，减小稳态误差。超前-滞后控制器综合了超前和滞后控制器的优点，可以同时改善系统的动态性能和稳态性能。

基于根轨迹进行控制器设计的步骤通常包括：

▮▮▮▮ⓐ 分析系统性能要求，确定期望的闭环极点区域。
▮▮▮▮ⓑ 绘制系统的根轨迹图。
▮▮▮▮ⓒ 判断是否需要增加控制器。如果仅调整开环增益 \( K \) 即可满足性能要求，则直接在根轨迹上选择合适的 \( K \) 值。
▮▮▮▮ⓓ 如果需要增加控制器，根据性能要求选择合适的控制器类型（PD、PI、超前、滞后或超前-滞后控制器）。
▮▮▮▮ⓔ 根据根轨迹法设计控制器的参数（零点、极点、增益）。通过调整控制器的参数，改变根轨迹的形状，使闭环极点进入期望区域。
▮▮▮▮ⓕ 验证设计结果。通过仿真或实验验证闭环系统的性能是否满足要求。如果不满足，则需要重新调整控制器参数或重新选择控制器类型。

根轨迹法是一种直观有效的控制器设计方法，尤其适用于单输入单输出 (Single-Input Single-Output, SISO) 线性时不变系统的设计。通过根轨迹图，可以清晰地了解闭环极点随开环增益和控制器参数变化的规律，从而进行有效的控制器设计。

5.3 频域设计方法 (Frequency-Domain Design Methods)

5.3.1 Bode 图设计 (Bode Plot Design)

Bode 图 (Bode Plot) 是频域分析 (Frequency-Domain Analysis) 的重要工具，由幅频特性曲线 (Magnitude Plot) 和相频特性曲线 (Phase Plot) 两部分组成。幅频特性曲线描述系统输出信号与输入信号幅值之比随频率变化的规律，相频特性曲线描述系统输出信号与输入信号相位差随频率变化的规律。Bode 图设计 (Bode Plot Design) 是利用 Bode 图进行控制器设计的方法，主要通过调整开环系统的幅频特性和相频特性，使闭环系统满足期望的频域性能指标，如幅值裕度 (Gain Margin, GM)、相角裕度 (Phase Margin, PM)、截止频率 (Crossover Frequency) 等。

Bode 图设计的基本思想是整形开环 Bode 图，使其在期望的频率范围内具有合适的幅值和相位特性。常用的 Bode 图设计方法包括：

① 串联校正 (Series Compensation)：串联校正是在开环系统的前向通道串联一个或多个校正网络（控制器），以改变开环系统的 Bode 图形状，从而改善闭环系统性能。常用的串联校正网络包括：

⚝ 比例 (P) 校正：比例校正器是一个比例环节，其传递函数为 \( G_c(s) = K_c \)。比例校正器只改变开环系统的幅频特性曲线，使其整体上下平移，不改变相频特性曲线。增大 \( K_c \) 可以提高系统的开环增益，加快响应速度，减小稳态误差，但可能降低系统的稳定性裕度。

⚝ 超前校正 (Lead Compensation)：超前校正器的传递函数为 \( G_c(s) = K_c \frac{1 + \alpha T s}{1 + T s} \)，其中 \( \alpha > 1 \)。超前校正器在频率为 \( 1/(\alpha T) \) 处引入一个零点，在频率为 \( 1/T \) 处引入一个极点，且零点频率低于极点频率。超前校正器主要在相位上提供超前补偿，在穿越频率 (Crossover Frequency) 附近增加相角裕度，提高系统的稳定性和快速性。同时，超前校正器也会提高高频段的幅值，可能增大噪声的影响。

⚝ 滞后校正 (Lag Compensation)：滞后校正器的传递函数为 \( G_c(s) = K_c \frac{1 + T s}{1 + \beta T s} \)，其中 \( \beta > 1 \)。滞后校正器在频率为 \( 1/(\beta T) \) 处引入一个极点，在频率为 \( 1/T \) 处引入一个零点，且极点频率低于零点频率。滞后校正器主要在幅值上提供衰减，在高频段衰减幅值，在低频段保持幅值不变。滞后校正器主要用于提高系统的稳态精度，减小稳态误差。同时，滞后校正器会降低穿越频率，可能降低系统的响应速度。

⚝ 超前-滞后校正 (Lead-Lag Compensation)：超前-滞后校正器综合了超前校正器和滞后校正器的优点，其传递函数为 \( G_c(s) = K_c \frac{1 + \alpha T_1 s}{1 + T_1 s} \frac{1 + T_2 s}{1 + \beta T_2 s} \)，其中 \( \alpha > 1, \beta > 1 \)。超前-滞后校正器既可以提供相位超前补偿，提高系统的稳定性和快速性，又可以提供幅值衰减，提高系统的稳态精度。超前-滞后校正器是一种常用的综合性能较好的校正网络。

② Bode 图设计步骤：基于 Bode 图进行串联校正的设计步骤通常包括：

▮▮▮▮ⓐ 分析系统性能要求，确定期望的频域性能指标，如相角裕度 PM、幅值裕度 GM、截止频率 \( \omega_c \) 等。
▮▮▮▮ⓑ 绘制开环系统的 Bode 图。
▮▮▮▮ⓒ 根据性能要求选择合适的校正网络类型（比例、超前、滞后、超前-滞后校正器）。
▮▮▮▮ⓓ 设计校正网络参数。根据期望的性能指标，调整校正网络参数（如 \( K_c, T, \alpha, \beta \) 等），使校正后的开环系统 Bode 图满足性能要求。设计过程中，通常需要反复调整参数，并绘制校正后的 Bode 图进行验证。
▮▮▮▮ⓔ 验证设计结果。通过仿真或实验验证闭环系统的性能是否满足要求。如果不满足，则需要重新调整校正网络参数或重新选择校正网络类型。

在 Bode 图设计中，相角裕度 PM 是衡量系统稳定性的重要指标，通常期望 PM 在 \( 30^\circ \sim 60^\circ \) 之间。幅值裕度 GM 也是衡量系统稳定性的指标，通常期望 GM 大于 6dB。截止频率 \( \omega_c \) 反映系统的响应速度，\( \omega_c \) 越大，系统响应速度越快。

Bode 图设计方法直观、简便，适用于线性时不变系统的控制器设计。通过 Bode 图，可以清晰地了解频率响应特性，并进行有效的校正网络设计，以满足系统的性能要求。

5.3.2 Nyquist 图设计 (Nyquist Plot Design)

Nyquist 图 (Nyquist Plot) 是另一种重要的频域分析工具，它是开环传递函数 \( G(j\omega)H(j\omega) \) 在复平面上的轨迹，当频率 \( \omega \) 从 \( -\infty \) 变化到 \( +\infty \) 时绘制而成。Nyquist 图设计 (Nyquist Plot Design) 是利用 Nyquist 图进行控制器设计的方法，主要基于 Nyquist 稳定性判据 (Nyquist Stability Criterion) 和 Nyquist 图的几何特性，来分析和设计闭环系统的稳定性，并进行控制器设计。

Nyquist 稳定性判据是频域稳定性的重要判据，它基于开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 的 Nyquist 图，判断闭环系统的稳定性。Nyquist 稳定性判据可以表述为：

设开环传递函数 \( G(s)H(s) \) 具有 \( P \) 个位于 s 平面右半平面的极点，Nyquist 图逆时针包围临界点 \( (-1, j0) \) 的圈数为 \( N \)。则闭环系统稳定的充要条件是 \( Z = N + P = 0 \)，即 Nyquist 图逆时针包围临界点 \( (-1, j0) \) 的圈数 \( N \) 等于 \( -P \)，或者说，如果开环系统在右半平面没有极点（\( P = 0 \)), 则闭环系统稳定的充要条件是 Nyquist 图不包围临界点 \( (-1, j0) \)。

Nyquist 图设计的主要思想是整形开环 Nyquist 图，使其满足 Nyquist 稳定性判据，并具有足够的稳定裕度。常用的 Nyquist 图设计方法也包括串联校正，常用的校正网络类型与 Bode 图设计类似，包括比例校正、超前校正、滞后校正、超前-滞后校正等。

① Nyquist 图设计步骤：基于 Nyquist 图进行串联校正的设计步骤通常包括：

▮▮▮▮ⓐ 分析系统性能要求，确定期望的稳定裕度，如相角裕度 PM、幅值裕度 GM 等。在 Nyquist 图上，相角裕度 PM 对应于 Nyquist 图与单位圆交点处的相角与 \( -180^\circ \) 的差值，幅值裕度 GM 对应于 Nyquist 图与负实轴交点处的幅值倒数的绝对值。
▮▮▮▮ⓑ 绘制开环系统的 Nyquist 图。
▮▮▮▮ⓒ 根据性能要求选择合适的校正网络类型（比例、超前、滞后、超前-滞后校正器）。
▮▮▮▮ⓓ 设计校正网络参数。根据期望的稳定裕度，调整校正网络参数，使校正后的开环系统 Nyquist 图满足性能要求。设计过程中，需要反复调整参数，并绘制校正后的 Nyquist 图进行验证。
▮▮▮▮ⓔ 验证设计结果。通过仿真或实验验证闭环系统的性能是否满足要求。如果不满足，则需要重新调整校正网络参数或重新选择校正网络类型。

在 Nyquist 图设计中，稳定裕度是保证系统稳定性的重要指标。相角裕度 PM 和幅值裕度 GM 越大，系统的稳定性越好。通常期望 PM 在 \( 30^\circ \sim 60^\circ \) 之间，GM 大于 6dB。

Nyquist 图设计方法与 Bode 图设计方法类似，都是频域设计方法，但 Nyquist 图能够更直观地反映系统的稳定性，尤其适用于分析具有延迟环节的系统。在实际应用中，Bode 图和 Nyquist 图常常结合使用，以综合分析和设计控制系统。

6. chapter 6： 状态空间控制系统 (State Space Control Systems)

6.1 状态反馈与极点配置 (State Feedback and Pole Placement)

6.1.1 可控性与可控性判据 (Controllability and Controllability Criterion)

在状态空间控制理论中，可控性 (Controllability) 是一个至关重要的概念。它描述了通过控制输入，将系统从任意初始状态转移到任意期望状态的能力。如果一个系统是可控的，这意味着我们可以设计合适的控制策略，来完全掌控系统的行为。反之，如果系统不可控，则意味着存在某些状态，我们无法通过输入来影响或改变。

定义 6.1.1 (可控性)：一个系统被称为是状态完全可控 (state controllable) 的，如果在有限时间内，通过施加适当的控制输入，可以将系统从任意初始状态转移到状态空间中的任意目标状态。

对于线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTI) 系统，其状态空间表达式为：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \]
\[ \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \]
其中，\( \mathbf{x}(t) \) 是 \( n \times 1 \) 状态向量，\( \mathbf{u}(t) \) 是 \( m \times 1 \) 控制输入向量，\( \mathbf{y}(t) \) 是 \( p \times 1 \) 输出向量，\( \mathbf{A} \)、\( \mathbf{B} \)、\( \mathbf{C} \)、\( \mathbf{D} \) 分别是具有适当维度的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和前馈矩阵。

可控性判据 (Controllability Criterion) 提供了判断系统是否可控的方法。最常用的判据是基于可控性矩阵 (Controllability Matrix) 的秩 (rank) 条件。

定理 6.1.1 (可控性判据 - 秩判据)：线性时不变系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{B}) \) 是状态完全可控的，当且仅当其可控性矩阵 \( \mathcal{C} \) 满秩，即 \( \text{rank}(\mathcal{C}) = n \)，其中 \( n \) 是状态向量的维数，可控性矩阵 \( \mathcal{C} \) 定义为：
\[ \mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{AB} & \mathbf{A}^2\mathbf{B} & \cdots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix} \]
可控性矩阵 \( \mathcal{C} \) 是一个 \( n \times nm \) 矩阵。

证明思路 (简要说明)：
可控性判据的证明涉及到线性代数中的 Cayley-Hamilton 定理 (Cayley-Hamilton Theorem) 和 线性无关 (linear independence) 的概念。简而言之，如果可控性矩阵满秩，意味着我们可以通过输入 \( \mathbf{u}(t) \) 的线性组合，生成状态空间中的任意方向，从而实现状态的任意转移。

例 6.1.1 (可控性分析)：考虑一个二阶系统，其状态空间方程为：
\[ \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \]
\[ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \]
系统矩阵 \( \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \)，输入矩阵 \( \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
计算可控性矩阵 \( \mathcal{C} \)：
\[ \mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{AB} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \]
计算 \( \mathcal{C} \) 的秩：
\[ \text{det}(\mathcal{C}) = (0)(-3) - (1)(1) = -1 \neq 0 \]
由于 \( \text{det}(\mathcal{C}) \neq 0 \)，因此 \( \text{rank}(\mathcal{C}) = 2 = n \)。根据可控性判据，该系统是状态完全可控的。

物理意义：可控性从物理意义上来说，意味着我们可以通过控制输入有效地影响系统的所有状态变量。如果系统不可控，则至少有一个状态变量无法通过输入来调节，这在控制系统设计中是一个严重的问题。

6.1.2 状态反馈控制器设计 (State Feedback Controller Design)

状态反馈 (State Feedback) 是控制系统设计中的一种核心技术，它利用系统的状态变量信息来构造控制律，从而实现对系统性能的优化和改善。状态反馈控制器的基本思想是将状态向量 \( \mathbf{x}(t) \) 通过一个反馈增益矩阵 (feedback gain matrix) \( \mathbf{K} \) 反馈到输入端，形成闭环控制系统。

对于线性时不变系统：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \]
状态反馈控制律通常设计为：
\[ \mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t) \]
其中，\( \mathbf{K} \) 是 \( m \times n \) 状态反馈增益矩阵，\( \mathbf{v}(t) \) 是外部参考输入 (例如，设定值)。为了简化分析，我们先考虑调节器问题 (regulator problem)，即 \( \mathbf{v}(t) = \mathbf{0} \)，此时控制律为：
\[ \mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\mathbf{x}(t) \]
将状态反馈控制律代入系统状态方程，得到闭环系统状态方程：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(-\mathbf{K}\mathbf{x}(t)) = (\mathbf{A} - \mathbf{BK})\mathbf{x}(t) \]
令 \( \mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{BK} \) 为闭环系统矩阵。闭环系统的动态特性完全由 \( \mathbf{A}_{cl} \) 的特征值决定。状态反馈设计的核心目标就是通过合理选择反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \)，使得闭环系统矩阵 \( \mathbf{A}_{cl} \) 具有期望的特征值，从而实现期望的系统性能，例如稳定性、响应速度和阻尼比等。

状态反馈控制器的优势：
① 直接控制系统动态性能：通过配置闭环系统的特征值 (极点)，可以精确地调整系统的动态响应特性。
② 改善系统稳定性：对于开环不稳定的系统，可以通过状态反馈使其闭环稳定。
③ 实现解耦控制：在多输入多输出 (Multiple-Input Multiple-Output, MIMO) 系统中，状态反馈可以用于实现通道之间的解耦，简化控制设计。

状态反馈控制器的局限性：
① 需要完全状态信息：状态反馈需要测量或估计系统的所有状态变量。在实际应用中，并非所有状态变量都容易直接测量，这时需要借助状态观测器 (state observer) 来估计状态。
② 对模型精度要求较高：状态反馈设计的性能依赖于系统模型的准确性。如果模型误差较大，可能会导致实际性能与设计性能不符。

6.1.3 极点配置方法 (Pole Placement Method)

极点配置 (Pole Placement)，也称为特征值配置 (Eigenvalue Assignment)，是状态反馈控制设计中的一种重要方法。其目标是通过选择合适的反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \)，将闭环系统矩阵 \( \mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{BK} \) 的特征值配置到期望的位置，从而实现期望的动态性能。

极点配置定理 (Pole Placement Theorem)：如果系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{B}) \) 是状态完全可控的，则可以通过状态反馈将闭环系统的 \( n \) 个极点配置到任意期望的位置 (在复平面上共轭极点成对出现)。

极点配置的设计步骤：
① 系统可控性验证：首先，检验系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{B}) \) 是否可控。如果不可控，则无法任意配置所有极点。
② 期望闭环极点确定：根据期望的系统性能指标 (如响应速度、阻尼比等)，确定期望的闭环极点 \( \{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \} \)。注意，如果期望极点中有复数极点，则必须共轭成对出现，以保证反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \) 是实数矩阵。
③ 特征多项式比较法：
▮▮▮▮⚝ 期望特征多项式：根据期望闭环极点 \( \{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \} \) 构造期望特征多项式 \( \alpha_c(s) \)：
\[ \alpha_c(s) = (s - \lambda_1)(s - \lambda_2)\cdots(s - \lambda_n) = s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \alpha_1s + \alpha_0 \]
▮▮▮▮⚝ 闭环特征多项式：计算闭环系统矩阵 \( \mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{BK} \) 的特征多项式 \( \text{det}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}_{cl}) \)。设 \( \mathbf{K} = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_n \end{bmatrix} \) (假设单输入系统，\( \mathbf{B} \) 为 \( n \times 1 \) 列向量，\( \mathbf{K} \) 为 \( 1 \times n \) 行向量)，则 \( \mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{B}\begin{bmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_n \end{bmatrix} \)。
▮▮▮▮⚝ 系数匹配：将闭环特征多项式与期望特征多项式的系数进行比较，得到关于 \( k_1, k_2, \ldots, k_n \) 的线性方程组。解此方程组即可求得状态反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \)。

④ Ackermann 公式 (Ackermann's Formula)：对于单输入单输出 (Single-Input Single-Output, SISO) 可控系统，Ackermann 公式提供了一种直接计算状态反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \) 的方法。
\[ \mathbf{K} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathcal{C}^{-1} \alpha_c(\mathbf{A}) \]
其中，\( \mathcal{C} \) 是可控性矩阵，\( \alpha_c(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^n + \alpha_{n-1}\mathbf{A}^{n-1} + \cdots + \alpha_1\mathbf{A} + \alpha_0\mathbf{I} \)，\( \alpha_c(s) = s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \alpha_1s + \alpha_0 \) 是期望特征多项式。

例 6.1.2 (极点配置设计)：对于例 6.1.1 中的系统，期望闭环极点为 \( \lambda_1 = -2, \lambda_2 = -4 \)。
期望特征多项式为 \( \alpha_c(s) = (s + 2)(s + 4) = s^2 + 6s + 8 \)。
设状态反馈增益矩阵为 \( \mathbf{K} = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} \)。
闭环系统矩阵 \( \mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{BK} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2-k_1 & -3-k_2 \end{bmatrix} \)。
闭环特征多项式为：
\[ \text{det}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}_{cl}) = \text{det}\begin{bmatrix} s & -1 \\ 2+k_1 & s+3+k_2 \end{bmatrix} = s(s+3+k_2) - (-1)(2+k_1) = s^2 + (3+k_2)s + (2+k_1) \]
比较系数，得到方程组：
\[ 3 + k_2 = 6 \Rightarrow k_2 = 3 \]
\[ 2 + k_1 = 8 \Rightarrow k_1 = 6 \]
因此，状态反馈增益矩阵为 \( \mathbf{K} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \end{bmatrix} \)。状态反馈控制律为 \( u = -\begin{bmatrix} 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = -6x_1 - 3x_2 \)。

多输入系统极点配置：对于多输入系统，由于控制输入维度增加，极点配置的自由度也增加。通常情况下，对于 \( m \) 输入系统，可以配置 \( n \) 个极点，并且还可以利用额外的自由度来优化其他性能指标，例如鲁棒性等。多输入系统的极点配置方法相对复杂，可以使用基于变换的方法或优化方法来求解反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \)。

6.2 观测器设计 (Observer Design)

6.2.1 可观测性与可观测性判据 (Observability and Observability Criterion)

可观测性 (Observability) 是状态空间控制理论中的另一个核心概念，与可控性对偶。可观测性描述了通过系统的输出测量，来推断系统内部状态的能力。如果一个系统是可观测的，这意味着我们可以通过观测系统的输出信号，来估计出系统的所有状态变量。反之，如果系统不可观测，则意味着存在某些状态，我们无法通过输出测量来得知。

定义 6.2.1 (可观测性)：一个系统被称为是状态完全可观测 (state observable) 的，如果在有限时间内，通过测量系统的输出 \( \mathbf{y}(t) \) 和输入 \( \mathbf{u}(t) \)，可以唯一地确定系统的初始状态 \( \mathbf{x}(0) \)。

对于线性时不变系统：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \]
\[ \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \]

可观测性判据 (Observability Criterion) 提供了判断系统是否可观测的方法。最常用的判据是基于可观测性矩阵 (Observability Matrix) 的秩条件。

定理 6.2.1 (可观测性判据 - 秩判据)：线性时不变系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{C}) \) 是状态完全可观测的，当且仅当其可观测性矩阵 \( \mathcal{O} \) 满秩，即 \( \text{rank}(\mathcal{O}) = n \)，其中 \( n \) 是状态向量的维数，可观测性矩阵 \( \mathcal{O} \) 定义为：
\[ \mathcal{O} = \begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{CA} \\ \mathbf{CA}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{CA}^{n-1} \end{bmatrix} \]
可观测性矩阵 \( \mathcal{O} \) 是一个 \( np \times n \) 矩阵。

证明思路 (简要说明)：
可观测性判据的证明也与线性代数相关。满秩的可观测性矩阵保证了从输出 \( \mathbf{y}(t) \) 到状态 \( \mathbf{x}(0) \) 的映射是唯一的，从而可以通过输出信息反推出初始状态。

例 6.2.1 (可观测性分析)：考虑例 6.1.1 中的系统，系统矩阵 \( \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \)，输出矩阵 \( \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \)。
计算可观测性矩阵 \( \mathcal{O} \)：
\[ \mathcal{O} = \begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{CA} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
计算 \( \mathcal{O} \) 的秩：
\[ \text{det}(\mathcal{O}) = (1)(1) - (0)(0) = 1 \neq 0 \]
由于 \( \text{det}(\mathcal{O}) \neq 0 \)，因此 \( \text{rank}(\mathcal{O}) = 2 = n \)。根据可观测性判据，该系统是状态完全可观测的。

物理意义：可观测性从物理意义上来说，意味着我们可以通过测量系统的输出信号，间接地了解系统的内部状态。如果系统不可观测，则至少有一个状态变量的信息无法从输出中获取，这会限制我们对系统的全面了解和有效控制。

可控性与可观测性的对偶性 (Duality)：可控性与可观测性之间存在深刻的对偶关系。系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{B}) \) 可控，等价于系统 \( (\mathbf{A}^T, \mathbf{B}^T) \) 可观测。同样，系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{C}) \) 可观测，等价于系统 \( (\mathbf{A}^T, \mathbf{C}^T) \) 可控。这种对偶性在控制理论中非常重要，很多关于可控性的结论可以很容易地推广到可观测性，反之亦然。

6.2.2 全维观测器 (Full-Order Observer)

状态观测器 (State Observer)，也称为状态估计器 (State Estimator)，用于在系统状态变量无法直接测量时，根据系统的输入和输出信息，估计系统的状态变量。全维观测器 (Full-Order Observer) 估计系统的所有状态变量，即使某些状态变量可以直接测量。

对于线性时不变系统：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \]
\[ \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \]
假设 \( \mathbf{D} = \mathbf{0} \) 以简化分析 (包含 \( \mathbf{D} \) 矩阵的情况可以类似推导)。全维观测器的结构通常设计为：
\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) + \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)) \]
其中，\( \hat{\mathbf{x}}(t) \) 是状态 \( \mathbf{x}(t) \) 的估计值，\( \mathbf{L} \) 是 \( n \times p \) 观测器增益矩阵 (observer gain matrix)。观测器方程的结构与系统方程类似，但增加了一个校正项 (correction term) \( \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)) \)。这个校正项利用实际输出 \( \mathbf{y}(t) \) 与估计输出 \( \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t) \) 之间的误差，来修正状态估计 \( \hat{\mathbf{x}}(t) \)，使其更接近真实状态 \( \mathbf{x}(t) \)。

定义状态估计误差 \( \mathbf{e}(t) = \mathbf{x}(t) - \hat{\mathbf{x}}(t) \)。将系统状态方程和观测器方程相减，得到误差动态方程：
\[ \dot{\mathbf{e}}(t) = \dot{\mathbf{x}}(t) - \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = (\mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)) - (\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) + \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t))) \]
\[ \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{A}(\mathbf{x}(t) - \hat{\mathbf{x}}(t)) - \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)) = \mathbf{A}\mathbf{e}(t) - \mathbf{L}(\mathbf{C}\mathbf{x}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)) \]
\[ \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{e}(t) - \mathbf{L}\mathbf{C}(\mathbf{x}(t) - \hat{\mathbf{x}}(t)) = (\mathbf{A} - \mathbf{LC})\mathbf{e}(t) \]
令 \( \mathbf{A}_{e} = \mathbf{A} - \mathbf{LC} \) 为观测器误差系统矩阵。状态估计误差的动态特性由 \( \mathbf{A}_{e} \) 的特征值决定。观测器设计的核心目标是选择合适的观测器增益矩阵 \( \mathbf{L} \)，使得误差系统矩阵 \( \mathbf{A}_{e} \) 具有期望的特征值，从而保证状态估计误差 \( \mathbf{e}(t) \) 能够快速收敛到零，即 \( \hat{\mathbf{x}}(t) \rightarrow \mathbf{x}(t) \)。

观测器极点配置：与状态反馈极点配置类似，如果系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{C}) \) 是状态完全可观测的，则可以通过选择合适的观测器增益矩阵 \( \mathbf{L} \)，将观测器误差系统矩阵 \( \mathbf{A}_{e} = \mathbf{A} - \mathbf{LC} \) 的特征值配置到任意期望的位置。通常，为了保证状态估计的快速性，观测器极点应比闭环控制系统极点更快 (更负)。

观测器增益矩阵 \( \mathbf{L} \) 的计算方法：
① 对偶原理：利用可控性与可观测性的对偶性，可以将观测器设计问题转化为一个对偶的状态反馈极点配置问题。系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{C}) \) 的观测器设计，等价于系统 \( (\mathbf{A}^T, \mathbf{C}^T) \) 的状态反馈设计。因此，可以将极点配置方法 (如特征多项式比较法、Ackermann 公式) 应用于 \( (\mathbf{A}^T, \mathbf{C}^T) \)，求得反馈增益矩阵 \( \mathbf{K}_o \)，则观测器增益矩阵 \( \mathbf{L} = \mathbf{K}_o^T \)。
② Ackermann 公式 (对偶形式)：对于单输出系统，Ackermann 公式的对偶形式可以直接计算观测器增益矩阵 \( \mathbf{L} \)。
\[ \mathbf{L} = \alpha_e(\mathbf{A}) (\mathcal{O}^T)^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
其中，\( \mathcal{O} \) 是可观测性矩阵，\( \alpha_e(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^n + \alpha_{e,n-1}\mathbf{A}^{n-1} + \cdots + \alpha_{e,1}\mathbf{A} + \alpha_{e,0}\mathbf{I} \)，\( \alpha_e(s) = s^n + \alpha_{e,n-1}s^{n-1} + \cdots + \alpha_{e,1}s + \alpha_{e,0} \) 是期望观测器误差特征多项式。

例 6.2.2 (全维观测器设计)：对于例 6.1.1 中的系统，设计一个全维观测器，期望观测器误差极点为 \( \mu_1 = -5, \mu_2 = -5 \)。
期望观测器误差特征多项式为 \( \alpha_e(s) = (s + 5)^2 = s^2 + 10s + 25 \)。
利用对偶原理，考虑系统 \( (\mathbf{A}^T, \mathbf{C}^T) \)：
\( \mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{C}^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)。
设反馈增益矩阵为 \( \mathbf{K}_o = \begin{bmatrix} k_{o1} & k_{o2} \end{bmatrix} \)。
闭环系统矩阵 \( \mathbf{A}_{cl}^o = \mathbf{A}^T - \mathbf{C}^T\mathbf{K}_o = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{o1} & k_{o2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -k_{o1} & -2-k_{o2} \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \)。
闭环特征多项式为：
\[ \text{det}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}_{cl}^o) = \text{det}\begin{bmatrix} s+k_{o1} & 2+k_{o2} \\ -1 & s+3 \end{bmatrix} = (s+k_{o1})(s+3) - (2+k_{o2})(-1) = s^2 + (3+k_{o1})s + (3k_{o1} + 2 + k_{o2}) \]
比较系数，得到方程组：
\[ 3 + k_{o1} = 10 \Rightarrow k_{o1} = 7 \]
\[ 3k_{o1} + 2 + k_{o2} = 25 \Rightarrow 3(7) + 2 + k_{o2} = 25 \Rightarrow k_{o2} = 2 \]
因此，\( \mathbf{K}_o = \begin{bmatrix} 7 & 2 \end{bmatrix} \)，观测器增益矩阵 \( \mathbf{L} = \mathbf{K}_o^T = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
全维观测器方程为：
\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \hat{\mathbf{x}}(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) + \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \end{bmatrix} (y(t) - \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \hat{\mathbf{x}}(t)) \]

6.2.3 降维观测器 (Reduced-Order Observer)

降维观测器 (Reduced-Order Observer)，也称为最小阶观测器 (Minimal-Order Observer)，用于估计系统中未测量的状态变量。如果系统的某些状态变量可以直接测量，则可以利用这些已测量的状态信息，设计一个低维度的观测器，仅估计剩余的未测量状态变量，从而降低观测器的维度和计算量。

假设系统的状态向量 \( \mathbf{x} \) 可以划分为两部分：\( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 \\ \mathbf{x}_2 \end{bmatrix} \)，其中 \( \mathbf{x}_1 \) 是 \( p \times 1 \) 向量，对应于可以通过输出 \( \mathbf{y} \) 直接或间接测量的状态变量，\( \mathbf{x}_2 \) 是 \( (n-p) \times 1 \) 向量，对应于需要估计的未测量状态变量。假设输出方程为 \( \mathbf{y} = \mathbf{C}\mathbf{x} \)，且 \( \mathbf{C} \) 可以写成 \( \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 \end{bmatrix} \)，其中 \( \mathbf{C}_1 \) 是 \( p \times p \)，\( \mathbf{C}_2 \) 是 \( p \times (n-p) \)。为了简化，假设 \( \mathbf{C}_1 \) 是满秩的 (可以通过状态变量的线性变换实现)。

将状态方程和输出方程进行相应的划分：
\[ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\mathbf{x}}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 \\ \mathbf{x}_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{B}_1 \\ \mathbf{B}_2 \end{bmatrix} \mathbf{u} \]
\[ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 \\ \mathbf{x}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{C}_1\mathbf{x}_1 + \mathbf{C}_2\mathbf{x}_2 \]
由于 \( \mathbf{C}_1 \) 可逆 (假设)，可以从输出方程中解出 \( \mathbf{x}_1 \)：
\[ \mathbf{x}_1 = \mathbf{C}_1^{-1}(\mathbf{y} - \mathbf{C}_2\mathbf{x}_2) \]
将 \( \mathbf{x}_1 \) 代入状态方程的第一部分：
\[ \dot{\mathbf{x}}_1 = \mathbf{A}_{11}\mathbf{C}_1^{-1}(\mathbf{y} - \mathbf{C}_2\mathbf{x}_2) + \mathbf{A}_{12}\mathbf{x}_2 + \mathbf{B}_1\mathbf{u} \]
\[ \dot{\mathbf{x}}_1 = \mathbf{A}_{11}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{y} - \mathbf{A}_{11}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{C}_2\mathbf{x}_2 + \mathbf{A}_{12}\mathbf{x}_2 + \mathbf{B}_1\mathbf{u} \]
\[ \dot{\mathbf{x}}_1 - \mathbf{A}_{11}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{y} - \mathbf{B}_1\mathbf{u} = (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{11}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{C}_2)\mathbf{x}_2 \]
状态方程的第二部分为：
\[ \dot{\mathbf{x}}_2 = \mathbf{A}_{21}\mathbf{x}_1 + \mathbf{A}_{22}\mathbf{x}_2 + \mathbf{B}_2\mathbf{u} = \mathbf{A}_{21}\mathbf{C}_1^{-1}(\mathbf{y} - \mathbf{C}_2\mathbf{x}_2) + \mathbf{A}_{22}\mathbf{x}_2 + \mathbf{B}_2\mathbf{u} \]
\[ \dot{\mathbf{x}}_2 = \mathbf{A}_{21}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{y} - \mathbf{A}_{21}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{C}_2\mathbf{x}_2 + \mathbf{A}_{22}\mathbf{x}_2 + \mathbf{B}_2\mathbf{u} \]
\[ \dot{\mathbf{x}}_2 = (\mathbf{A}_{22} - \mathbf{A}_{21}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{C}_2)\mathbf{x}_2 + \mathbf{A}_{21}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{y} + \mathbf{B}_2\mathbf{u} \]
令 \( \mathbf{z} = \mathbf{x}_2 \) 为待估计的状态向量，将 \( \mathbf{y} \) 和 \( \mathbf{u} \) 视为已知输入，则关于 \( \mathbf{z} \) 的动态方程为：
\[ \dot{\mathbf{z}} = (\mathbf{A}_{22} - \mathbf{A}_{21}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{C}_2)\mathbf{z} + \mathbf{A}_{21}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{y} + \mathbf{B}_2\mathbf{u} \]
输出方程可以从 \( \dot{\mathbf{x}}_1 - \mathbf{A}_{11}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{y} - \mathbf{B}_1\mathbf{u} = (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{11}\mathbf{C}_1^{-1}\mathbf{C}_2)\mathbf{x}_2 \) 得到，但更常用的是构造一个辅助输出 \( \mathbf{y}_r \)：
\[ \mathbf{y}_r = \dot{\mathbf{x}}_1 - \mathbf{A}_{11}\mathbf{x}_1 - \mathbf{B}_1\mathbf{u} = \mathbf{A}_{12}\mathbf{x}_2 \]
由于 \( \mathbf{x}_1 = \mathbf{C}_1^{-1}(\mathbf{y} - \mathbf{C}_2\mathbf{x}_2) \)，\( \dot{\mathbf{x}}_1 \) 可以近似用差分代替，或者通过滤波得到。更常用的方法是直接利用 \( \mathbf{x}_1 \) 的测量值，构造降维观测器。

降维观测器的结构可以设计为：
\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}}_2 = (\mathbf{A}_{22} - \mathbf{L}_r\mathbf{A}_{12})\hat{\mathbf{x}}_2 + \mathbf{A}_{21}\mathbf{x}_1 + \mathbf{B}_2\mathbf{u} + \mathbf{L}_r(\dot{\mathbf{x}}_1 - \mathbf{A}_{11}\mathbf{x}_1 - \mathbf{B}_1\mathbf{u}) \]
其中，\( \mathbf{L}_r \) 是 \( (n-p) \times p \) 降维观测器增益矩阵。误差动态方程为 \( \dot{\mathbf{e}}_2 = (\mathbf{A}_{22} - \mathbf{L}_r\mathbf{A}_{12})\mathbf{e}_2 \)，其中 \( \mathbf{e}_2 = \mathbf{x}_2 - \hat{\mathbf{x}}_2 \)。通过配置 \( (\mathbf{A}_{22} - \mathbf{L}_r\mathbf{A}_{12}) \) 的特征值，可以设计降维观测器。

实际应用中的简化方法：在实际应用中，降维观测器的设计和实现较为复杂。全维观测器由于结构简单、易于实现，应用更为广泛。在计算资源允许的情况下，全维观测器通常是更实用的选择。

6.3 分离定理 (Separation Theorem)

分离定理 (Separation Theorem)，也称为解耦原理 (Decoupling Principle)，是状态空间控制理论中的一个重要结论。它表明，在设计状态反馈控制器和状态观测器时，可以分别独立地进行设计，而不会影响闭环系统的稳定性。也就是说，可以将状态反馈控制器和状态观测器的设计问题解耦开来，分别进行极点配置，最终将两者结合起来，构成观测器-控制器 (observer-controller) 结构。

考虑系统：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \]
\[ \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) \]
设计状态反馈控制器：\( \mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\hat{\mathbf{x}}(t) \)，其中 \( \hat{\mathbf{x}}(t) \) 是由全维观测器估计的状态。观测器方程为：
\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) + \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)) \]
将控制律代入系统状态方程和观测器方程，得到闭环系统方程：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) - \mathbf{BK}\hat{\mathbf{x}}(t) \]
\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t) - \mathbf{BK}\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{L}(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t)) = (\mathbf{A} - \mathbf{BK} - \mathbf{LC})\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{L}\mathbf{y}(t) \]
将 \( \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) \) 代入观测器方程：
\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = (\mathbf{A} - \mathbf{BK} - \mathbf{LC})\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{LC}\mathbf{x}(t) \]
考虑状态向量和估计误差向量的组合 \( \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix} \)，其中 \( \mathbf{e} = \mathbf{x} - \hat{\mathbf{x}} \)，则 \( \hat{\mathbf{x}} = \mathbf{x} - \mathbf{e} \)。将 \( \hat{\mathbf{x}} = \mathbf{x} - \mathbf{e} \) 代入闭环系统状态方程：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) - \mathbf{BK}(\mathbf{x}(t) - \mathbf{e}(t)) = (\mathbf{A} - \mathbf{BK})\mathbf{x}(t) + \mathbf{BK}\mathbf{e}(t) \]
误差动态方程为 \( \dot{\mathbf{e}}(t) = (\mathbf{A} - \mathbf{LC})\mathbf{e}(t) \)。
将闭环系统和误差系统写成矩阵形式：
\[ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} - \mathbf{BK} & \mathbf{BK} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A} - \mathbf{LC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix} \]
闭环系统的特征多项式为：
\[ \text{det}\begin{bmatrix} s\mathbf{I} - (\mathbf{A} - \mathbf{BK}) & -\mathbf{BK} \\ \mathbf{0} & s\mathbf{I} - (\mathbf{A} - \mathbf{LC}) \end{bmatrix} = \text{det}(s\mathbf{I} - (\mathbf{A} - \mathbf{BK})) \cdot \text{det}(s\mathbf{I} - (\mathbf{A} - \mathbf{LC})) \]
分离定理的核心结论是：闭环系统的特征值由状态反馈控制器极点 (即 \( \mathbf{A} - \mathbf{BK} \) 的特征值) 和观测器极点 (即 \( \mathbf{A} - \mathbf{LC} \) 的特征值) 共同组成。这意味着，在设计时，可以分别独立地选择状态反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \) 和观测器增益矩阵 \( \mathbf{L} \)，使得 \( (\mathbf{A} - \mathbf{BK}) \) 和 \( (\mathbf{A} - \mathbf{LC}) \) 具有期望的特征值，最终组合成的观测器-控制器系统仍然具有良好的稳定性和动态性能。

分离定理的意义：
① 简化设计过程：将复杂的状态反馈控制器和观测器联合设计问题，分解为两个独立的极点配置问题，大大简化了设计过程。
② 模块化设计：可以分别设计控制器和观测器，然后将它们组合起来，构成完整的控制系统，便于模块化设计和实现。
③ 工程实用性：分离定理为状态空间控制理论在工程实践中的应用奠定了理论基础，使得基于状态反馈和观测器的控制系统设计方法成为现代控制理论的重要组成部分。

总结：本章深入探讨了状态空间控制系统的核心概念和设计方法，包括可控性、可观测性、状态反馈、极点配置、观测器设计以及分离定理。这些内容是理解和应用现代控制理论的关键，为后续学习非线性控制、鲁棒控制、最优控制等高级主题奠定了坚实的基础。

7. chapter 7： 非线性控制系统 (Nonlinear Control Systems)

7.1 非线性系统分析 (Analysis of Nonlinear Systems)

7.1.1 相平面分析 (Phase Plane Analysis)

相平面分析 (Phase Plane Analysis) 是一种研究二阶非线性系统行为的图形方法。它通过在相平面上绘制系统状态变量的轨迹，即相轨迹 (Phase Trajectory)，来直观地分析系统的稳定性、平衡点 (Equilibrium Point) 类型以及动态特性。相平面以系统的两个状态变量为坐标轴，通常选择状态变量 \(x\) 及其导数 \(\dot{x}\) 作为坐标轴，构成 \( (x, \dot{x}) \) 平面。

对于一个二阶自治系统，其状态方程可以表示为：
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= f_1(x_1, x_2) \\ \dot{x}_2 &= f_2(x_1, x_2) \end{aligned} \]
其中 \(x_1\) 和 \(x_2\) 是状态变量，\(f_1\) 和 \(f_2\) 是非线性函数。在相平面分析中，我们通常考虑将 \(x = x_1\) 和 \(\dot{x} = x_2\)，则系统可以简化为：
\[ \begin{aligned} \dot{x} &= y \\ \dot{y} &= f(x, y) \end{aligned} \]
相平面分析的核心思想是绘制相轨迹。相轨迹是指在相平面上，从不同的初始条件出发，系统状态随时间变化的轨迹曲线。通过分析相轨迹的形状和行为，我们可以了解系统的定性特性。

相平面中的奇点 (Singular Points) 或平衡点 (Equilibrium Points)

奇点或平衡点是指相平面上使得 \(\dot{x} = 0\) 和 \(\dot{y} = 0\) 的点 \( (x_e, y_e) \)。在平衡点处，系统状态保持不变。奇点的类型决定了系统在平衡点附近的局部行为。对于线性化系统，常见的奇点类型包括：

① 稳定结点 (Stable Node)：系统轨迹从各个方向趋近于平衡点，且速度逐渐减慢。特征值均为负实数。
② 不稳定结点 (Unstable Node)：系统轨迹从平衡点向外发散。特征值均为正实数。
③ 稳定焦点 (Stable Focus/Spiral)：系统轨迹呈螺旋状趋近于平衡点。特征值共轭复数且实部为负。
④ 不稳定焦点 (Unstable Focus/Spiral)：系统轨迹呈螺旋状远离平衡点。特征值共轭复数且实部为正。
⑤ 中心点 (Center)：系统轨迹围绕平衡点呈封闭曲线，系统做周期运动。特征值共轭纯虚数。
⑥ 鞍点 (Saddle Point)：系统轨迹沿某些方向趋近平衡点，沿另一些方向远离平衡点。特征值实数，一正一负。

对于非线性系统，我们通常需要将系统在平衡点附近线性化，然后根据线性化系统的特征值来判断奇点类型。然而，对于非线性系统，还可能出现极限环 (Limit Cycle) 这种特殊的相轨迹。

极限环 (Limit Cycle)

极限环是指相平面上孤立的封闭轨迹。如果系统存在稳定的极限环，则无论初始状态在极限环内外，系统的相轨迹最终都会趋近于该极限环，系统表现出稳定的周期振荡。极限环是线性系统所不具备的特性，它是非线性系统特有的现象。

相平面分析的应用步骤

① 确定系统的状态方程，并将其转化为相平面分析的标准形式：
\[ \begin{aligned} \dot{x} &= y \\ \dot{y} &= f(x, y) \end{aligned} \]
② 寻找奇点 (平衡点)，通过解方程组 \(\dot{x} = 0\) 和 \(\dot{y} = 0\) 得到平衡点 \( (x_e, y_e) \)。
③ 在奇点附近进行线性化，得到线性化系统的状态矩阵，并计算特征值。根据特征值判断奇点类型（结点、焦点、中心点、鞍点）。
④ 绘制相轨迹，可以通过解析方法（如果可能）、数值方法或等倾线法 (Method of Isoclines) 绘制相轨迹。等倾线法是通过找到相平面上 \(\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{y} = c\) 为常数的曲线（等倾线），从而确定相轨迹在不同区域的斜率，进而绘制相轨迹。
⑤ 分析相轨迹，根据相轨迹的形状、奇点类型和极限环等信息，分析系统的稳定性、动态特性和可能的运动模式。

案例分析：范德堡振荡器 (Van der Pol Oscillator)

范德堡振荡器是一个经典的非线性系统，其微分方程为：
\[ \ddot{x} - \mu (1 - x^2) \dot{x} + x = 0 \]
其中 \(\mu > 0\) 是一个参数。令 \(y = \dot{x}\)，则状态方程为：
\[ \begin{aligned} \dot{x} &= y \\ \dot{y} &= \mu (1 - x^2) y - x \end{aligned} \]
平衡点：令 \(\dot{x} = 0\) 和 \(\dot{y} = 0\)，得到平衡点为 \( (0, 0) \)。

在平衡点 \( (0, 0) \) 附近线性化：
雅可比矩阵 (Jacobian Matrix) 为：
\[ J(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} \\ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2\mu x y - 1 & \mu (1 - x^2) \end{bmatrix} \]
在平衡点 \( (0, 0) \) 处，雅可比矩阵为：
\[ J(0, 0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \mu \end{bmatrix} \]
特征方程为：
\[ \det(sI - J(0, 0)) = \det \begin{bmatrix} s & -1 \\ 1 & s - \mu \end{bmatrix} = s(s - \mu) + 1 = s^2 - \mu s + 1 = 0 \]
特征根为：
\[ s_{1, 2} = \frac{\mu \pm \sqrt{\mu^2 - 4}}{2} \]
① 当 \(0 < \mu < 2\) 时，特征根为共轭复数，实部为正，因此平衡点 \( (0, 0) \) 为不稳定焦点。
② 当 \(\mu > 2\) 时，特征根为实数，均为正，因此平衡点 \( (0, 0) \) 为不稳定结点。
③ 当 \(\mu = 2\) 时，特征根为重根，为正实数，平衡点 \( (0, 0) \) 为不稳定结点。

相平面分析表明，范德堡振荡器在原点附近是不稳定的。通过绘制相轨迹可以发现，范德堡振荡器存在一个稳定的极限环，系统最终会进入周期振荡状态。参数 \(\mu\) 的大小影响极限环的形状和振荡周期。

相平面分析的优点是直观、形象，能够定性地分析二阶非线性系统的行为。缺点是只适用于二阶系统，对于高阶系统则无法直接应用。此外，相平面分析主要提供定性信息，难以得到精确的定量结果。

7.1.2 李雅普诺夫稳定性理论 (Lyapunov Stability Theory)

李雅普诺夫稳定性理论 (Lyapunov Stability Theory) 是研究系统稳定性的一种 фундаментальный 方法，它既适用于线性系统，也适用于非线性系统。李雅普诺夫稳定性理论主要分为两个方法：李雅普诺夫第一方法 (Lyapunov's First Method)，也称为间接方法，和 李雅普诺夫第二方法 (Lyapunov's Second Method)，也称为直接方法。

李雅普诺夫稳定性定义 (Lyapunov Stability Definitions)

考虑自治系统：
\[ \dot{x} = f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad f(0) = 0 \]
假设原点 \(x = 0\) 是系统的平衡点。

① 稳定性 (Stability in the sense of Lyapunov)：对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对于任意初始状态 \(x(0)\) 满足 \(||x(0)|| < \delta\)，系统状态 \(x(t)\) 始终满足 \(||x(t)|| < \epsilon\)，对于所有 \(t \ge 0\)。简单来说，如果初始状态离平衡点足够近，则系统状态始终保持在平衡点附近。

② 渐近稳定性 (Asymptotic Stability)：系统是稳定的，并且存在 \(\delta > 0\)，使得对于任意初始状态 \(x(0)\) 满足 \(||x(0)|| < \delta\)，系统状态 \(x(t) \to 0\) 当 \(t \to \infty\)。简单来说，如果初始状态离平衡点足够近，则系统状态不仅保持在平衡点附近，而且最终收敛到平衡点。

③ 全局渐近稳定性 (Global Asymptotic Stability)：系统是稳定的，并且对于任意初始状态 \(x(0)\)，系统状态 \(x(t) \to 0\) 当 \(t \to \infty\)。简单来说，无论初始状态在哪里，系统状态最终都收敛到平衡点。

④ 不稳定 (Instability)：如果系统不满足稳定性定义，则称系统是不稳定的。即存在 \(\epsilon > 0\)，对于任意 \(\delta > 0\)，都存在初始状态 \(x(0)\) 满足 \(||x(0)|| < \delta\)，但存在某个时刻 \(t \ge 0\)，使得 \(||x(t)|| \ge \epsilon\)。简单来说，存在某些初始状态，即使离平衡点很近，系统状态也会远离平衡点。

李雅普诺夫第一方法 (Lyapunov's First Method) - 间接方法

李雅普诺夫第一方法是通过将非线性系统在平衡点附近线性化，然后利用线性化系统的稳定性来判断原非线性系统在平衡点附近的局部稳定性。

将非线性系统 \(\dot{x} = f(x)\) 在平衡点 \(x = 0\) 附近泰勒展开，得到：
\[ \dot{x} = f(0) + \frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{x=0} x + O(||x||^2) = Ax + h.o.t. \]
其中 \(A = \frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{x=0}\) 是雅可比矩阵，\(h.o.t.\) 表示高阶项 (higher-order terms)。线性化系统为 \(\dot{x} = Ax\)。

李雅普诺夫第一方法判据：

① 如果线性化系统矩阵 \(A\) 的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡点 \(x = 0\) 处是局部渐近稳定的。
② 如果线性化系统矩阵 \(A\) 至少有一个特征值具有正实部，则原非线性系统在平衡点 \(x = 0\) 处是不稳定的。
③ 如果线性化系统矩阵 \(A\) 的所有特征值都具有非正实部，且至少有一个特征值实部为零，则李雅普诺夫第一方法无法判断原非线性系统的稳定性，需要进一步分析高阶项。

李雅普诺夫第一方法的优点是简单易用，只需要计算雅可比矩阵的特征值即可。缺点是只能判断局部稳定性，且在临界情况下失效。

李雅普诺夫第二方法 (Lyapunov's Second Method) - 直接方法

李雅普诺夫第二方法，也称为直接方法，不需要线性化系统，而是直接利用构造 李雅普诺夫函数 (Lyapunov Function) 来判断系统的稳定性。

李雅普诺夫函数定义：对于系统 \(\dot{x} = f(x)\)，如果存在一个标量函数 \(V(x)\) 满足以下条件：

① \(V(x)\) 在包含原点的区域 \(D\) 内连续可微。
② \(V(0) = 0\)，且对于所有 \(x \in D \setminus \{0\}\)，\(V(x) > 0\)。（\(V(x)\) 在区域 \(D\) 内是正定的 (positive definite)）
③ 对于所有 \(x \in D\)，\(\dot{V}(x) = \frac{dV(x)}{dt} = \frac{\partial V}{\partial x} f(x) \le 0\)。（\(\dot{V}(x)\) 在区域 \(D\) 内是负半定的 (negative semi-definite)）

则系统在区域 \(D\) 内是稳定的。如果条件 ③ 改为：

③' 对于所有 \(x \in D \setminus \{0\}\)，\(\dot{V}(x) = \frac{dV(x)}{dt} = \frac{\partial V}{\partial x} f(x) < 0\)。（\(\dot{V}(x)\) 在区域 \(D\) 内是负定的 (negative definite)）

则系统在区域 \(D\) 内是渐近稳定的。如果区域 \(D\) 是整个状态空间 \(\mathbb{R}^n\)，且 \(V(x)\) 是径向无界的 (radially unbounded)，即 \(||x|| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty\)，则系统是全局渐近稳定的。

李雅普诺夫函数的物理意义：李雅普诺夫函数可以看作是系统的“能量函数”，\(\dot{V}(x)\) 表示能量随时间的变化率。如果 \(\dot{V}(x) \le 0\)，则表示系统能量不增加，系统是稳定的；如果 \(\dot{V}(x) < 0\)，则表示系统能量持续减少，系统是渐近稳定的。

李雅普诺夫第二方法的应用步骤：

① 选择候选李雅普诺夫函数 \(V(x)\)。通常可以尝试二次型函数 \(V(x) = x^T P x\)，其中 \(P\) 是正定矩阵。对于物理系统，可以考虑系统的能量函数。
② 计算 \(\dot{V}(x)\)，根据链式法则 \(\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} \dot{x} = \frac{\partial V}{\partial x} f(x)\)。
③ 判断 \(V(x)\) 和 \(\dot{V}(x)\) 的正定性/负定性/半定性。根据李雅普诺夫稳定性判据，得出系统的稳定性结论。

构造李雅普诺夫函数的常用方法：

① 二次型函数法：对于线性系统 \(\dot{x} = Ax\)，如果存在正定矩阵 \(P\) 使得 \(A^T P + PA = -Q\) 是负定矩阵（或负半定矩阵），则 \(V(x) = x^T P x\) 是李雅普诺夫函数。对于线性时不变系统，如果 \(A\) 是 Hurwitz 矩阵（所有特征值具有负实部），则对于任意正定矩阵 \(Q\)，都存在唯一的正定矩阵 \(P\) 满足李雅普诺夫方程 \(A^T P + PA = -Q\)。
② 变梯度法 (Variable Gradient Method)：假设 \(\nabla V(x) = g(x)\)，则 \(\dot{V}(x) = g^T(x) f(x)\)。选择合适的梯度向量 \(g(x)\)，使得 \(V(x) = \int_0^x g^T(\xi) d\xi\) 是正定的，且 \(\dot{V}(x) = g^T(x) f(x)\) 是负定的或负半定的。
③ 物理系统能量函数法：对于物理系统，可以利用系统的能量函数（如机械能、电磁能等）作为候选李雅普诺夫函数。

案例分析：阻尼摆 (Damped Pendulum)

考虑阻尼摆系统，其动力学方程为：
\[ \ddot{\theta} + b \dot{\theta} + g \sin \theta = 0 \]
其中 \(\theta\) 是摆角，\(b > 0\) 是阻尼系数，\(g > 0\) 是重力加速度常数。令 \(x_1 = \theta\)，\(x_2 = \dot{\theta}\)，则状态方程为：
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= -g \sin x_1 - b x_2 \end{aligned} \]
平衡点为 \( (0, 0) \) 和 \( (\pi, 0) \) 等。考虑平衡点 \( (0, 0) \) 的稳定性。

选择候选李雅普诺夫函数为系统的机械能：
\[ V(x_1, x_2) = \frac{1}{2} x_2^2 + g (1 - \cos x_1) \]
在原点附近，\(1 - \cos x_1 \approx \frac{1}{2} x_1^2\)，因此 \(V(x_1, x_2) \approx \frac{1}{2} x_2^2 + \frac{g}{2} x_1^2\)，是正定的。

计算 \(\dot{V}(x_1, x_2)\)：
\[ \begin{aligned} \dot{V}(x_1, x_2) &= \frac{\partial V}{\partial x_1} \dot{x}_1 + \frac{\partial V}{\partial x_2} \dot{x}_2 \\ &= (g \sin x_1) x_2 + x_2 (-g \sin x_1 - b x_2) \\ &= g x_2 \sin x_1 - g x_2 \sin x_1 - b x_2^2 \\ &= -b x_2^2 \le 0 \end{aligned} \]
\(\dot{V}(x_1, x_2) \le 0\) 是负半定的。根据李雅普诺夫稳定性定理，系统在原点是稳定的。为了判断渐近稳定性，需要进一步分析。

当 \(\dot{V}(x_1, x_2) = -b x_2^2 = 0\) 时，意味着 \(x_2 = 0\)。当 \(x_2 = 0\) 时，\(\dot{x}_1 = 0\)，\(\dot{x}_2 = -g \sin x_1\)。除非 \(x_1 = 0\) 或 \(x_1 = k\pi\)（\(k\) 为整数），否则 \(\dot{x}_2 \ne 0\)。根据不变集原理 (Invariant Set Theorem) 或 LaSalle's不变集定理 (LaSalle's Invariance Principle)，可以证明系统在原点是渐近稳定的。实际上，除了 \(x_1 = k\pi\) 之外，系统轨迹不会长时间停留在 \(\dot{V} = 0\) 的集合上，因此能量会持续耗散，最终系统状态会趋于平衡点 \( (0, 0) \)。

李雅普诺夫第二方法的优点是适用范围广，可以分析非线性系统的全局稳定性。缺点是构造李雅普诺夫函数通常比较困难，没有通用的方法，需要根据具体问题进行尝试。

7.2 常见的非线性控制方法 (Common Nonlinear Control Methods)

7.2.1 反馈线性化 (Feedback Linearization)

反馈线性化 (Feedback Linearization) 是一种将非线性系统通过状态反馈和坐标变换转化为线性系统的方法，从而可以使用线性控制理论进行控制器设计。反馈线性化主要分为两种类型：精确反馈线性化 (Exact Feedback Linearization) 和 近似反馈线性化 (Approximate Feedback Linearization)。精确反馈线性化又可以细分为 输入-状态线性化 (Input-State Linearization) 和 输入-输出线性化 (Input-Output Linearization)。

输入-状态线性化 (Input-State Linearization)

输入-状态线性化的目标是通过状态反馈和坐标变换，将非线性系统的状态方程转化为线性可控的标准型，如 Brunovsky 标准型或可控典范型。考虑单输入单输出 (SISO) 非线性系统：
\[ \dot{x} = f(x) + g(x) u \]
其中 \(x \in \mathbb{R}^n\) 是状态向量，\(u \in \mathbb{R}\) 是控制输入，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是光滑向量场。

相对阶 (Relative Degree)：对于单输出系统 \(y = h(x)\)，系统的相对阶 \(r\) 定义为输出 \(y\) 对输入 \(u\) 产生直接影响所需的最小微分次数。形式化地，相对阶 \(r\) 是使得以下条件成立的最小整数：
\[ L_g L_f^{r-1} h(x) \ne 0 \]
其中 \(L_f h(x) = \frac{\partial h}{\partial x} f(x)\) 是李导数 (Lie Derivative)，表示函数 \(h(x)\) 沿向量场 \(f(x)\) 的方向导数，\(L_g L_f^{r-1} h(x) = \frac{\partial (L_f^{r-1} h(x))}{\partial x} g(x)\)。

输入-状态线性化的条件：对于单输入系统 \(\dot{x} = f(x) + g(x) u\)，如果存在一个区域 \(D\)，使得在 \(D\) 内：

① 分布 \(G = \text{span}\{g, \text{ad}_f g, \text{ad}_f^2 g, \dots, \text{ad}_f^{n-1} g\}\) 是对合的 (involutive)。
② 向量场集合 \( \{g, \text{ad}_f g, \text{ad}_f^2 g, \dots, \text{ad}_f^{n-1} g\} \) 在 \(D\) 内是线性无关的。

其中 \(\text{ad}_f g = [f, g] = \frac{\partial g}{\partial x} f - \frac{\partial f}{\partial x} g\) 是李括号 (Lie Bracket)，\(\text{ad}_f^0 g = g\)，\(\text{ad}_f^{k+1} g = [f, \text{ad}_f^k g]\)。

如果上述条件满足，则存在坐标变换 \(z = T(x)\) 和状态反馈 \(u = \alpha(x) + \beta(x) v\)，使得闭环系统在 \(z\) 坐标下是线性可控的。

线性化步骤：

① 计算李导数 \(L_g h(x), L_f L_g h(x), \dots\)，直到找到相对阶 \(r\)。对于输入-状态线性化，通常考虑将整个状态方程线性化，此时可以认为输出 \(y = x_1\)，然后计算相对阶。更直接的方法是检查可控性条件。
② 构造坐标变换 \(z = T(x)\)。对于相对阶为 \(n\) 的系统，可以构造如下坐标变换：
\[ \begin{aligned} z_1 &= \phi_1(x) \\ z_2 &= L_f \phi_1(x) \\ &\vdots \\ z_n &= L_f^{n-1} \phi_1(x) \end{aligned} \]
其中 \(\phi_1(x)\) 需要根据具体系统选择，通常可以尝试选择 \(x_1\) 或其他状态变量。更系统的方法是利用微分几何理论构造坐标变换。
③ 设计状态反馈 \(u = \alpha(x) + \beta(x) v\)，使得在 \(z\) 坐标下，闭环系统变为线性系统 \(\dot{z} = Az + Bv\)，其中 \( (A, B) \) 是可控的线性系统。通常选择反馈形式为：
\[ u = \frac{v - L_f^n \phi_1(x)}{L_g L_f^{n-1} \phi_1(x)} \]
其中 \(v\) 是新的控制输入，用于控制线性化后的系统。

案例分析：控制型 Lorenz 系统

考虑控制型 Lorenz 系统：
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= \sigma (x_2 - x_1) \\ \dot{x}_2 &= \rho x_1 - x_2 - x_1 x_3 \\ \dot{x}_3 &= x_1 x_2 - \beta x_3 + u \end{aligned} \]
其中 \(\sigma, \rho, \beta\) 是常数参数，\(u\) 是控制输入。

令 \(x = [x_1, x_2, x_3]^T\)，\(f(x) = \begin{bmatrix} \sigma (x_2 - x_1) \\ \rho x_1 - x_2 - x_1 x_3 \\ x_1 x_2 - \beta x_3 \end{bmatrix}\)，\(g(x) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)。

计算李括号：
\[ \text{ad}_f g = [f, g] = \frac{\partial g}{\partial x} f - \frac{\partial f}{\partial x} g = 0 - \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -x_1 \\ x_2 & x_1 & -\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ x_1 \\ \beta \end{bmatrix} \]
\[ \text{ad}_f^2 g = [f, \text{ad}_f g] = \frac{\partial (\text{ad}_f g)}{\partial x} f - \frac{\partial f}{\partial x} (\text{ad}_f g) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} f - \begin{bmatrix} -\sigma & \sigma & 0 \\ \rho - x_3 & -1 & -x_1 \\ x_2 & x_1 & -\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ x_1 \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \sigma (x_2 - x_1) \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \sigma x_1 \\ -x_1 - \beta x_1 \\ x_1^2 - \beta^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sigma x_1 \\ \sigma (x_2 - x_1) + x_1 + \beta x_1 \\ -x_1^2 + \beta^2 \end{bmatrix} \]
向量场 \( \{g, \text{ad}_f g, \text{ad}_f^2 g\} \) 线性无关，且分布 \(G = \text{span}\{g, \text{ad}_f g, \text{ad}_f^2 g\}\) 是对合的（可以验证李括号 \([g, \text{ad}_f g]\), \([g, \text{ad}_f^2 g]\), \([\text{ad}_f g, \text{ad}_f^2 g]\) 都在 \(G\) 中）。因此，系统可以进行输入-状态线性化。

选择坐标变换：
\[ \begin{aligned} z_1 &= x_3 \\ z_2 &= \dot{z}_1 = \dot{x}_3 = x_1 x_2 - \beta x_3 \\ z_3 &= \dot{z}_2 = \frac{d}{dt} (x_1 x_2 - \beta x_3) = \dot{x}_1 x_2 + x_1 \dot{x}_2 - \beta \dot{x}_3 \\ &= \sigma (x_2 - x_1) x_2 + x_1 (\rho x_1 - x_2 - x_1 x_3) - \beta (x_1 x_2 - \beta x_3 + u) \end{aligned} \]
状态反馈律设计为：
\[ u = \frac{v - (\sigma (x_2 - x_1) x_2 + x_1 (\rho x_1 - x_2 - x_1 x_3) - \beta (x_1 x_2 - \beta x_3))}{-\beta} \]
则线性化后的系统为：
\[ \begin{aligned} \dot{z}_1 &= z_2 \\ \dot{z}_2 &= z_3 \\ \dot{z}_3 &= v \end{aligned} \]
这是一个线性可控的积分链系统，可以使用线性控制方法（如极点配置、LQR 等）设计控制器 \(v\)，然后通过反变换得到控制输入 \(u\)。

输入-输出线性化 (Input-Output Linearization)

输入-输出线性化的目标是通过状态反馈，使得系统的输出 \(y\) 与新的输入 \(v\) 之间呈现线性关系。对于单输入单输出系统 \( \dot{x} = f(x) + g(x) u, y = h(x) \)，如果系统的相对阶为 \(r \le n\)，则可以通过状态反馈实现输入-输出线性化。

线性化步骤：

① 计算相对阶 \(r\)。
② 计算输出 \(y\) 的 \(r\) 阶导数 \(\overset{(r)}{y} = L_f^r h(x) + L_g L_f^{r-1} h(x) u\)。
③ 设计状态反馈 \(u = \alpha(x) + \beta(x) v\)，使得 \(\overset{(r)}{y} = v\)。通常选择反馈形式为：
\[ u = \frac{v - L_f^r h(x)}{L_g L_f^{r-1} h(x)} \]
则输入-输出关系变为线性系统 \(\overset{(r)}{y} = v\)。

零动态 (Zero Dynamics)：当相对阶 \(r < n\) 时，输入-输出线性化只线性化了系统的一部分动态，剩余的 \(n-r\) 维动态称为零动态。零动态的稳定性对整个闭环系统的稳定性至关重要。如果零动态不稳定，即使输入-输出关系是线性的，整个系统也可能不稳定。

反馈线性化的优点是可以将非线性控制问题转化为线性控制问题，从而可以使用成熟的线性控制理论进行设计。缺点是需要满足一定的条件（如可控性、相对阶等），且对模型精确性要求较高，鲁棒性可能较差。此外，输入-状态线性化可能比较复杂，输入-输出线性化需要考虑零动态的稳定性。

7.2.2 滑模控制 (Sliding Mode Control)

滑模控制 (Sliding Mode Control, SMC) 是一种鲁棒控制方法，其核心思想是设计一个滑模面 (Sliding Surface)，使得系统状态被强制吸引到滑模面上，并沿着滑模面运动到平衡点。滑模控制具有结构简单、响应速度快、对参数不确定性和外部扰动具有较强鲁棒性等优点。

滑模面设计 (Sliding Surface Design)

滑模面通常定义为状态变量的线性组合：
\[ s(x) = c^T x = 0 \]
其中 \(s(x)\) 是滑模函数，\(c \in \mathbb{R}^n\) 是设计向量。对于二阶系统，滑模面可以设计为 \(s(x) = c x_1 + x_2 = 0\)，即 \(x_2 = -c x_1\)。在相平面上，滑模面是一条直线。

滑模面设计的关键是选择合适的参数 \(c\)，使得系统在滑模面上具有期望的动态特性。通常可以根据期望的闭环系统性能指标（如阻尼比、自然频率等）来选择 \(c\)。例如，对于二阶系统，可以设计 \(c\) 使得滑模运动具有期望的阻尼比和自然频率。

控制律设计 (Control Law Design)

滑模控制律的设计目标是使系统状态向滑模面 \(s(x) = 0\) 运动，并保持在滑模面上。常用的滑模控制律包括趋近律 (Reaching Law) 和 开关控制 (Switching Control)。

趋近律：趋近律是指设计控制律 \(u\) 使得滑模函数 \(s(x)\) 满足一定的动态方程，从而保证系统状态趋近于滑模面。常用的趋近律包括：

① 等速趋近律 (Constant Rate Reaching Law)：\(\dot{s} = -k \text{sgn}(s)\)，其中 \(k > 0\) 是趋近速度常数，\(\text{sgn}(s)\) 是符号函数。控制律设计为使得 \(\dot{s} = -k \text{sgn}(s)\)。
② 指数趋近律 (Exponential Reaching Law)：\(\dot{s} = -k |s|^\alpha \text{sgn}(s) - qs\)，其中 \(k > 0, \alpha > 0, q > 0\) 是常数。控制律设计为使得 \(\dot{s} = -k |s|^\alpha \text{sgn}(s) - qs\)。
③ 幂次趋近律 (Power Rate Reaching Law)：\(\dot{s} = -k |s|^\alpha \text{sgn}(s)\)，其中 \(0 < \alpha < 1, k > 0\) 是常数。控制律设计为使得 \(\dot{s} = -k |s|^\alpha \text{sgn}(s)\)。

开关控制：开关控制是最简单的滑模控制律，其形式为：
\[ u = -K \text{sgn}(s(x)) \]
其中 \(K > 0\) 是开关增益。开关控制律通过高频切换控制输入，强制系统状态向滑模面运动。

滑模存在的条件 (Existence of Sliding Mode)：为了保证滑模运动的存在，需要满足可达性条件 (Reachability Condition)，即系统状态能够到达滑模面。常用的可达性条件是 滑模存在条件 (Sliding Condition)：
\[ s(x) \dot{s}(x) < 0 \]
当 \(s(x) > 0\) 时，需要 \(\dot{s}(x) < 0\)，使得 \(s(x)\) 减小；当 \(s(x) < 0\) 时，需要 \(\dot{s}(x) > 0\)，使得 \(s(x)\) 增大。这样可以保证系统状态向滑模面 \(s(x) = 0\) 运动。

抖振 (Chattering)：理想滑模控制理论假设开关频率无限高，但在实际系统中，由于执行器延迟、采样周期等因素，开关频率不可能无限高，会导致抖振 (Chattering) 现象。抖振是指控制输入和系统输出的高频振荡，可能引起执行器磨损、系统性能下降甚至不稳定。

抖振抑制方法 (Chattering Reduction Methods)：

① 边界层方法 (Boundary Layer Approach)：用饱和函数 (saturation function) 或 sigmoid 函数 (sigmoid function) 等连续函数代替符号函数 \(\text{sgn}(s)\)，在滑模面附近引入一个边界层，使得控制输入在边界层内连续变化，从而减小抖振。例如，用饱和函数 \(\text{sat}(s/\Phi)\) 代替 \(\text{sgn}(s)\)，其中 \(\Phi\) 是边界层厚度。
② 高阶滑模控制 (Higher-Order Sliding Mode Control, HOSMC)：高阶滑模控制通过对滑模函数的高阶导数进行控制，可以减小或消除抖振。常用的高阶滑模控制方法包括扭转控制 (Twisting Algorithm)、超螺旋算法 (Super-Twisting Algorithm) 等。
③ 滤波方法 (Filtering Method)：对控制输入信号进行滤波处理，滤除高频成分，减小抖振。

案例分析：二阶积分器系统的滑模控制

考虑二阶积分器系统：
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= u \end{aligned} \]
设计滑模面为 \(s(x) = c x_1 + x_2 = 0\)，其中 \(c > 0\)。选择等速趋近律 \(\dot{s} = -k \text{sgn}(s)\)，其中 \(k > 0\)。

计算 \(\dot{s} = c \dot{x}_1 + \dot{x}_2 = c x_2 + u\)。令 \(\dot{s} = -k \text{sgn}(s)\)，得到滑模控制律：
\[ u = -c x_2 - k \text{sgn}(s) = -c x_2 - k \text{sgn}(c x_1 + x_2) \]
闭环系统为：
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= -c x_2 - k \text{sgn}(c x_1 + x_2) \end{aligned} \]
当系统状态到达滑模面 \(s(x) = c x_1 + x_2 = 0\) 时，即 \(x_2 = -c x_1\)，滑模运动方程为 \(\dot{x}_1 = -c x_1\)，这是一个一阶线性系统，且由于 \(c > 0\)，系统状态 \(x_1 \to 0\) 当 \(t \to \infty\)，从而 \(x_2 = -c x_1 \to 0\)。因此，系统在滑模面上是渐近稳定的。

滑模控制的优点是鲁棒性强，对参数不确定性和外部扰动具有较好的抑制能力，响应速度快，结构简单。缺点是存在抖振现象，需要采取措施进行抑制。滑模控制广泛应用于机器人控制、航空航天、电力电子等领域。

8. chapter 8： 鲁棒控制 (Robust Control)

8.1 不确定性建模 (Uncertainty Modeling)

在控制系统设计中，我们通常会建立被控对象 (plant) 的数学模型。然而，实际的物理系统总是存在各种各样的不确定性 (uncertainty)。这些不确定性可能来自于模型参数的误差、未建模的动态特性、外部扰动 (external disturbance) 等。鲁棒控制 (Robust Control) 的核心思想就是在存在这些不确定性的情况下，设计控制器 (controller) 使得闭环系统 (closed-loop system) 仍然能够保持稳定性 (stability) 和满足一定的性能指标 (performance index)。因此，对系统不确定性进行建模是鲁棒控制设计的第一步，也是至关重要的一步。

8.1.1 参数不确定性 (Parametric Uncertainty)

参数不确定性 (Parametric Uncertainty) 是指系统模型中参数值的偏差或不确定性。在建立物理系统的数学模型时，我们通常需要确定一些参数，例如质量 (mass)、阻尼系数 (damping coefficient)、电阻 (resistance)、电感 (inductance) 等。然而，这些参数的实际值可能与模型中使用的标称值 (nominal value) 存在差异。参数不确定性可能来源于以下几个方面：

① 元件制造误差： 实际生产的元件参数不可避免地存在一定的制造误差。例如，电阻的阻值、电容的容值等都可能在其标称值的一定范围内波动。
② 工作环境变化： 系统的工作环境，如温度 (temperature)、湿度 (humidity)、压力 (pressure) 等的变化，会影响元件的参数值。例如，电阻的阻值会随温度变化而变化。
③ 老化和磨损： 随着时间的推移，元件会发生老化和磨损，导致其参数值发生变化。例如，机械部件的摩擦系数可能会随着使用时间的增加而增大。
④ 建模简化： 为了简化建模过程，我们可能会忽略一些次要因素，并将某些复杂的物理关系近似为线性关系，这也会引入参数的不确定性。

参数不确定性的表示方法

参数不确定性通常可以用以下几种方式来表示：

⚝ 区间表示 (Interval Representation)： 将不确定参数的取值范围表示为一个区间。例如，某个电阻的阻值 \(R\) 可能在 \( [R_{min}, R_{max}] \) 范围内变化。
⚝ 百分比表示 (Percentage Representation)： 将不确定参数的偏差表示为标称值的百分比。例如，某个电感的电感值 \(L\) 可能在其标称值 \(L_0\) 的 \(\pm 10\%\) 范围内变化，即 \(L \in [0.9L_0, 1.1L_0]\)。
⚝ 加性不确定性 (Additive Uncertainty)： 将不确定参数表示为标称值加上一个不确定项。例如，某个质量 \(m\) 可以表示为 \(m = m_0 + \Delta m\)，其中 \(m_0\) 是标称质量，\(\Delta m\) 是不确定项，其取值范围可能已知或有界。
⚝ 乘性不确定性 (Multiplicative Uncertainty)： 将不确定参数表示为标称值乘以一个不确定因子。例如，某个参数 \(p\) 可以表示为 \(p = p_0 (1 + \delta_p)\)，其中 \(p_0\) 是标称值，\(\delta_p\) 是不确定因子，其绝对值通常小于某个给定的上限。

案例分析： 倒立摆系统参数不确定性

考虑一个简单的倒立摆 (inverted pendulum) 系统。其线性化模型中，主要的参数包括摆杆的质量 \(m\)、长度 \(l\)、重力加速度 \(g\) 和阻尼系数 \(b\)。在实际系统中，这些参数都可能存在不确定性：

⚝ 质量 \(m\)： 摆杆的质量可能由于制造误差或负载变化而存在不确定性。
⚝ 长度 \(l\)： 摆杆的实际长度可能与设计值存在微小偏差。
⚝ 重力加速度 \(g\)： 虽然 \(g\) 在地球表面近似为常数，但在不同的地理位置或高度，\(g\) 的值会略有不同。
⚝ 阻尼系数 \(b\)： 阻尼系数通常难以精确确定，且可能随温度、湿度等环境因素变化。

对于倒立摆系统，参数不确定性会直接影响其动态特性，例如自然频率 (natural frequency) 和阻尼比 (damping ratio)。在设计控制器时，必须考虑这些参数不确定性，以保证倒立摆系统在实际运行中的稳定性和控制性能。

8.1.2 未建模动态 (Unmodeled Dynamics)

未建模动态 (Unmodeled Dynamics) 是指在建立系统模型时被忽略或简化的动态特性。任何数学模型都只是对实际系统的一种近似描述，为了简化分析和设计，我们通常会忽略一些相对次要的动态特性。然而，在某些情况下，这些被忽略的动态特性可能会对系统的稳定性和性能产生显著影响，尤其是在高频段。常见的未建模动态包括：

① 高频动态： 实际系统通常具有无限维的动态特性，但在建模时，我们通常只考虑低频段的动态，而忽略高频段的动态。例如，在机械系统中，我们可能会忽略结构的弹性振动 (elastic vibration)；在电气系统中，我们可能会忽略寄生电容 (parasitic capacitance) 和电感 (inductance)。这些高频动态在低频段可能影响不大，但在高频段可能会变得显著，甚至导致系统不稳定。
② 非线性特性： 实际系统通常是非线性的，但在某些工作范围内，我们可以用线性模型来近似描述。然而，当系统工作范围扩大或输入信号幅度增大时，非线性特性可能会变得显著，线性模型不再适用。例如，电机 (motor) 的饱和特性 (saturation)、摩擦力 (friction)、齿隙 (backlash) 等都是常见的非线性特性。
③ 时变特性： 实际系统的参数或动态特性可能会随时间变化。例如，飞行器的气动参数 (aerodynamic parameters) 会随飞行高度和速度变化；化学反应过程的反应速率 (reaction rate) 会随温度和浓度变化。如果模型中没有考虑这些时变特性，就会产生未建模动态。
④ 延迟 (Delay)： 信号传输或处理过程中可能存在延迟现象。例如，网络控制系统 (networked control system) 中，数据在网络传输过程中会产生延迟；执行器 (actuator) 的响应也可能存在延迟。延迟会降低系统的相位裕度 (phase margin)，甚至导致系统不稳定。

未建模动态的表示方法

未建模动态通常用传递函数 (transfer function) 的形式来表示，并以加性不确定性或乘性不确定性的方式添加到标称模型中。

⚝ 加性未建模动态 (Additive Unmodeled Dynamics)： 将未建模动态表示为一个加性项 \(\Delta_a(s)\) 加到标称模型 \(G_0(s)\) 上，得到实际系统模型 \(G(s) = G_0(s) + \Delta_a(s)\)。加性未建模动态通常用于表示在低频段模型较为精确，但在高频段存在偏差的情况。
⚝ 乘性未建模动态 (Multiplicative Unmodeled Dynamics)： 将未建模动态表示为一个乘性因子 \(W_m(s)\Delta_m(s)\) 乘以标称模型 \(G_0(s)\)，得到实际系统模型 \(G(s) = G_0(s) (1 + W_m(s)\Delta_m(s))\) 或 \(G(s) = (1 + W_m(s)\Delta_m(s)) G_0(s)\)。其中 \(W_m(s)\) 是一个权重函数 (weighting function)，用于描述未建模动态的频率特性，\(\Delta_m(s)\) 是一个稳定的不确定性传递函数，且 \(||\Delta_m(s)||_{\infty} \leq 1\)。乘性未建模动态通常用于表示模型在整个频段都存在相对误差，且相对误差在高频段可能增大的情况。

权重函数 \(W_m(s)\) 的选择至关重要，它需要根据实际系统的特性和建模误差的频率分布来确定。通常，\(W_m(s)\) 会被选择为一个高通滤波器 (high-pass filter)，以反映未建模动态在高频段的影响增大。

案例分析： 柔性机械臂系统未建模动态

考虑一个柔性机械臂 (flexible robot arm) 系统。在低频控制时，我们可以将其简化为刚性机械臂 (rigid robot arm) 模型。然而，柔性机械臂本身具有弹性，在高频段会表现出明显的振动模式 (vibration mode)。如果我们只用刚性模型设计控制器，忽略了柔性臂的弹性振动，就可能导致系统在高频段出现不稳定或性能下降。

在这种情况下，柔性臂的弹性振动就可以看作是未建模动态。我们可以用乘性未建模动态来表示这种不确定性，即实际柔性臂的传递函数可以表示为 \(G(s) = G_{rigid}(s) (1 + W_m(s)\Delta_m(s))\)，其中 \(G_{rigid}(s)\) 是刚性臂的传递函数，\(W_m(s)\) 是一个高通权重函数，用于描述柔性振动在高频段的影响。

8.2 鲁棒稳定性与鲁棒性能 (Robust Stability and Robust Performance)

鲁棒控制的目标是在存在不确定性的情况下，保证闭环系统的鲁棒稳定性 (Robust Stability) 和 鲁棒性能 (Robust Performance)。

⚝ 鲁棒稳定性： 指的是在一定范围内的不确定性扰动下，闭环系统仍然保持稳定。
⚝ 鲁棒性能： 指的是在一定范围内的不确定性扰动下，闭环系统仍然能够满足一定的性能指标，例如跟踪误差 (tracking error)、调节时间 (settling time)、超调量 (overshoot) 等。

8.2.1 小增益定理 (Small Gain Theorem)

小增益定理 (Small Gain Theorem) 是鲁棒稳定性分析中最基本、最重要的定理之一。它提供了一个判断闭环系统在存在不确定性时是否保持稳定的充分条件 (sufficient condition)。

小增益定理描述

考虑如图 8.1 所示的闭环系统，其中 \(G(s)\) 是标称系统模型，\(\Delta(s)\) 代表不确定性，且 \(||\Delta(s)||_{\infty} < \gamma\)。

\[ \begin{tikzpicture}[block/.style={rectangle, draw, fill=blue!20, text width=1.5cm, text centered, rounded corners, minimum height=1cm}, input/.style={coordinate}, output/.style={coordinate}, sum/.style={circle, draw, inner sep=0.2cm, fill=white}] \node[input] (input) {}; \node[sum, right of=input, node distance=2cm] (sum) {$+$}; \node[block, right of=sum, node distance=3cm] (G) {$G(s)$}; \node[block, below of=G, node distance=2cm] (Delta) {$\Delta(s)$}; \node[output, right of=G, node distance=3cm] (output) {}; \node[coordinate, left of=sum, node distance=1cm] (r) {}; \node[coordinate, below of=sum, node distance=1cm] (feedback_point) {}; \draw[->] (input) -- (sum); \draw[->] (sum) -- (G); \draw[->] (G) -- (output); \draw[->] (output) -- (Delta); \draw[->] (Delta) -- (feedback_point) -- (sum) node[left, pos=0.5] {$-$}; \node[left of=input] {$r$}; \node[right of=output] {$y$}; \end{tikzpicture} \]

图 8.1 基于不确定性的闭环系统

小增益定理： 如果标称闭环系统 (即 \(\Delta(s) = 0\) 时) 是稳定的，且满足以下条件：

\[ ||\, G(s) \, ||_{\infty} \cdot ||\, \Delta(s) \, ||_{\infty} < 1 \]

则闭环系统在存在不确定性 \(\Delta(s)\) 的情况下仍然是鲁棒稳定的。其中 \(||\cdot||_{\infty}\) 表示 \(H_{\infty}\) 范数 (H-infinity norm)，对于稳定的传递函数 \(H(s)\)，其 \(H_{\infty}\) 范数定义为：

\[ ||H(s)||_{\infty} = \sup_{\omega} |H(j\omega)| \]

即 \(H(s)\) 的最大奇异值 (maximum singular value) 在所有频率 \(\omega\) 上的上确界 (supremum)。对于单输入单输出 (SISO) 系统，\(||H(s)||_{\infty}\) 就是 \(H(j\omega)\) 的幅频特性曲线 (magnitude frequency response) 的峰值。

小增益定理的物理意义

小增益定理的物理意义非常直观：如果从不确定性模块 \(\Delta(s)\) 看进去的“环路增益” (loop gain) 的 \(H_{\infty}\) 范数小于 1，则闭环系统是鲁棒稳定的。这里的“环路增益”指的是 \(G(s)\Delta(s)\) 或 \(\Delta(s)G(s)\) (在SISO系统中两者相等)。

小增益定理的应用

小增益定理可以用于分析各种类型的不确定性对系统稳定性的影响。例如，对于乘性输出不确定性 (multiplicative output uncertainty)，实际系统模型可以表示为 \(G_p(s) = G(s)(1 + W_m(s)\Delta_m(s))\)，其中 \(G(s)\) 是标称模型，\(W_m(s)\Delta_m(s)\) 是乘性不确定性，\(||\Delta_m(s)||_{\infty} \leq 1\)。闭环传递函数可以表示为：

\[ T(s) = \frac{G_p(s)K(s)}{1 + G_p(s)K(s)} = \frac{G(s)K(s)(1 + W_m(s)\Delta_m(s))}{1 + G(s)K(s)(1 + W_m(s)\Delta_m(s))} \]

为了保证鲁棒稳定性，我们需要保证在所有允许的不确定性 \(\Delta_m(s)\) 下，闭环系统都是稳定的。根据小增益定理，如果标称闭环系统 (即 \(\Delta_m(s) = 0\) 时) 是稳定的，且满足以下条件：

\[ || \, W_m(s) T_0(s) \, ||_{\infty} < 1 \]

其中 \(T_0(s) = \frac{G(s)K(s)}{1 + G(s)K(s)}\) 是标称闭环系统的互补灵敏度函数 (complementary sensitivity function)，则闭环系统是鲁棒稳定的。

案例分析： 小增益定理在参数不确定性分析中的应用

假设一个单位反馈系统 (unity feedback system) 的开环传递函数为 \(G(s) = \frac{K}{s+1}\)，其中参数 \(K\) 存在不确定性，\(K \in [0.5, 1.5]\)。标称值为 \(K_0 = 1\)。我们可以将参数不确定性表示为 \(K = K_0 + \Delta K = 1 + \Delta K\)，其中 \(\Delta K \in [-0.5, 0.5]\)。

标称系统 (nominal system) 的开环传递函数为 \(G_0(s) = \frac{1}{s+1}\)，闭环传递函数为 \(T_0(s) = \frac{G_0(s)}{1 + G_0(s)} = \frac{1}{s+2}\)，显然是稳定的。

现在考虑参数不确定性。我们可以将实际开环传递函数表示为 \(G(s) = \frac{1 + \Delta K}{s+1} = G_0(s) + \frac{\Delta K}{s+1}\)。这可以看作是加性不确定性 \(\Delta_a(s) = \frac{\Delta K}{s+1}\)。

为了应用小增益定理，我们需要将不确定性表示成反馈形式。我们可以将系统重新组织成如图 8.2 所示的形式。

\[ \begin{tikzpicture}[block/.style={rectangle, draw, fill=blue!20, text width=1.5cm, text centered, rounded corners, minimum height=1cm}, input/.style={coordinate}, output/.style={coordinate}, sum/.style={circle, draw, inner sep=0.2cm, fill=white}] \node[input] (input) {}; \node[sum, right of=input, node distance=2cm] (sum) {$+$}; \node[block, right of=sum, node distance=3cm] (G0) {$G_0(s)$}; \node[block, below of=G0, node distance=2cm] (DeltaK) {$\Delta K$}; \node[output, right of=G0, node distance=3cm] (output) {}; \node[coordinate, left of=sum, node distance=1cm] (r) {}; \node[coordinate, below of=sum, node distance=1cm] (feedback_point) {}; \draw[->] (input) -- (sum); \draw[->] (sum) -- (G0); \draw[->] (G0) -- (output); \draw[->] (output) -- (DeltaK); \draw[->] (DeltaK) -- (feedback_point) -- (sum) node[left, pos=0.5] {$-$}; \node[left of=input] {$r$}; \node[right of=output] {$y$}; \end{tikzpicture} \]

图 8.2 参数不确定性重构系统

从 \(\Delta K\) 看进去的环路传递函数为 \(G_0(s) = \frac{1}{s+1}\)。我们需要计算 \(||G_0(s)||_{\infty}\)。

\[ ||G_0(s)||_{\infty} = \sup_{\omega} |G_0(j\omega)| = \sup_{\omega} \left| \frac{1}{j\omega + 1} \right| = \sup_{\omega} \frac{1}{\sqrt{\omega^2 + 1}} = 1 \]

不确定性模块为 \(\Delta K\)，其增益为 \(|\Delta K| \leq 0.5\)。因此，\(||\Delta K||_{\infty} = 0.5\)。

根据小增益定理，鲁棒稳定性条件为：

\[ ||G_0(s)||_{\infty} \cdot ||\Delta K||_{\infty} = 1 \times 0.5 = 0.5 < 1 \]

由于条件满足，因此闭环系统在参数不确定性 \(K \in [0.5, 1.5]\) 范围内是鲁棒稳定的。

8.2.2 H∞ 控制 (H∞ Control)

\(H_{\infty}\) 控制 (H-infinity Control) 是一种重要的鲁棒控制设计方法。其核心思想是在频域 (frequency domain) 内，通过优化闭环系统的 \(H_{\infty}\) 范数，来减小不确定性和扰动对系统性能的影响，从而实现鲁棒稳定性与鲁棒性能。

\(H_{\infty}\) 范数的意义

\(H_{\infty}\) 范数可以用来衡量系统的“最大增益”。对于一个稳定的传递函数矩阵 \(H(s)\)，\(||H(s)||_{\infty}\) 表示从输入信号到输出信号的最大能量增益。在鲁棒控制中，我们通常希望最小化某些关键传递函数的 \(H_{\infty}\) 范数，例如灵敏度函数 (sensitivity function) \(S(s)\)、互补灵敏度函数 \(T(s)\) 和控制灵敏度函数 (control sensitivity function) \(KS(s)\)。

\(H_{\infty}\) 标准控制问题

\(H_{\infty}\) 标准控制问题 (Standard \(H_{\infty}\) Control Problem) 的目标是设计一个控制器 \(K(s)\)，使得闭环系统内部稳定，并最小化从外部输入 \(w\) 到受控输出 \(z\) 的闭环传递函数 \(T_{zw}(s)\) 的 \(H_{\infty}\) 范数，即：

\[ \min_{K(s) \text{ stabilizing}} || \, T_{zw}(s) \, ||_{\infty} \]

如图 8.3 所示，\(H_{\infty}\) 标准控制问题通常可以用一个广义被控对象 (generalized plant) \(P(s)\) 来描述，它包含了实际被控对象 \(G(s)\)、权重函数 \(W_1(s), W_2(s), W_3(s)\) 和控制器 \(K(s)\)。

\[ \begin{tikzpicture}[block/.style={rectangle, draw, fill=blue!20, text width=1.5cm, text centered, rounded corners, minimum height=1cm}, input/.style={coordinate}, output/.style={coordinate}, sum/.style={circle, draw, inner sep=0.2cm, fill=white}] \node[input] (w) {}; \node[block, right of=w, node distance=2cm] (P) {$P(s)$}; \node[output, right of=P, node distance=2cm] (z) {}; \node[coordinate, below of=P, node distance=2cm] (y) {}; \node[block, below of=y, node distance=2cm] (K) {$K(s)$}; \node[coordinate, left of=y, node distance=2cm] (u) {}; \draw[->] (w) -- (P); \draw[->] (P) -- (z); \draw[->] (P) -- (y); \draw[->] (y) -- (K); \draw[->] (K) -- (u) -- (P); \node[above of=w] {$w$}; \node[above of=z] {$z$}; \node[below of=y] {$y$}; \node[left of=u] {$u$}; \end{tikzpicture} \]

图 8.3 \(H_{\infty}\) 标准控制问题框图

其中，\(w\) 是外部输入向量，包括参考信号 (reference signal)、扰动信号 (disturbance signal) 和噪声信号 (noise signal) 等；\(u\) 是控制输入向量；\(y\) 是测量输出向量；\(z\) 是受控输出向量，包括跟踪误差、控制输入和系统状态等。广义被控对象 \(P(s)\) 可以表示为：

\[ \begin{pmatrix} z \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_{11}(s) & P_{12}(s) \\ P_{21}(s) & P_{22}(s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w \\ u \end{pmatrix} \]

闭环传递函数 \(T_{zw}(s)\) 可以表示为线性分式变换 (Linear Fractional Transformation, LFT)：

\[ T_{zw}(s) = P_{11}(s) + P_{12}(s) K(s) (I - P_{22}(s) K(s))^{-1} P_{21}(s) \]

权重函数的选择

权重函数 \(W_1(s), W_2(s), W_3(s)\) 的选择对于 \(H_{\infty}\) 控制器的性能至关重要。它们用于描述不同频率范围内对性能指标的要求。

⚝ \(W_1(s)\)： 通常与灵敏度函数 \(S(s) = (1 + G(s)K(s))^{-1}\) 相乘，用于限制低频段的跟踪误差和扰动抑制性能。通常选择为低通滤波器 (low-pass filter)，在高频段允许较大的灵敏度函数，以提高系统的鲁棒稳定性。
⚝ \(W_2(s)\)： 通常与控制灵敏度函数 \(KS(s) = K(s)(1 + G(s)K(s))^{-1}\) 相乘，用于限制控制输入的幅值，避免控制输入饱和 (control input saturation) 和抑制高频噪声。通常选择为高通滤波器，在高频段限制控制输入的增益。
⚝ \(W_3(s)\)： 通常与互补灵敏度函数 \(T(s) = G(s)K(s)(1 + G(s)K(s))^{-1}\) 相乘，用于限制高频段的模型不确定性影响，保证鲁棒稳定性。通常选择为高通滤波器，在高频段限制互补灵敏度函数的增益。

\(H_{\infty}\) 控制器的求解方法

\(H_{\infty}\) 控制器的求解方法主要有以下几种：

① Riccati 方程方法 (Riccati Equation Approach)： 将 \(H_{\infty}\) 控制问题转化为求解两个代数 Riccati 方程 (Algebraic Riccati Equation, ARE) 的问题。这种方法适用于状态空间模型 (state space model) 描述的系统，且计算效率较高。
② 线性矩阵不等式方法 (Linear Matrix Inequality Approach, LMI)： 将 \(H_{\infty}\) 控制问题转化为求解线性矩阵不等式组 (Linear Matrix Inequality set) 的问题。LMI 方法具有更强的灵活性，可以处理更复杂的问题，例如多目标控制 (multi-objective control) 和参数不确定性系统 (parameter uncertain system) 的鲁棒控制。

\(H_{\infty}\) 控制器的特点

⚝ 鲁棒性强： \(H_{\infty}\) 控制器能够有效地处理系统的不确定性和扰动，保证闭环系统的鲁棒稳定性与鲁棒性能。
⚝ 频域性能指标： \(H_{\infty}\) 控制设计直接在频域内优化性能指标，可以方便地进行频域性能整形 (frequency shaping)。
⚝ 计算复杂性： \(H_{\infty}\) 控制器的计算通常比经典控制方法 (如 PID 控制) 更为复杂，需要求解 Riccati 方程或 LMI。

案例分析： \(H_{\infty}\) 控制器设计

考虑一个单位反馈系统，被控对象传递函数为 \(G(s) = \frac{1}{s(s+1)}\)。设计一个 \(H_{\infty}\) 控制器，使得闭环系统具有良好的鲁棒稳定性和跟踪性能。

设计步骤：

1. 选择权重函数： 为了实现良好的低频跟踪性能和高频鲁棒稳定性，我们选择以下权重函数：
   ▮▮▮▮⚝ \(W_1(s) = \frac{s+10}{10s+1}\) (低通滤波器，限制低频段灵敏度函数)
   ▮▮▮▮⚝ \(W_3(s) = \frac{10s+1}{s+100}\) (高通滤波器，限制高频段互补灵敏度函数)
   ▮▮▮▮⚝ \(W_2(s) = 0.1\) (常数权重，限制控制输入幅值)

2. 构建广义被控对象 \(P(s)\)： 根据权重函数和被控对象 \(G(s)\)，构建广义被控对象 \(P(s)\)。

3. 求解 \(H_{\infty}\) 控制器 \(K(s)\)： 使用 Riccati 方程方法或 LMI 方法求解 \(H_{\infty}\) 控制器 \(K(s)\)，使得闭环传递函数 \(T_{zw}(s)\) 的 \(H_{\infty}\) 范数最小化。

4. 性能评估与调整： 对设计的 \(H_{\infty}\) 控制器进行仿真验证，评估其鲁棒稳定性与鲁棒性能。如果性能不满足要求，可以调整权重函数 \(W_1(s), W_2(s), W_3(s)\) 并重新设计控制器。

通过 \(H_{\infty}\) 控制器设计，可以有效地提高闭环系统的鲁棒性，使其在存在不确定性和扰动的情况下，仍然能够保持稳定并满足性能指标。

9. chapter 9： 最优控制 (Optimal Control)

9.1 最优控制问题 (Optimal Control Problems)

9.1.1 性能指标 (Performance Indices)

在控制理论中，最优控制 (Optimal Control) 旨在设计控制器，使得控制系统在满足特定约束条件的同时，能够达到最优的性能表现。为了量化系统的性能，并将其转化为可以优化的目标，我们需要引入 性能指标 (Performance Indices)，也常被称为 代价函数 (Cost Function) 或 目标函数 (Objective Function)。性能指标是一个标量函数，它将系统的状态和控制输入映射到一个数值，这个数值的大小直接反映了系统性能的优劣。最优控制的目标就是找到使性能指标最小化（或最大化，取决于具体定义）的控制策略。

性能指标的设计是最优控制问题 formulation 的关键步骤，它直接决定了最终控制系统的特性。一个合理的性能指标应该能够准确地描述我们期望系统达到的性能目标。例如，我们可能希望系统能够快速且平稳地跟踪期望的参考信号，同时消耗尽可能少的能量。为了实现这些目标，我们需要选择合适的数学表达式来构建性能指标。

常见的性能指标类型包括：

① 二次型性能指标 (Quadratic Performance Index)：这是最优控制中最常用的一类性能指标，因为它在数学上易于处理，并且在许多实际应用中能够得到良好的控制效果。二次型性能指标通常由状态变量和控制输入的二次型函数构成，形式如下：
\[ J = \int_{0}^{T} \left( \mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q} \mathbf{x}(t) + \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R} \mathbf{u}(t) \right) dt \]
或对于离散时间系统：
\[ J = \sum_{k=0}^{N-1} \left( \mathbf{x}^T(k) \mathbf{Q} \mathbf{x}(k) + \mathbf{u}^T(k) \mathbf{R} \mathbf{u}(k) \right) \]
其中，
\( \mathbf{x}(t) \) 或 \( \mathbf{x}(k) \) 是系统的状态向量，
\( \mathbf{u}(t) \) 或 \( \mathbf{u}(k) \) 是控制输入向量，
\( \mathbf{Q} \) 是半正定状态权重矩阵，用于惩罚状态偏差，
\( \mathbf{R} \) 是正定控制权重矩阵，用于惩罚控制能量。
\( T \) 或 \( N \) 是控制的时间范围，可以是有限值或无穷大。

二次型性能指标的物理意义是，它试图在整个控制过程中，同时减小状态的偏差（例如，跟踪误差）和控制输入的能量。矩阵 \( \mathbf{Q} \) 和 \( \mathbf{R} \) 的选择决定了状态偏差和控制能量之间的权衡。如果 \( \mathbf{Q} \) 相对较大，则控制系统会更加注重减小状态偏差，但可能会使用较大的控制输入；反之，如果 \( \mathbf{R} \) 相对较大，则控制系统会更加注重减小控制能量，但状态偏差可能会相对较大。

② 时间最优性能指标 (Time-Optimal Performance Index)：时间最优控制的目标是在最短的时间内将系统从一个状态转移到另一个状态。其性能指标通常定义为系统的转移时间 \( T \)，即：
\[ J = \int_{0}^{T} 1 \, dt = T \]
时间最优控制问题通常会受到控制输入幅值或状态变量的约束。这类问题在机器人运动规划、导弹拦截等领域有重要应用。

③ 燃料最优性能指标 (Fuel-Optimal Performance Index)：在某些应用中，例如航天器姿态控制或车辆经济性驾驶，我们希望在完成控制任务的同时，尽可能地节省燃料或能量。燃料最优性能指标通常与控制输入的积分或绝对值有关，例如：
\[ J = \int_{0}^{T} |\mathbf{u}(t)| dt \]
或
\[ J = \int_{0}^{T} \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R} \mathbf{u}(t) dt \] (当燃料消耗与控制输入的平方成正比时)

④ 最小能量性能指标 (Minimum Energy Performance Index)：最小能量控制的目标是使用尽可能少的控制能量来完成控制任务。二次型性能指标中，当主要关注控制输入项时，可以看作是最小能量性能指标的一种形式。更一般地，最小能量性能指标可以表示为：
\[ J = \int_{0}^{T} \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R} \mathbf{u}(t) dt \]
这类指标在电力系统、伺服系统等需要节能的应用中非常重要。

⑤ 跟踪误差性能指标 (Tracking Error Performance Index)：当控制系统的主要任务是跟踪给定的参考信号时，性能指标可以设计为跟踪误差的函数。例如，均方误差 (Mean Square Error, MSE) 或积分绝对误差 (Integral Absolute Error, IAE) 等：
\[ J = \int_{0}^{T} (\mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_{ref}(t))^T (\mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_{ref}(t)) dt \]
或
\[ J = \int_{0}^{T} |\mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_{ref}(t)| dt \]
其中，\( \mathbf{y}(t) \) 是系统的输出，\( \mathbf{y}_{ref}(t) \) 是期望的参考信号。

选择合适的性能指标是解决最优控制问题的首要步骤。性能指标的选择应基于具体的控制目标和系统特性。在实际应用中，可能需要根据不同的控制需求，综合考虑多种性能指标，并进行权衡折衷。例如，在设计飞行器控制系统时，可能需要同时考虑飞行时间、燃料消耗、跟踪精度和控制平稳性等多个指标。

9.1.2 动态规划 (Dynamic Programming)

动态规划 (Dynamic Programming) 是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学方法。它由 Richard Bellman 在 20世纪50年代提出，是解决最优控制问题的重要工具之一，尤其适用于离散时间系统和某些类型的连续时间系统。动态规划的核心思想是 贝尔曼最优性原理 (Bellman's Principle of Optimality)，它将一个复杂的最优化问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题的最优解，逐步构建原问题的最优解。

贝尔曼最优性原理可以表述为：一个最优策略的子策略，对于其所对应的子问题而言，也必然是最优的。换句话说，无论过去的状态和决策如何，对于当前状态而言，其后的决策必须构成最优策略。这个原理是动态规划方法的基础。

基于贝尔曼最优性原理，我们可以推导出 贝尔曼方程 (Bellman Equation)，它是动态规划的核心方程。对于离散时间系统，考虑一个从时刻 \( k \) 到时刻 \( N \) 的多阶段决策过程。设 \( V(x_k, k) \) 表示从时刻 \( k \) 的状态 \( x_k \) 出发，到终点时刻 \( N \) 的最优性能指标值（也称为 最优价值函数 (Optimal Value Function) 或 Cost-to-Go Function）。假设在时刻 \( k \) 选择了控制输入 \( u_k \)，系统状态从 \( x_k \) 转移到 \( x_{k+1} = f(x_k, u_k) \)，并且在这一阶段的即时代价为 \( L(x_k, u_k) \)。根据贝尔曼最优性原理，最优价值函数 \( V(x_k, k) \) 可以表示为：

\[ V(x_k, k) = \min_{u_k} \{ L(x_k, u_k) + V(x_{k+1}, k+1) \} \]

这个方程描述了在状态 \( x_k \) 和时刻 \( k \) 的最优决策过程。为了最小化从时刻 \( k \) 到终点时刻 \( N \) 的总代价，我们需要在时刻 \( k \) 选择控制输入 \( u_k \)，使得当前阶段的即时代价 \( L(x_k, u_k) \) 加上从下一状态 \( x_{k+1} \) 开始到终点时刻的最优价值函数 \( V(x_{k+1}, k+1) \) 之和最小。

动态规划的求解过程通常是从终点时刻 \( N \) 向初始时刻 \( 0 \) 逆向递推。在终点时刻 \( N \)，最优价值函数通常由终端代价函数 \( \Phi(x_N) \) 决定，即 \( V(x_N, N) = \Phi(x_N) \)。然后，我们可以利用贝尔曼方程，从 \( k = N-1 \) 开始，逐步计算 \( V(x_k, k) \) 直到 \( k = 0 \)。在每个时刻 \( k \)，我们需要对所有可能的控制输入 \( u_k \) 进行搜索，找到使贝尔曼方程右侧最小化的 \( u_k \)，这个 \( u_k \) 就是在状态 \( x_k \) 和时刻 \( k \) 的最优控制输入 \( u_k^*(x_k, k) \)。同时，计算得到的 \( V(x_k, k) \) 就是从状态 \( x_k \) 和时刻 \( k \) 开始的最优价值函数。

动态规划的求解步骤可以总结如下：

① 初始化 (Initialization)：设定终点时刻 \( N \) 的最优价值函数 \( V(x_N, N) = \Phi(x_N) \)。

② 逆向递推 (Backward Recursion)：从 \( k = N-1 \) 到 \( k = 0 \)，按照贝尔曼方程迭代计算：
\[ V(x_k, k) = \min_{u_k \in U} \{ L(x_k, u_k) + V(f(x_k, u_k), k+1) \} \]
同时记录最优控制输入 \( u_k^*(x_k, k) \)，即：
\[ u_k^*(x_k, k) = \arg \min_{u_k \in U} \{ L(x_k, u_k) + V(f(x_k, u_k), k+1) \} \]
其中，\( U \) 是容许控制输入的集合。

③ 最优策略 (Optimal Policy)：通过逆向递推，我们得到了最优价值函数 \( V(x_k, k) \) 和最优控制策略 \( u_k^*(x_k, k) \) 在状态空间和时间上的离散值。最优控制策略 \( u_k^*(x_k, k) \) 构成了 反馈控制律 (Feedback Control Law)，它表示在每个时刻 \( k \) 和状态 \( x_k \) 下的最优控制输入。

④ 前向执行 (Forward Execution)：从初始状态 \( x_0 \) 和初始时刻 \( 0 \) 开始，根据最优控制策略 \( u_k^*(x_k, k) \) 和系统状态方程 \( x_{k+1} = f(x_k, u_k) \) ，前向计算系统的状态轨迹和控制输入序列，得到最优的状态轨迹 \( \{x_0, x_1^*, \ldots, x_N^*\} \) 和最优控制序列 \( \{u_0^*, u_1^*, \ldots, u_{N-1}^*\} \)。

动态规划方法具有全局最优性，即它能够找到在给定的约束条件下，全局最优的控制策略。然而，动态规划也存在 维数灾难 (Curse of Dimensionality) 的问题。当系统状态的维数较高时，状态空间的离散化网格会呈指数增长，导致计算量和存储量急剧增加，使得动态规划方法在求解高维最优控制问题时变得不切实际。为了克服维数灾难，人们提出了近似动态规划、强化学习等方法。

尽管存在维数限制，动态规划仍然是理解最优控制理论和解决低维最优控制问题的有力工具。它为我们提供了一种系统性的方法来分析和设计最优控制器，并为更高级的最优控制方法奠定了基础。

9.2 线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR)

9.2.1 LQR 问题描述 (LQR Problem Description)

线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR) 是最优控制理论中一个非常经典且重要的分支。它针对线性系统，并采用二次型性能指标，旨在设计状态反馈控制器，使得闭环系统具有最优的动态性能。LQR 方法因其解析解的存在、计算简便以及良好的鲁棒性而广泛应用于工业控制、航空航天等领域。

LQR 问题 考虑的是线性时不变 (Linear Time-Invariant, LTI) 系统：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \]
其中，\( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 是状态向量，\( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^m \) 是控制输入向量，\( \mathbf{A} \) 和 \( \mathbf{B} \) 是具有适当维度的常数矩阵。

LQR 的目标是设计一个状态反馈控制律：
\[ \mathbf{u}(t) = - \mathbf{K} \mathbf{x}(t) \]
其中，\( \mathbf{K} \) 是状态反馈增益矩阵，使得闭环系统稳定，并最小化如下二次型性能指标：
\[ J = \int_{0}^{\infty} \left( \mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q} \mathbf{x}(t) + \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R} \mathbf{u}(t) \right) dt \]
其中，\( \mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是半正定状态权重矩阵，\( \mathbf{R} \in \mathbb{R}^{m \times m} \) 是正定控制权重矩阵。积分上限为无穷大，表示我们考虑的是 无限时间 (Infinite-Horizon) 的调节问题，即希望系统从任意初始状态出发，最终稳定到平衡点（通常是原点），并在此过程中最小化性能指标 \( J \)。

LQR 问题的目标可以概括为：在保证闭环系统稳定的前提下，找到最优的状态反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \)，使得二次型性能指标 \( J \) 最小化。

为了保证 LQR 问题有解，并得到稳定的闭环系统，需要满足以下两个基本条件：

① 可控性 (Controllability)：系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{B}) \) 必须是可控的。可控性保证了可以通过控制输入将系统状态从任意初始状态转移到任意期望状态（或原点）。如果系统不可控，则某些状态分量将无法通过反馈控制进行调节，从而可能导致闭环系统不稳定或性能指标无法优化。

② 可检测性 (Detectability)：系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{C}) \) 必须是可检测的，其中 \( \mathbf{C} \) 是一个矩阵，使得 \( \mathbf{Q} = \mathbf{C}^T \mathbf{C} \)。可检测性是比可观测性 (Observability) 稍弱的条件。它保证了所有不稳定的状态模式都是可观测的，或者说，所有不可观测的状态模式都是稳定的。在 LQR 问题中，可检测性保证了即使某些状态分量没有直接被性能指标惩罚（即 \( \mathbf{Q} \) 矩阵某些对应元素为零），但只要与被惩罚的状态分量相关联，整个系统仍然可以被稳定。在实际应用中，通常要求系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{B}) \) 是可控的，并且 \( \mathbf{Q} \) 是半正定矩阵，使得 \( (\mathbf{A}, \sqrt{\mathbf{Q}}) \) 是可检测的（或更强的条件，如 \( \mathbf{Q} \) 是正定矩阵，则 \( (\mathbf{A}, \sqrt{\mathbf{Q}}) \) 自然可检测）。

权重矩阵 \( \mathbf{Q} \) 和 \( \mathbf{R} \) 的选择对 LQR 控制器的性能有重要影响。

⚝ \( \mathbf{Q} \) 的选择：\( \mathbf{Q} \) 矩阵用于惩罚状态偏差。选择较大的 \( \mathbf{Q} \) 会使得控制器更加注重减小状态偏差，从而得到更快的响应速度和更小的稳态误差。通常，\( \mathbf{Q} \) 是一个对角矩阵，对角元素的大小反映了对相应状态分量偏差的惩罚程度。例如，如果希望更精确地控制状态 \( x_i \)，可以将 \( \mathbf{Q}_{ii} \) 设置得较大。

⚝ \( \mathbf{R} \) 的选择：\( \mathbf{R} \) 矩阵用于惩罚控制能量。选择较大的 \( \mathbf{R} \) 会使得控制器更加注重减小控制能量，从而得到更平稳的控制输入，但可能会牺牲响应速度和稳态精度。通常，\( \mathbf{R} \) 也是一个对角矩阵，对角元素的大小反映了对相应控制输入能量的惩罚程度。例如，如果控制输入 \( u_j \) 的能量受限或成本较高，可以将 \( \mathbf{R}_{jj} \) 设置得较大。

在实际应用中，\( \mathbf{Q} \) 和 \( \mathbf{R} \) 的选择通常需要根据具体的控制目标和系统特性进行权衡和调整。一种常用的方法是 试凑法 (Trial and Error)，通过调整 \( \mathbf{Q} \) 和 \( \mathbf{R} \) 的值，观察闭环系统的性能，例如响应速度、超调量、稳态误差、控制输入幅值等，直到满足设计要求。更系统的方法包括 特征值配置法 (Eigenvalue Assignment) 和 迭代方法 (Iterative Methods) 等，可以辅助选择合适的 \( \mathbf{Q} \) 和 \( \mathbf{R} \)。

9.2.2 Riccati 方程 (Riccati Equation)

Riccati 方程 (Riccati Equation) 在 LQR 问题的求解中起着核心作用。通过求解 代数 Riccati 方程 (Algebraic Riccati Equation, ARE)，我们可以得到最优的状态反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \)。

对于连续时间 LQR 问题，代数 Riccati 方程的形式如下：
\[ \mathbf{A}^T \mathbf{P} + \mathbf{P} \mathbf{A} - \mathbf{P} \mathbf{B} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} + \mathbf{Q} = \mathbf{0} \]
其中，\( \mathbf{A} \)、\( \mathbf{B} \)、\( \mathbf{Q} \)、\( \mathbf{R} \) 是 LQR 问题描述中定义的矩阵，\( \mathbf{P} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是一个对称正定矩阵，是我们需要求解的未知量。

一旦我们求解出满足 ARE 的对称正定解 \( \mathbf{P} \)，最优的状态反馈增益矩阵 \( \mathbf{K} \) 可以通过以下公式计算得到：
\[ \mathbf{K} = \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} \]
将此状态反馈控制律 \( \mathbf{u}(t) = - \mathbf{K} \mathbf{x}(t) \) 应用于原系统 \( \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \)，得到闭环系统：
\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = (\mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K}) \mathbf{x}(t) = (\mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P}) \mathbf{x}(t) \]
可以证明，如果系统 \( (\mathbf{A}, \mathbf{B}) \) 是可控的，且 \( (\mathbf{A}, \sqrt{\mathbf{Q}}) \) 是可检测的，则 ARE 存在唯一的对称正定解 \( \mathbf{P} \)，并且闭环系统矩阵 \( \mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K} \) 是 Hurwitz 矩阵 (Hurwitz Matrix)，即所有特征值都具有负实部，从而保证了闭环系统的稳定性。此外，使用此状态反馈控制律得到的性能指标 \( J \) 是最小的，最优性能指标值为：
\[ J^* = \mathbf{x}^T(0) \mathbf{P} \mathbf{x}(0) \]
其中，\( \mathbf{x}(0) \) 是系统的初始状态。

求解代数 Riccati 方程是 LQR 设计的关键步骤。对于低阶系统，可以通过解析方法求解 ARE。但对于高阶系统，通常需要使用数值方法，例如迭代法（如 Newton-Raphson 迭代法）、特征向量分解法等。在 MATLAB 等控制系统工具箱中，提供了专门的函数（如 are 函数）来求解代数 Riccati 方程，使得 LQR 控制器的设计变得非常方便。

离散时间 LQR (Discrete-Time LQR) 问题与连续时间 LQR 问题类似，只是系统动态方程和性能指标的形式有所不同。对于离散时间线性时不变系统：
\[ \mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A} \mathbf{x}(k) + \mathbf{B} \mathbf{u}(k) \]
二次型性能指标为：
\[ J = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \mathbf{x}^T(k) \mathbf{Q} \mathbf{x}(k) + \mathbf{u}^T(k) \mathbf{R} \mathbf{u}(k) \right) \]
最优状态反馈控制律仍然是 \( \mathbf{u}(k) = - \mathbf{K} \mathbf{x}(k) \)，其中最优增益矩阵 \( \mathbf{K} \) 可以通过求解 离散时间代数 Riccati 方程 (Discrete-Time Algebraic Riccati Equation, DARE) 得到：
\[ \mathbf{P} = \mathbf{A}^T \mathbf{P} \mathbf{A} - \mathbf{A}^T \mathbf{P} \mathbf{B} (\mathbf{R} + \mathbf{B}^T \mathbf{P} \mathbf{B})^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} \mathbf{A} + \mathbf{Q} \]
或等价形式：
\[ \mathbf{P} = \mathbf{A}^T [\mathbf{P} - \mathbf{P} \mathbf{B} (\mathbf{R} + \mathbf{B}^T \mathbf{P} \mathbf{B})^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P}] \mathbf{A} + \mathbf{Q} \]
求解出对称正定解 \( \mathbf{P} \) 后，最优增益矩阵为：
\[ \mathbf{K} = (\mathbf{R} + \mathbf{B}^T \mathbf{P} \mathbf{B})^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} \mathbf{A} \]
离散时间 LQR 的求解和应用与连续时间 LQR 类似，在数字控制系统中具有重要的应用价值。

LQR 方法的优点在于其理论完善、计算简便、设计参数少（只需选择 \( \mathbf{Q} \) 和 \( \mathbf{R} \) 矩阵），并且得到的闭环系统具有良好的稳定性和鲁棒性。然而，LQR 方法也存在一些局限性，例如它只适用于线性系统，且性能指标是二次型的，对于非线性系统或非二次型性能指标，LQR 方法可能不再适用。此外，LQR 方法需要系统状态完全可测，当状态不可测时，需要结合状态观测器 (State Observer) 进行状态估计，构成 LQG (Linear Quadratic Gaussian) 控制器。尽管如此，LQR 仍然是最优控制理论中最基本、最重要的方法之一，为更高级的控制方法奠定了基础。

10. chapter 10： 自适应控制 (Adaptive Control)

10.1 自适应控制的基本概念 (Basic Concepts of Adaptive Control)

自适应控制 (Adaptive Control) 是一种高级控制策略，主要用于解决被控对象 (plant) 参数未知或时变，以及外部扰动 (external disturbance) 未知或变化等复杂情况下的控制问题。传统的固定参数控制器在面对这些不确定性时，控制性能往往会显著下降，甚至导致系统不稳定 (instability)。自适应控制通过在线辨识系统参数或扰动特性，并根据辨识结果实时调整控制器参数，从而使系统能够适应环境变化，保持良好的控制性能。

10.1.1 自适应控制的类型 (Types of Adaptive Control)

自适应控制方法种类繁多，根据不同的分类标准，可以划分为不同的类型。以下是几种常见的分类方式：

根据自适应机制的不同，可以分为：

① 反馈自适应 (Feedback Adaptive)：也称为闭环自适应 (Closed-loop Adaptive)。这类方法通过闭环反馈来调整控制器参数，以减小系统输出与期望输出之间的误差。模型参考自适应控制 (Model Reference Adaptive Control, MRAC) 和自校正控制 (Self-Tuning Control, STR) 是反馈自适应的典型代表。

② 前馈自适应 (Feedforward Adaptive)：也称为开环自适应 (Open-loop Adaptive)。这类方法主要针对可测量的扰动或参数变化进行补偿。通过测量扰动或参数变化，并根据预先设计的规则或模型，调整控制器参数，以抵消这些变化对系统性能的影响。增益调度自适应控制 (Gain Scheduling Adaptive Control) 可以看作是一种前馈自适应方法。

根据控制器参数调整方式的不同，可以分为：

① 直接自适应 (Direct Adaptive)：直接调整控制器的参数，使其直接逼近期望的闭环性能。例如，在模型参考自适应控制中，直接调整控制器参数以使闭环系统跟踪参考模型 (reference model) 的输出。

② 间接自适应 (Indirect Adaptive)：首先辨识被控对象的参数，然后基于辨识得到的模型参数，重新设计或调整控制器参数。自校正控制通常属于间接自适应，它先在线辨识系统模型参数，再根据辨识的模型参数设计控制器。

根据应用场景和设计方法的不同，还可以分为：

① 模型参考自适应控制 (Model Reference Adaptive Control, MRAC)：设计一个参考模型来描述期望的闭环系统性能，然后设计自适应律 (adaptive law) 来调整控制器参数，使得实际闭环系统的输出尽可能接近参考模型的输出。

② 自校正控制 (Self-Tuning Control, STR)：将自适应控制问题分解为两个子问题：参数估计 (parameter estimation) 和控制器设计 (controller design)。首先在线估计被控对象的参数，然后基于估计的参数，按照某种控制设计方法（如极点配置 (pole placement)、最小方差控制 (minimum variance control) 等）设计控制器。

③ 增益调度自适应控制 (Gain Scheduling Adaptive Control)：根据可测量的辅助变量（反映系统运行状态或环境变化）预先设计一系列控制器参数，并建立控制器参数与辅助变量之间的映射关系（调度表）。在系统运行时，根据辅助变量的测量值，实时查表或通过插值等方法确定当前的控制器参数。增益调度虽然简单实用，但其自适应能力有限，且依赖于对系统特性的先验知识。

④ 对偶自适应控制 (Dual Adaptive Control)：在自适应控制过程中，同时考虑控制和辨识的双重目标。既要保证良好的控制性能，又要充分利用控制信号来激励系统，提高参数辨识的精度。对偶自适应控制通常比较复杂，理论分析和实现难度较大。

⑤ 智能自适应控制 (Intelligent Adaptive Control)：将智能控制方法（如模糊逻辑 (fuzzy logic)、神经网络 (neural network)、专家系统 (expert system) 等）与自适应控制相结合，利用智能方法处理系统的不确定性和复杂性，提高自适应控制系统的性能和鲁棒性 (robustness)。例如，基于神经网络的自适应控制可以逼近未知的非线性系统，基于模糊逻辑的自适应控制可以处理模糊和不精确的信息。

在实际应用中，需要根据具体的控制问题和系统特性，选择合适的自适应控制类型和方法。模型参考自适应控制和自校正控制是两种最基本、最常用的自适应控制方法，将在后续章节中详细介绍。

10.1.2 模型参考自适应控制 (Model Reference Adaptive Control, MRAC)

模型参考自适应控制 (Model Reference Adaptive Control, MRAC) 是一种重要的反馈自适应控制方法。其核心思想是人为地设定一个理想的闭环系统动态特性，用参考模型 (reference model) 来描述，然后设计自适应控制器，使其控制下的实际闭环系统尽可能地逼近这个理想的动态特性。

MRAC 的基本结构 通常由以下几个部分组成：

① 参考模型 (Reference Model)：是一个理想的、期望的闭环系统模型，通常是一个线性时不变系统。参考模型描述了期望的系统输出响应特性，例如，期望的跟踪速度、超调量 (overshoot)、稳态误差 (steady-state error) 等。参考模型的输入 \( r(t) \) 是系统的期望输出信号，输出 \( y_m(t) \) 是期望的系统响应。

② 被控对象 (Plant)：是被控制的实际系统，其参数未知或时变。被控对象的输入 \( u(t) \) 是控制器的输出信号，输出 \( y_p(t) \) 是实际的系统输出。

③ 可调控制器 (Adjustable Controller)：是一个参数可调的控制器，其结构形式是预先设定的，但参数可以根据自适应律进行调整。控制器的输入通常是参考输入 \( r(t) \)、系统输出 \( y_p(t) \) 以及参考模型输出 \( y_m(t) \) 等信号。控制器的输出 \( u(t) \) 作为被控对象的输入。

④ 自适应律 (Adaptive Law) 或 参数调整机制 (Parameter Adjustment Mechanism)：是 MRAC 的核心部分，负责根据系统输出误差 \( e(t) = y_p(t) - y_m(t) \) 在线调整可调控制器的参数。自适应律的设计目标是使系统输出误差 \( e(t) \) 趋于零，从而使实际闭环系统的性能逼近参考模型所描述的期望性能。

MRAC 的工作原理 可以概括为：

1. 设定参考模型：根据期望的闭环系统性能指标，选择合适的参考模型。
2. 设计可调控制器结构：根据被控对象的特性和控制目标，选择合适的控制器结构，例如，比例积分微分 (Proportional-Integral-Derivative, PID) 控制器、状态反馈 (state feedback) 控制器等，并将其参数设为可调。
3. 设计自适应律：根据系统输出误差 \( e(t) \) 和其他相关信号，设计自适应律，用于在线调整可调控制器的参数，使得误差 \( e(t) \) 趋于零。自适应律的设计通常基于稳定性理论，如李雅普诺夫稳定性理论 (Lyapunov stability theory) 或超稳定性理论 (hyperstability theory)。
4. 闭环运行和参数调整：将可调控制器和自适应律与被控对象和参考模型构成闭环系统。在系统运行过程中，自适应律不断调整控制器参数，使得实际系统输出 \( y_p(t) \) 逐渐逼近参考模型输出 \( y_m(t) \)，从而实现自适应控制。

常见的 MRAC 方法 包括：

① 基于 MIT 规则的 MRAC (MIT Rule based MRAC)：MIT 规则是一种基于梯度法的简单自适应律，其参数调整方向与性能指标的梯度方向相反。MIT 规则形式简单，易于实现，但其稳定性分析和性能保证较为困难。

② 基于李雅普诺夫稳定性的 MRAC (Lyapunov Stability based MRAC)：基于李雅普诺夫稳定性理论设计自适应律，可以保证闭环系统的稳定性。通过构造合适的李雅普诺夫函数 (Lyapunov function)，并选择合适的自适应律，使得李雅普诺夫函数沿闭环系统轨迹单调递减，从而保证系统的稳定性。基于李雅普诺夫稳定性的 MRAC 是目前理论研究和应用中最广泛的方法之一。

③ 基于超稳定性的 MRAC (Hyperstability based MRAC)：基于波波夫超稳定性理论 (Popov hyperstability theory) 设计自适应律，也可以保证闭环系统的稳定性。超稳定性理论提供了一种频域分析方法，用于设计保证闭环系统超稳定的自适应律。

MRAC 的优点：

⚝ 直接控制闭环性能：MRAC 直接以期望的闭环系统性能为目标进行设计，通过参考模型明确地指定了期望的系统动态特性。
⚝ 适应性强：MRAC 能够有效地处理被控对象参数未知或时变的情况，通过在线调整控制器参数，使系统适应环境变化。
⚝ 理论基础完善：基于李雅普诺夫稳定性理论和超稳定性理论的 MRAC 具有完善的理论基础，可以保证闭环系统的稳定性。

MRAC 的缺点：

⚝ 设计相对复杂：MRAC 的设计需要选择合适的参考模型、可调控制器结构和自适应律，设计过程相对复杂，特别是对于非线性系统或高阶系统。
⚝ 对模型结构依赖性强：MRAC 的性能在很大程度上依赖于参考模型的选择和被控对象模型的准确性。如果参考模型选择不当或被控对象模型失配 (model mismatch) 严重，则可能导致控制性能下降甚至系统不稳定。
⚝ 可能存在瞬态性能问题：在自适应过程初期，由于控制器参数需要调整，系统可能存在较大的瞬态响应 (transient response) 或超调。

尽管存在一些缺点，MRAC 仍然是一种非常有效的自适应控制方法，在航空航天、机器人、过程控制等领域得到了广泛应用。

10.2 自校正控制 (Self-Tuning Control, STR)

自校正控制 (Self-Tuning Control, STR) 是另一种重要的反馈自适应控制方法。与 MRAC 不同，STR 采用间接自适应的思想，将自适应控制问题分解为参数估计和控制器设计两个环节。STR 系统首先在线辨识被控对象的模型参数，然后基于辨识得到的模型参数，按照某种预定的控制设计方法，重新设计或调整控制器参数。由于控制器参数是根据在线辨识的模型参数不断“自校正”的，因此称为自校正控制。

STR 的基本结构 通常由以下几个部分组成：

① 被控对象 (Plant)：是被控制的实际系统，其参数未知或时变。

② 参数估计器 (Parameter Estimator) 或 辨识器 (Identifier)：用于在线估计被控对象的模型参数。常用的参数估计方法包括递推最小二乘法 (Recursive Least Squares, RLS)、梯度法 (Gradient Method) 等。参数估计器的输入是被控对象的输入输出数据 \( \{u(t), y_p(t)\} \)，输出是估计的模型参数 \( \hat{\theta}(t) \)。

③ 控制器设计器 (Controller Designer)：根据参数估计器提供的模型参数 \( \hat{\theta}(t) \)，按照预定的控制设计方法，计算控制器参数。常用的控制设计方法包括极点配置 (Pole Placement)、最小方差控制 (Minimum Variance Control)、线性二次型最优控制 (Linear Quadratic Regulator, LQR) 等。控制器设计器的输入是估计的模型参数 \( \hat{\theta}(t) \)，输出是控制器参数 \( \rho(t) \)。

④ 可调控制器 (Adjustable Controller)：是一个参数可调的控制器，其结构形式是预先设定的，参数由控制器设计器根据估计的模型参数确定。控制器的输入通常是参考输入 \( r(t) \) 和系统输出 \( y_p(t) \)，输出 \( u(t) \) 作为被控对象的输入。

STR 的工作原理 可以概括为：

1. 在线参数估计：利用被控对象的输入输出数据 \( \{u(t), y_p(t)\} \)，通过参数估计器在线辨识被控对象的模型参数 \( \hat{\theta}(t) \)。参数估计通常采用递推算法，可以实时更新模型参数估计值。
2. 控制器设计：根据参数估计器提供的模型参数 \( \hat{\theta}(t) \)，利用控制器设计器，按照预定的控制设计方法，计算控制器参数 \( \rho(t) \)。控制器设计方法可以是极点配置、最小方差控制、LQR 等。
3. 控制器实现：将计算得到的控制器参数 \( \rho(t) \) 应用于可调控制器，形成闭环控制系统。
4. 循环迭代：系统在闭环运行过程中，参数估计器和控制器设计器不断循环迭代，实时更新模型参数估计值和控制器参数，从而实现自校正控制。

不同的 STR 方法 主要区别在于参数估计方法和控制器设计方法的选择。

① 基于极点配置的 STR (Pole Placement STR)：采用极点配置控制设计方法。首先在线估计被控对象的模型参数，然后根据期望的闭环极点位置，计算控制器参数，使得闭环系统的极点配置在期望的位置。极点配置 STR 可以实现对闭环系统动态特性的直接控制。

② 基于最小方差控制的 STR (Minimum Variance STR)：采用最小方差控制设计方法。最小方差控制的目标是使系统输出的方差最小。基于最小方差控制的 STR 适用于随机扰动占主导地位的系统，可以有效地抑制随机扰动，提高控制精度。

③ 广义最小方差控制 STR (Generalized Minimum Variance Control STR, GMV-STR)：是最小方差控制的一种推广形式，可以同时考虑输出方差和控制输入的方差，通过调整加权系数，在输出精度和控制能量之间进行折衷。GMV-STR 具有更强的鲁棒性和适应性。

STR 的优点：

⚝ 原理清晰，结构模块化：STR 将自适应控制问题分解为参数估计和控制器设计两个模块，结构清晰，易于理解和实现。
⚝ 控制设计方法灵活：STR 可以与各种成熟的控制设计方法相结合，如极点配置、最小方差控制、LQR 等，具有较强的灵活性。
⚝ 应用广泛：STR 在工业过程控制、机器人控制、电力系统控制等领域得到了广泛应用。

STR 的缺点：

⚝ 参数估计的精度和收敛速度：STR 的性能在很大程度上依赖于参数估计的精度和收敛速度。如果参数估计不准确或收敛速度慢，则可能导致控制性能下降甚至系统不稳定。
⚝ 对模型结构假设敏感：STR 通常需要预先假设被控对象的模型结构（如阶次、时滞等）。如果模型结构假设不正确，则可能导致参数估计和控制器设计失效。
⚝ 可能存在“blow-up”现象：在某些情况下，如果参数估计出现奇异性或控制器设计不当，STR 系统可能出现控制器参数无界增长，导致系统不稳定，即所谓的“blow-up”现象。需要采取一些措施来避免或抑制“blow-up”现象，如参数估计的有界性约束、控制器参数的饱和限制等。

为了克服 STR 的一些缺点，研究者们提出了许多改进的 STR 方法，如鲁棒自校正控制 (Robust Self-Tuning Control)、多模型自校正控制 (Multi-Model Self-Tuning Control) 等，进一步提高了 STR 的性能和鲁棒性。

自适应控制作为一种高级控制技术，在解决复杂控制问题中发挥着越来越重要的作用。MRAC 和 STR 是自适应控制领域中最基本、最常用的两种方法，理解和掌握这两种方法对于深入学习和应用自适应控制技术至关重要。

11. chapter 11： 离散时间控制系统 (Discrete-Time Control Systems)

11.1 离散系统建模与分析 (Modeling and Analysis of Discrete Systems)

11.1.1 Z 变换 (Z-Transform)

Z 变换（Z-Transform）是分析离散时间信号与系统的核心数学工具，它在离散时间系统中的作用类似于拉普拉斯变换（Laplace Transform）在连续时间系统中的作用。Z 变换将离散时间信号从时域转换到复频域（z 域），使得我们可以用代数方法分析和设计离散时间系统。

定义

对于一个离散时间序列 \(x[n]\)，其 Z 变换 \(X(z)\) 定义为：
\[ X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} \]
其中，\(z\) 是复变量，称为 z 变换复变量。级数收敛的 \(z\) 值范围构成了收敛域（Region of Convergence, ROC）。收敛域是 Z 变换存在的前提，不同的序列可能有相同的 Z 变换表达式，但收敛域可能不同。

常用 Z 变换对

掌握一些基本信号的 Z 变换对对于进行系统分析至关重要。

① 单位脉冲序列（Unit Impulse Sequence） \(\delta[n]\)
\[ \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} \]
\[ \mathcal{Z}\{\delta[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n]z^{-n} = \delta[0]z^{-0} = 1 \]
收敛域为整个 z 平面，即 ROC: \(|z| > 0\)。

② 单位阶跃序列（Unit Step Sequence） \(u[n]\)
\[ u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases} \]
\[ \mathcal{Z}\{u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} u[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z - 1} \]
收敛域为 \(|z| > 1\)。

③ 指数序列（Exponential Sequence） \(a^n u[n]\)
\[ \mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z - a} \]
收敛域为 \(|z| > |a|\)。

④ 斜坡序列（Ramp Sequence） \(n u[n]\)
\[ \mathcal{Z}\{n u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} n z^{-n} = -z \frac{d}{dz} \left( \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} \right) = -z \frac{d}{dz} \left( \frac{1}{1 - z^{-1}} \right) = \frac{z}{(z - 1)^2} \]
收敛域为 \(|z| > 1\)。

Z 变换的性质

Z 变换具有许多重要的性质，这些性质简化了复杂信号的 Z 变换计算和系统分析。

① 线性性（Linearity）
若 \(\mathcal{Z}\{x_1[n]\} = X_1(z)\) 和 \(\mathcal{Z}\{x_2[n]\} = X_2(z)\)，则对于任意常数 \(a\) 和 \(b\)，有：
\[ \mathcal{Z}\{a x_1[n] + b x_2[n]\} = a X_1(z) + b X_2(z) \]
收敛域为 \(ROC_{X_1} \cap ROC_{X_2}\)。

② 时移性（Time Shifting）
若 \(\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)\)，则对于整数 \(k\)，有：
\[ \mathcal{Z}\{x[n - k]\} = z^{-k} X(z) \]
收敛域与 \(X(z)\) 相同，可能需要排除 \(z=0\) 或 \(z=\infty\)。

③ 尺度变换（Scaling in z-domain）
若 \(\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z)\)，则对于常数 \(a\)，有：
\[ \mathcal{Z}\{a^n x[n]\} = X(z/a) \]
收敛域为 \(|z/a| \in ROC_X\)，即 \(|z| \in |a| ROC_X\)。

④ 卷积定理（Convolution Theorem）
若 \(\mathcal{Z}\{x_1[n]\} = X_1(z)\) 和 \(\mathcal{Z}\{x_2[n]\} = X_2(z)\)，且 \(y[n] = x_1[n] * x_2[n]\) 表示卷积，则：
\[ \mathcal{Z}\{y[n]\} = \mathcal{Z}\{x_1[n] * x_2[n]\} = X_1(z) X_2(z) \]
收敛域为 \(ROC_{X_1} \cap ROC_{X_2}\)。

⑤ 初值定理（Initial Value Theorem）
如果 \(x[n]\) 是因果序列（即当 \(n < 0\) 时，\(x[n] = 0\)），则：
\[ x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z) \]

⑥ 终值定理（Final Value Theorem）
如果 \(x[n]\) 的终值存在，且 \(X(z)\) 在 \(|z| > 1\) 内解析，除了可能在 \(z = 1\) 处有一个一阶极点，则：
\[ \lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z - 1) X(z) \]

逆 Z 变换 (Inverse Z-Transform)

逆 Z 变换是将 Z 域信号 \(X(z)\) 转换回时域信号 \(x[n]\) 的过程。常用的方法有：

① 部分分式展开法（Partial Fraction Expansion）
将 \(X(z)\) 展开成若干简单项之和，然后利用已知的 Z 变换对，逐项求逆变换。这种方法适用于有理分式形式的 \(X(z)\)。

② 幂级数展开法（Power Series Expansion）
将 \(X(z)\) 展开成关于 \(z^{-1}\) 的幂级数，系数即为 \(x[n]\) 的值。这种方法直接明了，但可能不适用于求闭合形式的解。

③ 围线积分法（Contour Integration）
利用柯西积分公式，通过围线积分计算逆 Z 变换：
\[ x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) z^{n-1} dz \]
其中 \(C\) 是收敛域内包围原点的逆时针闭合围线。这种方法理论上通用，但计算较为复杂。

应用

Z 变换在离散时间控制系统分析中应用广泛，例如：

⚝ 系统稳定性分析：通过分析系统传递函数的极点位置来判断系统的稳定性。
⚝ 系统响应分析：计算系统对不同输入信号的响应，如阶跃响应、脉冲响应等。
⚝ 控制器设计：在 z 域设计控制器，如数字 PID 控制器、状态反馈控制器等。

11.1.2 离散传递函数 (Discrete Transfer Function)

离散传递函数（Discrete Transfer Function）是描述线性时不变离散时间系统输入-输出关系的数学模型，它是连续时间系统传递函数在离散时间系统中的对应。传递函数在 z 域中定义，是系统输出信号的 Z 变换与输入信号的 Z 变换之比，假设初始条件为零。

定义

对于一个线性时不变离散时间系统，设输入信号为 \(u[n]\)，输出信号为 \(y[n]\)。它们的 Z 变换分别为 \(U(z)\) 和 \(Y(z)\)。系统的离散传递函数 \(G(z)\) 定义为：
\[ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} \]
传递函数 \(G(z)\) 是一个复变量 \(z\) 的有理分式，通常表示为：
\[ G(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_m z^{-m}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_n z^{-n}} = \frac{B(z)}{A(z)} \]
或者等价地表示为正幂形式：
\[ G(z) = \frac{b_0 z^n + b_1 z^{n-1} + \cdots + b_m z^{n-m}}{z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n} \]
其中，\(a_i\) 和 \(b_j\) 是常系数，\(n\) 是系统的阶次，通常 \(n \geq m\)。多项式 \(B(z)\) 的根称为系统的零点（zeros），多项式 \(A(z)\) 的根称为系统的极点（poles）。

传递函数的性质

① 传递函数完全描述了线性时不变离散时间系统的输入-输出特性。
② 传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与输入信号无关。
③ 传递函数的极点决定了系统的稳定性和动态特性。
④ 传递函数可以方便地用于系统分析和设计，如稳定性分析、频率响应分析、控制器设计等。

传递函数的求取

① 从差分方程求传递函数
线性时不变离散时间系统可以用差分方程描述。对差分方程两边取 Z 变换，利用 Z 变换的线性性和时移性，可以得到系统的传递函数。

例如，考虑如下二阶差分方程：
\[ y[n] + a_1 y[n-1] + a_2 y[n-2] = b_0 u[n] + b_1 u[n-1] \]
对上式两边取 Z 变换，假设初始条件为零，得到：
\[ Y(z) + a_1 z^{-1} Y(z) + a_2 z^{-2} Y(z) = b_0 U(z) + b_1 z^{-1} U(z) \]
整理得到传递函数：
\[ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} = \frac{b_0 z^2 + b_1 z}{z^2 + a_1 z + a_2} \]

② 从脉冲响应求传递函数
系统的脉冲响应 \(h[n]\) 是指系统在单位脉冲输入 \(\delta[n]\) 下的输出。脉冲响应的 Z 变换就是系统的传递函数。
\[ H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\} = G(z) \]
因此，如果已知系统的脉冲响应 \(h[n]\)，对其进行 Z 变换即可得到系统的传递函数 \(G(z)\)。

传递函数的应用

① 稳定性分析
离散时间系统的稳定性可以通过分析传递函数的极点位置来判断。对于因果系统，系统稳定的充要条件是传递函数 \(G(z)\) 的所有极点都位于 z 平面单位圆内，即 \(|p_i| < 1\) 对于所有极点 \(p_i\)。

② 系统响应分析
已知系统的传递函数 \(G(z)\) 和输入信号的 Z 变换 \(U(z)\)，可以求得输出信号的 Z 变换 \(Y(z) = G(z) U(z)\)，再通过逆 Z 变换得到时域输出响应 \(y[n]\)。

③ 系统连接
对于串联连接的系统，总传递函数是各系统传递函数的乘积。对于并联连接的系统，总传递函数是各系统传递函数的和。对于反馈连接的系统，可以使用代数方法求得闭环传递函数。例如，对于单位负反馈系统，前向通道传递函数为 \(G(z)\)，闭环传递函数为：
\[ G_{cl}(z) = \frac{G(z)}{1 + G(z)} \]

零极点图 (Pole-Zero Plot)

零极点图是在 z 平面上标出系统传递函数 \(G(z)\) 的零点和极点的图形。零点用 "◦" 表示，极点用 "×" 表示。零极点图可以直观地表示系统传递函数的特性，用于分析系统的稳定性、频率响应等。

11.1.3 离散状态空间模型 (Discrete State Space Model)

离散状态空间模型（Discrete State Space Model）是描述离散时间系统的另一种重要数学模型，它不仅可以描述单输入单输出系统，还可以描述多输入多输出系统，并且能够处理系统的内部状态变量，提供比传递函数更全面的系统描述。

标准形式

离散状态空间模型由状态方程和输出方程组成：
\[ \begin{aligned} \mathbf{x}[n+1] &= \mathbf{A} \mathbf{x}[n] + \mathbf{B} \mathbf{u}[n] \\ \mathbf{y}[n] &= \mathbf{C} \mathbf{x}[n] + \mathbf{D} \mathbf{u}[n] \end{aligned} \]
其中：
⚝ \(\mathbf{x}[n]\) 是 \(N \times 1\) 状态向量（state vector），表示系统的内部状态。
⚝ \(\mathbf{u}[n]\) 是 \(M \times 1\) 输入向量（input vector）。
⚝ \(\mathbf{y}[n]\) 是 \(P \times 1\) 输出向量（output vector）。
⚝ \(\mathbf{A}\) 是 \(N \times N\) 状态矩阵（state matrix）。
⚝ \(\mathbf{B}\) 是 \(N \times M\) 输入矩阵（input matrix）。
⚝ \(\mathbf{C}\) 是 \(P \times N\) 输出矩阵（output matrix）。
⚝ \(\mathbf{D}\) 是 \(P \times M\) 直接传递矩阵（direct transmission matrix）。

\(N\) 是系统的阶次，等于状态向量的维数。

状态空间模型的建立

① 从差分方程建立状态空间模型
考虑一个单输入单输出系统的 \(n\) 阶差分方程：
\[ y[n+n] + a_1 y[n+n-1] + \cdots + a_n y[n] = b_0 u[n+n] + b_1 u[n+n-1] + \cdots + b_n u[n] \]
为了将其转换为状态空间形式，需要选择合适的状态变量。一种常用的方法是可控 canonical form。定义状态变量为：
\[ \begin{aligned} x_1[n] &= y[n] - d_0 u[n] \\ x_2[n] &= y[n+1] - d_0 u[n+1] - d_1 u[n] \\ &\vdots \\ x_n[n] &= y[n+n-1] - d_0 u[n+n-1] - \cdots - d_{n-1} u[n] \end{aligned} \]
其中系数 \(d_i\) 需要适当选择，以简化状态方程的形式。一种常见的选择是令 \(d_0 = b_0\)，\(d_1 = b_1 - a_1 d_0\)，依此类推。通过这种方式，可以推导出状态方程和输出方程，得到 \(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}\) 矩阵。

② 从传递函数建立状态空间模型
已知系统的传递函数 \(G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_m z^{-m}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_n z^{-n}}\)。可以采用可控 canonical form 或可观 canonical form 等方法将其转换为状态空间模型。

例如，对于可控 canonical form，状态空间矩阵可以表示为：
\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{C} = \begin{bmatrix} b_n - a_n b_0 & b_{n-1} - a_{n-1} b_0 & \cdots & b_1 - a_1 b_0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = [b_0] \]
这里假设 \(m = n\)，如果 \(m < n\)，则令 \(b_{m+1} = \cdots = b_n = 0\)。

状态空间模型的求解

给定初始状态 \(\mathbf{x}[0]\) 和输入序列 \(\mathbf{u}[n]\)，可以迭代求解状态方程和输出方程，得到状态序列 \(\mathbf{x}[n]\) 和输出序列 \(\mathbf{y}[n]\)。

从状态方程出发，可以得到状态的解：
\[ \mathbf{x}[n] = \mathbf{A}^n \mathbf{x}[0] + \sum_{k=0}^{n-1} \mathbf{A}^{n-1-k} \mathbf{B} \mathbf{u}[k] \]
输出方程直接给出输出 \(\mathbf{y}[n]\)。

状态空间模型的传递函数

状态空间模型和传递函数模型之间可以相互转换。从状态空间模型求传递函数，可以对状态方程和输出方程取 Z 变换：
\[ \begin{aligned} z \mathbf{X}(z) &= \mathbf{A} \mathbf{X}(z) + \mathbf{B} \mathbf{U}(z) \\ \mathbf{Y}(z) &= \mathbf{C} \mathbf{X}(z) + \mathbf{D} \mathbf{U}(z) \end{aligned} \]
整理状态方程得到：
\[ (z \mathbf{I} - \mathbf{A}) \mathbf{X}(z) = \mathbf{B} \mathbf{U}(z) \]
\[ \mathbf{X}(z) = (z \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} \mathbf{U}(z) \]
代入输出方程，得到：
\[ \mathbf{Y}(z) = \mathbf{C} (z \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} \mathbf{U}(z) + \mathbf{D} \mathbf{U}(z) = [\mathbf{C} (z \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D}] \mathbf{U}(z) \]
因此，系统的传递函数矩阵 \(\mathbf{G}(z)\) 为：
\[ \mathbf{G}(z) = \frac{\mathbf{Y}(z)}{\mathbf{U}(z)} = \mathbf{C} (z \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D} \]
对于单输入单输出系统，\(\mathbf{G}(z)\) 就是标量传递函数 \(G(z)\)。

状态空间模型的应用

① 系统分析
状态空间模型可以用于分析系统的可控性（controllability）、可观测性（observability）、稳定性（stability）等重要性质。

② 控制器设计
状态空间方法是现代控制理论的重要组成部分，可以用于设计状态反馈控制器、观测器等，实现对系统的精确控制。例如，极点配置（pole placement）和线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator, LQR）等控制方法都是基于状态空间模型的。

③ 系统仿真
状态空间模型可以直接在计算机上进行仿真，研究系统的动态行为。

11.2 离散控制器设计 (Discrete Controller Design)

11.2.1 数字 PID 控制 (Digital PID Control)

数字 PID 控制（Digital PID Control）是连续 PID 控制算法在离散时间系统中的实现形式，是工业控制中最广泛应用的一种控制策略。由于计算机控制系统是采样控制系统，控制器必须以数字形式实现。

连续 PID 控制回顾

连续 PID 控制器的控制规律为：
\[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]
其中，\(u(t)\) 是控制输出，\(e(t) = r(t) - y(t)\) 是误差信号，\(r(t)\) 是参考输入，\(y(t)\) 是系统输出，\(K_p\)、\(K_i\)、\(K_d\) 分别是比例增益（Proportional Gain）、积分增益（Integral Gain）和微分增益（Derivative Gain）。

数字 PID 控制算法

为了在数字计算机上实现 PID 控制，需要将连续 PID 算法离散化。常用的离散化方法有：

① 位置式 PID 算法 (Positional PID Algorithm)
将积分项和微分项用数值方法近似，得到离散形式的 PID 控制算法。

⚝ 积分项离散化：使用累加和近似积分，例如前向欧拉法：
\[ \int_0^t e(\tau) d\tau \approx T \sum_{k=0}^{n} e(kT) \]
⚝ 微分项离散化：使用差分近似微分，例如后向差分：
\[ \frac{de(t)}{dt} \approx \frac{e(nT) - e((n-1)T)}{T} = \frac{e[n] - e[n-1]}{T} \]
其中 \(T\) 是采样周期，\(t = nT\)，\(e[n] = e(nT)\)。

将离散近似代入连续 PID 公式，得到位置式数字 PID 算法：
\[ u[n] = K_p e[n] + K_i T \sum_{k=0}^{n} e[k] + \frac{K_d}{T} (e[n] - e[n-1]) \]
或者写成增量形式：
\[ u[n] = K_p e[n] + K_I \sum_{k=0}^{n} e[k] + K_D (e[n] - e[n-1]) \]
其中 \(K_I = K_i T\)，\(K_D = K_d / T\)。

② 增量式 PID 算法 (Incremental PID Algorithm)
增量式 PID 算法计算的是控制量的增量 \(\Delta u[n] = u[n] - u[n-1]\)，而不是控制量的绝对值 \(u[n]\)。这种形式在实际应用中更常用，因为它可以减小积分饱和现象，并且在执行机构需要增量控制时更为方便。

增量式 PID 算法的推导：
\[ \begin{aligned} \Delta u[n] &= u[n] - u[n-1] \\ &= [K_p e[n] + K_I \sum_{k=0}^{n} e[k] + K_D (e[n] - e[n-1])] - [K_p e[n-1] + K_I \sum_{k=0}^{n-1} e[k] + K_D (e[n-1] - e[n-2])] \\ &= K_p (e[n] - e[n-1]) + K_I e[n] + K_D (e[n] - 2e[n-1] + e[n-2]) \end{aligned} \]
因此，增量式数字 PID 算法为：
\[ \Delta u[n] = K_p (e[n] - e[n-1]) + K_I e[n] + K_D (e[n] - 2e[n-1] + e[n-2]) \]
控制输出 \(u[n]\) 可以通过累加增量得到：
\[ u[n] = u[n-1] + \Delta u[n] \]

数字 PID 控制器的传递函数

将数字 PID 算法转换到 z 域，可以得到数字 PID 控制器的传递函数。

对于位置式 PID 算法：
\[ U(z) = K_p E(z) + K_I \frac{z}{z-1} E(z) + K_D \frac{z-1}{z} E(z) \]
传递函数为：
\[ G_c(z) = \frac{U(z)}{E(z)} = K_p + \frac{K_I z}{z-1} + K_D \frac{z-1}{z} = \frac{(K_p + K_I + K_D)z^2 + (-K_p - 2K_D)z + K_D}{z(z-1)} \]

对于增量式 PID 算法，对 \(\Delta u[n]\) 的表达式取 Z 变换：
\[ \Delta U(z) = [K_p (1 - z^{-1}) + K_I + K_D (1 - 2z^{-1} + z^{-2})] E(z) \]
由于 \(\Delta U(z) = (1 - z^{-1}) U(z) = \frac{z-1}{z} U(z)\)，所以：
\[ \frac{z-1}{z} U(z) = [K_p (1 - z^{-1}) + K_I + K_D (1 - 2z^{-1} + z^{-2})] E(z) \]
传递函数为：
\[ G_c(z) = \frac{U(z)}{E(z)} = \frac{z}{z-1} [K_p (1 - z^{-1}) + K_I + K_D (1 - 2z^{-1} + z^{-2})] = \frac{K_I z^2 + (K_p - 2K_D - K_I)z + (K_D + K_p)}{z(z-1)} \]
两种形式的传递函数略有不同，但本质上都是 PID 控制器的离散实现。

PID 参数整定 (PID Parameter Tuning)

数字 PID 控制器的参数整定方法与连续 PID 控制器类似，常用的方法包括：

① 经验试凑法 (Trial and Error Method)
根据经验和实验，逐步调整 \(K_p\)、\(K_i\)、\(K_d\) 参数，观察系统响应，直到满足性能指标。

② Ziegler-Nichols 整定法 (Ziegler-Nichols Tuning Method)
包括临界比例度法和阶跃响应法，是经典的 PID 参数整定方法。

③ 基于模型的整定方法 (Model-Based Tuning Methods)
如果已知被控对象的模型，可以使用模型预测控制、内模控制等方法进行 PID 参数整定。

④ 自动整定方法 (Auto-tuning Methods)
利用自适应控制或智能算法，自动在线整定 PID 参数。

数字 PID 控制的应用

数字 PID 控制器广泛应用于工业过程控制、运动控制、温度控制、液位控制等领域，具有结构简单、易于实现、鲁棒性好等优点。

11.2.2 离散状态反馈控制 (Discrete State Feedback Control)

离散状态反馈控制（Discrete State Feedback Control）是基于状态空间模型的控制方法，通过测量或估计系统的状态变量，并将其线性反馈到输入端，从而实现对系统的控制。状态反馈控制可以实现极点配置，从而改变系统的动态性能。

状态反馈控制律

对于离散状态空间模型：
\[ \begin{aligned} \mathbf{x}[n+1] &= \mathbf{A} \mathbf{x}[n] + \mathbf{B} \mathbf{u}[n] \\ \mathbf{y}[n] &= \mathbf{C} \mathbf{x}[n] + \mathbf{D} \mathbf{u}[n] \end{aligned} \]
状态反馈控制的目标是通过设计控制律 \(\mathbf{u}[n]\)，使得闭环系统具有期望的性能。最常用的状态反馈控制律是线性状态反馈：
\[ \mathbf{u}[n] = -\mathbf{K} \mathbf{x}[n] + \mathbf{v}[n] \]
其中，\(\mathbf{K}\) 是 \(M \times N\) 状态反馈增益矩阵，\(\mathbf{v}[n]\) 是外部参考输入。负号表示负反馈。

闭环系统

将状态反馈控制律代入状态方程，得到闭环系统状态方程：
\[ \mathbf{x}[n+1] = \mathbf{A} \mathbf{x}[n] + \mathbf{B} (-\mathbf{K} \mathbf{x}[n] + \mathbf{v}[n]) = (\mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K}) \mathbf{x}[n] + \mathbf{B} \mathbf{v}[n] \]
闭环系统的状态矩阵为 \(\mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K}\)。闭环系统的输出方程仍然是：
\[ \mathbf{y}[n] = \mathbf{C} \mathbf{x}[n] + \mathbf{D} \mathbf{u}[n] = \mathbf{C} \mathbf{x}[n] + \mathbf{D} (-\mathbf{K} \mathbf{x}[n] + \mathbf{v}[n]) = (\mathbf{C} - \mathbf{D} \mathbf{K}) \mathbf{x}[n] + \mathbf{D} \mathbf{v}[n] \]
或者，如果输出方程只考虑状态反馈部分，则为 \(\mathbf{y}[n] = \mathbf{C} \mathbf{x}[n]\)。

极点配置 (Pole Placement)

状态反馈控制的主要目的是通过配置闭环系统的极点，来改变系统的动态性能。闭环系统的特征方程为：
\[ \det(z \mathbf{I} - \mathbf{A}_{cl}) = \det(z \mathbf{I} - (\mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K})) = 0 \]
特征方程的根就是闭环系统的极点。通过合理选择状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\)，可以将闭环系统的极点配置到期望的位置，从而实现期望的系统性能，如稳定性、响应速度、阻尼比等。

可控性 (Controllability)

系统可控性是实现极点任意配置的前提条件。对于单输入系统，如果系统是可控的，则可以通过状态反馈将闭环系统的 \(n\) 个极点任意配置到期望的位置。对于多输入系统，可以配置更多的极点。

系统可控的判据是可控性矩阵 \(\mathcal{C}\) 满秩：
\[ \mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{A}\mathbf{B} & \mathbf{A}^2\mathbf{B} & \cdots & \mathbf{A}^{N-1}\mathbf{B} \end{bmatrix} \]
如果 \(\text{rank}(\mathcal{C}) = N\)，则系统是可控的。

状态反馈增益矩阵 K 的设计

① 直接极点配置法 (Direct Pole Placement Method)
对于单输入单输出系统，可以直接将期望的闭环特征多项式与实际的闭环特征多项式进行系数匹配，解方程组求得状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\)。

② Ackermann 公式 (Ackermann's Formula)
Ackermann 公式提供了一种计算状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\) 的显式表达式。对于单输入系统，设期望的闭环特征多项式为 \(\alpha_{cl}(z) = z^N + \alpha_1 z^{N-1} + \cdots + \alpha_N\)，则状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\) 可以通过 Ackermann 公式计算：
\[ \mathbf{K} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathcal{C}^{-1} \alpha_{cl}(\mathbf{A}) \]
其中 \(\alpha_{cl}(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^N + \alpha_1 \mathbf{A}^{N-1} + \cdots + \alpha_N \mathbf{I}\)。

③ MATLAB 工具箱
MATLAB 控制系统工具箱提供了 place 和 acker 函数，可以方便地计算状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\)。

状态观测器 (State Observer)

在实际系统中，状态变量可能无法直接测量，或者测量成本过高。这时需要设计状态观测器（state observer）来估计系统的状态。状态观测器利用系统的输入输出信息，重构系统的状态。状态反馈控制与状态观测器结合，构成了输出反馈控制系统。这部分内容将在后续章节详细介绍。

离散状态反馈控制的应用

离散状态反馈控制广泛应用于需要精确控制系统动态性能的场合，如飞行控制、机器人控制、伺服系统等。通过合理配置闭环极点，可以实现快速响应、良好稳定性和抗干扰能力。

12. chapter 12： 控制系统的应用 (Applications of Control Systems)

控制理论 (Control Theory) 不仅是深刻的数学理论，更是工程实践中不可或缺的核心技术。它广泛应用于各个领域，从日常生活中的家用电器到复杂的工业系统和航空航天工程，都离不开控制系统的身影。本章将深入探讨控制理论在不同领域的典型应用，展示其在解决实际问题中的强大能力和广泛价值。

12.1 工业自动化中的应用 (Applications in Industrial Automation)

工业自动化 (Industrial Automation) 是控制理论最重要的应用领域之一。现代工业生产高度依赖自动化系统来提高效率、质量和安全性。控制系统在工业自动化中扮演着至关重要的角色，从简单的过程控制到复杂的机器人控制，都体现了控制理论的强大功能。

12.1.1 过程控制 (Process Control)

过程控制 (Process Control) 是工业自动化中最基础和最广泛的应用之一。它指的是对工业生产过程中的各种参数，如温度、压力、流量、液位、pH 值、成分等进行自动控制，以保证生产过程的安全、稳定、高效和优质。过程控制系统广泛应用于化工、石油、冶金、电力、食品、制药等行业。

① 过程控制的基本概念

过程控制的核心目标是将生产过程中的关键参数维持在期望值附近，或者按照预定的轨迹变化。这通常需要通过测量实际参数值，与设定值进行比较，然后根据偏差调整控制输入来实现。一个典型的过程控制系统通常包括以下几个组成部分：

⚝ 被控对象 (Plant/Process)：即需要控制的工业生产过程，例如化工反应器、锅炉、蒸馏塔等。被控对象的特性直接决定了控制系统的设计和性能。
⚝ 传感器 (Sensor)：用于测量被控过程的输出变量（被控变量），例如温度传感器、压力传感器、流量传感器等。传感器的精度和响应速度直接影响控制系统的测量精度和实时性。
⚝ 控制器 (Controller)：控制系统的核心，根据传感器测量的实际值与设定值之间的偏差，按照一定的控制算法计算出控制信号。控制器可以是各种形式，例如 PID 控制器 (PID Controller)、模型预测控制器 (Model Predictive Controller, MPC) 等。
⚝ 执行器 (Actuator)：接收控制器的控制信号，并作用于被控对象，改变被控对象的输入，从而实现对被控变量的控制。执行器可以是各种类型的阀门、泵、电机、加热器等。

② 典型的过程控制系统

一个典型的过程控制系统是温度控制系统。例如，在化工反应过程中，反应温度的精确控制至关重要，它直接影响反应速率、产物选择性和产品质量。一个简单的温度控制系统可能包括：

⚝ 被控对象：化工反应器。
⚝ 传感器：热电偶或热电阻，用于测量反应器内的温度。
⚝ 控制器：PID 控制器，根据设定的温度和实际温度的偏差，计算出加热或冷却的控制信号。
⚝ 执行器：加热器或冷却装置，例如电加热器、冷却水阀门等。

案例分析：化工反应器温度控制

假设我们需要控制一个连续搅拌釜式反应器 (Continuous Stirred-Tank Reactor, CSTR) 的反应温度。反应器内进行一个放热反应，需要精确控制温度以保证反应安全和产品质量。

系统建模：首先，我们需要建立反应器温度的数学模型。这通常涉及到能量平衡方程，考虑反应热、进料和出料的热量、以及加热或冷却系统的热量输入。模型可能是一个复杂的非线性微分方程。为了简化控制系统设计，通常需要对模型进行线性化处理。

控制器设计：常用的控制器是 PID 控制器。PID 控制器根据温度设定值 \(T_{set}\) 和实际测量值 \(T_{actual}\) 的偏差 \(e = T_{set} - T_{actual}\) 计算控制输出 \(u\)，控制输出通常是加热功率或冷却水流量。PID 控制器的控制规律如下：

\[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]

其中，\(K_p\)、\(K_i\)、\(K_d\) 分别是比例增益 (Proportional Gain)、积分增益 (Integral Gain) 和微分增益 (Derivative Gain)。这些参数需要根据具体的反应器特性和控制要求进行整定 (Tuning)。常用的整定方法包括经验法 (如 Ziegler-Nichols 方法)、试凑法和优化算法等。

系统分析与优化：设计好 PID 控制器后，需要对闭环系统进行稳定性分析、时域分析和频域分析，以评估控制系统的性能，例如超调量 (Overshoot)、稳态误差 (Steady-State Error)、响应速度 (Response Speed) 等。如果性能不满足要求，需要重新调整 PID 参数，或者考虑更高级的控制策略，例如模型预测控制 (MPC)。

先进过程控制 (Advanced Process Control, APC)：对于更复杂的过程控制问题，例如多变量耦合系统、非线性系统、时变系统等，简单的 PID 控制可能难以满足要求。这时需要采用更先进的控制策略，例如模型预测控制 (MPC)、鲁棒控制 (Robust Control)、自适应控制 (Adaptive Control) 等。MPC 能够显式地考虑过程的动态特性和约束条件，实现更优的控制性能。鲁棒控制能够处理模型不确定性和外部扰动的影响，保证系统的鲁棒稳定性 (Robust Stability) 和鲁棒性能 (Robust Performance)。自适应控制能够根据过程特性的变化自动调整控制器参数，适应时变环境。

③ 过程控制的应用领域

过程控制的应用几乎涵盖所有工业领域：

⚝ 化工行业：反应器控制、蒸馏塔控制、精馏塔控制、萃取过程控制、干燥过程控制等。
⚝ 石油行业：原油炼制过程控制、石油化工过程控制、管道输送控制等。
⚝ 冶金行业：高炉炼铁控制、炼钢过程控制、轧钢过程控制、有色金属冶炼控制等。
⚝ 电力行业：锅炉控制、汽轮机控制、发电机控制、电网调度控制等。
⚝ 食品行业：食品加工过程控制、饮料生产过程控制、包装过程控制等。
⚝ 制药行业：药品生产过程控制、生物制药过程控制、发酵过程控制等。

过程控制是实现工业自动化和智能制造 (Intelligent Manufacturing) 的关键技术，它不仅提高了生产效率和产品质量，还降低了能源消耗和环境污染，为可持续发展做出了重要贡献。

12.1.2 机器人控制 (Robot Control)

机器人控制 (Robot Control) 是控制理论在工业自动化中的另一个重要应用领域。工业机器人 (Industrial Robot) 广泛应用于制造业的各个环节，例如焊接、喷涂、装配、搬运等，以提高生产效率、降低劳动强度和改善工作环境。机器人控制的目标是使机器人能够精确、稳定、快速地完成各种预定的任务。

① 机器人控制的基本概念

机器人控制系统通常包括以下几个层次：

⚝ 任务规划层 (Task Planning Layer)：根据用户的指令和任务要求，规划机器人的运动轨迹和操作序列。例如，对于焊接任务，任务规划层需要确定焊缝的路径、焊接速度、焊接参数等。
⚝ 运动规划层 (Motion Planning Layer)：根据任务规划层给出的运动轨迹，生成机器人的关节运动指令。运动规划需要考虑机器人的动力学特性、运动学约束和环境障碍物，保证机器人运动的平滑性和安全性。
⚝ 伺服控制层 (Servo Control Layer)：根据运动规划层生成的关节运动指令，控制机器人的各个关节电机，实现精确的轨迹跟踪和位置控制。伺服控制是机器人控制的核心，直接影响机器人的运动精度和动态性能。

② 典型的机器人控制系统

一个典型的工业机器人控制系统是关节型机器人 (Articulated Robot) 的位置控制系统。关节型机器人由一系列关节连接而成，每个关节由伺服电机驱动。机器人控制的目标是控制各个关节的角度，使机器人末端执行器 (End-Effector) 能够到达期望的位置和姿态。

系统建模：机器人动力学建模是机器人控制的基础。机器人动力学方程描述了机器人关节力矩与关节加速度、速度和位置之间的关系。对于一个 \(n\) 自由度 (Degrees of Freedom, DOF) 的关节型机器人，其动力学方程可以表示为：

\[ \mathbf{M}(\mathbf{q}) \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) \dot{\mathbf{q}} + \mathbf{G}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau} \]

其中，\(\mathbf{q}\) 是 \(n \times 1\) 关节角度向量，\(\dot{\mathbf{q}}\) 是关节角速度向量，\(\ddot{\mathbf{q}}\) 是关节角加速度向量，\(\boldsymbol{\tau}\) 是 \(n \times 1\) 关节力矩向量，\(\mathbf{M}(\mathbf{q})\) 是 \(n \times n\) 惯性矩阵，\(\mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\) 是 \(n \times n\) 科氏力和离心力矩阵，\(\mathbf{G}(\mathbf{q})\) 是 \(n \times 1\) 重力向量。这些矩阵和向量都是关节角度的函数，使得机器人动力学方程具有高度的非线性。

控制器设计：机器人伺服控制的目标是设计控制器，使得机器人的实际关节角度 \(\mathbf{q}_{actual}\) 能够跟踪期望的关节角度 \(\mathbf{q}_{desired}\)。常用的机器人伺服控制方法包括：

⚝ 独立关节控制 (Independent Joint Control)：将每个关节视为独立的单输入单输出 (Single-Input Single-Output, SISO) 系统，分别设计 PID 控制器。这种方法简单易行，但忽略了关节之间的耦合作用，难以实现高精度的控制。
⚝ 计算力矩控制 (Computed Torque Control)：基于机器人动力学模型，计算出所需的关节力矩，然后通过伺服电机实现力矩控制。计算力矩控制能够有效地补偿机器人动力学非线性和耦合性，实现高精度的轨迹跟踪。其控制律可以表示为：

\[ \boldsymbol{\tau} = \mathbf{M}(\mathbf{q}) \boldsymbol{u} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) \dot{\mathbf{q}} + \mathbf{G}(\mathbf{q}) \]
\[ \boldsymbol{u} = \ddot{\mathbf{q}}_{desired} + \mathbf{K}_v (\dot{\mathbf{q}}_{desired} - \dot{\mathbf{q}}_{actual}) + \mathbf{K}_p (\mathbf{q}_{desired} - \mathbf{q}_{actual}) \]

其中，\(\boldsymbol{u}\) 是辅助控制输入，\(\mathbf{K}_p\) 和 \(\mathbf{K}_v\) 是比例和微分增益矩阵。计算力矩控制需要精确的机器人动力学模型，对模型精度要求较高。
⚝ 自适应控制 (Adaptive Control) 和鲁棒控制 (Robust Control)：为了克服模型不确定性和外部扰动的影响，可以采用自适应控制和鲁棒控制方法。自适应控制能够在线估计和补偿模型参数的不确定性，鲁棒控制能够保证系统在模型不确定性和扰动下的稳定性和性能。

力/位混合控制 (Force/Position Hybrid Control)：在某些机器人应用中，例如装配、打磨等，需要同时控制机器人的位置和力。力/位混合控制能够根据任务要求，在不同方向上分别控制机器人的位置和力，实现更灵活和智能的操作。

③ 机器人控制的应用领域

机器人控制的应用非常广泛，涵盖了制造业的各个领域：

⚝ 焊接机器人 (Welding Robot)：用于汽车制造、船舶制造、工程机械等行业的焊接自动化生产线。
⚝ 喷涂机器人 (Painting Robot)：用于汽车涂装、家具喷漆、家电喷涂等行业的自动化喷涂生产线。
⚝ 装配机器人 (Assembly Robot)：用于电子产品装配、汽车零部件装配、机械产品装配等行业的自动化装配生产线。
⚝ 搬运机器人 (Material Handling Robot)：用于物料搬运、上下料、码垛等自动化物流系统。
⚝ 加工机器人 (Machining Robot)：用于金属切削、打磨、抛光等自动化加工生产线。
⚝ 特种机器人 (Special Robot)：例如，水下机器人 (Underwater Robot)、排爆机器人 (Explosion-Proof Robot)、医疗机器人 (Medical Robot) 等，应用于特殊环境和特殊任务。

机器人控制技术不断发展，正朝着更智能、更灵活、更安全的方向发展。随着人工智能 (Artificial Intelligence, AI)、机器学习 (Machine Learning) 等技术的融合，未来的机器人将更加智能化，能够自主完成更复杂的任务，成为智能制造的重要组成部分。

12.2 航空航天中的应用 (Applications in Aerospace)

航空航天 (Aerospace) 领域是控制理论的另一个重要应用领域。航空航天系统，如飞机、卫星、导弹、航天器等，都是高度复杂的动态系统，其安全、稳定、精确运行离不开先进的控制技术。控制理论在航空航天领域发挥着至关重要的作用，从飞行控制到姿态控制，都体现了控制理论的强大威力。

12.2.1 飞行控制 (Flight Control)

飞行控制 (Flight Control) 是航空领域的核心技术之一。飞行控制系统的目标是控制飞机的飞行姿态、飞行轨迹和飞行速度，保证飞机安全、稳定、高效地完成飞行任务。现代飞机，特别是高性能战斗机和大型客机，都采用了复杂的自动飞行控制系统 (Automatic Flight Control System, AFCS)。

① 飞行控制的基本概念

飞行控制系统通常包括以下几个子系统：

⚝ 纵向控制系统 (Longitudinal Control System)：控制飞机的俯仰运动 (Pitch Motion) 和纵向速度，主要通过升降舵 (Elevator) 和油门 (Throttle) 实现。纵向控制关系到飞机的升降、加速和减速。
⚝ 横侧向控制系统 (Lateral-Directional Control System)：控制飞机的滚转运动 (Roll Motion) 和偏航运动 (Yaw Motion)，主要通过副翼 (Aileron) 和方向舵 (Rudder) 实现。横侧向控制关系到飞机的转弯、侧滑和保持航向。
⚝ 自动驾驶仪 (Autopilot)：在飞行员的指令下，自动控制飞机的飞行姿态和飞行轨迹，减轻飞行员的负担，提高飞行安全性和舒适性。自动驾驶仪可以实现航向保持、高度保持、速度保持、自动导航、自动着陆等功能。
⚝ 飞行管理系统 (Flight Management System, FMS)：综合管理飞机的导航、性能、飞行计划和自动飞行控制，是现代飞机的核心系统之一。FMS 能够优化飞行轨迹、降低燃油消耗、提高飞行效率。

② 典型的飞行控制系统

一个典型的飞行控制系统是飞机纵向姿态控制系统。纵向姿态控制的目标是控制飞机的俯仰角 \(\theta\) 和俯仰角速率 \(q\)，使其跟踪期望的指令。

系统建模：飞机纵向运动的数学模型通常基于牛顿运动定律和空气动力学原理建立。简化后的纵向运动线性模型可以表示为状态空间形式：

\[ \begin{bmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{q} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ M_\theta & M_q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta \\ q \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ M_\delta \end{bmatrix} \delta_e \]
\[ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta \\ q \end{bmatrix} \]

其中，\(\theta\) 是俯仰角，\(q\) 是俯仰角速率，\(\delta_e\) 是升降舵偏角，\(M_\theta\)、\(M_q\)、\(M_\delta\) 是气动导数，与飞机的飞行状态和气动特性有关。

控制器设计：常用的飞行控制方法包括：

⚝ 经典控制方法：例如 PID 控制、超前-滞后补偿 (Lead-Lag Compensation) 等。PID 控制器可以用于俯仰角和俯仰角速率的反馈控制。超前-滞后补偿可以改善系统的动态响应特性。
⚝ 状态反馈控制 (State Feedback Control)：利用状态空间模型，设计状态反馈控制器，实现极点配置 (Pole Placement)，改善系统的稳定性和动态性能。状态反馈控制需要测量或估计系统的状态变量，例如俯仰角和俯仰角速率。
⚝ 鲁棒控制 (Robust Control)：考虑到飞机模型的不确定性和外部扰动（如风切变、湍流等），需要设计鲁棒控制器，保证系统在不确定性下的稳定性和性能。常用的鲁棒控制方法包括 H∞ 控制、\( \mu \) 控制等。
⚝ 自适应控制 (Adaptive Control)：飞机的气动特性随飞行状态变化而变化，为了适应这种变化，可以采用自适应控制方法。自适应控制能够在线估计和补偿模型参数的变化，保持系统的控制性能。

飞行控制律 (Flight Control Law)：飞行控制律是飞行控制系统的核心，它定义了控制器如何根据飞行员的指令和传感器的反馈信号，计算出控制舵面的偏角。现代飞机的飞行控制律通常采用多环结构，包括姿态环、速率环、加速度环等，以实现精确、稳定、快速的飞行控制。

③ 飞行控制的应用领域

飞行控制技术应用于各种类型的飞行器：

⚝ 固定翼飞机 (Fixed-Wing Aircraft)：客机、战斗机、运输机、轰炸机、无人机 (Unmanned Aerial Vehicle, UAV) 等。
⚝ 旋翼飞机 (Rotorcraft)：直升机、倾转旋翼机等。
⚝ 导弹 (Missile)：空空导弹、地空导弹、反舰导弹等。
⚝ 航天飞机 (Space Shuttle)：在再入大气层阶段需要飞行控制系统。

飞行控制技术不断发展，正朝着更智能、更自主、更安全的方向发展。未来的飞行控制系统将更加依赖于人工智能、机器学习和大数据分析等技术，实现更高水平的自动化和智能化，例如自主飞行、智能避障、协同控制等。

12.2.2 卫星姿态控制 (Satellite Attitude Control)

卫星姿态控制 (Satellite Attitude Control) 是航天领域的重要技术之一。卫星在轨运行过程中，需要精确控制其姿态，以保证有效载荷 (Payload) 的正常工作，例如通信天线对准地面站、遥感相机对准目标区域、科学仪器对准观测目标等。卫星姿态控制系统的性能直接影响卫星的任务执行能力和寿命。

① 卫星姿态控制的基本概念

卫星姿态控制的目标是控制卫星在空间中的姿态，即卫星本体坐标系相对于惯性坐标系的方向。卫星姿态通常用欧拉角 (Euler Angles) 或四元数 (Quaternion) 来描述。卫星姿态控制系统通常包括以下几个组成部分：

⚝ 姿态传感器 (Attitude Sensor)：用于测量卫星的姿态信息，例如星敏感器 (Star Sensor)、太阳敏感器 (Sun Sensor)、地球敏感器 (Earth Sensor)、陀螺仪 (Gyroscope) 等。姿态传感器的精度和可靠性直接影响姿态控制系统的性能。
⚝ 姿态执行器 (Attitude Actuator)：用于产生控制力矩，改变卫星的姿态，例如反作用轮 (Reaction Wheel)、控制力矩陀螺 (Control Moment Gyro, CMG)、磁力矩器 (Magnetic Torquer)、姿控发动机 (Thruster) 等。姿态执行器的类型和性能决定了姿态控制系统的能力。
⚝ 姿态控制器 (Attitude Controller)：根据姿态传感器的测量值和期望的姿态，计算出姿态执行器的控制指令，实现闭环姿态控制。姿态控制器是姿态控制系统的核心。
⚝ 姿态确定系统 (Attitude Determination System)：利用姿态传感器的测量数据，估计卫星的姿态和姿态速率。姿态确定是姿态控制的基础。

② 典型的卫星姿态控制系统

一个典型的卫星姿态控制系统是三轴稳定卫星 (Three-Axis Stabilized Satellite) 的姿态控制系统。三轴稳定卫星需要同时控制三个轴的姿态，以实现高精度的姿态指向和稳定。

系统建模：卫星姿态动力学模型描述了卫星姿态角、姿态角速率和控制力矩之间的关系。卫星姿态动力学方程可以用欧拉方程 (Euler's Equations) 表示：

\[ \mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}) = \mathbf{T}_c + \mathbf{T}_d \]

其中，\(\boldsymbol{\omega}\) 是卫星本体坐标系相对于惯性坐标系的角速度向量，\(\mathbf{I}\) 是卫星的惯量矩阵，\(\mathbf{T}_c\) 是控制力矩向量，\(\mathbf{T}_d\) 是扰动力矩向量，例如重力梯度力矩、气动力矩、太阳光压力力矩、磁力矩等。卫星姿态动力学方程是非线性的。

控制器设计：常用的卫星姿态控制方法包括：

⚝ PID 控制：PID 控制器可以用于姿态角和姿态角速率的反馈控制。PID 控制器结构简单，易于实现，但性能有限。
⚝ 状态反馈控制：利用状态空间模型，设计状态反馈控制器，实现极点配置，改善系统的稳定性和动态性能。状态反馈控制需要测量或估计卫星的姿态角和姿态角速率。
⚝ 最优控制 (Optimal Control)：例如线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR)，可以设计最优姿态控制器，最小化性能指标，例如姿态误差和控制能量。
⚝ 鲁棒控制：考虑到卫星模型的不确定性和外部扰动，需要设计鲁棒控制器，保证系统在不确定性下的稳定性和性能。常用的鲁棒控制方法包括 H∞ 控制、滑模控制 (Sliding Mode Control) 等。
⚝ 自适应控制：卫星的惯量矩阵和扰动力矩可能随时间变化，为了适应这种变化，可以采用自适应控制方法。自适应控制能够在线估计和补偿模型参数的变化，保持系统的控制性能。

姿态控制模式 (Attitude Control Mode)：卫星姿态控制系统通常有多种控制模式，例如：

⚝ 三轴稳定模式 (Three-Axis Stabilization Mode)：保持卫星三个轴的姿态稳定，用于对地观测、通信等任务。
⚝ 自旋稳定模式 (Spin Stabilization Mode)：利用卫星的自旋角动量保持姿态稳定，用于早期的通信卫星和科学卫星。
⚝ 动量轮偏置模式 (Momentum Bias Mode)：利用动量轮产生偏置角动量，提高姿态稳定性，降低控制能量消耗。
⚝ 捕获模式 (Acquisition Mode)：在卫星初始入轨或姿态失稳时，快速捕获目标姿态。
⚝ 安全模式 (Safe Mode)：在卫星出现故障或异常情况时，进入安全模式，保护卫星安全。

③ 卫星姿态控制的应用领域

卫星姿态控制技术应用于各种类型的卫星：

⚝ 通信卫星 (Communication Satellite)：需要精确指向地面站，保证通信链路质量。
⚝ 遥感卫星 (Remote Sensing Satellite)：需要精确指向地面目标区域，获取高分辨率图像。
⚝ 导航卫星 (Navigation Satellite)：例如 GPS 卫星、北斗卫星，需要精确姿态控制，保证导航信号的精度。
⚝ 科学卫星 (Scientific Satellite)：例如空间望远镜、空间探测器，需要精确指向观测目标，进行科学观测。
⚝ 军事卫星 (Military Satellite)：例如侦察卫星、预警卫星，需要高精度的姿态控制，完成军事任务。

卫星姿态控制技术不断发展，正朝着更高精度、更高可靠性、更低功耗、更智能化的方向发展。未来的卫星姿态控制系统将更加依赖于先进的传感器、执行器和控制算法，实现更高水平的自主性和智能化，例如自主姿态规划、智能故障诊断与恢复、编队飞行控制等。

本章介绍了控制理论在工业自动化和航空航天领域的典型应用，包括过程控制、机器人控制、飞行控制和卫星姿态控制。这些应用案例展示了控制理论在解决实际工程问题中的强大能力和广泛价值。随着科技的不断进步，控制理论将在更多领域发挥重要作用，为人类社会的发展做出更大贡献。

13. chapter 13： 高级 टॉपिक 与展望 (Advanced Topics and Outlook)

13.1 网络化控制系统 (Networked Control Systems)

网络化控制系统 (Networked Control Systems, NCS) 是指控制回路通过通信网络闭合的控制系统。与传统的点对点连接的控制系统不同，NCS 中的传感器、控制器和执行器等组件通过共享的网络介质进行信息交换。这种架构的引入，为控制系统的设计、实现和应用带来了革命性的变化，同时也提出了新的挑战。

13.1.1 网络化控制系统的定义与特点 (Definition and Characteristics of Networked Control Systems)

网络化控制系统 (NCS) 的核心特征在于控制环路中引入了通信网络。这意味着控制信号、测量数据以及参考指令等信息不再通过专用的物理线路传输，而是通过如以太网 (Ethernet)、无线网络 (Wireless Network) 或现场总线 (Fieldbus) 等网络进行交换。

⚝ 定义 (Definition)：网络化控制系统 (NCS) 是一种地理上分布的控制系统，其中传感器、执行器和控制器通过实时网络进行互连，以实现闭环控制。

⚝ 特点 (Characteristics)：
▮▮▮▮⚝ 灵活性和可扩展性 (Flexibility and Scalability)：网络化架构使得系统更容易扩展和重新配置。新的传感器、执行器或控制器可以相对容易地添加到系统中，而无需大规模的硬件改造。
▮▮▮▮⚝ 降低布线成本 (Reduced Wiring Costs)：共享网络介质减少了对大量专用电缆的需求，从而降低了系统的布线成本和复杂性。
▮▮▮▮⚝ 易于诊断和维护 (Ease of Diagnosis and Maintenance)：网络化的系统通常配备有远程监控和诊断功能，可以更方便地进行故障检测和维护。
▮▮▮▮⚝ 资源共享 (Resource Sharing)：网络允许系统中的不同组件共享计算和通信资源，提高资源利用率。
▮▮▮▮⚝ 远程操作和监控 (Remote Operation and Monitoring)：NCS 支持远程监控和控制，这对于地理上分散的系统或需要集中管理的应用场景非常有利。

然而，网络化也引入了新的挑战：

▮▮▮▮⚝ 网络延迟 (Network Delay)：通过网络传输数据不可避免地会引入时间延迟，这可能会影响系统的稳定性和性能。网络延迟可以是固定的、时变的或随机的，取决于网络类型、负载和协议。
▮▮▮▮⚝ 数据丢包 (Data Packet Dropout)：在不可靠的网络（如无线网络）中，数据包可能会丢失，导致控制性能下降甚至系统失效。
▮▮▮▮⚝ 网络拥塞 (Network Congestion)：当网络负载过高时，可能发生网络拥塞，导致延迟增加和数据包丢失。
▮▮▮▮⚝ 网络安全 (Network Security)：网络化的系统更容易受到网络攻击，如拒绝服务攻击 (Denial of Service attack)、数据篡改 (Data Tampering) 或未经授权的访问 (Unauthorized Access)。
▮▮▮▮⚝ 同步问题 (Synchronization Issues)：在分布式系统中，保持各个组件之间的时间同步是一个挑战，尤其是在需要精确协调的应用中。

13.1.2 网络化控制系统的设计与分析 (Design and Analysis of Networked Control Systems)

设计和分析网络化控制系统需要考虑网络特性对控制性能的影响。传统的控制理论方法需要进行扩展和调整，以适应网络环境下的新挑战。

① 建模 (Modeling)：
网络延迟和数据丢包是 NCS 分析和设计的核心问题。建模方法需要能够有效地描述这些网络诱导的时变和随机特性。常见的建模方法包括：
▮▮▮▮ⓐ 时延系统方法 (Time-Delay System Approach)：将网络延迟建模为系统中的时间延迟环节。根据延迟的特性，可以采用常时延模型、时变时延模型或随机时延模型。
▮▮▮▮ⓑ 丢包系统方法 (Packet Dropout System Approach)：将数据丢包建模为随机发生的事件，可以用概率模型来描述丢包的概率和模式。
▮▮▮▮ⓒ 排队论方法 (Queueing Theory Approach)：将网络通信过程视为排队系统，利用排队论的工具分析网络延迟和拥塞。

② 稳定性分析 (Stability Analysis)：
网络延迟和丢包会影响系统的稳定性。常用的稳定性分析方法包括：
▮▮▮▮ⓐ 李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函方法 (Lyapunov-Krasovskii Functional Method)：用于分析具有时延的系统的稳定性。通过构造合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，可以推导出保证系统稳定的条件。
▮▮▮▮ⓑ 小增益定理 (Small Gain Theorem)：可以扩展到分析具有不确定性和时延的网络化系统。
▮▮▮▮ⓒ 随机稳定性理论 (Stochastic Stability Theory)：用于分析具有随机网络特性的系统的稳定性，如随机延迟和随机丢包。

③ 控制设计 (Control Design)：
针对 NCS 的特点，需要设计能够补偿网络效应的控制器。常见的控制设计方法包括：
▮▮▮▮ⓐ 预测控制 (Predictive Control)：利用预测模型预测未来状态，补偿网络延迟的影响。模型预测控制 (MPC) 是一种有效的预测控制方法，在 NCS 中得到广泛应用。
▮▮▮▮ⓑ 鲁棒控制 (Robust Control)：设计对网络不确定性（如时延和丢包）具有鲁棒性的控制器。\(H_\infty\) 控制和滑模控制等鲁棒控制方法可以用于 NCS 设计。
▮▮▮▮ⓒ 自适应控制 (Adaptive Control)：根据网络状况的变化，在线调整控制器参数，以适应时变的网络特性。自适应控制可以用于补偿时变网络延迟和丢包。
▮▮▮▮ⓓ 事件触发控制 (Event-Triggered Control)：减少网络通信频率，降低网络负载。事件触发控制只在系统状态满足特定条件时才进行数据传输，从而节省网络资源。

13.1.3 网络化控制系统的应用领域 (Application Areas of Networked Control Systems)

网络化控制系统在许多领域都有广泛的应用前景：

⚝ 工业自动化 (Industrial Automation)：在工业生产过程中，NCS 可以用于监控和控制分布在不同地点的设备和生产线。例如，在智能工厂 (Smart Factory) 中，传感器、机器人、加工设备和控制中心通过工业以太网或无线网络连接，实现生产过程的自动化和优化。
⚝ 智能交通系统 (Intelligent Transportation Systems, ITS)：NCS 可以用于车辆协同控制、交通信号优化和交通流量管理。例如，在车联网 (Vehicle Network) 中，车辆之间以及车辆与基础设施之间通过无线通信网络交换信息，实现自动驾驶、交通拥堵缓解和安全驾驶辅助。
⚝ 智能电网 (Smart Grid)：NCS 可以用于电力系统的监控、保护和优化运行。例如，在智能电网中，分布式发电单元、储能设备、用户侧设备和电网控制中心通过通信网络连接，实现电网的智能化管理和控制。
⚝ 机器人技术 (Robotics)：在多机器人系统 (Multi-Robot System) 中，NCS 可以用于机器人之间的协同作业和任务分配。例如，在仓储物流、灾难救援和环境监测等领域，多个机器人可以通过无线网络协同完成复杂的任务。
⚝ 远程医疗 (Telemedicine)：NCS 可以用于远程医疗监控和手术。例如，医生可以通过网络远程监控患者的生理参数，或操作远程手术机器人进行微创手术。
⚝ 环境监测 (Environmental Monitoring)：NCS 可以用于构建大规模的环境监测网络，例如，部署在森林、海洋或城市中的传感器网络可以实时监测温度、湿度、空气质量、水质等环境参数，为环境保护和资源管理提供数据支持。

13.2 模型预测控制 (Model Predictive Control, MPC)

模型预测控制 (Model Predictive Control, MPC)，也称为预测控制 (Predictive Control) 或滚动时域控制 (Receding Horizon Control)，是一种先进的过程控制方法，在工业界和学术界都得到了广泛的应用。MPC 的核心思想是利用系统的动态模型预测系统未来的行为，并通过优化方法求解在未来一段时间内的最优控制序列。

13.2.1 模型预测控制的基本原理 (Basic Principles of Model Predictive Control)

模型预测控制 (MPC) 的基本原理可以概括为以下三个关键要素：

① 预测模型 (Prediction Model)：MPC 依赖于一个能够预测系统未来输出的动态模型。这个模型可以是线性或非线性的，连续时间或离散时间的。常用的模型包括状态空间模型、传递函数模型或经验模型。预测模型用于预测系统在未来一段时间内的状态和输出响应。

② 滚动优化 (Rolling Optimization)：MPC 在每个采样时刻执行优化计算，求解在未来预测时域 (Prediction Horizon) 内的最优控制序列。优化目标通常是最小化系统输出与期望设定值之间的误差，同时考虑控制输入的约束和系统性能指标。由于优化是基于未来一段时间的预测进行的，因此称为预测控制。

③ 反馈校正 (Feedback Correction)：MPC 采用滚动时域策略，即在每个采样时刻，只将优化得到的控制序列的第一个控制量作用于系统，然后根据新的测量信息更新预测模型，并重复进行预测和优化。这种滚动优化的方式构成闭环控制，能够有效地补偿模型不确定性和外部扰动。

MPC 的工作流程 (Workflow of MPC)：

1. 模型预测 (Model Prediction)：在当前时刻 \(k\)，利用系统的预测模型，基于当前状态 \(x(k)\) 和未来控制序列 \(u(k), u(k+1), ..., u(k+N_p-1)\)，预测系统在未来预测时域 \(N_p\) 内的状态轨迹 \(x(k+1), x(k+2), ..., x(k+N_p)\) 和输出轨迹 \(y(k+1), y(k+2), ..., y(k+N_p)\)。

2. 目标函数定义 (Objective Function Definition)：定义一个目标函数 \(J\)，用于衡量系统性能。目标函数通常包括跟踪误差项和控制输入项，例如：
   \[ J = \sum_{i=1}^{N_p} \|y(k+i) - r(k+i)\|_Q^2 + \sum_{i=0}^{N_c-1} \|\Delta u(k+i)\|_R^2 \]
   其中，\(y(k+i)\) 是预测输出，\(r(k+i)\) 是参考设定值，\(Q\) 和 \(R\) 是权重矩阵，\(N_p\) 是预测时域，\(N_c\) 是控制时域，\(\Delta u(k+i) = u(k+i) - u(k+i-1)\) 是控制增量。目标是最小化目标函数 \(J\)。

3. 约束条件 (Constraints)：考虑系统和控制输入的约束条件，例如：
   \[ u_{min} \le u(k+i) \le u_{max}, \quad \Delta u_{min} \le \Delta u(k+i) \le \Delta u_{max}, \quad y_{min} \le y(k+i) \le y_{max} \]
   约束条件反映了实际系统的物理限制和操作要求。

4. 优化求解 (Optimization Solving)：在每个采样时刻，求解一个优化问题，找到使目标函数 \(J\) 最小化的最优控制序列 \(u^*(k), u^*(k+1), ..., u^*(k+N_c-1)\)，同时满足约束条件。这是一个有限时域优化问题，通常可以使用数值优化算法求解，如二次规划 (Quadratic Programming, QP) 或非线性规划 (Nonlinear Programming, NLP)。

5. 滚动实施 (Rolling Implementation)：将优化得到的控制序列的第一个控制量 \(u^*(k)\) 作用于系统。在下一个采样时刻 \(k+1\)，获取新的测量状态 \(x(k+1)\)，重复步骤 1-4，进行新的预测、优化和控制实施。这种滚动优化的方式使得 MPC 能够适应时变环境和不确定性。

13.2.2 模型预测控制的优点与应用 (Advantages and Applications of Model Predictive Control)

模型预测控制 (MPC) 相较于传统的控制方法，具有以下显著优点：

① 处理约束能力强 (Strong Constraint Handling Capability)：MPC 能够显式地处理系统状态和控制输入的约束条件，保证控制系统的安全性和可靠性。这在工业过程中非常重要，因为许多工业过程都存在操作约束。

② 优化性能 (Optimized Performance)：MPC 通过优化目标函数，可以在满足约束条件的前提下，实现最优的控制性能，如最小化跟踪误差、快速响应和抑制扰动。

③ 前瞻性控制 (Feedforward Control Capability)：MPC 基于预测模型进行控制决策，具有前瞻性，可以提前预见系统未来的行为，并采取相应的控制措施。这使得 MPC 能够有效地处理可预测的扰动和设定值变化。

④ 适用于复杂系统 (Applicable to Complex Systems)：MPC 可以应用于线性、非线性、多变量、时变和分布参数系统。对于复杂系统，MPC 能够有效地处理模型不确定性、时延和耦合效应。

⑤ 易于理解和调整 (Easy to Understand and Tune)：MPC 的基本原理直观易懂，控制参数（如预测时域、控制时域、权重矩阵）的物理意义明确，易于根据实际应用进行调整和优化。

模型预测控制 (MPC) 在众多领域得到了广泛的应用：

⚝ 过程工业 (Process Industry)：MPC 最初在炼油、化工、石化等过程工业中得到成功应用，用于控制复杂的工业过程，如精馏塔、反应器、加热炉等，提高生产效率、产品质量和能源利用率。

⚝ 汽车工业 (Automotive Industry)：MPC 用于汽车的发动机控制、变速器控制、车辆稳定控制、自适应巡航控制和自动驾驶系统。例如，MPC 可以用于优化发动机的燃油效率和排放性能，提高车辆的操控性和安全性。

⚝ 航空航天 (Aerospace)：MPC 用于飞行器控制、卫星姿态控制、火箭发射控制和航天器交会对接。例如，MPC 可以用于设计高精度、高可靠性的飞行控制系统，保证飞行器的安全和性能。

⚝ 机器人技术 (Robotics)：MPC 用于机器人运动规划、轨迹跟踪、力/位混合控制和多机器人协同控制。例如，MPC 可以用于控制机器人在复杂环境中进行精确的运动和操作，实现自主导航和任务执行。

⚝ 智能建筑 (Smart Buildings)：MPC 用于建筑物的暖通空调 (Heating, Ventilation, and Air Conditioning, HVAC) 系统控制、照明控制和能源管理。例如，MPC 可以用于优化建筑物的能源消耗，提高室内舒适度，降低运营成本。

⚝ 智能电网 (Smart Grid)：MPC 用于电力系统的负荷频率控制 (Load Frequency Control, LFC)、电压控制、微电网能量管理和需求侧响应。例如，MPC 可以用于提高电网的稳定性和可靠性，优化可再生能源的利用，实现智能化的电力系统运行。

13.3 多智能体系统控制 (Multi-agent Systems Control)

多智能体系统 (Multi-agent Systems, MAS) 是由多个自主智能体 (Agent) 组成的系统，这些智能体能够感知环境、进行决策和执行动作，并通过相互协作来实现共同的目标。多智能体系统控制 (Multi-agent Systems Control) 旨在设计控制策略，使得多个智能体能够有效地协同工作，完成复杂的任务。

13.3.1 多智能体系统的基本概念与特点 (Basic Concepts and Characteristics of Multi-agent Systems)

多智能体系统 (MAS) 的核心概念是智能体 (Agent) 和协作 (Cooperation)。

⚝ 智能体 (Agent)：智能体是系统中的基本单元，具有以下特点：
▮▮▮▮⚝ 自主性 (Autonomy)：智能体能够独立地进行决策和行动，无需外部干预。
▮▮▮▮⚝ 反应性 (Reactivity)：智能体能够感知环境的变化，并及时做出响应。
▮▮▮▮⚝ 主动性 (Proactiveness)：智能体能够主动地追求目标，并采取行动来实现目标。
▮▮▮▮⚝ 社会性 (Sociality)：智能体能够与其他智能体进行通信和协作。

⚝ 协作 (Cooperation)：多智能体系统通过智能体之间的协作来实现共同的目标。协作可以是显式的（通过通信和协商）或隐式的（通过环境交互和行为协调）。协作的目标是提高系统的整体性能、鲁棒性和灵活性。

多智能体系统的特点 (Characteristics of Multi-agent Systems)：

① 分布式性 (Distributed)：MAS 是由多个分布式的智能体组成的，没有中心控制单元。智能体之间的交互和协调是分布式的。

② 并行性 (Parallel)：MAS 中的多个智能体可以并行地执行任务，提高系统的效率和响应速度。

③ 鲁棒性 (Robustness)：MAS 具有较强的鲁棒性，单个智能体的故障或失效不会导致整个系统崩溃。系统可以通过重新配置和协作来适应变化和故障。

④ 灵活性 (Flexibility)：MAS 具有较强的灵活性和可扩展性，可以适应不同的任务和环境。新的智能体可以容易地添加到系统中，系统的功能和性能可以随着智能体的增加而扩展。

⑤ 复杂性 (Complexity)：MAS 的行为和交互非常复杂，系统的整体行为是智能体个体行为和交互作用的涌现 (Emergence)。设计和分析 MAS 的控制策略是一个挑战。

13.3.2 多智能体系统控制的关键问题与方法 (Key Issues and Methods in Multi-agent Systems Control)

多智能体系统控制 (MAS Control) 面临着许多关键问题，包括：

① 协同控制 (Cooperative Control)：如何设计控制策略，使得多个智能体能够协同完成任务，例如，编队控制 (Formation Control)、一致性控制 (Consensus Control)、群集控制 (Flocking Control) 和任务分配 (Task Assignment)。

② 分布式决策 (Distributed Decision-Making)：如何使得每个智能体能够在局部信息的基础上做出全局最优或近似最优的决策，例如，分布式优化 (Distributed Optimization)、分布式博弈论 (Distributed Game Theory) 和分布式强化学习 (Distributed Reinforcement Learning)。

③ 通信与协调 (Communication and Coordination)：如何设计有效的通信协议和协调机制，使得智能体之间能够有效地交换信息和协调行动，例如，通信拓扑 (Communication Topology)、信息共享策略 (Information Sharing Strategy) 和协商协议 (Negotiation Protocol)。

④ 不确定性与鲁棒性 (Uncertainty and Robustness)：如何处理环境和智能体自身的不确定性，设计鲁棒的控制策略，保证系统的稳定性和性能，例如，鲁棒控制、自适应控制和容错控制 (Fault-Tolerant Control)。

⑤ 学习与自适应 (Learning and Adaptation)：如何使得智能体能够通过学习和经验积累，提高自身的性能和适应能力，例如，强化学习、多智能体学习 (Multi-agent Learning) 和进化计算 (Evolutionary Computation)。

常用的多智能体系统控制方法 (Common Control Methods for Multi-agent Systems)：

① 基于一致性的控制 (Consensus-Based Control)：一致性控制旨在使得多智能体系统中的所有智能体的状态（如位置、速度、姿态）最终趋于一致。一致性算法是 MAS 协同控制的基础，广泛应用于编队控制、群集控制和分布式估计。

② 基于行为的控制 (Behavior-Based Control)：行为控制方法将复杂的任务分解为一系列基本行为，如避障、跟随、聚集等。每个智能体根据局部感知信息选择和组合行为，实现整体的协同行为。行为控制方法适用于环境复杂、任务动态变化的应用场景。

③ 基于优化的控制 (Optimization-Based Control)：优化控制方法将 MAS 控制问题转化为优化问题，通过求解优化问题得到最优的控制策略。例如，模型预测控制 (MPC) 可以扩展到多智能体系统，实现协同的轨迹规划和控制。

④ 基于强化学习的控制 (Reinforcement Learning-Based Control)：强化学习方法通过智能体与环境的交互，学习最优的控制策略。多智能体强化学习 (MARL) 旨在解决 MAS 中的学习和协同问题，例如，合作式 MARL、竞争式 MARL 和混合式 MARL。

13.3.3 多智能体系统的应用领域 (Application Areas of Multi-agent Systems)

多智能体系统 (MAS) 在许多领域都有广泛的应用前景：

⚝ 机器人集群 (Robot Swarms)：MAS 用于控制大量的微型机器人或无人机集群，完成复杂的任务，如搜索与救援、环境监测、农业生产和群体表演。机器人集群具有规模优势、鲁棒性和灵活性。

⚝ 分布式传感器网络 (Distributed Sensor Networks)：MAS 用于构建大规模的传感器网络，实现环境参数的分布式感知、数据融合和事件检测。例如，在智能城市、环境监测和工业监控等领域，分布式传感器网络可以提供全面的信息支持。

⚝ 智能交通系统 (Intelligent Transportation Systems, ITS)：MAS 用于车辆协同驾驶、交通流量优化和交通信号控制。例如，在自动驾驶汽车编队、交通拥堵缓解和智能交通管理等领域，MAS 可以提高交通效率、安全性和舒适性。

⚝ 分布式计算与网络 (Distributed Computing and Networks)：MAS 用于分布式计算、网络资源管理和对等网络 (Peer-to-Peer Network) 。例如，在云计算、边缘计算和物联网 (Internet of Things, IoT) 等领域，MAS 可以实现资源的高效利用和任务的并行处理。

⚝ 社会经济系统建模 (Modeling of Socio-Economic Systems)：MAS 用于建模和仿真复杂的社会经济系统，如市场、交通、社会网络和生态系统。通过 MAS 仿真，可以分析系统的行为和演化规律，为政策制定和决策支持提供依据。

展望 (Outlook)：

控制理论在不断发展和演进，以应对日益复杂的系统和应用需求。网络化控制系统、模型预测控制和多智能体系统控制是当前控制理论研究的前沿和热点领域。未来，控制理论将继续朝着智能化、网络化、自主化的方向发展，与人工智能、大数据、物联网等新兴技术深度融合，为构建更加智能、高效、安全和可持续的系统提供理论基础和技术支撑。例如，基于学习的控制方法、人机混合增强控制 (Human-Machine Hybrid Augmented Control) 和量子控制 (Quantum Control) 等新兴方向，将为控制理论带来新的发展机遇和挑战。

附录 A 和 附录 B 将分别提供常用的数学公式和 MATLAB/Simulink 仿真示例，以帮助读者更好地理解和应用本书所介绍的控制理论知识。