017 《微分方程：理论、方法与应用 (Differential Equations: Theory, Methods, and Applications)》
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书籍大纲
▮▮▮▮ 1. chapter 1：微分方程导论 (Introduction to Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 微分方程的基本概念 (Basic Concepts of Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.1 微分方程的定义 (Definition of Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.2 微分方程的分类 (Classification of Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.2.1 常微分方程与偏微分方程 (Ordinary Differential Equations and Partial Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.2.2 线性与非线性微分方程 (Linear and Nonlinear Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.1.2.3 阶数 (Order)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 微分方程的解 (Solutions of Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.1 通解、特解与奇异解 (General Solution, Particular Solution, and Singular Solution)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.2 初值问题与边值问题 (Initial Value Problems and Boundary Value Problems)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.3 微分方程的建模思想 (Modeling with Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.4 初等积分法 (Elementary Integration Methods)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.4.1 直接积分法 (Direct Integration Method)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.4.2 变量分离法 (Separation of Variables)
▮▮▮▮ 2. chapter 2：一阶常微分方程 (First-Order Ordinary Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 可分离变量的微分方程 (Separable Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 齐次微分方程 (Homogeneous Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 线性微分方程 (Linear Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 积分因子法 (Integrating Factor Method)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.4 恰当微分方程 (Exact Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.5 一阶微分方程的应用 (Applications of First-Order Differential Equations)
▮▮▮▮ 3. chapter 3：高阶线性常微分方程 (Higher-Order Linear Ordinary Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.1 线性微分方程的基本理论 (Basic Theory of Linear Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.1.1 线性相关与线性无关 (Linear Dependence and Linear Independence)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.1.2 叠加原理 (Superposition Principle)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.2 常系数齐次线性微分方程 (Homogeneous Linear Differential Equations with Constant Coefficients)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.2.1 特征方程与特征根 (Characteristic Equation and Characteristic Roots)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.2.2 重根的情况 (Repeated Roots)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.3 常系数非齐次线性微分方程 (Nonhomogeneous Linear Differential Equations with Constant Coefficients)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 变参数法 (Method of Variation of Parameters)
▮▮▮▮ 4. chapter 4：常微分方程组 (Systems of Ordinary Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.1 一阶线性微分方程组 (First-Order Linear Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.2 常系数线性微分方程组 (Linear Systems with Constant Coefficients)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 相平面分析 (Phase Plane Analysis)
▮▮▮▮ 5. chapter 5：拉普拉斯变换 (Laplace Transform)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.1 拉普拉斯变换的定义与性质 (Definition and Properties of Laplace Transform)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.2 逆拉普拉斯变换 (Inverse Laplace Transform)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.3 拉普拉斯变换在解微分方程中的应用 (Applications of Laplace Transform in Solving Differential Equations)
▮▮▮▮ 6. chapter 6：级数解法 (Series Solutions)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.1 幂级数解法 (Power Series Solutions)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.2 弗罗贝尼乌斯方法 (Frobenius Method)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.3 特殊函数 (Special Functions)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.3.1 贝塞尔函数 (Bessel Functions)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.3.2 勒让德多项式 (Legendre Polynomials)
▮▮▮▮ 7. chapter 7：偏微分方程初步 (Introduction to Partial Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.1 偏微分方程的基本概念 (Basic Concepts of Partial Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.2 常见的偏微分方程 (Common Partial Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.2.1 热传导方程 (Heat Equation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.2.2 波动方程 (Wave Equation)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.2.3 拉普拉斯方程 (Laplace's Equation)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.3 分离变量法 (Separation of Variables Method)
▮▮▮▮ 8. chapter 8：偏微分方程的解法 (Methods for Solving Partial Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.1 特征线法 (Method of Characteristics)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.2 积分变换法 (Integral Transform Methods)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.3 格林函数法 (Green's Function Method)
▮▮▮▮ 9. chapter 9：数值解法 (Numerical Methods)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.1 常微分方程的数值解法 (Numerical Methods for Ordinary Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.1 欧拉方法 (Euler Method)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.1.2 龙格-库塔方法 (Runge-Kutta Methods)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.2 偏微分方程的数值解法 (Numerical Methods for Partial Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.2.1 有限差分法 (Finite Difference Method)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 9.2.2 有限元法 (Finite Element Method)
▮▮▮▮ 10. chapter 10：稳定性理论与动力系统 (Stability Theory and Dynamical Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.1 稳定性概念 (Concepts of Stability)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 10.1.1 李雅普诺夫稳定性 (Lyapunov Stability)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.2 线性系统的稳定性 (Stability of Linear Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.3 非线性系统的稳定性 (Stability of Nonlinear Systems)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.4 极限环与分支 (Limit Cycles and Bifurcations)
▮▮▮▮ 11. chapter 11：微分方程的应用 (Applications of Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.1 物理学中的应用 (Applications in Physics)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.1.1 牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.1.2 热传导问题 (Heat Conduction Problems)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.1.3 波动现象 (Wave Phenomena)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.2 工程学中的应用 (Applications in Engineering)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.2.1 电路分析 (Circuit Analysis)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 11.2.2 机械振动 (Mechanical Vibrations)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.3 生物学与经济学中的应用 (Applications in Biology and Economics)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.4 案例分析 (Case Studies)
1. chapter 1：微分方程导论 (Introduction to Differential Equations)
1.1 微分方程的基本概念 (Basic Concepts of Differential Equations)
1.1.1 微分方程的定义 (Definition of Differential Equations)
微分方程 (Differential Equations) 是一种描述自变量、未知函数以及未知函数导数之间关系的方程。简单来说，微分方程就是“含有导数的方程”。它广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学等多个领域，是解决各种科学与工程问题的强大数学工具。
① 定义: 一个含有未知函数 \(y(x)\) 的导数（或微分）的方程，称为微分方程。更一般地，如果未知函数是多个自变量的函数，且方程中含有未知函数对多个自变量的偏导数（或偏微分），则称之为偏微分方程。
② 数学表达式: 微分方程的一般形式可以表示为：
\[ F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 \]
或者，对于偏微分方程，
\[ G(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \ldots) = 0 \]
其中：
▮▮▮▮ⓐ \(x\) 是自变量。
▮▮▮▮ⓑ \(y = y(x)\) 是未知函数，对于偏微分方程，\(u = u(x, y, \ldots)\) 是多元未知函数。
▮▮▮▮ⓒ \(y', y'', \ldots, y^{(n)}\) 表示 \(y\) 对 \(x\) 的各阶导数，例如 \(y' = \frac{dy}{dx}\), \(y'' = \frac{d^2y}{dx^2}\), ..., \(y^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}\)。
▮▮▮▮ⓓ \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \ldots\) 表示 \(u\) 对各个自变量的偏导数。
▮▮▮▮ⓔ \(F\) 和 \(G\) 是给定的函数。
③ 示例:
⚝ 一个简单的常微分方程的例子是：
\[ \frac{dy}{dx} = k y \]
这个方程描述了某个量 \(y\) 的变化率 \(\frac{dy}{dx}\) 与其自身的值 \(y\) 成正比，其中 \(k\) 是常数。例如，它可以用来描述人口增长模型或放射性物质的衰变过程。
⚝ 一个偏微分方程的例子是热传导方程 (Heat Equation)：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
这个方程描述了物体内部温度 \(u\) 随时间 \(t\) 和空间位置 \(x\) 的变化规律，其中 \(\alpha\) 是热扩散系数。
1.1.2 微分方程的分类 (Classification of Differential Equations)
微分方程可以根据不同的标准进行分类，主要的分类方式包括：按照导数的类型、线性性以及阶数进行分类。
1.1.2.1 常微分方程与偏微分方程 (Ordinary Differential Equations and Partial Differential Equations)
这是根据方程中未知函数的导数类型进行分类的。
① 常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs)：如果微分方程中未知函数只含有一个自变量，且方程中出现的是未知函数对这一个自变量的导数（全导数），则称之为常微分方程。
⚝ 示例:
▮▮▮▮⚝ \(\frac{dy}{dx} + 2y = \sin(x)\)
▮▮▮▮⚝ \(y'' - 3y' + 2y = 0\)
▮▮▮▮⚝ \(\frac{d^2x}{dt^2} = -g\) (自由落体运动方程，其中 \(x\) 是高度，\(t\) 是时间，\(g\) 是重力加速度)
② 偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs)：如果微分方程中未知函数含有两个或两个以上的自变量，且方程中出现的是未知函数对这些自变量的偏导数，则称之为偏微分方程。
⚝ 示例:
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) (一维热传导方程，其中 \(u(x, t)\) 是温度，\(x\) 是空间位置，\(t\) 是时间，\(c\) 是常数)
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\) (二维拉普拉斯方程 (Laplace's Equation)，其中 \(u(x, y)\) 是势函数)
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) (波动方程 (Wave Equation)，其中 \(u(x, t)\) 是波的位移，\(a\) 是波速)
1.1.2.2 线性与非线性微分方程 (Linear and Nonlinear Differential Equations)
这是根据方程中未知函数及其导数的线性性进行分类的。
① 线性微分方程 (Linear Differential Equations)：如果微分方程中，未知函数及其各阶导数都是一次的，并且不含有未知函数及其导数之间的乘积或复合函数，则称之为线性微分方程。线性微分方程具有叠加原理，这是一个非常重要的性质。
⚝ 线性常微分方程的一般形式:
\[ a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x) y = f(x) \]
其中，系数 \(a_i(x)\) 和 \(f(x)\) 都是关于自变量 \(x\) 的函数，或者常数。
⚝ 线性偏微分方程的例子:
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) (热传导方程)
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\) (拉普拉斯方程)
② 非线性微分方程 (Nonlinear Differential Equations)：如果微分方程不满足线性微分方程的条件，即方程中含有未知函数或其导数的非线性项（例如平方、三角函数、指数函数等），或者含有未知函数及其导数之间的乘积，则称之为非线性微分方程。非线性微分方程的行为通常非常复杂，可能出现多解、混沌等现象。
⚝ 非线性常微分方程的例子:
▮▮▮▮⚝ \(\frac{dy}{dx} = y^2\) (非线性项 \(y^2\))
▮▮▮▮⚝ \(\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin(\theta) = 0\) (单摆方程，非线性项 \(\sin(\theta)\))
▮▮▮▮⚝ \(y'' + (y')^2 + y = 0\) (导数的平方项 \((y')^2\))
⚝ 非线性偏微分方程的例子:
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) (Burgers' 方程，非线性项 \(u \frac{\partial u}{\partial x}\))
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 u = F(u)\) (非线性波动方程，非线性项 \(F(u)\))
1.1.2.3 阶数 (Order)
微分方程的阶数是指方程中出现的未知函数导数的最高阶数。
① 定义: 微分方程的阶数由方程中出现的最高阶导数决定。
② 常微分方程的阶数: 对于常微分方程 \(F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0\)，其阶数是方程中 \(y\) 对 \(x\) 求导的最高阶数 \(n\)。
⚝ 示例:
▮▮▮▮⚝ \(\frac{dy}{dx} + 2y = \sin(x)\) --- 一阶常微分方程 (最高阶导数为一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\))
▮▮▮▮⚝ \(y'' - 3y' + 2y = 0\) --- 二阶常微分方程 (最高阶导数为二阶导数 \(y'' = \frac{d^2y}{dx^2}\))
▮▮▮▮⚝ \(y''' + y'' - y' + y = e^x\) --- 三阶常微分方程 (最高阶导数为三阶导数 \(y''' = \frac{d^3y}{dx^3}\))
③ 偏微分方程的阶数: 对于偏微分方程 \(G(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \ldots) = 0\)，其阶数是方程中未知函数 \(u\) 的偏导数的最高阶数。
⚝ 示例:
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) --- 二阶偏微分方程 (最高阶偏导数为二阶偏导数 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\))
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\) --- 二阶偏微分方程 (最高阶偏导数为二阶偏导数 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) 和 \(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\))
▮▮▮▮⚝ \(\frac{\partial^3 u}{\partial x^3} + \frac{\partial u}{\partial y} = u\) --- 三阶偏微分方程 (最高阶偏导数为三阶偏导数 \(\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\))
1.2 微分方程的解 (Solutions of Differential Equations)
微分方程的解是指满足该微分方程的函数。根据解的性质和形式，可以分为通解、特解和奇异解。
1.2.1 通解、特解与奇异解 (General Solution, Particular Solution, and Singular Solution)
① 通解 (General Solution)：一个 \(n\) 阶微分方程的通解是包含 \(n\) 个独立的任意常数的解。通解代表了微分方程解的最一般形式，它描述了一族解。
⚝ 理解: 对于 \(n\) 阶常微分方程，我们需要进行 \(n\) 次积分才能求解，每次积分都会引入一个任意常数。因此，通解中包含 \(n\) 个任意常数是合理的。
⚝ 示例: 考虑一阶常微分方程 \(\frac{dy}{dx} = 2x\)。对其积分得到 \(y = \int 2x \, dx = x^2 + C\)，其中 \(C\) 是任意常数。\(y = x^2 + C\) 就是该微分方程的通解。
② 特解 (Particular Solution)：特解是通过确定通解中的任意常数而得到的具体解。确定常数通常需要利用初始条件或边界条件。
⚝ 理解: 初始条件或边界条件给出了在特定点或边界上解的取值或导数值，利用这些条件可以唯一确定通解中的常数，从而得到特解。
⚝ 示例: 对于微分方程 \(\frac{dy}{dx} = 2x\)，其通解为 \(y = x^2 + C\)。如果给定初始条件 \(y(0) = 1\)，将 \(x = 0, y = 1\) 代入通解，得到 \(1 = 0^2 + C\)，解得 \(C = 1\)。因此，特解为 \(y = x^2 + 1\)。
③ 奇异解 (Singular Solution)：奇异解是不能通过在通解中选取合适的常数而得到的解。奇异解通常与微分方程的包络线有关，并且可能在某些特殊情况下出现。奇异解不是所有微分方程都存在，且其性质较为特殊。
⚝ 理解: 奇异解的出现往往与微分方程的非线性性质有关。它不属于通解所代表的解族，是微分方程的另一种类型的解。
⚝ 示例: 考虑微分方程 \(y = xy' + (y')^2\)。其通解为 \(y = Cx + C^2\)，其中 \(C\) 是任意常数。奇异解为 \(y = -\frac{x^2}{4}\)。可以验证 \(y = -\frac{x^2}{4}\) 确实是原方程的解，但它无法通过在通解 \(y = Cx + C^2\) 中选取任何常数 \(C\) 得到。
1.2.2 初值问题与边值问题 (Initial Value Problems and Boundary Value Problems)
为了从微分方程的通解中确定特解，我们需要附加一些条件。根据附加条件类型的不同，微分方程的问题可以分为初值问题和边值问题。
① 初值问题 (Initial Value Problems, IVPs)：对于常微分方程，如果给定的附加条件是在同一个自变量值处，指定未知函数及其若干阶导数值的条件，则称之为初值问题。通常，对于 \(n\) 阶常微分方程，需要给定 \(n\) 个初始条件才能确定唯一特解。
⚝ 形式: 对于 \(n\) 阶常微分方程：
\[ F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0 \]
附加初始条件：
\[ y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} \]
其中 \(x_0, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}\) 是给定的常数。
⚝ 示例:
\[ \begin{cases} \frac{dy}{dx} = 2x \\ y(0) = 1 \end{cases} \]
这是一个一阶常微分方程的初值问题，初始条件在 \(x = 0\) 处给出。
② 边值问题 (Boundary Value Problems, BVPs)：对于常微分方程，如果给定的附加条件是在不同的自变量值处，指定未知函数或其导数值的条件，则称之为边值问题。对于二阶及以上的常微分方程，边值问题较为常见。
⚝ 形式: 对于二阶常微分方程（以二阶为例）：
\[ G(x, y, y', y'') = 0 \]
附加边界条件可能的形式有多种，例如：
▮▮▮▮⚝ \(y(a) = A, \quad y(b) = B\) (狄利克雷边界条件 (Dirichlet Boundary Conditions))
▮▮▮▮⚝ \(y'(a) = C, \quad y'(b) = D\) (诺伊曼边界条件 (Neumann Boundary Conditions))
▮▮▮▮⚝ \(y(a) = A, \quad y'(b) = D\) (混合边界条件)
其中 \(a, b, A, B, C, D\) 是给定的常数，且 \(a \neq b\)。
⚝ 示例:
\[ \begin{cases} y'' + y = 0 \\ y(0) = 0 \\ y(\pi/2) = 1 \end{cases} \]
这是一个二阶常微分方程的边值问题，边界条件分别在 \(x = 0\) 和 \(x = \pi/2\) 处给出。
⚝ 偏微分方程的边值问题: 对于偏微分方程，边值问题通常是在区域的边界上给定条件。例如，在求解拉普拉斯方程 \(\nabla^2 u = 0\) 时，可能需要在区域边界 \(\partial \Omega\) 上给定狄利克雷边界条件 \(u|_{\partial \Omega} = g\) 或诺伊曼边界条件 \(\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial \Omega} = h\)，其中 \(g\) 和 \(h\) 是边界上的给定函数，\(\frac{\partial u}{\partial n}\) 表示沿边界外法线方向的导数。
1.3 微分方程的建模思想 (Modeling with Differential Equations)
微分方程之所以在科学和工程领域中如此重要，很大程度上是因为它们是描述自然规律和物理过程的有效数学工具。利用微分方程进行建模，可以帮助我们理解和预测各种现象的演变规律。
① 建模步骤: 使用微分方程进行建模通常包括以下步骤：
⚝ 确定研究对象和目标: 明确要研究的系统或过程，以及希望通过建模解决的问题。例如，研究人口增长、物体运动、热量传递等。
⚝ 识别关键变量和参数: 确定描述系统状态的关键变量（未知函数）和影响系统行为的参数（常数或已知函数）。例如，人口数量、物体位置、温度、速率常数等。
⚝ 建立基本关系: 根据物理定律、化学原理、生物规律、经济模型等，分析关键变量之间的关系，特别是变量的变化率与变量自身及其他因素的关系。这通常涉及到变化率的概念，而变化率正是导数的本质。
⚝ 列出微分方程: 将识别出的关系用数学语言表达出来，得到微分方程。这通常需要将变化率表示为导数，并将其他关系转化为方程的形式。
⚝ 求解微分方程: 选择合适的数学方法求解得到的微分方程，得到解函数。解函数描述了关键变量随自变量变化的规律。
⚝ 分析和验证模型: 分析解函数的性质，检验模型是否合理，是否符合实际情况。可以通过实验数据、观测结果等验证模型的准确性。如果模型与实际情况不符，需要返回前面的步骤，修正模型。
② 建模示例 - 人口增长模型: 考虑一个简单的人口增长模型。
⚝ 研究对象和目标: 研究一个封闭环境中人口数量随时间的变化规律。
⚝ 关键变量和参数: 关键变量是人口数量 \(P(t)\)，自变量是时间 \(t\)。假设人口增长率与当前人口数量成正比，比例系数为 \(r\)（增长率常数）。
⚝ 建立基本关系: 人口增长率 \(\frac{dP}{dt}\) 与人口数量 \(P\) 成正比，即 \(\frac{dP}{dt} \propto P\)。
⚝ 列出微分方程: 将比例关系转化为方程：\(\frac{dP}{dt} = rP\)。这是一个一阶线性常微分方程。
⚝ 求解微分方程: 这是一个可分离变量的微分方程，解为 \(P(t) = P_0 e^{rt}\)，其中 \(P_0 = P(0)\) 是初始人口数量。
⚝ 分析和验证模型: 解函数 \(P(t) = P_0 e^{rt}\) 表示人口数量呈指数增长。在一定条件下，这个模型可以较好地描述人口增长的初期阶段。但当人口数量过大时，资源限制等因素会使增长率下降，这时就需要更复杂的模型来描述。
③ 建模的重要性: 微分方程建模是连接数学理论与实际问题的桥梁。通过建模，我们可以将复杂的实际问题转化为数学问题进行研究，利用数学工具求解和分析，从而深入理解问题的本质，并为预测、控制和优化系统行为提供科学依据。
1.4 初等积分法 (Elementary Integration Methods)
初等积分法是一类直接通过积分运算求解某些特殊类型微分方程的方法。这些方法主要适用于一些结构简单的微分方程，例如可以直接积分的方程和可以分离变量的方程。
1.4.1 直接积分法 (Direct Integration Method)
直接积分法适用于可以直接通过积分求解的微分方程，这类方程通常是导数直接等于一个已知函数的形式。
① 形式: 考虑最简单的形式的一阶常微分方程：
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]
其中 \(f(x)\) 是已知函数。
② 求解方法: 对方程两边直接关于 \(x\) 积分，即可得到解：
\[ y(x) = \int f(x) \, dx + C \]
其中 \(C\) 是积分常数。
③ 示例: 求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = \cos(x)\)。
⚝ 解: 对方程两边积分：
\[ y(x) = \int \cos(x) \, dx + C = \sin(x) + C \]
因此，\(y(x) = \sin(x) + C\) 是该微分方程的通解。
④ 高阶方程的直接积分: 直接积分法也可以推广到某些高阶常微分方程。例如，对于二阶常微分方程 \(\frac{d^2y}{dx^2} = g(x)\)，可以连续积分两次求解。
⚝ 示例: 求解微分方程 \(\frac{d^2y}{dx^2} = x\)。
⚝ 解: 首先积分一次：
\[ \frac{dy}{dx} = \int x \, dx + C_1 = \frac{1}{2}x^2 + C_1 \]
再积分一次：
\[ y(x) = \int \left( \frac{1}{2}x^2 + C_1 \right) \, dx + C_2 = \frac{1}{6}x^3 + C_1x + C_2 \]
因此，\(y(x) = \frac{1}{6}x^3 + C_1x + C_2\) 是该微分方程的通解，其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数。
1.4.2 变量分离法 (Separation of Variables)
变量分离法是求解一阶常微分方程的一种重要方法，它适用于可以将自变量和因变量分离到方程两边的微分方程。
① 形式: 考虑一阶常微分方程可以写成如下形式：
\[ g(y) \frac{dy}{dx} = f(x) \]
或者更常见的形式：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]
也可以写成微分形式：
\[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]
其中 \(f(x)\) 是只关于 \(x\) 的函数，\(g(y)\) 是只关于 \(y\) 的函数。
② 求解方法: 对分离变量后的方程两边同时积分：
\[ \int g(y) \, dy = \int f(x) \, dx \]
积分后得到一个隐式解，有时可以显式解出 \(y(x)\)。
③ 步骤总结:
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 将微分方程变形为变量分离的形式 \(g(y) \, dy = f(x) \, dx\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 两边同时积分：\(\int g(y) \, dy = \int f(x) \, dx\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 计算积分，得到隐式解或显式解。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 如果给定初始条件，利用初始条件确定积分常数，得到特解。
④ 示例: 求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 分离变量: 将方程变形为 \(y \, dy = x \, dx\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 两边积分: \(\int y \, dy = \int x \, dx\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 计算积分: 得到 \(\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C_1\)，其中 \(C_1\) 是积分常数。整理得到 \(y^2 = x^2 + 2C_1\)。令 \(C = 2C_1\)，则隐式解为 \(y^2 = x^2 + C\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 显式解: 可以解出显式解 \(y = \pm \sqrt{x^2 + C}\)。
⑤ 示例: 求解初值问题 \(\frac{dy}{dx} = -2xy, \quad y(0) = 1\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 分离变量: 将方程变形为 \(\frac{dy}{y} = -2x \, dx\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 两边积分: \(\int \frac{1}{y} \, dy = \int -2x \, dx\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 计算积分: 得到 \(\ln|y| = -x^2 + C_1\)，其中 \(C_1\) 是积分常数。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 显式解: 两边取指数得到 \(|y| = e^{-x^2 + C_1} = e^{C_1} e^{-x^2}\)。令 \(C = \pm e^{C_1}\) (或 \(C = 0\) 包含 \(y=0\) 解)，则通解为 \(y = Ce^{-x^2}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 确定特解: 利用初始条件 \(y(0) = 1\)，代入通解得到 \(1 = Ce^{-0^2} = C\)。因此 \(C = 1\)，特解为 \(y = e^{-x^2}\)。
变量分离法是求解一阶常微分方程的常用且有效的方法，它将复杂的微分方程求解问题转化为简单的积分运算，为后续学习更高级的微分方程解法奠定了基础。
2. chapter 2：一阶常微分方程 (First-Order Ordinary Differential Equations)
2.1 可分离变量的微分方程 (Separable Differential Equations)
可分离变量的微分方程 (Separable Differential Equations) 是一类特殊的常微分方程，其特点是可以将方程中的变量 \(x\) 和 \(y\) 分离到等号的两侧，从而简化求解过程。
定义 2.1.1 (可分离变量的微分方程)：如果一个一阶常微分方程可以写成如下形式
\[ g(y) \frac{dy}{dx} = f(x) \]
或者等价地表示为
\[ g(y) dy = f(x) dx \]
其中 \(f(x)\) 是仅关于 \(x\) 的函数，\(g(y)\) 是仅关于 \(y\) 的函数，则称该微分方程为可分离变量的微分方程。
求解方法：
对于可分离变量的微分方程 \(g(y) dy = f(x) dx\)，可以通过两边同时积分来求解。
\[ \int g(y) dy = \int f(x) dx \]
设 \(G(y)\) 是 \(g(y)\) 的一个原函数，\(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，则方程的通解可以表示为
\[ G(y) = F(x) + C \]
其中 \(C\) 为任意常数。这是一个隐式解。在某些情况下，我们可以将解表示为显式形式 \(y = \phi(x, C)\)。
例 2.1.1：求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y^2}\)。
解：这是一个可分离变量的微分方程，可以写成
\[ y^2 dy = x dx \]
两边积分，得到
\[ \int y^2 dy = \int x dx \]
\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} + C_1 \]
为了简化形式，可以将常数项合并并整理，得到通解的隐式形式：
\[ 2y^3 = 3x^2 + C \]
其中 \(C = 6C_1\)。
例 2.1.2：求解初值问题 \(\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y}\)，\(y(0) = 1\)。
解：首先分离变量，得到
\[ y dy = -x dx \]
两边积分，
\[ \int y dy = \int -x dx \]
\[ \frac{y^2}{2} = - \frac{x^2}{2} + C_1 \]
整理得到通解的隐式形式：
\[ x^2 + y^2 = C \]
其中 \(C = 2C_1\)。这是一个圆的方程。
接下来，利用初值条件 \(y(0) = 1\) 确定常数 \(C\)。将 \(x = 0\)，\(y = 1\) 代入通解，得到
\[ 0^2 + 1^2 = C \]
所以 \(C = 1\)。因此，初值问题的特解为
\[ x^2 + y^2 = 1 \]
这是一个以原点为圆心，半径为 1 的圆。由于初值条件 \(y(0) = 1 > 0\)，我们通常取显式解的上半部分：
\[ y = \sqrt{1 - x^2} \]
2.2 齐次微分方程 (Homogeneous Differential Equations)
齐次微分方程 (Homogeneous Differential Equations) 是另一种可以转化为可分离变量方程的一阶常微分方程。
定义 2.2.1 (齐次函数)：如果函数 \(f(x, y)\) 满足对于任意 \(t > 0\)，都有 \(f(tx, ty) = t^n f(x, y)\)，其中 \(n\) 为常数，则称 \(f(x, y)\) 为 \(n\) 次齐次函数。
定义 2.2.2 (齐次微分方程)：如果一阶常微分方程可以写成形式
\[ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) \]
或者可以写成
\[ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \]
其中 \(M(x, y)\) 和 \(N(x, y)\) 都是同次齐次函数，则称该微分方程为齐次微分方程。
求解方法：
为了求解齐次微分方程 \(\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)\)，我们引入变量替换 \(u = \frac{y}{x}\)，即 \(y = ux\)。则 \(\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}\)。将 \(y = ux\) 和 \(\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}\) 代入原方程，得到
\[ u + x \frac{du}{dx} = F(u) \]
整理得到关于 \(u\) 和 \(x\) 的可分离变量方程
\[ x \frac{du}{dx} = F(u) - u \]
\[ \frac{du}{F(u) - u} = \frac{dx}{x} \]
两边积分，求出 \(u\) 关于 \(x\) 的函数关系，然后再将 \(u = \frac{y}{x}\) 代回，即可得到原方程的解。
例 2.2.1：求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}\)。
解：首先将方程改写为 \(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y^2}{x^2} - 1}{2\frac{y}{x}}\)。令 \(u = \frac{y}{x}\)，则 \(y = ux\)，\(\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}\)。代入原方程，得到
\[ u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} \]
\[ x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-u^2 - 1}{2u} = - \frac{u^2 + 1}{2u} \]
分离变量，
\[ \frac{2u}{u^2 + 1} du = - \frac{dx}{x} \]
两边积分，
\[ \int \frac{2u}{u^2 + 1} du = \int - \frac{dx}{x} \]
\[ \ln(u^2 + 1) = - \ln|x| + C_1 = \ln|x|^{-1} + C_1 \]
\[ \ln(u^2 + 1) + \ln|x| = C_1 \]
\[ \ln(|x|(u^2 + 1)) = C_1 \]
\[ |x|(u^2 + 1) = e^{C_1} = C \]
其中 \(C = e^{C_1} > 0\)。将 \(u = \frac{y}{x}\) 代回，得到
\[ |x|\left(\left(\frac{y}{x}\right)^2 + 1\right) = C \]
\[ |x|\left(\frac{y^2}{x^2} + 1\right) = C \]
如果假设 \(x > 0\)，则 \(|x| = x\)，方程变为
\[ x\left(\frac{y^2}{x^2} + 1\right) = C \]
\[ \frac{y^2}{x} + x = C \]
\[ y^2 + x^2 = Cx \]
\[ x^2 - Cx + y^2 = 0 \]
配方，得到
\[ \left(x - \frac{C}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{C}{2}\right)^2 \]
这是一族圆心在 \((\frac{C}{2}, 0)\)，半径为 \(\frac{C}{2}\) 的圆。
2.3 线性微分方程 (Linear Differential Equations)
线性微分方程 (Linear Differential Equations) 是一类非常重要且应用广泛的微分方程。
定义 2.3.1 (一阶线性微分方程)：一阶线性微分方程的标准形式为
\[ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \]
其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是给定的关于 \(x\) 的函数。如果 \(Q(x) = 0\)，则称方程为齐次线性微分方程 (homogeneous linear differential equation)；如果 \(Q(x) \neq 0\)，则称方程为非齐次线性微分方程 (nonhomogeneous linear differential equation)。注意这里的“齐次”和 2.2 节的“齐次微分方程”是不同的概念。
2.3.1 积分因子法 (Integrating Factor Method)
积分因子法 (Integrating Factor Method) 是求解一阶线性微分方程的常用方法。其核心思想是找到一个适当的函数 \(\mu(x)\) (称为积分因子 (integrating factor))，使得方程 \(\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)\) 乘以 \(\mu(x)\) 后，左边可以化为一个乘积的导数。
考虑方程 \(\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)\)，两边同时乘以积分因子 \(\mu(x)\)，得到
\[ \mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x) \]
我们希望左边可以写成 \(\frac{d}{dx}(\mu(x) y)\) 的形式。根据乘积的导数公式，\(\frac{d}{dx}(\mu(x) y) = \mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu'(x) y\)。因此，我们需要选择 \(\mu(x)\) 使得
\[ \mu(x) P(x) y = \mu'(x) y \]
即
\[ \mu'(x) = \mu(x) P(x) \]
这是一个关于 \(\mu(x)\) 的可分离变量微分方程：
\[ \frac{d\mu}{\mu} = P(x) dx \]
两边积分，
\[ \int \frac{d\mu}{\mu} = \int P(x) dx \]
\[ \ln|\mu| = \int P(x) dx \]
取指数，得到积分因子
\[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} \]
通常我们取 \(C = 0\)，即 \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\) 即可。
得到积分因子 \(\mu(x)\) 后，原方程乘以 \(\mu(x)\) 变为
\[ \mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x) \]
\[ \frac{d}{dx}(\mu(x) y) = \mu(x) Q(x) \]
两边积分，
\[ \int \frac{d}{dx}(\mu(x) y) dx = \int \mu(x) Q(x) dx \]
\[ \mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) dx + C \]
最后，解出 \(y\)，得到通解
\[ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right) \]
求解步骤总结：
① 将一阶线性微分方程化为标准形式 \(\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)\)。
② 计算积分因子 \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\)。
③ 将方程两边乘以积分因子 \(\mu(x)\)，得到 \(\frac{d}{dx}(\mu(x) y) = \mu(x) Q(x)\)。
④ 两边积分，得到 \(\mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) dx + C\)。
⑤ 解出 \(y\)，得到通解 \(y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)\)。
例 2.3.1：求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}\)。
解：这是一个一阶线性微分方程，其中 \(P(x) = 2\)，\(Q(x) = e^{-x}\)。
① 积分因子为 \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}\)。
② 方程两边乘以 \(\mu(x) = e^{2x}\)，得到
\[ e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x} y = e^{2x} e^{-x} \]
\[ \frac{d}{dx}(e^{2x} y) = e^{x} \]
③ 两边积分，
\[ \int \frac{d}{dx}(e^{2x} y) dx = \int e^{x} dx \]
\[ e^{2x} y = e^{x} + C \]
④ 解出 \(y\)，得到通解
\[ y = e^{-2x} (e^{x} + C) = e^{-x} + C e^{-2x} \]
例 2.3.2：求解初值问题 \(x \frac{dy}{dx} - y = x^2 \sin x\)，\(y(\pi) = 0\)，其中 \(x > 0\)。
解：首先将方程化为标准形式，两边除以 \(x\)，得到
\[ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x \sin x \]
其中 \(P(x) = - \frac{1}{x}\)，\(Q(x) = x \sin x\)。
① 积分因子为 \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int - \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = |x|^{-1}\)。由于 \(x > 0\)，所以 \(\mu(x) = \frac{1}{x}\)。
② 方程两边乘以 \(\mu(x) = \frac{1}{x}\)，得到
\[ \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = \sin x \]
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) = \sin x \]
③ 两边积分，
\[ \int \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} y\right) dx = \int \sin x dx \]
\[ \frac{1}{x} y = - \cos x + C \]
④ 解出 \(y\)，得到通解
\[ y = x (-\cos x + C) = -x \cos x + Cx \]
⑤ 利用初值条件 \(y(\pi) = 0\) 确定常数 \(C\)。将 \(x = \pi\)，\(y = 0\) 代入通解，得到
\[ 0 = -\pi \cos \pi + C\pi = -\pi (-1) + C\pi = \pi + C\pi \]
\[ C\pi = -\pi \]
\[ C = -1 \]
因此，初值问题的特解为
\[ y = -x \cos x - x = -x(\cos x + 1) \]
2.4 恰当微分方程 (Exact Differential Equations)
恰当微分方程 (Exact Differential Equations) 是另一类重要的一阶常微分方程，其解法基于全微分的概念。
定义 2.4.1 (恰当微分方程)：形如 \(M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0\) 的一阶微分方程，如果存在一个二元函数 \(\Phi(x, y)\)，使得
\[ d\Phi(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy \]
则称该微分方程为恰当微分方程，\(\Phi(x, y)\) 称为势函数 (potential function)。此时，方程的通解为 \(\Phi(x, y) = C\)，其中 \(C\) 为任意常数。
恰当微分方程的判别条件：
定理 2.4.1：设 \(M(x, y)\) 和 \(N(x, y)\) 在单连通区域 \(D\) 内具有连续的一阶偏导数，则方程 \(M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0\) 在 \(D\) 内是恰当微分方程的充分必要条件是
\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \]
求解方法：
如果方程 \(M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0\) 是恰当微分方程，则存在势函数 \(\Phi(x, y)\) 使得 \(\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x, y)\) 且 \(\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x, y)\)。求解 \(\Phi(x, y)\) 的步骤如下：
① 对 \(\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x, y)\) 两边关于 \(x\) 积分（将 \(y\) 看作常数），得到
\[ \Phi(x, y) = \int M(x, y) dx + h(y) \]
其中 \(h(y)\) 是关于 \(y\) 的待定函数，相当于积分常数，因为它对 \(x\) 的偏导数为零。
② 将上式对 \(y\) 求偏导数，并令其等于 \(N(x, y)\)，即
\[ \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x, y) dx + h(y) \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x, y) dx \right) + h'(y) = N(x, y) \]
由此解出 \(h'(y)\)，再积分得到 \(h(y)\)。
③ 将求得的 \(h(y)\) 代入 \(\Phi(x, y) = \int M(x, y) dx + h(y)\)，得到势函数 \(\Phi(x, y)\)。
④ 方程的通解为 \(\Phi(x, y) = C\)。
例 2.4.1：求解微分方程 \((2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy = 0\)。
解：这里 \(M(x, y) = 2xy + y^2\)，\(N(x, y) = x^2 + 2xy\)。
首先检验是否为恰当微分方程：
\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy + y^2) = 2x + 2y \]
\[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 2xy) = 2x + 2y \]
由于 \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\)，所以方程是恰当微分方程。
① 求解势函数 \(\Phi(x, y)\)。先对 \(M(x, y)\) 关于 \(x\) 积分：
\[ \Phi(x, y) = \int M(x, y) dx + h(y) = \int (2xy + y^2) dx + h(y) = x^2 y + xy^2 + h(y) \]
② 对 \(\Phi(x, y)\) 关于 \(y\) 求偏导数，并令其等于 \(N(x, y)\)：
\[ \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y + xy^2 + h(y)) = x^2 + 2xy + h'(y) = N(x, y) = x^2 + 2xy \]
所以 \(h'(y) = 0\)，积分得到 \(h(y) = C_1\) (常数)。为了得到通解，我们可以取 \(C_1 = 0\)。
③ 势函数为 \(\Phi(x, y) = x^2 y + xy^2\)。
④ 通解为 \(\Phi(x, y) = C\)，即 \(x^2 y + xy^2 = C\)。
例 2.4.2：求解微分方程 \((3x^2 y + 2xy) dx + (x^2 + x^3) dy = 0\)。
解：这里 \(M(x, y) = 3x^2 y + 2xy\)，\(N(x, y) = x^2 + x^3\)。
检验是否为恰当微分方程：
\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y + 2xy) = 3x^2 + 2x \]
\[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + x^3) = 2x + 3x^2 \]
由于 \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\)，所以方程是恰当微分方程。
① 求解势函数 \(\Phi(x, y)\)。先对 \(N(x, y)\) 关于 \(y\) 积分（选择积分 \(N\) 可以简化计算，有时积分 \(M\) 更简单）：
\[ \Phi(x, y) = \int N(x, y) dy + g(x) = \int (x^2 + x^3) dy + g(x) = (x^2 + x^3) y + g(x) \]
② 对 \(\Phi(x, y)\) 关于 \(x\) 求偏导数，并令其等于 \(M(x, y)\)：
\[ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ((x^2 + x^3) y + g(x)) = (2x + 3x^2) y + g'(x) = M(x, y) = 3x^2 y + 2xy \]
所以 \(g'(x) = 0\)，积分得到 \(g(x) = C_1\) (常数)。取 \(C_1 = 0\)。
③ 势函数为 \(\Phi(x, y) = (x^2 + x^3) y\)。
④ 通解为 \(\Phi(x, y) = C\)，即 \((x^2 + x^3) y = C\)。
2.5 一阶微分方程的应用 (Applications of First-Order Differential Equations)
一阶微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有着广泛的应用。以下列举一些典型的应用例子。
例 2.5.1 (人口增长模型)：设 \(N(t)\) 表示 \(t\) 时刻的人口数量，假设人口增长率与当前人口数量成正比，即 \(\frac{dN}{dt} = rN\)，其中 \(r\) 为常数增长率。这是一个可分离变量的微分方程，解为 \(N(t) = N_0 e^{rt}\)，其中 \(N_0 = N(0)\) 是初始人口数量。这个模型描述了指数增长现象。
例 2.5.2 (放射性衰变)：放射性物质的衰变速率与剩余物质的量成正比，设 \(A(t)\) 表示 \(t\) 时刻放射性物质的量，则 \(\frac{dA}{dt} = -kA\)，其中 \(k > 0\) 为衰变常数。解为 \(A(t) = A_0 e^{-kt}\)，其中 \(A_0 = A(0)\) 是初始物质的量。
例 2.5.3 (牛顿冷却定律)：物体在空气中的冷却速率与物体温度与环境温度之差成正比。设 \(T(t)\) 为 \(t\) 时刻物体的温度，\(T_m\) 为环境温度，则 \(\frac{dT}{dt} = -k(T - T_m)\)，其中 \(k > 0\) 为冷却系数。这是一个一阶线性微分方程，可以通过变量替换 \(y = T - T_m\) 转化为可分离变量方程求解。
例 2.5.4 (电路分析 - RC 电路)：在包含电阻 \(R\) 和电容 \(C\) 的串联电路中，电容上的电压 \(V_C\) 满足微分方程 \(RC \frac{dV_C}{dt} + V_C = V_S(t)\)，其中 \(V_S(t)\) 是电源电压。当 \(V_S(t)\) 为常数时，这是一个一阶线性微分方程。
例 2.5.5 (混合问题)：一个容器中含有一定量的盐水，以一定的速率流入清水，并以相同的速率流出混合均匀的盐水。设 \(Q(t)\) 为 \(t\) 时刻容器中盐的量，则盐的流出速率与当前盐的浓度成正比，可以建立关于 \(Q(t)\) 的一阶微分方程。
这些例子展示了一阶微分方程在不同领域的应用，通过建立微分方程模型，可以分析和预测各种动态过程。更复杂的实际问题可能需要更高阶的微分方程或微分方程组来描述，但一阶微分方程是理解和应用微分方程的基础。
3. chapter 3：高阶线性常微分方程 (Higher-Order Linear Ordinary Differential Equations)
3.1 线性微分方程的基本理论 (Basic Theory of Linear Differential Equations)
3.1.1 线性相关与线性无关 (Linear Dependence and Linear Independence)
在线性代数中，线性相关性与线性无关性是描述一组函数之间关系的重要概念，对于理解高阶线性常微分方程的解的结构至关重要。
定义 3.1.1 (线性相关性 (Linear Dependence))：
一组函数 \( f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x) \) 在区间 \( I \) 上称为线性相关的，如果存在不全为零的常数 \( c_1, c_2, ..., c_n \)，使得对于区间 \( I \) 上的所有 \( x \)，都有：
\[ c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + ... + c_nf_n(x) = 0 \]
定义 3.1.2 (线性无关性 (Linear Independence))：
一组函数 \( f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x) \) 在区间 \( I \) 上称为线性无关的，如果它们不是线性相关的。换句话说，若要使
\[ c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + ... + c_nf_n(x) = 0 \]
对于区间 \( I \) 上的所有 \( x \) 都成立，则必须有 \( c_1 = c_2 = ... = c_n = 0 \)。
为了判断一组函数是否线性相关或线性无关，我们可以使用 朗斯基行列式 (Wronskian Determinant)。
定义 3.1.3 (朗斯基行列式 (Wronskian Determinant))：
对于 \( n-1 \) 阶可导的函数 \( f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x) \)，它们的朗斯基行列式 \( W(f_1, f_2, ..., f_n)(x) \) 定义为：
\[ W(f_1, f_2, ..., f_n)(x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix} \]
定理 3.1.1：
如果函数 \( f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x) \) 是 \( (n-1) \) 阶可导的，并且它们在区间 \( I \) 上的朗斯基行列式 \( W(f_1, f_2, ..., f_n)(x_0) \neq 0 \) 在区间 \( I \) 上的某一点 \( x_0 \) 处不为零，则这些函数在区间 \( I \) 上是线性无关的。
定理 3.1.2：
如果 \( f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x) \) 是某个 \( n \) 阶齐次线性微分方程的解，并且它们在区间 \( I \) 上线性相关，则它们的朗斯基行列式 \( W(f_1, f_2, ..., f_n)(x) \) 在区间 \( I \) 上恒为零。反之，如果 \( f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x) \) 是某个 \( n \) 阶齐次线性微分方程的解，并且它们的朗斯基行列式 \( W(f_1, f_2, ..., f_n)(x) \) 在区间 \( I \) 上恒为零，则这些函数在区间 \( I \) 上线性相关。
注意：
朗斯基行列式为零是函数线性相关的必要条件，但不是充分条件，除非这些函数是某个齐次线性微分方程的解。如果朗斯基行列式恒等于零，且这些函数是某个齐次线性微分方程的解，那么它们线性相关；如果朗斯基行列式不恒等于零，那么它们线性无关。
例子 3.1.1：
判断函数 \( f_1(x) = e^x \) 和 \( f_2(x) = e^{2x} \) 是否线性相关。
解：
计算朗斯基行列式：
\[ W(e^x, e^{2x})(x) = \begin{vmatrix} e^x & e^{2x} \\ e^x & 2e^{2x} \end{vmatrix} = e^x \cdot 2e^{2x} - e^{2x} \cdot e^x = 2e^{3x} - e^{3x} = e^{3x} \]
由于 \( W(e^x, e^{2x})(x) = e^{3x} \neq 0 \) 对于所有 \( x \) 都不为零，因此 \( e^x \) 和 \( e^{2x} \) 是线性无关的。
例子 3.1.2：
判断函数 \( f_1(x) = \sin^2 x \) 和 \( f_2(x) = 1 - \cos(2x) \) 是否线性相关。
解：
我们注意到 \( f_2(x) = 1 - \cos(2x) = 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x = 2f_1(x) \)。
因此，\( 2f_1(x) - f_2(x) = 0 \)。存在不全为零的常数 \( c_1 = 2 \) 和 \( c_2 = -1 \) 使得线性组合为零，所以 \( \sin^2 x \) 和 \( 1 - \cos(2x) \) 是线性相关的。
3.1.2 叠加原理 (Superposition Principle)
叠加原理是线性系统理论中的一个核心概念，它极大地简化了线性微分方程的求解过程，尤其是在处理齐次线性微分方程时。
定理 3.1.3 (叠加原理 (Superposition Principle))：
如果 \( y_1(x), y_2(x), ..., y_k(x) \) 是 \( n \) 阶齐次线性微分方程
\[ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 \]
的解，那么它们的任意线性组合
\[ y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + ... + c_ky_k(x) \]
（其中 \( c_1, c_2, ..., c_k \) 是任意常数）也是该齐次线性微分方程的解。
证明：
设 \( L \) 为线性微分算子，即
\[ L[y] = a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y \]
由于微分算子是线性的，对于任意常数 \( c_1, c_2 \) 和函数 \( y_1(x), y_2(x) \)，有
\[ L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2] \]
推广到一般形式，对于线性组合 \( y(x) = \sum_{i=1}^{k} c_iy_i(x) \)，有
\[ L[y] = L\left[\sum_{i=1}^{k} c_iy_i\right] = \sum_{i=1}^{k} c_iL[y_i] \]
因为 \( y_1(x), y_2(x), ..., y_k(x) \) 都是齐次线性微分方程的解，所以 \( L[y_i] = 0 \) 对于 \( i = 1, 2, ..., k \) 成立。因此，
\[ L[y] = \sum_{i=1}^{k} c_i \cdot 0 = 0 \]
这表明 \( y(x) = \sum_{i=1}^{k} c_iy_i(x) \) 也是该齐次线性微分方程的解。
推论 3.1.1：
如果 \( y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x) \) 是一 \( n \) 阶齐次线性微分方程的 \( n \) 个线性无关解，则该方程的通解可以表示为
\[ y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + ... + c_ny_n(x) \]
其中 \( c_1, c_2, ..., c_n \) 是任意常数。我们称 \( \{y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x)\} \) 为该方程的 基解集 (fundamental set of solutions)。
总结：
叠加原理表明，对于齐次线性微分方程，解的线性组合仍然是解。这为我们构造通解提供了理论基础：只需要找到 \( n \) 个线性无关的解，就可以通过线性组合得到通解。
3.2 常系数齐次线性微分方程 (Homogeneous Linear Differential Equations with Constant Coefficients)
常系数齐次线性微分方程是一类重要且易于求解的微分方程，其形式为：
\[ a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = 0 \]
其中 \( a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 \) 都是常数，且 \( a_n \neq 0 \)。
3.2.1 特征方程与特征根 (Characteristic Equation and Characteristic Roots)
为了求解常系数齐次线性微分方程，我们引入 特征方程 (characteristic equation) 的概念。我们假设方程存在形如 \( y = e^{rx} \) 的解，其中 \( r \) 是常数。将 \( y = e^{rx} \) 及其各阶导数代入微分方程，得到：
\[ a_n r^n e^{rx} + a_{n-1} r^{n-1} e^{rx} + ... + a_1 r e^{rx} + a_0 e^{rx} = 0 \]
提取公因子 \( e^{rx} \) (由于 \( e^{rx} \neq 0 \))，得到 特征方程：
\[ a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + ... + a_1 r + a_0 = 0 \]
这是一个关于 \( r \) 的 \( n \) 次代数方程。方程的根 \( r \) 称为 特征根 (characteristic roots)。根据代数学基本定理，这个 \( n \) 次方程有 \( n \) 个根（可能为复数，也可能存在重根）。特征根的性质决定了微分方程解的形式。
根据特征根的不同情况，我们可以分类讨论解的形式：
情况一：\( n \) 个互异实根 (Distinct Real Roots)
设特征方程有 \( n \) 个互异实根 \( r_1, r_2, ..., r_n \)。则微分方程的 \( n \) 个线性无关解为：
\[ y_1 = e^{r_1x}, y_2 = e^{r_2x}, ..., y_n = e^{r_nx} \]
通解为：
\[ y(x) = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x} + ... + c_ne^{r_nx} \]
其中 \( c_1, c_2, ..., c_n \) 是任意常数。
例子 3.2.1：
求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)。
解：
特征方程为 \( r^2 - 3r + 2 = 0 \)，分解因式得到 \( (r-1)(r-2) = 0 \)。
特征根为 \( r_1 = 1, r_2 = 2 \)，是两个互异实根。
因此，通解为 \( y(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} \)。
情况二：存在共轭复根 (Complex Conjugate Roots)
如果特征方程有复根，由于系数是实数，复根必然成共轭对出现。设有一对共轭复根 \( r_{1,2} = \alpha \pm \beta i \) (\( \beta \neq 0 \))。
对应的解形式为 \( e^{(\alpha + \beta i)x} \) 和 \( e^{(\alpha - \beta i)x} \)。
利用欧拉公式 \( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \)，我们可以将复指数形式转换为实值函数形式。
\[ e^{(\alpha \pm \beta i)x} = e^{\alpha x} e^{\pm \beta ix} = e^{\alpha x} (\cos(\beta x) \pm i\sin(\beta x)) \]
取线性组合，可以得到两个实值线性无关解：
\[ y_1 = e^{\alpha x} \cos(\beta x), \quad y_2 = e^{\alpha x} \sin(\beta x) \]
通解中对应于这对共轭复根的部分为 \( c_1e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2e^{\alpha x} \sin(\beta x) \)。
例子 3.2.2：
求解微分方程 \( y'' + 2y' + 5y = 0 \)。
解：
特征方程为 \( r^2 + 2r + 5 = 0 \)。使用求根公式：
\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \]
特征根为一对共轭复根 \( r_{1,2} = -1 \pm 2i \)，其中 \( \alpha = -1, \beta = 2 \)。
因此，通解为 \( y(x) = c_1e^{-x} \cos(2x) + c_2e^{-x} \sin(2x) = e^{-x}(c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x)) \)。
3.2.2 重根的情况 (Repeated Roots)
当特征方程存在重根时，仅靠 \( e^{rx} \) 形式的解是不够的，需要寻找新的线性无关解。
情况三：实重根 (Repeated Real Roots)
如果特征方程有实根 \( r_1 \) 是 \( k \) 重根，那么对应于这个重根，我们有 \( k \) 个线性无关解：
\[ e^{r_1x}, xe^{r_1x}, x^2e^{r_1x}, ..., x^{k-1}e^{r_1x} \]
通解中对应于 \( k \) 重实根 \( r_1 \) 的部分为：
\[ (c_1 + c_2x + c_3x^2 + ... + c_kx^{k-1})e^{r_1x} \]
例子 3.2.3：
求解微分方程 \( y''' - 3y'' + 3y' - y = 0 \)。
解：
特征方程为 \( r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0 \)，即 \( (r-1)^3 = 0 \)。
特征根 \( r = 1 \) 是三重根。
因此，三个线性无关解为 \( e^x, xe^x, x^2e^x \)。
通解为 \( y(x) = c_1e^x + c_2xe^x + c_3x^2e^x = (c_1 + c_2x + c_3x^2)e^x \)。
情况四：复重根 (Repeated Complex Conjugate Roots)
如果特征方程有一对共轭复根 \( r_{1,2} = \alpha \pm \beta i \) 是 \( k \) 重根，那么对应于这对 \( k \) 重共轭复根，我们有 \( 2k \) 个线性无关实值解：
\[ e^{\alpha x} \cos(\beta x), xe^{\alpha x} \cos(\beta x), ..., x^{k-1}e^{\alpha x} \cos(\beta x) \]
\[ e^{\alpha x} \sin(\beta x), xe^{\alpha x} \sin(\beta x), ..., x^{k-1}e^{\alpha x} \sin(\beta x) \]
通解中对应于 \( k \) 重共轭复根 \( \alpha \pm \beta i \) 的部分为：
\[ (c_1 + c_2x + ... + c_kx^{k-1})e^{\alpha x} \cos(\beta x) + (d_1 + d_2x + ... + d_kx^{k-1})e^{\alpha x} \sin(\beta x) \]
总结：
求解常系数齐次线性微分方程的关键步骤是：
① 写出特征方程。
② 求出特征方程的所有根（包括实根、复根、重根）。
③ 根据特征根的类型和重数，写出对应的线性无关解。
④ 将线性无关解进行线性组合，得到通解。
3.3 常系数非齐次线性微分方程 (Nonhomogeneous Linear Differential Equations with Constant Coefficients)
常系数非齐次线性微分方程的形式为：
\[ a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = f(x) \]
其中 \( a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 \) 是常数，\( f(x) \neq 0 \) 是给定的函数，称为 非齐次项 (nonhomogeneous term)。
求解非齐次线性微分方程的通解，通常分为两个步骤：
① 求出对应的齐次方程的通解 \( y_h(x) \)。
② 求出非齐次方程的一个特解 \( y_p(x) \)。
则非齐次方程的通解为 \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \)。
3.3.1 待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients)
待定系数法是一种寻找非齐次线性微分方程特解的有效方法，特别适用于非齐次项 \( f(x) \) 具有特定形式的情况，例如多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的组合。
适用情况：
非齐次项 \( f(x) \) 的形式通常为以下几种类型或它们的线性组合：
⚝ 多项式函数：\( P_m(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0 \)
⚝ 指数函数：\( e^{\alpha x} \)
⚝ 三角函数：\( \cos(\beta x), \sin(\beta x) \)
方法步骤：
① 确定特解 \( y_p(x) \) 的形式：根据 \( f(x) \) 的形式，假设 \( y_p(x) \) 具有类似的形式，但系数待定。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( f(x) \) 是 \( m \) 次多项式，则设 \( y_p(x) \) 为 \( m \) 次多项式：\( y_p(x) = A_mx^m + A_{m-1}x^{m-1} + ... + A_1x + A_0 \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( f(x) = Ce^{\alpha x} \)，则设 \( y_p(x) = Ae^{\alpha x} \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( f(x) = C\cos(\beta x) \) 或 \( f(x) = C\sin(\beta x) \)，则设 \( y_p(x) = A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x) \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( f(x) \) 是上述形式的乘积或线性组合，则 \( y_p(x) \) 也应相应地选择形式。
② 修正特解形式：如果假设的 \( y_p(x) \) 的形式与齐次方程的解的形式有重复，需要进行修正。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( \alpha \) 是特征方程的 \( k \) 重根，则将假设的 \( y_p(x) \) 乘以 \( x^k \)。
③ 代入求解：将假设的 \( y_p(x) \) 及其各阶导数代入非齐次微分方程，通过比较等式两边同类项的系数，确定待定系数的值。
例子 3.3.1：
求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = 3e^{2x} \)。
解：
首先求解齐次方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)，特征方程为 \( r^2 - 3r + 2 = 0 \)，特征根为 \( r_1 = 1, r_2 = 2 \)。齐次通解为 \( y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} \)。
非齐次项为 \( f(x) = 3e^{2x} \)。假设特解形式为 \( y_p(x) = Ae^{2x} \)。但由于 \( e^{2x} \) 是齐次解，需要修正形式，乘以 \( x \)，设 \( y_p(x) = Axe^{2x} \)。
求导：\( y_p'(x) = Ae^{2x} + 2Axe^{2x} = (A + 2Ax)e^{2x} \)，\( y_p''(x) = 2Ae^{2x} + 2(A + 2Ax)e^{2x} = (4A + 4Ax)e^{2x} \)。
代入原方程：
\[ (4A + 4Ax)e^{2x} - 3(A + 2Ax)e^{2x} + 2Axe^{2x} = 3e^{2x} \]
\[ (4A + 4Ax - 3A - 6Ax + 2Axe^{2x})e^{2x} = 3e^{2x} \]
\[ (A - 2Ax)e^{2x} = 3e^{2x} \]
比较系数，得到 \( A = 3 \)。因此，特解为 \( y_p(x) = 3xe^{2x} \)。
非齐次方程的通解为 \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} + 3xe^{2x} \)。
例子 3.3.2：
求解微分方程 \( y'' + 4y = \sin(2x) \)。
解：
齐次方程 \( y'' + 4y = 0 \)，特征方程 \( r^2 + 4 = 0 \)，特征根 \( r = \pm 2i \)。齐次通解 \( y_h(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) \)。
非齐次项 \( f(x) = \sin(2x) \)。假设特解形式为 \( y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x) \)。但由于 \( \cos(2x) \) 和 \( \sin(2x) \) 是齐次解，需要修正形式，乘以 \( x \)，设 \( y_p(x) = Ax\cos(2x) + Bx\sin(2x) \)。
求导较为复杂，此处省略详细计算过程。通过代入原方程并比较系数，可以解得 \( A = 0, B = -\frac{1}{4} \)。
因此，特解为 \( y_p(x) = -\frac{1}{4}x\cos(2x) \)。
非齐次方程的通解为 \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) - \frac{1}{4}x\cos(2x) \)。
3.3.2 变参数法 (Method of Variation of Parameters)
变参数法是一种更通用的求解非齐次线性微分方程特解的方法，它不依赖于非齐次项 \( f(x) \) 的特定形式，适用于更广泛的情况。
方法步骤：
① 求齐次通解：首先求出对应齐次方程的通解 \( y_h(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + ... + c_ny_n(x) \)，其中 \( \{y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x)\} \) 是齐次方程的基解集。
② 设特解形式：将齐次通解中的常数 \( c_i \) 替换为关于 \( x \) 的函数 \( u_i(x) \)，设特解形式为：
\[ y_p(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) + ... + u_n(x)y_n(x) \]
③ 构建方程组：为了确定函数 \( u_1(x), u_2(x), ..., u_n(x) \)，我们需要构建一个方程组。通常选择以下 \( n \) 个方程：
\[ \begin{cases} u_1'y_1 + u_2'y_2 + ... + u_n'y_n = 0 \\ u_1'y_1' + u_2'y_2' + ... + u_n'y_n' = 0 \\ \vdots \\ u_1'y_1^{(n-2)} + u_2'y_2^{(n-2)} + ... + u_n'y_n^{(n-2)} = 0 \\ u_1'y_1^{(n-1)} + u_2'y_2^{(n-1)} + ... + u_n'y_n^{(n-1)} = \frac{f(x)}{a_n(x)} \end{cases} \]
其中 \( a_n(x) \) 是 \( n \) 阶微分方程中 \( y^{(n)} \) 的系数（对于常系数方程，\( a_n(x) = a_n \) 是常数）。
④ 求解 \( u_i'(x) \)：解这个线性方程组，求出 \( u_1'(x), u_2'(x), ..., u_n'(x) \)。可以使用克拉默法则或高斯消元法等方法。
⑤ 积分求 \( u_i(x) \)：对 \( u_i'(x) \) 积分，得到 \( u_i(x) \)。积分常数可以取为零，因为我们只需要一个特解。
\[ u_i(x) = \int u_i'(x) dx \]
⑥ 得到特解：将求得的 \( u_i(x) \) 代入特解形式 \( y_p(x) = \sum_{i=1}^{n} u_i(x)y_i(x) \)，得到非齐次方程的一个特解。
例子 3.3.3：
求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = \frac{e^{3x}}{e^x + 1} \)。
解：
齐次方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \) 的基解集为 \( \{y_1(x) = e^x, y_2(x) = e^{2x}\} \)。
设特解为 \( y_p(x) = u_1(x)e^x + u_2(x)e^{2x} \)。
构建方程组：
\[ \begin{cases} u_1'e^x + u_2'e^{2x} = 0 \\ u_1'e^x + 2u_2'e^{2x} = \frac{e^{3x}}{e^x + 1} \end{cases} \]
方程组的系数行列式（朗斯基行列式）为 \( W = \begin{vmatrix} e^x & e^{2x} \\ e^x & 2e^{2x} \end{vmatrix} = e^{3x} \)。
解方程组得到：
\[ u_1'(x) = \frac{\begin{vmatrix} 0 & e^{2x} \\ \frac{e^{3x}}{e^x + 1} & 2e^{2x} \end{vmatrix}}{e^{3x}} = \frac{-e^{2x} \cdot \frac{e^{3x}}{e^x + 1}}{e^{3x}} = -\frac{e^{2x}}{e^x + 1} \]
\[ u_2'(x) = \frac{\begin{vmatrix} e^x & 0 \\ e^x & \frac{e^{3x}}{e^x + 1} \end{vmatrix}}{e^{3x}} = \frac{e^x \cdot \frac{e^{3x}}{e^x + 1}}{e^{3x}} = \frac{e^x}{e^x + 1} \]
积分求 \( u_1(x) \) 和 \( u_2(x) \)：
\[ u_2(x) = \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \ln(e^x + 1) \]
\[ u_1(x) = \int -\frac{e^{2x}}{e^x + 1} dx \]
对于 \( u_1(x) \) 的积分，可以使用变量替换 \( t = e^x \)，\( dt = e^x dx \)，\( dx = \frac{dt}{t} \)，则
\[ u_1(x) = -\int \frac{t^2}{t + 1} \frac{dt}{t} = -\int \frac{t}{t + 1} dt = -\int \frac{t + 1 - 1}{t + 1} dt = -\int \left(1 - \frac{1}{t + 1}\right) dt = -(t - \ln|t + 1|) = \ln(e^x + 1) - e^x \]
因此，特解为：
\[ y_p(x) = (\ln(e^x + 1) - e^x)e^x + \ln(e^x + 1)e^{2x} = e^x\ln(e^x + 1) - e^{2x} + e^{2x}\ln(e^x + 1) = (e^x + e^{2x})\ln(e^x + 1) - e^{2x} \]
非齐次方程的通解为 \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} + (e^x + e^{2x})\ln(e^x + 1) - e^{2x} = c_1e^x + (c_2 - 1)e^{2x} + (e^x + e^{2x})\ln(e^x + 1) \)。可以将 \( c_2 - 1 \) 重新记为任意常数 \( C_2 \)，得到通解 \( y(x) = c_1e^x + C_2e^{2x} + (e^x + e^{2x})\ln(e^x + 1) \)。
总结：
待定系数法适用于非齐次项具有特定形式的情况，方法简便快捷。变参数法是一种更通用的方法，适用于各种形式的非齐次项，但计算过程可能较为复杂。在实际应用中，可以根据非齐次项的形式选择合适的方法。
4. chapter 4：常微分方程组 (Systems of Ordinary Differential Equations)
常微分方程组（Systems of Ordinary Differential Equations）是由两个或多个关于同一个自变量的未知函数的微分方程组成的集合。在许多实际问题中，我们常常会遇到多个变量相互影响、相互制约的情况，这时就需要用微分方程组来描述它们的变化规律。例如，生态系统中不同物种之间的竞争与共生关系，物理学中多质点系统的运动，化学反应中多个反应物和生成物的浓度变化等，都可以用常微分方程组进行建模和分析。
4.1 一阶线性微分方程组 (First-Order Linear Systems)
一阶线性微分方程组（First-Order Linear Systems）是最基本也是最重要的一类常微分方程组。其一般形式可以表示为：
\[ \begin{aligned} \frac{dx_1}{dt} &= a_{11}(t)x_1 + a_{12}(t)x_2 + \cdots + a_{1n}(t)x_n + f_1(t) \\ \frac{dx_2}{dt} &= a_{21}(t)x_1 + a_{22}(t)x_2 + \cdots + a_{2n}(t)x_n + f_2(t) \\ & \vdots \\ \frac{dx_n}{dt} &= a_{n1}(t)x_1 + a_{n2}(t)x_2 + \cdots + a_{nn}(t)x_n + f_n(t) \end{aligned} \]
其中，\(x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)\) 是未知函数，\(t\) 是自变量，\(a_{ij}(t)\) 和 \(f_i(t)\) 是已知函数。如果所有的 \(f_i(t) \equiv 0\)，则称该方程组为齐次线性微分方程组（homogeneous linear system）；否则，称为非齐次线性微分方程组（nonhomogeneous linear system）。
为了更简洁地表示一阶线性微分方程组，我们可以使用矩阵和向量的记号。令
\[ \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A}(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ a_{21}(t) & a_{22}(t) & \cdots & a_{2n}(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & a_{n2}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f}(t) = \begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix} \]
则一阶线性微分方程组可以写成矩阵形式：
\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t) \]
或者简记为：
\[ \mathbf{x}' = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t) \]
当 \(\mathbf{f}(t) = \mathbf{0}\) 时，齐次线性微分方程组为：
\[ \mathbf{x}' = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} \]
对于一阶线性微分方程组，存在解的存在唯一性定理（Existence and Uniqueness Theorem）。如果 \(\mathbf{A}(t)\) 和 \(\mathbf{f}(t)\) 在区间 \(I\) 上连续，那么对于任意 \(t_0 \in I\) 和任意初始向量 \(\mathbf{x}_0\)，初值问题（initial value problem）：
\[ \begin{cases} \mathbf{x}' = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t) \\ \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 \end{cases} \]
在区间 \(I\) 上存在唯一解。
求解一阶线性微分方程组，特别是当系数矩阵 \(\mathbf{A}(t)\) 是常数矩阵时，有系统的方法。对于变系数线性微分方程组，求解通常比较复杂，但在某些特殊情况下，例如 \(n=2\) 的情况，或者 \(\mathbf{A}(t)\) 具有特殊结构时，也可能找到解析解。
4.2 常系数线性微分方程组 (Linear Systems with Constant Coefficients)
常系数线性微分方程组（Linear Systems with Constant Coefficients）是指系数矩阵 \(\mathbf{A}\) 为常数矩阵的一阶线性微分方程组：
\[ \mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{f}(t) \]
其中 \(\mathbf{A}\) 是 \(n \times n\) 常数矩阵，\(\mathbf{f}(t)\) 是 \(n \times 1\) 向量函数。这类方程组在应用中非常广泛，并且有相对成熟的理论和解法。我们首先考虑齐次常系数线性微分方程组：
\[ \mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x} \]
4.2.1 特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)
求解齐次常系数线性微分方程组 \(\mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x}\) 的关键在于特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors）的概念。
定义 4.1 (特征值与特征向量) 对于 \(n \times n\) 常数矩阵 \(\mathbf{A}\)，如果存在数 \(\lambda\) 和非零向量 \(\mathbf{v}\)，使得
\[ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
成立，则称 \(\lambda\) 为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的一个特征值，\(\mathbf{v}\) 为对应于特征值 \(\lambda\) 的一个特征向量。
为了求出矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征值，可以将 \(\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) 改写为：
\[ \mathbf{A}\mathbf{v} - \lambda \mathbf{v} = \mathbf{0} \]
\[ (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0} \]
其中 \(\mathbf{I}\) 是 \(n \times n\) 单位矩阵。要使上式存在非零解 \(\mathbf{v}\)，系数矩阵 \((\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\) 的行列式必须为零，即：
\[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \]
这个关于 \(\lambda\) 的 \(n\) 次代数方程称为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征方程（characteristic equation）。解特征方程可以得到矩阵 \(\mathbf{A}\) 的 \(n\) 个特征值（可能包含复数和重根）。
对于每个特征值 \(\lambda\)，我们解线性方程组 \((\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 就可以得到对应的特征向量 \(\mathbf{v}\)。
例 4.1 求矩阵 \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) 的特征值和特征向量。
解： 首先写出特征方程：
\[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 \]
解得特征值 \(\lambda_1 = 1\) 和 \(\lambda_2 = 3\)。
对于特征值 \(\lambda_1 = 1\)，解方程 \((\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\)，即 \((\mathbf{A} - \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\)：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
得到方程 \(v_1 + v_2 = 0\)，取 \(v_2 = 1\)，则 \(v_1 = -1\)。所以对应于 \(\lambda_1 = 1\) 的一个特征向量为 \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
对于特征值 \(\lambda_2 = 3\)，解方程 \((\mathbf{A} - \lambda_2 \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\)，即 \((\mathbf{A} - 3\mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}\)：
\[ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
得到方程 \(-v_1 + v_2 = 0\)，取 \(v_2 = 1\)，则 \(v_1 = 1\)。所以对应于 \(\lambda_2 = 3\) 的一个特征向量为 \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
求得矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征值为 \(\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3\)，对应的特征向量分别为 \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
利用特征值和特征向量，我们可以构造齐次常系数线性微分方程组 \(\mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x}\) 的解。如果 \(\lambda\) 是 \(\mathbf{A}\) 的一个特征值，\(\mathbf{v}\) 是对应的特征向量，那么 \(\mathbf{x}(t) = e^{\lambda t} \mathbf{v}\) 是方程组的一个解。验证如下：
\[ \mathbf{x}'(t) = \frac{d}{dt} (e^{\lambda t} \mathbf{v}) = \lambda e^{\lambda t} \mathbf{v} = e^{\lambda t} (\lambda \mathbf{v}) = e^{\lambda t} (\mathbf{A}\mathbf{v}) = \mathbf{A} (e^{\lambda t} \mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) \]
因此，\(\mathbf{x}(t) = e^{\lambda t} \mathbf{v}\) 确实是方程组的解。
如果矩阵 \(\mathbf{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\)，分别对应特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\)（特征值可以相同），那么齐次方程组 \(\mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x}\) 的通解（general solution）为：
\[ \mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t} \mathbf{v}_n \]
其中 \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) 是任意常数，由初始条件确定。
特征值的不同情况
① 实数且互异的特征值：如果矩阵 \(\mathbf{A}\) 有 \(n\) 个互异的实特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\)，则它们对应的特征向量 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\) 线性无关，可以直接构成通解。
② 复数特征值：如果矩阵 \(\mathbf{A}\) 有复数特征值 \(\lambda = \alpha \pm i\beta\)，其中 \(\beta \neq 0\)，则它们总是成对出现，并且对应的特征向量也是共轭复数。设 \(\lambda = \alpha + i\beta\) 的特征向量为 \(\mathbf{v} = \mathbf{a} + i\mathbf{b}\)，其中 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 是实向量。则对应的两个线性无关的实值解为：
\[ \mathbf{x}_1(t) = e^{\alpha t} (\cos(\beta t) \mathbf{a} - \sin(\beta t) \mathbf{b}) \]
\[ \mathbf{x}_2(t) = e^{\alpha t} (\sin(\beta t) \mathbf{a} + \cos(\beta t) \mathbf{b}) \]
③ 重特征值：如果矩阵 \(\mathbf{A}\) 有重特征值，例如 \(\lambda\) 是 \(k\) 重特征值，可能只能找到少于 \(k\) 个线性无关的特征向量。这时需要引入广义特征向量（generalized eigenvectors）来构造完整的解。对于重特征值的情况，解的形式会包含多项式乘以指数函数。例如，如果 \(\lambda\) 是二重特征值，但只找到一个特征向量 \(\mathbf{v}\)，则除了 \(e^{\lambda t} \mathbf{v}\) 之外，还需要寻找形如 \(te^{\lambda t} \mathbf{v} + e^{\lambda t} \mathbf{w}\) 的解，其中 \(\mathbf{w}\) 是广义特征向量。
4.2.2 相平面分析 (Phase Plane Analysis)
相平面分析（Phase Plane Analysis）主要用于研究二维自治系统（autonomous system）的定性行为，即 \(n=2\) 的常系数齐次线性微分方程组：
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]
其中 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 是未知函数，\(a, b, c, d\) 是常数。相平面是以 \(x\) 轴和 \(y\) 轴构成的平面，解 \((x(t), y(t))\) 在相平面上描绘出的曲线称为相轨线（phase trajectory）。相平面分析通过研究相轨线的几何性质，来了解系统解的定性行为，例如稳定性、极限行为等。
奇点 (Critical Points)
首先，我们关注系统的奇点（critical points）或平衡点（equilibrium points），即满足 \(x' = 0\) 和 \(y' = 0\) 的点 \((x, y)\)。对于线性系统，奇点可以通过解方程组 \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 得到。如果 \(\det(\mathbf{A}) \neq 0\)，则唯一的奇点是原点 \((0, 0)\)。
奇点的类型与稳定性
奇点的类型和稳定性由系数矩阵 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 的特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 决定。特征值可以通过解特征方程 \(\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\) 得到。令 \(T = a+d\) 为迹（trace），\(D = ad-bc\) 为行列式（determinant），则特征方程为 \(\lambda^2 - T\lambda + D = 0\)，特征值为：
\[ \lambda_{1,2} = \frac{T \pm \sqrt{T^2 - 4D}}{2} \]
根据特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 的性质，奇点 \((0, 0)\) 可以分为以下几种类型：
① 结点 (Node)：特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 是实数且同号（即 \(D > 0\) 且 \(T^2 \ge 4D\)）。
▮▮▮▮⚝ 稳定结点 (Stable Node)：\(\lambda_1 < 0, \lambda_2 < 0\) （即 \(T < 0\) 且 \(D > 0\)）。相轨线趋向原点。
▮▮▮▮⚝ 不稳定结点 (Unstable Node)：\(\lambda_1 > 0, \lambda_2 > 0\) （即 \(T > 0\) 且 \(D > 0\)）。相轨线远离原点。
② 鞍点 (Saddle Point)：特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 是实数且异号（即 \(D < 0\)）。鞍点是不稳定的。相轨线沿某些方向趋向原点，沿另一些方向远离原点。
③ 焦点 (Spiral Point or Focus)：特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 是共轭复数，\(\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta\)，\(\beta \neq 0\) （即 \(D > 0\) 且 \(T^2 < 4D\)）。
▮▮▮▮⚝ 稳定焦点 (Stable Spiral)：\(\alpha = \text{Re}(\lambda_{1,2}) < 0\) （即 \(T < 0\) 且 \(D > 0\)）。相轨线呈螺旋状趋向原点。
▮▮▮▮⚝ 不稳定焦点 (Unstable Spiral)：\(\alpha = \text{Re}(\lambda_{1,2}) > 0\) （即 \(T > 0\) 且 \(D > 0\)）。相轨线呈螺旋状远离原点。
④ 中心 (Center)：特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 是纯虚数，\(\lambda_{1,2} = \pm i\beta\)，\(\beta \neq 0\) （即 \(T = 0\) 且 \(D > 0\)）。相轨线是围绕原点的闭合曲线（椭圆或螺旋线）。中心是稳定的，但不是渐近稳定的。
⑤ 退化结点 (Degenerate Node) 或星形结点 (Star Node)：特征值 \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) 是实数且相等，且矩阵 \(\mathbf{A}\) 有两个线性无关的特征向量（即 \(\mathbf{A} = \lambda \mathbf{I}\)）。相轨线是直线，趋向或远离原点。
⑥ 临界结点 (Improper Node)：特征值 \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) 是实数且相等，但矩阵 \(\mathbf{A}\) 只有一个线性无关的特征向量（即 \(\mathbf{A} \neq \lambda \mathbf{I}\)）。相轨线趋向或远离原点，但切线方向趋于一致。
⑦ 直线型奇点 (Line of Critical Points)：\(D = 0\) 且 \(T \neq 0\)。奇点构成一条直线。
⑧ 全平面奇点 (Plane of Critical Points)：\(D = 0\) 且 \(T = 0\)，即 \(a=b=c=d=0\)。整个平面都是奇点。
稳定性总结
⚝ 渐近稳定 (Asymptotically Stable)：稳定结点、稳定焦点。特征值实部都为负。
⚝ 稳定 (Stable)：稳定结点、稳定焦点、中心、退化结点、临界结点。特征值实部都小于等于零，且虚部不为零时，特征值是共轭虚数。
⚝ 不稳定 (Unstable)：不稳定结点、不稳定焦点、鞍点。至少有一个特征值实部为正，或有重特征值实部为零。
相平面分析为我们提供了一种直观理解二维线性系统行为的方法，通过分析奇点的类型和稳定性，可以预测系统长期演化的趋势。对于更复杂的非线性系统，相平面分析的思想仍然具有重要的参考价值。
5. chapter 5：拉普拉斯变换 (Laplace Transform)
拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 是一种积分变换，广泛应用于工程学和物理学中，用于分析线性时不变系统。它将一个时域函数 \(f(t)\) 转换为复频域函数 \(F(s)\)，从而将微分方程转化为代数方程，大大简化了求解过程。本章将深入探讨拉普拉斯变换的定义、性质、逆变换及其在解微分方程中的应用。
5.1 拉普拉斯变换的定义与性质 (Definition and Properties of Laplace Transform)
拉普拉斯变换是分析线性系统的重要数学工具。它提供了一种将时域中的函数转换到复频域的方法，使得微分方程的求解变得更加简便。
5.1.1 拉普拉斯变换的定义 (Definition of Laplace Transform)
对于一个定义在 \(t \ge 0\) 上的函数 \(f(t)\)，其拉普拉斯变换 \(F(s)\) 定义为：
\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \]
其中，\(s = \sigma + j\omega\) 是一个复数频率，\(\sigma\) 和 \(\omega\) 分别是实部和虚部。积分的下限通常取 \(0\) 或 \(0^-\)，在处理包含冲击函数等奇异函数时，通常使用 \(0^-\) 以包含 \(t=0\) 时刻的奇异性。为了保证积分收敛，\(s\) 的实部 \(\sigma\) 需要足够大，即 \(\text{Re}(s) > \sigma_c\)，其中 \(\sigma_c\) 称为收敛横坐标 (abscissa of convergence)。所有使得拉普拉斯变换积分收敛的 \(s\) 值构成的区域称为收敛域 (Region of Convergence, ROC)。
收敛域 (Region of Convergence, ROC)：
拉普拉斯变换的收敛域是复平面上使得积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt\) 收敛的 \(s\) 值集合。对于大多数工程应用中遇到的函数，其拉普拉斯变换的收敛域通常是形如 \(\text{Re}(s) > \sigma_c\) 的右半平面。
例 1：单位阶跃函数 (Unit Step Function) 的拉普拉斯变换
单位阶跃函数 \(u(t)\) 定义为：
\[ u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{cases} \]
其拉普拉斯变换为：
\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 \, dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{\infty} = 0 - \left( -\frac{1}{s} \right) = \frac{1}{s} \]
收敛域为 \(\text{Re}(s) > 0\)。
例 2：指数函数 (Exponential Function) 的拉普拉斯变换
考虑函数 \(f(t) = e^{at} u(t)\)，其中 \(a\) 为常数。其拉普拉斯变换为：
\[ \mathcal{L}\{e^{at} u(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \left[ -\frac{1}{s-a} e^{-(s-a)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s-a} \]
收敛域为 \(\text{Re}(s-a) > 0\)，即 \(\text{Re}(s) > a\)。
5.1.2 拉普拉斯变换的性质 (Properties of Laplace Transform)
拉普拉斯变换具有许多重要的性质，这些性质使得它在求解微分方程和分析系统时非常有效。
① 线性性 (Linearity)：
对于常数 \(a, b\) 和函数 \(f(t), g(t)\)，有：
\[ \mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{L}\{f(t)\} + b\mathcal{L}\{g(t)\} = aF(s) + bG(s) \]
这一性质表明拉普拉斯变换是线性算子。
② 时移性质 (Time Shifting)：
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，对于常数 \(t_0 > 0\)，有：
\[ \mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\} = e^{-st_0}F(s) \]
时移性质表明，时域中的延迟对应于频域中的指数因子 \(e^{-st_0}\)。
③ s 域平移 (s-Shifting) 或 频移性质 (Frequency Shifting)：
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，对于常数 \(a\)，有：
\[ \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a) \]
s 域平移性质表明，时域中乘以指数函数 \(e^{at}\) 对应于频域中自变量 \(s\) 的平移。
④ 时域微分 (Differentiation in Time Domain)：
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，且假设 \(f(0)\) 存在，则：
\[ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) \]
更一般地，对于 \(n\) 阶导数，有：
\[ \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0) \]
时域微分性质是拉普拉斯变换在解微分方程中应用的核心。它将时域中的微分运算转化为频域中的代数运算。
⑤ 时域积分 (Integration in Time Domain)：
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，则：
\[ \mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau \right\} = \frac{1}{s}F(s) \]
时域积分性质表明，时域中的积分运算对应于频域中除以 \(s\)。
⑥ s 域微分 (Differentiation in s Domain)：
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，则：
\[ \mathcal{L}\{-tf(t)\} = \frac{d}{ds}F(s) \]
或等价地，
\[ \mathcal{L}\{tf(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s) \]
更一般地，
\[ \mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n}F(s) \]
s 域微分性质可以用来求形如 \(t^n f(t)\) 的函数的拉普拉斯变换。
⑦ 时域尺度变换 (Time Scaling)：
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)，对于常数 \(a > 0\)，有：
\[ \mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) \]
时域尺度变换性质描述了时域信号压缩或扩展对频域的影响。
⑧ 卷积性质 (Convolution Property)：
设 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\) 和 \(\mathcal{L}\{g(t)\} = G(s)\)，定义 \(f(t)\) 和 \(g(t)\) 的卷积为：
\[ (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) \, d\tau = \int_{0}^{t} g(\tau) f(t-\tau) \, d\tau \]
则卷积的拉普拉斯变换为：
\[ \mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s)G(s) \]
卷积性质表明，时域中的卷积运算对应于频域中的乘积运算。这在系统分析中非常重要，因为系统的输出通常是输入与系统冲激响应的卷积。
常用拉普拉斯变换对 (Common Laplace Transform Pairs)
| \(f(t)\) | \(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}\) | 收敛域 (ROC) |
|---|---|---|
| \(\delta(t)\) (单位冲激函数, Unit Impulse Function) | \(1\) | \(\text{Re}(s) > -\infty\) |
| \(u(t)\) (单位阶跃函数, Unit Step Function) | \(\frac{1}{s}\) | \(\text{Re}(s) > 0\) |
| \(t^n u(t)\) (\(n\) 为正整数) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) | \(\text{Re}(s) > 0\) |
| \(e^{at} u(t)\) | \(\frac{1}{s-a}\) | \(\text{Re}(s) > \text{Re}(a)\) |
| \(\sin(\omega t) u(t)\) | \(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\) | \(\text{Re}(s) > 0\) |
| \(\cos(\omega t) u(t)\) | \(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\) | \ведениие(s) > 0) |
| \(e^{at} \sin(\omega t) u(t)\) | \(\frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}\) | \(\text{Re}(s) > \text{Re}(a)\) |
| \(e^{at} \cos(\omega t) u(t)\) | \(\frac{s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}\) | \(\text{Re}(s) > \text{Re}(a)\) |
| \(t \sin(\omega t) u(t)\) | \(\frac{2\omega s}{(s^2 + \omega^2)^2}\) | \(\text{Re}(s) > 0\) |
| \(t \cos(\omega t) u(t)\) | \(\frac{s^2 - \omega^2}{(s^2 + \omega^2)^2}\) | \(\text{Re}(s) > 0\) |
5.2 逆拉普拉斯变换 (Inverse Laplace Transform)
逆拉普拉斯变换 (Inverse Laplace Transform) 是拉普拉斯变换的逆运算，它将复频域函数 \(F(s)\) 转换回时域函数 \(f(t)\)。逆拉普拉斯变换的定义可以通过复积分给出，通常使用围线积分 (contour integration) 计算，但对于工程应用，更常用的是查表法和部分分式分解法。
5.2.1 逆拉普拉斯变换的定义 (Definition of Inverse Laplace Transform)
逆拉普拉斯变换的定义公式为：
\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} e^{st} F(s) \, ds \]
其中，积分路径是一条垂直于实轴的直线 \(\text{Re}(s) = \sigma\)，且 \(\sigma\) 必须大于 \(F(s)\) 的所有奇点 (singularities) 的实部，以保证收敛。这个积分公式来源于傅里叶逆变换，并在复平面上进行推广。
在实际应用中，直接使用定义公式计算逆拉普拉斯变换通常比较复杂。更常用的方法是利用拉普拉斯变换的性质和常用变换对，以及部分分式分解法。
5.2.2 部分分式分解法 (Partial Fraction Decomposition Method)
部分分式分解法是求解逆拉普拉斯变换的常用方法，尤其适用于有理函数形式的 \(F(s)\)。其基本思想是将复杂的有理分式分解为若干个简单的分式之和，然后利用已知的拉普拉斯变换对，分别求出每个简单分式的逆变换，再利用线性性得到最终结果。
步骤：
真分式判断：如果 \(F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}\) 是一个有理函数，首先检查分子 \(N(s)\) 的阶次是否低于分母 \(D(s)\) 的阶次。如果不是真分式，需要先进行多项式除法，将其分解为一个多项式和一个真分式之和。多项式的逆拉普拉斯变换是冲激函数及其导数，真分式部分再进行部分分式分解。
分母因式分解：将分母 \(D(s)\) 分解为一次因式 \((s-p_i)\) 和二次不可约因式 \((s^2 + bs + c)\) 的乘积。
部分分式展开：根据分母因式的形式，将真分式 \(F(s)\) 展开为部分分式之和。
▮▮▮▮⚝ 对于一次因式 \((s-p_i)\) 的 \(k\) 次幂 \((s-p_i)^k\)，对应部分分式为：
\[ \frac{A_1}{s-p_i} + \frac{A_2}{(s-p_i)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(s-p_i)^k} \]
▮▮▮▮⚝ 对于二次不可约因式 \((s^2 + bs + c)\) 的 \(k\) 次幂 \((s^2 + bs + c)^k\)，对应部分分式为：
\[ \frac{B_1 s + C_1}{s^2 + bs + c} + \frac{B_2 s + C_2}{(s^2 + bs + c)^2} + \cdots + \frac{B_k s + C_k}{(s^2 + bs + c)^k} \]待定系数法或留数法求解系数：使用待定系数法或留数法求解部分分式中的系数 \(A_i, B_i, C_i\)。
查表求逆变换：利用常用拉普拉斯变换对和线性性，求出每个部分分式的逆拉普拉斯变换，然后将它们相加得到 \(f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\)。
例 3：使用部分分式分解法求逆拉普拉斯变换
求 \(F(s) = \frac{3s + 2}{s^2 + 3s + 2}\) 的逆拉普拉斯变换。
解：
真分式：\(F(s)\) 是真分式，分子阶次 (1) 低于分母阶次 (2)。
分母因式分解：\(s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2)\)。
部分分式展开：
\[ \frac{3s + 2}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} \]待定系数法求解系数：
通分得到：\(3s + 2 = A(s+2) + B(s+1) = (A+B)s + (2A+B)\)。
比较系数：
\[ \begin{cases} A+B = 3 \\ 2A+B = 2 \end{cases} \]
解得 \(A = -1\)，\(B = 4\)。
所以，\(F(s) = \frac{-1}{s+1} + \frac{4}{s+2}\)。
- 查表求逆变换：
\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{-1}{s+1} \right\} = -e^{-t} u(t) \]
\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{4}{s+2} \right\} = 4e^{-2t} u(t) \]
因此，
\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = -e^{-t} u(t) + 4e^{-2t} u(t) = (4e^{-2t} - e^{-t}) u(t) \]
5.3 拉普拉斯变换在解微分方程中的应用 (Applications of Laplace Transform in Solving Differential Equations)
拉普拉斯变换是求解线性常系数微分方程的有力工具。它可以将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。特别是对于初值问题 (Initial Value Problems, IVP)，拉普拉斯变换能够直接利用初始条件，求解过程更加高效。
使用拉普拉斯变换解微分方程的步骤：
对微分方程两边取拉普拉斯变换：利用拉普拉斯变换的线性性和微分性质，将微分方程转化为关于 \(Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}\) 的代数方程。同时代入初始条件。
求解代数方程：解出 \(Y(s)\)。这是一个关于 \(s\) 的代数方程，通常可以解出 \(Y(s)\) 的有理函数形式。
求逆拉普拉斯变换：对 \(Y(s)\) 进行逆拉普拉斯变换，得到时域解 \(y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}\)。通常使用部分分式分解法和查表法求逆变换。
例 4：使用拉普拉斯变换解一阶常系数微分方程
求解初值问题：\(y'(t) - 2y(t) = e^{3t}\)，\(y(0) = 1\)。
解：
取拉普拉斯变换：
\[ \mathcal{L}\{y'(t) - 2y(t)\} = \mathcal{L}\{e^{3t}\} \]
利用线性性和微分性质：
\[ (sY(s) - y(0)) - 2Y(s) = \frac{1}{s-3} \]
代入初始条件 \(y(0) = 1\):
\[ (sY(s) - 1) - 2Y(s) = \frac{1}{s-3} \]求解代数方程：
\[ (s-2)Y(s) = 1 + \frac{1}{s-3} = \frac{s-3+1}{s-3} = \frac{s-2}{s-3} \]
\[ Y(s) = \frac{s-2}{(s-2)(s-3)} = \frac{1}{s-3} \]求逆拉普拉斯变换：
\[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s-3} \right\} = e^{3t} u(t) \]
因此，初值问题的解为 \(y(t) = e^{3t} u(t)\)。
例 5：使用拉普拉斯变换解二阶常系数微分方程
求解初值问题：\(y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = \cos(t)\)，\(y(0) = 1\)，\(y'(0) = 0\)。
解：
取拉普拉斯变换：
\[ \mathcal{L}\{y''(t) + 3y'(t) + 2y(t)\} = \mathcal{L}\{\cos(t)\} \]
利用线性性和微分性质：
\[ (s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \]
代入初始条件 \(y(0) = 1\)，\(y'(0) = 0\):
\[ (s^2Y(s) - s - 0) + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \]求解代数方程：
\[ (s^2 + 3s + 2)Y(s) - s - 3 = \frac{s}{s^2 + 1} \]
\[ (s^2 + 3s + 2)Y(s) = s + 3 + \frac{s}{s^2 + 1} = \frac{(s+3)(s^2 + 1) + s}{s^2 + 1} = \frac{s^3 + 3s^2 + 2s + 3}{s^2 + 1} \]
\[ Y(s) = \frac{s^3 + 3s^2 + 2s + 3}{(s^2 + 3s + 2)(s^2 + 1)} = \frac{s^3 + 3s^2 + 2s + 3}{(s+1)(s+2)(s^2 + 1)} \]求逆拉普拉斯变换：
对 \(Y(s)\) 进行部分分式分解：
\[ \frac{s^3 + 3s^2 + 2s + 3}{(s+1)(s+2)(s^2 + 1)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 1} \]
通过待定系数法求解系数 \(A, B, C, D\)。计算过程较为繁琐，这里省略具体步骤，解得：
\(A = -1\)，\(B = \frac{7}{5}\)，\(C = -\frac{2}{5}\)，\(D = \frac{1}{5}\)。
所以，
\[ Y(s) = \frac{-1}{s+1} + \frac{7/5}{s+2} + \frac{-\frac{2}{5}s + \frac{1}{5}}{s^2 + 1} = -\frac{1}{s+1} + \frac{7}{5}\frac{1}{s+2} - \frac{2}{5}\frac{s}{s^2 + 1} + \frac{1}{5}\frac{1}{s^2 + 1} \]
求逆拉普拉斯变换：
\[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = -e^{-t} + \frac{7}{5}e^{-2t} - \frac{2}{5}\cos(t) + \frac{1}{5}\sin(t) \]
因此，初值问题的解为 \(y(t) = -e^{-t} + \frac{7}{5}e^{-2t} - \frac{2}{5}\cos(t) + \frac{1}{5}\sin(t)\)。
拉普拉斯变换不仅可以求解常系数线性微分方程，还可以用于分析系统的稳定性、求解积分方程、以及在控制理论、电路分析等领域有着广泛的应用。本章只是对拉普拉斯变换的基础知识和在解微分方程中的应用进行了初步介绍，更深入的理论和应用将在后续章节或更专业的课程中进行探讨。
6. chapter 6：级数解法 (Series Solutions)
6.1 幂级数解法 (Power Series Solutions)
在微分方程的研究中，我们已经掌握了许多求解特定类型方程的方法，例如初等积分法、积分因子法、待定系数法和变参数法等。然而，并非所有的微分方程都能用这些方法找到初等函数形式的解。对于那些难以求得初等解的微分方程，级数解法 (Series Solutions) 提供了一种强大的工具。本节，我们将重点介绍 幂级数解法 (Power Series Solutions)，这是一种寻找微分方程在 常点 (Ordinary Point) 附近解的重要方法。
6.1.1 幂级数的基本概念回顾 (Review of Basic Concepts of Power Series)
首先，我们简要回顾一下幂级数的一些基本概念，这对于理解幂级数解法至关重要。
① 幂级数的定义 (Definition of Power Series)：
形如 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \) 的级数称为在 \( x_0 \) 处（或关于 \( x_0 \)) 的 幂级数 (Power Series)，其中 \( a_n \) 是一系列常数，\( x_0 \) 是 中心 (Center)。当 \( x_0 = 0 \) 时，幂级数简化为 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \)。
② 收敛半径与收敛区间 (Radius of Convergence and Interval of Convergence)：
对于任意幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \)，都存在一个非负数 \( R \) ( \( 0 \leq R \leq +\infty \))，称为 收敛半径 (Radius of Convergence)，使得：
⚝ 当 \( |x-x_0| < R \) 时，幂级数绝对收敛。
⚝ 当 \( |x-x_0| > R \) 时，幂级数发散。
⚝ 当 \( |x-x_0| = R \) 时，幂级数的收敛性需要单独讨论，这决定了 收敛区间 (Interval of Convergence)。
收敛半径 \( R \) 可以通过 比值判别法 (Ratio Test) 或 根值判别法 (Root Test) 求得。例如，若极限 \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \) 存在，则收敛半径 \( R = 1/L \) (当 \( L=0 \) 时，\( R = +\infty \); 当 \( L = +\infty \) 时，\( R = 0 \)).
③ 幂级数的运算性质 (Operational Properties of Power Series)：
在收敛区间内，幂级数可以像多项式一样进行加、减、乘、除（除法需要分母不为零）以及 逐项求导 (Term-by-Term Differentiation) 和 逐项积分 (Term-by-Term Integration) 等运算，且运算后的级数与原级数具有相同的收敛半径。
⚝ 逐项求导 (Term-by-Term Differentiation)：若 \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \) 在 \( (x_0 - R, x_0 + R) \) 内收敛，则在 \( (x_0 - R, x_0 + R) \) 内，\( f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-x_0)^{n-1} \)。
⚝ 逐项积分 (Term-by-Term Integration)：若 \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \) 在 \( (x_0 - R, x_0 + R) \) 内收敛，则在 \( (x_0 - R, x_0 + R) \) 内，\( \int f(x) dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (x-x_0)^{n+1} \)，其中 \( C \) 是积分常数。
这些性质是幂级数解法的基础，允许我们将微分方程的解表示为幂级数，并通过对级数进行运算来求解微分方程。
6.1.2 常点与奇点 (Ordinary Points and Singular Points)
为了应用幂级数解法，我们需要了解微分方程的 常点 (Ordinary Point) 和 奇点 (Singular Point) 的概念。考虑二阶线性常微分方程的标准形式：
\[ y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \]
其中 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 是 \( x \) 的函数。
① 常点 (Ordinary Point)：
如果 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 在点 \( x_0 \) 处 解析 (Analytic)，即它们在 \( x_0 \) 处可以展开成幂级数，那么 \( x_0 \) 就称为微分方程的 常点 (Ordinary Point)。
② 奇点 (Singular Point)：
如果 \( x_0 \) 不是常点，即 \( P(x) \) 或 \( Q(x) \) 在 \( x_0 \) 处不解析，那么 \( x_0 \) 就称为微分方程的 奇点 (Singular Point)。
对于更一般的形式 \( A(x) y'' + B(x) y' + C(x) y = 0 \)，我们可以将其转化为标准形式：
\[ y'' + \frac{B(x)}{A(x)} y' + \frac{C(x)}{A(x)} y = 0 \]
此时，\( P(x) = \frac{B(x)}{A(x)} \) 和 \( Q(x) = \frac{C(x)}{A(x)} \)。如果 \( A(x_0) \neq 0 \)，且 \( B(x)/A(x) \) 和 \( C(x)/A(x) \) 在 \( x_0 \) 处解析，则 \( x_0 \) 是常点。奇点通常发生在 \( A(x) = 0 \) 的点，或者当 \( B(x)/A(x) \) 或 \( C(x)/A(x) \) 在某点不解析时。
定理 6.1.1 (常点附近的幂级数解存在性定理)：
如果 \( x_0 \) 是二阶线性常微分方程 \( y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \) 的常点，那么方程在 \( x_0 \) 附近存在两个线性无关的解析解，它们都可以表示成在 \( x_0 \) 处展开的幂级数形式，且这两个幂级数解的收敛半径至少与 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 的收敛半径相同。
这个定理保证了在常点附近，我们可以使用幂级数解法来寻找微分方程的解。
6.1.3 幂级数解法步骤 (Steps of Power Series Solution Method)
对于常点 \( x_0 \)，我们可以假设微分方程 \( y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \) 的解具有如下幂级数形式：
\[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
幂级数解法的基本步骤如下：
① 确定常点 (Identify Ordinary Point)：
首先确定给定的微分方程的常点 \( x_0 \)。通常，我们选择在 \( x_0 = 0 \) 附近展开，如果 \( x_0 = 0 \) 是常点。如果不是，可以考虑在其他常点展开，或者进行变量代换将常点移至原点。
② 假设幂级数解 (Assume Power Series Solution)：
假设解 \( y(x) \) 可以表示为在常点 \( x_0 \) 处展开的幂级数：
\[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + \cdots \]
③ 求导数 (Calculate Derivatives)：
计算 \( y'(x) \) 和 \( y''(x) \)：
\[ y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-x_0)^{n-1} = a_1 + 2a_2 (x-x_0) + 3a_3 (x-x_0)^2 + \cdots \]
\[ y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n (x-x_0)^{n-2} = 2a_2 + 3 \cdot 2 a_3 (x-x_0) + 4 \cdot 3 a_4 (x-x_0)^2 + \cdots \]
④ 代入微分方程 (Substitute into Differential Equation)：
将 \( y(x) \)、\( y'(x) \)、\( y''(x) \) 以及 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 的幂级数展开式代入原微分方程 \( y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \)。如果 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 不是常数，也需要将它们在 \( x_0 \) 处展开成幂级数。
⑤ 确定递推关系 (Determine Recurrence Relation)：
合并同次幂 \( (x-x_0)^n \) 的系数，并令每一项的系数为零。这将得到关于系数 \( a_n \) 的 递推关系 (Recurrence Relation)，也称为 指标方程 (Indicial Equation)。递推关系表达了 \( a_n \) 与前面若干项系数之间的关系。
⑥ 求解系数 (Solve for Coefficients)：
利用递推关系，选择合适的初始条件（例如 \( a_0 \) 和 \( a_1 \) 可以作为任意常数），求解出系数 \( a_2, a_3, a_4, \cdots \) 用 \( a_0 \) 和 \( a_1 \) 表示的表达式。
⑦ 写出幂级数解 (Write out Power Series Solutions)：
将求得的系数 \( a_n \) 代回假设的幂级数解 \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \)，得到微分方程的幂级数解。通常可以得到两个线性无关的解 \( y_1(x) \) 和 \( y_2(x) \)，通解可以表示为 \( y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) \)，其中 \( c_1 \) 和 \( c_2 \) 是任意常数。
⑧ 确定收敛半径 (Determine Radius of Convergence)：
利用比值判别法或其他方法，确定幂级数解的收敛半径。根据定理 6.1.1，收敛半径至少与 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 的收敛半径相同。
6.1.4 实例分析 (Example Analysis)
例 6.1.1 求解微分方程 \( y'' + y = 0 \) 在 \( x_0 = 0 \) 附近的幂级数解。
解：
① 确定常点：对于方程 \( y'' + y = 0 \)，\( P(x) = 0 \) 和 \( Q(x) = 1 \) 都是常数，在整个 \( x \) 轴上解析，因此 \( x_0 = 0 \) 是常点。
② 假设幂级数解：设解为 \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \)。
③ 求导数：
\( y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \)
\( y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \)
④ 代入微分方程：
将 \( y''(x) \) 和 \( y(x) \) 代入 \( y'' + y = 0 \)，得到：
\[ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0 \]
⑤ 确定递推关系：
为了合并两个级数，我们需要使它们的 \( x \) 的幂次相同。在第一个级数中，令 \( k = n-2 \)，则 \( n = k+2 \)，当 \( n=2 \) 时，\( k=0 \)。第一个级数变为 \( \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k \)。将 \( k \) 重新写为 \( n \)，得到 \( \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n \)。
因此，方程变为：
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0 \]
合并两个级数：
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n \right] x^n = 0 \]
要使上式对所有 \( x \) 成立，必须每一项的系数都为零：
\[ (n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n = 0, \quad n = 0, 1, 2, \cdots \]
递推关系为：
\[ a_{n+2} = - \frac{a_n}{(n+2)(n+1)}, \quad n = 0, 1, 2, \cdots \]
⑥ 求解系数：
根据递推关系，我们可以将系数 \( a_n \) 用 \( a_0 \) 和 \( a_1 \) 表示。
当 \( n = 0 \) 时，\( a_2 = - \frac{a_0}{2 \cdot 1} = - \frac{a_0}{2!} \)
当 \( n = 1 \) 时，\( a_3 = - \frac{a_1}{3 \cdot 2} = - \frac{a_1}{3!} \)
当 \( n = 2 \) 时，\( a_4 = - \frac{a_2}{4 \cdot 3} = - \frac{-a_0/2!}{4 \cdot 3} = \frac{a_0}{4!} \)
当 \( n = 3 \) 时，\( a_5 = - \frac{a_3}{5 \cdot 4} = - \frac{-a_1/3!}{5 \cdot 4} = \frac{a_1}{5!} \)
以此类推，我们可以得到：
对于偶数项 \( n = 2k \)，\( a_{2k} = (-1)^k \frac{a_0}{(2k)!} \)
对于奇数项 \( n = 2k+1 \)，\( a_{2k+1} = (-1)^k \frac{a_1}{(2k+1)!} \)
⑦ 写出幂级数解：
将系数代回幂级数解：
\[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k} x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1} \]
\[ y(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{a_0}{(2k)!} x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{a_1}{(2k+1)!} x^{2k+1} \]
\[ y(x) = a_0 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + a_1 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} \]
我们Recognize这两个级数分别是 \( \cos x \) 和 \( \sin x \) 的幂级数展开式。因此，
\[ y(x) = a_0 \cos x + a_1 \sin x \]
其中 \( a_0 \) 和 \( a_1 \) 是任意常数。这与我们已知的 \( y'' + y = 0 \) 的通解一致。
⑧ 确定收敛半径：
对于 \( \cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} \) 和 \( \sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} \)，它们的收敛半径都是 \( R = +\infty \)。
例 6.1.2 求解微分方程 \( y'' - xy = 0 \) 在 \( x_0 = 0 \) 附近的幂级数解。这个方程被称为 艾里方程 (Airy's Equation)，在物理学中有很多应用。
解：
① 确定常点：对于方程 \( y'' - xy = 0 \)，\( P(x) = 0 \) 和 \( Q(x) = -x \) 都是解析函数，因此 \( x_0 = 0 \) 是常点。
② 假设幂级数解：设解为 \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \)。
③ 求导数：
\( y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \)
\( y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \)
④ 代入微分方程：
将 \( y''(x) \) 和 \( y(x) \) 代入 \( y'' - xy = 0 \)，得到：
\[ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0 \]
\[ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} = 0 \]
⑤ 确定递推关系：
在第一个级数中，令 \( k = n-2 \)，则 \( n = k+2 \)，当 \( n=2 \) 时，\( k=0 \)。第一个级数变为 \( \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k \)。
在第二个级数中，令 \( k = n+1 \)，则 \( n = k-1 \)，当 \( n=0 \) 时，\( k=1 \)。第二个级数变为 \( \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k \).
将 \( k \) 重新写为 \( n \)，方程变为：
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n - \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n = 0 \]
将第一个级数的第一项 \( (n=0) \) 单独写出：
\[ 2 \cdot 1 \cdot a_2 + \sum_{n=1}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n - \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n = 0 \]
\[ 2 a_2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1) a_{n+2} - a_{n-1} \right] x^n = 0 \]
因此，我们得到：
\( 2 a_2 = 0 \Rightarrow a_2 = 0 \)
以及递推关系：
\[ (n+2)(n+1) a_{n+2} - a_{n-1} = 0, \quad n = 1, 2, 3, \cdots \]
\[ a_{n+2} = \frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}, \quad n = 1, 2, 3, \cdots \]
⑥ 求解系数：
\( a_2 = 0 \)
当 \( n = 1 \) 时，\( a_3 = \frac{a_0}{3 \cdot 2} = \frac{a_0}{3!} \)
当 \( n = 2 \) 时，\( a_4 = \frac{a_1}{4 \cdot 3} = \frac{a_1}{4 \cdot 3} \)
当 \( n = 3 \) 时，\( a_5 = \frac{a_2}{5 \cdot 4} = \frac{0}{5 \cdot 4} = 0 \)
当 \( n = 4 \) 时，\( a_6 = \frac{a_3}{6 \cdot 5} = \frac{a_0}{6 \cdot 5 \cdot 3!} = \frac{a_0}{6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \)
当 \( n = 5 \) 时，\( a_7 = \frac{a_4}{7 \cdot 6} = \frac{a_1}{7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} \)
当 \( n = 6 \) 时，\( a_8 = \frac{a_5}{8 \cdot 7} = 0 \)
当 \( n = 7 \) 时，\( a_9 = \frac{a_6}{9 \cdot 8} = \frac{a_0}{9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3!} \)
当 \( n = 8 \) 时，\( a_{10} = \frac{a_7}{10 \cdot 9} = \frac{a_1}{10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} \)
...
我们可以将系数分为三组，根据 \( n \pmod 3 \) 的值：
⚝ 当 \( n = 3k \) 时，\( a_{3k+2} = 0 \) for \( k = 0, 1, 2, \cdots \) (因为 \( a_2 = 0 \))
⚝ 当 \( n = 3k \) 时，\( a_{3k} \) 与 \( a_0 \) 相关。
⚝ 当 \( n = 3k+1 \) 时，\( a_{3k+1} \) 与 \( a_1 \) 相关。
对于 \( a_{3k} \)：
\( a_3 = \frac{a_0}{3 \cdot 2} \)
\( a_6 = \frac{a_3}{6 \cdot 5} = \frac{a_0}{(6 \cdot 5)(3 \cdot 2)} \)
\( a_9 = \frac{a_6}{9 \cdot 8} = \frac{a_0}{(9 \cdot 8)(6 \cdot 5)(3 \cdot 2)} \)
一般地，\( a_{3k} = \frac{a_0}{(3k)(3k-1) \cdots 3 \cdot 2} = \frac{a_0}{\prod_{j=1}^{k} [3j(3j-1)]} = \frac{a_0}{3^k k! \cdot (2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots (3k-1))} \)
对于 \( a_{3k+1} \)：
\( a_4 = \frac{a_1}{4 \cdot 3} \)
\( a_7 = \frac{a_4}{7 \cdot 6} = \frac{a_1}{(7 \cdot 6)(4 \cdot 3)} \)
\( a_{10} = \frac{a_7}{10 \cdot 9} = \frac{a_1}{(10 \cdot 9)(7 \cdot 6)(4 \cdot 3)} \)
一般地，\( a_{3k+1} = \frac{a_1}{(3k+1)(3k) \cdots 4 \cdot 3} = \frac{a_1}{\prod_{j=1}^{k} [(3j+1)(3j)]} = \frac{a_1}{3^k k! \cdot (4 \cdot 7 \cdot 10 \cdots (3k+1))} \)
⑦ 写出幂级数解：
\[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{k=0}^{\infty} a_{3k} x^{3k} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{3k+1} x^{3k+1} + \sum_{k=0}^{\infty} a_{3k+2} x^{3k+2} \]
由于 \( a_{3k+2} = 0 \)，
\[ y(x) = a_0 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k}}{\prod_{j=1}^{k} [3j(3j-1)]} + a_1 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{\prod_{j=1}^{k} [(3j+1)(3j)]} \]
这两个级数定义了艾里方程的两个线性无关的解，通常记为 \( Ai(x) \) 和 \( Bi(x) \) 的线性组合。
⑧ 确定收敛半径：
使用比值判别法可以证明这两个级数的收敛半径都是 \( R = +\infty \)。例如，对于第一个级数，令 \( u_k = \frac{x^{3k}}{\prod_{j=1}^{k} [3j(3j-1)]} \)，则
\[ \left| \frac{u_{k+1}}{u_k} \right| = \left| \frac{x^{3(k+1)}}{\prod_{j=1}^{k+1} [3j(3j-1)]} \cdot \frac{\prod_{j=1}^{k} [3j(3j-1)]}{x^{3k}} \right| = \frac{|x|^3}{(3(k+1))(3(k+1)-1)} = \frac{|x|^3}{(3k+3)(3k+2)} \]
当 \( k \to \infty \) 时，\( \lim_{k \to \infty} \left| \frac{u_{k+1}}{u_k} \right| = 0 < 1 \)，因此级数对所有 \( x \) 都收敛，收敛半径 \( R = +\infty \)。同理可证第二个级数的收敛半径也是 \( R = +\infty \)。
通过以上例子，我们展示了如何使用幂级数解法求解常系数和变系数的线性常微分方程。幂级数解法不仅可以找到解的级数表示，而且对于某些方程，例如艾里方程，其解本身就是通过级数定义的特殊函数。在下一节，我们将讨论当 \( x_0 \) 是 正则奇点 (Regular Singular Point) 时，如何使用 弗罗贝尼乌斯方法 (Frobenius Method) 求解微分方程。
6.2 弗罗贝尼乌斯方法 (Frobenius Method)
上一节我们讨论了在常点附近使用幂级数解法求解微分方程。然而，当微分方程在某点 \( x_0 \) 处不是常点，而是 奇点 (Singular Point) 时，幂级数解法可能不再适用。本节将介绍 弗罗贝尼乌斯方法 (Frobenius Method)，这是一种求解在 正则奇点 (Regular Singular Point) 附近微分方程解的有效方法。
6.2.1 正则奇点与非正则奇点 (Regular Singular Points and Irregular Singular Points)
考虑二阶线性常微分方程的标准形式：
\[ y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \]
其中 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 是 \( x \) 的函数。如果 \( x_0 \) 是奇点，即 \( P(x) \) 或 \( Q(x) \) 在 \( x_0 \) 处不解析。我们进一步区分奇点的类型：
① 正则奇点 (Regular Singular Point)：
如果 \( x_0 \) 是奇点，且 \( (x-x_0)P(x) \) 和 \( (x-x_0)^2 Q(x) \) 在 \( x_0 \) 处解析，则 \( x_0 \) 称为 正则奇点 (Regular Singular Point)。这意味着 \( \lim_{x \to x_0} (x-x_0)P(x) \) 和 \( \lim_{x \to x_0} (x-x_0)^2 Q(x) \) 存在且有限。
② 非正则奇点 (Irregular Singular Point)：
如果 \( x_0 \) 是奇点，但不是正则奇点，则称为 非正则奇点 (Irregular Singular Point)。这意味着 \( (x-x_0)P(x) \) 或 \( (x-x_0)^2 Q(x) \) 在 \( x_0 \) 处不解析，即 \( \lim_{x \to x_0} (x-x_0)P(x) \) 或 \( \lim_{x \to x_0} (x-x_0)^2 Q(x) \) 不存在或为无穷大。
对于更一般的形式 \( A(x) y'' + B(x) y' + C(x) y = 0 \)，我们先将其转化为标准形式 \( y'' + \frac{B(x)}{A(x)} y' + \frac{C(x)}{A(x)} y = 0 \)。奇点通常是 \( A(x) = 0 \) 的点。设 \( x_0 \) 是 \( A(x) = 0 \) 的根。要判断 \( x_0 \) 是否为正则奇点，我们需要考察 \( (x-x_0)P(x) = (x-x_0) \frac{B(x)}{A(x)} \) 和 \( (x-x_0)^2 Q(x) = (x-x_0)^2 \frac{C(x)}{A(x)} \) 在 \( x_0 \) 处的解析性。
例 6.2.1 考虑 勒让德方程 (Legendre's Equation)：\( (1-x^2) y'' - 2x y' + \alpha(\alpha+1) y = 0 \)。
将其转化为标准形式：
\[ y'' - \frac{2x}{1-x^2} y' + \frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2} y = 0 \]
这里 \( P(x) = - \frac{2x}{1-x^2} \) 和 \( Q(x) = \frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2} \)。奇点是 \( 1-x^2 = 0 \) 的根，即 \( x = \pm 1 \)。
考察 \( x = 1 \)：
\( (x-1)P(x) = (x-1) \left( - \frac{2x}{1-x^2} \right) = \frac{2x}{1+x} \)
\( (x-1)^2 Q(x) = (x-1)^2 \frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2} = - \frac{(x-1)\alpha(\alpha+1)}{1+x} \)
当 \( x \to 1 \) 时，\( (x-1)P(x) \to \frac{2}{2} = 1 \) 和 \( (x-1)^2 Q(x) \to 0 \)。由于 \( (x-1)P(x) \) 和 \( (x-1)^2 Q(x) \) 在 \( x = 1 \) 处解析（实际上是多项式），所以 \( x = 1 \) 是正则奇点。
同理，考察 \( x = -1 \)：
\( (x-(-1))P(x) = (x+1) \left( - \frac{2x}{1-x^2} \right) = \frac{2x}{1-x} \)
\( (x-(-1))^2 Q(x) = (x+1)^2 \frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2} = - \frac{(x+1)\alpha(\alpha+1)}{1-x} \)
当 \( x \to -1 \) 时，\( (x+1)P(x) \to \frac{-2}{2} = -1 \) 和 \( (x+1)^2 Q(x) \to 0 \)。由于 \( (x+1)P(x) \) 和 \( (x+1)^2 Q(x) \) 在 \( x = -1 \) 处解析，所以 \( x = -1 \) 也是正则奇点。
例 6.2.2 考虑方程 \( x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0 \)，即 贝塞尔方程 (Bessel's Equation)。
转化为标准形式：
\[ y'' + \frac{1}{x} y' + \frac{x^2 - \nu^2}{x^2} y = 0 \]
这里 \( P(x) = \frac{1}{x} \) 和 \( Q(x) = \frac{x^2 - \nu^2}{x^2} = 1 - \frac{\nu^2}{x^2} \)。奇点是 \( x = 0 \)。
考察 \( x = 0 \)：
\( x P(x) = x \cdot \frac{1}{x} = 1 \)
\( x^2 Q(x) = x^2 \left( 1 - \frac{\nu^2}{x^2} \right) = x^2 - \nu^2 \)
当 \( x \to 0 \) 时，\( x P(x) \to 1 \) 和 \( x^2 Q(x) \to -\nu^2 \)。由于 \( x P(x) \) 和 \( x^2 Q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处解析（实际上是常数和多项式），所以 \( x = 0 \) 是正则奇点。
例 6.2.3 考虑方程 \( x^3 y'' + y = 0 \)。
转化为标准形式：
\[ y'' + \frac{1}{x^3} y = 0 \]
这里 \( P(x) = 0 \) 和 \( Q(x) = \frac{1}{x^3} \)。奇点是 \( x = 0 \)。
考察 \( x = 0 \)：
\( x P(x) = x \cdot 0 = 0 \)
\( x^2 Q(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{1}{x} \)
当 \( x \to 0 \) 时，\( x P(x) \to 0 \)，但 \( x^2 Q(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处不解析（极限不存在或为无穷大）。因此，\( x = 0 \) 是非正则奇点。
6.2.2 弗罗贝尼乌斯定理 (Frobenius Theorem)
弗罗贝尼乌斯定理 (Frobenius Theorem) 描述了在正则奇点附近解的存在形式。
定理 6.2.1 (弗罗贝尼乌斯定理)：
如果 \( x = 0 \) 是微分方程 \( x^2 y'' + x p(x) y' + q(x) y = 0 \) 的正则奇点，其中 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处解析，则方程至少有一个形如 \( y(x) = x^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} \) (其中 \( a_0 \neq 0 \)) 的解，称为 弗罗贝尼乌斯级数 (Frobenius Series)，其中 \( r \) 是常数，可以通过求解 指标方程 (Indicial Equation) 得到。这个级数解在 \( 0 < |x| < R \) 上收敛，其中 \( R \) 是 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 的幂级数展开式的收敛半径。
如果 \( x_0 \neq 0 \) 是正则奇点，我们可以通过变量代换 \( t = x - x_0 \) 将奇点移到原点，然后应用弗罗贝尼乌斯方法。
6.2.3 弗罗贝尼乌斯方法步骤 (Steps of Frobenius Method)
对于正则奇点 \( x_0 = 0 \)，考虑微分方程 \( x^2 y'' + x p(x) y' + q(x) y = 0 \)，其中 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处解析，可以展开为幂级数：
\[ p(x) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n x^n = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + \cdots \]
\[ q(x) = \sum_{n=0}^{\infty} q_n x^n = q_0 + q_1 x + q_2 x^2 + \cdots \]
弗罗贝尼乌斯方法的步骤如下：
① 验证正则奇点 (Verify Regular Singular Point)：
首先验证 \( x = 0 \) 是正则奇点，即 \( xP(x) = p(x) \) 和 \( x^2 Q(x) = q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处解析。
② 假设弗罗贝尼乌斯级数解 (Assume Frobenius Series Solution)：
假设解的形式为 \( y(x) = x^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} \)，其中 \( a_0 \neq 0 \)。
③ 求导数 (Calculate Derivatives)：
计算 \( y'(x) \) 和 \( y''(x) \)：
\[ y'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r-1} \]
\[ y''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r-2} \]
④ 代入微分方程 (Substitute into Differential Equation)：
将 \( y(x) \)、\( y'(x) \)、\( y''(x) \) 以及 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 的幂级数展开式代入原微分方程 \( x^2 y'' + x p(x) y' + q(x) y = 0 \)。
⑤ 确定指标方程和递推关系 (Determine Indicial Equation and Recurrence Relation)：
代入后，得到：
\[ x^2 \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r-2} + x p(x) \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r-1} + q(x) \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0 \]
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r} + p(x) \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r} + q(x) \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0 \]
将 \( p(x) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n x^n \) 和 \( q(x) = \sum_{n=0}^{\infty} q_n x^n \) 代入，并展开乘积。合并同次幂 \( x^{n+r} \) 的系数。最低次幂是 \( x^r \) (当 \( n = 0 \) 时)。令 \( x^r \) 的系数为零，得到 指标方程 (Indicial Equation)，这是一个关于 \( r \) 的二次方程。
\[ [r(r-1) + p_0 r + q_0] a_0 = 0 \]
由于 \( a_0 \neq 0 \)，所以指标方程为：
\[ r(r-1) + p_0 r + q_0 = 0 \]
或 \( r^2 + (p_0 - 1) r + q_0 = 0 \)。解这个二次方程，得到两个根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，称为 指标根 (Indicial Roots)。
对于 \( x^{n+r} \) ( \( n \geq 1 \) ) 的系数，令其为零，得到关于系数 \( a_n \) 的 递推关系 (Recurrence Relation)，通常表达 \( a_n \) 用 \( a_0, a_1, \cdots, a_{n-1} \) 和 \( r \) 表示。
⑥ 求解系数 (Solve for Coefficients)：
对于每个指标根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，利用递推关系求解系数 \( a_n \) ( \( n = 1, 2, 3, \cdots \) ) 用 \( a_0 \) 表示的表达式。通常 \( a_0 \) 可以取为任意非零常数，例如 \( a_0 = 1 \)。
⑦ 写出弗罗贝尼乌斯级数解 (Write out Frobenius Series Solutions)：
将求得的系数 \( a_n \) 和指标根 \( r \) 代回假设的弗罗贝尼乌斯级数解 \( y(x) = x^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \)，得到一个或两个弗罗贝尼乌斯级数解。
根据指标根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 的不同情况，可以得到不同形式的解：
情况 1：\( r_1 \neq r_2 \) 且 \( r_1 - r_2 \) 不是整数。
此时，可以得到两个线性无关的弗罗贝尼乌斯级数解：
\[ y_1(x) = x^{r_1} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(r_1) x^n \]
\[ y_2(x) = x^{r_2} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(r_2) x^n \]
通解为 \( y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) \)。
情况 2：\( r_1 = r_2 = r \) (重根)。
此时，只能得到一个弗罗贝尼乌斯级数解 \( y_1(x) = x^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n(r) x^n \)。第二个线性无关的解形式为：
\[ y_2(x) = y_1(x) \ln|x| + x^r \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n \]
其中系数 \( b_n \) 需要通过代入原方程并求解确定。
情况 3：\( r_1 - r_2 = N \) 是正整数。
设 \( r_1 > r_2 \)，则可以得到一个弗罗贝尼乌斯级数解 \( y_1(x) = x^{r_1} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(r_1) x^n \)。第二个线性无关的解形式可能为：
\[ y_2(x) = C y_1(x) \ln|x| + x^{r_2} \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \]
其中 \( C \) 是常数，可能为零。如果 \( C \neq 0 \)，则需要包含对数项；如果 \( C = 0 \)，则第二个解也是弗罗贝尼乌斯级数形式。系数 \( b_n \) 和常数 \( C \) 需要通过代入原方程并求解确定。
6.2.4 实例分析 (Example Analysis)
例 6.2.4 求解 欧拉方程 (Euler Equation) \( x^2 y'' + \alpha x y' + \beta y = 0 \) 在 \( x = 0 \) 附近的解，其中 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是常数。
解：
① 验证正则奇点：方程已经写成 \( x^2 y'' + x (\alpha) y' + (\beta) y = 0 \) 的形式，其中 \( p(x) = \alpha \) 和 \( q(x) = \beta \) 都是常数，在 \( x = 0 \) 处解析。因此 \( x = 0 \) 是正则奇点。
② 假设弗罗贝尼乌斯级数解：设解为 \( y(x) = x^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} \)。
③ 求导数：
\( y'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r-1} \)
\( y''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r-2} \)
④ 代入微分方程：
\[ x^2 \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r-2} + \alpha x \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r-1} + \beta \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0 \]
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+r)(n+r-1) + \alpha (n+r) + \beta \right] a_n x^{n+r} = 0 \]
⑤ 确定指标方程和递推关系：
最低次幂 \( x^r \) ( \( n = 0 \) ) 的系数为：
\[ [r(r-1) + \alpha r + \beta] a_0 = 0 \]
指标方程为 \( r(r-1) + \alpha r + \beta = 0 \)，即 \( r^2 + (\alpha - 1) r + \beta = 0 \)。
递推关系为：
\[ \left[ (n+r)(n+r-1) + \alpha (n+r) + \beta \right] a_n = 0, \quad n \geq 1 \]
由于 \( r \) 已经由指标方程确定，且我们希望得到非零解，所以递推关系实际上是：
\[ \left[ (n+r)(n+r-1) + \alpha (n+r) + \beta \right] a_n = 0 \]
对于 \( n \geq 1 \)，要使上式成立，除非系数项为零，否则必须 \( a_n = 0 \) for \( n \geq 1 \)。为了得到非平凡的级数解，我们希望递推关系能够自动满足，或者简化为 \( a_n \) 与 \( a_{n-1} \) 等的关系。
对于欧拉方程，指标方程决定了 \( r \)。设指标根为 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)。
情况 1：\( r_1 \neq r_2 \) 且 \( r_1 - r_2 \) 不是整数。
两个线性无关的解为 \( y_1(x) = x^{r_1} \) 和 \( y_2(x) = x^{r_2} \)。
情况 2：\( r_1 = r_2 = r \)。
一个解为 \( y_1(x) = x^r \)。第二个线性无关的解为 \( y_2(x) = x^r \ln|x| \)。
情况 3：\( r_1 - r_2 = N \) 是正整数。
设 \( r_1 > r_2 \)。一个解为 \( y_1(x) = x^{r_1} \)。第二个线性无关的解为 \( y_2(x) = x^{r_2} \)。
例 6.2.5 求解方程 \( x^2 y'' + x y' + (x^2 - \frac{1}{4}) y = 0 \) 在 \( x = 0 \) 附近的解。这是 \( \nu = 1/2 \) 的贝塞尔方程。
解：
① 验证正则奇点：方程已经写成 \( x^2 y'' + x (1) y' + (x^2 - \frac{1}{4}) y = 0 \) 的形式，\( p(x) = 1 \) 和 \( q(x) = x^2 - \frac{1}{4} \) 解析，\( x = 0 \) 是正则奇点。
② 假设弗罗贝尼乌斯级数解：设解为 \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} \)。
③ 求导数：
\( y'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r-1} \)
\( y''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r-2} \)
④ 代入微分方程：
\[ x^2 \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r-2} + x \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r-1} + (x^2 - \frac{1}{4}) \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0 \]
\[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} (n+r) a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r+2} - \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0 \]
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+r)(n+r-1) + (n+r) - \frac{1}{4} \right] a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r+2} = 0 \]
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+r)^2 - \frac{1}{4} \right] a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r+2} = 0 \]
⑤ 确定指标方程和递推关系：
最低次幂 \( x^r \) ( \( n = 0 \) ) 的系数为：
\[ \left[ (0+r)^2 - \frac{1}{4} \right] a_0 = 0 \]
指标方程为 \( r^2 - \frac{1}{4} = 0 \)，解得 \( r = \pm \frac{1}{2} \)。指标根为 \( r_1 = \frac{1}{2} \) 和 \( r_2 = - \frac{1}{2} \)，\( r_1 - r_2 = 1 \) 是整数，属于情况 3。
对于 \( x^{n+r} \) ( \( n \geq 1 \) ) 的系数，需要考虑第二个级数。将第二个级数指标平移，令 \( m = n+2 \)，\( n = m-2 \)，当 \( n=0 \) 时，\( m=2 \)。第二个级数变为 \( \sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^{m+r} \)。将 \( m \) 重新写为 \( n \)，得到 \( \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n+r} \)。
方程变为：
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+r)^2 - \frac{1}{4} \right] a_n x^{n+r} + \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n+r} = 0 \]
将第一个级数的前两项 \( n = 0, 1 \) 单独写出：
\[ \left[ (0+r)^2 - \frac{1}{4} \right] a_0 + \left[ (1+r)^2 - \frac{1}{4} \right] a_1 x^{1+r} + \sum_{n=2}^{\infty} \left[ \left( (n+r)^2 - \frac{1}{4} \right) a_n + a_{n-2} \right] x^{n+r} = 0 \]
由于 \( r^2 - \frac{1}{4} = 0 \)，第一项为零。对于 \( r_1 = \frac{1}{2} \)，指标方程满足。
对于 \( n = 1 \)，\( \left[ (1+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right] a_1 = \left[ \frac{9}{4} - \frac{1}{4} \right] a_1 = 2 a_1 = 0 \Rightarrow a_1 = 0 \)。
对于 \( n \geq 2 \)，递推关系为：
\[ \left( (n+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) a_n + a_{n-2} = 0 \]
\[ \left( n^2 + n + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) a_n = - a_{n-2} \]
\[ n(n+1) a_n = - a_{n-2} \]
\[ a_n = - \frac{a_{n-2}}{n(n+1)}, \quad n = 2, 3, 4, \cdots \]
由于 \( a_1 = 0 \)，根据递推关系，所有奇数项系数 \( a_3 = a_5 = \cdots = 0 \)。
对于偶数项 \( n = 2k \)，\( a_{2k} = - \frac{a_{2k-2}}{(2k)(2k+1)} \)。
\( a_2 = - \frac{a_0}{2 \cdot 3} \)
\( a_4 = - \frac{a_2}{4 \cdot 5} = \frac{a_0}{(2 \cdot 3)(4 \cdot 5)} \)
\( a_{2k} = (-1)^k \frac{a_0}{(2 \cdot 3)(4 \cdot 5) \cdots ((2k)(2k+1))} = (-1)^k \frac{a_0}{(2k+1)!} \)
取 \( a_0 = 1 \)，得到一个解 \( y_1(x) = x^{1/2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} = \frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \)。
对于第二个指标根 \( r_2 = - \frac{1}{2} \)，指标方程也满足。
对于 \( n = 1 \)，\( \left[ (1-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right] a_1 = \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right] a_1 = 0 \)。此时 \( a_1 \) 可以是任意常数。为了找到第二个线性无关解，我们通常取 \( a_1 \neq 0 \)。
递推关系为：
\[ \left( (n-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) a_n + a_{n-2} = 0 \]
\[ \left( n^2 - n + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) a_n = - a_{n-2} \]
\[ n(n-1) a_n = - a_{n-2} \]
\[ a_n = - \frac{a_{n-2}}{n(n-1)}, \quad n = 2, 3, 4, \cdots \]
对于 \( n = 1 \)，\( 1(1-1) a_1 = - a_{-1} \)。如果 \( n = 1 \) 时，\( n(n-1) = 0 \)，递推关系失效，需要特殊处理。
实际上，对于 \( r_2 = -1/2 \)，当 \( n=1 \) 时，系数为 \( (1-1/2)^2 - 1/4 = 0 \)。此时，我们需要回到方程，重新考虑递推关系。
对于 \( r_2 = -1/2 \)，指标方程满足，但对于 \( n=1 \)，系数为 0，这意味着 \( a_1 \) 可以是任意的。为了简化，我们取 \( a_1 = 0 \)。则所有奇数项系数 \( a_3 = a_5 = \cdots = 0 \)。
对于偶数项 \( n = 2k \)，\( a_{2k} = - \frac{a_{2k-2}}{(2k)(2k-1)} \)。
\( a_2 = - \frac{a_0}{2 \cdot 1} \)
\( a_4 = - \frac{a_2}{4 \cdot 3} = \frac{a_0}{(2 \cdot 1)(4 \cdot 3)} \)
\( a_{2k} = (-1)^k \frac{a_0}{(2k)!} \)
取 \( a_0 = 1 \)，得到第二个解 \( y_2(x) = x^{-1/2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \)。
因此，贝塞尔方程 \( x^2 y'' + x y' + (x^2 - \frac{1}{4}) y = 0 \) 的通解为 \( y(x) = c_1 \frac{\sin x}{\sqrt{x}} + c_2 \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \)。
通过本节的讨论，我们了解了弗罗贝尼乌斯方法的基本思想和步骤，以及如何应用于求解在正则奇点附近的微分方程。弗罗贝尼乌斯方法是级数解法的重要组成部分，为我们求解更广泛类型的微分方程提供了有力的工具。在下一节，我们将介绍一些由级数解法定义的 特殊函数 (Special Functions)，例如贝塞尔函数和勒让德多项式。
6.3 特殊函数 (Special Functions)
在微分方程的求解过程中，特别是使用级数解法时，经常会遇到一些重要的函数，这些函数不是初等函数，但它们在数学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。这些函数通常被称为 特殊函数 (Special Functions)。它们通常是由特定类型的微分方程的解定义的，例如贝塞尔函数和勒让德多项式。本节将简要介绍 贝塞尔函数 (Bessel Functions) 和 勒让德多项式 (Legendre Polynomials)。
6.3.1 贝塞尔函数 (Bessel Functions)
贝塞尔方程 (Bessel's Equation) 是一类重要的二阶线性常微分方程，形式为：
\[ x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0 \]
其中 \( \nu \) 是一个实数或复数，称为 阶数 (Order)。当 \( \nu \) 为实数时，我们主要关注实值解。\( x = 0 \) 是贝塞尔方程的正则奇点。
使用弗罗贝尼乌斯方法求解贝塞尔方程，可以得到两个线性无关的解。当 \( \nu \) 不是整数时，两个线性无关的解是 第一类贝塞尔函数 (Bessel Function of the First Kind) \( J_{\nu}(x) \) 和 \( J_{-\nu}(x) \)。当 \( \nu = n \) 是整数时，\( J_n(x) \) 和 \( J_{-n}(x) \) 线性相关，此时需要引入 第二类贝塞尔函数 (Bessel Function of the Second Kind) \( Y_{\nu}(x) \) (也称为 诺伊曼函数 (Neumann Function) 或 韦伯函数 (Weber Function)) 来构成第二个线性无关的解。
① 第一类贝塞尔函数 \( J_{\nu}(x) \) (Bessel Function of the First Kind)：
第一类贝塞尔函数 \( J_{\nu}(x) \) 定义为幂级数：
\[ J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(\nu + k + 1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k + \nu} \]
其中 \( \Gamma(z) \) 是 伽马函数 (Gamma Function)，当 \( z \) 是正整数时，\( \Gamma(z) = (z-1)! \)。当 \( \nu = n \) 是非负整数时，定义简化为：
\[ J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k! (n + k)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k + n} \]
\( J_{\nu}(x) \) 在 \( x = 0 \) 附近是解析的，且当 \( x \to 0 \) 时，\( J_{\nu}(x) \approx \frac{1}{\Gamma(\nu + 1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{\nu} \) (当 \( \nu > 0 \))，\( J_0(x) \to 1 \) (当 \( \nu = 0 \))。
② 第二类贝塞尔函数 \( Y_{\nu}(x) \) (Bessel Function of the Second Kind)：
当 \( \nu \) 不是整数时，第二类贝塞尔函数 \( Y_{\nu}(x) \) 定义为：
\[ Y_{\nu}(x) = \frac{\cos(\nu \pi) J_{\nu}(x) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu \pi)} \]
当 \( \nu = n \) 是整数时，需要取极限定义：
\[ Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} Y_{\nu}(x) = \lim_{\nu \to n} \frac{\cos(\nu \pi) J_{\nu}(x) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu \pi)} \]
\( Y_{\nu}(x) \) 在 \( x = 0 \) 处是奇异的，当 \( x \to 0^+ \) 时，\( Y_{\nu}(x) \to -\infty \)。
贝塞尔方程的通解可以表示为 \( y(x) = c_1 J_{\nu}(x) + c_2 Y_{\nu}(x) \) (当 \( \nu \) 为任意实数或复数)。在实际应用中，通常根据边界条件选择合适的解。例如，在原点有界的情况下，通常选择 \( J_{\nu}(x) \) 作为解。
贝塞尔函数具有许多重要的性质和应用，例如：
⚝ 递推关系 (Recurrence Relations)：
\[ \frac{d}{dx} [x^{\nu} J_{\nu}(x)] = x^{\nu} J_{\nu-1}(x) \]
\[ \frac{d}{dx} [x^{-\nu} J_{\nu}(x)] = -x^{-\nu} J_{\nu+1}(x) \]
\[ J'_{\nu}(x) = J_{\nu-1}(x) - \frac{\nu}{x} J_{\nu}(x) = \frac{\nu}{x} J_{\nu}(x) - J_{\nu+1}(x) = \frac{1}{2} [J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x)] \]
\[ J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x} J_{\nu}(x) \]
⚝ 正交性 (Orthogonality)：
贝塞尔函数在一定区间上满足正交性，这在求解偏微分方程的边值问题中非常重要。
⚝ 应用 (Applications)：
贝塞尔函数广泛应用于物理学和工程学中，例如：
▮▮▮▮ⓐ 波动问题 (Wave Problems)：圆柱波、球形波的解，例如电磁波、声波的传播。
▮▮▮▮ⓑ 热传导问题 (Heat Conduction Problems)：圆柱形区域的热传导。
▮▮▮▮ⓒ 流体力学 (Fluid Mechanics)：圆柱形管道中的流体流动。
▮▮▮▮ⓓ 结构力学 (Structural Mechanics)：圆柱形结构的振动。
6.3.2 勒让德多项式 (Legendre Polynomials)
勒让德方程 (Legendre's Equation) 是另一类重要的二阶线性常微分方程，形式为：
\[ (1-x^2) y'' - 2x y' + \alpha(\alpha+1) y = 0 \]
其中 \( \alpha \) 是常数。\( x = \pm 1 \) 是勒让德方程的正则奇点。当 \( \alpha = n \) 是非负整数时，勒让德方程在 \( x = \pm 1 \) 附近的解中，存在一类重要的多项式解，称为 勒让德多项式 (Legendre Polynomials)，记为 \( P_n(x) \)。
① 勒让德多项式的定义 (Definition of Legendre Polynomials)：
勒让德多项式 \( P_n(x) \) 是勒让德方程当 \( \alpha = n \) ( \( n = 0, 1, 2, \cdots \) ) 时的多项式解。常用的定义方式有：
⚝ 罗德里格公式 (Rodrigues' Formula)：
\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} [(x^2 - 1)^n] \]
⚝ 递推公式 (Recurrence Relation)：
\[ P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x \]
\[ (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x), \quad n = 1, 2, 3, \cdots \]
⚝ 幂级数形式 (Power Series Form)：
\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{k! (n-k)! (n-2k)!} x^{n-2k} \]
前几项勒让德多项式为：
\( P_0(x) = 1 \)
\( P_1(x) = x \)
\( P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1) \)
\( P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x) \)
\( P_4(x) = \frac{1}{8} (35x^4 - 30x^2 + 3) \)
...
② 勒让德多项式的性质 (Properties of Legendre Polynomials)：
⚝ 正交性 (Orthogonality)：
勒让德多项式在区间 \( [-1, 1] \) 上是正交的：
\[ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) dx = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \frac{2}{2n+1}, & m = n \end{cases} \]
⚝ 奇偶性 (Parity)：
\( P_n(x) \) 具有确定的奇偶性。当 \( n \) 为偶数时，\( P_n(x) \) 是偶函数；当 \( n \) 为奇数时，\( P_n(x) \) 是奇函数，即 \( P_n(-x) = (-1)^n P_n(x) \)。
⚝ 根 (Roots)：
\( P_n(x) \) 有 \( n \) 个实根，且都位于区间 \( (-1, 1) \) 内。
⚝ 应用 (Applications)：
勒让德多项式广泛应用于物理学和工程学中，例如：
▮▮▮▮ⓐ 球谐函数 (Spherical Harmonics)：在球坐标系中求解拉普拉斯方程和波动方程时，勒让德多项式是球谐函数的一部分。
▮▮▮▮ⓑ 静电学 (Electrostatics) 和 引力场 (Gravitational Fields)：计算球对称电荷分布或质量分布的势。
▮▮▮▮ⓒ 数值积分 (Numerical Integration)：高斯-勒让德求积公式。
▮▮▮▮ⓓ 量子力学 (Quantum Mechanics)：氢原子问题的角向部分解。
特殊函数是数学物理方法的重要组成部分，贝塞尔函数和勒让德多项式只是众多特殊函数中的代表。掌握这些特殊函数的性质和应用，对于深入理解和解决物理学、工程学等领域中的实际问题至关重要。
7. chapter 7：偏微分方程初步 (Introduction to Partial Differential Equations)
7.1 偏微分方程的基本概念 (Basic Concepts of Partial Differential Equations)
偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs) 是指含有未知函数及其偏导数的方程。与常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs) 不同，偏微分方程中的未知函数是多个自变量的函数，而常微分方程中的未知函数只有一个自变量。偏微分方程在物理学、工程学、经济学等多个领域都有着广泛的应用，用于描述各种与空间和时间相关的现象，例如热传导、流体流动、电磁场、量子力学等。
7.1.1 偏微分方程的定义 (Definition of Partial Differential Equations)
一个偏微分方程是一个关于多元未知函数及其偏导数的方程。一般形式可以表示为：
\[ F(x_1, x_2, \ldots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_n}, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2}, \ldots) = 0 \]
其中，\( u = u(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 是未知函数，\( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 是自变量，\( F \) 是给定的函数。方程中出现的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶数 (order)。
例如，考虑一个简单的偏微分方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \]
这里，\( u = u(x, y) \) 是未知函数，\( x \) 和 \( y \) 是自变量。方程中出现的是一阶偏导数，因此这是一个一阶偏微分方程。
再例如，二维热传导方程 (two-dimensional heat equation)：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}) \]
其中，\( u = u(x, y, t) \) 表示在位置 \( (x, y) \) 和时间 \( t \) 的温度，\( \alpha \) 是热扩散率 (thermal diffusivity)，这是一个二阶偏微分方程，因为方程中出现了二阶偏导数。
7.1.2 偏微分方程的分类 (Classification of Partial Differential Equations)
偏微分方程可以根据不同的标准进行分类，常见的分类方式包括：
7.1.2.1 线性与非线性偏微分方程 (Linear and Nonlinear Partial Differential Equations)
与常微分方程类似，偏微分方程也可以分为线性偏微分方程 (Linear Partial Differential Equations) 和 非线性偏微分方程 (Nonlinear Partial Differential Equations)。
① 线性偏微分方程 (Linear Partial Differential Equations)：如果方程关于未知函数 \( u \) 及其各阶偏导数都是线性的，则称该方程为线性偏微分方程。这意味着方程中未知函数及其偏导数的系数只可以是自变量的函数，而不能是未知函数本身或其偏导数的函数。线性偏微分方程的一般形式可以表示为：
\[ \sum_{|\alpha| \leq k} A_\alpha(x) D^\alpha u = f(x) \]
其中，\( A_\alpha(x) \) 和 \( f(x) \) 是已知函数，\( D^\alpha u \) 表示 \( u \) 的各阶偏导数，\( k \) 是方程的阶数。
例如，拉普拉斯方程 (Laplace's Equation)：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
这是一个线性偏微分方程。
② 非线性偏微分方程 (Nonlinear Partial Differential Equations)：如果方程不满足线性偏微分方程的条件，即方程中含有未知函数或其偏导数的非线性项，则称该方程为非线性偏微分方程。
例如，Burgers' 方程 (Burgers' Equation)：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
由于方程中含有非线性项 \( u \frac{\partial u}{\partial x} \)，因此这是一个非线性偏微分方程。
线性偏微分方程和非线性偏微分方程在理论分析和求解方法上存在显著差异。线性偏微分方程通常具有叠加原理 (superposition principle)，解的结构相对简单，求解方法也较为成熟。而非线性偏微分方程的解的结构可能非常复杂，甚至出现混沌 (chaos) 现象，求解难度通常较大，往往需要借助数值方法或特殊技巧。
7.1.2.2 齐次与非齐次偏微分方程 (Homogeneous and Nonhomogeneous Partial Differential Equations)
类似于线性常微分方程，线性偏微分方程也可以分为齐次 (homogeneous) 和 非齐次 (nonhomogeneous) 两类。
① 齐次线性偏微分方程 (Homogeneous Linear Partial Differential Equations)：如果线性偏微分方程中不含有与未知函数无关的项，即方程等号右侧为零，则称该方程为齐次线性偏微分方程。在线性偏微分方程的一般形式中，如果 \( f(x) = 0 \)，则方程为齐次的。
例如，波动方程 (Wave Equation)：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
这是一个齐次线性偏微分方程。
② 非齐次线性偏微分方程 (Nonhomogeneous Linear Partial Differential Equations)：如果线性偏微分方程中含有与未知函数无关的项，即方程等号右侧不为零，则称该方程为非齐次线性偏微分方程。在线性偏微分方程的一般形式中，如果 \( f(x) \neq 0 \)，则方程为非齐次的。
例如，泊松方程 (Poisson's Equation)：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x, y) \]
当 \( f(x, y) \neq 0 \) 时，这是一个非齐次线性偏微分方程；当 \( f(x, y) = 0 \) 时，则退化为齐次的拉普拉斯方程。
7.1.2.3 偏微分方程的阶数 (Order of Partial Differential Equations)
偏微分方程的阶数 (order) 定义为方程中出现的最高阶偏导数的阶数。阶数反映了方程的复杂程度，高阶偏微分方程通常比低阶偏微分方程更难求解。
例如：
⚝ 一阶偏微分方程 (First-order Partial Differential Equations)：方程中只含有一阶偏导数。例如，对流方程 (Convection Equation)：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]
⚝ 二阶偏微分方程 (Second-order Partial Differential Equations)：方程中含有二阶偏导数，且最高阶为二阶。例如，热传导方程 (Heat Equation)、波动方程 (Wave Equation)、拉普拉斯方程 (Laplace's Equation) 等都是典型的二阶偏微分方程。二阶线性偏微分方程在物理学和工程学中最为常见和重要。
⚝ 高阶偏微分方程 (Higher-order Partial Differential Equations)：方程中含有三阶或更高阶的偏导数。例如，KdV 方程 (Korteweg-de Vries Equation) 是一个三阶非线性偏微分方程，在孤立波理论中具有重要意义。
对于二阶线性偏微分方程，还可以根据其判别式进一步分类为椭圆型 (elliptic)、抛物型 (parabolic) 和 双曲型 (hyperbolic) 方程。这种分类对于理解方程的性质和选择合适的求解方法非常重要，将在后续章节中详细介绍。
7.2 常见的偏微分方程 (Common Partial Differential Equations)
在物理学、工程学和应用数学中，存在着一些非常重要的、具有典型代表意义的偏微分方程。本节将介绍其中最常见的三个二阶线性偏微分方程：热传导方程 (Heat Equation)、波动方程 (Wave Equation) 和 拉普拉斯方程 (Laplace's Equation)。
7.2.1 热传导方程 (Heat Equation)
热传导方程 (Heat Equation) 描述了热量在介质中传播的规律。在最简单的情况下，考虑一维均匀介质中的热传导，设 \( u(x, t) \) 表示在位置 \( x \) 和时间 \( t \) 的温度，则一维热传导方程可以表示为：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中，\( \alpha > 0 \) 是热扩散率 (thermal diffusivity)，它取决于介质的物理性质，例如热导率 (thermal conductivity)、密度 (density) 和 比热容 (specific heat capacity)。
物理意义 (Physical Meaning)：热传导方程描述了温度随时间和空间的变化。方程左侧 \( \frac{\partial u}{\partial t} \) 表示温度随时间的变化率，右侧 \( \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \) 表示温度的空间二阶导数乘以热扩散率，它反映了热流的扩散效应。热量总是从高温区域向低温区域扩散，使得温度分布趋于均匀。
推广到高维 (Generalization to Higher Dimensions)：在多维空间中，热传导方程可以推广到二维和三维形式。例如，在三维空间中，热传导方程为：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) = \alpha \nabla^2 u \]
其中，\( \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \) 是 拉普拉斯算子 (Laplacian operator)。
应用举例 (Examples of Applications)：
① 金属棒的热传导 (Heat conduction in a metal rod)：描述金属棒在给定初始温度分布和边界条件下的温度变化。
② 散热器设计 (Heat sink design)：分析散热器的热传导性能，优化散热结构。
③ 地球内部温度分布 (Temperature distribution inside the Earth)：研究地球内部的热传导过程，了解地热资源的分布和演化。
7.2.2 波动方程 (Wave Equation)
波动方程 (Wave Equation) 描述了波在介质中传播的规律，例如声波 (sound waves)、光波 (light waves)、水波 (water waves) 和 弹性波 (elastic waves) 等。一维波动方程可以表示为：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中，\( u(x, t) \) 表示波的位移或振幅，\( c > 0 \) 是波速 (wave speed)，它取决于介质的物理性质。
物理意义 (Physical Meaning)：波动方程描述了波的传播行为。方程左侧 \( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \) 表示位移对时间的二阶导数，即加速度，右侧 \( c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \) 表示位移对空间的二阶导数乘以波速的平方，它反映了波的曲率。波动方程体现了惯性 (inertia) 和 弹性 (elasticity) 之间的平衡，波的传播是介质中各点之间相互作用的结果。
推广到高维 (Generalization to Higher Dimensions)：在多维空间中，波动方程可以推广为：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u = c^2 (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) \]
应用举例 (Examples of Applications)：
① 弦的振动 (Vibration of a string)：描述乐器弦的振动模式和频率。
② 声波在空气中的传播 (Sound wave propagation in air)：研究声音的传播速度、反射和衍射现象。
③ 地震波传播 (Seismic wave propagation)：分析地震波在地球内部的传播路径和速度，用于地震预警和地球结构探测。
④ 电磁波传播 (Electromagnetic wave propagation)：描述光波、无线电波等电磁波的传播特性。
7.2.3 拉普拉斯方程 (Laplace's Equation)
拉普拉斯方程 (Laplace's Equation) 是一种稳态方程 (steady-state equation)，它描述了平衡状态或稳态场的分布，例如静电场 (electrostatic field)、稳恒电流场 (steady current field)、不可压缩流体的无旋流动 (irrotational flow of incompressible fluids) 和 稳态热传导 (steady-state heat conduction) 等。二维拉普拉斯方程可以表示为：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
或者简写为 \( \nabla^2 u = 0 \)。
物理意义 (Physical Meaning)：拉普拉斯方程描述了势函数 (potential function) 的分布，使得在区域内部没有源 (source) 或 汇 (sink)。例如，在静电场中，拉普拉斯方程描述了电势的分布，在没有自由电荷的区域，电势满足拉普拉斯方程。在稳态热传导中，拉普拉斯方程描述了温度的稳态分布，在没有热源或热汇的区域，温度满足拉普拉斯方程。
推广到高维 (Generalization to Higher Dimensions)：在三维空间中，拉普拉斯方程为：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \]
相关方程：泊松方程 (Poisson's Equation)：如果区域内存在源或汇，则拉普拉斯方程变为泊松方程 (Poisson's Equation)：
\[ \nabla^2 u = f(x, y, z) \]
其中，\( f(x, y, z) \) 表示源或汇的分布密度。例如，在静电场中，泊松方程描述了电势的分布，其中 \( f(x, y, z) \) 与电荷密度成正比。在稳态热传导中，泊松方程可以描述存在内热源的情况。
应用举例 (Examples of Applications)：
① 静电场分析 (Electrostatic field analysis)：计算电容器、导体周围的电场分布。
② 流体力学中的势流 (Potential flow in fluid mechanics)：分析理想流体的无旋流动。
③ 稳态热传导 (Steady-state heat conduction)：计算物体在稳态条件下的温度分布。
④ 调和函数理论 (Harmonic function theory)：拉普拉斯方程的解称为调和函数 (harmonic functions)，在复分析、位势理论等领域有重要应用。
7.3 分离变量法 (Separation of Variables Method)
分离变量法 (Separation of Variables Method) 是一种求解某些类型偏微分方程的经典而有效的方法，尤其适用于求解线性偏微分方程，如热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等。其基本思想是将一个多元偏微分方程转化为多个单变量常微分方程来求解。
基本步骤 (Basic Steps)：
假设偏微分方程的解可以表示为自变量函数乘积的形式。例如，对于二元函数 \( u(x, t) \)，假设解的形式为 \( u(x, t) = X(x)T(t) \)，其中 \( X(x) \) 是只关于 \( x \) 的函数，\( T(t) \) 是只关于 \( t \) 的函数。将这种形式的解代入原偏微分方程，通过代数运算和整理，将方程转化为两个或多个常微分方程。然后分别求解这些常微分方程，最后将解组合起来得到原偏微分方程的解。
以热传导方程为例 (Example: Heat Equation)：
考虑一维热传导方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
假设解的形式为 \( u(x, t) = X(x)T(t) \)。将此假设代入热传导方程，得到：
\[ X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t) \]
为了分离变量，将方程两边同除以 \( \alpha X(x)T(t) \) (假设 \( X(x)T(t) \neq 0 \))，得到：
\[ \frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} \]
等式左边只与 \( t \) 有关，右边只与 \( x \) 有关。由于 \( x \) 和 \( t \) 是独立变量 (independent variables)，要使等式对所有 \( x \) 和 \( t \) 都成立，等式两边必须等于同一个常数 (constant)，设为 \( -\lambda \)，其中 \( \lambda \) 是分离常数 (separation constant)。于是得到两个常微分方程：
\[ \frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = -\lambda \implies T'(t) + \alpha \lambda T(t) = 0 \]
\[ \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda \implies X''(x) + \lambda X(x) = 0 \]
这样，原偏微分方程就转化为两个常微分方程。分别求解这两个常微分方程，得到 \( T(t) \) 和 \( X(x) \) 的解，然后将它们相乘得到 \( u(x, t) = X(x)T(t) \) 的解。
分离常数 \( \lambda \) 的确定 (Determination of Separation Constant \( \lambda \))：分离常数 \( \lambda \) 的取值通常需要根据边界条件 (boundary conditions) 和 初始条件 (initial conditions) 来确定。对于不同的边界条件和初始条件，\( \lambda \) 的取值可能不同，从而得到不同的解。通常情况下，\( \lambda \) 可以取一系列离散的值，形成特征值 (eigenvalues)，对应的解称为特征函数 (eigenfunctions)。
解的叠加 (Superposition of Solutions)：由于线性偏微分方程具有叠加原理 (superposition principle)，如果得到一系列特征函数解 \( u_n(x, t) \)，则它们的线性组合 \( u(x, t) = \sum_{n} c_n u_n(x, t) \) 也是原偏微分方程的解，其中 \( c_n \) 是常系数 (constant coefficients)，可以通过初始条件来确定。
适用范围与局限性 (Scope and Limitations)：分离变量法主要适用于求解线性、齐次的偏微分方程，并且方程的边界条件也需要具有一定的特殊形式（例如，齐次边界条件 (homogeneous boundary conditions)）。对于非线性偏微分方程或边界条件复杂的情况，分离变量法可能不再适用，需要采用其他方法，如数值方法 (numerical methods) 或 积分变换法 (integral transform methods) 等。
尽管有局限性，分离变量法仍然是求解偏微分方程的重要方法之一，它不仅可以得到解析解，而且有助于深入理解偏微分方程解的结构和物理意义。在后续章节中，我们将详细介绍如何运用分离变量法求解热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程，并探讨其在不同边界条件下的应用。
8. chapter 8：偏微分方程的解法 (Methods for Solving Partial Differential Equations)
8.1 特征线法 (Method of Characteristics)
特征线法 (Method of Characteristics) 是一种用于求解某些类型的偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs) 的强大技术，尤其适用于一阶拟线性偏微分方程和某些类型的二阶偏微分方程。其核心思想是将偏微分方程沿着特定的曲线（称为特征线 (characteristic curves) 或 特征曲线）转化为常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs) 来求解。通过这种转化，我们可以将复杂的偏微分问题简化为相对简单的常微分问题进行处理。
8.1.1 特征线法的基本思想 (Basic Idea of Method of Characteristics)
特征线法的基本思想是沿着某些特殊的曲线，偏微分方程的解的行为可以被简化描述。对于一阶偏微分方程，这些特殊曲线就是特征线。沿着特征线，我们可以将偏微分方程转化为关于解在特征线上的导数的常微分方程。
考虑一个一般的二元一阶拟线性偏微分方程：
\[ a(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y, u) \]
其中 \(u = u(x, y)\) 是未知函数，\(a, b, c\) 是给定的函数。我们的目标是找到函数 \(u(x, y)\) 满足上述方程。
特征线法的关键在于引入参数化曲线 \((x(s), y(s))\)，使得沿着这条曲线，我们可以将偏导数转化为全导数。假设我们沿着曲线 \(C\) 参数化为 \((x(s), y(s))\) 移动，则函数 \(u\) 沿着这条曲线的变化率可以表示为：
\[ \frac{du}{ds} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{ds} \]
如果我们选择曲线 \(C\) 使得其切向量 \((\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds})\) 与偏微分方程中的系数 \((a, b)\) 成比例，即：
\[ \frac{dx}{ds} = a(x, y, u), \quad \frac{dy}{ds} = b(x, y, u) \]
那么，沿着这条曲线，原偏微分方程就简化为：
\[ \frac{du}{ds} = a(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y, u) \]
这样，我们就得到了一组常微分方程组：
\[ \begin{cases} \frac{dx}{ds} = a(x, y, u) \\ \frac{dy}{ds} = b(x, y, u) \\ \frac{du}{ds} = c(x, y, u) \end{cases} \]
这组常微分方程组描述了特征线和解 \(u\) 沿着特征线的变化。通过求解这组常微分方程组，我们可以得到特征线和解 \(u\) 的参数化表示，从而得到偏微分方程的解。
8.1.2 特征方程与特征曲线 (Characteristic Equations and Characteristic Curves)
从上一节的推导中，我们得到了特征方程组：
\[ \begin{cases} \frac{dx}{ds} = a(x, y, u) \\ \frac{dy}{ds} = b(x, y, u) \\ \frac{du}{ds} = c(x, y, u) \end{cases} \]
前两个方程
\[ \frac{dx}{ds} = a(x, y, u), \quad \frac{dy}{ds} = b(x, y, u) \]
定义了特征曲线在 \(xy\)-平面上的投影。通常，我们可以将前两个方程写成：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{b(x, y, u)}{a(x, y, u)} \]
或者，更对称的形式：
\[ \frac{dx}{a(x, y, u)} = \frac{dy}{b(x, y, u)} = \frac{du}{c(x, y, u)} \]
这些方程被称为特征方程 (characteristic equations)。求解这些方程可以得到特征曲线和解 \(u\) 的关系。
对于线性或拟线性方程，\(a\) 和 \(b\) 不依赖于 \(u\) 或仅以线性方式依赖于 \(u\)，特征曲线的求解会相对简单。对于完全非线性方程，特征线法可能变得更加复杂。
8.1.3 特征线法的步骤 (Steps of Method of Characteristics)
使用特征线法求解一阶偏微分方程通常包含以下步骤：
① 写出特征方程 (Write down the characteristic equations)：
对于给定的偏微分方程 \(a(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y, u)\)，写出特征方程：
\[ \frac{dx}{ds} = a(x, y, u), \quad \frac{dy}{ds} = b(x, y, u), \quad \frac{du}{ds} = c(x, y, u) \]
或者等价形式：
\[ \frac{dx}{a(x, y, u)} = \frac{dy}{b(x, y, u)} = \frac{du}{c(x, y, u)} \]
② 求解特征方程组 (Solve the system of characteristic equations)：
求解上述常微分方程组，得到 \(x(s, t)\), \(y(s, t)\), \(u(s, t)\) 的参数化解，其中 \(t\) 是参数化初始曲线的参数，\(s\) 是沿着特征线的参数。通常，我们需要找到两个独立的首次积分 (first integrals) 或积分常数。
③ 应用初始条件或边界条件 (Apply initial or boundary conditions)：
利用给定的初始条件或边界条件来确定解中的任意函数或常数。例如，如果给定初始曲线 \(\Gamma\) 和 \(\Gamma\) 上的 \(u\) 值，我们可以利用这些条件来确定解。
④ 得到解的表示 (Obtain the representation of the solution)：
从参数化解 \(x(s, t)\), \(y(s, t)\), \(u(s, t)\) 中消去参数 \(s\) 和 \(t\)，得到解 \(u(x, y)\) 的显式或隐式表达式。有时，参数形式的解就足够了。
8.1.4 例子 (Examples)
例 1： 考虑线性对流方程 (linear advection equation)：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]
其中 \(c\) 是常数。初始条件为 \(u(x, 0) = f(x)\)。
① 特征方程：
\[ \frac{dt}{ds} = 1, \quad \frac{dx}{ds} = c, \quad \frac{du}{ds} = 0 \]
② 求解特征方程组：
从第一个方程得到 \(t = s + t_0\)。
从第二个方程得到 \(x = cs + x_0\)。
从第三个方程得到 \(u = u_0\)。
我们可以选择 \(s = 0\) 时刻作为初始点，设 \(t(0) = 0\)，\(x(0) = x_0\)，\(u(0) = u_0\)。则 \(t = s\)，\(x = cs + x_0\)，\(u = u_0\)。
消去 \(s\)，得到 \(x = ct + x_0\)，即 \(x_0 = x - ct\)。
由于 \(u = u_0\) 沿着特征线不变，初始条件在 \(t = 0\) 时给出 \(u(x_0, 0) = f(x_0)\)。因此，\(u(x, t) = u_0 = f(x_0) = f(x - ct)\)。
③ 应用初始条件：
初始条件已经应用在求解过程中。
④ 解的表示：
解为 \(u(x, t) = f(x - ct)\)。这表示初始波形 \(f(x)\) 以速度 \(c\) 向右平移。
例 2： 考虑拟线性方程：
\[ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = u \]
初始条件为 \(u(x, 1) = 2x\)。
① 特征方程：
\[ \frac{dx}{ds} = x, \quad \frac{dy}{ds} = y, \quad \frac{du}{ds} = u \]
② 求解特征方程组：
\[ \frac{dx}{x} = ds \implies \ln|x| = s + C_1 \implies x = C_1' e^s \]
\[ \frac{dy}{y} = ds \implies \ln|y| = s + C_2 \implies y = C_2' e^s \]
\[ \frac{du}{u} = ds \implies \ln|u| = s + C_3 \implies u = C_3' e^s \]
消去 \(s\)，得到 \(\frac{x}{C_1'} = \frac{y}{C_2'} = \frac{u}{C_3'}\)。
因此，\(\frac{y}{x} = \frac{C_2'}{C_1'} = C_4\) (常数)，\(\frac{u}{x} = \frac{C_3'}{C_1'} = C_5\) (常数)。
特征曲线为 \(y = C_4 x\)，解的形式为 \(u = C_5 x\)。我们可以将 \(C_5\) 表示为 \(C_5 = F(C_4) = F(\frac{y}{x})\)，其中 \(F\) 是任意函数。因此，通解为 \(u(x, y) = x F(\frac{y}{x})\)。
③ 应用初始条件：
初始条件 \(u(x, 1) = 2x\) 意味着当 \(y = 1\) 时，\(u = 2x\)。
\(2x = x F(\frac{1}{x}) \implies F(\frac{1}{x}) = 2\)。令 \(z = \frac{1}{x}\)，则 \(F(z) = 2\)。因此，\(F(\frac{y}{x}) = 2\)。
④ 解的表示：
特解为 \(u(x, y) = x F(\frac{y}{x}) = x \cdot 2 = 2x\)。
但是，这似乎不满足初始条件 \(u(x, 1) = 2x\)。让我们重新审视。
从 \(\frac{y}{x} = C_4\) 和 \(\frac{u}{x} = C_5\)，我们有 \(C_4 = \frac{y}{x}\)，\(C_5 = \frac{u}{x}\)。
一般解可以写成 \(C_5 = F(C_4)\)，即 \(\frac{u}{x} = F(\frac{y}{x})\)，所以 \(u(x, y) = x F(\frac{y}{x})\)。
应用初始条件 \(u(x, 1) = 2x\)，得到 \(2x = x F(\frac{1}{x})\)，所以 \(F(\frac{1}{x}) = 2\)。这意味着对于任何 \(z = \frac{1}{x}\)，\(F(z) = 2\)。因此，\(F\) 是常数函数 \(F(v) = 2\)。
所以，特解为 \(u(x, y) = x \cdot 2 = 2x\)。
再次检查初始条件：\(u(x, 1) = 2x\)，满足。
检查方程：\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2\)，\(\frac{\partial u}{\partial y} = 0\)。
\(x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = x(2) + y(0) = 2x\)。方程是 \(x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = u = 2x\)。所以方程也满足。
8.1.5 特征线法的局限性 (Limitations of Method of Characteristics)
特征线法虽然强大，但也存在一些局限性：
① 适用范围有限 (Limited scope of application)：
特征线法主要适用于一阶偏微分方程和某些类型的二阶偏微分方程（如双曲型方程）。对于更复杂的偏微分方程，例如高阶或非线性程度很高的方程，特征线法可能不再适用或变得非常复杂。
② 解的奇性 (Singularities in solutions)：
特征线可能会相交或形成包络线，这可能导致解出现奇性，例如解的不连续性或导数的不连续性。特征线法需要仔细处理这些奇性情况。
③ 边界条件复杂性 (Complexity with boundary conditions)：
当边界条件非常复杂或边界形状不规则时，应用特征线法可能会遇到困难。特别是对于混合边界条件或非局部边界条件，特征线法可能难以直接应用。
④ 数值计算挑战 (Numerical computation challenges)：
虽然特征线法可以提供解析解，但在实际应用中，求解特征方程组可能需要数值方法。当特征线非常复杂或方程系数高度非线性时，数值计算可能会变得具有挑战性。
尽管存在这些局限性，特征线法仍然是理解和求解特定类型偏微分方程的重要工具，尤其是在流体力学、气体动力学和几何光学等领域。
8.2 积分变换法 (Integral Transform Methods)
积分变换法 (Integral Transform Methods) 是一类强大的数学工具，用于将微分方程转化为代数方程或更简单的微分方程，从而简化求解过程。在偏微分方程 (PDEs) 的求解中，积分变换法尤其有效，可以将偏微分方程在某些变量上的微分运算转化为代数运算，降低问题的维度和复杂性。常用的积分变换包括拉普拉斯变换 (Laplace Transform)、傅里叶变换 (Fourier Transform) 和汉克尔变换 (Hankel Transform) 等。
8.2.1 常用的积分变换 (Common Integral Transforms)
① 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)：
拉普拉斯变换主要用于处理时间变量 \(t\) 的偏微分方程，尤其适用于具有初始条件的问题。对于函数 \(f(t)\)，其拉普拉斯变换定义为：
\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]
其中 \(s\) 是复变量。拉普拉斯变换的性质可以将时间导数转化为代数运算：
\[ \mathcal{L}\{\frac{df}{dt}\}(s) = sF(s) - f(0) \]
\[ \mathcal{L}\{\frac{d^2f}{dt^2}\}(s) = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \]
等等。这使得求解关于时间变量的微分方程变得更加容易。
② 傅里叶变换 (Fourier Transform)：
傅里叶变换适用于处理空间变量 \(x\) 的偏微分方程，尤其适用于定义在无界域或周期域上的问题。对于函数 \(f(x)\)，其傅里叶变换定义为：
\[ \hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\{f(x)\}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\xi x} f(x) dx \]
其中 \(\xi\) 是频率变量。傅里叶变换的性质可以将空间导数转化为代数运算：
\[ \mathcal{F}\{\frac{df}{dx}\}(\xi) = i\xi \hat{f}(\xi) \]
\[ \mathcal{F}\{\frac{d^2f}{dx^2}\}(\xi) = (i\xi)^2 \hat{f}(\xi) = -\xi^2 \hat{f}(\xi) \]
等等。傅里叶变换在求解波动方程、热传导方程等问题中非常有用。
③ 正弦和余弦变换 (Sine and Cosine Transforms)：
正弦变换和余弦变换是傅里叶变换的变体，适用于定义在半无限区间 \([0, \infty)\) 上的问题，并满足特定边界条件（如狄利克雷边界条件或诺伊曼边界条件）。
正弦变换：
\[ \mathcal{F}_s\{f(x)\}(\xi) = \int_{0}^{\infty} f(x) \sin(\xi x) dx \]
余弦变换：
\[ \mathcal{F}_c\{f(x)\}(\xi) = \int_{0}^{\infty} f(x) \cos(\xi x) dx \]
这些变换也具有将导数转化为代数运算的性质，具体形式取决于边界条件。
④ 汉克尔变换 (Hankel Transform)：
汉克尔变换适用于处理具有径向对称性的问题，例如在极坐标或柱坐标系中描述的偏微分方程。对于函数 \(f(r)\)，其 \(\nu\) 阶汉克尔变换定义为：
\[ \mathcal{H}_\nu\{f(r)\}(\xi) = \int_{0}^{\infty} f(r) J_\nu(\xi r) r dr \]
其中 \(J_\nu\) 是第一类贝塞尔函数 (Bessel function of the first kind) 。汉克尔变换在求解拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在圆域或环域上的问题中非常有用。
8.2.2 积分变换法求解偏微分方程的步骤 (Steps of Solving PDEs using Integral Transform Methods)
使用积分变换法求解偏微分方程通常包含以下步骤：
① 选择合适的积分变换 (Choose an appropriate integral transform)：
根据偏微分方程的类型、变量范围和边界条件，选择合适的积分变换。例如，对于时间演化问题，通常选择拉普拉斯变换；对于空间无界域问题，选择傅里叶变换；对于径向对称问题，选择汉克尔变换。
② 对偏微分方程进行积分变换 (Apply the integral transform to the PDE)：
对偏微分方程中的所有项（包括微分项、常数项和源项）进行选定的积分变换。利用积分变换的性质，将偏微分方程中的微分运算转化为代数运算。这将原偏微分方程转化为关于变换域变量的代数方程或常微分方程。
③ 求解变换后的方程 (Solve the transformed equation)：
求解变换后得到的代数方程或常微分方程。这通常比直接求解原偏微分方程要简单得多。
④ 进行逆变换得到原问题的解 (Apply the inverse transform to obtain the solution)：
对变换域中得到的解进行逆积分变换，将解从变换域转换回原变量域，得到原偏微分方程的解。
8.2.3 例子 (Examples)
例 1： 使用拉普拉斯变换求解热传导方程 (heat equation) 在半无限杆上的问题：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x > 0, t > 0 \]
初始条件：\(u(x, 0) = 0, x > 0\)
边界条件：\(u(0, t) = u_0, t > 0\)，\(u(x, t)\) 有界当 \(x \to \infty\)
① 拉普拉斯变换： 对时间变量 \(t\) 进行拉普拉斯变换，设 \(U(x, s) = \mathcal{L}\{u(x, t)\}(s)\)。
\[ \mathcal{L}\{\frac{\partial u}{\partial t}\} = sU(x, s) - u(x, 0) = sU(x, s) \]
\[ \mathcal{L}\{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \mathcal{L}\{u(x, t)\} = \frac{d^2 U}{dx^2} \]
变换后的方程为：
\[ sU(x, s) = k \frac{d^2 U}{dx^2} \implies \frac{d^2 U}{dx^2} - \frac{s}{k} U = 0 \]
边界条件变换为：\(U(0, s) = \mathcal{L}\{u_0\} = \frac{u_0}{s}\)，\(U(x, s)\) 有界当 \(x \to \infty\)。
② 求解变换后的方程：
解常微分方程 \(\frac{d^2 U}{dx^2} - \frac{s}{k} U = 0\)。特征方程为 \(r^2 - \frac{s}{k} = 0\)，根为 \(r = \pm \sqrt{\frac{s}{k}} = \pm \sqrt{\frac{s}{k}}\)。
通解为 \(U(x, s) = C_1 e^{\sqrt{\frac{s}{k}} x} + C_2 e^{-\sqrt{\frac{s}{k}} x}\)。
由于 \(U(x, s)\) 有界当 \(x \to \infty\)，必须有 \(C_1 = 0\)。所以 \(U(x, s) = C_2 e^{-\sqrt{\frac{s}{k}} x}\)。
利用边界条件 \(U(0, s) = \frac{u_0}{s}\)，得到 \(C_2 = \frac{u_0}{s}\)。
因此，\(U(x, s) = \frac{u_0}{s} e^{-\sqrt{\frac{s}{k}} x}\)。
③ 逆拉普拉斯变换：
我们需要求 \(u(x, t) = \mathcal{L}^{-1}\{U(x, s)\} = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{u_0}{s} e^{-\sqrt{\frac{s}{k}} x}\}\)。
查拉普拉斯逆变换表，我们知道 \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s} e^{-a\sqrt{s}}\} = \text{erfc}(\frac{a}{2\sqrt{t}})\)，其中 \(\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{z}^{\infty} e^{-\tau^2} d\tau\) 是互补误差函数 (complementary error function)。
令 \(a = \frac{x}{\sqrt{k}}\)，则 \(u(x, t) = u_0 \text{erfc}(\frac{x}{2\sqrt{kt}})\)。
例 2： 使用傅里叶变换求解拉普拉斯方程 (Laplace's equation) 在上半平面上的问题：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad -\infty < x < \infty, y > 0 \]
边界条件：\(u(x, 0) = f(x), -\infty < x < \infty\)，\(u(x, y)\) 有界当 \(y \to \infty\)。
① 傅里叶变换： 对空间变量 \(x\) 进行傅里叶变换，设 \(\hat{U}(\xi, y) = \mathcal{F}\{u(x, y)\}(\xi)\)。
\[ \mathcal{F}\{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\} = -\xi^2 \hat{U}(\xi, y) \]
\[ \mathcal{F}\{\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\} = \frac{d^2 \hat{U}}{dy^2} \]
变换后的方程为：
\[ -\xi^2 \hat{U}(\xi, y) + \frac{d^2 \hat{U}}{dy^2} = 0 \implies \frac{d^2 \hat{U}}{dy^2} - \xi^2 \hat{U} = 0 \]
边界条件变换为：\(\hat{U}(\xi, 0) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \hat{f}(\xi)\)，\(\hat{U}(\xi, y)\) 有界当 \(y \to \infty\)。
② 求解变换后的方程：
解常微分方程 \(\frac{d^2 \hat{U}}{dy^2} - \xi^2 \hat{U} = 0\)。特征方程为 \(r^2 - \xi^2 = 0\)，根为 \(r = \pm |\xi|\)。
通解为 \(\hat{U}(\xi, y) = C_1 e^{|\xi| y} + C_2 e^{-|\xi| y}\)。
由于 \(\hat{U}(\xi, y)\) 有界当 \(y \to \infty\)，必须有 \(C_1 = 0\)。所以 \(\hat{U}(\xi, y) = C_2 e^{-|\xi| y}\)。
利用边界条件 \(\hat{U}(\xi, 0) = \hat{f}(\xi)\)，得到 \(C_2 = \hat{f}(\xi)\)。
因此，\(\hat{U}(\xi, y) = \hat{f}(\xi) e^{-|\xi| y}\)。
③ 逆傅里叶变换：
我们需要求 \(u(x, y) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{U}(\xi, y)\} = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\xi) e^{-|\xi| y}\}\)。
利用卷积定理 (convolution theorem) 和傅里叶变换的性质，我们知道 \(\mathcal{F}^{-1}\{e^{-|\xi| y}\} = \frac{1}{\pi} \frac{y}{x^2 + y^2}\) (泊松核 (Poisson kernel))。
因此，根据卷积定理，\(u(x, y) = (f * P_y)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x') P_y(x - x') dx' = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x')}{(x - x')^2 + y^2} dx'\)。
其中 \(P_y(x) = \frac{1}{\pi} \frac{y}{x^2 + y^2}\) 是泊松核。
8.2.4 积分变换法的优势与局限性 (Advantages and Limitations of Integral Transform Methods)
优势 (Advantages)：
① 简化问题 (Simplifies problems)：积分变换可以将偏微分方程转化为代数方程或常微分方程，大大简化了求解过程。
② 处理特定类型问题有效 (Effective for specific types of problems)：对于线性常系数偏微分方程，特别是具有特定边界条件和域的问题，积分变换法非常有效。
③ 提供解析解 (Provides analytical solutions)：积分变换法通常可以提供解析解，有助于深入理解解的性质。
局限性 (Limitations)：
① 适用范围有限 (Limited scope of application)：积分变换法主要适用于线性偏微分方程。对于非线性偏微分方程，积分变换法通常不适用。
② 逆变换可能复杂 (Inverse transform can be complex)：逆积分变换的计算有时可能非常复杂，甚至没有解析表达式，需要数值方法近似计算。
③ 边界条件限制 (Restrictions on boundary conditions)：积分变换法的有效性很大程度上依赖于边界条件的类型和域的形状。对于复杂的边界条件或不规则域，积分变换法可能难以应用。
④ 对函数性质要求 (Requirements on function properties)：为了保证积分变换的存在性和收敛性，被变换的函数需要满足一定的条件（如指数阶增长、平方可积等）。
尽管存在局限性，积分变换法仍然是求解偏微分方程的重要方法之一，在物理学、工程学和应用数学等领域有着广泛的应用。
8.3 格林函数法 (Green's Function Method)
格林函数法 (Green's Function Method) 是一种求解线性非齐次微分方程，特别是偏微分方程的强大方法。格林函数 (Green's function) 本身可以看作是点源 (point source) 作用下的微分方程的解。通过格林函数，我们可以将非齐次方程的解表示为源项与格林函数的积分形式，从而将求解微分方程转化为求解积分运算。格林函数法在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在电磁学、量子力学、热传导和弹性力学等领域。
8.3.1 格林函数的定义与性质 (Definition and Properties of Green's Function)
考虑一个线性微分算子 \(L\)，我们要求解非齐次方程：
\[ L u(x) = f(x) \]
其中 \(L\) 是线性微分算子，\(u(x)\) 是未知函数，\(f(x)\) 是给定的源函数。格林函数 \(G(x, \xi)\) 被定义为点源 \(\delta(x - \xi)\) 作用下的解，即：
\[ L G(x, \xi) = \delta(x - \xi) \]
其中 \(\delta(x - \xi)\) 是狄拉克 \(\delta\) 函数 (Dirac delta function)，表示在点 \(\xi\) 处的单位点源。
格林函数具有以下重要性质：
① 线性性 (Linearity)：由于微分算子 \(L\) 是线性的，格林函数也是线性的。
② 对称性 (Symmetry)：对于自伴算子 (self-adjoint operator) \(L\)，格林函数具有对称性，即 \(G(x, \xi) = G(\xi, x)\)。例如，拉普拉斯算子 \(\nabla^2\) 是自伴的。
③ 解的表示 (Representation of solution)：如果已知格林函数 \(G(x, \xi)\)，则非齐次方程 \(L u(x) = f(x)\) 的解可以表示为源函数 \(f(x)\) 与格林函数的积分：
\[ u(x) = \int G(x, \xi) f(\xi) d\xi \]
积分区域取决于问题的定义域。这个公式将求解微分方程转化为积分运算。
④ 边界条件 (Boundary conditions)：格林函数需要满足与原问题相同的边界条件，但通常是齐次边界条件 (homogeneous boundary conditions)。例如，如果原问题是狄利克雷边界条件，则格林函数也应满足狄利克雷边界条件。
8.3.2 格林函数的构造方法 (Methods for Constructing Green's Function)
构造格林函数的方法取决于微分算子 \(L\) 和问题的定义域。常用的构造方法包括：
① 基本解方法 (Fundamental solution method)：
对于常系数微分算子，可以先找到基本解 (fundamental solution) \(\Gamma(x - \xi)\)，满足 \(L \Gamma(x - \xi) = \delta(x - \xi)\) 在整个空间中成立。然后，根据边界条件对基本解进行修正，得到满足特定边界条件的格林函数。
② 本征函数展开法 (Eigenfunction expansion method)：
如果微分算子 \(L\) 的本征函数系 \(\{\phi_n(x)\}\) 是完备的，可以将格林函数展开为本征函数的级数：
\[ G(x, \xi) = \sum_{n} c_n(\xi) \phi_n(x) \]
通过将展开式代入 \(L G(x, \xi) = \delta(x - \xi)\) 并利用本征函数的正交性 (orthogonality)，可以确定系数 \(c_n(\xi)\)。
③ 镜像法 (Method of images)：
对于具有简单几何形状边界的区域（如半空间、球体等），可以使用镜像法构造格林函数。通过在边界外设置镜像源，使得格林函数在边界上满足指定的边界条件。
8.3.3 格林函数法求解偏微分方程的步骤 (Steps of Solving PDEs using Green's Function Method)
使用格林函数法求解偏微分方程通常包含以下步骤：
① 确定格林函数 (Determine the Green's function)：
根据微分算子 \(L\) 和边界条件，构造或找到相应的格林函数 \(G(x, \xi)\)，满足 \(L G(x, \xi) = \delta(x - \xi)\) 以及齐次边界条件。
② 表示解的积分形式 (Represent the solution in integral form)：
利用格林函数的性质，将非齐次方程 \(L u(x) = f(x)\) 的解表示为积分形式：
\[ u(x) = \int G(x, \xi) f(\xi) d\xi \]
③ 计算积分 (Evaluate the integral)：
计算上述积分，得到偏微分方程的解 \(u(x)\)。有时，积分可以直接计算得到解析解；有时，可能需要数值积分方法近似计算。
④ 考虑边界条件 (Consider boundary conditions)：
如果原问题有非齐次边界条件，需要对格林函数表示的解进行修正，以满足非齐次边界条件。例如，可以使用叠加原理，将解分解为齐次方程的解和非齐次方程的解之和。
8.3.4 例子 (Examples)
例 1： 使用格林函数求解一维泊松方程 (Poisson's equation) 在区间 \([0, 1]\) 上的狄利克雷边界问题：
\[ -\frac{d^2 u}{dx^2} = f(x), \quad 0 < x < 1 \]
边界条件：\(u(0) = 0, u(1) = 0\)
① 确定格林函数： 我们需要求解格林函数 \(G(x, \xi)\) 满足：
\[ -\frac{d^2 G}{dx^2} = \delta(x - \xi), \quad 0 < x, \xi < 1 \]
边界条件：\(G(0, \xi) = 0, G(1, \xi) = 0\)。
对于 \(x \neq \xi\)，\(-\frac{d^2 G}{dx^2} = 0\)，所以 \(G(x, \xi)\) 是分段线性函数。
设
\[ G(x, \xi) = \begin{cases} A x + B, & 0 \leq x < \xi \\ C x + D, & \xi < x \leq 1 \end{cases} \]
边界条件 \(G(0, \xi) = 0\) 意味着 \(B = 0\)。边界条件 \(G(1, \xi) = 0\) 意味着 \(C + D = 0\)，即 \(D = -C\)。
所以 \(G(x, \xi) = \begin{cases} A x, & 0 \leq x < \xi \\ C (x - 1), & \xi < x \leq 1 \end{cases}\)。
连续性条件在 \(x = \xi\) 处要求 \(A \xi = C (\xi - 1)\)。
跳跃条件 (jump condition) 来自积分 \(-\int_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} \frac{d^2 G}{dx^2} dx = \int_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} \delta(x - \xi) dx = 1\)，即 \(-\left[ \frac{dG}{dx} \right]_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon} = 1\)，所以 \(\frac{dG}{dx}(\xi^+) - \frac{dG}{dx}(\xi^-) = -1\)。
\(\frac{dG}{dx} = \begin{cases} A, & 0 \leq x < \xi \\ C, & \xi < x \leq 1 \end{cases}\)。
\(C - A = -1 \implies A - C = 1\)。
联立方程组：
\[ \begin{cases} A \xi = C (\xi - 1) \\ A - C = 1 \end{cases} \]
从第二个方程得到 \(A = C + 1\)。代入第一个方程：\((C + 1) \xi = C (\xi - 1) \implies C \xi + \xi = C \xi - C \implies \xi = -C \implies C = -\xi\)。
\(A = C + 1 = 1 - \xi\)。
所以格林函数为：
\[ G(x, \xi) = \begin{cases} (1 - \xi) x, & 0 \leq x < \xi \\ -\xi (x - 1) = \xi (1 - x), & \xi < x \leq 1 \end{cases} = \begin{cases} x (1 - \xi), & 0 \leq x \leq \xi \\ \xi (1 - x), & \xi \leq x \leq 1 \end{cases} = \min(x, \xi) (1 - \max(x, \xi)) \]
② 解的积分形式：
\[ u(x) = \int_{0}^{1} G(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int_{0}^{x} \xi (1 - x) f(\xi) d\xi + \int_{x}^{1} x (1 - \xi) f(\xi) d\xi \]
③ 计算积分：
对于给定的 \(f(x)\)，计算上述积分即可得到解 \(u(x)\)。例如，如果 \(f(x) = 1\)，则
\[ u(x) = \int_{0}^{x} \xi (1 - x) d\xi + \int_{x}^{1} x (1 - \xi) d\xi = (1 - x) \int_{0}^{x} \xi d\xi + x \int_{x}^{1} (1 - \xi) d\xi \]
\[ = (1 - x) [\frac{1}{2} \xi^2]_{0}^{x} + x [\xi - \frac{1}{2} \xi^2]_{x}^{1} = (1 - x) \frac{1}{2} x^2 + x [(1 - \frac{1}{2}) - (x - \frac{1}{2} x^2)] \]
\[ = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x^3 + x [\frac{1}{2} - x + \frac{1}{2} x^2] = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x - x^2 + \frac{1}{2} x^3 = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} x^2 = \frac{1}{2} x (1 - x) \]
所以，当 \(f(x) = 1\) 时，解为 \(u(x) = \frac{1}{2} x (1 - x)\)。
8.3.5 格林函数法的优势与局限性 (Advantages and Limitations of Green's Function Method)
优势 (Advantages)：
① 系统性方法 (Systematic method)：格林函数法提供了一种系统的方法来求解线性非齐次微分方程。
② 处理点源问题 (Handles point source problems)：格林函数本身就是点源作用下的解，因此格林函数法非常适合处理包含点源或脉冲源的问题。
③ 解的积分表示 (Integral representation of solution)：格林函数法将解表示为积分形式，有助于分析解的性质和进行数值计算。
局限性 (Limitations)：
① 格林函数构造困难 (Difficulty in constructing Green's function)：构造格林函数可能非常困难，特别是对于复杂几何形状的区域和变系数微分算子。
② 仅适用于线性方程 (Applicable only to linear equations)：格林函数法主要适用于线性微分方程。对于非线性方程，格林函数法通常不适用。
③ 积分计算复杂性 (Complexity of integral evaluation)：即使格林函数已知，积分的计算也可能很复杂，有时需要数值积分方法。
尽管存在局限性，格林函数法仍然是求解线性偏微分方程的重要工具，尤其在物理学和工程学领域，对于理解和解决各种物理现象具有重要意义。
9. chapter 9：数值解法 (Numerical Methods)
9.1 常微分方程的数值解法 (Numerical Methods for Ordinary Differential Equations)
在求解常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs) 时，我们常常会遇到解析解难以求得或者根本不存在的情况。这时，数值解法 (Numerical Methods) 就显得尤为重要。数值解法的核心思想是将连续的微分方程问题离散化，转化为代数方程组问题，从而通过计算机求解得到近似解。本节将介绍两种最基本的常微分方程数值解法：欧拉方法 (Euler Method) 和龙格-库塔方法 (Runge-Kutta Methods)。
9.1.1 欧拉方法 (Euler Method)
欧拉方法 (Euler Method) 是一种最简单、最直观的一阶数值解法，它基于泰勒级数展开 (Taylor series expansion) 的思想。
考虑一阶初值问题 (Initial Value Problem, IVP)：
\[ \frac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0 \]
我们的目标是近似求解函数 \(y(t)\) 在一系列离散时间点 \(t_1, t_2, t_3, \ldots\) 的值。假设我们已经得到了在时间点 \(t_n\) 的近似解 \(y_n \approx y(t_n)\)，我们希望通过 \(y_n\) 来估计下一个时间点 \(t_{n+1} = t_n + h\) 的近似解 \(y_{n+1}\)，其中 \(h\) 是步长 (step size)。
根据泰勒展开，我们有：
\[ y(t_{n+1}) = y(t_n + h) \approx y(t_n) + h \frac{dy}{dt}\Big|_{t=t_n} + O(h^2) \]
忽略 \(O(h^2)\) 及更高阶项，并用 \(f(t_n, y(t_n))\) 替换 \(\frac{dy}{dt}\Big|_{t=t_n}\)，我们得到欧拉方法的迭代公式：
\[ y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) \]
其中，\(y_0\) 是给定的初值，\(y_{n+1}\) 是 \(y(t_{n+1})\) 的近似值。
欧拉方法的步骤总结:
① 给定初值问题：\(\frac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0\)。
② 选择步长 \(h\)。
③ 迭代计算：
\[ t_{n+1} = t_n + h, \quad y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n), \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]
几何解释: 欧拉方法可以理解为用当前点 \((t_n, y_n)\) 处的切线来近似函数 \(y(t)\) 在下一个时间点 \(t_{n+1}\) 的值。
误差分析: 欧拉方法是一种一阶方法，其局部截断误差 (local truncation error) 为 \(O(h^2)\)，全局截断误差 (global truncation error) 为 \(O(h)\)。这意味着当步长 \(h\) 减半时，全局误差也会减半。然而，欧拉方法的精度较低，对于一些问题，可能需要非常小的步长才能获得可接受的精度，这会导致计算量增大。
示例: 考虑初值问题 \(\frac{dy}{dt} = y, \quad y(0) = 1\)。解析解为 \(y(t) = e^t\)。使用欧拉方法，取步长 \(h = 0.1\)，计算 \(y(0.1)\) 的近似值。
\(t_0 = 0, y_0 = 1\)
\(t_1 = t_0 + h = 0.1\)
\(y_1 = y_0 + h f(t_0, y_0) = 1 + 0.1 \times 1 = 1.1\)
因此，欧拉方法得到的 \(y(0.1) \approx 1.1\)。而解析解 \(y(0.1) = e^{0.1} \approx 1.10517\)。可以看到，欧拉方法给出了一个近似值，但存在一定的误差。
9.1.2 龙格-库塔方法 (Runge-Kutta Methods)
龙格-库塔方法 (Runge-Kutta Methods, RK Methods) 是一类高精度的单步数值解法，是对欧拉方法的改进和推广。其基本思想是通过在每个步长内计算多个斜率的加权平均来提高精度。
基本思想: 欧拉方法只使用当前点的信息来预测下一个点的值，而龙格-库塔方法则在每个步长内，在不同的中间点计算函数 \(f(t, y)\) 的值，并进行加权平均，以更精确地逼近解的曲线。
通用形式: \(s\) 阶龙格-库塔方法的一般形式可以表示为：
\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + c_2 h, y_n + a_{21} h k_1) \\ k_3 &= f(t_n + c_3 h, y_n + a_{31} h k_1 + a_{32} h k_2) \\ & \vdots \\ k_s &= f(t_n + c_s h, y_n + a_{s1} h k_1 + a_{s2} h k_2 + \cdots + a_{s,s-1} h k_{s-1}) \\ y_{n+1} &= y_n + h (b_1 k_1 + b_2 k_2 + \cdots + b_s k_s) \end{aligned} \]
其中，\(c_i, a_{ij}, b_i\) 是常数系数，它们需要根据精度要求来确定。不同的系数选择对应不同的龙格-库塔方法。
常用的龙格-库塔方法：四阶龙格-库塔方法 (RK4)
四阶龙格-库塔方法 (Fourth-Order Runge-Kutta Method, RK4) 是工程和科学计算中最常用的龙格-库塔方法之一，因为它在精度和计算量之间取得了较好的平衡。其系数如下：
\(s = 4\)
\(c_2 = c_3 = 1/2, c_4 = 1\)
\(a_{21} = 1/2\)
\(a_{31} = 0, a_{32} = 1/2\)
\(a_{41} = 0, a_{42} = 0, a_{43} = 1\)
\(b_1 = 1/6, b_2 = 1/3, b_3 = 1/3, b_4 = 1/6\)
将这些系数代入通用形式，得到四阶龙格-库塔方法的迭代公式：
\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_1) \\ k_3 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]
RK4 方法的步骤总结:
① 给定初值问题：\(\frac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0\)。
② 选择步长 \(h\)。
③ 迭代计算：
\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_1) \\ k_3 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} k_2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \\ t_{n+1} &= t_n + h, \quad n = 0, 1, 2, \ldots \end{aligned} \]
误差分析: 四阶龙格-库塔方法是一种四阶方法，其局部截断误差为 \(O(h^5)\)，全局截断误差为 \(O(h^4)\)。相比于欧拉方法，RK4 方法具有更高的精度，通常在相同的步长下，RK4 方法的误差更小。
示例: 仍然考虑初值问题 \(\frac{dy}{dt} = y, \quad y(0) = 1\)。使用四阶龙格-库塔方法，取步长 \(h = 0.1\)，计算 \(y(0.1)\) 的近似值。
\(t_0 = 0, y_0 = 1\)
\(h = 0.1\)
\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_0, y_0) = 1 \\ k_2 &= f(t_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{h}{2} k_1) = f(0.05, 1 + 0.05 \times 1) = 1.05 \\ k_3 &= f(t_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{h}{2} k_2) = f(0.05, 1 + 0.05 \times 1.05) = 1.0525 \\ k_4 &= f(t_0 + h, y_0 + h k_3) = f(0.1, 1 + 0.1 \times 1.0525) = 1.10525 \\ y_1 &= y_0 + \frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \\ &= 1 + \frac{0.1}{6} (1 + 2 \times 1.05 + 2 \times 1.0525 + 1.10525) \\ &\approx 1.10517083 \end{aligned} \]
因此，RK4 方法得到的 \(y(0.1) \approx 1.10517083\)。与解析解 \(y(0.1) = e^{0.1} \approx 1.10517092\) 相比，RK4 方法的精度明显更高。
9.2 偏微分方程的数值解法 (Numerical Methods for Partial Differential Equations)
偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs) 的数值解法比常微分方程更为复杂，因为偏微分方程涉及多个自变量，解的性质也更加多样。本节将介绍两种常用的偏微分方程数值解法：有限差分法 (Finite Difference Method, FDM) 和有限元法 (Finite Element Method, FEM)。
9.2.1 有限差分法 (Finite Difference Method)
有限差分法 (Finite Difference Method, FDM) 是一种直接且易于理解的数值解法，它通过将微分算子用差分算子近似来离散化偏微分方程。
基本思想: 将求解区域离散化为网格 (grid)，在网格节点上用差商 (difference quotient) 近似导数，从而将偏微分方程转化为代数方程组。
差分近似: 常见的差分近似包括：
① 向前差分 (Forward Difference):
\[ \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u(x+\Delta x, y) - u(x, y)}{\Delta x} \]
② 向后差分 (Backward Difference):
\[ \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u(x, y) - u(x-\Delta x, y)}{\Delta x} \]
③ 中心差分 (Central Difference):
\[ \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u(x+\Delta x, y) - u(x-\Delta x, y)}{2\Delta x} \]
④ 二阶中心差分 (Second-Order Central Difference):
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u(x+\Delta x, y) - 2u(x, y) + u(x-\Delta x, y)}{(\Delta x)^2} \]
应用示例：热传导方程 (Heat Equation)
考虑一维热传导方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中，\(u(x, t)\) 是温度，\(\alpha\) 是热扩散系数。
使用向前差分近似时间导数，中心差分近似空间二阶导数：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u(x, t+\Delta t) - u(x, t)}{\Delta t}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u(x+\Delta x, t) - 2u(x, t) + u(x-\Delta x, t)}{(\Delta x)^2} \]
将这些差分近似代入热传导方程，得到显式差分格式 (Explicit Finite Difference Scheme)：
\[ \frac{u_{i, j+1} - u_{i, j}}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1, j} - 2u_{i, j} + u_{i-1, j}}{(\Delta x)^2} \]
其中，\(u_{i, j} \approx u(i\Delta x, j\Delta t)\)。整理得到：
\[ u_{i, j+1} = u_{i, j} + r (u_{i+1, j} - 2u_{i, j} + u_{i-1, j}) \]
其中，\(r = \frac{\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2}\) 称为扩散数 (diffusion number)。
稳定性条件: 显式差分格式的稳定性条件为 \(0 < r \le \frac{1}{2}\)，即 \(\Delta t \le \frac{(\Delta x)^2}{2\alpha}\)。这意味着时间步长 \(\Delta t\) 必须足够小，才能保证数值解的稳定性。
有限差分法的优点:
① 概念简单，易于理解和实现。
② 对于规则区域和简单边界条件的问题，应用方便。
有限差分法的缺点:
① 处理复杂几何形状和边界条件较为困难。
② 精度相对较低，通常需要较小的网格步长才能获得较高的精度。
③ 对于某些问题，稳定性条件可能限制步长的选择。
9.2.2 有限元法 (Finite Element Method)
有限元法 (Finite Element Method, FEM) 是一种更通用、更强大的数值解法，特别适用于求解复杂几何区域和边界条件下的偏微分方程。
基本思想: 将求解区域划分为许多小的单元 (finite elements)，在每个单元上构造简单的近似函数 (shape functions 或 basis functions)，然后通过变分原理 (variational principle) 或加权残差法 (weighted residual method) 将偏微分方程转化为代数方程组。
主要步骤:
① 区域离散化 (Discretization): 将求解区域 \(\Omega\) 划分为若干个互不重叠的单元 \(\Omega_e\)，例如三角形单元、四边形单元 (二维)，四面体单元、六面体单元 (三维)。这些单元的集合称为有限元网格 (finite element mesh)。
② 选择单元类型和插值函数 (Element Type and Interpolation Functions): 在每个单元上选择合适的插值函数来近似解函数 \(u\)。常用的插值函数是多项式函数，例如线性插值、二次插值等。插值函数需要满足一定的连续性和完备性条件。
③ 建立单元方程 (Element Equations): 基于变分原理（如伽辽金方法 (Galerkin method)）或能量原理，将偏微分方程转化为弱形式 (weak form) 或变分形式 (variational form)。然后在每个单元上，利用插值函数和弱形式，推导出单元刚度矩阵 (element stiffness matrix) 和载荷向量 (load vector)。
④ 组装整体方程 (Assembly): 将所有单元的单元方程组装成整体方程组。组装过程需要考虑单元之间的连接关系和边界条件。
⑤ 求解方程组 (Solve Equations): 求解组装得到的代数方程组，得到在网格节点上的近似解。
有限元法的优点:
① 能够处理复杂几何形状和边界条件。
② 可以采用不同类型的单元和插值函数，具有较高的灵活性和适应性。
③ 精度较高，可以通过提高单元阶数或细化网格来提高精度。
④ 有坚实的数学理论基础。
有限元法的缺点:
① 概念和实现相对复杂，需要较多的理论知识和编程技巧。
② 计算量较大，尤其对于三维问题和高精度计算。
应用领域: 有限元法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导、电磁场分析等工程和科学领域。例如，在结构分析中，有限元法可以用于计算结构的应力、应变和位移；在流体分析中，可以用于模拟流体的流动和传热过程。
数值解法是求解微分方程的重要工具，欧拉方法和龙格-库塔方法是常微分方程数值解法的入门方法，而有限差分法和有限元法是偏微分方程数值解法的常用方法。选择合适的数值解法需要根据具体问题的特点、精度要求和计算资源等因素综合考虑。随着计算技术的发展，更高级、更高效的数值解法也在不断涌现，为解决复杂的科学和工程问题提供了强有力的支持。
10. chapter 10：稳定性理论与动力系统 (Stability Theory and Dynamical Systems)
10.1 稳定性概念 (Concepts of Stability)
稳定性理论 (Stability Theory) 是微分方程研究中的核心组成部分，尤其在动力系统 (Dynamical Systems) 分析中占据着至关重要的地位。它主要关注系统在受到扰动后，其解的行为特性。简单来说，稳定性研究的是当系统状态偏离平衡状态 (equilibrium state) 后，系统是否能够自动恢复到平衡状态，或者偏离的程度。在现实世界的诸多领域，例如物理学、工程学、经济学以及生物学中，稳定性都是评估系统性能和预测系统行为的关键指标。
10.1.1 李雅普诺夫稳定性 (Lyapunov Stability)
李雅普诺夫稳定性 (Lyapunov Stability) 是稳定性理论中最基本且最重要的概念之一，由俄国数学家亚历山大·李雅普诺夫 (Aleksandr Lyapunov) 提出。它描述了系统在平衡点附近受到微小扰动后，其运动轨迹与平衡点保持接近的性质。
定义 10.1.1 (李雅普诺夫稳定性)：
考虑自治系统 (autonomous system)
\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]
其中 \(\mathbf{f}\) 是一个连续可微的向量场，且 \(\mathbf{x}_e\) 是一个平衡点，即 \(\mathbf{f}(\mathbf{x}_e) = \mathbf{0}\)。平衡点 \(\mathbf{x}_e\) 被称为是李雅普诺夫稳定的，如果对于任意的 \(\epsilon > 0\)，都存在 \(\delta > 0\)，使得当初始条件 \(\mathbf{x}(0)\) 满足 \(||\mathbf{x}(0) - \mathbf{x}_e|| < \delta\) 时，系统解 \(\mathbf{x}(t)\) 对于所有 \(t \geq 0\) 都满足 \(||\mathbf{x}(t) - \mathbf{x}_e|| < \epsilon\)。
直观理解：
李雅普诺夫稳定性可以理解为，如果初始状态离平衡点足够近（在 \(\delta\) 范围内），那么系统在后续的演化过程中，状态始终会保持在平衡点附近（在 \(\epsilon\) 范围内）。换句话说，小的扰动不会导致系统状态远离平衡点。
更强的稳定性概念：
除了李雅普诺夫稳定性，还有一些更强的稳定性概念，例如渐近稳定性 (Asymptotic Stability) 和 指数稳定性 (Exponential Stability)。
定义 10.1.2 (渐近稳定性)：
平衡点 \(\mathbf{x}_e\) 被称为是渐近稳定的，如果它既是李雅普诺夫稳定的，又存在一个 \(\delta_0 > 0\)，使得当 \(||\mathbf{x}(0) - \mathbf{x}_e|| < \delta_0\) 时，有 \(\lim_{t \to \infty} \mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_e\)。
直观理解：
渐近稳定性不仅要求解保持在平衡点附近，还要求解最终趋于平衡点。也就是说，系统不仅不会远离平衡点，而且最终会回到平衡点。
定义 10.1.3 (指数稳定性)：
平衡点 \(\mathbf{x}_e\) 被称为是指数稳定的，如果存在正数 \(M > 0\) 和 \(\alpha > 0\)，以及某个 \(\delta_0 > 0\)，使得当 \(||\mathbf{x}(0) - \mathbf{x}_e|| < \delta_0\) 时，对于所有 \(t \geq 0\)，有
\[ ||\mathbf{x}(t) - \mathbf{x}_e|| \leq M ||\mathbf{x}(0) - \mathbf{x}_e|| e^{-\alpha t}. \]
直观理解：
指数稳定性是渐近稳定的一种更强形式，它要求解以指数速度趋于平衡点。这意味着系统恢复到平衡状态的速度非常快。
李雅普诺夫函数 (Lyapunov Function)：
判断系统稳定性的一个重要工具是李雅普诺夫函数 (Lyapunov Function)。李雅普诺夫函数是一个标量函数 \(V(\mathbf{x})\)，它在平衡点附近具有特定的性质，可以用来判断平衡点的稳定性。
定义 10.1.4 (李雅普诺夫函数)：
对于自治系统 \(\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 和平衡点 \(\mathbf{x}_e\)，如果存在一个连续可微的标量函数 \(V(\mathbf{x})\)，满足以下条件：
① \(V(\mathbf{x})\) 在包含 \(\mathbf{x}_e\) 的区域 \(D\) 内是正定的，即 \(V(\mathbf{x}_e) = 0\) 且 \(V(\mathbf{x}) > 0\) 对于所有 \(\mathbf{x} \in D \setminus \{\mathbf{x}_e\}\)。
② \(V(\mathbf{x})\) 沿着系统解的导数 \(\dot{V}(\mathbf{x}) = \nabla V(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 在 \(D\) 内是半负定的，即 \(\dot{V}(\mathbf{x}) \leq 0\) 对于所有 \(\mathbf{x} \in D\)。
则平衡点 \(\mathbf{x}_e\) 是李雅普诺夫稳定的。
如果条件 ② 更强一些，即 \(\dot{V}(\mathbf{x}) < 0\) 对于所有 \(\mathbf{x} \in D \setminus \{\mathbf{x}_e\}\)，则平衡点 \(\mathbf{x}_e\) 是渐近稳定的。
例子 10.1.1 (单摆的稳定性)：
考虑单摆系统，其运动方程可以近似为：
\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin(\theta) = 0 \]
其中 \(\theta\) 是摆角，\(g\) 是重力加速度，\(L\) 是摆长。当 \(\theta\) 很小时，\(\sin(\theta) \approx \theta\)，方程近似为线性系统：
\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0 \]
平衡点为 \(\theta = 0\) 和 \(\frac{d\theta}{dt} = 0\)。我们可以选择李雅普诺夫函数为系统的能量：
\[ V(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 + \frac{g}{L} (1 - \cos(\theta)) \]
在平衡点 \((0, 0)\) 附近，\(V(\theta, \dot{\theta}) \approx \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 + \frac{g}{2L} \theta^2\)，它是正定的。计算 \(V\) 沿着系统解的导数：
\[ \dot{V} = \dot{\theta} \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin(\theta) \dot{\theta} = \dot{\theta} \left( \ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin(\theta) \right) = \dot{\theta} \cdot 0 = 0 \]
由于 \(\dot{V} = 0 \leq 0\)，根据李雅普诺夫稳定性定理，平衡点 \((0, 0)\) 是李雅普诺夫稳定的。但不是渐近稳定的，因为能量保持不变，系统可能会在平衡点附近振荡而不会最终停止。
10.2 线性系统的稳定性 (Stability of Linear Systems)
对于线性常系数系统 (linear system with constant coefficients)：
\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x} \]
其中 \(A\) 是 \(n \times n\) 常数矩阵，\(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\)。平衡点是 \(\mathbf{x}_e = \mathbf{0}\)。线性系统的稳定性可以通过分析矩阵 \(A\) 的特征值 (eigenvalues) 来完全确定。
定理 10.2.1 (线性系统稳定性)：
考虑线性系统 \(\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}\)。
① 系统是渐近稳定的当且仅当矩阵 \(A\) 的所有特征值的实部都为负数，即 \(\text{Re}(\lambda_i) < 0\) 对于所有 \(i = 1, 2, \ldots, n\)。
② 系统是李雅普诺夫稳定的当且仅当矩阵 \(A\) 的所有特征值的实部都小于等于零，且实部为零的特征值对应的若尔当块 (Jordan block) 是 \(1 \times 1\) 的（即半单特征值 (semisimple eigenvalues)）。
③ 系统是不稳定的当且仅当矩阵 \(A\) 至少有一个特征值的实部为正数，或者存在实部为零的特征值且其对应的若尔当块大小大于 \(1 \times 1\)。
证明概要：
线性系统的解可以表示为特征值的线性组合。如果所有特征值的实部都为负数，则解会指数衰减到零，系统是渐近稳定的。如果存在实部为正的特征值，则解会指数增长，系统是不稳定的。如果特征值实部为零，则解会振荡或保持有界，稳定性取决于若尔当块的结构。
例子 10.2.1 (线性系统稳定性分析)：
考虑二维线性系统：
\[ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]
矩阵 \(A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\) 的特征方程为：
\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -2-\lambda & 1 \\ 1 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (-2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 3 = (\lambda + 1)(\lambda + 3) = 0 \]
特征值为 \(\lambda_1 = -1\) 和 \(\lambda_2 = -3\)。由于两个特征值的实部都为负数，因此该线性系统是渐近稳定的。
例子 10.2.2 (临界稳定)：
考虑系统：
\[ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]
矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) 的特征方程为：
\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0 \]
特征值为 \(\lambda_{1,2} = \pm i\)。特征值的实部为零。系统是李雅普诺夫稳定的，但不是渐近稳定的。解是周期性的，系统会在原点周围做等幅振荡。
10.3 非线性系统的稳定性 (Stability of Nonlinear Systems)
对于非线性系统 (nonlinear system)：
\[ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) \]
稳定性分析通常更加复杂。线性系统的稳定性理论不能直接应用于非线性系统。然而，我们可以利用线性化 (linearization) 的方法，在平衡点附近将非线性系统近似为线性系统，从而分析局部稳定性 (local stability)。
线性化方法 (Linearization Method)：
假设 \(\mathbf{x}_e\) 是非线性系统 \(\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 的一个平衡点，即 \(\mathbf{f}(\mathbf{x}_e) = \mathbf{0}\)。在 \(\mathbf{x}_e\) 附近，我们可以将 \(\mathbf{f}(\mathbf{x})\) 进行泰勒展开 (Taylor expansion)：
\[ \mathbf{f}(\mathbf{x}) \approx \mathbf{f}(\mathbf{x}_e) + J(\mathbf{x}_e) (\mathbf{x} - \mathbf{x}_e) + O(||\mathbf{x} - \mathbf{x}_e||^2) \]
其中 \(J(\mathbf{x}_e)\) 是雅可比矩阵 (Jacobian matrix) 在 \(\mathbf{x}_e\) 处的取值，定义为 \(J(\mathbf{x}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}\)。由于 \(\mathbf{f}(\mathbf{x}_e) = \mathbf{0}\)，忽略高阶项，我们得到线性化系统：
\[ \frac{d\mathbf{y}}{dt} = J(\mathbf{x}_e) \mathbf{y} \]
其中 \(\mathbf{y} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_e\) 表示状态变量相对于平衡点的偏差。
定理 10.3.1 (线性化稳定性定理)：
考虑非线性系统 \(\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 和平衡点 \(\mathbf{x}_e\)。令 \(A = J(\mathbf{x}_e)\) 为雅可比矩阵在 \(\mathbf{x}_e\) 处的取值。
① 如果矩阵 \(A\) 的所有特征值的实部都为负数，则平衡点 \(\mathbf{x}_e\) 是非线性系统的渐近稳定平衡点。
② 如果矩阵 \(A\) 至少有一个特征值的实部为正数，则平衡点 \(\mathbf{x}_e\) 是非线性系统的不稳定平衡点。
③ 如果矩阵 \(A\) 的所有特征值的实部都小于等于零，且至少有一个特征值的实部为零，则线性化方法无法确定非线性系统的稳定性。此时需要使用更高阶的分析方法，例如中心流形定理 (Center Manifold Theorem) 或李雅普诺夫直接方法 (Lyapunov's Direct Method)。
注意：
线性化方法只能判断局部稳定性，即平衡点附近的稳定性。对于远离平衡点的行为，线性化方法可能失效。
例子 10.3.1 (非线性系统稳定性分析)：
考虑系统：
\[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= -x + y^2 \\ \frac{dy}{dt} &= -y + x^2 \end{aligned} \]
平衡点可以通过解方程组 \(-x + y^2 = 0\) 和 \(-y + x^2 = 0\) 得到。容易看出 \((0, 0)\) 是一个平衡点。计算雅可比矩阵：
\[ J(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}(-x + y^2) & \frac{\partial}{\partial y}(-x + y^2) \\ \frac{\partial}{\partial x}(-y + x^2) & \frac{\partial}{\partial y}(-y + x^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2y \\ 2x & -1 \end{pmatrix} \]
在平衡点 \((0, 0)\) 处，雅可比矩阵为 \(J(0, 0) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)。特征方程为 \(\det(J(0, 0) - \lambda I) = (-1-\lambda)^2 = 0\)，特征值为 \(\lambda_{1,2} = -1\)。由于特征值实部为负数，根据线性化稳定性定理，平衡点 \((0, 0)\) 是渐近稳定的。
李雅普诺夫直接方法 (Lyapunov's Direct Method)：
对于线性化方法失效的情况，或者需要分析全局稳定性 (global stability) 时，可以使用李雅普诺夫直接方法。该方法通过构造合适的李雅普诺夫函数来直接判断非线性系统的稳定性，而无需线性化。这通常需要更深入的分析技巧和对系统特性的理解。
10.4 极限环与分支 (Limit Cycles and Bifurcations)
极限环 (Limit Cycles)：
在二维或更高维的非线性动力系统中，除了平衡点之外，还可能存在另一种重要的吸引子 (attractor) —— 极限环 (Limit Cycle)。极限环是指系统在相空间 (phase space) 中孤立的闭合轨道，系统从环外或环内附近的初始状态出发，其轨迹会逐渐趋近于这个闭合轨道。极限环代表了系统的一种自激振荡 (self-sustained oscillation) 行为。
分支 (Bifurcations)：
分支 (Bifurcation) 是指当系统参数 (parameter) 发生变化时，系统动力学行为 (dynamic behavior) 发生的质的变化。例如，平衡点的稳定性可能发生改变，或者出现或消失新的平衡点或极限环。分支现象是理解复杂系统行为的关键。
常见的分支类型：
① 鞍结分支 (Saddle-Node Bifurcation)：
鞍结分支是指随着参数变化，一对平衡点（一个鞍点 (saddle point) 和一个结点 (node)）相互靠近，最终合并消失的分支。在鞍结分支点，系统会突然出现或消失平衡点。
② 跨临界分支 (Transcritical Bifurcation)：
跨临界分支是指随着参数变化，两个平衡点相互交换稳定性的分支。在分支点，两个平衡点合并，然后分离，并交换稳定性。
③ 叉式分支 (Pitchfork Bifurcation)：
叉式分支是指一个平衡点在参数变化时分裂成三个平衡点的分支。叉式分支又分为正向叉式分支 (supercritical pitchfork bifurcation) 和反向叉式分支 (subcritical pitchfork bifurcation)。
④ 霍普夫分支 (Hopf Bifurcation)：
霍普夫分支是指随着参数变化，平衡点的稳定性从稳定变为不稳定，同时在平衡点周围产生或消失一个极限环的分支。霍普夫分支是产生自激振荡的重要机制。
例子 10.4.1 (范德波尔振荡器与霍普夫分支)：
范德波尔振荡器 (Van der Pol oscillator) 方程为：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} - \mu (1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0 \]
其中 \(\mu\) 是一个参数。当 \(\mu = 0\) 时，系统是线性谐振子 (linear harmonic oscillator)，中心点是稳定焦点 (stable focus)。当 \(\mu > 0\) 时，系统变为非线性，原点 \((0, 0)\) 变为不稳定焦点，并且系统存在一个稳定的极限环。当 \(\mu\) 从 0 增大到正值时，系统经历了霍普夫分支，从稳定的平衡点转变为稳定的极限环振荡。
相平面分析 (Phase Plane Analysis)：
对于二维系统，相平面分析 (Phase Plane Analysis) 是研究极限环和分支的有力工具。通过绘制相轨迹 (phase trajectory) 和零倾线 (nullcline)，可以直观地理解系统的动力学行为，包括平衡点的类型、稳定性以及极限环的存在性。
总结：
稳定性理论与动力系统是微分方程的重要应用领域。理解稳定性的概念、线性与非线性系统的稳定性分析方法，以及极限环和分支等现象，对于分析和设计各种工程、物理、生物和经济系统至关重要。通过本章的学习，读者应能够掌握稳定性分析的基本方法，并能初步应用于实际问题的分析中。
参考文献 (References)：
① Hirsch, M. W., Smale, S., & Devaney, R. L. (2012). Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Academic press.
② Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.
③ Khalil, H. K. (2002). Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.
④ Perko, L. M. (1991). Differential equations and dynamical systems. Springer-Verlag.
11. chapter 11：微分方程的应用 (Applications of Differential Equations)
11.1 物理学中的应用 (Applications in Physics)
微分方程在物理学中扮演着至关重要的角色，几乎所有物理学分支的基础理论都离不开微分方程的描述和求解。从经典力学到电磁学，再到量子力学和相对论，微分方程都是构建物理模型、分析物理现象和预测物理规律的数学工具。本节将探讨微分方程在物理学中的几个核心应用领域，展示如何运用微分方程来理解和解决实际物理问题。
11.1.1 牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)
牛顿运动定律是经典力学的基石，它描述了物体运动状态变化与力的关系。牛顿第二定律，\( F = ma \)，是微分方程在物理学中最基础的应用之一。其中，\( F \) 表示物体所受的合力 (resultant force)，\( m \) 表示物体的质量 (mass)，\( a \) 表示物体的加速度 (acceleration)。加速度 \( a \) 是速度 \( v \) 对时间 \( t \) 的导数，而速度 \( v \) 是位移 \( x \) 对时间 \( t \) 的导数，因此加速度 \( a \) 可以表示为位移 \( x \) 对时间 \( t \) 的二阶导数，即 \( a = \frac{d^2x}{dt^2} \)。
将加速度的表达式代入牛顿第二定律，我们得到一个二阶常微分方程：
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = F(t, x, \frac{dx}{dt}) \]
这个方程描述了物体在力 \( F \) 作用下的运动规律。力的形式 \( F(t, x, \frac{dx}{dt}) \) 可以是时间 \( t \)、位移 \( x \) 和速度 \( \frac{dx}{dt} \) 的函数，具体形式取决于具体的物理问题。
简谐运动 (Simple Harmonic Motion)
一个经典的例子是简谐运动，例如弹簧振子系统。考虑一个质量为 \( m \) 的物体连接到一个弹簧，弹簧的劲度系数 (spring constant) 为 \( k \)。当物体偏离平衡位置 \( x=0 \) 时，弹簧会产生一个恢复力 (restoring force)，根据胡克定律 (Hooke's Law)，这个力与位移成正比且方向相反，即 \( F = -kx \)。忽略阻尼和外力，牛顿第二定律变为：
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx \]
整理后得到简谐运动的微分方程：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 \]
令 \( \omega^2 = \frac{k}{m} \)，则方程变为：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \]
这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。其通解形式为：
\[ x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \]
或者等价地表示为：
\[ x(t) = C \cos(\omega t - \phi) \]
其中 \( A, B, C, \phi \) 是由初始条件确定的常数，\( \omega \) 是角频率 (angular frequency)，\( T = \frac{2\pi}{\omega} \) 是周期 (period)，\( f = \frac{\omega}{2\pi} \) 是频率 (frequency)。
阻尼振动 (Damped Oscillation)
在实际情况中，振动系统通常会受到阻尼力 (damping force) 的作用，例如空气阻力或摩擦力。假设阻尼力与速度成正比，即 \( F_d = -c \frac{dx}{dt} \)，其中 \( c \) 是阻尼系数 (damping coefficient)。考虑阻尼力后的牛顿第二定律变为：
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - c \frac{dx}{dt} \]
整理后得到阻尼振动的微分方程：
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = 0 \]
或者：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{c}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = 0 \]
令 \( 2\beta = \frac{c}{m} \) 和 \( \omega_0^2 = \frac{k}{m} \)，则方程变为：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \]
特征方程为 \( r^2 + 2\beta r + \omega_0^2 = 0 \)，特征根为 \( r = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2} \)。根据判别式 \( \Delta = \beta^2 - \omega_0^2 \) 的不同情况，阻尼振动可以分为：
① 过阻尼 (Overdamping): \( \beta^2 > \omega_0^2 \) (或 \( c^2 > 4mk \))，两个实数根 \( r_{1,2} = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2} \)。解的形式为 \( x(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t} \)，系统不振荡，而是缓慢地回到平衡位置。
② 临界阻尼 (Critical Damping): \( \beta^2 = \omega_0^2 \) (或 \( c^2 = 4mk \))，一个实数重根 \( r = -\beta \)。解的形式为 \( x(t) = (c_1 + c_2 t) e^{-\beta t} \)，系统以最快的速度回到平衡位置，且不发生振荡。
③ 欠阻尼 (Underdamping): \( \beta^2 < \omega_0^2 \) (或 \( c^2 < 4mk \))，一对共轭复根 \( r = -\beta \pm i\omega \)，其中 \( \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \)。解的形式为 \( x(t) = e^{-\beta t} (c_1 \cos(\omega t) + c_2 \sin(\omega t)) = C e^{-\beta t} \cos(\omega t - \phi) \)，系统发生衰减振荡，振幅随时间指数衰减。
受迫振动 (Forced Oscillation)
如果系统还受到外部驱动力 \( F(t) \) 的作用，牛顿第二定律变为：
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = F(t) \]
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程。当驱动力是周期性的，例如 \( F(t) = F_0 \cos(\omega_f t) \)，其中 \( \omega_f \) 是驱动力的频率 (driving frequency)，系统会发生受迫振动。在稳态情况下，系统的振动频率与驱动力频率相同，但振幅和相位会受到系统参数和驱动力频率的影响，共振 (resonance) 现象会在驱动力频率接近系统固有频率 (natural frequency) \( \omega_0 \) 时发生。
11.1.2 热传导问题 (Heat Conduction Problems)
热传导 (heat conduction) 是热量从高温区域向低温区域传递的过程。傅里叶热传导定律 (Fourier's law of heat conduction) 描述了热流密度 (heat flux density) 与温度梯度 (temperature gradient) 之间的关系。在一维情况下，傅里叶定律表示为：
\[ q = -k \frac{\partial T}{\partial x} \]
其中 \( q \) 是热流密度（单位时间内通过单位面积的热量），\( k \) 是热导率 (thermal conductivity)，\( T \) 是温度，\( x \) 是空间坐标。负号表示热量从高温向低温传递。
热传导方程 (Heat Equation)
考虑一个均匀介质中的热传导过程。设 \( u(x, t) \) 表示在位置 \( x \) 和时间 \( t \) 的温度。考虑一维情况，能量守恒原理 (conservation of energy) 表明，单位时间内进入控制体积的热量减去单位时间内离开控制体积的热量等于控制体积内能的变化率。结合傅里叶定律，可以推导出热传导方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中 \( \alpha = \frac{k}{\rho c} \) 是热扩散率 (thermal diffusivity)，\( \rho \) 是密度 (density)，\( c \) 是比热容 (specific heat capacity)。这是一个二阶线性偏微分方程，也称为扩散方程 (diffusion equation)。
在三维情况下，热传导方程为：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u = \alpha \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) \]
其中 \( \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \) 是拉普拉斯算符 (Laplacian operator)。
定解问题 (Boundary Value Problem)
为了确定热传导方程的解，还需要给定初始条件 (initial condition) 和边界条件 (boundary condition)。初始条件描述了初始时刻的温度分布，例如 \( u(x, 0) = f(x) \)。边界条件描述了边界上的温度或热流情况，常见的边界条件包括：
① 狄利克雷边界条件 (Dirichlet boundary condition): 给定边界上的温度，例如 \( u(0, t) = T_1, u(L, t) = T_2 \)。
② 诺伊曼边界条件 (Neumann boundary condition): 给定边界上的热流密度，例如 \( -k \frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = q_1, -k \frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = q_2 \)。绝热边界条件对应 \( \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \)。
③ 罗宾边界条件 (Robin boundary condition): 给定边界上的温度和热流的线性组合，例如 \( -k \frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = h(u(0, t) - T_\infty) \)，描述对流换热 (convective heat transfer)。
利用分离变量法 (separation of variables method)、积分变换法 (integral transform methods) 或数值方法 (numerical methods) 可以求解热传导方程的定解问题，分析各种热传导现象，例如热稳态问题、瞬态热传导问题等。
11.1.3 波动现象 (Wave Phenomena)
波动 (wave) 是自然界中普遍存在的现象，例如水波、声波、电磁波等。波动方程 (wave equation) 描述了波的传播规律。
波动方程 (Wave Equation)
考虑一维波动，例如弦的振动。设 \( u(x, t) \) 表示在位置 \( x \) 和时间 \( t \) 的弦的位移。通过分析弦的受力情况和运用牛顿第二定律，可以推导出波动方程：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中 \( c = \sqrt{\frac{T}{\rho}} \) 是波速 (wave speed)，\( T \) 是弦的张力 (tension)，\( \rho \) 是弦的线密度 (linear density)。这是一个二阶线性偏微分方程。
在三维情况下，波动方程为：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) \]
其中 \( c \) 是波在介质中的传播速度。
定解问题 (Boundary Value Problem)
类似于热传导方程，为了确定波动方程的解，也需要给定初始条件和边界条件。初始条件包括初始位移和初始速度，例如 \( u(x, 0) = f(x), \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = g(x) \)。边界条件描述了边界上的位移或力的情况，例如固定边界 (Dirichlet boundary condition) \( u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 \)，自由边界 (Neumann boundary condition) \( \frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = 0, \frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = 0 \)。
利用分离变量法、特征线法 (method of characteristics)、积分变换法或数值方法可以求解波动方程的定解问题，分析各种波动现象，例如弦的振动、声波的传播、电磁波的传播等。
电磁波 (Electromagnetic Waves)
麦克斯韦方程组 (Maxwell's equations) 是描述电磁场 (electromagnetic field) 的基本方程组。在自由空间中，麦克斯韦方程组可以推导出电场强度 \( \mathbf{E} \) 和磁场强度 \( \mathbf{H} \) 满足的波动方程：
\[ \nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \]
\[ \nabla^2 \mathbf{H} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2} = 0 \]
其中 \( c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \) 是真空中的光速 (speed of light in vacuum)，\( \epsilon_0 \) 是真空介电常数 (vacuum permittivity)，\( \mu_0 \) 是真空磁导率 (vacuum permeability)。这表明电磁波是以光速传播的横波 (transverse wave)。
11.2 工程学中的应用 (Applications in Engineering)
微分方程在工程学中有着广泛的应用，几乎所有的工程领域，如机械工程、电子工程、土木工程、化学工程等，都会用到微分方程来建模、分析和设计各种系统和设备。微分方程帮助工程师理解系统的动态行为，优化设计参数，预测系统性能，解决实际工程问题。
11.2.1 电路分析 (Circuit Analysis)
电路分析 (circuit analysis) 是电子工程的基础，微分方程是分析动态电路 (dynamic circuit) 的关键工具。电路中的基本元件，如电阻 (resistor, R)、电容 (capacitor, C) 和电感 (inductor, L)，其电压 (voltage) 和电流 (current) 之间的关系可以用微分方程来描述。
基本元件的伏安关系 (Voltage-Current Relationship)
① 电阻 (Resistor, R): 欧姆定律 (Ohm's Law) 描述了电阻的伏安关系：\( V_R = IR \)，其中 \( V_R \) 是电阻两端的电压，\( I \) 是流过电阻的电流，\( R \) 是电阻值 (resistance)。这是一个代数方程。
② 电容 (Capacitor, C): 电容的伏安关系为：\( I_C = C \frac{dV_C}{dt} \)，其中 \( I_C \) 是流过电容的电流，\( V_C \) 是电容两端的电压，\( C \) 是电容值 (capacitance)。这是一个一阶微分方程。
③ 电感 (Inductor, L): 电感的伏安关系为：\( V_L = L \frac{dI_L}{dt} \)，其中 \( V_L \) 是电感两端的电压，\( I_L \) 是流过电感的电流，\( L \) 是电感值 (inductance)。这也是一个一阶微分方程。
电路方程 (Circuit Equations)
利用基尔霍夫定律 (Kirchhoff's laws) 和元件的伏安关系，可以建立电路的微分方程。基尔霍夫电流定律 (Kirchhoff's Current Law, KCL) 指出，任一节点 (node) 流入电流之和等于流出电流之和。基尔霍夫电压定律 (Kirchhoff's Voltage Law, KVL) 指出，任一回路 (loop) 电压之和等于零。
RC电路 (RC Circuit)
考虑一个简单的RC串联电路，由一个电阻 \( R \)、一个电容 \( C \) 和一个电压源 \( V_s(t) \) 串联组成。根据KVL，回路电压方程为：
\[ V_R + V_C = V_s(t) \]
将元件的伏安关系代入，得到：
\[ IR + V_C = V_s(t) \]
又因为 \( I = I_C = C \frac{dV_C}{dt} \)，代入上式得到RC电路的微分方程：
\[ RC \frac{dV_C}{dt} + V_C = V_s(t) \]
这是一个一阶线性常微分方程。如果电压源是常数电压 \( V_0 \)，即 \( V_s(t) = V_0 \)，则方程变为：
\[ RC \frac{dV_C}{dt} + V_C = V_0 \]
可以求解这个方程得到电容电压 \( V_C(t) \) 的瞬态响应 (transient response) 和稳态响应 (steady-state response)。
RLC电路 (RLC Circuit)
考虑一个RLC串联电路，由一个电阻 \( R \)、一个电感 \( L \)、一个电容 \( C \) 和一个电压源 \( V_s(t) \) 串联组成。根据KVL，回路电压方程为：
\[ V_R + V_L + V_C = V_s(t) \]
将元件的伏安关系代入，得到：
\[ IR + L \frac{dI}{dt} + V_C = V_s(t) \]
又因为 \( I_C = C \frac{dV_C}{dt} = I \)，所以 \( \frac{dI}{dt} = C \frac{d^2V_C}{dt^2} \)。将 \( I = C \frac{dV_C}{dt} \) 和 \( \frac{dI}{dt} = C \frac{d^2V_C}{dt^2} \) 代入上式，得到RLC电路的微分方程（关于电容电压 \( V_C \) 的二阶微分方程）：
\[ RC \frac{dV_C}{dt} + LC \frac{d^2V_C}{dt^2} + V_C = V_s(t) \]
或者（关于电流 \( I \) 的二阶微分方程）：
\[ L \frac{d^2I}{dt^2} + R \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I = \frac{dV_s}{dt} \]
这是一个二阶线性常微分方程。可以分析RLC电路的瞬态响应、稳态响应、频率响应 (frequency response) 和共振现象。
11.2.2 机械振动 (Mechanical Vibrations)
机械振动 (mechanical vibrations) 是机械工程中常见的问题，例如机器的振动、结构的振动、车辆的振动等。微分方程是分析和控制机械振动的基本工具。前面在物理学应用中已经讨论了简谐运动、阻尼振动和受迫振动，这些模型可以直接应用于机械振动分析。
单自由度振动系统 (Single Degree of Freedom Vibration System)
单自由度振动系统可以用一个质量块 (mass)、一个弹簧 (spring) 和一个阻尼器 (damper) 来简化模型。质量块代表系统的惯性 (inertia)，弹簧代表系统的弹性 (elasticity)，阻尼器代表系统的能量耗散 (energy dissipation)。系统的运动方程可以用牛顿第二定律建立，得到与阻尼振动方程相同的形式：
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = F(t) \]
其中 \( m \) 是质量，\( c \) 是阻尼系数，\( k \) 是弹簧刚度 (spring stiffness)，\( x \) 是位移，\( F(t) \) 是外部激励力 (external excitation force)。
多自由度振动系统 (Multiple Degrees of Freedom Vibration System)
对于更复杂的机械系统，可能需要考虑多个自由度 (degrees of freedom)。例如，一个由多个质量块、弹簧和阻尼器组成的系统，其运动方程可以用常微分方程组 (systems of ordinary differential equations) 来描述。对于 \( n \) 自由度系统，运动方程可以写成矩阵形式：
\[ [M]\{\ddot{x}\} + [C]\{\dot{x}\} + [K]\{x\} = \{F(t)\} \]
其中 \( [M] \) 是质量矩阵 (mass matrix)，\( [C] \) 是阻尼矩阵 (damping matrix)，\( [K] \) 是刚度矩阵 (stiffness matrix)，\( \{x\} \) 是位移向量 (displacement vector)，\( \{F(t)\} \) 是力向量 (force vector)。这是一个二阶线性常微分方程组。
振动分析与控制 (Vibration Analysis and Control)
通过求解机械振动系统的微分方程，可以分析系统的固有频率 (natural frequencies)、振型 (mode shapes)、响应特性 (response characteristics) 等。工程师可以根据振动分析结果，优化系统设计，例如调整质量、刚度和阻尼，避免共振，降低振动水平，提高系统的可靠性和舒适性。此外，还可以设计振动控制系统，例如主动振动控制 (active vibration control) 和被动振动控制 (passive vibration control)，进一步减小振动。
11.3 生物学与经济学中的应用 (Applications in Biology and Economics)
微分方程不仅在物理学和工程学中有着广泛的应用，在生物学 (biology) 和经济学 (economics) 等领域也发挥着越来越重要的作用。微分方程可以用来描述生物种群的增长、疾病的传播、药物在体内的代谢过程、经济增长模型、金融市场的波动等。
生物种群增长模型 (Population Growth Models)
① 指数增长模型 (Exponential Growth Model): 最简单的种群增长模型假设种群的增长率 (growth rate) 与种群数量成正比。设 \( N(t) \) 表示 \( t \) 时刻的种群数量，则指数增长模型可以用以下一阶常微分方程描述：
\[ \frac{dN}{dt} = rN \]
其中 \( r \) 是固有增长率 (intrinsic growth rate)。解为 \( N(t) = N_0 e^{rt} \)，其中 \( N_0 \) 是初始种群数量。指数增长模型适用于种群在资源无限的环境下的增长情况。
② 逻辑斯蒂增长模型 (Logistic Growth Model): 考虑到环境资源的有限性，逻辑斯蒂增长模型引入了环境容纳量 (carrying capacity) \( K \)。当种群数量接近环境容纳量时，增长率会减慢。逻辑斯蒂增长模型可以用以下一阶常微分方程描述：
\[ \frac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \frac{N}{K} \right) \]
这是一个非线性微分方程。解的形态呈S形曲线，种群数量最终趋于环境容纳量 \( K \)。
③ 捕食者-猎物模型 (Predator-Prey Model): 描述捕食者和猎物种群之间相互作用的模型，例如Lotka-Volterra模型。设 \( x(t) \) 表示猎物种群数量，\( y(t) \) 表示捕食者种群数量，Lotka-Volterra模型可以用以下常微分方程组描述：
\[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = ax - bxy \\ \frac{dy}{dt} = -cy + dxy \end{cases} \]
其中 \( a, b, c, d \) 是正的常数。这个模型描述了猎物种群的增长受到捕食者的抑制，而捕食者种群的增长依赖于猎物。解的形态通常是周期性振荡。
流行病模型 (Epidemic Models)
① SIR模型 (Susceptible-Infected-Recovered Model): 描述传染病传播的经典模型。将人群分为易感者 (Susceptible, S)、感染者 (Infected, I) 和康复者 (Recovered, R) 三类。SIR模型可以用以下常微分方程组描述：
\[ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta SI \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I \end{cases} \]
其中 \( \beta \) 是传染率 (transmission rate)，\( \gamma \) 是康复率 (recovery rate)。通过分析SIR模型，可以预测疫情的传播趋势、高峰时间和最终规模，评估控制措施的效果。
经济增长模型 (Economic Growth Models)
① 索洛增长模型 (Solow Growth Model): 新古典经济增长理论 (neoclassical growth theory) 的核心模型，描述了资本积累 (capital accumulation)、劳动增长 (labor growth) 和技术进步 (technological progress) 对经济增长的影响。索洛模型可以用一个常微分方程来描述人均资本 (per capita capital) \( k \) 的动态变化：
\[ \frac{dk}{dt} = s f(k) - (n + \delta)k \]
其中 \( s \) 是储蓄率 (saving rate)，\( f(k) \) 是人均生产函数 (per capita production function)，\( n \) 是人口增长率 (population growth rate)，\( \delta \) 是资本折旧率 (capital depreciation rate)。通过分析索洛模型，可以研究长期经济增长的决定因素，例如储蓄率、人口增长率和技术进步率。
11.4 案例分析 (Case Studies)
为了更深入地理解微分方程在实际问题中的应用，本节将通过几个案例分析，展示如何运用微分方程建模、求解和分析实际问题。
案例一：放射性衰变 (Radioactive Decay)
放射性衰变 (radioactive decay) 是原子核自发地放出粒子或射线而变成另一种原子核的过程。放射性衰变速率与剩余的放射性原子核数量成正比。设 \( N(t) \) 表示 \( t \) 时刻的放射性原子核数量，则放射性衰变过程可以用以下一阶常微分方程描述：
\[ \frac{dN}{dt} = -\lambda N \]
其中 \( \lambda \) 是衰变常数 (decay constant)，负号表示原子核数量随时间减少。解为 \( N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \)，其中 \( N_0 \) 是初始原子核数量。半衰期 (half-life) \( T_{1/2} \) 定义为原子核数量衰减到初始值一半所需的时间，可以通过解 \( N(T_{1/2}) = \frac{1}{2} N_0 \) 得到 \( T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \)。放射性衰变在核物理学、地质年代测定、医学成像等领域有着重要应用。
案例二：药物代谢动力学 (Pharmacokinetics)
药物代谢动力学 (pharmacokinetics) 研究药物在体内的吸收 (absorption)、分布 (distribution)、代谢 (metabolism) 和排泄 (excretion) 过程 (ADME)。微分方程可以用来建立药物在体内的浓度随时间变化的数学模型。例如，单室模型 (one-compartment model) 假设药物在体内均匀分布在一个房室 (compartment) 中，药物的消除 (elimination) 速率与药物浓度成正比。设 \( C(t) \) 表示 \( t \) 时刻的药物浓度，则单室模型的微分方程为：
\[ \frac{dC}{dt} = -k C \]
其中 \( k \) 是消除速率常数 (elimination rate constant)。解为 \( C(t) = C_0 e^{-kt} \)，其中 \( C_0 \) 是初始药物浓度。通过分析药物代谢动力学模型，可以确定给药方案 (dosage regimen)，例如给药剂量 (dosage) 和给药间隔 (dosing interval)，以维持药物在体内的有效浓度，提高治疗效果，降低毒副作用。
案例三：金融期权定价 (Financial Option Pricing)
布莱克-斯科尔斯模型 (Black-Scholes model) 是金融工程 (financial engineering) 中用于期权定价 (option pricing) 的经典模型。该模型基于随机微分方程 (stochastic differential equation) 描述了标的资产价格 (underlying asset price) 的随机波动。布莱克-斯科尔斯模型最终导出一个偏微分方程，即布莱克-斯科尔斯方程 (Black-Scholes equation)，用于计算欧式期权 (European option) 的理论价格。布莱克-斯科尔斯方程是一个二阶线性抛物型偏微分方程：
\[ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0 \]
其中 \( V(S, t) \) 是期权价格，\( S \) 是标的资产价格，\( t \) 是时间，\( \sigma \) 是标的资产价格的波动率 (volatility)，\( r \) 是无风险利率 (risk-free interest rate)。通过求解布莱克-斯科尔斯方程，可以得到期权的合理价格，为期权交易和风险管理提供理论基础。
通过以上案例分析，我们可以看到微分方程在不同领域的广泛应用。无论是描述物理现象、工程问题，还是生物过程、经济行为，微分方程都提供了强大的数学工具，帮助我们理解和解决复杂的问题。掌握微分方程的理论和方法，对于深入理解自然规律、解决实际问题具有重要的意义。