001 《经典力学 (Classical Mechanics) 深度解析》

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书籍大纲

▮▮ 1. 绪论：经典力学概览与数学准备 (Introduction: Overview of Classical Mechanics and Mathematical Preliminaries)
▮▮▮▮ 1.1 什么是经典力学？(What is Classical Mechanics?)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.1 经典力学的定义与范畴 (Definition and Scope of Classical Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.2 经典力学的历史发展简述 (Brief History of Classical Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.3 经典力学在现代物理学中的地位 (The Role of Classical Mechanics in Modern Physics)
▮▮▮▮ 1.2 数学工具：微积分、矢量与坐标系 (Mathematical Tools: Calculus, Vectors, and Coordinate Systems)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.1 微积分基础：导数、积分与微分方程 (Basics of Calculus: Derivatives, Integrals, and Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.2 矢量代数与矢量微积分 (Vector Algebra and Vector Calculus)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.3 常用坐标系：直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系 (Common Coordinate Systems: Cartesian, Polar, Cylindrical, and Spherical Coordinates)
▮▮▮▮ 1.3 单位制、量纲与物理常数 (Units, Dimensions, and Physical Constants)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.1 国际单位制 (SI) 及其基本单位 (International System of Units (SI) and Basic Units)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.2 量纲分析及其应用 (Dimensional Analysis and its Applications)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.3 重要的物理常数 (Important Physical Constants)
▮▮ 2. 牛顿力学：质点运动 (Newtonian Mechanics: Motion of a Particle)
▮▮▮▮ 2.1 运动学基础：位移、速度与加速度 (Kinematics Basics: Displacement, Velocity, and Acceleration)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.1 位移、速度与加速度的定义 (Definitions of Displacement, Velocity, and Acceleration)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.2 匀速运动与匀变速运动 (Uniform Motion and Uniformly Accelerated Motion)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.3 曲线运动的描述：切向加速度与法向加速度 (Description of Curvilinear Motion: Tangential and Normal Acceleration)
▮▮▮▮ 2.2 牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.1 牛顿第一定律：惯性定律 (Newton's First Law: Law of Inertia)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.2 牛顿第二定律：力与加速度的关系 (Newton's Second Law: Relationship between Force and Acceleration)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.3 牛顿第三定律：作用力与反作用力定律 (Newton's Third Law: Law of Action and Reaction)
▮▮▮▮ 2.3 功、能与能量守恒 (Work, Energy, and Conservation of Energy)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 功的定义与计算 (Definition and Calculation of Work)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.2 动能定理 (Work-Energy Theorem)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.3 势能与保守力 (Potential Energy and Conservative Forces)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.4 机械能守恒定律 (Law of Conservation of Mechanical Energy)
▮▮▮▮ 2.4 动量与动量守恒 (Momentum and Conservation of Momentum)
▮▮▮▮▮▮ 2.4.1 动量与冲量的定义 (Definitions of Momentum and Impulse)
▮▮▮▮▮▮ 2.4.2 动量定理 (Impulse-Momentum Theorem)
▮▮▮▮▮▮ 2.4.3 动量守恒定律 (Law of Conservation of Momentum)
▮▮▮▮▮▮ 2.4.4 碰撞：弹性碰撞与非弹性碰撞 (Collisions: Elastic and Inelastic Collisions)
▮▮ 3. 振动与波动 (Oscillations and Waves)
▮▮▮▮ 3.1 简谐振动 (Simple Harmonic Motion, SHM)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.1 简谐振动的定义与特征 (Definition and Characteristics of SHM)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.2 简谐振动的运动学描述 (Kinematic Description of SHM)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.3 简谐振动的动力学分析 (Dynamic Analysis of SHM)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.4 简谐振动的能量 (Energy of SHM)
▮▮▮▮ 3.2 阻尼振动与受迫振动 (Damped and Forced Oscillations)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.1 阻尼振动：欠阻尼、临界阻尼与过阻尼 (Damped Oscillations: Underdamped, Critically Damped, and Overdamped)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.2 受迫振动与共振 (Forced Oscillations and Resonance)
▮▮▮▮ 3.3 机械波 (Mechanical Waves)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 波的产生与传播 (Generation and Propagation of Waves)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 横波与纵波 (Transverse and Longitudinal Waves)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.3 波的叠加原理与干涉 (Superposition Principle and Interference of Waves)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.4 波的衍射与惠更斯原理 (Diffraction of Waves and Huygens' Principle)
▮▮ 4. 刚体转动 (Rigid Body Rotation)
▮▮▮▮ 4.1 刚体转动的运动学描述 (Kinematic Description of Rigid Body Rotation)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.1 角位移、角速度与角加速度 (Angular Displacement, Angular Velocity, and Angular Acceleration)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.2 刚体绕定轴转动的运动学方程 (Kinematic Equations for Rigid Body Rotation about a Fixed Axis)
▮▮▮▮ 4.2 转动惯量与力矩 (Moment of Inertia and Torque)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 转动惯量的定义与计算 (Definition and Calculation of Moment of Inertia)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 力矩的定义与计算 (Definition and Calculation of Torque)
▮▮▮▮ 4.3 刚体转动的动力学 (Dynamics of Rigid Body Rotation)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.1 转动定律：刚体转动的基本方程 (Rotational Law: Fundamental Equation of Rigid Body Rotation)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.2 转动动能 (Rotational Kinetic Energy)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.3 角动量与角动量守恒定律 (Angular Momentum and Law of Conservation of Angular Momentum)
▮▮ 5. 拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics)
▮▮▮▮ 5.1 广义坐标与自由度 (Generalized Coordinates and Degrees of Freedom)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.1 约束与自由度 (Constraints and Degrees of Freedom)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.2 广义坐标的定义与选择 (Definition and Selection of Generalized Coordinates)
▮▮▮▮ 5.2 拉格朗日函数与拉格朗日方程 (Lagrangian Function and Lagrange's Equations)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.1 拉格朗日函数的定义 (Definition of Lagrangian Function)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.2 拉格朗日方程的推导 (Derivation of Lagrange's Equations)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.3 拉格朗日方程的应用 (Applications of Lagrange's Equations)
▮▮ 6. 哈密顿力学 (Hamiltonian Mechanics)
▮▮▮▮ 6.1 广义动量与哈密顿函数 (Generalized Momentum and Hamiltonian Function)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.1 广义动量的定义 (Definition of Generalized Momentum)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.2 哈密顿函数的定义 (Definition of Hamiltonian Function)
▮▮▮▮ 6.2 哈密顿正则方程 (Hamilton's Canonical Equations)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.1 哈密顿正则方程的推导 (Derivation of Hamilton's Canonical Equations)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.2 哈密顿正则方程的应用 (Applications of Hamilton's Canonical Equations)
▮▮ 7. 有心力与万有引力 (Central Force and Universal Gravitation)
▮▮▮▮ 7.1 有心力场中的运动 (Motion in a Central Force Field)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.1 有心力的定义与性质 (Definition and Properties of Central Force)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.2 有心力场中角动量守恒与能量守恒 (Conservation of Angular Momentum and Energy in a Central Force Field)
▮▮▮▮ 7.2 万有引力定律与开普勒定律 (Law of Universal Gravitation and Kepler's Laws)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.1 万有引力定律 (Law of Universal Gravitation)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.2 开普勒行星运动定律 (Kepler's Laws of Planetary Motion)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.3 用万有引力定律解释开普勒定律 (Explanation of Kepler's Laws using the Law of Universal Gravitation)
▮▮▮▮ 7.3 引力势能与宇宙速度 (Gravitational Potential Energy and Cosmic Velocities)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.1 引力势能的定义与特点 (Definition and Characteristics of Gravitational Potential Energy)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.2 第一、第二、第三宇宙速度 (First, Second, and Third Cosmic Velocities)
▮▮ 8. 连续介质力学导论 (Introduction to Continuum Mechanics)
▮▮▮▮ 8.1 应力与应变 (Stress and Strain)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.1 应力的定义与类型 (Definition and Types of Stress)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.2 应变的定义与类型 (Definition and Types of Strain)
▮▮▮▮ 8.2 弹性与胡克定律 (Elasticity and Hooke's Law)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.1 弹性的概念 (Concept of Elasticity)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.2 胡克定律及其应用 (Hooke's Law and its Applications)
▮▮ 9. 狭义相对论导论 (Introduction to Special Relativity)
▮▮▮▮ 9.1 狭义相对论的基本原理 (Basic Principles of Special Relativity)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.1 相对性原理 (Principle of Relativity)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.2 光速不变原理 (Principle of Constancy of the Speed of Light)
▮▮▮▮ 9.2 洛伦兹变换与相对论效应 (Lorentz Transformation and Relativistic Effects)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.1 洛伦兹变换 (Lorentz Transformation)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.2 时间膨胀与长度收缩 (Time Dilation and Length Contraction)
▮▮ 10. 非线性动力学与混沌简介 (Introduction to Nonlinear Dynamics and Chaos)
▮▮▮▮ 10.1 线性系统与非线性系统 (Linear and Nonlinear Systems)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.1 线性系统的特点 (Characteristics of Linear Systems)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.2 非线性系统的特点与复杂行为 (Characteristics of Nonlinear Systems and Complex Behaviors)
▮▮▮▮ 10.2 混沌现象与吸引子 (Chaos and Attractors)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.1 混沌的定义与特征 (Definition and Characteristics of Chaos)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.2 吸引子的类型 (Types of Attractors)
▮▮ 附录A: 数学基础补充 (Mathematical Background Supplement)
▮▮ 附录B: 物理常数与单位换算 (Physical Constants and Unit Conversions)
▮▮ 附录C: 习题解答与思路提示 (Solutions and Hints for Exercises)
▮▮ 附录D: 经典力学发展简史与重要人物 (Brief History of Classical Mechanics and Important Figures)
▮▮ 附录E: 参考文献 (References)

1. 绪论：经典力学概览与数学准备 (Introduction: Overview of Classical Mechanics and Mathematical Preliminaries)

本章概述经典力学的研究范畴、历史发展及其在现代物理学中的地位，并介绍学习经典力学所需的数学基础知识，为后续章节的学习奠定基础。

1.1 什么是经典力学？(What is Classical Mechanics?)

定义经典力学的研究对象和适用范围，区分经典力学与量子力学、相对论力学等其他物理分支。

1.1.1 经典力学的定义与范畴 (Definition and Scope of Classical Mechanics)

经典力学 (Classical Mechanics) 是物理学中最古老、也是最基础的分支之一，它主要研究宏观物体在低速状态下的运动规律。这里的“宏观物体”指的是尺寸远大于原子尺度的物体，例如我们日常生活中所见的物体，如行星、车辆、抛射体等等。“低速”则是相对于光速而言，即物体运动速度远小于光速 \( c \approx 3 \times 10^8 \ m/s \)。

更具体地说，经典力学旨在回答以下几个核心问题：

① 物体为什么会运动？
② 物体如何运动？
③ 如何预测物体的未来运动状态？

为了回答这些问题，经典力学建立了一套完整的理论体系，其核心概念包括：

⚝ 质点 (Particle)：为了简化问题，经典力学中常常将物体抽象为质点，即一个没有体积、只有质量的点。当研究物体的平动时，这种近似是有效的。
⚝ 力 (Force)：力是改变物体运动状态的原因。经典力学中定义了多种力，如引力 (gravitational force)、电磁力 (electromagnetic force)、摩擦力 (frictional force) 等。
⚝ 运动定律 (Laws of Motion)：牛顿运动定律 (Newton's laws of motion) 是经典力学的基石，包括惯性定律 (law of inertia)、加速度定律 (law of acceleration) 和作用力与反作用力定律 (law of action and reaction)。
⚝ 能量 (Energy)：能量是物体运动状态的另一种描述，包括动能 (kinetic energy) 和势能 (potential energy) 等形式。能量守恒定律 (law of conservation of energy) 是自然界普遍适用的基本定律之一。
⚝ 动量 (Momentum)：动量描述了物体的运动惯性，动量守恒定律 (law of conservation of momentum) 在碰撞等问题中非常重要。

经典力学的适用范围主要集中在以下几个方面：

⚝ 宏观世界：经典力学能够精确描述行星运动、抛体运动、机械振动等宏观现象。
⚝ 低速运动：当物体运动速度远小于光速时，经典力学的计算结果与实验符合得很好。
⚝ 弱引力场：在引力场不太强的情况下，例如地球表面的引力场，经典力学是适用的。

然而，经典力力学并非万能的，它在描述微观世界和高速运动时会失效。当研究原子、分子等微观粒子时，需要使用量子力学 (Quantum Mechanics)；当研究高速运动（接近光速）的物体时，需要使用相对论力学 (Relativistic Mechanics)，包括狭义相对论 (Special Relativity) 和广义相对论 (General Relativity)。

尽管如此，经典力学仍然是现代物理学的重要基础。它不仅是理解宏观世界运动规律的有效工具，也是学习更高级物理理论的必要准备。例如，量子力学和相对论力学的许多概念和方法都源于经典力学。因此，深入理解经典力学对于学习物理学至关重要。

1.1.2 经典力学的历史发展简述 (Brief History of Classical Mechanics)

经典力学的发展历程是一部人类认识自然、探索宇宙奥秘的辉煌史诗。其发展可以大致划分为以下几个关键阶段：

① 奠基时期 (古代至16世纪)：

⚝ 早在古代，人类就开始观察和思考物体的运动。古希腊哲学家亚里士多德 (Aristotle) 提出了关于运动的一些朴素观念，例如认为物体只有在力的持续作用下才能维持运动，静止是物体的自然状态。然而，这些早期观点在今天看来是并不完全正确的。
⚝ 中国古代在力学方面也有着丰富的实践和理论积累，例如在建筑、机械制造等方面都体现了对力学原理的应用。

② 经典力学的诞生 (17世纪)：

⚝ 伽利略·伽利雷 (Galileo Galilei) 被誉为“近代科学之父”，他通过实验和逻辑推理，纠正了亚里士多德的一些错误观点。伽利略提出了惯性的概念，指出物体在不受外力作用时，要么保持静止，要么做匀速直线运动。他还研究了自由落体运动和抛体运动，为牛顿力学的建立奠定了基础。
⚝ 艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 是经典力学的集大成者。1687年，牛顿发表了划时代的著作《自然哲学的数学原理》 (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)，系统地阐述了牛顿运动定律和万有引力定律 (law of universal gravitation)，构建了完整的经典力学体系。牛顿力学能够解释包括行星运动、潮汐现象在内的众多自然现象，取得了巨大的成功。

③ 经典力学的完善与发展 (18-19世纪)：

⚝ 18世纪，拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) 和哈密顿 (William Rowan Hamilton) 等数学物理学家对牛顿力学进行了数学上的改造，分别建立了拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics) 和哈密顿力学 (Hamiltonian Mechanics)。这两种形式的力学更加抽象和普适，尤其在处理复杂系统和约束系统时更具优势。拉格朗日力学和哈密顿力学的建立，不仅深化了人们对力学原理的理解，也为后来的量子力学发展提供了重要的数学工具和思想启示。
⚝ 与此同时，连续介质力学 (Continuum Mechanics) 也逐渐发展起来，用于研究弹性体、流体等连续介质的力学行为。

④ 经典力学的现代应用 (20世纪至今)：

⚝ 尽管20世纪物理学经历了量子力学和相对论的革命，经典力学并没有被取代，而是在更广泛的领域得到了应用和发展。例如，在工程技术领域，经典力学仍然是结构设计、机械制造、航空航天等领域的基础理论。
⚝ 非线性动力学 (Nonlinear Dynamics) 和混沌理论 (Chaos Theory) 的兴起，使得经典力学在描述复杂系统行为方面焕发出新的活力。例如，天气预报、交通流、生物系统等复杂现象都可以用非线性动力学的方法进行研究。

总而言之，经典力学的发展是一个不断完善、不断深入的过程。从古代的朴素观念，到牛顿力学的建立，再到拉格朗日力学、哈密顿力学以及现代非线性动力学的发展，经典力学始终是物理学发展的重要推动力，也是人类认识自然界的重要工具。

1.1.3 经典力学在现代物理学中的地位 (The Role of Classical Mechanics in Modern Physics)

在现代物理学的宏伟殿堂中，尽管量子力学和相对论的光芒耀眼，经典力学依然占据着不可替代的基石地位。它不仅是物理学入门的必修课，更是理解和掌握更高级物理理论的逻辑起点和思维范式。

① 现代物理学的基石：

⚝ 概念基础：经典力学中引入的质点、力、能量、动量等基本概念，是构建整个物理学大厦的基石。即使在量子力学和相对论中，这些概念也以某种形式被继承和发展。例如，量子力学中的能量算符和动量算符，其经典对应物就是经典力学中的能量和动量。
⚝ 方法论基础：经典力学建立的分析方法，如微分方程的建立和求解、守恒定律的应用、拉格朗日量和哈密顿量的构建等，为现代物理学提供了重要的研究方法和思路。量子力学和相对论在很大程度上也是在经典力学方法论的基础上发展起来的。
⚝ 数学工具：经典力学发展过程中所使用的微积分、矢量分析、微分方程等数学工具，不仅是学习经典力学的必备基础，也是学习现代物理学不可或缺的数学准备。

② 连接经典与现代的桥梁：

⚝ 对应原理 (Correspondence Principle)：玻尔 (Niels Bohr) 提出的对应原理指出，在量子数足够大的情况下，量子力学的结论应该趋近于经典力学的结论。这意味着经典力学是量子力学在宏观条件下的近似。通过对应原理，我们可以更好地理解量子力学与经典力学的关系，以及量子力学如何从经典力学发展而来。
⚝ 经典极限 (Classical Limit)：在相对论中，当物体运动速度远小于光速时，相对论效应变得非常微弱，相对论力学也会退化为经典力学。这表明经典力学是相对论力学在低速条件下的近似。通过研究经典极限，我们可以更好地理解相对论与经典力学的关系，以及相对论如何修正经典力学。

③ 工程技术领域的应用：

⚝ 航空航天：飞行器的设计、轨道计算、姿态控制等都离不开经典力学的理论和方法。
⚝ 机械工程：机械设计、结构分析、运动控制等都以经典力学为基础。
⚝ 土木工程：桥梁、建筑的结构力学分析、稳定性计算等也需要用到经典力学的知识。
⚝ 其他工程领域：例如，车辆工程、船舶工程、能源工程等，经典力学都发挥着重要的作用。

④ 科研领域的基础：

⚝ 凝聚态物理：研究固体、液体等凝聚态物质的力学性质，需要用到经典力学和统计力学的知识。
⚝ 天体物理：研究天体的运动、演化，例如行星运动、恒星结构、星系动力学等，经典力学仍然是重要的理论工具。
⚝ 生物物理：研究生物大分子的力学性质、生物运动等，也需要借鉴经典力学的思想和方法。

综上所述，经典力学在现代物理学中占据着举足轻重的地位。它不仅是物理学的基础，也是连接经典物理与现代物理的桥梁，更是在工程技术和科研领域中不可或缺的工具。掌握经典力学，不仅能够理解宏观世界的运动规律，也为进一步探索微观世界和高速运动的世界奠定了坚实的基础。

1.2 数学工具：微积分、矢量与坐标系 (Mathematical Tools: Calculus, Vectors, and Coordinate Systems)

复习或介绍学习经典力学必备的数学知识，包括微积分基本定理、矢量运算、常用坐标系等。

1.2.1 微积分基础：导数、积分与微分方程 (Basics of Calculus: Derivatives, Integrals, and Differential Equations)

微积分 (Calculus) 是现代科学的通用语言，也是学习经典力学乃至整个物理学的核心数学工具。经典力学中的运动学、动力学方程，以及能量、动量等概念的精确描述，都离不开微积分。

① 导数 (Derivative)：

⚝ 定义：导数描述了函数值随自变量变化的瞬时变化率。对于函数 \( y = f(x) \)，其导数定义为：
\[ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
导数 \( \frac{dy}{dx} \) 也常记为 \( f'(x) \) 或 \( y' \)。
⚝ 物理意义：在物理学中，导数常常表示速度和加速度。例如，如果 \( x(t) \) 表示质点的位置随时间 \( t \) 的变化，那么质点的瞬时速度 \( v(t) \) 就是位置对时间的导数：
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} \]
瞬时加速度 \( a(t) \) 则是速度对时间的导数：
\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} \]
⚝ 基本求导法则：
▮▮▮▮⚝ 常数法则：\( \frac{d}{dx}(c) = 0 \) ( \( c \) 为常数)
▮▮▮▮⚝ 幂函数法则：\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
▮▮▮▮⚝ 线性法则：\( \frac{d}{dx}(af(x) + bg(x)) = a\frac{df}{dx} + b\frac{dg}{dx} \) ( \( a, b \) 为常数)
▮▮▮▮⚝ 乘法法则：\( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
▮▮▮▮⚝ 除法法则：\( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \)
▮▮▮▮⚝ 链式法则：\( \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x) \)

② 积分 (Integral)：

⚝ 定义：积分是微分的逆运算，它主要解决两个问题：求和与求面积。不定积分是已知导数求原函数，定积分是求曲线围成的面积。
⚝ 不定积分：如果 \( F'(x) = f(x) \)，则称 \( F(x) + C \) 为 \( f(x) \) 的不定积分，记作：
\[ \int f(x) dx = F(x) + C \]
其中 \( C \) 为积分常数。
⚝ 定积分：函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的定积分定义为：
\[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \]
定积分 \( \int_a^b f(x) dx \) 表示曲线 \( y = f(x) \)、 \( x \) 轴以及直线 \( x = a \) 和 \( x = b \) 所围成的有向面积。
⚝ 物理意义：在物理学中，积分常常用于计算位移、功等。例如，如果已知质点的速度 \( v(t) \)，则质点在时间区间 \( [t_1, t_2] \) 内的位移 \( \Delta x \) 为：
\[ \Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]
如果已知力 \( F(x) \) 随位置 \( x \) 的变化，则力 \( F(x) \) 在位移过程中所做的功 \( W \) 为：
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]
⚝ 基本积分公式：
▮▮▮▮⚝ 幂函数积分：\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) ( \( n \neq -1 \))
▮▮▮▮⚝ 常数积分：\( \int c dx = cx + C \) ( \( c \) 为常数)
▮▮▮▮⚝ 线性法则：\( \int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx \) ( \( a, b \) 为常数)

③ 微分方程 (Differential Equation)：

⚝ 定义：含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。例如，牛顿第二定律 \( F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2} \) 就是一个二阶常微分方程。
⚝ 分类：
▮▮▮▮⚝ 常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE)：未知函数只含有一个自变量，例如 \( \frac{dy}{dx} + y = x \)。
▮▮▮▮⚝ 偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE)：未知函数含有多个自变量，例如波动方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \)。
▮▮▮▮⚝ 线性微分方程 (Linear Differential Equation)：未知函数及其各阶导数都是一次方的微分方程。
▮▮▮▮⚝ 非线性微分方程 (Nonlinear Differential Equation)：含有未知函数及其导数的非线性项的微分方程。
▮▮▮▮⚝ 齐次微分方程 (Homogeneous Differential Equation)：方程的每一项都含有未知函数或其导数。
▮▮▮▮⚝ 非齐次微分方程 (Nonhomogeneous Differential Equation)：方程中含有不含未知函数或其导数的项。
⚝ 物理意义：微分方程是描述物理规律的有力工具。经典力学中的运动方程、波动方程、热传导方程等都是微分方程。求解微分方程可以得到物理系统的运动规律、状态分布等信息。
⚝ 求解方法：微分方程的求解方法多种多样，常见的有：
▮▮▮▮⚝ 分离变量法 (Separation of Variables)：适用于某些类型的常微分方程和偏微分方程。
▮▮▮▮⚝ 常数变易法 (Variation of Parameters)：用于求解线性非齐次常微分方程。
▮▮▮▮⚝ 特征方程法 (Characteristic Equation Method)：用于求解线性常系数齐次常微分方程。
▮▮▮▮⚝ 数值解法 (Numerical Methods)：当微分方程无法解析求解时，可以使用数值方法，如欧拉方法 (Euler method)、龙格-库塔方法 (Runge-Kutta methods) 等，求得近似解。

掌握微积分的基本概念、运算规则和微分方程的求解方法，是学习经典力学的必要数学准备。在后续章节中，我们将大量运用微积分工具来描述和分析各种力学现象。

1.2.2 矢量代数与矢量微积分 (Vector Algebra and Vector Calculus)

矢量 (Vector) 是既有大小又有方向的物理量，例如位移、速度、加速度、力、动量等。矢量代数和矢量微积分是处理矢量运算的数学工具，在经典力学中有着广泛的应用。

① 矢量代数 (Vector Algebra)：

⚝ 矢量表示：矢量可以用带箭头的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。在坐标系中，矢量可以用分量表示。例如，在直角坐标系中，三维矢量 \( \vec{A} \) 可以表示为：
\[ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} = (A_x, A_y, A_z) \]
其中 \( A_x, A_y, A_z \) 是矢量 \( \vec{A} \) 在 \( x, y, z \) 轴上的分量，\( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) 是 \( x, y, z \) 轴方向的单位矢量。
⚝ 矢量运算：
▮▮▮▮⚝ 矢量加法：遵循平行四边形法则或三角形法则。分量表示：若 \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} \)，则 \( C_x = A_x + B_x \)，\( C_y = A_y + B_y \)，\( C_z = A_z + B_z \)。
▮▮▮▮⚝ 矢量减法：\( \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \)。分量表示：若 \( \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} \)，则 \( D_x = A_x - B_x \)，\( D_y = A_y - B_y \)，\( D_z = A_z - B_z \)。
▮▮▮▮⚝ 标量乘法：标量 \( c \) 与矢量 \( \vec{A} \) 的乘积 \( c\vec{A} \) 仍为矢量，大小变为原来的 \( |c| \) 倍，方向不变 (若 \( c > 0 \)) 或相反 (若 \( c < 0 \))。分量表示：若 \( \vec{E} = c\vec{A} \)，则 \( E_x = cA_x \)，\( E_y = cA_y \)，\( E_z = cA_z \)。
▮▮▮▮⚝ 矢量点积 (Dot Product) (或标量积)：两个矢量 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 的点积是一个标量，定义为：
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta \]
其中 \( \theta \) 是 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 之间的夹角。分量表示：\( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \)。点积可以用于计算功、投影等。
▮▮▮▮⚝ 矢量叉积 (Cross Product) (或矢量积)：两个矢量 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 的叉积是一个矢量，记为 \( \vec{A} \times \vec{B} \)，其大小为 \( |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta \)，方向垂直于 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 所在的平面，由右手螺旋法则确定。分量表示：
\[ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k} \]
叉积可以用于计算力矩、角动量等。

② 矢量微积分 (Vector Calculus)：

⚝ 矢量函数 (Vector Function)：自变量为标量，因变量为矢量的函数，例如 \( \vec{r}(t) = x(t) \hat{i} + y(t) \hat{j} + z(t) \hat{k} \) 描述质点的位置矢量随时间的变化。
⚝ 矢量函数的导数：矢量函数 \( \vec{r}(t) \) 对标量 \( t \) 的导数定义为：
\[ \frac{d\vec{r}}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k} \]
导数 \( \frac{d\vec{r}}{dt} \) 仍为矢量，表示矢量函数 \( \vec{r}(t) \) 随 \( t \) 变化的速率和方向。在物理学中，位置矢量 \( \vec{r}(t) \) 对时间的导数就是速度矢量 \( \vec{v}(t) \)，速度矢量 \( \vec{v}(t) \) 对时间的导数就是加速度矢量 \( \vec{a}(t) \)。
⚝ 标量场 (Scalar Field)：空间中每一点都对应一个标量值的函数，例如温度场 \( T(x, y, z) \)、势场 \( \phi(x, y, z) \)。
⚝ 矢量场 (Vector Field)：空间中每一点都对应一个矢量值的函数，例如速度场 \( \vec{v}(x, y, z) \)、力场 \( \vec{F}(x, y, z) \)。
⚝ 梯度 (Gradient)：标量场 \( \phi(x, y, z) \) 的梯度是一个矢量场，记为 \( \nabla \phi \) 或 \( \text{grad} \phi \)，定义为：
\[ \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \]
梯度 \( \nabla \phi \) 指向标量场 \( \phi \) 增长最快的方向，其大小表示该方向上的变化率。在物理学中，保守力的负梯度等于势能，即 \( \vec{F} = -\nabla U \)。
⚝ 散度 (Divergence)：矢量场 \( \vec{A}(x, y, z) = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} \) 的散度是一个标量场，记为 \( \nabla \cdot \vec{A} \) 或 \( \text{div} \vec{A} \)，定义为：
\[ \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \]
散度 \( \nabla \cdot \vec{A} \) 描述了矢量场在某一点的“源”或“汇”的强度。例如，在流体力学中，速度场的散度表示流体的膨胀率。
⚝ 旋度 (Curl)：矢量场 \( \vec{A}(x, y, z) \) 的旋度是一个矢量场，记为 \( \nabla \times \vec{A} \) 或 \( \text{curl} \vec{A} \)，定义为：
\[ \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \hat{i} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \hat{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \hat{k} \]
旋度 \( \nabla \times \vec{A} \) 描述了矢量场在某一点的“旋转”程度和方向。例如，在电磁学中，磁场的旋度与电流密度有关。
⚝ 积分定理：矢量微积分中还有一些重要的积分定理，如高斯定理 (Gauss's theorem) (散度定理) 和斯托克斯定理 (Stokes' theorem) (旋度定理)，它们建立了体积分与面积分、面积分与线积分之间的联系，在物理学中有重要的应用。

掌握矢量代数和矢量微积分，能够更方便、更简洁地描述和分析经典力学中的矢量物理量和矢量场，例如力、力矩、电场、磁场等。

1.2.3 常用坐标系：直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系 (Common Coordinate Systems: Cartesian, Polar, Cylindrical, and Spherical Coordinates)

坐标系 (Coordinate System) 是描述物体在空间中位置的参考框架。选择合适的坐标系可以简化问题的描述和求解。经典力学中常用的坐标系主要有以下几种：

① 直角坐标系 (Cartesian Coordinate System)：

⚝ 定义：直角坐标系是最常用的坐标系，由三个相互垂直的坐标轴 \( x, y, z \) 构成，原点 \( O \) 是三轴的交点。空间中任意一点 \( P \) 的位置可以用三个坐标 \( (x, y, z) \) 表示，分别表示点 \( P \) 到 \( yOz, xOz, xOy \) 平面的有向距离。
⚝ 基矢量：直角坐标系的基矢量是 \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \)，它们分别指向 \( x, y, z \) 轴的正方向，且为单位正交矢量，即 \( \hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 \)，\( \hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0 \)。
⚝ 适用场景：直角坐标系适用于描述直线运动、平面运动以及一些具有对称性的问题，例如匀速直线运动、抛体运动、简谐振动等。

② 极坐标系 (Polar Coordinate System)：

⚝ 定义：极坐标系是平面坐标系，由极点 \( O \) 和极轴 \( Ox \) 构成。平面上任意一点 \( P \) 的位置可以用极径 \( r \) 和极角 \( \theta \) 表示，其中 \( r \) 是点 \( P \) 到极点 \( O \) 的距离，\( \theta \) 是从极轴 \( Ox \) 逆时针旋转到 \( OP \) 的角度。坐标表示为 \( (r, \theta) \)。
⚝ 基矢量：极坐标系的基矢量是径向单位矢量 \( \hat{r} \) 和角向单位矢量 \( \hat{\theta} \)。\( \hat{r} \) 指向径向增大的方向，\( \hat{\theta} \) 指向角向增大的方向，且 \( \hat{r} \perp \hat{\theta} \)。需要注意的是，极坐标系的基矢量是位置的函数，会随着点的位置变化而变化。
⚝ 与直角坐标系的转换关系：
\[ x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \]
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]
⚝ 适用场景：极坐标系适用于描述平面圆周运动、中心力场中的运动等具有旋转对称性的问题，例如圆周运动、行星运动等。

③ 柱坐标系 (Cylindrical Coordinate System)：

⚝ 定义：柱坐标系是三维坐标系，可以看作是极坐标系在 \( z \) 轴方向的延伸。空间中任意一点 \( P \) 的位置可以用柱坐标 \( (\rho, \phi, z) \) 表示，其中 \( (\rho, \phi) \) 是点 \( P \) 在 \( xOy \) 平面上的极坐标，\( z \) 是点 \( P \) 的 \( z \) 坐标。
⚝ 基矢量：柱坐标系的基矢量是径向单位矢量 \( \hat{\rho} \)、角向单位矢量 \( \hat{\phi} \) 和 \( z \) 轴方向的单位矢量 \( \hat{z} \)。\( \hat{\rho}, \hat{\phi}, \hat{z} \) 相互正交，但 \( \hat{\rho} \) 和 \( \hat{\phi} \) 是位置的函数。
⚝ 与直角坐标系的转换关系：
\[ x = \rho \cos\phi, \quad y = \rho \sin\phi, \quad z = z \]
\[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad z = z \]
⚝ 适用场景：柱坐标系适用于描述具有柱对称性的问题，例如圆柱形物体的运动、轴对称流场等。

④ 球坐标系 (Spherical Coordinate System)：

⚝ 定义：球坐标系是三维坐标系，空间中任意一点 \( P \) 的位置可以用球坐标 \( (r, \theta, \phi) \) 表示，其中 \( r \) 是点 \( P \) 到原点 \( O \) 的距离 (球径)，\( \theta \) 是 \( OP \) 与 \( z \) 轴的夹角 (天顶角或极角，\( 0 \le \theta \le \pi \))，\( \phi \) 是 \( OP \) 在 \( xOy \) 平面上的投影与 \( x \) 轴的夹角 (方位角，\( 0 \le \phi < 2\pi \))。
⚝ 基矢量：球坐标系的基矢量是径向单位矢量 \( \hat{r} \)、天顶角方向单位矢量 \( \hat{\theta} \) 和方位角方向单位矢量 \( \hat{\phi} \)。\( \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\phi} \) 相互正交，但都是位置的函数。
⚝ 与直角坐标系的转换关系：
\[ x = r \sin\theta \cos\phi, \quad y = r \sin\theta \sin\phi, \quad z = r \cos\theta \]
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right), \quad \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]
⚝ 适用场景：球坐标系适用于描述具有球对称性的问题，例如中心力场中的运动、球形物体的运动、点电荷的电场等。

在解决具体的经典力学问题时，需要根据问题的对称性和特点，选择合适的坐标系，以简化问题的描述和求解。不同坐标系之间的转换关系也是需要掌握的基本技能。

1.3 单位制、量纲与物理常数 (Units, Dimensions, and Physical Constants)

介绍国际单位制 (SI) 和常用物理量纲，强调量纲分析在物理学中的重要性，并列举重要的物理常数。

1.3.1 国际单位制 (SI) 及其基本单位 (International System of Units (SI) and Basic Units)

国际单位制 (Système International d'Unités, SI) 是目前国际上普遍采用的标准单位制。它由国际计量局 (Bureau International des Poids et Mesures, BIPM) 维护和发展。SI单位制为物理量的测量提供了一套统一、 coherent 的标准，方便了科学研究、工程技术和国际交流。

① SI基本单位 (SI Base Units)：

SI单位制共有七个基本单位，它们是定义其他所有物理量单位的基础。这七个基本单位及其符号如下表所示：

| 物理量 (Physical Quantity) | 单位名称 (Unit Name) | 单位符号 (Unit Symbol) | 定义 (Definition) ## 1. 绪论：经典力学概览与数学准备 (Introduction: Overview of Classical Mechanics and Mathematical Preliminaries)

1.1 什么是经典力学？(What is Classical Mechanics?)

1.1.1 经典力学的定义与范畴 (Definition and Scope of Classical Mechanics)

经典力学 (Classical Mechanics) 是物理学的一个分支，它研究宏观物体在非相对论速度下的运动规律。宏观物体指的是尺寸远大于原子尺度的物体，而非相对论速度意味着物体的速度远小于光速。经典力学是物理学中最基础、最古老的分支之一，为后续的物理学发展奠定了坚实的基础。

经典力学的核心在于牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)，它包括：

① 牛顿第一定律 (Newton's First Law)，又称惯性定律 (Law of Inertia)：物体在不受外力作用时，将保持静止或匀速直线运动状态。这一定律定义了惯性系 (Inertial Frame)，即牛顿定律成立的参考系。
② 牛顿第二定律 (Newton's Second Law)，又称加速度定律 (Law of Acceleration)：物体所受合外力等于质量与加速度的乘积，即 \( \vec{F} = m\vec{a} \)。这一定律给出了力、质量和加速度之间的定量关系，是动力学的核心方程。
③ 牛顿第三定律 (Newton's Third Law)，又称作用力与反作用力定律 (Law of Action and Reaction)：当两个物体相互作用时，作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在不同的物体上。这一定律揭示了力的相互性。

经典力学的研究范畴主要包括：

⚝ 质点力学 (Particle Mechanics)：研究单个质点的运动规律，例如抛体运动、行星运动等。
⚝ 刚体力学 (Rigid Body Mechanics)：研究刚体的运动规律，包括平动、转动以及它们的组合。
⚝ 分析力学 (Analytical Mechanics)：以拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics) 和哈密顿力学 (Hamiltonian Mechanics) 为代表，用更抽象、更数学化的方法研究力学问题，适用于更复杂的系统。
⚝ 连续介质力学 (Continuum Mechanics)：研究连续介质（如固体、流体）的力学行为，例如弹性力学、流体力学等。

经典力学在物理学中具有基础性地位，它不仅是理解宏观世界运动规律的有效工具，也是学习更高级物理理论的必要准备。尽管在微观领域和高速领域，经典力学有其局限性，需要量子力学 (Quantum Mechanics) 和相对论 (Relativity) 来补充和发展，但经典力学的基本概念和方法仍然是现代物理学的重要组成部分。

1.1.2 经典力学的历史发展简述 (Brief History of Classical Mechanics)

经典力学的发展是一个漫长而辉煌的过程，凝聚了众多科学家的智慧和努力。其发展历程大致可以分为以下几个阶段：

① 古代的萌芽 (Ancient Origins)：
⚝ 古希腊时期，亚里士多德 (Aristotle) 提出了朴素的力学思想，认为物体运动需要外力维持，静止是物体的自然状态。
⚝ 中国古代在力学方面也有丰富的实践经验，例如在建筑、机械制造等方面。

② 近代科学的奠基 (Foundation in Modern Science)：
⚝ 伽利略·伽利雷 (Galileo Galilei) 通过实验和理论研究，推翻了亚里士多德的一些错误观点，提出了惯性的概念，奠定了经典力学的基础。他研究了自由落体运动和抛体运动，为牛顿定律的发现做了铺垫。
⚝ 约翰内斯·开普勒 (Johannes Kepler) 总结出行星运动的三大定律，为牛顿万有引力定律的提出提供了重要的经验依据。

③ 牛顿力学的建立 (Establishment of Newtonian Mechanics)：
⚝ 艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 在17世纪系统地建立了经典力学体系。1687年，他发表了《自然哲学的数学原理》 (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)，提出了牛顿运动定律和万有引力定律 (Law of Universal Gravitation)，用统一的理论解释了地面物体运动和天体运动，实现了物理学史上的第一次大综合。牛顿力学的建立标志着经典力学的正式诞生。

④ 经典力学的完善与发展 (Refinement and Development of Classical Mechanics)：
⚝ 18世纪，莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 、丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli) 等科学家将牛顿力学应用于连续介质，建立了流体力学 (Fluid Mechanics) 和弹性力学 (Elasticity) 等分支。
⚝ 约瑟夫-路易斯·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) 和 威廉·罗文·哈密顿 (William Rowan Hamilton) 等人发展了分析力学 (Analytical Mechanics)，提出了拉格朗日方程 (Lagrange Equations) 和 哈密顿正则方程 (Hamilton's Canonical Equations)，使得经典力学更加完善和强大，为解决复杂力学问题提供了更有效的工具。

⑤ 经典力学的现代应用与拓展 (Modern Applications and Expansion of Classical Mechanics)：
⚝ 20世纪以来，经典力学在工程技术领域得到广泛应用，例如航空航天、机械工程、土木工程等。
⚝ 非线性动力学 (Nonlinear Dynamics) 和 混沌理论 (Chaos Theory) 的发展，使得经典力学在描述复杂系统行为方面焕发出新的活力。

经典力学的历史发展是一个不断积累、不断创新的过程。从古代的萌芽到牛顿力学的建立，再到后来的完善和发展，经典力学始终是物理学发展的重要推动力，也是人类认识自然界的重要工具。

1.1.3 经典力学在现代物理学中的地位 (The Role of Classical Mechanics in Modern Physics)

尽管20世纪物理学经历了量子力学 (Quantum Mechanics) 和相对论 (Relativity) 的革命，经典力学 (Classical Mechanics) 在现代物理学中仍然占据着极其重要的地位，它不仅是物理学的基础，也是连接经典物理与现代物理的桥梁。

① 基础性地位 (Fundamental Role)：
⚝ 概念基础：经典力学中提出的力 (Force)、质量 (Mass)、能量 (Energy)、动量 (Momentum) 等基本概念，是整个物理学体系的基石。即使在量子力学和相对论中，这些概念也得到了继承和发展。
⚝ 方法论基础：经典力学建立的实验观测 (Experimental Observation)、数学建模 (Mathematical Modeling)、逻辑推理 (Logical Reasoning) 等研究方法，是现代物理学研究的重要方法论基础。
⚝ 数学工具：经典力学发展过程中所使用的微积分 (Calculus)、矢量分析 (Vector Analysis)、微分方程 (Differential Equations) 等数学工具，不仅是学习经典力学的必备基础，也是学习现代物理学不可或缺的数学准备。

② 桥梁作用 (Bridging Role)：
⚝ 经典极限 (Classical Limit)：量子力学和相对论在一定条件下会退化为经典力学。例如，当研究宏观物体或低速运动时，量子效应和相对论效应可以忽略不计，经典力学就能很好地描述这些现象。经典力学是量子力学和相对论在特定条件下的近似。
⚝ 对应原理 (Correspondence Principle)：玻尔 (Niels Bohr) 提出的对应原理指出，在量子数足够大的情况下，量子力学的结论应该趋近于经典力学的结论。这体现了经典力学与量子力学之间的联系和过渡。

③ 工程技术应用 (Engineering Applications)：
⚝ 航空航天 (Aerospace Engineering)：飞行器设计、轨道计算、姿态控制等都离不开经典力学的理论和方法。
⚝ 机械工程 (Mechanical Engineering)：机械设计、结构分析、运动控制等都以经典力学为基础。
⚝ 土木工程 (Civil Engineering)：桥梁、建筑的结构力学分析、稳定性计算等也需要用到经典力学的知识。
⚝ 其他工程领域 (Other Engineering Fields)：例如，车辆工程、船舶工程、能源工程等，经典力学都发挥着重要的作用。

④ 科研领域的基础 (Foundation for Scientific Research)：
⚝ 凝聚态物理 (Condensed Matter Physics)：研究固体、液体等凝聚态物质的力学性质，需要用到经典力学和统计力学的知识。
⚝ 天体物理 (Astrophysics)：研究天体的运动、演化，例如行星运动、恒星结构、星系动力学等，经典力学仍然是重要的理论工具。
⚝ 生物物理 (Biophysics)：研究生物大分子的力学性质、生物运动等，也需要借鉴经典力学的思想和方法。

总而言之，经典力学在现代物理学中不仅没有过时，反而更加凸显其基础性和重要性。它是学习物理学的入门和基石，也是连接经典物理与现代物理的桥梁，更是在工程技术和科研领域中不可或缺的工具。深入理解经典力学，对于学习和研究现代物理学至关重要。

1.2 数学工具：微积分、矢量与坐标系 (Mathematical Tools: Calculus, Vectors, and Coordinate Systems)

1.2.1 微积分基础：导数、积分与微分方程 (Basics of Calculus: Derivatives, Integrals, and Differential Equations)

微积分 (Calculus) 是经典力学乃至整个物理学的基本数学语言。它提供了描述物体运动、变化率以及累积效应的数学工具。经典力学中，导数 (Derivative) 用于描述速度、加速度等瞬时变化率，积分 (Integral) 用于计算位移、功等累积量，微分方程 (Differential Equation) 则用于建立和求解运动方程。

① 导数 (Derivative)：
⚝ 定义：函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的导数定义为极限：
\[ f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
导数 \( f'(x) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的变化率。
⚝ 几何意义：导数 \( f'(x) \) 表示曲线 \( y = f(x) \) 在点 \( (x, f(x)) \) 处的切线斜率。
⚝ 物理意义：在物理学中，导数常用于描述瞬时速度 (Instantaneous Velocity) 和 瞬时加速度 (Instantaneous Acceleration)。例如，若 \( x(t) \) 表示质点的位置随时间 \( t \) 的变化，则瞬时速度 \( v(t) \) 和瞬时加速度 \( a(t) \) 分别为：
\[ v(t) = \frac{dx}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} \]
⚝ 常用求导公式：
▮▮▮▮⚝ 常数求导：\( \frac{d}{dx}(c) = 0 \) ( \( c \) 为常数)
▮▮▮▮⚝ 幂函数求导：\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
▮▮▮▮⚝ 指数函数求导：\( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
▮▮▮▮⚝ 正弦函数求导：\( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
▮▮▮▮⚝ 余弦函数求导：\( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)
▮▮▮▮⚝ 线性性质：\( \frac{d}{dx}(af(x) + bg(x)) = a\frac{df}{dx} + b\frac{dg}{dx} \) ( \( a, b \) 为常数)
▮▮▮▮⚝ 乘法法则：\( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
▮▮▮▮⚝ 除法法则：\( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \)
▮▮▮▮⚝ 链式法则：\( \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x) \)

② 积分 (Integral)：
⚝ 定义：积分是微分的逆运算，包括不定积分 (Indefinite Integral) 和 定积分 (Definite Integral)。
▮▮▮▮⚝ 不定积分：已知函数 \( f(x) \)，求函数 \( F(x) \) 使得 \( F'(x) = f(x) \)，则 \( F(x) + C \) 称为 \( f(x) \) 的不定积分，记作 \( \int f(x) dx = F(x) + C \)，其中 \( C \) 为积分常数。
▮▮▮▮⚝ 定积分：函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的定积分定义为黎曼和的极限：
\[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i \]
定积分 \( \int_a^b f(x) dx \) 表示曲线 \( y = f(x) \)、 \( x \) 轴以及直线 \( x = a \) 和 \( x = b \) 所围成的有向面积。
⚝ 微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)：连接了微分和积分，包括两个部分：
▮▮▮▮⚝ 第一基本定理：若 \( F(x) = \int_a^x f(t) dt \)，则 \( F'(x) = f(x) \)。
▮▮▮▮⚝ 第二基本定理：若 \( F'(x) = f(x) \)，则 \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)。
⚝ 物理意义：在物理学中，积分常用于计算位移 (Displacement)、功 (Work) 等累积量。例如，若已知速度 \( v(t) \)，则在时间区间 \( [t_1, t_2] \) 内的位移为：
\[ \Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]
若已知力 \( F(x) \)，则在位移过程中力所做的功为：
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]
⚝ 常用积分公式：
▮▮▮▮⚝ 幂函数积分：\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) ( \( n \neq -1 \))
▮▮▮▮⚝ 指数函数积分：\( \int e^x dx = e^x + C \)
▮▮▮▮⚝ 正弦函数积分：\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)
▮▮▮▮⚝ 余弦函数积分：\( \int \cos x dx = \sin x + C \)
▮▮▮▮⚝ 线性性质：\( \int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx \) ( \( a, b \) 为常数)
▮▮▮▮⚝ 换元积分法 (Substitution)
▮▮▮▮⚝ 分部积分法 (Integration by Parts)

③ 微分方程 (Differential Equation)：
⚝ 定义：含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。经典力学中的运动方程通常是微分方程。
⚝ 分类：
▮▮▮▮⚝ 常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE)：未知函数只含有一个自变量。
▮▮▮▮⚝ 偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE)：未知函数含有多个自变量。
▮▮▮▮⚝ 线性微分方程 (Linear Differential Equation)：未知函数及其导数以线性方式出现。
▮▮▮▮⚝ 非线性微分方程 (Nonlinear Differential Equation)：含有未知函数或其导数的非线性项。
▮▮▮▮⚝ 阶数 (Order)：微分方程中出现的最高阶导数的阶数。
⚝ 物理意义：微分方程是描述物理规律的有力工具。牛顿第二定律 \( \vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \) 就是一个二阶常微分方程，描述了质点在力 \( \vec{F} \) 作用下的运动。
⚝ 求解方法：微分方程的求解方法多种多样，常见的有：
▮▮▮▮⚝ 解析解法 (Analytical Methods)：例如，分离变量法、常数变易法、特征方程法等，适用于某些类型的微分方程。
▮▮▮▮⚝ 数值解法 (Numerical Methods)：例如，欧拉方法、龙格-库塔方法等，适用于无法解析求解或求解困难的微分方程。

掌握微积分的基本概念、运算规则和微分方程的求解方法，是学习经典力学的关键数学准备。在后续章节中，我们将大量运用微积分工具来分析和解决各种力学问题。

1.2.2 矢量代数与矢量微积分 (Vector Algebra and Vector Calculus)

矢量 (Vector) 是既有大小又有方向的物理量，例如位移、速度、力等。矢量代数和矢量微积分是处理矢量运算的数学工具，在经典力学中至关重要。

① 矢量代数 (Vector Algebra)：
⚝ 矢量表示：矢量可以用带箭头的线段表示，也可以用直角坐标系中的分量表示。例如，三维矢量 \( \vec{A} \) 可以表示为：
\[ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} = (A_x, A_y, A_z) \]
其中 \( A_x, A_y, A_z \) 是矢量 \( \vec{A} \) 在 \( x, y, z \) 轴上的分量，\( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) 是 \( x, y, z \) 轴方向的单位矢量。
⚝ 矢量运算：
▮▮▮▮⚝ 矢量加法 (Vector Addition)：遵循平行四边形法则或三角形法则。分量表示：若 \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} \)，则 \( C_x = A_x + B_x \)，\( C_y = A_y + B_y \)，\( C_z = A_z + B_z \)。
▮▮▮▮⚝ 矢量减法 (Vector Subtraction)：\( \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \)。分量表示：若 \( \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} \)，则 \( D_x = A_x - B_x \)，\( D_y = A_y - B_y \)，\( D_z = A_z - B_z \)。
▮▮▮▮⚝ 标量乘法 (Scalar Multiplication)：标量 \( c \) 与矢量 \( \vec{A} \) 的乘积 \( c\vec{A} \) 仍为矢量，大小变为原来的 \( |c| \) 倍，方向不变 (若 \( c > 0 \)) 或相反 (若 \( c < 0 \))。分量表示：若 \( \vec{E} = c\vec{A} \)，则 \( E_x = cA_x \)，\( E_y = cA_y \)，\( E_z = cA_z \)。
▮▮▮▮⚝ 矢量点积 (Dot Product) (或标量积)：两个矢量 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 的点积是一个标量，定义为：
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \]
其中 \( \theta \) 是 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 之间的夹角。点积可以用于计算功、投影等。
▮▮▮▮⚝ 矢量叉积 (Cross Product) (或矢量积)：两个矢量 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 的叉积是一个矢量，记为 \( \vec{A} \times \vec{B} \)，其大小为 \( |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta \)，方向垂直于 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 所在的平面，由右手螺旋法则确定。分量表示：
\[ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k} \]
叉积可以用于计算力矩、角动量等。

② 矢量微积分 (Vector Calculus)：
⚝ 矢量函数 (Vector Function)：自变量为标量，因变量为矢量的函数，例如位置矢量 \( \vec{r}(t) \)、速度矢量 \( \vec{v}(t) \)、力矢量 \( \vec{F}(t) \) 等。
⚝ 矢量函数的导数：矢量函数 \( \vec{r}(t) \) 对标量 \( t \) 的导数定义为：
\[ \frac{d\vec{r}}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k} \]
导数 \( \frac{d\vec{r}}{dt} \) 仍为矢量，表示矢量函数 \( \vec{r}(t) \) 随 \( t \) 变化的速率和方向。
⚝ 标量场 (Scalar Field)：空间中每一点都对应一个标量值的函数，例如温度场 \( T(x, y, z) \)、势场 \( U(x, y, z) \)。
⚝ 矢量场 (Vector Field)：空间中每一点都对应一个矢量值的函数，例如速度场 \( \vec{v}(x, y, z) \)、力场 \( \vec{F}(x, y, z) \)。
⚝ 梯度 (Gradient)：标量场 \( \phi(x, y, z) \) 的梯度是一个矢量场，记为 \( \nabla \phi \) 或 \( \text{grad} \phi \)，定义为：
\[ \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \]
梯度 \( \nabla \phi \) 指向标量场 \( \phi \) 增长最快的方向，其大小表示该方向上的变化率。
⚝ 散度 (Divergence)：矢量场 \( \vec{A}(x, y, z) = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} \) 的散度是一个标量场，记为 \( \nabla \cdot \vec{A} \) 或 \( \text{div} \vec{A} \)，定义为：
\[ \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \]
散度 \( \nabla \cdot \vec{A} \) 描述了矢量场在某一点的“源”或“汇”的强度。
⚝ 旋度 (Curl)：矢量场 \( \vec{A}(x, y, z) \) 的旋度是一个矢量场，记为 \( \nabla \times \vec{A} \) 或 \( \text{curl} \vec{A} \)，定义为：
\[ \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \hat{i} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \hat{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \hat{k} \]
旋度 \( \nabla \times \vec{A} \) 描述了矢量场在某一点的“旋转”程度和方向。

掌握矢量代数和矢量微积分，能够更简洁、更有效地描述和分析经典力学中的矢量物理量和矢量场，例如力、力矩、电场、磁场等。

1.2.3 常用坐标系：直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系 (Common Coordinate Systems: Cartesian, Polar, Cylindrical, and Spherical Coordinates)

坐标系 (Coordinate System) 是描述物体在空间中位置的参考框架。选择合适的坐标系可以简化问题的描述和求解。经典力学中常用的坐标系主要有：

① 直角坐标系 (Cartesian Coordinate System)：
⚝ 坐标：\( (x, y, z) \)
⚝ 基矢量：\( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) (常矢量)
⚝ 微元：
▮▮▮▮⚝ 位移微元：\( d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k} \)
▮▮▮▮⚝ 体积微元：\( dV = dx dy dz \)
⚝ 适用性：通用坐标系，适用于描述直线运动、平面运动以及对称性较低的问题。

② 极坐标系 (Polar Coordinate System)：
⚝ 坐标：\( (r, \theta) \)
⚝ 基矢量：\( \hat{r}, \hat{\theta} \) (变矢量，随位置变化)
⚝ 微元：
▮▮▮▮⚝ 位移微元：\( d\vec{r} = dr \hat{r} + r d\theta \hat{\theta} \)
▮▮▮▮⚝ 面积微元：\( dA = r dr d\theta \)
⚝ 与直角坐标系的转换：
\[ x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \]
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]
⚝ 适用性：适用于描述平面圆周运动、中心力场中的平面运动等具有旋转对称性的问题。

③ 柱坐标系 (Cylindrical Coordinate System)：
⚝ 坐标：\( (\rho, \phi, z) \)
⚝ 基矢量：\( \hat{\rho}, \hat{\phi}, \hat{z} \) ( \( \hat{\rho}, \hat{\phi} \) 是变矢量，\( \hat{z} \) 是常矢量)
⚝ 微元：
▮▮▮▮⚝ 位移微元：\( d\vec{r} = d\rho \hat{\rho} + \rho d\phi \hat{\phi} + dz \hat{z} \)
▮▮▮▮⚝ 体积微元：\( dV = \rho d\rho d\phi dz \)
⚝ 与直角坐标系的转换：
\[ x = \rho \cos\phi, \quad y = \rho \sin\phi, \quad z = z \]
\[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad z = z \]
⚝ 适用性：适用于描述具有柱对称性的问题，例如圆柱形物体的运动、轴对称场等。

④ 球坐标系 (Spherical Coordinate System)：
⚝ 坐标：\( (r, \theta, \phi) \)
▮▮▮▮⚝ \( r \): 球径，原点到点的距离
▮▮▮▮⚝ \( \theta \): 天顶角 (极角)，\( z \) 轴与位置矢量的夹角，\( 0 \le \theta \le \pi \)
▮▮▮▮⚝ \( \phi \): 方位角，\( xOz \) 平面内的投影与 \( x \) 轴的夹角，\( 0 \le \phi < 2\pi \)
⚝ 基矢量：\( \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\phi} \) (变矢量，随位置变化)
⚝ 微元：
▮▮▮▮⚝ 位移微元：\( d\vec{r} = dr \hat{r} + r d\theta \hat{\theta} + r \sin\theta d\phi \hat{\phi} \)
▮▮▮▮⚝ 体积微元：\( dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \)
⚝ 与直角坐标系的转换：
\[ x = r \sin\theta \cos\phi, \quad y = r \sin\theta \sin\phi, \quad z = r \cos\theta \]
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right), \quad \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]
⚝ 适用性：适用于描述具有球对称性的问题，例如中心力场中的运动、球形物体等。

在解决经典力学问题时，合理选择坐标系是简化问题的重要技巧。需要根据问题的对称性和几何特征，灵活选择最合适的坐标系进行分析。

1.3 单位制、量纲与物理常数 (Units, Dimensions, and Physical Constants)

1.3.1 国际单位制 (SI) 及其基本单位 (International System of Units (SI) and Basic Units)

国际单位制 (Système International d'Unités, SI) 是现代科学和工程领域普遍采用的计量单位系统。它由国际计量局 (BIPM) 维护，旨在为全球提供统一、一致的测量标准。SI单位制基于七个基本单位 (Base Units)，所有其他单位，称为导出单位 (Derived Units)，都可以由这些基本单位导出。

① SI基本单位 (SI Base Units)：

⚝ 米的定义 (Definition of Metre)：米是光在真空中 \( \frac{1}{299792458} \) 秒时间间隔内所行进的距离。[1983年第17届国际计量大会决议]
⚝ 千克的定义 (Definition of Kilogram)：千克是普朗克常数 \( h \) 为 \( 6.62607015 \times 10^{-34} \text{J s} \) 时的质量单位。[2018年第26届国际计量大会决议]
⚝ 秒的定义 (Definition of Second)：秒是铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应辐射的 \( 9192631770 \) 个周期的持续时间。[1967年第13届国际计量大会决议]
⚝ 安培的定义 (Definition of Ampere)：安培是当保持在真空中相距 1 米的两根无限长、圆截面可忽略的平行直导线内，通以等量恒定电流，使得导线之间每米长度上产生的力为 \( 2 \times 10^{-7} \text{N} \) 时，每根导线中的电流。[1948年第九届国际计量大会决议]
⚝ 开尔文的定义 (Definition of Kelvin)：开尔文是热力学温度单位，它是水的三相点 (Triple Point) 热力学温度的 \( \frac{1}{273.16} \)。[1967年第13届国际计量大会决议]
⚝ 摩尔的定义 (Definition of Mole)：摩尔是物质的量的单位，它包含阿伏伽德罗常数 \( N_A \) 个基本单元。阿伏伽德罗常数 \( N_A \) 取值为 \( 6.02214076 \times 10^{23} \text{mol}^{-1} \)。[2018年第26届国际计量大会决议]
⚝ 坎德拉的定义 (Definition of Candela)：坎德拉是一光源在给定方向上的发光强度，该光源发出频率为 \( 540 \times 10^{12} \text{Hz} \) 的单色辐射，且在该方向上的辐射强度为 \( \frac{1}{683} \text{W/sr} \)。[1979年第16届国际计量大会决议]

② SI导出单位 (SI Derived Units)：

SI导出单位是由SI基本单位通过乘、除运算组合而成的单位。例如：

⚝ 牛顿 (newton)，符号 \( \text{N} \)，是力的单位，定义为 \( 1 \text{N} = 1 \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \)。
⚝ 焦耳 (joule)，符号 \( \text{J} \)，是能量和功的单位，定义为 \( 1 \text{J} = 1 \text{N} \cdot \text{m} = 1 \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \)。
⚝ 瓦特 (watt)，符号 \( \text{W} \)，是功率的单位，定义为 \( 1 \text{W} = 1 \text{J} \cdot \text{s}^{-1} = 1 \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} \)。
⚝ 帕斯卡 (pascal)，符号 \( \text{Pa} \)，是压强的单位，定义为 \( 1 \text{Pa} = 1 \text{N} \cdot \text{m}^{-2} = 1 \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} \)。

③ SI词头 (SI Prefixes)：

为了表示非常大或非常小的数值，SI单位制使用词头 (prefixes) 来构成倍数单位。常用的SI词头如下表所示：

例如，\( 1 \text{km} = 10^3 \text{m} \)，\( 1 \text{mm} = 10^{-3} \text{m} \)，\( 1 \mu \text{m} = 10^{-6} \text{m} \)，\( 1 \text{GHz} = 10^9 \text{Hz} \)。

在经典力学学习和应用中，正确使用SI单位制是基本要求。要熟悉SI基本单位、导出单位和词头，并能进行单位换算和量纲分析。

1.3.2 量纲分析及其应用 (Dimensional Analysis and its Applications)

量纲分析 (Dimensional Analysis) 是一种利用物理量的量纲 (Dimension) 来分析物理关系的方法。量纲是物理量的基本属性，它反映了物理量的本质特征，与单位的选择无关。量纲分析在物理学中具有重要的应用价值，可以用于检验公式的正确性、推导物理公式、预测物理关系等。

① 基本量纲 (Basic Dimensions)：

在力学中，最基本、最常用的量纲是长度 (Length)、质量 (Mass) 和 时间 (Time)，分别用符号 \( [L] \)、\( [M] \)、\( [T] \) 表示。其他物理量的量纲都可以用这三个基本量纲表示。例如：

⚝ 速度 (Velocity) 的量纲：\( [v] = [L][T]^{-1} \)
⚝ 加速度 (Acceleration) 的量纲：\( [a] = [L][T]^{-2} \)
⚝ 力 (Force) 的量纲：\( [F] = [M][L][T]^{-2} \) (根据牛顿第二定律 \( F = ma \))
⚝ 能量 (Energy) 或功 (Work) 的量纲：\( [E] = [W] = [F][L] = [M][L]^2[T]^{-2} \)
⚝ 功率 (Power) 的量纲：\( [P] = [E][T]^{-1} = [M][L]^2[T]^{-3} \)
⚝ 密度 (Density) 的量纲：\( [\rho] = [M][L]^{-3} \)
⚝ 压强 (Pressure) 的量纲：\( [p] = [F][L]^{-2} = [M][L]^{-1}[T]^{-2} \)

② 量纲一致性原则 (Principle of Dimensional Homogeneity)：

量纲分析的核心原则是量纲一致性原则，即在一个物理公式中，等号两边的量纲必须相同，加减运算的各项量纲也必须相同。量纲一致性是物理公式正确的必要条件，但不是充分条件。

③ 量纲分析的应用 (Applications of Dimensional Analysis)：

⚝ 检验公式的正确性 (Checking the Correctness of Formulas)：
通过检验公式两边的量纲是否一致，可以快速判断公式是否可能正确。如果量纲不一致，则公式一定是错误的。例如，检验动能公式 \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)：
▮▮▮▮⚝ 左边量纲：\( [E_k] = [M][L]^2[T]^{-2} \)
▮▮▮▮⚝ 右边量纲：\( [\frac{1}{2}mv^2] = [M] \cdot ([L][T]^{-1})^2 = [M][L]^2[T]^{-2} \)
左右两边量纲一致，公式可能正确。

⚝ 推导物理公式 (Deriving Physical Formulas)：
在某些情况下，可以通过量纲分析推导出物理公式的形式。例如，单摆周期 \( T \) 可能与摆长 \( l \)、质量 \( m \)、重力加速度 \( g \) 有关，假设关系式为 \( T = C l^a m^b g^c \)，其中 \( C \) 是无量纲常数，\( a, b, c \) 是待定指数。根据量纲一致性原则：
\[ [T] = [l]^a [m]^b [g]^c \]
\[ [T] = [L]^a [M]^b ([L][T]^{-2})^c = [L]^{a+c} [M]^b [T]^{-2c} \]
比较两边量纲的指数，得到方程组：
\[ a + c = 0 \]
\[ b = 0 \]
\[ -2c = 1 \]
解得 \( a = \frac{1}{2} \)，\( b = 0 \)，\( c = -\frac{1}{2} \)。因此，单摆周期公式的形式为 \( T = C \sqrt{\frac{l}{g}} \)。量纲分析无法确定无量纲常数 \( C \)，需要通过实验或理论推导确定 \( C = 2\pi \)。

⚝ 预测物理关系 (Predicting Physical Relationships)：
量纲分析可以帮助预测物理量之间的关系，例如，通过量纲分析可以预测流体阻力与物体尺寸、速度、流体粘度等的关系。

⚝ 单位换算 (Unit Conversion)：
量纲分析可以用于单位换算。例如，将速度单位 \( \text{km/h} \) 换算为 \( \text{m/s} \)：
\[ 1 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 1 \frac{10^3 \text{m}}{3600 \text{s}} = \frac{1000}{3600} \frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{5}{18} \frac{\text{m}}{\text{s}} \]

量纲分析是一种简单而强大的工具，在物理学研究和工程应用中都非常有用。掌握量纲分析的方法，可以提高物理问题的分析和解决能力。

1.3.3 重要的物理常数 (Important Physical Constants)

物理常数 (Physical Constants) 是自然界中普遍存在的、不随时间和地点变化的物理量。它们是物理学理论的基础，也是各种物理计算和实验分析中必不可少的数据。在经典力学中，常用的重要物理常数主要有：

① 引力常数 (Gravitational Constant)：
⚝ 符号：\( G \)
⚝ 数值：\( G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \)
⚝ 物理意义：万有引力定律中的比例常数，描述引力相互作用的强度。

② 真空中的光速 (Speed of Light in Vacuum)：
⚝ 符号：\( c \)
⚝ 数值：\( c = 299792458 \text{m/s} \) (精确值，米的定义)
⚝ 物理意义：真空中的光速，是狭义相对论的基本常数，也是自然界速度的上限。

③ 标准重力加速度 (Standard Acceleration of Gravity)：
⚝ 符号：\( g \)
⚝ 数值：\( g = 9.80665 \text{m/s}^2 \) (约定值)
⚝ 物理意义：地球表面附近的重力加速度近似值，用于工程计算和日常生活中。实际重力加速度随地理位置和高度略有变化。

④ 阿伏伽德罗常数 (Avogadro Constant)：
⚝ 符号：\( N_A \)
⚝ 数值：\( N_A = 6.02214076 \times 10^{23} \text{mol}^{-1} \) (精确值，摩尔的定义)
⚝ 物理意义：1摩尔物质所包含的基本单元数，连接微观粒子世界和宏观物质世界的桥梁。

⑤ 普朗克常数 (Planck Constant)：
⚝ 符号：\( h \)
⚝ 数值：\( h = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{J} \cdot \text{s} \) (精确值，千克的定义)
⚝ 物理意义：量子力学中的基本常数，描述能量量子化的尺度。虽然经典力学不涉及量子效应，但普朗克常数是现代物理学的重要基石，了解其数值和量纲有助于理解物理学的整体框架。

⑥ 玻尔兹曼常数 (Boltzmann Constant)：
⚝ 符号：\( k_B \) 或 \( k \)
⚝ 数值：\( k_B = 1.380649 \times 10^{-23} \text{J/K} \)
⚝ 物理意义：统计力学和热力学中的基本常数，连接温度和能量的桥梁。经典力学与热力学密切相关，玻尔兹曼常数在统计力学中扮演重要角色。

⑦ 理想气体常数 (Ideal Gas Constant)：
⚝ 符号：\( R \)
⚝ 数值：\( R = 8.314462618 \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \)
⚝ 物理意义：理想气体状态方程中的常数，连接宏观气体性质与微观分子运动的桥梁。

掌握这些重要的物理常数的数值和量纲，有助于进行物理计算、理解物理规律和进行科学研究。在实际应用中，应根据精度要求选择合适的物理常数值。

2. 牛顿力学：质点运动 (Newtonian Mechanics: Motion of a Particle)

2.1 运动学基础：位移、速度与加速度 (Kinematics Basics: Displacement, Velocity, and Acceleration)

2.1.1 位移、速度与加速度的定义 (Definitions of Displacement, Velocity, and Acceleration)

在经典力学中，运动学 (Kinematics) 是描述物体运动的学科，它关注物体如何运动，而不涉及引起运动的原因，即力。运动学的基础是理解位移 (displacement)、速度 (velocity) 和 加速度 (acceleration) 这三个基本物理量。

① 位移 (Displacement)：
位移描述了物体位置的变化，是从物体初始位置 (initial position) 到 末位置 (final position) 的矢量 (vector)。我们通常用符号 \( \Delta \mathbf{r} \) 或 \( \mathbf{d} \) 表示位移。如果物体从位置 \( \mathbf{r}_1 \) 移动到位置 \( \mathbf{r}_2 \)，则位移为：
\[ \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \]
位移是矢量，既有大小，又有方向。在国际单位制 (SI) 中，位移的单位是米 (meter)，符号为 m。

② 速度 (Velocity)：
速度描述了物体位置随时间变化的快慢和方向。速度也是一个矢量。我们区分平均速度 (average velocity) 和 瞬时速度 (instantaneous velocity)。

▮▮▮▮ⓐ 平均速度 (Average Velocity)：
平均速度定义为在某段时间间隔内，物体的位移与这段时间的比值。如果物体在时间间隔 \( \Delta t = t_2 - t_1 \) 内的位移为 \( \Delta \mathbf{r} \)，则平均速度 \( \mathbf{\bar{v}} \) 为：
\[ \mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} = \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{t_2 - t_1} \]
平均速度的方向与位移的方向相同。平均速度只能粗略地描述物体在一段时间内的总体运动快慢和方向，不能精确描述物体在某一时刻的运动状态。

▮▮▮▮ⓑ 瞬时速度 (Instantaneous Velocity)：
瞬时速度是指物体在某一特定时刻或某一位置的速度，它更精确地描述了物体在瞬间的运动状态。瞬时速度是平均速度在时间间隔 \( \Delta t \) 趋近于零时的极限：
\[ \mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \]
在数学上，瞬时速度是位置矢量 \( \mathbf{r} \) 对时间 \( t \) 的导数 (derivative)。瞬时速度的方向是物体在该时刻运动轨迹的切线方向。在日常语境中，当我们说“速度”时，通常指的是瞬时速度。在SI单位制中，速度的单位是米每秒 (meter per second)，符号为 m/s 或 \( \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \)。

③ 加速度 (Acceleration)：
加速度描述了物体速度随时间变化的快慢和方向。加速度也是一个矢量。类似于速度，我们也区分平均加速度 (average acceleration) 和 瞬时加速度 (instantaneous acceleration)。

▮▮▮▮ⓐ 平均加速度 (Average Acceleration)：
平均加速度定义为在某段时间间隔内，物体的速度变化量与这段时间的比值。如果物体在时间间隔 \( \Delta t = t_2 - t_1 \) 内的速度变化为 \( \Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1 \)，则平均加速度 \( \mathbf{\bar{a}} \) 为：
\[ \mathbf{\bar{a}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1}{t_2 - t_1} \]
平均加速度的方向与速度变化量的方向相同。平均加速度描述的是一段时间内速度变化的平均快慢和方向。

▮▮▮▮ⓑ 瞬时加速度 (Instantaneous Acceleration)：
瞬时加速度是指物体在某一特定时刻或某一位置的加速度，它精确地描述了物体在瞬间速度变化的快慢和方向。瞬时加速度是平均加速度在时间间隔 \( \Delta t \) 趋近于零时的极限：
\[ \mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \]
在数学上，瞬时加速度是速度矢量 \( \mathbf{v} \) 对时间 \( t \) 的导数，也是位置矢量 \( \mathbf{r} \) 对时间 \( t \) 的二阶导数 (second derivative)。瞬时加速度的方向是物体在该时刻速度变化的方向。在SI单位制中，加速度的单位是米每二次方秒 (meter per second squared)，符号为 m/s² 或 \( \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \)。

总结：
⚝ 位移、速度和加速度都是矢量，描述物体运动的基本物理量。
⚝ 速度是位移对时间的变化率，加速度是速度对时间的变化率。
⚝ 平均速度和平均加速度描述一段时间内的总体变化，而瞬时速度和瞬时加速度描述某一时刻的瞬时状态。
⚝ 理解这些概念是学习运动学和动力学的基础，它们为我们定量描述和分析物体的运动提供了数学工具。

2.1.2 匀速运动与匀变速运动 (Uniform Motion and Uniformly Accelerated Motion)

匀速运动 (Uniform Motion) 和 匀变速运动 (Uniformly Accelerated Motion) 是两种最基本的运动类型，它们在物理学中具有重要的地位，也是理解更复杂运动的基础。

① 匀速运动 (Uniform Motion)：
匀速运动是指物体在运动过程中，速度保持不变的运动。这意味着匀速运动的物体在任何相等的时间间隔内，位移都相等。由于速度 \( \mathbf{v} \) 是常矢量，所以匀速运动的加速度 \( \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = 0 \)。匀速运动通常指的是匀速直线运动 (uniform rectilinear motion)，即物体沿着直线以恒定速度运动。

在匀速直线运动中，物体的位置 \( \mathbf{r}(t) \) 随时间 \( t \) 的变化关系可以表示为：
\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}t \]
其中，\( \mathbf{r}_0 \) 是物体的初始位置 (initial position)（\( t=0 \) 时的位置），\( \mathbf{v} \) 是恒定速度。如果选择直角坐标系 (Cartesian coordinate system)，假设物体沿 \( x \) 轴方向运动，则可以将矢量形式简化为标量形式：
\[ x(t) = x_0 + v_x t \]
其中，\( x(t) \) 是 \( t \) 时刻物体在 \( x \) 轴上的位置，\( x_0 \) 是初始位置，\( v_x \) 是 \( x \) 轴方向的恒定速度。

匀速运动的特点：
▮▮▮▮⚝ 速度 \( \mathbf{v} \) 是恒定矢量，大小和方向都不随时间变化。
▮▮▮▮⚝ 加速度 \( \mathbf{a} = 0 \)。
▮▮▮▮⚝ 位移与时间成正比关系。

② 匀变速运动 (Uniformly Accelerated Motion)：
匀变速运动是指物体在运动过程中，加速度保持不变的运动。这意味着匀变速运动的物体在任何相等的时间间隔内，速度的变化量都相等。由于加速度 \( \mathbf{a} \) 是常矢量，但速度 \( \mathbf{v} \) 会随时间均匀变化。匀变速运动也通常指的是匀变速直线运动 (uniformly accelerated rectilinear motion)，即物体沿着直线以恒定加速度运动。

在匀变速直线运动中，物体的速度 \( \mathbf{v}(t) \) 和位置 \( \mathbf{r}(t) \) 随时间 \( t \) 的变化关系可以表示为：

▮▮▮▮ⓐ 速度-时间关系 (Velocity-time relation)：
\[ \mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}t \]
其中，\( \mathbf{v}_0 \) 是物体的初速度 (initial velocity)（\( t=0 \) 时的速度），\( \mathbf{a} \) 是恒定加速度。

▮▮▮▮ⓑ 位移-时间关系 (Displacement-time relation)：
\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2}\mathbf{a}t^2 \]
其中，\( \mathbf{r}_0 \) 是初始位置。

▮▮▮▮ⓒ 速度-位移关系 (Velocity-displacement relation)（导出公式，消去时间 \( t \)）：
\[ v^2 - v_0^2 = 2a \Delta x \]
这里使用标量形式，假设运动沿 \( x \) 轴，\( v \) 和 \( v_0 \) 分别是末速度和初速度的大小，\( a \) 是加速度的大小，\( \Delta x = x - x_0 \) 是位移的大小。这个公式在处理不涉及时间的问题时非常方便。

同样地，如果选择直角坐标系，假设物体沿 \( x \) 轴方向运动，可以将矢量形式简化为标量形式，得到匀变速直线运动的运动学公式 (kinematic equations)：

▮▮▮▮⚝ 速度公式：\( v_x(t) = v_{0x} + a_x t \)
▮▮▮▮⚝ 位移公式：\( x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2}a_x t^2 \)
▮▮▮▮⚝ 速度-位移公式：\( v_x^2 - v_{0x}^2 = 2a_x (x - x_0) \)
▮▮▮▮⚝ 平均速度公式（仅适用于匀变速直线运动）：\( \bar{v}_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \)

匀变速运动的特点：
▮▮▮▮⚝ 加速度 \( \mathbf{a} \) 是恒定矢量，大小和方向都不随时间变化。
▮▮▮▮⚝ 速度 \( \mathbf{v} \) 随时间均匀变化。
▮▮▮▮⚝ 位移与时间的平方成正比关系（当初速度为零时）。
▮▮▮▮⚝ 可以使用运动学公式进行定量分析。

例题解析：

例题 1：一辆汽车以 \( 20 \ \mathrm{m/s} \) 的速度在平直公路上匀速行驶，求汽车在 \( 10 \ \mathrm{s} \) 内的位移。

解：
已知：\( v = 20 \ \mathrm{m/s} \)，\( t = 10 \ \mathrm{s} \)。
由于是匀速运动，加速度 \( a = 0 \)。
使用匀速运动公式：\( \Delta x = vt = (20 \ \mathrm{m/s}) \times (10 \ \mathrm{s}) = 200 \ \mathrm{m} \)。
答：汽车在 \( 10 \ \mathrm{s} \) 内的位移为 \( 200 \ \mathrm{m} \)。

例题 2：一辆自行车以 \( 2 \ \mathrm{m/s} \) 的初速度沿直线匀加速行驶，加速度为 \( 0.5 \ \mathrm{m/s}^2 \)。求：
(a) 自行车在 \( 4 \ \mathrm{s} \) 末的速度；
(b) 自行车在 \( 4 \ \mathrm{s} \) 内的位移。

解：
已知：\( v_0 = 2 \ \mathrm{m/s} \)，\( a = 0.5 \ \mathrm{m/s}^2 \)，\( t = 4 \ \mathrm{s} \)。

(a) 使用速度公式：\( v = v_0 + at = (2 \ \mathrm{m/s}) + (0.5 \ \mathrm{m/s}^2) \times (4 \ \mathrm{s}) = 2 \ \mathrm{m/s} + 2 \ \mathrm{m/s} = 4 \ \mathrm{m/s} \)。
答：自行车在 \( 4 \ \mathrm{s} \) 末的速度为 \( 4 \ \mathrm{m/s} \)。

(b) 使用位移公式：\( \Delta x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = (2 \ \mathrm{m/s}) \times (4 \ \mathrm{s}) + \frac{1}{2} \times (0.5 \ \mathrm{m/s}^2) \times (4 \ \mathrm{s})^2 = 8 \ \mathrm{m} + 4 \ \mathrm{m} = 12 \ \mathrm{m} \)。
答：自行车在 \( 4 \ \mathrm{s} \) 内的位移为 \( 12 \ \mathrm{m} \)。

总结：
⚝ 匀速运动和匀变速运动是运动学中最基础和重要的运动类型。
⚝ 匀速运动速度恒定，加速度为零；匀变速运动加速度恒定，速度均匀变化。
⚝ 掌握匀速运动和匀变速运动的运动学公式，可以解决许多简单的运动学问题，并为分析更复杂的运动奠定基础。

2.1.3 曲线运动的描述：切向加速度与法向加速度 (Description of Curvilinear Motion: Tangential and Normal Acceleration)

曲线运动 (Curvilinear Motion) 是指物体运动轨迹为曲线的运动。与直线运动不同，曲线运动的速度方向时刻在变化，因此必然存在加速度。为了更精细地描述曲线运动，我们需要引入切向加速度 (tangential acceleration) 和 法向加速度 (normal acceleration) 的概念，将加速度分解到沿轨迹切线方向和垂直于轨迹的法线方向。

① 曲线运动的速度 (Velocity in Curvilinear Motion)：
在曲线运动中，瞬时速度 (instantaneous velocity) \( \mathbf{v} \) 的方向始终沿着曲线在该点的切线方向 (tangential direction)。速度的大小 \( v = |\mathbf{v}| \) 可能随时间变化，也可能不变（如匀速圆周运动）。

② 曲线运动的加速度分解 (Decomposition of Acceleration in Curvilinear Motion)：
曲线运动的加速度 \( \mathbf{a} \) 可以分解为两个相互垂直的分量：切向加速度 \( \mathbf{a}_t \) 和 法向加速度 \( \mathbf{a}_n \)。
\[ \mathbf{a} = \mathbf{a}_t + \mathbf{a}_n \]

▮▮▮▮ⓐ 切向加速度 (Tangential Acceleration) \( \mathbf{a}_t \)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 方向：沿着曲线在该点的切线方向，与速度 \( \mathbf{v} \) 同向或反向。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 作用：改变速度的大小，即描述物体速度大小变化的快慢。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 大小：切向加速度的大小 \( a_t \) 等于速度大小对时间的变化率：
\[ a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( a_t > 0 \)，表示物体速度大小在增加；如果 \( a_t < 0 \)，表示物体速度大小在减小；如果 \( a_t = 0 \)，表示物体速度大小不变（但方向可能变化）。

▮▮▮▮ⓑ 法向加速度 (Normal Acceleration) \( \mathbf{a}_n \)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 方向：垂直于曲线在该点的切线方向，指向曲线的曲率中心 (center of curvature)，即沿着法线方向 (normal direction)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 作用：改变速度的方向，即维持物体沿曲线运动。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 大小：法向加速度的大小 \( a_n \) 与速度大小的平方成正比，与曲线在该点的曲率半径 (radius of curvature) \( R \) 成反比：
\[ a_n = \frac{v^2}{R} \]
其中，\( R \) 是曲线在该点的曲率半径。对于圆周运动，曲率半径就是圆的半径。

总结：
▮▮▮▮⚝ 切向加速度 \( \mathbf{a}_t \) 负责改变速度的大小，法向加速度 \( \mathbf{a}_n \) 负责改变速度的方向。
▮▮▮▮⚝ 曲线运动的加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和。
▮▮▮▮⚝ 如果曲线运动是匀速的（速度大小不变），则切向加速度 \( a_t = 0 \)，加速度完全由法向加速度 \( \mathbf{a}_n \) 提供，仅改变速度方向。
▮▮▮▮⚝ 如果曲线运动是匀速率的（速率不变），则切向加速度 \( a_t = 0 \)，加速度完全是法向加速度。

③ 圆周运动 (Circular Motion)：
圆周运动 (circular motion) 是一种常见的曲线运动，其轨迹是圆。圆周运动可以是匀速的，也可以是非匀速的。

▮▮▮▮ⓐ 匀速圆周运动 (Uniform Circular Motion)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 特点：物体沿着圆周以恒定速率运动。虽然速率不变，但速度方向时刻变化，因此是变速运动。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 速度大小 \( v \) 恒定，切向加速度 \( a_t = 0 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 加速度完全是法向加速度，也称为向心加速度 (centripetal acceleration)，方向始终指向圆心，大小为 \( a_n = a_c = \frac{v^2}{r} \)，其中 \( r \) 是圆半径。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 匀速圆周运动的周期 \( T \) 和频率 \( f \) 与线速度 \( v \) 和角速度 \( \omega \) 的关系：
\[ v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f = \omega r \]
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \]
向心加速度也可以表示为 \( a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = v\omega \)。

▮▮▮▮ⓑ 非匀速圆周运动 (Non-uniform Circular Motion)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 特点：物体沿着圆周运动，但速率会随时间变化。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 既有切向加速度 \( \mathbf{a}_t \)，又有法向加速度 \( \mathbf{a}_n \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 切向加速度 \( \mathbf{a}_t \) 改变速度的大小，法向加速度 \( \mathbf{a}_n \) 改变速度的方向。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 总加速度 \( \mathbf{a} = \mathbf{a}_t + \mathbf{a}_n \)，大小为 \( a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \)。

例题解析：

例题 3：一个质点以 \( 5 \ \mathrm{m/s} \) 的恒定速率沿半径为 \( 2 \ \mathrm{m} \) 的圆周运动。求质点的向心加速度。

解：
已知：\( v = 5 \ \mathrm{m/s} \)，\( r = 2 \ \mathrm{m} \)。
由于是匀速圆周运动，切向加速度 \( a_t = 0 \)，加速度完全是向心加速度。
向心加速度大小：\( a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(5 \ \mathrm{m/s})^2}{2 \ \mathrm{m}} = \frac{25 \ \mathrm{m^2/s^2}}{2 \ \mathrm{m}} = 12.5 \ \mathrm{m/s}^2 \)。
方向：始终指向圆心。
答：质点的向心加速度大小为 \( 12.5 \ \mathrm{m/s}^2 \)，方向指向圆心。

例题 4：一个物体在水平面上做半径为 \( R = 1 \ \mathrm{m} \) 的圆周运动，其角速度随时间变化规律为 \( \omega(t) = 2t \ \mathrm{rad/s} \)。求 \( t = 2 \ \mathrm{s} \) 时，物体的切向加速度和法向加速度的大小。

解：
已知：\( R = 1 \ \mathrm{m} \)，\( \omega(t) = 2t \ \mathrm{rad/s} \)。
在 \( t = 2 \ \mathrm{s} \) 时，角速度 \( \omega = 2 \times 2 \ \mathrm{rad/s} = 4 \ \mathrm{rad/s} \)。
线速度 \( v = \omega R = (4 \ \mathrm{rad/s}) \times (1 \ \mathrm{m}) = 4 \ \mathrm{m/s} \)。
角加速度 \( \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d(2t)}{dt} = 2 \ \mathrm{rad/s}^2 \)。
切向加速度 \( a_t = \alpha R = (2 \ \mathrm{rad/s}^2) \times (1 \ \mathrm{m}) = 2 \ \mathrm{m/s}^2 \)。
法向加速度 \( a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(4 \ \mathrm{m/s})^2}{1 \ \mathrm{m}} = 16 \ \mathrm{m/s}^2 \)。
答：在 \( t = 2 \ \mathrm{s} \) 时，物体的切向加速度大小为 \( 2 \ \mathrm{m/s}^2 \)，法向加速度大小为 \( 16 \ \mathrm{m/s}^2 \)。

总结：
⚝ 曲线运动的加速度可以分解为切向加速度和法向加速度，分别负责改变速度的大小和方向。
⚝ 圆周运动是重要的曲线运动模型，匀速圆周运动只有法向加速度（向心加速度），非匀速圆周运动既有切向加速度也有法向加速度。
⚝ 理解切向加速度和法向加速度的概念，可以更深入地分析和描述各种复杂的曲线运动。

2.2 牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)

2.2.1 牛顿第一定律：惯性定律 (Newton's First Law: Law of Inertia)

牛顿第一定律 (Newton's First Law of Motion)，也称为 惯性定律 (Law of Inertia)，是经典力学的基础定律之一。它描述了物体在不受外力或受合外力为零时的运动状态。

① 惯性 (Inertia) 的概念：
惯性 (inertia) 是物体保持其运动状态不变的性质。也就是说，物体倾向于保持静止状态或匀速直线运动状态，除非受到外力的作用迫使它改变这种状态。惯性是物体固有的属性，质量是物体惯性大小的量度。质量越大，惯性越大，物体越难改变其运动状态。

② 牛顿第一定律的内容：
牛顿第一定律可以表述为：

任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

更简洁的表述是：

物体在不受外力作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ “任何物体”：牛顿第一定律适用于宇宙中所有物体，无论是宏观物体还是微观物体（在经典力学适用范围内）。
▮▮▮▮⚝ “匀速直线运动或静止状态”：这两种状态都是平衡状态 (equilibrium state)，即物体的运动状态不发生变化。静止可以看作是速度为零的匀速直线运动的特例。
▮▮▮▮⚝ “外力迫使它改变运动状态”：力是改变物体运动状态的原因。只有当物体受到非平衡外力 (unbalanced external force) 或 合外力 (net force) 不为零时，物体的运动状态才会发生改变，即产生加速度。
▮▮▮▮⚝ “直到外力迫使”：强调了外力是改变运动状态的必要条件 (necessary condition)。没有外力作用，物体将保持原有的运动状态不变。

③ 力是改变物体运动状态的原因，而非维持运动的原因：
这是理解牛顿第一定律的关键。在日常生活中，我们常常觉得维持物体运动需要持续施力，例如推动小车才能使其持续运动。但这是因为日常生活中物体运动时通常会受到摩擦力 (friction) 和 空气阻力 (air resistance) 等阻力的作用。这些阻力会阻碍物体的运动，使得物体速度减慢。为了维持物体匀速运动，我们需要施加一个与阻力平衡的力。

理想情况 (Ideal Case)：
如果在理想情况 (ideal case) 下，物体不受任何阻力（例如在真空中），那么一旦物体开始运动，它将永远保持匀速直线运动状态，不需要任何外力来维持。力只是用来改变物体运动状态的，而不是维持运动状态。

例子：
▮▮▮▮⚝ 宇宙飞船在太空中飞行：宇宙飞船一旦在太空中获得一定的速度，如果忽略微小的星际物质阻力，它将几乎不受外力作用，因此会长时间保持匀速直线运动状态，不需要持续的动力推动。
▮▮▮▮⚝ 冰面上滑行的冰壶：冰面非常光滑，摩擦力很小。冰壶被推出后，会在冰面上滑行很远，速度缓慢减小，接近匀速直线运动。如果冰面绝对光滑，冰壶将一直匀速滑行下去。

④ 惯性参考系 (Inertial Reference Frame)：
牛顿运动定律只在惯性参考系 (inertial reference frame) 中才严格成立。惯性参考系是指相对于遥远恒星系做匀速直线运动或静止的参考系。地球表面近似可以看作惯性参考系，但在精确研究地球自转等问题时，需要考虑地球的非惯性效应。

非惯性参考系 (Non-inertial Reference Frame)：
相对于惯性参考系做加速运动的参考系称为非惯性参考系。在非惯性参考系中，除了物体之间的相互作用力外，还需要引入惯性力 (inertial force)（或称为假想力 (fictitious force)）才能使用牛顿运动定律。例如，在加速行驶的汽车中，我们会感到被“推”向后方，这就是惯性力的体现。

总结：
⚝ 牛顿第一定律（惯性定律）揭示了惯性的概念，即物体保持运动状态不变的性质。
⚝ 力是改变物体运动状态的原因，而不是维持运动的原因。
⚝ 牛顿第一定律适用于惯性参考系。
⚝ 理解牛顿第一定律是理解动力学的基础，它为我们认识力的作用效果提供了重要的出发点。

2.2.2 牛顿第二定律：力与加速度的关系 (Newton's Second Law: Relationship between Force and Acceleration)

牛顿第二定律 (Newton's Second Law of Motion) 揭示了力 (force)、质量 (mass) 和 加速度 (acceleration) 之间的定量关系，是动力学的核心定律。它告诉我们，力是改变物体运动状态（速度）的原因，而加速度则是描述运动状态变化快慢的物理量。

① 牛顿第二定律的内容：
牛顿第二定律可以表述为：

物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

更简洁且数学化的表述是：

物体的加速度 \( \mathbf{a} \) 与它所受的合外力 \( \mathbf{F}_{net} \) 成正比，与它的质量 \( m \) 成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。

数学表达式 (Mathematical Expression)：
牛顿第二定律可以用矢量方程表示为：
\[ \mathbf{F}_{net} = m\mathbf{a} \]
或者写成：
\[ \mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}_{net}}{m} \]
其中，\( \mathbf{F}_{net} \) 是作用在物体上的合外力 (net external force)，即所有外力的矢量和；\( m \) 是物体的质量 (mass)，是物体惯性大小的量度；\( \mathbf{a} \) 是物体的加速度 (acceleration)。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 矢量性 (Vector Nature)：牛顿第二定律是一个矢量方程，这意味着力、加速度都是矢量，它们不仅有大小，还有方向。力的方向决定了加速度的方向。合外力与加速度方向始终一致。
▮▮▮▮⚝ 瞬时关系 (Instantaneous Relation)：牛顿第二定律描述的是瞬时 (instantaneous) 的关系，即在某一时刻，物体所受的合外力决定了该时刻物体的加速度。力变化时，加速度也随之变化。
▮▮▮▮⚝ 合外力 (Net Force)：\( \mathbf{F}_{net} \) 是作用在物体上的所有外力的矢量和。在分析问题时，需要先对物体进行受力分析 (force analysis)，找出所有作用在物体上的力，然后求它们的矢量和，得到合外力。
▮▮▮▮⚝ 质量 (Mass)：质量 \( m \) 是一个标量，是物体惯性大小的量度。质量越大，惯性越大，相同合外力作用下，物体产生的加速度越小，运动状态越难改变。在SI单位制中，质量的单位是千克 (kilogram)，符号为 kg。
▮▮▮▮⚝ 单位 (Units)：在SI单位制中，力的单位是牛顿 (Newton)，符号为 N。根据牛顿第二定律 \( F = ma \)，\( 1 \ \mathrm{N} \) 的定义是：使质量为 \( 1 \ \mathrm{kg} \) 的物体产生 \( 1 \ \mathrm{m/s}^2 \) 加速度的力的大小。即 \( 1 \ \mathrm{N} = 1 \ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}^2 \)。

② 力的独立性原理 (Principle of Independence of Forces)：
当物体受到多个力同时作用时，每个力都独立地产生各自的加速度效果，物体的实际加速度是所有力产生的加速度的矢量和。这称为力的独立性原理 (principle of independence of forces)。

如果物体受到 \( n \) 个力 \( \mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2, \dots, \mathbf{F}_n \) 的作用，则合外力为：
\[ \mathbf{F}_{net} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_i = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \dots + \mathbf{F}_n \]
根据牛顿第二定律，物体的加速度为：
\[ \mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}_{net}}{m} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}_i \]
在直角坐标系中，可以将牛顿第二定律分解为三个分量方程：
\[ F_{net,x} = m a_x \]
\[ F_{net,y} = m a_y \]
\[ F_{net,z} = m a_z \]
其中，\( F_{net,x}, F_{net,y}, F_{net,z} \) 分别是合外力在 \( x, y, z \) 轴上的分量，\( a_x, a_y, a_z \) 分别是加速度在 \( x, y, z \) 轴上的分量。

③ 牛顿第二定律的应用步骤：
使用牛顿第二定律解决动力学问题的一般步骤：

1. 明确研究对象 (Identify the object of study)：确定要分析运动的物体或系统。
2. 受力分析 (Force analysis)：分析研究对象受到哪些外力作用，包括重力、弹力、摩擦力、拉力等。画出受力图 (free-body diagram)，清晰地表示出各个力的方向和作用点。
3. 建立坐标系 (Establish a coordinate system)：根据运动的特点，选择合适的直角坐标系。通常选择加速度方向或运动方向为坐标轴方向，以便简化问题。
4. 列写分量方程 (Write component equations)：将所有力沿坐标轴方向分解，求出合外力在各坐标轴上的分量 \( F_{net,x}, F_{net,y}, F_{net,z} \)。根据牛顿第二定律，列写分量方程：\( F_{net,x} = m a_x \)，\( F_{net,y} = m a_y \)，\( F_{net,z} = m a_z \)。
5. 求解方程 (Solve the equations)：根据已知条件和所列方程，求解未知量，如加速度、力、质量等。
6. 分析结果 (Analyze the results)：检查结果是否符合物理实际，进行必要的讨论和解释。

例题解析：

例题 5：一个质量为 \( 2 \ \mathrm{kg} \) 的物体静止在光滑水平面上，受到一个大小为 \( 5 \ \mathrm{N} \) 的水平恒力作用。求：
(a) 物体的加速度大小；
(b) 物体在 \( 3 \ \mathrm{s} \) 末的速度大小；
(c) 物体在 \( 3 \ \mathrm{s} \) 内的位移大小。

解：
(a) 受力分析：物体受到重力 \( \mathbf{G} \)、水平面的支持力 \( \mathbf{N} \) 和水平恒力 \( \mathbf{F} \) 作用。由于水平面光滑，摩擦力忽略不计。在竖直方向，\( N = G \)，合力为零；在水平方向，合外力 \( F_{net} = F = 5 \ \mathrm{N} \)。
根据牛顿第二定律：\( F_{net} = ma \)，加速度 \( a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{5 \ \mathrm{N}}{2 \ \mathrm{kg}} = 2.5 \ \mathrm{m/s}^2 \)。
答：物体的加速度大小为 \( 2.5 \ \mathrm{m/s}^2 \)。

(b) 物体做初速度为零的匀加速直线运动。根据速度公式 \( v = v_0 + at \)，\( v = 0 + (2.5 \ \mathrm{m/s}^2) \times (3 \ \mathrm{s}) = 7.5 \ \mathrm{m/s} \)。
答：物体在 \( 3 \ \mathrm{s} \) 末的速度大小为 \( 7.5 \ \mathrm{m/s} \)。

(c) 根据位移公式 \( \Delta x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \)，\( \Delta x = 0 \times (3 \ \mathrm{s}) + \frac{1}{2} \times (2.5 \ \mathrm{m/s}^2) \times (3 \ \mathrm{s})^2 = 11.25 \ \mathrm{m} \)。
答：物体在 \( 3 \ \mathrm{s} \) 内的位移大小为 \( 11.25 \ \mathrm{m} \)。

例题 6：一个质量为 \( m \) 的物体放在倾角为 \( \theta \) 的光滑斜面上，求物体沿斜面下滑的加速度。

解：
受力分析：物体受到重力 \( \mathbf{G} \) 和斜面的支持力 \( \mathbf{N} \) 作用。将重力分解为沿斜面方向的分力 \( G_{\parallel} = mg \sin\theta \) 和垂直于斜面方向的分力 \( G_{\perp} = mg \cos\theta \)。
在垂直于斜面方向，\( N = G_{\perp} = mg \cos\theta \)，合力为零；在沿斜面方向，合外力 \( F_{net} = G_{\parallel} = mg \sin\theta \)。
根据牛顿第二定律：\( F_{net} = ma \)，\( mg \sin\theta = ma \)，加速度 \( a = g \sin\theta \)。加速度方向沿斜面向下。
答：物体沿斜面下滑的加速度为 \( g \sin\theta \)，方向沿斜面向下。

总结：
⚝ 牛顿第二定律 \( \mathbf{F}_{net} = m\mathbf{a} \) 是动力学的核心定律，揭示了力、质量和加速度之间的定量关系。
⚝ 牛顿第二定律是矢量方程，合外力与加速度方向相同。
⚝ 质量是物体惯性大小的量度。
⚝ 应用牛顿第二定律解决动力学问题需要进行受力分析，列写分量方程，并求解方程。
⚝ 掌握牛顿第二定律是深入学习动力学和解决力学问题的关键。

2.2.3 牛顿第三定律：作用力与反作用力定律 (Newton's Third Law: Law of Action and Reaction)

牛顿第三定律 (Newton's Third Law of Motion)，也称为 作用力与反作用力定律 (Law of Action and Reaction)，描述了两个物体之间相互作用时，力总是成对出现的规律。它揭示了力的相互性，即力总是相互作用的体现，孤立的力是不存在的。

① 牛顿第三定律的内容：
牛顿第三定律可以表述为：

两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，并且分别作用在两个相互作用的物体上。

更简洁的表述是：

对于两个相互作用的物体，物体 A 对物体 B 的作用力 \( \mathbf{F}_{AB} \) 与物体 B 对物体 A 的反作用力 \( \mathbf{F}_{BA} \) 大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

数学表达式 (Mathematical Expression)：
牛顿第三定律可以用矢量方程表示为：
\[ \mathbf{F}_{AB} = -\mathbf{F}_{BA} \]
或者写成：
\[ \mathbf{F}_{AB} + \mathbf{F}_{BA} = 0 \]
其中，\( \mathbf{F}_{AB} \) 表示物体 A 对物体 B 的作用力（作用力 (action force)），\( \mathbf{F}_{BA} \) 表示物体 B 对物体 A 的反作用力（反作用力 (reaction force)）。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 同时性 (Simultaneity)：作用力与反作用力总是同时产生 (simultaneously generated)，同时消失 (simultaneously disappear)，同时变化 (simultaneously change)。它们是相互依存，不可分割的。
▮▮▮▮⚝ 等大反向 (Equal in Magnitude and Opposite in Direction)：作用力与反作用力大小相等，方向相反。负号表示方向相反。
▮▮▮▮⚝ 同一直线 (Collinear)：作用力与反作用力作用在同一条直线 (same line of action) 上。
▮▮▮▮⚝ 分别作用在两个物体上 (Acting on Different Objects)：这是牛顿第三定律最关键的特点。作用力 \( \mathbf{F}_{AB} \) 作用在物体 B 上，反作用力 \( \mathbf{F}_{BA} \) 作用在物体 A 上。它们分别作用在两个不同的物体 (two different objects) 上，因此不能相互平衡 (cannot cancel each other out)。这是作用力与反作用力与平衡力 (balanced forces) 的根本区别。

② 作用力与反作用力与平衡力的区别：

例子：
▮▮▮▮⚝ 人推墙壁：人推墙壁时，人对墙壁施加一个作用力 \( \mathbf{F}_{人墙} \)，同时墙壁也对人施加一个反作用力 \( \mathbf{F}_{墙人} \)。这两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。作用力 \( \mathbf{F}_{人墙} \) 作用在墙壁上，反作用力 \( \mathbf{F}_{墙人} \) 作用在人身上。
▮▮▮▮⚝ 地球对物体的引力与物体对地球的引力：地球对物体施加重力 (gravitational force) \( \mathbf{G} \)，物体也对地球施加一个反方向的引力 \( \mathbf{G}' \)。这两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。重力 \( \mathbf{G} \) 作用在物体上，引力 \( \mathbf{G}' \) 作用在地球上。由于地球质量远大于物体质量，物体受重力产生明显的加速度（自由落体），而地球受反方向引力产生的加速度非常小，可以忽略不计。
▮▮▮▮⚝ 火箭发射：火箭喷射燃气时，火箭对燃气施加一个向下的作用力，燃气对火箭施加一个向上的反作用力（推力 (thrust)）。这个推力推动火箭向上加速。

③ 应用牛顿第三定律分析问题：
在分析相互作用的系统时，牛顿第三定律非常重要。例如，在分析连接体问题、碰撞问题等时，都需要考虑作用力与反作用力。

例题解析：

例题 7：一个人站在水平地面上，分析人受到的力以及这些力的反作用力。

解：
人受到两个力作用：
1. 重力 \( \mathbf{G} \)：地球对人的引力，方向竖直向下，作用在人身上。其反作用力是人对地球的引力 \( \mathbf{G}' \)，大小等于 \( G \)，方向竖直向上，作用在地球上。
2. 支持力 \( \mathbf{N} \)：地面支持人，方向竖直向上，作用在人身上。其反作用力是人对地面的压力 \( \mathbf{N}' \)，大小等于 \( N \)，方向竖直向下，作用在地面上。

在平衡状态下，人受到的重力 \( \mathbf{G} \) 和支持力 \( \mathbf{N} \) 是一对平衡力，\( \mathbf{G} + \mathbf{N} = 0 \)，它们作用在同一个人身上，合力为零。而重力 \( \mathbf{G} \) 和引力 \( \mathbf{G}' \) 是一对作用力与反作用力，\( \mathbf{G} = -\mathbf{G}' \)，分别作用在人和地球上。支持力 \( \mathbf{N} \) 和压力 \( \mathbf{N}' \) 也是一对作用力与反作用力，\( \mathbf{N} = -\mathbf{N}' \)，分别作用在人和地面上。

例题 8：两个质量分别为 \( m_1 \) 和 \( m_2 \) 的物体通过轻绳连接，放在光滑水平面上，用水平力 \( F \) 拉物体 \( m_1 \)，求绳子中的拉力 \( T \) 和系统的加速度 \( a \)。

解：
将两个物体看作一个整体，系统受到水平拉力 \( F \)，加速度为 \( a \)。根据牛顿第二定律，\( F = (m_1 + m_2)a \)，得到系统加速度 \( a = \frac{F}{m_1 + m_2} \)。

隔离物体 \( m_2 \) 分析，物体 \( m_2 \) 只受到绳子的拉力 \( \mathbf{T} \) 作用，加速度也为 \( a \)。根据牛顿第二定律，\( T = m_2 a = m_2 \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} F \)。

绳子对 \( m_2 \) 的拉力 \( \mathbf{T} \) 和 \( m_2 \) 对绳子的拉力 \( \mathbf{T}' \) 是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反。绳子对 \( m_1 \) 的拉力 \( \mathbf{T}'' \) 和 \( m_1 \) 对绳子的拉力 \( \mathbf{T}''' \) 也是一对作用力与反作用力。由于是轻绳，绳子的质量忽略不计，绳子上的拉力大小处处相等，即 \( T = T' = T'' = T''' \)。

答：绳子中的拉力为 \( T = \frac{m_2}{m_1 + m_2} F \)，系统的加速度为 \( a = \frac{F}{m_1 + m_2} \)。

总结：
⚝ 牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）揭示了力的相互性，力总是成对出现。
⚝ 作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一直线上，分别作用在两个相互作用的物体上。
⚝ 作用力与反作用力与平衡力是不同的概念，关键区别在于作用对象是否为同一物体。
⚝ 理解和应用牛顿第三定律是分析相互作用系统和解决动力学问题的必要工具。

2.3 功、能与能量守恒 (Work, Energy, and Conservation of Energy)

2.3.1 功的定义与计算 (Definition and Calculation of Work)

功 (Work) 是能量传递的一种形式，是力在空间上的累积效应。在物理学中，当力作用在物体上，使物体在力的方向上发生位移时，就说力对物体做了功。功是一个标量，只有大小，没有方向，但有正负之分。

① 功的定义 (Definition of Work)：
如果一个恒力 (constant force) \( \mathbf{F} \) 作用在物体上，使物体发生位移 \( \mathbf{d} \)，力 \( \mathbf{F} \) 和位移 \( \mathbf{d} \) 之间的夹角为 \( \theta \)，则力 \( \mathbf{F} \) 对物体所做的功 \( W \) 定义为：
\[ W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}| |\mathbf{d}| \cos\theta = Fd \cos\theta \]
其中，\( |\mathbf{F}| = F \) 是力的大小，\( |\mathbf{d}| = d \) 是位移的大小，\( \theta \) 是力 \( \mathbf{F} \) 与位移 \( \mathbf{d} \) 之间的夹角。\( \cos\theta \) 是力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 力与位移 (Force and Displacement)：做功的两个必要因素是力 (force) 和 位移 (displacement)，且位移必须发生在力的作用下。如果只有力而没有位移，或者有位移但力在位移方向上没有分量（即 \( \theta = 90^\circ \)，\( \cos\theta = 0 \)，如匀速圆周运动的向心力），则力不做功。
▮▮▮▮⚝ 标量 (Scalar)：功是标量，只有大小，没有方向。功的单位是焦耳 (Joule)，符号为 J。在SI单位制中，\( 1 \ \mathrm{J} = 1 \ \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} = 1 \ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2 \)。
▮▮▮▮⚝ 正功、负功和零功 (Positive Work, Negative Work, and Zero Work)：功可以是正值、负值或零值，取决于力与位移之间的夹角 \( \theta \)。
▮▮▮▮⚝ 当 \( 0^\circ \le \theta < 90^\circ \) 时，\( \cos\theta > 0 \)，\( W > 0 \)，力做正功 (positive work)。正功表示力对物体运动起推动作用，能量从施力物体传递给受力物体。
▮▮▮▮⚝ 当 \( 90^\circ < \theta \le 180^\circ \) 时，\( \cos\theta < 0 \)，\( W < 0 \)，力做负功 (negative work)。负功表示力对物体运动起阻碍作用，能量从受力物体传递给施力物体。负功也可以理解为克服力做功 (work done against a force)。
▮▮▮▮⚝ 当 \( \theta = 90^\circ \) 时，\( \cos\theta = 0 \)，\( W = 0 \)，力做零功 (zero work)。零功表示力既不推动也不阻碍物体运动，能量没有传递。

② 变力做功 (Work Done by a Variable Force)：
如果力 \( \mathbf{F} \) 在物体运动过程中是变力 (variable force)，或者物体运动的轨迹是曲线，则不能直接使用 \( W = Fd \cos\theta \) 计算功。需要将位移分解为无数小段 \( d\mathbf{r} \)，在每一小段位移上，力可以近似看作恒力，则力在该小段位移上做的元功 (elemental work) 为 \( dW = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \)。物体从初始位置 \( \mathbf{r}_1 \) 运动到末位置 \( \mathbf{r}_2 \) 的过程中，变力 \( \mathbf{F} \) 所做的总功 \( W \) 是对元功 \( dW \) 的积分 (integral)：
\[ W = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \]
其中，\( C \) 是物体从 \( \mathbf{r}_1 \) 到 \( \mathbf{r}_2 \) 的运动轨迹。

在直角坐标系中，力 \( \mathbf{F} = F_x \mathbf{i} + F_y \mathbf{j} + F_z \mathbf{k} \)，位移 \( d\mathbf{r} = dx \mathbf{i} + dy \mathbf{j} + dz \mathbf{k} \)，则元功 \( dW = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = F_x dx + F_y dy + F_z dz \)。总功为：
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F_x dx + \int_{y_1}^{y_2} F_y dy + \int_{z_1}^{z_2} F_z dz \]
如果物体只在 \( x \) 轴方向运动，且力 \( \mathbf{F} \) 沿 \( x \) 轴方向，则 \( W = \int_{x_1}^{x_2} F_x dx \)。

③ 常见力做功的计算：

▮▮▮▮ⓐ 重力做功 (Work Done by Gravity)：
物体质量为 \( m \)，从高度 \( h_1 \) 下降到高度 \( h_2 \) 的过程中，重力 \( \mathbf{G} = m\mathbf{g} \) 做功。重力方向竖直向下，位移方向也竖直向下，夹角 \( \theta = 0^\circ \)，\( \cos\theta = 1 \)。重力做功 \( W_G \) 为：
\[ W_G = \int_{h_1}^{h_2} (-mg) (-dh) = \int_{h_1}^{h_2} mg dh = mg(h_1 - h_2) = mg\Delta h \]
其中，\( \Delta h = h_1 - h_2 \) 是高度的下降量。重力做功只与物体的初末位置的高度差有关，与运动路径无关。物体下降时，重力做正功；物体上升时，重力做负功。

▮▮▮▮ⓑ 弹力做功 (Work Done by Elastic Force)：
弹簧的弹性力 \( F_x = -kx \)，其中 \( k \) 是劲度系数 (spring constant)，\( x \) 是弹簧的形变量（相对于平衡位置 (equilibrium position) 的位移）。弹簧从形变量 \( x_1 \) 变化到 \( x_2 \) 的过程中，弹力做功 \( W_e \) 为：
\[ W_e = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -\frac{1}{2}kx^2 \Big|_{x_1}^{x_2} = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2 \]
弹力做功也只与弹簧的初末形变量有关，与运动路径无关。弹簧伸长或压缩时，弹力可能做正功或负功，取决于形变量的变化方向。

▮▮▮▮ⓒ 摩擦力做功 (Work Done by Friction)：
滑动摩擦力 \( f = \mu N \)，方向与物体相对运动方向相反。摩擦力做功通常为负功，因为摩擦力总是阻碍物体相对运动。如果物体在粗糙水平面上运动位移 \( d \)，滑动摩擦力 \( f \) 做功 \( W_f = -fd = -\mu N d \)。摩擦力做功与运动路径有关，路径越长，摩擦力做功越多。

例题解析：

例题 9：一个质量为 \( 2 \ \mathrm{kg} \) 的物体，在水平恒力 \( F = 10 \ \mathrm{N} \) 的作用下，沿水平面运动了 \( 3 \ \mathrm{m} \)。求水平力 \( F \) 做的功。

解：
力 \( F = 10 \ \mathrm{N} \)，位移 \( d = 3 \ \mathrm{m} \)，力与位移方向相同，夹角 \( \theta = 0^\circ \)，\( \cos\theta = 1 \)。
功 \( W = Fd \cos\theta = (10 \ \mathrm{N}) \times (3 \ \mathrm{m}) \times \cos 0^\circ = 30 \ \mathrm{J} \)。
答：水平力 \( F \) 做的功为 \( 30 \ \mathrm{J} \)。

例题 10：一个质量为 \( 0.5 \ \mathrm{kg} \) 的小球，从离地面 \( 5 \ \mathrm{m} \) 高处自由下落到地面。求重力做的功。（取 \( g = 9.8 \ \mathrm{m/s}^2 \)）

解：
质量 \( m = 0.5 \ \mathrm{kg} \)，高度下降 \( \Delta h = 5 \ \mathrm{m} \)，重力加速度 \( g = 9.8 \ \mathrm{m/s}^2 \)。
重力做功 \( W_G = mg\Delta h = (0.5 \ \mathrm{kg}) \times (9.8 \ \mathrm{m/s}^2) \times (5 \ \mathrm{m}) = 24.5 \ \mathrm{J} \)。
答：重力做的功为 \( 24.5 \ \mathrm{J} \)。

例题 11：一根劲度系数为 \( k = 200 \ \mathrm{N/m} \) 的弹簧，原长为 \( 0.2 \ \mathrm{m} \)。将弹簧从伸长 \( 0.1 \ \mathrm{m} \) 压缩到压缩 \( 0.1 \ \mathrm{m} \)。求弹力做的功。

解：
初始形变量 \( x_1 = 0.1 \ \mathrm{m} \)（伸长为正），末形变量 \( x_2 = -0.1 \ \mathrm{m} \)（压缩为负），劲度系数 \( k = 200 \ \mathrm{N/m} \)。
弹力做功 \( W_e = \frac{1}{2}kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_2^2 = \frac{1}{2} \times (200 \ \mathrm{N/m}) \times (0.1 \ \mathrm{m})^2 - \frac{1}{2} \times (200 \ \mathrm{N/m}) \times (-0.1 \ \mathrm{m})^2 = 1 \ \mathrm{J} - 1 \ \mathrm{J} = 0 \ \mathrm{J} \)。
答：弹力做的功为 \( 0 \ \mathrm{J} \)。（注意：这里弹力做的总功为零，因为弹簧从伸长 \( 0.1 \ \mathrm{m} \) 压缩到平衡位置，弹力做正功；再从平衡位置压缩到压缩 \( 0.1 \ \mathrm{m} \)，弹力做负功，正负功抵消。）

总结：
⚝ 功是力在空间上的累积效应，是能量传递的一种形式。
⚝ 恒力做功 \( W = Fd \cos\theta \)，变力做功 \( W = \int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \)。
⚝ 功是标量，有正负之分，单位是焦耳 (J)。
⚝ 掌握功的定义和计算方法，可以为后续学习动能定理、势能和能量守恒定律打下基础。

2.3.2 动能定理 (Work-Energy Theorem)

动能定理 (Work-Energy Theorem) 揭示了合外力 (net external force) 对物体所做的总功 (total work) 与物体动能 (kinetic energy) 变化之间的关系。动能定理是功和能之间联系的重要桥梁，也是解决动力学问题的一种有效方法。

① 动能 (Kinetic Energy) 的定义：
动能 (kinetic energy) 是物体由于运动而具有的能量。对于质量为 \( m \)，速度大小为 \( v \) 的物体，其动能 \( E_k \) 定义为：
\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 \]
动能是标量，只有大小，没有方向，单位是焦耳 (J)。动能总是非负的，\( E_k \ge 0 \)。动能的大小只与物体的质量和速度大小有关，与速度方向无关。

② 动能定理的内容：
动能定理可以表述为：

合外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化。

数学表达式 (Mathematical Expression)：
设物体在运动过程中，初状态的动能为 \( E_{k1} \)，末状态的动能为 \( E_{k2} \)，合外力对物体所做的总功为 \( W_{net} \)，则动能定理可以表示为：
\[ W_{net} = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_k \]
或者写成：
\[ W_{net} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \]
其中，\( v_1 \) 是初速度大小，\( v_2 \) 是末速度大小。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 合外力做功 (Work Done by Net Force)：动能定理中的功 \( W_{net} \) 是指作用在物体上的所有外力的合力 (net external force) 对物体所做的总功 (total work)。如果物体受到多个力作用，需要先求出合外力，再计算合外力做的功，或者分别计算每个力做的功，然后求代数和，得到总功。
▮▮▮▮⚝ 动能变化 (Change in Kinetic Energy)：动能定理反映的是合外力做功与物体动能变化之间的数量关系 (quantitative relationship)。合外力做正功，动能增加；合外力做负功，动能减少；合外力做零功，动能不变。
▮▮▮▮⚝ 标量关系 (Scalar Relation)：动能定理是一个标量方程，只涉及功和动能的大小，不涉及方向。
▮▮▮▮⚝ 瞬时速度 (Instantaneous Velocity)：动能定理中的速度 \( v_1 \) 和 \( v_2 \) 是指物体的瞬时速度 (instantaneous velocity) 的大小。

③ 动能定理的推导 (Derivation of Work-Energy Theorem)：
考虑一个质量为 \( m \) 的物体，在合外力 \( \mathbf{F}_{net} \) 的作用下，沿直线运动，从位置 \( x_1 \) 运动到位置 \( x_2 \)。根据牛顿第二定律，\( F_{net} = ma = m \frac{dv}{dt} \)。将加速度 \( a = \frac{dv}{dt} \) 写成 \( a = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx} \)。则 \( F_{net} = m v \frac{dv}{dx} \)。
合外力做的功 \( W_{net} \) 为：
\[ W_{net} = \int_{x_1}^{x_2} F_{net} dx = \int_{x_1}^{x_2} m v \frac{dv}{dx} dx = \int_{v_1}^{v_2} m v dv = \frac{1}{2}mv^2 \Big|_{v_1}^{v_2} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = \Delta E_k \]
推导过程中使用了微积分和牛顿第二定律。对于曲线运动和变力作用的情况，推导过程类似，只是需要使用矢量形式和积分。

④ 动能定理的应用 (Applications of Work-Energy Theorem)：
动能定理提供了一种新的解决动力学问题的方法，尤其适用于处理以下类型的问题：
▮▮▮▮⚝ 只涉及物体运动的初末状态，不涉及运动过程细节的问题。动能定理只关注功和动能的变化，不需要考虑运动过程中的加速度、时间等中间量。
▮▮▮▮⚝ 变力做功的问题。对于变力做功，可以直接计算变力做的功，然后利用动能定理求解速度变化。
▮▮▮▮⚝ 曲线运动问题。动能定理是标量方程，处理曲线运动问题时，不需要像牛顿定律那样分解矢量，计算更简便。

使用动能定理解决问题的步骤：
1. 明确研究对象和运动过程 (Identify the object and process)：确定研究对象和研究的运动过程，明确初末状态。
2. 受力分析，求合外力做功 (Force analysis and calculate work done by net force)：分析研究对象在运动过程中受到哪些力作用，求出每个力做的功，然后求代数和，得到合外力做的总功 \( W_{net} \)。
3. 确定初末状态的动能 (Determine initial and final kinetic energy)：根据初末状态的速度，计算初动能 \( E_{k1} \) 和末动能 \( E_{k2} \)。
4. 列写动能定理方程，求解 (Write work-energy theorem equation and solve)：根据动能定理 \( W_{net} = E_{k2} - E_{k1} \)，列出方程，求解未知量。

例题解析：

例题 12：一个质量为 \( 2 \ \mathrm{kg} \) 的物体，初速度为 \( 3 \ \mathrm{m/s} \)，在水平面上受到一个与运动方向相同的恒力 \( F = 5 \ \mathrm{N} \) 的作用，运动了 \( 4 \ \mathrm{m} \)。求物体末速度的大小。（水平面光滑，摩擦力忽略不计）

解：
研究对象：物体。运动过程：水平运动 \( 4 \ \mathrm{m} \)。
受力分析：物体受到重力、支持力和水平恒力 \( F \)。合外力等于水平恒力 \( F_{net} = F = 5 \ \mathrm{N} \)。
合外力做功：\( W_{net} = Fd = (5 \ \mathrm{N}) \times (4 \ \mathrm{m}) = 20 \ \mathrm{J} \)。
初动能：\( E_{k1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \times (2 \ \mathrm{kg}) \times (3 \ \mathrm{m/s})^2 = 9 \ \mathrm{J} \)。
末动能：\( E_{k2} = \frac{1}{2}mv_2^2 \)（\( v_2 \) 待求）。
根据动能定理：\( W_{net} = E_{k2} - E_{k1} \)，\( 20 \ \mathrm{J} = \frac{1}{2}mv_2^2 - 9 \ \mathrm{J} \)。
解得末动能 \( E_{k2} = 29 \ \mathrm{J} \)，末速度 \( v_2 = \sqrt{\frac{2E_{k2}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 29 \ \mathrm{J}}{2 \ \mathrm{kg}}} = \sqrt{29} \ \mathrm{m/s} \approx 5.39 \ \mathrm{m/s} \)。
答：物体末速度的大小约为 \( 5.39 \ \mathrm{m/s} \)。

例题 13：一个质量为 \( m \) 的小球，从离地面 \( h \) 高处以初速度 \( v_0 \) 水平抛出，不计空气阻力。求小球落地时的速度大小。

解：
研究对象：小球。运动过程：从抛出到落地。
受力分析：小球只受重力 \( \mathbf{G} \) 作用，合外力 \( \mathbf{F}_{net} = \mathbf{G} \)。
重力做功：\( W_G = mgh \)（高度下降 \( h \)，重力做正功）。
初动能：\( E_{k1} = \frac{1}{2}mv_0^2 \)。
末动能：\( E_{k2} = \frac{1}{2}mv^2 \)（\( v \) 为落地速度大小，待求）。
根据动能定理：\( W_{net} = E_{k2} - E_{k1} \)，\( mgh = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 \)。
解得末速度 \( v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \)。
答：小球落地时的速度大小为 \( \sqrt{v_0^2 + 2gh} \)。

总结：
⚝ 动能定理 \( W_{net} = \Delta E_k \) 揭示了合外力做功与动能变化之间的关系。
⚝ 动能定理是标量方程，适用于直线运动和曲线运动，恒力做功和变力做功的情况。
⚝ 应用动能定理可以简化动力学问题的求解，尤其在处理变力做功和只关注初末状态的问题时具有优势。
⚝ 掌握动能定理是深入理解能量关系和解决力学问题的有效工具。

2.3.3 势能与保守力 (Potential Energy and Conservative Forces)

势能 (Potential Energy) 是物体由于其在力场 (force field) 中的位置而具有的能量。势能是相互作用的物体系统所共有的，反映了物体之间相互作用的潜力。保守力 (conservative force) 是与势能概念密切相关的力，只有在保守力场中才能定义势能。

① 势能的定义 (Definition of Potential Energy)：
势能 (potential energy) \( E_p \) 的定义与保守力 (conservative force) 相关。对于保守力场中的物体，当物体的位置发生变化时，保守力做功，物体的势能也会发生变化。势能的变化量 \( \Delta E_p \) 定义为保守力做功的负值 (negative of the work done by the conservative force)。
\[ \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = -W_C \]
或者写成：
\[ W_C = -(E_{p2} - E_{p1}) = E_{p1} - E_{p2} = -\Delta E_p \]
其中，\( W_C \) 是保守力做的功，\( E_{p1} \) 和 \( E_{p2} \) 分别是物体在初始位置和末位置的势能。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 相对性 (Relativity)：势能的绝对值是相对的 (relative)，势能的零点可以任意选择。通常我们只关心势能的变化量 (change) \( \Delta E_p \)，而势能的变化量是确定的，与零点的选择无关。
▮▮▮▮⚝ 保守力做功 (Work Done by Conservative Force)：势能的定义是基于保守力做功的。只有保守力才能定义势能。
▮▮▮▮⚝ 势能与位置 (Potential Energy and Position)：势能是物体位置的函数，\( E_p = E_p(\mathbf{r}) \)。物体的位置确定了，势能也就确定了。
▮▮▮▮⚝ 标量 (Scalar)：势能是标量，单位是焦耳 (J)。

② 保守力与非保守力 (Conservative and Non-conservative Forces)：

▮▮▮▮ⓐ 保守力 (Conservative Force)：
保守力 (conservative force) 的特点是：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 做功与路径无关 (Path Independence)：保守力对物体做功，只与物体的初末位置 (initial and final positions) 有关，而与物体运动的路径 (path) 无关。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 沿闭合路径做功为零 (Zero Work Along a Closed Path)：物体在保守力场中沿任意闭合路径 (any closed path) 运动一周，保守力做的总功为零。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 可以定义势能 (Potential Energy can be Defined)：保守力场中可以定义势能。

常见的保守力：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 重力 (Gravitational Force)：重力做功只与高度差有关，与路径无关。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 弹簧的弹力 (Elastic Force of a Spring)：弹力做功只与弹簧的初末形变量有关，与路径无关。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 静电力 (Electrostatic Force)：静电力做功与路径无关。

▮▮▮▮ⓑ 非保守力 (Non-conservative Force)：
非保守力 (non-conservative force) 的特点是：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 做功与路径有关 (Path Dependence)：非保守力对物体做功，不仅与物体的初末位置有关，还与物体运动的路径 (path) 有关。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 沿闭合路径做功不为零 (Non-zero Work Along a Closed Path)：物体在非保守力场中沿闭合路径 (closed path) 运动一周，非保守力做的总功不为零 (non-zero)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 不能定义势能 (Potential Energy cannot be Defined)：非保守力场中不能严格定义势能。

常见的非保守力：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 摩擦力 (Friction)：摩擦力做功与运动路径长度有关，路径越长，摩擦力做功越多。物体沿闭合路径运动一周，摩擦力做功通常不为零（总是做负功）。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 空气阻力 (Air Resistance)：空气阻力做功与路径有关。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 滑动摩擦力 (Sliding Friction)：滑动摩擦力做功与路径有关。

③ 常见势能的表达式 (Expressions for Common Potential Energies)：

▮▮▮▮ⓐ 重力势能 (Gravitational Potential Energy)：
在地球表面附近，重力 \( \mathbf{G} = m\mathbf{g} \) 是保守力。物体在高度 \( h \) 处的重力势能 (gravitational potential energy) \( E_{pg} \) 可以定义为：
\[ E_{pg} = mgh \]
通常选择地面或某一水平面为零势能面 (zero potential energy level)，即在该平面上 \( E_{pg} = 0 \)。高度 \( h \) 是物体相对于零势能面的高度。重力势能的大小与零势能面的选择有关，但重力势能的变化量 \( \Delta E_{pg} = mg\Delta h \) 是确定的，与零势能面的选择无关。

▮▮▮▮ⓑ 弹性势能 (Elastic Potential Energy)：
弹簧的弹力 \( F_x = -kx \) 是保守力。弹簧形变量为 \( x \) 时的弹性势能 (elastic potential energy) \( E_{pe} \) 可以定义为：
\[ E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2 \]
通常选择弹簧处于原长 (natural length) 或 平衡位置 (equilibrium position) 时为零势能点 (zero potential energy point)，即 \( x = 0 \) 时 \( E_{pe} = 0 \)。弹性势能总是非负的，\( E_{pe} \ge 0 \)。

④ 保守力与势能的关系 (Relationship between Conservative Force and Potential Energy)：
在保守力场中，保守力 \( \mathbf{F}_C \) 与势能 \( E_p \) 之间存在微分关系。在一维情况下，保守力 \( F_x \) 与势能 \( E_p(x) \) 的关系为：
\[ F_x = -\frac{dE_p(x)}{dx} \]
在三维情况下，保守力 \( \mathbf{F}_C \) 与势能 \( E_p(\mathbf{r}) \) 的关系为：
\[ \mathbf{F}_C = -\nabla E_p(\mathbf{r}) = -\left( \frac{\partial E_p}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial E_p}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial E_p}{\partial z} \mathbf{k} \right) \]
其中，\( \nabla E_p \) 是势能的梯度 (gradient)，负号表示保守力的方向总是势能降低最快的方向。

例题解析：

例题 14：证明重力是保守力。

证明：
考虑物体从位置 \( A \) 运动到位置 \( B \)，路径分别为路径 1 和路径 2。设 \( A \) 点高度为 \( h_1 \)，\( B \) 点高度为 \( h_2 \)。
重力做功 \( W_G = mg(h_1 - h_2) \)。重力做功只与初末位置的高度差 \( h_1 - h_2 \) 有关，与路径 1 和路径 2 的具体形状无关。因此，重力是保守力。

例题 15：求重力势能的表达式。

解：
根据保守力与势能的关系 \( F_h = -\frac{dE_{pg}}{dh} \)，重力在竖直方向的分量 \( F_h = -mg \)（向下为负方向）。
\[ -mg = -\frac{dE_{pg}}{dh} \]
\[ dE_{pg} = mg dh \]
积分得到 \( E_{pg} = \int mg dh = mgh + C \)。
选择地面为零势能面，即 \( h = 0 \) 时 \( E_{pg} = 0 \)，则 \( C = 0 \)。
所以，重力势能表达式为 \( E_{pg} = mgh \)。

总结：
⚝ 势能是物体在保守力场中由于位置而具有的能量，反映了物体相互作用的潜力。
⚝ 保守力做功与路径无关，沿闭合路径做功为零，可以定义势能；非保守力做功与路径有关，沿闭合路径做功不为零，不能定义势能。
⚝ 常见的保守力有重力、弹簧的弹力、静电力等；常见的非保守力有摩擦力、空气阻力等。
⚝ 重力势能 \( E_{pg} = mgh \)，弹性势能 \( E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2 \)。
⚝ 保守力与势能之间存在微分关系 \( \mathbf{F}_C = -\nabla E_p \)。
⚝ 理解势能和保守力的概念，可以为后续学习机械能守恒定律和能量守恒定律打下基础。

2.3.4 机械能守恒定律 (Law of Conservation of Mechanical Energy)

机械能守恒定律 (Law of Conservation of Mechanical Energy) 是能量守恒定律在经典力学中的一个重要体现，它描述了在只有保守力做功 (only conservative forces do work) 的情况下，物体系统的机械能 (mechanical energy) 保持不变的规律。机械能守恒定律是解决力学问题，特别是涉及能量转化问题的有力工具。

① 机械能 (Mechanical Energy) 的定义：
机械能 (mechanical energy) \( E \) 定义为物体系统的动能 (kinetic energy) \( E_k \) 和 势能 (potential energy) \( E_p \) 之和：
\[ E = E_k + E_p \]
其中，势能 \( E_p \) 是指保守力势能 (conservative potential energy)，例如重力势能、弹性势能等。机械能是标量，单位是焦耳 (J)。

② 机械能守恒定律的内容：
机械能守恒定律可以表述为：

在只有保守力做功的系统内，物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的总和保持不变。

数学表达式 (Mathematical Expression)：
设物体在运动过程中，初状态的机械能为 \( E_1 = E_{k1} + E_{p1} \)，末状态的机械能为 \( E_2 = E_{k2} + E_{p2} \)。如果只有保守力做功，则机械能守恒定律可以表示为：
\[ E_1 = E_2 \]
\[ E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \]
或者写成：
\[ \Delta E_k + \Delta E_p = 0 \]
\[ \Delta E = \Delta E_k + \Delta E_p = 0 \]
即机械能的变化量为零，机械能守恒。

适用条件 (Conditions for Conservation)：
机械能守恒定律成立的前提条件 (prerequisite condition) 是：
▮▮▮▮⚝ 系统只受保守力做功 (Only conservative forces do work)：或者说，非保守力不做功 (non-conservative forces do no work)。如果系统中有非保守力做功，例如摩擦力、空气阻力等，机械能通常不守恒，会转化为内能或其他形式的能量。
▮▮▮▮⚝ 系统内没有外力做功 (No external work done on the system)：机械能守恒定律通常适用于孤立系统 (isolated system) 或 封闭系统 (closed system)，即系统与外界没有能量交换。

③ 机械能守恒定律的推导 (Derivation of Law of Conservation of Mechanical Energy)：
根据动能定理，合外力做的总功 \( W_{net} = \Delta E_k \)。如果系统只受保守力 \( \mathbf{F}_C \) 和非保守力 \( \mathbf{F}_{nc} \) 作用，则合外力做的功 \( W_{net} = W_C + W_{nc} \)。其中 \( W_C \) 是保守力做的功，\( W_{nc} \) 是非保守力做的功。
根据势能的定义，保守力做功 \( W_C = -\Delta E_p \)。
所以，\( W_{net} = W_C + W_{nc} = -\Delta E_p + W_{nc} \)。
根据动能定理，\( W_{net} = \Delta E_k \)。
因此，\( \Delta E_k = -\Delta E_p + W_{nc} \)。
整理得到：\( \Delta E_k + \Delta E_p = W_{nc} \)。
\[ \Delta (E_k + E_p) = W_{nc} \]
\[ \Delta E = W_{nc} \]
如果只有保守力做功 (only conservative forces do work)，即 \( W_{nc} = 0 \)，则 \( \Delta E = 0 \)，机械能守恒，\( E = E_k + E_p = \mathrm{constant} \)。

④ 机械能守恒定律的应用 (Applications of Law of Conservation of Mechanical Energy)：
机械能守恒定律是解决力学问题，特别是涉及能量转化问题的有力工具。适用于以下类型的问题：
▮▮▮▮⚝ 只有重力、弹簧弹力等保守力做功，摩擦力、空气阻力等非保守力可以忽略不计的情况。
▮▮▮▮⚝ 研究物体运动的初末状态，不涉及运动过程细节的问题。机械能守恒定律只关注能量的转化和守恒，不需要考虑运动过程中的加速度、时间等中间量。
▮▮▮▮⚝ 曲线运动问题。机械能守恒定律是标量方程，处理曲线运动问题时，不需要分解矢量，计算更简便。

使用机械能守恒定律解决问题的步骤：
1. 明确研究对象和运动过程 (Identify the object and process)：确定研究对象和研究的运动过程，明确初末状态。
2. 判断机械能是否守恒 (Determine if mechanical energy is conserved)：分析在运动过程中，是否只有保守力做功，非保守力是否可以忽略不计。
3. 选择零势能面 (Choose zero potential energy level)：根据问题方便，选择合适的零势能面，确定初末状态的势能。
4. 确定初末状态的动能和势能 (Determine initial and final kinetic and potential energy)：根据初末状态的速度和位置，计算初动能 \( E_{k1} \)、初势能 \( E_{p1} \)、末动能 \( E_{k2} \)、末势能 \( E_{p2} \)。
5. 列写机械能守恒方程，求解 (Write mechanical energy conservation equation and solve)：根据机械能守恒定律 \( E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \)，列出方程，求解未知量。

例题解析：

例题 16：一个质量为 \( m \) 的小球，从离地面 \( h \) 高处静止释放，不计空气阻力。求小球落地时的速度大小。（使用机械能守恒定律求解）

解：
研究对象：小球。运动过程：从静止释放到落地。
机械能是否守恒：只受重力作用，重力是保守力，机械能守恒。
选择地面为零势能面。
初状态：高度 \( h \)，速度 \( v_1 = 0 \)。初动能 \( E_{k1} = 0 \)，初重力势能 \( E_{pg1} = mgh \)。初机械能 \( E_1 = E_{k1} + E_{pg1} = mgh \)。
末状态：高度 \( 0 \)，速度 \( v_2 = v \)（待求）。末动能 \( E_{k2} = \frac{1}{2}mv^2 \)，末重力势能 \( E_{pg2} = 0 \)。末机械能 \( E_2 = E_{k2} + E_{pg2} = \frac{1}{2}mv^2 \)。
根据机械能守恒定律：\( E_1 = E_2 \)，\( mgh = \frac{1}{2}mv^2 \)。
解得落地速度 \( v = \sqrt{2gh} \)。
答：小球落地时的速度大小为 \( \sqrt{2gh} \)。

例题 17：一个质量为 \( m \) 的小球，从光滑弧形轨道上端静止滑下，轨道高度为 \( h \)。求小球滑到轨道最低点时的速度大小。（不计摩擦力）

解：
研究对象：小球。运动过程：从轨道上端滑到最低点。
机械能是否守恒：轨道光滑，摩擦力忽略不计，只受重力和支持力作用。支持力不做功，只有重力做功，重力是保守力，机械能守恒。
选择轨道最低点所在水平面为零势能面。
初状态：轨道上端，高度 \( h \)，速度 \( v_1 = 0 \)。初动能 \( E_{k1} = 0 \)，初重力势能 \( E_{pg1} = mgh \)。初机械能 \( E_1 = mgh \)。
末状态：轨道最低点，高度 \( 0 \)，速度 \( v_2 = v \)（待求）。末动能 \( E_{k2} = \frac{1}{2}mv^2 \)，末重力势能 \( E_{pg2} = 0 \)。末机械能 \( E_2 = \frac{1}{2}mv^2 \)。
根据机械能守恒定律：\( E_1 = E_2 \)，\( mgh = \frac{1}{2}mv^2 \)。
解得最低点速度 \( v = \sqrt{2gh} \)。
答：小球滑到轨道最低点时的速度大小为 \( \sqrt{2gh} \)。

例题 18：一个质量为 \( m \) 的物体，连接在劲度系数为 \( k \) 的轻弹簧一端，弹簧另一端固定。物体在水平面上做简谐振动，振幅为 \( A \)。求物体在平衡位置时的速度大小。（不计摩擦力）

解：
研究对象：物体-弹簧系统。运动过程：从最大位移处到平衡位置。
机械能是否守恒：系统只受弹簧弹力和保守力作用，摩擦力忽略不计，机械能守恒。机械能包括动能和弹性势能。
选择平衡位置为零弹性势能点。
初状态：最大位移处（振幅 \( A \) 处），速度 \( v_1 = 0 \)，弹簧形变量 \( x_1 = A \)。初动能 \( E_{k1} = 0 \)，初弹性势能 \( E_{pe1} = \frac{1}{2}kA^2 \)。初机械能 \( E_1 = \frac{1}{2}kA^2 \)。
末状态：平衡位置，弹簧形变量 \( x_2 = 0 \)，速度 \( v_2 = v \)（待求）。末动能 \( E_{k2} = \frac{1}{2}mv^2 \)，末弹性势能 \( E_{pe2} = 0 \)。末机械能 \( E_2 = \frac{1}{2}mv^2 \)。
根据机械能守恒定律：\( E_1 = E_2 \)，\( \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv^2 \)。
解得平衡位置速度 \( v = \sqrt{\frac{k}{m}} A \)。
答：物体在平衡位置时的速度大小为 \( \sqrt{\frac{k}{m}} A \)。

总结：
⚝ 机械能 \( E = E_k + E_p \) 是动能和势能之和。
⚝ 机械能守恒定律 \( E_1 = E_2 \) 表明在只有保守力做功的情况下，机械能保持不变。
⚝ 机械能守恒定律是解决力学问题，特别是能量转化问题的有力工具，适用于只有保守力做功，或非保守力做功可以忽略不计的情况。
⚝ 掌握机械能守恒定律，可以更深入地理解能量转化和守恒规律，并有效解决各类力学问题。

2.4 动量与动量守恒 (Momentum and Conservation of Momentum)

2.4.1 动量与冲量的定义 (Definitions of Momentum and Impulse)

动量 (Momentum) 和 冲量 (Impulse) 是描述物体运动状态变化和力在时间上累积效应的重要物理量。动量是描述物体运动状态的量，冲量是描述力对物体作用的时间累积效果的量。

① 动量 (Momentum) 的定义：
动量 (momentum) \( \mathbf{p} \) 是描述物体运动状态的物理量，它反映了物体的质量 (mass) 和 速度 (velocity) 对运动状态的综合影响。对于质量为 \( m \)，速度为 \( \mathbf{v} \) 的物体，其动量 \( \mathbf{p} \) 定义为：
\[ \mathbf{p} = m\mathbf{v} \]
动量是矢量 (vector)，方向与速度 \( \mathbf{v} \) 方向相同，大小为 \( p = mv \)。在SI单位制中，动量的单位是千克·米每秒 (kilogram meter per second)，符号为 kg·m/s 或 \( \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \)。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 矢量性 (Vector Nature)：动量是矢量，既有大小，又有方向。动量的方向与速度方向相同。
▮▮▮▮⚝ 状态量 (State Quantity)：动量是描述物体瞬时运动状态 (instantaneous state of motion) 的物理量，它反映了物体在某一时刻的运动情况。
▮▮▮▮⚝ 与质量和速度有关 (Related to Mass and Velocity)：动量的大小与物体的质量和速度大小成正比。质量越大，速度越大，动量越大，物体的运动状态越难改变。
▮▮▮▮⚝ 相对性 (Relativity)：动量是相对于参考系 (reference frame) 而言的。在不同的参考系中，物体的速度不同，动量也不同。通常情况下，我们以地面为参考系。

② 冲量 (Impulse) 的定义：
冲量 (impulse) \( \mathbf{I} \) 是描述力在时间上的累积效应 (cumulative effect of force over time) 的物理量。当力 \( \mathbf{F} \) 作用在物体上的时间为 \( \Delta t = t_2 - t_1 \) 时，力 \( \mathbf{F} \) 对物体的冲量 \( \mathbf{I} \) 定义为：
▮▮▮▮⚝ 恒力冲量 (Impulse of a Constant Force)：如果力 \( \mathbf{F} \) 是恒力 (constant force)，则冲量 \( \mathbf{I} \) 为力 \( \mathbf{F} \) 与作用时间 \( \Delta t \) 的乘积：
\[ \mathbf{I} = \mathbf{F} \Delta t = \mathbf{F}(t_2 - t_1) \]
▮▮▮▮⚝ 变力冲量 (Impulse of a Variable Force)：如果力 \( \mathbf{F}(t) \) 是变力 (variable force)，则冲量 \( \mathbf{I} \) 为力 \( \mathbf{F}(t) \) 对时间 \( t \) 的积分 (integral)：
\[ \mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}(t) dt \]
冲量是矢量 (vector)，方向与力的方向相同。在SI单位制中，冲量的单位与动量单位相同，也是千克·米每秒 (kg·m/s) 或 牛顿·秒 (N·s)。\( 1 \ \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} = 1 \ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}^2 \cdot \mathrm{s} = 1 \ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s} \)。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 矢量性 (Vector Nature)：冲量是矢量，既有大小，又有方向。冲量的方向与力的方向相同。
▮▮▮▮⚝ 过程量 (Process Quantity)：冲量是描述力作用过程 (process of force acting) 的物理量，它反映了力在一段时间内的累积效果。
▮▮▮▮⚝ 与力和作用时间有关 (Related to Force and Time Interval)：冲量的大小与力的大小和作用时间成正比。力越大，作用时间越长，冲量越大，物体运动状态的变化越大。
▮▮▮▮⚝ 冲量与动量变化的关系 (Relationship between Impulse and Momentum Change)：冲量是动量变化的原因 (cause of momentum change)。冲量定理揭示了冲量与动量变化之间的定量关系。

③ 冲量与动量变化的关系 (Relationship between Impulse and Momentum Change)：
根据牛顿第二定律 \( \mathbf{F} = m\mathbf{a} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \)（假设质量 \( m \) 不变），得到：
\[ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \]
\[ d\mathbf{p} = \mathbf{F} dt \]
对上式两边在时间 \( t_1 \) 到 \( t_2 \) 积分：
\[ \int_{t_1}^{t_2} d\mathbf{p} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} dt \]
\[ \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} dt \]
\[ \Delta \mathbf{p} = \mathbf{I} \]
这就是冲量与动量变化的关系 (relationship between impulse and momentum change)，也称为动量定理 (impulse-momentum theorem)。

总结：
⚝ 动量 \( \mathbf{p} = m\mathbf{v} \) 是描述物体运动状态的物理量，反映了质量和速度的综合影响。
⚝ 冲量 \( \mathbf{I} = \int \mathbf{F} dt \) 是描述力在时间上的累积效应的物理量。
⚝ 冲量与动量变化的关系 \( \mathbf{I} = \Delta \mathbf{p} \) 表明，力对物体的冲量等于物体动量的变化量。
⚝ 动量和冲量都是矢量，单位相同，都是 kg·m/s 或 N·s。
⚝ 理解动量和冲量的概念，以及它们之间的关系，是深入学习动力学和解决碰撞问题的基础。

2.4.2 动量定理 (Impulse-Momentum Theorem)

动量定理 (Impulse-Momentum Theorem) 揭示了合外力 (net external force) 对物体的冲量 (impulse) 与物体动量 (momentum) 变化之间的关系。动量定理是冲量和动量之间联系的重要桥梁，也是解决动力学问题，特别是冲击、碰撞等短时作用力 (short-duration force) 问题的有效方法。

① 动量定理的内容：
动量定理可以表述为：

合外力对物体的冲量，等于物体动量的变化。

数学表达式 (Mathematical Expression)：
设物体在运动过程中，初状态的动量为 \( \mathbf{p}_1 \)，末状态的动量为 \( \mathbf{p}_2 \)，合外力对物体所做的总冲量为 \( \mathbf{I}_{net} \)，则动量定理可以表示为：
\[ \mathbf{I}_{net} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 = \Delta \mathbf{p} \]
或者写成：
\[ \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_{net} dt = m\mathbf{v}_2 - m\mathbf{v}_1 \]
其中，\( \mathbf{F}_{net} \) 是作用在物体上的合外力 (net external force)，\( \mathbf{v}_1 \) 是初速度，\( \mathbf{v}_2 \) 是末速度。

理解要点：
▮▮▮▮⚝ 合外力冲量 (Impulse of Net Force)：动量定理中的冲量 \( \mathbf{I}_{net} \) 是指作用在物体上的所有外力的合力 (net external force) 对物体所做的总冲量 (total impulse)。如果物体受到多个力作用，需要先求出合外力，再计算合外力的冲量，或者分别计算每个力的冲量，然后求矢量和，得到总冲量。
▮▮▮▮⚝ 动量变化 (Change in Momentum)：动量定理反映的是合外力冲量与物体动量变化之间的矢量关系 (vector relationship)。冲量与动量变化的方向相同。
▮▮▮▮⚝ 矢量关系 (Vector Relation)：动量定理是一个矢量方程，不仅涉及冲量和动量的大小，还涉及方向。在应用动量定理时，需要注意矢量的方向性。
▮▮▮▮⚝ 瞬时速度 (Instantaneous Velocity)：动量定理中的速度 \( \mathbf{v}_1 \) 和 \( \mathbf{v}_2 \) 是指物体的瞬时速度 (instantaneous velocity)。

② 动量定理的应用 (Applications of Impulse-Momentum Theorem)：
动量定理提供了一种新的解决动力学问题的方法，尤其适用于处理以下类型的问题：
▮▮▮▮⚝ 涉及冲量和动量变化的问题。动量定理直接给出了冲量与动量变化之间的关系，可以直接求解冲量或动量变化。
▮▮▮▮⚝ 短时作用力（冲击力）问题。对于冲击、碰撞等短时作用力问题，作用时间极短，作用力很大，但冲量可以计算或估算，利用动量定理可以求解速度变化。
▮▮▮▮⚝ 变力冲量问题。对于变力冲量，可以直接计算变力冲量，然后利用动量定理求解动量变化。
▮▮▮▮⚝ 曲线运动问题。动量定理是矢量方程，处理曲线运动问题时，需要注意矢量的方向性，可以分解为分量方程求解。

使用动量定理解决问题的步骤：
1. 明确研究对象和运动过程 (Identify the object and process)：确定研究对象和研究的运动过程，明确初末状态。
2. 受力分析，求合外力冲量 (Force analysis and calculate impulse of net force)：分析研究对象在运动过程中受到哪些力作用，求出每个力的冲量，然后求矢量和，得到合外力总冲量 \( \mathbf{I}_{net} \)。对于恒力，冲量 \( \mathbf{I} = \mathbf{F} \Delta t \)。对于变力，冲量 \( \mathbf{I} = \int \mathbf{F} dt \)。
3. 确定初末状态的动量 (Determine initial and final momentum)：根据初末状态的速度，计算初动量 \( \mathbf{p}_1 = m\mathbf{v}_1 \) 和末动量 \( \mathbf{p}_2 = m\mathbf{v}_2 \)。
4. 列写动量定理方程，求解 (Write impulse-momentum theorem equation and solve)：根据动量定理 \( \mathbf{I}_{net} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 \)，列出矢量方程，或分解为分量方程，求解未知量。

例题解析：

例题 19：一个质量为 \( 0.2 \ \mathrm{kg} \) 的小球，从 \( 5 \ \mathrm{m} \) 高处自由下落，与地面碰撞后反弹，反弹速度大小为 \( 3 \ \mathrm{m/s} \)。碰撞时间为 \( 0.01 \ \mathrm{s} \)。求地面给小球的平均冲击力。（取 \( g = 10 \ \mathrm{m/s}^2 \)）

解：
研究对象：小球。运动过程：碰撞过程。
碰撞前速度：小球自由下落 \( 5 \ \mathrm{m} \) 的速度 \( v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \ \mathrm{m/s}^2 \times 5 \ \mathrm{m}} = 10 \ \mathrm{m/s} \)，方向向下，取向下为正方向，\( v_1 = 10 \ \mathrm{m/s} \)。
碰撞后速度：反弹速度 \( v_2 = 3 \ \mathrm{m/s} \)，方向向上，取向上为负方向，\( v_2 = -3 \ \mathrm{m/s} \)。
动量变化：\( \Delta p = mv_2 - mv_1 = (0.2 \ \mathrm{kg}) \times (-3 \ \mathrm{m/s}) - (0.2 \ \mathrm{kg}) \times (10 \ \mathrm{m/s}) = -0.6 \ \mathrm{kg \cdot m/s} - 2 \ \mathrm{kg \cdot m/s} = -2.6 \ \mathrm{kg \cdot m/s} \)。负号表示动量变化方向向上。
冲量：\( I = \Delta p = -2.6 \ \mathrm{N \cdot s} \)。
冲量 \( I = F_{avg} \Delta t \)，平均冲击力 \( F_{avg} = \frac{I}{\Delta t} = \frac{-2.6 \ \mathrm{N \cdot s}}{0.01 \ \mathrm{s}} = -260 \ \mathrm{N} \)。负号表示冲击力方向向上。
答：地面给小球的平均冲击力大小为 \( 260 \ \mathrm{N} \)，方向竖直向上。

例题 20：一个质量为 \( m \) 的物体，以初速度 \( v_0 \) 沿光滑水平面运动。在水平方向受到一个阻力 \( f \) 的作用，经过时间 \( t \) 后速度减为 \( v \)。求阻力 \( f \) 的冲量。

解：
研究对象：物体。运动过程：受阻力作用的时间 \( t \)。
初动量：\( p_1 = mv_0 \)。
末动量：\( p_2 = mv \)。
动量变化：\( \Delta p = p_2 - p_1 = mv - mv_0 \)。
根据动量定理：\( I = \Delta p = mv - mv_0 \)。
阻力 \( f \) 的冲量 \( I = -ft \)（阻力方向与运动方向相反，冲量为负）。
所以，\( -ft = mv - mv_0 \)，阻力冲量 \( I = mv - mv_0 \)。
答：阻力 \( f \) 的冲量为 \( mv - mv_0 \)。

总结：
⚝ 动量定理 \( \mathbf{I}_{net} = \Delta \mathbf{p} \) 揭示了合外力冲量与动量变化之间的关系。
⚝ 动量定理是矢量方程，适用于直线运动和曲线运动，恒力冲量和变力冲量的情况。
⚝ 应用动量定理可以简化动力学问题的求解，尤其在处理冲击、碰撞等短时作用力问题时具有优势。
⚝ 掌握动量定理是深入理解冲量和动量变化规律，解决力学问题的有效工具。

2.4.3 动量守恒定律 (Law of Conservation of Momentum)

动量守恒定律 (Law of Conservation of Momentum) 是自然界普遍适用的基本定律之一，它描述了系统 (system) 在不受外力 (no external force) 或 合外力为零 (zero net external force) 的情况下，总动量 (total momentum) 保持不变的规律。动量守恒定律是解决相互作用系统问题，特别是碰撞、爆炸等问题的重要工具。

① 系统 (System) 的概念：
在动量守恒定律中，系统 (system) 是指由相互作用 (interacting) 的多个物体组成的集合。系统可以是宏观的，也可以是微观的；可以是简单的，也可以是复杂的。例如，两个碰撞的小球可以看作一个系统，火箭和喷出的燃气可以看作一个系统，原子核和射出的粒子也可以看作一个系统。

② 动量守恒定律的内容：
动量守恒定律可以表述为：

如果一个系统不受外力作用，或者所受外力的合力为零，那么这个系统的总动量保持不变。

数学表达式 (Mathematical Expression)：
设系统由 \( n \) 个物体组成，质量分别为 \( m_1, m_2, \dots, m_n \)，速度分别为 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \)。系统的总动量 (total momentum) \( \mathbf{P} \) 定义为系统中所有物体动量的矢量和：
\[ \mathbf{P} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{p}_i = \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{v}_i = m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 + \dots + m_n\mathbf{v}_n \]
动量守恒定律可以表示为：
\[ \mathbf{P} = \mathrm{constant} \]
或者，如果系统在初始时刻 \( t_1 \) 的总动量为 \( \mathbf{P}_1 \)，在末时刻 \( t_2 \) 的总动量为 \( \mathbf{P}_2 \)，则动量守恒定律表示为：
\[ \mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_2 \]
\[ \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{v}_{i1} = \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{v}_{i2} \]
其中，\( \mathbf{v}_{i1} \) 是第 \( i \) 个物体在初始时刻的速度，\( \mathbf{v}_{i2} \) 是第 \( i \) 个物体在末时刻的速度。

适用条件 (Conditions for Conservation)：
动量守恒定律成立的前提条件 (prerequisite condition) 是：
▮▮▮▮⚝ 系统不受外力作用 (No external force on the system)：理想情况，系统与外界完全隔离，不受任何外力作用。
▮▮▮▮⚝ 系统所受外力的合力为零 (Zero net external force on the system)：实际情况，系统可能受到外力作用，但如果所有外力的矢量和为零，即合外力为零，动量仍然守恒。
▮▮▮▮⚝ 系统内力远大于外力 (Internal forces are much larger than external forces)：在某些情况下，系统可能受到外力作用，但如果系统内部物体之间的相互作用力（内力 (internal force)）远大于系统受到的外力，外力的冲量可以忽略不计，系统动量近似守恒。例如，碰撞、爆炸等短时作用过程，内力（如碰撞力、爆炸力）通常远大于外力（如重力、阻力），可以近似认为动量守恒。
▮▮▮▮⚝ 在某一方向上合外力为零 (Zero net external force in a certain direction)：如果系统所受合外力不为零，但在某一方向 (certain direction) 上，合外力的分量为零，则系统在该方向上的总动量分量 (component of total momentum) 守恒。例如，水平方向光滑的水平面上，物体系统在水平方向上动量守恒，但在竖直方向上动量不守恒（因为受到重力和支持力作用）。

③ 动量守恒定律的推导 (Derivation of Law of Conservation of Momentum)：
考虑由两个物体组成的系统，物体 1 和物体 2 之间的相互作用力为 \( \mathbf{F}_{12} \)（物体 1 对物体 2 的力）和 \( \mathbf{F}_{21} \)（物体 2 对物体 1 的力）。根据牛顿第三定律，\( \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21} \)。
对物体 1 应用动量定理：\( \mathbf{F}_{21} \Delta t = \Delta \mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_{12} - \mathbf{p}_{11} \)。
对物体 2 应用动量定理：\( \mathbf{F}_{12} \Delta t = \Delta \mathbf{p}_2 = \mathbf{p}_{22} - \mathbf{p}_{21} \)。
将两式相加：\( (\mathbf{F}_{21} + \mathbf{F}_{12}) \Delta t = (\mathbf{p}_{12} - \mathbf{p}_{11}) + (\mathbf{p}_{22} - \mathbf{p}_{21}) \)。
由于 \( \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21} \)，所以 \( \mathbf{F}_{21} + \mathbf{F}_{12} = 0 \)。
得到 \( 0 = (\mathbf{p}_{12} - \mathbf{p}_{11}) + (\mathbf{p}_{22} - \mathbf{p}_{21}) = (\mathbf{p}_{12} + \mathbf{p}_{22}) - (\mathbf{p}_{11} + \mathbf{p}_{21}) \)。
令系统总动量 \( \mathbf{P} = \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 \)，则 \( \mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1 = 0 \)，即 \( \mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_2 \)，系统总动量守恒。
推广到由 \( n \) 个物体组成的系统，如果系统合外力为零，同理可证系统总动量守恒。

④ 动量守恒定律的应用 (Applications of Law of Conservation of Momentum)：
动量守恒定律是解决相互作用系统问题，特别是碰撞、爆炸、反冲等问题的基本工具。适用于以下类型的问题：
▮▮▮▮⚝ 碰撞问题 (Collision Problems)：弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞等。
▮▮▮▮⚝ 爆炸问题 (Explosion Problems)：炸弹爆炸、火箭发射、核反应等。
▮▮▮▮⚝ 反冲问题 (Recoil Problems)：火箭反冲、火炮后坐、喷气推进等。
▮▮▮▮⚝ 平均动量守恒 (Average Momentum Conservation)：例如，气体分子热运动的平均动量守恒。

使用动量守恒定律解决问题的步骤：
1. 明确研究对象和系统 (Identify the object and system)：确定研究对象和系统，明确系统包含哪些物体。
2. 判断动量是否守恒 (Determine if momentum is conserved)：分析系统是否满足动量守恒的条件，如合外力是否为零，或内力是否远大于外力，或在某一方向上合外力是否为零。
3. 确定初末状态的总动量 (Determine initial and final total momentum)：计算系统在初始时刻的总动量 \( \mathbf{P}_1 \) 和末时刻的总动量 \( \mathbf{P}_2 \)。注意动量是矢量，计算总动量时要进行矢量求和。
4. 列写动量守恒方程，求解 (Write momentum conservation equation and solve)：根据动量守恒定律 \( \mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_2 \)，列出矢量方程，或分解为分量方程，求解未知量。

例题解析：

例题 21：两个质量分别为 \( m_1 = 2 \ \mathrm{kg} \) 和 \( m_2 = 3 \ \mathrm{kg} \) 的小球，在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，速度分别为 \( v_{10} = 5 \ \mathrm{m/s} \) 和 \( v_{20} = 2 \ \mathrm{m/s} \)。当 \( m_1 \) 追上 \( m_2 \) 发生碰撞。碰撞后 \( m_2 \) 的速度变为 \( v_2 = 4 \ \mathrm{m/s} \)。求碰撞后 \( m_1 \) 的速度 \( v_1 \)。

解：
研究对象：\( m_1 \) 和 \( m_2 \) 组成的系统。运动过程：碰撞过程。
动量是否守恒：水平面光滑，外力（重力、支持力）合力为零，系统动量守恒。
初状态总动量：\( P_1 = m_1v_{10} + m_2v_{20} = (2 \ \mathrm{kg}) \times (5 \ \mathrm{m/s}) + (3 \ \mathrm{kg}) \times (2 \ \mathrm{m/s}) = 10 \ \mathrm{kg \cdot m/s} + 6 \ \mathrm{kg \cdot m/s} = 16 \ \mathrm{kg \cdot m/s} \)。
末状态总动量：\( P_2 = m_1v_1 + m_2v_2 = (2 \ \mathrm{kg}) \times v_1 + (3 \ \mathrm{kg}) \times (4 \ \mathrm{m/s}) = 2v_1 + 12 \ \mathrm{kg \cdot m/s} \)。
根据动量守恒定律：\( P_1 = P_2 \)，\( 16 \ \mathrm{kg \cdot m/s} = 2v_1 + 12 \ \mathrm{kg \cdot m/s} \)。
解得碰撞后 \( m_1 \) 的速度 \( v_1 = \frac{16 - 12}{2} \ \mathrm{m/s} = 2 \ \mathrm{m/s} \)。
答：碰撞后 \( m_1 \) 的速度为 \( 2 \ \mathrm{m/s} \)。

例题 22：静止在光滑水平面上的炸弹，质量为 \( M \)。爆炸后分裂成质量分别为 \( m_1 \) 和 \( m_2 \) 的两块，\( m_1 \) 的速度为 \( v_1 \)，方向水平向右。求 \( m_2 \) 的速度 \( v_2 \)。

解：
研究对象：炸弹分裂成的 \( m_1 \) 和 \( m_2 \) 组成的系统。运动过程：爆炸过程。
动量是否守恒：水平面光滑，爆炸内力远大于外力，系统动量守恒。
初状态总动量：炸弹静止，总动量 \( P_1 = 0 \)。
末状态总动量：\( P_2 = m_1v_1 + m_2v_2 \)。设向右为正方向，\( v_1 > 0 \)。
根据动量守恒定律：\( P_1 = P_2 \)，\( 0 = m_1v_1 + m_2v_2 \)。
解得 \( m_2 \) 的速度 \( v_2 = -\frac{m_1v_1}{m_2} \)。负号表示 \( v_2 \) 方向与 \( v_1 \) 方向相反，即水平向左。
答：\( m_2 \) 的速度大小为 \( \frac{m_1v_1}{m_2} \)，方向水平向左。

总结：
⚝ 动量守恒定律 \( \mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_2 \) 表明在系统合外力为零的情况下，系统总动量保持不变。
⚝ 动量守恒定律是矢量方程，适用于相互作用的物体系统，特别是碰撞、爆炸、反冲等问题。
⚝ 应用动量守恒定律可以简化相互作用系统问题的求解，尤其在处理碰撞和爆炸问题时具有优势。
⚝ 掌握动量守恒定律是深入理解相互作用系统动力学行为，解决力学问题的有效工具。

2.4.4 碰撞：弹性碰撞与非弹性碰撞 (Collisions: Elastic and Inelastic Collisions)

碰撞 (Collision) 是指物体之间相互作用时间极短，相互作用力很大的过程。碰撞是自然界中普遍存在的现象，从宏观的交通碰撞、体育运动，到微观的粒子散射、原子核反应，都涉及到碰撞过程。根据碰撞过程中机械能 (mechanical energy) 是否守恒，可以将碰撞分为弹性碰撞 (elastic collision) 和 非弹性碰撞 (inelastic collision)。

① 弹性碰撞 (Elastic Collision)：
弹性碰撞 (elastic collision) 是指在碰撞过程中，系统 (system) 的总动量 (total momentum) 和 总动能 (total kinetic energy) 都守恒 (conserved) 的碰撞。理想的弹性碰撞在宏观世界中很少见，但在微观粒子碰撞中，例如原子、分子、原子核等之间的碰撞，在一定条件下可以近似看作弹性碰撞。

弹性碰撞的守恒定律：
▮▮▮▮⚝ 动量守恒 (Conservation of Momentum)：
\[ m_1\mathbf{v}_{10} + m_2\mathbf{v}_{20} = m_1\mathbf{v}_{1} + m_2\mathbf{v}_{2} \]
▮▮▮▮⚝ 动能守恒 (Conservation of Kinetic Energy)：
\[ \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2}^2 \]
其中，\( m_1, m_2 \) 是碰撞物体的质量，\( \mathbf{v}_{10}, \mathbf{v}_{20} \) 是碰撞前速度，\( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \) 是碰撞后速度。

一维弹性碰撞 (One-dimensional Elastic Collision)：
对于一维弹性碰撞（即对心碰撞 (head-on collision)），速度方向在同一直线上，可以简化为标量形式。设碰撞前速度分别为 \( v_{10}, v_{20} \)，碰撞后速度分别为 \( v_{1}, v_{2} \)。动量守恒和动能守恒方程为：
\[ m_1v_{10} + m_2v_{20} = m_1v_{1} + m_2v_{2} \]
\[ \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2}^2 \]
联立求解这两个方程，可以得到碰撞后速度 \( v_1 \) 和 \( v_2 \) 的表达式：
\[ v_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_{10} + 2m_2v_{20}}{m_1 + m_2} \]
\[ v_2 = \frac{(m_2 - m_1)v_{20} + 2m_1v_{10}}{m_1 + m_2} \]
特殊情况：
▮▮▮▮⚝ 如果 \( m_1 = m_2 \)，则 \( v_1 = v_{20} \)，\( v_2 = v_{10} \)。质量相等的物体弹性碰撞，交换速度。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( m_2 \gg m_1 \)，且 \( v_{20} = 0 \)，则 \( v_1 \approx -v_{10} \)，\( v_2 \approx 0 \)。小球撞击静止的大质量物体，小球反弹，大物体几乎不动。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( m_1 \gg m_2 \)，且 \( v_{20} = 0 \)，则 \( v_1 \approx v_{10} \)，\( v_2 \approx 2v_{10} \)。大质量物体撞击静止的小质量物体，大物体速度几乎不变，小物体以约两倍大物体的速度被撞出。

② 非弹性碰撞 (Inelastic Collision)：
非弹性碰撞 (inelastic collision) 是指在碰撞过程中，系统总动量守恒 (total momentum is conserved)，但 总动能不守恒 (total kinetic energy is not conserved) 的碰撞。在非弹性碰撞中，一部分动能转化为其他形式的能量，如内能（热能、形变能等）、声能等，导致碰撞后系统总动能减少。宏观物体之间的碰撞，如汽车碰撞、物体落地碰撞等，通常都是非弹性碰撞。

非弹性碰撞的守恒定律：
▮▮▮▮⚝ 动量守恒 (Conservation of Momentum)：
\[ m_1\mathbf{v}_{10} + m_2\mathbf{v}_{20} = m_1\mathbf{v}_{1} + m_2\mathbf{v}_{2} \]
▮▮▮▮⚝ 动能不守恒 (Kinetic Energy is not Conserved)：
\[ \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2 \ne \frac{1}{2}m_1v_{1}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2}^2 \]
动能损失 \( \Delta E_k = (\frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2) - (\frac{1}{2}m_1v_{1}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2}^2) > 0 \)。

完全非弹性碰撞 (Perfectly Inelastic Collision)：
完全非弹性碰撞 (perfectly inelastic collision) 是非弹性碰撞的一种特殊情况，指碰撞后碰撞物体结合在一起 (colliding objects stick together)，成为一个整体，以共同的速度运动。完全非弹性碰撞的动能损失最大。

完全非弹性碰撞的特点：
▮▮▮▮⚝ 动量守恒 (Conservation of Momentum)：
\[ m_1\mathbf{v}_{10} + m_2\mathbf{v}_{20} = (m_1 + m_2)\mathbf{v} \]
其中，\( \mathbf{v} \) 是碰撞后整体的共同速度。
▮▮▮▮⚝ 动能损失最大 (Maximum Kinetic Energy Loss)：
动能损失 \( \Delta E_k = (\frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2) - \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 \)。

③ 二维碰撞 (Two-dimensional Collision)：
二维碰撞 (two-dimensional collision) 是指碰撞物体的速度不在同一直线上的碰撞，也称为斜碰 (oblique collision)。二维碰撞需要使用矢量形式的动量守恒定律 (vector form of conservation of momentum)，或者将动量守恒定律分解为两个方向的分量方程 (component equations in two directions)。

二维弹性碰撞的守恒定律：
▮▮▮▮⚝ 动量守恒 (Conservation of Momentum)：
\[ m_1\mathbf{v}_{10} + m_2\mathbf{v}_{20} = m_1\mathbf{v}_{1} + m_2\mathbf{v}_{2} \]
分解为 \( x \) 和 \( y \) 两个方向的分量方程：
\[ m_1v_{10x} + m_2v_{20x} = m_1v_{1x} + m_2v_{2x} \]
\[ m_1v_{10y} + m_2v_{20y} = m_1v_{1y} + m_2v_{2y} \]
▮▮▮▮⚝ 动能守恒 (Conservation of Kinetic Energy)：
\[ \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2}^2 \]

二维非弹性碰撞的守恒定律：
▮▮▮▮⚝ 动量守恒 (Conservation of Momentum)：
\[ m_1v_{10x} + m_2v_{20x} = m_1v_{1x} + m_2v_{2x} \]
\[ m_1v_{10y} + m_2v_{20y} = m_1v_{1y} + m_2v_{2y} \]
▮▮▮▮⚝ 动能不守恒 (Kinetic Energy is not Conserved)：
\[ \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2 \ne \frac{1}{2}m_1v_{1}^2 + \frac{1}{2}m_1v_{1}^2 \]

例题解析：

例题 23：两个质量均为 \( m \) 的小球，在光滑水平面上沿同一直线相向运动，速度大小均为 \( v_0 \)。发生弹性正碰后，求碰撞后两球的速度。

解：
弹性正碰，动量守恒和动能守恒。质量 \( m_1 = m_2 = m \)。碰撞前速度 \( v_{10} = v_0 \)，\( v_{20} = -v_0 \)（设向右为正方向）。
根据一维弹性碰撞公式，质量相等交换速度：
\[ v_1 = v_{20} = -v_0 \]
\[ v_2 = v_{10} = v_0 \]
答：碰撞后，球 1 的速度为 \( -v_0 \)，方向向左；球 2 的速度为 \( v_0 \)，方向向右。两球交换速度。

例题 24：一个质量为 \( m_1 = 2 \ \mathrm{kg} \) 的物体，以速度 \( v_{10} = 3 \ \mathrm{m/s} \) 与静止的质量为 \( m_2 = 4 \ \mathrm{kg} \) 的物体发生完全非弹性碰撞。求碰撞后两物体共同速度和碰撞过程中损失的动能。

解：
完全非弹性碰撞，动量守恒，动能不守恒。\( m_1 = 2 \ \mathrm{kg} \)，\( v_{10} = 3 \ \mathrm{m/s} \)，\( m_2 = 4 \ \mathrm{kg} \)，\( v_{20} = 0 \)。
动量守恒：\( m_1v_{10} + m_2v_{20} = (m_1 + m_2)v \)。
\( (2 \ \mathrm{kg}) \times (3 \ \mathrm{m/s}) + (4 \ \mathrm{kg}) \times 0 = (2 \ \mathrm{kg} + 4 \ \mathrm{kg}) \times v \)。
解得共同速度 \( v = \frac{6}{6} \ \mathrm{m/s} = 1 \ \mathrm{m/s} \)。
碰撞前总动能：\( E_{k1} = \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2 = \frac{1}{2} \times (2 \ \mathrm{kg}) \times (3 \ \mathrm{m/s})^2 + 0 = 9 \ \mathrm{J} \)。
碰撞后总动能：\( E_{k2} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2} \times (6 \ \mathrm{kg}) \times (1 \ \mathrm{m/s})^2 = 3 \ \mathrm{J} \)。
动能损失：\( \Delta E_k = E_{k1} - E_{k2} = 9 \ \mathrm{J} - 3 \ \mathrm{J} = 6 \ \mathrm{J} \)。
答：碰撞后两物体共同速度为 \( 1 \ \mathrm{m/s} \)，碰撞过程中损失的动能为 \( 6 \ \mathrm{J} \)。

例题 25：一个质量为 \( m_1 \) 的小球，以速度 \( v_{10} \) 与静止的质量为 \( m_2 \) 的小球发生弹性斜碰。碰撞后 \( m_1 \) 的速度方向与原方向成 \( \theta_1 \) 角，\( m_2 \) 的速度方向与原方向成 \( \theta_2 \) 角。求碰撞后两球的速度大小 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)。

解：
二维弹性碰撞，动量守恒和动能守恒。分解动量守恒方程到 \( x \) 和 \( y \) 轴方向。设碰撞前 \( v_{10} \) 沿 \( x \) 轴方向，\( v_{20} = 0 \)。
动量守恒 \( x \) 分量：\( m_1v_{10} = m_1v_{1}\cos\theta_1 + m_2v_{2}\cos\theta_2 \)。
动量守恒 \( y \) 分量：\( 0 = m_1v_{1}\sin\theta_1 - m_2v_{2}\sin\theta_2 \)。
动能守恒：\( \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2}^2 \)。
联立这三个方程，可以求解 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)。具体解法较为复杂，需要根据具体角度和质量关系求解。

总结：
⚝ 碰撞分为弹性碰撞和非弹性碰撞，根据碰撞过程中机械能是否守恒来区分。
⚝ 弹性碰撞动量和动能都守恒；非弹性碰撞动量守恒，动能不守恒，部分动能转化为其他形式的能量；完全非弹性碰撞碰撞后物体结合在一起，动能损失最大。
⚝ 一维碰撞可以直接使用标量形式的守恒定律；二维碰撞需要使用矢量形式或分量方程。
⚝ 掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的特点和守恒定律，可以解决各类碰撞问题，分析碰撞过程中的动量和能量变化。

3. 振动与波动 (Oscillations and Waves)

本章系统介绍振动 (Oscillations) 的基本概念和类型，从最简单的简谐振动 (Simple Harmonic Motion, SHM) 开始，逐步深入到阻尼振动 (Damped Oscillations) 和 受迫振动 (Forced Oscillations)。同时，本章还将探讨波动 (Waves) 的基本理论，包括机械波 (Mechanical Waves) 的产生、传播特性，以及波的叠加原理 (Superposition Principle)、干涉 (Interference) 和 衍射 (Diffraction) 等重要现象。通过本章的学习，读者将建立起对振动和波动现象的系统认识，为后续学习更复杂的波动现象，如光波、声波等，奠定坚实的基础。 🌊

3.1 简谐振动 (Simple Harmonic Motion, SHM)

简谐振动 (Simple Harmonic Motion, SHM) 是最基本和最重要的一种振动形式，许多复杂的振动现象都可以近似地看作是简谐振动的叠加。本节将从定义出发，深入分析简谐振动的运动学 (Kinematics) 和 动力学 (Dynamics) 特征，推导其运动方程，并讨论其能量守恒特性。

3.1.1 简谐振动的定义与特征 (Definition and Characteristics of SHM)

简谐振动 (Simple Harmonic Motion, SHM) 可以定义为物体在回复力 (Restoring Force) 作用下的振动，其中回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移 (Displacement) 成正比，方向始终指向平衡位置。可以用公式表示为：

\[ F = -kx \]

其中，\( F \) 是回复力，\( x \) 是物体相对于平衡位置的位移，\( k \) 是劲度系数 (Spring Constant)，负号表示回复力方向与位移方向相反。这种线性回复力是简谐振动的本质特征。

简谐振动的特征量 (Characteristic Quantities of SHM):

① 振幅 (Amplitude) (A)：振动物体偏离平衡位置的最大距离。振幅表示振动强度的大小，是一个标量，单位通常为米 (m)。

② 周期 (Period) (T)：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。周期描述了振动重复一次的时间间隔，单位通常为秒 (s)。

③ 频率 (Frequency) (f)：单位时间内振动物体完成完整振动的次数。频率是周期的倒数，\( f = 1/T \)，单位为赫兹 (Hz)，1 Hz = 1 s\(^{-1}\)。

④ 角频率 (Angular Frequency) (ω)：描述振动快慢的物理量，与频率成正比，\( ω = 2πf = 2π/T \)，单位为弧度每秒 (rad/s)。角频率在数学描述中更为方便。

简谐振动的实例 (Examples of SHM):

⚝ 弹簧振子 (Spring Oscillator)：一个物体连接到弹簧上，在弹簧的回复力作用下，在平衡位置附近做简谐振动。这是最典型的简谐振动模型。 🧸
⚝ 单摆 (Simple Pendulum)：在小角度摆动的情况下，单摆的运动可以近似看作简谐振动。 🕰️
⚝ LC振荡电路 (LC Oscillating Circuit)：电容器和电感器组成的电路中，电荷和电流的变化也呈现简谐振动特性。 ⚡

理解简谐振动的定义和特征量是深入学习振动和波动的基础。

3.1.2 简谐振动的运动学描述 (Kinematic Description of SHM)

运动学描述 (Kinematic Description) 旨在用数学公式描述简谐振动的运动规律，即位移、速度和加速度随时间的变化关系。

从简谐振动的定义出发，我们知道回复力 \( F = -kx \)。根据牛顿第二定律 \( F = ma \)，其中 \( m \) 是质量，\( a \) 是加速度，我们可以得到简谐振动的动力学方程 (Dynamic Equation)：

\[ ma = -kx \]

将加速度 \( a \) 表示为位移 \( x \) 对时间的二阶导数 \( a = \frac{d^2x}{dt^2} \)，动力学方程可以写成微分方程 (Differential Equation) 的形式：

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \]

或者，引入角频率 \( ω^2 = k/m \)，方程简化为：

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + ω^2x = 0 \]

这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。其通解形式为：

\[ x(t) = A\cos(ωt + φ) \]

或者等价地表示为：

\[ x(t) = A\sin(ωt + φ') \]

其中，\( A \) 是振幅 (Amplitude)，\( ω \) 是角频率 (Angular Frequency)，\( φ \) 或 \( φ' \) 是初相位 (Initial Phase)。这些参数由振动的初始条件（初始位移和初始速度）决定。

运动学参量随时间的变化 (Time-dependent Kinematic Quantities):

① 位移 (Displacement) (x(t)):
\[ x(t) = A\cos(ωt + φ) \]

② 速度 (Velocity) (v(t)): 速度是位移对时间的一阶导数：
\[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -Aω\sin(ωt + φ) = Aω\cos(ωt + φ + \frac{π}{2}) \]
速度也做简谐振动，振幅为 \( Aω \)，相位比位移超前 \( \frac{π}{2} \)。

③ 加速度 (Acceleration) (a(t)): 加速度是速度对时间的一阶导数，也是位移对时间的二阶导数：
\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -Aω^2\cos(ωt + φ) = -ω^2x(t) = Aω^2\cos(ωt + φ + π) \]
加速度也做简谐振动，振幅为 \( Aω^2 \)，相位比位移超前 \( π \)，或者说与位移反相。

运动图像 (Motion Graphs):

⚝ 位移-时间图像 (x-t graph)：正弦或余弦曲线。
⚝ 速度-时间图像 (v-t graph)：正弦或余弦曲线，相位超前位移 \( \frac{π}{2} \)。
⚝ 加速度-时间图像 (a-t graph)：正弦或余弦曲线，相位超前位移 \( π \)，或与位移反相。

通过运动学描述，我们可以清晰地了解简谐振动中位移、速度和加速度随时间的变化规律，以及它们之间的相位关系。

3.1.3 简谐振动的动力学分析 (Dynamic Analysis of SHM)

动力学分析 (Dynamic Analysis) 从力的角度出发，进一步理解简谐振动的本质。我们已经从牛顿第二定律导出了简谐振动的微分方程：

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + ω^2x = 0 \]

这个方程描述了简谐振动的动力学行为。求解这个微分方程是动力学分析的核心。

微分方程的求解 (Solving the Differential Equation):

我们已经给出了微分方程的通解形式：

\[ x(t) = A\cos(ωt + φ) \]

或者

\[ x(t) = C_1\cos(ωt) + C_2\sin(ωt) \]

其中，\( A \) 和 \( φ \) (或 \( C_1 \) 和 \( C_2 \)) 是由初始条件 (Initial Conditions) 决定的常数。初始条件通常是指 \( t=0 \) 时刻的位移 \( x(0) \) 和速度 \( v(0) \)。

根据初始条件确定解 (Determining the Solution from Initial Conditions):

假设在 \( t=0 \) 时刻，位移为 \( x_0 \)，速度为 \( v_0 \)。使用解的形式 \( x(t) = C_1\cos(ωt) + C_2\sin(ωt) \)，则：

⚝ 当 \( t=0 \) 时，\( x(0) = C_1\cos(0) + C_2\sin(0) = C_1 \)。因此，\( C_1 = x_0 \)。
⚝ 对 \( x(t) \) 求导得到速度 \( v(t) = -C_1ω\sin(ωt) + C_2ω\cos(ωt) \)。
⚝ 当 \( t=0 \) 时，\( v(0) = -C_1ω\sin(0) + C_2ω\cos(0) = C_2ω \)。因此，\( C_2 = \frac{v_0}{ω} \)。

所以，根据初始条件，简谐振动的解可以确定为：

\[ x(t) = x_0\cos(ωt) + \frac{v_0}{ω}\sin(ωt) \]

或者，也可以用振幅和初相位的形式表示。例如，如果使用 \( x(t) = A\cos(ωt + φ) \)，则：

⚝ \( x(0) = A\cos(φ) = x_0 \)
⚝ \( v(0) = -Aω\sin(φ) = v_0 \)

由此可以解出振幅 \( A \) 和初相位 \( φ \)：

\[ A = \sqrt{x_0^2 + (\frac{v_0}{ω})^2} \]

\[ \tan(φ) = -\frac{v_0}{ωx_0} \]

根据初始条件，我们可以完全确定简谐振动的运动状态。动力学分析不仅给出了运动方程，还揭示了简谐振动与初始条件和系统参数（如质量 \( m \) 和劲度系数 \( k \)，从而决定 \( ω \)) 之间的关系。

3.1.4 简谐振动的能量 (Energy of SHM)

在简谐振动过程中，系统能量在动能 (Kinetic Energy) 和 势能 (Potential Energy) 之间相互转换，但总机械能保持守恒。

能量表达式 (Energy Expressions):

① 动能 (Kinetic Energy) (E\(_{k}\)): 动能与速度的平方成正比：
\[ E_{k} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(-Aω\sin(ωt + φ))^2 = \frac{1}{2}mA^2ω^2\sin^2(ωt + φ) \]
由于 \( ω^2 = k/m \)，动能也可以写成：
\[ E_{k} = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(ωt + φ) \]

② 势能 (Potential Energy) (E\(_{p}\)): 对于弹簧振子，势能是弹性势能，与位移的平方成正比：
\[ E_{p} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A\cos(ωt + φ))^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(ωt + φ) \]

③ 总机械能 (Total Mechanical Energy) (E): 总机械能是动能和势能之和：
\[ E = E_{k} + E_{p} = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(ωt + φ) + \frac{1}{2}kA^2\cos^2(ωt + φ) = \frac{1}{2}kA^2(\sin^2(ωt + φ) + \cos^2(ωt + φ)) \]
利用三角恒等式 \( \sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \)，得到：
\[ E = \frac{1}{2}kA^2 \]

能量守恒 (Energy Conservation):

总机械能 \( E = \frac{1}{2}kA^2 \) 是一个常数，与时间无关。这意味着在简谐振动过程中，总机械能保持不变，即机械能守恒定律 (Law of Conservation of Mechanical Energy) 在简谐振动中成立。

能量转换 (Energy Transformation):

⚝ 当物体在平衡位置时 ( \( x=0 \) )，势能 \( E_{p} = 0 \)，动能最大 \( E_{k} = E = \frac{1}{2}kA^2 \)。
⚝ 当物体在最大位移处 ( \( x = ±A \) )，速度 \( v = 0 \)，动能 \( E_{k} = 0 \)，势能最大 \( E_{p} = E = \frac{1}{2}kA^2 \)。
⚝ 在其他位置，能量在动能和势能之间相互转换，但总和保持不变。

能量图像 (Energy Graphs):

⚝ 动能-时间图像 (E\(_{k}\)-t graph)：正弦平方曲线，周期为 \( T/2 \)。
⚝ 势能-时间图像 (E\(_{p}\)-t graph)：正弦平方曲线，周期为 \( T/2 \)，与动能图像反相。
⚝ 总能量-时间图像 (E-t graph)：水平直线，表示总能量守恒。

能量分析从能量的角度揭示了简谐振动的本质特征，强调了能量在振动过程中的转换和守恒，这对于理解更复杂的振动系统至关重要。

3.2 阻尼振动与受迫振动 (Damped and Forced Oscillations)

理想的简谐振动模型忽略了能量损耗，实际振动系统中，由于阻尼力 (Damping Force) 的存在，能量会逐渐损耗，振幅会逐渐减小，这种振动称为 阻尼振动 (Damped Oscillations)。为了维持振动，可以对系统施加周期性的驱动力，这种振动称为 受迫振动 (Forced Oscillations)。本节将介绍阻尼振动和受迫振动的物理现象和特点，重点分析阻尼力对振动的影响，以及受迫振动中的 共振 (Resonance) 现象。

3.2.1 阻尼振动：欠阻尼、临界阻尼与过阻尼 (Damped Oscillations: Underdamped, Critically Damped, and Overdamped)

阻尼力 (Damping Force) 是指阻碍物体运动的力，通常与速度有关，方向与速度方向相反。常见的阻尼力包括空气阻力、摩擦力、粘滞阻力等。对于速度较小的物体，阻尼力可以近似表示为与速度成正比：

\[ F_{d} = -bv \]

其中，\( F_{d} \) 是阻尼力，\( v \) 是速度，\( b \) 是阻尼系数 (Damping Coefficient)，正号表示阻尼力方向与速度方向相反。

阻尼振动的动力学方程 (Dynamic Equation of Damped Oscillations):

考虑同时受到回复力 \( -kx \) 和阻尼力 \( -bv \) 的物体，根据牛顿第二定律，动力学方程为：

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx - bv \]

整理后得到：

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0 \]

或者，用角频率 \( ω_0^2 = k/m \) 和阻尼比 \( γ = b/(2m) \) 表示，方程变为：

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2γ\frac{dx}{dt} + ω_0^2x = 0 \]

这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。其解的形式取决于阻尼比 \( γ \) 与固有角频率 \( ω_0 \) 的相对大小。

阻尼振动的类型 (Types of Damped Oscillations):

根据判别式 \( Δ = γ^2 - ω_0^2 \) 的符号，阻尼振动可以分为三种类型：

① 欠阻尼 (Underdamped) ( \( γ < ω_0 \) 或 \( γ^2 - ω_0^2 < 0 \) ): 阻尼较小，系统仍然会振动，但振幅随时间指数衰减。解的形式为：

\[ x(t) = Ae^{-γt}\cos(ω_{d}t + φ) \]

其中，\( ω_{d} = \sqrt{ω_0^2 - γ^2} \) 是阻尼振荡频率 (Damped Oscillation Frequency)，\( A \) 和 \( φ \) 由初始条件决定。欠阻尼振动表现为振幅逐渐减小的振荡。 📉

② 临界阻尼 (Critically Damped) ( \( γ = ω_0 \) 或 \( γ^2 - ω_0^2 = 0 \) ): 阻尼恰好使系统不发生振荡，而是最快地回到平衡位置。解的形式为：

\[ x(t) = (C_1 + C_2t)e^{-γt} \]

其中，\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 由初始条件决定。临界阻尼是系统快速回到平衡位置而不发生振荡的理想状态，常用于仪表阻尼和减震系统。 🛑

③ 过阻尼 (Overdamped) ( \( γ > ω_0 \) 或 \( γ^2 - ω_0^2 > 0 \) ): 阻尼过大，系统也不会发生振荡，而是缓慢地回到平衡位置。解的形式为：

\[ x(t) = C_1e^{(-γ + \sqrt{γ^2 - ω_0^2})t} + C_2e^{(-γ - \sqrt{γ^2 - ω_0^2})t} \]

其中，\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 由初始条件决定。过阻尼系统回到平衡位置的速度较慢，响应迟缓。 🐌

阻尼比的影响 (Influence of Damping Ratio):

⚝ 阻尼比 \( γ \) 越大，阻尼效果越强，振幅衰减越快（欠阻尼），或回到平衡位置的速度越慢（过阻尼）。
⚝ 阻尼比 \( γ \) 越小，阻尼效果越弱，振幅衰减越慢（欠阻尼），或更接近无阻尼振动。
⚝ 临界阻尼 \( γ = ω_0 \) 是一个临界状态，系统以最快速度回到平衡位置而不发生振荡。

理解不同类型的阻尼振动对于设计和分析实际振动系统至关重要。

3.2.2 受迫振动与共振 (Forced Oscillations and Resonance)

受迫振动 (Forced Oscillations) 是指在外力 (External Force) 作用下的振动。如果外力是周期性的，系统会发生受迫振动。当驱动力的频率接近系统的固有频率 (Natural Frequency) 时，会发生 共振 (Resonance) 现象，振幅显著增大。

受迫振动的动力学方程 (Dynamic Equation of Forced Oscillations):

考虑在阻尼振动的基础上，再施加一个周期性的驱动力 \( F(t) = F_0\cos(ω_{f}t) \)，其中 \( F_0 \) 是驱动力振幅，\( ω_{f} \) 是驱动频率 (Driving Frequency)。动力学方程变为：

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(ω_{f}t) \]

或者，用角频率 \( ω_0^2 = k/m \) 和阻尼比 \( γ = b/(2m) \) 表示，方程变为：

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2γ\frac{dx}{dt} + ω_0^2x = \frac{F_0}{m}\cos(ω_{f}t) \]

这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程。其解由瞬态解 (Transient Solution) 和 稳态解 (Steady-state Solution) 两部分组成。瞬态解与阻尼振动类似，会随时间衰减；稳态解描述了系统在外力持续作用下的稳定振动状态。

稳态解 (Steady-state Solution):

稳态解的形式与驱动力形式相同，也是一个同频率的余弦函数：

\[ x(t) = A_{f}\cos(ω_{f}t - δ) \]

其中，\( A_{f} \) 是受迫振动振幅 (Forced Oscillation Amplitude)，\( δ \) 是相位滞后 (Phase Lag)。振幅 \( A_{f} \) 和相位滞后 \( δ \) 取决于驱动频率 \( ω_{f} \)、固有频率 \( ω_0 \) 和阻尼比 \( γ \)。

共振 (Resonance):

共振是指当驱动频率 \( ω_{f} \) 接近系统的固有频率 \( ω_0 \) 时，受迫振动振幅 \( A_{f} \) 显著增大的现象。共振振幅的表达式为：

\[ A_{f} = \frac{F_0/m}{\sqrt{(ω_0^2 - ω_{f}^2)^2 + (2γω_{f})^2}} \]

当 \( ω_{f} = ω_0 \) 时，分母中的 \( (ω_0^2 - ω_{f}^2)^2 \) 项为零，振幅达到最大值：

\[ A_{f,max} = \frac{F_0/m}{2γω_0} = \frac{F_0}{bω_0} \]

共振频率 (Resonance Frequency) \( ω_{res} \) 略小于固有频率 \( ω_0 \)，尤其在阻尼较小时，\( ω_{res} ≈ ω_0 \)。精确的共振频率可以通过对振幅表达式求导并令导数为零得到，但通常近似认为共振发生在 \( ω_{f} ≈ ω_0 \) 时。

共振的特点 (Characteristics of Resonance):

⚝ 振幅极大 (Maximum Amplitude)：共振时振幅达到最大值，远大于非共振时的振幅。
⚝ 能量传递效率高 (High Energy Transfer Efficiency)：共振时，驱动力对系统做功的效率最高，能量持续积累，导致振幅增大。
⚝ 相位滞后 (Phase Lag)：共振时，相位滞后 \( δ ≈ \frac{π}{2} \)，即速度与驱动力同相。

共振的应用与危害 (Applications and Hazards of Resonance):

⚝ 应用 (Applications)：共振现象在许多领域有重要应用，如无线电调谐、乐器共鸣箱、核磁共振等。 📻 🎻
⚝ 危害 (Hazards)：共振也可能带来危害，如桥梁共振破坏、机械结构共振疲劳、地震共振效应等。 🌉 💥

理解受迫振动和共振现象对于工程设计和避免共振危害至关重要。

3.3 机械波 (Mechanical Waves)

机械波 (Mechanical Waves) 是指在弹性介质中传播的振动。机械波的产生和传播需要介质 (Medium) 和 振源 (Wave Source)。介质提供弹性回复力，振源产生初始振动。本节将介绍机械波的产生和传播机制，区分 横波 (Transverse Waves) 和 纵波 (Longitudinal Waves)，讨论 波的叠加原理 (Superposition Principle) 和 干涉 (Interference)、衍射 (Diffraction) 等波动现象。

3.3.1 波的产生与传播 (Generation and Propagation of Waves)

波的产生条件 (Conditions for Wave Generation):

① 介质 (Medium)：机械波必须在介质中传播，介质可以是固体、液体或气体。介质需要具有弹性 (Elasticity)，即在外力作用下发生形变，撤去外力后能恢复原状。

② 振源 (Wave Source)：振源是产生初始振动的物体。振源的振动通过介质传递出去，形成波。

波的传播机制 (Wave Propagation Mechanism):

机械波的传播是介质中质点振动状态的传递过程，而不是介质质点的整体迁移。当介质中某个质点受到振源的驱动开始振动时，它会通过介质的弹性力带动周围的质点也开始振动，从而使振动状态在介质中传播开来，形成波。

波速 (Wave Speed) (v)：波速是指波的传播速度，取决于介质的性质。对于不同的介质和不同类型的波，波速的表达式不同。例如：

⚝ 弦波 (Waves on a String)：波速 \( v = \sqrt{\frac{T}{μ}} \)，其中 \( T \) 是弦的张力，\( μ \) 是弦的线密度。
⚝ 声波 (Sound Waves) (在空气中)：波速 \( v = \sqrt{\frac{γP}{ρ}} \)，其中 \( γ \) 是绝热指数，\( P \) 是压强，\( ρ \) 是密度。在常温常压下，空气中的声速约为 343 m/s。
⚝ 固体中的波 (Waves in Solids)：波速取决于固体的弹性模量和密度。

波的分类 (Classification of Waves):

根据介质质点振动方向与波的传播方向的关系，机械波可以分为 横波 (Transverse Waves) 和 纵波 (Longitudinal Waves)。

3.3.2 横波与纵波 (Transverse and Longitudinal Waves)

① 横波 (Transverse Waves)：在横波中，介质质点的振动方向与波的传播方向垂直 (Perpendicular)。例如，弦波 (Waves on a String) 和 水面波 (Water Surface Waves) (近似)。

⚝ 特点 (Characteristics)：波峰 (Crest) 和波谷 (Trough) 交替出现。相邻波峰或波谷之间的距离为一个波长 (Wavelength) (λ)。
⚝ 实例 (Examples)：绳子上的波、水波（表面波，深水波不是纯粹的横波或纵波）。 〰️

② 纵波 (Longitudinal Waves)：在纵波中，介质质点的振动方向与波的传播方向平行 (Parallel)。例如，声波 (Sound Waves) (在气体和液体中) 和 弹簧振子波 (Waves on a Spring) (沿弹簧长度方向)。

⚝ 特点 (Characteristics)：密部 (Compression) 和疏部 (Rarefaction) 交替出现。相邻密部或疏部之间的距离为一个波长 (Wavelength) (λ)。
⚝ 实例 (Examples)：声波、弹簧上的疏密波、地震波中的P波 (Primary Waves)。 🔊

波长、频率和波速的关系 (Relationship between Wavelength, Frequency, and Wave Speed):

对于周期性波，波长 \( λ \)、频率 \( f \) 和波速 \( v \) 之间存在重要关系：

\[ v = λf \]

或者用周期 \( T = 1/f \) 表示：

\[ v = \frac{λ}{T} \]

这个公式适用于所有类型的周期性波，是波的基本关系式。

3.3.3 波的叠加原理与干涉 (Superposition Principle and Interference of Waves)

波的叠加原理 (Superposition Principle)：当多个波在同一介质中传播时，在重叠区域，介质中任一点的总振动是各个波在该点引起的振动的矢量和 (Vector Sum)。对于线性波，叠加原理近似成立。

波的干涉 (Interference of Waves)：当两列或多列相干波 (Coherent Waves) (频率相同、相位差恒定) 在空间中相遇时，在某些区域振动加强，在另一些区域振动减弱，形成干涉现象 (Interference Phenomenon)。

干涉的类型 (Types of Interference):

① 相长干涉 (Constructive Interference)：当两列波到达某点的相位差 (Phase Difference) 为 \( Δφ = 2nπ \) ( \( n = 0, ±1, ±2, ... \) )，即相位相同或相位相差整数倍的 \( 2π \) 时，在该点发生相长干涉，振幅加强 (Increased Amplitude)。

② 相消干涉 (Destructive Interference)：当两列波到达某点的相位差为 \( Δφ = (2n+1)π \) ( \( n = 0, ±1, ±2, ... \) )，即相位相差奇数倍的 \( π \) 时，在该点发生相消干涉，振幅减弱 (Decreased Amplitude)。理想情况下，如果两列波振幅相同，则完全相消，振幅为零。

干涉条纹 (Interference Fringes)：在空间中，相长干涉和相消干涉区域交替分布，形成干涉条纹 (Interference Fringes)。例如，双缝干涉 (Double-slit Interference) 实验中产生的明暗条纹。

光程差与相位差 (Path Difference and Phase Difference):

对于波长为 \( λ \) 的波，光程差 (Path Difference) (Δr) 与 相位差 (Phase Difference) (Δφ) 之间存在关系：

\[ Δφ = \frac{2π}{λ}Δr \]

⚝ 相长干涉条件 (Constructive Interference Condition)：光程差 \( Δr = nλ \) ( \( n = 0, ±1, ±2, ... \) )。
⚝ 相消干涉条件 (Destructive Interference Condition)：光程差 \( Δr = (n + \frac{1}{2})λ \) ( \( n = 0, ±1, ±2, ... \) )。

干涉现象是波动性的重要体现，广泛应用于光学、声学等领域。

3.3.4 波的衍射与惠更斯原理 (Diffraction of Waves and Huygens' Principle)

波的衍射 (Diffraction of Waves)：当波遇到障碍物或孔隙时，会偏离直线传播 (Deviation from Straight-line Propagation)，绕过障碍物或通过孔隙后继续传播的现象。衍射现象也是波动性的重要体现。

惠更斯原理 (Huygens' Principle)：波阵面上每一点都可以看作是发射子波 (Wavelets) 的新的波源，之后任意时刻的波阵面是这些子波的包络面 (Envelope Surface)。惠更斯原理可以用来解释波的传播、反射、折射和衍射等现象。

用惠更斯原理解释衍射 (Explaining Diffraction with Huygens' Principle):

当波遇到障碍物或孔隙时，根据惠更斯原理，波阵面上障碍物边缘或孔隙边缘的点可以看作新的波源，它们发射的子波会向障碍物阴影区域或孔隙外侧传播，使得波能够绕过障碍物或通过孔隙后继续传播，形成衍射现象。

衍射的特点 (Characteristics of Diffraction):

⚝ 孔隙或障碍物尺寸与波长相当或更小时，衍射现象明显 (Significant Diffraction when Size is Comparable to or Smaller than Wavelength)。
⚝ 波长越长，衍射现象越明显 (Longer Wavelength, More Significant Diffraction)。
⚝ 衍射使得波能够传播到几何阴影区 (Diffraction Allows Waves to Propagate into Geometric Shadow Regions)。

衍射的应用与实例 (Applications and Examples of Diffraction):

⚝ 声波衍射 (Sound Wave Diffraction)：声音可以绕过障碍物传播，使得我们即使看不到声源也能听到声音。 🗣️
⚝ 光波衍射 (Light Wave Diffraction)：光通过小孔或光栅时会发生衍射，形成衍射图样。 🌈
⚝ 无线电波衍射 (Radio Wave Diffraction)：无线电波可以绕过建筑物等障碍物传播，使得无线电通信得以实现。 📡

衍射现象揭示了波的传播特性，惠更斯原理为理解和分析波动现象提供了重要的理论工具。

本章系统地介绍了振动与波动的基本概念、规律和现象，从简谐振动到阻尼振动、受迫振动，再到机械波的产生、传播、干涉和衍射，逐步深入地展现了经典力学在描述振动和波动方面的强大能力。通过本章的学习，读者应该能够对振动和波动现象有更深刻的理解，并为进一步学习更高级的波动理论打下坚实的基础。

4. 第4章 刚体转动 (Rigid Body Rotation)

本章深入探讨刚体的转动规律，包括角动量 (angular momentum)、转动惯量 (moment of inertia)、力矩 (torque) 等概念，以及刚体转动的动力学方程和能量。

4.1 刚体转动的运动学描述 (Kinematic Description of Rigid Body Rotation)

本节介绍描述刚体转动的物理量，如角位移 (angular displacement)、角速度 (angular velocity)、角加速度 (angular acceleration)，以及它们之间的关系。

4.1.1 角位移、角速度与角加速度 (Angular Displacement, Angular Velocity, and Angular Acceleration)

角位移、角速度和角加速度是描述刚体转动运动学 (kinematics) 的基本物理量。它们与描述质点直线运动的位移 (displacement)、速度 (velocity) 和加速度 (acceleration) 具有相似性，但在描述转动时更为方便和直观。

① 角位移 (Angular Displacement)：
角位移 \(\Delta \theta\) 描述了刚体绕转轴转动的角度变化。
▮▮▮▮⚝ 对于绕固定轴转动的刚体，角位移是一个矢量，其方向沿转轴方向，可以用右手螺旋定则 (right-hand rule) 确定。通常情况下，我们关注的是角位移的大小，即转过的角度，单位为弧度 (radian, rad) 或度 (°)。
▮▮▮▮⚝ 在矢量表示中，角位移 \(\boldsymbol{\Delta \theta}\) 的方向垂直于转动平面，指向由右手螺旋定则确定。如果转动是逆时针方向，则角位移矢量指向转轴的正方向；如果是顺时针方向，则指向负方向。

② 角速度 (Angular Velocity)：
角速度 \(\boldsymbol{\omega}\) 描述了刚体转动快慢和转动方向。
▮▮▮▮⚝ 平均角速度 (Average Angular Velocity)：在时间间隔 \(\Delta t\) 内，刚体的角位移为 \(\Delta \boldsymbol{\theta}\)，则平均角速度定义为：
\[ \boldsymbol{\bar{\omega}} = \frac{\boldsymbol{\Delta \theta}}{\Delta t} \]
▮▮▮▮⚝ 瞬时角速度 (Instantaneous Angular Velocity)：当时间间隔 \(\Delta t\) 趋近于零时，平均角速度的极限值即为瞬时角速度 \(\boldsymbol{\omega}\)：
\[ \boldsymbol{\omega} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{\Delta \theta}}{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{\theta}}{dt} \]
▮▮▮▮⚝ 角速度 \(\boldsymbol{\omega}\) 也是一个矢量，其方向同样沿转轴方向，由右手螺旋定则确定，单位为弧度每秒 (rad/s) 或转每分钟 (rpm)。

③ 角加速度 (Angular Acceleration)：
角加速度 \(\boldsymbol{\alpha}\) 描述了刚体角速度变化的快慢和方向。
▮▮▮▮⚝ 平均角加速度 (Average Angular Acceleration)：在时间间隔 \(\Delta t\) 内，刚体的角速度变化为 \(\Delta \boldsymbol{\omega}\)，则平均角加速度定义为：
\[ \boldsymbol{\bar{\alpha}} = \frac{\boldsymbol{\Delta \omega}}{\Delta t} \]
▮▮▮▮⚝ 瞬时角加速度 (Instantaneous Angular Acceleration)：当时间间隔 \(\Delta t\) 趋近于零时，平均角加速度的极限值即为瞬时角加速度 \(\boldsymbol{\alpha}\)：
\[ \boldsymbol{\alpha} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{\Delta \omega}}{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{\theta}}{dt^2} \]
▮▮▮▮⚝ 角加速度 \(\boldsymbol{\alpha}\) 也是一个矢量，其方向与角速度变化的方向一致，单位为弧度每二次方秒 (rad/s²) 。

矢量性 (Vector Nature)：
角位移、角速度和角加速度都是矢量，它们的方向都沿转轴方向。对于绕固定轴的转动，这些矢量方向不变，我们通常只需要关注它们在转轴方向上的分量，即它们的大小，并用正负号表示转动方向（例如，逆时针为正，顺时针为负）。

与线物理量的关系 (Relationship with Linear Quantities)：
刚体上某一点的线速度 (linear velocity) \(\boldsymbol{v}\) 和线加速度 (linear acceleration) \(\boldsymbol{a}\) 与刚体转动的角速度 \(\boldsymbol{\omega}\) 和角加速度 \(\boldsymbol{\alpha}\) 之间存在以下关系。考虑刚体上一点 P，其位置矢量为 \(\boldsymbol{r}\)，刚体绕轴 O 转动：

⚝ 线速度与角速度的关系 (Relationship between Linear Velocity and Angular Velocity)：
\[ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \]
线速度的大小为 \(v = r\omega \sin\phi\)，其中 \(\phi\) 是 \(\boldsymbol{\omega}\) 和 \(\boldsymbol{r}\) 之间的夹角。如果转轴垂直于位置矢量 \(\boldsymbol{r}\)，则 \(v = r\omega\)。

⚝ 线加速度与角加速度的关系 (Relationship between Linear Acceleration and Angular Acceleration)：
线加速度可以分解为切向加速度 (tangential acceleration) \(\boldsymbol{a}_t\) 和法向加速度 (normal acceleration) \(\boldsymbol{a}_n\) (向心加速度 (centripetal acceleration))。
▮▮▮▮⚝ 切向加速度 (Tangential Acceleration)：
\[ \boldsymbol{a}_t = \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r} \]
切向加速度的大小为 \(a_t = r\alpha \sin\phi\)。如果转轴垂直于位置矢量 \(\boldsymbol{r}\)，则 \(a_t = r\alpha\)。切向加速度改变线速度的大小。
▮▮▮▮⚝ 法向加速度 (Normal Acceleration)：
\[ \boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \]
法向加速度的大小为 \(a_n = \omega v = r\omega^2 \sin\phi\)。如果转轴垂直于位置矢量 \(\boldsymbol{r}\)，则 \(a_n = r\omega^2\)。法向加速度改变线速度的方向。

总的线加速度为 \(\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}_t + \boldsymbol{a}_n = (\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}) + (\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}))\)。

4.1.2 刚体绕定轴转动的运动学方程 (Kinematic Equations for Rigid Body Rotation about a Fixed Axis)

当刚体绕固定轴以恒定角加速度 \(\alpha\) 转动时，其转动运动学方程与匀变速直线运动的运动学公式非常相似。我们可以通过类比直线运动的公式来推导刚体绕定轴转动的运动学方程。

假设初始时刻 \(t_0 = 0\)，初始角速度为 \(\omega_0\)，初始角位移为 \(\theta_0\)。在恒定角加速度 \(\alpha\) 下，经过时间 \(t\) 后：

① 角速度与时间的关系 (Angular Velocity as a function of time)：
类比直线运动公式 \(v = v_0 + at\)，得到角速度与时间的关系：
\[ \omega = \omega_0 + \alpha t \]

② 角位移与时间的关系 (Angular Displacement as a function of time)：
类比直线运动公式 \(x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)，得到角位移与时间的关系：
\[ \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \]
通常为了简化，可以设置初始角位移 \(\theta_0 = 0\)，则方程变为：
\[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \]

③ 角速度与角位移的关系 (Angular Velocity as a function of angular displacement)：
类比直线运动公式 \(v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)\)，得到角速度与角位移的关系：
\[ \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha (\theta - \theta_0) \]
如果 \(\theta_0 = 0\)，则：
\[ \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha \theta \]

④ 平均角速度与角位移的关系 (Angular Displacement in terms of average angular velocity)：
类比直线运动公式 \(x - x_0 = \frac{1}{2}(v_0 + v)t\)，得到角位移与平均角速度的关系：
\[ \theta - \theta_0 = \frac{1}{2}(\omega_0 + \omega)t \]
如果 \(\theta_0 = 0\)，则：
\[ \theta = \frac{1}{2}(\omega_0 + \omega)t \]

这些方程在描述刚体绕固定轴做匀角加速度转动时非常有用。它们与匀变速直线运动的运动学方程形式完全一致，只需将线物理量替换为相应的角物理量即可。

4.2 转动惯量与力矩 (Moment of Inertia and Torque)

本节定义转动惯量 (moment of inertia) 和力矩 (torque) 的概念，分析转动惯量与质量分布的关系，以及力矩对刚体转动的影响。

4.2.1 转动惯量的定义与计算 (Definition and Calculation of Moment of Inertia)

转动惯量是描述刚体转动惯性 (rotational inertia) 的物理量，它反映了刚体抵抗其转动状态改变的能力。转动惯量在转动动力学中的作用类似于质量在直线运动动力学中的作用。

① 转动惯量的定义 (Definition of Moment of Inertia)：
对于一个由 \(n\) 个质点组成的刚体，每个质点的质量为 \(m_i\)，到转轴的垂直距离为 \(r_i\)，则刚体绕该轴的转动惯量 \(I\) 定义为：
\[ I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2 \]
对于连续质量分布的刚体，求和变为积分。设刚体的密度为 \(\rho\)，体积元为 \(dV\)，则转动惯量为：
\[ I = \int_{V} r^2 \rho dV \]
其中 \(r\) 是体积元 \(dV\) 到转轴的垂直距离，积分遍布整个刚体的体积 \(V\)。转动惯量的单位是千克·米² (kg·m²)。

② 转动惯量与质量分布和转轴位置的关系 (Relationship between Moment of Inertia, Mass Distribution, and Axis of Rotation)：
▮▮▮▮⚝ 质量分布 (Mass Distribution)：转动惯量不仅与刚体的总质量有关，还与质量相对于转轴的分布有关。质量越集中在远离转轴的位置，转动惯量越大；质量越集中在靠近转轴的位置，转动惯量越小。
▮▮▮▮⚝ 转轴位置 (Axis of Rotation)：对于同一个刚体，绕不同轴的转动惯量通常是不同的。转轴的位置改变了质量相对于转轴的分布，从而改变了转动惯量。

③ 平行轴定理 (Parallel Axis Theorem)：
平行轴定理提供了一种计算绕平行于通过质心的轴的转动惯量的方法。如果已知刚体绕通过质心的轴的转动惯量 \(I_{CM}\)，则绕平行于该轴且相距为 \(d\) 的另一轴的转动惯量 \(I\) 为：
\[ I = I_{CM} + Md^2 \]
其中 \(M\) 是刚体的总质量，\(d\) 是两平行轴之间的距离。平行轴定理在计算复杂形状刚体的转动惯量时非常有用。

④ 常见形状刚体的转动惯量 (Moment of Inertia of Common Shapes)：
以下列举一些常见形状刚体绕特定轴的转动惯量（假设密度均匀）：

▮▮▮▮⚝ 细杆 (Thin Rod)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕通过质心且垂直于杆的轴：\(I = \frac{1}{12}ML^2\)，其中 \(M\) 是质量，\(L\) 是长度。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕通过杆端且垂直于杆的轴（利用平行轴定理）：\(I = \frac{1}{3}ML^2\)。

▮▮▮▮⚝ 圆环或薄圆筒 (Ring or Thin-walled Cylinder)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕中心轴：\(I = MR^2\)，其中 \(M\) 是质量，\(R\) 是半径。

▮▮▮▮⚝ 圆盘或实心圆柱 (Disk or Solid Cylinder)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕中心轴：\(I = \frac{1}{2}MR^2\)。

▮▮▮▮⚝ 实心球体 (Solid Sphere)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕通过球心的轴：\(I = \frac{2}{5}MR^2\)。

▮▮▮▮⚝ 薄球壳 (Thin Spherical Shell)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕通过球心的轴：\(I = \frac{2}{3}MR^2\)。

▮▮▮▮⚝ 矩形薄板 (Rectangular Plate)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕通过质心且垂直于板面的轴：\(I = \frac{1}{12}M(a^2 + b^2)\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 是矩形板的边长。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕通过质心且平行于边长 \(b\) 的轴：\(I = \frac{1}{12}Ma^2\)。

计算不同形状刚体的转动惯量需要根据其质量分布和转轴位置选择合适的积分方法或利用平行轴定理。

4.2.2 力矩的定义与计算 (Definition and Calculation of Torque)

力矩是使物体产生转动运动的原因，它在转动动力学中的作用类似于力在直线运动动力学中的作用。力矩描述了力对物体产生转动效应的大小和方向。

① 力矩的定义 (Definition of Torque)：
力 \(\boldsymbol{F}\) 对参考点 O 的力矩 \(\boldsymbol{\tau}\) 定义为位置矢量 \(\boldsymbol{r}\) 和力 \(\boldsymbol{F}\) 的叉乘 (cross product)：
\[ \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \]
其中 \(\boldsymbol{r}\) 是从参考点 O 到力的作用点的位矢。力矩 \(\boldsymbol{\tau}\) 也是一个矢量，其方向垂直于由 \(\boldsymbol{r}\) 和 \(\boldsymbol{F}\) 决定的平面，由右手螺旋定则确定。力矩的单位是牛顿·米 (N·m)。

② 力矩的大小 (Magnitude of Torque)：
力矩的大小为：
\[ \tau = rF \sin\phi = rF_\perp = r_\perp F \]
其中 \(\phi\) 是 \(\boldsymbol{r}\) 和 \(\boldsymbol{F}\) 之间的夹角，\(F_\perp = F \sin\phi\) 是力 \(\boldsymbol{F}\) 垂直于位置矢量 \(\boldsymbol{r}\) 的分量（径向分力），\(r_\perp = r \sin\phi\) 是力臂 (lever arm)，即参考点 O 到力 \(\boldsymbol{F}\) 作用线的最短距离。

③ 力矩的方向 (Direction of Torque)：
力矩 \(\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}\) 的方向由右手螺旋定则确定。将右手四指从 \(\boldsymbol{r}\) 的方向弯向 \(\boldsymbol{F}\) 的方向，拇指所指方向即为力矩 \(\boldsymbol{\tau}\) 的方向。力矩方向沿转轴方向。

④ 合力矩 (Net Torque)：
如果刚体受到多个力的作用，则作用在刚体上的合力矩 \(\boldsymbol{\tau}_{net}\) 是各个力矩的矢量和：
\[ \boldsymbol{\tau}_{net} = \sum_{i} \boldsymbol{\tau}_i = \sum_{i} (\boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_i) \]
合力矩决定了刚体的角加速度，正如合力决定了质心的线加速度。

⑤ 力矩的正负意义 (Sign Convention of Torque)：
对于绕固定轴转动的刚体，通常规定逆时针方向的力矩为正，顺时针方向的力矩为负。这与角位移、角速度和角加速度的正负号规定一致。力矩的正负号表示了力矩使刚体产生逆时针或顺时针转动的趋势。

4.3 刚体转动的动力学 (Dynamics of Rigid Body Rotation)

本节建立刚体转动的动力学方程，讨论转动动能 (rotational kinetic energy)、角动量守恒定律 (law of conservation of angular momentum) 及其应用。

4.3.1 转动定律：刚体转动的基本方程 (Rotational Law: Fundamental Equation of Rigid Body Rotation)

刚体转动的基本方程描述了作用在刚体上的合力矩与刚体角加速度之间的关系，它是牛顿第二定律在转动运动中的 аналог (analogue)。

① 转动定律的推导 (Derivation of Rotational Law)：
考虑由 \(n\) 个质点组成的刚体，每个质点的质量为 \(m_i\)，受到合外力 \(\boldsymbol{F}_i\)。根据牛顿第二定律，对于第 \(i\) 个质点，有：
\[ \boldsymbol{F}_i = m_i \boldsymbol{a}_i \]
其中 \(\boldsymbol{a}_i\) 是第 \(i\) 个质点的线加速度。将线加速度表示为角加速度和位置矢量的关系 \(\boldsymbol{a}_i = \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_i\)，则：
\[ \boldsymbol{F}_i = m_i (\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_i) \]
对上式两边同时叉乘位置矢量 \(\boldsymbol{r}_i\)，得到力矩 \(\boldsymbol{\tau}_i = \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_i\)：
\[ \boldsymbol{\tau}_i = \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_i = \boldsymbol{r}_i \times [m_i (\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_i)] \]
对于绕固定轴转动的情况，角加速度 \(\boldsymbol{\alpha}\) 对刚体上所有质点都相同。对所有质点的力矩求和，得到合力矩 \(\boldsymbol{\tau}_{net} = \sum_{i} \boldsymbol{\tau}_i\)：
\[ \boldsymbol{\tau}_{net} = \sum_{i} \boldsymbol{r}_i \times [m_i (\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_i)] = \sum_{i} m_i [\boldsymbol{r}_i \times (\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_i)] \]
在角加速度 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与位置矢量 \(\boldsymbol{r}_i\) 垂直的情况下（即转轴垂直于 \(\boldsymbol{r}_i\)），可以简化为标量形式。对于绕固定轴的转动，合力矩与角加速度的关系可以表示为：
\[ \tau_{net} = I \alpha \]
其中 \(\tau_{net}\) 是作用在刚体上的合外力矩在转轴方向的分量，\(I = \sum_{i} m_i r_i^2\) 是刚体绕该轴的转动惯量，\(\alpha\) 是角加速度在转轴方向的分量。

② 转动定律的物理意义 (Physical Significance of Rotational Law)：
转动定律 \(\tau_{net} = I \alpha\) 表明，作用在刚体上的合力矩 \(\tau_{net}\) 与刚体的角加速度 \(\alpha\) 成正比，比例系数是刚体的转动惯量 \(I\)。
▮▮▮▮⚝ 合力矩是改变刚体转动状态的原因，角加速度是转动状态改变的度量。
▮▮▮▮⚝ 转动惯量 \(I\) 反映了刚体抵抗转动状态改变的能力，类似于质量 \(m\) 反映了物体抵抗直线运动状态改变的能力。
▮▮▮▮⚝ 转动定律是解决刚体转动动力学问题的基本方程，通过分析作用在刚体上的力矩，可以求得刚体的角加速度，进而研究刚体的转动运动。

4.3.2 转动动能 (Rotational Kinetic Energy)

转动动能是刚体由于绕轴转动而具有的能量。它是刚体总动能的一部分，与刚体的转动惯量和角速度有关。

① 转动动能的定义 (Definition of Rotational Kinetic Energy)：
对于由 \(n\) 个质点组成的刚体，每个质点的质量为 \(m_i\)，线速度为 \(v_i\)，则刚体的转动动能 \(E_{kr}\) 是所有质点动能之和：
\[ E_{kr} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_i v_i^2 \]
将线速度 \(v_i\) 表示为角速度 \(\omega\) 和到转轴的距离 \(r_i\) 的关系 \(v_i = r_i \omega\)，代入上式，得到：
\[ E_{kr} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_i (r_i \omega)^2 = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2 \right) \omega^2 \]
根据转动惯量的定义 \(I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2\)，转动动能可以表示为：
\[ E_{kr} = \frac{1}{2} I \omega^2 \]
转动动能的单位是焦耳 (J)。

② 转动动能与转动惯量和角速度的关系 (Relationship between Rotational Kinetic Energy, Moment of Inertia, and Angular Velocity)：
▮▮▮▮⚝ 转动动能 \(E_{kr}\) 与转动惯量 \(I\) 成正比：转动惯量越大，转动动能越大，表明刚体转动所需的能量越多。
▮▮▮▮⚝ 转动动能 \(E_{kr}\) 与角速度 \(\omega\) 的平方成正比：角速度越大，转动动能越大，表明刚体转动越快，能量越高。

③ 总动能 (Total Kinetic Energy)：
对于既有平动又有转动的刚体，其总动能是平动动能 (translational kinetic energy) \(E_{kt}\) 和转动动能 \(E_{kr}\) 之和：
\[ E_k = E_{kt} + E_{kr} = \frac{1}{2} M v_{CM}^2 + \frac{1}{2} I_{CM} \omega^2 \]
其中 \(M\) 是刚体总质量，\(v_{CM}\) 是质心速度，\(I_{CM}\) 是绕通过质心的轴的转动惯量，\(\omega\) 是绕质心轴的角速度。

4.3.3 角动量与角动量守恒定律 (Angular Momentum and Law of Conservation of Angular Momentum)

角动量是描述物体转动状态的物理量，角动量守恒定律是自然界普遍适用的基本定律之一，在研究转动运动中具有重要意义。

① 角动量的定义 (Definition of Angular Momentum)：
▮▮▮▮⚝ 质点的角动量 (Angular Momentum of a Particle)：质点相对于参考点 O 的角动量 \(\boldsymbol{L}\) 定义为位置矢量 \(\boldsymbol{r}\) 和线动量 \(\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}\) 的叉乘：
\[ \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = \boldsymbol{r} \times (m\boldsymbol{v}) \]
角动量 \(\boldsymbol{L}\) 也是一个矢量，其方向垂直于由 \(\boldsymbol{r}\) 和 \(\boldsymbol{p}\) 决定的平面，由右手螺旋定则确定。角动量的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s) 或焦耳·秒 (J·s)。

▮▮▮▮⚝ 刚体的角动量 (Angular Momentum of a Rigid Body)：对于绕固定轴转动的刚体，其角动量 \(\boldsymbol{L}\) 可以表示为转动惯量 \(I\) 和角速度 \(\boldsymbol{\omega}\) 的乘积：
\[ \boldsymbol{L} = I \boldsymbol{\omega} \]
角动量 \(\boldsymbol{L}\) 的方向与角速度 \(\boldsymbol{\omega}\) 方向一致，沿转轴方向。

② 角动量守恒定律 (Law of Conservation of Angular Momentum)：
▮▮▮▮⚝ 内容 (Statement)：当作用在系统上的合外力矩为零时，系统的总角动量保持不变，称为角动量守恒定律。
▮▮▮▮⚝ 数学表达式 (Mathematical Expression)：如果 \(\boldsymbol{\tau}_{net} = 0\)，则 \(\boldsymbol{L} = \text{constant}\)。对于一个孤立系统或合外力矩为零的系统，其初始角动量 \(\boldsymbol{L}_i\) 等于末态角动量 \(\boldsymbol{L}_f\)：
\[ \boldsymbol{L}_i = \boldsymbol{L}_f \]
或者对于刚体绕固定轴转动的情况：
\[ I_i \boldsymbol{\omega}_i = I_f \boldsymbol{\omega}_f \]

③ 角动量守恒定律的适用条件 (Conditions for Conservation of Angular Momentum)：
角动量守恒定律成立的条件是：
▮▮▮▮⚝ 系统不受外力矩作用 (Zero Net External Torque)：作用在系统上的所有外力矩的矢量和为零。内力矩不影响系统的总角动量。
▮▮▮▮⚝ 近似条件 (Approximate Condition)：在某些情况下，即使存在外力矩，但在特定方向上的外力矩分量为零，则系统在该方向上的角动量分量守恒。

④ 角动量守恒定律的物理意义 (Physical Significance of Conservation of Angular Momentum)：
▮▮▮▮⚝ 角动量守恒定律反映了自然界的一种普遍对称性——空间旋转对称性 (rotational symmetry)。当物理系统具有旋转对称性时，其角动量守恒。
▮▮▮▮⚝ 角动量守恒定律是分析和解决转动运动问题的有力工具，尤其在处理中心力场运动、碰撞问题、天体运动等问题时非常有效。

⑤ 角动量守恒定律的应用举例 (Examples of Applications of Conservation of Angular Momentum)：

▮▮▮▮⚝ 花样滑冰运动员的旋转 (Spinning of a Figure Skater)：当花样滑冰运动员在旋转时，如果她收缩手臂，减小转动惯量 \(I\)，根据角动量守恒定律 \(I\omega = \text{constant}\)，角速度 \(\omega\) 会增大，旋转速度加快。反之，伸展手臂会增大转动惯量，减慢旋转速度。

▮▮▮▮⚝ 地球自转 (Earth's Rotation)：地球在自转过程中，由于外力矩（如太阳和月球的潮汐力矩）很小，可以近似认为地球自转的角动量守恒，因此地球自转周期在长时间内基本保持不变。

▮▮▮▮⚝ 行星运动 (Planetary Motion)：行星绕太阳运动时，太阳对行星的引力是有心力，对太阳的力矩为零，因此行星绕太阳运动的角动量守恒。开普勒第二定律（面积定律）就是角动量守恒的直接体现。

▮▮▮▮⚝ 陀螺的稳定性 (Stability of a Gyroscope)：高速旋转的陀螺具有较大的角动量，当受到外力矩作用时，由于角动量守恒的趋势，陀螺的转轴方向不易改变，表现出良好的稳定性。

▮▮▮▮⚝ 碰撞问题 (Collision Problems)：在没有外力矩作用的碰撞过程中，系统的总角动量守恒。例如，两个旋转刚体碰撞时，碰撞前后的总角动量保持不变，可以利用角动量守恒定律分析碰撞后的转动状态。

角动量守恒定律是经典力学中的重要组成部分，也是连接经典力学与量子力学的重要桥梁。在更深入的物理学研究中，角动量及其守恒仍然扮演着核心角色。

5. 拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics)

本章介绍拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics) 的基本原理和方法，包括广义坐标 (Generalized Coordinates)、拉格朗日函数 (Lagrangian Function)、拉格朗日方程 (Lagrange's Equations) 及其应用，为解决复杂力学问题提供新的视角。

5.1 广义坐标与自由度 (Generalized Coordinates and Degrees of Freedom)

本节引入广义坐标 (Generalized Coordinates) 的概念，定义系统的自由度 (Degrees of Freedom)，为描述复杂系统运动提供更简洁的坐标体系。

5.1.1 约束与自由度 (Constraints and Degrees of Freedom)

在经典力学中，一个系统的自由度 (degrees of freedom) 指的是描述系统构型所需的独立坐标的最小数目。对于由 \(N\) 个质点组成的系统，如果没有任何约束，那么每个质点在三维空间中可以自由运动，因此系统总共有 \(3N\) 个自由度。然而，实际物理系统常常受到各种约束 (constraints) 的限制，这些约束减少了系统的自由度。

① 约束的定义 (Definition of Constraints)

约束是指对系统内质点的位置或速度施加的限制条件。数学上，约束通常可以用方程来表示，这些方程限制了系统坐标的取值范围或它们之间的关系。

② 约束的类型 (Types of Constraints)

根据不同的性质，约束可以分为以下几种类型：

▮▮▮▮ⓐ 完整约束 (Holonomic Constraints) 与 非完整约束 (Non-holonomic Constraints)

完整约束可以用坐标的方程表示，形式为：
\[ f( \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, \mathbf{r}_N, t ) = 0 \]
其中 \( \mathbf{r}_i \) 是第 \(i\) 个质点的坐标矢量，\(t\) 是时间。完整约束可以直接减少系统的自由度。例如，一个质点被限制在半径为 \(R\) 的球面上运动，约束方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0\)，这是一个完整约束。

非完整约束不能简化为上述形式的坐标方程，通常涉及到速度或微分形式，例如：
\[ g( \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, \mathbf{r}_N, \dot{\mathbf{r}}_1, \dot{\mathbf{r}}_2, \dots, \dot{\mathbf{r}}_N, t ) \ge 0 \]
或者表示成微分形式后不可积的约束。例如，质点被限制在粗糙平面上滚动而不滑动，就属于非完整约束。非完整约束的处理相对复杂，在经典力学中，我们主要关注完整约束。

▮▮▮▮ⓑ 定常约束 (Scleronomic Constraints) 与 随时间变化约束 (Rheonomic Constraints)

定常约束是指约束方程中不显含时间 \(t\)。例如，单摆的摆长固定不变，就是一个定常约束。

随时间变化约束是指约束方程中显含时间 \(t\)。例如，一个摆长随时间变化的单摆，其约束是随时间变化的。

③ 自由度的计算 (Calculation of Degrees of Freedom)

对于由 \(N\) 个质点组成的系统，如果存在 \(k\) 个独立的完整约束，则系统的自由度 \(s\) 可以通过以下公式计算：
\[ s = 3N - k \]
其中，\(3N\) 是无约束时系统的自由度，\(k\) 是独立完整约束的数目。每个独立完整约束方程可以减少系统的一个自由度。

例1：单摆 (Simple Pendulum)

一个质点被约束在固定长度 \(l\) 的轻绳末端，在二维平面内摆动。

⚝ 质点数目 \(N = 1\)。
⚝ 无约束时自由度为 \(3 \times 1 = 3\)。
⚝ 完整约束方程为 \(x^2 + y^2 - l^2 = 0\) (二维平面内，实际是 \(x^2 + y^2 = l^2\))，或者更简单的描述，质点的位置可以用一个角度 \(\theta\) 来确定。因此，约束数目 \(k = 2\) (在三维空间中考虑，如果限制在二维平面内运动，则约束数目为2，自由度为1。如果在三维空间中，绳子约束质点在一个球面上运动，则约束数目为1，自由度为2)。在二维平面内，我们通常直接考虑用极坐标，约束已经隐含在坐标选择中。

在二维平面内，单摆的自由度为 \(s = 2 - 1 = 1\)。我们可以用一个广义坐标，例如摆角 \(\theta\)，来完全描述单摆的运动。

例2：双原子分子 (Diatomic Molecule)

将双原子分子简化为两个质点组成的系统，它们之间受到固定距离 \(d\) 的约束。

⚝ 质点数目 \(N = 2\)。
⚝ 无约束时自由度为 \(3 \times 2 = 6\)。
⚝ 完整约束方程为 \((\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)^2 - d^2 = 0\)，即两个质点之间的距离保持不变。约束数目 \(k = 1\)。

双原子分子的自由度为 \(s = 6 - 1 = 5\)。这五个自由度可以分解为：

⚝ 3个平动自由度 (分子质心的运动)。
⚝ 2个转动自由度 (分子绕质心的转动)。
⚝ 0个振动自由度 (因为我们假设距离固定，没有振动)。如果考虑距离可以变化，则会增加1个振动自由度，总自由度为6。

理解约束和自由度的概念是拉格朗日力学的基础，它帮助我们选择合适的坐标来简化问题描述。

5.1.2 广义坐标的定义与选择 (Definition and Selection of Generalized Coordinates)

广义坐标 (generalized coordinates) 是一组独立参数，可以完全确定系统在构型空间中的位置。对于一个具有 \(s\) 个自由度的系统，我们需要 \(s\) 个广义坐标来描述其运动。广义坐标不必具有长度、角度等直观的几何意义，可以是任何能够唯一确定系统构型的独立参数。

① 广义坐标的定义 (Definition of Generalized Coordinates)

设系统的自由度为 \(s\)，广义坐标记为 \(q_1, q_2, \dots, q_s\)。质点的位置坐标 \( \mathbf{r}_i \) 可以表示为广义坐标和时间的函数：
\[ \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i (q_1, q_2, \dots, q_s, t) \]
其中 \(i = 1, 2, \dots, N\)。这意味着，只要给定一组广义坐标 \(q_1, q_2, \dots, q_s\) 和时间 \(t\)，系统中所有质点的位置 \( \mathbf{r}_i \) 就可以唯一确定。

② 广义坐标选择的原则 (Principles for Selecting Generalized Coordinates)

选择广义坐标时，应遵循以下原则：

▮▮▮▮ⓐ 独立性 (Independence)：广义坐标必须是独立的，即它们之间没有约束关系。这意味着改变其中一个广义坐标的值，不会自动改变其他广义坐标的值。

▮▮▮▮ⓑ 完备性 (Completeness)：广义坐标必须能够完全描述系统的构型。也就是说，给定一组广义坐标的值，系统的构型应该被唯一确定。

▮▮▮▮ⓒ 方便性 (Convenience)：选择广义坐标应尽可能简化问题的描述和求解。通常，应选择与约束条件相适应的坐标，使得约束条件能够自然地被满足，从而减少需要处理的变量数目。

③ 广义坐标的例子 (Examples of Generalized Coordinates)

例1：平面单摆 (Planar Simple Pendulum)

对于平面单摆，其自由度为1。我们可以选择摆角 \(\theta\) 作为广义坐标。质点的位置坐标 \((x, y)\) 可以表示为广义坐标 \(\theta\) 的函数：
\[ x = l \sin \theta, \quad y = -l \cos \theta \]
其中 \(l\) 是摆长。选择 \(\theta\) 作为广义坐标，自然地满足了摆长固定的约束条件。

例2：空间单摆 (Spatial Simple Pendulum)

对于空间单摆，质点被约束在球面上运动，自由度为2。我们可以选择球坐标中的两个角度，例如 \(\theta\) (极角) 和 \(\phi\) (方位角) 作为广义坐标。质点的位置坐标 \((x, y, z)\) 可以表示为广义坐标 \(\theta\) 和 \(\phi\) 的函数：
\[ x = l \sin \theta \cos \phi, \quad y = l \sin \theta \sin \phi, \quad z = l \cos \theta \]
其中 \(l\) 是摆长。选择 \((\theta, \phi)\) 作为广义坐标，自然地满足了质点在球面上运动的约束条件。

例3：二维平面上运动的质点 (Particle Moving on a 2D Plane)

对于在二维平面上自由运动的质点，其自由度为2。我们可以选择直角坐标 \((x, y)\) 或极坐标 \((r, \theta)\) 作为广义坐标。

⚝ 直角坐标：\(q_1 = x, q_2 = y\)。
⚝ 极坐标：\(q_1 = r, q_2 = \theta\)。

在不同的问题中，选择合适的广义坐标可以大大简化问题的分析和求解过程。例如，对于具有旋转对称性的问题，通常选择极坐标或柱坐标、球坐标等更方便。

5.2 拉格朗日函数与拉格朗日方程 (Lagrangian Function and Lagrange's Equations)

本节定义拉格朗日函数 (Lagrangian Function)，推导拉格朗日方程 (Lagrange's Equations)，阐述拉格朗日方程在求解力学问题中的优势。

5.2.1 拉格朗日函数的定义 (Definition of Lagrangian Function)

拉格朗日函数 (Lagrangian Function) \(L\) 是拉格朗日力学中最核心的概念之一。对于一个保守系统，拉格朗日函数定义为系统的动能 (kinetic energy) \(T\) 与势能 (potential energy) \(V\) 之差：
\[ L = T - V \]
其中，动能 \(T\) 和势能 \(V\) 都用广义坐标 \(q_i\)、广义速度 \(\dot{q}_i\) 和时间 \(t\) 来表示。

① 动能的广义坐标表示 (Kinetic Energy in Generalized Coordinates)

对于由 \(N\) 个质点组成的系统，第 \(i\) 个质点的动能为 \(T_i = \frac{1}{2} m_i \dot{\mathbf{r}}_i^2\)，系统的总动能为 \(T = \sum_{i=1}^{N} T_i = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \dot{\mathbf{r}}_i^2\)。

由于 \( \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i (q_1, q_2, \dots, q_s, t) \)，对时间求导得到广义速度 \(\dot{q}_j = \frac{dq_j}{dt}\) 和质点速度 \(\dot{\mathbf{r}}_i\)：
\[ \dot{\mathbf{r}}_i = \sum_{j=1}^{s} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial t} \]
则动能 \(T\) 可以表示为广义坐标 \(q_j\)、广义速度 \(\dot{q}_j\) 和时间 \(t\) 的函数：
\[ T = T(q_1, \dots, q_s, \dot{q}_1, \dots, \dot{q}_s, t) \]
通常，如果坐标变换不显含时间，即 \( \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i (q_1, q_2, \dots, q_s) \)，则动能 \(T\) 是广义速度 \(\dot{q}_j\) 的二次齐次函数。

② 势能的广义坐标表示 (Potential Energy in Generalized Coordinates)

对于保守力场，势能 \(V\) 是质点位置的函数，可以表示为广义坐标 \(q_i\) 和时间 \(t\) 的函数：
\[ V = V(q_1, \dots, q_s, t) \]
通常，如果力场是定常的，势能 \(V\) 不显含时间，即 \(V = V(q_1, \dots, q_s)\)。

③ 拉格朗日函数的物理意义 (Physical Meaning of Lagrangian Function)

拉格朗日函数 \(L = T - V\) 代表了系统运动的特征函数。它将系统的动力学信息浓缩在一个标量函数中。通过对拉格朗日函数进行变分运算，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。拉格朗日函数的核心思想是将动力学问题转化为求解一个标量函数的极值问题，这体现了物理学中的最小作用量原理 (Principle of Least Action) 的思想。

例1：平面单摆的拉格朗日函数 (Lagrangian Function of a Planar Simple Pendulum)

选择广义坐标为摆角 \(\theta\)。质点的位置坐标为 \(x = l \sin \theta, y = -l \cos \theta\)。

⚝ 速度分量：\(\dot{x} = l \cos \theta \dot{\theta}, \dot{y} = l \sin \theta \dot{\theta}\)。
⚝ 动能：\(T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = \frac{1}{2} m (l^2 \cos^2 \theta \dot{\theta}^2 + l^2 \sin^2 \theta \dot{\theta}^2) = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2\)。
⚝ 势能 (零势能点取在最低点)：\(V = mgy = -mgl \cos \theta\)。
⚝ 拉格朗日函数：\(L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - (-mgl \cos \theta) = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl \cos \theta\)。

5.2.2 拉格朗日方程的推导 (Derivation of Lagrange's Equations)

拉格朗日方程 (Lagrange's Equations) 是拉格朗日力学的核心方程，它提供了一种求解系统运动方程的通用方法。拉格朗日方程可以从达朗贝尔原理 (D'Alembert's Principle) 或 最小作用量原理 (Principle of Least Action) 推导得到。这里我们简要介绍从达朗贝尔原理出发的推导过程。

① 达朗贝尔原理 (D'Alembert's Principle)

达朗贝尔原理是牛顿第二定律的另一种表达形式，它描述了系统在虚位移下的平衡条件。对于一个由 \(N\) 个质点组成的系统，达朗贝尔原理可以表示为：
\[ \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]
其中 \( \mathbf{F}_i \) 是作用在第 \(i\) 个质点上的力，\(m_i \ddot{\mathbf{r}}_i\) 是质点的惯性力，\(\delta \mathbf{r}_i\) 是质点的虚位移。

② 广义力 (Generalized Forces)

作用在第 \(i\) 个质点上的力 \( \mathbf{F}_i \) 可以分为保守力 \( \mathbf{F}_i^{(c)} \) 和非保守力 \( \mathbf{F}_i^{(nc)} \) 两部分：\( \mathbf{F}_i = \mathbf{F}_i^{(c)} + \mathbf{F}_i^{(nc)} \)。保守力可以表示为势能的梯度：\( \mathbf{F}_i^{(c)} = - \nabla_i V \)，其中 \( \nabla_i = (\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial y_i}, \frac{\partial}{\partial z_i}) \)。

虚位移 \( \delta \mathbf{r}_i \) 可以用广义坐标的虚位移 \( \delta q_j \) 表示：
\[ \delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^{s} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \delta q_j \]
将虚位移的表达式代入达朗贝尔原理，并考虑保守力和非保守力，得到：
\[ \sum_{i=1}^{N} (-\nabla_i V - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \sum_{j=1}^{s} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \delta q_j + \sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i^{(nc)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]
交换求和顺序，并定义广义力 (generalized forces) \(Q_j\) 为：
\[ Q_j = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i^{(nc)} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \]
则达朗贝尔原理变为：
\[ \sum_{j=1}^{s} \left[ \sum_{i=1}^{N} (-\nabla_i V - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} + Q_j \right] \delta q_j = 0 \]
由于广义坐标的虚位移 \( \delta q_j \) 是独立的，因此每个系数必须为零：
\[ \sum_{i=1}^{N} (-\nabla_i V - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} + Q_j = 0, \quad j = 1, 2, \dots, s \]
整理上式，并利用动能 \(T = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i \dot{\mathbf{r}}_i^2\) 和势能 \(V\) 的定义，经过一系列的数学推导（此处省略详细推导过程，详细推导过程可参考相关教材），最终可以得到拉格朗日方程 (Lagrange's Equations)：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = Q_j, \quad j = 1, 2, \dots, s \]
对于保守系统，非保守力 \( \mathbf{F}_i^{(nc)} = 0 \)，则广义力 \(Q_j = 0\)，拉格朗日方程简化为：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0, \quad j = 1, 2, \dots, s \]
这就是第二类拉格朗日方程 (Lagrange's equations of the second kind)，也常简称为拉格朗日方程。

5.2.3 拉格朗日方程的应用 (Applications of Lagrange's Equations)

拉格朗日方程提供了一种系统化的方法来建立系统的运动方程，尤其在处理具有约束的复杂系统时，其优势更加明显。

① 拉格朗日方程的优势 (Advantages of Lagrange's Equations)

▮▮▮▮ⓐ 坐标选择的灵活性 (Flexibility in Coordinate Choice)：拉格朗日方程可以使用任意广义坐标，可以根据问题的对称性和约束条件选择最合适的坐标，简化问题的描述。

▮▮▮▮ⓑ 处理约束的自然性 (Natural Handling of Constraints)：在拉格朗日力学中，完整约束通过选择广义坐标的方式自然地被考虑进去，无需显式地处理约束力。

▮▮▮▮ⓒ 标量形式的方程 (Scalar Equations)：拉格朗日方程是标量方程，相比于牛顿力学的矢量方程，在数学处理上更为简洁。

▮▮▮▮ⓓ 能量概念的中心地位 (Central Role of Energy)：拉格朗日力学以动能和势能为基础，更强调能量在力学中的作用，为进一步发展哈密顿力学和量子力学奠定了基础。

② 应用实例 (Application Examples)

例1：平面单摆的运动方程 (Equation of Motion for a Planar Simple Pendulum)

对于平面单摆，我们已经得到拉格朗日函数 \(L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl \cos \theta\)。广义坐标为 \(q = \theta\)。

⚝ 计算偏导数：
\[ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m l^2 \dot{\theta}, \quad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl \sin \theta \]
⚝ 代入拉格朗日方程：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \]
\[ \frac{d}{dt} (m l^2 \dot{\theta}) - (-mgl \sin \theta) = 0 \]
\[ m l^2 \ddot{\theta} + mgl \sin \theta = 0 \]
化简得到单摆的运动方程：
\[ \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0 \]
这与用牛顿力学直接分析得到的运动方程完全一致，但拉格朗日方法更加系统和简洁。

例2：阿特伍德机 (Atwood Machine) 的运动方程 (Equation of Motion for an Atwood Machine)

阿特伍德机由两个质量分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的物体通过轻绳跨过定滑轮连接而成。选择广义坐标为绳子偏离平衡位置的长度 \(x\)。

⚝ 物体1的高度变化为 \(x\)，速度为 \(\dot{x}\)。物体2的高度变化为 \(-x\)，速度为 \(-\dot{x}\) (速度大小为 \(\dot{x}\))。
⚝ 动能：\(T = \frac{1}{2} m_1 \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{x}^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{x}^2\)。
⚝ 势能 (零势能点取在初始平衡位置)：\(V = m_1 g x - m_2 g x = (m_1 - m_2) g x\)。
⚝ 拉格朗日函数：\(L = T - V = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{x}^2 - (m_1 - m_2) g x\)。

⚝ 计算偏导数：
\[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = (m_1 + m_2) \dot{x}, \quad \frac{\partial L}{\partial x} = -(m_1 - m_2) g \]
⚝ 代入拉格朗日方程：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \]
\[ \frac{d}{dt} ((m_1 + m_2) \dot{x}) - (-(m_1 - m_2) g) = 0 \]
\[ (m_1 + m_2) \ddot{x} + (m_1 - m_2) g = 0 \]
化简得到阿特伍德机的运动方程：
\[ \ddot{x} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g \]
这个结果与用牛顿力学分析的结果一致。

例3：中心力场中的粒子运动 (Motion of a Particle in a Central Force Field)

考虑质点在中心力场 \(V(r)\) 中运动，选择平面极坐标 \((r, \theta)\) 作为广义坐标。

⚝ 质点位置：\(x = r \cos \theta, y = r \sin \theta\)。
⚝ 速度分量：\(\dot{x} = \dot{r} \cos \theta - r \sin \theta \dot{\theta}, \dot{y} = \dot{r} \sin \theta + r \cos \theta \dot{\theta}\)。
⚝ 动能：\(T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2)\)。
⚝ 势能：\(V = V(r)\) (只与 \(r\) 有关)。
⚝ 拉格朗日函数：\(L = T - V = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - V(r)\)。

⚝ 对广义坐标 \(r\) 应用拉格朗日方程：
\[ \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r}, \quad \frac{\partial L}{\partial r} = m r \dot{\theta}^2 - \frac{dV}{dr} \]
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 \Rightarrow m \ddot{r} - (m r \dot{\theta}^2 - \frac{dV}{dr}) = 0 \]
\[ m \ddot{r} - m r \dot{\theta}^2 + \frac{dV}{dr} = 0 \]
\[ m \ddot{r} = m r \dot{\theta}^2 - \frac{dV}{dr} \]
⚝ 对广义坐标 \(\theta\) 应用拉格朗日方程：
\[ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m r^2 \dot{\theta}, \quad \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \]
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \Rightarrow \frac{d}{dt} (m r^2 \dot{\theta}) = 0 \]
\[ m r^2 \dot{\theta} = \text{constant} = J \]
其中 \(J\) 是角动量。第二个方程表明角动量守恒，第一个方程是径向运动方程。拉格朗日方程自然地导出了中心力场中运动的两个重要方程。

通过以上例子可以看出，拉格朗日力学提供了一种强大而通用的方法来处理各种力学问题，尤其在处理复杂约束系统和多自由度系统时，其优势尤为突出。它不仅简化了运动方程的推导过程，也更深刻地揭示了力学系统的能量特性和运动规律。

6. 第6章 哈密顿力学 (Hamiltonian Mechanics)

章节概要

本章深入探讨哈密顿力学 (Hamiltonian Mechanics) 的核心内容。哈密顿力学作为经典力学的另一种重要表述形式，不仅在理论物理学中占据着举足轻重的地位，而且为量子力学 (Quantum Mechanics)、统计力学 (Statistical Mechanics) 等更高级的物理理论奠定了坚实的基础。本章将系统地介绍哈密顿力学的基本原理和方法，内容涵盖广义动量 (Generalized Momentum)、哈密顿函数 (Hamiltonian Function)、哈密顿正则方程 (Hamilton's Canonical Equations) 及其在物理问题中的应用。通过学习本章，读者将能够掌握运用哈密顿力学这一强大的分析工具，进一步拓展解决力学问题的视野和方法。

6.1 广义动量与哈密顿函数 (Generalized Momentum and Hamiltonian Function)

章节概要

本节将引入广义动量 (Generalized Momentum) 的概念，并在此基础上定义哈密顿函数 (Hamiltonian Function)。广义动量是哈密顿力学 formalism 中的核心变量之一，而哈密顿函数则在哈密顿力学中扮演着能量的角色。理解广义动量和哈密顿函数的定义及其物理意义，是构建哈密顿力学体系的基石。

6.1.1 广义动量的定义 (Definition of Generalized Momentum)

① 广义坐标与广义速度回顾 (Review of Generalized Coordinates and Generalized Velocities)

在拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics) 中，我们已经接触了广义坐标 \(q_i\) (generalized coordinates) 和广义速度 \(\dot{q}_i\) (generalized velocities) 的概念。对于一个具有 \(n\) 个自由度的系统，我们可以用 \(n\) 个独立的广义坐标 \(q_1, q_2, ..., q_n\) 来完全描述系统的位形。广义坐标可以是任何方便描述系统状态的独立参数，例如，直角坐标、极坐标、角度等等。广义速度则是广义坐标对时间的导数，\(\dot{q}_i = \frac{dq_i}{dt}\)。

② 广义动量的定义

在哈密顿力学中，与广义坐标 \(q_i\) 相共轭的广义动量 \(p_i\) (generalized momentum) 被定义为拉格朗日函数 \(L\) 对广义速度 \(\dot{q}_i\) 的偏导数：
\[ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \quad (i = 1, 2, ..., n) \]
其中，\(L(q_1, ..., q_n, \dot{q}_1, ..., \dot{q}_n, t)\) 是系统的拉格朗日函数，它是广义坐标、广义速度以及时间的函数。

③ 广义动量的物理意义

广义动量 \(p_i\) 并非总是我们日常理解的线性动量 (linear momentum)。它的物理意义取决于所选取的广义坐标 \(q_i\)。

⚝ 当广义坐标是直角坐标 \(x, y, z\) 时：如果广义坐标 \(q_i\) 是直角坐标 \(x, y, z\) 中的一个，例如 \(q_i = x\)，那么对应的广义速度就是 \(\dot{q}_i = \dot{x} = v_x\)。在这种情况下，广义动量 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\) 实际上就是我们熟悉的线性动量 \(p_x = m v_x\) (对于自由粒子或在保守力场中运动的粒子)。

⚝ 当广义坐标是角度 \(\theta\) 时：如果广义坐标 \(q_i\) 是角度 \(\theta\)，那么对应的广义速度就是 \(\dot{q}_i = \dot{\theta} = \omega\) (角速度)。在这种情况下，广义动量 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\) 实际上对应于角动量 \(L_z = I \omega\) (对于绕 z 轴转动的刚体，其中 \(I\) 是转动惯量)。

总而言之，广义动量是与广义坐标相共轭的动量，它更普遍地描述了系统的“运动趋势”或“动力学状态”，其具体物理意义需要根据所选的广义坐标来确定。

④ 广义动量的例子

⚝ 自由粒子 (Free Particle)：考虑一个质量为 \(m\) 的自由粒子在三维空间中运动。其拉格朗日函数为动能 \(T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2)\)。
▮▮▮▮⚝ 广义坐标：\(q_1 = x, q_2 = y, q_3 = z\)
▮▮▮▮⚝ 广义速度：\(\dot{q}_1 = \dot{x}, \dot{q}_2 = \dot{y}, \dot{q}_3 = \dot{z}\)
▮▮▮▮⚝ 广义动量：
\[ p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left( \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) \right) = m \dot{x} = mv_x \]
\[ p_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \frac{\partial}{\partial \dot{y}} \left( \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) \right) = m \dot{y} = mv_y \]
\[ p_z = \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = \frac{\partial}{\partial \dot{z}} \left( \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) \right) = m \dot{z} = mv_z \]
此时，广义动量就是我们熟悉的直角坐标下的线性动量。

⚝ 平面摆 (Planar Pendulum)：考虑一个质量为 \(m\)，长度为 \(l\) 的平面摆，摆动角度为 \(\theta\)。其拉格朗日函数为 \(L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta)\)。
▮▮▮▮⚝ 广义坐标：\(q = \theta\)
▮▮▮▮⚝ 广义速度：\(\dot{q} = \dot{\theta}\)
▮▮▮▮⚝ 广义动量：
\[ p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \left( \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta) \right) = m l^2 \dot{\theta} = I \omega \]
其中，\(I = ml^2\) 是转动惯量，\(\omega = \dot{\theta}\) 是角速度。此时，广义动量 \(p_\theta\) 是角动量。

6.1.2 哈密顿函数的定义 (Definition of Hamiltonian Function)

① 哈密顿函数的引入

在拉格朗日力学中，我们使用广义坐标 \(q_i\) 和广义速度 \(\dot{q}_i\) 来描述系统，并用拉格朗日方程来求解运动。哈密顿力学则引入了广义坐标 \(q_i\) 和广义动量 \(p_i\) 作为基本变量，并使用哈密顿函数 \(H\) (Hamiltonian function) 和哈密顿正则方程来描述和求解系统运动。

哈密顿函数 \(H\) 是通过对拉格朗日函数 \(L\) 进行勒让德变换 (Legendre transformation) 定义的。对于一个具有 \(n\) 个自由度的系统，哈密顿函数 \(H\) 定义为：
\[ H(q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n, t) = \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q}_i - L(q_1, ..., q_n, \dot{q}_1, ..., \dot{q}_n, t) \]
其中，\(\dot{q}_i\) 需要用广义坐标 \(q_j\)、广义动量 \(p_j\) 和时间 \(t\) 来表示。这意味着我们需要从广义动量的定义式 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) 中解出 \(\dot{q}_i = \dot{q}_i(q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n, t)\)，然后代入哈密顿函数的定义式中。这样，哈密顿函数 \(H\) 就完全表示成了广义坐标 \(q_i\)、广义动量 \(p_i\) 和时间 \(t\) 的函数。

② 哈密顿函数与能量的关系

在许多情况下，特别是在保守系统中（即拉格朗日函数不显含时间，且势能与广义速度无关），哈密顿函数 \(H\) 具有能量的物理意义，它等于系统的总能量 \(E = T + V\)，即动能 \(T\) 与势能 \(V\) 之和。

为了理解这一点，考虑拉格朗日函数 \(L = T - V\)，其中动能 \(T\) 是广义速度 \(\dot{q}_i\) 的二次齐次函数，势能 \(V\) 通常只与广义坐标 \(q_i\) 有关，与广义速度无关。对于这种情况，我们可以证明：
\[ \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q}_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i = 2T \]
其中，最后一个等号成立是因为动能 \(T\) 是广义速度 \(\dot{q}_i\) 的二次齐次函数，根据欧拉齐次函数定理 (Euler's homogeneous function theorem) 可得 \(\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i = 2T\)。

因此，哈密顿函数可以写成：
\[ H = \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q}_i - L = 2T - (T - V) = T + V = E \]
即哈密顿函数 \(H\) 等于系统的总能量 \(E\)。

需要注意的是，在更一般的情况下，例如拉格朗日函数显含时间，或者势能与广义速度有关时，哈密顿函数 \(H\) 不一定严格等于系统的总能量，但它仍然是系统的一个重要的动力学量，并且在形式上与能量相似。在物理文献中，即使在这些情况下，也常常将哈密顿函数 \(H\) 称为系统的“哈密顿能量” (Hamiltonian energy) 或简称为“能量”。

③ 哈密顿函数的例子

⚝ 自由粒子 (Free Particle)：对于自由粒子，我们已经计算出广义动量 \(p_x = m\dot{x}, p_y = m\dot{y}, p_z = m\dot{z}\)。因此，\(\dot{x} = \frac{p_x}{m}, \dot{y} = \frac{p_y}{m}, \dot{z} = \frac{p_z}{m}\)。拉格朗日函数为 \(L = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2)\)。
哈密顿函数为：
\[ H = p_x \dot{x} + p_y \dot{y} + p_z \dot{z} - L = p_x \frac{p_x}{m} + p_y \frac{p_y}{m} + p_z \frac{p_z}{m} - \frac{1}{2} m \left( \left(\frac{p_x}{m}\right)^2 + \left(\frac{p_y}{m}\right)^2 + \left(\frac{p_z}{m}\right)^2 \right) \]
\[ H = \frac{p_x^2}{m} + \frac{p_y^2}{m} + \frac{p_z^2}{m} - \frac{1}{2m} (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) = \frac{1}{2m} (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} \]
这正是自由粒子的动能，也等于其总能量。

⚝ 平面摆 (Planar Pendulum)：对于平面摆，我们已经计算出广义动量 \(p_\theta = m l^2 \dot{\theta}\)，因此 \(\dot{\theta} = \frac{p_\theta}{m l^2}\)。拉格朗日函数为 \(L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta)\)。
哈密顿函数为：
\[ H = p_\theta \dot{\theta} - L = p_\theta \frac{p_\theta}{m l^2} - \left( \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta) \right) = \frac{p_\theta^2}{m l^2} - \frac{1}{2} m l^2 \left(\frac{p_\theta}{m l^2}\right)^2 + mgl(1 - \cos\theta) \]
\[ H = \frac{p_\theta^2}{m l^2} - \frac{p_\theta^2}{2 m l^2} + mgl(1 - \cos\theta) = \frac{p_\theta^2}{2 m l^2} + mgl(1 - \cos\theta) \]
其中，\(\frac{p_\theta^2}{2 m l^2} = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 = T\) 是动能，\(mgl(1 - \cos\theta) = V\) 是势能。因此，\(H = T + V = E\)，即哈密顿函数等于平面摆的总能量。

6.2 哈密顿正则方程 (Hamilton's Canonical Equations)

章节概要

本节将推导哈密顿力学中最核心的方程——哈密顿正则方程 (Hamilton's Canonical Equations)。哈密顿正则方程是一组一阶微分方程，它描述了系统在相空间 (phase space) 中的运动规律。与拉格朗日方程相比，哈密顿正则方程在形式上更具对称性，并且在理论研究和某些特定问题的求解中具有独特的优势。

6.2.1 哈密顿正则方程的推导 (Derivation of Hamilton's Canonical Equations)

① 从拉格朗日方程出发

我们从拉格朗日方程出发：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
根据广义动量的定义 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\)，拉格朗日方程可以写成：
\[ \dot{p}_i - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \implies \dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} \]
这是哈密顿正则方程的一部分。为了得到另一部分，我们需要考虑哈密顿函数 \(H\) 的全微分。

② 哈密顿函数的全微分

哈密顿函数 \(H\) 是广义坐标 \(q_i\)、广义动量 \(p_i\) 和时间 \(t\) 的函数，即 \(H = H(q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n, t)\)。其全微分为：
\[ dH = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t} dt \]
另一方面，根据哈密顿函数的定义 \(H = \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q}_i - L\)，其全微分也可以表示为：
\[ dH = d \left( \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q}_i - L \right) = \sum_{i=1}^{n} (dp_i \dot{q}_i + p_i d\dot{q}_i) - dL \]
拉格朗日函数 \(L\) 是广义坐标 \(q_i\)、广义速度 \(\dot{q}_i\) 和时间 \(t\) 的函数，即 \(L = L(q_1, ..., q_n, \dot{q}_1, ..., \dot{q}_n, t)\)。其全微分为：
\[ dL = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i \right) + \frac{\partial L}{\partial t} dt \]
将 \(dL\) 的表达式代入 \(dH\) 的表达式中：
\[ dH = \sum_{i=1}^{n} (dp_i \dot{q}_i + p_i d\dot{q}_i) - \left[ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i \right) + \frac{\partial L}{\partial t} dt \right] \]
\[ dH = \sum_{i=1}^{n} \left( dp_i \dot{q}_i + p_i d\dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t} dt \]
利用广义动量的定义 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) 和拉格朗日方程 \(\frac{\partial L}{\partial q_i} = \dot{p}_i\)，上式化简为：
\[ dH = \sum_{i=1}^{n} \left( dp_i \dot{q}_i + p_i d\dot{q}_i - \dot{p}_i dq_i - p_i d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t} dt \]
\[ dH = \sum_{i=1}^{n} \left( \dot{q}_i dp_i - \dot{p}_i dq_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t} dt \]
比较 \(dH\) 的两种表达式：
\[ dH = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t} dt = \sum_{i=1}^{n} \left( -\dot{p}_i dq_i + \dot{q}_i dp_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t} dt \]
通过对比 \(dq_i, dp_i, dt\) 前面的系数，我们可以得到哈密顿正则方程：
\[ \frac{\partial H}{\partial q_i} = -\dot{p}_i \implies \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]
\[ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot{q}_i \implies \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \]
\[ \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} \]
通常，如果拉格朗日函数 \(L\) 不显含时间 \(t\)，则哈密顿函数 \(H\) 也不显含时间 \(t\)，此时 \(\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)，即哈密顿函数 \(H\) 守恒，\(H = 常数\)。

③ 哈密顿正则方程组

综上所述，哈密顿正则方程组 (Hamilton's canonical equations) 为：
\[ \begin{cases} \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \\ \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{cases} \quad (i = 1, 2, ..., n) \]
这是一组 \(2n\) 个一阶微分方程，用于描述具有 \(n\) 个自由度系统的运动。变量为广义坐标 \(q_i\) 和广义动量 \(p_i\)。

6.2.2 哈密顿正则方程的应用 (Applications of Hamilton's Canonical Equations)

① 求解运动方程

哈密顿正则方程提供了一种求解系统运动方程的新方法。与拉格朗日方程相比，哈密顿正则方程是一阶微分方程组，有时在求解上更为方便，尤其是在处理某些具有特殊对称性的问题时。

⚝ 例子：一维谐振子 (One-dimensional Harmonic Oscillator)
一维谐振子的拉格朗日函数为 \(L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2\)。
广义动量：\(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} \implies \dot{x} = \frac{p}{m}\)。
哈密顿函数：\(H = p \dot{x} - L = p \frac{p}{m} - \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2 \right) = \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2} m \left(\frac{p}{m}\right)^2 + \frac{1}{2} k x^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2\)。
哈密顿正则方程：
\[ \begin{cases} \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2 \right) = \frac{p}{m} \\ \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2 \right) = -kx \end{cases} \]
从第一个方程得到 \(p = m \dot{x}\)，代入第二个方程得到 \(m \ddot{x} = -kx \implies \ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0\)，这正是谐振子的运动方程。

② 理论研究的优势

哈密顿力学在理论研究中具有重要优势，尤其是在以下几个方面：

⚝ 相空间描述 (Phase Space Description)：哈密顿力学将系统的状态用广义坐标 \(q_i\) 和广义动量 \(p_i\) 构成的相空间来描述。系统的运动轨迹在相空间中表现为一条曲线，称为相轨迹 (phase trajectory)。相空间分析为研究系统动力学行为提供了几何直观的工具。

⚝ 辛结构 (Symplectic Structure)：哈密顿正则方程具有辛结构，这是一种特殊的数学结构，与守恒定律、绝热不变量 (adiabatic invariants)、KAM 理论 (Kolmogorov–Arnold–Moser theorem) 等深刻的物理概念密切相关。辛结构在经典力学、量子力学、统计力学等领域都发挥着重要作用。

⚝ 量子力学的桥梁 (Bridge to Quantum Mechanics)：哈密顿力学是经典力学通往量子力学的桥梁。量子力学的许多概念和 formalism，例如正则量子化 (canonical quantization)、泊松括号 (Poisson brackets)、哈密顿算符 (Hamiltonian operator) 等，都直接来源于哈密顿力学。学习哈密顿力学是理解量子力学的重要预备知识。

③ 高阶系统和复杂系统

对于高阶系统和复杂系统，拉格朗日方程可能变得非常复杂，而哈密顿正则方程有时可以提供更简洁的分析方法。例如，在研究天体力学 (celestial mechanics)、等离子体物理 (plasma physics)、加速器物理 (accelerator physics) 等领域，哈密顿力学方法都得到了广泛应用。

④ 量子力学预备知识

正如前面提到的，哈密顿力学是学习量子力学的重要基础。在量子力学中，哈密顿算符 (Hamiltonian operator) 是描述系统能量和时间演化的核心算符。理解经典哈密顿力学中的哈密顿函数和正则方程，有助于更好地理解量子力学中的对应概念和原理。例如，经典力学中的泊松括号在量子力学中被推广为对易子 (commutator)，经典力学中的正则变换 (canonical transformation) 在量子力学中对应于幺正变换 (unitary transformation)。

总而言之，哈密顿力学不仅是经典力学的重要组成部分，也是连接经典物理与现代物理的关键桥梁。掌握哈密顿力学的基本原理和方法，对于深入理解物理世界的规律具有重要的理论意义和实践价值。

7. 有心力与万有引力 (Central Force and Universal Gravitation)

7.1 有心力场中的运动 (Motion in a Central Force Field)

本节将深入探讨有心力场 (Central Force Field) 中质点的运动规律。有心力是一类重要的力，在物理学中广泛存在，例如万有引力 (Universal Gravitation) 和库仑力 (Coulomb Force) 等都属于有心力。理解有心力场中的运动，对于研究行星运动、原子结构等问题至关重要。我们将首先定义有心力，并阐述其基本性质，然后重点分析在有心力场中运动时，角动量守恒 (Conservation of Angular Momentum) 和能量守恒 (Conservation of Energy) 这两个重要的守恒定律。

7.1.1 有心力的定义与性质 (Definition and Properties of Central Force)

① 有心力的定义 (Definition of Central Force)

有心力 (Central Force) 是指力的大小只取决于质点到力心的距离，而方向始终指向或背离力心 的力。力心是一个固定的点，通常作为坐标系的原点。

可以用数学语言更精确地描述有心力。设力心位于坐标原点 \(O\)，质点的位置矢量为 \(\vec{r}\)，则有心力 \(\vec{F}\) 可以表示为：
\[ \vec{F}(\vec{r}) = f(r) \hat{r} \]
其中，\(r = |\vec{r}|\) 是质点到力心的距离，\(\hat{r} = \vec{r}/r\) 是沿径向的单位矢量，\(f(r)\) 是一个标量函数，表示力的大小，其正负号决定了力的方向：
⚝ 当 \(f(r) < 0\) 时，力指向力心，称为吸引力 (Attractive Force)，例如万有引力。
⚝ 当 \(f(r) > 0\) 时，力背离力心，称为排斥力 (Repulsive Force)，例如同性电荷之间的库仑力。
⚝ 当 \(f(r) = 0\) 时，表示无力作用。

② 有心力的性质 (Properties of Central Force)

有心力具有以下两个重要的性质：

▮▮▮▮ⓐ 有心力是保守力 (Central Force is a Conservative Force)

要证明有心力是保守力 (Conservative Force)，需要证明有心力做功与路径无关，或者等价地，有心力可以表示为某个势能函数 (Potential Energy Function) 的负梯度。

对于有心力 \(\vec{F}(\vec{r}) = f(r) \hat{r}\)，我们考虑其沿任意路径 \(C\) 所做的功 \(W\):
\[ W = \int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int_{C} f(r) \hat{r} \cdot d\vec{l} \]
在球坐标系 \((r, \theta, \phi)\) 中，位移元 \(d\vec{l}\) 可以表示为：
\[ d\vec{l} = dr \hat{r} + r d\theta \hat{\theta} + r \sin\theta d\phi \hat{\phi} \]
因此，\(\hat{r} \cdot d\vec{l} = dr\)。功的积分变为：
\[ W = \int_{r_1}^{r_2} f(r) dr = V(r_1) - V(r_2) \]
其中，我们定义势能函数 \(V(r)\) 满足 \(-\frac{dV(r)}{dr} = f(r)\)，即 \(V(r) = -\int f(r) dr + C\)，\(C\) 为积分常数。

由于功的积分只与始末位置的径向坐标 \(r_1\) 和 \(r_2\) 有关，而与路径无关，因此有心力是保守力。

▮▮▮▮ⓑ 有心力产生的力矩为零 (Torque Produced by Central Force is Zero)

力矩 (Torque) \(\vec{\tau}\) 定义为 \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\)。对于有心力 \(\vec{F} = f(r) \hat{r}\)，由于 \(\hat{r}\) 与 \(\vec{r}\) 方向相同，它们的叉乘 (Cross Product) 为零：
\[ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times (f(r) \hat{r}) = f(r) (\vec{r} \times \hat{r}) = \vec{0} \]
因此，有心力对力心产生的力矩恒为零。这个性质导致了角动量守恒。

7.1.2 有心力场中角动量守恒与能量守恒 (Conservation of Angular Momentum and Energy in a Central Force Field)

① 角动量守恒 (Conservation of Angular Momentum)

质点相对于力心的角动量 (Angular Momentum) \(\vec{L}\) 定义为 \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\)，其中 \(\vec{p} = m\vec{v}\) 是质点的线动量 (Linear Momentum)。角动量随时间的变化率等于作用在质点上的力矩：
\[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} \]
由于有心力产生的力矩为零，即 \(\vec{\tau} = \vec{0}\)，因此：
\[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0} \]
这意味着，在有心力场中，质点的角动量 \(\vec{L}\) 保持不变，即角动量守恒。

角动量守恒具有重要的物理意义：
⚝ 运动轨道在同一平面内 (Motion Orbit Lies in a Plane)：由于角动量 \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) 是一个恒定矢量，\(\vec{r}\) 和 \(\vec{p}\) 始终垂直于 \(\vec{L}\)。因此，质点的运动轨迹始终在一个垂直于 \(\vec{L}\) 的平面内。我们可以选择坐标系，使得角动量 \(\vec{L}\) 沿 \(z\) 轴方向，则运动平面为 \(xy\) 平面。
⚝ 面积速度守恒 (Conservation of Areal Velocity)：角动量的大小可以表示为 \(L = mr^2 \dot{\theta}\)，其中 \(\dot{\theta}\) 是角速度 (Angular Velocity)。面积速度 (Areal Velocity) 定义为单位时间内，位置矢量扫过的面积 \(\frac{dA}{dt}\)。在极坐标系中，\(dA = \frac{1}{2} r (r d\theta) = \frac{1}{2} r^2 d\theta\)，因此面积速度为：
\[ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \frac{L}{2m} = \text{constant} \]
面积速度守恒是开普勒第二定律 (Kepler's Second Law) 的理论基础。

② 能量守恒 (Conservation of Energy)

由于有心力是保守力，因此在有心力场中，质点的机械能 (Mechanical Energy) \(E\) 守恒。机械能定义为动能 (Kinetic Energy) \(T\) 和势能 (Potential Energy) \(V\) 之和：
\[ E = T + V = \frac{1}{2} m v^2 + V(r) = \text{constant} \]
其中，\(v^2 = \dot{r}^2 + (r\dot{\theta})^2\) 是质点速度的平方。

能量守恒定律表明，在有心力场中，质点的动能和势能可以相互转化，但总能量保持不变。

③ 有效势能 (Effective Potential Energy)

为了更方便地分析有心力场中的运动，我们可以引入有效势能 (Effective Potential Energy) \(V_{eff}(r)\) 的概念。将角动量守恒 \(L = mr^2 \dot{\theta}\) 代入能量守恒方程，可以消去角速度 \(\dot{\theta}\)：
\[ E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} m (r\dot{\theta})^2 + V(r) = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \left(\frac{L}{mr^2}\right)^2 + V(r) \]
\[ E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \]
定义离心势能 (Centrifugal Potential Energy) \(V_{cf}(r) = \frac{L^2}{2mr^2}\)，则有效势能为：
\[ V_{eff}(r) = V(r) + V_{cf}(r) = V(r) + \frac{L^2}{2mr^2} \]
能量守恒方程可以写成：
\[ E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + V_{eff}(r) \]
这样，我们就将二维的运动问题简化为一维的径向运动问题，质点的径向运动等效于在一个有效势能场 \(V_{eff}(r)\) 中的运动。

通过分析有效势能曲线 \(V_{eff}(r)\)，我们可以定性地了解质点在有心力场中的运动类型，例如：
⚝ 束缚态 (Bound State)：当总能量 \(E\) 位于有效势能曲线的极小值附近时，质点将在力心附近做周期性运动，例如行星绕太阳的椭圆轨道运动。
⚝ 散射态 (Scattering State)：当总能量 \(E\) 足够大时，质点将远离力心，做非束缚运动，例如彗星的抛物线或双曲线轨道运动。

7.2 万有引力定律与开普勒定律 (Law of Universal Gravitation and Kepler's Laws)

万有引力 (Universal Gravitation) 是自然界中最基本、最重要的有心力之一。万有引力定律 (Law of Universal Gravitation) 描述了宇宙中任意两个物体之间都存在相互吸引的引力作用。开普勒行星运动定律 (Kepler's Laws of Planetary Motion) 是对行星绕太阳运动规律的总结，是万有引力定律的直接应用和验证。本节将介绍万有引力定律和开普勒定律，并阐述如何用万有引力定律解释开普勒定律。

7.2.1 万有引力定律 (Law of Universal Gravitation)

① 万有引力定律的内容 (Content of the Law of Universal Gravitation)

牛顿 (Isaac Newton) 总结了前人的研究成果，于1687年正式提出了万有引力定律：

宇宙间任何两个质点之间都存在着相互吸引的引力，引力的大小与两个质点的质量 \(m_1, m_2\) 的乘积成正比，与它们之间距离 \(r\) 的平方成反比，方向沿两个质点的连线。

② 万有引力定律的数学表达式 (Mathematical Expression of the Law of Universal Gravitation)

设两个质点的质量分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\)，它们之间的距离为 \(r\)，则它们之间的万有引力 \(F\) 的大小为：
\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]
其中，\(G\) 是万有引力常数 (Gravitational Constant)，是一个普适常数，其数值约为 \(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)。

万有引力 \(\vec{F}_{12}\) 是质点 2 对质点 1 的引力，其矢量形式为：
\[ \vec{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}_{21} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}_{12} \]
其中，\(\hat{r}_{21} = \frac{\vec{r}_1 - \vec{r}_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}\) 是从质点 2 指向质点 1 的单位矢量，\(\hat{r}_{12} = -\hat{r}_{21}\) 是从质点 1 指向质点 2 的单位矢量。负号表示引力是吸引力，方向指向对方。

根据牛顿第三定律 (Newton's Third Law)，质点 1 对质点 2 的引力 \(\vec{F}_{21}\) 与 \(\vec{F}_{12}\) 大小相等，方向相反，即 \(\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}\)。

③ 引力常数 \(G\) 的物理意义 (Physical Meaning of Gravitational Constant \(G\))

万有引力常数 \(G\) 反映了引力相互作用的强度。\(G\) 的数值非常小，表明引力是一种相对较弱的相互作用，但在宏观尺度上，由于质量的巨大积累，引力成为主导作用力，例如天体运动主要受引力支配。

\(G\) 的精确测量是一个重要的物理实验。卡文迪许 (Henry Cavendish) 在 1798 年利用扭秤 (Torsion Balance) 实验首次精确测量了 \(G\) 值，这个实验也被称为“称量地球质量的实验”。

7.2.2 开普勒行星运动定律 (Kepler's Laws of Planetary Motion)

开普勒 (Johannes Kepler) 在分析了第谷·布拉赫 (Tycho Brahe) 大量精确的天文观测数据后，于 17世纪初总结出了描述行星绕太阳运动的三个定律，称为开普勒行星运动定律。

① 开普勒第一定律 (Kepler's First Law) - 轨道定律 (Law of Orbits)

行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

这意味着行星并非像之前认为的那样，绕太阳做正圆运动，而是沿着椭圆轨道运动。椭圆有两个焦点，太阳位于其中一个焦点上。

② 开普勒第二定律 (Kepler's Second Law) - 面积定律 (Law of Areas)

在相等的时间间隔内，行星与太阳连线扫过的面积相等。

这表明行星在近日点（离太阳最近的点）运动速度较快，在远日点（离太阳最远的点）运动速度较慢。面积定律实际上反映了角动量守恒。

③ 开普勒第三定律 (Kepler's Third Law) - 周期定律 (Law of Periods)

行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

设行星的公转周期为 \(T\)，椭圆轨道半长轴为 \(a\)，则开普勒第三定律可以表示为：
\[ T^2 = K a^3 \]
其中，\(K\) 是一个比例常数，对于太阳系行星，\(K = \frac{4\pi^2}{GM_s}\)，\(M_s\) 是太阳的质量。周期定律揭示了不同行星运动周期与轨道大小之间的关系。

7.2.3 用万有引力定律解释开普勒定律 (Explanation of Kepler's Laws using the Law of Universal Gravitation)

牛顿利用万有引力定律，从理论上完美地解释了开普勒行星运动定律，证明了开普勒定律是万有引力定律的必然结果，从而将天上的运动和地上的运动统一起来，实现了物理学上的第一次大综合。

① 用万有引力定律解释开普勒第一定律和第二定律 (Explanation of Kepler's First and Second Laws)

行星绕太阳的引力是有心力，因此行星在太阳引力场中的运动满足角动量守恒和能量守恒。

⚝ 角动量守恒 直接导致了开普勒第二定律，即面积速度守恒。
⚝ 能量守恒 和 角动量守恒 共同决定了行星的轨道形状是圆锥曲线 (Conic Section)，具体而言，在引力场中，束缚态的轨道是椭圆（包括圆是椭圆的特例），非束缚态的轨道是抛物线 (Parabola) 或 双曲线 (Hyperbola)。行星绕太阳做周期性运动，属于束缚态，因此轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，这正是开普勒第一定律。

② 用万有引力定律推导开普勒第三定律 (Derivation of Kepler's Third Law using the Law of Universal Gravitation)

考虑行星质量为 \(m\)，太阳质量为 \(M_s\)，行星绕太阳做近似圆周运动，轨道半径为 \(r\)，公转周期为 \(T\)。行星受到的万有引力提供向心力：
\[ G \frac{M_s m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \]
行星的线速度 \(v = \frac{2\pi r}{T}\)，代入上式：
\[ G \frac{M_s m}{r^2} = m \frac{(2\pi r/T)^2}{r} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2} \]
整理得到：
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_s} r^3 \]
如果考虑椭圆轨道，将半径 \(r\) 近似为半长轴 \(a\)，则得到开普勒第三定律的精确形式：
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_s} a^3 \]
比例常数 \(K = \frac{4\pi^2}{GM_s}\) 与行星自身质量无关，只与中心天体（太阳）的质量有关。因此，对于太阳系的所有行星，\(K\) 值相同。

通过万有引力定律，我们不仅可以解释开普勒定律，还可以计算行星的轨道、周期等参数，为天体力学奠定了理论基础。

7.3 引力势能与宇宙速度 (Gravitational Potential Energy and Cosmic Velocities)

引力势能 (Gravitational Potential Energy) 是描述物体在引力场中能量的重要概念。宇宙速度 (Cosmic Velocities) 是发射物体摆脱地球引力束缚，进入宇宙空间所需要的最小速度，是引力势能应用的典型例子。本节将定义引力势能，讨论其特点，并介绍第一、第二、第三宇宙速度的概念和计算方法。

7.3.1 引力势能的定义与特点 (Definition and Characteristics of Gravitational Potential Energy)

① 引力势能的定义 (Definition of Gravitational Potential Energy)

由于万有引力是保守力，因此可以定义引力势能 (Gravitational Potential Energy)。在万有引力场中，将质量为 \(m\) 的质点从无穷远处移动到空间某点 \(\vec{r}\) 处，外力克服引力所做的功 定义为质点在该点的引力势能 \(V(\vec{r})\)。

为了简化问题，我们通常考虑两个质点 \(m_1\) 和 \(m_2\) 之间的引力势能。选择无穷远处为势能零点，即当 \(r \to \infty\) 时，\(V(r) = 0\)。则当两个质点相距 \(r\) 时，它们的引力势能为：
\[ V(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r} \]
负号表示引力势能是负值，随着距离 \(r\) 减小，引力势能降低，系统趋于更稳定的状态。

② 引力势能的特点 (Characteristics of Gravitational Potential Energy)

▮▮▮▮ⓐ 引力势能是标量 (Gravitational Potential Energy is a Scalar)

引力势能是标量，只与两个质点之间的距离 \(r\) 有关，与方向无关。

▮▮▮▮ⓑ 引力势能具有相对性 (Gravitational Potential Energy is Relative)

引力势能的零点可以任意选择，通常为了方便，选择无穷远处为势能零点。在某些情况下，也可以选择地球表面为势能零点。势能的绝对值没有物理意义，只有势能的差值才有物理意义，势能的差值对应于引力做功。

▮▮▮▮ⓒ 引力势能与引力做功的关系 (Relationship between Gravitational Potential Energy and Work Done by Gravity)

引力做功等于引力势能的减少量：
\[ W_{gravity} = -\Delta V = V_{initial} - V_{final} \]
外力克服引力做功等于引力势能的增加量：
\[ W_{external} = \Delta V = V_{final} - V_{initial} \]

7.3.2 第一、第二、第三宇宙速度 (First, Second, and Third Cosmic Velocities)

宇宙速度 (Cosmic Velocities) 是指从地球表面发射物体，使其能够实现不同宇宙飞行任务所需的最小初始速度。根据飞行任务的不同，宇宙速度分为第一、第二、第三宇宙速度。

① 第一宇宙速度 (First Cosmic Velocity) - 环绕速度 (Circular Orbital Velocity)

第一宇宙速度 (First Cosmic Velocity) \(v_1\) 也称为环绕速度 (Circular Orbital Velocity)，是指物体在地球表面附近绕地球做圆周运动所需的最小初始速度。

物体在地球表面附近做圆周运动，万有引力提供向心力：
\[ G \frac{M_e m}{R_e^2} = m \frac{v_1^2}{R_e} \]
其中，\(M_e\) 是地球质量，\(R_e\) 是地球半径。解得第一宇宙速度：
\[ v_1 = \sqrt{\frac{GM_e}{R_e}} = \sqrt{gR_e} \approx 7.9 \text{km/s} \]
其中，\(g = \frac{GM_e}{R_e^2}\) 是地球表面的重力加速度。

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。以第一宇宙速度发射的物体，可以成为地球的近地卫星，绕地球做圆周运动。

② 第二宇宙速度 (Second Cosmic Velocity) - 脱离速度 (Escape Velocity)

第二宇宙速度 (Second Cosmic Velocity) \(v_2\) 也称为脱离速度 (Escape Velocity)，是指物体从地球表面发射，摆脱地球引力束缚，成为太阳系行星 所需的最小初始速度。

要使物体摆脱地球引力束缚，需要使其动能足以克服引力势能。在地球表面，物体的动能为 \(\frac{1}{2} m v_2^2\)，引力势能为 \(V(R_e) = -G \frac{M_e m}{R_e}\)。当物体摆脱地球引力束缚时，到达无穷远处，动能和势能都为零。根据能量守恒：
\[ \frac{1}{2} m v_2^2 - G \frac{M_e m}{R_e} = 0 \]
解得第二宇宙速度：
\[ v_2 = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = \sqrt{2gR_e} = \sqrt{2} v_1 \approx 11.2 \text{km/s} \]
第二宇宙速度是第一宇宙速度的 \(\sqrt{2}\) 倍。以第二宇宙速度发射的物体，可以摆脱地球引力，成为人造行星 (Artificial Planet)，绕太阳运动。

③ 第三宇宙速度 (Third Cosmic Velocity) - 逃逸速度 (Solar System Escape Velocity)

第三宇宙速度 (Third Cosmic Velocity) \(v_3\) 也称为逃逸速度 (Solar System Escape Velocity)，是指物体从地球表面发射，摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系 所需的最小初始速度。

要计算第三宇宙速度，需要考虑地球绕太阳的公转速度 \(v_e \approx 29.8 \text{km/s}\)。物体首先要摆脱地球引力，需要速度 \(v_2\)。然后在地球轨道附近，还需要一定的速度才能摆脱太阳引力。粗略估计，第三宇宙速度约为：
\[ v_3 \approx v_e + v_{escape\_sun} \]
其中，\(v_{escape\_sun}\) 是在地球轨道处摆脱太阳引力所需的逃逸速度。地球轨道半径 \(r_e \approx 1.5 \times 10^{11} \text{m}\)，太阳质量 \(M_s \approx 1.989 \times 10^{30} \text{kg}\)。
\[ v_{escape\_sun} = \sqrt{\frac{2GM_s}{r_e}} \approx 42.1 \text{km/s} \]
因此，第三宇宙速度约为：
\[ v_3 \approx 29.8 \text{km/s} + (42.1 - 29.8) \text{km/s} \approx 16.7 \text{km/s} \]
更精确的计算需要考虑地球自转、大气阻力等因素，实际发射速度略大于理论值。

第三宇宙速度是星际航行的最低速度要求。以第三宇宙速度发射的物体，可以飞出太阳系，进入星际空间 (Interstellar Space)。

宇宙速度的概念是经典力学在天体运动中的重要应用，也是人类探索宇宙空间的基础。

8. 连续介质力学导论 (Introduction to Continuum Mechanics)

本章旨在为读者提供一个关于连续介质力学 (Continuum Mechanics) 的初步认识。与质点力学和刚体力学不同，连续介质力学研究的是物质在宏观尺度下的力学行为，它假设物质是连续分布的，而非由离散的粒子组成。这种假设使得我们可以使用场 (field) 的概念来描述物质的性质，例如密度 (density)、速度 (velocity) 和温度 (temperature) 等。本章将重点介绍连续介质力学中的两个核心概念：应力 (stress) 和应变 (strain)，以及描述弹性材料本构关系的基本定律——胡克定律 (Hooke's Law)。理解这些基本概念是进一步学习固体力学 (Solid Mechanics) 和流体力学 (Fluid Mechanics) 的基石。

8.1 应力与应变 (Stress and Strain)

应力 (stress) 和应变 (strain) 是描述连续介质内部变形和受力状态的两个基本物理量。应力描述了单位面积上所受的内力，反映了介质内部质点之间的相互作用强度；应变描述了介质的变形程度，反映了介质内部质点相对位置的变化。理解应力与应变的概念及其关系，是分析连续介质力学问题的关键。

8.1.1 应力的定义与类型 (Definition and Types of Stress)

应力 (stress) \( \boldsymbol{\sigma} \) 被定义为单位面积上所受的内力。更精确地说，如果在一个微小面积 \( \Delta A \) 上，介质内部的作用力为 \( \Delta \boldsymbol{F} \)，则该处的应力可以定义为：
\[ \boldsymbol{\sigma} = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{F}}{\Delta A} \]
应力是一个张量 (tensor)，它不仅有大小，还有方向。在三维空间中，为了完整描述一个点上的应力状态，我们需要使用应力张量 (stress tensor)。

根据作用力方向与面积方向的关系，应力可以分为两种基本类型：正应力 (normal stress) 和 切应力 (shear stress)。

① 正应力 (normal stress) \( \sigma \) : 正应力是指作用力垂直于面积的情况。它描述了垂直于截面的拉伸或压缩力。如果力垂直向外，则为拉应力 (tensile stress)，通常为正值；如果力垂直向内，则为压应力 (compressive stress)，通常为负值。

假设作用力 \( \Delta \boldsymbol{F} \) 垂直于面积 \( \Delta A \)，则正应力 \( \sigma \) 为：
\[ \sigma = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_{\perp}}{\Delta A} \]
其中 \( \Delta F_{\perp} \) 是垂直于面积 \( \Delta A \) 的分力。

② 切应力 (shear stress) \( \tau \) : 切应力是指作用力平行于面积的情况。它描述了平行于截面的剪切力。

假设作用力 \( \Delta \boldsymbol{F} \) 平行于面积 \( \Delta A \)，则切应力 \( \tau \) 为：
\[ \tau = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_{\parallel}}{\Delta A} \]
其中 \( \Delta F_{\parallel} \) 是平行于面积 \( \Delta A \) 的分力。

在三维空间中，为了完整描述一个点上的应力状态，我们需要使用应力张量 (stress tensor) \( \boldsymbol{\sigma} \)。在直角坐标系 \( (x, y, z) \) 中，应力张量可以表示为一个 3x3 的矩阵：
\[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \]
其中，对角元素 \( \sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz} \) 表示作用在 \( x, y, z \) 方向面积上的正应力，而非对角元素 \( \sigma_{xy}, \sigma_{xz}, \sigma_{yx}, \sigma_{yz}, \sigma_{zx}, \sigma_{zy} \) 表示作用在相应面积上的切应力。根据角动量守恒 (conservation of angular momentum) 原则，在没有体力矩 (body torque) 的情况下，应力张量是对称的，即 \( \sigma_{xy} = \sigma_{yx}, \sigma_{xz} = \sigma_{zx}, \sigma_{yz} = \sigma_{zy} \)。因此，应力张量通常只有六个独立的元素。

8.1.2 应变的定义与类型 (Definition and Types of Strain)

应变 (strain) \( \boldsymbol{\epsilon} \) 是描述连续介质变形程度的物理量。它表示介质内部质点相对位置的变化。与应力类似，应变也是一个张量 (tensor)。

应变可以分为 正应变 (normal strain) 和 切应变 (shear strain) 两种基本类型。

① 正应变 (normal strain) \( \epsilon \) : 正应变描述了物体在长度方向上的相对伸长或缩短。假设一个物体在某个方向上的原始长度为 \( L_0 \)，变形后的长度为 \( L \)，则该方向上的正应变 \( \epsilon \) 定义为：
\[ \epsilon = \frac{L - L_0}{L_0} = \frac{\Delta L}{L_0} \]
正应变是无量纲的量。拉伸导致长度增加，正应变为正值；压缩导致长度减小，正应变为负值。

② 切应变 (shear strain) \( \gamma \) : 切应变描述了物体形状的改变，即物体内部垂直线之间的角度变化。假设物体中两条初始垂直的线段，变形后它们之间的角度变化为 \( \Delta \theta \)，则切应变 \( \gamma \) 近似等于角度变化的弧度值：
\[ \gamma \approx \tan(\Delta \theta) \approx \Delta \theta \]
切应变也是无量纲的量，通常用弧度表示。

类似于应力张量，为了完整描述三维空间中一点的应变状态，我们需要使用应变张量 (strain tensor) \( \boldsymbol{\epsilon} \)。在直角坐标系 \( (x, y, z) \) 中，应变张量可以表示为一个 3x3 的矩阵：
\[ \boldsymbol{\epsilon} = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{pmatrix} \]
其中，对角元素 \( \epsilon_{xx}, \epsilon_{yy}, \epsilon_{zz} \) 表示 \( x, y, z \) 方向的正应变，而非对角元素 \( \epsilon_{xy}, \epsilon_{xz}, \epsilon_{yx}, \epsilon_{yz}, \epsilon_{zx}, \epsilon_{zy} \) 与切应变有关，通常定义工程切应变 \( \gamma_{xy} = \epsilon_{xy} + \epsilon_{yx} \)，等等。对于小变形情况，通常假设应变张量是对称的，即 \( \epsilon_{xy} = \epsilon_{yx}, \epsilon_{xz} = \epsilon_{zx}, \epsilon_{yz} = \epsilon_{zy} \)。

8.2 弹性与胡克定律 (Elasticity and Hooke's Law)

弹性 (elasticity) 是材料的一种重要性质，描述了材料在外力作用下发生变形，当外力移除后能够恢复原始形状的能力。胡克定律 (Hooke's Law) 是描述弹性材料在线弹性范围内应力与应变之间关系的本构定律。

8.2.1 弹性的概念 (Concept of Elasticity)

弹性 (elasticity) 是指固体材料在外力作用下发生变形，当外力撤除后，能够完全恢复其原始形状和尺寸的性质。具有弹性的材料称为弹性体 (elastic body)。

与弹性相对的概念是塑性 (plasticity)。塑性 (plasticity) 是指固体材料在外力作用下发生变形，当外力撤除后，不能完全恢复其原始形状，而会保留永久变形的性质。具有塑性的材料称为塑性体 (plastic body)。

在实际材料中，弹性行为和塑性行为往往同时存在，但通常在较小的外力作用下，材料主要表现为弹性行为；当外力超过一定限度（弹性极限 (elastic limit)）后，塑性行为开始变得显著。本章主要讨论线弹性 (linear elasticity) 范围内的材料行为，即应力与应变之间呈线性关系的情况。

8.2.2 胡克定律及其应用 (Hooke's Law and its Applications)

胡克定律 (Hooke's Law) 是描述线弹性材料应力与应变之间线性关系的定律。对于单向拉伸或压缩的情况，胡克定律可以简单表示为：
\[ \sigma = E \epsilon \]
其中，\( \sigma \) 是正应力，\( \epsilon \) 是正应变，\( E \) 是杨氏模量 (Young's modulus) 或弹性模量 (modulus of elasticity)。杨氏模量 \( E \) 是材料的弹性常数，表征了材料抵抗拉伸或压缩变形的能力。杨氏模量越大，材料的刚度越大，即在相同应力下，产生的应变越小。杨氏模量的单位与应力单位相同，通常为 帕斯卡 (Pascal, Pa) 或其倍数 兆帕 (MPa)、吉帕 (GPa) 等。

对于更一般的应力状态，例如三维应力状态，胡克定律需要用张量形式来表示。对于各向同性线弹性材料，应力张量 \( \boldsymbol{\sigma} \) 与应变张量 \( \boldsymbol{\epsilon} \) 之间的关系可以表示为：
\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda \text{tr}(\boldsymbol{\epsilon}) \boldsymbol{I} + 2\mu \boldsymbol{\epsilon} \]
或者反过来表示为：
\[ \boldsymbol{\epsilon} = \frac{1}{E} [(1+\nu)\boldsymbol{\sigma} - \nu \text{tr}(\boldsymbol{\sigma}) \boldsymbol{I}] \]
其中，\( \lambda \) 和 \( \mu \) 是 拉梅常数 (Lamé parameters)，\( \text{tr}(\boldsymbol{\epsilon}) = \epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz} \) 是应变张量的迹 (trace)，\( \boldsymbol{I} \) 是单位张量。\( E \) 是杨氏模量，\( \nu \) 是 泊松比 (Poisson's ratio)，它们与拉梅常数之间存在以下关系：
\[ E = \mu \frac{3\lambda + 2\mu}{\lambda + \mu}, \quad \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda + \mu)} \]
除了杨氏模量 \( E \) 之外，描述弹性材料性质的常用弹性模量还包括：

① 剪切模量 (shear modulus) \( G \) 或 \( \mu \) : 剪切模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。它定义为切应力与切应变之比：
\[ G = \frac{\tau}{\gamma} \]
剪切模量也称为 刚性模量 (modulus of rigidity)。

② 体积模量 (bulk modulus) \( K \) : 体积模量描述了材料抵抗体积变形的能力。它定义为静水压力 \( p \) 与相对体积变化 \( \Delta V / V_0 \) 之比：
\[ K = -V_0 \frac{\Delta p}{\Delta V} \]
其中，负号表示体积减小时，压力增加。

杨氏模量 \( E \)、剪切模量 \( G \) 和体积模量 \( K \) 以及泊松比 \( \nu \) 之间存在相互关系，对于各向同性线弹性材料，它们之间可以通过以下公式相互转换：
\[ G = \frac{E}{2(1+\nu)}, \quad K = \frac{E}{3(1-2\nu)} \]
或者
\[ E = \frac{9KG}{3K+G}, \quad \nu = \frac{3K-2G}{2(3K+G)} \]
这些弹性模量是工程设计中重要的材料参数，它们决定了材料在受力条件下的变形行为，广泛应用于结构分析、材料选择等领域。

本章小结

本章我们初步介绍了连续介质力学 (Continuum Mechanics) 的基本概念，重点阐述了应力 (stress) 和应变 (strain) 的定义、类型以及它们之间的关系。我们区分了正应力 (normal stress) 和切应力 (shear stress)，正应变 (normal strain) 和切应变 (shear strain)，并简要介绍了应力张量 (stress tensor) 和应变张量 (strain tensor) 的概念。此外，我们还介绍了弹性 (elasticity) 的概念，区分了弹性变形 (elastic deformation) 和塑性变形 (plastic deformation)，并详细阐述了描述线弹性材料本构关系的胡克定律 (Hooke's Law)，以及常用的弹性模量 (elastic modulus)，包括杨氏模量 (Young's modulus)、剪切模量 (shear modulus) 和体积模量 (bulk modulus)。这些基本概念和定律是进一步学习连续介质力学，特别是固体力学 (Solid Mechanics) 和流体力学 (Fluid Mechanics) 的重要基础。

9. 狭义相对论导论 (Introduction to Special Relativity)

摘要

本章简要介绍狭义相对论 (Special Relativity) 的基本原理，包括相对性原理 (Principle of Relativity)、光速不变原理 (Principle of Constancy of the Speed of Light)、洛伦兹变换 (Lorentz Transformation)、时间膨胀 (Time Dilation) 和长度收缩 (Length Contraction) 等核心概念。

9.1 狭义相对论的基本原理 (Basic Principles of Special Relativity)

摘要

阐述狭义相对论的两个基本假设：相对性原理和光速不变原理，为理解相对论效应奠定基础。

9.1.1 相对性原理 (Principle of Relativity)

摘要

阐述相对性原理的内容，强调物理规律在所有惯性参考系 (inertial frames of reference) 中都相同。

① 伽利略相对性原理 (Galilean Principle of Relativity)

在经典力学 (Classical Mechanics) 中，我们首先接触到的是伽利略相对性原理。这个原理可以追溯到伽利略·伽利莱 (Galileo Galilei) 的时代，它指出：

在所有惯性参考系中，力学规律都具有相同的形式。

简单来说，这意味着如果你在一个匀速直线运动的封闭系统中进行力学实验，你无法通过实验结果来判断这个系统是在运动还是静止。例如，在一个匀速行驶的火车车厢内，你抛出一个球，球的运动轨迹与你在静止的地面上抛球的轨迹完全相同（忽略空气阻力）。你无法仅凭车厢内的力学实验来判断火车是否在运动。

更精确地描述，惯性参考系是指不受外力作用或者受到的合外力为零的参考系。在这样的参考系中，牛顿第一定律（惯性定律）成立。彼此做匀速直线运动的参考系都是惯性参考系。

伽利略变换 (Galilean Transformation) 是连接不同惯性参考系的坐标变换。假设有两个惯性参考系 \(S\) 和 \(S'\)。参考系 \(S'\) 相对于参考系 \(S\) 以恒定速度 \(v\) 沿 \(x\) 轴方向运动。如果一个事件在 \(S\) 系中的坐标为 \((x, y, z, t)\)，在 \(S'\) 系中的坐标为 \((x', y', z', t')\)，根据伽利略变换，它们之间的关系为：

\[ \begin{aligned} x' &= x - vt \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= t \end{aligned} \]

伽利略变换隐含着绝对时间和绝对空间的观念，即时间在所有参考系中是统一流逝的，空间也是绝对的。这种观念在低速宏观世界中与我们的日常经验非常吻合，因此经典力学在很长一段时间内都取得了巨大的成功。

② 爱因斯坦相对性原理 (Einsteinian Principle of Relativity)

然而，随着物理学的发展，特别是在电磁学 (Electromagnetism) 和光现象的研究中，伽利略相对性原理遇到了挑战。麦克斯韦方程组 (Maxwell's equations) 描述了电磁场的规律，根据麦克斯韦方程组，真空中的光速 \(c\) 是一个常数，约为 \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)。但是，如果光速也像经典力学中的速度一样满足伽利略变换，那么在不同的惯性参考系中，光速应该是不同的。例如，如果在一个以速度 \(v\) 运动的参考系中测量光速，按照伽利略变换，光速应该是 \(c \pm v\)，这与麦克斯韦方程组预言的光速不变性相矛盾。

为了解决这个问题，阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein) 在1905年提出了狭义相对论，其第一个基本假设就是爱因斯坦相对性原理，它扩展了伽利略相对性原理的适用范围：

在所有惯性参考系中，所有物理规律（包括力学规律、电磁规律、光学规律等）都具有相同的形式。

爱因斯坦相对性原理比伽利略相对性原理更加普遍和 фундаментальный (fundamental)。它不仅适用于力学，而且适用于所有的物理学分支。这意味着，无论你在哪个惯性参考系中，描述物理现象的基本方程都应该是一样的。这体现了自然规律的普遍性和统一性。

爱因斯坦相对性原理是狭义相对论的基石，它深刻地影响了我们对空间、时间和运动的理解。它与光速不变原理共同构成了狭义相对论的两大基本支柱。

9.1.2 光速不变原理 (Principle of Constancy of the Speed of Light)

摘要

阐述光速不变原理的内容，强调真空中的光速对所有惯性参考系中的观察者都是相同的。

① 光速不变原理的内容

光速不变原理是狭义相对论的第二个基本假设，它指出：

真空中的光速 \(c\) 在所有惯性参考系中，对所有观察者来说，都是一个常数，与光源的运动状态无关。

这个原理最初看起来似乎与我们的日常经验相悖。在经典物理学中，速度是相对的，例如，如果你在一个运动的火车上朝火车前进方向扔出一个球，地面上的观察者会看到球的速度是火车速度加上你扔球的速度。但是，光速不变原理却告诉我们，对于光来说，情况并非如此。无论光源或者观察者如何运动，真空中的光速始终保持不变。

② 实验基础：迈克尔逊-莫雷实验 (Michelson-Morley Experiment)

光速不变原理并非凭空臆想，而是建立在实验基础之上的。其中最重要的实验就是迈克尔逊-莫雷实验 (Michelson-Morley Experiment)。

在19世纪末，物理学家普遍认为光是一种电磁波，而波的传播需要介质。他们假设存在一种称为以太 (ether) 的神秘介质，光波就是以太中的振动。如果以太存在，那么地球在围绕太阳运动的过程中，相对于以太应该是运动的，这就类似于船在水中的运动会受到水流的影响一样。地球相对于以太的运动应该会影响到光速的测量结果。

为了验证以太的存在并测量地球相对于以太的运动速度，阿尔伯特·迈克尔逊 (Albert Michelson) 和爱德华·莫雷 (Edward Morley) 设计了精密的干涉实验。他们的实验装置，即迈克尔逊干涉仪 (Michelson interferometer)，可以非常精确地测量不同方向上的光速差异。

实验的预期结果是，由于地球相对于以太运动（即“以太风”），在地球运动方向和垂直于地球运动方向上测得的光速应该存在微小的差异。然而，迈克尔逊-莫雷实验的惊人结果是：无论实验装置如何旋转，无论地球在轨道上的位置如何变化，都没有探测到任何光速的差异。实验结果与以太存在的理论预言完全不符，光速在所有方向上都是相同的，并且与地球的运动状态无关。

迈克尔逊-莫雷实验的零结果给经典物理学带来了巨大的冲击。它表明，以太可能并不存在，或者至少以太的性质与人们之前的设想大相径庭。更重要的是，这个实验结果有力地支持了光速不变原理。

③ 光速不变原理的意义

光速不变原理是狭义相对论的核心支柱之一。它与相对性原理结合，彻底颠覆了经典物理学中关于空间和时间的绝对观念，并由此导出了许多令人惊讶的相对论效应，例如时间膨胀、长度收缩、质能方程 \(E=mc^2\) 等。

光速不变原理不仅仅是一个实验事实，更是一个深刻的物理学原理。它揭示了光速在自然界中的特殊地位，光速 \(c\) 不仅仅是光的传播速度，更是自然界中速度的上限，任何物质或信息的传递速度都不能超过光速。

总结来说，光速不变原理是狭义相对论的基石，它基于实验事实，并对我们理解宇宙的 fundamental (fundamental) 性质产生了深远的影响。

9.2 洛伦兹变换与相对论效应 (Lorentz Transformation and Relativistic Effects)

摘要

介绍洛伦兹变换 (Lorentz Transformation)，推导时间膨胀 (Time Dilation) 和长度收缩 (Length Contraction) 公式，讨论相对论效应的物理意义。

9.2.1 洛伦兹变换 (Lorentz Transformation)

摘要

推导洛伦兹变换公式，阐述洛伦兹变换与伽利略变换的区别。

① 伽利略变换的局限性

在经典力学中，我们使用伽利略变换来联系不同惯性参考系中的时空坐标。然而，伽利略变换与光速不变原理相矛盾。根据伽利略变换，如果在一个参考系中光速为 \(c\)，那么在另一个相对运动的参考系中，光速就不再是 \(c\) 了。这与光速不变原理相悖。因此，为了协调相对性原理和光速不变原理，我们需要寻找一种新的坐标变换关系，这就是洛伦兹变换。

② 洛伦兹变换的推导

洛伦兹变换是一组线性变换，它保持了光速不变性，并且在低速极限下可以近似为伽利略变换。我们考虑两个惯性参考系 \(S\) 和 \(S'\)，参考系 \(S'\) 相对于参考系 \(S\) 以速度 \(v\) 沿 \(x\) 轴正方向运动。假设在 \(t=t'=0\) 时刻，两个参考系的原点重合。

我们寻求的洛伦兹变换形式应该满足以下条件：

⚝ 线性性 (Linearity)：为了保证时空的均匀性，变换必须是线性的。
⚝ 相对性原理 (Principle of Relativity)：\(S\) 系到 \(S'\) 系的变换和 \(S'\) 系到 \(S\) 系的变换应该是对称的，只是速度方向相反。
⚝ 光速不变性 (Constancy of the Speed of Light)：如果一个光信号在 \(S\) 系中沿 \(x\) 轴传播，满足 \(x = ct\)，那么在 \(S'\) 系中，也必须满足 \(x' = ct'\)。
⚝ 低速极限 (Low-speed limit)：当 \(v \ll c\) 时，洛伦兹变换应该近似退化为伽利略变换。

基于以上条件，可以推导出洛伦兹变换的具体形式。推导过程较为繁琐，这里我们直接给出结果：

\[ \begin{aligned} t' &= \gamma \left(t - \frac{v}{c^2} x\right) \\ x' &= \gamma (x - vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \end{aligned} \]

其中， \(\gamma\) 称为洛伦兹因子 (Lorentz factor)，定义为：

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \]

这里 \(\beta = \frac{v}{c}\) 是速度 \(v\) 与光速 \(c\) 的比值。

③ 洛伦兹变换的性质

⚝ 当 \(v \ll c\) 时，\(\beta = \frac{v}{c} \approx 0\)，\(\gamma \approx 1\)，洛伦兹变换近似退化为伽利略变换：
\[ \begin{aligned} t' &\approx t \\ x' &\approx x - vt \\ y' &= y \\ z' &= z \end{aligned} \]
这表明在低速情况下，狭义相对论与经典力学的结果非常接近，符合经典力学在低速宏观世界中的成功应用。

⚝ 光速不变性验证：假设在 \(S\) 系中，光信号沿 \(x\) 轴传播，满足 \(x = ct\)，代入洛伦兹变换：
\[ \begin{aligned} t' &= \gamma \left(t - \frac{v}{c^2} (ct)\right) = \gamma t \left(1 - \frac{v}{c}\right) \\ x' &= \gamma (ct - vt) = \gamma t (c - v) \end{aligned} \]
计算 \(S'\) 系中的光速 \(c'\)：
\[ c' = \frac{x'}{t'} = \frac{\gamma t (c - v)}{\gamma t \left(1 - \frac{v}{c}\right)} = \frac{c - v}{1 - \frac{v}{c}} = \frac{c(1 - \frac{v}{c})}{1 - \frac{v}{c}} = c \]
可见，在 \(S'\) 系中，光速仍然是 \(c\)，洛伦兹变换保证了光速不变性。

⚝ 逆变换 (Inverse Transformation)：从 \(S'\) 系变换回 \(S\) 系，只需要将 \(v\) 替换为 \(-v\)，并交换 primed 和 unprimed 坐标：
\[ \begin{aligned} t &= \gamma \left(t' + \frac{v}{c^2} x'\right) \\ x &= \gamma (x' + vt') \\ y &= y' \\ z &= z' \end{aligned} \]

洛伦兹变换是狭义相对论的核心数学工具，通过洛伦兹变换，我们可以推导出各种相对论效应，例如时间膨胀和长度收缩。

9.2.2 时间膨胀与长度收缩 (Time Dilation and Length Contraction)

摘要

用洛伦兹变换推导时间膨胀和长度收缩公式，分析相对论效应的物理意义。

① 时间膨胀 (Time Dilation)

考虑一个静止在 \(S'\) 系中的时钟，它在 \(S'\) 系中测量两个事件的时间间隔为 \(\Delta t' = t'_2 - t'_1\)。这两个事件发生在 \(S'\) 系中的同一地点，即 \(x'_2 = x'_1\)。我们希望计算在 \(S\) 系中观察到的这两个事件的时间间隔 \(\Delta t = t_2 - t_1\)。

根据洛伦兹变换的逆变换：
\[ t = \gamma \left(t' + \frac{v}{c^2} x'\right) \]
对于两个事件，我们有：
\[ \begin{aligned} t_1 &= \gamma \left(t'_1 + \frac{v}{c^2} x'_1\right) \\ t_2 &= \gamma \left(t'_2 + \frac{v}{c^2} x'_2\right) \end{aligned} \]
时间间隔为：
\[ \Delta t = t_2 - t_1 = \gamma \left(t'_2 - t'_1 + \frac{v}{c^2} (x'_2 - x'_1)\right) \]
由于两个事件发生在 \(S'\) 系的同一地点，\(x'_2 = x'_1\)，所以 \(x'_2 - x'_1 = 0\)。因此：
\[ \Delta t = \gamma (t'_2 - t'_1) = \gamma \Delta t' \]
由于 \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \ge 1\)，所以 \(\Delta t \ge \Delta t'\)。这意味着，对于静止在 \(S'\) 系中的时钟，在 \(S\) 系中观察到的时间间隔 \(\Delta t\) 比在 \(S'\) 系中自身测量的时间间隔 \(\Delta t'\) 要长。这就是时间膨胀效应。

⚝ 固有时间 (Proper Time)：在与时钟相对静止的参考系中测量的时间间隔 \(\Delta t'\) 称为固有时间。固有时间是最短的时间间隔。
⚝ 运动的时钟变慢：相对于观察者运动的时钟，时间会变慢。速度 \(v\) 越大，\(\gamma\) 越大，时间膨胀效应越明显。当 \(v \to c\) 时，\(\gamma \to \infty\)，时间膨胀趋于无穷大。

② 长度收缩 (Length Contraction)

考虑一根静止在 \(S'\) 系中的杆，杆的长度方向沿 \(x'\) 轴，杆在 \(S'\) 系中测量的长度为 \(L_0 = x'_2 - x'_1\)。我们希望计算在 \(S\) 系中观察到的这根杆的长度 \(L = x_2 - x_1\)。

为了测量杆在 \(S\) 系中的长度，我们需要同时测量杆两端在 \(S\) 系中的坐标 \(x_1\) 和 \(x_2\)，即要求测量时刻相同 \(t_1 = t_2\)。

根据洛伦兹变换：
\[ \begin{aligned} x'_1 &= \gamma (x_1 - vt_1) \\ x'_2 &= \gamma (x_2 - vt_2) \end{aligned} \]
由于我们要求 \(t_1 = t_2\)，所以 \(t_1 - t_2 = 0\)。杆在 \(S'\) 系中的长度为：
\[ L_0 = x'_2 - x'_1 = \gamma (x_2 - vt_2) - \gamma (x_1 - vt_1) = \gamma (x_2 - x_1) - \gamma v (t_2 - t_1) = \gamma (x_2 - x_1) = \gamma L \]
因此，杆在 \(S\) 系中观察到的长度为：
\[ L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
由于 \(\gamma \ge 1\)，所以 \(L \le L_0\)。这意味着，对于静止在 \(S'\) 系中的杆，在 \(S\) 系中观察到的长度 \(L\) 比在 \(S'\) 系中自身测量的长度 \(L_0\) 要短。这就是长度收缩效应，也称为洛伦兹收缩 (Lorentz contraction)。

⚝ 固有长度 (Proper Length)：在与杆相对静止的参考系中测量的长度 \(L_0\) 称为固有长度。固有长度是最长的长度。
⚝ 运动的物体沿运动方向缩短：相对于观察者运动的物体，沿运动方向的长度会缩短。速度 \(v\) 越大，\(\gamma\) 越大，长度收缩效应越明显。当 \(v \to c\) 时，\(\gamma \to \infty\)，长度 \(L \to 0\)。

③ 相对论效应的物理意义

时间膨胀和长度收缩是狭义相对论中非常重要的相对论效应。它们表明，时间和空间并不是绝对的，而是相对的，它们会随着观察者相对运动状态的变化而变化。这些效应在高速运动的情况下变得显著，例如在粒子物理学 (Particle Physics) 和宇宙射线 (Cosmic Rays) 研究中，相对论效应是不可忽略的。

例如，μ子 (muon) 是一种寿命很短的粒子，它产生于高层大气中宇宙射线与空气分子的相互作用。μ子的平均寿命约为 \(2.2 \times 10^{-6} \, \text{s}\)。如果按照经典物理学计算，即使以接近光速的速度运动，μ子在寿命期内也只能运动约 \(660 \, \text{m}\) 的距离，远不足以到达地面。然而，实际上我们在地面上可以探测到大量的μ子。这正是时间膨胀效应的体现。对于高速运动的μ子，地球上的观察者看来，它的寿命被显著延长了，因此有足够的时间到达地面。

长度收缩效应在高速飞行器的设计中也需要考虑。例如，当飞行器以接近光速的速度飞行时，飞行器沿运动方向的长度会发生显著收缩。

总而言之，时间膨胀和长度收缩等相对论效应是狭义相对论的重要组成部分，它们揭示了高速运动下时空性质的深刻变化，并对我们理解宇宙和技术发展具有重要的意义。

10. 非线性动力学与混沌简介 (Introduction to Nonlinear Dynamics and Chaos)

摘要

本章简要介绍非线性动力学 (Nonlinear Dynamics)和混沌理论 (Chaos Theory)的基本概念，包括线性系统 (Linear Systems)与非线性系统 (Nonlinear Systems)、混沌现象 (Chaos Phenomena)、吸引子 (Attractors)等，为探索复杂系统行为提供初步认识。

10.1 线性系统与非线性系统 (Linear and Nonlinear Systems)

摘要

区分线性系统 (Linear Systems)和非线性系统 (Nonlinear Systems)，分析非线性系统 (Nonlinear Systems)可能出现的复杂行为。

10.1.1 线性系统的特点 (Characteristics of Linear Systems)

线性系统 (Linear Systems)在物理学和数学中占据着基础且重要的地位。理解线性系统的特性，有助于我们更好地认识和区分非线性系统 (Nonlinear Systems)，并为后续深入研究非线性动力学 (Nonlinear Dynamics)和混沌 (Chaos)奠定基础。

① 叠加原理 (Superposition Principle)：
这是线性系统最核心的特征之一。叠加原理指出，如果 \(x_1(t)\) 是系统对输入 \(f_1(t)\) 的响应，\(x_2(t)\) 是系统对输入 \(f_2(t)\) 的响应，那么对于输入 \(c_1f_1(t) + c_2f_2(t)\) （其中 \(c_1\) 和 \(c_2\) 是常数），系统的响应将是 \(c_1x_1(t) + c_2x_2(t)\)。换句话说，线性系统的总响应等于各个独立输入响应的线性组合。

▮▮▮▮数学表达：
设线性算符为 \(L\)，则叠加原理可以表示为：
\[ L(c_1f_1(t) + c_2f_2(t)) = c_1L(f_1(t)) + c_2L(f_2(t)) \]

▮▮▮▮物理意义：
在物理上，叠加原理意味着多个作用可以简单地加和。例如，在简谐振动 (Simple Harmonic Motion, SHM)中，如果两个简谐力同时作用在一个物体上，总的力就是这两个力的矢量和，物体的运动也是由这两个力分别引起的运动的叠加。

② 比例性 (Proportionality)：
线性系统还具有比例性，也称为齐次性。这意味着如果输入信号的幅度增加一个比例因子，输出信号的幅度也会按相同的比例因子增加。

▮▮▮▮数学表达：
对于线性算符 \(L\)，比例性可以表示为：
\[ L(cf(t)) = cL(f(t)) \]
其中 \(c\) 是任意常数。

▮▮▮▮物理意义：
如果施加在线性弹簧上的力增加一倍，弹簧的伸长量也会增加一倍（在弹性限度内）。这种比例关系使得线性系统的行为预测变得简单直接。

③ 可预测性 (Predictability)：
线性系统的行为通常是可预测的。由于满足叠加原理和比例性，我们可以通过分析系统的基本响应来预测系统对复杂输入的响应。线性系统的解通常具有相对简单的数学形式，例如指数函数、三角函数等，易于分析和求解。

④ 频率不变性 (Frequency Invariance)：
对于线性时不变系统 (Linear Time-Invariant System, LTI)，如果输入信号是单一频率的正弦波，则输出信号也是相同频率的正弦波，只是幅度和相位可能发生改变。线性系统不会产生新的频率成分。

⑤ 稳定性 (Stability)：
线性系统的稳定性相对容易分析和保证。对于有界输入，线性系统通常能够产生有界输出，不会出现无界或发散的行为。

经典力学中的线性系统示例：

⚝ 简谐振动 (Simple Harmonic Motion, SHM)：理想的弹簧振子、单摆在小角度摆动时的运动等，都近似为线性系统。其回复力与位移成正比，运动方程是线性微分方程。
⚝ 线性电路 (Linear Circuits)：由线性元件（电阻、电容、电感）组成的电路，满足叠加原理和比例性，可以用线性微分方程描述。
⚝ 小振幅波动 (Small Amplitude Waves)：例如，声波在空气中的传播，在小振幅近似下可以视为线性波动。

总结：
线性系统的特点使其在物理学、工程学等领域得到了广泛的应用。它们的行为相对简单、可预测，易于分析和设计。然而，现实世界中许多系统本质上是非线性的，线性近似只能在一定条件下适用。理解线性系统的局限性，正是我们研究非线性系统 (Nonlinear Systems)的动力和必要性。

10.1.2 非线性系统的特点与复杂行为 (Characteristics of Nonlinear Systems and Complex Behaviors)

与线性系统 (Linear Systems)相比，非线性系统 (Nonlinear Systems)的行为更加丰富多彩，也更难以预测和分析。非线性是自然界中普遍存在的现象，许多实际系统本质上都是非线性的。理解非线性系统的特点，对于我们认识复杂现象，例如混沌 (Chaos)，至关重要。

① 非叠加性 (Non-superposition)：
非线性系统 (Nonlinear Systems)不满足叠加原理。这意味着，对于非线性系统，输入 \(f_1(t) + f_2(t)\) 产生的响应 不等于 输入 \(f_1(t)\) 和 \(f_2(t)\) 分别产生的响应之和。

▮▮▮▮数学表达：
对于非线性算符 \(N\)，通常有：
\[ N(f_1(t) + f_2(t)) \neq N(f_1(t)) + N(f_2(t)) \]

▮▮▮▮物理意义：
在非线性系统中，各个作用之间会相互影响，产生耦合效应。例如，在强激光与物质相互作用中，总的效应不是各个光子独立作用的简单叠加，而是会发生复杂的非线性光学现象。

② 非比例性 (Non-proportionality)：
非线性系统 (Nonlinear Systems)也不满足比例性。输入信号幅度的变化与输出信号幅度的变化之间 不是 简单的比例关系。

▮▮▮▮数学表达：
对于非线性算符 \(N\)，通常有：
\[ N(cf(t)) \neq cN(f(t)) \]

▮▮▮▮物理意义：
例如，考虑一个受力过大的弹簧，当外力超过弹性限度后，弹簧的伸长量与外力之间不再是线性关系，甚至可能发生塑性变形或断裂。

③ 多解性与分岔 (Multi-stability and Bifurcation)：
非线性系统 (Nonlinear Systems)可能存在多个稳定状态（多解性）。随着系统参数的改变，系统的稳定状态可能会发生突变，即分岔 (Bifurcation)。分岔会导致系统行为发生质的变化，例如从稳定状态变为周期振荡，或从周期振荡变为混沌 (Chaos)。

▮▮▮▮示例：逻辑斯蒂映射 (Logistic Map)
逻辑斯蒂映射是一个经典的非线性动力学模型，其迭代方程为：
\[ x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) \]
其中 \(x_n\) 是在第 \(n\) 次迭代时的值，\(r\) 是控制参数。当改变参数 \(r\) 时，系统的行为会发生分岔：

⚝ 当 \(r\) 较小时，系统趋于一个稳定的不动点。
⚝ 随着 \(r\) 增大，不动点可能变得不稳定，系统进入周期2振荡。
⚝ 继续增大 \(r\)，系统可能经历一系列周期倍增分岔，最终进入混沌 (Chaos)状态。

④ 混沌现象 (Chaos Phenomena)：
混沌 (Chaos)是非线性系统最引人注目的复杂行为之一。混沌 (Chaos)系统表现出对初始条件的极端敏感依赖性，即“蝴蝶效应 (Butterfly Effect)”。微小的初始条件差异会在长时间后导致系统行为的巨大差异，使得长期预测变得不可能。

▮▮▮▮混沌的特征：
⚝ 对初始条件的敏感依赖性 (Sensitive Dependence on Initial Conditions)：微小的初始条件差异指数级增长。
⚝ 遍历性 (Ergodicity)：系统在相空间中遍历一定的区域。
⚝ 确定性 (Determinism)：系统行为完全由确定性的方程决定，但表现出随机性。
⚝ 非周期性 (Aperiodicity)：系统不呈现周期性或准周期性行为。

⑤ 自组织与涌现 (Self-organization and Emergence)：
非线性系统 (Nonlinear Systems)常常表现出自组织和涌现现象。系统在没有外部指令的情况下，自发地形成有序结构或复杂的行为模式。涌现 (Emergence)指的是系统的整体行为不是其组成部分行为的简单叠加，而是涌现出新的、不可预测的性质。

▮▮▮▮示例：流体湍流 (Fluid Turbulence)
流体湍流是一种典型的非线性现象。在湍流中，流体的运动表现出高度的无序性和复杂性，但同时也存在着各种尺度的涡旋结构，这些结构是自组织形成的。湍流的整体行为远比单个流体分子的行为复杂得多，体现了涌现的特性。

经典力学中的非线性系统示例：

⚝ 非线性摆 (Nonlinear Pendulum)：单摆在大角度摆动时，回复力与摆角不再是线性关系，运动方程变为非线性微分方程。
⚝ 行星运动中的摄动 (Perturbations in Planetary Motion)：考虑多个行星之间的引力相互作用时，行星运动方程变为非线性，可能出现复杂的轨道共振和混沌 (Chaos)行为。
⚝ Duffing 振子 (Duffing Oscillator)：一种典型的非线性振荡器，其回复力包含非线性项，可以表现出分岔、混沌 (Chaos)等复杂行为。

总结：
非线性系统 (Nonlinear Systems)的特点使其行为异常丰富和复杂，但也为我们理解自然界的复杂现象提供了重要的工具和视角。从混沌 (Chaos)到自组织，非线性动力学揭示了看似无序的现象背后可能存在的深刻规律。研究非线性系统 (Nonlinear Systems)不仅具有重要的理论意义，也在工程技术、生物科学、经济学等领域有着广泛的应用前景。

10.2 混沌现象与吸引子 (Chaos and Attractors)

摘要

介绍混沌现象 (Chaos Phenomena)的特点，定义吸引子 (Attractors)的概念，为理解混沌动力学 (Chaos Dynamics)提供基本框架。

10.2.1 混沌的定义与特征 (Definition and Characteristics of Chaos)

混沌 (Chaos)是非线性动力学 (Nonlinear Dynamics)中一个核心概念，描述了确定性系统表现出的看似随机和不可预测的行为。尽管混沌 (Chaos)系统由完全确定的方程控制，但由于其对初始条件的极端敏感性，使得长期预测变得不可能。

① 混沌的定义 (Definition of Chaos)：
严格的数学定义混沌 (Chaos)涉及多个方面，但从物理学的角度，我们可以将混沌 (Chaos)系统定义为：

▮▮▮▮定义：
一个确定性动力学系统，如果满足以下条件，则称其表现出混沌 (Chaos)行为：
▮▮▮▮ⓐ 对初始条件的敏感依赖性 (Sensitive Dependence on Initial Conditions)：系统轨道对初始条件的微小扰动呈指数发散。
▮▮▮▮ⓑ 拓扑传递性 (Topological Transitivity)：系统在相空间中具有混合性质，即系统轨道可以从相空间的任何一个区域到达任何其他区域。
▮▮▮▮ⓒ 稠密周期轨道 (Dense Periodic Orbits)：系统相空间中周期轨道是稠密的。

这些条件确保了混沌 (Chaos)系统既具有确定性，又表现出不可预测的复杂行为。

② 混沌的特征 (Characteristics of Chaos)：

▮▮▮▮ⓐ 对初始条件的敏感依赖性 (Sensitive Dependence on Initial Conditions) - 蝴蝶效应 (Butterfly Effect)：
这是混沌 (Chaos)最著名的特征，也称为“蝴蝶效应 (Butterfly Effect)”。它指的是初始条件的微小变化，经过一段时间的演化，可能导致系统状态的巨大差异。形象地说，亚马逊雨林中一只蝴蝶扇动翅膀，可能最终导致德克萨斯州的一场龙卷风。

▮▮▮▮李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponent)：
李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponent)是定量描述系统对初始条件敏感依赖性的重要指标。正的李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponent)意味着系统存在混沌 (Chaos)。如果初始条件的微小偏差为 \(\delta_0\)，经过时间 \(t\) 后，偏差变为 \(\delta(t)\)，则对于混沌 (Chaos)系统，通常有：
\[ |\delta(t)| \approx |\delta_0| e^{\lambda t} \]
其中 \(\lambda > 0\) 就是李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponent)。正的 \(\lambda\) 表明偏差随时间指数增长。

▮▮▮▮ⓑ 遍历性 (Ergodicity)：
混沌 (Chaos)系统在相空间中具有遍历性，意味着系统轨道会访问相空间的各个区域。长时间的系统演化轨迹会稠密地覆盖相空间中的某个区域，而不是局限在某个周期轨道或不动点附近。

▮▮▮▮ⓒ 确定性与随机性 (Determinism and Randomness)：
混沌 (Chaos)系统是确定性的，其行为完全由确定的动力学方程决定，没有 任何随机因素的介入。然而，由于对初始条件的敏感依赖性，使得混沌 (Chaos)系统的长期行为看起来是随机的，难以预测，类似于随机过程。这种“确定性随机性”是混沌 (Chaos)的一个重要特点。

▮▮▮▮ⓓ 非周期性 (Aperiodicity)：
混沌 (Chaos)系统的轨道是非周期性的，不会重复自身。虽然系统可能在相空间中反复访问某些区域，但不会形成周期性的循环。

▮▮▮▮ⓔ 普适性 (Universality)：
混沌 (Chaos)现象在各种不同类型的非线性系统 (Nonlinear Systems)中普遍存在，从物理系统（流体湍流、激光、电路）到生物系统（心跳、神经元网络）再到社会经济系统（股票市场、天气预报）等。不同系统中的混沌 (Chaos)行为可能具有相似的统计特性和分形结构，体现了混沌 (Chaos)的普适性。

混沌的经典力学示例：

⚝ 三体问题 (Three-body Problem)：在天体力学中，三个或更多天体在引力相互作用下的运动，通常表现出混沌 (Chaos)行为。行星轨道可能变得不稳定，甚至发生碰撞或逃逸。
⚝ 双摆 (Double Pendulum)：由两个摆杆串联而成的摆，其运动方程是非线性的，可以表现出混沌 (Chaos)。双摆的运动轨迹非常复杂，难以预测。
⚝ 保龄球瓶的倒塌 (Toppling of Bowling Pins)：保龄球瓶在受到撞击后倒塌的过程，由于涉及复杂的碰撞和非线性力学，也可能表现出混沌 (Chaos)特性。

总结：
混沌 (Chaos)是一种普遍存在于非线性系统 (Nonlinear Systems)中的复杂行为。理解混沌 (Chaos)的定义和特征，有助于我们认识到确定性系统也可能产生不可预测的、看似随机的行为。混沌理论 (Chaos Theory)不仅改变了我们对确定性系统的认识，也为理解自然界和人类社会中的复杂现象提供了新的视角和方法。

10.2.2 吸引子的类型 (Types of Attractors)

在动力学系统 (Dynamical Systems)的相空间中，吸引子 (Attractors)描述了系统长时间演化后最终趋向的状态或集合。对于不同的动力学系统，吸引子 (Attractors)可以有不同的类型，反映了系统不同的长期行为。

① 吸引子的定义 (Definition of Attractor)：

▮▮▮▮定义：
在相空间 \(\mathcal{M}\) 中，一个吸引子 (Attractor) \(\mathcal{A}\) 是一个集合，满足以下条件：
▮▮▮▮ⓐ \(\mathcal{A}\) 是 \(\mathcal{M}\) 的子集。
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(\mathcal{A}\) 邻域内的初始条件出发的轨道，当时间 \(t \to \infty\) 时，都趋向于 \(\mathcal{A}\)。
▮▮▮▮ⓒ \(\mathcal{A}\) 是最小的具有性质 (ⓑ) 的闭集。

简单来说，吸引子 (Attractor)就是系统长时间演化后“吸引”轨道进入的相空间区域。

② 吸引子的类型 (Types of Attractors)：

▮▮▮▮ⓐ 点吸引子 (Point Attractor)：
点吸引子 (Point Attractor)是最简单的吸引子 (Attractor)类型，对应于系统最终趋于一个稳定的平衡点或不动点。从吸引域内的任何初始条件出发，系统轨道最终都会收敛到这个点。

▮▮▮▮示例：阻尼振子 (Damped Oscillator)
考虑一个阻尼振动 (Damped Oscillation)系统，例如一个在阻力作用下的弹簧振子。如果阻尼足够大，系统最终会停止振动，回到平衡位置。平衡位置就是这个系统的点吸引子 (Point Attractor)。

▮▮▮▮ⓑ 极限环吸引子 (Limit Cycle Attractor)：
极限环吸引子 (Limit Cycle Attractor)对应于系统最终趋于一个稳定的周期性振荡。系统轨道在相空间中围绕一个闭合曲线（极限环）运动。从极限环附近的初始条件出发，轨道会逐渐螺旋式地靠近极限环。

▮▮▮▮示例：范德堡振子 (Van der Pol Oscillator)
范德堡振子是一个经典的自激振荡系统，其运动方程为非线性微分方程。范德堡振子可以产生稳定的周期性振荡，其相空间轨迹会收敛到一个极限环吸引子 (Limit Cycle Attractor)。

▮▮▮▮ⓒ 环面吸引子 (Torus Attractor)：
环面吸引子 (Torus Attractor)对应于系统最终趋于准周期运动。系统轨道在相空间中运动在一个环面上，表现出多个频率的周期性运动的叠加。

▮▮▮▮示例：耦合振子 (Coupled Oscillators)
两个或多个耦合的振子系统，如果频率之间存在无理数关系，可能产生准周期运动，其相空间轨迹会位于一个环面吸引子 (Torus Attractor)上。

▮▮▮▮ⓓ 奇怪吸引子 (Strange Attractor)：
奇怪吸引子 (Strange Attractor)是混沌 (Chaos)系统特有的吸引子 (Attractor)类型。奇怪吸引子 (Strange Attractor)具有以下特点：

⚝ 分形结构 (Fractal Structure)：奇怪吸引子 (Strange Attractor)具有复杂的分形几何结构，具有自相似性，在不同尺度下都呈现出相似的精细结构。
⚝ 非整数维数 (Non-integer Dimension)：奇怪吸引子 (Strange Attractor)的维数通常是分数维，介于整数维之间。
⚝ 对初始条件的敏感依赖性 (Sensitive Dependence on Initial Conditions)：在奇怪吸引子 (Strange Attractor)上运动的轨道仍然表现出对初始条件的敏感依赖性，相邻轨道会指数发散。

▮▮▮▮示例：洛伦兹吸引子 (Lorenz Attractor)
洛伦兹吸引子是混沌 (Chaos)理论中最著名的奇怪吸引子 (Strange Attractor)之一，由气象学家爱德华·洛伦兹在研究大气对流时发现。洛伦兹吸引子具有蝴蝶形状的分形结构，其轨道在吸引子上不规则地运动，表现出混沌 (Chaos)行为。

▮▮▮▮示例：Rössler 吸引子 (Rössler Attractor)
Rössler 吸引子是另一个经典的奇怪吸引子 (Strange Attractor)，由 Otto Rössler 提出。Rössler 吸引子具有卷曲的带状结构，其轨道在带状结构上缠绕运动，也表现出混沌 (Chaos)行为。

总结：
吸引子 (Attractors)是描述动力学系统 (Dynamical Systems)长期行为的重要概念。不同类型的吸引子 (Attractors)对应于系统不同的最终状态，从简单的平衡点、周期振荡到复杂的混沌 (Chaos)行为。奇怪吸引子 (Strange Attractor)是混沌 (Chaos)系统的标志性特征，其分形结构和对初始条件的敏感依赖性，揭示了混沌 (Chaos)的本质和复杂性。研究吸引子 (Attractors)有助于我们理解和分类各种动力学系统 (Dynamical Systems)的长期行为，并深入认识非线性动力学 (Nonlinear Dynamics)和混沌理论 (Chaos Theory)的精髓。

Appendix A: 数学基础补充 (Mathematical Background Supplement)

本附录补充经典力学学习中常用的数学知识，包括矢量运算、微分方程求解、特殊函数等。

Appendix A1: 矢量运算 (Vector Operations)

本节回顾经典力学中常用的矢量代数和矢量微积分知识，包括矢量的基本运算、标量积、矢量积、以及矢量场的梯度、散度、旋度等重要概念。

Appendix A1.1: 矢量的基本运算 (Basic Vector Operations)

矢量 (vector) 是既有大小又有方向的物理量，在经典力学中用于描述位移、速度、力等。理解矢量的基本运算是学习力学的基石。

① 矢量加法 (Vector Addition)：
给定两个矢量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \)，它们的和 \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \) 仍然是一个矢量。矢量加法满足平行四边形法则或三角形法则。
假设在直角坐标系中，\( \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) \) 和 \( \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) \)，则它们的和为：
\[ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) \]
矢量加法满足交换律和结合律：
\[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \]
\[ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \]

② 矢量减法 (Vector Subtraction)：
矢量减法可以看作是加上一个反向矢量。\( \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \)。
在直角坐标系中：
\[ \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) \]

③ 矢量与标量乘法 (Scalar Multiplication)：
标量 (scalar) 是只有大小没有方向的物理量。矢量 \( \vec{a} \) 与标量 \( k \) 的乘积 \( k\vec{a} \) 仍然是一个矢量，其大小变为原来的 \( |k| \) 倍，方向与 \( \vec{a} \) 相同（如果 \( k > 0 \)）或相反（如果 \( k < 0 \)）。
在直角坐标系中：
\[ k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z) \]

Appendix A1.2: 标量积 (Scalar Product)

标量积，也称为点积 (dot product)，是两个矢量的一种乘法运算，结果是一个标量。

① 定义：
两个矢量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的标量积定义为：
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta \]
其中 \( |\vec{a}| \) 和 \( |\vec{b}| \) 分别是矢量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的模 (magnitude)，\( \theta \) 是它们之间的夹角。

② 坐标表示：
在直角坐标系中，标量积可以表示为：
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]

③ 性质：
⚝ 交换律：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
⚝ 分配律：\( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \)
⚝ 如果 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)，且 \( \vec{a} \neq \vec{0} \) 和 \( \vec{b} \neq \vec{0} \)，则 \( \vec{a} \perp \vec{b} \) (垂直)。

④ 应用：
标量积常用于计算力做功、投影等。例如，力 \( \vec{F} \) 做功 \( W \)，在位移 \( \vec{d} \) 上可以表示为 \( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)。

Appendix A1.3: 矢量积 (Vector Product)

矢量积，也称为叉积 (cross product)，是两个矢量的另一种乘法运算，结果是一个矢量。

① 定义：
两个矢量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的矢量积 \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) 定义为一个新的矢量，其模为：
\[ |\vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \]
其中 \( \theta \) 是 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 之间的夹角。矢量 \( \vec{c} \) 的方向垂直于 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 所在的平面，并由右手螺旋法则 (right-hand rule) 确定。

② 坐标表示：
在直角坐标系中，矢量积可以表示为：
\[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) \]
或者使用行列式 (determinant) 形式更易于记忆：
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y) \hat{i} - (a_x b_z - a_z b_x) \hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{k} \]
其中 \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) 分别是 \( x, y, z \) 轴的单位矢量 (unit vector)。

③ 性质：
⚝ 反交换律：\( \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) \)
⚝ 分配律：\( \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \)
⚝ 如果 \( \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \)，且 \( \vec{a} \neq \vec{0} \) 和 \( \vec{b} \neq \vec{0} \)，则 \( \vec{a} \parallel \vec{b} \) (平行)。

④ 应用：
矢量积常用于计算力矩 (torque)、角速度 (angular velocity) 等。例如，力 \( \vec{F} \) 对参考点 \( O \) 的力矩 \( \vec{\tau} \)，作用在位置矢量为 \( \vec{r} \) 的点上，可以表示为 \( \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \)。

Appendix A1.4: 矢量场的梯度、散度与旋度 (Gradient, Divergence, and Curl of Vector Fields)

矢量场 (vector field) 是空间中每一点都对应一个矢量的函数。在连续介质力学和场论中，梯度、散度、旋度是描述矢量场性质的重要微分算符 (differential operator)。

① 梯度 (Gradient)：
梯度作用于标量场 (scalar field) \( \phi(x, y, z) \)，结果是一个矢量场，表示标量场变化最快的方向和速率。
在直角坐标系中，梯度算符 \( \nabla \) (nabla) 定义为：
\[ \nabla = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \]
标量场 \( \phi \) 的梯度为：
\[ \nabla \phi = \text{grad} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} \]
梯度 \( \nabla \phi \) 指向标量场 \( \phi \) 增长最快的方向，其模 \( |\nabla \phi| \) 表示该方向上的最大变化率。

② 散度 (Divergence)：
散度作用于矢量场 \( \vec{v}(x, y, z) \)，结果是一个标量场，表示矢量场在某点发散或汇聚的程度。
矢量场 \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \) 的散度定义为：
\[ \nabla \cdot \vec{v} = \text{div} \vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \]
如果 \( \nabla \cdot \vec{v} > 0 \)，表示该点是矢量场的源 (source)；如果 \( \nabla \cdot \vec{v} < 0 \)，表示该点是矢量场的汇 (sink)；如果 \( \nabla \cdot \vec{v} = 0 \)，表示矢量场是无源场 (solenoidal field)。

③ 旋度 (Curl)：
旋度作用于矢量场 \( \vec{v}(x, y, z) \)，结果是一个矢量场，表示矢量场在某点旋转的程度和方向。
矢量场 \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \) 的旋度定义为：
\[ \nabla \times \vec{v} = \text{curl} \vec{v} = \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \hat{k} \]
也可以用行列式形式表示：
\[ \nabla \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} \]
如果 \( \nabla \times \vec{v} = \vec{0} \)，表示矢量场是无旋场 (irrotational field) 或保守场 (conservative field)。

④ 拉普拉斯算符 (Laplacian Operator)：
拉普拉斯算符 \( \nabla^2 \) 是一个常用的二阶微分算符，定义为散度算符和梯度算符的复合：
\[ \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]
对于标量场 \( \phi \)，拉普拉斯算符作用为：
\[ \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \]
拉普拉斯算符在物理学中广泛应用，例如拉普拉斯方程 (Laplace's equation) \( \nabla^2 \phi = 0 \) 和泊松方程 (Poisson's equation) \( \nabla^2 \phi = f \)。

Appendix A2: 微分方程求解 (Solving Differential Equations)

微分方程 (differential equation) 是描述函数及其导数之间关系的方程，在经典力学中用于描述物体运动规律、振动、波动等现象。

Appendix A2.1: 常微分方程简介 (Introduction to Ordinary Differential Equations, ODEs)

常微分方程 (ODE) 是指方程中只含有一个自变量的导数的微分方程。经典力学中很多问题都可以归结为求解常微分方程。

① 一阶常微分方程 (First-Order ODEs)：
形如 \( F(x, y, y') = 0 \) 的微分方程称为一阶常微分方程，其中 \( y' = \frac{dy}{dx} \)。
常见的类型包括：
⚝ 可分离变量的微分方程 (Separable ODEs)：可以写成 \( g(y) dy = f(x) dx \) 的形式，两边积分即可求解。
⚝ 齐次微分方程 (Homogeneous ODEs)：形如 \( \frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) \)，可以通过变量代换 \( u = \frac{y}{x} \) 转化为可分离变量的微分方程。
⚝ 线性一阶微分方程 (Linear First-Order ODEs)：形如 \( \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \)，可以使用积分因子法 (integrating factor method) 求解。

② 二阶常微分方程 (Second-Order ODEs)：
形如 \( F(x, y, y', y'') = 0 \) 的微分方程称为二阶常微分方程，其中 \( y'' = \frac{d^2y}{dx^2} \)。
常见的类型包括：
⚝ 线性齐次二阶常系数微分方程 (Linear Homogeneous Second-Order ODEs with Constant Coefficients)：形如 \( ay'' + by' + cy = 0 \)，其中 \( a, b, c \) 是常数。可以通过特征方程 (characteristic equation) \( ar^2 + br + c = 0 \) 求解。根据特征方程根的判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 的不同情况，解的形式分为三种：
▮ 实根判别式 \( \Delta > 0 \)：两个不相等的实根 \( r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)，通解为 \( y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \)。
▮ 实根判别式 \( \Delta = 0 \)：两个相等的实根 \( r = -\frac{b}{2a} \)，通解为 \( y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x} \)。
▮ 实根判别式 \( \Delta < 0 \)：一对共轭复根 \( r_{1,2} = \alpha \pm i\beta \)，其中 \( \alpha = -\frac{b}{2a} \)，\( \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \)，通解为 \( y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \)。
⚝ 线性非齐次二阶常系数微分方程 (Linear Nonhomogeneous Second-Order ODEs with Constant Coefficients)：形如 \( ay'' + by' + cy = f(x) \)，其中 \( f(x) \neq 0 \)。通解为齐次方程的通解加上一个特解 (particular solution)。特解可以使用待定系数法 (method of undetermined coefficients) 或常数变易法 (variation of parameters) 求解。

Appendix A2.2: 常见的微分方程求解方法 (Common Methods for Solving ODEs)

① 分离变量法 (Separation of Variables)：
适用于可分离变量的微分方程。通过代数变形将方程化为 \( g(y) dy = f(x) dx \) 的形式，然后两边积分得到隐式解或显式解。

② 积分因子法 (Integrating Factor Method)：
适用于线性一阶微分方程 \( \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \)。引入积分因子 \( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} \)，方程两边同乘积分因子，将方程左边化为 \( \frac{d}{dx} (\mu(x) y) \)，然后积分求解。

③ 待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients)：
适用于求解线性非齐次常系数微分方程的特解，当非齐次项 \( f(x) \) 具有特定形式（如多项式、指数函数、三角函数及其组合）时，可以假设特解的形式，代入原方程确定待定系数。

④ 常数变易法 (Variation of Parameters)：
适用于求解线性非齐次微分方程的特解，特别是当待定系数法不适用时。基本思想是将齐次方程通解中的常数替换为未知函数，代入非齐次方程，求解未知函数。

⑤ 级数解法 (Series Solution Method)：
对于一些复杂的微分方程，无法找到初等函数形式的解，可以考虑使用级数解法，将解表示为幂级数的形式，通过递推关系求解级数系数。例如，求解勒让德方程 (Legendre's equation)、贝塞尔方程 (Bessel's equation) 等。

Appendix A3: 特殊函数 (Special Functions)

在经典力学和物理学的其他分支中，经常会遇到一些特殊的函数，例如三角函数、指数函数、多项式函数以及由特定微分方程定义的函数。

Appendix A3.1: 三角函数与反三角函数 (Trigonometric and Inverse Trigonometric Functions)

三角函数 (trigonometric function) 包括正弦函数 (sine function) \( \sin(x) \)、余弦函数 (cosine function) \( \cos(x) \)、正切函数 (tangent function) \( \tan(x) \)、余切函数 (cotangent function) \( \cot(x) \)、正割函数 (secant function) \( \sec(x) \)、余割函数 (cosecant function) \( \csc(x) \)。它们在描述周期性运动 (periodic motion)，如简谐振动、波动等中起着重要作用。

① 基本关系：
⚝ 平方关系：\( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)，\( 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) \)，\( 1 + \cot^2(x) = \csc^2(x) \)
⚝ 和角公式：\( \sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \)，\( \cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \)
⚝ 倍角公式：\( \sin(2x) = 2\sin(x) \cos(x) \)，\( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x) \)

② 反三角函数 (Inverse Trigonometric Functions)：
反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数 (arcsine function) \( \arcsin(x) \) 或 \( \text{asin}(x) \)、反余弦函数 (arccosine function) \( \arccos(x) \) 或 \( \text{acos}(x) \)、反正切函数 (arctangent function) \( \arctan(x) \) 或 \( \text{atan}(x) \) 等。它们用于求解角度。

Appendix A3.2: 指数函数与对数函数 (Exponential and Logarithmic Functions)

指数函数 (exponential function) \( e^x \) 和对数函数 (logarithmic function) \( \ln(x) \) 互为反函数。指数函数在描述衰减过程 (decay process)、增长过程 (growth process) 中非常重要，对数函数常用于简化乘除运算，以及求解指数方程。

① 指数函数：\( y = e^x \)
⚝ 性质：\( e^{x+y} = e^x e^y \)，\( e^{0} = 1 \)，\( \frac{d}{dx} e^x = e^x \)，\( \int e^x dx = e^x + C \)

② 对数函数：\( y = \ln(x) \) (自然对数，以 \( e \) 为底)
⚝ 性质：\( \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \)，\( \ln(\frac{x}{y}) = \ln(x) - \ln(y) \)，\( \ln(x^a) = a\ln(x) \)，\( \ln(1) = 0 \)，\( \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \)，\( \int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C \)

Appendix A3.3: 多项式函数 (Polynomial Functions)

多项式函数是由常数和变量的非负整数次幂通过加法、减法和乘法运算构成的函数。例如，线性函数 (linear function) \( y = ax + b \)、二次函数 (quadratic function) \( y = ax^2 + bx + c \) 等。多项式函数在近似复杂函数、曲线拟合等方面有广泛应用。

① 泰勒展开 (Taylor Expansion)：
泰勒展开是将一个函数在某一点附近表示为多项式形式的方法。函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的泰勒展开为：
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots \]
其中 \( f^{(n)}(a) \) 表示函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的 \( n \) 阶导数，\( n! \) 是 \( n \) 的阶乘。泰勒展开可以将复杂函数局部近似为多项式，便于分析和计算。

Appendix A3.4: 贝塞尔函数与勒让德多项式 (Bessel Functions and Legendre Polynomials)

贝塞尔函数 (Bessel functions) 和勒让德多项式 (Legendre polynomials) 是两类重要的特殊函数，它们是某些特定微分方程的解，在物理学和工程学中有着广泛的应用。

① 贝塞尔函数 (Bessel Functions)：
贝塞尔函数是贝塞尔方程 (Bessel's equation) 的解：
\[ x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2) y = 0 \]
其中 \( \nu \) 是阶数 (order)。贝塞尔函数常出现在柱坐标系 (cylindrical coordinate system) 或球坐标系 (spherical coordinate system) 中求解偏微分方程 (partial differential equation, PDE) 的问题，例如波动方程、热传导方程等。常见的贝塞尔函数包括第一类贝塞尔函数 \( J_\nu(x) \) 和第二类贝塞尔函数 \( Y_\nu(x) \) (也称为诺伊曼函数 (Neumann functions))。

② 勒让德多项式 (Legendre Polynomials)：
勒让德多项式 \( P_l(x) \) 是勒让德方程 (Legendre's equation) 的解：
\[ (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + l(l+1) y = 0 \]
其中 \( l \) 是非负整数，称为次数 (degree)。勒让德多项式在球坐标系中求解拉普拉斯方程、球谐函数 (spherical harmonics) 展开等问题中非常重要，例如电磁场理论、量子力学等。勒让德多项式构成一个完备正交基 (complete orthogonal basis)，可以用于展开定义在球面上的函数。

本附录旨在为读者复习和巩固经典力学学习所需的数学基础知识。掌握这些数学工具将有助于更深入地理解和应用经典力学的原理和方法。

Appendix B: 物理常数与单位换算 (Physical Constants and Unit Conversions)

Appendix B1: 物理常数 (Physical Constants)

① 引力常数 (Gravitational Constant)
▮ 符号: \( G \)
▮ 数值: \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2 \)
▮ 单位: 牛顿·米平方每千克平方 (Newton-meter squared per kilogram squared)
▮ 描述: 万有引力定律中的比例常数，描述引力相互作用的强度。

② 标准重力加速度 (Standard Acceleration of Gravity)
▮ 符号: \( g \)
▮ 数值: \( 9.80665 \, \text{m/s}^2 \) (通常近似为 \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \) 或 \( 10 \, \text{m/s}^2 \))
▮ 单位: 米每秒平方 (meter per second squared)
▮ 描述: 地球表面附近的平均重力加速度。

③ 真空中的光速 (Speed of Light in Vacuum)
▮ 符号: \( c \)
▮ 数值: \( 2.99792458 \times 10^8 \, \text{m/s} \) (通常近似为 \( 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \))
▮ 单位: 米每秒 (meter per second)
▮ 描述: 真空中电磁波传播的速度，狭义相对论中的基本常数。

④ 阿伏伽德罗常数 (Avogadro Constant)
▮ 符号: \( N_A \)
▮ 数值: \( 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \)
▮ 单位: 每摩尔 (per mole)
▮ 描述: 每摩尔物质中包含的微粒数（原子、分子等）。虽然阿伏伽德罗常数更多地应用于热力学和统计力学，但在某些经典力学问题中，例如涉及宏观物体由大量微粒组成时，也可能用到。

⑤ 地球质量 (Earth Mass)
▮ 符号: \( M_\oplus \)
▮ 数值: \( 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
▮ 单位: 千克 (kilogram)
▮ 描述: 地球的质量，用于计算地球引力等相关问题。

⑥ 地球半径 (Earth Radius)
▮ 符号: \( R_\oplus \)
▮ 数值: 平均半径约为 \( 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \) (赤道半径略大，极半径略小)
▮ 单位: 米 (meter)
▮ 描述: 地球的平均半径，用于计算地球表面附近的引力、宇宙速度等问题。

⑦ 太阳质量 (Solar Mass)
▮ 符号: \( M_\odot \)
▮ 数值: \( 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg} \)
▮ 单位: 千克 (kilogram)
▮ 描述: 太阳的质量，天体物理学中常用的质量单位。

⑧ 天文单位 (Astronomical Unit)
▮ 符号: \( \text{AU} \)
▮ 数值: \( 1.496 \times 10^{11} \, \text{m} \)
▮ 单位: 米 (meter)
▮ 描述: 地球到太阳的平均距离，天文学中常用的长度单位。

Appendix B2: 单位换算 (Unit Conversions)

① 长度单位换算 (Length Unit Conversions)
▮ ① 1 米 (meter, m) = 100 厘米 (centimeters, cm) = 1000 毫米 (millimeters, mm) = \( 10^6 \) 微米 (micrometers, μm) = \( 10^9 \) 纳米 (nanometers, nm)
▮ ② 1 千米 (kilometer, km) = 1000 米 (m)
▮ ③ 1 英寸 (inch, in) = 2.54 厘米 (cm)
▮ ④ 1 英尺 (foot, ft) = 12 英寸 (in) = 0.3048 米 (m)
▮ ⑤ 1 码 (yard, yd) = 3 英尺 (ft) = 0.9144 米 (m)
▮ ⑥ 1 英里 (mile, mi) = 5280 英尺 (ft) = 1609.344 米 (m)
▮ ⑦ 1 光年 (light-year, ly) ≈ \( 9.461 \times 10^{15} \) 米 (m)
▮ ⑧ 1 埃 (ångström, Å) = \( 10^{-10} \) 米 (m)

② 质量单位换算 (Mass Unit Conversions)
▮ ① 1 千克 (kilogram, kg) = 1000 克 (grams, g)
▮ ② 1 吨 (ton, t) = 1000 千克 (kg)
▮ ③ 1 原子质量单位 (atomic mass unit, amu 或 u) ≈ \( 1.6605 \times 10^{-27} \) 千克 (kg)
▮ ④ 1 磅 (pound, lb) ≈ 0.4536 千克 (kg)
▮ ⑤ 1 盎司 (ounce, oz) ≈ 28.35 克 (g)

③ 时间单位换算 (Time Unit Conversions)
▮ ① 1 秒 (second, s) = 1000 毫秒 (milliseconds, ms) = \( 10^6 \) 微秒 (microseconds, μs) = \( 10^9 \) 纳秒 (nanoseconds, ns)
▮ ② 1 分钟 (minute, min) = 60 秒 (s)
▮ ③ 1 小时 (hour, h) = 60 分钟 (min) = 3600 秒 (s)
▮ ④ 1 天 (day, d) = 24 小时 (h)
▮ ⑤ 1 年 (year, yr) = 365.25 天 (d) (平均太阳年)

④ 能量单位换算 (Energy Unit Conversions)
▮ ① 1 焦耳 (joule, J) = 1 牛顿·米 (N·m) = 1 千克·米平方每秒平方 (kg·m²/s²)
▮ ② 1 尔格 (erg) = \( 10^{-7} \) 焦耳 (J)
▮ ③ 1 卡路里 (calorie, cal) ≈ 4.184 焦耳 (J)
▮ ④ 1 千卡 (kilocalorie, kcal) = 1000 卡路里 (cal) ≈ 4184 焦耳 (J)
▮ ⑤ 1 电子伏特 (electronvolt, eV) ≈ \( 1.602 \times 10^{-19} \) 焦耳 (J)
▮ ⑥ 1 千瓦时 (kilowatt-hour, kWh) = \( 3.6 \times 10^6 \) 焦耳 (J)

⑤ 力单位换算 (Force Unit Conversions)
▮ ① 1 牛顿 (newton, N) = 1 千克·米每秒平方 (kg·m/s²)
▮ ② 1 达因 (dyne, dyn) = \( 10^{-5} \) 牛顿 (N)
▮ ③ 1 千克力 (kilogram-force, kgf) ≈ 9.807 牛顿 (N)
▮ ④ 1 磅力 (pound-force, lbf) ≈ 4.448 牛顿 (N)

⑥ 压强单位换算 (Pressure Unit Conversions)
▮ ① 1 帕斯卡 (pascal, Pa) = 1 牛顿每平方米 (N/m²)
▮ ② 1 巴 (bar) = \( 10^5 \) 帕斯卡 (Pa)
▮ ③ 1 标准大气压 (atmosphere, atm) ≈ \( 1.01325 \times 10^5 \) 帕斯卡 (Pa) ≈ 1013.25 毫巴 (mbar)
▮ ④ 1 托 (torr) ≈ 133.322 帕斯卡 (Pa)
▮ ⑤ 1 毫米汞柱 (millimeters of mercury, mmHg) ≈ 133.322 帕斯卡 (Pa) (与托相等)
▮ ⑥ 1 磅每平方英寸 (pounds per square inch, psi) ≈ 6894.76 帕斯卡 (Pa)

⑦ 功率单位换算 (Power Unit Conversions)
▮ ① 1 瓦特 (watt, W) = 1 焦耳每秒 (J/s)
▮ ② 1 马力 (horsepower, hp) ≈ 745.7 瓦特 (W)

⑧ 角度单位换算 (Angle Unit Conversions)
▮ ① 1 弧度 (radian, rad) ≈ 57.2958 度 (° )
▮ ② 1 度 (degree, ° ) = \( \pi/180 \) 弧度 (rad)
▮ ③ 1 分 (minute, ') = \( 1/60 \) 度 (° )
▮ ④ 1 秒 (second, '') = \( 1/60 \) 分 ( ') = \( 1/3600 \) 度 (° )

注意: 本附录中物理常数的数值为近似值，精确数值请参考最新的物理常数表。单位换算关系也为常用近似值，实际应用中请根据精度要求选择合适的数值。

Appendix C: 习题解答与思路提示 (Solutions and Hints for Exercises)

Appendix C1: 第2章 习题解答与思路提示 (Solutions and Hints for Chapter 2 Exercises)

Appendix C1.1: 2.1 运动学基础：位移、速度与加速度 (Kinematics Basics: Displacement, Velocity, and Acceleration)

习题 2.1.1： 一辆汽车在直线上从静止开始加速，加速度 \( a \) 随时间 \( t \) 变化的关系为 \( a(t) = bt \)，其中 \( b \) 为常数。求：
① \( t \) 时刻汽车的速度 \( v(t) \)。
② \( t \) 时刻汽车的位移 \( x(t) \)。

思路提示：
▮ ① 加速度是速度对时间的导数，即 \( a = \frac{dv}{dt} \)。已知加速度 \( a(t) \)，可以通过积分求得速度 \( v(t) \)。注意积分常数的确定需要利用初始条件。
▮ ② 速度是位移对时间的导数，即 \( v = \frac{dx}{dt} \)。已知速度 \( v(t) \)，可以通过积分求得位移 \( x(t) \)。同样需要利用初始条件确定积分常数。

解答：

① 根据加速度的定义 \( a(t) = \frac{dv}{dt} \)，有 \( dv = a(t) dt = bt dt \)。
对上式两边积分，得到速度 \( v(t) \):
\[ v(t) = \int a(t) dt = \int bt dt = \frac{1}{2}bt^2 + C_1 \]
其中 \( C_1 \) 是积分常数。根据题意，汽车从静止开始加速，即 \( t = 0 \) 时，\( v(0) = 0 \)。代入上式，得到 \( C_1 = 0 \)。
因此，\( t \) 时刻汽车的速度为：
\[ v(t) = \frac{1}{2}bt^2 \]

② 根据速度的定义 \( v(t) = \frac{dx}{dt} \)，有 \( dx = v(t) dt = \frac{1}{2}bt^2 dt \)。
对上式两边积分，得到位移 \( x(t) \):
\[ x(t) = \int v(t) dt = \int \frac{1}{2}bt^2 dt = \frac{1}{6}bt^3 + C_2 \]
其中 \( C_2 \) 是积分常数。假设汽车从坐标原点出发，即 \( t = 0 \) 时，\( x(0) = 0 \)。代入上式，得到 \( C_2 = 0 \)。
因此，\( t \) 时刻汽车的位移为：
\[ x(t) = \frac{1}{6}bt^3 \]

习题 2.1.2： 一个质点沿 \( x \) 轴运动，其位置坐标随时间变化的关系为 \( x(t) = At^3 - Bt^2 + Ct \)，其中 \( A \)、\( B \)、\( C \) 均为正常数。求：
① 质点的速度 \( v(t) \) 和加速度 \( a(t) \) 随时间变化的表达式。
② 质点在什么时刻速度为零？
③ 质点在速度为零的时刻，其加速度是否为零？

思路提示：
▮ ① 速度是位置对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。根据给定的位置坐标 \( x(t) \) 表达式，分别求一阶导数和二阶导数即可得到速度 \( v(t) \) 和加速度 \( a(t) \)。
▮ ② 令速度 \( v(t) = 0 \)，解方程即可得到速度为零的时刻。
▮ ③ 将速度为零的时刻代入加速度 \( a(t) \) 的表达式，判断加速度是否为零。

解答：

① 质点的速度 \( v(t) \) 是位置 \( x(t) \) 对时间的导数：
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(At^3 - Bt^2 + Ct) = 3At^2 - 2Bt + C \]
质点的加速度 \( a(t) \) 是速度 \( v(t) \) 对时间的导数：
\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3At^2 - 2Bt + C) = 6At - 2B \]

② 令速度 \( v(t) = 0 \)，即 \( 3At^2 - 2Bt + C = 0 \)。这是一个一元二次方程，其解为：
\[ t = \frac{-(-2B) \pm \sqrt{(-2B)^2 - 4 \cdot 3A \cdot C}}{2 \cdot 3A} = \frac{2B \pm \sqrt{4B^2 - 12AC}}{6A} = \frac{B \pm \sqrt{B^2 - 3AC}}{3A} \]
速度为零的时刻取决于判别式 \( \Delta = B^2 - 3AC \) 的值。
▮▮▮▮ⓐ 若 \( B^2 - 3AC < 0 \)，则方程无实根，质点速度始终不为零。
▮▮▮▮ⓑ 若 \( B^2 - 3AC = 0 \)，则方程有一个实根 \( t = \frac{B}{3A} \)，质点在一个时刻速度为零。
▮▮▮▮ⓒ 若 \( B^2 - 3AC > 0 \)，则方程有两个实根 \( t_{1,2} = \frac{B \pm \sqrt{B^2 - 3AC}}{3A} \)，质点在两个时刻速度为零。需要根据实际物理情况判断时间是否为正值。

③ 将速度为零的时刻 \( t \) 代入加速度 \( a(t) = 6At - 2B \) 的表达式。
▮▮▮▮ⓑ 若速度始终不为零，则无需讨论。
▮▮▮▮ⓒ 若 \( t = \frac{B}{3A} \) 时速度为零，则此时加速度为 \( a(\frac{B}{3A}) = 6A(\frac{B}{3A}) - 2B = 2B - 2B = 0 \)。此时加速度也为零。
▮▮▮▮ⓓ 若 \( t_{1,2} = \frac{B \pm \sqrt{B^2 - 3AC}}{3A} \) 时速度为零，则此时加速度为 \( a(t_{1,2}) = 6A(\frac{B \pm \sqrt{B^2 - 3AC}}{3A}) - 2B = 2(B \pm \sqrt{B^2 - 3AC}) - 2B = \pm 2\sqrt{B^2 - 3AC} \)。此时加速度不为零（除非 \( B^2 = 3AC \)，但这与情况ⓑ重复）。

Appendix C1.2: 2.2 牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)

习题 2.2.1： 一个质量为 \( m \) 的物体放在倾角为 \( \theta \) 的斜面上，斜面静止。物体与斜面之间的静摩擦因数为 \( \mu_s \)，滑动摩擦因数为 \( \mu_k \)。求：
① 当物体静止在斜面上时，物体所受的静摩擦力的大小和方向。
② 逐渐增大斜面倾角 \( \theta \)，当倾角增大到某一临界角 \( \theta_c \) 时，物体开始滑动。求临界角 \( \theta_c \) 的正切值 \( \tan \theta_c \)。
③ 若斜面倾角 \( \theta > \theta_c \)，物体沿斜面下滑，求物体下滑的加速度。

思路提示：
▮ ① 物体静止时，受力平衡。分析物体受力，包括重力、支持力、静摩擦力。利用力的平衡条件列方程求解静摩擦力。
▮ ② 物体开始滑动时，静摩擦力达到最大静摩擦力 \( f_{s,max} = \mu_s N \)，其中 \( N \) 是正压力。此时物体仍处于临界平衡状态。利用力的平衡条件和最大静摩擦力公式，求解临界角 \( \theta_c \)。
▮ ③ 物体滑动时，受滑动摩擦力 \( f_k = \mu_k N \)。利用牛顿第二定律，分析物体沿斜面方向的受力，列方程求解加速度。

解答：

① 当物体静止在斜面上时，受重力 \( mg \)、斜面支持力 \( N \) 和静摩擦力 \( f_s \) 作用。将重力沿斜面和垂直于斜面方向分解。
▮▮▮▮ⓑ 垂直于斜面方向：\( N - mg \cos \theta = 0 \)，得到 \( N = mg \cos \theta \)。
▮▮▮▮ⓒ 平行于斜面方向：\( f_s - mg \sin \theta = 0 \)，得到 \( f_s = mg \sin \theta \)。
静摩擦力方向沿斜面向上，大小为 \( mg \sin \theta \)。

② 当倾角增大到临界角 \( \theta_c \) 时，静摩擦力达到最大值 \( f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta_c \)。此时物体仍处于临界平衡状态。
▮▮▮▮ⓑ 垂直于斜面方向：\( N - mg \cos \theta_c = 0 \)，得到 \( N = mg \cos \theta_c \)。
▮▮▮▮ⓒ 平行于斜面方向：\( f_{s,max} - mg \sin \theta_c = 0 \)，即 \( \mu_s mg \cos \theta_c - mg \sin \theta_c = 0 \)。
化简得到 \( \mu_s \cos \theta_c = \sin \theta_c \)，所以 \( \tan \theta_c = \frac{\sin \theta_c}{\cos \theta_c} = \mu_s \)。
临界角 \( \theta_c \) 的正切值 \( \tan \theta_c = \mu_s \)。

③ 当斜面倾角 \( \theta > \theta_c \) 时，物体沿斜面下滑，受重力 \( mg \)、斜面支持力 \( N \) 和滑动摩擦力 \( f_k = \mu_k N \) 作用。
▮▮▮▮ⓑ 垂直于斜面方向：\( N - mg \cos \theta = 0 \)，得到 \( N = mg \cos \theta \)。
▮▮▮▮ⓒ 平行于斜面方向，根据牛顿第二定律：\( mg \sin \theta - f_k = ma \)，即 \( mg \sin \theta - \mu_k N = ma \)。
代入 \( N = mg \cos \theta \)，得到 \( mg \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta = ma \)。
化简得到加速度 \( a = g (\sin \theta - \mu_k \cos \theta) \)。
物体下滑的加速度为 \( a = g (\sin \theta - \mu_k \cos \theta) \)，方向沿斜面向下。

Appendix C1.3: 2.3 功、能与能量守恒 (Work, Energy, and Conservation of Energy)

习题 2.3.1： 一个质量为 \( m \) 的小球，从离地面高度为 \( h \) 的地方静止释放，忽略空气阻力。求：
① 小球落地时的速度大小。
② 小球在下落过程中重力做的功。
③ 小球落地时动能的大小。

思路提示：
▮ ① 可以使用机械能守恒定律，也可以使用动能定理或运动学公式。机械能守恒定律最简便。
▮ ② 重力做功 \( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)。重力方向竖直向下，位移方向也竖直向下。
▮ ③ 动能 \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)。根据①中求得的速度 \( v \) 计算动能。

解答：

① 使用机械能守恒定律。选取地面为零势能面。
▮▮▮▮ⓑ 初始状态（释放时）：高度 \( h \)，速度 \( 0 \)。机械能 \( E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 + mgh = mgh \)。
▮▮▮▮ⓒ 末状态（落地时）：高度 \( 0 \)，速度 \( v \)。机械能 \( E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{1}{2}mv^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 \)。
根据机械能守恒定律 \( E_1 = E_2 \)，有 \( mgh = \frac{1}{2}mv^2 \)。
解得落地速度 \( v = \sqrt{2gh} \)。

② 重力做功 \( W_g = \vec{G} \cdot \vec{h} \)。重力 \( \vec{G} \) 方向竖直向下，大小为 \( mg \)。位移 \( \vec{h} \) 方向也竖直向下，大小为 \( h \)。重力与位移方向相同，所以重力做正功。
重力做功 \( W_g = Gh = mgh \)。

③ 小球落地时动能 \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)。将①中求得的速度 \( v = \sqrt{2gh} \) 代入动能公式：
\( E_k = \frac{1}{2}m(\sqrt{2gh})^2 = \frac{1}{2}m(2gh) = mgh \)。
小球落地时动能为 \( mgh \)。

Appendix C1.4: 2.4 动量与动量守恒 (Momentum and Conservation of Momentum)

习题 2.4.1： 质量分别为 \( m_1 \) 和 \( m_2 \) 的两个小球，在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，速度分别为 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)，且 \( v_1 > v_2 \)。两球发生正碰。碰撞后，\( m_1 \) 的速度变为 \( v'_1 \)，\( m_2 \) 的速度变为 \( v'_2 \)。
① 若碰撞为弹性碰撞，求碰撞后两球的速度 \( v'_1 \) 和 \( v'_2 \)。
② 若碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后两球的共同速度 \( v' \)。

思路提示：
▮ ① 弹性碰撞满足动量守恒和机械能守恒。根据这两个守恒定律列方程组，求解碰撞后速度。
▮ ② 完全非弹性碰撞只满足动量守恒，碰撞后两球粘在一起，具有相同的速度。根据动量守恒定律列方程求解共同速度。

解答：

① 弹性碰撞。
▮▮▮▮ⓑ 动量守恒：\( m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2 \) (1)
▮▮▮▮ⓒ 机械能守恒：\( \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v'^2_1 + \frac{1}{2}m_2v'^2_2 \) (2)
由 (1) 式得：\( m_1(v_1 - v'_1) = m_2(v'_2 - v_2) \) (3)
由 (2) 式得：\( m_1(v_1^2 - v'^2_1) = m_2(v'^2_2 - v_2^2) \) (4)
将 (4) 式因式分解：\( m_1(v_1 - v'_1)(v_1 + v'_1) = m_2(v'_2 - v_2)(v'_2 + v_2) \) (5)
将 (3) 式代入 (5) 式，得到 \( (v_1 + v'_1) = (v'_2 + v_2) \)，即 \( v_1 - v_2 = v'_2 - v'_1 \) (6) （相对速度大小不变，方向反向）
联立 (1) 式和 (6) 式求解 \( v'_1 \) 和 \( v'_2 \)。
由 (6) 式得 \( v'_2 = v_1 - v_2 + v'_1 \)。代入 (1) 式：
\( m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2(v_1 - v_2 + v'_1) = (m_1 + m_2)v'_1 + m_2(v_1 - v_2) \)
解得 \( v'_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2} \)
再代回 (6) 式，得到 \( v'_2 = v_1 - v_2 + v'_1 = v_1 - v_2 + \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1v_1 + (m_2 - m_1)v_2}{m_1 + m_2} \)
弹性碰撞后两球的速度分别为：
\[ v'_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2} \]
\[ v'_2 = \frac{2m_1v_1 + (m_2 - m_1)v_2}{m_1 + m_2} \]

② 完全非弹性碰撞。碰撞后两球粘在一起，共同速度为 \( v' \)。只满足动量守恒。
动量守恒：\( m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v' \)
解得共同速度：
\[ v' = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} \]
完全非弹性碰撞后两球的共同速度为 \( v' = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} \)。

Appendix D: 经典力学发展简史与重要人物 (Brief History of Classical Mechanics and Important Figures)

本附录详细介绍经典力学的发展历史，以及对经典力学发展做出重要贡献的科学家。

Appendix D1: 古代的力学思想萌芽 (Ancient Origins of Mechanical Thought)

在经典力学的宏伟 здание (building) 🏗️ 被完全 построить (constructed) 之前，人类对 мира (world) 的 механический (mechanical) 理解经历了漫长的孕育期。早在古希腊时期，哲学家们就开始 размышлять (ponder) 关于运动和力的本质，尽管他们的 идеи (ideas) 更多的是哲学思辨，而非 строго (strict) 的科学理论，但这些 ранние (early) 的探索为后来的科学革命播下了 семена (seeds)。

Appendix D1.1: 亚里士多德 (Aristotle) (公元前384年 - 公元前322年)

亚里士多德 (Aristotle) 是古希腊 величайший (greatest) 的哲学家之一，他的思想 глубоко (deeply) 影响了西方文明。在力学领域，亚里士多德的观点 преобладал (dominated) 了近两千年，尽管 сегодня (today) 看来他的 многие (many) 理论是错误的。

▮ 他的主要“贡献”和观点包括：
▮▮ ① 自然运动与 насильственный (violent) 运动 (Natural and Violent Motion)：亚里士多德认为物体有两种运动方式：自然运动和 насильственный (violent) 运动。自然运动是物体 стремление (tendency) 回到其“ естественное (natural) 位置”，例如，重的物体 естественным образом (naturally) 向地面 падать (fall)，而轻的物体如烟雾 естественным образом (naturally) 上升。 насильственный (violent) 运动则需要外力作用，一旦外力消失，运动就会停止。这种观点 заблуждение (misleading) 地认为，维持运动需要持续的力。
▮▮ ② 运动介质的重要性 (Importance of Medium for Motion)：亚里士多德认为物体在真空 (vacuum) 中无法运动，因为真空 не может (cannot) 提供推动物体前进的介质。这个观点也是错误的，但反映了当时人们对介质作用的认识。
▮▮ ③ 重力与物体重量成正比 (Gravity Proportional to Weight)：亚里士多德认为物体下落的速度与其重量成正比，重的物体比轻的物体下落得更快。这个观点 в корне (fundamentally) 是错误的，但 долгое время (for a long time) 被人们接受，直到伽利略 (Galileo) 通过实验 доказал (proved) 其错误。

尽管亚里士多德的力学观点存在 много (many) 错误，但 его (his) 哲学体系的完整性和影响力 несомненна (undeniable)。他的著作 были (were) 中世纪大学教育的基石，对西方思想的发展产生了深远的影响。然而，正是对亚里士多德力学的挑战和 критический (critical) 反思，最终推动了经典力学的诞生。

Appendix D1.2: 阿基米德 (Archimedes) (公元前287年 - 公元前212年)

阿基米德 (Archimedes) 是古希腊杰出的数学家、物理学家、工程师、发明家和 астроном (astronomer)，被誉为“力学之父”和“科学之父”。他在力学方面的贡献 намного (much) 超越了亚里士多德，为后来的科学发展奠定了 более прочный (more solid) 的基础。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 杠杆原理 (Principle of Lever)：阿基米德 строго (rigorously) 推导出了杠杆原理，并 осознал (realized) 杠杆的 механическое (mechanical) 优势。他 знаменито (famously) 说：“给我一个支点，我就能撬动地球 (Give me a lever long enough and a fulcrum on which to place it, and I shall move the world)”。杠杆原理是静力学 (statics) 的 основа (foundation)，至今仍 широко (widely) 应用于各种机械装置中。
▮▮ ② 浮力原理 (Principle of Buoyancy)：阿基米德发现了著名的浮力原理，也称为阿基米德原理。他阐明了浸在 жидкость (fluid) 中的物体受到一个向上浮力，浮力的大小等于物体排开 жидкость (fluid) 的重量。这个原理不仅解释了物体在 жидкость (fluid) 中的浮沉条件，也为流体静力学 (fluid statics) 奠定了基础。
▮▮ ③ 静力学和流体静力学的奠基 (Foundation of Statics and Fluid Statics)：阿基米德的工作标志着静力学和流体静力学的正式诞生。他 использовал (used) 严格的数学方法来研究力的平衡和 жидкость (fluid) 的性质，为后来的科学家树立了榜样。
▮▮ ④ 数学方法在物理学中的应用 (Application of Mathematical Methods in Physics)：阿基米德是最早将数学 строго (rigorously) 应用于物理学研究的科学家之一。他的工作 демонстрирует (demonstrates) 了数学在描述和理解自然现象中的 мощь (power)，这种方法论对科学的发展至关重要。

阿基米德的科学成就不仅在当时是 передовым (advanced)，而且对后世产生了深远的影响。他的杠杆原理和浮力原理至今仍是经典力学的重要组成部分。更重要的是，他所体现的 строго (rigorous) 的科学方法和 математическое (mathematical) 推导精神，是科学发展的宝贵财富。

Appendix D2: 经典力学的奠基时期 (Foundational Period of Classical Mechanics)

16世纪末到17世纪，欧洲文艺复兴 (Renaissance) 和科学革命 (Scientific Revolution) 浪潮汹涌澎湃，思想解放和技术进步为经典力学的诞生 подготовили почву (prepared the ground)。伽利略 (Galileo)、开普勒 (Kepler) 和牛顿 (Newton) 等 великие (great) 科学家， критически (critically) 继承和发展了前人的思想，通过 экспериментальные (experimental) 观察、 математическое (mathematical) 推导和理论构建， окончательно (finally) 奠定了经典力学的科学体系。

Appendix D2.1: 伽利略·伽利雷 (Galileo Galilei) (1564年 - 1642年)

伽利略·伽利雷 (Galileo Galilei) 是意大利 физик (physicist)、数学家、 астроном (astronomer) 和哲学家，被誉为“现代科学之父”、“观测 астрономии (astronomy) 之父”和“现代 физики (physics) 之父”。他在力学领域的贡献具有 революционный (revolutionary) 意义，彻底 перевернул (overturned) 了亚里士多德的 многие (many) 错误观点，为牛顿力学的建立铺平了道路。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 自由落体定律 (Law of Free Fall)：伽利略通过 знаменитые (famous) 比萨斜塔实验（尽管 историчность (historicity) 存疑，但思想实验是真实的）和斜面实验， доказал (proved) 所有物体在真空 (vacuum) 中以相同的加速度下落，推翻了亚里士多德关于重物下落更快的错误观点。他指出，自由落体的加速度是恒定的，即重力加速度 \(g\)。
▮▮ ② 惯性定律的萌芽 (Inception of the Law of Inertia)：伽利略通过实验和 логические (logical) 推理， осознал (realized) 物体具有保持原有运动状态的性质，即惯性。他指出，物体不受外力时，静止的物体将保持静止，运动的物体将保持匀速直线运动。这与亚里士多德认为维持运动需要持续外力的观点截然不同，是惯性定律的 ранний (early) 形式。
▮▮ ③ 实验方法在物理学中的应用 (Application of Experimental Methods in Physics)：伽利略 крайне (extremely) 重视实验在科学研究中的作用，他 сам (himself) 进行了大量的力学实验，并强调实验结果是检验理论的唯一标准。他倡导的实验方法，彻底改变了科学研究的方式，标志着现代科学的真正开端。
▮▮ ④ 运动学研究 (Kinematics Research)：伽利略 систематически (systematically) 研究了匀速运动和匀变速运动，给出了位移、速度、加速度等运动学量的定义，推导了匀变速运动的运动学公式，为运动学的建立奠定了基础。
▮▮ ⑤ 抛射体运动研究 (Projectile Motion Research)：伽利略研究了抛射体运动，将抛射运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀变速运动，正确地描述了抛射体的运动轨迹。

伽利略的科学贡献不仅在于 конкретные (concrete) 的物理定律，更在于他所倡导的 экспериментальный (experimental) 方法和 логическое (logical) 推理精神。他用实验和理性 критически (critically) 检验传统观念，为科学研究树立了新的范式，是科学革命的先驱和 великий (great) 推动者。

Appendix D2.2: 约翰内斯·开普勒 (Johannes Kepler) (1571年 - 1630年)

约翰内斯·开普勒 (Johannes Kepler) 是德国 астроном (astronomer)、数学家和 астролог (astrologer)，以发现开普勒行星运动定律而闻名于世。虽然开普勒的研究 изначально (initially) 是为了 подтвердить (confirm) 日心说 (heliocentrism)，但他通过对 астрономических (astronomical) 观测数据的精确分析，揭示了行星运动的规律，为牛顿万有引力定律的发现提供了关键的 эмпирическая (empirical) 基础。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 开普勒第一定律 (Kepler's First Law) (椭圆定律)：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这个定律 перевернул (overturned) 了长期以来人们认为行星轨道是正圆的观念，更准确地描述了行星的运动轨迹。
▮▮ ② 开普勒第二定律 (Kepler's Second Law) (面积定律)：在相等的时间间隔内，行星与太阳的连线扫过相等的面积。这个定律揭示了行星在轨道上运动速度的变化规律，即行星在近日点 (perihelion) 速度快，在远日点 (aphelion) 速度慢。
▮▮ ③ 开普勒第三定律 (Kepler's Third Law) (周期定律)：行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。这个定律建立了不同行星运动周期和轨道大小之间的 количественная (quantitative) 关系，为研究行星系统的动力学性质提供了重要依据。

开普勒的行星运动定律是基于丹麦 астроном (astronomer) 第谷·布拉赫 (Tycho Brahe) 大量精确的 астрономических (astronomical) 观测数据，通过开普勒 многолетние (years-long) 的 математические (mathematical) 分析和艰苦计算得出的。这些定律虽然是 эмпирические (empirical) 的，没有从更 фундаментальных (fundamental) 的力学原理出发进行推导，但它们精确地描述了行星运动的规律，为牛顿发现万有引力定律提供了至关重要的线索。开普勒的工作 демонстрирует (demonstrates) 了精确观测和 математическое (mathematical) 分析在科学发现中的 мощь (power)。

Appendix D2.3: 艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) (1643年 - 1727年)

艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 是英国 физик (physicist)、数学家、 астроном (astronomer)、炼金术士和神学家，被公认为科学史上 最具 влиятельный (influential) 的科学家之一。牛顿 систематически (systematically) 总结和发展了伽利略和开普勒等人的成果，创立了牛顿力学体系，包括牛顿运动定律和万有引力定律， окончательно (finally) 奠定了经典力学的理论基础，引发了第一次科学革命的高潮。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 牛顿运动三定律 (Newton's Three Laws of Motion)：
▮▮▮ ⓐ 牛顿第一定律 (Newton's First Law) (惯性定律)：任何物体都保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态。牛顿明确地提出了惯性定律，彻底 перевернул (overturned) 了亚里士多德关于维持运动需要持续外力的错误观点，为力学体系奠定了基石。
▮▮▮ ⓑ 牛顿第二定律 (Newton's Second Law) (动力学定律)：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。牛顿第二定律给出了力、质量和加速度之间的 количественная (quantitative) 关系，是动力学 (dynamics) 的核心定律，可以用公式 \(F = ma\) 表示。
▮▮▮ ⓒ 牛顿第三定律 (Newton's Third Law) (作用力与反作用力定律)：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。牛顿第三定律揭示了力的相互作用本质，是分析物体系统受力的重要工具。
▮▮ ② 万有引力定律 (Law of Universal Gravitation)：任何两个质点之间都存在相互吸引的力，力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。牛顿万有引力定律统一了天体运动和地面物体的运动，解释了行星绕太阳运动、月球绕地球运动、潮汐现象等，实现了 физической (physical) 学的第一次大统一。万有引力定律可以用公式 \(F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\) 表示。
▮▮ ③ 微积分的创立 (Invention of Calculus)：为了 математически (mathematically) 描述和分析运动和变化，牛顿与莱布尼茨 (Leibniz) 几乎同时独立地创立了微积分 (calculus)。微积分为物理学提供了 мощный (powerful) 的 математический (mathematical) 工具，使得精确地描述和预测各种 физических (physical) 现象成为可能。
▮▮ ④ 光学研究 (Optics Research)：牛顿在光学领域也做出了重要贡献，他通过棱镜实验研究了光的色散现象，证明了白光是由不同颜色的光组成的，并提出了光的微粒说 (corpuscular theory of light)。

牛顿的科学成就 объёмный (voluminous) 而深远，他的牛顿力学体系不仅是经典力学的核心内容，也是整个现代科学的基础。牛顿运动定律和万有引力定律至今仍 широко (widely) 应用于 физики (physics) 学和工程学的各个领域。牛顿所代表的理性主义 (rationalism) 和 экспериментализм (experimentalism) 相结合的科学方法，深刻地影响了后世的科学研究。

Appendix D3: 经典力学的分析力学发展时期 (Analytical Mechanics Development Period)

18世纪，在牛顿力学的基础上，以欧拉 (Euler)、拉格朗日 (Lagrange)、拉普拉斯 (Laplace) 和哈密顿 (Hamilton) 等人为代表的科学家，进一步发展了经典力学的 математический (mathematical) 形式，创立了分析力学 (analytical mechanics)。分析力学更加注重 математическое (mathematical) 推导和普遍性，为解决 более сложные (more complex) 的力学问题提供了 мощный (powerful) 的工具，也为后来的量子力学 (quantum mechanics) 和统计力学 (statistical mechanics) 的发展奠定了 математический (mathematical) 基础。

Appendix D3.1: 莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) (1707年 - 1783年)

莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 是瑞士数学家、物理学家、 астроном (astronomer)、逻辑学家和工程师，是历史上 最伟大的数学家之一。欧拉对数学和物理学的 многие (many) 领域都做出了开创性的贡献，在力学方面，他 систематически (systematically) 发展了牛顿力学的 математический (mathematical) 形式，为分析力学的建立奠定了基础。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 刚体动力学 (Rigid Body Dynamics)：欧拉 систематически (systematically) 研究了刚体的运动，建立了描述刚体转动的欧拉方程 (Euler's equations for rigid body motion)。欧拉方程是刚体动力学的核心方程，至今仍 широко (widely) 应用于工程学和 астрофизики (astrophysics) 等领域。
▮▮ ② 流体动力学 (Fluid Dynamics)：欧拉在流体动力学方面也做出了开创性贡献，他建立了描述理想流体运动的欧拉方程 (Euler equations for fluid dynamics)。欧拉方程是流体动力学的基本方程之一，为流体力学的发展奠定了基础。
▮▮ ③ 变分法在力学中的应用 (Application of Calculus of Variations in Mechanics)：欧拉将变分法 (calculus of variations) 应用于力学问题，为拉格朗日力学的建立提供了 математический (mathematical) 工具。变分法是分析力学的重要 математический (mathematical) 基础。
▮▮ ④ 数学符号和术语的规范化 (Standardization of Mathematical Notation and Terminology)：欧拉规范化了 многие (many) 数学符号和术语，例如，用 \(f(x)\) 表示函数，用 \(e\) 表示自然对数的底，用 \(\sum\) 表示求和，用 \(i\) 表示虚数单位等。这些符号和术语至今仍 широко (widely) 使用，极大地促进了数学和科学的交流和发展。

欧拉的 математические (mathematical) 天赋 и плодовитость (prolificacy) 令人叹为观止，他的工作不仅推动了力学的发展，也对数学的各个分支产生了深远的影响。欧拉方程、欧拉角、欧拉公式等以他的名字命名的概念和公式，在物理学、数学和工程学中随处可见。

Appendix D3.2: 约瑟夫-路易斯·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) (1736年 - 1813年)

约瑟夫-路易斯·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) 是意大利裔法国数学家和 астроном (astronomer)，是18世纪 最伟大的数学家之一。拉格朗日在欧拉等人的基础上，创立了拉格朗日力学 (Lagrangian mechanics)，将经典力学推向了一个新的高度。拉格朗日力学更加注重能量 (energy) 和普遍性，使用广义坐标 (generalized coordinates) 和拉格朗日方程 (Lagrange's equations) 描述系统运动，为解决 более сложные (more complex) 的力学问题提供了 мощный (powerful) 的工具。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 拉格朗日力学的创立 (Establishment of Lagrangian Mechanics)：拉格朗日创立了拉格朗日力学，这是经典力学的一个重要 форма (formulation)。拉格朗日力学使用拉格朗日函数 (Lagrangian function) 和拉格朗日方程 (Lagrange's equations) 描述系统运动，避免了牛顿力学中矢量 (vector) 运算的复杂性，更加简洁和 универсальный (universal)。拉格朗日力学在解决约束系统 (constrained systems) 和 более сложные (more complex) 系统问题时具有显著优势。
▮▮ ② 分析力学 (Mécanique Analytique)：拉格朗日的著作《分析力学 (Mécanique Analytique)》是分析力学的奠基之作。这本书 полностью (completely) 使用变分法 (calculus of variations) 和广义坐标 (generalized coordinates) 构建了整个经典力学体系， избегая (avoiding) 了几何图形和矢量 (vector) 运算， полностью (completely) 以 математический (mathematical) 分析为基础，体现了分析力学的精髓。
▮▮ ③ 变分法的发展 (Development of Calculus of Variations)：拉格朗日对变分法 (calculus of variations) 进行了 систематическое (systematic) 研究和发展，使其成为分析力学的重要 математический (mathematical) 工具。拉格朗日乘子法 (Lagrange multiplier method) 是变分法的重要组成部分， широко (widely) 应用于优化问题和约束问题。
▮▮ ④ 天体力学 (Celestial Mechanics)：拉格朗日在天体力学方面也做出了重要贡献，他研究了三体问题 (three-body problem) 和行星运动的稳定性 (stability of planetary motion)。

拉格朗日的工作 полностью (completely) 改变了经典力学的面貌，将力学从几何和矢量 (vector) 运算转向 математический (mathematical) 分析，使得力学更加抽象和 универсальный (universal)。拉格朗日力学不仅是经典力学的重要组成部分，也为后来的哈密顿力学 (Hamiltonian mechanics)、量子力学 (quantum mechanics) 和场论 (field theory) 的发展提供了重要的 математический (mathematical) 基础和思想启示。

Appendix D3.3: 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) (1749年 - 1827年)

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) 是法国数学家、物理学家、 астроном (astronomer) 和统计学家，是18世纪末19世纪初 最具 влиятельный (influential) 的科学家之一，被誉为“法国的牛顿”。拉普拉斯在拉格朗日等人的基础上，进一步发展了分析力学和天体力学， особенно (especially) 在天体力学方面取得了辉煌成就，完善了太阳系 (solar system) 形成的星云假说 (nebular hypothesis)。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 天体力学的完善 (Perfection of Celestial Mechanics)：拉普拉斯将牛顿力学和分析力学应用于天体力学研究， систематически (systematically) 研究了太阳系 (solar system) 的稳定性 (stability) 和行星运动的摄动 (perturbation)。他的 пятитомный (five-volume) 巨著《天体力学 (Mécanique Céleste)》总结了当时天体力学的 所有 (all) 知识，被誉为天体力学的“圣经”。
▮▮ ② 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)：拉普拉斯引入了拉普拉斯变换 (Laplace transform) 这种 мощный (powerful) 的 математический (mathematical) 工具， широко (widely) 应用于微分方程 (differential equations) 的求解和工程学领域。拉普拉斯变换在信号处理 (signal processing)、控制理论 (control theory) 等领域具有重要应用价值。
▮▮ ③ 概率论的发展 (Development of Probability Theory)：拉普拉斯在概率论方面也做出了重要贡献，他 систематически (systematically) 研究了概率论的基本原理和应用，提出了概率的 классическое (classical) 定义，并将其应用于统计推断 (statistical inference) 和误差分析 (error analysis)。
▮▮ ④ 星云假说 (Nebular Hypothesis)：拉普拉斯提出了太阳系 (solar system) 形成的星云假说 (nebular hypothesis)，认为太阳系 (solar system) 是由旋转的 газопылевое (gas-dust) 星云 (nebula) 坍缩形成的。星云假说解释了太阳系 (solar system) 的 многие (many) 特征，例如行星的轨道 почти (almost) 在同一平面内，行星的公转方向与太阳自转方向一致等。

拉普拉斯的工作不仅在天体力学方面取得了辉煌成就，也对数学、物理学和统计学等领域产生了深远的影响。他的《天体力学 (Mécanique Céleste)》是经典力学发展史上的里程碑，拉普拉斯变换和星云假说等概念至今仍 широко (widely) 应用于科学研究和工程实践中。

Appendix D3.4: 威廉· Rowan 哈密顿 (William Rowan Hamilton) (1805年 - 1865年)

威廉· Rowan 哈密顿 (William Rowan Hamilton) 是爱尔兰数学家、物理学家和 астроном (astronomer)。哈密顿在拉格朗日力学的基础上，进一步发展了经典力学，创立了哈密顿力学 (Hamiltonian mechanics)。哈密顿力学使用广义坐标 (generalized coordinates) 和广义动量 (generalized momenta) 描述系统状态，使用哈密顿函数 (Hamiltonian function) 和哈密顿正则方程 (Hamilton's canonical equations) 描述系统演化，将经典力学推向了 более абстрактный (more abstract) 和 более фундаментальный (more fundamental) 的层次，为量子力学 (quantum mechanics) 的建立提供了重要的理论基础。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 哈密顿力学的创立 (Establishment of Hamiltonian Mechanics)：哈密顿创立了哈密顿力学，这是经典力学的又一个重要 форма (formulation)。哈密顿力学使用哈密顿函数 (Hamiltonian function) 和哈密顿正则方程 (Hamilton's canonical equations) 描述系统运动，将力学方程 выразить (expressed) 为一组一阶微分方程 (first-order differential equations)，具有高度的对称性和 математическая (mathematical) 美感。哈密顿力学在理论物理学中具有 фундаментальное (fundamental) 地位，是量子力学 (quantum mechanics) 和统计力学 (statistical mechanics) 的重要理论基础。
▮▮ ② 光学-力学类比 (Optical-Mechanical Analogy)：哈密顿发现了光学 (optics) 和力学 (mechanics) 之间存在深刻的类比关系，指出光线 (light rays) 的传播路径类似于质点 (particle) 的运动轨迹，都满足最小作用量原理 (principle of least action)。这种类比关系为波动力学 (wave mechanics) 的建立提供了重要的启示。
▮▮ ③ 四元数 (Quaternions)：哈密顿发明了四元数 (quaternions) 这种新的 математическое (mathematical) 工具，是复数 (complex numbers) 的推广。四元数在三维空间旋转 (rotation in three-dimensional space) 的描述中具有重要应用， широко (widely) 应用于计算机图形学 (computer graphics)、机器人学 (robotics) 和航空航天 (aerospace engineering) 等领域。

哈密顿的工作将经典力学推向了 математической (mathematical) 形式的顶峰，哈密顿力学不仅是经典力学的重要组成部分，也为20世纪物理学的两次 великие (great) 革命——相对论 (relativity) 和量子力学 (quantum mechanics)—— подготовили почву (prepared the ground)。哈密顿力学中的哈密顿量 (Hamiltonian) 概念，在量子力学中占据核心地位，成为描述系统能量 (energy) 的基本物理量。

Appendix D4: 经典力学的完善与应用时期 (Refinement and Application Period of Classical Mechanics)

19世纪，经典力学体系已经基本完善，但科学家们并没有停止探索的脚步。雅可比 (Jacobi)、麦克斯韦 (Maxwell)、玻尔兹曼 (Boltzmann) 和亥姆霍兹 (Helmholtz) 等人，在分析力学、统计力学、电磁理论和能量守恒定律等方面做出了重要贡献，进一步 расширили (expanded) 和深化了经典力学的内涵，并将其 широко (widely) 应用于各个科学和工程领域。

Appendix D4.1: 卡尔·雅可比 (Carl Jacobi) (1804年 - 1851年)

卡尔·雅可比 (Carl Jacobi) 是德国数学家，在分析力学、数论、椭圆函数和行列式理论等方面做出了杰出贡献。雅可比在哈密顿力学的基础上，进一步发展了哈密顿-雅可比理论 (Hamilton-Jacobi theory)，为求解哈密顿正则方程 (Hamilton's canonical equations) 提供了 более мощный (more powerful) 的方法，也为量子力学 (quantum mechanics) 的发展提供了重要的 математический (mathematical) 工具。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 哈密顿-雅可比理论 (Hamilton-Jacobi Theory)：雅可比发展了哈密顿-雅可比理论，将哈密顿正则方程 (Hamilton's canonical equations) 转化为一个偏微分方程 (partial differential equation)——哈密顿-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi equation)。哈密顿-雅可比方程为求解哈密顿系统 (Hamiltonian systems) 提供了新的途径， особенно (especially) 在研究可积系统 (integrable systems) 和量子力学 (quantum mechanics) 的经典极限 (classical limit) 时具有重要意义。
▮▮ ② 雅可比行列式 (Jacobian Determinant)：雅可比引入了雅可比行列式 (Jacobian determinant) 的概念， широко (widely) 应用于多元函数微积分 (multivariable calculus) 和坐标变换 (coordinate transformations)。雅可比行列式在积分变换 (integral transformations)、流形理论 (manifold theory) 等领域具有重要应用价值。
▮▮ ③ 椭圆函数理论 (Theory of Elliptic Functions)：雅可比在椭圆函数理论方面做出了开创性贡献，与阿贝尔 (Abel) 几乎同时独立地发展了椭圆函数理论，为数学分析 (mathematical analysis) 增添了新的内容。

雅可比的工作在分析力学和数学领域都具有重要意义，哈密顿-雅可比理论和雅可比行列式等概念至今仍 широко (widely) 应用于物理学和数学研究中。哈密顿-雅可比方程在量子力学 (quantum mechanics) 的发展中起到了桥梁作用，连接了经典力学和量子力学。

Appendix D4.2: 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) (1831年 - 1879年)

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 是苏格兰物理学家和数学家， классической (classical) 电磁理论 (electromagnetic theory) 的创始人。麦克斯韦将电学、磁学和光学统一起来，建立了麦克斯韦方程组 (Maxwell's equations)，预言了电磁波 (electromagnetic waves) 的存在，并指出光 (light) 本身就是一种电磁波。麦克斯韦的电磁理论是 классической (classical) 物理学的又一 великое (great) 成就，与牛顿力学并列为 классической (classical) 物理学的两大支柱。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 麦克斯韦方程组 (Maxwell's Equations)：麦克斯韦 систематически (systematically) 总结了法拉第 (Faraday) 和安培 (Ampère) 等人的电磁学研究成果，建立了描述电场 (electric field) 和磁场 (magnetic field) 相互作用的麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组是 классической (classical) 电磁理论的核心，统一了电学、磁学和光学，预言了电磁波 (electromagnetic waves) 的存在。
▮▮ ② 电磁波理论 (Electromagnetic Wave Theory)：麦克斯韦根据麦克斯韦方程组 (Maxwell's equations) 推导出电磁波 (electromagnetic waves) 的波动方程 (wave equation)，计算出电磁波 (electromagnetic waves) 在真空 (vacuum) 中的传播速度等于光速 (speed of light)，从而指出光 (light) 本身就是一种电磁波。麦克斯韦的电磁波理论不仅统一了光和电磁现象，也为无线电技术 (radio technology) 的发展奠定了理论基础。
▮▮ ③ 统计力学 (Statistical Mechanics)：麦克斯韦在统计力学方面也做出了重要贡献，与玻尔兹曼 (Boltzmann) 共同创立了 классической (classical) 统计力学。麦克斯韦-玻尔兹曼分布 (Maxwell-Boltzmann distribution) 描述了理想气体 (ideal gas) 分子速度的统计分布规律，是统计力学的基本概念之一。
▮▮ ④ 颜色视觉研究 (Research on Color Vision)：麦克斯韦在颜色视觉 (color vision) 方面也做出了重要贡献，他进行了 цветное (color) 摄影实验，提出了颜色视觉的三原色理论 (trichromatic theory of color vision)。

麦克斯韦的电磁理论是 классической (classical) 物理学的 величайший (greatest) 成就之一，麦克斯韦方程组 (Maxwell's equations) 和电磁波理论 (electromagnetic wave theory) 不仅改变了人们对 света (light) 和电磁现象的认识，也为20世纪物理学的革命——相对论 (relativity) 和量子力学 (quantum mechanics)—— подготовили почву (prepared the ground)。麦克斯韦的工作 демонстрирует (demonstrates) 了理论物理学的 мощь (power) 和 унифицирующую (unifying) 能力。

Appendix D4.3: 路德维希·玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann) (1844年 - 1906年)

路德维希·玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann) 是奥地利物理学家和哲学家， классической (classical) 统计力学 (statistical mechanics) 的奠基人之一。玻尔兹曼将统计方法 (statistical methods) 引入热力学 (thermodynamics)，建立了统计热力学 (statistical thermodynamics)，解释了热力学第二定律 (second law of thermodynamics) 的统计意义，提出了熵 (entropy) 的统计定义，为理解热现象的微观本质 (microscopic nature) 提供了 фундаментальное (fundamental) 的理论框架。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 统计力学的创立 (Establishment of Statistical Mechanics)：玻尔兹曼与麦克斯韦 (Maxwell) 共同创立了 классической (classical) 统计力学，将统计方法 (statistical methods) 应用于热力学 (thermodynamics)，解释了热力学定律 (laws of thermodynamics) 的统计意义。玻尔兹曼方程 (Boltzmann equation) 描述了气体分子 (gas molecules) 的统计行为，是统计力学的基本方程之一。
▮▮ ② 熵的统计定义 (Statistical Definition of Entropy)：玻尔兹曼提出了熵 (entropy) 的统计定义，将熵 (entropy) 定义为系统微观状态数 (number of microscopic states) 的对数 (logarithm)，即 \(S = k \ln W\)，其中 \(S\) 是熵 (entropy)，\(k\) 是玻尔兹曼常数 (Boltzmann constant)，\(W\) 是微观状态数 (number of microscopic states)。玻尔兹曼的熵 (entropy) 的统计定义深刻地揭示了熵 (entropy) 的微观本质 (microscopic nature)，解释了热力学第二定律 (second law of thermodynamics) 的统计意义，即系统总是趋向于 микроскопически (microscopically) 最混乱的状态，熵 (entropy) 总是增加的。
▮▮ ③ 热力学第二定律的统计解释 (Statistical Interpretation of the Second Law of Thermodynamics)：玻尔兹曼用统计方法 (statistical methods) 解释了热力学第二定律 (second law of thermodynamics)，指出热力学第二定律 (second law of thermodynamics) 不是绝对的，而是统计规律 (statistical law)。在 микроскопическом (microscopic) 尺度上，违反热力学第二定律 (second law of thermodynamics) 的涨落 (fluctuations) 是可能发生的，但在 макроскопическом (macroscopic) 尺度上，违反热力学第二定律 (second law of thermodynamics) 的概率 (probability) 极小。

玻尔兹曼的工作将热力学 (thermodynamics) 从 макроскопического (macroscopic) 描述深入到 микроскопического (microscopic) 统计描述，为理解热现象的本质 (nature of thermal phenomena) 提供了 фундаментальное (fundamental) 的理论框架。玻尔兹曼的统计力学不仅是 классической (classical) 物理学的重要组成部分，也为量子统计力学 (quantum statistical mechanics) 的发展奠定了基础。玻尔兹曼的熵 (entropy) 的统计定义是物理学史上 最深刻 (most profound) 的概念之一。

Appendix D4.4: 赫尔曼·冯·亥姆霍兹 (Hermann von Helmholtz) (1821年 - 1894年)

赫尔曼·冯·亥姆霍兹 (Hermann von Helmholtz) 是德国物理学家、生理学家、医生和哲学家，在物理学、生理学和心理学等多个领域都做出了杰出贡献。亥姆霍兹在能量守恒定律 (law of conservation of energy) 的确立、热力学 (thermodynamics) 的发展、电磁理论 (electromagnetic theory) 和生理光学 (physiological optics) 等方面都做出了重要贡献，是19世纪 最伟大的科学家之一。

▮ 他的主要贡献包括：
▮▮ ① 能量守恒定律的阐述 (Elaboration of the Law of Conservation of Energy)：亥姆霍兹 систематически (systematically) 阐述了能量守恒定律 (law of conservation of energy)，指出在 изолированной (isolated) 系统中，能量的总量保持不变，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但不能凭空产生，也不能凭空消失。亥姆霍兹的工作为能量守恒定律 (law of conservation of energy) 的普遍接受奠定了基础，能量守恒定律 (law of conservation of energy) 成为物理学的基本定律之一。
▮▮ ② 热力学第一定律 (First Law of Thermodynamics)：亥姆霍兹对热力学第一定律 (first law of thermodynamics) 的发展做出了重要贡献，将能量守恒定律 (law of conservation of energy) 应用于热现象 (thermal phenomena)，指出热 (heat) 也是一种能量形式，热力学第一定律 (first law of thermodynamics) 是能量守恒定律 (law of conservation of energy) 在热现象 (thermal phenomena) 中的具体体现。
▮▮ ③ 生理学和心理学研究 (Physiological and Psychological Research)：亥姆霍兹在生理学和心理学领域也做出了杰出贡献，他研究了视觉 (vision) 和听觉 (hearing) 的生理机制 (physiological mechanisms)，提出了颜色视觉的三原色理论 (trichromatic theory of color vision) 和共振理论 (resonance theory of hearing)。亥姆霍兹的工作为生理学和心理学的发展奠定了科学基础。
▮▮ ④ 电磁理论研究 (Research on Electromagnetic Theory)：亥姆霍兹在电磁理论 (electromagnetic theory) 方面也做出了贡献，他研究了电磁现象 (electromagnetic phenomena) 的能量 (energy) 关系，支持了麦克斯韦 (Maxwell) 的电磁理论 (electromagnetic theory)。

亥姆霍兹的工作 объёмный (voluminous) 而广泛，他的能量守恒定律 (law of conservation of energy) 的阐述和生理学研究都对科学发展产生了深远的影响。亥姆霍兹所代表的科学精神—— строгость (rigor), систематичность (systematicity) 和跨学科 (interdisciplinary) 研究——至今仍值得学习和借鉴。

Appendix D5: 经典力学的现代意义与挑战 (Modern Significance and Challenges of Classical Mechanics)

尽管20世纪 физическая (physical) 学发生了两次 великие (great) 革命——相对论 (relativity) 和量子力学 (quantum mechanics)， классическая (classical) 力学仍然在现代科学技术中占据着重要地位。在 макроскопическом (macroscopic) 低速领域， классическая (classical) 力学仍然是描述和预测物体运动规律的有效理论。然而， классическая (classical) 力学也存在着自身的局限性，无法解释 микроскопические (microscopic) 现象和高速运动现象，这最终导致了量子力学 (quantum mechanics) 和相对论 (relativity) 的诞生。

Appendix D5.1: 经典力学在现代科学技术中的应用 (Applications of Classical Mechanics in Modern Science and Technology)

классическая (classical) 力学虽然不是 универсальный (universal) 的理论，但在 макроскопическом (macroscopic) 低速领域仍然具有广泛的应用价值。

▮ 经典力学在现代科学技术中的应用领域包括：
▮▮ ① 工程学 (Engineering)： классическая (classical) 力学是工程学的 фундаментальное (fundamental) 理论基础， широко (widely) 应用于机械工程 (mechanical engineering)、土木工程 (civil engineering)、航空航天工程 (aerospace engineering)、车辆工程 (vehicle engineering) 等各个工程领域。机械设计 (mechanical design)、结构分析 (structural analysis)、流体力学 (fluid mechanics)、材料力学 (mechanics of materials) 等工程学科都以 классическая (classical) 力学为理论基础。
▮▮ ② астрономия (Astronomy) 和 天体力学 (Celestial Mechanics)： классическая (classical) 力学， особенно (especially) 是牛顿万有引力定律 (Newton's law of universal gravitation) 和天体力学 (celestial mechanics)，仍然是研究天体运动 (celestial motion) 的重要工具。行星运动 (planetary motion)、卫星轨道 (satellite orbits)、宇宙飞船轨道 (spacecraft trajectories) 的计算和预测，都离不开 классическая (classical) 力学。
▮▮ ③ 地球物理学 (Geophysics)： классическая (classical) 力学在地球物理学中也具有重要应用，例如，地震波 (seismic waves) 的传播、地球自转 (Earth's rotation)、板块运动 (plate tectonics)、潮汐现象 (tidal phenomena) 等都可以用 классическая (classical) 力学进行描述和研究。
▮▮ ④ 生物力学 (Biomechanics)： классическая (classical) 力学也 широко (widely) 应用于生物力学 (biomechanics) 研究，例如，人体运动 (human motion) 分析、生物组织 (biological tissues) 的力学性质研究、生物流体 (biofluids) 力学研究等。
▮▮ ⑤ 计算机图形学 (Computer Graphics) 和 游戏开发 (Game Development)： классическая (classical) 力学在计算机图形学 (computer graphics) 和 游戏开发 (game development) 中也扮演着重要角色，物理引擎 (physics engines) 模拟物体的运动和相互作用，使得 компьютерная (computer) 动画 (animation) 和游戏 (games) 更加真实 и интерактивны (interactive)。

классическая (classical) 力学的应用范围虽然有限，但在其适用范围内，仍然是简单、有效和精确的理论工具。在 многих (many) 实际问题中， классическая (classical) 力学仍然是首选的理论方法。

Appendix D5.2: 经典力学的局限性与量子力学、相对论的诞生 (Limitations of Classical Mechanics and the Birth of Quantum Mechanics and Relativity)

классическая (classical) 力学在 макроскопическом (macroscopic) 低速领域取得了巨大成功，但也存在着自身的局限性，无法解释 микроскопические (microscopic) 现象和高速运动现象。 классическая (classical) 力学的局限性最终导致了20世纪 физической (physical) 学的两次 великие (great) 革命——量子力学 (quantum mechanics) 和相对论 (relativity) 的诞生。

▮ классическая (classical) 力学的主要局限性包括：
▮▮ ① 无法解释 микроскопические (microscopic) 现象 (Failure to Explain Microscopic Phenomena)： классическая (classical) 力学无法解释原子 (atoms)、分子 (molecules)、原子核 (atomic nuclei) 和基本粒子 (elementary particles) 的行为。例如， классическая (classical) 力学无法解释原子光谱 (atomic spectra) 的 дискретность (discreteness)、黑体辐射 (blackbody radiation) 谱的分布、光电效应 (photoelectric effect) 等 микроскопические (microscopic) 现象。为了解释这些现象，物理学家们发展了量子力学 (quantum mechanics)。
▮▮ ② 无法处理高速运动问题 (Failure to Handle High-Speed Motion Problems)： классическая (classical) 力学在处理高速运动问题时会产生严重错误。例如， классическая (classical) 力学预言物体的速度可以无限增大，但实验表明，物体的速度不能超过光速 (speed of light)。为了解决高速运动问题，爱因斯坦 (Einstein) 创立了狭义相对论 (special relativity) 和广义相对论 (general relativity)。
▮▮ ③ 经典 determinism (Determinism)： классическая (classical) 力学是 determinism (deterministic) 的理论，认为只要知道系统的初始状态，就可以精确地预测系统的未来状态。然而，量子力学 (quantum mechanics) 表明， микроскопическом (microscopic) 世界是 probabilistic (probabilistic) 的，粒子的位置和动量不能同时精确地确定，物理规律本质上是统计规律 (statistical laws)。

量子力学 (quantum mechanics) 和相对论 (relativity) 的诞生标志着 физическая (physical) 学进入了现代物理学 (modern physics) 时代。量子力学 (quantum mechanics) 描述了 микроскопическом (microscopic) 世界的规律，相对论 (relativity) 描述了高速运动和强引力场 (strong gravitational fields) 的规律。现代物理学 (modern physics) 并没有完全取代 классическая (classical) 力学，而是在 более фундаментальный (more fundamental) 的层次上 расширила (expanded) 和发展了 классическая (classical) 力学。 классическая (classical) 力学仍然是现代物理学的重要组成部分，是理解 макроскопического (macroscopic) 世界和低速运动现象的有效理论工具，也是学习现代物理学的基础。

Appendix E: 参考文献 (References)

E.1 经典教材 (Classical Textbooks)

① 《力学讲义》(Lectures on Mechanics) - 朗道，栗弗席兹 (L.D. Landau, E.M. Lifshitz)
▮▮▮▮本书是理论物理学教程《理论物理学教程》(Course of Theoretical Physics)的第一卷，以其深刻的物理洞察力和严谨的数学推导而著称，是深入学习经典力学的权威参考书。涵盖了从牛顿力学到拉格朗日力学、哈密顿力学的完整体系，内容深刻，分析透彻，适合有一定基础的读者深入研究。

② 《经典力学》(Classical Mechanics) - 戈尔德斯坦，普尔，萨夫科 (Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr., John L. Safko)
▮▮▮▮本书是经典力学领域的标准教材，被广泛用于研究生和高年级本科生的教学。内容全面，涵盖了经典力学的各个方面，从牛顿力学到拉格朗日力学、哈密顿力学，再到连续介质力学和相对论力学。本书注重数学方法的应用，强调理论的深度和广度，是深入学习经典力学的重要参考书。

③ 《力学》(Mechanics) - 玻利霍夫 (V.I. Arnold)
▮▮▮▮本书以几何和拓扑的视角来阐述经典力学，强调力学的数学结构，深入探讨了哈密顿力学、辛几何等高级主题。本书的特色在于其独特的数学处理方法和深刻的物理见解，适合对经典力学的数学基础感兴趣的读者。

④ 《工程力学》(Engineering Mechanics) - 比尔，约翰斯顿 (Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr.)
▮▮▮▮作为工程力学的经典教材，本书以清晰的讲解和大量的例题、习题而闻名，非常适合初学者入门。虽然侧重于工程应用，但其对牛顿力学基本概念的阐述非常清晰，是建立经典力学基础的良好选择。

⑤ 《费恩曼物理学讲义》(The Feynman Lectures on Physics), Vol. 1 - 费恩曼，雷顿，桑兹 (Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands)
▮▮▮▮虽然《费恩曼物理学讲义》(The Feynman Lectures on Physics)是一套全面的物理学教材，但其第一卷中关于力学的部分以其独特的费恩曼风格，深入浅出地讲解了经典力学的基本概念和原理。费恩曼以其深刻的物理直觉和生动的语言，使抽象的力学概念变得形象易懂，激发读者对物理学的兴趣。

E.2 进阶读物 (Advanced Readings)

① 《数学物理方法》(Mathematical Methods of Physics) - 马修斯，沃克 (Jon Mathews, R.L. Walker)
▮▮▮▮本书虽然不是专门的力学教材，但其涵盖了学习经典力学所需的数学工具，如矢量分析、张量分析、微分方程、复变函数等。对于希望深入理解经典力学数学基础的读者，本书是极佳的参考。

② 《理论力学》(Theoretical Mechanics) - 巴杰 (Mehran Kardar)
▮▮▮▮本书是一本现代的理论力学教材，内容深入，涵盖了经典力学的高级主题，如混沌、非线性动力学等。本书的特色在于其现代化的视角和丰富的习题，适合希望深入学习经典力学前沿领域的读者。

③ 《经典动力学的分析力学》(Analytical Mechanics of Classical Dynamics) - 巴兹 (J.B. Barbour)
▮▮▮▮本书以独特的历史视角和哲学深度来探讨经典力学，深入分析了牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学的思想根源和发展脉络。本书适合对经典力学的历史和哲学感兴趣的读者。

E.3 在线资源 (Online Resources)

① MIT OpenCourseWare - 8.01 Physics I: Classical Mechanics: https://ocw.mit.edu/courses/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/
▮▮▮▮麻省理工学院 (MIT) 开放课件 (OpenCourseWare) 提供的经典力学课程，包含完整的课程讲义、视频、习题和解答，是自学经典力学的优质资源。

② Khan Academy - Physics library - Classical mechanics: https://www.khanacademy.org/science/physics/classical-mechanics
▮▮▮▮可汗学院 (Khan Academy) 提供的免费物理学课程，其中经典力学部分以简洁明了的视频讲解和大量的练习题而著称，适合初学者入门和巩固基础。

③ Physics Stack Exchange: https://physics.stackexchange.com/
▮▮▮▮物理学问答网站，可以在这里提问关于经典力学的各种问题，并得到来自全球物理学爱好者的解答。是解决学习疑难、深入探讨问题的良好平台。

④ Wikipedia - Classical Mechanics: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics
▮▮▮▮维基百科 (Wikipedia) 关于经典力学的条目，提供了经典力学的概述、历史、主要分支和应用等信息，是快速了解经典力学的入口。