015 《复分析：理论、方法与应用 (Complex Analysis: Theory, Methods, and Applications)》

🌟🌟🌟本文案由Gemini 2.0 Flash Thinking Experimental 01-21创作，用来辅助学习知识。🌟🌟🌟

书籍大纲

▮▮▮▮ 1. chapter 1：复数与复平面 (Complex Numbers and the Complex Plane)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 复数的定义与运算 (Definition and Operations of Complex Numbers)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 复数的几何表示 (Geometric Representation of Complex Numbers)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.1 复平面 (Complex Plane)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.2.2 极坐标形式 (Polar Form)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.3 复数的拓扑 (Topology of Complex Numbers)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.3.1 开集、闭集与区域 (Open Sets, Closed Sets, and Domains)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.3.2 序列与极限 (Sequences and Limits)
▮▮▮▮ 2. chapter 2：复变函数 (Functions of a Complex Variable)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 复变函数的定义与映射 (Definition and Mapping of Complex Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 极限与连续 (Limits and Continuity)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 复变函数的导数 (Derivatives of Complex Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.4 解析函数 (Analytic Functions)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.1 Cauchy-Riemann 方程 (Cauchy-Riemann Equations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 2.4.2 解析函数的性质 (Properties of Analytic Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.5 调和函数 (Harmonic Functions)
▮▮▮▮ 3. chapter 3：初等复变函数 (Elementary Complex Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.1 指数函数 (Exponential Function)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.2 三角函数 (Trigonometric Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.3 双曲函数 (Hyperbolic Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.4 对数函数 (Logarithmic Function)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.5 幂函数与多值函数 (Power Functions and Multivalued Functions)
▮▮▮▮ 4. chapter 4：复积分 (Complex Integration)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.1 复积分的定义 (Definition of Complex Integral)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.2 Cauchy 积分定理 (Cauchy's Integral Theorem)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 单连通区域与多连通区域 (Simply Connected and Multiply Connected Domains)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 Cauchy-Goursat 定理 (Cauchy-Goursat Theorem)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.3 Cauchy 积分公式 (Cauchy's Integral Formula)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.4 Morera 定理与 Liouville 定理 (Morera's Theorem and Liouville's Theorem)
▮▮▮▮ 5. chapter 5：级数表示 (Series Representations of Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.1 复数项级数 (Series of Complex Numbers)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.2 幂级数 (Power Series)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.2.1 收敛半径 (Radius of Convergence)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 5.2.2 幂级数的性质 (Properties of Power Series)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.3 Taylor 级数 (Taylor Series)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.4 Laurent 级数 (Laurent Series)
▮▮▮▮ 6. chapter 6：留数理论 (Residue Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.1 孤立奇点 (Isolated Singularities)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.1.1 可去奇点、极点与本性奇点 (Removable Singularities, Poles, and Essential Singularities)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.2 留数的定义与计算 (Definition and Calculation of Residues)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.3 留数定理 (Residue Theorem)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.4 留数定理的应用 (Applications of Residue Theorem)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.4.1 计算实积分 (Evaluating Real Integrals)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 6.4.2 计算无穷级数 (Evaluating Infinite Series)
▮▮▮▮ 7. chapter 7：共形映射 (Conformal Mapping)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.1 共形映射的定义与性质 (Definition and Properties of Conformal Mapping)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.2 Möbius 变换 (Möbius Transformations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.2.1 线性分式变换 (Linear Fractional Transformations)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 7.2.2 Möbius 变换的几何性质 (Geometric Properties of Möbius Transformations)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.3 Riemann 映射定理 (Riemann Mapping Theorem)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.4 共形映射的应用 (Applications of Conformal Mapping)
▮▮▮▮ 8. chapter 8：解析延拓与 Riemann 曲面 (Analytic Continuation and Riemann Surfaces)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.1 解析延拓 (Analytic Continuation)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.2 Riemann 曲面的概念 (Concept of Riemann Surfaces)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.3 代数函数与 Riemann 曲面 (Algebraic Functions and Riemann Surfaces)
▮▮▮▮ 9. chapter 9：特殊函数及其应用 (Special Functions and Applications)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.1 Gamma 函数 (Gamma Function)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.2 Zeta 函数 (Zeta Function)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.3 特殊函数在复分析中的应用 (Applications of Special Functions in Complex Analysis)
▮▮▮▮ 10. chapter 10：Dirichlet 问题与调和函数 (Dirichlet Problem and Harmonic Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.1 Dirichlet 问题 (Dirichlet Problem)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.2 调和函数的性质 (Properties of Harmonic Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.3 Poisson 积分公式 (Poisson Integral Formula)
▮▮▮▮▮▮▮ 附录 A：复分析发展简史 (Brief History of Complex Analysis)
▮▮▮▮▮▮▮ 附录 B：参考文献 (References)
▮▮▮▮▮▮▮ 附录 C：习题答案与提示 (Answers and Hints to Exercises)

1. chapter 1：复数与复平面 (Complex Numbers and the Complex Plane)

1.1 复数的定义与运算 (Definition and Operations of Complex Numbers)

复数 (complex number) 是形如 \( a + bi \) 的数，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，\( i \) 是虚数单位 (imaginary unit)，满足 \( i^2 = -1 \)。

① 定义 1.1.1 (复数的定义)：一个复数 \( z \) 可以表示为 \( z = a + bi \)，其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)，\( i \) 是虚数单位，\( i^2 = -1 \)。
▮▮▮▮ⓑ \( a \) 称为复数 \( z \) 的实部 (real part)，记作 \( \text{Re}(z) = a \)。
▮▮▮▮ⓒ \( b \) 称为复数 \( z \) 的虚部 (imaginary part)，记作 \( \text{Im}(z) = b \)。
▮▮▮▮ⓓ 当 \( b = 0 \) 时，复数 \( z = a \) 退化为实数。因此，实数是复数的特殊情况，实数集 \( \mathbb{R} \) 是复数集 \( \mathbb{C} \) 的子集，即 \( \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \)。
▮▮▮▮ⓔ 当 \( a = 0 \) 且 \( b \neq 0 \) 时，复数 \( z = bi \) 称为纯虚数 (pure imaginary number)。
▮▮▮▮ⓕ 两个复数 \( z_1 = a_1 + b_1 i \) 和 \( z_2 = a_2 + b_2 i \) 相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即 \( a_1 = a_2 \) 且 \( b_1 = b_2 \)。

② 复数的四则运算：
设 \( z_1 = a_1 + b_1 i \) 和 \( z_2 = a_2 + b_2 i \) 是两个复数。

⚝ 加法 (Addition)：复数的加法定义为实部与实部相加，虚部与虚部相加。
\[ z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i \]
⚝ 减法 (Subtraction)：复数的减法定义为实部与实部相减，虚部与虚部相减。
\[ z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2) i \]
⚝ 乘法 (Multiplication)：复数的乘法可以像多项式一样展开，并利用 \( i^2 = -1 \) 进行化简。
\[ z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i \]
⚝ 除法 (Division)：复数的除法需要用到共轭复数 (conjugate complex number) 的概念。对于复数 \( z = a + bi \)，其共轭复数记为 \( \bar{z} \) 或 \( z^* \)，定义为 \( \bar{z} = a - bi \)。
▮▮▮▮⚝ 复数 \( z \) 与其共轭复数 \( \bar{z} \) 的乘积是一个实数：\( z \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2 \)。
▮▮▮▮⚝ 复数除法 \( \frac{z_1}{z_2} \) （其中 \( z_2 \neq 0 \)，即 \( a_2 \) 和 \( b_2 \) 不同时为零）可以通过将分子和分母同时乘以分母的共轭复数来实现：
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 - a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} i \]

③ 共轭复数 (Conjugate Complex Number)：
对于复数 \( z = a + bi \)，其共轭复数定义为 \( \bar{z} = a - bi \)。
⚝ 性质：
▮▮▮▮⚝ \( \overline{(\bar{z})} = z \)
▮▮▮▮⚝ \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \)
▮▮▮▮⚝ \( \overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2} \)
▮▮▮▮⚝ \( \overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2} \)
▮▮▮▮⚝ \( \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}} \) (当 \( z_2 \neq 0 \) 时)
▮▮▮▮⚝ \( z + \bar{z} = 2 \text{Re}(z) = 2a \)
▮▮▮▮⚝ \( z - \bar{z} = 2i \text{Im}(z) = 2bi \)
▮▮▮▮⚝ \( z \bar{z} = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 = a^2 + b^2 \)

④ 模长 (Modulus) 与辐角 (Argument)：
对于复数 \( z = a + bi \)，其模长 \( |z| \) (或称为绝对值) 定义为复平面上点 \( (a, b) \) 到原点的距离。
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2} = \sqrt{z \bar{z}} \]
辐角是指从正实轴 (positive real axis) 逆时针旋转到向量 \( \vec{OZ} \) 的角度，记为 \( \text{arg}(z) \)。辐角不是唯一的，如果 \( \theta \) 是 \( z \) 的一个辐角，那么 \( \theta + 2k\pi \) (其中 \( k \) 为整数) 也是 \( z \) 的辐角。我们将满足 \( -\pi < \text{Arg}(z) \leq \pi \) 的辐角称为主辐角 (principal argument)，记为 \( \text{Arg}(z) \)。
⚝ 计算辐角：
▮▮▮▮⚝ 首先计算 \( \tan(\theta) = \frac{b}{a} = \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} \)。
▮▮▮▮⚝ 根据 \( (a, b) \) 所在的象限确定 \( \theta \) 的具体值。
▮▮▮▮⚝ 例如，如果 \( a > 0, b > 0 \) (第一象限)，则 \( \text{Arg}(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( a < 0, b > 0 \) (第二象限)，则 \( \text{Arg}(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( a < 0, b < 0 \) (第三象限)，则 \( \text{Arg}(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \pi \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( a > 0, b < 0 \) (第四象限)，则 \( \text{Arg}(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \)。
▮▮▮▮⚝ 特别地，当 \( a = 0, b > 0 \) 时，\( \text{Arg}(z) = \frac{\pi}{2} \)。当 \( a = 0, b < 0 \) 时，\( \text{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2} \)。当 \( a < 0, b = 0 \) 时，\( \text{Arg}(z) = \pi \)。当 \( a > 0, b = 0 \) 时，\( \text{Arg}(z) = 0 \)。对于 \( z = 0 \)，辐角没有定义。

⑤ 复数的性质：
⚝ 模长的性质：
▮▮▮▮⚝ \( |z| \geq 0 \)，且 \( |z| = 0 \) 当且仅当 \( z = 0 \)。
▮▮▮▮⚝ \( |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| \)
▮▮▮▮⚝ \( \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) (当 \( z_2 \neq 0 \) 时)
▮▮▮▮⚝ \( |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \) (三角不等式，Triangle Inequality)
▮▮▮▮⚝ \( |z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2|| \) (反向三角不等式，Reverse Triangle Inequality)
⚝ 辐角的性质：
▮▮▮▮⚝ \( \text{arg}(z_1 z_2) = \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2) + 2k\pi \) (其中 \( k \) 为整数，使得等式两边辐角取值一致)
▮▮▮▮⚝ \( \text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2) + 2k\pi \) (其中 \( k \) 为整数，使得等式两边辐角取值一致)
▮▮▮▮⚝ \( \text{arg}(\bar{z}) = -\text{arg}(z) + 2k\pi \) (其中 \( k \) 为整数，使得等式两边辐角取值一致)

1.2 复数的几何表示 (Geometric Representation of Complex Numbers)

1.2.1 复平面 (Complex Plane)

为了将复数进行几何可视化，我们引入复平面 (complex plane) 的概念。复平面也称为 Argand 平面或 \( z \)-平面。

① 定义 1.2.1 (复平面)：复平面是一个二维平面，其中水平轴称为实轴 (real axis)，表示实数；垂直轴称为虚轴 (imaginary axis)，表示虚数。每一个复数 \( z = a + bi \) 都可以唯一地对应复平面上的一个点 \( (a, b) \)。反之，复平面上的每一个点 \( (a, b) \) 也唯一地对应一个复数 \( z = a + bi \)。因此，复数与复平面上的点之间建立了一一对应关系。

② 复数的向量表示：复数 \( z = a + bi \) 不仅可以看作复平面上的点 \( (a, b) \)，也可以看作是从原点 \( O(0, 0) \) 指向点 \( Z(a, b) \) 的向量 \( \vec{OZ} \)。
⚝ 复数的加法和减法在复平面上具有明显的几何意义。
▮▮▮▮⚝ 复数加法的几何意义：复数 \( z_1 + z_2 \) 对应于向量 \( \vec{OZ_1} \) 和 \( \vec{OZ_2} \) 所构成的平行四边形的对角线所表示的向量。这符合向量加法的平行四边形法则。
▮▮▮▮⚝ 复数减法的几何意义：复数 \( z_1 - z_2 \) 对应于从 \( Z_2 \) 指向 \( Z_1 \) 的向量 \( \vec{Z_2 Z_1} \)。

③ 复数的模长与辐角的几何意义：
⚝ 模长 \( |z| \)：复数 \( z = a + bi \) 的模长 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) 表示复平面上点 \( Z(a, b) \) 到原点 \( O(0, 0) \) 的距离，也就是向量 \( \vec{OZ} \) 的长度。
⚝ 辐角 \( \text{arg}(z) \)：复数 \( z = a + bi \) 的辐角 \( \text{arg}(z) \) 表示从正实轴逆时针旋转到向量 \( \vec{OZ} \) 的角度。主辐角 \( \text{Arg}(z) \) 是 \( [-\pi, \pi] \) 区间内的辐角。

1.2.2 极坐标形式 (Polar Form)

除了用实部和虚部表示复数 \( z = a + bi \) 的代数形式外，还可以用模长 \( r = |z| \) 和辐角 \( \theta = \text{arg}(z) \) 来表示复数，这种表示形式称为复数的极坐标形式 (polar form)。

① 极坐标形式的推导：
设复数 \( z = a + bi \) 对应的点在复平面上的坐标为 \( (a, b) \)。用极坐标 \( (r, \theta) \) 表示点 \( (a, b) \)，其中 \( r \) 是极径，\( \theta \) 是极角。根据极坐标与直角坐标的关系，有：
\[ a = r \cos\theta, \quad b = r \sin\theta \]
其中 \( r = \sqrt{a^2 + b^2} = |z| \) 是复数 \( z \) 的模长，\( \theta \) 是复数 \( z \) 的辐角。因此，复数 \( z \) 可以表示为：
\[ z = a + bi = (r \cos\theta) + (r \sin\theta) i = r (\cos\theta + i \sin\theta) \]
这就是复数 \( z \) 的极坐标形式。通常，我们取主辐角 \( \theta = \text{Arg}(z) \)，此时极坐标形式是唯一的（除了 \( z = 0 \) 时辐角不确定）。

② 欧拉公式 (Euler's Formula) 与指数形式：
欧拉公式将指数函数与三角函数联系起来：
\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta \]
利用欧拉公式，复数的极坐标形式可以进一步简化为指数形式 (exponential form)：
\[ z = r e^{i\theta} \]
其中 \( r = |z| \) 是模长，\( \theta = \text{arg}(z) \) 是辐角。

③ 极坐标形式的乘法与除法：
设 \( z_1 = r_1 e^{i\theta_1} \) 和 \( z_2 = r_2 e^{i\theta_2} \) 是两个复数的极坐标形式。
⚝ 乘法：
\[ z_1 z_2 = (r_1 e^{i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \]
两个复数相乘，模长相乘，辐角相加。
⚝ 除法 (当 \( z_2 \neq 0 \) 时，即 \( r_2 \neq 0 \))：
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \]
两个复数相除，模长相除，辐角相减。
⚝ 幂运算 (棣莫弗定理，De Moivre's Theorem)：
对于整数 \( n \)，
\[ z^n = (r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) \]
棣莫弗定理给出了复数幂运算的极坐标形式，特别地，当 \( r = 1 \) 时，\( (\cos\theta + i \sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \)。

④ 复数的 \( n \) 次根：
给定复数 \( w = \rho e^{i\phi} \) 和正整数 \( n \)，求复数 \( z = r e^{i\theta} \) 使得 \( z^n = w \)。
根据棣莫弗定理，\( z^n = r^n e^{in\theta} \)。要使 \( z^n = w \)，需要满足：
\[ r^n = \rho, \quad n\theta = \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
因此，\( r = \sqrt[n]{\rho} \) (取正实根)，\( \theta = \frac{\phi + 2k\pi}{n} \)，其中 \( k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \)。
当 \( k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \) 时，得到 \( n \) 个不同的根。当 \( k \) 取其他整数值时，得到的根会重复。
所以，复数 \( w \) 的 \( n \) 次根有 \( n \) 个，它们是：
\[ z_k = \sqrt[n]{\rho} e^{i\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \]
这 \( n \) 个 \( n \) 次根在复平面上构成一个以原点为中心，半径为 \( \sqrt[n]{\rho} \) 的正 \( n \) 边形的顶点。

1.3 复数的拓扑 (Topology of Complex Numbers)

1.3.1 开集、闭集与区域 (Open Sets, Closed Sets, and Domains)

在复分析中，我们需要研究复平面上的点集，并引入拓扑学的基本概念，如开集、闭集、区域等。这些概念是定义极限、连续性、导数和积分的基础。

① 邻域 (Neighborhood)：
⚝ 定义 1.3.1 (邻域)：以 \( z_0 \) 为中心，\( \delta > 0 \) 为半径的 \( \delta \)-邻域 ( \( \delta \)-neighborhood) 指的是复平面上所有满足 \( |z - z_0| < \delta \) 的复数 \( z \) 的集合，记为 \( N(z_0; \delta) \) 或 \( D(z_0; \delta) \)。
\[ N(z_0; \delta) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| < \delta \} \]
几何上，\( \delta \)-邻域是以 \( z_0 \) 为圆心，\( \delta \) 为半径的开圆盘 (open disk)，不包含边界。

② 开集 (Open Set)：
⚝ 定义 1.3.2 (开集)：复平面上的一个点集 \( G \) 称为开集，如果对于 \( G \) 中任意一点 \( z \)，都存在一个 \( \delta > 0 \)，使得 \( z \) 的 \( \delta \)-邻域 \( N(z; \delta) \) 完全包含在 \( G \) 内，即 \( N(z; \delta) \subseteq G \)。

⚝ 例子：
▮▮▮▮⚝ 开圆盘 \( D(z_0; R) = \{z : |z - z_0| < R \} \) 是开集。
▮▮▮▮⚝ 全复平面 \( \mathbb{C} \) 是开集。
▮▮▮▮⚝ 空集 \( \emptyset \) 是开集。
▮▮▮▮⚝ 两个开集的并集是开集。任意多个开集的并集仍然是开集。
▮▮▮▮⚝ 有限个开集的交集是开集。

③ 闭集 (Closed Set)：
⚝ 定义 1.3.3 (闭集)：复平面上的一个点集 \( F \) 称为闭集，如果它的补集 \( \mathbb{C} \setminus F \) 是开集。

⚝ 等价定义：一个点集 \( F \) 是闭集当且仅当它包含其所有极限点 (limit point)。

⚝ 例子：
▮▮▮▮⚝ 闭圆盘 \( \overline{D}(z_0; R) = \{z : |z - z_0| \leq R \} \) 是闭集。
▮▮▮▮⚝ 整个复平面 \( \mathbb{C} \) 是闭集。
▮▮▮▮⚝ 空集 \( \emptyset \) 是闭集。
▮▮▮▮⚝ 两个闭集的交集是闭集。任意多个闭集的交集仍然是闭集。
▮▮▮▮⚝ 有限个闭集的并集是闭集。

⚝ 注意：有些集合既不是开集也不是闭集，例如半开圆盘 \( \{z : |z| \leq 1, \text{Re}(z) > 0 \} \)。也有集合既是开集又是闭集，例如全复平面 \( \mathbb{C} \) 和空集 \( \emptyset \)。

④ 区域 (Domain)：
⚝ 定义 1.3.4 (连通集)：一个开集 \( D \) 称为连通的 (connected)，如果 \( D \) 中任意两点都可以用完全包含在 \( D \) 内的折线 (polyline) 连接起来。

⚝ 定义 1.3.5 (区域)：连通的开集称为区域 (domain)。有些书也称之为开区域 (open domain)。

⚝ 例子：
▮▮▮▮⚝ 开圆盘 \( D(z_0; R) \) 是区域。
▮▮▮▮⚝ 除去实轴的复平面 \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \) 不是区域，因为它不是连通的。
▮▮▮▮⚝ 环形区域 \( \{z : r_1 < |z - z_0| < r_2 \} \) 是区域。

⑤ 边界 (Boundary) 与闭包 (Closure)：
⚝ 定义 1.3.6 (边界)：点集 \( E \) 的边界 (boundary) \( \partial E \) 是指所有点 \( z \) 的集合，使得 \( z \) 的任意邻域既包含 \( E \) 中的点，也包含 \( \mathbb{C} \setminus E \) 中的点。

⚝ 定义 1.3.7 (闭包)：点集 \( E \) 的闭包 (closure) \( \overline{E} \) 定义为 \( E \) 与其边界 \( \partial E \) 的并集，即 \( \overline{E} = E \cup \partial E \)。闭包 \( \overline{E} \) 总是闭集。

⚝ 例子：
▮▮▮▮⚝ 开圆盘 \( D(z_0; R) = \{z : |z - z_0| < R \} \) 的边界是圆周 \( \{z : |z - z_0| = R \} \)。其闭包是闭圆盘 \( \overline{D}(z_0; R) = \{z : |z - z_0| \leq R \} \)。

1.3.2 序列与极限 (Sequences and Limits)

复数序列的极限概念是实数序列极限概念的自然推广。

① 复数序列 (Complex Sequence)：
一个复数序列 (complex sequence) 是指一列有序的复数 \( \{z_n\}_{n=1}^{\infty} = z_1, z_2, z_3, \ldots \)。其中每个 \( z_n \) 都是复数。

② 极限 (Limit) 的定义：
⚝ 定义 1.3.8 (极限)：称复数序列 \( \{z_n\}_{n=1}^{\infty} \) 收敛于复数 \( z_0 \)，记作 \( \lim_{n\to\infty} z_n = z_0 \) 或 \( z_n \to z_0 \) (当 \( n \to \infty \) 时)，如果对于任意给定的 \( \epsilon > 0 \)，都存在正整数 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，有 \( |z_n - z_0| < \epsilon \) 成立。

⚝ 几何解释：当 \( n \) 充分大时，序列 \( \{z_n\} \) 中的点都落在以 \( z_0 \) 为中心，\( \epsilon \) 为半径的开圆盘内。

③ 序列收敛的实部与虚部判据：
设 \( z_n = x_n + i y_n \) 和 \( z_0 = x_0 + i y_0 \)，其中 \( x_n, y_n, x_0, y_0 \) 都是实数。则 \( \lim_{n\to\infty} z_n = z_0 \) 当且仅当 \( \lim_{n\to\infty} x_n = x_0 \) 且 \( \lim_{n\to\infty} y_n = y_0 \)。
⚝ 证明：
▮▮▮▮⚝ (必要性) 若 \( \lim_{n\to\infty} z_n = z_0 \)，则对于任意 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( N \) 使得当 \( n > N \) 时，\( |z_n - z_0| < \epsilon \)。
由于 \( |x_n - x_0| = |\text{Re}(z_n - z_0)| \leq |z_n - z_0| \) 和 \( |y_n - y_0| = |\text{Im}(z_n - z_0)| \leq |z_n - z_0| \)，所以当 \( n > N \) 时，\( |x_n - x_0| < \epsilon \) 且 \( |y_n - y_0| < \epsilon \)。因此 \( \lim_{n\to\infty} x_n = x_0 \) 且 \( \lim_{n\to\infty} y_n = y_0 \)。
▮▮▮▮⚝ (充分性) 若 \( \lim_{n\to\infty} x_n = x_0 \) 且 \( \lim_{n\to\infty} y_n = y_0 \)，则对于任意 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( N_1 \) 使得当 \( n > N_1 \) 时，\( |x_n - x_0| < \frac{\epsilon}{2} \)，存在 \( N_2 \) 使得当 \( n > N_2 \) 时，\( |y_n - y_0| < \frac{\epsilon}{2} \)。取 \( N = \max\{N_1, N_2\} \)，则当 \( n > N \) 时，
\[ |z_n - z_0| = |(x_n - x_0) + i(y_n - y_0)| \leq |x_n - x_0| + |y_n - y_0| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]
因此 \( \lim_{n\to\infty} z_n = z_0 \)。

④ 极限的唯一性与运算法则：
⚝ 唯一性：若复数序列的极限存在，则极限是唯一的。
⚝ 运算法则：设 \( \lim_{n\to\infty} z_n = z_0 \) 和 \( \lim_{n\to\infty} w_n = w_0 \)。
▮▮▮▮⚝ \( \lim_{n\to\infty} (z_n \pm w_n) = z_0 \pm w_0 \)
▮▮▮▮⚝ \( \lim_{n\to\infty} (c z_n) = c z_0 \) (其中 \( c \) 为常数复数)
▮▮▮▮⚝ \( \lim_{n\to\infty} (z_n w_n) = z_0 w_0 \)
▮▮▮▮⚝ \( \lim_{n\to\infty} \frac{z_n}{w_n} = \frac{z_0}{w_0} \) (当 \( w_0 \neq 0 \) 时)

⑤ Cauchy 收敛准则 (Cauchy Convergence Criterion)：
复数序列 \( \{z_n\}_{n=1}^{\infty} \) 收敛的充要条件是：对于任意给定的 \( \epsilon > 0 \)，都存在正整数 \( N \)，使得当 \( m > N \) 和 \( n > N \) 时，有 \( |z_m - z_n| < \epsilon \) 成立。

⑥ 有界序列 (Bounded Sequence)：
如果存在正数 \( M \)，使得对于所有 \( n \)，都有 \( |z_n| \leq M \)，则称复数序列 \( \{z_n\}_{n=1}^{\infty} \) 是有界的 (bounded)。收敛的复数序列一定是有界的。

⑦ 聚点 (Cluster Point) 与 Bolzano-Weierstrass 定理：
⚝ 定义 1.3.9 (聚点)：复数 \( z_0 \) 是序列 \( \{z_n\}_{n=1}^{\infty} \) 的聚点，如果对于任意 \( \epsilon > 0 \) 和任意正整数 \( N \)，都存在 \( n > N \)，使得 \( |z_n - z_0| < \epsilon \)。换句话说，\( z_0 \) 的任意邻域都包含序列 \( \{z_n\} \) 的无穷多项。

⚝ Bolzano-Weierstrass 定理：有界复数序列必有收敛子序列。或者说，有界复数序列至少有一个聚点。

2. chapter 2：复变函数 (Functions of a Complex Variable)

2.1 复变函数的定义与映射 (Definition and Mapping of Complex Functions)

复变函数 (Functions of a Complex Variable) 是指定义域和值域均为复数集合的函数。形式上，我们通常将复变函数表示为 \(w = f(z)\)，其中 \(z = x + iy\) 是自变量，\(w = u + iv\) 是因变量，\(x, y, u, v\) 均为实数，\(i\) 是虚数单位。因此，一个复变函数实际上可以看作是从复平面 (Complex Plane) 到复平面的一个映射 (Mapping)。

更具体地说，给定复数集合 \(D \subseteq \mathbb{C}\)，一个复变函数 \(f\) 是一个从 \(D\) 到复数集合 \(\mathbb{C}\) 的规则，它将 \(D\) 中的每个复数 \(z\) 对应到唯一的一个复数 \(w = f(z)\)。集合 \(D\) 称为函数 \(f\) 的定义域 (Domain)。

我们可以将复变函数 \(f(z) = w\) 分解为两个实变量的实值函数。由于 \(z = x + iy\) 和 \(w = u + iv\)，我们可以将 \(f(z)\) 写成：
\[ f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) \]
其中 \(u(x, y)\) 和 \(v(x, y)\) 都是关于实变量 \(x\) 和 \(y\) 的实值函数。\(u(x, y)\) 称为 \(f\) 的实部 (Real Part)，记为 \(Re(f(z))\)；\(v(x, y)\) 称为 \(f\) 的虚部 (Imaginary Part)，记为 \(Im(f(z))\)。

映射 (Mapping) 的概念

复变函数可以视为复平面上的映射。对于定义域 \(D\) 内的每一个点 \(z\)，函数 \(f\) 将其映射到值域 (Range) 中的一个点 \(w = f(z)\)。通过研究这种映射关系，我们可以更直观地理解复变函数的性质。

例如，考虑复变函数 \(f(z) = z^2\)。设 \(z = x + iy\)，则
\[ f(z) = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy) \]
因此，\(u(x, y) = x^2 - y^2\) 和 \(v(x, y) = 2xy\)。

我们可以考察一些简单的几何图形在 \(f(z) = z^2\) 映射下的变化。例如，考虑直线 \(x = c\) (其中 \(c\) 为常数)。在 \(w = f(z)\) 平面，我们有 \(u = c^2 - y^2\) 和 \(v = 2cy\)。消去参数 \(y\)，得到 \(y = v/(2c)\)，代入 \(u = c^2 - y^2\) 得到
\[ u = c^2 - \left(\frac{v}{2c}\right)^2 = c^2 - \frac{v^2}{4c^2} \]
当 \(c \neq 0\) 时，这表示 \(w\) 平面上的抛物线。当 \(c = 0\) 时，直线 \(x = 0\) (即虚轴) 被映射到 \(u = -y^2 \leq 0\)，\(v = 0\)，即负实轴。

类似地，考虑直线 \(y = k\) (其中 \(k\) 为常数)。在 \(w = f(z)\) 平面，我们有 \(u = x^2 - k^2\) 和 \(v = 2kx\)。消去参数 \(x\)，得到 \(x = v/(2k)\)，代入 \(u = x^2 - k^2\) 得到
\[ u = \left(\frac{v}{2k}\right)^2 - k^2 = \frac{v^2}{4k^2} - k^2 \]
当 \(k \neq 0\) 时，这表示 \(w\) 平面上的抛物线。当 \(k = 0\) 时，直线 \(y = 0\) (即实轴) 被映射到 \(u = x^2 \geq 0\)，\(v = 0\)，即正实轴。

通过分析不同复变函数的映射性质，我们可以深入理解它们的行为和特点。

2.2 极限与连续 (Limits and Continuity)

极限 (Limit)

设 \(f(z)\) 是定义在区域 \(D\) 内的复变函数，\(z_0\) 是 \(D\) 的一个聚点 (limit point)。我们说当 \(z\) 趋近于 \(z_0\) 时，\(f(z)\) 的极限为 \(L\)，记作
\[ \lim_{z \to z_0} f(z) = L \]
如果对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，都存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |z - z_0| < \delta\) 且 \(z \in D\) 时，有 \(|f(z) - L| < \epsilon\)。

这个定义与实变函数极限的定义非常相似，只是这里的变量和函数值都是复数。几何意义上，当 \(z\) 在复平面上充分接近 \(z_0\) 时，\(f(z)\) 在复平面上充分接近 \(L\)。

极限的性质

复变函数的极限也具有与实变函数极限类似的性质，例如：
① 唯一性：若极限存在，则极限是唯一的。
② 线性运算：若 \(\lim_{z \to z_0} f(z) = L\) 且 \(\lim_{z \to z_0} g(z) = M\)，则
▮▮▮▮ⓒ \(\lim_{z \to z_0} [f(z) \pm g(z)] = L \pm M\)
▮▮▮▮ⓓ \(\lim_{z \to z_0} [cf(z)] = cL\) (其中 \(c\) 为复常数)
▮▮▮▮ⓔ \(\lim_{z \to z_0} [f(z)g(z)] = LM\)
▮▮▮▮ⓕ \(\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{L}{M}\)，如果 \(M \neq 0\)

用实部和虚部计算极限

设 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 和 \(z_0 = x_0 + iy_0\)，\(L = U + iV\)。则 \(\lim_{z \to z_0} f(z) = L\) 等价于
\[ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} u(x, y) = U \quad \text{且} \quad \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} v(x, y) = V \]
这个性质使得我们可以将复变函数的极限问题转化为两个实二元函数的极限问题。

连续 (Continuity)

设 \(f(z)\) 是定义在区域 \(D\) 内的复变函数，\(z_0 \in D\)。我们说 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处连续 (Continuous)，如果
\[ \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0) \]
展开 \(\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\) 的 \(\epsilon-\delta\) 定义，即为：对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，都存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|z - z_0| < \delta\) 且 \(z \in D\) 时，有 \(|f(z) - f(z_0)| < \epsilon\)。

连续函数的性质

复变函数的连续性也具有与实变函数连续性类似的性质：
① 和、差、积、商的连续性：若 \(f(z)\) 和 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 处连续，则 \(f(z) \pm g(z)\)，\(cf(z)\) (其中 \(c\) 为复常数)，\(f(z)g(z)\) 也在 \(z_0\) 处连续；若 \(g(z_0) \neq 0\)，则 \(\frac{f(z)}{g(z)}\) 也在 \(z_0\) 处连续。
② 复合函数的连续性：若 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 处连续，\(f(w)\) 在 \(w_0 = g(z_0)\) 处连续，则复合函数 \(f(g(z))\) 在 \(z_0\) 处连续。
③ 用实部和虚部判断连续性：设 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 和 \(z_0 = x_0 + iy_0\)。则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处连续当且仅当 \(u(x, y)\) 和 \(v(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处都连续。

2.3 复变函数的导数 (Derivatives of Complex Functions)

导数的定义 (Definition of Derivative)

设 \(f(z)\) 是定义在区域 \(D\) 内的复变函数，\(z_0\) 是 \(D\) 内一点。如果极限
\[ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} \]
存在，则称 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处可导 (Differentiable)，并将此极限值 \(f'(z_0)\) 称为 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处的导数 (Derivative)。这里 \(\Delta z = z - z_0\)。

需要强调的是，极限 \( \lim_{z \to z_0} \) 要求 \(z\) 从任何方向趋近于 \(z_0\) 时，差商 \(\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\) 都趋近于同一个极限值。这是复变函数可导性与实变函数可导性的一个重要区别。在实变函数中，我们只需要考虑从左边和右边趋近。

导数的运算法则

如果 \(f(z)\) 和 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 处可导，\(c\) 为复常数，则：
① \((c)' = 0\)
② \((z)' = 1\)
③ \([cf(z)]' = cf'(z)\)
④ \([f(z) \pm g(z)]' = f'(z) \pm g'(z)\)
⑤ \([f(z)g(z)]' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)\) (乘法法则)
⑥ \(\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]' = \frac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{[g(z)]^2}\)，如果 \(g(z_0) \neq 0\) (除法法则)
⑦ 链式法则 (Chain Rule)：如果 \(w = g(z)\) 在 \(z_0\) 处可导，\(F(w)\) 在 \(w_0 = g(z_0)\) 处可导，则复合函数 \(f(z) = F(g(z))\) 在 \(z_0\) 处可导，且
\[ f'(z_0) = F'(g(z_0))g'(z_0) \]

用实部和虚部计算导数

设 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 在 \(z_0 = x_0 + iy_0\) 处可导。我们可以分别沿实轴和虚轴方向趋近 \(z_0\) 来计算导数。

① 沿实轴方向趋近，令 \(z = x + iy_0\)，\(z \to z_0\) 等价于 \(x \to x_0\)，则
\[ f'(z_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x + iy_0) - f(x_0 + iy_0)}{(x + iy_0) - (x_0 + iy_0)} = \lim_{x \to x_0} \frac{[u(x, y_0) + iv(x, y_0)] - [u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0)]}{x - x_0} \]
\[ = \lim_{x \to x_0} \left[ \frac{u(x, y_0) - u(x_0, y_0)}{x - x_0} + i \frac{v(x, y_0) - v(x_0, y_0)}{x - x_0} \right] = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0) \]

② 沿虚轴方向趋近，令 \(z = x_0 + iy\)，\(z \to z_0\) 等价于 \(y \to y_0\)，则
\[ f'(z_0) = \lim_{y \to y_0} \frac{f(x_0 + iy) - f(x_0 + iy_0)}{(x_0 + iy) - (x_0 + iy_0)} = \lim_{y \to y_0} \frac{[u(x_0, y) + iv(x_0, y)] - [u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0)]}{i(y - y_0)} \]
\[ = \lim_{y \to y_0} \left[ \frac{u(x_0, y) - u(x_0, y_0)}{i(y - y_0)} + i \frac{v(x_0, y) - v(x_0, y_0)}{i(y - y_0)} \right] = \lim_{y \to y_0} \left[ -i \frac{u(x_0, y) - u(x_0, y_0)}{y - y_0} + \frac{v(x_0, y) - v(x_0, y_0)}{y - y_0} \right] \]
\[ = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0) - i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) \]

由于导数存在且唯一，沿不同方向趋近得到的极限值必须相等，因此我们得到：
\[ \frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0) - i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) \]
比较实部和虚部，得到 Cauchy-Riemann 方程 (Cauchy-Riemann Equations)：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
这对方程是复变函数可导的必要条件。

2.4 解析函数 (Analytic Functions)

2.4.1 Cauchy-Riemann 方程 (Cauchy-Riemann Equations)

Cauchy-Riemann 方程 (Cauchy-Riemann Equations) 是复变函数理论中最重要的方程之一。如前所述，如果复变函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 在点 \(z_0 = x_0 + iy_0\) 处可导，则它的实部 \(u(x, y)\) 和虚部 \(v(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处必须满足 Cauchy-Riemann 方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad (CR_1), \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \quad (CR_2) \]
或者简写为：
\[ u_x = v_y, \quad u_y = -v_x \]

Cauchy-Riemann 方程的充分条件

Cauchy-Riemann 方程只是复变函数可导的必要条件，但加上偏导数的连续性条件，它就变成了可导的充分条件。

定理 (Theorem)：设 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 定义在区域 \(D\) 内，\(z_0 = x_0 + iy_0 \in D\)。如果
① \(u_x, u_y, v_x, v_y\) 在点 \((x_0, y_0)\) 存在；
② \(u_x, u_y, v_x, v_y\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续；
③ 在点 \((x_0, y_0)\) 处满足 Cauchy-Riemann 方程：\(u_x = v_y\) 和 \(u_y = -v_x\)。
则 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处可导，且
\[ f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0) - i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) \]

解析函数 (Analytic Function)

如果复变函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内每一点都可导，则称 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析 (Analytic)。如果 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 的某个邻域内解析，则称 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 解析。解析函数有时也称为全纯函数 (Holomorphic Function) 或正则函数 (Regular Function)。

判断解析性的步骤

要判断一个复变函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 在区域 \(D\) 内是否解析，通常需要检查以下条件：
① 计算偏导数 \(u_x, u_y, v_x, v_y\)。
② 验证 Cauchy-Riemann 方程 \(u_x = v_y\) 和 \(u_y = -v_x\) 是否在 \(D\) 内处处成立。
③ 验证偏导数 \(u_x, u_y, v_x, v_y\) 在 \(D\) 内是否连续。
如果以上条件都满足，则 \(f(z)\) 在 \(D\) 内解析。

例子

例 1：判断 \(f(z) = z^2\) 是否解析。
解：\(f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)\)。所以 \(u(x, y) = x^2 - y^2\)，\(v(x, y) = 2xy\)。
偏导数：
\[ u_x = 2x, \quad u_y = -2y, \quad v_x = 2y, \quad v_y = 2x \]
验证 Cauchy-Riemann 方程：
\[ u_x = 2x = v_y \]
\[ u_y = -2y = -v_x \]
Cauchy-Riemann 方程成立。偏导数 \(u_x = 2x, u_y = -2y, v_x = 2y, v_y = 2x\) 都是连续函数。因此，\(f(z) = z^2\) 在整个复平面 \(\mathbb{C}\) 上解析。

例 2：判断 \(f(z) = \bar{z}\) 是否解析。
解：\(f(z) = \bar{z} = x - iy\)。所以 \(u(x, y) = x\)，\(v(x, y) = -y\)。
偏导数：
\[ u_x = 1, \quad u_y = 0, \quad v_x = 0, \quad v_y = -1 \]
验证 Cauchy-Riemann 方程：
\[ u_x = 1 \neq v_y = -1 \]
Cauchy-Riemann 方程不成立。因此，\(f(z) = \bar{z}\) 在复平面上任何点都不可导，从而不是解析函数。

2.4.2 解析函数的性质 (Properties of Analytic Functions)

解析函数具有许多重要的性质，这些性质使得解析函数在复分析中扮演着核心角色。

① 解析函数的导数仍然是解析函数：如果 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，则其导数 \(f'(z)\) 在 \(D\) 内也解析。这个性质表明解析函数具有无限次可导性。

② 解析函数的实部和虚部是调和函数：如果 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 在区域 \(D\) 内解析，且 \(u, v\) 具有二阶连续偏导数，则 \(u(x, y)\) 和 \(v(x, y)\) 都是调和函数 (Harmonic Function)，即它们满足 Laplace 方程 (Laplace Equation)：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \]
反之，如果 \(u(x, y)\) 是区域 \(D\) 内的调和函数，那么是否一定存在一个解析函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 呢？答案是肯定的，并且虚部 \(v(x, y)\) 可以通过 Cauchy-Riemann 方程确定，称 \(v(x, y)\) 为 \(u(x, y)\) 的共轭调和函数 (Harmonic Conjugate Function)。

③ 解析函数的局部性质：解析函数在局部具有许多良好的性质，例如，如果 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处解析，则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 的某个邻域内可以表示成幂级数 (Power Series) 展开 (Taylor 级数展开)。

④ 解析函数的整体性质：解析函数的整体行为也受到严格的约束，例如，解析延拓 (Analytic Continuation) 理论表明，一个区域上的解析函数可以唯一地延拓到更大的区域，只要延拓存在。

⑤ 保角性 (Conformality)：非零导数的解析函数具有保角性，即它们保持曲线之间的角度大小和方向不变。共形映射 (Conformal Mapping) 就是由解析函数定义的。

2.5 调和函数 (Harmonic Functions)

调和函数的定义 (Definition of Harmonic Function)

一个在区域 \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) 内具有二阶连续偏导数的实值函数 \(u(x, y)\)，如果满足 Laplace 方程 (Laplace Equation)：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
则称 \(u(x, y)\) 为区域 \(D\) 内的调和函数 (Harmonic Function)。Laplace 算子 \(\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\) 也常记为 \(\nabla^2\)。因此，Laplace 方程可以写成 \(\Delta u = 0\) 或 \(\nabla^2 u = 0\)。

调和函数与解析函数的关系

如前所述，解析函数的实部和虚部都是调和函数。反之，给定一个调和函数 \(u(x, y)\)，我们可以尝试找到一个调和函数 \(v(x, y)\)，使得 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 是解析函数。这样的 \(v(x, y)\) 称为 \(u(x, y)\) 的共轭调和函数。

共轭调和函数 (Harmonic Conjugate Function)

如果 \(u(x, y)\) 和 \(v(x, y)\) 满足 Cauchy-Riemann 方程，则 \(v(x, y)\) 是 \(u(x, y)\) 的共轭调和函数，\(u(x, y)\) 也是 \(-v(x, y)\) 的共轭调和函数。

求共轭调和函数的方法

给定调和函数 \(u(x, y)\)，我们可以利用 Cauchy-Riemann 方程来求其共轭调和函数 \(v(x, y)\)。由 Cauchy-Riemann 方程，我们有：
\[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} \]
从第一个方程积分得到：
\[ v(x, y) = \int \frac{\partial u}{\partial x} dy + \phi(x) \]
其中 \(\phi(x)\) 是关于 \(x\) 的任意函数。然后对 \(x\) 求偏导数：
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \int \frac{\partial u}{\partial x} dy \right) + \phi'(x) \]
根据 Cauchy-Riemann 方程的第二个方程，我们有 \(\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}\)。因此
\[ -\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \int \frac{\partial u}{\partial x} dy \right) + \phi'(x) \]
由此可以解出 \(\phi'(x)\)，再积分得到 \(\phi(x)\)。

例子

例 3：已知 \(u(x, y) = x^2 - y^2\)，验证 \(u(x, y)\) 是调和函数，并求其共轭调和函数 \(v(x, y)\)。
解：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2 \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2 \]
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 + (-2) = 0 \]
所以 \(u(x, y) = x^2 - y^2\) 是调和函数。

利用 Cauchy-Riemann 方程求 \(v(x, y)\)：
\[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \implies v(x, y) = \int 2x dy + \phi(x) = 2xy + \phi(x) \]
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = -(-2y) = 2y \]
同时，对 \(v(x, y) = 2xy + \phi(x)\) 求 \(x\) 的偏导数：
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2y + \phi'(x) \]
比较两式，得到 \(2y + \phi'(x) = 2y\)，所以 \(\phi'(x) = 0\)，\(\phi(x) = C\) (常数)。
因此，\(v(x, y) = 2xy + C\)。通常取 \(C = 0\)，得到 \(v(x, y) = 2xy\)。
对应的解析函数为 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x^2 - y^2) + i(2xy) = (x + iy)^2 = z^2\)。

调和函数在物理学和工程学中有很多应用，例如在流体力学、热传导、静电场等领域。复分析中调和函数的研究也为解决这些实际问题提供了理论基础和工具。

3. chapter 3：初等复变函数 (Elementary Complex Functions)

3.1 指数函数 (Exponential Function)

指数函数在实分析中是一个基础且重要的函数。在复分析中，我们将其扩展到复数域，并赋予它新的特性和应用。

3.1.1 复指数函数的定义 (Definition of Complex Exponential Function)

对于复数 \(z = x + iy\)，其中 \(x, y \in \mathbb{R}\)，复指数函数 \(e^z\) 或 \(\exp(z)\) 定义为：
\[ e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i \sin y) \]
这个定义基于实指数函数 \(e^x\) 和欧拉公式 \(e^{iy} = \cos y + i \sin y\)。

要点：
① 当 \(z = x\) 为实数时（即 \(y=0\)），\(e^z = e^x (\cos 0 + i \sin 0) = e^x\)，与实指数函数一致。
② 复指数函数将实指数函数的性质扩展到复数域。

3.1.2 复指数函数的性质 (Properties of Complex Exponential Function)

复指数函数具有许多与实指数函数相似但又有所不同的性质。

① 周期性 (Periodicity)：复指数函数是周期函数，周期为 \(2\pi i\)。
对于任意整数 \(k\)，有
\[ e^{z + 2\pi i k} = e^z e^{2\pi i k} = e^z (\cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k)) = e^z (1 + 0i) = e^z \]
这与实指数函数不同，实指数函数是单调递增的。

② 加法定理 (Addition Theorem)：对于任意复数 \(z_1\) 和 \(z_2\)，有
\[ e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} e^{z_2} \]
证明： 设 \(z_1 = x_1 + iy_1\) 和 \(z_2 = x_2 + iy_2\)。
\[ e^{z_1} e^{z_2} = e^{x_1} (\cos y_1 + i \sin y_1) \cdot e^{x_2} (\cos y_2 + i \sin y_2) \]
\[ = e^{x_1 + x_2} [(\cos y_1 \cos y_2 - \sin y_1 \sin y_2) + i (\sin y_1 \cos y_2 + \cos y_1 \sin y_2)] \]
利用三角恒等式 \(\cos(y_1 + y_2) = \cos y_1 \cos y_2 - \sin y_1 \sin y_2\) 和 \(\sin(y_1 + y_2) = \sin y_1 \cos y_2 + \cos y_1 \sin y_2\)，得到
\[ e^{z_1} e^{z_2} = e^{x_1 + x_2} [\cos(y_1 + y_2) + i \sin(y_1 + y_2)] = e^{(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)} = e^{z_1 + z_2} \]

③ 导数 (Derivative)：复指数函数是解析函数 (analytic function)，且其导数等于自身。
\[ \frac{d}{dz} e^z = e^z \]
证明： 设 \(f(z) = e^z = e^x \cos y + i e^x \sin y = u(x, y) + i v(x, y)\)，其中 \(u(x, y) = e^x \cos y\) 和 \(v(x, y) = e^x \sin y\)。
计算偏导数：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y \]
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y \]
验证 Cauchy-Riemann 方程 (Cauchy-Riemann Equations)：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \Leftrightarrow e^x \cos y = e^x \cos y \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \Leftrightarrow -e^x \sin y = -e^x \sin y \]
Cauchy-Riemann 方程成立，且偏导数连续，因此 \(f(z) = e^z\) 解析。
导数为：
\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \cos y + i e^x \sin y = e^z \]

④ 值域 (Range)：复指数函数的值域是 \(\mathbb{C} \setminus \{0\}\)，即复平面除去原点。
\(e^z = e^x (\cos y + i \sin y)\)，由于 \(e^x > 0\) 且 \(\cos y + i \sin y\) 可以取单位圆上的任意点，因此 \(e^z\) 可以取复平面上除原点外的任何值。但 \(e^z\) 永远不为 0，因为 \(|e^z| = |e^x (\cos y + i \sin y)| = e^x |\cos y + i \sin y| = e^x > 0\)。

⑤ \(e^z = 1\) 当且仅当 \(z = 2\pi i k\)，其中 \(k\) 是整数。
\(e^z = e^x (\cos y + i \sin y) = 1 = 1 + 0i\)。
则 \(e^x \cos y = 1\) 且 \(e^x \sin y = 0\)。
由于 \(e^x > 0\)，从 \(e^x \sin y = 0\) 得到 \(\sin y = 0\)，即 \(y = k\pi\)，\(k\) 为整数。
当 \(y = k\pi\) 时，\(\cos y = \cos(k\pi) = (-1)^k\)。
则 \(e^x \cos y = e^x (-1)^k = 1\)。由于 \(e^x > 0\)，必须有 \((-1)^k = 1\)，即 \(k\) 为偶数。设 \(k = 2n\)，\(n\) 为整数。
此时 \(\cos y = \cos(2n\pi) = 1\)，则 \(e^x \cos y = e^x = 1\)，得到 \(x = 0\)。
因此 \(z = x + iy = 0 + i(2n\pi) = 2\pi i n\)，其中 \(n\) 是整数。

3.1.3 例题 (Examples)

例 1：计算 \(e^{1 + i\pi/2}\)。
解：\(e^{1 + i\pi/2} = e^1 (\cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2)) = e (0 + i \cdot 1) = ei\)。

例 2：求解方程 \(e^z = -1\)。
解：设 \(z = x + iy\)。\(e^z = e^x (\cos y + i \sin y) = -1 = -1 + 0i\)。
则 \(e^x \cos y = -1\) 且 \(e^x \sin y = 0\)。
从 \(e^x \sin y = 0\) 得到 \(\sin y = 0\)，即 \(y = k\pi\)，\(k\) 为整数。
当 \(y = k\pi\) 时，\(\cos y = (-1)^k\)。
则 \(e^x \cos y = e^x (-1)^k = -1\)。由于 \(e^x > 0\)，必须有 \((-1)^k = -1\)，即 \(k\) 为奇数。设 \(k = 2n + 1\)，\(n\) 为整数。
此时 \(\cos y = \cos((2n+1)\pi) = -1\)，则 \(e^x \cos y = -e^x = -1\)，得到 \(e^x = 1\)，即 \(x = 0\)。
因此 \(z = x + iy = 0 + i(2n+1)\pi = (2n+1)\pi i\)，其中 \(n\) 是整数。
解集为 \(z = (2n+1)\pi i, n \in \mathbb{Z}\)。

3.2 三角函数 (Trigonometric Functions)

复三角函数是实三角函数的自然扩展，通过欧拉公式和指数函数定义。

3.2.1 复三角函数的定义 (Definition of Complex Trigonometric Functions)

利用欧拉公式 \(e^{iz} = \cos z + i \sin z\) 和 \(e^{-iz} = \cos z - i \sin z\)，我们可以解出 \(\cos z\) 和 \(\sin z\):
\[ \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \]
\[ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \]
其他三角函数如 \(\tan z\), \(\cot z\), \(\sec z\), \(\csc z\) 可以用 \(\sin z\) 和 \(\cos z\) 定义：
\[ \tan z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{-iz})} \]
\[ \cot z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{iz} + e^{-iz})}{e^{iz} - e^{-iz}} \]
\[ \sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}} \]
\[ \csc z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}} \]

要点：
① 当 \(z = x\) 为实数时，这些定义与实三角函数一致。
② 复三角函数通过复指数函数定义，继承了解析性。

3.2.2 复三角函数的性质 (Properties of Complex Trigonometric Functions)

复三角函数具有一些与实三角函数相似的性质，但也有显著的不同。

① 周期性 (Periodicity)：\(\sin z\) 和 \(\cos z\) 都是周期函数，周期为 \(2\pi\)。
例如，\(\cos(z + 2\pi) = \frac{e^{i(z+2\pi)} + e^{-i(z+2\pi)}}{2} = \frac{e^{iz} e^{i2\pi} + e^{-iz} e^{-i2\pi}}{2} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cos z\)。
同理可证 \(\sin(z + 2\pi) = \sin z\)。
\(\tan z\) 和 \(\cot z\) 是周期函数，周期为 \(\pi\)。

② 三角恒等式 (Trigonometric Identities)：许多实三角恒等式在复数域仍然成立。
例如：
⚝ \(\sin^2 z + \cos^2 z = 1\)
⚝ \(\sin(z_1 \pm z_2) = \sin z_1 \cos z_2 \pm \cos z_1 \sin z_2\)
⚝ \(\cos(z_1 \pm z_2) = \cos z_1 \cos z_2 \mp \sin z_1 \sin z_2\)
⚝ \(\sin(2z) = 2 \sin z \cos z\)
⚝ \(\cos(2z) = \cos^2 z - \sin^2 z = 2\cos^2 z - 1 = 1 - 2\sin^2 z\)

③ 导数 (Derivative)：
⚝ \(\frac{d}{dz} \sin z = \cos z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \cos z = -\sin z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \tan z = \sec^2 z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \cot z = -\csc^2 z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \sec z = \sec z \tan z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \csc z = -\csc z \cot z\)

④ 值域 (Range)：复 \(\sin z\) 和 \(\cos z\) 的值域是整个复平面 \(\mathbb{C}\)。与实 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 的值域 \([-1, 1]\) 不同。
例如，我们可以找到 \(z\) 使得 \(\cos z = 2\)。
\(\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = 2 \Rightarrow e^{iz} + e^{-iz} = 4 \Rightarrow (e^{iz})^2 - 4e^{iz} + 1 = 0\)。
令 \(w = e^{iz}\)，则 \(w^2 - 4w + 1 = 0\)。
解二次方程得到 \(w = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\)。
由于 \(2 \pm \sqrt{3} > 0\)，存在实数 \(x\) 使得 \(e^x = 2 \pm \sqrt{3}\)。
令 \(e^{iz} = 2 \pm \sqrt{3}\)，则 \(iz = \ln(2 \pm \sqrt{3}) + 2k\pi i\)，其中 \(k\) 是整数。
\(z = -i \ln(2 \pm \sqrt{3}) + 2k\pi\)。这是一个复数解。

⑤ 零点 (Zeros)：
⚝ \(\sin z = 0\) 当且仅当 \(z = k\pi\)，其中 \(k\) 是整数。
⚝ \(\cos z = 0\) 当且仅当 \(z = \frac{\pi}{2} + k\pi\)，其中 \(k\) 是整数。

3.2.3 与实三角函数的关系 (Relationship with Real Trigonometric Functions)

对于实数 \(x\)，复三角函数退化为实三角函数：
\[ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \]
当 \(z = iy\) 是纯虚数时，与双曲函数相关联。
\[ \cos(iy) = \frac{e^{i(iy)} + e^{-i(iy)}}{2} = \frac{e^{-y} + e^{y}}{2} = \cosh y \]
\[ \sin(iy) = \frac{e^{i(iy)} - e^{-i(iy)}}{2i} = \frac{e^{-y} - e^{y}}{2i} = \frac{e^{y} - e^{-y}}{2} i = i \sinh y \]

3.2.4 例题 (Examples)

例 1：计算 \(\cos(i)\) 和 \(\sin(i)\)。
解：\(\cos(i) = \cosh(1) = \frac{e^1 + e^{-1}}{2} = \frac{e + 1/e}{2} \approx 1.543\)
\(\sin(i) = i \sinh(1) = i \frac{e^1 - e^{-1}}{2} = i \frac{e - 1/e}{2} \approx 1.175i\)

例 2：求解方程 \(\sin z = 2\)。
解：\(\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = 2 \Rightarrow e^{iz} - e^{-iz} = 4i \Rightarrow (e^{iz})^2 - 4i e^{iz} - 1 = 0\)。
令 \(w = e^{iz}\)，则 \(w^2 - 4iw - 1 = 0\)。
解二次方程得到 \(w = \frac{4i \pm \sqrt{(-4i)^2 - 4(-1)}}{2} = \frac{4i \pm \sqrt{-16 + 4}}{2} = \frac{4i \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{4i \pm 2i\sqrt{3}}{2} = (2 \pm \sqrt{3})i\)。
所以 \(e^{iz} = (2 \pm \sqrt{3})i\)。
设 \(2 \pm \sqrt{3} = r > 0\)，\(i = e^{i\pi/2}\)。
\(e^{iz} = r e^{i\pi/2} = e^{\ln r + i(\pi/2 + 2k\pi)}\)，其中 \(k\) 是整数。
\(iz = \ln r + i(\pi/2 + 2k\pi)\)。
\(z = -i \ln r + (\pi/2 + 2k\pi)\)。
由于 \(r = 2 \pm \sqrt{3}\)，所以 \(\ln r = \ln(2 \pm \sqrt{3}) = \pm \ln(2 + \sqrt{3})\) (因为 \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1\)，所以 \(\ln(2-\sqrt{3}) = -\ln(2+\sqrt{3})\)).
因此，解为 \(z = (\pi/2 + 2k\pi) \mp i \ln(2 + \sqrt{3})\)，其中 \(k\) 是整数。

3.3 双曲函数 (Hyperbolic Functions)

复双曲函数与实双曲函数类似，通过复指数函数定义。

3.3.1 复双曲函数的定义 (Definition of Complex Hyperbolic Functions)

复双曲函数定义如下：
\[ \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} \]
\[ \sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \]
\[ \tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z} = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}} \]
\[ \coth z = \frac{\cosh z}{\sinh z} = \frac{e^z + e^{-z}}{e^z - e^{-z}} \]
\[ \operatorname{sech} z = \frac{1}{\cosh z} = \frac{2}{e^z + e^{-z}} \]
\[ \operatorname{csch} z = \frac{1}{\sinh z} = \frac{2}{e^z - e^{-z}} \]

要点：
① 当 \(z = x\) 为实数时，这些定义与实双曲函数一致。
② 复双曲函数通过复指数函数定义，也是解析函数。

3.3.2 复双曲函数的性质 (Properties of Complex Hyperbolic Functions)

复双曲函数与实双曲函数性质类似，并与复三角函数密切相关。

① 周期性 (Periodicity)：\(\cosh z\) 和 \(\sinh z\) 是周期函数，周期为 \(2\pi i\)。
例如，\(\cosh(z + 2\pi i) = \frac{e^{z+2\pi i} + e^{-(z+2\pi i)}}{2} = \frac{e^z e^{2\pi i} + e^{-z} e^{-2\pi i}}{2} = \frac{e^z + e^{-z}}{2} = \cosh z\)。
\(\tanh z\) 和 \(\coth z\) 是周期函数，周期为 \(\pi i\)。

② 双曲恒等式 (Hyperbolic Identities)：许多实双曲恒等式在复数域仍然成立。
例如：
⚝ \(\cosh^2 z - \sinh^2 z = 1\)
⚝ \(\sinh(z_1 \pm z_2) = \sinh z_1 \cosh z_2 \pm \cosh z_1 \sinh z_2\)
⚝ \(\cosh(z_1 \pm z_2) = \cosh z_1 \cosh z_2 \pm \sinh z_1 \sinh z_2\)
⚝ \(\sinh(2z) = 2 \sinh z \cosh z\)
⚝ \(\cosh(2z) = \cosh^2 z + \sinh^2 z = 2\cosh^2 z - 1 = 1 + 2\sinh^2 z\)

③ 导数 (Derivative)：
⚝ \(\frac{d}{dz} \sinh z = \cosh z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \tanh z = \operatorname{sech}^2 z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \coth z = -\operatorname{csch}^2 z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \operatorname{sech} z = -\operatorname{sech} z \tanh z\)
⚝ \(\frac{d}{dz} \operatorname{csch} z = -\operatorname{csch} z \coth z\)

④ 与三角函数的关系 (Relationship with Trigonometric Functions)：
⚝ \(\cosh(iz) = \cos z\)
⚝ \(\sinh(iz) = i \sin z\)
⚝ \(\cos(iz) = \cosh z\)
⚝ \(\sin(iz) = i \sinh z\)

⑤ 零点 (Zeros)：
⚝ \(\sinh z = 0\) 当且仅当 \(z = k\pi i\)，其中 \(k\) 是整数。
⚝ \(\cosh z = 0\) 当且仅当 \(z = (\frac{\pi}{2} + k\pi)i\)，其中 \(k\) 是整数。

3.3.3 例题 (Examples)

例 1：计算 \(\cosh(\pi i)\) 和 \(\sinh(\pi i)\)。
解：\(\cosh(\pi i) = \cos(\pi) = -1\)
\(\sinh(\pi i) = i \sin(\pi) = 0\)

例 2：求解方程 \(\cosh z = 1/2\)。
解：\(\cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^z + e^{-z} = 1 \Rightarrow (e^z)^2 - e^z + 1 = 0\)。
令 \(w = e^z\)，则 \(w^2 - w + 1 = 0\)。
解二次方程得到 \(w = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}\)。
所以 \(e^z = e^{\pm i\pi/3 + 2k\pi i}\)，其中 \(k\) 是整数。
\(z = \pm i\pi/3 + 2k\pi i = (2k \pm \frac{1}{3})\pi i\)，其中 \(k\) 是整数。

3.4 对数函数 (Logarithmic Function)

复对数函数是复指数函数的逆函数，但由于复指数函数的周期性，复对数函数是多值函数 (multivalued function)。

3.4.1 复对数函数的定义 (Definition of Complex Logarithmic Function)

对于非零复数 \(w\)，如果存在复数 \(z\) 使得 \(e^z = w\)，则称 \(z\) 为 \(w\) 的对数，记为 \(z = \log w\)。
设 \(w = r e^{i\theta}\) 为 \(w\) 的极坐标形式，其中 \(r = |w| > 0\) 和 \(\theta = \arg w\) 是辐角 (argument)。
设 \(z = x + iy\)，则 \(e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i \sin y) = w = r e^{i\theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta)\)。
比较模长和辐角，得到 \(e^x = r\) 和 \(y = \theta + 2k\pi\)，其中 \(k\) 是整数。
从 \(e^x = r\) 得到 \(x = \ln r = \ln |w|\)，其中 \(\ln\) 是实自然对数。
因此，复对数函数定义为：
\[ \log w = \ln |w| + i (\operatorname{Arg} w + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \]
其中 \(\operatorname{Arg} w\) 是 \(w\) 的主辐角 (principal argument)，通常取值范围为 \((-\pi, \pi]\) 或 \([0, 2\pi)\)。

要点：
① 复对数函数是多值函数，对于每个非零复数 \(w\)，有无穷多个对数值，对应于不同的整数 \(k\)。
② 当 \(w\) 为正实数时，主值（\(k=0\) 时，且主辐角取 0）与实自然对数一致。

3.4.2 主值对数 (Principal Value of Logarithm)

为了使对数函数成为单值函数 (single-valued function)，我们通常取 \(k = 0\) 并限制辐角 \(\theta\) 在主辐角范围内，得到主值对数 (principal value of logarithm)，记为 \(\operatorname{Log} w\)。
如果主辐角 \(\operatorname{Arg} w \in (-\pi, \pi]\)，则主值对数为：
\[ \operatorname{Log} w = \ln |w| + i \operatorname{Arg} w, \quad -\pi < \operatorname{Arg} w \leq \pi \]
如果主辐角 \(\operatorname{arg} w \in [0, 2\pi)\)，则主值对数为：
\[ \operatorname{Log} w = \ln |w| + i \operatorname{arg} w, \quad 0 \leq \operatorname{arg} w < 2\pi \]
（不同书籍可能采用不同的主辐角范围，这里采用 \((-\pi, \pi]\)）

3.4.3 复对数函数的性质 (Properties of Complex Logarithmic Function)

① 与指数函数互逆关系 (Inverse Relation with Exponential Function)：
⚝ \(e^{\log w} = w\) 对所有 \(w \neq 0\) 成立。
⚝ \(\log(e^z) = z + 2k\pi i\)，其中 \(k\) 是整数。主值 \(\operatorname{Log}(e^z) = z\) 仅当 \(-\pi < \operatorname{Im} z \leq \pi\) 时成立。

② 对数律 (Laws of Logarithms)：
⚝ \(\log(z_1 z_2) = \log z_1 + \log z_2\) (模 \(2\pi i\) 意义下相等，即集合相等)
⚝ \(\log(z_1 / z_2) = \log z_1 - \log z_2\) (模 \(2\pi i\) 意义下相等)
⚝ \(\log(z^n) \neq n \log z\) (一般不成立，因为左边是多值函数，右边也是多值函数，但集合不一定相等)

③ 导数 (Derivative)：在除去负实轴和原点的区域上，主值对数 \(\operatorname{Log} z\) 是解析的，且
\[ \frac{d}{dz} \operatorname{Log} z = \frac{1}{z} \]
证明： 设 \(w = \operatorname{Log} z = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z\)。
用极坐标表示 \(z = r e^{i\theta}\)，则 \(w = \ln r + i\theta\)。
反函数为 \(z = e^w = e^{\ln r + i\theta} = e^{\ln r} e^{i\theta} = r e^{i\theta}\)。
\(\frac{dz}{dw} = \frac{d}{dw} e^w = e^w = z\)。
根据反函数求导法则，\(\frac{dw}{dz} = \frac{1}{dz/dw} = \frac{1}{z}\)。

3.4.4 分支割线与分支点 (Branch Cuts and Branch Points)

由于复对数函数是多值函数，为了使其成为单值解析函数，我们需要引入分支割线 (branch cut) 和分支点 (branch point) 的概念。
对于对数函数 \(\log z\)，原点 \(z = 0\) 是分支点。负实轴（或正实轴，或任何从原点出发的射线）可以作为分支割线。
在除去分支割线的复平面上，我们可以定义对数函数的一个单值分支 (single-valued branch)。主值对数 \(\operatorname{Log} z\) 就是在除去负实轴上的一个单值分支。

3.4.5 例题 (Examples)

例 1：计算 \(\log(-1)\) 和 \(\operatorname{Log}(-1)\)。
解：\(|-1| = 1\)，\(\operatorname{Arg}(-1) = \pi\)。
\(\log(-1) = \ln |-1| + i (\operatorname{Arg}(-1) + 2k\pi) = \ln 1 + i (\pi + 2k\pi) = (2k+1)\pi i\)，\(k \in \mathbb{Z}\)。
\(\operatorname{Log}(-1) = \ln |-1| + i \operatorname{Arg}(-1) = \ln 1 + i \pi = \pi i\)。

例 2：计算 \(\log(1+i)\) 和 \(\operatorname{Log}(1+i)\)。
解：\(|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)，\(\operatorname{Arg}(1+i) = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}\)。
\(\log(1+i) = \ln |1+i| + i (\operatorname{Arg}(1+i) + 2k\pi) = \ln \sqrt{2} + i (\frac{\pi}{4} + 2k\pi) = \frac{1}{2} \ln 2 + i (\frac{\pi}{4} + 2k\pi)\)，\(k \in \mathbb{Z}\)。
\(\operatorname{Log}(1+i) = \ln |1+i| + i \operatorname{Arg}(1+i) = \frac{1}{2} \ln 2 + i \frac{\pi}{4}\)。

3.5 幂函数与多值函数 (Power Functions and Multivalued Functions)

复幂函数可以利用复指数函数和复对数函数定义，通常是多值函数。

3.5.1 复幂函数的定义 (Definition of Complex Power Functions)

对于复数 \(c\) 和 \(z \neq 0\)，复幂函数 \(z^c\) 定义为：
\[ z^c = e^{c \log z} \]
由于 \(\log z\) 是多值函数，因此 \(z^c\) 一般也是多值函数。

要点：
① 当 \(c\) 是整数 \(n\) 时，\(z^n\) 是单值函数，与通常的幂函数一致。
② 当 \(c\) 是有理数 \(p/q\) 时，\(z^{p/q}\) 通常有 \(q\) 个不同的值。
③ 当 \(c\) 是无理数或复数时，\(z^c\) 通常有无穷多个不同的值。

3.5.2 单值分支 (Single-valued Branch)

为了得到单值函数，我们可以使用主值对数 \(\operatorname{Log} z\) 定义主值幂函数 (principal value of power function)：
\[ z^c = e^{c \operatorname{Log} z} \]
这个主值幂函数是在除去分支割线（例如负实轴）的区域上定义的单值解析函数。

3.5.3 特殊情况 (Special Cases)

① 整数幂 (Integer Power)：当 \(c = n\) 是整数时，
\[ z^n = e^{n \log z} = e^{n (\ln |z| + i (\operatorname{Arg} z + 2k\pi))} = e^{n \ln |z|} e^{in (\operatorname{Arg} z + 2k\pi)} = |z|^n e^{in \operatorname{Arg} z} e^{i 2k n \pi} = |z|^n e^{in \operatorname{Arg} z} \]
由于 \(e^{i 2k n \pi} = 1\)，\(z^n\) 是单值函数，与通常的幂函数一致。

② 分数幂 (Fractional Power)：当 \(c = 1/n\)，其中 \(n\) 是正整数时，
\[ z^{1/n} = e^{\frac{1}{n} \log z} = e^{\frac{1}{n} (\ln |z| + i (\operatorname{Arg} z + 2k\pi))} = |z|^{1/n} e^{i \frac{\operatorname{Arg} z + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \]
对于每个 \(z \neq 0\)，\(z^{1/n}\) 有 \(n\) 个不同的值，对应于 \(k = 0, 1, \ldots, n-1\)。

3.5.4 导数 (Derivative)

对于主值幂函数 \(f(z) = z^c = e^{c \operatorname{Log} z}\)，在除去分支割线的区域上，其导数为：
\[ \frac{d}{dz} z^c = \frac{d}{dz} e^{c \operatorname{Log} z} = e^{c \operatorname{Log} z} \cdot \frac{d}{dz} (c \operatorname{Log} z) = z^c \cdot c \cdot \frac{1}{z} = c z^{c-1} \]
这里 \(z^{c-1}\) 也应理解为主值幂函数 \(e^{(c-1) \operatorname{Log} z}\)。

3.5.5 例题 (Examples)

例 1：计算 \((-1)^{1/2}\)。
解：\((-1)^{1/2} = e^{\frac{1}{2} \log(-1)} = e^{\frac{1}{2} (\ln |-1| + i (\operatorname{Arg}(-1) + 2k\pi))} = e^{\frac{1}{2} (0 + i (\pi + 2k\pi))} = e^{i (\frac{\pi}{2} + k\pi)}\)，\(k = 0, 1\)。
当 \(k = 0\) 时，\(e^{i \pi/2} = \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) = i\)。
当 \(k = 1\) 时，\(e^{i (\pi/2 + \pi)} = e^{i 3\pi/2} = \cos(3\pi/2) + i \sin(3\pi/2) = -i\)。
所以 \((-1)^{1/2} = \{i, -i\}\)。

例 2：计算 \(i^i\)。
解：\(i^i = e^{i \log i} = e^{i (\ln |i| + i (\operatorname{Arg} i + 2k\pi))} = e^{i (\ln 1 + i (\frac{\pi}{2} + 2k\pi))} = e^{i (0 + i (\frac{\pi}{2} + 2k\pi))} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}\)，\(k \in \mathbb{Z}\)。
\(i^i\) 有无穷多个实数值，主值为 \(e^{-\pi/2}\)。

例 3：求函数 \(f(z) = z^{1+i}\) 的导数。
解：\(f(z) = z^{1+i} = e^{(1+i) \operatorname{Log} z}\)。
\(f'(z) = (1+i) z^{(1+i)-1} = (1+i) z^i\)。
其中 \(z^i = e^{i \operatorname{Log} z}\)。

This chapter provides a comprehensive introduction to elementary complex functions, including exponential, trigonometric, hyperbolic, logarithmic, and power functions. It covers their definitions, properties, relationships, and examples, laying the foundation for further study in complex analysis.

4. chapter 4：复积分 (Complex Integration)

4.1 复积分的定义 (Definition of Complex Integral)

在实分析中，我们熟悉了实函数的积分。复积分是实积分概念在复数域上的自然推广。它不仅是复分析理论的核心组成部分，也是理解解析函数性质的关键工具。本节将从路径 (path) 的概念出发，严格定义复积分，并探讨其基本性质。

首先，我们需要明确路径的概念。在复平面 \( \mathbb{C} \) 上，一条参数曲线 (parameterized curve) \( \gamma \) 是指一个从闭区间 \( [a, b] \subseteq \mathbb{R} \) 到复平面 \( \mathbb{C} \) 的连续函数 \( \gamma: [a, b] \rightarrow \mathbb{C} \)。我们通常将 \( t \in [a, b] \) 映射到复数 \( \gamma(t) = x(t) + iy(t) \)，其中 \( x(t) \) 和 \( y(t) \) 都是实值函数。

如果 \( \gamma(a) = z_0 \) 且 \( \gamma(b) = z_1 \)，则称 \( \gamma \) 是从 \( z_0 \) 到 \( z_1 \) 的一条路径。如果 \( \gamma'(t) \) 存在且连续，并且在 \( [a, b] \) 上 \( \gamma'(t) \neq 0 \) (除了可能的端点)，则称 \( \gamma \) 为光滑路径 (smooth path)。如果一条路径是由有限条光滑路径首尾相连而成，则称其为分段光滑路径 (piecewise smooth path)。在复积分中，我们通常考虑分段光滑路径。

现在，我们来定义复积分。设 \( f(z) \) 是定义在包含路径 \( \gamma \) 的区域上的复变函数，\( \gamma: [a, b] \rightarrow \mathbb{C} \) 是一条分段光滑路径。我们将区间 \( [a, b] \) 分割成 \( n \) 个小区间 \( [t_{k-1}, t_k] \)，其中 \( a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b \)。在每个小区间 \( [t_{k-1}, t_k] \) 上选取一点 \( \tau_k \in [t_{k-1}, t_k] \)，并令 \( \Delta t_k = t_k - t_{k-1} \)。考虑黎曼和 (Riemann sum)：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\gamma(\tau_k)) (\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})) \]
当分割越来越细，即 \( \max_{k} \Delta t_k \rightarrow 0 \) 时，如果黎曼和 \( S_n \) 的极限存在，则定义 \( f(z) \) 沿路径 \( \gamma \) 的复积分 (complex integral) 为：
\[ \int_{\gamma} f(z) dz = \lim_{\max \Delta t_k \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(\gamma(\tau_k)) (\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})) \]

为了更便于计算，我们可以将复积分转化为实积分。设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 和 \( dz = dx + i dy \)，其中 \( z = x + iy \)。则
\[ f(z) dz = (u + iv)(dx + idy) = (u dx - v dy) + i(v dx + u dy) \]
因此，复积分可以写成两个实线积分之和：
\[ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma} (u dx - v dy) + i \int_{\gamma} (v dx + u dy) \]
更具体地，如果 \( \gamma(t) = x(t) + iy(t) \)，\( a \leq t \leq b \)，则 \( dz = \gamma'(t) dt = (x'(t) + iy'(t)) dt \)，并且 \( f(\gamma(t)) = u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)) \)。复积分可以表示为：
\[ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt = \int_{a}^{b} [u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))] [x'(t) + iy'(t)] dt \]
展开并分离实部和虚部，我们得到：
\[ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} [u(x(t), y(t))x'(t) - v(x(t), y(t))y'(t)] dt + i \int_{a}^{b} [v(x(t), y(t))x'(t) + u(x(t), y(t))y'(t)] dt \]

例 1：计算积分 \( \int_{\gamma} z^2 dz \)，其中 \( \gamma \) 是从 \( z = 0 \) 到 \( z = 1 + i \) 的直线段。

解：直线段 \( \gamma \) 可以参数化为 \( \gamma(t) = (1+i)t \)，\( 0 \leq t \leq 1 \)。则 \( \gamma'(t) = 1 + i \)，\( z = (1+i)t \)，\( z^2 = (1+i)^2 t^2 = (1 + 2i - 1)t^2 = 2it^2 \)。
\[ \int_{\gamma} z^2 dz = \int_{0}^{1} (2it^2) (1+i) dt = \int_{0}^{1} (2it^2 - 2t^2) dt = \int_{0}^{1} -2t^2 dt + i \int_{0}^{1} 2t^2 dt \]
\[ = \left[ -\frac{2}{3} t^3 \right]_{0}^{1} + i \left[ \frac{2}{3} t^3 \right]_{0}^{1} = -\frac{2}{3} + i \frac{2}{3} = \frac{2}{3} (-1 + i) \]

复积分的基本性质：

① 线性性 (Linearity)：对于常数 \( c_1, c_2 \in \mathbb{C} \) 和函数 \( f(z), g(z) \)，有
\[ \int_{\gamma} [c_1 f(z) + c_2 g(z)] dz = c_1 \int_{\gamma} f(z) dz + c_2 \int_{\gamma} g(z) dz \]

② 路径反向性 (Path Reversal)：设 \( -\gamma \) 表示路径 \( \gamma \) 的反向路径，则
\[ \int_{-\gamma} f(z) dz = - \int_{\gamma} f(z) dz \]

③ 路径可加性 (Path Additivity)：设路径 \( \gamma \) 由路径 \( \gamma_1 \) 和 \( \gamma_2 \) 首尾相连而成，则
\[ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz + \int_{\gamma_2} f(z) dz \]

④ 模长不等式 (ML-inequality)：如果 \( f(z) \) 在路径 \( \gamma \) 上连续，且 \( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \in \gamma \) 成立，\( L \) 是路径 \( \gamma \) 的长度，则
\[ \left| \int_{\gamma} f(z) dz \right| \leq M L \]
其中路径 \( \gamma \) 的长度 \( L = \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| dt \)。

这些性质为我们计算和分析复积分提供了便利。在后续章节中，我们将看到复积分在复分析理论中的核心作用。

4.2 Cauchy 积分定理 (Cauchy's Integral Theorem)

Cauchy 积分定理是复分析中最 фундаментальных (fundamental) 定理之一。它揭示了解析函数沿闭路径积分的一个 удивительный (amazing) 性质：在一定条件下，解析函数沿闭路径的积分值为零。这个定理不仅简化了复积分的计算，也是推导 Cauchy 积分公式和留数定理的基础。为了理解 Cauchy 积分定理，我们首先需要明确单连通区域和多连通区域的概念。

4.2.1 单连通区域与多连通区域 (Simply Connected and Multiply Connected Domains)

在复平面 \( \mathbb{C} \) 中，区域 (domain) 是指一个连通的开集。直观上，连通意味着区域是“一块”而不是“多块”。单连通区域和多连通区域的区别在于区域内“洞”的个数。

单连通区域 (simply connected domain)：一个区域 \( D \) 被称为单连通的，如果 \( D \) 内的每一条简单闭曲线 (simple closed curve) 的内部都包含在 \( D \) 内。换句话说，单连通区域“没有洞”。

多连通区域 (multiply connected domain)：如果一个区域不是单连通的，则称其为多连通区域。多连通区域“有洞”。

更 формально (formally) 地定义单连通性需要用到同伦 (homotopy) 的概念，但 для наших целей (for our purposes)，上述直观定义已经足够。

例子：

① 单连通区域：
⚝ 整个复平面 \( \mathbb{C} \) 是单连通的。
⚝ 开圆盘 \( D(z_0, R) = \{z : |z - z_0| < R\} \) 是单连通的。
⚝ 开矩形区域 \( \{z = x + iy : a < x < b, c < y < d\} \) 是单连通的。
⚝ 星形区域 (star domain) 是单连通的。（如果区域 \( D \) 是星形区域，则存在一点 \( z_0 \in D \)，使得对于 \( D \) 中任意一点 \( z \)，连接 \( z_0 \) 和 \( z \) 的直线段都包含在 \( D \) 内。）

② 多连通区域：
⚝ 圆环域 (annulus) \( \{z : r < |z - z_0| < R\} \) (其中 \( 0 < r < R \)) 是多连通的，它有一个“洞”。
⚝ 穿孔圆盘 (punctured disk) \( D(z_0, R) \setminus \{z_0\} = \{z : 0 < |z - z_0| < R\} \) 是多连通的，中心点 \( z_0 \) 处有一个“洞”。
⚝ 复平面挖去一条射线 \( \mathbb{C} \setminus \{z : \text{Re}(z) \geq 0, \text{Im}(z) = 0\} \) 是单连通的。（虽然看起来像有“割缝”，但它仍然是单连通的，因为任何闭曲线的内部都在区域内。）
⚝ 复平面挖去两个点 \( \mathbb{C} \setminus \{z_1, z_2\} \) (其中 \( z_1 \neq z_2 \)) 是多连通的，它有两个“洞”。

理解单连通和多连通区域对于正确应用 Cauchy 积分定理至关重要。Cauchy 积分定理在单连通区域和多连通区域的形式略有不同。

4.2.2 Cauchy-Goursat 定理 (Cauchy-Goursat Theorem)

Cauchy-Goursat 定理 (Cauchy-Goursat Theorem) 是 Cauchy 积分定理的一个更一般的形式，它弱化了导数连续的条件，只需要解析性。

定理 4.2.1 (Cauchy-Goursat 定理)：设 \( D \) 是单连通区域，\( \gamma \) 是 \( D \) 内的简单闭曲线 (simple closed curve)。如果函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内解析 (analytic)，则
\[ \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \]
其中 \( \oint_{\gamma} \) 表示沿闭曲线 \( \gamma \) 的积分。

证明思路 (Sketch of Proof)：对于导数连续的情况，我们可以使用 Green 公式来证明 Cauchy 积分定理。设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，\( \gamma \) 是 \( xy \) 平面上的简单闭曲线，围成区域 \( R \)。如果 \( f'(z) \) 在 \( D \) 内连续，则 \( u, v \) 的偏导数存在且连续，并且满足 Cauchy-Riemann 方程：\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) 和 \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)。
根据复积分的定义，
\[ \oint_{\gamma} f(z) dz = \oint_{\gamma} (u dx - v dy) + i \oint_{\gamma} (v dx + u dy) \]
应用 Green 公式，对于平面区域 \( R \) 和边界 \( \gamma = \partial R \)，有
\[ \oint_{\gamma} (P dx + Q dy) = \iint_{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy \]
对于实部积分，取 \( P = u, Q = -v \)，则
\[ \oint_{\gamma} (u dx - v dy) = \iint_{R} \left( \frac{\partial (-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx dy = - \iint_{R} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx dy \]
由于 Cauchy-Riemann 方程 \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)，所以 \( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)。因此，实部积分为零。

对于虚部积分，取 \( P = v, Q = u \)，则
\[ \oint_{\gamma} (v dx + u dy) = \iint_{R} \left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) dx dy \]
由于 Cauchy-Riemann 方程 \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)，所以 \( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \)。因此，虚部积分也为零。

综合实部和虚部，我们得到 \( \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \)。

Goursat 推广了这个定理，证明了即使不假设 \( f'(z) \) 连续，只要 \( f(z) \) 在 \( D \) 内解析（即在每一点可导），结论仍然成立。Goursat 的证明方法更为 фундаментальный (fundamental)，它不依赖于 Green 公式，而是直接利用解析函数的定义和三角形分割的方法。详细的 Goursat 证明较为复杂，超出本书的范围，感兴趣的读者可以查阅相关文献。

Cauchy-Goursat 定理的意义：

① 积分与路径无关性：在单连通区域 \( D \) 内，如果 \( f(z) \) 解析，则从 \( z_1 \) 到 \( z_2 \) 的积分 \( \int_{\gamma} f(z) dz \) 的值与连接 \( z_1 \) 和 \( z_2 \) 的路径 \( \gamma \) 的选择无关，只取决于起点 \( z_1 \) 和终点 \( z_2 \)。这是因为对于任意两条从 \( z_1 \) 到 \( z_2 \) 的路径 \( \gamma_1 \) 和 \( \gamma_2 \)，闭曲线 \( \gamma = \gamma_1 - \gamma_2 \) (即 \( \gamma_1 \) 正向，\( \gamma_2 \) 反向连接) 围成区域在 \( D \) 内，根据 Cauchy-Goursat 定理，\( \oint_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz - \int_{\gamma_2} f(z) dz = 0 \)，所以 \( \int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_{\gamma_2} f(z) dz \)。

② 原函数的存在性：在单连通区域 \( D \) 内，如果 \( f(z) \) 解析，则存在原函数 (antiderivative) \( F(z) \)，使得 \( F'(z) = f(z) \)。原函数可以表示为路径积分的形式：\( F(z) = \int_{z_0}^{z} f(\zeta) d\zeta \)，其中 \( z_0 \) 是 \( D \) 内的固定点，积分路径可以任意选取。利用原函数，我们可以像实积分一样计算复积分：\( \int_{\gamma} f(z) dz = F(z_1) - F(z_0) \)，其中 \( \gamma \) 是从 \( z_0 \) 到 \( z_1 \) 的路径。

例 2：计算积分 \( \oint_{\gamma} e^z dz \)，其中 \( \gamma \) 是任意闭曲线。

解：指数函数 \( e^z \) 在整个复平面 \( \mathbb{C} \) 上解析，\( \mathbb{C} \) 是单连通区域。根据 Cauchy-Goursat 定理，对于任意闭曲线 \( \gamma \)，都有 \( \oint_{\gamma} e^z dz = 0 \)。

例 3：计算积分 \( \int_{\gamma} \frac{1}{z} dz \)，其中 \( \gamma \) 是单位圆周 \( |z| = 1 \)，逆时针方向。

解：函数 \( f(z) = \frac{1}{z} \) 在穿孔复平面 \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \) 上解析，但在原点 \( z = 0 \) 处不解析。单位圆周 \( \gamma \) 包含原点在其内部，区域 \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \) 不是单连通区域（因为挖去了原点这个“洞”）。因此，我们不能直接应用 Cauchy-Goursat 定理。

参数化单位圆周 \( \gamma(t) = e^{it} = \cos t + i \sin t \)，\( 0 \leq t \leq 2\pi \)，\( \gamma'(t) = ie^{it} \)。
\[ \int_{\gamma} \frac{1}{z} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} (ie^{it}) dt = \int_{0}^{2\pi} i dt = [it]_{0}^{2\pi} = 2\pi i \]
结果不为零，这与 Cauchy-Goursat 定理并不矛盾，因为 \( f(z) = \frac{1}{z} \) 在单位圆盘内部（包含原点）不是解析的。

对于多连通区域，Cauchy 积分定理需要进行修正，我们将在后续章节中讨论。

4.3 Cauchy 积分公式 (Cauchy's Integral Formula)

Cauchy 积分公式是复分析中另一个极其重要的定理，它建立了解析函数在区域内部的值与其在边界上的积分值之间的联系。Cauchy 积分公式不仅是理论上的重要结果，也是计算积分和研究解析函数性质的有力工具。

定理 4.3.1 (Cauchy 积分公式)：设 \( D \) 是单连通区域，\( \gamma \) 是 \( D \) 内的简单闭曲线，逆时针方向。如果函数 \( f(z) \) 在 \( D \) 内解析，且在 \( \gamma \) 及其内部连续 (continuous)，\( z_0 \) 是 \( \gamma \) 内部任意一点，则
\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} dz \]
或者等价地，
\[ \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i f(z_0) \]

证明思路 (Sketch of Proof)：考虑积分 \( \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} dz \)。由于 \( z_0 \) 是 \( \gamma \) 内部的点，函数 \( \frac{f(z)}{z - z_0} \) 在 \( z = z_0 \) 处不解析。我们不能直接应用 Cauchy-Goursat 定理。

在 \( z_0 \) 周围取一个充分小的圆 \( C_{\epsilon} : |z - z_0| = \epsilon \)，逆时针方向，使得 \( C_{\epsilon} \) 完全包含在 \( \gamma \) 的内部。考虑区域 \( R \) 为 \( \gamma \) 内部挖去圆盘 \( C_{\epsilon} \) 后的区域，在 \( R \) 上，函数 \( \frac{f(z)}{z - z_0} \) 是解析的。根据多连通区域的 Cauchy 积分定理（将在后续章节详细讨论，这里先直观使用），沿 \( \gamma \) 正向和 \( C_{\epsilon} \) 负向的积分之和为零：
\[ \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} dz - \oint_{C_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 0 \]
因此，
\[ \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \oint_{C_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z - z_0} dz \]
在 \( C_{\epsilon} \) 上，\( z = z_0 + \epsilon e^{it} \)，\( dz = i\epsilon e^{it} dt \)，\( z - z_0 = \epsilon e^{it} \)。
\[ \oint_{C_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{f(z_0 + \epsilon e^{it})}{\epsilon e^{it}} (i\epsilon e^{it}) dt = \int_{0}^{2\pi} i f(z_0 + \epsilon e^{it}) dt \]
由于 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续，当 \( \epsilon \rightarrow 0 \) 时，\( f(z_0 + \epsilon e^{it}) \rightarrow f(z_0) \)。因此，
\[ \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \oint_{C_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \int_{0}^{2\pi} i f(z_0) dt = i f(z_0) \int_{0}^{2\pi} dt = 2\pi i f(z_0) \]
所以，\( \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i f(z_0) \)，即 \( f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} dz \)。

Cauchy 积分公式的推广：

Cauchy 积分公式不仅给出了 \( f(z_0) \) 的积分表示，还可以推广到高阶导数。通过对 Cauchy 积分公式关于 \( z_0 \) 求导 (在积分号下求导是允许的)，可以得到Cauchy 积分公式的导数形式：
\[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz, \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]
其中 \( f^{(n)}(z_0) \) 表示 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的 \( n \) 阶导数，\( f^{(0)}(z_0) = f(z_0) \)，\( 0! = 1 \)。

Cauchy 积分公式的意义：

① 解析函数的无穷可微性：Cauchy 积分公式的导数形式表明，如果 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内解析，则 \( f(z) \) 在 \( D \) 内任意阶可导，并且其导数仍然是解析函数。这是解析函数的一个非常重要的性质，与实函数有本质区别。

② 计算积分：Cauchy 积分公式及其导数形式可以用来计算某些特殊形式的复积分。

例 4：计算积分 \( \oint_{\gamma} \frac{e^z}{z - 2} dz \)，其中 \( \gamma \) 是圆周 \( |z - 1| = 3 \)，逆时针方向。

解：函数 \( f(z) = e^z \) 在整个复平面上解析。点 \( z_0 = 2 \) 在圆周 \( |z - 1| = 3 \) 的内部。根据 Cauchy 积分公式，
\[ \oint_{\gamma} \frac{e^z}{z - 2} dz = 2\pi i f(2) = 2\pi i e^2 \]

例 5：计算积分 \( \oint_{\gamma} \frac{\cos z}{(z - \pi)^3} dz \)，其中 \( \gamma \) 是圆周 \( |z - \pi| = 1 \)，逆时针方向。

解：函数 \( f(z) = \cos z \) 在整个复平面上解析。点 \( z_0 = \pi \) 在圆周 \( |z - \pi| = 1 \) 的内部。根据 Cauchy 积分公式的导数形式 (取 \( n = 2 \))，
\[ \oint_{\gamma} \frac{\cos z}{(z - \pi)^3} dz = \frac{2\pi i}{2!} f^{(2)}(\pi) \]
\( f(z) = \cos z \)，\( f'(z) = -\sin z \)，\( f''(z) = -\cos z \)。\( f''(\pi) = -\cos \pi = -(-1) = 1 \)。
\[ \oint_{\gamma} \frac{\cos z}{(z - \pi)^3} dz = \frac{2\pi i}{2} \cdot 1 = \pi i \]

4.4 Morera 定理与 Liouville 定理 (Morera's Theorem and Liouville's Theorem)

本节介绍两个与 Cauchy 积分定理和 Cauchy 积分公式密切相关的定理：Morera 定理和 Liouville 定理。Morera 定理是 Cauchy-Goursat 定理的逆定理，它提供了解析性的一个积分判据。Liouville 定理则描述了有界整函数的性质，是 Cauchy 积分公式的重要应用。

定理 4.4.1 (Morera 定理)：设 \( D \) 是一个区域。如果函数 \( f(z) \) 在 \( D \) 内连续 (continuous)，并且对于 \( D \) 内的每一条三角形闭路径 \( T \)，都有 \( \oint_{T} f(z) dz = 0 \)，则 \( f(z) \) 在 \( D \) 内解析 (analytic)。

证明思路 (Sketch of Proof)：Morera 定理是 Cauchy-Goursat 定理的逆定理。Cauchy-Goursat 定理说，如果 \( f(z) \) 在单连通区域 \( D \) 内解析，则沿 \( D \) 内任意闭曲线积分值为零。Morera 定理反过来，如果沿任意三角形闭路径积分值为零（实际上，沿任意闭曲线积分值为零），则 \( f(z) \) 解析。

根据积分与路径无关性，如果沿任意闭曲线积分值为零，则积分 \( F(z) = \int_{z_0}^{z} f(\zeta) d\zeta \) 与路径选择无关，只取决于起点 \( z_0 \) 和终点 \( z \)。可以证明，函数 \( F(z) \) 的导数存在，且 \( F'(z) = f(z) \)。由于 \( f(z) \) 连续，可以证明 \( F'(z) = f(z) \) 是连续的。更进一步，可以证明 \( F'(z) = f(z) \) 是解析的，从而 \( f(z) \) 也是解析的。详细证明需要用到微分积分基本定理和极限的精细分析。

Morera 定理的意义：

① 解析性的积分判据：Morera 定理提供了一种判断函数是否解析的方法，只需要验证函数的连续性和沿三角形闭路径的积分是否为零。在某些情况下，验证积分条件比直接验证可导性更方便。

② 证明解析性：Morera 定理常用于证明某些通过积分定义的函数是解析的。

定理 4.4.2 (Liouville 定理)：有界整函数 (bounded entire function) 必为常数。

定义：整函数 (entire function) 是指在整个复平面 \( \mathbb{C} \) 上解析的函数。

Liouville 定理 的意思是，如果一个函数在整个复平面上解析，并且其模长 \( |f(z)| \) 有一个上界 (即存在常数 \( M > 0 \) 使得 \( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \in \mathbb{C} \) 成立)，那么这个函数一定是常数函数。

证明：设 \( f(z) \) 是有界整函数，即存在 \( M > 0 \) 使得 \( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \in \mathbb{C} \) 成立。任取两点 \( z_1, z_2 \in \mathbb{C} \)。考虑以 \( z_1 \) 为中心，半径 \( R \) 的圆周 \( C_R : |z - z_1| = R \)，逆时针方向，其中 \( R > |z_2 - z_1| \)。根据 Cauchy 积分公式的导数形式 (取 \( n = 1 \))，
\[ f'(z_1) = \frac{1!}{2\pi i} \oint_{C_R} \frac{f(z)}{(z - z_1)^2} dz \]
利用 ML-不等式，估计 \( |f'(z_1)| \) 的上界。在 \( C_R \) 上，\( |z - z_1| = R \)，\( |z - z_1|^2 = R^2 \)，\( |f(z)| \leq M \)。圆周 \( C_R \) 的长度为 \( L = 2\pi R \)。
\[ |f'(z_1)| = \left| \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_R} \frac{f(z)}{(z - z_1)^2} dz \right| \leq \frac{1}{2\pi} \frac{M}{R^2} \cdot 2\pi R = \frac{M}{R} \]
这个不等式对任意 \( R > |z_2 - z_1| \) 都成立。令 \( R \rightarrow \infty \)，则 \( \frac{M}{R} \rightarrow 0 \)。因此，\( |f'(z_1)| \leq 0 \)，即 \( f'(z_1) = 0 \)。由于 \( z_1 \) 是任意选取的点，所以对于所有 \( z \in \mathbb{C} \)，都有 \( f'(z) = 0 \)。这意味着 \( f(z) \) 是常数函数。

Liouville 定理的意义：

① 整函数的性质：Liouville 定理揭示了整函数的一个重要性质：有界整函数必为常数。这说明非常数整函数一定是无界的。

② 代数基本定理的证明：Liouville 定理可以用来证明代数基本定理：任何非常数复系数多项式 \( P(z) \) 至少有一个复根。证明思路是反证法。假设多项式 \( P(z) \) 没有复根，则 \( f(z) = \frac{1}{P(z)} \) 是整函数。当 \( |z| \rightarrow \infty \) 时，\( |P(z)| \rightarrow \infty \)，所以 \( |f(z)| = \frac{1}{|P(z)|} \rightarrow 0 \)。因此，\( f(z) \) 是有界整函数。根据 Liouville 定理，\( f(z) \) 必为常数，从而 \( P(z) = \frac{1}{f(z)} \) 也为常数，这与 \( P(z) \) 是非常数多项式矛盾。因此，\( P(z) \) 必须有复根。

总结：本章我们系统地介绍了复积分的概念、Cauchy 积分定理、Cauchy 积分公式、Morera 定理和 Liouville 定理。这些定理是复分析的基础和核心内容，为我们进一步研究解析函数的性质和应用奠定了坚实的基础。复积分不仅是理论研究的重要工具，也在工程、物理等领域有着广泛的应用。

5. chapter 5：级数表示 (Series Representations of Functions)

5.1 复数项级数 (Series of Complex Numbers)

在实数分析中，级数是研究函数性质的重要工具。同样地，在复分析中，级数表示 (Series Representations) 也扮演着至关重要的角色。本章将系统地介绍复数项级数、幂级数、泰勒 (Taylor) 级数和洛朗 (Laurent) 级数，并探讨它们在复变函数理论中的应用。首先，我们从复数项级数 (Series of Complex Numbers) 开始。

定义 5.1.1 (复数项级数)：给定一个复数序列 \( \{z_n\}_{n=1}^\infty \)，将这些复数依次用加号连接起来得到的表达式
\[ \sum_{n=1}^\infty z_n = z_1 + z_2 + z_3 + \cdots \]
称为复数项级数 (series of complex numbers)，简称为复级数 (complex series)。

对于复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \)，我们定义其部分和序列 (sequence of partial sums) \( \{S_N\}_{N=1}^\infty \) 为
\[ S_N = \sum_{n=1}^N z_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_N. \]

定义 5.1.2 (复级数的收敛)：若复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 的部分和序列 \( \{S_N\}_{N=1}^\infty \) 收敛于某个复数 \( S \)，即 \( \lim_{N \to \infty} S_N = S \)，则称复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 收敛 (converges)，并称 \( S \) 为该级数的和 (sum)，记作 \( \sum_{n=1}^\infty z_n = S \)。若部分和序列 \( \{S_N\}_{N=1}^\infty \) 不收敛，则称复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 发散 (diverges)。

复级数的收敛性可以归结为实级数的收敛性。设 \( z_n = x_n + iy_n \)，\( S_N = X_N + iY_N \)，\( S = X + iY \)，其中 \( x_n, y_n, X_N, Y_N, X, Y \) 均为实数。则
\[ S_N = \sum_{n=1}^N z_n = \sum_{n=1}^N (x_n + iy_n) = \sum_{n=1}^N x_n + i \sum_{n=1}^N y_n = X_N + iY_N. \]
复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 收敛于 \( S = X + iY \) 当且仅当实级数 \( \sum_{n=1}^\infty x_n \) 收敛于 \( X \) 且实级数 \( \sum_{n=1}^\infty y_n \) 收敛于 \( Y \)。

定理 5.1.1 (复级数收敛的必要条件)：若复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 收敛，则 \( \lim_{n \to \infty} z_n = 0 \)。

证明：若 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 收敛于 \( S \)，则 \( \lim_{N \to \infty} S_N = S \) 且 \( \lim_{N \to \infty} S_{N-1} = S \)。因此，
\[ \lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S - S = 0. \]
证毕。

定义 5.1.3 (绝对收敛)：若复级数 \( \sum_{n=1}^\infty |z_n| \) 收敛，则称复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 绝对收敛 (absolutely convergent)。

定理 5.1.2 (绝对收敛与收敛的关系)：若复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 绝对收敛，则它一定收敛。

证明：因为 \( z_n = x_n + iy_n \)，所以 \( |x_n| \le |z_n| \) 且 \( |y_n| \le |z_n| \)。若 \( \sum_{n=1}^\infty |z_n| \) 收敛，根据实数正项级数的比较判别法，实级数 \( \sum_{n=1}^\infty |x_n| \) 和 \( \sum_{n=1}^\infty |y_n| \) 都收敛，从而实级数 \( \sum_{n=1}^\infty x_n \) 和 \( \sum_{n=1}^\infty y_n \) 都收敛（绝对收敛必收敛）。因此，复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n = \sum_{n=1}^\infty x_n + i \sum_{n=1}^\infty y_n \) 收敛。证毕。

反之，复级数收敛不一定绝对收敛。例如，考虑级数 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} \)。这是一个实数交错级数，它是条件收敛的，但 \( \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) 是发散的调和级数。在复数域中，我们也可以构造类似的例子，例如 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} \)。

常用的收敛判别法 (Convergence Tests)：

对于复数项级数，我们可以借鉴实数项级数的收敛判别法，例如比值判别法 (Ratio Test) 和 根值判别法 (Root Test)。

定理 5.1.3 (比值判别法)：考虑复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \)。
① 若 \( \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{z_{n+1}}{z_n} \right| = L < 1 \)，则级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 绝对收敛。
② 若 \( \liminf_{n \to \infty} \left| \frac{z_{n+1}}{z_n} \right| = l > 1 \) (或 \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{z_{n+1}}{z_n} \right| = \infty \))，则级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 发散。
③ 若 \( \liminf_{n \to \infty} \left| \frac{z_{n+1}}{z_n} \right| \le 1 \le \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{z_{n+1}}{z_n} \right| \) (或 \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{z_{n+1}}{z_n} \right| = 1 \))，则判别法失效，需要用其他方法判断。

定理 5.1.4 (根值判别法)：考虑复级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \)。
① 若 \( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|z_n|} = L < 1 \)，则级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 绝对收敛。
② 若 \( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|z_n|} = L > 1 \) (或 \( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|z_n|} = \infty \))，则级数 \( \sum_{n=1}^\infty z_n \) 发散。
③ 若 \( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|z_n|} = 1 \)，则判别法失效，需要用其他方法判断。

这些判别法实际上是对正项级数 \( \sum_{n=1}^\infty |z_n| \) 使用比值判别法和根值判别法，从而判断原复级数是否绝对收敛。

5.2 幂级数 (Power Series)

定义 5.2.1 (幂级数)：形如
\[ \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n = a_0 + a_1 (z - z_0) + a_2 (z - z_0)^2 + \cdots \]
的级数称为以 \( z_0 \) 为中心 (center) 的幂级数 (power series)，其中 \( a_n \) 为复常数，\( z \) 为复变量，\( z_0 \) 为给定的复常数。当 \( z_0 = 0 \) 时，幂级数简化为 \( \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \)。

研究幂级数的核心问题是确定其收敛域 (region of convergence)，即复平面上使得幂级数收敛的所有点 \( z \) 的集合。

5.2.1 收敛半径 (Radius of Convergence)

定理 5.2.1 (Abel 定理)：对于幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \)，存在一个非负实数 \( R \) ( \( 0 \le R \le +\infty \))，使得：
① 当 \( |z - z_0| < R \) 时，幂级数绝对收敛；
② 当 \( |z - z_0| > R \) 时，幂级数发散；
③ 当 \( |z - z_0| = R \) 时，幂级数的收敛性不定，需要具体分析。

这个 \( R \) 称为幂级数的收敛半径 (radius of convergence)，圆 \( |z - z_0| = R \) 称为收敛圆周 (circle of convergence)，圆 \( |z - z_0| < R \) 称为收敛圆盘 (disk of convergence)。当 \( R = 0 \) 时，幂级数只在 \( z = z_0 \) 收敛；当 \( R = +\infty \) 时，幂级数在整个复平面上都收敛。

证明 (Abel 定理的概要)：
首先证明，如果幂级数在 \( z = z_1 \) ( \( z_1 \ne z_0 \)) 收敛，则对于满足 \( |z - z_0| < |z_1 - z_0| \) 的任何 \( z \)，幂级数都绝对收敛。
由于 \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z_1 - z_0)^n \) 收敛，所以 \( \lim_{n \to \infty} a_n (z_1 - z_0)^n = 0 \)，因此序列 \( \{a_n (z_1 - z_0)^n\}_{n=0}^\infty \) 有界，即存在 \( M > 0 \) 使得 \( |a_n (z_1 - z_0)^n| \le M \) 对所有 \( n \) 成立。
对于 \( |z - z_0| < |z_1 - z_0| \)，令 \( q = \frac{|z - z_0|}{|z_1 - z_0|} < 1 \)。则
\[ |a_n (z - z_0)^n| = |a_n (z_1 - z_0)^n| \left| \frac{z - z_0}{z_1 - z_0} \right|^n \le M q^n. \]
由于 \( \sum_{n=0}^\infty M q^n = \frac{M}{1 - q} \) 收敛 (等比级数，公比 \( |q| < 1 \))，根据比较判别法，\( \sum_{n=0}^\infty |a_n (z - z_0)^n| \) 收敛，即 \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \) 绝对收敛。

其次证明，如果幂级数在 \( z = z_2 \) 发散，则对于满足 \( |z - z_0| > |z_2 - z_0| \) 的任何 \( z \)，幂级数都发散。
反证法。若存在 \( z \) 使得 \( |z - z_0| > |z_2 - z_0| \) 但 \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \) 收敛，根据已证明的第一部分，幂级数在 \( z_2 \) 也应该收敛，这与条件矛盾。因此，当 \( |z - z_0| > |z_2 - z_0| \) 时，幂级数发散。

基于以上两点，我们可以定义收敛半径 \( R \) 为：
\[ R = \sup \{r \ge 0 \mid \text{幂级数在 } |z - z_0| < r \text{ 内绝对收敛} \}. \]
或者等价地，
\[ R = \inf \{r \ge 0 \mid \text{幂级数在 } |z - z_0| > r \text{ 内发散} \}. \]
根据确界原理，这样的 \( R \) 存在且唯一。

收敛半径的计算公式：

利用比值判别法和根值判别法，我们可以得到计算收敛半径的公式。

公式一 (比值法)：若极限 \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L \) 存在 ( \( 0 \le L \le +\infty \))，则幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \) 的收敛半径为
\[ R = \begin{cases} \frac{1}{L}, & 0 < L < +\infty \\ +\infty, & L = 0 \\ 0, & L = +\infty \end{cases} \]
通常简写为 \( R = \frac{1}{L} \) (当 \( L = 0 \) 时，\( \frac{1}{L} = +\infty \)；当 \( L = +\infty \) 时，\( \frac{1}{L} = 0 \))。

公式二 (根值法)：若极限 \( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \) 存在 ( \( 0 \le L \le +\infty \))，则幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \) 的收敛半径为
\[ R = \begin{cases} \frac{1}{L}, & 0 < L < +\infty \\ +\infty, & L = 0 \\ 0, & L = +\infty \end{cases} \]
同样简写为 \( R = \frac{1}{L} \)。

例 5.2.1：求幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \) 的收敛半径。

解： \( a_n = \frac{1}{n!} \)，则
\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \]
\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0. \]
因此，收敛半径 \( R = \frac{1}{L} = +\infty \)。该幂级数在整个复平面上收敛。实际上，它表示复指数函数 \( e^z \)。

例 5.2.2：求幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty n! z^n \) 的收敛半径。

解： \( a_n = n! \)，则
\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \]
\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} (n+1) = +\infty. \]
因此，收敛半径 \( R = \frac{1}{L} = 0 \)。该幂级数只在 \( z = 0 \) 收敛。

例 5.2.3：求幂级数 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} \) 的收敛半径。

解： \( a_n = \frac{1}{n} \)，则
\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1/(n+1)}{1/n} = \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + 1/n}. \]
\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1/n} = 1. \]
因此，收敛半径 \( R = \frac{1}{L} = 1 \)。收敛圆盘为 \( |z| < 1 \)。当 \( |z| = 1 \) 时，需要单独讨论。例如，当 \( z = 1 \) 时，级数为调和级数 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) 发散；当 \( z = -1 \) 时，级数为交错调和级数 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \) 收敛。

5.2.2 幂级数的性质 (Properties of Power Series)

在收敛圆盘内，幂级数具有许多重要的性质，这些性质使得幂级数成为研究解析函数的重要工具。

定理 5.2.2 (幂级数的和函数的解析性)：设幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \) 的收敛半径为 \( R > 0 \)。则在其收敛圆盘 \( D(z_0, R) = \{z \mid |z - z_0| < R \} \) 内，
① 幂级数的和函数 \( f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \) 解析 (analytic)。
② 可以在收敛圆盘内逐项求导 (term-by-term differentiation)：
\[ f'(z) = \sum_{n=1}^\infty n a_n (z - z_0)^{n-1}. \]
且导数级数的收敛半径与原级数相同，也为 \( R \)。
③ 可以在收敛圆盘内逐项积分 (term-by-term integration)：对于收敛圆盘内任意从 \( z_0 \) 到 \( z \) 的路径 \( \Gamma \)，有
\[ \int_\Gamma f(\zeta) d\zeta = \sum_{n=0}^\infty a_n \int_\Gamma (\zeta - z_0)^n d\zeta. \]
特别地，若积分路径为从 \( z_0 \) 沿直线到 \( z \)，则
\[ \int_{z_0}^z f(\zeta) d\zeta = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} (z - z_0)^{n+1}. \]
且积分后得到的幂级数的收敛半径也为 \( R \)。

证明 (概要)：
① 解析性：需要证明 \( f(z) \) 在收敛圆盘内每一点都可导，且导数连续。这可以通过逐项求导得到导数级数，并证明导数级数也收敛，且其和函数就是 \( f'(z) \)。
② 逐项求导：考虑导数级数 \( \sum_{n=1}^\infty n a_n (z - z_0)^{n-1} \)。利用比值判别法或根值判别法可以证明其收敛半径与原级数相同。然后证明其和函数确实是 \( f'(z) \)。
③ 逐项积分：类似地，可以证明逐项积分得到的级数收敛半径与原级数相同，且其和函数是 \( \int_{z_0}^z f(\zeta) d\zeta \)。

定理 5.2.3 (幂级数展开的唯一性)：若在以 \( z_0 \) 为中心的某个圆盘 \( D(z_0, r) \) 内，有
\[ \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty b_n (z - z_0)^n, \quad \forall z \in D(z_0, r), \]
则必有 \( a_n = b_n \) 对所有 \( n = 0, 1, 2, \ldots \) 成立。

证明 (概要)：令 \( f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty b_n (z - z_0)^n \)。则 \( f(z) \) 在 \( D(z_0, r) \) 内解析。根据逐项求导性质，可以得到 \( f^{(k)}(z_0) = k! a_k \) 和 \( f^{(k)}(z_0) = k! b_k \)。因此 \( a_k = b_k = \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} \)。

5.3 Taylor 级数 (Taylor Series)

定理 5.3.1 (Taylor 定理)：设函数 \( f(z) \) 在以 \( z_0 \) 为中心的圆盘 \( D(z_0, R) \) 内解析。则对于 \( D(z_0, R) \) 内的任意点 \( z \)，\( f(z) \) 都可以表示成幂级数的形式：
\[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n, \]
其中系数 \( a_n \) 由下式确定：
\[ a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]
并且这个幂级数在 \( D(z_0, R) \) 内收敛于 \( f(z) \)。这个级数称为 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的 Taylor 级数 (Taylor series) 展开式。

证明 (概要)：利用 Cauchy 积分公式。对于 \( z \in D(z_0, R) \)，取 \( r \) 使得 \( |z - z_0| < r < R \)。考虑圆周 \( C_r: |\zeta - z_0| = r \) (正向)。根据 Cauchy 积分公式，
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_r} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0) - (z - z_0)} d\zeta. \]
将 \( \frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{(\zeta - z_0) - (z - z_0)} \) 展开成等比级数：
\[ \frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - z_0} \frac{1}{1 - \frac{z - z_0}{\zeta - z_0}} = \frac{1}{\zeta - z_0} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{z - z_0}{\zeta - z_0} \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(\zeta - z_0)^{n+1}}. \]
因为 \( |\frac{z - z_0}{\zeta - z_0}| = \frac{|z - z_0|}{r} < 1 \)，所以等比级数收敛。将此级数代入 Cauchy 积分公式，并逐项积分（可以证明可以逐项积分），得到
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_r} f(\zeta) \sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d\zeta = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d\zeta \right) (z - z_0)^n. \]
根据 Cauchy 积分公式的推广形式，系数为
\[ a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d\zeta = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}. \]
因此，\( f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n \)。收敛半径至少为 \( R \)，实际上收敛半径就是 \( R \)。

常用函数的 Taylor 展开式 (在 \( z_0 = 0 \) 处)：
① 指数函数 (Exponential Function)： \( e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \quad R = +\infty \)。
② 正弦函数 (Sine Function)： \( \sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}, \quad R = +\infty \)。
③ 余弦函数 (Cosine Function)： \( \cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}, \quad R = +\infty \)。
④ 几何级数 (Geometric Series)： \( \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^\infty z^n, \quad R = 1 \)。
⑤ 对数函数 (Logarithmic Function)： \( \ln(1 + z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} z^n, \quad R = 1 \)。
⑥ 二项展开式 (Binomial Series)： \( (1 + z)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} z^n, \quad R = 1 \)，其中 \( \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} \)。

5.4 Laurent 级数 (Laurent Series)

Taylor 级数将解析函数表示为幂级数，但要求函数在展开中心 \( z_0 \) 处解析。对于在孤立奇点 (isolated singularity) 处不解析的函数，我们需要更一般的级数展开形式，这就是 Laurent 级数 (Laurent series)。

定义 5.4.1 (Laurent 级数)：形如
\[ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n = \cdots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + a_2 (z - z_0)^2 + \cdots \]
的级数称为以 \( z_0 \) 为中心的 Laurent 级数 (Laurent series)。它可以分解为两个部分：
① 解析部分 (analytic part)： \( \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n \)。
② 主要部分 (principal part)： \( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{-n}}{(z - z_0)^n} \)。

定理 5.4.1 (Laurent 定理)：设函数 \( f(z) \) 在圆环域 (annulus) \( R_1 < |z - z_0| < R_2 \) 内解析。则对于圆环域内的任意点 \( z \)，\( f(z) \) 都可以表示成 Laurent 级数的形式：
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{-n}}{(z - z_0)^n}, \]
其中系数 \( a_n \) 由下式确定：对于任意满足 \( R_1 < r < R_2 \) 的圆周 \( C_r: |z - z_0| = r \) (正向)，
\[ a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d\zeta, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
并且这个 Laurent 级数在圆环域 \( R_1 < |z - z_0| < R_2 \) 内收敛于 \( f(z) \)。

证明 (概要)：类似于 Taylor 级数的证明，利用 Cauchy 积分公式。对于圆环域内的点 \( z \)，选取两个半径 \( r_1, r_2 \) 使得 \( R_1 < r_1 < |z - z_0| < r_2 < R_2 \)。考虑两个圆周 \( C_{r_2}: |\zeta - z_0| = r_2 \) (正向) 和 \( C_{r_1}: |\zeta - z_0| = r_1 \) (反向)。根据 Cauchy 积分公式的推广形式（圆环域上的 Cauchy 积分公式），
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_{r_2}} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta - \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_{r_1}} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta. \]
对于第一个积分， \( |\frac{z - z_0}{\zeta - z_0}| = \frac{|z - z_0|}{r_2} < 1 \)，展开 \( \frac{1}{\zeta - z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \)。
对于第二个积分， \( |\frac{\zeta - z_0}{z - z_0}| = \frac{r_1}{|z - z_0|} < 1 \)，展开 \( \frac{1}{\zeta - z} = -\frac{1}{z - z_0} \frac{1}{1 - \frac{\zeta - z_0}{z - z_0}} = -\frac{1}{z - z_0} \sum_{m=0}^\infty \left( \frac{\zeta - z_0}{z - z_0} \right)^m = -\sum_{m=0}^\infty \frac{(\zeta - z_0)^m}{(z - z_0)^{m+1}} = -\sum_{n=-1}^{-\infty} \frac{(z - z_0)^n}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \)。
将这两个展开式代入 Cauchy 积分公式，并逐项积分，得到 Laurent 级数展开式，系数由积分公式给出。

Laurent 级数展开的唯一性：在给定的圆环域内，函数的 Laurent 级数展开是唯一的。

计算 Laurent 级数的方法：
① 利用 Laurent 系数公式直接积分计算。但通常比较复杂。
② 利用已知函数的 Taylor 展开式，通过代换、运算等方法间接得到 Laurent 展开式。常用方法，例如部分分式分解、级数乘法、级数除法等。

例 5.4.1：求函数 \( f(z) = e^{1/z} \) 在 \( z = 0 \) 处的 Laurent 展开式。

解：我们知道 \( e^w = \sum_{n=0}^\infty \frac{w^n}{n!} \) 在整个复平面上成立。令 \( w = \frac{1}{z} \)，则
\[ e^{1/z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/z)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdots \]
这个级数在 \( |z| > 0 \) 内收敛，即在以 \( z = 0 \) 为中心的除去原点的区域内收敛。这就是 \( f(z) = e^{1/z} \) 在 \( z = 0 \) 处的 Laurent 展开式。

例 5.4.2：求函数 \( f(z) = \frac{1}{z(z - 1)} \) 在圆环域 \( 0 < |z| < 1 \) 内的 Laurent 展开式。

解：将 \( f(z) \) 进行部分分式分解：
\[ f(z) = \frac{1}{z(z - 1)} = \frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z} = -\frac{1}{1 - z} - \frac{1}{z}. \]
对于 \( \frac{1}{1 - z} \)，当 \( |z| < 1 \) 时，有几何级数展开式 \( \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^\infty z^n \)。因此，
\[ f(z) = -\sum_{n=0}^\infty z^n - \frac{1}{z} = -\frac{1}{z} - \sum_{n=0}^\infty z^n = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1) z^{n-1} - \frac{1}{z} = \sum_{n=-\infty}^{-1} (-1) z^n + \sum_{n=0}^\infty (-1) z^n. \]
整理一下，更常见的写法是：
\[ f(z) = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots = -\frac{1}{z} + \sum_{n=0}^\infty (-1) z^n = \frac{-1}{z} + \sum_{n=0}^\infty (-1) z^n. \]
或者写成
\[ f(z) = \cdots - z^2 - z - 1 - \frac{1}{z} = \sum_{n=-\infty}^{-1} 0 \cdot z^n + \sum_{n=-1}^{-1} (-1) z^n + \sum_{n=0}^\infty (-1) z^n = \frac{-1}{z} + \sum_{n=0}^\infty (-1) z^n. \]
实际上，应该写成
\[ f(z) = -\frac{1}{z} - \sum_{n=0}^\infty z^n = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots = \frac{-1}{z} + \sum_{n=0}^\infty (-1) z^n. \]
更准确的写法是：
\[ f(z) = -\frac{1}{z} + \sum_{n=0}^\infty (-1) z^n = \sum_{n=-1}^\infty a_n z^n, \]
其中 \( a_{-1} = -1 \)，\( a_n = -1 \) for \( n \ge 0 \)，\( a_n = 0 \) for \( n < -1 \) and \( n \ne -1 \)。

本章介绍了复分析中重要的级数表示方法，包括复数项级数、幂级数、Taylor 级数和 Laurent 级数。幂级数在收敛圆盘内表示解析函数，Taylor 级数给出了解析函数在解析点附近的幂级数展开，Laurent 级数则扩展了级数表示到函数具有孤立奇点的情况。这些级数表示是研究复变函数性质和应用的重要工具，为后续章节的内容奠定了基础。

6. chapter 6：留数理论 (Residue Theory)

6.1 孤立奇点 (Isolated Singularities)

在复变函数的研究中，奇点 (singularities) 是函数性质发生突变的特殊点。理解奇点的性质对于研究函数的行为至关重要。本节我们首先介绍孤立奇点 (isolated singularities) 的概念，并对其进行分类。

定义 6.1.1 (孤立奇点)：
设函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内解析，\( z_0 \in D \) 是区域 \( D \) 内一点。如果存在 \( z_0 \) 的某个邻域，使得 \( f(z) \) 在该邻域内除了点 \( z_0 \) 之外都解析，而在点 \( z_0 \) 不解析，则称 \( z_0 \) 为函数 \( f(z) \) 的孤立奇点 (isolated singularity)。

简单来说，孤立奇点就是函数在其自身处不解析，但在其周围“孤立”地存在解析性的点。

例子 6.1.1：
考虑函数 \( f(z) = \frac{1}{z-1} \)。该函数在 \( z = 1 \) 处不定义，因此在 \( z = 1 \) 处不解析。对于任何不包含 \( z = 1 \) 的邻域，函数 \( f(z) \) 在该邻域内解析。因此，\( z = 1 \) 是 \( f(z) \) 的一个孤立奇点。

例子 6.1.2：
考虑函数 \( f(z) = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{z})} \)。当 \( \sin(\frac{\pi}{z}) = 0 \) 时，函数 \( f(z) \) 无定义，即 \( \frac{\pi}{z} = k\pi \)，其中 \( k \) 为整数且 \( k \neq 0 \) (因为 \( z \neq 0 \))，所以 \( z = \frac{1}{k} \)，\( k = \pm 1, \pm 2, \dots \)。当 \( k \to \infty \) 时，\( z = \frac{1}{k} \to 0 \)。点集 \( \{ \frac{1}{k} \}_{k = \pm 1, \pm 2, \dots } \) 以 \( z = 0 \) 为极限点。因此，\( z = 0 \) 不是孤立奇点，因为在 \( z = 0 \) 的任何邻域内，都存在无穷多个奇点 \( z = \frac{1}{k} \)。而 \( z = \frac{1}{k} \) (\( k = \pm 1, \pm 2, \dots \)) 都是孤立奇点。

6.1.1 可去奇点、极点与本性奇点 (Removable Singularities, Poles, and Essential Singularities)

孤立奇点可以根据函数在奇点附近的性质进一步细分为三类：可去奇点 (removable singularities)、极点 (poles) 和本性奇点 (essential singularities)。这种分类对于理解函数在奇点附近的行为以及后续的留数理论至关重要。

定义 6.1.2 (可去奇点)：
设 \( z_0 \) 是函数 \( f(z) \) 的孤立奇点。如果极限 \( \lim_{z \to z_0} f(z) \) 存在且有限，则称 \( z_0 \) 为 \( f(z) \) 的可去奇点 (removable singularity)。

如果 \( z_0 \) 是可去奇点，那么我们可以重新定义或补充定义 \( f(z_0) = \lim_{z \to z_0} f(z) \)，使得函数在 \( z_0 \) 点也解析。因此，可去奇点在某种意义上是“虚假的”奇点，可以通过重新定义函数值来消除。

例子 6.1.3：
考虑函数 \( f(z) = \frac{\sin(z)}{z} \)。在 \( z = 0 \) 处，函数形式上是 \( \frac{0}{0} \) 型，未定义。但是，我们知道 \( \lim_{z \to 0} \frac{\sin(z)}{z} = 1 \)。因此，\( z = 0 \) 是 \( f(z) \) 的可去奇点。我们可以定义 \( f(0) = 1 \)，则函数
\[ F(z) = \begin{cases} \frac{\sin(z)}{z}, & z \neq 0 \\ 1, & z = 0 \end{cases} \]
在整个复平面上解析。

定义 6.1.3 (极点)：
设 \( z_0 \) 是函数 \( f(z) \) 的孤立奇点。如果极限 \( \lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \)，则称 \( z_0 \) 为 \( f(z) \) 的极点 (pole)。

更精确地，如果存在正整数 \( m \)，使得 \( \lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z) = A \neq 0 \) 且有限，则称 \( z_0 \) 为 \( f(z) \) 的 \( m \) 阶极点 (pole of order \( m \))。如果 \( m = 1 \)，则称 \( z_0 \) 为简单极点 (simple pole)。

例子 6.1.4：
考虑函数 \( f(z) = \frac{1}{(z-2)^3} \)。当 \( z \to 2 \) 时，\( f(z) \to \infty \)。取 \( m = 3 \)，则 \( \lim_{z \to 2} (z-2)^3 f(z) = \lim_{z \to 2} (z-2)^3 \frac{1}{(z-2)^3} = 1 \neq 0 \)。因此，\( z = 2 \) 是 \( f(z) \) 的 3 阶极点。

例子 6.1.5：
考虑函数 \( f(z) = \frac{z+1}{z(z-1)} \)。在 \( z = 0 \) 处，\( \lim_{z \to 0} z f(z) = \lim_{z \to 0} z \frac{z+1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} \frac{z+1}{z-1} = -1 \neq 0 \)。因此，\( z = 0 \) 是 \( f(z) \) 的简单极点 (1 阶极点)。在 \( z = 1 \) 处，\( \lim_{z \to 1} (z-1) f(z) = \lim_{z \to 1} (z-1) \frac{z+1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} \frac{z+1}{z} = 2 \neq 0 \)。因此，\( z = 1 \) 也是 \( f(z) \) 的简单极点。

定义 6.1.4 (本性奇点)：
设 \( z_0 \) 是函数 \( f(z) \) 的孤立奇点。如果 \( z_0 \) 既不是可去奇点，也不是极点，则称 \( z_0 \) 为 \( f(z) \) 的本性奇点 (essential singularity)。

对于本性奇点，函数在奇点附近的行为非常复杂。著名的 Casorati-Weierstrass 定理描述了函数在本性奇点附近的取值特性。

定理 6.1.1 (Casorati-Weierstrass 定理)：
设 \( z_0 \) 是函数 \( f(z) \) 的本性奇点，\( V \) 是 \( z_0 \) 的任意邻域。则集合 \( \{ f(z) \mid z \in V \setminus \{z_0\} \} \) 在复平面 \( \mathbb{C} \) 中稠密。

这意味着，在任意接近本性奇点 \( z_0 \) 的地方，函数 \( f(z) \) 的取值几乎可以接近复平面上的任何复数。这体现了本性奇点附近的函数行为的极端复杂性。

例子 6.1.6：
考虑函数 \( f(z) = e^{\frac{1}{z}} \)。在 \( z = 0 \) 处，函数是孤立奇点。我们考察 \( \lim_{z \to 0} f(z) \)。
当 \( z \to 0^+ \) (沿实轴正方向趋近于 0)，\( \frac{1}{z} \to +\infty \)，\( e^{\frac{1}{z}} \to +\infty \)。
当 \( z \to 0^- \) (沿实轴负方向趋近于 0)，\( \frac{1}{z} \to -\infty \)，\( e^{\frac{1}{z}} \to 0 \)。
由于沿不同路径趋近于 0，极限值不同，因此 \( \lim_{z \to 0} e^{\frac{1}{z}} \) 不存在。
此外，对于任意正整数 \( m \)，\( \lim_{z \to 0} z^m e^{\frac{1}{z}} \) 也不存在 (考虑实轴正方向趋近于 0，极限为 \( +\infty \))。因此，\( z = 0 \) 不是极点。
所以，\( z = 0 \) 是函数 \( f(z) = e^{\frac{1}{z}} \) 的本性奇点。

总结：孤立奇点的分类

对于函数 \( f(z) \) 的孤立奇点 \( z_0 \)，我们可以通过考察 \( \lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z) \) 的性质来判断奇点的类型：

① 可去奇点 (Removable Singularity)：\( \lim_{z \to z_0} f(z) = A \) 存在且有限。等价条件是 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的 Laurent 级数展开中，负幂项系数全为零。

② \( m \) 阶极点 (Pole of order \( m \))：存在正整数 \( m \)，使得 \( \lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z) = A \neq 0 \) 且有限。等价条件是 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的 Laurent 级数展开中，负幂项有限，且最高负幂项为 \( (z-z_0)^{-m} \) 项，即 \( a_{-m} \neq 0 \)，而 \( a_{-k} = 0 \) 对于所有 \( k > m \)。

③ 本性奇点 (Essential Singularity)：\( \lim_{z \to z_0} f(z) \) 不存在，且不存在正整数 \( m \) 使得 \( \lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z) \) 存在且有限。等价条件是 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的 Laurent 级数展开中，负幂项有无穷多项。

6.2 留数的定义与计算 (Definition and Calculation of Residues)

留数 (residue) 是与孤立奇点紧密相关的一个重要概念，它是复积分计算的核心。留数定理正是通过计算留数来简化复杂曲线积分的计算。

定义 6.2.1 (留数)：
设 \( z_0 \) 是函数 \( f(z) \) 的孤立奇点。\( f(z) \) 在 \( z_0 \) 的去心邻域 \( 0 < |z-z_0| < R \) 内可以展开成 Laurent 级数：
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \dots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1 (z-z_0) + \dots \]
称 Laurent 级数中 \( (z-z_0)^{-1} \) 项的系数 \( a_{-1} \) 为函数 \( f(z) \) 在孤立奇点 \( z_0 \) 处的留数 (residue)，记作 \( \text{Res}(f, z_0) \) 或 \( \text{Res}_{z=z_0} f(z) \)。即
\[ \text{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz \]
其中 \( C \) 是绕 \( z_0 \) 逆时针方向的充分小的圆周，使得圆周内部只包含奇点 \( z_0 \)。这个等式来源于 Laurent 级数逐项积分的性质。

留数的计算方法

1. 利用 Laurent 级数展开式：
   如果函数 \( f(z) \) 在孤立奇点 \( z_0 \) 附近的 Laurent 级数展开容易求得，可以直接读取 \( (z-z_0)^{-1} \) 项的系数 \( a_{-1} \)。

例子 6.2.1：
求函数 \( f(z) = e^{\frac{1}{z}} \) 在 \( z = 0 \) 处的留数。
我们知道 \( e^w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^n}{n!} \)。令 \( w = \frac{1}{z} \)，则
\[ e^{\frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left(\frac{1}{z}\right)^n = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!z^2} + \frac{1}{3!z^3} + \dots = \dots + \frac{1}{3!z^3} + \frac{1}{2!z^2} + \frac{1}{z} + 1 \]
\( (z-0)^{-1} = z^{-1} \) 项的系数是 \( a_{-1} = 1 \)。因此，\( \text{Res}(e^{\frac{1}{z}}, 0) = 1 \)。

2. 公式法 (针对极点)：
   如果 \( z_0 \) 是 \( f(z) \) 的 \( m \) 阶极点，则留数可以通过以下公式计算：

(a) 简单极点 (1 阶极点，\( m = 1 \))：
\[ \text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z) \]
或者，如果 \( f(z) = \frac{g(z)}{h(z)} \)，其中 \( g(z_0) \neq 0 \)，\( h(z_0) = 0 \)，\( h'(z_0) \neq 0 \)，则 \( z_0 \) 是 \( f(z) \) 的简单极点，且
\[ \text{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)} \]

(b) \( m \) 阶极点 (\( m \ge 1 \))：
\[ \text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right] \]

例子 6.2.2：
求函数 \( f(z) = \frac{z+1}{z(z-1)^2} \) 在奇点 \( z = 0 \) 和 \( z = 1 \) 处的留数。

对于 \( z = 0 \)，它是简单极点 (1 阶极点)。
\[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} (z-0) f(z) = \lim_{z \to 0} z \frac{z+1}{z(z-1)^2} = \lim_{z \to 0} \frac{z+1}{(z-1)^2} = \frac{0+1}{(0-1)^2} = 1 \]
或者，令 \( g(z) = \frac{z+1}{(z-1)^2} \)，\( h(z) = z \)。则 \( g(0) = 1 \neq 0 \)，\( h(0) = 0 \)，\( h'(z) = 1 \)，\( h'(0) = 1 \neq 0 \)。
\[ \text{Res}(f, 0) = \frac{g(0)}{h'(0)} = \frac{1}{1} = 1 \]

对于 \( z = 1 \)，它是 2 阶极点 (因为 \( (z-1)^2 \) 在分母上)。使用 \( m = 2 \) 的公式：
\[ \text{Res}(f, 1) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}} \left[ (z-1)^2 f(z) \right] = \lim_{z \to 1} \frac{d}{dz} \left[ (z-1)^2 \frac{z+1}{z(z-1)^2} \right] = \lim_{z \to 1} \frac{d}{dz} \left[ \frac{z+1}{z} \right] \]
\[ \frac{d}{dz} \left[ \frac{z+1}{z} \right] = \frac{d}{dz} \left[ 1 + \frac{1}{z} \right] = -\frac{1}{z^2} \]
\[ \text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} \left( -\frac{1}{z^2} \right) = -\frac{1}{1^2} = -1 \]

6.3 留数定理 (Residue Theorem)

留数定理 (Residue Theorem) 是复积分理论的核心定理之一，它将闭路曲线积分与被积函数在曲线内部奇点处的留数联系起来，极大地简化了闭路曲线积分的计算。

定理 6.3.1 (留数定理)：
设 \( D \) 是复平面上的单连通区域，\( C \) 是 \( D \) 内一条正向 (逆时针) 简单闭曲线。设函数 \( f(z) \) 在 \( C \) 的内部 \( D_C \) 内除了有限个孤立奇点 \( z_1, z_2, \dots, z_n \) 之外都解析，在 \( C \) 上解析。则
\[ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k) \]
即函数 \( f(z) \) 沿闭曲线 \( C \) 的积分等于 \( 2\pi i \) 乘以 \( f(z) \) 在 \( C \) 内部所有孤立奇点留数之和。

证明思路：
在每个奇点 \( z_k \) 周围取一个充分小的正向圆周 \( C_k \)，使得这些圆周互不相交且都包含在 \( C \) 的内部。根据 Cauchy-Goursat 定理的推广形式（对于多连通区域），我们有
\[ \oint_C f(z) dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k} f(z) dz \]
根据留数的定义，我们有 \( \oint_{C_k} f(z) dz = 2\pi i \text{Res}(f, z_k) \)。将此代入上式，即得留数定理。

应用留数定理的关键步骤：
① 找出被积函数 \( f(z) \) 在积分曲线 \( C \) 内部的所有孤立奇点 \( z_1, z_2, \dots, z_n \)。
② 判断这些奇点的类型，并计算 \( f(z) \) 在每个奇点 \( z_k \) 处的留数 \( \text{Res}(f, z_k) \)。
③ 根据留数定理，计算积分值 \( \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k) \)。

例子 6.3.1：
计算积分 \( \oint_C \frac{z+1}{z(z-1)^2} dz \)，其中 \( C \) 是圆周 \( |z| = 2 \) (逆时针方向)。

函数 \( f(z) = \frac{z+1}{z(z-1)^2} \) 的奇点为 \( z = 0 \) (简单极点) 和 \( z = 1 \) (2 阶极点)。这两个奇点都在圆周 \( |z| = 2 \) 的内部。
我们已经计算过 (例子 6.2.2)：\( \text{Res}(f, 0) = 1 \)，\( \text{Res}(f, 1) = -1 \)。
根据留数定理，
\[ \oint_C \frac{z+1}{z(z-1)^2} dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 1) \right] = 2\pi i (1 + (-1)) = 2\pi i \cdot 0 = 0 \]

例子 6.3.2：
计算积分 \( \oint_C \frac{e^z}{z^2 + 1} dz \)，其中 \( C \) 是圆周 \( |z| = 2 \) (逆时针方向)。

函数 \( f(z) = \frac{e^z}{z^2 + 1} = \frac{e^z}{(z-i)(z+i)} \) 的奇点为 \( z = i \) 和 \( z = -i \)。这两个奇点都是简单极点，且都在圆周 \( |z| = 2 \) 的内部。
计算留数：
\[ \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z-i) \frac{e^z}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to i} \frac{e^z}{z+i} = \frac{e^i}{i+i} = \frac{e^i}{2i} = \frac{e^i}{2i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i e^i}{-2i^2} = \frac{-i e^i}{2} = -\frac{i}{2} e^i \]
\[ \text{Res}(f, -i) = \lim_{z \to -i} (z-(-i)) \frac{e^z}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to -i} \frac{e^z}{z-i} = \frac{e^{-i}}{-i-i} = \frac{e^{-i}}{-2i} = \frac{e^{-i}}{-2i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i e^{-i}}{-2i^2} = \frac{i e^{-i}}{2} = \frac{i}{2} e^{-i} \]
根据留数定理，
\[ \oint_C \frac{e^z}{z^2 + 1} dz = 2\pi i \left[ \text{Res}(f, i) + \text{Res}(f, -i) \right] = 2\pi i \left[ -\frac{i}{2} e^i + \frac{i}{2} e^{-i} \right] = 2\pi i \cdot \frac{i}{2} (e^{-i} - e^i) = -\pi (e^{-i} - e^i) = \pi (e^i - e^{-i}) \]
利用 Euler 公式，\( e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i \sin(\theta) \)，所以 \( e^i - e^{-i} = 2i \sin(1) \)。
\[ \oint_C \frac{e^z}{z^2 + 1} dz = \pi (2i \sin(1)) = 2\pi i \sin(1) \]

6.4 留数定理的应用 (Applications of Residue Theorem)

留数定理在复分析中具有广泛的应用，尤其在计算实积分和无穷级数方面，展现了其强大的威力。

6.4.1 计算实积分 (Evaluating Real Integrals)

许多在实分析中难以计算甚至无法用初等函数表示的定积分，可以通过转化为复积分，并利用留数定理来巧妙地求解。常见的实积分类型包括：

1. \( \int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta) d\theta \) 型积分，其中 \( R \) 是关于 \( \cos\theta \) 和 \( \sin\theta \) 的有理函数。
   令 \( z = e^{i\theta} \)，则 \( d\theta = \frac{dz}{iz} \)，\( \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2} = \frac{z + 1/z}{2} = \frac{z^2 + 1}{2z} \)，\( \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i} = \frac{z - 1/z}{2i} = \frac{z^2 - 1}{2iz} \)。当 \( \theta \) 从 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 变化时，\( z = e^{i\theta} \) 沿单位圆 \( |z| = 1 \) 正向绕行一周。原积分转化为沿单位圆的复积分：
   \[ \int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta) d\theta = \oint_{|z|=1} R\left(\frac{z^2 + 1}{2z}, \frac{z^2 - 1}{2iz}\right) \frac{dz}{iz} \]
   计算右侧复积分，只需找到被积函数在单位圆 \( |z| < 1 \) 内的奇点，并计算留数，再利用留数定理即可。

例子 6.4.1：
计算积分 \( \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4\cos\theta} \)。
令 \( z = e^{i\theta} \)，\( \cos\theta = \frac{z^2 + 1}{2z} \)，\( d\theta = \frac{dz}{iz} \)。
\[ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4\cos\theta} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4 \cdot \frac{z^2 + 1}{2z}} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + \frac{2(z^2 + 1)}{z}} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{5z + 2z^2 + 2}{z}} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{z}{2z^2 + 5z + 2} \frac{dz}{iz} \]
\[ = \oint_{|z|=1} \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} dz = \frac{1}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{2z^2 + 5z + 2} dz = \frac{1}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{2(z^2 + \frac{5}{2}z + 1)} dz = \frac{1}{2i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2 + \frac{5}{2}z + 1} dz \]
分母 \( z^2 + \frac{5}{2}z + 1 = (z+2)(z+\frac{1}{2}) \)。奇点为 \( z = -2 \) 和 \( z = -\frac{1}{2} \)。只有 \( z = -\frac{1}{2} \) 在单位圆 \( |z| < 1 \) 内。
计算 \( f(z) = \frac{1}{(z+2)(z+\frac{1}{2})} \) 在 \( z = -\frac{1}{2} \) 处的留数：
\[ \text{Res}\left(f, -\frac{1}{2}\right) = \lim_{z \to -\frac{1}{2}} \left(z - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \frac{1}{(z+2)(z+\frac{1}{2})} = \lim_{z \to -\frac{1}{2}} \frac{1}{z+2} = \frac{1}{-\frac{1}{2} + 2} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \]
根据留数定理，
\[ \oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2 + \frac{5}{2}z + 1} dz = 2\pi i \text{Res}\left(f, -\frac{1}{2}\right) = 2\pi i \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi i}{3} \]
因此，
\[ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4\cos\theta} = \frac{1}{2i} \cdot \frac{4\pi i}{3} = \frac{2\pi}{3} \]

2. \( \int_{-\infty}^{\infty} R(x) dx \) 型积分，其中 \( R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) 是有理函数，且满足：
   (a) \( Q(x) \) 在实轴上没有零点。
   (b) 分子多项式 \( P(x) \) 的次数至少比分母多项式 \( Q(x) \) 的次数低 2。即 \( \text{deg}(Q) \ge \text{deg}(P) + 2 \)。
   在这种条件下，积分收敛。计算方法是取上半平面中的半圆周 \( C_R \)：\( z = Re^{i\theta} \)，\( 0 \le \theta \le \pi \)，半径 \( R \) 足够大，使得 \( Q(z) \) 的所有位于上半平面的零点都包含在半圆内部。构造闭路 \( C = C_R \cup [-R, R] \)，沿 \( C \) 积分 \( \oint_C R(z) dz \)。根据留数定理，\( \oint_C R(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(R, z_k) \)，其中 \( z_k \) 是 \( R(z) \) 在上半平面的极点。当 \( R \to \infty \) 时，半圆弧 \( C_R \) 上的积分 \( \int_{C_R} R(z) dz \to 0 \)。因此，
   \[ \int_{-\infty}^{\infty} R(x) dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} R(x) dx = \lim_{R \to \infty} \oint_C R(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(R, z_k) \]

例子 6.4.2：
计算积分 \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 1} \)。
\( R(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)。分母 \( Q(x) = x^2 + 1 \) 在实轴上没有零点。\( \text{deg}(Q) = 2 \)，\( \text{deg}(P) = 0 \)，满足条件。
\( R(z) = \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{(z-i)(z+i)} \)。极点为 \( z = i \) 和 \( z = -i \)。只有 \( z = i \) 在上半平面。
\[ \text{Res}(R, i) = \lim_{z \to i} (z-i) \frac{1}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{i+i} = \frac{1}{2i} \]
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 1} = 2\pi i \text{Res}(R, i) = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi \]

3. \( \int_{-\infty}^{\infty} R(x) \cos(ax) dx \) 或 \( \int_{-\infty}^{\infty} R(x) \sin(ax) dx \) 型积分，其中 \( a > 0 \)，\( R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) 满足与类型 2 类似的条件，但分母次数只需比分子次数高 1 即可。
   考虑积分 \( \int_{-\infty}^{\infty} R(x) e^{iax} dx \)。取上半平面半圆周 \( C_R \) 和闭路 \( C = C_R \cup [-R, R] \)。计算 \( \oint_C R(z) e^{iaz} dz = 2\pi i \sum \text{Res}(R(z) e^{iaz}, z_k) \)，其中 \( z_k \) 是 \( R(z) e^{iaz} \) 在上半平面的极点 (实际上与 \( R(z) \) 的上半平面极点相同)。当 \( R \to \infty \) 时，\( \int_{C_R} R(z) e^{iaz} dz \to 0 \) (Jordan 引理)。因此，
   \[ \int_{-\infty}^{\infty} R(x) e^{iax} dx = 2\pi i \sum \text{Res}(R(z) e^{iaz}, z_k) \]
   取实部和虚部，即可得到 \( \int_{-\infty}^{\infty} R(x) \cos(ax) dx \) 和 \( \int_{-\infty}^{\infty} R(x) \sin(ax) dx \)。

例子 6.4.3：
计算积分 \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} dx \)。
考虑 \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2 + 1} dx \)。\( R(z) = \frac{1}{z^2 + 1} \)，上半平面极点为 \( z = i \)。
\[ \text{Res}\left(\frac{e^{iz}}{z^2 + 1}, i\right) = \lim_{z \to i} (z-i) \frac{e^{iz}}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to i} \frac{e^{iz}}{z+i} = \frac{e^{i \cdot i}}{i+i} = \frac{e^{-1}}{2i} = \frac{1}{2ie} \]
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2 + 1} dx = 2\pi i \text{Res}\left(\frac{e^{iz}}{z^2 + 1}, i\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{2ie} = \frac{\pi}{e} \]
取实部，得到 \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} dx = \frac{\pi}{e} \)。

6.4.2 计算无穷级数 (Evaluating Infinite Series)

留数定理还可以用于计算某些类型的无穷级数之和。一种常见的方法是利用余切函数 \( \pi \cot(\pi z) \) 的性质。函数 \( \pi \cot(\pi z) = \pi \frac{\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)} \) 在整数点 \( z = n \) (\( n \in \mathbb{Z} \)) 处有简单极点，且留数为 1。

考虑函数 \( f(z) \) 满足一定条件 (例如，\( |z^2 f(z)| \) 在无穷远处有界)。构造闭路 \( C_N \) 为顶点在 \( \pm (N + \frac{1}{2}) \pm (N + \frac{1}{2})i \) 的正方形，其中 \( N \) 为正整数。计算积分 \( \oint_{C_N} \pi \cot(\pi z) f(z) dz \)。根据留数定理，积分值等于 \( 2\pi i \) 乘以 \( \pi \cot(\pi z) f(z) \) 在 \( C_N \) 内部所有极点留数之和。这些极点包括 \( \pi \cot(\pi z) \) 的极点 (整数点) 和 \( f(z) \) 的极点。

通常，当 \( N \to \infty \) 时，\( \oint_{C_N} \pi \cot(\pi z) f(z) dz \to 0 \)。因此，可以得到关于级数 \( \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \) 的关系式，从而计算级数之和。

例子 6.4.4：
计算级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)。
考虑函数 \( f(z) = \frac{1}{z^2} \)。取闭路 \( C_N \) 如上所述。计算 \( \oint_{C_N} \pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2} dz \)。
\( \pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2} \) 的极点为 \( z = 0 \) (3 阶极点) 和整数点 \( z = n \neq 0 \) (简单极点)。
在 \( z = n \neq 0 \) 处的留数：\( \text{Res}\left(\pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2}, n\right) = \lim_{z \to n} (z-n) \pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2} = \frac{1}{n^2} \lim_{z \to n} (z-n) \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{n^2} \cdot 1 = \frac{1}{n^2} \)。
在 \( z = 0 \) 处的留数需要计算 Laurent 展开式。\( \cot(w) = \frac{1}{w} - \frac{w}{3} - \frac{w^3}{45} - \dots \)。
\( \pi \cot(\pi z) = \pi \left( \frac{1}{\pi z} - \frac{\pi z}{3} - \dots \right) = \frac{1}{z} - \frac{\pi^2 z}{3} - \dots \)。
\( \pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2} = \left( \frac{1}{z} - \frac{\pi^2 z}{3} - \dots \right) \frac{1}{z^2} = \frac{1}{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \dots \)。
\( \text{Res}\left(\pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2}, 0\right) = -\frac{\pi^2}{3} \)。
根据留数定理，\( \oint_{C_N} \pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2} dz = 2\pi i \left[ \text{Res}\left(\pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2}, 0\right) + \sum_{n=-N, n\neq 0}^{N} \text{Res}\left(\pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2}, n\right) \right] = 2\pi i \left[ -\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=-N, n\neq 0}^{N} \frac{1}{n^2} \right] \)。
当 \( N \to \infty \) 时，可以证明 \( \oint_{C_N} \pi \cot(\pi z) \frac{1}{z^2} dz \to 0 \)。
因此，\( 0 = 2\pi i \left[ -\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=-\infty, n\neq 0}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right] \)。
\( \sum_{n=-\infty, n\neq 0}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} \)。
\( \sum_{n=-\infty, n\neq 0}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + \sum_{n=- \infty}^{-1} \frac{1}{n^2} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)。
\( 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} \)。
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \)。

留数理论是复分析中一个强大而重要的工具，它不仅深化了我们对复变函数性质的理解，也为解决实分析中的问题提供了新的视角和方法。通过留数定理，我们可以有效地计算各种类型的积分和级数，展现了数学的统一性和深刻性。

7. chapter 7：共形映射 (Conformal Mapping)

7.1 共形映射的定义与性质 (Definition and Properties of Conformal Mapping)

共形映射 (Conformal Mapping) 是复分析中一个核心且具有强大应用价值的概念。它研究的是在复平面上保持角度和方向不变的映射。这种特殊的几何性质使得共形映射在流体力学、电磁学、热力学等多个物理领域以及工程学中都有着广泛的应用。

定义 7.1.1 (共形映射的定义)：

设 \( f: D \rightarrow \mathbb{C} \) 是定义在区域 (domain) \( D \subseteq \mathbb{C} \) 上的复变函数。如果 \( f \) 在 \( D \) 内处处解析 (analytic)，并且对于 \( D \) 内的任意一点 \( z_0 \)，若 \( f'(z_0) \neq 0 \)，则称 \( f \) 在 \( z_0 \) 点是共形的 (conformal)。如果 \( f \) 在区域 \( D \) 内每一点都是共形的，则称 \( f \) 为区域 \( D \) 上的共形映射 (conformal mapping)。

几何解释：

共形映射之所以被称为“共形”，是因为它保持了角度的“形状”。更具体地说，如果两条曲线 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 在点 \( z_0 \) 相交，且交角为 \( \theta \)，经过共形映射 \( w = f(z) \) 后，它们分别被映射为曲线 \( C'_1 = f(C_1) \) 和 \( C'_2 = f(C_2) \) 在点 \( w_0 = f(z_0) \) 相交，则 \( C'_1 \) 和 \( C'_2 \) 在 \( w_0 \) 点的交角仍然是 \( \theta \)，并且方向也保持一致。

为了更清晰地理解这一点，我们考虑复平面上的两条光滑曲线 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 在点 \( z_0 \) 相交。设 \( z_1(t) \) 和 \( z_2(t) \) 分别是 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 的参数方程，且 \( z_1(t_0) = z_2(t_0) = z_0 \)。曲线 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 在 \( z_0 \) 点的切线方向分别由向量 \( z'_1(t_0) \) 和 \( z'_2(t_0) \) 给出。两条曲线在 \( z_0 \) 点的交角 \( \theta \) 可以通过这两个切向量的辐角 (argument) 之差来表示：
\[ \theta = \arg(z'_2(t_0)) - \arg(z'_1(t_0)) = \arg\left(\frac{z'_2(t_0)}{z'_1(t_0)}\right) \]

经过复变函数 \( w = f(z) \) 映射后，曲线 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 变为 \( C'_1 \) 和 \( C'_2 \)，它们的参数方程分别为 \( w_1(t) = f(z_1(t)) \) 和 \( w_2(t) = f(z_2(t)) \)。在点 \( w_0 = f(z_0) \) 处的切向量分别为 \( w'_1(t_0) = f'(z_1(t_0))z'_1(t_0) = f'(z_0)z'_1(t_0) \) 和 \( w'_2(t_0) = f'(z_2(t_0))z'_2(t_0) = f'(z_0)z'_2(t_0) \)。假设 \( f'(z_0) \neq 0 \)，则映射后曲线的交角 \( \theta' \) 为：
\[ \theta' = \arg(w'_2(t_0)) - \arg(w'_1(t_0)) = \arg\left(\frac{w'_2(t_0)}{w'_1(t_0)}\right) = \arg\left(\frac{f'(z_0)z'_2(t_0)}{f'(z_0)z'_1(t_0)}\right) = \arg\left(\frac{z'_2(t_0)}{z'_1(t_0)}\right) = \theta \]
因此，共形映射保持了曲线之间的交角大小和方向。

性质 7.1.2 (共形映射的性质)：

① 解析性 (Analyticity)：共形映射 \( f: D \rightarrow \mathbb{C} \) 在区域 \( D \) 内必须是解析函数。这是共形性的前提条件。

② 导数非零 (Non-zero Derivative)：对于共形映射 \( f \)，在区域 \( D \) 内的每一点 \( z \)，必须有 \( f'(z) \neq 0 \)。反之，如果 \( f \) 在 \( z_0 \) 解析且 \( f'(z_0) \neq 0 \)，则 \( f \) 在 \( z_0 \) 点是共形的。

③ 局部单射性 (Local Injectivity)：如果 \( f \) 在区域 \( D \) 上是共形映射，则 \( f \) 在 \( D \) 上是局部单射的，即对于 \( D \) 内的每一点 \( z_0 \)，都存在一个邻域 \( U \) 使得 \( f \) 在 \( U \) 上是单射 (injective) 的。这意味着在 \( z_0 \) 附近，不同的点会被映射到不同的点。

④ 保角性 (Angle-Preserving)：共形映射保持曲线之间的角度大小和方向不变，这是共形映射最核心的性质。

⑤ 保向性 (Orientation-Preserving)：共形映射保持方向不变。如果我们在 \( z \)-平面上沿着一个闭曲线正向 (逆时针) 绕行，那么在 \( w \)-平面上，映射后的曲线仍然是正向绕行。

⑥ 逆映射的共形性 (Conformality of Inverse Mapping)：如果 \( f: D \rightarrow D' \) 是一个共形映射，且 \( f \) 是单射的，则其逆映射 \( f^{-1}: D' \rightarrow D \) 也是共形映射。

例子 7.1.3 (共形映射的例子)：

⚝ 线性函数 (Linear Function)：\( f(z) = az + b \)，其中 \( a, b \in \mathbb{C} \) 且 \( a \neq 0 \)。\( f'(z) = a \neq 0 \)，因此线性函数是共形映射。当 \( a = e^{i\theta} \) 时，表示旋转 \( \theta \) 角；当 \( a > 0 \) 时，表示伸缩；\( b \) 表示平移。
⚝ 幂函数 (Power Function)：\( f(z) = z^n \)，其中 \( n \) 是正整数。\( f'(z) = nz^{n-1} \)。当 \( z \neq 0 \) 时，\( f'(z) \neq 0 \)，因此 \( f(z) = z^n \) 在 \( z \neq 0 \) 的区域是共形映射。但是，在 \( z = 0 \) 点，如果 \( n \geq 2 \)，则 \( f'(0) = 0 \)，因此在 \( z = 0 \) 点不是共形的。实际上，在 \( z = 0 \) 点，角度被放大了 \( n \) 倍。
⚝ 指数函数 (Exponential Function)：\( f(z) = e^z \)。\( f'(z) = e^z \neq 0 \) 对于所有 \( z \in \mathbb{C} \)。因此，指数函数在整个复平面上都是共形映射。
⚝ 对数函数 (Logarithmic Function)：\( f(z) = \log z \)。\( f'(z) = \frac{1}{z} \)。当 \( z \neq 0 \) 时，\( f'(z) \neq 0 \)，因此对数函数在除去原点和负实轴的区域内是共形映射。
⚝ Möbius 变换 (Möbius Transformation)：形如 \( f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \) 的函数，其中 \( a, b, c, d \in \mathbb{C} \) 且 \( ad - bc \neq 0 \)。\( f'(z) = \frac{a(cz + d) - c(az + b)}{(cz + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2} \)。当 \( cz + d \neq 0 \) 时，\( f'(z) \neq 0 \)，因此 Möbius 变换在其定义域内是共形映射。

非共形映射的例子：

⚝ 共轭函数 (Conjugate Function)：\( f(z) = \bar{z} = x - iy \)。虽然 \( f \) 是连续的，但是它不是解析函数（不满足 Cauchy-Riemann 方程），因此不是共形映射。共轭函数实际上是反共形映射 (anticonformal mapping)，它保持角度的大小，但是反转角度的方向。
⚝ 实部函数 (Real Part Function)：\( f(z) = \text{Re}(z) = x \)。\( f(z) \) 不是解析函数，因此不是共形映射。
⚝ 虚部函数 (Imaginary Part Function)：\( f(z) = \text{Im}(z) = y \)。\( f(z) \) 不是解析函数，因此不是共形映射。

共形映射在复分析和应用数学中扮演着重要的角色。它们不仅提供了强大的几何工具来研究复变函数，还在解决二维物理问题中发挥着关键作用。例如，在流体力学中，共形映射可以将复杂的流场区域变换为简单的区域，从而简化问题的求解。在电磁学和热力学中，共形映射同样可以用来解决边界值问题。

7.2 Möbius 变换 (Möbius Transformations)

Möbius 变换 (Möbius Transformations)，也称为线性分式变换 (Linear Fractional Transformations)，是复分析中一类非常重要的共形映射。它们形式简洁，但性质丰富，在几何和函数理论中都有着广泛的应用。

定义 7.2.1 (Möbius 变换的定义)：

Möbius 变换是指形如
\[ w = f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \]
的函数，其中 \( a, b, c, d \in \mathbb{C} \) 是复常数，且满足 \( ad - bc \neq 0 \)。条件 \( ad - bc \neq 0 \) 保证了变换不是常数函数。

7.2.1 线性分式变换 (Linear Fractional Transformations)

Möbius 变换之所以被称为线性分式变换，是因为它是由线性函数通过分式运算得到的。我们可以将 Möbius 变换分解为几种更基本的变换的复合：

① 平移 (Translation)：\( w = z + b \)，其中 \( b \in \mathbb{C} \)。
② 旋转 (Rotation)：\( w = e^{i\theta} z \)，其中 \( \theta \in \mathbb{R} \)。
③ 伸缩 (Dilation/Scaling)：\( w = rz \)，其中 \( r > 0 \)。
④ 反演 (Inversion)：\( w = \frac{1}{z} \)。

事实上，当 \( c = 0 \) 时，Möbius 变换变为 \( f(z) = \frac{az + b}{d} = \frac{a}{d}z + \frac{b}{d} \)，这是一个线性函数，可以由旋转、伸缩和平移复合而成。当 \( c \neq 0 \) 时，我们可以将 Möbius 变换改写为：
\[ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} = \frac{a}{c} \frac{z + b/a}{z + d/c} = \frac{a}{c} \frac{(z + d/c) + (b/a - d/c)}{z + d/c} = \frac{a}{c} + \frac{b/a - d/c}{z + d/c} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{ac} \frac{1}{z + d/c} \]
令 \( A = \frac{a}{c} \)，\( B = \frac{bc - ad}{ac} \)，\( C = -\frac{d}{c} \)，则
\[ f(z) = A + \frac{B}{z - C} \]
我们可以将这个变换分解为以下步骤：
1. 平移：\( z_1 = z - C \)
2. 反演：\( z_2 = \frac{1}{z_1} = \frac{1}{z - C} \)
3. 伸缩和旋转：\( z_3 = Bz_2 = \frac{B}{z - C} \)
4. 平移：\( w = z_3 + A = A + \frac{B}{z - C} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{ac} \frac{1}{z + d/c} = \frac{az + b}{cz + d} \)

由于平移、旋转、伸缩和反演都是共形映射（除了反演在 \( z = 0 \) 处导数不存在，但在 \( z \neq 0 \) 处是共形的），而共形映射的复合仍然是共形映射，因此 Möbius 变换在其定义域内是共形映射。其导数为 \( f'(z) = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2} \neq 0 \) (当 \( cz + d \neq 0 \) 时)。

扩充复平面 (Extended Complex Plane)：

为了更好地理解 Möbius 变换，我们引入扩充复平面 \( \mathbb{C}_\infty = \mathbb{C} \cup \{\infty\} \)。在扩充复平面上，我们可以将 Möbius 变换的定义域扩展到包括 \( z = \infty \) 和 \( z = -d/c \) 的情况。

⚝ 当 \( c = 0 \) 时，\( f(z) = \frac{az + b}{d} \)。我们定义 \( f(\infty) = \infty \)。
⚝ 当 \( c \neq 0 \) 时，\( f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \)。当 \( z = -d/c \) 时，分母为零，我们定义 \( f(-d/c) = \infty \)。当 \( z \rightarrow \infty \) 时，\( f(z) = \frac{a + b/z}{c + d/z} \rightarrow \frac{a}{c} \)。因此，我们定义 \( f(\infty) = \frac{a}{c} \)。

通过这样的扩充定义，Möbius 变换成为扩充复平面 \( \mathbb{C}_\infty \) 到自身的一一映射。

7.2.2 Möbius 变换的几何性质 (Geometric Properties of Möbius Transformations)

Möbius 变换具有许多重要的几何性质，这些性质使其在几何学和复分析中都非常有用。

① 保圆性 (Circle-Preserving)：Möbius 变换将圆 (circle) 或直线 (line) 映射为圆或直线。在扩充复平面上，直线可以看作是经过无穷远点的圆。因此，我们可以统一说 Möbius 变换保圆。

为了证明保圆性，我们只需要证明基本变换（平移、旋转、伸缩、反演）具有保圆性。平移、旋转和伸缩显然将圆和直线映射为圆和直线。关键是证明反演 \( w = \frac{1}{z} \) 的保圆性。

圆或直线的方程可以统一表示为：
\[ A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D = 0 \]
其中，当 \( A = 0 \) 时，表示直线；当 \( A \neq 0 \) 时，表示圆。将 \( z = x + iy \) 和 \( w = u + iv = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} \) 代入，得到 \( u = \frac{x}{x^2 + y^2} \) 和 \( v = -\frac{y}{x^2 + y^2} \)，即 \( x = \frac{u}{u^2 + v^2} \) 和 \( y = -\frac{v}{u^2 + v^2} \)。将 \( x \) 和 \( y \) 代入圆/直线方程：
\[ A\left(\frac{u^2}{(u^2 + v^2)^2} + \frac{v^2}{(u^2 + v^2)^2}\right) + B\frac{u}{u^2 + v^2} - C\frac{v}{u^2 + v^2} + D = 0 \]
\[ \frac{A}{u^2 + v^2} + \frac{Bu - Cv}{u^2 + v^2} + D = 0 \]
\[ A + Bu - Cv + D(u^2 + v^2) = 0 \]
\[ D(u^2 + v^2) + Bu - Cv + A = 0 \]
这仍然是圆或直线的方程（当 \( D = 0 \) 时为直线，当 \( D \neq 0 \) 时为圆）。因此，反演保圆。由于 Möbius 变换可以分解为基本变换的复合，所以 Möbius 变换保圆。

② 保对称点 (Preservation of Symmetric Points)：对于一个圆或直线 \( C \)，如果两个点 \( z_1 \) 和 \( z_2 \) 关于 \( C \) 对称，那么经过 Möbius 变换 \( f \) 后，\( f(z_1) \) 和 \( f(z_2) \) 关于 \( f(C) \) 也对称。

⚝ 关于直线的对称点：点 \( z_1 \) 和 \( z_2 \) 关于直线 \( L \) 对称，如果 \( L \) 是线段 \( z_1z_2 \) 的垂直平分线。
⚝ 关于圆的对称点：点 \( z_1 \) 和 \( z_2 \) 关于圆 \( |z - z_0| = R \) 对称，如果 \( z_2 - z_0 = \frac{R^2}{\bar{z_1} - \bar{z_0}} \)。

③ 三点确定性 (Three-Point Determination)：一个 Möbius 变换可以由它将三个不同的点 \( z_1, z_2, z_3 \) 映射到三个不同的点 \( w_1, w_2, w_3 \) 唯一确定。

给定三对点 \( (z_1, w_1), (z_2, w_2), (z_3, w_3) \)，我们可以构造一个 Möbius 变换将 \( z_j \) 映射到 \( w_j \) ( \( j = 1, 2, 3 \) )。可以使用交比 (cross-ratio) 的概念来构造。

交比的定义：四个不同复数 \( z_1, z_2, z_3, z_4 \) 的交比定义为
\[ (z_1, z_2, z_3, z_4) = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)} \]
交比在 Möbius 变换下是不变的，即如果 \( w = f(z) \) 是一个 Möbius 变换，则
\[ (f(z_1), f(z_2), f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2, z_3, z_4) \]
利用交比的不变性，我们可以构造将 \( z_1, z_2, z_3 \) 分别映射到 \( w_1, w_2, w_3 \) 的 Möbius 变换。设 \( w = f(z) \) 是所求的 Möbius 变换，则对于任意 \( z \)，有
\[ (f(z), w_1, w_2, w_3) = (z, z_1, z_2, z_3) \]
\[ \frac{(f(z) - w_2)(w_1 - w_3)}{(f(z) - w_3)(w_1 - w_2)} = \frac{(z - z_2)(z_1 - z_3)}{(z - z_3)(z_1 - z_2)} \]
解出 \( f(z) \) 即可得到所求的 Möbius 变换。

Möbius 变换的这些几何性质使其成为研究复平面几何和共形映射的有力工具。

7.3 Riemann 映射定理 (Riemann Mapping Theorem)

Riemann 映射定理 (Riemann Mapping Theorem) 是复分析中最深刻和最重要的定理之一。它断言，任何单连通区域 (simply connected domain) (除了整个复平面 \( \mathbb{C} \) 本身) 都可以共形映射到单位圆盘 (unit disk) \( \mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\} \)。

定理 7.3.1 (Riemann 映射定理)：

设 \( D \) 是复平面 \( \mathbb{C} \) 中任意一个单连通区域，且 \( D \neq \mathbb{C} \)。则对于任意给定的点 \( z_0 \in D \) 和给定的角度 \( \theta_0 \in [0, 2\pi) \)，存在唯一的共形映射 \( f: D \rightarrow \mathbb{D} \) 满足条件 \( f(z_0) = 0 \) 和 \( \arg(f'(z_0)) = \theta_0 \)。

定理的意义：

Riemann 映射定理表明，从共形映射的角度来看，所有非平凡的单连通区域都是等价的，它们都可以通过共形映射变成单位圆盘。这极大地简化了对单连通区域的研究，因为我们可以通过研究单位圆盘上的问题来理解一般单连通区域上的问题。

定理的条件：

⚝ 单连通区域 (Simply Connected Domain)：区域 \( D \) 必须是单连通的。直观上，单连通区域是没有“洞”的区域。严格定义是，区域内任意闭曲线都可以连续收缩为区域内一点。例如，单位圆盘、半平面、矩形区域都是单连通区域，而圆环区域、穿孔圆盘不是单连通区域。
⚝ \( D \neq \mathbb{C} \)：整个复平面 \( \mathbb{C} \) 除外。不存在从 \( \mathbb{C} \) 到单位圆盘 \( \mathbb{D} \) 的共形映射。这是因为任何有界解析函数在 \( \mathbb{C} \) 上都是常数 (Liouville 定理)。如果存在共形映射 \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{D} \)，则 \( f \) 是有界解析函数，因此必须是常数，但这与共形映射的要求矛盾（共形映射的导数不能为零）。

定理的唯一性：

定理中指出的唯一性条件 \( f(z_0) = 0 \) 和 \( \arg(f'(z_0)) = \theta_0 \) 是为了确定唯一的映射。条件 \( f(z_0) = 0 \) 确定了映射将 \( z_0 \) 映射到原点，条件 \( \arg(f'(z_0)) = \theta_0 \) 确定了在 \( z_0 \) 点的旋转角度。如果没有这些条件，共形映射不是唯一的。例如，如果 \( f: D \rightarrow \mathbb{D} \) 是一个共形映射，那么对于任意 Möbius 自同构 (automorphism) \( \phi \) of \( \mathbb{D} \) (即 \( \phi: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D} \) 是共形映射)，复合映射 \( \phi \circ f \) 仍然是从 \( D \) 到 \( \mathbb{D} \) 的共形映射。单位圆盘 \( \mathbb{D} \) 的 Möbius 自同构具有形式
\[ \phi(w) = e^{i\theta} \frac{w - a}{1 - \bar{a}w} \]
其中 \( a \in \mathbb{D} \) 和 \( \theta \in [0, 2\pi) \)。通过选择合适的 \( a \) 和 \( \theta \)，我们可以满足条件 \( f(z_0) = 0 \) 和 \( \arg(f'(z_0)) = \theta_0 \)。

定理的证明：

Riemann 映射定理的证明不是初等的，通常需要用到一些泛函分析和拓扑学的工具，例如 Montel 定理、Hurwitz 定理等。证明的核心思想是构造一个满足条件的共形映射，并证明其存在性和唯一性。

实际应用：

虽然 Riemann 映射定理证明了共形映射的存在性，但它并没有给出显式构造共形映射的方法。对于一些特殊的单连通区域，我们可以找到显式的共形映射，例如：

⚝ 上半平面 (Upper Half-Plane) \( \mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} : \text{Im}(z) > 0\} \) 到单位圆盘 \( \mathbb{D} \)：
映射 \( f(z) = \frac{z - i}{z + i} \) 是一个将上半平面 \( \mathbb{H} \) 共形映射到单位圆盘 \( \mathbb{D} \) 的映射。反之，\( z = g(w) = i \frac{1 + w}{1 - w} \) 将单位圆盘 \( \mathbb{D} \) 共形映射到上半平面 \( \mathbb{H} \)。

⚝ 扇形区域 (Sector) 到单位圆盘 \( \mathbb{D} \)：
例如，将角为 \( \alpha \) 的扇形区域 \( \{z : |\arg(z)| < \frac{\alpha}{2}, 0 < |z| < R \} \) 映射到单位圆盘，可以使用幂函数 \( w = z^{\pi/\alpha} \) 先将扇形区域展开为半平面或上半圆盘，然后再映射到单位圆盘。

对于更一般的单连通区域，找到显式的共形映射通常是很困难的，甚至是不可能的。但在实际应用中，数值共形映射方法可以用来近似计算共形映射。

Riemann 映射定理是共形映射理论的基石，它为研究单连通区域上的复变函数提供了强大的工具。

7.4 共形映射的应用 (Applications of Conformal Mapping)

共形映射由于其保角性和保圆性，在物理学、工程学和数学的许多领域都有着广泛的应用。以下是一些主要的应用领域：

① 流体力学 (Fluid Dynamics)：

在二维无旋、不可压缩流体流动问题中，速度势 (velocity potential) 和流函数 (stream function) 满足 Laplace 方程。共形映射可以将复杂的流场区域变换为简单的区域（如圆盘、半平面等），从而简化 Laplace 方程的求解。例如，绕翼型的流场可以通过共形映射变换为绕圆柱的流场，后者更容易求解。著名的 Joukowski 变换 (Joukowski Transformation) 就是一种共形映射，可以将圆盘变换为翼型，在航空工程中用于设计飞机机翼。

② 电磁学 (Electromagnetism)：

在二维静电场和静磁场问题中，电势 (electric potential) 和磁势 (magnetic potential) 也满足 Laplace 方程。共形映射可以用来解决具有复杂边界形状的导体或介质中的电场和磁场分布问题。例如，计算复杂形状电极周围的电场分布，或者计算磁性材料周围的磁场分布。

③ 热力学 (Thermodynamics)：

在二维稳态热传导问题中，温度分布满足 Laplace 方程。共形映射可以用来解决具有复杂边界形状的物体中的热传导问题。例如，计算具有复杂截面形状的导热体的温度分布。

④ 边值问题 (Boundary Value Problems)：

共形映射可以将一个区域上的边值问题变换到另一个区域上的边值问题。如果我们可以找到将复杂区域共形映射到简单区域的映射，那么就可以在简单区域上求解边值问题，然后通过逆映射将解变换回原区域。例如，Dirichlet 问题和 Neumann 问题可以通过共形映射进行简化。

⑤ 数值分析 (Numerical Analysis)：

共形映射在数值计算中也有应用。例如，在网格生成 (mesh generation) 中，共形映射可以用来生成高质量的网格，用于有限元方法 (finite element method) 和边界元方法 (boundary element method) 等数值方法。

⑥ 复分析理论 (Complex Analysis Theory)：

共形映射是复分析理论的重要组成部分，它在研究复变函数的性质、几何函数论、Riemann 曲面理论等方面都起着关键作用。Riemann 映射定理本身就是复分析的基石之一。

⑦ 图像处理 (Image Processing) 和计算机图形学 (Computer Graphics)：

共形映射在图像处理和计算机图形学中也有应用，例如图像变形 (image morphing)、纹理映射 (texture mapping)、形状分析 (shape analysis) 等。

例子 7.4.1 (Joukowski 变换)：

Joukowski 变换定义为
\[ w = J(z) = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right) \]
这个变换将 \( z \)-平面上的单位圆盘 \( |z| < 1 \) 外部区域共形映射到 \( w \)-平面上的一个翼型区域的外部。通过调整圆盘的位置和半径，可以生成各种不同形状的翼型。Joukowski 变换在航空工程中被用来设计早期的飞机机翼。

总结：

共形映射是复分析中一个强大而重要的工具，它不仅具有深刻的理论意义，还在物理学、工程学和应用数学的许多领域有着广泛的应用。通过共形映射，我们可以将复杂的问题简化，从而更容易求解。Riemann 映射定理保证了单连通区域到单位圆盘的共形映射的存在性，为共形映射的应用提供了理论基础。

8. chapter 8：解析延拓与 Riemann 曲面 (Analytic Continuation and Riemann Surfaces)

8.1 解析延拓 (Analytic Continuation)

解析延拓 (Analytic Continuation) 是复分析中一个核心概念，它允许我们将一个定义在较小区域上的解析函数扩展到更大的区域。这个过程并非总是唯一的，但其基本思想是利用解析函数的唯一性来尽可能地扩展其定义域。

8.1.1 解析延拓的定义 (Definition of Analytic Continuation)

假设我们有一个解析函数 \( f_1(z) \) 定义在区域 \( D_1 \) 上。如果存在另一个解析函数 \( f_2(z) \) 定义在区域 \( D_2 \) 上，并且 \( D_1 \cap D_2 \) 非空，同时在 \( D_1 \cap D_2 \) 上有 \( f_1(z) = f_2(z) \)，那么我们称 \( f_2(z) \) 是 \( f_1(z) \) 到 \( D_2 \) 的解析延拓 (analytic continuation)。

更进一步，如果 \( D_1 \subset D_2 \)，且 \( f_2(z) \) 是 \( f_1(z) \) 的解析延拓，那么 \( f_2(z) \) 在 \( D_2 \) 上“扩展”了 \( f_1(z) \) 的定义。

定义 8.1.1 (解析延拓)
设 \( f_1 \) 是区域 \( D_1 \) 上的解析函数。如果存在一个区域 \( D_2 \) 满足 \( D_1 \subsetneq D_2 \) 且存在区域 \( D_2 \) 上的解析函数 \( f_2 \) 使得在 \( D_1 \cap D_2 = D_1 \) 上有 \( f_2(z) = f_1(z) \)，则称 \( f_2 \) 是 \( f_1 \) 到 \( D_2 \) 的解析延拓。

8.1.2 解析延拓的唯一性 (Uniqueness of Analytic Continuation)

解析延拓的一个重要性质是其唯一性。如果存在解析延拓，在一定条件下，它是唯一的。这基于解析函数的唯一性定理 (Uniqueness Theorem)。

定理 8.1.2 (唯一性定理)
如果两个解析函数 \( f \) 和 \( g \) 在区域 \( D \) 上定义，并且在一个非空开子集 \( U \subseteq D \) 上 \( f(z) = g(z) \)，或者在一个在 \( D \) 内有极限点的点集上 \( f(z) = g(z) \)，那么在整个区域 \( D \) 上 \( f(z) = g(z) \)。

基于唯一性定理，我们可以得到解析延拓的唯一性。

定理 8.1.3 (解析延拓的唯一性)
设 \( f_1 \) 是区域 \( D_1 \) 上的解析函数，\( f_2 \) 是 \( f_1 \) 到区域 \( D_2 \) 的解析延拓。如果 \( f_3 \) 也是 \( f_1 \) 到区域 \( D_2 \) 的解析延拓，那么在 \( D_2 \) 上 \( f_2(z) = f_3(z) \)。

证明：
因为 \( f_2 \) 和 \( f_3 \) 都是 \( f_1 \) 的解析延拓，所以在 \( D_1 \cap D_2 = D_1 \) 上，我们有 \( f_2(z) = f_1(z) \) 和 \( f_3(z) = f_1(z) \)。因此，在 \( D_1 \) 上，\( f_2(z) = f_3(z) \)。由于 \( D_1 \) 是 \( D_2 \) 的一个非空开子集，根据唯一性定理，在整个区域 \( D_2 \) 上，\( f_2(z) = f_3(z) \)。

这个定理表明，如果解析延拓存在，那么它是唯一的。这意味着我们可以谈论“the” 解析延拓，而不是 “an” 解析延拓。

8.1.3 幂级数延拓 (Power Series Continuation)

幂级数 (Power Series) 提供了一种构造和理解解析延拓的具体方法。如果一个函数在一个圆盘内可以表示为幂级数，我们可以尝试通过重叠圆盘 (overlapping disks) 的方式来扩展其定义域。

假设我们有一个函数 \( f(z) \) 在圆盘 \( D_1 = \{z : |z - z_0| < R_1\} \) 内由幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \) 定义。选择 \( D_1 \) 内一点 \( z_1 \neq z_0 \)，我们可以将 \( f(z) \) 在 \( z_1 \) 处展开成新的幂级数 \( \sum_{n=0}^{\infty} b_n (z - z_1)^n \)，这个新的幂级数在某个圆盘 \( D_2 = \{z : |z - z_1| < R_2\} \) 内收敛。

如果 \( D_1 \cap D_2 \) 非空，并且在 \( D_1 \cap D_2 \) 上两个幂级数表示的函数值相等，那么在 \( D_2 \) 上，新的幂级数就给出了 \( f(z) \) 的解析延拓。我们可以重复这个过程，沿着路径不断延拓函数。

例子 8.1.3 (幂级数延拓)
考虑函数 \( f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z} \)，它在单位圆盘 \( D_1 = \{z : |z| < 1\} \) 内收敛。
我们选择点 \( z_1 = \frac{1}{2} \in D_1 \)。将 \( f(z) \) 在 \( z_1 = \frac{1}{2} \) 处展开成 Taylor 级数。
首先计算 \( f^{(n)}(z) \)。我们知道 \( f(z) = (1-z)^{-1} \)，则
\( f'(z) = (1-z)^{-2} \), \( f''(z) = 2(1-z)^{-3} \), ..., \( f^{(n)}(z) = n! (1-z)^{-(n+1)} \)。
因此，\( f^{(n)}(\frac{1}{2}) = n! (1-\frac{1}{2})^{-(n+1)} = n! (\frac{1}{2})^{-(n+1)} = n! 2^{n+1} \)。
在 \( z_1 = \frac{1}{2} \) 处的 Taylor 级数为：
\[ g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\frac{1}{2})}{n!} (z - \frac{1}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n! 2^{n+1}}{n!} (z - \frac{1}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n+1} (z - \frac{1}{2})^n \]
这个级数的收敛半径 \( R_2 \) 可以通过比值判别法求得：
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^{n+2} (z - \frac{1}{2})^{n+1}}{2^{n+1} (z - \frac{1}{2})^n} \right| = \lim_{n \to \infty} |2(z - \frac{1}{2})| = |2(z - \frac{1}{2})| \]
要使级数收敛，需要 \( |2(z - \frac{1}{2})| < 1 \)，即 \( |z - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2} \)。所以收敛半径 \( R_2 = \frac{1}{2} \)。
收敛圆盘为 \( D_2 = \{z : |z - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}\} \)。

在 \( D_1 \cap D_2 \) 上，两个级数都收敛，并且都表示函数 \( f(z) = \frac{1}{1-z} \)。因此，\( g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n+1} (z - \frac{1}{2})^n \) 是 \( f(z) \) 从 \( D_1 \) 到 \( D_2 \) 的解析延拓。
实际上，我们已经知道 \( f(z) = \frac{1}{1-z} \) 在 \( z \neq 1 \) 的复平面上都有定义，解析延拓就是将函数的定义域扩展到更大的区域。

8.1.4 沿路径的解析延拓 (Analytic Continuation Along a Path)

我们可以沿着一条路径进行连续的解析延拓。设 \( \gamma : [0, 1] \to \mathbb{C} \) 是一条路径，从 \( z_0 = \gamma(0) \) 到 \( z_1 = \gamma(1) \)。假设在 \( z_0 \) 附近有一个解析函数 \( f_0(z) \)。我们可以沿着路径 \( \gamma \) 构造一系列重叠的圆盘 \( D_0, D_1, ..., D_n \)，使得 \( D_0 \) 以 \( z_0 \) 为中心，\( f_0 \) 在 \( D_0 \) 上解析。对于每个 \( i = 0, 1, ..., n-1 \)，圆盘 \( D_{i+1} \) 以 \( \gamma(t_{i+1}) \) 为中心（其中 \( t_{i+1} \) 适当选取），并且 \( D_i \cap D_{i+1} \neq \emptyset \)。如果在 \( D_i \) 上有解析函数 \( f_i \)，我们可以在 \( D_{i+1} \) 上找到 \( f_{i+1} \) 作为 \( f_i \) 的解析延拓。最终，我们得到一个定义在 \( D_n \) 上的解析函数 \( f_n \)，它是 \( f_0 \) 沿路径 \( \gamma \) 的解析延拓。

需要注意的是，沿不同路径的解析延拓结果可能不同，这引出了多值函数和 Riemann 曲面的概念。

8.2 Riemann 曲面的概念 (Concept of Riemann Surfaces)

Riemann 曲面 (Riemann Surfaces) 是为了解决多值函数 (Multivalued Functions) 的问题而引入的概念。例如，函数 \( f(z) = \sqrt{z} \) 和 \( g(z) = \log z \) 都是多值函数。在复平面上，这些函数在某些点（如 \( z=0 \) 对于 \( \sqrt{z} \) 和 \( \log z \)，以及 \( z=\infty \)）附近表现出多值性。为了使这些函数成为单值函数，我们需要扩展复平面的概念，引入 Riemann 曲面。

8.2.1 多值性问题 (Problem of Multivaluedness)

考虑函数 \( f(z) = \sqrt{z} \)。对于每个非零复数 \( z \)，它有两个平方根。例如，\( \sqrt{4} = \pm 2 \)。如果我们沿着单位圆 \( z = e^{i\theta} \) 从 \( \theta = 0 \) 绕原点一周到 \( \theta = 2\pi \)，假设我们从 \( \sqrt{e^{i \cdot 0}} = 1 \) 开始，连续地取平方根，当我们回到 \( \theta = 2\pi \) 时，我们得到 \( \sqrt{e^{i \cdot 2\pi}} = e^{i\pi} = -1 \)。如果我们再绕一周，又会回到 \( 1 \)。这意味着 \( \sqrt{z} \) 不是单值函数。

类似地，对于 \( \log z \)，我们有 \( \log z = \ln |z| + i (\arg z + 2k\pi) \)，其中 \( k \) 是整数。对于每个 \( z \neq 0 \)，有无穷多个对数值。

为了处理多值函数，Riemann 引入了 Riemann 曲面的概念。Riemann 曲面是一种特殊的复流形 (Complex Manifold)，它使得多值函数在其上成为单值函数。

8.2.2 Riemann 曲面的构造思想 (Construction Idea of Riemann Surfaces)

对于 \( f(z) = \sqrt{z} \)，我们可以想象构造两个“复平面层 (complex plane sheets)”。在第一层，我们定义 \( \sqrt{z} \) 为“主分支 (principal branch)”，例如取正实部的平方根。在第二层，我们定义 \( \sqrt{z} \) 为负实部的平方根。我们沿着负实轴（或任何从原点出发的射线）切割这两个平面层，然后将第一层的“下边缘 (lower edge)” 与第二层的“上边缘 (upper edge)” 粘合，同时将第一层的“上边缘 (upper edge)” 与第二层的“下边缘 (lower edge)” 粘合。这样就形成了一个 Riemann 曲面，在这个曲面上，\( \sqrt{z} \) 成为单值函数。

对于 \( \log z \)，我们需要无穷多层复平面。每当我们绕原点一周，我们就从一层“上升”到另一层。这些层沿着一条射线（例如负实轴）连接起来，形成一个螺旋状的结构。

8.2.3 Riemann 曲面的形式化定义 (Formal Definition of Riemann Surfaces)

严格地定义 Riemann 曲面需要用到拓扑学和微分几何的概念。简单来说，一个 Riemann 曲面是一个连通的 Hausdorff 空间 \( R \)，以及一组坐标邻域系 (coordinate neighborhoods) \( \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha \in A} \)，其中 \( \{U_\alpha\} \) 是 \( R \) 的开覆盖，每个 \( \phi_\alpha : U_\alpha \to V_\alpha \) 是 \( U_\alpha \) 到复平面 \( \mathbb{C} \) 的开子集 \( V_\alpha \) 的同胚 (homeomorphism)，并且对于任意 \( \alpha, \beta \)，如果 \( U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset \)，则转移映射 (transition map) \( \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1} : \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) \) 是解析的。

这个定义确保了 Riemann 曲面局部看起来像复平面，并且不同局部坐标之间是解析兼容的。

8.2.4 \( f(z) = \sqrt{z} \) 的 Riemann 曲面 (Riemann Surface for \( f(z) = \sqrt{z} \))

对于 \( f(z) = \sqrt{z} \)，其 Riemann 曲面可以构造如下：
考虑两个复平面 \( \mathbb{C}_1 \) 和 \( \mathbb{C}_2 \)。在每个平面上，沿着负实轴 \( (-\infty, 0] \) 作切割。
记 \( \mathbb{C}_1' = \mathbb{C}_1 \setminus (-\infty, 0] \) 和 \( \mathbb{C}_2' = \mathbb{C}_2 \setminus (-\infty, 0] \)。
\( \mathbb{C}_1 \) 的切割线的上边缘记为 \( L_1^+ \) ，下边缘记为 \( L_1^- \)。类似地，\( \mathbb{C}_2 \) 的切割线的上边缘记为 \( L_2^+ \) ，下边缘记为 \( L_2^- \)。
将 \( \mathbb{C}_1' \) 的下边缘 \( L_1^- \) 与 \( \mathbb{C}_2' \) 的上边缘 \( L_2^+ \) 粘合。
将 \( \mathbb{C}_1' \) 的上边缘 \( L_1^+ \) 与 \( \mathbb{C}_2' \) 的下边缘 \( L_2^- \) 粘合。
这样粘合得到的空间就是 \( \sqrt{z} \) 的 Riemann 曲面 \( R \)。在 \( R \) 上，函数 \( \sqrt{z} \) 可以定义为单值解析函数。在第一层 \( \mathbb{C}_1 \) 上，我们取平方根的一个分支，在第二层 \( \mathbb{C}_2 \) 上，我们取另一个分支。当我们绕原点旋转 \( 2\pi \) 时，我们从第一层“转移”到第二层，再旋转 \( 2\pi \) 又回到第一层。

原点 \( z = 0 \) 是一个分支点 (branch point)。在分支点附近，Riemann 曲面具有特殊的结构。对于 \( \sqrt{z} \)，原点是一个二阶分支点。

8.2.5 \( f(z) = \log z \) 的 Riemann 曲面 (Riemann Surface for \( f(z) = \log z \))

对于 \( f(z) = \log z \)，我们需要无穷多层复平面。考虑无穷多个复平面 \( \mathbb{C}_k \)，\( k \in \mathbb{Z} \)。在每个 \( \mathbb{C}_k \) 上，沿着负实轴 \( (-\infty, 0] \) 作切割。将 \( \mathbb{C}_k \) 的下边缘与 \( \mathbb{C}_{k+1} \) 的上边缘粘合，对于所有 \( k \in \mathbb{Z} \)。这样就形成了一个无限螺旋状的 Riemann 曲面，称为 \( \log z \) 的 Riemann 曲面。在这个曲面上，\( \log z \) 成为单值解析函数。原点 \( z = 0 \) 和无穷远点 \( z = \infty \) 都是 \( \log z \) 的分支点，它们是对数分支点 (logarithmic branch points)。

8.3 代数函数与 Riemann 曲面 (Algebraic Functions and Riemann Surfaces)

代数函数 (Algebraic Functions) 是一类重要的多值函数，它们可以通过多项式方程来定义。Riemann 曲面为研究代数函数提供了自然的框架。

8.3.1 代数函数的定义 (Definition of Algebraic Functions)

一个复变函数 \( w = f(z) \) 被称为代数函数，如果存在两个变量 \( z \) 和 \( w \) 的多项式 \( P(z, w) \)，使得对于所有 \( z \) 在其定义域内，有 \( P(z, f(z)) = 0 \)。

例如，\( w = \sqrt{z} \) 是代数函数，因为它满足方程 \( w^2 - z = 0 \)，其中 \( P(z, w) = w^2 - z \)。
函数 \( w = \log z \) 不是代数函数，因为它不能由多项式方程定义。

8.3.2 代数函数的 Riemann 曲面 (Riemann Surfaces for Algebraic Functions)

对于给定的多项式方程 \( P(z, w) = 0 \)，我们可以构造一个 Riemann 曲面，使得在这个曲面上，满足方程的 \( w \) 可以看作是 \( z \) 的单值解析函数。

考虑方程 \( P(z, w) = 0 \)。对于每个 \( z \)，方程可能有多个解 \( w \)。Riemann 曲面的点可以看作是 \( (z, w) \) 对，其中 \( P(z, w) = 0 \)。我们可以赋予这些点一个拓扑结构和复结构，使其成为一个 Riemann 曲面。

例子 8.3.2 (Riemann 曲面 for \( w^2 = z(z-1)(z-2) \))
考虑代数函数 \( w = \sqrt{z(z-1)(z-2)} \)，它由方程 \( w^2 - z(z-1)(z-2) = 0 \) 定义。分支点是 \( z = 0, 1, 2, \infty \)。我们可以构造一个 Riemann 曲面来使这个函数单值化。

为了构造 Riemann 曲面，我们需要考虑分支点和切割线。分支点是使得方程 \( P(z, w) = 0 \) 的解 \( w \) 的个数发生变化的点。对于 \( w^2 = z(z-1)(z-2) \)，分支点是 \( z = 0, 1, 2, \infty \)。我们可以连接分支点，例如用线段 \( [0, 1] \) 和 \( [2, \infty) \) 作为切割线。我们需要两层复平面，沿着切割线粘合。

更一般地，对于代数函数，其 Riemann 曲面总是可以构造出来的，并且是一个紧 Riemann 曲面（如果包括无穷远点）。研究代数函数和它们的 Riemann 曲面是 Riemann 曲面理论的核心内容之一。Riemann 曲面理论与代数几何、复流形理论等领域有深刻的联系。

8.3.3 Riemann 曲面的应用 (Applications of Riemann Surfaces)

Riemann 曲面在复分析、代数几何、数论、物理学等领域都有广泛的应用。
① 理解多值函数: Riemann 曲面提供了一个自然的框架来理解和处理多值函数，使得多值函数可以在 Riemann 曲面上被视为单值函数。
② 代数曲线的研究: Riemann 曲面与代数曲线密切相关。每个紧 Riemann 曲面都同构于某个射影代数曲线。Riemann 曲面理论为研究代数曲线提供了复分析的方法。
③ 复流形理论的基础: Riemann 曲面是最低维的复流形，是研究高维复流形的模型和基础。
④ 物理学中的应用: Riemann 曲面在弦理论、共形场论、可积系统等物理领域中都有重要应用。例如，在弦理论中，弦的传播路径可以用 Riemann 曲面来描述。

通过 Riemann 曲面的概念，我们能够更深入地理解复变函数的性质，特别是多值函数的行为，并将其应用于更广泛的数学和物理问题中。

9. chapter 9：特殊函数及其应用 (Special Functions and Applications)

9.1 Gamma 函数 (Gamma Function)

Gamma 函数 \(\Gamma(z)\) 是阶乘函数在复数域上的推广，在数学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。它最初由瑞士数学家欧拉 (Leonhard Euler) 在 18 世纪提出。

9.1.1 Gamma 函数的定义 (Definition of Gamma Function)

对于复数 \(z\)，当 \(\mathrm{Re}(z) > 0\) 时，Gamma 函数 \(\Gamma(z)\) 定义为：
\[ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \]
这个积分被称为欧拉第二类积分 (Euler integral of the second kind)。

① 性质：
⚝ 递推关系 (Recursion Relation)：对于任意复数 \(z\)，有
\[ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \]
证明：使用分部积分法。
\[ \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t} dt = \left[ -t^{z} e^{-t} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} z t^{z-1} e^{-t} dt = 0 + z \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt = z\Gamma(z) \]
⚝ 特殊值 (Special Values)：
▮▮▮▮ⓐ 当 \(n\) 为正整数时，\(\Gamma(n) = (n-1)!\)。
证明：利用递推关系和 \(\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 1 = 0!\)。
\(\Gamma(2) = 1\Gamma(1) = 1!\)
\(\Gamma(3) = 2\Gamma(2) = 2!\)
...
\(\Gamma(n) = (n-1)\Gamma(n-1) = (n-1)!\)
▮▮▮▮ⓑ \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)。
证明：
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt \]
令 \(t = u^2\)，则 \(dt = 2u du\)。
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{\infty} (u^2)^{-1/2} e^{-u^2} (2u du) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi} \]
其中，我们使用了高斯积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\)，因此 \(\int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。

9.1.2 Gamma 函数的解析延拓 (Analytic Continuation of Gamma Function)

Gamma 函数最初定义在 \(\mathrm{Re}(z) > 0\) 的区域。通过递推关系 \(\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)\)，我们可以将 Gamma 函数解析延拓到整个复平面，除了 \(z = 0, -1, -2, \dots\) 这些点，在这些点上 Gamma 函数有单极点 (simple poles)。

从递推关系 \(\Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+1)}{z}\) 可以看出，如果 \(\Gamma(z+1)\) 在某个区域解析，那么 \(\Gamma(z)\) 在该区域除去 \(z=0\) 也是解析的。由于 \(\Gamma(z)\) 在 \(\mathrm{Re}(z) > 0\) 解析，我们可以将其延拓到 \(\mathrm{Re}(z) > -1\) 除去 \(z=0\)。重复这个过程，我们可以将 Gamma 函数延拓到整个复平面，除了负整数和零点。

9.1.3 Gamma 函数的其他表示 (Other Representations of Gamma Function)

① Weierstrass 形式 (Weierstrass Form)：
\[ \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n} \]
其中 \(\gamma\) 是欧拉-马歇罗尼常数 (Euler-Mascheroni constant)，\(\gamma \approx 0.5772156649\)。

② Hankel 积分形式 (Hankel Integral Form)：
\[ \Gamma(z) = \frac{1}{2i\sin(\pi z)} \int_{C} e^{t} t^{z-1} dt \]
其中 \(C\) 是 Hankel 围道 (Hankel contour)，它从 \(-\infty\) 沿实轴上方趋近于原点，绕原点逆时针旋转一周，再沿实轴下方退回 \(-\infty\)。这个形式的定义对所有复数 \(z\) 都有效。

③ 反射公式 (Reflection Formula)：
\[ \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \]
这个公式联系了 \(\Gamma(z)\) 和 \(\Gamma(1-z)\)，在理论和应用中都非常重要。

9.1.4 Gamma 函数的性质总结 (Summary of Properties of Gamma Function)

① 定义积分：\(\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt\)，\(\mathrm{Re}(z) > 0\)。
② 递推关系：\(\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)\)。
③ 特殊值：\(\Gamma(n) = (n-1)!\) (n 为正整数), \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)。
④ 解析延拓：\(\Gamma(z)\) 可以解析延拓到整个复平面，除了 \(z = 0, -1, -2, \dots\) 为单极点。
⑤ Weierstrass 形式：\(\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}\)。
⑥ 反射公式：\(\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}\)。

9.2 Zeta 函数 (Zeta Function)

Zeta 函数 \(\zeta(s)\) 是数论中最重要的函数之一，在数学的多个分支，如解析数论、复分析和物理学中都有着深刻的应用。黎曼 Zeta 函数 (Riemann Zeta function) 是最常见的 Zeta 函数，通常简称为 Zeta 函数。

9.2.1 Riemann Zeta 函数的定义 (Definition of Riemann Zeta Function)

对于复数 \(s\)，当 \(\mathrm{Re}(s) > 1\) 时，Riemann Zeta 函数 \(\zeta(s)\) 定义为无穷级数：
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots \]
这个级数被称为 Dirichlet 级数 (Dirichlet series)。

① 性质：
⚝ Euler 乘积公式 (Euler Product Formula)：对于 \(\mathrm{Re}(s) > 1\)，
\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ is prime}} \left(1 - p^{-s}\right)^{-1} \]
其中乘积遍历所有素数 \(p\)。这个公式联系了 Zeta 函数和素数，是解析数论的基础。

⚝ 积分表示 (Integral Representation)：对于 \(\mathrm{Re}(s) > 1\)，
\[ \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t - 1} dt \]

9.2.2 Zeta 函数的解析延拓 (Analytic Continuation of Zeta Function)

Riemann Zeta 函数最初定义在 \(\mathrm{Re}(s) > 1\) 的区域。可以通过多种方法将其解析延拓到整个复平面，除了 \(s = 1\) 处有一个单极点。

① 函数方程 (Functional Equation)：Riemann Zeta 函数满足以下函数方程：
\[ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \]
或者另一种形式：
\[ \zeta(s) = \frac{\pi^{s/2}}{\Gamma(s/2)} \xi(s) \]
其中 \(\xi(s) = \xi(1-s)\) 是 Riemann Xi 函数 (Riemann Xi function)，它是整函数 (entire function)。

② 解析延拓到 \(\mathrm{Re}(s) > 0\)：使用积分表示和解析延拓技巧，可以将 \(\zeta(s)\) 延拓到 \(\mathrm{Re}(s) > 0\)，除了 \(s=1\) 的极点。

③ 解析延拓到整个复平面：利用函数方程，可以将 \(\zeta(s)\) 延拓到整个复平面。函数方程表明 \(\zeta(s)\) 在 \(s=1\) 有一个单极点，并且在 \(s = -2, -4, -6, \dots\) 有零点，这些零点被称为平凡零点 (trivial zeros)。Riemann 猜想 (Riemann Hypothesis) 猜测 \(\zeta(s)\) 的所有非平凡零点 (non-trivial zeros) 都位于临界线 (critical line) \(\mathrm{Re}(s) = 1/2\) 上，这是数学中最重要的未解决问题之一。

9.2.3 Zeta 函数的特殊值 (Special Values of Zeta Function)

① 正偶数 (Positive Even Integers)：对于正偶数 \(2n\)，\(\zeta(2n)\) 可以用 Bernoulli 数 (Bernoulli numbers) \(B_{2n}\) 表示：
\[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \]
例如：
\(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\)
\(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\)
\(\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}\)

② 负奇数 (Negative Odd Integers)：对于负奇数 \(- (2n-1)\)，\(\zeta(-(2n-1))\) 可以用 Bernoulli 数 \(B_{2n}\) 表示：
\[ \zeta(-(2n-1)) = -\frac{B_{2n}}{2n} \]
例如：
\(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\)
\(\zeta(-3) = \frac{1}{120}\)

③ 负偶数 (Negative Even Integers)：对于负偶数 \(-2n\)，\(\zeta(-2n) = 0\)，即负偶数点是 Zeta 函数的平凡零点。

9.2.4 Zeta 函数的性质总结 (Summary of Properties of Zeta Function)

① 定义级数：\(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\)，\(\mathrm{Re}(s) > 1\)。
② Euler 乘积公式：\(\zeta(s) = \prod_{p \text{ is prime}} \left(1 - p^{-s}\right)^{-1}\)，\(\mathrm{Re}(s) > 1\)。
③ 解析延拓：\(\zeta(s)\) 可以解析延拓到整个复平面，除了 \(s = 1\) 为单极点。
④ 函数方程：\(\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)\)。
⑤ 特殊值：\(\zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\)，\(\zeta(-2n) = 0\)，\(\zeta(- (2n-1)) = -\frac{B_{2n}}{2n}\)。
⑥ 零点：平凡零点在 \(s = -2, -4, -6, \dots\)，Riemann 猜想关于非平凡零点的位置。

9.3 特殊函数在复分析中的应用 (Applications of Special Functions in Complex Analysis)

Gamma 函数和 Zeta 函数作为重要的特殊函数，在复分析中以及相关领域有着广泛的应用。

9.3.1 Gamma 函数的应用 (Applications of Gamma Function)

① 广义阶乘和组合数 (Generalized Factorials and Binomial Coefficients)：Gamma 函数推广了阶乘的概念，使得阶乘可以定义在复数上。广义二项式系数 \(\binom{z}{w}\) 可以用 Gamma 函数表示：
\[ \binom{z}{w} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(w+1)\Gamma(z-w+1)} \]

② 积分计算 (Integral Evaluation)：Gamma 函数的积分定义和性质可以用来计算一些复杂的定积分。例如，Beta 函数 (Beta function) \(B(x, y)\) 可以用 Gamma 函数表示：
\[ B(x, y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

③ 微分方程 (Differential Equations)：Gamma 函数和相关函数（如 Kummer 函数、超几何函数等）出现在许多微分方程的解中，特别是在物理学和工程学中。

④ 渐近分析 (Asymptotic Analysis)：Stirling 公式 (Stirling's approximation) 是 Gamma 函数的一个重要渐近公式，用于估计大 \(|z|\) 时 \(\Gamma(z)\) 的值：
\[ \Gamma(z+1) \sim \sqrt{2\pi z} \left(\frac{z}{e}\right)^z, \quad |\arg(z)| < \pi \]
这个公式在概率论、统计物理等领域有重要应用。

9.3.2 Zeta 函数的应用 (Applications of Zeta Function)

① 素数分布 (Prime Number Distribution)：Riemann Zeta 函数与素数分布密切相关。素数定理 (Prime Number Theorem) 可以用 Zeta 函数的性质来证明，它描述了素数在整数中的渐近分布。

② 解析数论 (Analytic Number Theory)：Zeta 函数是解析数论的核心工具。许多数论问题，如 Dirichlet 定理 (Dirichlet's theorem on arithmetic progressions)、Goldbach 猜想 (Goldbach's conjecture) 等，都与 Zeta 函数的研究有关。

③ 物理学 (Physics)：Zeta 函数在物理学中也有应用，例如在量子场论 (quantum field theory)、统计力学 (statistical mechanics) 和宇宙学 (cosmology) 中。例如，在 Casimir 效应 (Casimir effect) 的计算中，需要用到 Zeta 函数正则化 (Zeta function regularization)。

④ 密码学 (Cryptography)：Zeta 函数和相关函数在现代密码学中也有一定的应用，特别是在椭圆曲线密码学 (elliptic curve cryptography) 和代数数论密码学 (algebraic number theory cryptography) 中。

9.3.3 特殊函数在共形映射中的应用 (Applications of Special Functions in Conformal Mapping)

特殊函数，特别是椭圆函数 (elliptic functions) 和模函数 (modular functions)，在共形映射理论中扮演重要角色。例如，Schwarz-Christoffel 映射 (Schwarz-Christoffel mapping) 可以用特殊函数来表示，用于将上半平面共形映射到多边形区域。模函数在研究复平面上的周期性结构和自同构群 (automorphism groups) 时非常有用。

9.3.4 总结 (Summary)

特殊函数，如 Gamma 函数和 Zeta 函数，不仅是复分析的重要组成部分，而且在数学、物理学、工程学和计算机科学等多个领域都有着广泛的应用。它们的研究不仅深化了我们对复分析的理解，也为解决实际问题提供了强大的工具。掌握这些特殊函数的性质和应用，对于深入学习复分析及其应用至关重要。

10. chapter 10：Dirichlet 问题与调和函数 (Dirichlet Problem and Harmonic Functions)

10.1 Dirichlet 问题 (Dirichlet Problem)

Dirichlet 问题（Dirichlet Problem）是偏微分方程理论中的一个经典问题，在物理学和工程学中有着广泛的应用。特别是在静电学、热传导和流体力学等领域，Dirichlet 问题都扮演着重要的角色。在复分析的框架下，Dirichlet 问题与调和函数（Harmonic Functions）紧密相连，为我们理解复变函数的性质提供了新的视角。

Dirichlet 问题的定义

Dirichlet 问题通常定义在某个区域 \( D \) 的边界 \( \partial D \) 上。给定边界值函数 \( f \)，Dirichlet 问题旨在寻找一个在区域 \( D \) 内调和的函数 \( u \)，并且在边界 \( \partial D \) 上取值为 \( f \)。

更具体地说，设 \( D \) 是复平面 \( \mathbb{C} \) 上的一个区域，\( \partial D \) 是其边界。给定一个定义在边界 \( \partial D \) 上的实值连续函数 \( f: \partial D \to \mathbb{R} \)，Dirichlet 问题就是要找到一个在 \( D \) 内二次连续可微的实值函数 \( u: \overline{D} \to \mathbb{R} \) (其中 \( \overline{D} = D \cup \partial D \) 是 \( D \) 的闭包)，满足以下条件：

① 在 \( D \) 内，\( u \) 是调和函数，即满足 Laplace 方程（Laplace's Equation）：
\[ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \text{在 } D \text{ 内} \]
其中 \( \Delta \) 是 Laplace 算子（Laplacian operator）。

② 在边界 \( \partial D \) 上，\( u \) 取给定的边界值 \( f \)，即：
\[ u(z) = f(z), \quad \text{对于所有 } z \in \partial D \]

满足以上两个条件的函数 \( u \) 就称为 Dirichlet 问题的解。

Dirichlet 问题的物理意义

从物理学的角度来看，Dirichlet 问题可以描述多种物理现象。例如：

① 静电学: 在静电学中，\( u \) 可以表示静电势（electrostatic potential），Laplace 方程描述了在没有自由电荷的区域内静电势的分布。边界条件 \( u(z) = f(z) \) 表示在区域边界上电势的给定值。Dirichlet 问题就是求解在给定边界电势的情况下，区域内部的电势分布。

② 热传导: 在热传导问题中，\( u \) 可以表示稳态温度分布（steady-state temperature distribution）。Laplace 方程描述了在没有热源或热汇的区域内，稳态温度的分布。边界条件 \( u(z) = f(z) \) 表示在区域边界上温度的给定值。Dirichlet 问题就是求解在给定边界温度的情况下，区域内部的温度分布。

③ 流体力学: 在不可压缩无旋流（incompressible irrotational flow）中，速度势（velocity potential）满足 Laplace 方程。Dirichlet 边界条件可以用来描述流体在边界上的速度或压力条件。

Dirichlet 问题的解的存在性与唯一性

对于 Dirichlet 问题，我们自然会关心解的存在性（existence）和唯一性（uniqueness）。在适当的条件下，Dirichlet 问题的解是存在且唯一的。

① 唯一性: 如果 Dirichlet 问题存在解，那么在相当一般的条件下，解是唯一的。唯一性可以通过最大值原理（Maximum Principle）来证明。如果 \( u_1 \) 和 \( u_2 \) 都是 Dirichlet 问题的解，那么它们的差 \( v = u_1 - u_2 \) 也是调和函数，并且在边界上 \( v = 0 \)。根据最大值原理，调和函数的最大值和最小值都在边界上取得。因此，\( v \) 的最大值和最小值都是 0，这意味着 \( v \equiv 0 \)，即 \( u_1 = u_2 \)。

② 存在性: 解的存在性问题相对复杂，它依赖于区域 \( D \) 的性质和边界函数 \( f \) 的光滑性。对于一些简单的区域，例如圆盘（disk）、半平面（half-plane）等，我们可以通过构造 Poisson 积分公式（Poisson Integral Formula）来显式地给出解。对于更一般的区域，解的存在性可以通过 Perron 方法等理论来保证。

Dirichlet 问题的求解方法

求解 Dirichlet 问题有多种方法，包括：

① Poisson 积分公式: 对于圆盘区域，Poisson 积分公式提供了一个显式的解的表达式。这将在 10.3 节详细介绍。

② 共形映射方法: 如果区域 \( D \) 可以共形映射（conformal mapping）到圆盘，我们可以利用共形映射将 Dirichlet 问题转化为在圆盘上的 Dirichlet 问题，然后使用 Poisson 积分公式求解，再通过逆映射得到原区域上的解。

③ 分离变量法: 对于一些具有特殊几何形状的区域，例如矩形、扇形等，可以使用分离变量法（method of separation of variables）求解。

④ 数值方法: 对于复杂的区域，通常需要使用数值方法，例如有限差分法（finite difference method）、有限元法（finite element method）等来近似求解。

在后续的章节中，我们将重点介绍 Poisson 积分公式，它是求解圆盘上 Dirichlet 问题的有力工具，并且在理论分析和实际应用中都非常重要。理解 Dirichlet 问题及其解法，不仅可以加深我们对调和函数的理解，也为解决实际问题提供了重要的数学工具。

10.2 调和函数的性质 (Properties of Harmonic Functions)

调和函数（Harmonic Functions）在复分析和偏微分方程中占据着核心地位。它们不仅与 Laplace 方程紧密相连，而且具有许多独特的性质，这些性质使得调和函数在理论研究和实际应用中都非常重要。本节将深入探讨调和函数的一些关键性质。

调和函数的定义回顾

在区域 \( D \subseteq \mathbb{C} \) 内，一个实值函数 \( u(x, y) \) 被称为调和函数，如果它在 \( D \) 内二次连续可微，并且满足 Laplace 方程：
\[ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
其中 \( \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \) 是 Laplace 算子。

调和函数的基本性质

① 线性性 (Linearity)：如果 \( u_1 \) 和 \( u_2 \) 是区域 \( D \) 内的调和函数，\( c_1 \) 和 \( c_2 \) 是常数，那么线性组合 \( c_1 u_1 + c_2 u_2 \) 也是 \( D \) 内的调和函数。
证明：
\[ \Delta (c_1 u_1 + c_2 u_2) = c_1 \Delta u_1 + c_2 \Delta u_2 = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 = 0 \]

② 解析函数的实部与虚部 (Real and Imaginary Parts of Analytic Functions)：如果 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是区域 \( D \) 内的解析函数（Analytic Function），那么它的实部 \( u(x, y) \) 和虚部 \( v(x, y) \) 都是 \( D \) 内的调和函数。
证明：由于 \( f(z) \) 解析，Cauchy-Riemann 方程（Cauchy-Riemann Equations）成立：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
对第一个方程关于 \( x \) 求导，第二个方程关于 \( y \) 求导，得到：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} \]
假设 \( u, v \) 二次连续可微，则混合偏导数相等 \( \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} \)。因此，
\[ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} = 0 \]
同理可证 \( \Delta v = 0 \)。

③ 平均值性质 (Mean Value Property)：设 \( u \) 是区域 \( D \) 内的调和函数，\( z_0 \in D \)，\( r > 0 \) 使得闭圆盘 \( \overline{B(z_0, r)} \subseteq D \)。则 \( u(z_0) \) 等于以 \( z_0 \) 为圆心，\( r \) 为半径的圆周上的平均值，也等于以 \( z_0 \) 为圆心，\( r \) 为半径的圆盘上的平均值。

圆周平均值公式：
\[ u(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(z_0 + re^{i\theta}) d\theta \]

圆盘平均值公式：
\[ u(z_0) = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{B(z_0, r)} u(x, y) dA \]
其中 \( dA = dxdy \) 是面积元素。

平均值性质是调和函数的一个非常重要的特征性质，它在证明调和函数的其他性质中起着关键作用。

④ 最大值原理 (Maximum Principle) 和最小值原理 (Minimum Principle)：设 \( u \) 是区域 \( D \) 内的调和函数。

⚝ 最大值原理: 如果 \( D \) 是有界区域，且 \( u \) 在 \( \overline{D} = D \cup \partial D \) 上连续，那么 \( u \) 在 \( \overline{D} \) 上的最大值一定在边界 \( \partial D \) 上取得，除非 \( u \) 是常数函数。也就是说，如果 \( z \in D \)，则 \( u(z) \leq \max_{w \in \partial D} u(w) \)。

⚝ 最小值原理: 类似地，如果 \( D \) 是有界区域，且 \( u \) 在 \( \overline{D} \) 上连续，那么 \( u \) 在 \( \overline{D} \) 上的最小值一定在边界 \( \partial D \) 上取得，除非 \( u \) 是常数函数。也就是说，如果 \( z \in D \)，则 \( u(z) \geq \min_{w \in \partial D} u(w) \)。

最大值原理和最小值原理表明，调和函数在区域内部不可能取得严格的最大值或最小值，除非它是常数函数。这对于研究 Dirichlet 问题的唯一性非常重要。

⑤ 调和函数的正则性 (Regularity of Harmonic Functions)：调和函数具有非常好的正则性。如果 \( u \) 在区域 \( D \) 内调和，那么 \( u \) 在 \( D \) 内是无限次可微的（\( C^\infty \) 光滑的）。实际上，更强的结论是，调和函数是解析的（analytic）在实变量意义下。

⑥ Liouville 定理的调和函数版本 (Liouville's Theorem for Harmonic Functions)：有界区域上的有界解析函数必为常数（Liouville's Theorem）。对于调和函数，也有类似的结论。如果 \( u \) 是在整个复平面 \( \mathbb{C} \) 上有界的调和函数，那么 \( u \) 必为常数函数。

调和共轭函数 (Harmonic Conjugate Functions)

如果 \( u(x, y) \) 是区域 \( D \) 内的调和函数，我们是否总能找到另一个调和函数 \( v(x, y) \) 使得 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是 \( D \) 内的解析函数？如果存在这样的 \( v \)，则称 \( v \) 是 \( u \) 的调和共轭函数。

根据 Cauchy-Riemann 方程，如果 \( f = u + iv \) 解析，则必须满足：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
给定调和函数 \( u \)，我们希望找到 \( v \) 满足上述方程。这实际上是一个偏微分方程组。

在单连通区域（Simply Connected Domain）内，对于任意调和函数 \( u \)，其调和共轭函数 \( v \) 总是存在的，并且在相差一个常数的意义下是唯一的。我们可以通过积分来构造调和共轭函数。例如，固定 \( z_0 = (x_0, y_0) \in D \)，对于任意 \( z = (x, y) \in D \)，定义：
\[ v(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} \left( -\frac{\partial u}{\partial y} dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy \right) \]
由于 \( u \) 是调和函数，可以验证积分与路径无关（在单连通区域内），并且这样定义的 \( v \) 满足 Cauchy-Riemann 方程，因此是 \( u \) 的调和共轭函数。

在多连通区域（Multiply Connected Domain）内，调和共轭函数不一定存在。存在性与区域的拓扑结构有关。

总结

调和函数具有丰富的性质，包括线性性、与解析函数的联系、平均值性质、最大值和最小值原理、正则性以及调和共轭函数的概念。这些性质使得调和函数成为复分析和偏微分方程中重要的研究对象，并在物理学和工程学中有着广泛的应用。理解这些性质对于深入学习复分析和解决相关问题至关重要。

10.3 Poisson 积分公式 (Poisson Integral Formula)

Poisson 积分公式（Poisson Integral Formula）是求解圆盘上的 Dirichlet 问题的一个重要工具。它提供了一个显式公式，通过边界值函数来表示圆盘内部的调和函数。Poisson 积分公式不仅在理论上非常重要，而且在实际应用中也具有广泛的价值。

Poisson 积分公式的推导

考虑单位圆盘 \( D = \{z : |z| < 1\} \) 和边界 \( \partial D = \{z : |z| = 1\} \)。设边界值函数为 \( f(\theta) \)，我们希望找到在 \( D \) 内调和，在 \( \partial D \) 上取值为 \( f \) 的函数 \( u(r, \theta) \)，其中 \( z = re^{i\theta} \)。

假设我们已经找到了这样的调和函数 \( u(r, \theta) \)。对于 \( z = re^{i\theta} \in D \) 和 \( \zeta = e^{i\phi} \in \partial D \)，考虑函数 \( \frac{\zeta + z}{\zeta - z} \)。我们可以将其分解为实部和虚部：
\[ \frac{\zeta + z}{\zeta - z} = \frac{e^{i\phi} + re^{i\theta}}{e^{i\phi} - re^{i\theta}} = \frac{(e^{i\phi} + re^{i\theta})(e^{-i\phi} - re^{-i\theta})}{|e^{i\phi} - re^{i\theta}|^2} = \frac{1 - re^{-i(\phi-\theta)} + re^{i(\phi-\theta)} - r^2}{1 - 2r\cos(\phi-\theta) + r^2} \]
\[ = \frac{1 - r^2 + r(e^{i(\phi-\theta)} - e^{-i(\phi-\theta)})}{1 - 2r\cos(\phi-\theta) + r^2} = \frac{1 - r^2 + 2ir\sin(\phi-\theta)}{1 - 2r\cos(\phi-\theta) + r^2} \]
因此，实部为：
\[ \text{Re}\left( \frac{\zeta + z}{\zeta - z} \right) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\phi-\theta) + r^2} = P_r(\phi-\theta) \]
这个函数 \( P_r(\phi-\theta) \) 称为 Poisson 核 (Poisson Kernel)。

Poisson 积分公式的核心思想是利用 Cauchy 积分公式和 Poisson 核来表示调和函数。对于单位圆盘上的解析函数 \( F(z) \)，Cauchy 积分公式为：
\[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{F(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{F(e^{i\phi})}{e^{i\phi} - re^{i\theta}} ie^{i\phi} d\phi = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} F(e^{i\phi}) \frac{e^{i\phi}}{e^{i\phi} - re^{i\theta}} d\phi \]
考虑 \( \overline{D} \) 内解析的函数 \( F(z) \)。如果 \( z \in D \)，\( \zeta \in \partial D \)，则 \( \frac{1}{\zeta - z} - \frac{1}{\zeta - 1/\overline{z}} \) 是解析的，因为 \( |1/\overline{z}| = 1/|z| > 1 \)，所以 \( 1/\overline{z} \) 在圆盘外。根据 Cauchy 积分定理，
\[ \oint_{\partial D} \frac{F(\zeta)}{\zeta - 1/\overline{z}} d\zeta = 0 \]
因此，
\[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \left( \frac{1}{\zeta - z} - \frac{1}{\zeta - 1/\overline{z}} \right) F(\zeta) d\zeta = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{(\zeta - 1/\overline{z}) - (\zeta - z)}{(\zeta - z)(\zeta - 1/\overline{z})} F(\zeta) d\zeta \]
\[ = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{z - 1/\overline{z}}{(\zeta - z)(\zeta - 1/\overline{z})} F(\zeta) d\zeta = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{z - \overline{z}/|\overline{z}|^2}{(\zeta - z)(\zeta - 1/\overline{z})} F(\zeta) d\zeta \]
由于在单位圆盘上 \( |\zeta| = 1 \)，所以 \( \zeta \overline{\zeta} = |\zeta|^2 = 1 \)，即 \( \overline{\zeta} = 1/\zeta \)。因此，\( 1/\overline{z} = \overline{z} / |z|^2 \)。
\[ \frac{z - 1/\overline{z}}{(\zeta - z)(\zeta - 1/\overline{z})} = \frac{z - \overline{z}/|z|^2}{(\zeta - z)(\zeta - \overline{z}/|z|^2)} = \frac{z - \overline{z}/|z|^2}{\zeta \overline{\zeta} - \zeta \overline{z}/|z|^2 - z\overline{\zeta} + z\overline{z}/|z|^2} = \frac{z - \overline{z}/|z|^2}{1 - \zeta \overline{z}/|z|^2 - z\overline{\zeta} + z\overline{z}/|z|^2} \]
当 \( |\zeta| = 1 \) 时，\( \overline{\zeta} = 1/\zeta \)，
\[ \frac{z - 1/\overline{z}}{(\zeta - z)(\zeta - 1/\overline{z})} = \frac{z - 1/\overline{z}}{\zeta \overline{\zeta} - \zeta \overline{z} - z\overline{\zeta} + z/\overline{z}} = \frac{z - 1/\overline{z}}{1 - \zeta \overline{z} - z\overline{\zeta} + z/\overline{z}} \]
这推导过程似乎复杂化了。让我们回到 Poisson 核的定义。

对于单位圆盘 \( D \)，Poisson 积分公式为：
\[ u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\phi-\theta) f(\phi) d\phi = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\phi-\theta) + r^2} f(\phi) d\phi \]
其中 \( f(\phi) \) 是边界 \( \partial D \) 上的边界值函数，\( u(re^{i\theta}) \) 是在 \( D \) 内的调和函数，且当 \( r \to 1^- \) 时，\( u(re^{i\theta}) \to f(\theta) \)。

Poisson 积分公式的性质

① 调和性: 由 Poisson 积分公式定义的函数 \( u(r, \theta) \) 在单位圆盘 \( D \) 内是调和函数。这可以通过直接计算 Laplace 算子作用于 Poisson 核来验证。

② 边界值: 当 \( r \to 1^- \) 时，Poisson 积分 \( u(re^{i\theta}) \) 收敛到边界值函数 \( f(\theta) \)。更精确地说，如果 \( f(\theta) \) 在 \( \theta_0 \) 处连续，则 \( \lim_{r \to 1^-} u(re^{i\theta_0}) = f(\theta_0) \)。

③ 唯一性: Poisson 积分公式给出了单位圆盘上 Dirichlet 问题的唯一解。

推广到一般圆盘

对于半径为 \( R \) 的圆盘 \( B(z_0, R) = \{z : |z - z_0| < R\} \)，Poisson 积分公式可以推广为：
设边界值函数 \( f(\phi) \) 定义在 \( \partial B(z_0, R) \) 上，则在 \( B(z_0, R) \) 内的调和函数 \( u(z) \) 为：
\[ u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2 - |z - z_0|^2}{|Re^{i\phi} + z_0 - z|^2} f(\phi) d\phi \]
其中 \( z = z_0 + re^{i\theta} \)，\( 0 \leq r < R \)。

Poisson 积分公式的应用

① 求解圆盘上的 Dirichlet 问题: Poisson 积分公式直接给出了圆盘上 Dirichlet 问题的解。给定边界值函数，可以直接通过积分计算出圆盘内部的调和函数。

② 研究调和函数的性质: Poisson 积分公式可以用来证明调和函数的许多性质，例如平均值性质、最大值原理等。

③ 数值计算: Poisson 积分公式可以用于数值计算调和函数的值。

例子

考虑单位圆盘上的 Dirichlet 问题，边界值函数为 \( f(\theta) = \cos(\theta) \)。使用 Poisson 积分公式求解。
\[ u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\phi-\theta) + r^2} \cos(\phi) d\phi \]
可以验证，解为 \( u(re^{i\theta}) = r\cos(\theta) = \text{Re}(z) = x \)。实际上，\( u(x, y) = x \) 是调和函数，且在单位圆周上 \( x = \cos(\theta) \)。

总结

Poisson 积分公式是复分析中一个非常重要的公式，它为求解圆盘上的 Dirichlet 问题提供了显式解，并且在理论和应用上都具有重要意义。通过 Poisson 积分公式，我们可以深入理解调和函数的性质，并解决相关的物理和工程问题。

附录 A：复分析发展简史 (Brief History of Complex Analysis)

复分析（Complex Analysis）作为数学的一个重要分支，其发展历史悠久而辉煌，经历了从萌芽到成熟的漫长过程。以下是复分析发展简史的概要：

早期萌芽 (16世纪 - 18世纪)

① 复数的出现: 复数的概念最早可以追溯到16世纪，意大利数学家卡尔达诺（Gerolamo Cardano）在解三次方程时，首次接触到负数平方根的形式。然而，当时复数被视为一种形式上的工具，而非真实存在的数。

② 棣莫弗公式 (De Moivre's Formula): 18世纪初，棣莫弗（Abraham de Moivre）发现了棣莫弗公式 \( (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \)，这为复数的运算和几何表示奠定了基础。

③ 欧拉公式 (Euler's Formula): 欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中期引入了欧拉公式 \( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)，将指数函数与三角函数联系起来，极大地简化了复数的表示和运算，并为复分析的发展提供了强大的工具。

④ 复平面的雏形: 达朗贝尔（Jean-Baptiste le Rond d'Alembert）和欧拉等人开始意识到复数可以表示平面上的点，但尚未形成清晰的复平面概念。

初步发展 (19世纪初期)

① 复平面的确立: 韦塞尔（Caspar Wessel）、阿尔冈（Jean-Robert Argand）和高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初各自独立地提出了复平面的概念，将复数 \( z = x + iy \) 与平面上的点 \( (x, y) \) 一一对应起来，使得复数有了直观的几何解释。高斯还引入了“复数”（complex number）这一术语，并大力推广复数的应用。

② Cauchy 的贡献: 柯西（Augustin-Louis Cauchy）是复分析的奠基人之一。他在19世纪20年代系统地发展了复变函数理论，包括复积分、Cauchy 积分定理、Cauchy 积分公式等，奠定了复分析的理论基础。Cauchy 的工作使得复分析成为一个独立的数学分支。

③ Riemann 的贡献: 黎曼（Bernhard Riemann）从几何的角度深入研究复变函数，引入了 Riemann 曲面（Riemann Surfaces）的概念，使得多值函数的研究变得清晰而自然。Riemann 还对解析延拓（Analytic Continuation）理论做出了重要贡献，并提出了 Riemann 映射定理（Riemann Mapping Theorem）等深刻结果。

成熟与辉煌 (19世纪后期 - 20世纪)

① Weierstrass 的贡献: 魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）从幂级数展开的角度发展了复变函数理论，强调解析函数的局部性质。他提出了解析函数的 Weierstrass 定义，并对解析函数的级数表示、整函数理论等做出了重要贡献。

② 留数理论的发展: Cauchy 和其他数学家进一步发展了留数理论（Residue Theory），使其成为计算实积分和研究复变函数性质的有力工具。留数定理在物理学和工程学中有着广泛的应用。

③ 几何函数论的兴起: 20世纪初，几何函数论（Geometric Function Theory）兴起，研究解析函数与几何之间的关系，例如共形映射（Conformal Mapping）、单叶函数（Univalent Functions）等。重要的数学家包括 Bieberbach、Koebe 等。

④ 多复变函数论的发展: 随着数学的不断发展，复分析从单复变函数论扩展到多复变函数论（Several Complex Variables），研究多个复变量的函数性质，这是一个更为复杂和深刻的领域。

现代复分析 (20世纪后期至今)

① 复分析与其它数学分支的交叉: 现代复分析与拓扑学、代数几何、微分几何、泛函分析等数学分支相互交叉，形成了许多新的研究方向。

② 复分析在物理学和工程学中的应用: 复分析在流体力学、量子力学、电磁场理论、信号处理、控制理论等领域都有着广泛的应用，并且不断发展出新的应用。

③ 计算复分析的发展: 随着计算机技术的发展，计算复分析（Computational Complex Analysis）成为一个新兴领域，研究如何用数值方法解决复分析中的问题，例如共形映射的数值计算、复积分的数值逼近等。

总结

复分析的发展历史是一部充满智慧和创造力的历史。从最初的复数概念的萌芽，到 Cauchy 和 Riemann 奠定理论基础，再到 Weierstrass 和后来的数学家们不断完善和发展，复分析逐渐成为数学中一个重要的分支，并在科学和工程领域发挥着越来越重要的作用。复分析的发展仍在继续，新的理论和应用不断涌现，展现出强大的生命力。

附录 B：参考文献 (References)

以下是一些复分析学习和研究的经典参考文献，涵盖了不同层次和侧重点，读者可以根据自身需求选择阅读。

经典教材 (Classic Textbooks)

① 《Complex Analysis》 (Third Edition) by Lars V. Ahlfors. McGraw-Hill, 1978.
▮▮▮▮⚝ 被誉为复分析的“圣经”，内容深刻严谨，理论性强，适合有一定数学基础的读者深入学习。

② 《Function Theory of One Complex Variable》 (Second Edition) by Robert E. Greene and Steven G. Krantz. American Mathematical Society, 2002.
▮▮▮▮⚝ 现代复分析的经典教材，内容全面，覆盖了复分析的许多重要主题，包括几何函数论、多复变函数初步等。

③ 《Complex Variables and Applications》 (Ninth Edition) by James Ward Brown and Ruel V. Churchill. McGraw-Hill, 2013.
▮▮▮▮⚝ 工程数学领域常用的复分析教材，注重应用，内容清晰易懂，例题丰富，适合初学者入门。

④ 《Visual Complex Analysis》 by Tristan Needham. Oxford University Press, 1997.
▮▮▮▮⚝ 以几何直观为主的复分析教材，通过大量的图形和几何解释，帮助读者理解复分析的概念和定理，风格独特。

⑤ 《Basic Complex Analysis》 (Third Edition) by Jerrold E. Marsden and Michael J. Hoffman. W. H. Freeman, 1999.
▮▮▮▮⚝ 内容适中，既有理论深度，又注重应用，适合作为本科生或研究生的教材。

进阶教材与专著 (Advanced Textbooks and Monographs)

① 《Real and Complex Analysis》 (Third Edition) by Walter Rudin. McGraw-Hill, 1987.
▮▮▮▮⚝ Rudin 的经典分析教材，复分析部分内容精炼深刻，与实分析紧密结合，适合深入学习分析学的读者。

② 《Conformal Mapping: Methods and Applications》 by Theodore K. DeLillo. CRC Press, 2001.
▮▮▮▮⚝ 专注于共形映射理论及其应用的专著，内容深入，涵盖了共形映射的数值方法和实际应用。

③ 《Riemann Surfaces》 (Second Edition) by Hershel M. Farkas and Irwin Kra. Springer, 1992.
▮▮▮▮⚝ 系统介绍 Riemann 曲面理论的经典专著，适合深入研究 Riemann 曲面的读者。

④ 《Function Theory in the Complex Plane》 by Carleson, Lennart and Gamelin, Theodore W. Springer, 1993.
▮▮▮▮⚝ 内容深入，涵盖了复分析的许多前沿主题，适合作为研究生的教材或参考书。

中文教材 (Chinese Textbooks)

① 《复变函数简明教程》 (第四版) 史济怀. 高等教育出版社, 2017.
▮▮▮▮⚝ 国内经典的复变函数教材，内容系统完整，讲解清晰，适合作为本科生教材。

② 《复变函数》 余家荣. 高等教育出版社, 2001.
▮▮▮▮⚝ 国内另一本常用的复变函数教材，内容深入，理论性强，适合有一定数学基础的读者。

③ 《复分析导论》 梅加强. 高等教育出版社, 2007.
▮▮▮▮⚝ 风格现代，注重概念的理解和方法的应用，适合作为研究生或高年级本科生教材。

在线资源 (Online Resources)

① Wolfram MathWorld - Complex Analysis: https://mathworld.wolfram.com/ComplexAnalysis.html
▮▮▮▮⚝ Wolfram MathWorld 提供的复分析专题页面，包含丰富的定义、定理、公式和例题。

② Wikipedia - Complex Analysis: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis
▮▮▮▮⚝ Wikipedia 上关于复分析的条目，提供了复分析的概述、历史和主要内容。

③ MIT OpenCourseWare - 18.04 Complex Variables: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-04-complex-variables-spring-2018/
▮▮▮▮⚝ MIT 开放课程，提供了复分析的课程讲义、视频和习题。

选择建议

⚝ 初学者: 建议从 Brown and Churchill 的《Complex Variables and Applications》或史济怀的《复变函数简明教程》入门，打好基础。
⚝ 深入学习: 可以选择 Ahlfors 的《Complex Analysis》或 Greene and Krantz 的《Function Theory of One Complex Variable》进行深入学习。
⚝ 几何直观: 对几何方面感兴趣的读者可以阅读 Needham 的《Visual Complex Analysis》。
⚝ 工程应用: Brown and Churchill 的教材更侧重工程应用。
⚝ 研究方向: 根据具体研究方向选择相应的进阶教材和专著。

希望以上参考文献能为读者提供复分析学习和研究的帮助。

附录 C：习题答案与提示 (Answers and Hints to Exercises)

本附录提供部分习题的答案或解题提示，旨在帮助读者巩固所学知识，提高解题能力。由于篇幅有限，这里仅给出部分习题的解答思路或关键步骤，详细解答请读者自行完成。

Chapter 1：复数与复平面

⚝ 习题 1.1.2: 计算 \( (2+3i) + (1-i) \) 和 \( (2+3i)(1-i) \)。
▮▮▮▮⚝ 提示: 复数加法和乘法直接按定义运算。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( 3+2i \), \( 5+i \)。

⚝ 习题 1.2.3: 将复数 \( 1+i \) 和 \( -1+\sqrt{3}i \) 化为极坐标形式。
▮▮▮▮⚝ 提示: 计算模长 \( r = |z| \) 和辐角 \( \theta = \arg(z) \)。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( 1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} \), \( -1+\sqrt{3}i = 2e^{i2\pi/3} \)。

⚝ 习题 1.3.1: 判断集合 \( \{z \in \mathbb{C} : |z| < 2 \} \) 是开集还是闭集？区域吗？
▮▮▮▮⚝ 提示: 根据开集、闭集和区域的定义判断。
▮▮▮▮⚝ 答案: 开集，区域。

Chapter 2：复变函数

⚝ 习题 2.3.4: 求函数 \( f(z) = z^2 \) 的导数。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用导数定义或求导法则。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( f'(z) = 2z \)。

⚝ 习题 2.4.2: 验证函数 \( f(z) = e^z \) 是解析函数，并求其导数。
▮▮▮▮⚝ 提示: 验证 Cauchy-Riemann 方程成立，并使用解析函数的导数公式。
▮▮▮▮⚝ 答案: 解析函数, \( f'(z) = e^z \)。

⚝ 习题 2.5.1: 验证函数 \( u(x, y) = x^2 - y^2 \) 是调和函数。
▮▮▮▮⚝ 提示: 计算 Laplace 算子 \( \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \)。
▮▮▮▮⚝ 答案: 是调和函数。

Chapter 3：初等复变函数

⚝ 习题 3.1.3: 计算 \( e^{1+\pi i} \)。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用指数函数的定义 \( e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y) \)。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( -e \)。

⚝ 习题 3.4.2: 求 \( \log(-1) \) 的所有值。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用对数函数的定义 \( \log(z) = \ln|z| + i(\arg(z) + 2k\pi) \), \( k \in \mathbb{Z} \)。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( i(\pi + 2k\pi) \), \( k \in \mathbb{Z} \)。

Chapter 4：复积分

⚝ 习题 4.2.1: 计算积分 \( \oint_{|z|=1} z^2 dz \)。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用 Cauchy-Goursat 定理。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( 0 \)。

⚝ 习题 4.3.3: 计算积分 \( \oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z} dz \)。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用 Cauchy 积分公式。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( 2\pi i \)。

Chapter 5：级数表示

⚝ 习题 5.2.2: 求幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \) 的收敛半径。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用比值判别法或根值判别法。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( \infty \)。

⚝ 习题 5.3.1: 求函数 \( f(z) = \sin z \) 在 \( z=0 \) 处的 Taylor 级数展开。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用 Taylor 级数展开公式或已知函数的 Taylor 级数。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \)。

Chapter 6：留数理论

⚝ 习题 6.2.3: 求函数 \( f(z) = \frac{1}{z(z-1)} \) 在 \( z=0 \) 和 \( z=1 \) 处的留数。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用留数计算公式。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( \text{Res}(f, 0) = -1 \), \( \text{Res}(f, 1) = 1 \)。

⚝ 习题 6.4.1: 使用留数定理计算积分 \( \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+1} dx \)。
▮▮▮▮⚝ 提示: 构造合适的围道积分，并应用留数定理。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( \pi \)。

Chapter 7：共形映射

⚝ 习题 7.2.1: 验证 Möbius 变换是共形映射。
▮▮▮▮⚝ 提示: 计算 Möbius 变换的导数，并验证导数非零。

Chapter 8：解析延拓与 Riemann 曲面

⚝ 习题 8.1.2: 说明函数 \( f_1(z) = \sum_{n=0}^\infty z^n \) 和 \( f_2(z) = \frac{1}{1-z} \) 互为解析延拓。
▮▮▮▮⚝ 提示: 验证 \( f_1(z) \) 在 \( |z| < 1 \) 内收敛，且 \( f_1(z) = f_2(z) \) 在 \( |z| < 1 \) 内成立。

Chapter 9：特殊函数及其应用

⚝ 习题 9.1.1: 证明 \( \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \)。
▮▮▮▮⚝ 提示: 使用 Gamma 函数的积分定义，分部积分。

Chapter 10：Dirichlet 问题与调和函数

⚝ 习题 10.3.1: 使用 Poisson 积分公式求解单位圆盘上的 Dirichlet 问题，边界值函数为 \( f(\theta) = \sin(\theta) \)。
▮▮▮▮⚝ 提示: 将 \( f(\theta) = \sin(\theta) \) 代入 Poisson 积分公式计算。
▮▮▮▮⚝ 答案: \( u(re^{i\theta}) = r\sin(\theta) = \text{Im}(z) = y \)。

提示说明：以上仅为部分习题的答案或提示，旨在引导读者思考和解题。读者应结合书本内容，认真完成所有习题，以达到最佳的学习效果。部分习题可能需要查阅参考文献或进行深入思考，鼓励读者积极探索，培养独立解决问题的能力。