005 《抽象代数：全面解析与深度探索》

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书籍大纲

▮▮▮▮ 1. chapter 1： 绪论与预备知识
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 什么是抽象代数？ (What is Abstract Algebra?)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 集合、关系与函数 (Sets, Relations, and Functions)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.3 二元运算与代数结构 (Binary Operations and Algebraic Structures)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.4 数学证明基础 (Fundamentals of Mathematical Proof)
▮▮▮▮ 2. chapter 2： 群论基础 (Fundamentals of Group Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 群的定义与基本性质 (Definition and Basic Properties of Groups)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 常见群示例 (Examples of Common Groups)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 子群 (Subgroups)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.4 循环群 (Cyclic Groups)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.5 陪集与拉格朗日定理 (Cosets and Lagrange's Theorem)
▮▮▮▮ 3. chapter 3： 群的结构与同态 (Group Structure and Homomorphisms)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.1 正规子群与商群 (Normal Subgroups and Quotient Groups)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.2 群同态与同构 (Group Homomorphisms and Isomorphisms)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.3 同构基本定理 (Fundamental Isomorphism Theorems)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.4 置换群与 Cayley 定理 (Permutation Groups and Cayley's Theorem)
▮▮▮▮ 4. chapter 4： 高级群论主题 (Advanced Topics in Group Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.1 群作用 (Group Actions)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.2 Sylow 定理 (Sylow Theorems)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.3 有限 Abel 群的结构 (Structure of Finite Abelian Groups)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.4 可解群与幂零群 (Solvable Groups and Nilpotent Groups)
▮▮▮▮ 5. chapter 5： 环论基础 (Fundamentals of Ring Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.1 环的定义与基本性质 (Definition and Basic Properties of Rings)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.2 常见环示例 (Examples of Common Rings)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.3 子环与理想 (Subrings and Ideals)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.4 商环与环同态 (Quotient Rings and Ring Homomorphisms)
▮▮▮▮ 6. chapter 6： 环的结构与因子分解 (Ring Structure and Factorization)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.1 整环与域 (Integral Domains and Fields)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.2 多项式环 (Polynomial Rings)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.3 因子分解环：PID, UFD, ED (Factorization Rings: PID, UFD, ED)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.4 素理想与极大理想 (Prime Ideals and Maximal Ideals)
▮▮▮▮ 7. chapter 7： 域论 (Field Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.1 域扩张 (Field Extensions)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.2 代数扩张与超越扩张 (Algebraic Extensions and Transcendental Extensions)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.3 分裂域与代数闭包 (Splitting Fields and Algebraic Closure)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.4 直尺与圆规作图问题 (Ruler and Compass Constructions)
▮▮▮▮ 8. chapter 8： Galois 理论 (Galois Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.1 可分扩张与正规扩张 (Separable Extensions and Normal Extensions)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.2 Galois 群 (Galois Group)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.3 Galois 理论基本定理 (Fundamental Theorem of Galois Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.4 Galois 理论的应用：方程的根式可解性 (Applications of Galois Theory: Solvability by Radicals)
▮▮▮▮ 9. chapter 9： 模与代数初步 (Introduction to Modules and Algebras)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.1 模的定义与基本性质 (Definition and Basic Properties of Modules)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.2 向量空间作为特殊的模 (Vector Spaces as Special Modules)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.3 代数的定义与示例 (Definition and Examples of Algebras)
▮▮▮▮ 10. chapter 10： 抽象代数的应用与联系 (Applications and Connections of Abstract Algebra)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.1 编码理论 (Coding Theory)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.2 密码学 (Cryptography)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.3 物理学中的应用 (Applications in Physics)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.4 与其他数学分支的联系 (Connections to Other Branches of Mathematics)

1. chapter 1： 绪论与预备知识

欢迎来到抽象代数的世界！这是一门迷人且充满力量的数学分支，它将我们从具体的数和运算中解放出来，去探索更普遍、更深刻的代数结构。作为一名讲师，我非常高兴能引导大家踏上这段旅程。本章将作为我们探索的起点，首先带大家了解抽象代数的核心思想，然后回顾和巩固一些必要的数学基础，包括集合、关系、函数以及基本的数学证明方法。这些预备知识是构建后续章节内容的基石，请务必认真掌握。

1.1 什么是抽象代数？ (What is Abstract Algebra?)

抽象代数，有时也称为近世代数 (Modern Algebra)，是数学中研究代数结构 (Algebraic Structures) 的一个分支。与初等代数 (Elementary Algebra) 研究具体的数（如整数、实数）及其运算不同，抽象代数关注的是集合上配备的一个或多个运算所形成的结构本身，以及这些结构之间的关系。

想象一下，我们熟悉的加法和乘法在整数、有理数、实数、复数上都有定义，并且它们各自满足一些共同的性质，比如结合律 (Associativity)、交换律 (Commutativity) 等。抽象代数就是从这些具体的例子中提炼出共同的模式，定义出诸如群 (Group)、环 (Ring)、域 (Field)、模 (Module)、向量空间 (Vector Space)、代数 (Algebra) 等抽象概念。我们研究这些抽象结构所共有的性质，以及它们之间的相互关系。

抽象代数的诞生并非空中楼阁，它源于解决具体的数学问题。例如：

⚝ 多项式方程的根式求解问题：这直接催生了群论 (Group Theory) 和 Galois 理论 (Galois Theory)。
⚝ 数论 (Number Theory) 中的问题：例如费马大定理 (Fermat's Last Theorem) 的证明，就大量使用了抽象代数的工具，特别是环论 (Ring Theory) 和域论 (Field Theory)。
⚝ 几何问题：例如尺规作图 (Ruler and Compass Constructions) 的不可解性，也可以用域论来解释。

学习抽象代数，不仅仅是学习一些新的定义和定理，更重要的是培养一种抽象思维的能力。它教会我们如何从具体问题中提取本质，如何在抽象层面进行推理和证明。这种思维方式在数学及其他科学领域都至关重要。

抽象代数的核心研究对象包括：

① 群 (Group)：一个集合以及其上的一个满足结合律、存在单位元 (Identity Element) 和逆元 (Inverse Element) 的二元运算。群论是抽象代数中最基础也是最重要的分支之一。
② 环 (Ring)：一个集合以及其上的两个二元运算（通常称为加法和乘法），满足一定的性质（加法构成 Abel 群，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配律）。
③ 域 (Field)：一个特殊的环，其中非零元素在乘法下构成一个 Abel 群。有理数集、实数集、复数集都是域的例子。

本书将围绕这些核心结构展开，从最基础的群论开始，逐步深入到环论、域论，并初步介绍模和代数的概念，最后探讨抽象代数在其他领域的应用。

1.2 集合、关系与函数 (Sets, Relations, and Functions)

在深入学习抽象代数之前，我们需要回顾和巩固一些基本的集合论 (Set Theory) 概念。抽象代数中的所有结构都是建立在集合之上的。

1.2.1 集合与集合运算 (Sets and Set Operations)

集合 (Set) 是一个不包含重复元素的无序集合。我们可以用列举法或描述法表示集合。

⚝ 示例：
▮▮▮▮⚝ 列举法：\( A = \{1, 2, 3\} \)
▮▮▮▮⚝ 描述法：\( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x > 0\} \) (所有正整数的集合)

集合之间的基本关系包括：

⚝ 元素属于集合：\( a \in A \)
⚝ 子集 (Subset)：\( A \subseteq B \) (如果 A 中的所有元素都在 B 中)
⚝ 真子集 (Proper Subset)：\( A \subset B \) (如果 \( A \subseteq B \) 且 \( A \neq B \))
⚝ 集合相等：\( A = B \) (如果 \( A \subseteq B \) 且 \( B \subseteq A \))
⚝ 空集 (Empty Set)：\( \emptyset \) 或 \( \{\} \) (不包含任何元素的集合)

集合的基本运算包括：

① 并集 (Union)：\( A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} \)
② 交集 (Intersection)：\( A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} \)
③ 差集 (Difference)：\( A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} \)
④ 补集 (Complement)：如果有一个全集 (Universal Set) \( U \)，则 \( A^c = U \setminus A \)
⑤ 笛卡尔积 (Cartesian Product)：\( A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} \) (有序对的集合)

1.2.2 关系 (Relations)

从集合 \( A \) 到集合 \( B \) 的一个关系 (Relation) 是笛卡尔积 \( A \times B \) 的一个子集 \( R \)。如果 \( (a, b) \in R \)，我们通常记作 \( a R b \)。

特别重要的关系是定义在同一个集合 \( A \) 上的关系 \( R \subseteq A \times A \)。我们关注具有特定性质的关系：

① 自反性 (Reflexivity)：对任意 \( a \in A \)，有 \( a R a \)。
② 对称性 (Symmetry)：对任意 \( a, b \in A \)，如果 \( a R b \)，则有 \( b R a \)。
③ 反对称性 (Antisymmetry)：对任意 \( a, b \in A \)，如果 \( a R b \) 且 \( b R a \)，则有 \( a = b \)。
④ 传递性 (Transitivity)：对任意 \( a, b, c \in A \)，如果 \( a R b \) 且 \( b R c \)，则有 \( a R c \)。

⚝ 等价关系 (Equivalence Relation)：一个同时满足自反性、对称性和传递性的关系。等价关系将集合 \( A \) 划分为互不相交的子集，称为等价类 (Equivalence Classes)。
▮▮▮▮⚝ 示例：在整数集 \( \mathbb{Z} \) 上定义关系 \( a \sim b \) 当且仅当 \( a - b \) 是偶数。这是一个等价关系。它将 \( \mathbb{Z} \) 划分为两个等价类：偶数集合和奇数集合。
▮▮▮▮⚝ 等价类：对于 \( a \in A \)，其等价类记作 \( [a] = \{x \in A \mid x R a\} \)。
▮▮▮▮⚝ 商集 (Quotient Set)：由所有等价类组成的集合记作 \( A/R \)。

⚝ 偏序关系 (Partial Order Relation)：一个同时满足自反性、反对称性和传递性的关系。

1.2.3 函数 (Functions)

从集合 \( A \) 到集合 \( B \) 的一个函数 (Function) \( f: A \to B \) 是一个特殊的关系 \( f \subseteq A \times B \)，使得对于 \( A \) 中的每一个元素 \( a \)，在 \( B \) 中都有唯一一个元素 \( b \) 与之对应，记作 \( f(a) = b \)。

⚝ \( A \) 称为函数的定义域 (Domain)，\( B \) 称为函数的上域 (Codomain)。
⚝ 函数的值域 (Range) 是 \( \{f(a) \mid a \in A\} \)，它是 \( B \) 的一个子集。

函数的类型：

① 单射 (Injection) 或 一对一 (One-to-one)：如果 \( f(a_1) = f(a_2) \) 蕴含 \( a_1 = a_2 \)。
② 满射 (Surjection) 或 映上 (Onto)：如果对于任意 \( b \in B \)，都存在 \( a \in A \) 使得 \( f(a) = b \)。
③ 双射 (Bijection) 或 一一对应 (One-to-one correspondence)：如果一个函数既是单射又是满射。双射函数存在逆函数 (Inverse Function)。

⚝ 函数的复合 (Composition of Functions)：如果 \( f: A \to B \) 且 \( g: B \to C \)，则它们的复合函数 \( g \circ f: A \to C \) 定义为 \( (g \circ f)(a) = g(f(a)) \)。函数的复合满足结合律：如果 \( h: C \to D \)，则 \( h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \)。

这些集合论的概念，特别是等价关系和双射，在抽象代数中扮演着基础性的角色。例如，商群、商环的构造就依赖于等价类，而同构 (Isomorphism) 的概念则基于双射函数。

1.3 二元运算与代数结构 (Binary Operations and Algebraic Structures)

抽象代数的核心是研究带有运算的集合，即代数结构。

1.3.1 二元运算 (Binary Operations)

在集合 \( S \) 上的一个二元运算 (Binary Operation) 是一个函数 \( *: S \times S \to S \)。它将 \( S \) 中的任意两个元素 \( (a, b) \) 映射到 \( S \) 中的一个唯一元素 \( a * b \)。

⚝ 示例：
▮▮▮▮⚝ 整数集 \( \mathbb{Z} \) 上的加法 \( + \) 是一个二元运算：\( +: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \)，\( (a, b) \mapsto a+b \)。
▮▮▮▮⚝ 整数集 \( \mathbb{Z} \) 上的减法 \( - \) 也是一个二元运算：\( -: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \)，\( (a, b) \mapsto a-b \)。
▮▮▮▮⚝ 矩阵集合上的矩阵乘法是一个二元运算。

需要注意的是，二元运算的结果必须仍然在集合 \( S \) 内，这称为运算的封闭性 (Closure)。

二元运算可能具有一些重要的性质：

① 结合律 (Associativity)：对任意 \( a, b, c \in S \)，有 \( (a * b) * c = a * (b * c) \)。
② 交换律 (Commutativity)：对任意 \( a, b \in S \)，有 \( a * b = b * a \)。
③ 存在单位元 (Existence of Identity Element)：存在元素 \( e \in S \)，使得对任意 \( a \in S \)，有 \( e * a = a * e = a \)。这样的 \( e \) 称为单位元 (Identity Element)。如果存在，单位元是唯一的。
④ 存在逆元 (Existence of Inverse Element)：对于单位元 \( e \)，如果对任意 \( a \in S \)，都存在元素 \( a' \in S \)，使得 \( a * a' = a' * a = e \)。这样的 \( a' \) 称为 \( a \) 的逆元 (Inverse Element)。如果运算满足结合律，则逆元（如果存在）是唯一的。

⚝ 示例：
▮▮▮▮⚝ 在 \( (\mathbb{Z}, +) \) 中，加法满足结合律和交换律。单位元是 0。元素 \( a \) 的逆元是 \( -a \)。
▮▮▮▮⚝ 在 \( (\mathbb{Z}, \times) \) 中，乘法满足结合律和交换律。单位元是 1。除了 1 和 -1，其他整数没有乘法逆元。
▮▮▮▮⚝ 矩阵乘法满足结合律但不满足交换律。

1.3.2 代数结构 (Algebraic Structures)

一个代数结构 (Algebraic Structure) 是一个非空集合 \( S \) 以及定义在其上的一个或多个二元运算，这些运算满足一组特定的公理 (Axioms)。

我们将在后续章节详细研究不同的代数结构，但这里可以先看一些初步的例子：

⚝ 广群 (Magma)：一个集合 \( S \) 和其上的一个二元运算 \( * \)。记作 \( (S, *) \)。这是最基本的代数结构。
⚝ 半群 (Semigroup)：一个满足结合律的广群。记作 \( (S, *) \)，其中 \( * \) 满足结合律。
⚝ 幺半群 (Monoid)：一个包含单位元的半群。记作 \( (S, *, e) \)，其中 \( * \) 满足结合律，\( e \) 是单位元。
⚝ 群 (Group)：一个每个元素都有逆元的幺半群。记作 \( (G, *, e) \)，其中 \( * \) 满足结合律，\( e \) 是单位元，且每个元素都有逆元。

这些结构是层层递进的，群是幺半群，幺半群是半群，半群是广群。抽象代数主要关注群、环、域等更复杂的结构。

理解代数结构的关键在于理解其定义中的公理。这些公理是该结构的基本属性，所有从这些公理推导出的结论都适用于该结构的所有具体例子。这正是抽象代数强大之处：通过研究抽象结构，我们可以一次性获得关于所有满足这些结构的具体系统的知识。

1.4 数学证明基础 (Fundamentals of Mathematical Proof)

抽象代数是一门高度理论化的学科，所有的结论都需要严格的数学证明。掌握基本的证明方法是学习抽象代数的必备技能。

数学证明 (Mathematical Proof) 是一个逻辑推理过程，从已知的前提或公理出发，通过一系列有效的推理步骤，得出需要证明的结论。

常见的证明方法包括：

① 直接证明 (Direct Proof)：从前提出发，运用定义、公理和已知的定理，通过逻辑推理直接得出结论。
▮▮▮▮⚝ 示例：证明两个偶数之和是偶数。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 设 \( a \) 和 \( b \) 是任意两个偶数。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 根据偶数的定义，存在整数 \( k_1 \) 和 \( k_2 \)，使得 \( a = 2k_1 \) 且 \( b = 2k_2 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 它们的和是 \( a + b = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2) \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 由于 \( k_1 \) 和 \( k_2 \) 是整数，\( k_1 + k_2 \) 也是整数。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 因此，\( a + b \) 可以写成 2 乘以一个整数的形式，所以 \( a + b \) 是偶数。证毕。

② 归谬法 (Proof by Contradiction)：假设需要证明的结论不成立，然后从这个假设出发，通过逻辑推理导出一个矛盾（与已知事实、公理或假设本身相矛盾）。从而推翻最初的假设，证明结论成立。
▮▮▮▮⚝ 示例：证明 \( \sqrt{2} \) 是无理数 (Irrational Number)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 假设 \( \sqrt{2} \) 是有理数 (Rational Number)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 则存在互质 (Coprime) 的整数 \( p \) 和 \( q \) (\( q \neq 0 \))，使得 \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 平方得 \( 2 = \frac{p^2}{q^2} \)，即 \( p^2 = 2q^2 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 这表明 \( p^2 \) 是偶数，因此 \( p \) 也是偶数。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 设 \( p = 2k \) (其中 \( k \) 是整数)。代入方程得 \( (2k)^2 = 2q^2 \)，即 \( 4k^2 = 2q^2 \)，简化得 \( 2k^2 = q^2 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 这表明 \( q^2 \) 是偶数，因此 \( q \) 也是偶数。
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ 结论是 \( p \) 和 \( q \) 都是偶数。但这与我们最初假设 \( p \) 和 \( q \) 互质相矛盾。
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 因此，最初的假设 \( \sqrt{2} \) 是有理数不成立，所以 \( \sqrt{2} \) 是无理数。证毕。

③ 数学归纳法 (Mathematical Induction)：用于证明关于自然数 \( n \) 的命题 \( P(n) \) 成立。
▮▮▮▮⚝ 步骤：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 基础步骤 (Base Case)：证明 \( P(n_0) \) 成立 (通常 \( n_0 = 1 \) 或 \( 0 \))。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 归纳步骤 (Inductive Step)：假设 \( P(k) \) 对某个 \( k \ge n_0 \) 成立 (归纳假设)，然后证明 \( P(k+1) \) 也成立。
▮▮▮▮⚝ 示例：证明对所有正整数 \( n \)，\( 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 基础步骤：当 \( n=1 \) 时，左边 \( = 1 \)，右边 \( = \frac{1(1+1)}{2} = 1 \)。左边等于右边，命题成立。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 归纳步骤：假设对某个正整数 \( k \)，\( 1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2} \) 成立。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 考虑 \( n = k+1 \) 的情况：
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ \( 1 + 2 + \dots + k + (k+1) = (1 + 2 + \dots + k) + (k+1) \)
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 根据归纳假设，\( = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \)
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ \( = (k+1) (\frac{k}{2} + 1) = (k+1) (\frac{k+2}{2}) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ 这正是 \( n = k+1 \) 时公式右边的形式。因此，如果 \( P(k) \) 成立，则 \( P(k+1) \) 也成立。
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 根据数学归纳法原理，命题对所有正整数 \( n \) 成立。证毕。

在抽象代数的学习中，我们将大量运用这些证明方法来建立各种代数结构的性质。请大家在阅读和练习时，不仅要理解定理的内容，更要仔细分析其证明过程，尝试自己去完成证明。

本章为我们后续的学习打下了基础。我们了解了抽象代数的研究对象和方法，回顾了集合论的基本概念，初步认识了二元运算和代数结构，并重温了基本的数学证明技巧。在接下来的章节中，我们将正式进入群论的学习。

2. chapter 2： 群论基础 (Fundamentals of Group Theory)

欢迎来到抽象代数的世界！在第一章中，我们对抽象代数有了初步的认识，并回顾了一些必要的预备知识，包括集合、关系、函数以及二元运算和代数结构的概念。现在，我们将深入探索抽象代数中最基本、也是最重要的结构之一：群（Group）。群论不仅是抽象代数的基石，其概念和方法也广泛应用于数学的各个分支以及物理学、化学、计算机科学等领域。本章将系统地介绍群的定义、基本性质、常见示例以及子群、循环群、陪集和著名的拉格朗日定理。

2.1 群的定义与基本性质 (Definition and Basic Properties of Groups)

抽象代数的核心思想之一是将具体的数学对象及其运算抽象化，研究其共同的结构特征。群就是这样一种抽象结构，它由一个非空集合和定义在该集合上的一个二元运算构成，并满足特定的条件。

2.1.1 群的定义 (Definition of a Group)

一个群（Group）是一个非空集合 \(G\) 以及定义在 \(G\) 上的一个二元运算 \(*\)，记作 \((G, *)\)，满足以下四个公理（Axioms）：

① 封闭性（Closure）：对于任意 \(a, b \in G\)，运算结果 \(a * b\) 仍在 \(G\) 中。
\[ \forall a, b \in G, \quad a * b \in G \]
② 结合律（Associativity）：对于任意 \(a, b, c \in G\)，运算满足结合律。
\[ \forall a, b, c \in G, \quad (a * b) * c = a * (b * c) \]
③ 存在单位元（Existence of Identity Element）：存在一个元素 \(e \in G\)，称为单位元（Identity Element），使得对于任意 \(a \in G\)，都有 \(a * e = e * a = a\)。
\[ \exists e \in G, \forall a \in G, \quad a * e = e * a = a \]
④ 存在逆元（Existence of Inverse Element）：对于 \(G\) 中的每一个元素 \(a\)，都存在一个元素 \(a^{-1} \in G\)，称为 \(a\) 的逆元（Inverse Element），使得 \(a * a^{-1} = a^{-1} * a = e\)，其中 \(e\) 是单位元。
\[ \forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, \quad a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \]

如果一个群 \((G, *)\) 还满足第五个公理：

⑤ 交换律（Commutativity）：对于任意 \(a, b \in G\)，运算满足交换律。
\[ \forall a, b \in G, \quad a * b = b * a \]
则称 \((G, *)\) 为 Abel 群（Abelian Group）或交换群（Commutative Group）。

通常，当运算明确时，我们将群 \((G, *)\) 简记为 \(G\)。群的阶（Order of a Group）是指集合 \(G\) 中元素的个数，记为 \(|G|\)。如果 \(G\) 是有限集，则称 \(G\) 为有限群（Finite Group）；如果 \(G\) 是无限集，则称 \(G\) 为无限群（Infinite Group）。

2.1.2 基本性质 (Basic Properties)

从群的定义公理出发，我们可以推导出一些重要的基本性质。这些性质对于理解和操作群结构至关重要。

① 单位元的唯一性（Uniqueness of the Identity Element）：一个群中只存在唯一的单位元。
证明：假设 \(e_1\) 和 \(e_2\) 都是群 \(G\) 的单位元。
▮▮▮▮ⓐ 根据单位元的定义，对于 \(e_2 \in G\)，有 \(e_1 * e_2 = e_2\)。
▮▮▮▮ⓑ 同时，根据单位元的定义，对于 \(e_1 \in G\)，有 \(e_1 * e_2 = e_1\)。
▮▮▮▮ⓒ 因此，\(e_1 = e_1 * e_2 = e_2\)。单位元是唯一的。

② 逆元的唯一性（Uniqueness of Inverse Elements）：群中每个元素的逆元是唯一的。
证明：设 \(a \in G\)，假设 \(b\) 和 \(c\) 都是 \(a\) 的逆元，即 \(a * b = b * a = e\) 且 \(a * c = c * a = e\)。
▮▮▮▮ⓐ 考虑元素 \(b\)。我们有 \(b = b * e\) (单位元性质)。
▮▮▮▮ⓑ 将 \(e\) 替换为 \(a * c\)，得到 \(b = b * (a * c)\)。
▮▮▮▮ⓒ 利用结合律，\(b = (b * a) * c\)。
▮▮▮▮ⓓ 将 \(b * a\) 替换为 \(e\)，得到 \(b = e * c\)。
▮▮▮▮ⓔ 最后，利用单位元性质，\(b = c\)。逆元是唯一的。

③ 消去律（Cancellation Laws）：
▮▮▮▮ⓑ 左消去律（Left Cancellation Law）：如果 \(a * b = a * c\)，则 \(b = c\)。
▮▮▮▮ⓒ 右消去律（Right Cancellation Law）：如果 \(b * a = c * a\)，则 \(b = c\)。
证明左消去律：设 \(a * b = a * c\)。
▮▮▮▮ⓐ 存在 \(a\) 的逆元 \(a^{-1}\)。
▮▮▮▮ⓑ 在等式两边左乘 \(a^{-1}\)：\(a^{-1} * (a * b) = a^{-1} * (a * c)\)。
▮▮▮▮ⓒ 利用结合律：\((a^{-1} * a) * b = (a^{-1} * a) * c\)。
▮▮▮▮ⓓ 根据逆元定义：\(e * b = e * c\)。
▮▮▮▮ⓔ 根据单位元定义：\(b = c\)。右消去律的证明类似。

④ 逆元的性质：
▮▮▮▮ⓑ \((a^{-1})^{-1} = a\)
▮▮▮▮ⓒ \((a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}\)
证明 \((a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}\)：我们需要证明 \((a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = e\) 且 \((b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) = e\)。
▮▮▮▮ⓐ \((a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = a * (b * b^{-1}) * a^{-1}\) (结合律)
▮▮▮▮ⓑ \( = a * e * a^{-1}\) (逆元定义)
▮▮▮▮ⓒ \( = a * a^{-1}\) (单位元性质)
▮▮▮▮ⓓ \( = e\) (逆元定义)
▮▮▮▮ⓔ \((b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) = b^{-1} * (a^{-1} * a) * b\) (结合律)
▮▮▮▮⚝ \( = b^{-1} * e * b\) (逆元定义)
▮▮▮▮⚝ \( = b^{-1} * b\) (单位元性质)
▮▮▮▮⚝ \( = e\) (逆元定义)
因此，\((a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}\)。注意，这类似于矩阵乘积的逆。

这些基本性质是群论推理的基础。理解并熟练运用它们对于后续学习至关重要。

2.2 常见群示例 (Examples of Common Groups)

抽象的定义需要具体的例子来加深理解。下面是一些常见的群示例，它们来自不同的数学领域。

① 整数集在加法下构成群 \((\mathbb{Z}, +)\)：
▮▮▮▮ⓑ 封闭性：任意两个整数的和仍是整数。
▮▮▮▮ⓒ 结合律：整数加法满足结合律。
▮▮▮▮ⓓ 单位元：0 是加法单位元，因为 \(a + 0 = 0 + a = a\) 对任意整数 \(a\) 成立。
▮▮▮▮ⓔ 逆元：任意整数 \(a\) 的逆元是 \(-a\)，因为 \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)。
▮▮▮▮ⓕ 交换律：整数加法满足交换律，所以 \((\mathbb{Z}, +)\) 是一个 Abel 群。这是一个无限群。

② 有理数集、实数集、复数集在加法下构成群：\((\mathbb{Q}, +)\), \((\mathbb{R}, +)\), \((\mathbb{C}, +)\) 都与 \((\mathbb{Z}, +)\) 类似，是无限 Abel 群。

③ 非零有理数集在乘法下构成群 \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\)：其中 \(\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\)。
▮▮▮▮ⓑ 封闭性：任意两个非零有理数的积仍是非零有理数。
▮▮▮▮ⓒ 结合律：有理数乘法满足结合律。
▮▮▮▮ⓓ 单位元：1 是乘法单位元，因为 \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\) 对任意非零有理数 \(a\) 成立。
▮▮▮▮ⓔ 逆元：任意非零有理数 \(a\) 的逆元是 \(1/a\)，因为 \(a \cdot (1/a) = (1/a) \cdot a = 1\)。
▮▮▮▮ⓕ 交换律：有理数乘法满足交换律，所以 \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) 是一个 Abel 群。这是一个无限群。
类似地，\((\mathbb{R}^*, \cdot)\) 和 \((\mathbb{C}^*, \cdot)\) 也是无限 Abel 群。注意，\(\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) 在乘法下不构成群，因为除了 1 和 -1 外，其他整数没有整数逆元。

④ 模 \(n\) 的加法群 \((\mathbb{Z}_n, +_n)\)：集合 \(\mathbb{Z}_n = \{0, 1, \dots, n-1\}\)，运算为模 \(n\) 加法。
▮▮▮▮ⓑ 封闭性：任意两个元素的模 \(n\) 加法结果仍在 \(\mathbb{Z}_n\) 中。
▮▮▮▮ⓒ 结合律：模 \(n\) 加法满足结合律。
▮▮▮▮ⓓ 单位元：0 是单位元，因为 \(a +_n 0 = 0 +_n a = a\) 对任意 \(a \in \mathbb{Z}_n\) 成立。
▮▮▮▮ⓔ 逆元：任意 \(a \in \mathbb{Z}_n\) 的逆元是 \((n-a) \pmod n\)，因为 \(a +_n (n-a) \equiv a + (n-a) = n \equiv 0 \pmod n\)。
▮▮▮▮ⓕ 交换律：模 \(n\) 加法满足交换律，所以 \((\mathbb{Z}_n, +_n)\) 是一个有限 Abel 群，其阶为 \(n\)。

⑤ 对称群（Symmetric Group）\(S_n\): 集合是所有从集合 \(\{1, 2, \dots, n\}\) 到自身的双射（即置换，Permutation），运算是函数的复合。
▮▮▮▮ⓑ 封闭性：两个置换的复合仍是置换。
▮▮▮▮ⓒ 结合律：函数复合满足结合律。
▮▮▮▮ⓓ 单位元：恒等置换（将每个元素映射到自身）是单位元。
▮▮▮▮ⓔ 逆元：每个置换都有唯一的逆置换。
▮▮▮▮ⓕ 交换律：当 \(n \ge 3\) 时，\(S_n\) 不满足交换律，因此 \(S_n\) 是非 Abel 群。\(S_n\) 是一个有限群，其阶为 \(n!\)。\(S_2\) 是 Abel 群，其阶为 2。

⑥ 二面体群（Dihedral Group）\(D_n\): 表示正 \(n\) 边形的所有对称变换（旋转和反射）组成的群。其阶为 \(2n\)。对于 \(n \ge 3\)，\(D_n\) 是非 Abel 群。\(D_2\) 同构于 Klein 四元群，是 Abel 群。

⑦ 一般线性群（General Linear Group）\(GL_n(F)\): 集合是所有在域 \(F\) 上 \(n \times n\) 的可逆矩阵，运算是矩阵乘法。
▮▮▮▮ⓑ 封闭性：两个可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵。
▮▮▮▮ⓒ 结合律：矩阵乘法满足结合律。
▮▮▮▮ⓓ 单位元：\(n \times n\) 单位矩阵是单位元。
▮▮▮▮ⓔ 逆元：集合中的矩阵都是可逆的，所以逆元存在。
▮▮▮▮ⓕ 交换律：当 \(n \ge 2\) 时，矩阵乘法通常不满足交换律，所以 \(GL_n(F)\) 是非 Abel 群。

这些例子展示了群的多样性，从简单的加法群到复杂的矩阵群和置换群。通过研究这些具体的例子，可以更好地理解群的抽象概念。

2.3 子群 (Subgroups)

在群论中，我们经常研究群的子结构。子群（Subgroup）是群中一个重要的子结构概念。

2.3.1 子群的定义 (Definition of a Subgroup)

设 \((G, *)\) 是一个群，\(H\) 是 \(G\) 的一个非空子集（Non-empty Subset）。如果 \((H, *)\) 本身也是一个群（使用与 \(G\) 相同的运算 \(*\)），则称 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，记作 \(H \le G\)。如果 \(H\) 是 \(G\) 的子群且 \(H \ne G\)，则称 \(H\) 是 \(G\) 的真子群（Proper Subgroup），记作 \(H < G\)。平凡子群（Trivial Subgroup）是指只包含单位元 \(\{e\}\) 的子群。

要验证一个非空子集 \(H\) 是否是群 \(G\) 的子群，可以直接验证群的四个公理在 \(H\) 中是否成立。然而，有一个更简洁的判别准则。

2.3.2 子群判别准则 (Subgroup Criterion)

设 \(G\) 是一个群，\(H\) 是 \(G\) 的一个非空子集。则 \(H\) 是 \(G\) 的子群当且仅当满足以下两个条件：

① 封闭性：对于任意 \(a, b \in H\)，有 \(a * b \in H\)。
② 逆元存在性：对于任意 \(a \in H\)，有 \(a^{-1} \in H\)。

证明：
充分性：假设 \(H\) 满足条件 ① 和 ②。
▮▮▮▮ⓐ 封闭性：条件 ① 直接给出。
▮▮▮▮ⓑ 结合律：由于 \(H \subseteq G\)，且 \(G\) 中的运算满足结合律，因此 \(H\) 中的运算也满足结合律。
▮▮▮▮ⓒ 单位元存在性：由于 \(H\) 是非空集，存在 \(a \in H\)。根据条件 ②，\(a^{-1} \in H\)。根据条件 ①，\(a * a^{-1} \in H\)。而 \(a * a^{-1} = e\)，所以单位元 \(e \in H\)。
▮▮▮▮ⓓ 逆元存在性：条件 ② 直接给出。
因此，\(H\) 是一个群，即 \(H\) 是 \(G\) 的子群。

必要性：假设 \(H\) 是 \(G\) 的子群。
▮▮▮▮ⓐ 封闭性：根据子群的定义，\(H\) 本身是一个群，所以运算在 \(H\) 中是封闭的。
▮▮▮▮ⓑ 逆元存在性：根据子群的定义，\(H\) 本身是一个群，所以 \(H\) 中每个元素都有逆元且逆元在 \(H\) 中。
因此，条件 ① 和 ② 成立。

对于有限群，子群判别准则可以进一步简化：

设 \(G\) 是一个有限群，\(H\) 是 \(G\) 的一个非空子集。则 \(H\) 是 \(G\) 的子群当且仅当对于任意 \(a, b \in H\)，有 \(a * b \in H\) (即 \(H\) 对运算封闭)。

证明：我们只需要证明在有限群中，封闭性蕴含逆元存在性。设 \(a \in H\). 考虑元素序列 \(a, a^2, a^3, \dots\). 由于 \(H\) 对运算封闭，所有这些元素都在 \(H\) 中。由于 \(G\) 是有限群，这个序列必然是有限的，即存在正整数 \(i < j\) 使得 \(a^i = a^j\). 在等式两边右乘 \((a^i)^{-1}\) (这是 \(G\) 中的逆元)，得到 \(e = a^{j-i}\). 令 \(k = j-i > 0\). 则 \(a^k = e\). 如果 \(k=1\), 则 \(a=e\), 此时 \(a^{-1} = e = a \in H\). 如果 \(k > 1\), 则 \(a^{k-1} * a = e\), 故 \(a^{-1} = a^{k-1}\). 由于 \(a \in H\) 且 \(H\) 对运算封闭，\(a^{k-1} = a * a * \dots * a\) (\(k-1\) 次) 也在 \(H\) 中。因此，\(a^{-1} \in H\).

2.3.3 子群示例 (Examples of Subgroups)

⚝ \((\mathbb{Z}, +)\) 是 \((\mathbb{Q}, +)\) 的子群，\((\mathbb{Q}, +)\) 是 \((\mathbb{R}, +)\) 的子群，\((\mathbb{R}, +)\) 是 \((\mathbb{C}, +)\) 的子群。
⚝ 对于任意正整数 \(n\)，集合 \(n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}\) 是 \((\mathbb{Z}, +)\) 的子群。
⚝ 偶数集合 \(2\mathbb{Z}\) 是 \((\mathbb{Z}, +)\) 的子群。
⚝ 在对称群 \(S_n\) 中，所有偶置换（Even Permutations）组成的集合构成一个子群，称为交错群（Alternating Group），记作 \(A_n\)。\(|A_n| = n!/2\)。
⚝ 在 \(GL_n(F)\) 中，行列式为 1 的矩阵组成的集合构成一个子群，称为特殊线性群（Special Linear Group），记作 \(SL_n(F)\)。

2.3.4 生成子群 (Subgroup Generated by a Set)

设 \(G\) 是一个群，\(S\) 是 \(G\) 的一个非空子集。包含 \(S\) 的所有子群的交集（Intersection）是 \(G\) 的一个子群，称为由 \(S\) 生成的子群（Subgroup Generated by S），记作 \(\langle S \rangle\)。它是包含 \(S\) 的最小子群。
具体地，\(\langle S \rangle\) 由所有形如 \(s_1^{k_1} s_2^{k_2} \dots s_m^{k_m}\) 的元素组成，其中 \(s_i \in S\) 且 \(k_i \in \mathbb{Z}\)。如果 \(S = \{a\}\) 只包含一个元素，则由 \(a\) 生成的子群记作 \(\langle a \rangle\)，它由所有形如 \(a^k\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) 的元素组成。

2.4 循环群 (Cyclic Groups)

循环群（Cyclic Group）是一类结构相对简单的群，它们由单个元素生成。

2.4.1 循环群的定义 (Definition of a Cyclic Group)

如果一个群 \(G\) 可以由它的某个元素 \(a\) 生成，即 \(G = \langle a \rangle = \{a^k \mid k \in \mathbb{Z}\}\)，则称 \(G\) 是一个循环群，元素 \(a\) 称为 \(G\) 的一个生成元（Generator）。

2.4.2 循环群的性质 (Properties of Cyclic Groups)

① 循环群都是 Abel 群。
证明：设 \(G = \langle a \rangle\). 任意两个元素 \(x, y \in G\) 都可以写成 \(x = a^m\) 和 \(y = a^n\) 的形式，其中 \(m, n \in \mathbb{Z}\).
\[ x * y = a^m * a^n = a^{m+n} \]
\[ y * x = a^n * a^m = a^{n+m} \]
由于整数加法满足交换律，\(m+n = n+m\)，所以 \(a^{m+n} = a^{n+m}\)，即 \(x * y = y * x\). 因此，循环群是 Abel 群。

② 循环群的子群也是循环群。
证明：设 \(G = \langle a \rangle\) 是一个循环群，\(H\) 是 \(G\) 的一个子群。如果 \(H = \{e\}\)，则 \(H = \langle e \rangle\)，是循环群。如果 \(H \ne \{e\}\)，则存在非单位元 \(x \in H\). 由于 \(x \in G\)，\(x = a^k\) 对于某个 \(k \in \mathbb{Z}, k \ne 0\). 如果 \(a^k \in H\)，则 \(a^{-k} = (a^k)^{-1} \in H\). 因此，\(H\) 中必然包含 \(a\) 的正整数次幂。设 \(m\) 是使得 \(a^m \in H\) 的最小正整数。我们断言 \(H = \langle a^m \rangle\).
▮▮▮▮ⓐ 由于 \(a^m \in H\) 且 \(H\) 对运算封闭，所有 \((a^m)^j = a^{mj}\) (\(j \in \mathbb{Z}\)) 都在 \(H\) 中，所以 \(\langle a^m \rangle \subseteq H\).
▮▮▮▮ⓑ 设 \(x \in H\). 由于 \(x \in G\)，\(x = a^k\) 对于某个 \(k \in \mathbb{Z}\). 根据除法算法，存在整数 \(q, r\) 使得 \(k = mq + r\)，其中 \(0 \le r < m\). 则 \(a^k = a^{mq+r} = a^{mq} * a^r = (a^m)^q * a^r\). 由于 \(x = a^k \in H\) 且 \((a^m)^q \in \langle a^m \rangle \subseteq H\)，我们有 \(a^r = (a^m)^{-q} * a^k \in H\) (因为 \(H\) 是子群，对逆元和乘法封闭)。由于 \(m\) 是使得 \(a^m \in H\) 的最小正整数，且 \(0 \le r < m\)，如果 \(r > 0\)，这将与 \(m\) 的最小性矛盾。因此，\(r\) 必须等于 0. 这意味着 \(k = mq\)，所以 \(x = a^k = a^{mq} = (a^m)^q \in \langle a^m \rangle\).
▮▮▮▮ⓒ 因此，\(H \subseteq \langle a^m \rangle\).
结合 ⓐ 和 ⓑ，我们得到 \(H = \langle a^m \rangle\). 所以 \(H\) 是循环群。

③ 无限循环群都同构于 \((\mathbb{Z}, +)\)。
④ 阶为 \(n\) 的有限循环群都同构于 \((\mathbb{Z}_n, +_n)\)。
同构（Isomorphism）是群论中一个重要的概念，表示两个群在结构上是完全相同的，我们将在下一章详细讨论。

2.4.3 元素的阶 (Order of an Element)

在群 \(G\) 中，元素 \(a\) 的阶（Order of an Element）是指使得 \(a^k = e\) 的最小正整数 \(k\)，记作 \(|a|\) 或 \(ord(a)\)。如果不存在这样的正整数，则称 \(a\) 的阶是无限的。
元素 \(a\) 的阶等于由 \(a\) 生成的循环子群 \(\langle a \rangle\) 的阶，即 \(|a| = |\langle a \rangle|\)。

2.5 陪集与拉格朗日定理 (Cosets and Lagrange's Theorem)

陪集（Coset）是研究子群与群之间关系的重要工具，它将群分解为不相交的子集。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）是有限群理论中最基本也是最重要的定理之一。

2.5.1 陪集的定义 (Definition of Cosets)

设 \(G\) 是一个群，\(H\) 是 \(G\) 的一个子群，\(a \in G\)。
左陪集（Left Coset）\(aH\) 定义为集合 \(\{a * h \mid h \in H\}\)。
右陪集（Right Coset）\(Ha\) 定义为集合 \(\{h * a \mid h \in H\}\)。

需要注意的是，对于非 Abel 群，左陪集 \(aH\) 和右陪集 \(Ha\) 通常是不同的集合。

2.5.2 陪集的性质 (Properties of Cosets)

设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群。

① 对于任意 \(a \in G\)，元素 \(a\) 属于左陪集 \(aH\) (因为 \(a = a * e\) 且 \(e \in H\))，也属于右陪集 \(Ha\)。

② 对于任意 \(a \in G\)，左陪集 \(aH\) 和子群 \(H\) 具有相同的势（Cardinality），即 \(|aH| = |H|\)。类似地，\(|Ha| = |H|\)。
证明：考虑映射 \(f: H \to aH\) 定义为 \(f(h) = a * h\).
▮▮▮▮ⓐ \(f\) 是单射（Injective）：如果 \(f(h_1) = f(h_2)\)，则 \(a * h_1 = a * h_2\). 根据左消去律，\(h_1 = h_2\).
▮▮▮▮ⓑ \(f\) 是满射（Surjective）：对于任意 \(y \in aH\)，根据定义，\(y = a * h\) 对于某个 \(h \in H\). 因此 \(y\) 是 \(h\) 在 \(f\) 下的像。
所以 \(f\) 是双射（Bijective），故 \(|H| = |aH|\).

③ 任意两个左陪集 \(aH\) 和 \(bH\) 要么完全相同，要么完全不相交。
证明：假设 \(aH\) 和 \(bH\) 有一个公共元素 \(c\). 则 \(c \in aH\) 且 \(c \in bH\).
▮▮▮▮ⓐ \(c \in aH\) 意味着 \(c = a * h_1\) 对于某个 \(h_1 \in H\).
▮▮▮▮ⓑ \(c \in bH\) 意味着 \(c = b * h_2\) 对于某个 \(h_2 \in H\).
▮▮▮▮ⓒ 因此，\(a * h_1 = b * h_2\). 由此可得 \(a = b * h_2 * h_1^{-1}\). 由于 \(h_1, h_2 \in H\) 且 \(H\) 是子群，\(h_2 * h_1^{-1} \in H\). 设 \(h_3 = h_2 * h_1^{-1} \in H\). 则 \(a = b * h_3\).
现在证明 \(aH \subseteq bH\). 设 \(x \in aH\). 则 \(x = a * h\) 对于某个 \(h \in H\). 将 \(a = b * h_3\) 代入，得到 \(x = (b * h_3) * h = b * (h_3 * h)\). 由于 \(h_3, h \in H\) 且 \(H\) 对运算封闭，\(h_3 * h \in H\). 因此 \(x \in bH\). 所以 \(aH \subseteq bH\).
类似地，由 \(a * h_1 = b * h_2\) 可得 \(b = a * h_1 * h_2^{-1}\). 设 \(h_4 = h_1 * h_2^{-1} \in H\). 则 \(b = a * h_4\). 设 \(y \in bH\). 则 \(y = b * h'\) 对于某个 \(h' \in H\). 将 \(b = a * h_4\) 代入，得到 \(y = (a * h_4) * h' = a * (h_4 * h')\). 由于 \(h_4, h' \in H\)，\(h_4 * h' \in H\). 因此 \(y \in aH\). 所以 \(bH \subseteq aH\).
结合 \(aH \subseteq bH\) 和 \(bH \subseteq aH\)，我们得到 \(aH = bH\).
因此，任意两个左陪集要么相等要么不相交。

④ 所有不同的左陪集构成了群 \(G\) 的一个划分（Partition）。即 \(G\) 是所有不同左陪集的并集，且任意两个不同的左陪集不相交。
\[ G = \bigcup_{a \in G} aH \]
且对于 \(aH \ne bH\)，有 \(aH \cap bH = \emptyset\).

⑤ 左陪集 \(aH\) 和 \(bH\) 相等当且仅当 \(a^{-1} * b \in H\).
证明：
充分性：假设 \(a^{-1} * b \in H\). 设 \(h_0 = a^{-1} * b \in H\). 则 \(b = a * h_0\).
▮▮▮▮ⓐ 证明 \(bH \subseteq aH\). 设 \(x \in bH\). 则 \(x = b * h\) 对于某个 \(h \in H\). 将 \(b = a * h_0\) 代入，\(x = (a * h_0) * h = a * (h_0 * h)\). 由于 \(h_0, h \in H\)，\(h_0 * h \in H\). 所以 \(x \in aH\).
▮▮▮▮ⓑ 证明 \(aH \subseteq bH\). 设 \(y \in aH\). 则 \(y = a * h'\) 对于某个 \(h' \in H\). 由于 \(a^{-1} * b = h_0\)，\(b^{-1} * a = (a^{-1} * b)^{-1} = h_0^{-1} \in H\). 设 \(h_0^{-1} = b^{-1} * a\). 则 \(a = b * h_0^{-1}\). 将 \(a = b * h_0^{-1}\) 代入，\(y = (b * h_0^{-1}) * h' = b * (h_0^{-1} * h')\). 由于 \(h_0^{-1}, h' \in H\)，\(h_0^{-1} * h' \in H\). 所以 \(y \in bH\).
因此，\(aH = bH\).

必要性：假设 \(aH = bH\). 由于 \(b \in bH\)，所以 \(b \in aH\). 根据定义，\(b = a * h\) 对于某个 \(h \in H\). 在等式两边左乘 \(a^{-1}\)，得到 \(a^{-1} * b = a^{-1} * (a * h) = (a^{-1} * a) * h = e * h = h\). 由于 \(h \in H\)，所以 \(a^{-1} * b \in H\).

类似地，右陪集 \(Ha\) 和 \(Hb\) 相等当且仅当 \(a * b^{-1} \in H\).

⑥ 左陪集的个数等于右陪集的个数。这个个数称为子群 \(H\) 在群 \(G\) 中的指数（Index），记作 \([G:H]\)。

2.5.3 拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem)

如果 \(G\) 是一个有限群，\(H\) 是 \(G\) 的一个子群，则 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。更精确地说，\(|G| = |H| \cdot [G:H]\)。

证明：根据陪集的性质 ④，群 \(G\) 可以被 \(H\) 的所有不同的左陪集不相交地划分。设不同的左陪集有 \(k\) 个，记为 \(a_1H, a_2H, \dots, a_kH\).
\[ G = a_1H \cup a_2H \cup \dots \cup a_kH \]
且对于 \(i \ne j\)，\(a_iH \cap a_jH = \emptyset\).
根据陪集的性质 ②，每个左陪集 \(a_iH\) 的元素个数都等于 \(|H|\).
由于这些陪集构成了 \(G\) 的一个划分，\(G\) 的总元素个数等于所有不同左陪集的元素个数之和。
\[ |G| = |a_1H| + |a_2H| + \dots + |a_kH| \]
\[ |G| = |H| + |H| + \dots + |H| \quad (k \text{ 个 } |H|) \]
\[ |G| = k \cdot |H| \]
其中 \(k\) 是不同左陪集的个数，即指数 \([G:H]\).
因此，\(|G| = [G:H] \cdot |H|\). 这表明 \(|H|\) 整除 \(|G|\)，且指数 \([G:H] = |G| / |H|\).

拉格朗日定理的推论：

① 在有限群中，任何元素的阶都整除群的阶。
证明：设 \(a \in G\). 由 \(a\) 生成的循环子群 \(\langle a \rangle\) 是 \(G\) 的子群，且 \(|\langle a \rangle| = |a|\). 根据拉格朗日定理，\(|\langle a \rangle|\) 整除 \(|G|\)，所以 \(|a|\) 整除 \(|G|\).

② 阶为素数 \(p\) 的群一定是循环群，且任何非单位元都是生成元。
证明：设 \(|G| = p\)，其中 \(p\) 是素数。取任意非单位元 \(a \in G\). 由推论 ①，\(|a|\) 整除 \(|G| = p\). 由于 \(a \ne e\)，\(|a| > 1\). 因为 \(p\) 是素数，其正因子只有 1 和 \(p\). 所以 \(|a|\) 必须等于 \(p\). 由于 \(|a| = |\langle a \rangle|\)，所以 \(|\langle a \rangle| = p\). 因为 \(\langle a \rangle\) 是 \(G\) 的子群且 \(|\langle a \rangle| = |G|\)，所以 \(\langle a \rangle = G\). 因此，\(G\) 是循环群，且 \(a\) 是它的生成元。

拉格朗日定理及其推论是有限群理论中非常强大的工具，它们对群的结构提供了重要的限制。例如，一个阶为 6 的群，其子群的阶只能是 1, 2, 3, 6。

本章我们深入学习了群的基本概念，包括定义、性质、常见示例、子群、循环群以及陪集和拉格朗日定理。这些是进一步学习群论以及抽象代数其他分支的基础。在下一章中，我们将探讨群之间的重要关系——同态与同构，以及正规子群和商群的概念。

3. chapter 3： 群的结构与同态 (Group Structure and Homomorphisms)

欢迎来到抽象代数之旅的第三站！在前两个章节中，我们已经奠定了群论的基础，包括群的定义、基本性质、子群以及一些重要的特殊群类，如循环群。现在，我们将深入探讨群的内部结构以及群之间的联系。本章的核心概念是正规子群（Normal Subgroups）、商群（Quotient Groups）、群同态（Group Homomorphisms）和群同构（Group Isomorphisms）。这些概念不仅揭示了群的深层结构，更是理解后续环论、域论等代数结构的基础。我们将看到，通过同态映射，我们可以将一个群的结构信息传递到另一个群，而同构则告诉我们何时两个群在代数意义上是完全相同的。最后，我们将介绍置换群（Permutation Groups）及其与任意群的联系，这由著名的 Cayley 定理（Cayley's Theorem）所揭示。

3.1 正规子群与商群 (Normal Subgroups and Quotient Groups)

在第二章中，我们学习了子群（Subgroups）以及由子群导出的陪集（Cosets）。我们知道，对于群 \( G \) 的一个子群 \( H \)，左陪集（Left Cosets）的集合 \( \{gH \mid g \in G\} \) 构成了 \( G \) 的一个划分（Partition），右陪集（Right Cosets）的集合 \( \{Hg \mid g \in G\} \) 也构成了 \( G \) 的一个划分。然而，通常情况下，左陪集和右陪集并不相同。例如，在对称群 \( S_3 \) 中，考虑子群 \( H = \{e, (12)\} \)，其左陪集是 \( \{H, (13)H = \{(13), (123)\}, (23)H = \{(23), (132)\}\} \)，而右陪集是 \( \{H, H(13) = \{(13), (132)\}, H(23) = \{(23), (123)\}\} \)。可以看到 \( (13)H \neq H(13) \) 且 \( (23)H \neq H(23) \)。

如果对于群 \( G \) 的一个子群 \( N \)，其左陪集和右陪集总是相同的，即对于任意 \( g \in G \)，都有 \( gN = Ng \)，那么这个子群 \( N \) 就具有特殊的性质，我们称之为正规子群（Normal Subgroup）。

3.1.1 正规子群的定义与判别 (Definition and Criteria for Normal Subgroups)

定义 3.1.1 设 \( G \) 是一个群，\( N \) 是 \( G \) 的一个子群。如果对于任意 \( g \in G \)，都有 \( gN = Ng \)，则称 \( N \) 是 \( G \) 的一个正规子群（Normal Subgroup），记作 \( N \triangleleft G \)。

等价地，\( N \) 是 \( G \) 的正规子群当且仅当对于任意 \( g \in G \) 和任意 \( n \in N \)，都有 \( gng^{-1} \in N \)。这里的元素 \( gng^{-1} \) 称为 \( n \) 的共轭（Conjugate）。因此，正规子群也可以定义为：对于任意 \( g \in G \)，\( gNg^{-1} \subseteq N \)。由于 \( gNg^{-1} \subseteq N \) 蕴含 \( N = g^{-1}(gNg^{-1})g \subseteq g^{-1}Ng \)，所以 \( gNg^{-1} = N \) 对于所有 \( g \in G \) 成立。

判别法 3.1.2 设 \( N \) 是群 \( G \) 的一个子群。下列条件等价：
① \( N \) 是 \( G \) 的正规子群。
② 对于任意 \( g \in G \)，\( gNg^{-1} = N \)。
③ 对于任意 \( g \in G \)，\( gNg^{-1} \subseteq N \)。
④ 对于任意 \( g \in G \)，\( gN = Ng \)。

示例 3.1.3
① 任何群 \( G \) 的平凡子群 \( \{e\} \) 和 \( G \) 本身都是正规子群。这是因为对于任意 \( g \in G \)，\( g\{e\}g^{-1} = \{geg^{-1}\} = \{e\} \subseteq \{e\} \)，且 \( gGg^{-1} = G \)。
② Abel 群（Abelian Group）的任何子群都是正规子群。这是因为在 Abel 群中，\( gn = ng \) 对于所有 \( g \in G, n \in N \) 成立，所以 \( gng^{-1} = ngg^{-1} = n \in N \)。因此 \( gNg^{-1} \subseteq N \)。
③ 对称群 \( S_3 \) 中的子群 \( A_3 = \{e, (123), (132)\} \) 是正规子群。\( A_3 \) 的阶是 3，\( S_3 \) 的阶是 6。\( A_3 \) 只有两个左陪集：\( A_3 \) 和 \( (12)A_3 = \{(12), (12)(123), (12)(132)\} = \{(12), (23), (13)\} \)。\( A_3 \) 只有两个右陪集：\( A_3 \) 和 \( A_3(12) = \{(12), (123)(12), (132)(12)\} = \{(12), (13), (23)\} \)。左陪集集合与右陪集集合相同。
④ 对称群 \( S_3 \) 中的子群 \( H = \{e, (12)\} \) 不是正规子群，如前所述，\( (13)H \neq H(13) \)。

3.1.2 商群的构造 (Construction of Quotient Groups)

正规子群的重要性在于它们允许我们在陪集的集合上定义一个自然的群运算，从而构造一个新的群，称为商群（Quotient Group）或因子群（Factor Group）。

设 \( N \) 是群 \( G \) 的一个正规子群。考虑 \( G \) 关于 \( N \) 的左陪集集合，记为 \( G/N = \{gN \mid g \in G\} \)。我们在 \( G/N \) 上定义一个二元运算：对于任意 \( aN, bN \in G/N \)，定义它们的乘积为 \( (aN)(bN) = (ab)N \)。

为了使这个运算是良定义的（Well-defined），即运算结果与陪集的代表元（Representative）的选择无关，我们需要证明：如果 \( aN = a'N \) 且 \( bN = b'N \)，那么 \( (ab)N = (a'b')N \)。
由 \( aN = a'N \)，存在 \( n_1 \in N \) 使得 \( a' = an_1 \)。
由 \( bN = b'N \)，存在 \( n_2 \in N \) 使得 \( b' = bn_2 \)。
那么 \( a'b' = (an_1)(bn_2) = an_1bn_2 \)。
我们需要证明 \( a'b'N = abN \)，即 \( a'b' \in (ab)N \)，也就是 \( (ab)^{-1}(a'b') \in N \)。
\( (ab)^{-1}(a'b') = b^{-1}a^{-1}an_1bn_2 = b^{-1}n_1bn_2 \)。
由于 \( N \) 是正规子群，对于 \( n_1 \in N \) 和 \( b \in G \)，\( b^{-1}n_1b \in N \)。设 \( b^{-1}n_1b = n_3 \in N \)。
则 \( b^{-1}n_1bn_2 = n_3n_2 \)。由于 \( n_3 \in N \) 且 \( n_2 \in N \)，且 \( N \) 是子群，所以 \( n_3n_2 \in N \)。
因此，\( (ab)^{-1}(a'b') \in N \)，这证明了 \( (ab)N = (a'b')N \)，运算是良定义的。

定理 3.1.4 设 \( N \) 是群 \( G \) 的一个正规子群。则陪集集合 \( G/N \) 在运算 \( (aN)(bN) = (ab)N \) 下构成一个群。

证明：
① 封闭性（Closure）：由运算的定义，\( (aN)(bN) = (ab)N \)。由于 \( a, b \in G \)，\( ab \in G \)，所以 \( (ab)N \) 是 \( G \) 的一个陪集，属于 \( G/N \)。封闭性成立。
② 结合律（Associativity）：对于任意 \( aN, bN, cN \in G/N \)，
\( ((aN)(bN))(cN) = (ab)N(cN) = ((ab)c)N \)。
\( (aN)((bN)(cN)) = (aN)((bc)N) = (a(bc))N \)。
由于 \( G \) 中的乘法满足结合律，\( (ab)c = a(bc) \)，所以 \( ((ab)c)N = (a(bc))N \)。结合律成立。
③ 单位元（Identity Element）：陪集 \( eN = N \) 是 \( G/N \) 的单位元。对于任意 \( aN \in G/N \)，
\( (aN)(eN) = (ae)N = aN \)。
\( (eN)(aN) = (ea)N = aN \)。
所以 \( N \) 是单位元。
④ 逆元（Inverse Element）：对于任意 \( aN \in G/N \)，陪集 \( a^{-1}N \) 是 \( aN \) 的逆元。
\( (aN)(a^{-1}N) = (aa^{-1})N = eN = N \)。
\( (a^{-1}N)(aN) = (a^{-1}a)N = eN = N \)。
所以 \( a^{-1}N \) 是 \( aN \) 的逆元。

综上所述，\( G/N \) 在定义的运算下构成一个群，称为 \( G \) 关于 \( N \) 的商群（Quotient Group）。

示例 3.1.5
① 考虑整数加群 \( (\mathbb{Z}, +) \) 及其子群 \( n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\} \) (对于某个正整数 \( n \))。由于 \( \mathbb{Z} \) 是 Abel 群，\( n\mathbb{Z} \) 是正规子群。商群 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) 的元素是陪集 \( a + n\mathbb{Z} = \{a + nk \mid k \in \mathbb{Z}\} \)，其中 \( a \in \mathbb{Z} \)。根据带余除法，任何整数 \( a \) 都可以写成 \( a = qn + r \)，其中 \( 0 \le r < n \)。因此，\( a + n\mathbb{Z} = r + n\mathbb{Z} \)。所以 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) 的元素只有 \( n \) 个不同的陪集：\( 0 + n\mathbb{Z}, 1 + n\mathbb{Z}, \dots, (n-1) + n\mathbb{Z} \)。运算是 \( (a + n\mathbb{Z}) + (b + n\mathbb{Z}) = (a+b) + n\mathbb{Z} \)。这正是模 \( n \) 的同余类（Congruence Classes modulo n）的加法群 \( \mathbb{Z}_n \)。所以 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n \)。
② 考虑对称群 \( S_3 \) 及其正规子群 \( A_3 \)。商群 \( S_3/A_3 \) 的元素是 \( A_3 \) 和 \( (12)A_3 \)。这是一个只有两个元素的群。单位元是 \( A_3 \)，另一个元素是 \( (12)A_3 \)。\( ((12)A_3)((12)A_3) = ((12)(12))A_3 = eA_3 = A_3 \)。这是一个阶为 2 的循环群，同构于 \( \mathbb{Z}_2 \)。

商群的概念允许我们将一个群“分解”为一个正规子群和一个“商”结构。这为研究群的结构提供了强大的工具。

3.2 群同态与同构 (Group Homomorphisms and Isomorphisms)

在数学中，我们经常研究不同结构之间保持其结构特性的映射。在群论中，这种映射称为群同态（Group Homomorphism）。如果一个同态是双射（Bijection），那么它就是群同构（Group Isomorphism）。

3.2.1 群同态的定义与性质 (Definition and Properties of Group Homomorphisms)

定义 3.2.1 设 \( (G, *) \) 和 \( (G', \cdot) \) 是两个群。一个映射 \( \phi: G \to G' \) 称为群同态（Group Homomorphism），如果对于任意 \( a, b \in G \)，都有 \( \phi(a * b) = \phi(a) \cdot \phi(b) \)。

简单来说，同态映射保持了群的运算结构。将 \( G \) 中的元素先运算再映射，与先映射再在 \( G' \) 中运算，结果是相同的。

示例 3.2.2
① 设 \( G \) 是任意群，\( e' \) 是 \( G' \) 的单位元。映射 \( \phi: G \to G' \) 定义为 \( \phi(g) = e' \) 对于所有 \( g \in G \)。这是一个同态，称为平凡同态（Trivial Homomorphism）。因为 \( \phi(ab) = e' \) 且 \( \phi(a)\phi(b) = e'e' = e' \)。
② 设 \( G \) 是任意群。恒等映射 \( id_G: G \to G \) 定义为 \( id_G(g) = g \)。这是一个同态，因为 \( id_G(ab) = ab \) 且 \( id_G(a)id_G(b) = ab \)。
③ 映射 \( \phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n \) 定义为 \( \phi(a) = a \pmod n \)。这是一个从整数加群到模 \( n \) 剩余类加群的同态。因为 \( \phi(a+b) = (a+b) \pmod n \) 且 \( \phi(a) + \phi(b) = (a \pmod n) + (b \pmod n) = (a+b) \pmod n \)。
④ 映射 \( \phi: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^+, \times) \) 定义为 \( \phi(x) = e^x \)。这是一个从实数加群到正实数乘群的同态。因为 \( \phi(x+y) = e^{x+y} = e^x e^y = \phi(x)\phi(y) \)。

定理 3.2.3 设 \( \phi: G \to G' \) 是一个群同态。则：
① \( \phi(e) = e' \)，其中 \( e \) 是 \( G \) 的单位元，\( e' \) 是 \( G' \) 的单位元。
② 对于任意 \( g \in G \)，\( \phi(g^{-1}) = (\phi(g))^{-1} \)。
③ 对于任意子群 \( H \) of \( G \)，\( \phi(H) = \{\phi(h) \mid h \in H\} \) 是 \( G' \) 的一个子群。\( \phi(H) \) 称为 \( H \) 在 \( \phi \) 下的像（Image）。
④ 对于任意子群 \( H' \) of \( G' \)，\( \phi^{-1}(H') = \{g \in G \mid \phi(g) \in H'\} \) 是 \( G \) 的一个子群。\( \phi^{-1}(H') \) 称为 \( H' \) 在 \( \phi \) 下的原像（Preimage）。

证明要点：
① \( \phi(e) = \phi(ee) = \phi(e)\phi(e) \)。在 \( G' \) 中左乘 \( (\phi(e))^{-1} \)，得 \( e' = \phi(e) \)。
② \( \phi(g)\phi(g^{-1}) = \phi(gg^{-1}) = \phi(e) = e' \)。同理 \( \phi(g^{-1})\phi(g) = e' \)。所以 \( \phi(g^{-1}) \) 是 \( \phi(g) \) 的逆元。
③ 证明 \( \phi(H) \) 非空，对乘法封闭，对逆元封闭。
④ 证明 \( \phi^{-1}(H') \) 非空，对乘法封闭，对逆元封闭。

3.2.2 同态的核与像 (Kernel and Image of a Homomorphism)

同态有两个非常重要的子结构：核（Kernel）和像（Image）。

定义 3.2.4 设 \( \phi: G \to G' \) 是一个群同态。
① \( \phi \) 的核（Kernel）定义为 \( \text{ker}(\phi) = \{g \in G \mid \phi(g) = e'\} \)，其中 \( e' \) 是 \( G' \) 的单位元。
② \( \phi \) 的像（Image）定义为 \( \text{im}(\phi) = \{\phi(g) \mid g \in G\} \)。

根据定理 3.2.3 的性质 ③ 和 ④，\( \text{im}(\phi) = \phi(G) \) 是 \( G' \) 的一个子群，而 \( \text{ker}(\phi) = \phi^{-1}(\{e'\}) \) 是 \( G \) 的一个子群。

定理 3.2.5 设 \( \phi: G \to G' \) 是一个群同态。则 \( \text{ker}(\phi) \) 是 \( G \) 的一个正规子群（Normal Subgroup）。

证明： 我们已经知道 \( \text{ker}(\phi) \) 是 \( G \) 的子群。现在证明它是正规的。对于任意 \( k \in \text{ker}(\phi) \) 和任意 \( g \in G \)，我们需要证明 \( gkg^{-1} \in \text{ker}(\phi) \)，即 \( \phi(gkg^{-1}) = e' \)。
\( \phi(gkg^{-1}) = \phi(g)\phi(k)\phi(g^{-1}) \) (由同态定义)
\( = \phi(g)e'(\phi(g))^{-1} \) (因为 \( k \in \text{ker}(\phi) \)，\( \phi(k) = e' \)，且 \( \phi(g^{-1}) = (\phi(g))^{-1} \))
\( = \phi(g)(\phi(g))^{-1} = e' \)。
所以 \( gkg^{-1} \in \text{ker}(\phi) \)，故 \( \text{ker}(\phi) \) 是 \( G \) 的正规子群。

这个定理非常重要，它建立了同态的核与正规子群之间的联系。事实上，每一个正规子群 \( N \) 都是某个同态的核（具体来说，是自然同态 \( \pi: G \to G/N \) 的核，\( \pi(g) = gN \)）。

定理 3.2.6 群同态 \( \phi: G \to G' \) 是单射（Injective）当且仅当 \( \text{ker}(\phi) = \{e\} \)。

证明：
\( (\Rightarrow) \) 假设 \( \phi \) 是单射。如果 \( g \in \text{ker}(\phi) \)，则 \( \phi(g) = e' \)。又因为 \( \phi(e) = e' \)，由 \( \phi \) 的单射性，\( g = e \)。所以 \( \text{ker}(\phi) = \{e\} \)。
\( (\Leftarrow) \) 假设 \( \text{ker}(\phi) = \{e\} \)。如果 \( \phi(a) = \phi(b) \) 对于某些 \( a, b \in G \)，则 \( \phi(a)(\phi(b))^{-1} = e' \)。由定理 3.2.3，\( \phi(a)\phi(b^{-1}) = e' \)，即 \( \phi(ab^{-1}) = e' \)。这意味着 \( ab^{-1} \in \text{ker}(\phi) \)。由于 \( \text{ker}(\phi) = \{e\} \)，所以 \( ab^{-1} = e \)，即 \( a = b \)。因此 \( \phi \) 是单射。

3.2.3 群同构 (Group Isomorphisms)

定义 3.2.7 设 \( \phi: G \to G' \) 是一个群同态。如果 \( \phi \) 是双射（即既是单射又是满射），则称 \( \phi \) 是一个群同构（Group Isomorphism）。如果存在从 \( G \) 到 \( G' \) 的同构，则称 \( G \) 与 \( G' \) 同构（Isomorphic），记作 \( G \cong G' \)。

同构的群在代数结构上是完全相同的，它们只是元素的“名字”不同。研究群论的一个重要目标就是对群进行分类，而同构类（Isomorphism Class）是分类的基本单元。

示例 3.2.8
① 整数加群 \( (\mathbb{Z}, +) \) 与偶数加群 \( (2\mathbb{Z}, +) \) 同构。映射 \( \phi: \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} \) 定义为 \( \phi(n) = 2n \)。这是一个同态：\( \phi(a+b) = 2(a+b) = 2a + 2b = \phi(a) + \phi(b) \)。它是单射：如果 \( 2a = 2b \)，则 \( a = b \)。它是满射：对于任意偶数 \( 2m \in 2\mathbb{Z} \)，存在 \( m \in \mathbb{Z} \) 使得 \( \phi(m) = 2m \)。
② 循环群 \( \mathbb{Z}_n \) 与 \( n \) 阶旋转群同构。
③ 实数加群 \( (\mathbb{R}, +) \) 与正实数乘群 \( (\mathbb{R}^+, \times) \) 同构，同构映射为 \( \phi(x) = e^x \)。

同构关系是一种等价关系（Equivalence Relation），满足自反性（Reflexive）、对称性（Symmetric）和传递性（Transitive）。

3.3 同构基本定理 (Fundamental Isomorphism Theorems)

同构基本定理是连接同态、正规子群和商群的桥梁，它们是群论中最重要的一组定理。

3.3.1 第一同构定理 (The First Isomorphism Theorem)

定理 3.3.1 (第一同构定理) 设 \( \phi: G \to G' \) 是一个群同态。则 \( G/\text{ker}(\phi) \cong \text{im}(\phi) \)。

这个定理的意义在于，任何同态都可以被“分解”为一个满射（从 \( G \) 到商群 \( G/\text{ker}(\phi) \)) 和一个单射（从 \( G/\text{ker}(\phi) \) 到 \( G' \) 的子群 \( \text{im}(\phi) \))。它告诉我们，商群 \( G/\text{ker}(\phi) \) 捕捉了同态 \( \phi \) 在 \( G' \) 中形成的像的全部结构信息。

证明：
我们定义一个映射 \( \psi: G/\text{ker}(\phi) \to \text{im}(\phi) \) 为 \( \psi(g\text{ker}(\phi)) = \phi(g) \)。
① 良定义性（Well-defined）：如果 \( g\text{ker}(\phi) = h\text{ker}(\phi) \)，则 \( gh^{-1} \in \text{ker}(\phi) \)。所以 \( \phi(gh^{-1}) = e' \)。由于 \( \phi \) 是同态，\( \phi(g)\phi(h^{-1}) = e' \)，即 \( \phi(g)(\phi(h))^{-1} = e' \)。这蕴含 \( \phi(g) = \phi(h) \)。所以 \( \psi(g\text{ker}(\phi)) = \phi(g) = \phi(h) = \psi(h\text{ker}(\phi)) \)。映射是良定义的。
② 同态性（Homomorphism）：对于任意 \( g\text{ker}(\phi), h\text{ker}(\phi) \in G/\text{ker}(\phi) \)，
\( \psi((g\text{ker}(\phi))(h\text{ker}(\phi))) = \psi((gh)\text{ker}(\phi)) = \phi(gh) \)。
\( \psi(g\text{ker}(\phi))\psi(h\text{ker}(\phi)) = \phi(g)\phi(h) \)。
由于 \( \phi \) 是同态，\( \phi(gh) = \phi(g)\phi(h) \)。所以 \( \psi \) 是同态。
③ 单射性（Injective）：如果 \( \psi(g\text{ker}(\phi)) = \psi(h\text{ker}(\phi)) \)，则 \( \phi(g) = \phi(h) \)。这意味着 \( \phi(g)(\phi(h))^{-1} = e' \)，即 \( \phi(gh^{-1}) = e' \)。所以 \( gh^{-1} \in \text{ker}(\phi) \)。根据陪集的性质，这等价于 \( g\text{ker}(\phi) = h\text{ker}(\phi) \)。所以 \( \psi \) 是单射。
④ 满射性（Surjective）：对于任意 \( y \in \text{im}(\phi) \)，存在 \( g \in G \) 使得 \( \phi(g) = y \)。那么 \( g\text{ker}(\phi) \in G/\text{ker}(\phi) \) 且 \( \psi(g\text{ker}(\phi)) = \phi(g) = y \)。所以 \( \psi \) 是满射。

因为 \( \psi \) 是双射同态，所以它是同构。故 \( G/\text{ker}(\phi) \cong \text{im}(\phi) \)。

示例 3.3.2
① 考虑同态 \( \phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n \) 定义为 \( \phi(a) = a \pmod n \)。\( \text{ker}(\phi) = \{a \in \mathbb{Z} \mid a \pmod n = 0\} = n\mathbb{Z} \)。\( \text{im}(\phi) = \mathbb{Z}_n \)。根据第一同构定理，\( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n \)，这与我们之前的观察一致。
② 考虑映射 \( \text{sgn}: S_n \to \{1, -1\} \) (乘法群)，将置换映射到其符号（Sign）。这是一个同态。\( \text{ker}(\text{sgn}) = \{ \sigma \in S_n \mid \text{sgn}(\sigma) = 1 \} = A_n \) (交错群，Alternating Group)。\( \text{im}(\text{sgn}) = \{1, -1\} \cong \mathbb{Z}_2 \) (对于 \( n \ge 2 \))。根据第一同构定理，\( S_n/A_n \cong \mathbb{Z}_2 \)。

3.3.2 第二同构定理 (The Second Isomorphism Theorem)

定理 3.3.3 (第二同构定理，Diamond Isomorphism Theorem) 设 \( G \) 是一个群，\( H \) 是 \( G \) 的一个子群，\( N \) 是 \( G \) 的一个正规子群。则：
① \( HN = \{hn \mid h \in H, n \in N\} \) 是 \( G \) 的一个子群。
② \( H \cap N \) 是 \( H \) 的一个正规子群。
③ \( H/(H \cap N) \cong HN/N \)。

这个定理提供了一种构造同构的方法，它描述了子群 \( H \) 与正规子群 \( N \) 的乘积 \( HN \) 以及它们的交集 \( H \cap N \) 之间的关系。商群 \( HN/N \) 的元素是形如 \( hnN \) 的陪集。由于 \( nN = N \)，这些陪集可以写成 \( hN \)，其中 \( h \in H \)。

证明要点：
① 证明 \( HN \) 是子群：非空性显然。封闭性：\( (h_1n_1)(h_2n_2) = h_1(n_1h_2)n_2 \)。由于 \( N \triangleleft G \)，\( n_1h_2 \in h_2N \)。所以 \( n_1h_2 = h_2n_3 \) 对于某个 \( n_3 \in N \)。则 \( h_1(n_1h_2)n_2 = h_1h_2n_3n_2 \in HN \)。逆元：\( (hn)^{-1} = n^{-1}h^{-1} \)。由于 \( N \triangleleft G \)，\( h^{-1}n^{-1}h \in N \)。所以 \( n^{-1}h^{-1} = h^{-1}(h n^{-1} h^{-1}) \in H N \)。
② 证明 \( H \cap N \triangleleft H \)：\( H \cap N \) 是 \( H \) 的子群是显然的。对于任意 \( x \in H \cap N \) 和 \( h \in H \)，我们需要证明 \( hxh^{-1} \in H \cap N \)。由于 \( x \in H \) 且 \( h \in H \)，\( hxh^{-1} \in H \)。由于 \( x \in N \) 且 \( N \triangleleft G \)，\( hxh^{-1} \in N \)。所以 \( hxh^{-1} \in H \cap N \)。
③ 构造同态 \( \phi: H \to HN/N \) 定义为 \( \phi(h) = hN \)。
▮▮▮▮⚝ 同态性：\( \phi(h_1h_2) = (h_1h_2)N = (h_1N)(h_2N) = \phi(h_1)\phi(h_2) \)。
▮▮▮▮⚝ 满射性：对于任意 \( hnN \in HN/N \)，\( hnN = hN \) (因为 \( nN = N \))。取 \( h \in H \)，则 \( \phi(h) = hN \)。所以 \( \phi \) 是满射。
▮▮▮▮⚝ 核：\( \text{ker}(\phi) = \{h \in H \mid \phi(h) = N\} = \{h \in H \mid hN = N\} = \{h \in H \mid h \in N\} = H \cap N \)。
根据第一同构定理，\( H/\text{ker}(\phi) \cong \text{im}(\phi) \)。即 \( H/(H \cap N) \cong HN/N \)。

3.3.3 第三同构定理 (The Third Isomorphism Theorem)

定理 3.3.4 (第三同构定理) 设 \( G \) 是一个群，\( K \) 和 \( H \) 是 \( G \) 的正规子群，且 \( K \subseteq H \)。则 \( H/K \) 是 \( G/K \) 的一个正规子群，且 \( (G/K)/(H/K) \cong G/H \)。

这个定理描述了“商群的商群”的结构。它表明，如果我们先对 \( K \) 取商，再对 \( H/K \) 取商，结果与直接对 \( H \) 取商是同构的。

证明要点：
① 证明 \( H/K \) 是 \( G/K \) 的子群：\( H/K = \{hK \mid h \in H\} \)。由于 \( H \) 是 \( G \) 的子群且 \( K \subseteq H \)，\( H/K \) 是 \( G/K \) 的子集。非空性显然。封闭性：\( (h_1K)(h_2K) = (h_1h_2)K \in H/K \) 因为 \( h_1h_2 \in H \)。逆元：\( (hK)^{-1} = h^{-1}K \in H/K \) 因为 \( h^{-1} \in H \)。
② 证明 \( H/K \) 是 \( G/K \) 的正规子群：对于任意 \( gK \in G/K \) 和 \( hK \in H/K \)，我们需要证明 \( (gK)(hK)(gK)^{-1} \in H/K \)。
\( (gK)(hK)(gK)^{-1} = (ghg^{-1})K \)。由于 \( H \triangleleft G \)，\( ghg^{-1} \in H \)。所以 \( (ghg^{-1})K \in H/K \)。故 \( H/K \triangleleft G/K \)。
③ 构造映射 \( \phi: G/K \to G/H \) 定义为 \( \phi(gK) = gH \)。
▮▮▮▮⚝ 良定义性：如果 \( gK = g'K \)，则 \( gg'^{-1} \in K \). 由于 \( K \subseteq H \), \( gg'^{-1} \in H \). 所以 \( gH = g'H \). \( \phi \) 是良定义的。
▮▮▮▮⚝ 同态性：\( \phi((g_1K)(g_2K)) = \phi((g_1g_2)K) = (g_1g_2)H = (g_1H)(g_2H) = \phi(g_1K)\phi(g_2K) \).
▮▮▮▮⚝ 满射性：对于任意 \( gH \in G/H \)，\( gK \in G/K \) 且 \( \phi(gK) = gH \).
▮▮▮▮⚝ 核：\( \text{ker}(\phi) = \{gK \in G/K \mid \phi(gK) = H\} = \{gK \in G/K \mid gH = H\} = \{gK \in G/K \mid g \in H\} \). 这个集合正是 \( H/K \).
根据第一同构定理，\( (G/K)/\text{ker}(\phi) \cong \text{im}(\phi) \)。即 \( (G/K)/(H/K) \cong G/H \)。

3.3.4 第四同构定理 (The Fourth Isomorphism Theorem, Lattice Isomorphism Theorem)

定理 3.3.5 (第四同构定理，格同构定理) 设 \( N \) 是群 \( G \) 的一个正规子群。则存在从 \( G \) 的包含 \( N \) 的子群集合到商群 \( G/N \) 的子群集合之间的双射对应。具体地，如果 \( A \) 是 \( G \) 的一个包含 \( N \) 的子群，则 \( A/N = \{aN \mid a \in A\} \) 是 \( G/N \) 的一个子群。反之，如果 \( B \) 是 \( G/N \) 的一个子群，则 \( \pi^{-1}(B) = \{g \in G \mid gN \in B\} \) 是 \( G \) 的一个包含 \( N \) 的子群，其中 \( \pi: G \to G/N \) 是自然同态 \( \pi(g) = gN \)。这个对应保持包含关系，即 \( A_1 \subseteq A_2 \) 当且仅当 \( A_1/N \subseteq A_2/N \)。此外，如果 \( A \) 是 \( G \) 的包含 \( N \) 的子群，则 \( A \) 是 \( G \) 的正规子群当且仅当 \( A/N \) 是 \( G/N \) 的正规子群。

这个定理揭示了群 \( G \) 的子群结构（特别是那些包含正规子群 \( N \) 的子群）与商群 \( G/N \) 的子群结构之间的精确对应关系。它被称为格同构定理是因为它描述了子群格（Lattice of Subgroups）之间的同构。

证明要点：
① 证明对应是双射：构造两个互逆的映射。一个从包含 \( N \) 的 \( G \) 的子群到 \( G/N \) 的子群，另一个从 \( G/N \) 的子群到包含 \( N \) 的 \( G \) 的子群。
② 证明保持包含关系：直接由定义验证。
③ 证明正规性对应：利用正规子群的定义和商群的运算性质。

同构基本定理是理解群结构和它们之间关系的关键工具。它们在代数中无处不在，是解决许多问题的基础。

3.4 置换群与 Cayley 定理 (Permutation Groups and Cayley's Theorem)

我们已经见过一些具体的群，比如整数加群、对称群等。抽象群的定义非常一般，它只要求一个集合和一个满足特定公理的二元运算。那么，抽象群与我们熟悉的具体群之间有什么关系呢？Cayley 定理（Cayley's Theorem）给出了一个深刻的答案：任何群都同构于某个置换群的子群。这意味着，从某种意义上说，研究抽象群就等价于研究置换群。

3.4.1 置换群回顾 (Review of Permutation Groups)

定义 3.4.1 设 \( X \) 是一个非空集合。\( X \) 上的一个置换（Permutation）是从 \( X \) 到 \( X \) 的一个双射。\( X \) 上所有置换在函数复合（Function Composition）下构成一个群，称为 \( X \) 上的对称群（Symmetric Group），记作 \( S_X \)。如果 \( X = \{1, 2, \dots, n\} \)，则记作 \( S_n \)。

我们在第二章中已经初步了解了 \( S_n \)，包括循环表示法（Cycle Notation）、对换（Transposition）、符号（Sign）以及交错群 \( A_n \)。\( S_n \) 的阶是 \( n! \)。

3.4.2 Cayley 定理 (Cayley's Theorem)

定理 3.4.2 (Cayley 定理) 任何群 \( G \) 都同构于某个对称群 \( S_X \) 的一个子群。特别地，如果 \( G \) 是一个有限群且 \( |G| = n \)，则 \( G \) 同构于 \( S_n \) 的一个子群。

这个定理的证明是通过构造一个从 \( G \) 到 \( S_G \) (\( G \) 自身的元素集合上的对称群) 的同构映射来实现的。

证明：
设 \( G \) 是一个群。对于每一个 \( g \in G \)，我们定义一个映射 \( \lambda_g: G \to G \) 为 \( \lambda_g(x) = gx \) 对于所有 \( x \in G \)。这个映射称为左乘（Left Multiplication）映射。
① 证明 \( \lambda_g \) 是 \( G \) 上的一个置换：
▮▮▮▮⚝ 单射：如果 \( \lambda_g(x_1) = \lambda_g(x_2) \)，则 \( gx_1 = gx_2 \)。由左消去律，\( x_1 = x_2 \)。
▮▮▮▮⚝ 满射：对于任意 \( y \in G \)，存在 \( x = g^{-1}y \in G \) 使得 \( \lambda_g(x) = g(g^{-1}y) = (gg^{-1})y = ey = y \)。
所以 \( \lambda_g \) 是 \( G \) 上的一个双射，即 \( \lambda_g \in S_G \)。

② 构造映射 \( \Phi: G \to S_G \) 定义为 \( \Phi(g) = \lambda_g \)。

③ 证明 \( \Phi \) 是一个群同态：
对于任意 \( g, h \in G \)，我们需要证明 \( \Phi(gh) = \Phi(g)\Phi(h) \)，即 \( \lambda_{gh} = \lambda_g \circ \lambda_h \)。
对于任意 \( x \in G \)，
\( \lambda_{gh}(x) = (gh)x = g(hx) \) (由 \( G \) 的结合律)
\( (\lambda_g \circ \lambda_h)(x) = \lambda_g(\lambda_h(x)) = \lambda_g(hx) = g(hx) \)。
所以 \( \lambda_{gh}(x) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x) \) 对于所有 \( x \in G \) 成立，故 \( \lambda_{gh} = \lambda_g \circ \lambda_h \)。\( \Phi \) 是同态。

④ 证明 \( \Phi \) 是单射：
根据定理 3.2.6，只需证明 \( \text{ker}(\Phi) = \{e\} \)。
\( \text{ker}(\Phi) = \{g \in G \mid \Phi(g) = \text{id}_G\} = \{g \in G \mid \lambda_g = \text{id}_G\} \)。
\( \lambda_g = \text{id}_G \) 意味着对于所有 \( x \in G \)，\( \lambda_g(x) = x \)，即 \( gx = x \)。
取 \( x = e \)，则 \( ge = e \)，所以 \( g = e \)。
因此 \( \text{ker}(\Phi) = \{e\} \)，\( \Phi \) 是单射。

⑤ 结论：
\( \Phi \) 是一个单射同态。根据第一同构定理，\( G/\text{ker}(\Phi) \cong \text{im}(\Phi) \)。由于 \( \text{ker}(\Phi) = \{e\} \)，\( G/\{e\} \cong G \)。所以 \( G \cong \text{im}(\Phi) \)。
\( \text{im}(\Phi) = \{\lambda_g \mid g \in G\} \) 是 \( S_G \) 的一个子群。
因此，\( G \) 同构于 \( S_G \) 的一个子群 \( \text{im}(\Phi) \)。

如果 \( G \) 是有限群且 \( |G| = n \)，我们可以将 \( G \) 的元素与集合 \( \{1, 2, \dots, n\} \) 建立一个固定的双射，从而将 \( S_G \) 同构于 \( S_n \)。因此，\( G \) 同构于 \( S_n \) 的一个子群。

示例 3.4.3
考虑 Klein 四元群 \( V = \{e, a, b, ab\} \)，其中 \( a^2 = e, b^2 = e, ab = ba \)。\( |V| = 4 \)。根据 Cayley 定理，\( V \) 同构于 \( S_4 \) 的一个子群。
我们将 \( V \) 的元素标记为 1, 2, 3, 4：\( e \leftrightarrow 1, a \leftrightarrow 2, b \leftrightarrow 3, ab \leftrightarrow 4 \)。
左乘映射为：
\( \lambda_e(x) = ex = x \)，对应置换 \( (1)(2)(3)(4) \)。
\( \lambda_a(x) = ax \)：\( a \cdot e = a \leftrightarrow 2 \)，\( a \cdot a = e \leftrightarrow 1 \)，\( a \cdot b = ab \leftrightarrow 4 \)，\( a \cdot ab = a^2b = b \leftrightarrow 3 \)。对应置换 \( (12)(34) \)。
\( \lambda_b(x) = bx \)：\( b \cdot e = b \leftrightarrow 3 \)，\( b \cdot a = ba = ab \leftrightarrow 4 \)，\( b \cdot b = e \leftrightarrow 1 \)，\( b \cdot ab = b^2a = a \leftrightarrow 2 \)。对应置换 \( (13)(24) \)。
\( \lambda_{ab}(x) = abx \)：\( ab \cdot e = ab \leftrightarrow 4 \)，\( ab \cdot a = aba = ba^2 = b \leftrightarrow 3 \)，\( ab \cdot b = abb = a \leftrightarrow 2 \)，\( ab \cdot ab = (ab)^2 = a^2b^2 = e \leftrightarrow 1 \)。对应置换 \( (14)(23) \)。
\( V \) 同构于 \( S_4 \) 的子群 \( \{ (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} \)。

Cayley 定理的意义在于，它表明抽象群的概念并没有引入比置换群更广泛的结构。任何抽象群都可以“具体地”表示为置换群。然而，对于大型群，其同构的置换群 \( S_n \) 的阶 \( n! \) 会非常大，因此 Cayley 定理更多地具有理论意义，而不是实际计算或理解群结构的工具。我们仍然需要抽象群的概念和理论来有效地研究群。

本章我们深入探讨了群的结构，学习了正规子群和商群的概念，以及群之间的结构保持映射——同态和同构。同构基本定理为我们提供了理解这些概念之间联系的强大框架。最后，Cayley 定理告诉我们，所有群都可以看作是置换群。这些工具构成了现代群论的基石，为研究更复杂的代数结构（如环和域）铺平了道路。

4. chapter 4： 高级群论主题 (Advanced Topics in Group Theory)

欢迎来到抽象代数的高级领域！在前面的章节中，我们已经深入探讨了群的基本概念、结构以及同态与同构。我们了解了子群、正规子群、商群以及循环群等重要概念。现在，我们将进一步提升我们的视角，探索一些更深刻、更强大的群论工具和理论。本章将聚焦于群作用、Sylow 定理、有限 Abel 群的结构以及可解群与幂零群。这些主题不仅揭示了群内部更复杂的结构，也为我们分析和分类群提供了强大的手段，并在数学的许多其他分支以及物理学、计算机科学等领域有着广泛的应用。准备好迎接新的挑战了吗？让我们开始这段激动人心的旅程！

4.1 群作用 (Group Actions)

群作用是连接群与集合的桥梁，它提供了一种将群的抽象运算转化为对具体集合元素的变换的方式。通过研究群如何作用于一个集合，我们可以深入了解群本身的结构，同时也能解决与该集合相关的许多问题。

4.1.1 定义与基本性质 (Definition and Basic Properties)

考虑一个群 \( G \) 和一个非空集合 \( X \)。一个 \( G \) 在 \( X \) 上的左作用 (Left Action) 是一个函数 \( \cdot: G \times X \to X \)，通常记为 \( (g, x) \mapsto g \cdot x \)，满足以下两个条件：
① 对于所有 \( x \in X \)，有 \( e \cdot x = x \)，其中 \( e \) 是 \( G \) 的单位元 (identity element)。
② 对于所有 \( g_1, g_2 \in G \) 和所有 \( x \in X \)，有 \( (g_1 g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) \)。

类似地，可以定义右作用 (Right Action)。一个 \( G \) 在 \( X \) 上的右作用是一个函数 \( \cdot: X \times G \to X \)，记为 \( (x, g) \mapsto x \cdot g \)，满足：
① 对于所有 \( x \in X \)，有 \( x \cdot e = x \)。
② 对于所有 \( g_1, g_2 \in G \) 和所有 \( x \in X \)，有 \( x \cdot (g_1 g_2) = (x \cdot g_1) \cdot g_2 \)。

注意，如果 \( G \) 是 Abel 群 (Abelian group)，则左作用和右作用的概念基本一致。对于非 Abel 群，左作用和右作用是不同的概念。然而，一个右作用 \( x \cdot g \) 可以通过定义 \( g^{-1} \cdot x \) 转化为一个左作用，反之亦然。因此，我们通常只讨论左作用。

群作用 \( \cdot: G \times X \to X \) 也可以等价地理解为一个群同态 (group homomorphism) \( \phi: G \to S_X \)，其中 \( S_X \) 是集合 \( X \) 的所有置换 (permutation) 构成的对称群 (symmetric group)。对于每个 \( g \in G \)，定义映射 \( \phi_g: X \to X \) 为 \( \phi_g(x) = g \cdot x \)。条件 ① 和 ② 确保了每个 \( \phi_g \) 是 \( X \) 的一个置换，并且映射 \( g \mapsto \phi_g \) 是一个群同态。这个同态 \( \phi \) 称为群作用的置换表示 (permutation representation)。

如果同态 \( \phi \) 是单射 (injective)，则称该作用是忠实的 (faithful)。忠实作用意味着不同的群元素导致对集合 \( X \) 的不同变换。

4.1.2 轨道与稳定子 (Orbits and Stabilizers)

群作用将集合 \( X \) 划分成一些重要的子集。

对于 \( x \in X \)，元素 \( x \) 在 \( G \) 作用下的轨道 (Orbit) 定义为集合 \( O_x = \{ g \cdot x \mid g \in G \} \)。轨道 \( O_x \) 包含了所有可以通过群作用从 \( x \) 得到的元素。集合 \( X \) 可以分解为不相交轨道的并集。

对于 \( x \in X \)，元素 \( x \) 在 \( G \) 作用下的稳定子 (Stabilizer) (或称迷向子群 (Isotropy Subgroup)) 定义为集合 \( G_x = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \} \)。稳定子 \( G_x \) 包含了所有在群作用下固定 \( x \) 的群元素。容易验证 \( G_x \) 是 \( G \) 的一个子群。

4.1.3 轨道-稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)

轨道和稳定子之间存在一个重要的关系，由轨道-稳定子定理给出。

定理 (轨道-稳定子定理)：设 \( G \) 是一个有限群，\( X \) 是一个集合，\( \cdot \) 是 \( G \) 在 \( X \) 上的一个作用。对于任意 \( x \in X \)，轨道 \( O_x \) 的大小等于稳定子 \( G_x \) 在 \( G \) 中的指数 (index)，即 \( |O_x| = [G : G_x] = |G| / |G_x| \)。

这个定理非常强大，它将轨道的大小（集合的性质）与稳定子的大小（群的性质）联系起来。

证明思路：考虑映射 \( f: G/G_x \to O_x \)，其中 \( G/G_x \) 是 \( G_x \) 在 \( G \) 中的左陪集 (left cosets) 集合，定义为 \( f(gG_x) = g \cdot x \)。需要证明这个映射是良定义的 (well-defined)、单射和满射 (surjective)。
▮▮▮▮ⓐ 良定义：如果 \( g_1 G_x = g_2 G_x \)，则 \( g_1^{-1} g_2 \in G_x \)。根据稳定子的定义，\( (g_1^{-1} g_2) \cdot x = x \)。利用群作用的性质，\( g_1^{-1} \cdot (g_2 \cdot x) = x \)，即 \( g_2 \cdot x = g_1 \cdot x \)。所以 \( f(g_1 G_x) = f(g_2 G_x) \)，映射是良定义的。
▮▮▮▮ⓑ 单射：如果 \( f(g_1 G_x) = f(g_2 G_x) \)，则 \( g_1 \cdot x = g_2 \cdot x \)。这意味着 \( g_1^{-1} \cdot (g_2 \cdot x) = x \)，即 \( (g_1^{-1} g_2) \cdot x = x \)。所以 \( g_1^{-1} g_2 \in G_x \)，这等价于 \( g_1 G_x = g_2 G_x \)。映射是单射的。
▮▮▮▮ⓒ 满射：对于任意 \( y \in O_x \)，根据轨道的定义，存在 \( g \in G \) 使得 \( y = g \cdot x \)。那么 \( y = f(gG_x) \)，所以映射是满射的。
由于 \( f \) 是双射 (bijective)，集合 \( G/G_x \) 和 \( O_x \) 的大小相等。根据陪集的性质，\( |G/G_x| = [G : G_x] = |G| / |G_x| \)。因此，\( |O_x| = |G| / |G_x| \)。

4.1.4 Burnside 引理 (Burnside's Lemma)

Burnside 引理（有时也称为 Cauchy-Frobenius 引理）是群作用在计数问题中的一个重要应用。它用于计算在群作用下本质上不同的对象的数量。

设 \( G \) 是作用在有限集合 \( X \) 上的一个有限群。对于 \( g \in G \)，记 \( X^g = \{ x \in X \mid g \cdot x = x \} \) 为在 \( g \) 作用下不动的元素的集合。则 \( X \) 在 \( G \) 作用下的不同轨道的数量（即本质上不同的对象的数量）由以下公式给出：
\[ \text{轨道的数量} = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g| \]

这个引理在组合数学中有广泛应用，例如计算不同着色方案的数量（如多边形顶点、立方体面等）。

4.1.5 群作用的应用示例 (Examples of Group Actions)

群作用的概念非常普遍，许多群论中的重要概念都可以用群作用来理解。

⚝ 左乘作用 (Left Multiplication Action)：群 \( G \) 作用在自身上 ( \( X = G \))，定义为 \( g \cdot x = gx \) (群的乘法)。
▮▮▮▮⚝ 轨道：对于任何 \( x \in G \)，\( O_x = \{ gx \mid g \in G \} = G \)。只有一个轨道，即 \( G \) 本身。这个作用是传递的 (transitive)。
▮▮▮▮⚝ 稳定子：\( G_x = \{ g \in G \mid gx = x \} \)。由于 \( G \) 是群，\( gx = x \) 当且仅当 \( g = e \)。所以 \( G_x = \{e\} \)。
▮▮▮▮⚝ 轨道-稳定子定理验证：\( |O_x| = |G| \)，\( |G_x| = 1 \)。\( |G| = |G| / 1 \)，定理成立。
▮▮▮▮⚝ 置换表示：这个作用对应的同态 \( \phi: G \to S_G \) 是 \( \phi_g(x) = gx \)。这个同态是单射的（如果 \( gx = hx \) 对所有 \( x \) 成立，取 \( x=e \)，则 \( g=h \))。这正是 Cayley 定理 (Cayley's Theorem) 的核心思想：每个群都同构于某个对称群的子群。

⚝ 共轭作用 (Conjugation Action)：群 \( G \) 作用在自身上 ( \( X = G \))，定义为 \( g \cdot x = gxg^{-1} \)。
▮▮▮▮⚝ 轨道：对于 \( x \in G \)，轨道 \( O_x = \{ gxg^{-1} \mid g \in G \} \) 称为 \( x \) 的共轭类 (conjugacy class)。群 \( G \) 可以分解为不相交共轭类的并集。
▮▮▮▮⚝ 稳定子：\( G_x = \{ g \in G \mid gxg^{-1} = x \} = \{ g \in G \mid gx = xg \} \)。这个稳定子 \( G_x \) 称为 \( x \) 的中心化子 (centralizer)，记为 \( C_G(x) \)。
▮▮▮▮⚝ 轨道-稳定子定理：\( |O_x| = |G| / |C_G(x)| \)。一个元素的共轭类的大小等于群的阶除以其中心化子的阶。
▮▮▮▮⚝ 应用：共轭作用在研究群的结构中非常重要，例如类方程 (class equation) 就是基于共轭作用的轨道分解。

⚝ 作用在子群集合上 (Action on the Set of Subgroups)：群 \( G \) 作用在 \( G \) 的所有子群构成的集合 \( \mathcal{S} \) 上，定义为 \( g \cdot H = gHg^{-1} = \{ ghg^{-1} \mid h \in H \} \) (其中 \( H \in \mathcal{S} \))。
▮▮▮▮⚝ 轨道：子群 \( H \) 的轨道 \( O_H = \{ gHg^{-1} \mid g \in G \} \) 包含了所有与 \( H \) 共轭的子群。
▮▮▮▮⚝ 稳定子：\( G_H = \{ g \in G \mid gHg^{-1} = H \} \)。这个稳定子 \( G_H \) 称为 \( H \) 的正规化子 (normalizer)，记为 \( N_G(H) \)。正规化子是包含 \( H \) 的最大子群，使得 \( H \) 在 \( N_G(H) \) 中是正规子群 (normal subgroup)。
▮▮▮▮⚝ 轨道-稳定子定理：\( |O_H| = |G| / |N_G(H)| \)。与 \( H \) 共轭的子群的数量等于群的阶除以 \( H \) 的正规化子的阶。
▮▮▮▮⚝ 应用：这个作用在 Sylow 定理的证明中起着关键作用。注意，如果 \( H \) 是正规子群，则 \( gHg^{-1} = H \) 对所有 \( g \in G \) 成立，此时 \( N_G(H) = G \)，轨道 \( O_H = \{H\} \)，大小为 1。

群作用是一个非常灵活和强大的工具，它将抽象的群结构与具体的集合变换联系起来，为我们提供了分析群和解决相关问题的新的视角和方法。

4.2 Sylow 定理 (Sylow Theorems)

Sylow 定理是有限群论中最深刻和最重要的结果之一。它们提供了关于有限群中特定阶的子群（称为 Sylow \( p \)-子群）的存在性、结构和数量的详细信息。这些定理对于理解和分类有限群至关重要。

4.2.1 \( p \)-群与 Sylow \( p \)-子群 ( \( p \)-groups and Sylow \( p \)-subgroups)

设 \( p \) 是一个素数 (prime number)。
一个群 \( G \) 称为\( p \)-群 ( \( p \)-group)，如果 \( G \) 中每个元素的阶 (order) 都是 \( p \) 的幂。对于有限群，这等价于群的阶是 \( p \) 的幂，即 \( |G| = p^n \) 对于某个非负整数 \( n \)。

设 \( G \) 是一个有限群，\( |G| = p^n m \)，其中 \( p \) 不整除 \( m \)。\( G \) 的一个子群 \( P \) 称为Sylow \( p \)-子群 (Sylow \( p \)-subgroup)，如果 \( |P| = p^n \)。换句话说，Sylow \( p \)-子群是 \( G \) 中阶为 \( p \) 的最高幂次的子群。

4.2.2 Sylow 定理 (The Sylow Theorems)

Sylow 定理共有三个，它们是关于 Sylow \( p \)-子群的核心结论。

定理 (第一 Sylow 定理)：设 \( G \) 是一个有限群，\( p \) 是一个素数。如果 \( p^k \) 整除 \( |G| \)，则 \( G \) 存在一个阶为 \( p^k \) 的子群。特别地，如果 \( |G| = p^n m \) 且 \( p \nmid m \)，则 \( G \) 存在 Sylow \( p \)-子群（即存在阶为 \( p^n \) 的子群）。

这个定理保证了特定阶的子群的存在性。Cauchy 定理 (Cauchy's Theorem) 是第一 Sylow 定理的一个特例（当 \( k=1 \) 时），它指出如果素数 \( p \) 整除有限群 \( G \) 的阶，则 \( G \) 存在一个阶为 \( p \) 的元素（从而存在一个阶为 \( p \) 的循环子群）。第一 Sylow 定理是 Cauchy 定理的推广。

定理 (第二 Sylow 定理)：设 \( G \) 是一个有限群，\( p \) 是一个素数。
① \( G \) 的任意两个 Sylow \( p \)-子群是共轭的。
② \( G \) 的任意一个 \( p \)-子群 ( \( p \)-subgroup) 都包含在某个 Sylow \( p \)-子群中。

这个定理告诉我们，所有 Sylow \( p \)-子群在共轭意义下是等价的，并且任何一个阶是 \( p \) 的幂次的子群都可以“扩张”成一个 Sylow \( p \)-子群。

定理 (第三 Sylow 定理)：设 \( G \) 是一个有限群，\( p \) 是一个素数。记 \( n_p \) 为 \( G \) 中 Sylow \( p \)-子群的数量。则：
① \( n_p \equiv 1 \pmod{p} \) ( \( n_p \) 除以 \( p \) 余 1)。
② \( n_p \) 整除 \( |G| \)。更精确地说，\( n_p \) 整除 \( |G| / |P| \)，其中 \( P \) 是任意一个 Sylow \( p \)-子群。

第三 Sylow 定理给出了 Sylow \( p \)-子群数量的限制条件。结合这三个定理，我们可以对有限群的结构进行深入分析。

4.2.3 Sylow 定理的应用 (Applications of Sylow Theorems)

Sylow 定理是证明许多重要群论结果的关键工具。

⚝ 证明群不是单群 (Simple Group)：一个群 \( G \) 称为单群 (simple group)，如果它的正规子群只有平凡子群 \( \{e\} \) 和 \( G \) 本身。单群是有限群分类的“基本砖块”。Sylow 定理常用于证明某个特定阶的群不是单群。
▮▮▮▮⚝ 例如，考虑一个阶为 30 的群 \( G \)，\( |G| = 2 \times 3 \times 5 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ Sylow 5-子群的阶为 5。设 \( n_5 \) 是 Sylow 5-子群的数量。根据第三 Sylow 定理，\( n_5 \equiv 1 \pmod{5} \) 且 \( n_5 \mid 30 \)。可能的 \( n_5 \) 的值是 1 或 6。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ Sylow 3-子群的阶为 3。设 \( n_3 \) 是 Sylow 3-子群的数量。根据第三 Sylow 定理，\( n_3 \equiv 1 \pmod{3} \) 且 \( n_3 \mid 30 \)。可能的 \( n_3 \) 的值是 1 或 10。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( n_5 = 6 \)，则有 6 个不同的 Sylow 5-子群。由于阶为 5 的群是循环群，且任意两个不同阶为 5 的子群只包含单位元这一个共同元素，这 6 个子群至少包含 \( 6 \times (5-1) = 24 \) 个阶为 5 的元素。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( n_3 = 10 \)，则有 10 个不同的 Sylow 3-子群。类似地，这 10 个子群至少包含 \( 10 \times (3-1) = 20 \) 个阶为 3 的元素。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( n_5 = 6 \) 且 \( n_3 = 10 \)，则群 \( G \) 中至少有 24 个阶为 5 的元素和 20 个阶为 3 的元素，再加上单位元，总元素数量至少为 \( 24 + 20 + 1 = 45 \)，这与 \( |G| = 30 \) 矛盾。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 因此，\( n_5 \) 和 \( n_3 \) 不能同时大于 1。所以 \( n_5 = 1 \) 或 \( n_3 = 1 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( n_5 = 1 \)，则 Sylow 5-子群是唯一的。唯一的 Sylow \( p \)-子群一定是正规子群（因为共轭作用保持子群的阶，唯一的 Sylow \( p \)-子群必须与自身共轭）。所以存在一个阶为 5 的正规子群，\( G \) 不是单群。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( n_3 = 1 \)，则 Sylow 3-子群是唯一的，因此是正规子群。所以存在一个阶为 3 的正规子群，\( G \) 不是单群。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 结论：任何阶为 30 的群都不是单群。

⚝ 分类小阶群：Sylow 定理是分类小阶有限群的重要工具。通过分析 Sylow \( p \)-子群的数量和结构，可以确定群的可能结构。

⚝ 证明特定阶的群是循环群或 Abel 群：例如，如果 \( |G| = pq \)，其中 \( p < q \) 且 \( p \nmid (q-1) \)，则 \( G \) 是循环群。这个结论的证明就严重依赖于 Sylow 定理。

Sylow 定理是有限群论的基石，它们为我们提供了深入理解有限群结构的强大武器。

4.3 有限 Abel 群的结构 (Structure of Finite Abelian Groups)

有限 Abel 群的结构比非 Abel 群要简单得多，并且可以被完全分类。有限 Abel 群基本定理给出了这种分类。

4.3.1 有限 Abel 群基本定理 (Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups)

定理 (有限 Abel 群基本定理)：每一个有限 Abel 群 \( G \) 都可以分解为循环子群的直积 (direct product)。这种分解有两种标准形式：

① 初等因子分解 (Elementary Divisor Decomposition)：\( G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{a_1}} \times \mathbb{Z}_{p_2^{a_2}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_k^{a_k}} \)，其中 \( p_i \) 是素数（不一定不同），\( a_i \) 是正整数。这些 \( p_i^{a_i} \) 称为群 \( G \) 的初等因子 (elementary divisors)。初等因子的集合由 \( G \) 唯一确定（不考虑顺序）。

② 不变因子分解 (Invariant Factor Decomposition)：\( G \cong \mathbb{Z}_{d_1} \times \mathbb{Z}_{d_2} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_m} \)，其中 \( d_i \) 是正整数，满足 \( d_1 | d_2 | \cdots | d_m \)。这些 \( d_i \) 称为群 \( G \) 的不变因子 (invariant factors)。不变因子的序列由 \( G \) 唯一确定。

这两种分解形式是等价的，可以相互转化。初等因子是每个不变因子的素幂因子。例如，如果不变因子是 60，它可以分解为 \( 2^2 \times 3 \times 5 \)，对应的初等因子就是 \( 4, 3, 5 \)。

4.3.2 定理的意义与应用 (Significance and Applications of the Theorem)

有限 Abel 群基本定理的意义在于它将所有有限 Abel 群的结构完全描述清楚了。任何一个有限 Abel 群都可以唯一地写成一些特定形式的循环群的直积。这使得我们可以通过研究循环群来理解所有有限 Abel 群。

⚝ 分类有限 Abel 群：给定一个有限 Abel 群的阶 \( n \)，我们可以通过将其阶进行素因子分解 \( n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r} \)，然后将每个 \( p_i^{e_i} \) 分解为 \( p_i \) 的幂次的乘积（对应于初等因子分解），或者找到满足整除链条件的不变因子序列。每一种分解方式对应一个同构类 (isomorphism class) 的有限 Abel 群。
▮▮▮▮⚝ 例如，阶为 12 的 Abel 群。\( 12 = 2^2 \times 3 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 初等因子：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ \( 2^2, 3^1 \)：对应 \( \mathbb{Z}_{2^2} \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_{12} \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ \( 2^1, 2^1, 3^1 \)：对应 \( \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 阶为 12 的 Abel 群只有这两种非同构类型。
▮▮▮▮⚝ 不变因子：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ \( d_1 | d_2 | \cdots | d_m \)，且 \( d_1 d_2 \cdots d_m = 12 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ \( m=1 \)：\( d_1 = 12 \)。对应 \( \mathbb{Z}_{12} \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ \( m=2 \)：\( d_1 | d_2 \)，\( d_1 d_2 = 12 \)。可能的 \( (d_1, d_2) \) 是 \( (2, 6) \)。对应 \( \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6 \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 阶为 12 的 Abel 群只有这两种非同构类型，与初等因子分解结果一致。

⚝ 简化证明：许多关于有限 Abel 群的性质，只需要在循环群上证明，然后通过直积的性质推广到所有有限 Abel 群。

有限 Abel 群基本定理是线性代数中有限维向量空间结构定理（每个有限维向量空间都同构于 \( F^n \)，其中 \( F \) 是域）在 Abel 群上的类比。它也可以看作是主理想整环 (Principal Ideal Domain, PID) 上的有限生成模 (finitely generated modules) 结构定理的一个特例，因为 \( \mathbb{Z} \) 是一个 PID，而 Abel 群可以看作是 \( \mathbb{Z} \)-模。

4.4 可解群与幂零群 (Solvable Groups and Nilpotent Groups)

可解群和幂零群是两类重要的群，它们在群论中有特殊的地位，并且与方程的根式可解性（Galois 理论）以及群的结构分解密切相关。

4.4.1 交换子与导出列 (Commutators and Derived Series)

对于群 \( G \) 中的元素 \( x, y \)，它们的交换子 (commutator) 定义为 \( [x, y] = xyx^{-1}y^{-1} \)。交换子反映了元素之间不可交换的程度：\( [x, y] = e \) 当且仅当 \( xy = yx \)。

群 \( G \) 的交换子子群 (commutator subgroup) 或导出子群 (derived subgroup) 记为 \( G' \) 或 \( [G, G] \)，定义为由所有交换子 \( [x, y] \) 生成的子群。即 \( G' = \langle \{ [x, y] \mid x, y \in G \} \rangle \)。
交换子子群 \( G' \) 是 \( G \) 的一个正规子群，并且 \( G/G' \) 是 Abel 群。事实上，\( G' \) 是使得商群为 Abel 群的最小正规子群。

我们可以通过重复取交换子子群来构造一个序列，称为导出列 (derived series)：
\( G^{(0)} = G \)
\( G^{(1)} = G' = [G, G] \)
\( G^{(2)} = (G')' = [G', G'] \)
...
\( G^{(k+1)} = (G^{(k)})' = [G^{(k)}, G^{(k)}] \)
这是一个下降的正规子群链：\( G = G^{(0)} \supseteq G^{(1)} \supseteq G^{(2)} \supseteq \cdots \)。

4.4.2 可解群 (Solvable Groups)

一个群 \( G \) 称为可解群 (solvable group)，如果它的导出列在有限步内达到单位元子群 \( \{e\} \)，即存在非负整数 \( k \) 使得 \( G^{(k)} = \{e\} \)。

⚝ 性质：
▮▮▮▮⚝ Abel 群都是可解群，因为对于 Abel 群 \( G \)，\( G' = \{e\} \)，所以 \( G^{(1)} = \{e\} \)。
▮▮▮▮⚝ 可解群的子群是可解群。
▮▮▮▮⚝ 可解群的商群是可解群。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( N \) 是 \( G \) 的正规子群，且 \( N \) 和 \( G/N \) 都是可解群，则 \( G \) 也是可解群。
▮▮▮▮⚝ 对称群 \( S_n \) 对于 \( n \ge 5 \) 不是可解群。这是因为 \( S_n \) 的导出列最终会包含交错群 (alternating group) \( A_n \)，而 \( A_n \) 对于 \( n \ge 5 \) 是非 Abel 单群，其导出子群就是自身。\( A_n' = A_n \) 对于 \( n \ge 5 \)。

可解群的概念起源于 Galois 理论中关于多项式方程根式可解性的研究。一个多项式方程的根式可解性等价于其 Galois 群是可解群。由于 \( S_n \) 对于 \( n \ge 5 \) 不是可解群，这解释了为什么五次及更高次的方程没有一般的根式解公式（Abel-Ruffini 定理）。

4.4.3 中心列与幂零群 (Central Series and Nilpotent Groups)

除了导出列，还有另一类重要的子群序列称为中心列。

下降中心列 (Lower Central Series)：
\( G^0 = G \)
\( G^1 = [G, G] = G' \)
\( G^2 = [G, G^1] = [G, [G, G]] \)
...
\( G^{k+1} = [G, G^k] \)
这是一个下降的正规子群链：\( G = G^0 \supseteq G^1 \supseteq G^2 \supseteq \cdots \)。注意 \( G^1 = G^{(1)} \)，但 \( G^2 \) 通常不同于 \( G^{(2)} \)。

上升中心列 (Upper Central Series)：
\( Z_0(G) = \{e\} \)
\( Z_1(G) = Z(G) \) (群的中心 (center))
\( Z_2(G) \) 是满足 \( Z_2(G)/Z_1(G) = Z(G/Z_1(G)) \) 的 \( G \) 的子群。
...
\( Z_{k+1}(G) \) 是满足 \( Z_{k+1}(G)/Z_k(G) = Z(G/Z_k(G)) \) 的 \( G \) 的子群。
这是一个上升的正规子群链：\( \{e\} = Z_0(G) \subseteq Z_1(G) \subseteq Z_2(G) \subseteq \cdots \)。

一个群 \( G \) 称为幂零群 (nilpotent group)，如果它的下降中心列在有限步内达到单位元子群 \( \{e\} \)，即存在非负整数 \( k \) 使得 \( G^k = \{e\} \)。这等价于上升中心列在有限步内达到群 \( G \) 本身，即存在非负整数 \( k \) 使得 \( Z_k(G) = G \)。

⚝ 性质：
▮▮▮▮⚝ Abel 群都是幂零群，因为 \( G' = \{e\} \)，所以 \( G^1 = \{e\} \)。
▮▮▮▮⚝ 幂零群都是可解群。这是因为 \( G^{(k)} \subseteq G^k \)。如果 \( G^k = \{e\} \)，则 \( G^{(k)} = \{e\} \)。
▮▮▮▮⚝ \( p \)-群（有限的）都是幂零群。
▮▮▮▮⚝ 幂零群的子群是幂零群。
▮▮▮▮⚝ 幂零群的商群是幂零群。
▮▮▮▮⚝ 幂零群的直积是幂零群。
▮▮▮▮⚝ 幂零群的中心非平凡（如果群非平凡）。

幂零群是比可解群更特殊的一类群。例如，对称群 \( S_3 \) 是可解群（\( S_3' = A_3 \cong \mathbb{Z}_3 \)，\( A_3' = \{e\} \)，导出列为 \( S_3 \supset A_3 \supset \{e\} \))，但不是幂零群（\( Z(S_3) = \{e\} \)，上升中心列停留在 \( \{e\} \))。

可解群和幂零群提供了衡量群“接近”Abel 群程度的一种方式。可解群的商群链最终是 Abel 群，而幂零群的商中心链最终是平凡群。这些概念在有限群的结构理论中扮演着重要角色。

至此，我们已经探索了群作用的强大工具，学习了 Sylow 定理如何揭示有限群中 \( p \)-子群的奥秘，理解了有限 Abel 群的优美结构，并初步认识了可解群和幂零群这两类重要的群。这些高级主题为我们进一步深入学习抽象代数，特别是有限群理论，打下了坚实的基础。在接下来的章节中，我们将转向环论，探索另一种重要的代数结构。

5. chapter 5： 环论基础 (Fundamentals of Ring Theory)

欢迎来到抽象代数课程的第五章！👋 在前几章中，我们深入探讨了群（Group）的结构与性质，了解了只有一个二元运算的代数系统。现在，我们将把视野扩展到具有两个二元运算的代数结构——环（Ring）。环论是抽象代数中与群论同样重要的分支，它为我们理解整数、多项式、矩阵等常见数学对象的结构提供了统一的框架，并为后续学习域（Field）、模（Module）和代数（Algebra）奠定基础。

本章将从环的定义出发，逐步介绍环的基本性质、常见示例、重要的子结构（子环和理想），以及连接不同环之间的映射（环同态）和由此产生的商环（Quotient Ring）概念。我们将看到，许多在群论中遇到的思想，如子结构、同态、商结构等，在环论中也有其对应的形式，但由于引入了第二个运算，环的结构会更加丰富和复杂。

准备好了吗？让我们一起踏上环论的探索之旅！🚀

5.1 环的定义与基本性质 (Definition and Basic Properties of Rings)

在数学中，环是一种带有两个二元运算的集合，这两个运算通常被称为“加法”（addition）和“乘法”（multiplication），并且满足一些特定的公理。这些公理捕捉了整数、多项式等常见数学对象在加法和乘法下的基本行为。

5.1.1 环的定义 (Definition of a Ring)

一个集合 \(R\) 连同两个二元运算，记为 \(+\)（加法）和 \(\cdot\)（乘法），构成一个环（Ring），如果满足以下公理：

① 在加法下，\(R\) 是一个 Abel 群（Abelian Group）。这意味着：
▮▮▮▮ⓑ 加法是封闭的：对于任意 \(a, b \in R\)，\(a + b \in R\)。
▮▮▮▮ⓒ 加法是结合的：对于任意 \(a, b, c \in R\)，\((a + b) + c = a + (b + c)\)。
▮▮▮▮ⓓ 存在加法单位元（additive identity）：存在一个元素 \(0 \in R\)，使得对于任意 \(a \in R\)，\(a + 0 = 0 + a = a\)。这个元素是唯一的，通常称为零元（zero element）。
▮▮▮▮ⓔ 存在加法逆元（additive inverse）：对于任意 \(a \in R\)，存在一个元素 \(-a \in R\)，使得 \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)。这个逆元是唯一的。
▮▮▮▮ⓕ 加法是交换的：对于任意 \(a, b \in R\)，\(a + b = b + a\)。

② 在乘法下，\(R\) 是封闭的且乘法是结合的。这意味着：
▮▮▮▮ⓑ 乘法是封闭的：对于任意 \(a, b \in R\)，\(a \cdot b \in R\)。
▮▮▮▮ⓒ 乘法是结合的：对于任意 \(a, b, c \in R\)，\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)。

③ 乘法对加法满足分配律（Distributive Laws）。这意味着：
▮▮▮▮ⓑ 左分配律（Left distributive law）：对于任意 \(a, b, c \in R\)，\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)。
▮▮▮▮ⓒ 右分配律（Right distributive law）：对于任意 \(a, b, c \in R\)，\((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)。

我们通常将环 \((R, +, \cdot)\) 简记为 \(R\)。

一些重要的术语和约定：

⚝ 交换环 (Commutative Ring): 如果环 \(R\) 的乘法是交换的，即对于任意 \(a, b \in R\)，\(a \cdot b = b \cdot a\)，则称 \(R\) 是一个交换环。
⚝ 幺环 (Ring with Unity or Unital Ring): 如果环 \(R\) 存在乘法单位元（multiplicative identity），记为 \(1\)，使得对于任意 \(a \in R\)，\(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\)，则称 \(R\) 是一个幺环。乘法单位元如果存在，也是唯一的。注意，定义中不要求环一定有乘法单位元，也不要求乘法是交换的。
⚝ 零环 (Zero Ring): 如果一个环 \(R\) 只包含一个元素 \(0\)，且 \(0+0=0\), \(0 \cdot 0 = 0\)，则称其为零环。在零环中，加法单位元和乘法单位元是同一个元素 \(0\)。如果一个幺环 \(R\) 满足 \(1=0\)，则 \(R\) 必须是零环。因为对于任意 \(a \in R\)，\(a = a \cdot 1 = a \cdot 0\)。同时，根据分配律和加法单位元的性质，我们知道 \(a \cdot 0 = a \cdot (0+0) = a \cdot 0 + a \cdot 0\)。在加法群 \((R, +)\) 中，由消去律可知 \(a \cdot 0 = 0\)。所以 \(a=0\)，即 \(R\) 只有零元。因此，在一个非零幺环中，\(1 \neq 0\)。

5.1.2 环的基本性质 (Basic Properties of Rings)

从环的公理出发，我们可以推导出一些基本的性质。这些性质在环的计算和理论推导中非常有用。

设 \(R\) 是一个环，\(a, b, c \in R\)。

① 零元的乘法性质：
\[ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \]
证明： 考虑 \(a \cdot 0\)。由于 \(0\) 是加法单位元，\(0+0=0\)。根据左分配律，\(a \cdot (0+0) = a \cdot 0 + a \cdot 0\)。同时，\(a \cdot (0+0) = a \cdot 0\)。所以 \(a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0\)。在加法群 \((R, +)\) 中，将 \(a \cdot 0\) 的加法逆元加到等式两边，得到 \(0 = a \cdot 0\)。同理，利用右分配律和 \(0+0=0\)，可以证明 \(0 \cdot a = 0\)。

② 零元与加法逆元的关系：
\[ a \cdot (-b) = -(a \cdot b) \]
\[ (-a) \cdot b = -(a \cdot b) \]
\[ (-a) \cdot (-b) = a \cdot b \]
证明： 考虑 \(a \cdot b + a \cdot (-b)\)。根据左分配律，\(a \cdot b + a \cdot (-b) = a \cdot (b + (-b))\)。由于 \(-b\) 是 \(b\) 的加法逆元，\(b + (-b) = 0\)。所以 \(a \cdot (b + (-b)) = a \cdot 0\)。由性质 ① 可知 \(a \cdot 0 = 0\)。因此，\(a \cdot b + a \cdot (-b) = 0\)。这意味着 \(a \cdot (-b)\) 是 \(a \cdot b\) 的加法逆元，即 \(a \cdot (-b) = -(a \cdot b)\)。同理可证 \( (-a) \cdot b = -(a \cdot b)\)。
最后，考虑 \( (-a) \cdot (-b) \)。利用前面两个结果，\( (-a) \cdot (-b) = - (a \cdot (-b)) = - (-(a \cdot b)) \)。在加法群中，一个元素的逆元的逆元是它本身，所以 \( -(-(a \cdot b)) = a \cdot b \)。因此，\( (-a) \cdot (-b) = a \cdot b \)。

③ 减法的定义：
减法可以定义为加上加法逆元：\(a - b = a + (-b)\)。

④ 如果 \(R\) 是一个幺环，具有乘法单位元 \(1\)，则对于任意 \(a \in R\)，有：
\[ (-1) \cdot a = -a \]
\[ a \cdot (-1) = -a \]
\[ (-1) \cdot (-1) = 1 \]
证明： 考虑 \(1 \cdot a + (-1) \cdot a\)。根据右分配律，\(1 \cdot a + (-1) \cdot a = (1 + (-1)) \cdot a\)。由于 \(1\) 是乘法单位元，\(1 \cdot a = a\)。同时，\(1 + (-1) = 0\)。所以 \((1 + (-1)) \cdot a = 0 \cdot a\)。由性质 ① 可知 \(0 \cdot a = 0\)。因此，\(a + (-1) \cdot a = 0\)。这意味着 \( (-1) \cdot a \) 是 \(a\) 的加法逆元，即 \( (-1) \cdot a = -a \)。同理可证 \( a \cdot (-1) = -a \)。
最后，\( (-1) \cdot (-1) = -(-1) = 1 \)。

这些基本性质看起来简单，但它们是从环的公理严格推导出来的，是进行更复杂证明的基础。理解这些性质有助于我们更熟练地在环中进行代数运算。

5.2 常见环示例 (Examples of Common Rings)

抽象代数的魅力在于它提供了一个统一的框架来研究看似不同的数学对象。环的定义正是如此，许多我们熟悉的数学结构都是环。下面是一些重要的常见环示例。

5.2.1 整数环 (Ring of Integers)

最熟悉的环莫过于整数集 \(\mathbb{Z}\) 及其通常的加法和乘法。
\(\mathbb{Z} = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}\)。
① \(\mathbb{Z}\) 在加法下是 Abel 群：加法封闭、结合、有零元 \(0\)、有逆元 \(-a\)、加法交换。
② \(\mathbb{Z}\) 在乘法下封闭且结合。
③ 乘法对加法满足分配律：\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\) 且 \((a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)。
④ 乘法是交换的：\(a \cdot b = b \cdot a\)。
⑤ 存在乘法单位元 \(1\)。
因此，\(\mathbb{Z}\) 是一个交换幺环（Commutative Unital Ring）。

5.2.2 有理数环、实数环、复数环 (Rings of Rational Numbers, Real Numbers, Complex Numbers)

有理数集 \(\mathbb{Q}\)、实数集 \(\mathbb{R}\)、复数集 \(\mathbb{C}\) 及其通常的加法和乘法也都构成环。它们都是交换幺环。事实上，它们不仅是环，还是域（Field），域是一种特殊的环，我们将在后面章节讨论。

5.2.3 模 \(n\) 整数环 (Ring of Integers Modulo \(n\))

对于任意正整数 \(n > 1\)，集合 \(\mathbb{Z}_n = \{0, 1, \dots, n-1\}\) 连同模 \(n\) 的加法和乘法构成一个环。
加法定义为 \(a +_n b = (a+b) \pmod n\)。
乘法定义为 \(a \cdot_n b = (a \cdot b) \pmod n\)。
① \(\mathbb{Z}_n\) 在模 \(n\) 加法下是 Abel 群：零元是 \(0\)，元素 \(a\) 的逆元是 \(n-a\) (当 \(a \neq 0\)) 或 \(0\) (当 \(a=0\))。
② 模 \(n\) 乘法封闭且结合。
③ 乘法对加法满足分配律。
④ 模 \(n\) 乘法是交换的。
⑤ 乘法单位元是 \(1\) (如果 \(n>1\))。
因此，\(\mathbb{Z}_n\) 是一个交换幺环。

例如，\(\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}\)。
加法表：
\[ \begin{pmatrix} + & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
乘法表：
\[ \begin{pmatrix} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
注意在 \(\mathbb{Z}_4\) 中，\(2 \cdot 2 = 0\)。这引入了零因子（Zero Divisor）的概念：在一个环 \(R\) 中，如果存在非零元素 \(a, b \in R\) 使得 \(a \cdot b = 0\)，则称 \(a\) 和 \(b\) 是零因子。在 \(\mathbb{Z}_4\) 中，\(2\) 是零因子。整数环 \(\mathbb{Z}\) 没有非零零因子。没有非零零因子的交换幺环称为整环（Integral Domain），我们将在后面章节讨论。

5.2.4 多项式环 (Polynomial Rings)

设 \(R\) 是一个交换幺环。考虑以 \(R\) 为系数的变量 \(x\) 的多项式集合 \(R[x]\)。
一个多项式形如 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\)，其中 \(a_i \in R\)，且只有有限个 \(a_i\) 非零。
多项式的加法和乘法按通常的方式定义。
例如，在 \(\mathbb{Z}[x]\) 中，\((2x^2 + 3x) + (x^2 - x + 1) = 3x^2 + 2x + 1\)，\((x+1)(x-1) = x^2 - 1\)。
① \(R[x]\) 在多项式加法下是 Abel 群：零元是零多项式，逆元是将所有系数取逆。
② \(R[x]\) 在多项式乘法下封闭且结合。
③ 乘法对加法满足分配律。
④ 如果 \(R\) 是交换环，则 \(R[x]\) 也是交换环。
⑤ 如果 \(R\) 是幺环，则 \(R[x]\) 也是幺环，乘法单位元是常数多项式 \(1\)。
因此，如果 \(R\) 是一个交换幺环，则 \(R[x]\) 也是一个交换幺环。

我们可以推广到多个变量的多项式环，如 \(R[x, y]\) 等。

5.2.5 矩阵环 (Matrix Rings)

设 \(R\) 是一个环，\(n\) 是一个正整数。考虑以 \(R\) 中元素为元素的 \(n \times n\) 矩阵集合 \(M_n(R)\)。
矩阵的加法和乘法按通常的方式定义。
例如，在 \(M_2(\mathbb{R})\) 中，
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix} \]
注意，矩阵乘法通常不是交换的。
① \(M_n(R)\) 在矩阵加法下是 Abel 群：零元是零矩阵，逆元是将每个元素取逆。
② \(M_n(R)\) 在矩阵乘法下封闭且结合。
③ 矩阵乘法对矩阵加法满足分配律。
④ 如果 \(n > 1\) 且 \(R\) 不是零环，则 \(M_n(R)\) 通常不是交换环。
⑤ 如果 \(R\) 是幺环，则 \(M_n(R)\) 也是幺环，乘法单位元是单位矩阵 \(I_n\)。
因此，\(M_n(R)\) 是一个环。如果 \(R\) 是幺环，则 \(M_n(R)\) 是幺环。

5.2.6 函数环 (Ring of Functions)

设 \(X\) 是一个非空集合，\(R\) 是一个环。考虑所有从 \(X\) 到 \(R\) 的函数集合 \(F(X, R)\)。
对于 \(f, g \in F(X, R)\)，定义加法和乘法为逐点运算：
\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
\((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
对于任意 \(x \in X\)。
① \(F(X, R)\) 在逐点加法下是 Abel 群：零元是零函数（恒等于 \(R\) 的零元的函数），逆元是 \((-f)(x) = -f(x)\)。
② \(F(X, R)\) 在逐点乘法下封闭且结合。
③ 逐点乘法对逐点加法满足分配律。
④ 如果 \(R\) 是交换环，则 \(F(X, R)\) 也是交换环。
⑤ 如果 \(R\) 是幺环，则 \(F(X, R)\) 也是幺环，乘法单位元是常数函数 \(1(x) = 1_R\)。
因此，\(F(X, R)\) 是一个环。

这些例子展示了环概念的广泛适用性。通过研究抽象的环，我们可以一次性获得关于所有这些具体结构的深刻洞察。

5.3 子环与理想 (Subrings and Ideals)

在群论中，我们研究了群的子群。在环论中，我们也有类似的子结构概念：子环（Subring）和理想（Ideal）。理想是环论中一个非常重要的概念，它在构建商环中起着与正规子群在构建商群中类似的作用。

5.3.1 子环 (Subrings)

设 \(R\) 是一个环，\(S\) 是 \(R\) 的一个非空子集。如果 \(S\) 在 \(R\) 的加法和乘法下本身构成一个环，则称 \(S\) 是 \(R\) 的一个子环。

判断一个非空子集 \(S \subseteq R\) 是否是子环的判别法：
\(S\) 是 \(R\) 的子环当且仅当满足以下条件：
① 对于任意 \(a, b \in S\)，\(a - b \in S\)。 (这保证 \(S\) 在加法下是 \(R\) 的子群)
② 对于任意 \(a, b \in S\)，\(a \cdot b \in S\)。 (这保证 \(S\) 在乘法下封闭)

如果 \(R\) 是幺环，且 \(S\) 是 \(R\) 的子环，\(S\) 是否一定是幺环？不一定。即使 \(S\) 是幺环，它的乘法单位元也可能与 \(R\) 的乘法单位元不同。
例如，考虑环 \(R = M_2(\mathbb{Z})\) (2x2 整数矩阵环)，其乘法单位元是 \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
考虑子集 \(S = \{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid a \in \mathbb{Z} \}\)。
① 对于 \(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S\)，它们的差是 \(\begin{pmatrix} a-b & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S\)。
② 它们的乘积是 \(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S\)。
所以 \(S\) 是 \(R\) 的一个子环。
\(S\) 本身是一个环，其加法单位元是 \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，乘法单位元是 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。注意，\(S\) 的乘法单位元 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 不是 \(R\) 的乘法单位元 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。

5.3.2 理想 (Ideals)

理想是比子环更特殊的子结构，它与环的乘法运算有更强的关联。理想在环论中的地位类似于正规子群在群论中的地位。

设 \(R\) 是一个环，\(I\) 是 \(R\) 的一个非空子集。
① 如果 \(I\) 在 \(R\) 的加法下是 \(R\) 的子群，即对于任意 \(a, b \in I\)，\(a - b \in I\)。
② 如果对于任意 \(r \in R\) 和任意 \(a \in I\)，有 \(r \cdot a \in I\) 和 \(a \cdot r \in I\)，则称 \(I\) 是 \(R\) 的一个双边理想（Two-sided Ideal），简称理想。

⚝ 如果只满足 \(r \cdot a \in I\) (对于任意 \(r \in R, a \in I\))，则称 \(I\) 是 \(R\) 的一个左理想（Left Ideal）。
⚝ 如果只满足 \(a \cdot r \in I\) (对于任意 \(a \in I, r \in R\))，则称 \(I\) 是 \(R\) 的一个右理想（Right Ideal）。

在一个交换环中，左理想、右理想和双边理想是同一个概念。

理想的判别法：
一个非空子集 \(I \subseteq R\) 是 \(R\) 的一个理想当且仅当满足以下条件：
① 对于任意 \(a, b \in I\)，\(a - b \in I\)。
② 对于任意 \(r \in R\) 和任意 \(a \in I\)，\(r \cdot a \in I\) 且 \(a \cdot r \in I\)。

理想的例子：
⚝ 在整数环 \(\mathbb{Z}\) 中，所有形如 \(n \cdot k\) (其中 \(k \in \mathbb{Z}\)) 的整数集合，记为 \(n\mathbb{Z} = \{ \dots, -2n, -n, 0, n, 2n, \dots \}\)，对于任意整数 \(n\)，都是 \(\mathbb{Z}\) 的一个理想。
▮▮▮▮⚝ 证明：对于任意 \(a, b \in n\mathbb{Z}\)，则 \(a = nk_1\), \(b = nk_2\) 对于某些 \(k_1, k_2 \in \mathbb{Z}\)。则 \(a - b = nk_1 - nk_2 = n(k_1 - k_2) \in n\mathbb{Z}\)。
▮▮▮▮⚝ 对于任意 \(r \in \mathbb{Z}\) 和 \(a \in n\mathbb{Z}\) (\(a=nk\))，\(r \cdot a = r \cdot (nk) = n(rk) \in n\mathbb{Z}\)，\(a \cdot r = (nk) \cdot r = n(kr) \in n\mathbb{Z}\)。
▮▮▮▮⚝ 因此，\(n\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的一个理想。事实上，\(\mathbb{Z}\) 的所有理想都具有 \(n\mathbb{Z}\) 的形式，这说明 \(\mathbb{Z}\) 是一个主理想环（Principal Ideal Ring），我们将在后面章节讨论。

⚝ 在任意环 \(R\) 中，\(\{0\}\) 是一个理想，称为零理想（Zero Ideal）。\(R\) 本身也是一个理想，称为单位理想（Unit Ideal）或全环（Whole Ring）。

⚝ 在矩阵环 \(M_n(R)\) 中，如果 \(R\) 是一个域（如 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)），则 \(M_n(R)\) 的理想只有 \(\{0\}\) 和 \(M_n(R)\) 本身。这样的环称为单环（Simple Ring）。

理想与子环的关系：
一个理想 \(I\) 必须是 \(R\) 的一个子环。因为理想的定义要求 \(I\) 在加法下是子群，且对环中元素的乘法封闭。如果 \(a, b \in I\)，则 \(a-b \in I\)，且 \(a \cdot b \in I\) (取 \(r=a\) 或 \(r=b\)，或者更直接地，如果 \(I\) 是理想，取 \(r \in I\)，则 \(r \cdot a \in I\)，所以 \(a \cdot b \in I\))。
但是，子环不一定是理想。例如，在矩阵环 \(M_2(\mathbb{Z})\) 中，子环 \(S = \{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid a \in \mathbb{Z} \}\) 不是理想。取 \(r = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{Z})\) 和 \(a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S\)。则 \(r \cdot a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S\)。但是 \(a \cdot r = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \notin S\)。所以 \(S\) 不是右理想，也不是双边理想。

理想是环结构中非常重要的概念，它们是构建商环的基础。

5.4 商环与环同态 (Quotient Rings and Ring Homomorphisms)

在群论中，我们使用正规子群来构造商群。在环论中，我们使用理想来构造商环。环同态则是连接不同环之间的桥梁，它保持了环的加法和乘法结构。

5.4.1 商环 (Quotient Rings)

设 \(R\) 是一个环，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想。由于 \(I\) 在加法下是 \(R\) 的子群，且加法是交换的（所以 \(I\) 也是正规子群），我们可以构造加法群的商群 \(R/I\)。
\(R/I = \{ r + I \mid r \in R \}\)，其中 \(r + I = \{ r + a \mid a \in I \}\) 是 \(r\) 关于 \(I\) 的陪集（Coset）。
\(R/I\) 在加法下构成一个 Abel 群，加法定义为 \((r + I) + (s + I) = (r+s) + I\)。

现在，我们要在 \(R/I\) 上定义乘法，使得 \(R/I\) 成为一个环。自然的想法是定义 \((r + I) \cdot (s + I) = (r \cdot s) + I\)。
我们需要验证这个乘法是良定义的（Well-defined），即它的结果不依赖于陪集的代表元的选择。
假设 \(r + I = r' + I\) 且 \(s + I = s' + I\)。这意味着 \(r - r' \in I\) 且 \(s - s' \in I\)。
我们需要证明 \((r \cdot s) + I = (r' \cdot s') + I\)，即 \(r \cdot s - r' \cdot s' \in I\)。
\(r \cdot s - r' \cdot s' = r \cdot s - r \cdot s' + r \cdot s' - r' \cdot s'\)
\(= r \cdot (s - s') + (r - r') \cdot s'\)
由于 \(s - s' \in I\) 且 \(I\) 是左理想，\(r \cdot (s - s') \in I\)。
由于 \(r - r' \in I\) 且 \(I\) 是右理想，\((r - r') \cdot s' \in I\)。
由于 \(I\) 在加法下封闭，它们的和 \(r \cdot (s - s') + (r - r') \cdot s' \in I\)。
所以 \(r \cdot s - r' \cdot s' \in I\)，乘法是良定义的。

商环的定义：
设 \(R\) 是一个环，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想。则集合 \(R/I\) 连同上述定义的加法和乘法构成一个环，称为 \(R\) 关于理想 \(I\) 的商环（Quotient Ring）或因子环（Factor Ring）。
商环 \(R/I\) 的零元是 \(0 + I = I\)。
如果 \(R\) 是幺环，乘法单位元是 \(1\)，则 \(R/I\) 的乘法单位元是 \(1 + I\)。
如果 \(R\) 是交换环，则 \(R/I\) 也是交换环。

商环的例子：
⚝ 考虑整数环 \(\mathbb{Z}\) 和理想 \(n\mathbb{Z}\)。商环 \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) 的元素是形如 \(a + n\mathbb{Z}\) 的陪集，其中 \(a \in \mathbb{Z}\)。两个陪集 \(a + n\mathbb{Z}\) 和 \(b + n\mathbb{Z}\) 相等当且仅当 \(a - b \in n\mathbb{Z}\)，即 \(a \equiv b \pmod n\)。因此，\(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) 的元素可以表示为 \(0 + n\mathbb{Z}, 1 + n\mathbb{Z}, \dots, (n-1) + n\mathbb{Z}\)。这些陪集与 \(\mathbb{Z}_n = \{0, 1, \dots, n-1\}\) 中的元素一一对应。
加法：\((a + n\mathbb{Z}) + (b + n\mathbb{Z}) = (a+b) + n\mathbb{Z}\)，对应于 \((a \pmod n) +_n (b \pmod n) = (a+b) \pmod n\)。
乘法：\((a + n\mathbb{Z}) \cdot (b + n\mathbb{Z}) = (a \cdot b) + n\mathbb{Z}\)，对应于 \((a \pmod n) \cdot_n (b \pmod n) = (a \cdot b) \pmod n\)。
所以，商环 \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) 同构于模 \(n\) 整数环 \(\mathbb{Z}_n\)。

商环的概念允许我们“模掉”一个理想，从而得到一个新的环结构。这在研究环的结构和分类中非常有用。

5.4.2 环同态与同构 (Ring Homomorphisms and Isomorphisms)

环同态是两个环之间保持环运算结构的映射。

环同态的定义：
设 \(R\) 和 \(S\) 是两个环。一个映射 \(\phi: R \to S\) 称为环同态（Ring Homomorphism），如果对于任意 \(a, b \in R\)，满足：
① \(\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)\) (保持加法)
② \(\phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b)\) (保持乘法)

注意，这里右边的加法和乘法是环 \(S\) 中的运算。

如果环同态 \(\phi\) 是双射（Bijective），则称 \(\phi\) 是环同构（Ring Isomorphism）。如果存在从 \(R\) 到 \(S\) 的环同构，则称 \(R\) 与 \(S\) 是同构的（Isomorphic），记为 \(R \cong S\)。同构的环在代数结构上是完全相同的。

环同态的基本性质：
设 \(\phi: R \to S\) 是一个环同态。
① \(\phi(0_R) = 0_S\)，其中 \(0_R\) 和 \(0_S\) 分别是 \(R\) 和 \(S\) 的零元。
② \(\phi(-a) = -\phi(a)\) 对于任意 \(a \in R\)。
③ \(\phi(a - b) = \phi(a) - \phi(b)\) 对于任意 \(a, b \in R\)。
④ 如果 \(R\) 是幺环，有乘法单位元 \(1_R\)，且 \(S\) 不是零环，则 \(\phi(1_R)\) 是 \(S\) 的一个幂等元（Idempotent Element），即 \(\phi(1_R)^2 = \phi(1_R)\)。如果 \(S\) 也是幺环且 \(\phi\) 是满射（Surjective），则 \(\phi(1_R) = 1_S\)。

环同态的核与像 (Kernel and Image of a Ring Homomorphism):
设 \(\phi: R \to S\) 是一个环同态。
⚝ 核 (Kernel): \(\text{ker}(\phi) = \{ a \in R \mid \phi(a) = 0_S \}\)。
⚝ 像 (Image): \(\text{im}(\phi) = \{ \phi(a) \mid a \in R \}\)。

核的性质：
环同态的核 \(\text{ker}(\phi)\) 是 \(R\) 的一个理想。
证明：
① 对于任意 \(a, b \in \text{ker}(\phi)\)，\(\phi(a) = 0_S\), \(\phi(b) = 0_S\)。则 \(\phi(a - b) = \phi(a) - \phi(b) = 0_S - 0_S = 0_S\)。所以 \(a - b \in \text{ker}(\phi)\)。
② 对于任意 \(r \in R\) 和 \(a \in \text{ker}(\phi)\)，\(\phi(a) = 0_S\)。则 \(\phi(r \cdot a) = \phi(r) \cdot \phi(a) = \phi(r) \cdot 0_S = 0_S\)。所以 \(r \cdot a \in \text{ker}(\phi)\)。
同样，\(\phi(a \cdot r) = \phi(a) \cdot \phi(r) = 0_S \cdot \phi(r) = 0_S\)。所以 \(a \cdot r \in \text{ker}(\phi)\)。
因此，\(\text{ker}(\phi)\) 是 \(R\) 的一个理想。

像的性质：
环同态的像 \(\text{im}(\phi)\) 是 \(S\) 的一个子环。
证明：
① 对于任意 \(x, y \in \text{im}(\phi)\)，存在 \(a, b \in R\) 使得 \(x = \phi(a)\), \(y = \phi(b)\)。则 \(x - y = \phi(a) - \phi(b) = \phi(a - b)\)。由于 \(a - b \in R\)，所以 \(x - y \in \text{im}(\phi)\)。
② 对于任意 \(x, y \in \text{im}(\phi)\)，存在 \(a, b \in R\) 使得 \(x = \phi(a)\), \(y = \phi(b)\)。则 \(x \cdot y = \phi(a) \cdot \phi(b) = \phi(a \cdot b)\)。由于 \(a \cdot b \in R\)，所以 \(x \cdot y \in \text{im}(\phi)\)。
因此，\(\text{im}(\phi)\) 是 \(S\) 的一个子环。

注意，像 \(\text{im}(\phi)\) 不一定是 \(S\) 的理想。

环同态的核是理想，这是商环构造的基础。理想正是那些可以作为环同态的核的子集。

5.4.3 同构基本定理 (Fundamental Isomorphism Theorems)

与群论类似，环论也有同构基本定理，它们揭示了环、理想、商环和环同态之间的深刻联系。

第一同构定理 (First Isomorphism Theorem):
设 \(\phi: R \to S\) 是一个环同态。则商环 \(R / \text{ker}(\phi)\) 同构于像 \(\text{im}(\phi)\)。
\[ R / \text{ker}(\phi) \cong \text{im}(\phi) \]
具体地，映射 \(\bar{\phi}: R / \text{ker}(\phi) \to \text{im}(\phi)\)，定义为 \(\bar{\phi}(r + \text{ker}(\phi)) = \phi(r)\)，是一个环同构。

证明思路：
① 验证 \(\bar{\phi}\) 是良定义的：如果 \(r + \text{ker}(\phi) = r' + \text{ker}(\phi)\)，则 \(r - r' \in \text{ker}(\phi)\)，所以 \(\phi(r - r') = 0_S\)，即 \(\phi(r) - \phi(r') = 0_S\)，所以 \(\phi(r) = \phi(r')\)。因此 \(\bar{\phi}(r + \text{ker}(\phi)) = \phi(r) = \phi(r') = \bar{\phi}(r' + \text{ker}(\phi))\)，良定义。
② 验证 \(\bar{\phi}\) 是环同态：
\(\bar{\phi}((r + \text{ker}(\phi)) + (s + \text{ker}(\phi))) = \bar{\phi}((r+s) + \text{ker}(\phi)) = \phi(r+s) = \phi(r) + \phi(s) = \bar{\phi}(r + \text{ker}(\phi)) + \bar{\phi}(s + \text{ker}(\phi))\)。
\(\bar{\phi}((r + \text{ker}(\phi)) \cdot (s + \text{ker}(\phi))) = \bar{\phi}((r \cdot s) + \text{ker}(\phi)) = \phi(r \cdot s) = \phi(r) \cdot \phi(s) = \bar{\phi}(r + \text{ker}(\phi)) \cdot \bar{\phi}(s + \text{ker}(\phi))\)。
③ 验证 \(\bar{\phi}\) 是双射：
单射（Injective）：如果 \(\bar{\phi}(r + \text{ker}(\phi)) = \bar{\phi}(s + \text{ker}(\phi))\)，则 \(\phi(r) = \phi(s)\)，所以 \(\phi(r) - \phi(s) = 0_S\)，即 \(\phi(r - s) = 0_S\)。所以 \(r - s \in \text{ker}(\phi)\)，这意味着 \(r + \text{ker}(\phi) = s + \text{ker}(\phi)\)。
满射（Surjective）：对于任意 \(y \in \text{im}(\phi)\)，存在 \(r \in R\) 使得 \(y = \phi(r)\)。则 \(y = \bar{\phi}(r + \text{ker}(\phi))\)。

第一同构定理是环论中最核心的定理之一，它告诉我们任何环同态都可以分解为一个满射到商环的同态和一个从商环到像的同构。

第二同构定理 (Second Isomorphism Theorem):
设 \(R\) 是一个环，\(S\) 是 \(R\) 的一个子环，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想。则 \(S + I = \{ s + i \mid s \in S, i \in I \}\) 是 \(R\) 的一个子环，\(S \cap I\) 是 \(S\) 的一个理想，并且
\[ S / (S \cap I) \cong (S + I) / I \]

第三同构定理 (Third Isomorphism Theorem):
设 \(R\) 是一个环，\(I\) 和 \(J\) 是 \(R\) 的理想，且 \(I \subseteq J\)。则 \(J/I = \{ j + I \mid j \in J \}\) 是 \(R/I\) 的一个理想，并且
\[ (R/I) / (J/I) \cong R/J \]

这些同构定理提供了处理商环和同态的强大工具，它们揭示了环的子结构和商结构之间的层次关系。

本章我们学习了环的基本概念，包括定义、性质、常见例子、子环、理想以及商环和环同态。理想作为环的特殊子结构，在构建商环和理解环同态的核中扮演了关键角色。同构基本定理则为我们提供了理解这些概念之间联系的框架。在下一章中，我们将深入探讨环的结构，特别是整环、域以及重要的因子分解性质。

6. chapter 6： 环的结构与因子分解 (Ring Structure and Factorization)

同学们，欢迎来到抽象代数课程的第六章！ 🎉 在前面的章节中，我们深入探讨了群的奥秘，了解了它们的结构、同态以及一些高级性质。现在，我们将把目光投向另一种重要的代数结构——环 (Ring)。环比群拥有更丰富的结构，因为它配备了两种二元运算，通常称为加法和乘法。本章将带领大家探索环的内部结构，特别是与“因子分解”这一核心概念相关的性质。我们将从最基本的整环和域开始，逐步深入到多项式环、特殊的因子分解环（PID, UFD, ED），并最终理解素理想和极大理想在刻画环结构中的重要作用。准备好了吗？让我们一起踏上这段精彩的旅程！ 🚀

6.1 整环与域 (Integral Domains and Fields)

在日常的整数运算中，我们知道如果两个非零整数相乘等于零，这是不可能的。但在一般的环中，这种情况是可能发生的！这就引出了“零因子”的概念，并由此区分出一种特殊的环——整环。而域则是比整环更“好”的环，它允许非零元素进行乘法逆运算。

6.1.1 零因子 (Zero Divisors)

在一个环 \( R \) 中，如果存在非零元素 \( a \in R \) 和 \( b \in R \)，使得 \( ab = 0 \)，那么我们称 \( a \) 和 \( b \) 是 \( R \) 的零因子 (zero divisors)。

⚝ 注意：根据定义，零元素本身（如果环中有零元素）不是零因子。我们只关心非零元素。

示例：
⚝ 在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，没有零因子。如果 \( ab = 0 \) 且 \( a, b \in \mathbb{Z} \)，那么必有 \( a=0 \) 或 \( b=0 \)。
⚝ 在模 \( n \) 的整数环 \( \mathbb{Z}_n \) 中，如果 \( n \) 是合数，则存在零因子。例如，在 \( \mathbb{Z}_6 \) 中，\( 2 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6} \)，所以 \( \bar{2} \) 和 \( \bar{3} \) 是 \( \mathbb{Z}_6 \) 的零因子。
⚝ 在 \( 2 \times 2 \) 矩阵环 \( M_2(\mathbb{R}) \) 中，存在零因子。例如：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
这里两个矩阵都是非零矩阵，但它们的乘积是零矩阵。

6.1.2 整环 (Integral Domains)

一个整环 (integral domain) 是一个满足以下条件的环 \( R \)：
① \( R \) 是一个交换环 (commutative ring)，即乘法满足交换律：\( ab = ba \) 对所有 \( a, b \in R \) 成立。
② \( R \) 有乘法单位元 (multiplicative identity)，通常记为 \( 1 \)，且 \( 1 \neq 0 \)。
③ \( R \) 没有零因子 (no zero divisors)。也就是说，如果 \( ab = 0 \)，那么必有 \( a=0 \) 或 \( b=0 \)。

示例：
⚝ 整数环 \( \mathbb{Z} \) 是一个整环。
⚝ 有理数环 \( \mathbb{Q} \)、实数环 \( \mathbb{R} \)、复数环 \( \mathbb{C} \) 都是整环。
⚝ 模 \( p \) 的整数环 \( \mathbb{Z}_p \) 当且仅当 \( p \) 是素数时是整环。
⚝ 多项式环 \( k[x] \) （其中 \( k \) 是域）是整环。

性质：
在一个整环 \( R \) 中，消去律 (cancellation law) 成立：如果 \( a \neq 0 \) 且 \( ab = ac \)，那么 \( b = c \)。
证明思路： \( ab = ac \implies ab - ac = 0 \implies a(b-c) = 0 \)。由于 \( R \) 是整环且 \( a \neq 0 \)，所以 \( b-c = 0 \)，即 \( b = c \)。

6.1.3 域 (Fields)

一个域 (field) 是一个满足以下条件的环 \( F \)：
① \( F \) 是一个交换环 (commutative ring)。
② \( F \) 有乘法单位元 \( 1 \)，且 \( 1 \neq 0 \)。
③ \( F \) 中每一个非零元素都有乘法逆元 (multiplicative inverse)。也就是说，对任意 \( a \in F \)，如果 \( a \neq 0 \)，则存在 \( a^{-1} \in F \) 使得 \( aa^{-1} = a^{-1}a = 1 \)。

示例：
⚝ 有理数环 \( \mathbb{Q} \)、实数环 \( \mathbb{R} \)、复数环 \( \mathbb{C} \) 都是域。
⚝ 模 \( p \) 的整数环 \( \mathbb{Z}_p \) 当且仅当 \( p \) 是素数时是域。
⚝ 矩阵环 \( M_2(\mathbb{R}) \) 不是域，因为它不交换，且存在非零元素没有逆元（例如零因子）。

6.1.4 域与整环的关系

一个重要的结论是：每一个域都是一个整环。
证明思路： 设 \( F \) 是一个域。根据定义，\( F \) 是交换环且有非零单位元。我们只需证明 \( F \) 没有零因子。设 \( ab = 0 \) 且 \( a \neq 0 \)。因为 \( F \) 是域且 \( a \neq 0 \)，所以 \( a \) 有逆元 \( a^{-1} \)。将 \( ab = 0 \) 左乘 \( a^{-1} \)，得到 \( a^{-1}(ab) = a^{-1}0 \)，即 \( (a^{-1}a)b = 0 \)，所以 \( 1 \cdot b = 0 \)，即 \( b = 0 \)。因此，如果 \( ab = 0 \) 且 \( a \neq 0 \)，则必有 \( b = 0 \)。这证明了 \( F \) 没有零因子，所以 \( F \) 是一个整环。

反过来，一个整环不一定是域。例如，整数环 \( \mathbb{Z} \) 是整环，但不是域，因为除了 \( 1 \) 和 \( -1 \) 之外的整数都没有乘法逆元。

然而，对于有限整环 (finite integral domains)，情况有所不同：每一个有限整环都是一个域。
证明思路： 设 \( R \) 是一个有限整环。我们需要证明每一个非零元素都有逆元。设 \( a \in R \) 且 \( a \neq 0 \)。考虑 \( R \) 中元素被 \( a \) 左乘的映射 \( f_a: R \to R \)，定义为 \( f_a(x) = ax \)。如果 \( f_a(x_1) = f_a(x_2) \)，则 \( ax_1 = ax_2 \)。由于 \( R \) 是整环且 \( a \neq 0 \)，我们可以使用消去律，得到 \( x_1 = x_2 \)。因此，映射 \( f_a \) 是单射 (injective)。因为 \( R \) 是有限集，所以从 \( R \) 到自身的单射也必须是满射 (surjective)。这意味着对于 \( R \) 中的单位元 \( 1 \)，存在 \( x \in R \) 使得 \( f_a(x) = 1 \)，即 \( ax = 1 \)。由于 \( R \) 是交换环，也有 \( xa = 1 \)。因此，\( x \) 就是 \( a \) 的乘法逆元。所以 \( R \) 是一个域。

这个结论非常有用，它解释了为什么 \( \mathbb{Z}_p \) （\( p \) 是素数）既是整环又是域。

6.2 多项式环 (Polynomial Rings)

多项式是我们非常熟悉的数学对象。将系数取自一个环 \( R \)，我们可以构建多项式的集合，并定义加法和乘法，形成一个新的环——多项式环。

6.2.1 多项式环的定义 (Definition of Polynomial Rings)

设 \( R \) 是一个环。一个以 \( R \) 为系数的多项式 (polynomial) 是一个形式表达式：
\[ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]
其中 \( n \) 是非负整数，\( a_i \in R \) 对所有 \( i=0, 1, \dots, n \)，且 \( x \) 是一个形式上的符号（称为不定元 (indeterminate)）。如果 \( a_n \neq 0 \)，则称 \( n \) 是多项式 \( p(x) \) 的次数 (degree)，记为 \( \deg(p(x)) = n \)。零多项式（所有系数都为零）的次数通常定义为 \( -\infty \)。

两个多项式相等当且仅当它们对应项的系数相等。

以 \( R \) 为系数的所有多项式组成的集合记为 \( R[x] \)。我们在 \( R[x] \) 上定义加法和乘法如下：
设 \( p(x) = a_n x^n + \dots + a_0 \) 和 \( q(x) = b_m x^m + \dots + b_0 \)。不失一般性，设 \( n \ge m \)，我们可以将 \( q(x) \) 写成 \( q(x) = b_n x^n + \dots + b_m x^m + \dots + b_0 \)，其中 \( b_i = 0 \) 对 \( i > m \)。
加法：
\[ p(x) + q(x) = (a_n+b_n)x^n + \dots + (a_1+b_1)x + (a_0+b_0) \]
乘法：
\[ p(x) q(x) = c_{n+m} x^{n+m} + \dots + c_1 x + c_0 \]
其中 \( c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} \)。

在这些运算下，\( R[x] \) 构成一个环，称为以 \( R \) 为系数的多项式环 (polynomial ring)。

示例：
⚝ \( \mathbb{Z}[x] \) 是以整数为系数的多项式环。
⚝ \( \mathbb{Q}[x] \) 是以有理数为系数的多项式环。
⚝ \( \mathbb{Z}_2[x] \) 是以 \( \mathbb{Z}_2 \) 为系数的多项式环。例如，在 \( \mathbb{Z}_2[x] \) 中，\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = x^2 + 0x + 1 = x^2 + 1 \)。

6.2.2 多项式环的性质 (Properties of Polynomial Rings)

① 如果 \( R \) 是一个交换环，那么 \( R[x] \) 也是一个交换环。
② 如果 \( R \) 有单位元 \( 1 \)，那么 \( R[x] \) 也有单位元，即常数多项式 \( 1 \)。
③ 重要性质： 如果 \( R \) 是一个整环，那么 \( R[x] \) 也是一个整环。
证明思路： 设 \( p(x), q(x) \in R[x] \) 都是非零多项式。设 \( \deg(p(x)) = n \) 且 \( \deg(q(x)) = m \)，其中 \( n, m \ge 0 \)。设 \( a_n \) 是 \( p(x) \) 的最高次项系数，\( b_m \) 是 \( q(x) \) 的最高次项系数。由于 \( p(x), q(x) \) 非零，所以 \( a_n \neq 0 \) 且 \( b_m \neq 0 \)。在乘积 \( p(x)q(x) \) 中，最高次项是 \( (a_n b_m) x^{n+m} \)。由于 \( R \) 是整环且 \( a_n \neq 0, b_m \neq 0 \)，所以 \( a_n b_m \neq 0 \)。因此，\( p(x)q(x) \) 的最高次项系数非零，所以 \( p(x)q(x) \) 是非零多项式。这证明了 \( R[x] \) 没有零因子。结合 \( R \) 是整环的条件（交换、有单位元），可知 \( R[x] \) 也是整环。

④ 如果 \( F \) 是一个域，那么 \( F[x] \) 是一个整环，但通常不是域（除非 \( F[x] \) 只有常数多项式，即 \( F \) 是零环，但这不符合域的定义）。例如，在 \( \mathbb{Q}[x] \) 中，多项式 \( x \) 没有乘法逆元（因为 \( 1/x \) 不是多项式）。

6.2.3 多项式的根与因子 (Roots and Factors of Polynomials)

设 \( F \) 是一个域，\( p(x) \in F[x] \)。如果存在 \( a \in F \) 使得 \( p(a) = 0 \)，则称 \( a \) 是 \( p(x) \) 的一个根 (root)。

因子定理 (Factor Theorem)： 设 \( F \) 是一个域，\( p(x) \in F[x] \)，\( a \in F \)。则 \( a \) 是 \( p(x) \) 的根当且仅当 \( (x-a) \) 是 \( p(x) \) 的一个因子 (factor)，即存在 \( q(x) \in F[x] \) 使得 \( p(x) = (x-a)q(x) \)。
证明思路： 利用多项式的带余除法 (Polynomial Division Algorithm)。对 \( p(x) \) 除以 \( (x-a) \)，得到 \( p(x) = (x-a)q(x) + r(x) \)，其中 \( \deg(r(x)) < \deg(x-a) = 1 \)。所以 \( r(x) \) 是一个常数，记为 \( r \in F \)。将 \( x=a \) 代入，得到 \( p(a) = (a-a)q(a) + r = 0 \cdot q(a) + r = r \)。所以 \( p(a) = r \)。因此，\( p(a) = 0 \) 当且仅当 \( r = 0 \)，即 \( p(x) = (x-a)q(x) \)。

推论： 设 \( F \) 是一个域，\( p(x) \in F[x] \) 是一个次数为 \( n \ge 0 \) 的非零多项式。则 \( p(x) \) 在 \( F \) 中最多有 \( n \) 个不同的根。

6.2.4 不可约多项式 (Irreducible Polynomials)

在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，我们有素数的概念，它们是不能分解为两个非单位元乘积的非零非单位元。在多项式环中，我们有类似的概念——不可约多项式。

设 \( F \) 是一个域，\( p(x) \in F[x] \) 是一个非零非单位元（即 \( \deg(p(x)) \ge 1 \)）。如果 \( p(x) \) 不能分解为两个次数都小于 \( \deg(p(x)) \) 的多项式的乘积，则称 \( p(x) \) 在 \( F[x] \) 中是不可约的 (irreducible)。否则，称 \( p(x) \) 是可约的 (reducible)。

示例：
⚝ 多项式 \( x^2 + 1 \) 在 \( \mathbb{R}[x] \) 中是不可约的，因为它在 \( \mathbb{R} \) 中没有实根。
⚝ 多项式 \( x^2 + 1 \) 在 \( \mathbb{C}[x] \) 中是可约的，因为 \( x^2 + 1 = (x-i)(x+i) \)，其中 \( i, -i \in \mathbb{C} \)。
⚝ 多项式 \( x^2 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q}[x] \) 中是不可约的，因为它在 \( \mathbb{Q} \) 中没有有理根。
⚝ 多项式 \( x^2 - 2 \) 在 \( \mathbb{R}[x] \) 中是可约的，因为 \( x^2 - 2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \)，其中 \( \sqrt{2}, -\sqrt{2} \in \mathbb{R} \)。

不可约多项式在多项式环的因子分解中扮演着类似于素数在整数因子分解中的角色。

6.3 因子分解环：PID, UFD, ED (Factorization Rings: PID, UFD, ED)

在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，每一个非零非单位元都可以唯一地分解为有限个素数的乘积（不考虑顺序和单位元 \( \pm 1 \)）。这种性质在一般的环中并不总是成立。本节将介绍几种具有良好因子分解性质的环：欧几里得整环、主理想整环和唯一因子分解整环，并探讨它们之间的关系。

6.3.1 唯一因子分解整环 (Unique Factorization Domains, UFD)

首先，我们需要定义一些基本概念。
设 \( R \) 是一个整环。
⚝ 如果 \( a, b \in R \)，\( a \neq 0 \)，且存在 \( c \in R \) 使得 \( b = ac \)，则称 \( a \) 整除 (divides) \( b \)，记为 \( a | b \)。
⚝ 如果 \( a | b \) 且 \( b | a \)，则称 \( a \) 和 \( b \) 相伴 (associates)。在整环中，\( a \) 和 \( b \) 相伴当且仅当存在单位元 \( u \in R \) 使得 \( b = au \)。
⚝ 一个非零非单位元 \( p \in R \) 称为不可约元 (irreducible element)，如果它不能分解为两个非单位元的乘积。
⚝ 一个非零非单位元 \( p \in R \) 称为素元 (prime element)，如果 \( p | ab \) 蕴含 \( p | a \) 或 \( p | b \)。

在整环中，素元一定是不可约元。但不可约元不一定是素元（例如，在环 \( \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{ a+b\sqrt{-5} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} \) 中，\( 3 \) 是不可约元但不是素元）。

一个整环 \( R \) 称为唯一因子分解整环 (Unique Factorization Domain, UFD)，如果满足以下两个条件：
① 存在性：每一个非零非单位元都可以分解为有限个不可约元的乘积。
② 唯一性：这种分解在相伴意义下是唯一的。也就是说，如果 \( a = p_1 \dots p_n = q_1 \dots q_m \)，其中 \( p_i \) 和 \( q_j \) 都是不可约元，那么 \( n=m \)，且经过适当排序后，\( p_i \) 与 \( q_i \) 相伴。

示例：
⚝ 整数环 \( \mathbb{Z} \) 是 UFD。
⚝ 域 \( F \) 是 UFD（因为其中没有非零非单位元，条件平凡满足）。
⚝ 多项式环 \( F[x] \) （其中 \( F \) 是域）是 UFD。
⚝ 多项式环 \( \mathbb{Z}[x] \) 是 UFD。
⚝ 环 \( \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \) 不是 UFD，例如 \( 6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \)，其中 \( 2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5} \) 都是不可约元，但它们不相伴。

在 UFD 中，不可约元和素元是等价的。

6.3.2 主理想整环 (Principal Ideal Domains, PID)

在环论中，理想 (ideal) 是一个非常重要的概念（我们将在下一节详细讨论）。这里我们先引入主理想的概念。
设 \( R \) 是一个环。一个理想 \( I \) 称为主理想 (principal ideal)，如果存在 \( a \in R \) 使得 \( I = \{ ra \mid r \in R \} \)。这个理想记为 \( \langle a \rangle \) 或 \( (a) \)。

一个整环 \( R \) 称为主理想整环 (Principal Ideal Domain, PID)，如果 \( R \) 中的每一个理想都是主理想。

示例：
⚝ 整数环 \( \mathbb{Z} \) 是 PID。\( \mathbb{Z} \) 的每一个理想都是形如 \( n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \} \) 的集合，这正是由 \( n \) 生成的主理想 \( \langle n \rangle \)。
⚝ 域 \( F \) 是 PID。域的理想只有 \( \{0\} = \langle 0 \rangle \) 和 \( F = \langle 1 \rangle \)。
⚝ 多项式环 \( F[x] \) （其中 \( F \) 是域）是 PID。这是因为 \( F[x] \) 是欧几里得整环（见下文），而每一个欧几里得整环都是 PID。
⚝ 多项式环 \( \mathbb{Z}[x] \) 不是 PID。例如，理想 \( \langle 2, x \rangle = \{ 2p(x) + xq(x) \mid p(x), q(x) \in \mathbb{Z}[x] \} \) 包含了所有常数项为偶数的多项式。这个理想不是主理想。如果它是主理想 \( \langle f(x) \rangle \)，那么 \( f(x) \) 必须整除 \( 2 \) 和 \( x \)。由于 \( 2 \) 和 \( x \) 在 \( \mathbb{Z}[x] \) 中都是不可约的，\( f(x) \) 只能是 \( \pm 1 \)。但 \( \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}[x] \)，而 \( \langle 2, x \rangle \) 不等于 \( \mathbb{Z}[x] \)（例如 \( 1 \notin \langle 2, x \rangle \)）。所以 \( \langle 2, x \rangle \) 不是主理想。

重要结论：每一个 PID 都是 UFD。
证明思路： 证明 PID 是 UFD 需要证明存在性和唯一性。存在性可以通过证明 PID 中的理想链 \( I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dots \) 最终会稳定下来（PID 满足升链条件，ACC），然后利用这个性质来构造因子分解。唯一性则利用 PID 中不可约元是素元的性质来证明。这个证明相对复杂，通常在更深入的课程中讲解。

6.3.3 欧几里得整环 (Euclidean Domains, ED)

欧几里得算法 (Euclidean Algorithm) 是求两个整数最大公约数 (GCD) 的有效方法。这个算法依赖于整数的带余除法。我们将带余除法的概念推广到一般的整环，就得到了欧几里得整环。

一个整环 \( R \) 称为欧几里得整环 (Euclidean Domain, ED)，如果存在一个函数 \( \nu: R \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{0\} \) （称为欧几里得函数 (Euclidean function) 或范数 (norm)），满足以下两个条件：
① 对任意非零元素 \( a, b \in R \)，有 \( \nu(a) \le \nu(ab) \)。
② 对任意 \( a \in R, b \in R \setminus \{0\} \)，存在 \( q, r \in R \) 使得 \( a = bq + r \)，其中 \( r = 0 \) 或 \( \nu(r) < \nu(b) \)。

第二个条件就是带余除法。

示例：
⚝ 整数环 \( \mathbb{Z} \) 是 ED，取 \( \nu(n) = |n| \) 对 \( n \neq 0 \)。
⚝ 域 \( F \) 是 ED，取 \( \nu(a) = 1 \) 对所有 \( a \neq 0 \)。
⚝ 多项式环 \( F[x] \) （其中 \( F \) 是域）是 ED，取 \( \nu(p(x)) = \deg(p(x)) \) 对非零多项式 \( p(x) \)。
⚝ 高斯整数环 \( \mathbb{Z}[i] = \{ a+bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \} \) 是 ED，取 \( \nu(a+bi) = a^2+b^2 \) （即复数的模的平方）。

重要结论：每一个 ED 都是 PID。
证明思路： 设 \( R \) 是一个 ED，\( I \) 是 \( R \) 的一个非零理想。取 \( I \) 中非零元素 \( b \) 使得 \( \nu(b) \) 最小。我们证明 \( I = \langle b \rangle \)。显然 \( \langle b \rangle \subseteq I \)。对任意 \( a \in I \)，由 ED 的定义，存在 \( q, r \in R \) 使得 \( a = bq + r \)，其中 \( r = 0 \) 或 \( \nu(r) < \nu(b) \)。因为 \( a \in I \) 且 \( b \in I \)，所以 \( r = a - bq \in I \)。如果 \( r \neq 0 \)，则 \( \nu(r) < \nu(b) \)，这与 \( b \) 是 \( I \) 中 \( \nu \) 值最小的非零元素矛盾。因此 \( r \) 必须为 \( 0 \)，即 \( a = bq \)。这表明 \( a \in \langle b \rangle \)。所以 \( I \subseteq \langle b \rangle \)。综上，\( I = \langle b \rangle \)，即 \( I \) 是主理想。因此 \( R \) 是 PID。

6.3.4 因子分解环的层级 (Hierarchy of Factorization Rings)

我们得到了一个重要的层级关系：
ED \( \implies \) PID \( \implies \) UFD

这意味着：
⚝ 每一个欧几里得整环都是主理想整环。
⚝ 每一个主理想整环都是唯一因子分解整环。

反过来不一定成立：
⚝ UFD 不一定是 PID。例如 \( \mathbb{Z}[x] \) 是 UFD 但不是 PID。
⚝ PID 不一定是 ED。例如，环 \( \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}] \) 是 PID 但不是 ED。

这个层级关系帮助我们理解不同环的因子分解性质。ED 具有最好的性质，允许使用欧几里得算法；PID 保证了理想的结构简单；UFD 则保证了因子分解的唯一性。

6.4 素理想与极大理想 (Prime Ideals and Maximal Ideals)

理想是环的特殊子集，它们在环的结构研究中起着核心作用。特别是素理想和极大理想，它们与商环 (quotient rings) 的性质紧密相关，是理解环结构的关键工具。

6.4.1 理想 (Ideals)

设 \( R \) 是一个环。一个非空子集 \( I \subseteq R \) 称为 \( R \) 的一个理想 (ideal)，如果满足以下两个条件：
① 对任意 \( a, b \in I \)，有 \( a-b \in I \) （在加法下构成子群）。
② 对任意 \( r \in R \) 和 \( a \in I \)，有 \( ra \in I \) 和 \( ar \in I \) （对环的乘法是“封闭”的）。

如果只满足 \( ra \in I \) 对所有 \( r \in R, a \in I \) 成立，则称 \( I \) 是左理想 (left ideal)。如果只满足 \( ar \in I \) 对所有 \( r \in R, a \in I \) 成立，则称 \( I \) 是右理想 (right ideal)。对于交换环，左理想、右理想和理想是同一个概念。我们主要讨论双边理想，简称理想。

示例：
⚝ 在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，形如 \( n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \} \) 的集合都是理想。
⚝ 在任何环 \( R \) 中，\( \{0\} \) 和 \( R \) 本身都是理想，称为平凡理想 (trivial ideals)。
⚝ 在矩阵环 \( M_n(\mathbb{R}) \) 中，理想只有 \( \{0\} \) 和 \( M_n(\mathbb{R}) \) 本身（如果 \( n \ge 1 \)）。

6.4.2 商环 (Quotient Rings)

类似于群的商群，我们可以构造环的商环。
设 \( R \) 是一个环，\( I \) 是 \( R \) 的一个理想。考虑 \( R \) 关于 \( I \) 的陪集 (cosets) 的集合：
\[ R/I = \{ r+I \mid r \in R \} \]
其中 \( r+I = \{ r+a \mid a \in I \} \)。
我们在 \( R/I \) 上定义加法和乘法：
加法： \( (a+I) + (b+I) = (a+b)+I \)
乘法： \( (a+I) \cdot (b+I) = ab+I \)

需要验证这些运算是良定义的 (well-defined)，即结果与陪集的代表元选择无关。这正是理想的性质（特别是条件②）所保证的。

在这些运算下，\( R/I \) 构成一个环，称为 \( R \) 关于理想 \( I \) 的商环 (quotient ring)。商环的零元是 \( 0+I = I \)，单位元是 \( 1+I \) （如果 \( R \) 有单位元 \( 1 \)）。

示例：
⚝ 整数环 \( \mathbb{Z} \) 关于理想 \( n\mathbb{Z} \) 的商环是 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)，它同构于模 \( n \) 的整数环 \( \mathbb{Z}_n \)。
⚝ 多项式环 \( \mathbb{R}[x] \) 关于理想 \( \langle x^2+1 \rangle \) 的商环 \( \mathbb{R}[x]/\langle x^2+1 \rangle \) 同构于复数域 \( \mathbb{C} \)。这是因为 \( x^2+1=0 \) 在商环中成立，相当于引入了虚数单位 \( i \)。

商环是研究环结构的重要工具，它允许我们将一个环“模掉”一个理想，得到一个新的环，这个新环反映了原环中不属于该理想的元素的相互关系。

6.4.3 素理想 (Prime Ideals)

设 \( R \) 是一个交换环，\( P \) 是 \( R \) 的一个理想。如果 \( P \neq R \)，且对任意 \( a, b \in R \)，如果 \( ab \in P \)，则必有 \( a \in P \) 或 \( b \in P \)，那么称 \( P \) 是 \( R \) 的一个素理想 (prime ideal)。

这个定义与素数非常相似：一个整数 \( p \) 是素数当且仅当 \( p \neq 0, \pm 1 \)，且如果 \( p | ab \)，则 \( p | a \) 或 \( p | b \)。在 \( \mathbb{Z} \) 中，由素数 \( p \) 生成的主理想 \( \langle p \rangle = p\mathbb{Z} \) 就是素理想。例如，在 \( \mathbb{Z} \) 中，\( \langle 2 \rangle = 2\mathbb{Z} \) 是素理想，因为如果 \( ab \in 2\mathbb{Z} \)（即 \( ab \) 是偶数），那么 \( a \) 或 \( b \) 必须是偶数（即 \( a \in 2\mathbb{Z} \) 或 \( b \in 2\mathbb{Z} \)）。而 \( \langle 6 \rangle = 6\mathbb{Z} \) 不是素理想，因为 \( 2 \cdot 3 = 6 \in 6\mathbb{Z} \)，但 \( 2 \notin 6\mathbb{Z} \) 且 \( 3 \notin 6\mathbb{Z} \)。

素理想与商环的关系： 设 \( R \) 是一个交换环，\( P \) 是 \( R \) 的一个理想。则 \( P \) 是素理想当且仅当商环 \( R/P \) 是一个整环。
证明思路：
\( \implies \) 设 \( P \) 是素理想。考虑商环 \( R/P \)。\( R/P \) 是交换环且有单位元 \( 1+P \) （如果 \( R \) 有单位元）。我们需要证明 \( R/P \) 没有零因子。设 \( (a+P)(b+P) = 0+P = P \) 在 \( R/P \) 中成立。根据商环乘法定义，这意味着 \( ab+P = P \)，即 \( ab \in P \)。由于 \( P \) 是素理想，所以 \( a \in P \) 或 \( b \in P \)。如果 \( a \in P \)，则 \( a+P = P \) 是 \( R/P \) 的零元。如果 \( b \in P \)，则 \( b+P = P \) 是 \( R/P \) 的零元。因此，如果 \( (a+P)(b+P) = 0+P \)，则 \( a+P = 0+P \) 或 \( b+P = 0+P \)。所以 \( R/P \) 没有零因子，是一个整环。
\( \impliedby \) 设 \( R/P \) 是整环。我们需要证明 \( P \) 是素理想。首先，\( P \neq R \) 因为 \( R/P \) 是整环，所以 \( R/P \) 不是零环，即 \( R/P \) 至少有两个元素（\( P \) 和 \( 1+P \)），所以 \( P \neq R \)。设 \( ab \in P \)。这意味着 \( ab+P = P \)，即 \( (a+P)(b+P) = 0+P \) 在 \( R/P \) 中成立。由于 \( R/P \) 是整环，所以 \( a+P = 0+P \) 或 \( b+P = 0+P \)。如果 \( a+P = 0+P \)，则 \( a \in P \)。如果 \( b+P = 0+P \)，则 \( b \in P \)。因此，如果 \( ab \in P \)，则 \( a \in P \) 或 \( b \in P \)。所以 \( P \) 是素理想。

6.4.4 极大理想 (Maximal Ideals)

设 \( R \) 是一个交换环，\( M \) 是 \( R \) 的一个理想。如果 \( M \neq R \)，且不存在 \( R \) 的理想 \( I \) 使得 \( M \subsetneq I \subsetneq R \)，那么称 \( M \) 是 \( R \) 的一个极大理想 (maximal ideal)。

直观地说，极大理想是除了环本身之外，不能再被任何其他理想“更大”的理想。

示例：
⚝ 在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，由素数 \( p \) 生成的主理想 \( \langle p \rangle = p\mathbb{Z} \) 既是素理想，也是极大理想。例如，\( 2\mathbb{Z} \) 是极大理想，因为包含 \( 2\mathbb{Z} \) 的理想只能是 \( 2\mathbb{Z} \) 本身或 \( \mathbb{Z} \)。而 \( 6\mathbb{Z} \) 不是极大理想，因为它被 \( 2\mathbb{Z} \) 或 \( 3\mathbb{Z} \) 真包含。
⚝ 在多项式环 \( \mathbb{R}[x] \) 中，理想 \( \langle x^2+1 \rangle \) 是极大理想。

极大理想与商环的关系： 设 \( R \) 是一个交换环，\( M \) 是 \( R \) 的一个理想。则 \( M \) 是极大理想当且仅当商环 \( R/M \) 是一个域。
证明思路：
\( \implies \) 设 \( M \) 是极大理想。考虑商环 \( R/M \)。\( R/M \) 是交换环且有非零单位元 \( 1+M \) （因为 \( M \neq R \)，所以 \( 1 \notin M \)，\( 1+M \neq M \)，即 \( 1+M \) 不是零元）。我们需要证明 \( R/M \) 中每一个非零元素都有逆元。设 \( a+M \in R/M \) 且 \( a+M \neq M \)。这意味着 \( a \notin M \)。考虑由 \( M \) 和 \( a \) 生成的理想 \( I = M + \langle a \rangle = \{ m+ra \mid m \in M, r \in R \} \)。由于 \( M \subseteq I \) 且 \( a = 0+1a \in I \)，所以 \( M \subsetneq I \) （因为 \( a \notin M \)）。由于 \( M \) 是极大理想，且 \( M \subsetneq I \subseteq R \)，所以必有 \( I = R \)。因为 \( 1 \in R = I \)，所以存在 \( m \in M \) 和 \( r \in R \) 使得 \( 1 = m + ra \)。在商环 \( R/M \) 中，\( 1+M = (m+ra)+M = (m+M) + (ra+M) = (0+M) + (r+M)(a+M) = (r+M)(a+M) \)。因此，\( r+M \) 是 \( a+M \) 的乘法逆元。所以 \( R/M \) 是一个域。
\( \impliedby \) 设 \( R/M \) 是域。由于域是整环，所以 \( R/M \) 是整环，这意味着 \( M \) 是素理想，特别是 \( M \neq R \)。我们需要证明 \( M \) 是极大理想。设 \( I \) 是 \( R \) 的一个理想，使得 \( M \subsetneq I \subseteq R \)。取 \( a \in I \) 但 \( a \notin M \)。考虑商环 \( R/M \) 中的元素 \( a+M \)。由于 \( a \notin M \)，所以 \( a+M \neq M \)，即 \( a+M \) 是 \( R/M \) 中的非零元素。由于 \( R/M \) 是域，\( a+M \) 必有逆元，设为 \( b+M \)，其中 \( b \in R \)。则 \( (a+M)(b+M) = 1+M \)，即 \( ab+M = 1+M \)。这意味着 \( ab-1 \in M \)。由于 \( M \subseteq I \)，所以 \( ab-1 \in I \)。又因为 \( a \in I \) 且 \( I \) 是理想，所以 \( ab \in I \)。因为 \( ab \in I \) 且 \( ab-1 \in I \)，所以 \( 1 = ab - (ab-1) \in I \)。由于 \( 1 \in I \) 且 \( I \) 是理想，对任意 \( r \in R \)，\( r = r \cdot 1 \in I \)。所以 \( R \subseteq I \)。结合 \( I \subseteq R \)，得到 \( I = R \)。因此，不存在真包含 \( M \) 且真包含于 \( R \) 的理想，所以 \( M \) 是极大理想。

6.4.5 素理想与极大理想的关系

从上面的结论可以看出：
在交换环中，每一个极大理想都是素理想。
证明： 如果 \( M \) 是极大理想，则 \( R/M \) 是域。域是整环，所以 \( R/M \) 是整环。因此 \( M \) 是素理想。

反过来不一定成立。例如，在整环 \( \mathbb{Z}[x] \) 中，理想 \( \langle x \rangle \) 是素理想（因为 \( \mathbb{Z}[x]/\langle x \rangle \cong \mathbb{Z} \)，而 \( \mathbb{Z} \) 是整环），但不是极大理想（因为它被理想 \( \langle 2, x \rangle \) 真包含，而 \( \langle 2, x \rangle \) 不是 \( \mathbb{Z}[x] \) 本身）。

存在性： 对于有单位元的交换环 \( R \)，每一个真理想 (proper ideal, 即不等于 \( R \) 的理想) 都包含在一个极大理想中。这个重要的结论通常需要使用 Zorn's Lemma 来证明。特别地，有单位元的交换环至少存在一个极大理想。

素理想和极大理想是环论中非常重要的概念，它们通过商环与整环和域建立了深刻的联系，为我们分析环的结构提供了强大的工具。

至此，我们已经对环的结构和因子分解有了初步但深入的了解。我们学习了整环、域、多项式环，探讨了 UFD, PID, ED 这些具有良好因子分解性质的环，并理解了素理想和极大理想在刻画环结构中的作用。这些概念是进一步学习抽象代数，特别是域论和代数几何的基础。希望大家通过本章的学习，能够对环有更深刻的认识！下一章我们将进入域论的学习。加油！ 💪

好的，作为一名经验丰富的讲师，我将为您撰写抽象代数书籍的第七章：域论 (Field Theory)。本章将深入探讨域扩张、代数扩张与超越扩张、分裂域与代数闭包，并展示域论在经典几何作图问题中的应用。我将力求概念清晰、逻辑严谨，并辅以适当的例子，以满足不同层次读者的需求。

7. chapter 7： 域论 (Field Theory)

欢迎来到抽象代数的精彩世界！在学习了群和环的基础知识后，我们现在将聚焦于一种特殊的环——域 (Field)。域是抽象代数中一个极其重要的结构，它不仅是向量空间的标量域，更是研究多项式方程根的关键工具。域论 (Field Theory) 是抽象代数的核心内容之一，它为理解多项式的结构、方程的可解性以及许多其他数学分支提供了强大的框架。本章将带您深入探索域的结构及其扩张，为后续学习 Galois 理论 (Galois Theory) 打下坚实基础。

7.1 域扩张 (Field Extensions)

我们已经知道，域 (Field) 是一个交换环 (Commutative Ring)，其中非零元素在乘法下构成一个群。直观地说，域是一个允许进行加、减、乘、除（除数非零）四则运算的集合。例如，有理数域 \( \mathbb{Q} \)、实数域 \( \mathbb{R} \)、复数域 \( \mathbb{C} \) 都是常见的域。

域扩张 (Field Extension) 是域论中最基本的概念。它描述了一个域包含另一个域的情况。

定义 7.1.1 设 \( F \) 和 \( E \) 是两个域。如果 \( F \) 是 \( E \) 的一个子环 (Subring)，并且 \( F \) 的乘法单位元 (Multiplicative Identity) 与 \( E \) 的乘法单位元相同，则称 \( E \) 是 \( F \) 的一个域扩张 (Field Extension)，记作 \( E/F \)。此时，我们也称 \( F \) 是 \( E \) 的一个子域 (Subfield)。

例如，\( \mathbb{R} \) 是 \( \mathbb{Q} \) 的域扩张，\( \mathbb{C} \) 是 \( \mathbb{R} \) 的域扩张，也是 \( \mathbb{Q} \) 的域扩张。

域扩张 \( E/F \) 可以被看作一个向量空间 (Vector Space)。具体来说，\( E \) 可以被视为一个以 \( F \) 为标量域 (Scalar Field) 的向量空间。加法是 \( E \) 自身的加法，标量乘法定义为 \( F \) 中的元素与 \( E \) 中的元素在 \( E \) 中的乘法。

定义 7.1.2 设 \( E/F \) 是一个域扩张。将 \( E \) 视为 \( F \) 上的向量空间，这个向量空间的维数 (Dimension) 称为域扩张 \( E/F \) 的次数 (Degree)，记作 \( [E:F] \)。
如果 \( [E:F] \) 是有限的，则称 \( E/F \) 是一个有限扩张 (Finite Extension)；如果 \( [E:F] \) 是无限的，则称 \( E/F \) 是一个无限扩张 (Infinite Extension)。

理解域扩张的次数至关重要，因为它反映了扩张域 \( E \) 相对于基域 \( F \) 的“大小”或“复杂性”。

例子 7.1.3
① \( [\mathbb{C}:\mathbb{R}] \)。复数 \( a+bi \) 可以唯一地表示为实数 \( a \) 和 \( b \) 的线性组合，其中基向量是 \( 1 \) 和 \( i \)。因此，\( \mathbb{C} \) 作为 \( \mathbb{R} \) 上的向量空间，其基是 \( \{1, i\} \)，维数是 2。所以 \( [\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2 \)。这是一个有限扩张。
② \( [\mathbb{R}:\mathbb{Q}] \)。实数域 \( \mathbb{R} \) 作为有理数域 \( \mathbb{Q} \) 上的向量空间，其维数是无限的。这是因为 \( \mathbb{R} \) 中存在超越数 (Transcendental Number)，如 \( \pi \) 和 \( e \)，它们不能表示为有理系数多项式的根。如果 \( [\mathbb{R}:\mathbb{Q}] \) 是有限的，那么 \( \mathbb{R} \) 中的所有元素都将是代数数 (Algebraic Number)，这与事实不符。所以 \( [\mathbb{R}:\mathbb{Q}] = \infty \)。这是一个无限扩张。
③ 考虑域 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} \)。这是一个包含 \( \mathbb{Q} \) 和 \( \sqrt{2} \) 的最小域。\( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 作为 \( \mathbb{Q} \) 上的向量空间，其基是 \( \{1, \sqrt{2}\} \)。任何 \( a + b\sqrt{2} \) 都可以唯一地表示为 \( 1 \) 和 \( \sqrt{2} \) 的有理系数线性组合。因此，\( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \)。

定理 7.1.4 (次数的乘法公式) 设 \( F \subseteq K \subseteq E \) 是域的链 (Chain of Fields)，即 \( K \) 是 \( E \) 的子域且包含 \( F \)，\( F \) 是 \( K \) 的子域。如果 \( [E:K] \) 和 \( [K:F] \) 都是有限的，那么 \( [E:F] \) 也是有限的，并且有
\[ [E:F] = [E:K] [K:F] \]
这个定理非常有用，它允许我们通过中间域来计算域扩张的次数。

证明思路：设 \( \{e_1, \dots, e_m\} \) 是 \( E \) 作为 \( K \) 上的向量空间的一组基，\( \{k_1, \dots, k_n\} \) 是 \( K \) 作为 \( F \) 上的向量空间的一组基。我们可以证明集合 \( \{e_i k_j \mid 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\} \) 构成 \( E \) 作为 \( F \) 上的向量空间的一组基。其元素个数为 \( mn \)，故 \( [E:F] = mn = [E:K][K:F] \)。

例子 7.1.5 考虑域链 \( \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \)。
我们知道 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \)。
现在考虑 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] \)。域 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \) 是在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 中添加 \( \sqrt{3} \) 得到的最小域。\( \sqrt{3} \) 是多项式 \( x^2 - 3 \) 的根。这个多项式在 \( \mathbb{Q} \) 上是不可约的 (Irreducible)，但在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 上呢？如果 \( x^2 - 3 \) 在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 上可约，则它的根 \( \sqrt{3} \) 必须在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 中，即 \( \sqrt{3} = a + b\sqrt{2} \) 对于某些 \( a, b \in \mathbb{Q} \)。平方后得到 \( 3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2} \)。由于 \( 1 \) 和 \( \sqrt{2} \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上线性无关，我们必须有 \( 2ab = 0 \)，这意味着 \( a=0 \) 或 \( b=0 \)。
▮ 如果 \( b=0 \)，则 \( \sqrt{3} = a \in \mathbb{Q} \)，矛盾。
▮ 如果 \( a=0 \)，则 \( \sqrt{3} = b\sqrt{2} \)，平方后 \( 3 = 2b^2 \)，即 \( b^2 = 3/2 \)。这要求 \( \sqrt{3/2} \in \mathbb{Q} \)，矛盾。
因此，\( x^2 - 3 \) 在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 上是不可约的。
域 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \) 可以看作 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 添加 \( \sqrt{3} \) 得到的单扩张 (Simple Extension)。对于单扩张 \( F(\alpha) \)，如果 \( \alpha \) 是某个在 \( F \) 上不可约的多项式 \( p(x) \) 的根，那么 \( [F(\alpha):F] = \deg(p(x)) \)。在这里，\( \alpha = \sqrt{3} \)，\( F = \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)，\( p(x) = x^2 - 3 \)。所以 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] = \deg(x^2 - 3) = 2 \)。
利用次数的乘法公式，我们得到 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \times 2 = 4 \)。
\( \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \) 作为 \( \mathbb{Q} \) 上的向量空间的一组基是 \( \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\} \)。

域扩张的概念为我们提供了一个框架来研究域的结构以及如何在现有域的基础上构造新的域。

7.2 代数扩张与超越扩张 (Algebraic Extensions and Transcendental Extensions)

在域扩张 \( E/F \) 中，我们对 \( E \) 中的元素相对于基域 \( F \) 的性质很感兴趣。特别是，一个元素是否是某个以 \( F \) 中元素为系数的多项式的根？

定义 7.2.1 设 \( E/F \) 是一个域扩张，\( \alpha \in E \)。如果存在一个非零多项式 \( p(x) \in F[x] \) 使得 \( p(\alpha) = 0 \)，则称 \( \alpha \) 是代数元 (Algebraic Element) over \( F \)。如果 \( \alpha \) 不是代数元 over \( F \)，则称 \( \alpha \) 是超越元 (Transcendental Element) over \( F \)。

例子 7.2.2
① \( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \) 是代数元 over \( \mathbb{Q} \)，因为它是多项式 \( x^2 - 2 \in \mathbb{Q}[x] \) 的根。
② \( i \in \mathbb{C} \) 是代数元 over \( \mathbb{R} \)，因为它是多项式 \( x^2 + 1 \in \mathbb{R}[x] \) 的根。它也是代数元 over \( \mathbb{Q} \)，因为 \( x^2 + 1 \in \mathbb{Q}[x] \)。
③ \( \pi \in \mathbb{R} \) 是超越元 over \( \mathbb{Q} \)。这意味着不存在非零的有理系数多项式以 \( \pi \) 为根。证明 \( \pi \) 的超越性是一个深刻的数学结果（Lindemann-Weierstrass 定理）。
④ 任何 \( F \) 中的元素 \( a \in F \) 都是代数元 over \( F \)，因为它是多项式 \( x - a \in F[x] \) 的根。

对于代数元 \( \alpha \) over \( F \)，存在唯一的首一 (Monic) 不可约多项式 (Irreducible Polynomial) \( m(x) \in F[x] \) 以 \( \alpha \) 为根。这个多项式称为 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的最小多项式 (Minimal Polynomial)。最小多项式是所有以 \( \alpha \) 为根的 \( F[x] \) 中非零多项式中次数最低的首一多项式。

定义 7.2.3 设 \( E/F \) 是一个域扩张。如果 \( E \) 中的每个元素都是代数元 over \( F \)，则称 \( E/F \) 是一个代数扩张 (Algebraic Extension)。如果 \( E \) 中存在超越元 over \( F \)，则称 \( E/F \) 是一个超越扩张 (Transcendental Extension)。

定理 7.2.4 有限扩张 (Finite Extension) 都是代数扩张 (Algebraic Extension)。

证明思路：设 \( E/F \) 是一个有限扩张，\( [E:F] = n \)。取任意 \( \alpha \in E \)。考虑 \( \alpha \) 的幂：\( 1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^n \)。这 \( n+1 \) 个元素都在 \( E \) 中。由于 \( E \) 作为 \( F \) 上的向量空间的维数是 \( n \)，这 \( n+1 \) 个元素在 \( F \) 上必然是线性相关的 (Linearly Dependent)。因此，存在不全为零的 \( c_0, c_1, \dots, c_n \in F \) 使得
\[ c_0 \cdot 1 + c_1 \alpha + c_2 \alpha^2 + \dots + c_n \alpha^n = 0 \]
考虑多项式 \( p(x) = c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n \in F[x] \)。由于 \( c_i \) 不全为零，\( p(x) \) 是非零多项式，且 \( p(\alpha) = 0 \)。根据代数元的定义，\( \alpha \) 是代数元 over \( F \)。由于 \( \alpha \) 是 \( E \) 中任意选取的元素，所以 \( E/F \) 是一个代数扩张。

需要注意的是，代数扩张不一定是有限扩张。例如，所有代数数构成的集合 \( \mathbb{A} \) 是 \( \mathbb{Q} \) 的一个代数扩张，但 \( [\mathbb{A}:\mathbb{Q}] = \infty \)。

单扩张 (Simple Extension)

定义 7.2.5 设 \( E/F \) 是一个域扩张。如果存在 \( \alpha \in E \) 使得 \( E = F(\alpha) \)，则称 \( E/F \) 是一个单扩张 (Simple Extension)，其中 \( F(\alpha) \) 表示包含 \( F \) 和 \( \alpha \) 的最小域。

如果 \( \alpha \) 是代数元 over \( F \)，其最小多项式为 \( m(x) \in F[x] \)，则 \( F(\alpha) \) 同构于商环 \( F[x]/(m(x)) \)。此时，\( [F(\alpha):F] = \deg(m(x)) \)。这是一个有限扩张，因此也是代数扩张。

如果 \( \alpha \) 是超越元 over \( F \)，则 \( F(\alpha) \) 同构于有理函数域 (Field of Rational Functions) \( F(x) \)。此时，\( [F(\alpha):F] = \infty \)。这是一个无限扩张，也是超越扩张。

例子 7.2.6
① \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 是 \( \mathbb{Q} \) 的单扩张，由代数元 \( \sqrt{2} \) 生成。\( \sqrt{2} \) 的最小多项式是 \( x^2 - 2 \)，次数为 2。所以 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \)。
② \( \mathbb{Q}(\pi) \) 是 \( \mathbb{Q} \) 的单扩张，由超越元 \( \pi \) 生成。\( [\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}] = \infty \)。

代数扩张和超越扩张的区分是域论中的一个重要分类。代数扩张与多项式的根紧密相关，而超越扩张则引入了类似“变量”的元素。

7.3 分裂域与代数闭包 (Splitting Fields and Algebraic Closure)

对于一个多项式 \( f(x) \in F[x] \)，我们常常关心它的根在哪里。一个域 \( E \) 如果包含 \( F \) 并且包含 \( f(x) \) 的所有根，那么 \( E \) 就是一个包含 \( f(x) \) 根的域扩张。在所有这样的域扩张中，最小的那个具有特殊的意义。

定义 7.3.1 设 \( F \) 是一个域，\( f(x) \in F[x] \) 是一个非常数多项式。如果 \( E \) 是 \( F \) 的一个域扩张，并且满足以下两个条件：
① \( f(x) \) 在 \( E[x] \) 中可以完全分解为一次因式 (Linear Factors)，即 \( f(x) = c(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n) \)，其中 \( c \in F \)，\( \alpha_1, \dots, \alpha_n \in E \)。
② \( E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \)，即 \( E \) 是由 \( F \) 和 \( f(x) \) 的所有根生成的域。
则称 \( E \) 是 \( f(x) \) 在 \( F \) 上的分裂域 (Splitting Field)。

分裂域是包含多项式所有根的最小域扩张。它的存在性和唯一性（在同构意义下）是域论中的重要结果。

定理 7.3.2 对于任何域 \( F \) 和任何非常数多项式 \( f(x) \in F[x] \)，\( f(x) \) 在 \( F \) 上的分裂域存在且在 \( F \) 的同构意义下唯一。

证明思路：存在性可以通过逐步添加根来构造。如果 \( f(x) \) 在 \( F \) 中没有根，取一个不可约因式 \( p(x) \)，构造扩张域 \( F_1 = F[x]/(p(x)) \)。在 \( F_1 \) 中，\( p(x) \) 有一个根（即 \( x + (p(x)) \)）。然后在 \( F_1 \) 上考虑 \( f(x)/(x-\alpha) \) 的分裂域，重复此过程直到 \( f(x) \) 完全分解。唯一性则需要更精细的同构延拓论证。

例子 7.3.3
① 求 \( x^2 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的分裂域。根是 \( \sqrt{2} \) 和 \( -\sqrt{2} \)。它们都在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 中。并且 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \)。所以 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 是 \( x^2 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的分裂域。
② 求 \( x^2 + 1 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上的分裂域。根是 \( i \) 和 \( -i \)。它们都在 \( \mathbb{C} \) 中。并且 \( \mathbb{C} = \mathbb{R}(i, -i) = \mathbb{R}(i) \)。所以 \( \mathbb{C} \) 是 \( x^2 + 1 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上的分裂域。
③ 求 \( x^3 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的分裂域。根是 \( \sqrt[3]{2} \)、\( \sqrt[3]{2}\omega \) 和 \( \sqrt[3]{2}\omega^2 \)，其中 \( \omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 是三次单位根。
▮ \( \sqrt[3]{2} \) 是实数，属于 \( \mathbb{R} \)。
▮ \( \omega \) 是复数，不属于 \( \mathbb{R} \)，当然也不属于 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbb{R} \)。
包含所有根的最小域必须包含 \( \sqrt[3]{2} \) 和 \( \omega \)。这个域是 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) \)。
考虑域链 \( \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) \)。
\( x^3 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上不可约（由 Eisenstein 判别法，取素数 2）。所以 \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = \deg(x^3 - 2) = 3 \)。
\( \omega \) 是 \( x^2 + x + 1 \) 的根，而 \( x^2 + x + 1 \) 是 \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) \) 的因式，且在 \( \mathbb{Q} \) 上不可约。
\( \omega \) 在 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) 上的最小多项式是什么？\( \omega \) 是 \( x^2 + x + 1 \) 的根。如果 \( x^2 + x + 1 \) 在 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) 上可约，则 \( \omega \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \)。但这不可能，因为 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbb{R} \) 而 \( \omega \notin \mathbb{R} \)。所以 \( x^2 + x + 1 \) 在 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) 上不可约。
因此，\( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = \deg(x^2 + x + 1) = 2 \)。
分裂域 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的次数是 \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 2 \times 3 = 6 \)。

分裂域的概念引出了代数闭包的概念。

定义 7.3.4 一个域 \( \bar{F} \) 称为域 \( F \) 的代数闭包 (Algebraic Closure)，如果 \( \bar{F} \) 是 \( F \) 的代数扩张，并且 \( \bar{F} \) 是代数闭的 (Algebraically Closed)。一个域 \( K \) 称为代数闭的，如果任何系数在 \( K \) 中的非常数多项式在 \( K \) 中都有根（等价地，任何系数在 \( K \) 中的非常数多项式在 \( K[x] \) 中都可以完全分解为一次因式）。

例如，复数域 \( \mathbb{C} \) 是代数闭的（这是代数基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra) 的内容）。\( \mathbb{C} \) 也是 \( \mathbb{R} \) 的代数扩张（因为 \( [\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2 \) 是有限扩张）。所以 \( \mathbb{C} \) 是 \( \mathbb{R} \) 的代数闭包。

对于任何域 \( F \)，它的代数闭包存在且在 \( F \) 的同构意义下唯一。通常记作 \( \bar{F} \)。代数闭包是包含 \( F \) 的最小的代数闭域。

例子 7.3.5
① \( \mathbb{C} \) 是 \( \mathbb{R} \) 的代数闭包。
② \( \mathbb{Q} \) 的代数闭包 \( \bar{\mathbb{Q}} \) 是所有代数数 (Algebraic Number) 构成的域 \( \mathbb{A} \)。\( \mathbb{A} \) 是 \( \mathbb{Q} \) 的代数扩张，并且可以证明它是代数闭的。

分裂域和代数闭包是域论中构造和研究域扩张的重要工具。分裂域与特定多项式的根相关联，而代数闭包则提供了一个“终极”的代数扩张，其中所有多项式都有根。

7.4 直尺与圆规作图问题 (Ruler and Compass Constructions)

域论的一个经典应用是解决古希腊数学中提出的几个著名的几何作图问题：
① 化圆为方 (Squaring the Circle)：作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积。
② 三等分角 (Trisecting the Angle)：将任意给定角三等分。
③ 倍立方 (Doubling the Cube)：作一个立方体，使其体积是给定立方体体积的两倍。

这些问题都要求仅使用直尺（无刻度）和圆规在有限步内完成作图。直尺用于连接两点画直线，圆规用于以给定点为圆心、给定长度为半径画圆。

我们可以将几何作图问题转化为代数问题。假设我们从平面上的两个点 \( (0,0) \) 和 \( (1,0) \) 开始。这些点的坐标属于有理数域 \( \mathbb{Q} \)。通过直尺和圆规作图，我们可以得到新的点。

作图步骤对应的代数运算：
① 连接两已知点画直线：这条直线的方程是线性的，系数由已知点的坐标决定。
② 以已知点为圆心、已知长度为半径画圆：这个圆的方程是二次的，系数由已知点的坐标和长度决定。
③ 求两条直线的交点：解一个线性方程组，交点坐标属于包含已知点坐标的域。
④ 求一条直线与一个圆的交点：解一个线性和一个二次方程组成的方程组，交点坐标可能需要通过开平方根来获得，因此可能属于原域的二次扩张。
⑤ 求两个圆的交点：将一个圆的方程减去另一个圆的方程，得到一个线性方程，问题转化为求直线与圆的交点。

从初始域 \( \mathbb{Q} \) 开始，每一步合法的直尺圆规作图只能得到坐标属于当前域的二次扩张的元素。因此，所有可以通过直尺圆规作图得到的点的坐标，都必须属于一个域 \( F \)，这个域是 \( \mathbb{Q} \) 的一个有限扩张，并且 \( [F:\mathbb{Q}] \) 是 2 的幂次方。

定理 7.4.1 一个长度 \( a \) 是可作图的 (Constructible)，当且仅当 \( a \) 属于 \( \mathbb{Q} \) 的一个有限扩张 \( F \)，且 \( [F:\mathbb{Q}] = 2^k \) 对于某个非负整数 \( k \)。

利用这个定理，我们可以分析上述三个经典问题：

① 倍立方 (Doubling the Cube)：给定边长为 1 的立方体，体积为 1。要作一个体积为 2 的立方体，其边长应为 \( \sqrt[3]{2} \)。问题转化为长度 \( \sqrt[3]{2} \) 是否可作图。
\( \sqrt[3]{2} \) 是多项式 \( x^3 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的根。这个多项式在 \( \mathbb{Q} \) 上不可约，所以 \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3 \)。
由于 3 不是 2 的幂次方，根据定理 7.4.1，\( \sqrt[3]{2} \) 不可作图。因此，倍立方问题仅用直尺圆规是不可解的。

② 三等分角 (Trisecting the Angle)：给定一个角 \( \theta \)，能否作图得到角 \( \theta/3 \)。这等价于给定长度 \( \cos \theta \)，能否作图得到长度 \( \cos(\theta/3) \)。
利用三角恒等式 \( \cos \theta = 4\cos^3(\theta/3) - 3\cos(\theta/3) \)。令 \( x = \cos(\theta/3) \) 和 \( c = \cos \theta \)，我们得到方程 \( 4x^3 - 3x - c = 0 \)。
如果给定角 \( \theta \) 是可作图的（例如 \( \theta = 60^\circ \)，此时 \( c = \cos 60^\circ = 1/2 \in \mathbb{Q} \)，角 \( 60^\circ \) 可作图），问题转化为方程 \( 4x^3 - 3x - 1/2 = 0 \)，即 \( 8x^3 - 6x - 1 = 0 \) 的根 \( x = \cos(20^\circ) \) 是否可作图。
可以证明，多项式 \( 8x^3 - 6x - 1 \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上是不可约的。因此，\( [\mathbb{Q}(\cos 20^\circ):\mathbb{Q}] = 3 \)。
由于 3 不是 2 的幂次方，\( \cos 20^\circ \) 不可作图。因此，一般的角不能被三等分。

③ 化圆为方 (Squaring the Circle)：给定半径为 \( r \) 的圆，面积为 \( \pi r^2 \)。要作一个面积相等的正方形，其边长应为 \( \sqrt{\pi} r \)。如果给定圆的半径为 1，则边长为 \( \sqrt{\pi} \)。问题转化为长度 \( \sqrt{\pi} \) 是否可作图。
如果 \( \sqrt{\pi} \) 可作图，则它属于 \( \mathbb{Q} \) 的一个次数为 \( 2^k \) 的有限扩张。这意味着 \( \sqrt{\pi} \) 是代数元 over \( \mathbb{Q} \)。如果 \( \sqrt{\pi} \) 是代数元，那么 \( (\sqrt{\pi})^2 = \pi \) 也必须是代数元 over \( \mathbb{Q} \)。
然而，\( \pi \) 是超越元 over \( \mathbb{Q} \)（Lindemann 于 1882 年证明）。因此，\( \pi \) 不是代数元 over \( \mathbb{Q} \)，\( \sqrt{\pi} \) 也不是代数元 over \( \mathbb{Q} \)。
所以，\( \sqrt{\pi} \) 不可作图。因此，化圆为方问题仅用直尺圆规是不可解的。

域论，特别是域扩张的次数与多项式不可约性的联系，为这些古老的几何难题提供了简洁而深刻的解答。这充分展示了抽象代数的强大力量及其在解决具体问题中的应用。

本章我们深入探讨了域扩张的基本概念、代数扩张与超越扩张的区别、分裂域和代数闭包的构造与性质，并通过直尺圆规作图问题展示了域论的实际应用。这些概念是理解 Galois 理论的关键，我们将在下一章中继续探索。

参考文献 (References)
▮▮▮▮⚝ Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. (经典教材，内容全面深入)
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▮▮▮▮⚝ Rotman, J. J. (2006). A First Course in Abstract Algebra (3rd ed.). Pearson Prentice Hall. (入门友好，包含大量例子)

8. chapter 8： Galois 理论 (Galois Theory)

欢迎来到抽象代数中最迷人、最深刻的领域之一：Galois 理论 (Galois Theory)。这一理论由法国数学家 Évariste Galois 在其短暂而辉煌的生涯中创立，它巧妙地将域扩张 (Field Extensions) 的问题转化为了群 (Group) 的结构问题。通过研究与域扩张相关的群，我们可以深刻理解多项式方程 (Polynomial Equations) 的根的性质，特别是关于方程是否可以通过根式 (Radicals) 求解的问题。Galois 理论不仅解决了古老的根式求解问题，还为现代代数、数论、代数几何等众多数学分支奠定了基础。本章将带领大家深入探索 Galois 理论的核心概念、基本定理及其在方程根式可解性上的应用。

8.1 可分扩张与正规扩张 (Separable Extensions and Normal Extensions)

在深入研究 Galois 理论之前，我们需要理解两种特殊的域扩张：可分扩张 (Separable Extensions) 和正规扩张 (Normal Extensions)。这两种性质对于建立域扩张与群之间的对应关系至关重要。

8.1.1 可分扩张 (Separable Extensions)

考虑一个域扩张 \( E/F \)。扩张中的元素 \( \alpha \in E \) 称为在 \( F \) 上是代数的 (Algebraic over \( F \))，如果它是某个以 \( F \) 中元素为系数的非零多项式 \( f(x) \in F[x] \) 的根 (Root)。对于一个代数元 \( \alpha \)，存在唯一的首一 (Monic) 不可约多项式 (Irreducible Polynomial) \( m_\alpha(x) \in F[x] \)，称作 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的极小多项式 (Minimal Polynomial)。

一个多项式 \( f(x) \in F[x] \) 称为可分的 (Separable)，如果它在它的分裂域 (Splitting Field) 中没有重根 (Multiple Roots)。对于一个不可约多项式 \( m(x) \in F[x] \)，它是否可分与它的导数 (Derivative) \( m'(x) \) 有关。具体来说，\( m(x) \) 是可分的当且仅当 \( m'(x) \neq 0 \)。在特征 (Characteristic) 为 0 的域 (Field) 上，任何不可约多项式的导数都不会是零多项式（除非多项式是常数），因此在特征 0 域上的不可约多项式总是可分的。然而，在特征 \( p > 0 \) 的域上，如果 \( m(x) \) 的所有项的次数都是 \( p \) 的倍数，那么 \( m'(x) \) 就可能是零多项式。

一个代数元 \( \alpha \in E \) 称为在 \( F \) 上是可分的 (Separable over \( F \))，如果它的极小多项式 \( m_\alpha(x) \) 在 \( F \) 上是可分的。

一个代数扩张 (Algebraic Extension) \( E/F \) 称为可分扩张 (Separable Extension)，如果 \( E \) 中的每一个元素都在 \( F \) 上是可分的。

① 在特征 0 的域上，所有的代数扩张都是可分扩张。这是因为特征 0 域上的不可约多项式总是可分的。
② 在特征 \( p > 0 \) 的域上，存在不可分扩张。
▮▮▮▮ⓒ 例如，考虑域 \( F = \mathbb{F}_p(t) \)，即在 \( \mathbb{F}_p \) 上添加一个超越元 \( t \) 构成的有理函数域。考虑多项式 \( f(x) = x^p - t \in F[x] \)。这个多项式在 \( F \) 上是不可约的。
▮▮▮▮ⓓ 设 \( \alpha \) 是 \( f(x) \) 的一个根。在 \( F(\alpha) \) 中，\( f(x) = x^p - \alpha^p = (x - \alpha)^p \)。因此，\( \alpha \) 是 \( f(x) \) 的一个重根。
▮▮▮▮ⓔ \( \alpha \) 在 \( F \) 上的极小多项式就是 \( f(x) = x^p - t \)。由于 \( f(x) \) 有重根，它是不可分的。因此，扩张 \( F(\alpha)/F \) 是一个不可分扩张。

8.1.2 正规扩张 (Normal Extensions)

一个代数扩张 \( E/F \) 称为正规扩张 (Normal Extension)，如果对于 \( F[x] \) 中的任意一个不可约多项式 \( f(x) \)，只要它在 \( E \) 中有一个根，那么它的所有根都在 \( E \) 中。换句话说，如果 \( f(x) \) 在 \( E \) 中有根，那么 \( f(x) \) 在 \( E \) 中完全分裂 (Splits Completely)。

等价地，一个有限扩张 (Finite Extension) \( E/F \) 是正规扩张当且仅当 \( E \) 是 \( F \) 上某个多项式 \( f(x) \in F[x] \) 的分裂域。

⚝ 示例：
⚝ 扩张 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q} \) 是正规扩张。\( \sqrt{2} \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的极小多项式是 \( x^2 - 2 \)。它的根是 \( \sqrt{2} \) 和 \( -\sqrt{2} \)。由于 \( -\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)，所以 \( x^2 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 中完全分裂。对于任何其他在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 中有根的 \( \mathbb{Q} \) 上的不可约多项式，也可以验证其所有根都在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 中。实际上，\( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 是 \( x^2 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的分裂域。
⚝ 扩张 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q} \) 不是正规扩张。\( \sqrt[3]{2} \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的极小多项式是 \( x^3 - 2 \)。它的根是 \( \sqrt[3]{2} \)、\( \sqrt[3]{2}\omega \) 和 \( \sqrt[3]{2}\omega^2 \)，其中 \( \omega = e^{2\pi i/3} \) 是三次单位根。虽然 \( \sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \)，但 \( \sqrt[3]{2}\omega \) 和 \( \sqrt[3]{2}\omega^2 \) 不在 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) 中（因为 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) 是实数域的子域，而 \( \omega \) 是非实数）。因此，\( x^3 - 2 \) 在 \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) 中没有完全分裂。

8.1.3 Galois 扩张 (Galois Extension)

一个有限扩张 \( E/F \) 称为 Galois 扩张 (Galois Extension)，如果它是可分扩张且是正规扩张。

Galois 理论的核心就是研究 Galois 扩张。对于 Galois 扩张 \( E/F \)，存在一个重要的群，称为 Galois 群，它将域扩张的性质与群的性质紧密联系起来。

8.2 Galois 群 (Galois Group)

对于一个域扩张 \( E/F \)，考虑 \( E \) 到自身的自同构 (Automorphism) \( \sigma \)，使得对于所有的 \( a \in F \)，都有 \( \sigma(a) = a \)。换句话说，\( \sigma \) 是一个固定 \( F \) 中所有元素的 \( E \) 的自同构。所有这样的自同构构成的集合，记作 \( \text{Aut}(E/F) \)，在函数复合 (Function Composition) 的运算下构成一个群。

如果 \( E/F \) 是一个 Galois 扩张，那么这个群 \( \text{Aut}(E/F) \) 就称为扩张 \( E/F \) 的 Galois 群 (Galois Group)，记作 \( \text{Gal}(E/F) \)。

对于有限扩张 \( E/F \)，\( |\text{Aut}(E/F)| \le [E:F] \)，其中 \( [E:F] \) 是扩张的次数 (Degree)。当且仅当 \( E/F \) 是 Galois 扩张时，等号成立，即 \( |\text{Gal}(E/F)| = [E:F] \)。

⚝ 示例：
⚝ 考虑 Galois 扩张 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q} \)。扩张的次数是 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \)。我们寻找 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 的自同构 \( \sigma \) 使得 \( \sigma(q) = q \) 对于所有 \( q \in \mathbb{Q} \)。
▮▮▮▮⚝ 设 \( \alpha = a + b\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)，其中 \( a, b \in \mathbb{Q} \)。
▮▮▮▮⚝ \( \sigma(\alpha) = \sigma(a + b\sqrt{2}) = \sigma(a) + \sigma(b)\sigma(\sqrt{2}) = a + b\sigma(\sqrt{2}) \)。
▮▮▮▮⚝ 由于 \( (\sqrt{2})^2 = 2 \)，应用 \( \sigma \) 得到 \( (\sigma(\sqrt{2}))^2 = \sigma(2) = 2 \)。所以 \( \sigma(\sqrt{2}) \) 必须是 \( x^2 - 2 \) 的根，即 \( \sigma(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \) 或 \( \sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( \sigma(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \)，那么 \( \sigma(\alpha) = a + b\sqrt{2} = \alpha \)。这是恒等自同构 (Identity Automorphism)，记作 \( id \)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \( \sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \)，那么 \( \sigma(\alpha) = a - b\sqrt{2} \)。这是一个非恒等自同构，记作 \( \tau \)。
▮▮▮▮⚝ 因此，\( \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) = \{id, \tau\} \)。这是一个阶为 2 的群，同构于循环群 \( C_2 \)。其阶等于扩张次数 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \)。
⚝ 考虑 Galois 扩张 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q} \)。扩张次数是 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{2}(\sqrt{2})] [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \times 2 = 4 \)。
▮▮▮▮⚝ Galois 群 \( G = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q}) \) 的阶是 4。
▮▮▮▮⚝ 任何 \( \sigma \in G \) 由其在 \( \sqrt{2} \) 和 \( \sqrt{3} \) 上的取值决定。
▮▮▮▮⚝ \( \sigma(\sqrt{2}) \) 必须是 \( x^2 - 2 \) 的根，即 \( \pm \sqrt{2} \)。
▮▮▮▮⚝ \( \sigma(\sqrt{3}) \) 必须是 \( x^2 - 3 \) 的根，即 \( \pm \sqrt{3} \)。
▮▮▮▮⚝ 共有 \( 2 \times 2 = 4 \) 种可能的组合：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ \( \sigma_1(\sqrt{2}) = \sqrt{2}, \sigma_1(\sqrt{3}) = \sqrt{3} \) (恒等自同构)
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ \( \sigma_2(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, \sigma_2(\sqrt{3}) = \sqrt{3} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ \( \sigma_3(\sqrt{2}) = \sqrt{2}, \sigma_3(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ \( \sigma_4(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, \sigma_4(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} \)
▮▮▮▮⚝ 这四个自同构构成了 \( \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q}) \)。这个群同构于 Klein 四元群 \( V_4 \cong C_2 \times C_2 \)。

计算 Galois 群通常是困难的，但对于一些重要的域扩张（如有限域的扩张、分圆扩张 (Cyclotomic Extensions)），它们的 Galois 群结构是已知的。

8.3 Galois 理论基本定理 (Fundamental Theorem of Galois Theory)

Galois 理论的核心是 Galois 理论基本定理。它在 Galois 扩张的中间域 (Intermediate Fields) 和其 Galois 群的子群 (Subgroups) 之间建立了一个深刻的一一对应关系。

设 \( E/F \) 是一个有限 Galois 扩张，其 Galois 群为 \( G = \text{Gal}(E/F) \)。Galois 理论基本定理描述了以下两个集合之间的一一对应：
① 集合 \( \mathcal{F} \) ：所有满足 \( F \subseteq K \subseteq E \) 的中间域 \( K \)。
② 集合 \( \mathcal{G} \) ：所有 \( G \) 的子群 \( H \)。

这个对应关系由以下两个映射给出：
① 从 \( \mathcal{F} \) 到 \( \mathcal{G} \) 的映射：对于每个中间域 \( K \in \mathcal{F} \)，对应到 \( G \) 的子群 \( \text{Gal}(E/K) = \{\sigma \in G \mid \sigma(k) = k \text{ for all } k \in K \} \)。这个子群称为 \( K \) 在 \( G \) 中的固定子群 (Fixing Subgroup)。
② 从 \( \mathcal{G} \) 到 \( \mathcal{F} \) 的映射：对于每个子群 \( H \in \mathcal{G} \)，对应到 \( E \) 的子域 \( E^H = \{x \in E \mid \sigma(x) = x \text{ for all } \sigma \in H \} \)。这个子域称为 \( H \) 的固定域 (Fixed Field)。

Galois 理论基本定理指出，这两个映射是互逆的，并且它们具有以下重要性质：

① 包含关系的反转：对于中间域 \( K_1, K_2 \)，\( K_1 \subseteq K_2 \) 当且仅当 \( \text{Gal}(E/K_2) \subseteq \text{Gal}(E/K_1) \)。对于子群 \( H_1, H_2 \)，\( H_1 \subseteq H_2 \) 当且仅当 \( E^{H_2} \subseteq E^{H_1} \)。
② 阶数与次数的关系：对于中间域 \( K \)，\( [E:K] = |\text{Gal}(E/K)| \) 且 \( [K:F] = [G:\text{Gal}(E/K)] \) (子群的指数)。对于子群 \( H \)，\( [E:E^H] = |H| \) 且 \( [E^H:F] = [G:H] \)。
③ 正规性与正规子群的关系：中间域 \( K/F \) 是正规扩张当且仅当对应的子群 \( \text{Gal}(E/K) \) 是 \( G \) 的正规子群 (Normal Subgroup)。
④ 商群与 Galois 群的关系：如果 \( K/F \) 是正规扩张，那么 \( \text{Gal}(K/F) \cong G/\text{Gal}(E/K) \)。

这个定理的强大之处在于，它允许我们将关于域扩张结构的问题（例如中间域的存在性、个数、包含关系）转化为关于群的子群结构的问题，而群论通常更容易处理。

⚝ 示例：再次考虑 Galois 扩张 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q} \)。其 Galois 群 \( G = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q}) = \{id, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4\} \)，其中 \( \sigma_2(\sqrt{2})=-\sqrt{2}, \sigma_2(\sqrt{3})=\sqrt{3} \)，\( \sigma_3(\sqrt{2})=\sqrt{2}, \sigma_3(\sqrt{3})=-\sqrt{3} \)，\( \sigma_4(\sqrt{2})=-\sqrt{2}, \sigma_4(\sqrt{3})=-\sqrt{3} \)。这个群同构于 \( V_4 \)。
▮▮▮▮⚝ \( V_4 \) 的子群有哪些？除了平凡子群 \( \{id\} \) 和群本身 \( G \)，还有三个阶为 2 的子群：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ \( H_1 = \{id, \sigma_2\} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ \( H_2 = \{id, \sigma_3\} \)
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ \( H_3 = \{id, \sigma_4\} \)
▮▮▮▮⚝ 根据基本定理，这些子群对应于 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q} \) 的中间域：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ \( H_1 = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/K_1) \)。\( K_1 \) 是 \( H_1 \) 的固定域。\( \sigma_2 \) 固定 \( \sqrt{3} \)，但不固定 \( \sqrt{2} \)。因此，\( K_1 \) 包含 \( \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \)。由于 \( [K_1:\mathbb{Q}] = [G:H_1] = 4/2 = 2 \)，且 \( [\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}] = 2 \)，所以 \( K_1 = \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ \( H_2 = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/K_2) \)。\( K_2 \) 是 \( H_2 \) 的固定域。\( \sigma_3 \) 固定 \( \sqrt{2} \)，但不固定 \( \sqrt{3} \)。因此，\( K_2 \) 包含 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)。同理，\( [K_2:\mathbb{Q}] = [G:H_2] = 4/2 = 2 \)，所以 \( K_2 = \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ \( H_3 = \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/K_3) \)。\( K_3 \) 是 \( H_3 \) 的固定域。\( \sigma_4 \) 固定 \( \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6} \) (因为 \( \sigma_4(\sqrt{6}) = \sigma_4(\sqrt{2})\sigma_4(\sqrt{3}) = (-\sqrt{2})(-\sqrt{3}) = \sqrt{6} \))。因此，\( K_3 \) 包含 \( \mathbb{Q}(\sqrt{6}) \)。同理，\( [K_3:\mathbb{Q}] = [G:H_3] = 4/2 = 2 \)，所以 \( K_3 = \mathbb{Q}(\sqrt{6}) \)。
▮▮▮▮⚝ 此外，子群 \( \{id\} \) 对应于固定域 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \) 本身，子群 \( G \) 对应于固定域 \( \mathbb{Q} \)。
▮▮▮▮⚝ \( V_4 \) 的所有非平凡子群 \( H_1, H_2, H_3 \) 都是正规子群。根据基本定理，对应的中间域 \( \mathbb{Q}(\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{6}) \) 都是 \( \mathbb{Q} \) 上的正规扩张。这与我们之前的观察一致（它们都是二次扩张，二次扩张总是正规的）。

8.4 Galois 理论的应用：方程的根式可解性 (Applications of Galois Theory: Solvability by Radicals)

Galois 理论最著名的应用是解决了长期困扰数学家的多项式方程根式可解性问题。一个多项式方程 \( f(x) = 0 \) 称为根式可解的 (Solvable by Radicals)，如果它的根可以通过对 \( F \) 中的元素进行有限次加、减、乘、除以及开 \( n \) 次方运算来表示。

更精确地说，一个多项式 \( f(x) \in F[x] \) 是根式可解的，如果存在一个域塔 (Tower of Fields) \( F = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_k \) 使得：
① \( F_i = F_{i-1}(\alpha_i) \) 对于 \( i=1, \dots, k \)。
② \( \alpha_i^{n_i} \in F_{i-1} \) 对于某个整数 \( n_i \ge 1 \)。
③ \( F_k \) 包含 \( f(x) \) 的分裂域 \( E \)。

这样的域扩张 \( F_i/F_{i-1} \) 称为纯粹根式扩张 (Pure Radical Extension)。

Galois 理论将多项式的根式可解性与它的 Galois 群的结构联系起来。设 \( f(x) \in F[x] \) 是一个可分多项式，\( E \) 是它的分裂域。假设 \( F \) 包含所有 \( n \) 次单位根 (Roots of Unity)（这简化了理论，对于一般情况需要稍微修改）。如果 \( f(x) \) 是根式可解的，那么存在一个包含 \( E \) 的根式扩张 \( F \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_k \)。

考虑这个根式扩张的 Galois 群。可以证明，如果 \( F \) 包含足够的单位根，那么纯粹根式扩张 \( F_i/F_{i-1} \) 的 Galois 群 \( \text{Gal}(F_i/F_{i-1}) \) 是循环群 (Cyclic Group)。

通过 Galois 理论基本定理，这个域塔对应于 Galois 群 \( \text{Gal}(F_k/F) \) 的一个子群链 (Chain of Subgroups)。这个子群链具有特殊的性质：每个子群是前一个子群的正规子群，并且相邻子群的商群是循环群。具有这种性质的群称为可解群 (Solvable Group)。

定理 (Galois 关于根式可解性的定理): 设 \( F \) 是一个特征为 0 的域，\( f(x) \in F[x] \) 是一个多项式。\( f(x) = 0 \) 是根式可解的当且仅当 \( f(x) \) 在 \( F \) 上的分裂域的 Galois 群是可解群。

这个定理将一个关于方程根的代数运算问题转化为了一个关于群结构的问题。

8.4.1 五次方程的不可解性 (Insolvability of the Quintic Equation)

历史上，人们已经找到了二次、三次、四次方程的根式解公式。对于一般的五次方程 \( ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0 \)，数学家们尝试了几个世纪，但未能找到通用的根式解公式。Galois 理论最终解释了原因。

考虑一般的五次多项式 \( f(x) = x^5 + a_4 x^4 + \dots + a_0 \)，其中系数 \( a_i \) 是独立变量。它的分裂域 \( E \) 在 \( F = \mathbb{Q}(a_0, \dots, a_4) \) 上的 Galois 群同构于对称群 \( S_5 \)。

对称群 \( S_n \) 是由 \( n \) 个元素的置换 (Permutations) 构成的群。对于 \( n \ge 5 \)，对称群 \( S_n \) 不是可解群。这是因为 \( S_n \) 包含交错群 (Alternating Group) \( A_n \) 作为其唯一的非平凡正规子群，而 \( A_n \) 对于 \( n \ge 5 \) 是单群 (Simple Group) 且非 Abel 群 (Non-abelian Group)。单群的唯一正规子群是平凡子群和它自身，所以 \( A_n \) 的合成列 (Composition Series) 只有 \( \{e\} \subset A_n \)，其商群 \( A_n/\{e\} \cong A_n \) 不是 Abel 群。因此，\( S_n \) 对于 \( n \ge 5 \) 不是可解群。

由于一般五次多项式的 Galois 群 \( S_5 \) 不是可解群，根据 Galois 定理，一般的五次方程没有根式解公式。

需要强调的是，这并不意味着 所有 五次方程都没有根式解。例如，\( x^5 - 1 = 0 \) 的根是单位根，显然是根式可解的。\( x^5 - 2 = 0 \) 的根是 \( \sqrt[5]{2}, \sqrt[5]{2}\zeta_5, \dots, \sqrt[5]{2}\zeta_5^4 \)，其中 \( \zeta_5 \) 是五次单位根，这也是根式可解的。Galois 定理说的是，不存在一个 通用 的公式，仅使用根式来表达 任意 五次方程的根，就像二次方程的求根公式那样。

Galois 理论的出现是数学史上的一个里程碑，它不仅解决了根式可解性问题，更重要的是，它开创了利用群论研究代数方程和域结构的先河，极大地推动了抽象代数的发展。

9. chapter 9： 模与代数初步 (Introduction to Modules and Algebras)

欢迎来到抽象代数学习的第九章！在前面的章节中，我们深入探讨了群、环和域这三种重要的代数结构。群描述了具有一个满足特定性质的二元运算的集合，环则增加了第二个二元运算（通常是乘法），而域是环的一种特殊且非常“友好”的形式。现在，我们将引入一个新的概念：模 (Module)。模可以被看作是向量空间 (Vector Space) 在环上的推广。向量空间是线性代数的核心，它描述了向量的集合以及向量加法和标量乘法。在向量空间中，标量 (Scalar) 来自一个域。当我们把标量所在的域替换为一个更一般的环时，我们就得到了模的概念。模理论是抽象代数中一个非常重要且活跃的分支，它在群表示论 (Representation Theory of Groups)、代数几何 (Algebraic Geometry)、代数拓扑 (Algebraic Topology) 等领域有着广泛的应用。本章将为你介绍模的基本概念和性质，并探讨向量空间作为模的特殊情况，最后初步介绍与模密切相关的代数 (Algebra) 概念。

9.1 模的定义与基本性质 (Definition and Basic Properties of Modules)

我们已经熟悉了向量空间的概念，其中向量可以相加，并且可以乘以来自一个域的标量。模的概念正是将“标量”的范围从域推广到一般的环。

9.1.1 模的定义 (Definition of a Module)

设 \( R \) 是一个环 (Ring)。一个左 \( R \)-模 (Left \( R \)-module) 是一个非空集合 \( M \)，连同两个运算：
① 加法 (Addition)：一个从 \( M \times M \) 到 \( M \) 的运算，记作 \( + \)。
② 标量乘法 (Scalar Multiplication)：一个从 \( R \times M \) 到 \( M \) 的运算，记作将 \( r \in R \) 和 \( m \in M \) 映射到 \( rm \in M \)。

这些运算必须满足以下条件：
⚝ \( (M, +) \) 是一个 Abel 群 (Abelian Group)。这意味着加法满足结合律 (Associativity)、交换律 (Commutativity)，存在零元素 (Zero Element) \( 0_M \in M \)，且每个元素 \( m \in M \) 都有一个负元素 (Negative Element) \( -m \in M \)。
⚝ 对于任意 \( r, s \in R \) 和 \( m, n \in M \)，标量乘法满足以下性质：
▮▮▮▮⚝ \( r(m+n) = rm + rn \) (分配律，Distributivity)
▮▮▮▮⚝ \( (r+s)m = rm + sm \) (分配律，Distributivity)
▮▮▮▮⚝ \( (rs)m = r(sm) \) (结合律，Associativity)
▮▮▮▮⚝ 如果环 \( R \) 有乘法单位元 (Multiplicative Identity) \( 1_R \)，则要求 \( 1_R m = m \) 对于所有 \( m \in M \) 成立。这样的模称为幺模 (Unital Module)。在本书中，除非特别说明，我们讨论的环都带有乘法单位元，并且模都是幺模。

类似地，一个右 \( R \)-模 (Right \( R \)-module) 是一个非空集合 \( M \) 连同加法和从 \( M \times R \) 到 \( M \) 的标量乘法（记作 \( mr \)），满足 \( (M, +) \) 是 Abel 群，且对于任意 \( r, s \in R \) 和 \( m, n \in M \)，满足：
⚝ \( (m+n)r = mr + nr \)
⚝ \( m(r+s) = mr + ms \)
⚝ \( m(rs) = (mr)s \)
⚝ 如果 \( R \) 有单位元 \( 1_R \)，则 \( m1_R = m \)。

如果环 \( R \) 是交换环 (Commutative Ring)，那么左 \( R \)-模和右 \( R \)-模的概念是等价的，因为 \( rm = mr \) 可以通过定义 \( mr = rm \) 来实现。在这种情况下，我们通常就直接称其为 \( R \)-模。

9.1.2 基本性质 (Basic Properties)

从模的定义可以直接推导出一些基本性质，类似于向量空间：
① 对于任意 \( r \in R \) 和 \( m \in M \)，有 \( r0_M = 0_M \) 和 \( 0_R m = 0_M \)。
② 对于任意 \( r \in R \) 和 \( m \in M \)，有 \( r(-m) = -(rm) \) 和 \( (-r)m = -(rm) \)。
③ 如果 \( R \) 是一个域 (Field)，那么 \( R \)-模就是 \( R \)-向量空间。

9.1.3 子模 (Submodules)

设 \( M \) 是一个左 \( R \)-模。\( M \) 的一个非空子集 \( N \) 称为 \( M \) 的一个子模 (Submodule)，如果 \( N \) 在 \( M \) 的加法和 \( R \) 的标量乘法下是封闭的，并且 \( N \) 本身构成一个左 \( R \)-模。
具体来说，\( N \) 是 \( M \) 的子模当且仅当：
⚝ 对于任意 \( n_1, n_2 \in N \)，有 \( n_1 + n_2 \in N \)。
⚝ 对于任意 \( r \in R \) 和 \( n \in N \)，有 \( rn \in N \)。

注意，由于 \( N \) 非空且对加法封闭，它必须包含 \( 0_M \)。又因为对标量乘法封闭，对于任意 \( n \in N \)，\( (-1_R)n = -n \in N \)，所以 \( N \) 对取负运算也封闭。因此，如果 \( N \) 非空且对加法和标量乘法封闭，则 \( (N, +) \) 自动成为一个 Abel 群，从而 \( N \) 是一个子模。

9.1.4 模同态与商模 (Module Homomorphisms and Quotient Modules)

模之间的映射概念类似于群同态和环同态。
设 \( M \) 和 \( N \) 是两个左 \( R \)-模。一个映射 \( f: M \to N \) 称为一个 \( R \)-模同态 ( \( R \)-module Homomorphism)，如果它保持模的运算：
⚝ 对于任意 \( m_1, m_2 \in M \)，有 \( f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2) \) (保持加法)
⚝ 对于任意 \( r \in R \) 和 \( m \in M \)，有 \( f(rm) = r f(m) \) (保持标量乘法)

如果 \( f \) 是双射 (Bijective)，则称 \( f \) 是一个 \( R \)-模同构 ( \( R \)-module Isomorphism)，此时 \( M \) 和 \( N \) 是同构的 \( R \)-模，记作 \( M \cong N \)。

对于一个 \( R \)-模同态 \( f: M \to N \)，其核 (Kernel) 定义为 \( \ker(f) = \{ m \in M \mid f(m) = 0_N \} \)。核 \( \ker(f) \) 是 \( M \) 的一个子模。
其像 (Image) 定义为 \( \text{Im}(f) = \{ f(m) \mid m \in M \} \)。像 \( \text{Im}(f) \) 是 \( N \) 的一个子模。

类似于群和环，我们也可以构造商模 (Quotient Module)。设 \( N \) 是 \( M \) 的一个子模。考虑商集 \( M/N = \{ m+N \mid m \in M \} \)，其中 \( m+N = \{ m+n \mid n \in N \} \) 是 \( m \) 所在的陪集 (Coset)。
我们可以在 \( M/N \) 上定义加法和标量乘法：
⚝ \( (m_1+N) + (m_2+N) = (m_1+m_2) + N \)
⚝ \( r(m+N) = rm + N \)
可以验证，这些运算是良定义的 (Well-defined)，并且在这些运算下，\( M/N \) 构成一个左 \( R \)-模，称为 \( M \) 对子模 \( N \) 的商模。

存在一个自然的满同态 (Surjective Homomorphism) \( \pi: M \to M/N \)，定义为 \( \pi(m) = m+N \)。其核为 \( N \)。

9.1.5 同构基本定理 (Fundamental Isomorphism Theorems)

模的同构基本定理与群和环的同构基本定理非常相似。
① 第一同构定理 (First Isomorphism Theorem)：设 \( f: M \to N \) 是一个 \( R \)-模同态。则 \( M/\ker(f) \cong \text{Im}(f) \)。
② 第二同构定理 (Second Isomorphism Theorem)：设 \( N \) 和 \( P \) 是 \( M \) 的子模。则 \( (N+P)/P \cong N/(N \cap P) \)。
③ 第三同构定理 (Third Isomorphism Theorem)：设 \( N \) 和 \( P \) 是 \( M \) 的子模，且 \( N \subseteq P \)。则 \( (M/N)/(P/N) \cong M/P \)。

这些定理为理解模的结构提供了重要的工具。

9.1.6 模的生成与自由模 (Generating Sets and Free Modules)

设 \( M \) 是一个左 \( R \)-模，\( S = \{m_i\}_{i \in I} \) 是 \( M \) 的一个子集。由 \( S \) 生成的子模 (Submodule Generated by \( S \))，记作 \( \langle S \rangle \) 或 \( RS \)，是包含 \( S \) 的最小子模。它由 \( S \) 中元素的有限 \( R \)-线性组合 (Finite \( R \)-linear Combinations) 构成：
\[ \langle S \rangle = \left\{ \sum_{j=1}^k r_j m_{i_j} \mid k \in \mathbb{N}, r_j \in R, m_{i_j} \in S \right\} \]
如果 \( \langle S \rangle = M \)，则称 \( S \) 生成 \( M \)，或 \( S \) 是 \( M \) 的一个生成集 (Generating Set)。如果 \( M \) 有一个有限生成集，则称 \( M \) 是有限生成模 (Finitely Generated Module)。

一个模 \( M \) 称为自由模 (Free Module)，如果它有一个基 (Basis)。一个子集 \( B \subseteq M \) 称为 \( M \) 的一个基，如果：
⚝ \( B \) 生成 \( M \)。
⚝ \( B \) 是 \( R \)-线性无关的 ( \( R \)-linearly Independent)。这意味着对于 \( B \) 中任意有限个不同的元素 \( b_1, \dots, b_k \) 和任意 \( r_1, \dots, r_k \in R \)，如果 \( r_1 b_1 + \dots + r_k b_k = 0_M \)，则必有 \( r_1 = \dots = r_k = 0_R \)。

与向量空间不同，一般的模不一定有基，即使有基，基的元素个数（称为秩，Rank）也不一定是唯一的（除非环 \( R \) 满足某些条件，例如是交换环或域）。

示例 (Examples):
⚝ 任何环 \( R \) 自身可以看作是一个左 \( R \)-模（标量乘法就是环的乘法）和一个右 \( R \)-模。其子模就是 \( R \) 的左理想 (Left Ideal) 或右理想 (Right Ideal)。
⚝ 任何 Abel 群 \( A \) 可以看作是一个 \( \mathbb{Z} \)-模。标量乘法定义为 \( n \cdot a = a + a + \dots + a \) (n次) 如果 \( n > 0 \)，\( 0 \cdot a = 0_A \)，\( (-n) \cdot a = -(n \cdot a) \) 如果 \( n > 0 \)。\( \mathbb{Z} \)-模的子模就是 Abel 群的子群。
⚝ 设 \( V \) 是域 \( F \) 上的向量空间。则 \( V \) 是一个 \( F \)-模。这是模概念的特例。
⚝ 设 \( R \) 是一个环，\( n \) 是正整数。所有 \( n \times n \) 矩阵构成的集合 \( M_n(R) \) 在矩阵加法下是 Abel 群。我们可以定义 \( R \) 对 \( M_n(R) \) 的标量乘法：对于 \( r \in R \) 和矩阵 \( A \in M_n(R) \)，\( rA \) 是将 \( A \) 的每个元素乘以 \( r \) 得到的矩阵。这使得 \( M_n(R) \) 成为一个 \( R \)-模。

9.2 向量空间作为特殊的模 (Vector Spaces as Special Modules)

正如前面提到的，向量空间是模的一个重要特例。设 \( F \) 是一个域 (Field)。一个 \( F \)-向量空间 ( \( F \)-vector Space) \( V \) 就是一个 \( F \)-模。这是因为域是一个特殊的环，其中每个非零元素都有乘法逆元。

将向量空间视为模有助于我们理解模与向量空间的异同，以及为什么模理论比向量空间理论更复杂。

9.2.1 域与一般环的区别 (Differences between Fields and General Rings)

向量空间理论中许多重要的性质依赖于域中非零元素的可逆性。例如：
⚝ 在向量空间中，任何线性无关的向量组都可以扩充成一个基。在模中，这不一定成立。
⚝ 在向量空间中，任何生成组都包含一个基。在模中，这不一定成立。
⚝ 在向量空间中，每个向量空间都有一个基，并且任意两个基的元素个数相同（即维度唯一）。在一般的模中，模不一定有基，即使有基，秩也不一定唯一。
⚝ 在向量空间中，每个子空间都有一个补子空间 (Complementary Subspace)，使得整个空间是子空间和其补子空间的直和 (Direct Sum)。在模中，子模不一定有补子模。

这些差异的根本原因在于环中可能存在零因子 (Zero Divisors) 和不可逆元素 (Non-invertible Elements)。例如，考虑 \( \mathbb{Z} \)-模 \( \mathbb{Z}_6 \)。元素 \( 2 \in \mathbb{Z}_6 \) 是非零的，但 \( 3 \cdot 2 = 6 \equiv 0 \pmod{6} \)，所以 \( 3 \) 是 \( 2 \) 的零因子。在向量空间中，如果 \( \alpha v = 0 \) 且 \( v \neq 0 \)，则 \( \alpha \) 必须是零。

9.2.2 自由模与向量空间的相似性 (Similarities between Free Modules and Vector Spaces)

尽管存在差异，自由模与向量空间在某些方面是相似的。一个自由 \( R \)-模 \( M \) 具有一个基 \( B \)。这意味着 \( M \) 中的每个元素都可以唯一地表示为 \( B \) 中元素的有限 \( R \)-线性组合。这与向量空间中向量的表示方式完全一致。

如果 \( R \) 是一个交换环，那么自由 \( R \)-模的秩是唯一的。这使得自由模在交换环理论中扮演了类似于向量空间在域理论中的角色。

9.2.3 模理论作为向量空间理论的推广 (Module Theory as a Generalization of Vector Space Theory)

将向量空间视为模，使得我们可以用统一的语言和概念来研究更广泛的代数结构。模理论为研究环的结构提供了强大的工具。例如，通过研究环 \( R \) 上的模，我们可以了解环 \( R \) 本身的性质。特别是，研究 \( R \) 作为自身的模（即研究 \( R \) 的理想）是环论的核心部分。

模理论也是表示论的基础。群的表示 (Representation of a Group) 可以被看作是群环 (Group Ring) 上的模。通过研究群环上的模，我们可以将抽象的群元素具体化为线性变换 (Linear Transformations)，从而利用线性代数的工具来研究群的结构。

9.3 代数的定义与示例 (Definition and Examples of Algebras)

在学习了模之后，我们可以引入另一个重要的代数结构：代数 (Algebra)。简单来说，一个代数是一个模，它同时也是一个环，并且这两种结构是“兼容”的。

9.3.1 代数的定义 (Definition of an Algebra)

设 \( R \) 是一个交换环 (Commutative Ring)。一个 \( R \)-代数 ( \( R \)-algebra) 是一个集合 \( A \)，它同时具有以下结构：
① \( A \) 是一个 \( R \)-模。
② \( A \) 是一个环。
③ 环的乘法与 \( R \)-模的标量乘法是兼容的。这意味着对于任意 \( r \in R \) 和任意 \( a, b \in A \)，有：
\[ r(ab) = (ra)b = a(rb) \]

如果环 \( A \) 有乘法单位元 \( 1_A \)，并且 \( R \)-模的单位元 \( 1_R \) 与 \( 1_A \) 的关系满足 \( r \cdot 1_A = (r \cdot 1_R) \cdot 1_A \) （这里的 \( \cdot \) 是 \( R \)-模的标量乘法），并且映射 \( r \mapsto r \cdot 1_A \) 是一个从 \( R \) 到 \( A \) 的环同态，则称 \( A \) 是一个结合的幺 \( R \)-代数 (Associative Unital \( R \)-algebra)。在许多情况下，“代数”特指这种结合的幺代数。

注意，定义中的兼容性条件 \( r(ab) = (ra)b = a(rb) \) 可以理解为，将 \( r \) 视为 \( A \) 中的元素 \( r \cdot 1_A \)（如果 \( A \) 是幺代数），则 \( r(ab) = (r \cdot 1_A)(ab) \)，\( (ra)b = ((r \cdot 1_A)a)b \)，\( a(rb) = a((r \cdot 1_A)b) \)。兼容性条件确保了标量乘法可以“穿透”环的乘法。

9.3.2 代数的示例 (Examples of Algebras)

代数在数学的许多分支中自然出现。
⚝ 任何环 \( R \) 自身可以看作是一个 \( \mathbb{Z} \)-代数。加法是环的加法，乘法是环的乘法，\( \mathbb{Z} \)-模的标量乘法定义为 \( n \cdot a = a + \dots + a \) (n次)。兼容性条件 \( n(ab) = (na)b = a(nb) \) 成立。
⚝ 域 \( F \) 上的所有 \( n \times n \) 矩阵构成的集合 \( M_n(F) \) 是一个 \( F \)-代数。它在矩阵加法下是 Abel 群，在矩阵乘法下是环。标量乘法定义为 \( \alpha A \) （将矩阵 \( A \) 的每个元素乘以 \( \alpha \in F \)）。兼容性条件 \( \alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B) \) 成立。
⚝ 域 \( F \) 上的多项式环 \( F[x] \) 是一个 \( F \)-代数。多项式加法和乘法使其成为环。标量乘法定义为 \( \alpha \cdot p(x) \) （将多项式 \( p(x) \) 的每个系数乘以 \( \alpha \in F \)）。兼容性条件成立。更一般地，如果 \( R \) 是一个交换环，则多项式环 \( R[x] \) 是一个 \( R \)-代数。
⚝ 设 \( G \) 是一个群，\( F \) 是一个域。群环 (Group Ring) \( F[G] \) 是一个 \( F \)-代数。\( F[G] \) 的元素是 \( G \) 中元素的有限线性组合 \( \sum_{g \in G} \alpha_g g \)，其中 \( \alpha_g \in F \)。加法是逐系数相加，乘法定义为 \( (\sum \alpha_g g)(\sum \beta_h h) = \sum_{g,h} \alpha_g \beta_h (gh) \)。\( F[G] \) 是一个环。标量乘法定义为 \( \alpha \cdot (\sum \alpha_g g) = \sum (\alpha \alpha_g) g \)。这使得 \( F[G] \) 成为一个 \( F \)-模，并且满足代数的兼容性条件。群环在群表示论中非常重要。
⚝ 域 \( F \) 上的向量空间 \( V \) 上的线性变换集合 \( \text{End}_F(V) \) 构成一个 \( F \)-代数。加法是线性变换的逐点相加，乘法是线性变换的复合。标量乘法定义为 \( (\alpha T)(v) = \alpha (T(v)) \)。

9.3.3 子代数与代数同态 (Subalgebras and Algebra Homomorphisms)

设 \( A \) 是一个 \( R \)-代数。\( A \) 的一个非空子集 \( B \) 称为一个子代数 (Subalgebra)，如果 \( B \) 在 \( A \) 的加法、乘法和 \( R \)-标量乘法下是封闭的，并且 \( B \) 本身构成一个 \( R \)-代数。
具体来说，\( B \) 是 \( A \) 的子代数当且仅当：
⚝ \( B \) 是 \( A \) 的子环 (Subring)。
⚝ \( B \) 是 \( A \) 的子模 (Submodule)。

设 \( A \) 和 \( B \) 是两个 \( R \)-代数。一个映射 \( f: A \to B \) 称为一个 \( R \)-代数同态 ( \( R \)-algebra Homomorphism)，如果它同时是 \( R \)-模同态和环同态。
⚝ \( f(a_1 + a_2) = f(a_1) + f(a_2) \)
⚝ \( f(a_1 a_2) = f(a_1) f(a_2) \)
⚝ \( f(ra) = r f(a) \)

如果 \( f \) 是双射，则称 \( f \) 是一个 \( R \)-代数同构 ( \( R \)-algebra Isomorphism)。

9.3.4 代数的类型 (Types of Algebras)

根据环的性质，代数可以分为不同的类型：
⚝ 结合代数 (Associative Algebra)：如果环的乘法是结合的。本书中讨论的代数通常是结合代数。
⚝ 非结合代数 (Non-associative Algebra)：如果环的乘法不一定是结合的，例如李代数 (Lie Algebra)。
⚝ 交换代数 (Commutative Algebra)：如果环的乘法是交换的。

模和代数是抽象代数中更高级和更通用的概念，它们为研究更复杂的代数结构和它们之间的关系提供了框架。通过本章的初步介绍，希望你对模和代数有了基本的认识。在更深入的学习中，你会发现它们在现代数学和相关科学领域中无处不在。

10. chapter 10： 抽象代数的应用与联系 (Applications and Connections of Abstract Algebra)

亲爱的同学们，欢迎来到抽象代数这门课程的最后一章！🎓 在前面的章节中，我们一起探索了群、环、域等美妙的代数结构，学习了它们的定义、性质以及它们之间的关系。这些概念初看起来可能有些抽象，甚至让人觉得它们只是数学家们在“玩弄”符号的游戏。然而，正如任何深刻的数学理论一样，抽象代数并非空中楼阁，它与现实世界以及数学的其他分支有着千丝万缕的联系。

本章，我们将一起揭开抽象代纱的“面纱”，看看这些抽象的理论是如何在实际应用中大放异彩，以及它们如何与其他数学领域相互渗透、共同发展的。我们将探讨抽象代数在编码理论、密码学、物理学等领域的应用，并简要介绍它与其他数学分支（如数论、拓扑学、几何学）的深刻联系。希望通过本章的学习，大家能够更加深刻地认识到抽象代数的强大力量和广泛影响，激发大家进一步探索数学世界的兴趣。

10.1 编码理论 (Coding Theory)

想象一下，你在通过互联网发送一条重要的消息，或者你的手机正在接收信号。在传输过程中，信号可能会受到各种干扰（噪声），导致接收到的信息与发送的信息有所不同，这就是所谓的“错误”。编码理论 (Coding Theory) 的核心任务就是设计一种有效的方法，在发送信息之前对其进行编码，使得接收方不仅能够检测到错误，甚至能够在一定程度上纠正这些错误，从而确保信息的可靠传输和存储。

抽象代数，特别是有限域 (Finite Fields) 上的向量空间 (Vector Spaces) 和多项式环 (Polynomial Rings)，为构建具有强大纠错能力的编码提供了坚实的数学基础。

10.1.1 线性码 (Linear Codes)

线性码 (Linear Codes) 是编码理论中最重要的一类码。它们之所以被称为“线性”，是因为它们是有限域 \( \mathbb{F}_q \) （其中 \( q \) 是一个素数的幂）上的向量空间的子空间 (Subspace)。

① 定义：一个 \( [n, k, d] \) 线性码 \( C \) 是 \( \mathbb{F}_q^n \) 的一个 \( k \) 维子空间。
▮▮▮▮ⓑ \( n \) 是码字 (Codeword) 的长度。
▮▮▮▮ⓒ \( k \) 是码的维度，表示信息位的数量。
▮▮▮▮ⓓ \( d \) 是码的最小距离 (Minimum Distance)，通常指汉明距离 (Hamming Distance)。汉明距离是两个等长向量之间对应位置上不同分量的个数。最小距离 \( d \) 决定了码的纠错能力。一个码能够纠正 \( t \) 个错误，当且仅当 \( d \ge 2t + 1 \)。

② 生成矩阵 (Generator Matrix) 和校验矩阵 (Parity-Check Matrix)：
▮▮▮▮ⓑ 由于 \( C \) 是 \( \mathbb{F}_q^n \) 的 \( k \) 维子空间，它有一个 \( k \times n \) 的生成矩阵 \( G \)，其行向量张成 \( C \)。发送方将 \( k \) 维信息向量 \( \mathbf{u} \) 编码为 \( n \) 维码字 \( \mathbf{c} = \mathbf{u}G \)。
▮▮▮▮ⓒ 存在一个 \( (n-k) \times n \) 的校验矩阵 \( H \)，使得 \( \mathbf{c} \in C \) 当且仅当 \( H\mathbf{c}^T = \mathbf{0} \)。接收方收到向量 \( \mathbf{r} \) 后，计算伴随式 (Syndrome) \( \mathbf{s} = H\mathbf{r}^T \)。如果 \( \mathbf{s} = \mathbf{0} \)，则认为没有检测到错误；如果 \( \mathbf{s} \ne \mathbf{0} \)，则检测到错误，并且 \( \mathbf{s} \) 的值与错误模式 (Error Pattern) 有关，可以用于纠错。

③ 抽象代数的作用：
▮▮▮▮ⓑ 有限域 \( \mathbb{F}_q \) 的存在和性质（例如，任何有限域的乘法群都是循环群）是构建线性码的基础。
▮▮▮▮ⓒ 向量空间理论提供了描述和分析线性码的框架。子空间、基、维度、线性变换等概念直接应用于码的构造和性质分析。
▮▮▮▮ⓓ 矩阵理论（与线性代数紧密相关，而线性代数可以看作是域上的模理论）用于表示生成矩阵和校验矩阵，以及进行编码和解码计算。

10.1.2 循环码 (Cyclic Codes)

循环码 (Cyclic Codes) 是一类重要的线性码，它们在实现上具有很多优点。它们的代数结构更加丰富，与多项式环密切相关。

① 定义：一个线性码 \( C \) 是循环码，如果对于任意码字 \( (c_0, c_1, \dots, c_{n-1}) \in C \)，其循环移位 \( (c_{n-1}, c_0, \dots, c_{n-2}) \) 仍然在 \( C \) 中。

② 多项式表示：我们可以将 \( \mathbb{F}_q^n \) 中的向量 \( (a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) \) 对应于多项式 \( a(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_{n-1} x^{n-1} \) 在商环 (Quotient Ring) \( R_n = \mathbb{F}_q[x] / \langle x^n - 1 \rangle \) 中。
▮▮▮▮ⓑ 在这种表示下，一个线性码 \( C \) 是循环码，当且仅当它对应于环 \( R_n \) 的一个理想 (Ideal)。
▮▮▮▮ⓒ 由于 \( R_n \) 是一个主理想环 (Principal Ideal Ring)（如果 \( \mathbb{F}_q[x] \) 是 PID，则其商环不一定是 PID，但 \( R_n \) 的理想结构相对简单），每个理想都由一个唯一的首一多项式 (Monic Polynomial) 生成，这个多项式称为生成多项式 (Generator Polynomial) \( g(x) \)。
▮▮▮▮ⓓ 码字对应的多项式 \( c(x) \) 就是信息多项式 \( u(x) \) 乘以生成多项式 \( g(x) \)，即 \( c(x) = u(x)g(x) \pmod{x^n - 1} \)。

③ 抽象代数的作用：
▮▮▮▮ⓑ 多项式环 \( \mathbb{F}_q[x] \) 及其商环 \( \mathbb{F}_q[x] / \langle x^n - 1 \rangle \) 提供了描述和构造循环码的代数框架。
▮▮▮▮ⓒ 理想的概念直接对应于循环码的定义，使得我们可以利用环论的工具来研究循环码的性质。
▮▮▮▮ⓓ 多项式的带余除法、最大公约数、因式分解等概念在循环码的编码、解码和分析中扮演着重要角色。

④ 著名示例：BCH 码 (BCH Codes) 和 Reed-Solomon 码 (Reed-Solomon Codes) 是重要的循环码，它们在通信和存储系统中有着广泛应用（例如，CD、DVD、二维码、太空通信等）。它们的构造和分析严重依赖于有限域的扩张 (Field Extensions) 和多项式理论。

总而言之，抽象代数不仅仅是理论的探索，它为编码理论提供了强大的工具和深刻的洞察，使得我们能够设计出高效可靠的纠错码，保障数字信息的完整性。

10.2 密码学 (Cryptography)

密码学 (Cryptography) 是研究信息安全传输和存储的科学，它涉及信息的加密 (Encryption)、解密 (Decryption)、数字签名 (Digital Signatures) 等。在现代密码学中，抽象代数扮演着核心角色，为许多加密算法提供了数学基础。

10.2.1 公钥密码学 (Public-Key Cryptography)

公钥密码学是现代密码学的基石之一，它解决了密钥分发的问题。在公钥密码系统中，每个人都有一对密钥：一个公钥 (Public Key) 用于加密或验证签名，一个私钥 (Private Key) 用于解密或生成签名。公钥可以公开，而私钥必须保密。

① RSA 算法：
▮▮▮▮ⓑ RSA 算法是最早也是最著名的公钥密码算法之一，其安全性基于大整数因子分解的困难性。
▮▮▮▮ⓒ 它的数学基础主要来自数论 (Number Theory)，特别是模运算 (Modular Arithmetic)、欧拉函数 (Euler's Totient Function) \( \phi(n) \) 和费马小定理/欧拉定理 (Fermat's Little Theorem/Euler's Theorem)。
▮▮▮▮ⓓ 这些概念都与环 \( \mathbb{Z}_n \) 及其乘法群 \( (\mathbb{Z}_n)^\times \) 的性质密切相关。\( (\mathbb{Z}_n)^\times \) 是由与 \( n \) 互素的整数组成的乘法群，其阶 (Order) 正好是 \( \phi(n) \)。加密和解密过程本质上是在这个群中进行幂运算。

② Diffie-Hellman 密钥交换 (Diffie-Hellman Key Exchange)：
▮▮▮▮ⓑ Diffie-Hellman 密钥交换协议允许通信双方在一个不安全的通道上协商出一个共享的秘密密钥。
▮▮▮▮ⓒ 它的安全性基于离散对数问题 (Discrete Logarithm Problem) 的困难性，即在一个有限循环群 (Finite Cyclic Group) \( G \) 中，已知生成元 \( g \)、元素 \( h \)，求解整数 \( x \) 使得 \( g^x = h \) 是困难的。
▮▮▮▮ⓓ 这个协议可以在各种有限循环群中实现，例如有限域 \( \mathbb{F}_p \) 的乘法群 \( \mathbb{F}_p^\times \) 或椭圆曲线上的点构成的群。

10.2.2 椭圆曲线密码学 (Elliptic Curve Cryptography, ECC)

椭圆曲线密码学是目前非常活跃的研究领域，它在提供相同安全级别的情况下，可以使用比 RSA 短得多的密钥长度，因此在资源受限的环境（如移动设备）中越来越受欢迎。

① 椭圆曲线上的群结构：
▮▮▮▮ⓑ 一条椭圆曲线可以定义为满足特定方程（例如 \( y^2 = x^3 + ax + b \)）的点集，通常考虑定义在有限域 \( \mathbb{F}_q \) 上。
▮▮▮▮ⓒ 通过定义一个特殊的“加法”运算，椭圆曲线上的点（包括一个无穷远点）构成一个 Abel 群 (Abelian Group)。这个群的运算规则是几何定义的：两点 \( P, Q \) 的和 \( P+Q \) 是连接 \( P, Q \) 的直线与曲线的第三个交点关于 x 轴的对称点。如果 \( P=Q \)，则用切线代替割线。
▮▮▮▮ⓓ ECC 的安全性基于椭圆曲线离散对数问题 (Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem, ECDLP)，即在椭圆曲线群中求解离散对数是困难的。

② 抽象代数的作用：
▮▮▮▮ⓑ 有限域理论是 ECC 的基础，椭圆曲线定义在有限域上。
▮▮▮▮ⓒ 群论提供了椭圆曲线密码系统的核心数学结构。椭圆曲线上的点构成一个 Abel 群，加密和解密操作本质上是群上的点乘（重复加法）。
▮▮▮▮ⓓ 域扩张、有限域的结构等概念在构造和分析椭圆曲线以及其上的群结构时非常重要。

10.2.3 其他应用

抽象代数在密码学中还有其他应用，例如：
⚝ 基于理想格 (Lattices) 的密码学：利用环论中的理想概念构建格，其安全性基于格上某些问题的困难性。
⚝ 基于编码的密码学：利用纠错码的性质设计密码系统（如 McEliece 密码系统）。
⚝ 配对 (Pairings) 密码学：利用椭圆曲线上的双线性配对（一种映射到域乘法群的函数）构建更复杂的密码协议。

总而言之，抽象代数不仅仅是密码学算法的“工具箱”，它提供了理解和分析密码系统安全性的深刻理论框架。没有抽象代数，现代密码学将寸步难行。

10.3 物理学中的应用 (Applications in Physics)

物理学是研究自然界基本规律的学科，而对称性 (Symmetry) 是物理学中一个极其深刻且普适的概念。抽象代数，特别是群论 (Group Theory)，正是描述和研究对称性的强大数学语言。

10.3.1 对称性与群论 (Symmetry and Group Theory)

① 定义：一个物理系统或数学对象的对称性是指在某种变换下保持不变的性质。所有这些保持不变的变换构成一个群，称为该系统的对称群 (Symmetry Group)。
▮▮▮▮ⓑ 例如，一个正方形的对称群包括旋转（0°, 90°, 180°, 270°）和反射，这些变换的复合（乘法）和逆变换都保持正方形不变，并且满足群的公理。这个群是二面体群 \( D_4 \)。
▮▮▮▮ⓒ 物理定律的对称性意味着在某些变换下（如时间平移、空间平移、空间旋转）物理定律的形式保持不变。根据 Noether 定理，每一种连续的对称性都对应一个守恒量（如能量守恒、动量守恒、角动量守恒）。

② 群表示论 (Representation Theory of Groups)：
▮▮▮▮ⓑ 在物理学中，我们通常研究对称群如何作用于物理系统的状态空间（通常是向量空间）。群表示论研究群如何通过线性变换作用于向量空间。一个群 \( G \) 在向量空间 \( V \) 上的表示 (Representation) 是一个群同态 (Group Homomorphism) \( \rho: G \to GL(V) \)，其中 \( GL(V) \) 是 \( V \) 上的可逆线性变换组成的群。
▮▮▮▮ⓒ 通过群表示，我们可以将抽象的群运算转化为具体的矩阵运算，从而更容易进行计算和分析。
▮▮▮▮ⓓ 物理系统的状态空间通常可以分解为对称群的不可约表示 (Irreducible Representations) 的直和。这有助于我们理解系统的能级结构、粒子的分类等。

10.3.2 量子力学 (Quantum Mechanics)

在量子力学中，对称性扮演着核心角色。物理系统的状态由希尔伯特空间 (Hilbert Space) 中的向量描述，可观测量由作用于希尔伯特空间上的线性算符 (Linear Operators) 表示。

① 对称变换在量子力学中的实现：
▮▮▮▮ⓑ 物理系统的对称变换对应于希尔伯特空间上的幺正算符 (Unitary Operators) 或反幺正算符 (Anti-unitary Operators)。这些算符构成一个群，同构于物理系统的对称群。
▮▮▮▮ⓒ 利用群表示论，我们可以分析量子系统的能级简并 (Energy Level Degeneracy)，并根据对称性对系统的量子态进行分类。

② 李群与李代数 (Lie Groups and Lie Algebras)：
▮▮▮▮ⓑ 许多重要的物理对称群是连续群，例如空间旋转群 SO(3)、洛伦兹群 (Lorentz Group) SO(3,1) 和庞加莱群 (Poincaré Group)。这些群是李群，它们既是群又是光滑流形 (Smooth Manifolds)。
▮▮▮▮ⓒ 李群的性质可以通过其对应的李代数来研究。李代数是一个向量空间，上面定义了一个称为李括号 (Lie Bracket) 的双线性运算，满足反对称性和 Jacobi 恒等式。李代数捕捉了李群在单位元附近的局部结构。
▮▮▮▮ⓓ 在量子力学中，李代数的元素对应于物理量的算符（如角动量算符对应于旋转群 SO(3) 的李代数元素）。李括号对应于算符的对易子 (Commutator)，它反映了物理量是否可以同时精确测量（海森堡不确定原理）。

10.3.3 粒子物理学 (Particle Physics)

粒子物理学研究构成物质和力的基本粒子及其相互作用。群论在粒子分类和相互作用的描述中起着至关重要的作用。

① 内部对称性 (Internal Symmetries)：
▮▮▮▮ⓑ 除了时空对称性，基本粒子还具有内部对称性，例如同位旋对称性 (Isospin Symmetry) 和夸克 (Quark) 的味对称性 (Flavor Symmetry)。这些对称性与粒子本身的性质（如电荷、同位旋、奇异数等）有关。
▮▮▮▮ⓒ SU(2) 群用于描述同位旋对称性，SU(3) 群用于描述夸克的味对称性（八重法，Eightfold Way）。这些群的表示对应于粒子的多重态 (Multiplets)。

② 规范场论 (Gauge Theory)：
▮▮▮▮ⓑ 描述基本粒子相互作用的标准模型 (Standard Model) 是一个规范场论。规范场论基于局域对称性 (Local Symmetry)，即对称变换可以随时间和空间变化。
▮▮▮▮ⓒ 标准模型的规范群是 \( SU(3) \times SU(2) \times U(1) \)。这些群的结构和表示决定了基本粒子之间的相互作用（强力、弱力、电磁力）以及规范玻色子 (Gauge Bosons)（光子、W 和 Z 玻色子、胶子）的存在。

10.3.4 凝聚态物理学 (Condensed Matter Physics)

在凝聚态物理学中，群论用于研究晶体、分子等具有周期性或离散对称性的系统的性质。

① 空间群 (Space Groups)：
▮▮▮▮ⓑ 晶体的结构由其空间群描述，空间群是点群 (Point Group) 和平移群 (Translation Group) 的组合。空间群决定了晶体的宏观性质（如光学性质、电学性质）。
▮▮▮▮ⓒ 利用群表示论，可以分析晶体中电子的能带结构 (Band Structure) 和晶格振动 (Lattice Vibrations)（声子，Phonons）的性质。

总而言之，抽象代数，特别是群论及其表示论，为物理学提供了描述对称性的通用语言和强大的分析工具。对称性是理解物理世界基本规律的关键，而群论正是打开这扇大门的钥匙。

10.4 与其他数学分支的联系 (Connections to Other Branches of Mathematics)

抽象代数并非孤立存在，它与数学的许多其他分支有着深刻而广泛的联系。这些联系不仅丰富了抽象代数本身，也为其他领域提供了新的视角和工具。

10.4.1 数论 (Number Theory)

数论是研究整数性质的学科。抽象代数与数论的联系源远流长，许多抽象代数的概念都起源于数论问题。

① 代数数论 (Algebraic Number Theory)：
▮▮▮▮ⓑ 代数数论是数论的一个重要分支，它利用代数工具（如环、域、理想）来研究代数整数 (Algebraic Integers) 的性质。
▮▮▮▮ⓒ 例如，费马大定理 (Fermat's Last Theorem) 的证明历史就与理想理论的发展紧密相关。Kummer 在研究费马大定理时引入了理想数 (Ideal Numbers) 的概念，这为 Dedekind 发展理想理论奠定了基础。
▮▮▮▮ⓓ 域扩张、Galois 理论在研究代数数域 (Algebraic Number Fields) 的结构、素理想的分解等方面发挥着核心作用。

② 解析数论 (Analytic Number Theory)：
▮▮▮▮ⓑ 虽然解析数论主要使用分析工具，但抽象代数的概念（如 Dirichlet 特征，Dirichlet Characters，它们是有限 Abel 群的表示）也在其中有所应用。

③ 算术几何 (Arithmetic Geometry)：
▮▮▮▮ⓑ 算术几何是代数几何和数论的交叉领域，它使用代数几何的方法研究数论问题（如 Diophantine 方程的整数解或有理解）。
▮▮▮▮ⓒ 环论、域论、模论 (Module Theory) 是算术几何的基础工具。

10.4.2 拓扑学 (Topology)

拓扑学研究空间在连续变形下的不变性质。代数拓扑 (Algebraic Topology) 是拓扑学的一个重要分支，它将拓扑问题转化为代数问题来研究。

① 同调群与上同调群 (Homology Groups and Cohomology Groups)：
▮▮▮▮ⓑ 同调群和上同调群是代数拓扑中重要的不变量，它们是 Abel 群。通过计算空间的同调群或上同调群，我们可以了解空间的“洞”的数量和结构。
▮▮▮▮ⓒ 这些群的构造涉及链复形 (Chain Complexes) 和同态 (Homomorphisms)，是抽象代数概念的直接应用。

② 同伦群 (Homotopy Groups)：
▮▮▮▮ⓑ 同伦群是描述空间“连通性”的另一组不变量，其中基本群 (Fundamental Group) \( \pi_1(X) \) 是最重要的同伦群，它是一个群。
▮▮▮▮ⓒ 基本群的计算和性质研究依赖于群论的知识。

③ 纤维丛 (Fiber Bundles)：
▮▮▮▮ⓑ 纤维丛是拓扑学和微分几何中的重要概念，它在规范场论中也有应用。纤维丛的结构与群作用和主丛 (Principal Bundles) 密切相关。

10.4.3 几何学 (Geometry)

抽象代数与几何学的联系体现在多个方面。

① 变换群 (Transformation Groups)：
▮▮▮▮ⓑ Klein 的 Erlangen纲领提出，几何学是研究在特定变换群作用下不变的性质。例如，欧几里得几何研究在欧几里得变换群（平移、旋转、反射）下的不变量。
▮▮▮▮ⓒ 李群在微分几何中扮演着重要角色，它们是连续对称群，与齐性空间 (Homogeneous Spaces) 和主丛相关。

② 代数几何 (Algebraic Geometry)：
▮▮▮▮ⓑ 代数几何研究由多项式方程定义的几何对象（代数簇，Algebraic Varieties）。
▮▮▮▮ⓒ 交换代数 (Commutative Algebra)（环论的一个分支）是代数几何的基石。代数簇的性质与定义它们的环（坐标环，Coordinate Ring）或域（函数域，Function Field）的性质紧密相关。例如，理想与代数簇的子集对应，素理想与不可约子簇对应，极大理想与点对应（Hilbert 零点定理，Hilbert's Nullstellensatz）。

10.4.4 分析学 (Analysis)

抽象代数与分析学（特别是泛函分析，Functional Analysis）也有联系。

① 向量空间与模 (Vector Spaces and Modules)：
▮▮▮▮ⓑ 泛函分析研究函数空间，这些空间通常是赋范向量空间 (Normed Vector Spaces) 或希尔伯特空间 (Hilbert Spaces)。这些都是域上的向量空间，是模的特例。
▮▮▮▮ⓒ 算符代数 (Operator Algebras)（如 C*-代数，Von Neumann 代数）是泛函分析的重要研究对象，它们是具有额外结构的环或代数。

② 表示论 (Representation Theory)：
▮▮▮▮ⓑ 群表示论不仅在物理学中有用，在分析学中也有应用，例如调和分析 (Harmonic Analysis) 研究函数在群作用下的分解。对局部紧群 (Locally Compact Groups) 的表示理论是调和分析的核心部分。

10.4.5 组合数学 (Combinatorics)

组合数学研究离散对象的计数和结构。群论在组合数学中用于处理具有对称性的对象的计数问题。

① Burnside 引理与 Polya 枚举定理 (Burnside's Lemma and Polya Enumeration Theorem)：
▮▮▮▮ⓑ 这些定理利用群作用来计算在某种等价关系（由群作用定义）下的不同对象的数量。例如，计算有多少种不同的方式给一个正方体的面涂颜色，如果旋转和翻转被认为是等价的。

通过这些联系，我们可以看到抽象代数并非孤立的学科，它是整个数学大厦的重要组成部分，与其他分支相互滋养，共同推动着数学的发展。

至此，我们对抽象代数的主要内容及其在各个领域的应用和与其他数学分支的联系进行了全面的探讨。希望这趟抽象代数之旅能够为大家打开一扇新的大门，激发大家对数学更深层次的兴趣和探索欲望。抽象代数的世界广阔而精彩，等待着我们去发现更多的奥秘！