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010 《微分几何：理论、方法与应用 (Differential Geometry: Theory, Methods, and Applications)》

作者Lou Xiao, gemini创建时间2025-04-19 15:11:17更新时间2025-04-19 15:11:17

🌟🌟🌟本文案由Gemini 2.0 Flash Thinking Experimental 01-21创作，用来辅助学习知识。🌟🌟🌟

书籍大纲

▮▮▮▮ 1. chapter 1：引言与预备知识 (Introduction and Prerequisites)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.1 什么是微分几何？ (What is Differential Geometry?)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.2 学习微分几何的意义与应用 (Significance and Applications of Learning Differential Geometry)
▮▮▮▮▮▮▮ 1.3 预备知识回顾 (Review of Prerequisites)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.3.1 多变量微积分 (Multivariable Calculus)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.3.2 线性代数 (Linear Algebra)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 1.3.3 点集拓扑基础 (Basic Point-Set Topology)
▮▮▮▮ 2. chapter 2：欧氏空间中的曲线 (Curves in Euclidean Space)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.1 曲线的参数化 (Parameterization of Curves)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.2 弧长 (Arc Length)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.3 曲线的曲率与挠率 (Curvature and Torsion of Curves)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.4 Frenet标架 (Frenet Frame)
▮▮▮▮▮▮▮ 2.5 曲线的整体性质 (Global Properties of Curves)
▮▮▮▮ 3. chapter 3：欧氏空间中的曲面 (Surfaces in Euclidean Space)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.1 曲面的参数化与切平面 (Parameterization and Tangent Plane of Surfaces)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.2 第一基本形式 (First Fundamental Form)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.3 第二基本形式 (Second Fundamental Form)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.4 曲面的曲率 (Curvature of Surfaces)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.4.1 法曲率与主曲率 (Normal Curvature and Principal Curvatures)
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮ 3.4.2 高斯曲率与平均曲率 (Gaussian Curvature and Mean Curvature)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.5 Theorema Egregium (绝妙定理)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.6 测地线 (Geodesics)
▮▮▮▮▮▮▮ 3.7 Gauss-Bonnet定理 (Gauss-Bonnet Theorem)
▮▮▮▮ 4. chapter 4：流形 (Manifolds)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.1 拓扑流形与图册 (Topological Manifolds and Atlases)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.2 光滑结构与光滑映射 (Smooth Structures and Smooth Maps)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.3 流形的例子 (Examples of Manifolds)
▮▮▮▮▮▮▮ 4.4 子流形 (Submanifolds)
▮▮▮▮ 5. chapter 5：切空间与向量场 (Tangent Spaces and Vector Fields)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.1 切空间 (Tangent Spaces)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.2 向量场 (Vector Fields)
▮▮▮▮▮▮▮ 5.3 向量场的流与Lie括号 (Flows and Lie Bracket of Vector Fields)
▮▮▮▮ 6. chapter 6：微分形式与外微分 (Differential Forms and Exterior Calculus)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.1 余切空间与张量 (Cotangent Space and Tensors)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.2 外代数 (Exterior Algebra)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.3 微分形式 (Differential Forms)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.4 外微分 (Exterior Derivative)
▮▮▮▮▮▮▮ 6.5 拉回 (Pullback)
▮▮▮▮ 7. chapter 7：流形上的积分 (Integration on Manifolds)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.1 流形的定向 (Orientation of Manifolds)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.2 体积形式 (Volume Forms)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.3 流形上的积分定义 (Definition of Integration on Manifolds)
▮▮▮▮▮▮▮ 7.4 Stokes定理 (Stokes' Theorem)
▮▮▮▮ 8. chapter 8：黎曼度量与联络 (Riemannian Metrics and Connections)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.1 黎曼度量 (Riemannian Metrics)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.2 黎曼流形上的长度与体积 (Length and Volume on Riemannian Manifolds)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.3 仿射联络与协变导数 (Affine Connections and Covariant Derivative)
▮▮▮▮▮▮▮ 8.4 平行移动 (Parallel Transport)
▮▮▮▮ 9. chapter 9：曲率 (Curvature)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.1 黎曼曲率张量 (Riemann Curvature Tensor)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.2 Ricci曲率与数量曲率 (Ricci Curvature and Scalar Curvature)
▮▮▮▮▮▮▮ 9.3 截面曲率 (Sectional Curvature)
▮▮▮▮ 10. chapter 10：测地线与完备性 (Geodesics and Completeness)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.1 测地线的方程与性质 (Equations and Properties of Geodesics)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.2 指数映射 (Exponential Map)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.3 完备黎曼流形 (Complete Riemannian Manifolds)
▮▮▮▮▮▮▮ 10.4 Hopf-Rinow定理 (Hopf-Rinow Theorem)
▮▮▮▮ 11. chapter 11：进阶主题 (Advanced Topics)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.1 Lie群与齐性空间初步 (Introduction to Lie Groups and Homogeneous Spaces)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.2 纤维丛初步 (Introduction to Fiber Bundles)
▮▮▮▮▮▮▮ 11.3 曲率比较定理初步 (Introduction to Curvature Comparison Theorems)
▮▮▮▮ 12. chapter 12：应用简介 (Introduction to Applications)
▮▮▮▮▮▮▮ 12.1 微分几何在物理学中的应用 (Applications of Differential Geometry in Physics)
▮▮▮▮▮▮▮ 12.2 微分几何在其他领域中的应用 (Applications of Differential Geometry in Other Fields)
▮▮▮▮ 13. chapter 13：参考文献与进一步阅读 (References and Further Reading)
▮▮▮▮▮▮▮ 13.1 主要参考书籍 (Main Reference Books)
▮▮▮▮▮▮▮ 13.2 经典论文与期刊 (Classic Papers and Journals)
▮▮▮▮▮▮▮ 13.3 推荐的进一步阅读材料 (Recommended Further Reading Materials)

1. chapter 1：引言与预备知识 (Introduction and Prerequisites)

欢迎来到微分几何的奇妙世界！🌍 作为一名致力于传授知识的讲师，我非常高兴能引导大家踏上这段探索之旅。微分几何是一门将微积分的强大分析工具应用于几何学研究的学科。它不仅仅是数学的一个分支，更是连接纯数学与应用科学，特别是物理学、工程学和计算机科学的桥梁。

在本章中，我们将首先探讨微分几何的核心思想，理解它与我们熟悉的欧氏几何有何不同，以及它为何如此重要。随后，我们将简要回顾学习微分几何所必需的一些预备知识，包括多变量微积分、线性代数和点集拓扑的基础概念。这部分内容旨在帮助大家巩固基础，确保我们能够顺利地进入后续章节的学习。

1.1 什么是微分几何？ (What is Differential Geometry?)

微分几何，顾名思义，是利用微积分（微分和积分）的方法来研究几何对象（如曲线、曲面、流形等）的性质的数学分支。与传统的欧氏几何（Euclidean Geometry）主要研究直线、平面、三角形、圆等具有恒定曲率的对象不同，微分几何关注的是那些可能弯曲、扭曲或具有更复杂结构的几何对象。

想象一下，我们不再局限于平坦的桌面（欧氏平面），而是开始研究一个球体的表面、一个甜甜圈的表面，甚至是更高维度的、无法在三维空间中直观想象的对象。这些对象的局部性质可以用微积分来描述（例如，在某一点的切线、切平面），而它们的整体性质则往往需要积分来刻画。微分几何正是研究这些局部与整体性质之间关系的学科。

核心思想：
⚝ 局部研究 (Local Study): 在几何对象的每一点附近，我们可以用欧氏空间的一个小区域来近似它。这使得我们可以利用微积分的工具（如导数）来分析该点附近的性质，例如切向量、法向量、曲率等。
⚝ 整体性质 (Global Properties): 通过将局部信息“整合”起来（通常通过积分），我们可以理解几何对象的整体特征，例如总曲率、体积、拓扑结构等。
⚝ 不变性 (Invariance): 微分几何特别关注在某种变换（如坐标变换）下保持不变的几何性质。曲率就是一个典型的例子，它不依赖于我们如何参数化曲线或曲面。

简单来说，微分几何就是用“放大镜”（微积分）来观察几何对象的局部细节，然后用“全景图”（积分和整体理论）来理解它们的整体形态和结构。

1.2 学习微分几何的意义与应用 (Significance and Applications of Learning Differential Geometry)

学习微分几何不仅仅是为了数学本身的美妙，它在许多科学和工程领域都有着深刻而广泛的应用。理解微分几何的概念和方法，能够帮助我们更好地理解和解决现实世界中的复杂问题。

学习意义：
① 深化对几何的理解: 突破欧氏几何的局限，认识到“弯曲”空间的存在及其性质。
② 掌握强大的分析工具: 学习如何将微积分和线性代数等工具应用于几何问题。
③ 培养抽象思维能力: 接触流形等抽象概念，提升对高维空间的想象和理解能力。
④ 为后续学习打下基础: 它是黎曼几何、辛几何、代数几何等更高级几何学分支的基础。

应用领域：
⚝ 物理学 (Physics):
▮▮▮▮⚝ 广义相对论 (General Relativity): 爱因斯坦的广义相对论将引力描述为时空（一个四维黎曼流形）的弯曲。微分几何是理解和研究广义相对论的必备工具。
▮▮▮▮⚝ 经典力学与量子场论 (Classical Mechanics and Quantum Field Theory): 相空间（Phase Space）常常是辛流形，规范场论（Gauge Theory）则与主丛（Principal Bundles）和联络（Connections）密切相关，这些都是微分几何的研究对象。
⚝ 工程学 (Engineering):
▮▮▮▮⚝ 机器人学 (Robotics): 机器人的运动规划和控制常常需要在构型空间（Configuration Space）中进行，构型空间往往是流形。
▮▮▮▮⚝ 计算机辅助设计/制造 (CAD/CAM): 描述和处理复杂的自由曲面（Free-form Surfaces）需要微分几何的理论和算法。
⚝ 计算机科学 (Computer Science):
▮▮▮▮⚝ 计算机图形学 (Computer Graphics): 曲面建模、渲染、纹理映射等都广泛使用微分几何技术。
▮▮▮▮⚝ 机器学习与数据科学 (Machine Learning and Data Science): 数据有时分布在高维非线性空间中，可以被视为流形。流形学习（Manifold Learning）算法利用微分几何的思想来降维或分析数据结构。
▮▮▮▮⚝ 图像处理 (Image Processing): 图像的特征提取和分析有时会用到曲率等概念。
⚝ 地理信息系统 (GIS): 地球表面可以近似看作一个球面，研究其上的距离、面积等需要球面几何，这是微分几何的一个简单例子。更复杂的地理模型可能需要更一般的曲面理论。
⚝ 经济学 (Economics): 在某些经济模型中，状态空间或参数空间可能具有流形结构。

总而言之，微分几何是一门既有深刻理论美感，又有广泛实际应用的学科。掌握它，将为你在许多前沿领域的研究和工作打开新的视野。

1.3 预备知识回顾 (Review of Prerequisites)

微分几何是一门建立在其他数学分支之上的学科。为了顺利学习本书后续内容，你需要对以下几个领域的基础概念有扎实的理解。本节将简要回顾这些关键点，如果你在某些方面感到生疏，建议暂停阅读本书，先回顾相关基础知识。

1.3.1 多变量微积分 (Multivariable Calculus)

多变量微积分是微分几何的基石。我们将在高维空间 \(\mathbb{R}^n\) 中研究曲线、曲面和更一般的对象，这离不开对多变量函数、导数和积分的掌握。

需要回顾的关键概念：
① \(\mathbb{R}^n\) 中的向量与几何: 点、向量、内积（点积）、范数（长度）、距离、正交性。
② 多变量函数 (Functions of Multiple Variables): 定义域、值域、图像。
③ 偏导数 (Partial Derivatives) 与全微分 (Total Differential): 理解偏导数的几何意义（沿着坐标轴方向的变化率），全微分作为函数在某点附近线性近似的最佳方式。
④ 梯度 (Gradient): 梯度的方向是函数增长最快的方向，大小是最大增长率。在几何上，梯度向量垂直于等值面（Level Set）。
⑤ 链式法则 (Chain Rule): 如何计算复合函数的多变量导数，这在处理参数化曲线和曲面时至关重要。
⑥ 隐函数定理 (Implicit Function Theorem) 与反函数定理 (Inverse Function Theorem): 这两个定理保证了在一定条件下，由方程定义的集合局部上是函数的图像，或者一个映射局部上是可逆且其逆映射也是光滑的。它们是定义流形和坐标系变换的关键工具。
⑦ 多重积分 (Multiple Integrals): 二重积分、三重积分以及更高维的积分。积分在计算弧长、面积、体积以及后续的流形上积分中扮演重要角色。
⑧ 向量场 (Vector Fields): 空间中每一点关联一个向量的函数。
⑨ 线积分 (Line Integrals) 与曲面积分 (Surface Integrals): 在曲线或曲面上对函数或向量场进行积分。
⑩ 经典积分定理 (Classical Integral Theorems):
▮▮▮▮ⓚ 格林公式 (Green's Theorem): 将平面区域上的线积分与其内部的二重积分联系起来。
▮▮▮▮ⓛ 斯托克斯公式 (Stokes' Theorem): 将三维空间中曲面边界上的线积分与曲面上的旋度（Curl）的曲面积分联系起来。这是后续学习流形上一般Stokes定理的灵感来源。
▮▮▮▮ⓜ 散度定理 (Divergence Theorem) / 高斯公式 (Gauss's Theorem): 将三维空间中封闭曲面上的通量（Flux）与曲面内部散度（Divergence）的体积分联系起来。

这些概念将贯穿微分几何的始终，特别是导数和链式法则用于局部分析，积分用于整体性质的计算。

1.3.2 线性代数 (Linear Algebra)

线性代数提供了处理向量空间和线性映射的语言和工具，这对于理解切空间、向量场、张量等概念至关重要。

需要回顾的关键概念：
① 向量空间 (Vector Spaces): 向量的加法和标量乘法运算及其性质。
② 子空间 (Subspaces): 向量空间中封闭于加法和标量乘法的子集。
③ 线性组合 (Linear Combinations), 线性无关 (Linear Independence), 生成空间 (Span), 基 (Basis), 维度 (Dimension): 描述向量空间结构的基本概念。
④ 线性变换 (Linear Transformations): 向量空间之间的保持线性结构的映射。
⑤ 矩阵 (Matrices): 表示线性变换的工具。矩阵的加法、乘法。
⑥ 行列式 (Determinant): 描述线性变换如何改变体积或面积的因子，判断矩阵是否可逆。
⑦ 逆矩阵 (Inverse Matrix): 对应于可逆线性变换的矩阵。
⑧ 特征值 (Eigenvalues) 与特征向量 (Eigenvectors): 描述线性变换的特殊方向和缩放因子。在曲率分析中非常有用（如主曲率）。
⑨ 内积空间 (Inner Product Spaces): 定义了向量之间的内积（如点积），从而引入长度、角度和正交性的概念。这在黎曼几何中是核心。
⑩ 正交基 (Orthogonal Basis) 与标准正交基 (Orthonormal Basis): 特别方便进行计算的基。
⑪ 坐标变换 (Change of Basis): 如何在不同基下表示向量和线性变换。这与流形上的坐标图变换密切相关。

切空间是向量空间，向量场是向量空间的截取，张量是向量空间上的多重线性映射。线性代数提供了理解这些概念所需的精确语言。

1.3.3 点集拓扑基础 (Basic Point-Set Topology)

点集拓扑提供了描述“接近”、“连续”和“形状”等概念的抽象框架，是定义流形的基础。流形在局部看起来像欧氏空间，但整体结构可能非常复杂，这正是拓扑学所描述的。

需要回顾的关键概念：
① 拓扑空间 (Topological Spaces): 由一个集合和其上的开集族组成，满足特定公理。这是对“接近”概念的抽象。
② 开集 (Open Sets) 与闭集 (Closed Sets): 拓扑空间的基本构建块。
③ 邻域 (Neighborhoods): 包含某一点的开集。
④ 连续映射 (Continuous Maps): 在拓扑空间之间保持“接近”关系的映射（原像将开集映为开集）。
⑤ 紧致性 (Compactness): 一个集合的任意开覆盖都有有限子覆盖。紧致性在证明存在性定理时非常有用。
⑥ 连通性 (Connectedness): 一个集合不能被分成两个非空、不相交的开集。
⑦ 豪斯多夫空间 (Hausdorff Spaces): 任意两点都有不相交的邻域。流形通常要求是豪斯多夫的。
⑧ 同胚 (Homeomorphism): 两个拓扑空间之间存在的双射，且该映射及其逆映射都是连续的。同胚是拓扑学中判断两个空间是否“拓扑等价”的标准。流形局部同胚于欧氏空间。

理解这些拓扑概念，特别是开集、连续性和同胚，对于理解流形的定义至关重要。流形正是局部上同胚于欧氏空间的拓扑空间，并附加了光滑结构。

通过对这些预备知识的扎实回顾，你将为后续章节中更深入、更抽象的微分几何概念的学习做好充分准备。让我们一起开始这段激动人心的数学旅程吧！🚀

2. chapter 2：欧氏空间中的曲线 (Curves in Euclidean Space)

欢迎来到微分几何的学习之旅！在第一章中，我们对微分几何有了一个初步的认识，并回顾了一些必要的预备知识。现在，我们将从最简单、最直观的对象开始：欧氏空间中的曲线。曲线是理解更复杂的几何对象（如曲面和流形）的基础。通过对曲线的深入研究，我们将学习如何用微积分的工具来描述和分析几何形状的局部和整体性质。

2.1 曲线的参数化 (Parameterization of Curves)

在数学中，一条曲线通常被看作是某个区间到欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\) 的一个映射。最常见的是在 \(\mathbb{R}^2\) 或 \(\mathbb{R}^3\) 中讨论曲线。

① 定义 (Definition):
一条在 \(\mathbb{R}^n\) 中的参数化曲线 (parameterized curve) 是一个映射 \(\gamma: I \to \mathbb{R}^n\)，其中 \(I\) 是实数轴 \(\mathbb{R}\) 上的一个开区间、闭区间或半开半闭区间。对于 \(t \in I\)，\(\gamma(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t))\)，其中 \(x_i(t)\) 是 \(t\) 的实值函数。

② 光滑曲线 (Smooth Curve):
如果函数 \(x_i(t)\) 在区间 \(I\) 上是无限可微的 (infinitely differentiable)（即 \(C^\infty\) 类），则称参数化曲线 \(\gamma\) 是光滑的 (smooth)。在微分几何中，我们主要研究光滑曲线。

③ 曲线的轨迹 (Trace of a Curve):
参数化曲线 \(\gamma\) 的轨迹 (trace) 或像 (image) 是集合 \(\{\gamma(t) \mid t \in I\} \subset \mathbb{R}^n\)。需要注意的是，不同的参数化可以描述同一条几何曲线轨迹。例如，\(\gamma_1(t) = (\cos t, \sin t)\) 对于 \(t \in [0, 2\pi)\) 和 \(\gamma_2(s) = (\cos(2s), \sin(2s))\) 对于 \(s \in [0, \pi)\) 都描述了单位圆的轨迹，但它们的参数化方式不同。

④ 正则曲线 (Regular Curve):
在微分几何中，我们通常要求曲线是“好的”，没有尖点或自交点（至少在局部）。这通过正则性来定义。
一条光滑参数化曲线 \(\gamma: I \to \mathbb{R}^n\) 称为正则的 (regular)，如果在区间 \(I\) 的每一点 \(t\) 上，其导数向量 \(\gamma'(t)\) 不为零向量。
\[ \gamma'(t) = \left(\frac{dx_1}{dt}(t), \frac{dx_2}{dt}(t), \dots, \frac{dx_n}{dt}(t)\right) \neq \mathbf{0} \]
导数向量 \(\gamma'(t)\) 称为曲线在点 \(\gamma(t)\) 处的切向量 (tangent vector)。正则性保证了曲线在每一点都有一个非零的切向量，从而定义了切线的方向。

⑤ 例子 (Examples):
⚝ 直线段 (Line Segment): \(\gamma(t) = \mathbf{p} + t\mathbf{v}\)，\(t \in [a, b]\)，其中 \(\mathbf{p}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\)，\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)。\(\gamma'(t) = \mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)，所以直线段是正则曲线。
⚝ 圆 (Circle) 在 \(\mathbb{R}^2\) 中: \(\gamma(t) = (r \cos t, r \sin t)\)，\(t \in [0, 2\pi)\)，\(r > 0\)。\(\gamma'(t) = (-r \sin t, r \cos t)\)。\(|\gamma'(t)| = \sqrt{(-r \sin t)^2 + (r \cos t)^2} = \sqrt{r^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} = r\)。由于 \(r > 0\)，\(\gamma'(t)\) 永不为零，所以圆是正则曲线。
⚝ 螺旋线 (Helix) 在 \(\mathbb{R}^3\) 中: \(\gamma(t) = (r \cos t, r \sin t, ht)\)，\(t \in \mathbb{R}\)，\(r > 0, h \neq 0\)。\(\gamma'(t) = (-r \sin t, r \cos t, h)\)。\(|\gamma'(t)| = \sqrt{(-r \sin t)^2 + (r \cos t)^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + h^2}\)。由于 \(r > 0\) 或 \(h \neq 0\)，\(\gamma'(t)\) 永不为零，所以螺旋线是正则曲线。
⚝ 尖点 (Cusp) 的例子: \(\gamma(t) = (t^2, t^3)\)，\(t \in \mathbb{R}\)。\(\gamma'(t) = (2t, 3t^2)\)。在 \(t=0\) 时，\(\gamma'(0) = (0, 0)\) 是零向量。因此，这条曲线在 \(t=0\) 处不正规。其轨迹在原点有一个尖点。

理解参数化是研究曲线的第一步。不同的参数化方式会影响计算，但曲线的几何性质（如长度、曲率）应该是独立于参数化的。这引出了下一个重要的概念：弧长。

2.2 弧长 (Arc Length)

曲线的长度是一个重要的几何量，它不应该依赖于我们如何参数化曲线。弧长参数化 (arc length parameterization) 是一种特殊的参数化方式，它使得计算和理论分析变得更加简洁。

① 弧长的定义 (Definition of Arc Length):
对于一条光滑参数化曲线 \(\gamma: [a, b] \to \mathbb{R}^n\)，其弧长 \(L\) 定义为：
\[ L = \int_a^b |\gamma'(t)| dt \]
其中 \(|\gamma'(t)| = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\frac{dx_i}{dt}(t)\right)^2}\) 是切向量的欧氏范数 (Euclidean norm)，也称为曲线在参数 \(t\) 处的速率 (speed)。

③ 弧长参数化 (Arc Length Parameterization):
如果一条曲线 \(\gamma\) 的参数 \(s\) 就是从某个固定点开始测量的弧长，即 \(|\gamma'(s)| = 1\) 对于所有的 \(s\)，则称该曲线是按弧长参数化的 (parameterized by arc length)。
对于一条正则曲线 \(\gamma(t)\)，我们可以通过弧长函数 \(s(t)\) 进行重新参数化。设 \(t(s)\) 是 \(s(t)\) 的反函数，则 \(\tilde{\gamma}(s) = \gamma(t(s))\) 就是按弧长参数化的曲线。
此时，其切向量的范数是：
\[ |\tilde{\gamma}'(s)| = \left|\frac{d\gamma}{dt}(t(s)) \frac{dt}{ds}(s)\right| = |\gamma'(t(s))| \left|\frac{dt}{ds}(s)\right| \]
由于 \(s'(t) = |\gamma'(t)|\)，所以 \(\frac{ds}{dt} = |\gamma'(t)|\)。其反函数的导数 \(\frac{dt}{ds} = \frac{1}{ds/dt} = \frac{1}{|\gamma'(t)|}\)。
因此，\(|\tilde{\gamma}'(s)| = |\gamma'(t(s))| \frac{1}{|\gamma'(t(s))|} = 1\)。
这证明了通过弧长函数进行重新参数化得到的曲线是按弧长参数化的。

④ 弧长参数化的优点 (Advantages of Arc Length Parameterization):
⚝ 物理意义直观：参数 \(s\) 直接表示沿着曲线行进的距离。
⚝ 计算简化：由于 \(|\gamma'(s)| = 1\)，许多公式（特别是涉及曲率和挠率的公式）在弧长参数下形式更简单。例如，切向量 \(\mathbf{T}(s) = \gamma'(s)\) 是单位向量。

⑤ 注意 (Note):
虽然弧长参数化在理论上非常有用，但在实际计算中，显式地找到 \(t(s)\) 往往很困难，因为这涉及到计算积分和求解反函数。因此，我们经常在一般参数下推导公式，然后利用弧长参数化来简化概念理解和理论证明。

2.3 曲线的曲率与挠率 (Curvature and Torsion of Curves)

曲率 (curvature) 和挠率 (torsion) 是描述空间曲线局部形状的两个基本不变量。曲率衡量曲线偏离直线的程度，而挠率衡量空间曲线偏离平面的程度。

① 单位切向量 (Unit Tangent Vector):
对于正则曲线 \(\gamma(t)\)，其切向量是 \(\gamma'(t)\)。单位切向量 (unit tangent vector) 定义为：
\[ \mathbf{T}(t) = \frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|} \]
如果曲线是按弧长参数 \(s\) 参数化的，则 \(\mathbf{T}(s) = \gamma'(s)\)，且 \(|\mathbf{T}(s)| = 1\)。

② 曲率 (Curvature):
曲率 \(\kappa\) 衡量单位切向量 \(\mathbf{T}\) 随参数变化的速率。更准确地说，它衡量 \(\mathbf{T}\) 向量方向变化的快慢。
如果曲线是按弧长参数 \(s\) 参数化的，曲率定义为：
\[ \kappa(s) = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}(s)\right| = |\gamma''(s)| \]
由于 \(|\mathbf{T}(s)| = 1\)，\(\mathbf{T}(s) \cdot \mathbf{T}(s) = 1\)。对其求导，得到 \(2 \mathbf{T}(s) \cdot \mathbf{T}'(s) = 0\)，这意味着 \(\mathbf{T}'(s)\) 垂直于 \(\mathbf{T}(s)\)。
如果 \(\kappa(s) \neq 0\)，则单位主法向量 (unit principal normal vector) 定义为：
\[ \mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{|\mathbf{T}'(s)|} = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)} \]
\(\mathbf{N}(s)\) 指向曲线弯曲的方向。

如果曲线不是按弧长参数化的，即参数为 \(t\)，则曲率的计算公式为：
\[ \kappa(t) = \frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3} \quad (\text{在 } \mathbb{R}^3 \text{ 中}) \]
\[ \kappa(t) = \frac{|x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2 + y'(t)^2)^{3/2}} \quad (\text{在 } \mathbb{R}^2 \text{ 中}) \]
其中 \(\times\) 表示向量叉乘 (cross product)。

③ 挠率 (Torsion):
挠率 \(\tau\) 衡量空间曲线偏离其密切平面 (osculating plane) 的程度。密切平面是由切向量 \(\mathbf{T}\) 和主法向量 \(\mathbf{N}\) 张成的平面。
如果曲线是按弧长参数 \(s\) 参数化的，并且 \(\kappa(s) \neq 0\)，则单位副法向量 (unit binormal vector) 定义为：
\[ \mathbf{B}(s) = \mathbf{T}(s) \times \mathbf{N}(s) \]
\(\mathbf{B}(s)\) 垂直于密切平面。挠率 \(\tau(s)\) 定义为：
\[ \tau(s) = -\mathbf{N}(s) \cdot \mathbf{B}'(s) \]
挠率的符号表示曲线是向 \(\mathbf{B}\) 的正方向还是负方向扭曲。

如果曲线不是按弧长参数化的，即参数为 \(t\)，则挠率的计算公式为：
\[ \tau(t) = \frac{(\gamma'(t) \times \gamma''(t)) \cdot \gamma'''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|^2} \quad (\text{在 } \mathbb{R}^3 \text{ 中，要求 } \gamma'(t) \times \gamma''(t) \neq \mathbf{0}) \]
注意挠率只对空间曲线 (\(\mathbb{R}^3\)) 有意义。平面曲线的挠率恒为零。

④ 几何意义 (Geometric Interpretation):
⚝ 曲率 \(\kappa\): \(\kappa=0\) 当且仅当曲线是直线（或直线的一部分）。\(\kappa\) 越大，曲线弯曲得越厉害。对于圆，曲率是常数，等于半径的倒数 \(1/r\)。
⚝ 挠率 \(\tau\): \(\tau=0\) 当且仅当曲线是平面曲线（或平面曲线的一部分）。\(|\tau|\) 越大，曲线偏离其密切平面扭曲得越厉害。

2.4 Frenet标架 (Frenet Frame)

Frenet标架 (Frenet frame)，也称为 TNB 标架，是附加在空间曲线每一点上的一个正交规范基 (orthonormal basis)，由单位切向量 \(\mathbf{T}\)、单位主法向量 \(\mathbf{N}\) 和单位副法向量 \(\mathbf{B}\) 组成。这个标架随着曲线的移动而变化，提供了一种描述曲线局部方向和弯曲的方式。

① 定义 (Definition):
对于一条光滑正则空间曲线 \(\gamma(s)\) 按弧长参数化，且曲率 \(\kappa(s) \neq 0\)，Frenet标架在点 \(\gamma(s)\) 处由以下三个向量构成：
⚝ 单位切向量 (Unit Tangent Vector): \(\mathbf{T}(s) = \gamma'(s)\)
⚝ 单位主法向量 (Unit Principal Normal Vector): \(\mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{|\mathbf{T}'(s)|} = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)}\)
⚝ 单位副法向量 (Unit Binormal Vector): \(\mathbf{B}(s) = \mathbf{T}(s) \times \mathbf{N}(s)\)

这三个向量 \(\{\mathbf{T}(s), \mathbf{N}(s), \mathbf{B}(s)\}\) 构成一个右手正交规范基。

② Frenet-Serret公式 (Frenet-Serret Formulas):
这些公式描述了 Frenet 标架如何沿着曲线变化。对于按弧长参数化的曲线，它们是：
\[ \begin{pmatrix} \mathbf{T}'(s) \\ \mathbf{N}'(s) \\ \mathbf{B}'(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 & \tau(s) \\ 0 & -\tau(s) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{T}(s) \\ \mathbf{N}(s) \\ \mathbf{B}(s) \end{pmatrix} \]
展开形式为：
⚝ \(\mathbf{T}'(s) = \kappa(s) \mathbf{N}(s)\)
⚝ \(\mathbf{N}'(s) = -\kappa(s) \mathbf{T}(s) + \tau(s) \mathbf{B}(s)\)
⚝ \(\mathbf{B}'(s) = -\tau(s) \mathbf{N}(s)\)

这些公式是曲线局部微分几何的核心。它们表明，单位切向量的变化方向总是沿着主法向量（变化率由曲率决定），单位副法向量的变化方向总是沿着主法向量的负方向（变化率由挠率决定），而主法向量的变化则同时受切向量和副法向量的影响。

③ 意义 (Significance):
Frenet标架和 Frenet-Serret 公式提供了一种标准的方法来分析空间曲线的局部行为。曲率 \(\kappa\) 和挠率 \(\tau\) 是完全决定（除了刚体运动）空间曲线局部形状的两个基本不变量。也就是说，如果两条空间曲线具有相同的曲率和挠率函数（作为弧长参数的函数），那么它们是全等的（可以通过平移和旋转相互叠合）。

④ 局限性 (Limitations):
Frenet标架在曲率为零的点 (\(\kappa=0\)) 是未定义的，因为主法向量 \(\mathbf{N}\) 的定义中分母为 \(\kappa\)。在这些点（例如直线段），曲线是平直的，Frenet标架会“崩溃”。对于更一般的曲线或更高维空间中的曲线，需要更一般的框架，如活动标架 (moving frame) 的概念。

2.5 曲线的整体性质 (Global Properties of Curves)

前面讨论的曲率和挠率是曲线的局部性质，它们描述了曲线在某一点附近的形状。曲线的整体性质 (global properties) 则涉及曲线作为一个整体的特征，例如它的长度、是否闭合、是否有自交点、以及它在空间中的整体形态。

① 闭合曲线 (Closed Curve):
如果参数化曲线 \(\gamma: [a, b] \to \mathbb{R}^n\) 满足 \(\gamma(a) = \gamma(b)\)，并且所有导数在 \(a\) 和 \(b\) 处都匹配（即 \(\gamma^{(k)}(a) = \gamma^{(k)}(b)\) 对于所有 \(k \ge 1\)），则称 \(\gamma\) 是一个闭合的光滑曲线。例如，圆是一个闭合曲线。

② 简单曲线 (Simple Curve):
如果参数化曲线 \(\gamma: [a, b] \to \mathbb{R}^n\) 除了可能在端点处 (\(\gamma(a) = \gamma(b)\) 对于闭合曲线) 外没有自交点，即对于任意 \(t_1, t_2 \in (a, b)\) 且 \(t_1 \neq t_2\)，都有 \(\gamma(t_1) \neq \gamma(t_2)\)，则称 \(\gamma\) 是一个简单曲线 (simple curve)。一个不简单的曲线会有自交点。

③ 平面曲线的转角定理 (Turning Tangent Theorem for Plane Curves):
对于一条光滑的、简单的、闭合的平面曲线，其总曲率 (total curvature) 是 \(2\pi\) 的整数倍。更精确地说，如果 \(\theta(s)\) 是单位切向量 \(\mathbf{T}(s)\) 与固定方向（例如 x 轴）的夹角，那么当沿着曲线走完一圈时，\(\theta(s)\) 的总变化量是 \(2\pi k\)，其中 \(k\) 是一个整数，称为曲线的转数 (winding number)。总曲率定义为 \(\int_C \kappa ds\)，对于简单闭合凸曲线，总曲率等于 \(2\pi\)。对于一般的简单闭合平面曲线，总曲率等于 \(2\pi\)。这是一个著名的整体定理。

④ Fenchel定理 (Fenchel's Theorem):
对于 \(\mathbb{R}^3\) 中的任何简单闭合曲线，其总曲率 \(\int_C \kappa ds \ge 2\pi\)。等号成立当且仅当曲线是平面凸曲线。这是一个重要的整体结果，它将曲线的局部性质（曲率）与整体性质（闭合、简单）联系起来。

⑤ 曲线的整体形状 (Overall Shape of Curves):
整体性质的研究通常比局部性质更具挑战性，因为它需要考虑曲线的所有点之间的关系。例如，纽结理论 (knot theory) 就是研究空间中简单闭合曲线（纽结）的整体嵌入性质，两个纽结如果在 \(\mathbb{R}^3\) 中不能通过连续变形互相转化，则认为是不同的。

本章我们深入探讨了欧氏空间中曲线的基本概念，从参数化、弧长到曲率、挠率和 Frenet标架，以及一些初步的整体性质。这些概念是理解更高维几何对象的基础。在下一章中，我们将把这些思想推广到欧氏空间中的曲面。🚀

3. chapter 3：欧氏空间中的曲面 (Surfaces in Euclidean Space)

在学习了欧氏空间中的曲线之后，我们自然会转向更高维度的几何对象——曲面。曲面是二维的几何体，它们“嵌入”在三维欧氏空间 \(\mathbb{R}^3\) 中。对曲面的研究是微分几何的核心内容之一，它不仅是理解更高维流形的基础，也在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。本章将系统地介绍欧氏空间中曲面的基本概念、性质以及重要的定理。

3.1 曲面的参数化与切平面 (Parameterization and Tangent Plane of Surfaces)

理解曲面的第一步是如何用数学语言来描述它们。在欧氏空间 \(\mathbb{R}^3\) 中，曲面通常可以通过参数方程来表示。

① 曲面的参数化 (Parameterization of Surfaces)

一个曲面 \(S\) 可以被看作是 \(\mathbb{R}^2\) 中一个区域 \(D\) 到 \(\mathbb{R}^3\) 的一个光滑映射 \( \mathbf{x}: D \to \mathbb{R}^3 \)，即 \( \mathbf{x}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \)，其中 \((u, v) \in D\)。为了使这个映射描述一个“好”的曲面，我们需要一些额外的条件。

⚝ 正则曲面片 (Regular Surface Patch)：一个映射 \( \mathbf{x}: D \to \mathbb{R}^3 \) 称为一个正则曲面片，如果它满足：
▮▮▮▮⚝ \( \mathbf{x} \) 是光滑的 (smooth)，即 \( x(u, v), y(u, v), z(u, v) \) 关于 \( u \) 和 \( v \) 具有任意阶连续偏导数。
▮▮▮▮⚝ 映射 \( \mathbf{x} \) 在 \( D \) 的每一点 \((u, v)\) 处是正则的 (regular)，这意味着偏导向量 \( \mathbf{x}_u = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u} \) 和 \( \mathbf{x}_v = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v} \) 在该点线性无关。即，它们的叉积 \( \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v \neq \mathbf{0} \)。
▮▮▮▮⚝ \( \mathbf{x} \) 是一个同胚 (homeomorphism)，从 \( D \) 到其像 \( \mathbf{x}(D) \)。这意味着 \( \mathbf{x} \) 是连续的，其逆映射 \( \mathbf{x}^{-1}: \mathbf{x}(D) \to D \) 也是连续的。

正则性条件 \( \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v \neq \mathbf{0} \) 保证了在曲面片上的每一点，我们都可以找到一个二维的“切”平面，这与曲线的切向量非零类似。

⚝ 曲面 (Surface)：一个曲面 \( S \subset \mathbb{R}^3 \) 是一个集合，对于 \( S \) 中的每一点 \( p \)，存在 \( p \) 在 \(\mathbb{R}^3\) 中的一个邻域 \( V \) 和一个正则曲面片 \( \mathbf{x}: D \to \mathbb{R}^3 \) (其中 \( D \subset \mathbb{R}^2 \) 是开集)，使得 \( \mathbf{x}(D) = S \cap V \)。这样的 \( \mathbf{x} \) 称为 \( S \) 在 \( p \) 附近的局部参数化 (local parameterization)。

这个定义允许曲面在整体上可能比较复杂（例如球体），但局部看起来像一个平面。

② 曲面的例子 (Examples of Surfaces)

▮▮▮▮ⓐ 球面 (Sphere)：半径为 \( r \) 的球面 \( S^2 \) 可以参数化为：
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ \( \mathbf{x}(\theta, \phi) = (r \sin \phi \cos \theta, r \sin \phi \sin \theta, r \cos \phi) \)，其中 \( 0 < \theta < 2\pi, 0 < \phi < \pi \)。这是一个正则曲面片，覆盖了球面除了一个经线和两个极点之外的部分。整个球面需要多个这样的参数化来覆盖（构成一个图册 (atlas)）。
▮▮▮▮ⓒ 圆柱面 (Cylinder)：半径为 \( r \) 的圆柱面可以参数化为：
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ \( \mathbf{x}(\theta, h) = (r \cos \theta, r \sin \theta, h) \)，其中 \( 0 < \theta < 2\pi, -\infty < h < \infty \)。
▮▮▮▮ⓔ 平面 (Plane)：通过点 \( \mathbf{p}_0 \) 且由向量 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \) 张成的平面可以参数化为：
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ \( \mathbf{x}(u, v) = \mathbf{p}_0 + u \mathbf{v}_1 + v \mathbf{v}_2 \)，其中 \( (u, v) \in \mathbb{R}^2 \)。如果 \( \mathbf{v}_1 \) 和 \( \mathbf{v}_2 \) 线性无关，这就是一个正则曲面片。

③ 切平面 (Tangent Plane)

对于曲面 \( S \) 上的一个点 \( p = \mathbf{x}(u_0, v_0) \)，通过点 \( p \) 的所有切向量 (tangent vectors) 构成一个二维向量空间，称为在点 \( p \) 的切空间 (tangent space)，记为 \( T_p S \)。

⚝ 切向量的定义 (Definition of Tangent Vector)：一个向量 \( \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3 \) 是 \( S \) 在点 \( p \) 的一个切向量，如果存在 \( S \) 上一条通过 \( p \) 的光滑曲线 \( \gamma(t) \) (即 \( \gamma(t_0) = p \) 对于某个 \( t_0 \))，使得 \( \gamma'(t_0) = \mathbf{w} \)。

如果 \( \gamma(t) \) 是曲面片 \( \mathbf{x}(u, v) \) 上的一条曲线，即 \( \gamma(t) = \mathbf{x}(u(t), v(t)) \)，那么根据链式法则，其切向量为：
\[ \gamma'(t) = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v} \frac{dv}{dt} = u'(t) \mathbf{x}_u + v'(t) \mathbf{x}_v \]
这表明任何通过 \( p \) 的曲线的切向量都可以表示为 \( \mathbf{x}_u \) 和 \( \mathbf{x}_v \) 的线性组合。由于 \( \mathbf{x}_u \) 和 \( \mathbf{x}_v \) 在 \( p \) 点线性无关，它们构成了切空间 \( T_p S \) 的一个基 (basis)。

⚝ 切平面的定义 (Definition of Tangent Plane)：在点 \( p \) 的切平面 (tangent plane) 是通过点 \( p \) 且平行于切空间 \( T_p S \) 的二维仿射空间。它的向量空间部分就是 \( T_p S \)，由 \( \mathbf{x}_u \) 和 \( \mathbf{x}_v \) 张成。

切平面的法向量 (normal vector) 由 \( \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v \) 给出。单位法向量 (unit normal vector) 定义为：
\[ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v}{\|\mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v\|} \]
切平面在点 \( p \) 的方程可以通过点 \( p \) 和法向量 \( \mathbf{n} \) 来确定。

3.2 第一基本形式 (First Fundamental Form)

第一基本形式是曲面上的一个二次微分形式，它允许我们在曲面上测量长度、角度和面积，而无需参考曲面所嵌入的三维空间。它完全由曲面的参数化 \( \mathbf{x}(u, v) \) 决定。

① 定义 (Definition)

对于曲面片 \( \mathbf{x}(u, v) \)，切向量 \( d\mathbf{x} = \mathbf{x}_u du + \mathbf{x}_v dv \)。第一基本形式 (First Fundamental Form)，记为 \( I \)，定义为切向量的平方的内积：
\[ I = d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} = (\mathbf{x}_u du + \mathbf{x}_v dv) \cdot (\mathbf{x}_u du + \mathbf{x}_v dv) \]
展开后得到：
\[ I = (\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{x}_u) du^2 + 2 (\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{x}_v) du dv + (\mathbf{x}_v \cdot \mathbf{x}_v) dv^2 \]
我们通常记系数为：
\[ E = \mathbf{x}_u \cdot \mathbf{x}_u = \|\mathbf{x}_u\|^2 \]
\[ F = \mathbf{x}_u \cdot \mathbf{x}_v \]
\[ G = \mathbf{x}_v \cdot \mathbf{x}_v = \|\mathbf{x}_v\|^2 \]
因此，第一基本形式可以写为：
\[ I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \]
这些系数 \( E, F, G \) 构成了第一基本形式的矩阵表示：
\[ \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \]
这个矩阵是对称的，且由于 \( \mathbf{x}_u \) 和 \( \mathbf{x}_v \) 线性无关，其行列式 \( EG - F^2 = \|\mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v\|^2 > 0 \)，因此是正定的。

② 几何意义 (Geometric Meaning)

第一基本形式提供了在曲面上进行度量计算的工具。

⚝ 弧长 (Arc Length)：曲面上由参数 \( t \in [a, b] \) 给出的曲线 \( \gamma(t) = \mathbf{x}(u(t), v(t)) \) 的弧长 \( L \) 为：
\[ L = \int_a^b \|\gamma'(t)\| dt \]
\[ \gamma'(t) = \mathbf{x}_u u'(t) + \mathbf{x}_v v'(t) \]
\[ \|\gamma'(t)\|^2 = \gamma'(t) \cdot \gamma'(t) = E (u'(t))^2 + 2F u'(t) v'(t) + G (v'(t))^2 \]
所以，
\[ L = \int_a^b \sqrt{E (u'(t))^2 + 2F u'(t) v'(t) + G (v'(t))^2} dt \]
这表明曲线的长度完全由其参数 \( u(t), v(t) \) 以及曲面的第一基本形式决定。

⚝ 夹角 (Angle)：曲面上两条相交于点 \( p \) 的曲线 \( \gamma_1(t) = \mathbf{x}(u_1(t), v_1(t)) \) 和 \( \gamma_2(s) = \mathbf{x}(u_2(s), v_2(s)) \) 在 \( p \) 点的夹角 \( \theta \) (假设 \( \gamma_1(0) = \gamma_2(0) = p \)) 由它们的切向量 \( \mathbf{w}_1 = \gamma_1'(0) \) 和 \( \mathbf{w}_2 = \gamma_2'(0) \) 的夹角给出。
\[ \mathbf{w}_1 = \mathbf{x}_u u_1'(0) + \mathbf{x}_v v_1'(0) \]
\[ \mathbf{w}_2 = \mathbf{x}_u u_2'(0) + \mathbf{x}_v v_2'(0) \]
它们的内积为：
\[ \mathbf{w}_1 \cdot \mathbf{w}_2 = (\mathbf{x}_u u_1' + \mathbf{x}_v v_1') \cdot (\mathbf{x}_u u_2' + \mathbf{x}_v v_2') = E u_1' u_2' + F (u_1' v_2' + v_1' u_2') + G v_1' v_2' \]
夹角 \( \theta \) 满足 \( \cos \theta = \frac{\mathbf{w}_1 \cdot \mathbf{w}_2}{\|\mathbf{w}_1\| \|\mathbf{w}_2\|} \)。这表明曲面上两条曲线的夹角也完全由第一基本形式决定。

⚝ 面积 (Area)：曲面片 \( \mathbf{x}(D) \) 的面积 \( A \) 为：
\[ A = \iint_D \|\mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v\| du dv \]
我们知道 \( \|\mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v\|^2 = \|\mathbf{x}_u\|^2 \|\mathbf{x}_v\|^2 - (\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{x}_v)^2 = EG - F^2 \)。所以，
\[ A = \iint_D \sqrt{EG - F^2} du dv \]
面积的计算也完全依赖于第一基本形式的系数。

总结来说，第一基本形式 \( I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \) 编码了曲面的内在度量性质，即曲面上长度、角度和面积的测量方式。它定义了曲面上的一个黎曼度量 (Riemannian metric)。

3.3 第二基本形式 (Second Fundamental Form)

第一基本形式描述了曲面的内在度量，而第二基本形式则描述了曲面如何弯曲在周围的三维空间中，即曲面的外在曲率 (extrinsic curvature)。

① 定义 (Definition)

第二基本形式 (Second Fundamental Form)，记为 \( II \)，定义为切向量的微分与单位法向量 \( \mathbf{n} \) 的内积：
\[ II = -d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{n} \]
其中 \( d\mathbf{n} = \mathbf{n}_u du + \mathbf{n}_v dv \) 是单位法向量的微分。负号是为了使凸曲面的第二基本形式为正定。
展开后得到：
\[ II = -(\mathbf{x}_u du + \mathbf{x}_v dv) \cdot (\mathbf{n}_u du + \mathbf{n}_v dv) \]
\[ II = -(\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n}_u) du^2 - (\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n}_v + \mathbf{x}_v \cdot \mathbf{n}_u) du dv - (\mathbf{x}_v \cdot \mathbf{n}_v) dv^2 \]
我们通常记系数为：
\[ L = -\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n}_u \]
\[ M = -\mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n}_v = -\mathbf{x}_v \cdot \mathbf{n}_u \] (由 \( \mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n} = 0 \) 和 \( \mathbf{x}_v \cdot \mathbf{n} = 0 \) 对 \( u \) 和 \( v \) 求偏导可得 \( \mathbf{x}_{uu} \cdot \mathbf{n} + \mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n}_u = 0 \) 等关系，以及 \( \mathbf{x}_{uv} \cdot \mathbf{n} + \mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n}_v = 0 \) 和 \( \mathbf{x}_{vu} \cdot \mathbf{n} + \mathbf{x}_v \cdot \mathbf{n}_u = 0 \)。由于 \( \mathbf{x}_{uv} = \mathbf{x}_{vu} \)，所以 \( \mathbf{x}_u \cdot \mathbf{n}_v = \mathbf{x}_v \cdot \mathbf{n}_u \)。)
\[ N = -\mathbf{x}_v \cdot \mathbf{n}_v \]
因此，第二基本形式可以写为：
\[ II = L du^2 + 2M du dv + N dv^2 \]
这些系数 \( L, M, N \) 构成了第二基本形式的矩阵表示：
\[ \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \]
这个矩阵也是对称的。

② 几何意义 (Geometric Meaning)

第二基本形式描述了曲面在法向量方向上的弯曲程度。考虑曲面上通过点 \( p \) 的一条曲线 \( \gamma(t) = \mathbf{x}(u(t), v(t)) \)，其切向量为 \( \mathbf{w} = \gamma'(t) \)。曲线的加速度向量 \( \gamma''(t) \) 可以分解为切向分量和法向分量。第二基本形式与加速度向量的法向分量有关。

更直接的几何解释是，第二基本形式度量了曲面在切向量方向上偏离切平面的程度。对于切平面上的一个向量 \( \mathbf{w} = \mathbf{x}_u du + \mathbf{x}_v dv \)，第二基本形式 \( II(\mathbf{w}, \mathbf{w}) \) 给出了曲面在 \( \mathbf{w} \) 方向上的法曲率 (normal curvature) 的分子部分（分母是 \( \|\mathbf{w}\|^2 \)）。

3.4 曲面的曲率 (Curvature of Surfaces)

曲率是微分几何中描述空间弯曲程度的核心概念。对于曲面，我们有多种方式来量化其曲率。

3.4.1 法曲率与主曲率 (Normal Curvature and Principal Curvatures)

① 法曲率 (Normal Curvature)

考虑曲面上一点 \( p \) 和切平面 \( T_p S \) 上的一个单位切向量 \( \mathbf{w} \)。通过 \( p \) 点且切向量为 \( \mathbf{w} \) 的曲面上的曲线有很多条。然而，所有这些曲线在 \( p \) 点的法向加速度分量在 \( \mathbf{n} \) 方向上的投影是相同的。

考虑包含 \( \mathbf{w} \) 和法向量 \( \mathbf{n} \) 的平面 \( \Pi \)。这个平面与曲面 \( S \) 的交线（如果 \( \mathbf{w} \) 是主方向，交线是平面曲线）在 \( p \) 点的曲率，称为沿 \( \mathbf{w} \) 方向的法曲率 \( \kappa_n(\mathbf{w}) \)。

法曲率可以通过第二基本形式和第一基本形式来计算。对于单位切向量 \( \mathbf{w} = \mathbf{x}_u du + \mathbf{x}_v dv \) (这里 \( du, dv \) 是使得 \( \|\mathbf{w}\|=1 \) 的微分增量比)，法曲率定义为：
\[ \kappa_n(\mathbf{w}) = \frac{II(\mathbf{w}, \mathbf{w})}{I(\mathbf{w}, \mathbf{w})} \]
如果 \( \mathbf{w} \) 是单位向量，则 \( I(\mathbf{w}, \mathbf{w}) = 1 \)，此时 \( \kappa_n(\mathbf{w}) = II(\mathbf{w}, \mathbf{w}) \)。
在参数 \( (u, v) \) 下，对于切向量 \( \mathbf{w} \) 对应于 \( (du, dv) \)，法曲率为：
\[ \kappa_n(du, dv) = \frac{L du^2 + 2M du dv + N dv^2}{E du^2 + 2F du dv + G dv^2} \]

② 形状算子 (Shape Operator) 或 Weingarten 映射 (Weingarten Map)

形状算子 \( W_p: T_p S \to T_p S \) 是一个线性映射，它描述了单位法向量场 \( \mathbf{n} \) 在切方向上的变化率。它定义为 \( W_p(\mathbf{w}) = -\nabla_{\mathbf{w}} \mathbf{n} \)，其中 \( \nabla \) 是 \(\mathbb{R}^3\) 的标准联络。
根据定义，我们有：
\[ W_p(\mathbf{x}_u) = -\mathbf{n}_u \]
\[ W_p(\mathbf{x}_v) = -\mathbf{n}_v \]
形状算子是自伴随的 (self-adjoint) 关于第一基本形式的内积，即 \( \langle W_p(\mathbf{w}_1), \mathbf{w}_2 \rangle_I = \langle \mathbf{w}_1, W_p(\mathbf{w}_2) \rangle_I \)，其中 \( \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \rangle_I = \mathbf{w}_1 \cdot \mathbf{w}_2 \)。
形状算子与第一基本形式和第二基本形式的关系密切。对于切向量 \( \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \)，有：
\[ II(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2) = \langle W_p(\mathbf{w}_1), \mathbf{w}_2 \rangle_I \]
在基 \( \{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\} \) 下，形状算子的矩阵表示 \( W \) 满足 \( II = I W \)，即 \( W = I^{-1} II \)。
\[ W = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} = \frac{1}{EG-F^2} \begin{pmatrix} G & -F \\ -F & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \]

③ 主曲率与主方向 (Principal Curvatures and Principal Directions)

形状算子 \( W_p \) 是一个对称线性算子，因此它在切空间 \( T_p S \) 中有两个实特征值和对应的正交特征向量。
⚝ 主曲率 (Principal Curvatures)：形状算子 \( W_p \) 的特征值称为主曲率，记为 \( \kappa_1 \) 和 \( \kappa_2 \)。它们是方程 \( \det(W - \kappa I) = 0 \) 的根，即 \( \det(II - \kappa I) = 0 \)。
\[ \det \begin{pmatrix} L - \kappa E & M - \kappa F \\ M - \kappa F & N - \kappa G \end{pmatrix} = 0 \]
\[ (L - \kappa E)(N - \kappa G) - (M - \kappa F)^2 = 0 \]
\[ (LN - M^2) - \kappa (LG + NE - 2MF) + \kappa^2 (EG - F^2) = 0 \]
这是一个关于 \( \kappa \) 的二次方程，其根即为 \( \kappa_1 \) 和 \( \kappa_2 \)。

⚝ 主方向 (Principal Directions)：与主曲率 \( \kappa_1 \) 和 \( \kappa_2 \) 对应的特征向量称为主方向。主方向是切平面上法曲率取到最大值和最小值的方向。如果 \( \kappa_1 \neq \kappa_2 \)，则主方向是唯一的（差一个符号）且相互正交。如果 \( \kappa_1 = \kappa_2 \)，则该点称为脐点 (umbilic point)，此时切平面上的任意方向都是主方向。

3.4.2 高斯曲率与平均曲率 (Gaussian Curvature and Mean Curvature)

主曲率 \( \kappa_1 \) 和 \( \kappa_2 \) 是描述曲面在一点处弯曲程度的两个基本量。由此可以定义两个重要的不变量：高斯曲率和平均曲率。

① 高斯曲率 (Gaussian Curvature)

⚝ 定义 (Definition)：高斯曲率 \( K \) 定义为主曲率的乘积：
\[ K = \kappa_1 \kappa_2 \]
从形状算子的特征值性质可知，高斯曲率等于形状算子 \( W_p \) 的行列式：
\[ K = \det(W) = \det(I^{-1} II) = \frac{\det(II)}{\det(I)} \]
利用第一基本形式和第二基本形式的系数，高斯曲率为：
\[ K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \]
高斯曲率是曲面在一点处的“总”弯曲程度的度量。例如，平面的高斯曲率为 0，球面的高斯曲率为 \( 1/r^2 \) (常数且为正)，双曲抛物面 (hyperbolic paraboloid) 的高斯曲率为负。

② 平均曲率 (Mean Curvature)

⚝ 定义 (Definition)：平均曲率 \( H \) 定义为主曲率的平均值：
\[ H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} \]
从形状算子的特征值性质可知，平均曲率等于形状算子 \( W_p \) 的迹 (trace) 的一半：
\[ H = \frac{1}{2} \text{tr}(W) = \frac{1}{2} \text{tr}(I^{-1} II) \]
利用第一基本形式和第二基本形式的系数，平均曲率为：
\[ H = \frac{LG - 2MF + NE}{2(EG - F^2)} \]
平均曲率描述了曲面在一点处的“平均”弯曲程度。例如，平面的平均曲率为 0，球面的平均曲率为 \( 1/r \) (常数且非零)，极小曲面 (minimal surface) 的平均曲率为 0。

⚝ 曲率的分类 (Classification by Curvature)：根据高斯曲率 \( K \) 的符号，曲面上的点可以分类：
▮▮▮▮⚝ \( K > 0 \)：椭圆点 (elliptic point)。曲面在该点附近位于切平面的同一侧，例如球面上的点。
▮▮▮▮⚝ \( K < 0 \)：双曲点 (hyperbolic point)。曲面在该点附近位于切平面的两侧，例如马鞍面上的点。
▮▮▮▮⚝ \( K = 0 \)：抛物点 (parabolic point) 或平面点 (planar point)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( K=0 \) 且 \( H \neq 0 \)，则该点是抛物点，例如圆柱面上的点。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 \( K=0 \) 且 \( H = 0 \)，则该点是平面点，例如平面上的点。

3.5 Theorema Egregium (绝妙定理)

高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 都由第一基本形式和第二基本形式的系数 \( E, F, G \) 和 \( L, M, N \) 计算得出。这意味着它们依赖于曲面如何嵌入在三维空间中（因为 \( L, M, N \) 的计算需要法向量 \( \mathbf{n} \)，而 \( \mathbf{n} \) 依赖于 \( \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v \)，这与嵌入方式有关）。

然而，高斯在 1827 年发现了一个惊人的结果：高斯曲率 \( K \) 实际上只依赖于第一基本形式及其导数，而与曲面如何嵌入在 \(\mathbb{R}^3\) 中无关！这个定理被称为 Theorema Egregium (拉丁语，意为“绝妙定理”)。

⚝ Theorema Egregium (绝妙定理)：曲面的高斯曲率 \( K \) 只依赖于第一基本形式的系数 \( E, F, G \) 及其关于 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数。

这个定理的意义极其深远。它意味着高斯曲率是一个曲面的内在不变量 (intrinsic invariant)。如果两个曲面可以通过弯曲（不拉伸、不撕裂）互相转换，那么它们在对应点的高斯曲率必须相等。例如，一张纸可以弯成圆柱面，但不能弯成球面。这是因为纸是平的（高斯曲率为 0），圆柱面也是平的（高斯曲率为 0），而球面是弯曲的（高斯曲率为正）。

绝妙定理是黎曼几何的先驱。它表明，即使我们只知道曲面上的度量（即第一基本形式），我们也可以计算出其高斯曲率，而无需知道它如何“坐”在外部空间中。这为研究抽象的黎曼流形（只有度量而没有外部嵌入空间）铺平了道路。

高斯曲率 \( K \) 可以用 \( E, F, G \) 及其导数表示，例如通过 Christoffel 符号 (Christoffel symbols) 来计算。具体的公式比较复杂，但其存在性是绝妙定理的核心。

与高斯曲率不同，平均曲率 \( H \) 依赖于第二基本形式，因此它是一个外在不变量 (extrinsic invariant)。弯曲纸张会改变其平均曲率（平面 \( H=0 \)，圆柱面 \( H \neq 0 \))，但不会改变其高斯曲率。

3.6 测地线 (Geodesics)

在欧氏平面上，连接两点的最短路径是直线。在曲面上，最短路径的概念推广为测地线 (geodesic)。测地线可以被认为是曲面上的“直线”。

① 定义 (Definition)

测地线是曲面上的一条曲线，其主法向量 (principal normal vector) 处处平行于曲面的法向量。换句话说，测地线在每一点的加速度向量都垂直于切平面。

对于曲面上的参数曲线 \( \gamma(t) = \mathbf{x}(u(t), v(t)) \)，其加速度向量为 \( \gamma''(t) \)。测地线的条件是 \( \gamma''(t) \cdot \mathbf{w} = 0 \) 对于切平面上的任意切向量 \( \mathbf{w} \) 都成立。这等价于 \( \gamma''(t) \) 与切平面正交，即 \( \gamma''(t) \) 平行于曲面的法向量 \( \mathbf{n} \)。

② 测地线方程 (Geodesic Equations)

将 \( \gamma''(t) \) 分解到 \( \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v \) 和 \( \mathbf{n} \) 的基下：
\[ \gamma''(t) = \mathbf{x}_{uu} (u')^2 + 2 \mathbf{x}_{uv} u'v' + \mathbf{x}_{vv} (v')^2 + \mathbf{x}_u u'' + \mathbf{x}_v v'' \]
测地线条件 \( \gamma''(t) \cdot \mathbf{x}_u = 0 \) 和 \( \gamma''(t) \cdot \mathbf{x}_v = 0 \) 导出了关于 \( u(t) \) 和 \( v(t) \) 的二阶常微分方程组，称为测地线方程。这些方程通常用 Christoffel 符号表示：
\[ u'' + \Gamma^u_{uu} (u')^2 + 2 \Gamma^u_{uv} u'v' + \Gamma^u_{vv} (v')^2 = 0 \]
\[ v'' + \Gamma^v_{uu} (u')^2 + 2 \Gamma^v_{uv} u'v' + \Gamma^v_{vv} (v')^2 = 0 \]
其中 \( \Gamma^k_{ij} \) 是 Christoffel 符号，它们完全由第一基本形式的系数 \( E, F, G \) 及其导数决定。

③ 性质 (Properties)

⚝ 局部最短性 (Local Shortest Paths)：在曲面上两点之间足够近的情况下，连接它们的测地线是局部最短路径。
⚝ 唯一性 (Uniqueness)：给定曲面上一点 \( p \) 和一个切向量 \( \mathbf{w} \in T_p S \)，存在唯一的通过 \( p \) 且以 \( \mathbf{w} \) 为初始切向量的测地线。
⚝ 直线化 (Straightening)：在测地线上移动时，其切向量相对于曲面是“平行”的（平行移动 (parallel transport) 的概念将在后续章节讨论）。

④ 例子 (Examples)

▮▮▮▮ⓐ 平面上的测地线是直线。
▮▮▮▮ⓑ 球面上的测地线是大圆 (great circle)。连接球面上两点的最短路径是沿着通过这两点的大圆的劣弧。
▮▮▮▮ⓒ 圆柱面上的测地线可以是直线（平行于轴线）、圆（垂直于轴线）或螺旋线。

3.7 Gauss-Bonnet定理 (Gauss-Bonnet Theorem)

Gauss-Bonnet 定理是微分几何中一个非常重要的定理，它将曲面的局部几何性质（高斯曲率）与整体拓扑性质（欧拉示性数 (Euler characteristic)）联系起来。

① 局部 Gauss-Bonnet 定理 (Local Gauss-Bonnet Theorem)

考虑曲面 \( S \) 上的一个简单闭区域 \( R \) (即其边界 \( \partial R \) 是一条分段光滑的简单闭曲线)。局部 Gauss-Bonnet 定理表明：
\[ \iint_R K dA + \int_{\partial R} \kappa_g ds + \sum_i (\pi - \alpha_i) = 2\pi \]
其中：
⚝ \( K \) 是高斯曲率，\( dA \) 是面积元 \( \sqrt{EG-F^2} du dv \)。第一项是区域 \( R \) 上的总高斯曲率。
⚝ \( \kappa_g \) 是边界曲线 \( \partial R \) 的测地曲率 (geodesic curvature)，\( ds \) 是弧长元。第二项是边界曲线的总测地曲率。测地曲率度量了曲线在曲面内的弯曲程度，与曲线在 \(\mathbb{R}^3\) 中的曲率不同。平面曲线的测地曲率为其普通曲率。测地线的测地曲率为 0。
⚝ \( \alpha_i \) 是边界曲线在顶点处的内角。第三项是边界曲线所有“角”的贡献。如果边界是光滑的，则没有顶点，这一项为 0。

这个定理表明，区域的总高斯曲率、边界的总测地曲率以及边界角的总和之间存在一个固定的关系。

② 整体 Gauss-Bonnet 定理 (Global Gauss-Bonnet Theorem)

对于一个紧致 (compact)、无边界 (without boundary) 的曲面 \( S \)，整体 Gauss-Bonnet 定理表明：
\[ \iint_S K dA = 2\pi \chi(S) \]
其中 \( \chi(S) \) 是曲面 \( S \) 的欧拉示性数。欧拉示性数是一个拓扑不变量，它可以通过曲面的三角剖分来计算：\( \chi(S) = V - E + F \)，其中 \( V \) 是顶点数，\( E \) 是边数，\( F \) 是面数。

⚝ 欧拉示性数的例子 (Examples of Euler Characteristic)：
▮▮▮▮⚝ 球面 \( S^2 \)：\( \chi(S^2) = 2 \)。
▮▮▮▮⚝ 环面 (Torus) \( T^2 \)：\( \chi(T^2) = 0 \)。
▮▮▮▮⚝ 双孔环面 (Double Torus)：\( \chi = -2 \)。
一般来说，亏格 (genus) 为 \( g \) 的可定向曲面的欧拉示性数为 \( 2 - 2g \)。

整体 Gauss-Bonnet 定理的意义在于，它将一个局部量（高斯曲率的积分）与一个整体拓扑量（欧拉示性数）联系起来。这意味着曲面的整体形状（拓扑）对局部弯曲的总和施加了限制。例如，对于任何形状的紧致无边界曲面，只要它的拓扑结构与球面相同（亏格为 0），其总高斯曲率总是 \( 4\pi \)。而对于环面（亏格为 1），其总高斯曲率总是 0。

这个定理是连接局部微分几何和整体拓扑学的一座桥梁，是现代几何学中的基石之一。

本章我们深入探讨了欧氏空间中曲面的基本概念，包括参数化、切平面、第一和第二基本形式、曲率（法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率）、绝妙定理、测地线以及 Gauss-Bonnet 定理。这些概念构成了理解更一般的黎曼流形的基础。在下一章，我们将脱离欧氏空间的嵌入，开始研究抽象的流形。

4. chapter 4：流形 (Manifolds)

欢迎来到微分几何的第四章！在前几章中，我们深入探讨了欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\) 中的曲线和曲面，它们是我们在低维空间中直观感受几何性质的绝佳对象。然而，许多重要的几何对象，比如球面、环面，或者更抽象的李群和射影空间，它们在整体上并非欧氏空间的一个简单子集，但它们在局部看起来却非常像欧氏空间。为了研究这些更广泛的几何对象，我们需要引入一个更普适的概念：流形 (Manifold)。

流形是微分几何研究的核心对象。它是一种在局部具有欧氏空间结构的拓扑空间。通过引入光滑结构，我们可以在流形上定义微分和积分，从而将微积分的工具推广到这些更复杂的空间上。本章将带领大家从拓扑流形的基础概念出发，逐步构建光滑流形的框架，并通过丰富的例子加深理解，最后介绍子流形的概念。

4.1 拓扑流形与图册 (Topological Manifolds and Atlases)

想象一下地球表面。在小范围内，比如你所在的城市，地面看起来是平坦的，就像欧氏平面 \(\mathbb{R}^2\) 的一个区域。但从太空中看，地球是一个球体，显然不是平坦的。流形正是对这种“局部欧氏”性质的抽象。

定义 4.1.1 (拓扑流形 - Topological Manifold)

一个 \(n\) 维拓扑流形 (n-dimensional topological manifold) 是一个豪斯多夫 (Hausdorff) 空间 \(M\)，它满足以下条件：

① \(M\) 是第二可数 (second countable) 的。这意味着 \(M\) 有一个可数的拓扑基 (countable basis for its topology)。
② \(M\) 是局部欧氏的 (locally Euclidean)。这意味着对于 \(M\) 中的任意一点 \(p\)，存在一个包含 \(p\) 的开邻域 \(U\)，以及一个从 \(U\) 到 \(\mathbb{R}^n\) 中某个开集 \(V\) 的同胚 (homeomorphism) \(\phi: U \to V\)。

这里的同胚 \(\phi\) 称为一个坐标映射 (coordinate map) 或局部坐标系 (local coordinate system)，开集 \(U\) 称为一个坐标邻域 (coordinate neighborhood) 或坐标卡 (chart)，而有序对 \((U, \phi)\) 则称为一个坐标卡 (chart)。

⚝ 解释：
▮▮▮▮⚝ 豪斯多夫空间 (Hausdorff Space)：这是拓扑空间的一个分离公理。它要求对于空间中任意两个不同的点 \(p\) 和 \(q\)，存在互不相交的开集 \(U_p\) 和 \(U_q\)，使得 \(p \in U_p\) 且 \(q \in U_q\)。这个性质保证了点是“可分离”的，这对于定义收敛等概念很重要。
▮▮▮▮⚝ 第二可数 (Second Countable)：这个性质保证了流形不会“太大”或“太病态”，使得我们可以处理可数个对象（如坐标卡）来覆盖整个空间。
▮▮▮▮⚝ 局部欧氏 (Locally Euclidean)：这是流形定义的核心。它捕捉了“在局部看起来像欧氏空间”的思想。同胚 \(\phi\) 允许我们将 \(U\) 中的点用 \(\mathbb{R}^n\) 中的 \(n\) 个坐标来表示，即 \(\phi(p) = (x_1, \dots, x_n)\)。

为了覆盖整个流形 \(M\)，我们需要一组坐标卡 \(\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha \in A}\)，使得 \(\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha = M\)。这样一组坐标卡称为一个图册 (atlas)。

⚝ 图册 (Atlas)：一个流形 \(M\) 的图册 \(\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha \in A}\) 是一族坐标卡，其坐标邻域覆盖了 \(M\)。

当两个坐标卡 \((U_\alpha, \phi_\alpha)\) 和 \((U_\beta, \phi_\beta)\) 的坐标邻域有重叠，即 \(U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset\)，我们可以在重叠区域 \(U_\alpha \cap U_\beta\) 上考虑从一个坐标系到另一个坐标系的转换。

考虑点 \(p \in U_\alpha \cap U_\beta\)。它在坐标卡 \((U_\alpha, \phi_\alpha)\) 下的坐标是 \(\phi_\alpha(p) \in \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)\)，在坐标卡 \((U_\beta, \phi_\beta)\) 下的坐标是 \(\phi_\beta(p) \in \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)\)。

我们可以定义一个从 \(\phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)\) 到 \(\phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)\) 的映射：
\[ \phi_{\beta\alpha} = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1} \]
这个映射称为转移映射 (transition map) 或坐标变换 (coordinate transformation)。

⚝ 转移映射 (Transition Map)：对于图册 \(\mathcal{A}\) 中的任意两个坐标卡 \((U_\alpha, \phi_\alpha)\) 和 \((U_\beta, \phi_\beta)\)，如果 \(U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset\)，则转移映射 \(\phi_{\beta\alpha}: \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)\) 定义为 \(\phi_{\beta\alpha} = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1}\)。

由于 \(\phi_\alpha\) 和 \(\phi_\beta\) 都是同胚，它们的复合 \(\phi_{\beta\alpha}\) 也是同胚。转移映射描述了在不同坐标卡重叠区域内，如何从一组坐标变换到另一组坐标。

定义 4.1.2 (坐标卡相容性 - Compatibility of Charts)

图册 \(\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha \in A}\) 中的两个坐标卡 \((U_\alpha, \phi_\alpha)\) 和 \((U_\beta, \phi_\beta)\) 称为 \(C^k\) 相容的 ( \(C^k\)-compatible)，如果当 \(U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset\) 时，转移映射 \(\phi_{\beta\alpha} = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1}\) 和 \(\phi_{\alpha\beta} = \phi_\alpha \circ \phi_\beta^{-1}\) 都是 \(C^k\) 映射。

这里的 \(C^k\) 映射是指具有连续的 \(k\) 阶偏导数的函数。如果 \(k=\infty\)，则称为 \(C^\infty\) 相容或光滑相容 (smoothly compatible)。

⚝ 重要性：坐标卡的相容性是定义流形上光滑结构的关键。它保证了在不同坐标系下定义的“光滑性”概念是一致的。

4.2 光滑结构与光滑映射 (Smooth Structures and Smooth Maps)

拓扑流形为我们提供了一个局部欧氏的拓扑空间，但要进行微积分，我们需要一个更精细的结构——光滑结构。

定义 4.2.1 (光滑图册 - Smooth Atlas)

一个拓扑流形 \(M\) 上的光滑图册 (smooth atlas) 是一个图册 \(\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha \in A}\)，其中任意两个坐标卡都是 \(C^\infty\) 相容的。

一个光滑图册定义了一个光滑结构 (smooth structure)。然而，不同的光滑图册可能定义了相同的光滑结构。

定义 4.2.2 (光滑结构 - Smooth Structure)

两个光滑图册 \(\mathcal{A}_1\) 和 \(\mathcal{A}_2\) 在 \(M\) 上定义了相同的光滑结构，如果它们的并集 \(\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2\) 也是一个光滑图册。

一个光滑结构是包含在一个光滑图册中的所有与该图册中所有坐标卡都 \(C^\infty\) 相容的坐标卡的最大集合。这个最大的光滑图册称为一个完备光滑图册 (complete smooth atlas)。

定义 4.2.3 (光滑流形 - Smooth Manifold)

一个 \(n\) 维光滑流形 (n-dimensional smooth manifold) 是一个配备了光滑结构的 \(n\) 维拓扑流形。

有了光滑流形的概念，我们就可以定义流形之间的光滑映射。

定义 4.2.4 (光滑映射 - Smooth Map)

设 \(M\) 是一个 \(n\) 维光滑流形，\(\tilde{M}\) 是一个 \(m\) 维光滑流形。一个映射 \(f: M \to \tilde{M}\) 称为光滑的 (smooth 或 \(C^\infty\))，如果对于 \(M\) 中的任意一点 \(p\)，存在包含 \(p\) 的坐标卡 \((U, \phi)\) 和包含 \(f(p)\) 的坐标卡 \((\tilde{U}, \tilde{\phi})\)（使得 \(f(U) \subseteq \tilde{U}\)），复合映射
\[ \tilde{\phi} \circ f \circ \phi^{-1}: \phi(U) \to \tilde{\phi}(\tilde{U}) \]
是一个从 \(\mathbb{R}^n\) 的开集到 \(\mathbb{R}^m\) 的开集的光滑映射（即具有连续的任意阶偏导数）。

⚝ 解释：这个定义是将流形上的光滑性概念“拉回到”欧氏空间中我们熟悉的光滑函数概念。通过坐标卡，我们将流形上的映射 \(f\) 局部地表示为欧氏空间之间的映射 \(\tilde{\phi} \circ f \circ \phi^{-1}\)。如果这个欧氏空间之间的映射是光滑的，我们就说流形上的映射 \(f\) 是光滑的。这个定义与所选择的坐标卡无关，因为转移映射是光滑的。

定义 4.2.5 (微分同胚 - Diffeomorphism)

一个光滑映射 \(f: M \to \tilde{M}\) 称为一个微分同胚 (diffeomorphism)，如果它是一个双射 (bijection)，并且其逆映射 \(f^{-1}: \tilde{M} \to M\) 也是光滑的。

如果两个光滑流形之间存在一个微分同胚，则称它们是微分同胚的 (diffeomorphic)。微分同胚是光滑流形范畴中的同构 (isomorphism)，它们在光滑流形的意义下是等价的。

✨ 思考：同胚保持拓扑性质，而微分同胚保持光滑性质。两个同胚的拓扑流形不一定是微分同胚的。例如，在某些维度（如4维），存在同胚于 \(\mathbb{R}^4\) 但非微分同胚于 \(\mathbb{R}^4\) 的光滑流形，这被称为“怪异的 \(\mathbb{R}^4\)” (exotic \(\mathbb{R}^4\))。

4.3 流形的例子 (Examples of Manifolds)

理解抽象定义最好的方法是看具体的例子。

① 欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\)：
\(\mathbb{R}^n\) 本身是一个 \(n\) 维光滑流形。我们可以用一个坐标卡 \((U, \phi)\) 来覆盖它，其中 \(U = \mathbb{R}^n\) 且 \(\phi\) 是恒等映射 \(\phi(x) = x\)。这是最简单的流形。

② 欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\) 的开子集：
\(\mathbb{R}^n\) 的任意非空开子集 \(U\) 也是一个 \(n\) 维光滑流形。我们可以用一个坐标卡 \((U, \text{id}_U)\) 来覆盖它。

③ \(n\) 维球面 \(S^n\)：
\(S^n = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \|x\| = 1\}\) 是一个 \(n\) 维光滑流形。
⚝ 图册构建：我们可以使用立体投影 (stereographic projection) 来构建 \(S^n\) 的图册。
▮▮▮▮⚝ 考虑北极 \(N = (0, \dots, 0, 1)\) 和南极 \(S = (0, \dots, 0, -1)\)。
▮▮▮▮⚝ 定义从 \(S^n \setminus \{N\}\) 到 \(\mathbb{R}^n\) 的立体投影 \(\phi_N\)。对于 \(p = (x_1, \dots, x_n, x_{n+1}) \in S^n \setminus \{N\}\)，连接 \(N\) 和 \(p\) 的直线与 \(\mathbb{R}^n \times \{0\}\)（即 \(x_{n+1}=0\) 的超平面）相交于一点，该点的坐标即为 \(\phi_N(p)\)。
\[ \phi_N(x_1, \dots, x_n, x_{n+1}) = \frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1, \dots, x_n) \]
▮▮▮▮⚝ 类似地，定义从 \(S^n \setminus \{S\}\) 到 \(\mathbb{R}^n\) 的立体投影 \(\phi_S\)。
\[ \phi_S(x_1, \dots, x_n, x_{n+1}) = \frac{1}{1+x_{n+1}}(x_1, \dots, x_n) \]
▮▮▮▮⚝ 坐标卡 \((S^n \setminus \{N\}, \phi_N)\) 和 \((S^n \setminus \{S\}, \phi_S)\) 覆盖了 \(S^n\)。
▮▮▮▮⚝ 在重叠区域 \((S^n \setminus \{N\}) \cap (S^n \setminus \{S\})\) 上，可以验证转移映射 \(\phi_S \circ \phi_N^{-1}\) 是光滑的。
\[ \phi_S \circ \phi_N^{-1}(y_1, \dots, y_n) = \frac{1}{\|y\|^2}(y_1, \dots, y_n) \]
这是一个从 \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\) 到自身的映射，它是光滑的。因此，\(S^n\) 是一个光滑流形。

④ \(n\) 维环面 \(T^n\)：
\(T^n\) 可以定义为 \(n\) 个圆周 \(S^1\) 的笛卡尔积 \(S^1 \times \dots \times S^1\) (n times)。
或者，\(T^n\) 可以看作 \(\mathbb{R}^n\) 对整数格 \(\mathbb{Z}^n\) 的商空间 \(\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n\)。
⚝ 图册构建：考虑 \(\mathbb{R}^n\) 中的开立方体 \(U = (0, 1)^n\)。商映射 \(q: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n\) 将 \(U\) 同胚地映射到 \(T^n\) 的一个开集 \(q(U)\)。我们可以取覆盖 \(\mathbb{R}^n\) 的足够小的开集，使得它们在商映射下是单射的，这些开集在 \(T^n\) 上的像可以作为坐标邻域，而商映射的限制作为坐标映射。转移映射对应于 \(\mathbb{R}^n\) 上的平移，它们是光滑的。因此，\(T^n\) 是一个光滑流形。

⑤ 实射影空间 \(RP^n\)：
\(RP^n\) 是由 \(\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}\) 中所有通过原点的直线组成的集合。等价地，它是 \(S^n\) 对反对径点等价关系 \(x \sim -x\) 的商空间 \(S^n / \sim\)。
⚝ 图册构建：考虑 \(RP^n\) 中由至少有一个非零坐标的点 \([x_0: \dots : x_n]\) 组成的开集 \(U_i = \{[x_0: \dots : x_n] \mid x_i \neq 0\}\)。定义坐标映射 \(\phi_i: U_i \to \mathbb{R}^n\) 为
\[ \phi_i([x_0: \dots : x_n]) = \left(\frac{x_0}{x_i}, \dots, \frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i}, \dots, \frac{x_n}{x_i}\right) \]
这些坐标卡 \((U_i, \phi_i)\) 覆盖了 \(RP^n\)。可以验证转移映射是光滑的。因此，\(RP^n\) 是一个光滑流形。

⑥ 复射影空间 \(CP^n\)：
\(CP^n\) 是由 \(\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\}\) 中所有通过原点的复直线组成的集合。它是 \(2n\) 维光滑流形。

⑦ 李群 (Lie Group)：
李群是一种同时具有群结构和光滑流形结构的集合，且群运算（乘法和求逆）是光滑映射。例如，一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\)（所有 \(n \times n\) 可逆实矩阵）是一个 \(n^2\) 维光滑流形（它是 \(\mathbb{R}^{n^2}\) 中行列式非零的开子集），矩阵乘法和求逆是光滑的，因此 \(GL(n, \mathbb{R})\) 是一个李群。李群将在后续章节（第11章）初步介绍。

这些例子展示了流形概念的广泛性，它涵盖了许多重要的几何对象。

4.4 子流形 (Submanifolds)

在欧氏空间中，我们研究了曲线和曲面，它们是 \(\mathbb{R}^n\) 的子集，并且本身具有流形结构。我们将这个概念推广到一般的流形上。

定义 4.4.1 (浸入子流形 - Immersed Submanifold)

设 \(M\) 是一个 \(n\) 维光滑流形，\(\tilde{M}\) 是一个 \(m\) 维光滑流形，且 \(n \le m\)。一个映射 \(f: M \to \tilde{M}\) 称为一个浸入 (immersion)，如果对于 \(M\) 中的每一点 \(p\)，其微分 (differential) \(df_p: T_p M \to T_{f(p)}\tilde{M}\) 是单射的。

⚝ 微分的单射性：微分 \(df_p\) 是切空间之间的线性映射（切空间概念将在下一章详细介绍）。\(df_p\) 是单射意味着它保持了切向量的线性独立性，直观上，这表示映射 \(f\) 在局部没有“挤压”空间，不会降低维度。

如果 \(f: M \to \tilde{M}\) 是一个浸入，并且 \(f(M)\) 作为 \(\tilde{M}\) 的子集，其自身具有一个拓扑结构（通常是子空间拓扑），使得 \(f\) 是一个从 \(M\) 到 \(f(M)\) 的同胚，则 \(f(M)\) 称为 \(\tilde{M}\) 的一个浸入子流形 (immersed submanifold)。

⚝ 注意：浸入子流形 \(f(M)\) 上的流形拓扑是 \(M\) 上的拓扑通过 \(f\) 诱导的，它可能与 \(f(M)\) 作为 \(\tilde{M}\) 子集的子空间拓扑不同。

定义 4.4.2 (嵌入子流形 - Embedded Submanifold)

设 \(M\) 是一个 \(n\) 维光滑流形，\(\tilde{M}\) 是一个 \(m\) 维光滑流形，且 \(n \le m\)。一个映射 \(f: M \to \tilde{M}\) 称为一个嵌入 (embedding)，如果它是一个浸入，并且 \(f\) 是一个从 \(M\) 到 \(f(M)\) 的同胚，其中 \(f(M)\) 上的拓扑是 \(\tilde{M}\) 诱导的子空间拓扑。

如果 \(f: M \to \tilde{M}\) 是一个嵌入，则 \(f(M)\) 称为 \(\tilde{M}\) 的一个嵌入子流形 (embedded submanifold) 或正则子流形 (regular submanifold)。

⚝ 区别：嵌入子流形要求其自身流形拓扑与其作为环境流形子集的子空间拓扑一致。浸入子流形则不要求这一点。

例子 4.4.3 (浸入但非嵌入的例子)

考虑映射 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) 定义为 \(f(t) = (\cos(t), \sin(2t))\)。这是一个浸入（其微分处处非零），其像是一条自相交的曲线（一个“8”字形）。这条曲线是 \(\mathbb{R}^2\) 的一个浸入子流形，但不是嵌入子流形，因为在自交点附近，曲线的拓扑（像两个区间的并）与 \(\mathbb{R}\) 中对应区域的拓扑（一个区间）不同。

例子 4.4.4 (嵌入子流形的例子)

① \(S^n\) 是 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 的一个嵌入子流形。包含映射 \(i: S^n \to \mathbb{R}^{n+1}\) 是一个嵌入。
② \(\mathbb{R}^n\) 中的开集是 \(\mathbb{R}^n\) 的嵌入子流形。
③ \(\mathbb{R}^3\) 中的一个光滑曲面（如球面、环面）通常是 \(\mathbb{R}^3\) 的嵌入子流形。

定理 4.4.5 (正则值定理 - Regular Value Theorem)

设 \(F: \tilde{M} \to N\) 是两个光滑流形之间的光滑映射，其中 \(\dim \tilde{M} = m\) 且 \(\dim N = k\)。如果 \(y \in N\) 是 \(F\) 的一个正则值 (regular value)（即对于所有 \(x \in F^{-1}(y)\)，微分 \(dF_x: T_x \tilde{M} \to T_y N\) 是满射的），那么 \(F^{-1}(y)\)（如果非空）是 \(\tilde{M}\) 的一个 \(m-k\) 维嵌入子流形。

⚝ 正则值：一个值 \(y\) 是正则值，如果它不是临界值 (critical value)。一个点 \(x\) 是临界点 (critical point)，如果 \(dF_x\) 不是满射。临界值是临界点的像 \(F(x)\)。

例子 4.4.6 (正则值定理的应用)

考虑函数 \(F: \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\) 定义为 \(F(x_1, \dots, x_{n+1}) = x_1^2 + \dots + x_{n+1}^2\)。其微分 \(dF_x\) 对应于梯度向量 \(\nabla F(x) = (2x_1, \dots, 2x_{n+1})\)。对于 \(x \neq 0\)，\(\nabla F(x) \neq 0\)，所以 \(dF_x\) 是满射的（因为 \(N=\mathbb{R}\) 是1维）。因此，任何非零值 \(c\) 都是 \(F\) 的正则值。集合 \(F^{-1}(c) = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_1^2 + \dots + x_{n+1}^2 = c\}\) 对于 \(c>0\) 是一个半径为 \(\sqrt{c}\) 的 \(n\) 维球面 \(S^n\)。根据正则值定理，\(S^n\) 是 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 的一个 \( (n+1)-1 = n \) 维嵌入子流形。

本章我们引入了流形的基本概念，从拓扑流形到光滑流形，并通过图册和转移映射构建了光滑结构。丰富的例子帮助我们理解了这些抽象概念。最后，我们区分了浸入子流形和嵌入子流形，并介绍了正则值定理这一强大的工具来构造嵌入子流形。在下一章中，我们将深入探讨流形上的切空间和向量场，为在流形上进行微积分和几何分析奠定基础。

5. chapter 5：切空间与向量场 (Tangent Spaces and Vector Fields)

微分几何的核心在于研究流形（manifold）上的几何结构。在欧氏空间（Euclidean space）中，我们习惯于使用向量来描述方向和速度，并且可以在空间中自由地移动这些向量。然而，在弯曲的流形上，情况变得复杂。在流形的不同点，“方向”的概念需要被精确定义。切空间（tangent space）正是为了解决这个问题而引入的，它为流形上的每一点提供了一个局部的线性近似空间，使得我们可以在该点定义向量。而向量场（vector field）则是在流形的每一点光滑地指定一个切向量，它是研究流形上微分方程、流（flow）以及对称性的重要工具。本章将深入探讨切空间、向量场及其重要的运算——Lie括号（Lie bracket）。

5.1 切空间 (Tangent Spaces)

在学习微积分时，我们知道函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率，这可以看作是函数图像在该点切线的斜率。对于欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 中的曲线或曲面，我们也可以直观地理解切向量（tangent vector）的概念。例如，一条参数曲线 \( \gamma(t) \) 在 \( t_0 \) 点的切向量就是 \( \gamma'(t_0) \)。然而，对于一个抽象的流形，它可能没有嵌入到任何欧氏空间中，我们如何定义切向量呢？切空间的概念应运而生，它提供了在流形上每一点定义“方向”和“速度”的数学框架。

切空间 \( T_p M \) 是流形 \( M \) 在点 \( p \) 处所有可能的切向量构成的集合。有几种等价的方式来定义切空间和切向量，每种方式都有其优点。

① 通过曲线的等价类定义 (Definition via Equivalence Classes of Curves)
这是最直观的一种定义方式。考虑流形 \( M \) 上的点 \( p \)。我们考虑所有通过点 \( p \) 的光滑曲线 \( \gamma: (-\epsilon, \epsilon) \to M \)，使得 \( \gamma(0) = p \)。两条这样的曲线 \( \gamma_1 \) 和 \( \gamma_2 \) 被认为是等价的，如果在点 \( p \) 的局部坐标系 \( (U, \phi) \) 下，它们的坐标表示 \( \phi \circ \gamma_1(t) \) 和 \( \phi \circ \gamma_2(t) \) 在 \( t=0 \) 处的导数相同。即，如果 \( \phi(p) = x_0 \in \mathbb{R}^n \)，则要求 \( (\phi \circ \gamma_1)'(0) = (\phi \circ \gamma_2)'(0) \in \mathbb{R}^n \)。
\[ (\phi \circ \gamma)'(0) = \left. \frac{d}{dt} (\phi \circ \gamma)(t) \right|_{t=0} \]
这个等价关系与选择哪个局部坐标系无关。一个切向量就是这样一种等价类 \( [\gamma] \)。点 \( p \) 处的所有切向量构成了切空间 \( T_p M \)。在这个定义下，切空间自然具有向量空间的结构，其加法和标量乘法可以通过局部坐标来定义。

② 通过导子定义 (Definition via Derivations)
这是更内在（intrinsic）且在现代微分几何中更常用的定义方式。一个切向量 \( v \) 在点 \( p \) 处可以被看作是一个作用在定义于 \( p \) 附近的光滑函数 \( f: U \to \mathbb{R} \) 上的线性算子，它满足 Leibniz 法则（Leibniz rule）。
具体地说，一个从 \( C^\infty(p) \)（定义在 \( p \) 附近的光滑函数集合）到 \( \mathbb{R} \) 的映射 \( v: C^\infty(p) \to \mathbb{R} \) 被称为点 \( p \) 处的一个导子（derivation），如果它满足：
▮▮▮▮ⓐ 线性性（Linearity）：对于任意光滑函数 \( f, g \in C^\infty(p) \) 和常数 \( a, b \in \mathbb{R} \)，有 \( v(af + bg) = av(f) + bv(g) \)。
▮▮▮▮ⓑ Leibniz 法则：对于任意光滑函数 \( f, g \in C^\infty(p) \)，有 \( v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) \)。
点 \( p \) 处的所有导子构成的集合就是切空间 \( T_p M \)。这个集合在自然的加法和标量乘法下构成一个向量空间。

这两种定义是等价的。给定一个曲线的等价类 \( [\gamma] \)，我们可以定义一个导子 \( v_{[\gamma]} \) 为 \( v_{[\gamma]}(f) = (f \circ \gamma)'(0) \)。反之，给定一个导子 \( v \)，可以在局部坐标系下构造一条曲线，其等价类对应于 \( v \)。

③ 局部坐标下的表示 (Representation in Local Coordinates)
在点 \( p \) 附近的局部坐标系 \( (U, \phi) \)，其中 \( \phi(p) = x_0 \in \mathbb{R}^n \)，任何光滑函数 \( f \) 在 \( p \) 附近可以看作是 \( \mathbb{R}^n \) 中 \( x_0 \) 附近的光滑函数 \( f \circ \phi^{-1} \)。
在 \( \mathbb{R}^n \) 中，标准的偏导数算子 \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) 是导子。在流形上，我们可以定义局部坐标系 \( (x^1, \dots, x^n) \) 对应的偏导数算子 \( \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_p \) 作用在光滑函数 \( f \) 上为：
\[ \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_p (f) = \left. \frac{\partial}{\partial y^i} (f \circ \phi^{-1})(y) \right|_{y = \phi(p)} \]
其中 \( y = (y^1, \dots, y^n) \) 是 \( \mathbb{R}^n \) 的标准坐标。
这些偏导数算子 \( \left. \frac{\partial}{\partial x^1} \right|_p, \dots, \left. \frac{\partial}{\partial x^n} \right|_p \) 构成了切空间 \( T_p M \) 的一个基（basis）。因此，切空间 \( T_p M \) 是一个 \( n \) 维向量空间，其中 \( n \) 是流形 \( M \) 的维数。点 \( p \) 处的任何切向量 \( v \in T_p M \) 都可以唯一地表示为这个基的线性组合：
\[ v = \sum_{i=1}^n v^i \left. \frac{\partial}{\partial x^i} \right|_p \]
其中 \( v^i \) 是 \( v \) 在该局部坐标系下的分量（components）。

⚝ 切空间的例子 (Examples of Tangent Spaces)
▮▮▮▮⚝ \( \mathbb{R}^n \) 的切空间：对于 \( \mathbb{R}^n \) 上的任意点 \( p \)，切空间 \( T_p \mathbb{R}^n \) 自然同构于 \( \mathbb{R}^n \) 本身。标准的基就是 \( \left. \frac{\partial}{\partial x^1} \right|_p, \dots, \left. \frac{\partial}{\partial x^n} \right|_p \)。
▮▮▮▮⚝ 球面 \( S^2 \) 的切空间：对于球面上的一点 \( p \)，切空间 \( T_p S^2 \) 是一个二维平面，它是 \( \mathbb{R}^3 \) 中通过原点且垂直于点 \( p \)（看作是 \( \mathbb{R}^3 \) 中的向量）的平面。

切空间的概念是理解流形上微分和积分的基础。它允许我们将欧氏空间中的微积分概念推广到更一般的几何对象上。

5.2 向量场 (Vector Fields)

在欧氏空间中，向量场是将空间中的每一点映射到一个向量的函数，例如描述流体速度的场或电场。在流形上，向量场是光滑地将流形上的每一点 \( p \) 映射到该点切空间 \( T_p M \) 中的一个切向量 \( X(p) \) 的函数。

形式上，一个向量场 \( X \) 是一个映射 \( X: M \to \bigcup_{p \in M} T_p M \)，满足对于每一个点 \( p \in M \)，\( X(p) \in T_p M \)，并且这个映射是光滑的。光滑性意味着在任何局部坐标系 \( (U, \phi) \) 下，如果 \( X \) 在 \( U \) 上的表示为 \( X|_U = \sum_{i=1}^n X^i \frac{\partial}{\partial x^i} \)，则分量函数 \( X^i: U \to \mathbb{R} \) 都是光滑函数。

向量场 \( X \) 可以作用在光滑函数 \( f: M \to \mathbb{R} \) 上，得到一个新的光滑函数 \( Xf: M \to \mathbb{R} \)，其定义为 \( (Xf)(p) = X(p)(f) \)。在局部坐标系下，如果 \( X = \sum X^i \frac{\partial}{\partial x^i} \)，则 \( Xf = \sum X^i \frac{\partial f}{\partial x^i} \)。这表明向量场可以看作是流形上光滑函数空间上的一个导子。事实上，流形上光滑函数空间上的导子与光滑向量场之间存在一一对应关系。

所有光滑向量场构成的集合记为 \( \mathfrak{X}(M) \)。\( \mathfrak{X}(M) \) 在向量场的加法和光滑函数的乘法下构成一个模（module）而不是向量空间，因为 \( (fX)(p) = f(p)X(p) \)，其中 \( f \) 是光滑函数。

⚝ 向量场的例子 (Examples of Vector Fields)
▮▮▮▮⚝ \( \mathbb{R}^n \) 上的常向量场：\( X(x) = (c^1, \dots, c^n) \) 对于所有 \( x \in \mathbb{R}^n \)，其中 \( c^i \) 是常数。在标准坐标下，\( X = \sum c^i \frac{\partial}{\partial x^i} \)。
▮▮▮▮⚝ 球面 \( S^2 \) 上的向量场：一个简单的例子是旋转向量场。然而，根据毛球定理（Hairy Ball Theorem），在偶数维的球面上（如 \( S^2 \)），不存在处处非零的光滑向量场。这说明了流形上向量场的存在性是一个非平凡的问题，与流形的拓扑性质密切相关。

向量场是研究流形上动力系统、对称性以及微分方程的关键。

5.3 向量场的流与Lie括号 (Flows and Lie Bracket of Vector Fields)

向量场 \( X \) 在流形 \( M \) 上定义了一个一阶常微分方程组。对于流形上的每一点 \( p \)，向量 \( X(p) \) 可以被视为一个“速度”向量。沿着这个速度方向运动，我们得到一条通过点 \( p \) 的曲线。这条曲线被称为向量场 \( X \) 的积分曲线（integral curve）。

对于点 \( p \in M \)，通过 \( p \) 的向量场 \( X \) 的积分曲线 \( \gamma_p: I \to M \) 是一条光滑曲线，其中 \( I \) 是包含 \( 0 \) 的实数区间，满足 \( \gamma_p(0) = p \) 且对于任意 \( t \in I \)，\( \gamma_p'(t) = X(\gamma_p(t)) \)。这里的 \( \gamma_p'(t) \) 是曲线 \( \gamma_p \) 在 \( t \) 时刻的切向量，它应该等于向量场 \( X \) 在点 \( \gamma_p(t) \) 处的值。

根据常微分方程理论，对于光滑向量场，局部上存在唯一的积分曲线通过每一点。如果积分曲线可以在包含 \( 0 \) 的某个固定区间 \( (-\epsilon, \epsilon) \) 上定义，那么我们可以定义向量场 \( X \) 在时间 \( t \) 的局部流（local flow）\( \phi_t^X: U \to M \)，其中 \( U \) 是 \( M \) 的一个开集。\( \phi_t^X(p) \) 定义为通过点 \( p \) 的积分曲线在时间 \( t \) 的位置，即 \( \phi_t^X(p) = \gamma_p(t) \)。这个流满足 \( \phi_0^X(p) = p \) 且 \( \phi_{t+s}^X(p) = \phi_t^X(\phi_s^X(p)) \)（在定义域允许的情况下）。如果积分曲线可以在整个 \( \mathbb{R} \) 上定义，则称向量场是完备的（complete），其流是全局的（global flow）。

流形上的两个向量场 \( X \) 和 \( Y \) 的 Lie 括号（Lie bracket），记为 \( [X, Y] \)，是另一个向量场。它衡量了沿着 \( X \) 的流运动然后沿着 \( Y \) 的流运动，与先沿着 \( Y \) 的流运动然后沿着 \( X \) 的流运动之间的差异。直观地说，\( [X, Y]_p \) 描述了由 \( X \) 和 \( Y \) 生成的无穷小平行四边形闭合失败的程度。

Lie 括号的定义可以通过它们作用在光滑函数上的方式给出：
对于任意光滑函数 \( f: M \to \mathbb{R} \)，
\[ [X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf) \]
其中 \( Xf \) 和 \( Yf \) 是新的光滑函数。容易验证 \( [X, Y] \) 也是一个导子，因此它对应于一个向量场。

Lie 括号具有以下重要性质：
① 双线性性（Bilinearity）：对于光滑函数 \( f, g \) 和向量场 \( X, Y, Z \)，
▮▮▮▮ⓑ \( [fX + gY, Z] = f[X, Z] + g[Y, Z] - (Zf)X - (Zg)Y \)
▮▮▮▮ⓒ \( [X, fY + gZ] = f[X, Y] + g[X, Z] + (Xf)Y + (Xg)Z \)
④ 反对称性（Antisymmetry）：\( [X, Y] = -[Y, X] \)
⑤ Jacobi 恒等式（Jacobi Identity）：\( [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0 \)

这些性质使得光滑向量场空间 \( \mathfrak{X}(M) \) 在 Lie 括号下构成一个 Lie 代数（Lie algebra）。Lie 代数在研究 Lie 群（Lie group）和流形的对称性中扮演着核心角色。

在局部坐标系 \( (x^1, \dots, x^n) \) 下，如果 \( X = \sum X^i \frac{\partial}{\partial x^i} \) 且 \( Y = \sum Y^j \frac{\partial}{\partial x^j} \)，则它们的 Lie 括号的分量可以计算为：
\[ [X, Y] = \sum_k \left( \sum_i X^i \frac{\partial Y^k}{\partial x^i} - \sum_j Y^j \frac{\partial X^k}{\partial x^j} \right) \frac{\partial}{\partial x^k} \]
或者写成：
\[ [X, Y]^k = \sum_i \left( X^i \frac{\partial Y^k}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial X^k}{\partial x^i} \right) \]
这个公式在实际计算中非常有用。

⚝ Lie 括号的例子 (Examples of Lie Bracket)
▮▮▮▮⚝ 在 \( \mathbb{R}^3 \) 的标准坐标 \( (x, y, z) \) 下，考虑向量场 \( X = \frac{\partial}{\partial x} \) 和 \( Y = x \frac{\partial}{\partial y} \)。
\[ [X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf) \]
\[ X(Yf) = \frac{\partial}{\partial x} \left( x \frac{\partial f}{\partial y} \right) = 1 \cdot \frac{\partial f}{\partial y} + x \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \]
\[ Y(Xf) = x \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = x \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]
由于 \( f \) 是光滑函数，\( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \)。
\[ [X, Y]f = \frac{\partial f}{\partial y} \]
所以 \( [X, Y] = \frac{\partial}{\partial y} \)。

切空间和向量场是微分几何中描述流形局部结构和其上微分算子的基本概念。理解它们是进一步学习流形上的微分形式、联络、曲率等高级概念的基础。

6. chapter 6：微分形式与外微分 (Differential Forms and Exterior Calculus)

微分几何不仅仅研究曲线和曲面的局部和整体性质，更深入地，它研究流形 (manifold) 上的各种几何结构。在流形上进行微积分运算需要一套合适的工具，而微分形式 (differential forms) 和外微分 (exterior calculus) 正是这样一套强大而优雅的语言。它们不仅统一了经典向量分析中的梯度 (gradient)、旋度 (curl) 和散度 (divergence) 概念，而且为流形上的积分 (integration) 和拓扑性质的研究提供了基础。本章将系统地介绍微分形式的定义、性质以及外微分运算，为后续章节中黎曼几何 (Riemannian geometry) 和流形上积分的讨论奠定坚实基础。

6.1 余切空间与张量 (Cotangent Space and Tensors)

在研究流形上的几何时，我们首先接触到的是切空间 (tangent space)。切空间 \(T_p M\) 是流形 \(M\) 在点 \(p\) 处所有切向量 (tangent vectors) 构成的向量空间。与任何向量空间一样，切空间也有其对偶空间 (dual space)。

① 对偶空间 (Dual Space)

给定一个向量空间 \(V\)，其对偶空间 \(V^*\) 定义为从 \(V\) 到其基域 \(F\) (通常是实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)) 的所有线性泛函 (linear functionals) 构成的向量空间。即，\(V^* = \{f: V \to F \mid f \text{ is linear}\}\)。
如果 \(V\) 是有限维的，设 \(\dim(V) = n\)，并且 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是 \(V\) 的一组基 (basis)。那么 \(V^*\) 也有一个自然的基，称为对偶基 (dual basis)，记为 \(\{e^1, \dots, e^n\}\)。对偶基的定义满足：
\[ e^i(e_j) = \delta^i_j \]
其中 \(\delta^i_j\) 是克罗内克符号 (Kronecker delta)，当 \(i=j\) 时为 1，当 \(i \neq j\) 时为 0。
对于 \(V^*\) 中的任意一个线性泛函 \(\alpha\)，它可以表示为对偶基的线性组合：
\[ \alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i e^i \]
其中 \(\alpha_i = \alpha(e_i)\)。

② 余切空间 (Cotangent Space)

流形 \(M\) 在点 \(p\) 处的余切空间 \(T_p^* M\) 定义为该点切空间 \(T_p M\) 的对偶空间。
\[ T_p^* M = (T_p M)^* \]
余切空间中的元素称为余切向量 (cotangent vectors) 或 1-形式 (1-forms) 在点 \(p\) 处的值。
如果 \(\{ \frac{\partial}{\partial x^1}|_p, \dots, \frac{\partial}{\partial x^n}|_p \}\) 是 \(T_p M\) 基于局部坐标系 \((x^1, \dots, x^n)\) 的一组自然基，那么其对偶基 \(\{ dx^1|_p, \dots, dx^n|_p \}\) 构成了 \(T_p^* M\) 的一组基。这里的 \(dx^i|_p\) 是一个线性泛函，它作用在切向量 \(v = \sum v^j \frac{\partial}{\partial x^j}|_p \in T_p M\) 上，给出其第 \(i\) 个分量：
\[ dx^i|_p(v) = dx^i|_p \left( \sum_{j=1}^n v^j \frac{\partial}{\partial x^j}|_p \right) = \sum_{j=1}^n v^j dx^i|_p \left( \frac{\partial}{\partial x^j}|_p \right) = \sum_{j=1}^n v^j \delta^i_j = v^i \]
因此，余切空间 \(T_p^* M\) 的任意一个余切向量 \(\alpha_p\) 都可以表示为：
\[ \alpha_p = \sum_{i=1}^n \alpha_i dx^i|_p \]
其中 \(\alpha_i = \alpha_p(\frac{\partial}{\partial x^i}|_p)\)。

③ 张量 (Tensors)

张量是线性代数和微分几何中的核心概念，它推广了向量和线性泛函的概念。粗略地说，张量是作用在切向量和余切向量上的多重线性映射 (multilinear maps)。

一个 \((k, l)\) 型张量 (tensor of type \((k, l)\)) 在点 \(p\) 处是一个多重线性映射：
\[ T_p: \underbrace{T_p^* M \times \dots \times T_p^* M}_{k \text{ times}} \times \underbrace{T_p M \times \dots \times T_p M}_{l \text{ times}} \to \mathbb{R} \]
也就是说，它接受 \(k\) 个余切向量和 \(l\) 个切向量作为输入，输出一个实数，并且对每个输入都是线性的。
⚝ \(k\) 称为协变阶数 (covariant order) 或下指标个数。
⚝ \(l\) 称为逆变阶数 (contravariant order) 或上指标个数。
⚝ 总阶数 (total order) 是 \(k+l\)。

一些特殊类型的张量：
⚝ \((1, 0)\) 型张量：作用在 \(T_p^* M\) 上，输出实数。根据对偶空间的性质，这等价于 \(T_p M\) 中的一个向量。所以切向量是 \((1, 0)\) 型张量。
⚝ \((0, 1)\) 型张量：作用在 \(T_p M\) 上，输出实数。这是 \(T_p^* M\) 中的一个余切向量。所以余切向量是 \((0, 1)\) 型张量。
⚝ \((0, 0)\) 型张量：不接受任何向量或余切向量作为输入，输出一个实数。这只是一个标量 (scalar) 或函数值。
⚝ \((1, 1)\) 型张量：作用在 \(T_p^* M \times T_p M\) 上。例如，线性变换 (linear transformation) \(L: T_p M \to T_p M\) 可以看作是 \((1, 1)\) 型张量。

④ 张量的分量表示 (Component Representation of Tensors)

在局部坐标系 \((x^1, \dots, x^n)\) 下，\(T_p M\) 有基 \(\{ \frac{\partial}{\partial x^i}|_p \}\) (\(i=1, \dots, n\))，\(T_p^* M\) 有对偶基 \(\{ dx^j|_p \}\) (\(j=1, \dots, n\))。一个 \((k, l)\) 型张量 \(T_p\) 完全由其在基向量上的取值确定。这些值称为张量的分量 (components)。
例如，一个 \((1, 1)\) 型张量 \(T_p\) 的分量 \(T^i_j\) 定义为：
\[ T^i_j = T_p(dx^i|_p, \frac{\partial}{\partial x^j}|_p) \]
注意上标和下标的位置反映了张量的逆变和协变阶数。
在分量表示下，张量运算（如张量积 (tensor product)、缩并 (contraction)）可以通过分量运算来完成。爱因斯坦求和约定 (Einstein summation convention) 在此非常有用，即当一个指标在同一项中同时出现上标和下标时，表示对该指标求和。例如，一个 \((1, 1)\) 型张量 \(T\) 作用在余切向量 \(\alpha = \alpha_i dx^i\) 和切向量 \(v = v^j \frac{\partial}{\partial x^j}\) 上时，其值为：
\[ T(\alpha, v) = T(\alpha_i dx^i, v^j \frac{\partial}{\partial x^j}) = \alpha_i v^j T(dx^i, \frac{\partial}{\partial x^j}) = \alpha_i v^j T^i_j \]

⑤ 张量的变换法则 (Transformation Rules for Tensors)

当改变局部坐标系时，张量的分量会按照特定的法则进行变换。设 \((x^1, \dots, x^n)\) 和 \((y^1, \dots, y^n)\) 是两个局部坐标系，它们之间的变换由 \(y^i = y^i(x^1, \dots, x^n)\) 给出。
切向量基的变换法则为：
\[ \frac{\partial}{\partial x^j} = \sum_i \frac{\partial y^i}{\partial x^j} \frac{\partial}{\partial y^i} \]
余切向量基的变换法则为：
\[ dy^i = \sum_j \frac{\partial y^i}{\partial x^j} dx^j \]
或者反过来：
\[ dx^j = \sum_i \frac{\partial x^j}{\partial y^i} dy^i \]
一个 \((k, l)\) 型张量 \(T\) 的分量 \(T^{i_1 \dots i_l}_{j_1 \dots j_k}\) 在新坐标系 \((y)\) 下的分量 \(T'^{p_1 \dots p_l}_{q_1 \dots q_k}\) 的变换法则为：
\[ T'^{p_1 \dots p_l}_{q_1 \dots q_k} = \sum_{i_1, \dots, i_l} \sum_{j_1, \dots, j_k} \frac{\partial y^{p_1}}{\partial x^{i_1}} \dots \frac{\partial y^{p_l}}{\partial x^{i_l}} \frac{\partial x^{j_1}}{\partial y^{q_1}} \dots \frac{\partial x^{j_k}}{\partial y^{q_k}} T^{i_1 \dots i_l}_{j_1 \dots j_k} \]
这个变换法则正是张量定义的本质特征，它保证了张量本身是一个独立于坐标系的对象。

6.2 外代数 (Exterior Algebra)

在微分几何中，我们对一类特殊的张量特别感兴趣：反对称 (antisymmetric) 的协变张量。这些张量构成了外代数的基础，而微分形式正是光滑地选取这些反对称张量场 (tensor fields)。

① 交错多重线性映射 (Alternating Multilinear Maps)

考虑一个 \(k\) 阶协变张量 \(T_p\)，即一个多重线性映射 \(T_p: \underbrace{T_p M \times \dots \times T_p M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\)。如果对于任意两个输入向量 \(v_i, v_j \in T_p M\)，交换它们的位置会导致张量值变号，则称 \(T_p\) 是反对称的或交错的 (alternating)：
\[ T_p(\dots, v_i, \dots, v_j, \dots) = - T_p(\dots, v_j, \dots, v_i, \dots) \]
更一般地，如果 \(\sigma\) 是一个作用在 \(\{1, \dots, k\}\) 上的置换 (permutation)，那么
\[ T_p(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \text{sgn}(\sigma) T_p(v_1, \dots, v_k) \]
其中 \(\text{sgn}(\sigma)\) 是置换 \(\sigma\) 的符号 (sign)。
如果输入向量中有任意两个是相同的，则交错多重线性映射的值为零：
\[ T_p(\dots, v, \dots, v, \dots) = 0 \]

② 外积 (Wedge Product)

外积是一种将两个交错多重线性映射组合成一个新的交错多重线性映射的运算。设 \(\alpha_p\) 是一个 \(k\) 阶交错张量，\(\beta_p\) 是一个 \(l\) 阶交错张量。它们的外积 \(\alpha_p \wedge \beta_p\) 是一个 \(k+l\) 阶交错张量，定义为：
\[ (\alpha_p \wedge \beta_p)(v_1, \dots, v_{k+l}) = \frac{1}{k! l!} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} \text{sgn}(\sigma) \alpha_p(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) \beta_p(v_{\sigma(k+1)}, \dots, v_{\sigma(k+l)}) \]
其中 \(S_{k+l}\) 是 \(\{1, \dots, k+l\}\) 上的所有置换集合。
这个定义看起来有点复杂，但其核心思想是取所有可能的输入向量的排列，将前 \(k\) 个输入给 \(\alpha_p\)，后 \(l\) 个输入给 \(\beta_p\)，然后根据置换的符号加权求和，最后归一化。

外积具有以下重要性质：
⚝ 结合律 (Associativity): \((\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma = \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma)\)
⚝ 反交换律 (Anti-commutativity): \(\alpha \wedge \beta = (-1)^{kl} \beta \wedge \alpha\)，其中 \(\alpha\) 是 \(k\) 阶，\(\beta\) 是 \(l\) 阶。
▮▮▮▮⚝ 特别地，如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 都是奇数阶，则 \(\alpha \wedge \beta = - \beta \wedge \alpha\)。
▮▮▮▮⚝ 如果 \(\alpha\) 或 \(\beta\) 至少有一个是偶数阶，则 \(\alpha \wedge \beta = \beta \wedge \alpha\)。
▮▮▮▮⚝ 对于 1-形式 \(dx^i\) 和 \(dx^j\)，\(dx^i \wedge dx^j = - dx^j \wedge dx^i\)。特别地，\(dx^i \wedge dx^i = 0\)。
⚝ 对加法的分配律 (Distributivity over addition): \(\alpha \wedge (\beta + \gamma) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \gamma\)

③ 外代数 (Exterior Algebra)

对于点 \(p\) 处的切空间 \(T_p M\)，我们可以构造其上的外代数，记为 \(\Lambda(T_p^* M)\)。这是由 \(T_p^* M\) 中的元素（1-形式）通过外积生成的代数。
\(\Lambda(T_p^* M)\) 可以分解为不同阶数的交错张量空间的直和：
\[ \Lambda(T_p^* M) = \Lambda^0(T_p^* M) \oplus \Lambda^1(T_p^* M) \oplus \Lambda^2(T_p^* M) \oplus \dots \oplus \Lambda^n(T_p^* M) \]
其中 \(\Lambda^k(T_p^* M)\) 是 \(k\) 阶交错张量构成的向量空间。
⚝ \(\Lambda^0(T_p^* M) \cong \mathbb{R}\) (标量)
⚝ \(\Lambda^1(T_p^* M) = T_p^* M\) (余切向量或 1-形式)
⚝ \(\Lambda^k(T_p^* M)\) 是 \(k\) 阶交错协变张量空间。
⚝ 如果 \(\dim(T_p M) = n\)，则对于 \(k > n\)，\(\Lambda^k(T_p^* M) = \{0\}\)，因为不可能找到 \(k\) 个线性无关的向量来输入一个 \(k\) 阶交错张量。

在局部坐标系下，\(T_p^* M\) 的基是 \(\{dx^1|_p, \dots, dx^n|_p\}\)。\(\Lambda^k(T_p^* M)\) 的基由所有形如 \(dx^{i_1}|_p \wedge \dots \wedge dx^{i_k}|_p\) 的 \(k\) 阶外积构成，其中 \(1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n\)。
\(\Lambda^k(T_p^* M)\) 的维数是 \(\binom{n}{k}\)。
整个外代数 \(\Lambda(T_p^* M)\) 的维数是 \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n\)。

例如，在 \(\mathbb{R}^3\) 中 (\(n=3\))：
⚝ \(\Lambda^0(\mathbb{R}^3)\) 的基是 \(\{1\}\)，维数 \(\binom{3}{0}=1\)。
⚝ \(\Lambda^1(\mathbb{R}^3)\) 的基是 \(\{dx^1, dx^2, dx^3\}\)，维数 \(\binom{3}{1}=3\)。
⚝ \(\Lambda^2(\mathbb{R}^3)\) 的基是 \(\{dx^1 \wedge dx^2, dx^1 \wedge dx^3, dx^2 \wedge dx^3\}\)，维数 \(\binom{3}{2}=3\)。
⚝ \(\Lambda^3(\mathbb{R}^3)\) 的基是 \(\{dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3\}\)，维数 \(\binom{3}{3}=1\)。
⚝ \(\Lambda^k(\mathbb{R}^3) = \{0\}\) for \(k > 3\)。
总维数 \(1+3+3+1=8=2^3\)。

6.3 微分形式 (Differential Forms)

微分形式是流形上光滑地变化的交错协变张量场。

① k-形式的定义 (Definition of k-forms)

一个 \(k\)-形式 (k-form) \(\omega\) 是一个光滑映射 (smooth map)，它将流形 \(M\) 上的每一点 \(p\) 映射到 \(T_p M\) 上的一个 \(k\) 阶交错协变张量 \(\omega_p \in \Lambda^k(T_p^* M)\)。
\[ \omega: M \to \bigcup_{p \in M} \Lambda^k(T_p^* M) \]
且对于任意光滑向量场 \(X_1, \dots, X_k\)，函数 \(p \mapsto \omega_p((X_1)_p, \dots, (X_k)_p)\) 是 \(M\) 上的光滑函数。
所有 \(k\)-形式构成的向量空间记为 \(\Omega^k(M)\)。

一些特殊情况：
⚝ 0-形式 (\(k=0\))：\(\omega_p \in \Lambda^0(T_p^* M) \cong \mathbb{R}\)。一个 0-形式就是一个光滑函数 \(f: M \to \mathbb{R}\)。\(\Omega^0(M) = C^\infty(M)\)。
⚝ 1-形式 (\(k=1\))：\(\omega_p \in \Lambda^1(T_p^* M) = T_p^* M\)。一个 1-形式是将每一点 \(p\) 映射到 \(T_p^* M\) 中的一个余切向量的光滑场。

② 局部坐标表示 (Local Coordinate Representation)

在流形 \(M\) 的一个局部坐标系 \((U, \phi)\)，其中 \(\phi(p) = (x^1(p), \dots, x^n(p))\)，\(T_p^* M\) 有基 \(\{dx^1|_p, \dots, dx^n|_p\}\)。因此，任意一个 \(k\)-形式 \(\omega\) 在 \(U\) 上可以表示为：
\[ \omega|_U = \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} f_{i_1 \dots i_k}(x^1, \dots, x^n) dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} \]
其中 \(f_{i_1 \dots i_k}\) 是 \(U\) 上的光滑函数。这里的 \(dx^i\) 是一个 1-形式，它在点 \(p\) 处的值就是 \(dx^i|_p\)。

例如，在 \(\mathbb{R}^3\) 中：
⚝ 0-形式：\(f(x, y, z)\) (光滑函数)。
⚝ 1-形式：\(\omega = f_1 dx + f_2 dy + f_3 dz\)，其中 \(f_1, f_2, f_3\) 是光滑函数。
⚝ 2-形式：\(\eta = g_1 dx \wedge dy + g_2 dx \wedge dz + g_3 dy \wedge dz\)，其中 \(g_1, g_2, g_3\) 是光滑函数。
⚝ 3-形式：\(\nu = h dx \wedge dy \wedge dz\)，其中 \(h\) 是光滑函数。

③ 微分形式的运算 (Operations on Differential Forms)

⚝ 加法 (Addition): 同阶的微分形式可以相加，逐点定义。
\[ (\omega + \eta)_p = \omega_p + \eta_p \]
⚝ 与函数的乘法 (Multiplication by a function): 如果 \(f\) 是一个光滑函数 (0-形式)，\(\omega\) 是一个 \(k\)-形式，则 \(f\omega\) 是一个 \(k\)-形式，定义为 \((f\omega)_p = f(p) \omega_p\)。
⚝ 外积 (Wedge Product): 如果 \(\omega\) 是 \(k\)-形式，\(\eta\) 是 \(l\)-形式，则它们的外积 \(\omega \wedge \eta\) 是一个 \((k+l)\)-形式，逐点定义为 \((\omega \wedge \eta)_p = \omega_p \wedge \eta_p\)。
外积的性质继承自点态外积：
▮▮▮▮⚝ \(\omega \wedge \eta = (-1)^{kl} \eta \wedge \omega\)
▮▮▮▮⚝ \(\omega \wedge (\eta + \gamma) = \omega \wedge \eta + \omega \wedge \gamma\)
▮▮▮▮⚝ \((\omega \wedge \eta) \wedge \gamma = \omega \wedge (\eta \wedge \gamma)\)

6.4 外微分 (Exterior Derivative)

外微分是一个将 \(k\)-形式映射到 \((k+1)\)-形式的算子，记为 \(d\)。它是微分形式理论中最核心的运算之一。

① 外微分的定义与性质 (Definition and Properties of Exterior Derivative)

外微分 \(d: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)\) 是一个唯一的 \(\mathbb{R}\)-线性映射，满足以下性质：
1. 对于 0-形式 \(f \in \Omega^0(M)\) (即光滑函数)，\(df\) 是一个 1-形式，定义为 \(df|_p(v) = v(f)\) 对于任意 \(v \in T_p M\)。在局部坐标系下，\(df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i\)。这与函数梯度的概念密切相关。
2. 对于任意 \(k\)-形式 \(\omega\) 和 \(l\)-形式 \(\eta\)，有莱布尼兹法则 (Leibniz rule) 的推广：
\[ d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta \]
3. \(d^2 = 0\)，即对任意微分形式 \(\omega\)，\(d(d\omega) = 0\)。

② 局部坐标下的外微分 (Exterior Derivative in Local Coordinates)

利用上述性质，我们可以推导出任意 \(k\)-形式在局部坐标系下的外微分公式。
设 \(\omega = \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} f_{i_1 \dots i_k} dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}\)。
根据性质 1 和 2：
\[ d\omega = d \left( \sum_{i_1 < \dots < i_k} f_{i_1 \dots i_k} dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} \right) \]
\[ = \sum_{i_1 < \dots < i_k} d(f_{i_1 \dots i_k}) \wedge dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} + \sum_{i_1 < \dots < i_k} f_{i_1 \dots i_k} d(dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}) \]
对于 \(dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}\)，由于 \(dx^i\) 是 1-形式，\(d(dx^i)\) 是 2-形式。根据 \(d^2=0\) 的性质，\(d(df) = d(\sum \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i) = \sum d(\frac{\partial f}{\partial x^i}) \wedge dx^i + \sum \frac{\partial f}{\partial x^i} d(dx^i)\)。如果 \(f=x^j\)，则 \(df = dx^j\)，\(d(dx^j)=0\)。因此，\(d(dx^i) = 0\) 对于所有 \(i\)。
所以，\(d(dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}) = 0\).```
\[ d\omega = \sum_{i_1 < \dots < i_k} df_{i_1 \dots i_k} \wedge dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} \]
\[ = \sum_{i_1 < \dots < i_k} \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_{i_1 \dots i_k}}{\partial x^j} dx^j \right) \wedge dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} \]

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                            1
                            这是一个 \((k+1)\)-形式。
                        

                            2
                            
                        

                            3
                            ③ **外微分与经典向量分析算子 (Exterior Derivative and Classical Vector Calculus Operators)**
                        

                            4
                            
                        

                            5
                            在 \(\mathbb{R}^3\) 中，外微分与经典向量分析中的梯度、旋度和散度有着深刻的联系。这种联系通过 Hodge 星号算子 (Hodge star operator) 建立，但即使不引入星号算子，我们也可以看到对应关系：
                        

                            6
                            *   **梯度 (Gradient):** 对于 0-形式 \(f \in \Omega^0(\mathbb{R}^3)\)，\(df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz\)。这对应于函数 \(f\) 的梯度向量 \(\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})\) 的协变表示。
                        

                            7
                            *   **旋度 (Curl):** 对于 1-形式 \(\omega = P dx + Q dy + R dz \in \Omega^1(\mathbb{R}^3)\)，
                        

                            8
                                ```
                        

                            9
                            
                        

                            10
                                \[ d\omega = dP \wedge dx + dQ \wedge dy + dR \wedge dz \]
                        

                            11
                                \[ = (\frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy + \frac{\partial P}{\partial z} dz) \wedge dx \]
                        

                            12
                                \[ + (\frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial y} dy + \frac{\partial Q}{\partial z} dz) \wedge dy \]
                        

                            13
                                \[ + (\frac{\partial R}{\partial x} dx + \frac{\partial R}{\partial y} dy + \frac{\partial R}{\partial z} dz) \wedge dz \]
                        

                            14
                                \[ = \frac{\partial P}{\partial y} dy \wedge dx + \frac{\partial P}{\partial z} dz \wedge dx \]
                        

                            15
                                \[ + \frac{\partial Q}{\partial x} dx \wedge dy + \frac{\partial Q}{\partial z} dz \wedge dy \]
                        

                            16
                                \[ + \frac{\partial R}{\partial x} dx \wedge dz + \frac{\partial R}{\partial y} dy \wedge dz \]
                        

                            17
                                \[ = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dx \wedge dy + (\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}) dx \wedge dz + (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) dy \wedge dz \]

如果我们将向量场 \(\mathbf{F} = (P, Q, R)\) 与 1-形式 \(\omega = P dx + Q dy + R dz\) 对应，那么 \(d\omega\) 的系数 \(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\), \(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\), \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (注意 \(dx \wedge dz = - dz \wedge dx\)) 正是 \(\nabla \times \mathbf{F}\) 的分量。
散度 (Divergence): 对于 2-形式 \(\eta = P dy \wedge dz + Q dz \wedge dx + R dx \wedge dy \in \Omega^2(\mathbb{R}^3)\)，

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                                \[ d\eta = dP \wedge dy \wedge dz + dQ \wedge dz \wedge dx + dR \wedge dx \wedge dy \]
                        

                            2
                                \[ = (\frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy + \frac{\partial P}{\partial z} dz) \wedge dy \wedge dz \]
                        

                            3
                                \[ + (\frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial y} dy + \frac{\partial Q}{\partial z} dz) \wedge dz \wedge dx \]
                        

                            4
                                \[ + (\frac{\partial R}{\partial x} dx + \frac{\partial R}{\partial y} dy + \frac{\partial R}{\partial z} dz) \wedge dx \wedge dy \]
                        

                            5
                                \[ = \frac{\partial P}{\partial x} dx \wedge dy \wedge dz + \frac{\partial Q}{\partial y} dy \wedge dz \wedge dx + \frac{\partial R}{\partial z} dz \wedge dx \wedge dy \]
                        

                            6
                                \[ = (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dx \wedge dy \wedge dz \]

7. chapter 7：流形上的积分 (Integration on Manifolds)

微分几何不仅仅是研究局部几何性质的工具，它也为在弯曲空间（即流形）上进行分析提供了框架。在欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\) 中，我们熟悉多变量函数的积分。然而，如何在没有全局坐标系的流形上定义积分呢？本章将介绍流形上的积分理论，这是连接微分几何与拓扑学、分析学的重要桥梁。我们将从流形的定向开始，引入体积形式，然后定义流形上的积分，并最终阐述微分几何中最深刻的定理之一：Stokes定理。

7.1 流形的定向 (Orientation of Manifolds)

在 \(\mathbb{R}^n\) 中，我们知道如何定义一个区域的“体积”或“有向体积”。例如，在 \(\mathbb{R}^2\) 中，一个平行四边形的面积可以通过其两个边向量的行列式来计算，行列式的符号取决于向量的顺序。这引出了“定向”的概念。在流形上，由于没有全局的坐标系，我们需要一种内在的方式来定义这种“有向性”。

一个 \(n\) 维光滑流形 \(M\) 的定向（orientation）是关于其切空间（tangent space）的一种一致选择。具体来说，对于流形 \(M\) 上的每一点 \(p\)，其切空间 \(T_p M\) 是一个 \(n\) 维向量空间。我们知道，一个 \(n\) 维向量空间 \(V\) 的定向可以通过选择一个有序基 \((v_1, \dots, v_n)\) 来定义。两个有序基 \((v_1, \dots, v_n)\) 和 \((w_1, \dots, w_n)\) 定义相同的定向，如果从一个基到另一个基的过渡矩阵（transition matrix）的行列式是正的。这将在所有有序基上定义一个等价关系，将它们分成两类，每一类称为一个定向。一个向量空间恰好有两个定向。

对于流形 \(M\)，我们需要在每一点 \(p\) 的切空间 \(T_p M\) 上选择一个定向，并且这种选择必须是“光滑”或“一致”的。

① 定义 (Definition)：定向 (Orientation)
一个 \(n\) 维光滑流形 \(M\) 的一个定向是指对于每一点 \(p \in M\)，在切空间 \(T_p M\) 上选择一个定向 \(\mathcal{O}_p\)，使得对于 \(M\) 的任意一个光滑图册（smooth atlas） \(\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}\)，如果 \(U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset\)，则在 \(U_\alpha \cap U_\beta\) 上，从 \(\phi_\alpha\) 诱导的切空间基到 \(\phi_\beta\) 诱导的切空间基的过渡映射的行列式处处为正。

更精确地说，对于一个图 \( (U, \phi) \)，其中 \(\phi: U \to \mathbb{R}^n\) 是一个同胚，\(\phi\) 诱导了 \(U\) 上每一点 \(p\) 的切空间 \(T_p M\) 的一个基 \(\left( \frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p, \dots, \frac{\partial}{\partial x^n}\bigg|_p \right)\)，其中 \((x^1, \dots, x^n)\) 是 \(\phi(p)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中的坐标。如果 \((U_\alpha, \phi_\alpha)\) 和 \((U_\beta, \phi_\beta)\) 是图册中的两个图，且 \(p \in U_\alpha \cap U_\beta\)，则过渡映射（transition map）是 \(\psi_{\beta\alpha} = \phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1}: \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)\)。这个映射在 \(\mathbb{R}^n\) 的开集之间是光滑的。其在 \(\phi_\alpha(p)\) 处的微分（derivative） \(D\psi_{\beta\alpha}(\phi_\alpha(p))\) 是一个从 \(T_{\phi_\alpha(p)}\mathbb{R}^n\) 到 \(T_{\phi_\beta(p)}\mathbb{R}^n\) 的线性同构。通过 \(\phi_\alpha\) 和 \(\phi_\beta\) 的微分，这个线性同构可以看作是从 \(T_p M\) 到自身的线性同构。具体来说，基 \(\left( \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p \right)\) 和 \(\left( \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_p \right)\) （其中 \((y^j)\) 是 \(\phi_\beta\) 诱导的坐标）之间的关系由雅可比矩阵（Jacobian matrix）给出：
\[ \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p = \sum_{j=1}^n \frac{\partial y^j}{\partial x^i}(\phi_\alpha(p)) \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_p \]
过渡矩阵是 \(J = \left( \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \right)\)。如果对于任意相交的图 \((U_\alpha, \phi_\alpha)\) 和 \((U_\beta, \phi_\beta)\)，在 \(U_\alpha \cap U_\beta\) 上处处有 \(\det(J) > 0\)，则称该图册是定向一致的（orientation-consistent）。

② 定义 (Definition)：可定向流形 (Orientable Manifold)
一个光滑流形 \(M\) 称为可定向的（orientable），如果它存在一个定向一致的光滑图册。一个已选择了定向的流形称为定向流形（oriented manifold）。

⚝ 例子：
▮▮▮▮⚝ \(\mathbb{R}^n\) 是可定向的。标准坐标系 \((x^1, \dots, x^n)\) 诱导了一个全局的定向。
▮▮▮▮⚝ 球面 \(S^n\) 对于 \(n \ge 1\) 是可定向的。
▮▮▮▮⚝ 环面 \(T^n\) 是可定向的。
▮▮▮▮⚝ 莫比乌斯带（Möbius band）是一个不可定向的二维流形（带边界）。
▮▮▮▮⚝ 实射影空间（real projective space） \(\mathbb{R}P^n\) 在 \(n\) 是偶数时是不可定向的，在 \(n\) 是奇数时是可定向的。

一个流形是可定向的当且仅当其切丛（tangent bundle）是平凡的（trivial）或者更一般地，当且仅当其最高维的外幂丛（exterior power bundle） \(\Lambda^n T^*M\) （称为体积丛，volume bundle）是平凡的。一个定向的选择对应于在体积丛的每个纤维（fiber）上选择一个非零的 \(n\)-形式的光滑场。

7.2 体积形式 (Volume Forms)

在 \(\mathbb{R}^n\) 中，我们用 \(dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n\) 来衡量体积。在流形上，其对应的概念是体积形式。

① 定义 (Definition)：体积形式 (Volume Form)
一个 \(n\) 维光滑流形 \(M\) 上的体积形式（volume form）是一个处处非零的 \(n\)-形式（n-form） \(\omega \in \Omega^n(M)\)。

回想一下，一个 \(n\)-形式 \(\omega\) 在点 \(p\) 处是切空间 \(T_p M\) 的 \(n\) 个向量的反对称多重线性函数 \(\omega_p: (T_p M)^n \to \mathbb{R}\)。处处非零意味着对于每一点 \(p \in M\)，\(\omega_p \neq 0\)。

体积形式的存在性与流形的可定向性密切相关。

② 定理 (Theorem)：体积形式的存在性
一个 \(n\) 维光滑流形 \(M\) 存在体积形式当且仅当 \(M\) 是可定向的。

证明的思路是：如果 \(M\) 是可定向的，则存在一个定向一致的图册 \(\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}\)。在每个 \(U_\alpha\) 上，我们可以定义一个 \(n\)-形式 \(\omega_\alpha = \phi_\alpha^*(dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n)\)。这里的 \(\phi_\alpha^*\) 是拉回（pullback）操作。在 \(U_\alpha \cap U_\beta\) 上，由于图册是定向一致的，过渡映射的雅可比行列式为正，这保证了 \(\omega_\alpha\) 和 \(\omega_\beta\) 在交集上以一个正的光滑函数为因子相差，即 \(\omega_\beta = f \omega_\alpha\) 且 \(f > 0\)。利用单位分解（partition of unity），可以将这些局部定义的 \(n\)-形式“粘合”起来，得到一个全局的处处非零的 \(n\)-形式。反之，如果存在一个处处非零的 \(n\)-形式 \(\omega\)，则在每个图 \((U, \phi)\) 上，\(\omega|_U = f \phi^*(dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n)\) 对于某个光滑函数 \(f\) 成立。由于 \(\omega\) 处处非零，\(f\) 处处非零。在 \(U \cap V\) 上，对于另一个图 \((V, \psi)\)，\(\omega|_V = g \psi^*(dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n)\)。通过计算可以发现，过渡映射 \(\psi \circ \phi^{-1}\) 的雅可比行列式与 \(f\) 和 \(g\) 的比值有关。选择所有 \(f > 0\) 的图构成一个定向一致的图册。

⚝ 例子：
▮▮▮▮⚝ 在 \(\mathbb{R}^n\) 上，\(dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n\) 是一个体积形式。
▮▮▮▮⚝ 在 \(S^2\) 上，可以定义一个体积形式。例如，使用球坐标 \(( \theta, \phi )\)，体积形式可以写为 \(\sin\theta \, d\theta \wedge d\phi\)。在北极和南极需要使用不同的坐标系，但可以证明它们是协调的。

如果流形 \(M\) 是黎曼流形（Riemannian manifold），即 \(M\) 上有一个黎曼度量 \(g\)，那么 \(M\) 自动是可定向的（假设 \(M\) 是连通的）。黎曼度量 \(g\) 在每一点 \(p\) 的切空间 \(T_p M\) 上定义了一个内积。选择 \(T_p M\) 的一个标准正交基 \((e_1, \dots, e_n)\)。则 \(e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*\) 是 \(T_p^* M\) 的一个 \(n\)-形式，其中 \(e_i^*\) 是 \(e_i\) 的对偶向量。这个 \(n\)-形式的模长（norm）为 1。通过光滑地选择标准正交基的定向，可以在整个流形上定义一个体积形式，称为黎曼体积形式（Riemannian volume form）或度量体积形式（metric volume form），通常记为 \(dV_g\) 或 \(*1\)。在局部坐标 \((x^1, \dots, x^n)\) 下，如果 \(g_{ij} = g\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right)\)，则 \(dV_g = \sqrt{\det(g_{ij})} \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n\)。

7.3 流形上的积分定义 (Definition of Integration on Manifolds)

有了定向和体积形式的概念，我们现在可以定义在流形上对 \(n\)-形式的积分。注意，我们积分的对象是 \(n\)-形式，而不是函数。虽然可以通过体积形式将函数转化为 \(n\)-形式（即 \(f \mapsto f \omega\)，其中 \(\omega\) 是体积形式），但直接积分 \(n\)-形式是更基本和内在的方式。

假设 \(M\) 是一个 \(n\) 维定向流形，\(\omega\) 是 \(M\) 上的一个 \(n\)-形式。我们想定义 \(\int_M \omega\)。

① 局部积分 (Local Integration)
首先考虑 \(\omega\) 的支撑集（support） \(\text{supp}(\omega)\) 包含在一个定向图 \((U, \phi)\) 中，其中 \(\phi: U \to V \subset \mathbb{R}^n\) 是一个微分同胚，\(V\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的开集，并且 \((U, \phi)\) 与 \(M\) 的定向一致。在 \(U\) 上，\(\omega\) 可以写成 \(\omega|_U = f \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n\) 的拉回，即 \(\omega|_U = (\phi^{-1})^*(g \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n)\) 对于某个函数 \(g: V \to \mathbb{R}\)。更直接地，\(\omega|_U = h \, d\phi^1 \wedge \dots \wedge d\phi^n\) 对于某个函数 \(h: U \to \mathbb{R}\)，其中 \(\phi = (\phi^1, \dots, \phi^n)\)。通过拉回，\(\omega\) 对应于 \(\mathbb{R}^n\) 上的 \(n\)-形式 \((\phi^{-1})^*\omega\)。在 \(V\) 上，\((\phi^{-1})^*\omega\) 可以写成 \(g(x^1, \dots, x^n) \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n\)，其中 \(g = h \circ \phi^{-1}\)。由于 \(\text{supp}(\omega) \subset U\)，\(\text{supp}(g) \subset V\) 是一个紧集。我们在 \(\mathbb{R}^n\) 上定义 \(g\) 的积分为 \(\int_V g(x) \, dx^1 \dots dx^n\)。

② 定义 (Definition)：流形上 \(n\)-形式的积分 (Integral of an n-form on a Manifold)
设 \(M\) 是一个 \(n\) 维定向流形，\(\omega\) 是 \(M\) 上的一个紧支撑（compactly supported）\(n\)-形式。选择一个从属于 \(M\) 的定向图册 \(\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}\) 的单位分解 \(\{\rho_i\}\)。则 \(\omega = \sum_i \rho_i \omega\)。每个 \(\rho_i \omega\) 是一个紧支撑在 \(U_i\) （假设 \(\text{supp}(\rho_i) \subset U_i\)）上的 \(n\)-形式。定义
\[ \int_M \omega = \sum_i \int_{U_i} \rho_i \omega \]
其中 \(\int_{U_i} \rho_i \omega\) 是按照局部积分的定义进行的。具体来说，如果 \(\text{supp}(\rho_i \omega) \subset U_\alpha\)，且 \(\phi_\alpha: U_\alpha \to V_\alpha \subset \mathbb{R}^n\)，并且 \((\phi_\alpha^{-1})^*(\rho_i \omega) = g_i \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n\) 在 \(V_\alpha\) 上，则
\[ \int_{U_i} \rho_i \omega = \int_{V_\alpha} g_i(x) \, dx^1 \dots dx^n \]
可以证明，这个定义与所选的单位分解和定向图册无关。

对于非紧支撑的 \(n\)-形式，如果它是“可积的”（例如，如果 \(M\) 是完备黎曼流形且 \(\omega\) 的模长可积），积分可以通过取紧支撑形式的积分的极限来定义。但通常我们只考虑紧支撑形式的积分。

如果 \(M\) 是一个带边界的流形（manifold with boundary），其边界 \(\partial M\) 是一个 \((n-1)\) 维流形。如果 \(M\) 是可定向的，则其边界 \(\partial M\) 也自然继承一个定向。这个诱导定向（induced orientation）的定义方式是：对于边界点 \(p \in \partial M\)，选择一个指向 \(M\) 内部的切向量 \(v \in T_p M\)，以及 \(\partial M\) 在 \(p\) 的切空间 \(T_p \partial M\) 的一个有序基 \((w_1, \dots, w_{n-1})\)。如果 \((v, w_1, \dots, w_{n-1})\) 构成了 \(T_p M\) 的一个与 \(M\) 的定向一致的基，则 \((w_1, \dots, w_{n-1})\) 定义了 \(T_p \partial M\) 的一个定向。

7.4 Stokes定理 (Stokes' Theorem)

Stokes定理是经典向量分析中几个重要定理（格林公式、散度定理、旋度定理）的推广，是微分几何中最重要的定理之一。它将流形上微分形式的外微分的积分与其在边界上的积分联系起来。

① 定理 (Theorem)：Stokes定理 (Stokes' Theorem)
设 \(M\) 是一个 \(n\) 维紧致（compact）定向光滑流形，其边界为 \(\partial M\)，并赋予诱导定向。设 \(\omega\) 是 \(M\) 上的一个 \((n-1)\)-形式。则
\[ \int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega \]
其中 \(d\omega\) 是 \(\omega\) 的外微分（exterior derivative）。

这个定理的强大之处在于它将一个 \(n\) 维区域上的积分（左边）转化为了其 \((n-1)\) 维边界上的积分（右边）。

⚝ 经典特例：
▮▮▮▮⚝ 当 \(n=1\)，\(M = [a, b]\) 是一个闭区间（带边界的 1 维流形），\(\omega = f(x)\) 是一个 0-形式（即函数）。\(\partial M = \{b\} \cup \{a\}\)。区间 \([a, b]\) 的标准定向是从 \(a\) 到 \(b\)。点 \(b\) 作为右端点，其外部法向量指向右边，内部指向左边，所以诱导定向与 \([a, b]\) 的定向一致。点 \(a\) 作为左端点，其外部法向量指向左边，内部指向右边，所以诱导定向与 \([a, b]\) 的定向相反。因此，\(\int_{\partial M} \omega = \int_{\{b\}} f - \int_{\{a\}} f = f(b) - f(a)\)。而 \(d\omega = df = f'(x) dx\)。所以 Stokes 定理变为 \(\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)\)，这正是微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）。
▮▮▮▮⚝ 当 \(n=2\)，\(M\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的一个有界区域，\(\partial M\) 是其边界曲线。\(\omega = P(x, y) dx + Q(x, y) dy\) 是一个 1-形式。
\[ d\omega = d(P dx + Q dy) = dP \wedge dx + dQ \wedge dy \]
\[ dP = \frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy, \quad dQ = \frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial y} dy \]
\[ d\omega = \left(\frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy\right) \wedge dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial y} dy\right) \wedge dy \]
\[ = \frac{\partial P}{\partial y} dy \wedge dx + \frac{\partial Q}{\partial x} dx \wedge dy = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx \wedge dy \]
Stokes 定理 \(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\) 变为
\[ \iint_M \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy = \oint_{\partial M} (P dx + Q dy) \]
这正是格林公式（Green's Theorem）。
▮▮▮▮⚝ 当 \(n=3\)，\(M\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的一个有界区域，\(\partial M\) 是其边界曲面。\(\omega\) 是一个 2-形式。Stokes 定理可以导出散度定理（Divergence Theorem）和经典 Stokes 定理（关于旋度）。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 散度定理：设 \(X\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 上的一个向量场 \(X = (F, G, H)\)。考虑 2-形式 \(\omega = F dy \wedge dz + G dz \wedge dx + H dx \wedge dy\)。
\[ d\omega = dF \wedge dy \wedge dz + dG \wedge dz \wedge dx + dH \wedge dx \wedge dy \]
\[ dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy + \frac{\partial F}{\partial z} dz \]
\[ dF \wedge dy \wedge dz = \frac{\partial F}{\partial x} dx \wedge dy \wedge dz \]
类似地，\(dG \wedge dz \wedge dx = \frac{\partial G}{\partial y} dy \wedge dz \wedge dx = \frac{\partial G}{\partial y} dx \wedge dy \wedge dz\)，\(dH \wedge dx \wedge dy = \frac{\partial H}{\partial z} dz \wedge dx \wedge dy = \frac{\partial H}{\partial z} dx \wedge dy \wedge dz\)。
\[ d\omega = \left(\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial y} + \frac{\partial H}{\partial z}\right) dx \wedge dy \wedge dz = (\nabla \cdot X) dx \wedge dy \wedge dz \]
在 \(\mathbb{R}^3\) 中，\(\int_M (\nabla \cdot X) dx dy dz = \int_M d\omega\)。边界上的积分 \(\int_{\partial M} \omega\) 对应于向量场 \(X\) 穿过曲面 \(\partial M\) 的通量（flux）。这正是散度定理。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 经典 Stokes 定理：设 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的一个有向曲面（带边界 \(\partial S\)）。设 \(X = (P, Q, R)\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 上的一个向量场。考虑 1-形式 \(\omega = P dx + Q dy + R dz\)。
\[ d\omega = d(P dx + Q dy + R dz) = dP \wedge dx + dQ \wedge dy + dR \wedge dz \]
\[ dP \wedge dx = \left(\frac{\partial P}{\partial y} dy + \frac{\partial P}{\partial z} dz\right) \wedge dx = \frac{\partial P}{\partial y} dy \wedge dx + \frac{\partial P}{\partial z} dz \wedge dx \]
\[ dQ \wedge dy = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial z} dz\right) \wedge dy = \frac{\partial Q}{\partial x} dx \wedge dy + \frac{\partial Q}{\partial z} dz \wedge dy \]
\[ dR \wedge dz = \left(\frac{\partial R}{\partial x} dx + \frac{\partial R}{\partial y} dy\right) \wedge dz = \frac{\partial R}{\partial x} dx \wedge dz + \frac{\partial R}{\partial y} dy \wedge dz \]
\[ d\omega = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx \wedge dy + \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) dy \wedge dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) dz \wedge dx \]
这对应于向量场 \(\nabla \times X\) 的“旋度形式”。Stokes 定理 \(\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega\) 变为曲面积分 \(\iint_S (\nabla \times X) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_{\partial S} X \cdot d\mathbf{r}\)，这正是经典 Stokes 定理。

Stokes 定理是微分形式语言的强大体现，它统一了多变量微积分中的一系列基本定理。它的证明通常依赖于单位分解和在局部坐标系下将问题化归为 \(\mathbb{R}^n\) 中的基本定理。

流形上的积分理论和 Stokes 定理在物理学（如电磁学、流体力学）、拓扑学（如德拉姆上同调 De Rham cohomology）以及其他数学分支中有广泛的应用。它为在弯曲空间中进行分析提供了坚实的基础。

8. chapter 8：黎曼度量与联络 (Riemannian Metrics and Connections)

欢迎回到我们的微分几何课程！🎓 在前面的章节中，我们已经深入探讨了流形 (Manifolds) 的概念，理解了如何在抽象的空间中定义光滑结构 (Smooth Structures)，以及如何在流形上进行微积分运算，包括向量场 (Vector Fields) 和微分形式 (Differential Forms) 的概念，以及流形上的积分 (Integration on Manifolds) 和 Stokes定理 (Stokes' Theorem)。这些构成了我们在流形上进行几何研究的基础。

然而，到目前为止，我们讨论的流形还没有一个内在的“度量”结构。我们知道如何在局部坐标系下计算切向量 (Tangent Vectors) 的分量，但我们还没有一个统一的方式来测量切向量的长度，或者两个切向量之间的夹角。换句话说，我们还没有在流形上引入一个“内积”的概念，而这正是定义长度、面积、体积以及更重要的，曲率 (Curvature) 的基础。

本章，我们将引入黎曼度量 (Riemannian Metrics) 的概念，它为流形赋予了一种内在的几何结构，使其成为黎曼流形 (Riemannian Manifolds)。有了黎曼度量，我们就可以在流形上测量长度、计算体积，并定义“直线”——测地线 (Geodesics)。为了理解如何在黎曼流形上进行微分运算，特别是对向量场进行微分，我们将引入联络 (Connections) 的概念，特别是与黎曼度量相容的Levi-Civita联络 (Levi-Civita Connection)。这将为下一章深入探讨曲率奠定坚实的基础。

本章内容对于理解现代微分几何至关重要，它是广义相对论 (General Relativity) 和许多其他物理及工程领域数学模型的核心。请大家集中注意力，准备好迎接这些既抽象又充满力量的概念！💪

8.1 黎曼度量 (Riemannian Metrics)

在欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 中，我们有一个标准的内积（点积），它允许我们计算向量的长度 \( \|v\| = \sqrt{v \cdot v} \) 和两个向量之间的夹角 \( \theta \)，其中 \( v \cdot w = \|v\| \|w\| \cos \theta \)。这个内积在标准正交基 \( \{e_1, \dots, e_n\} \) 下可以表示为 \( v \cdot w = \sum_{i=1}^n v_i w_i \)，其中 \( v = \sum v_i e_i \) 且 \( w = \sum w_i e_i \)。

在流形 \( M \) 上，每个点 \( p \in M \) 都有一个切空间 \( T_p M \)。切空间 \( T_p M \) 是一个向量空间，我们可以像在 \( \mathbb{R}^n \) 中一样定义内积。黎曼度量 (Riemannian Metric) 就是在流形 \( M \) 的每一点 \( p \) 的切空间 \( T_p M \) 上定义的一个内积，并且这个内积随点 \( p \) 光滑地变化。

更精确地说，一个黎曼度量 \( g \) 是一个光滑的 (Smooth) 映射，它为流形 \( M \) 的每一点 \( p \) 指定一个在切空间 \( T_p M \) 上的内积 \( g_p \)。这个内积 \( g_p \) 必须满足以下性质：

① 对于任意 \( p \in M \)，\( g_p \) 是一个双线性 (Bilinear) 映射：
▮▮▮▮\( g_p: T_p M \times T_p M \to \mathbb{R} \)
▮▮▮▮对于任意 \( u, v, w \in T_p M \) 和 \( a, b \in \mathbb{R} \)，
▮▮▮▮\( g_p(au+bv, w) = a g_p(u, w) + b g_p(v, w) \)
▮▮▮▮\( g_p(u, av+bw) = a g_p(u, v) + b g_p(u, w) \)

② \( g_p \) 是对称的 (Symmetric)：
▮▮▮▮对于任意 \( u, v \in T_p M \)，\( g_p(u, v) = g_p(v, u) \)。

③ \( g_p \) 是正定的 (Positive-definite)：
▮▮▮▮对于任意非零向量 \( v \in T_p M \)，\( g_p(v, v) > 0 \)。

④ \( g \) 随点 \( p \) 光滑变化：
▮▮▮▮如果 \( X \) 和 \( Y \) 是 \( M \) 上的光滑向量场 (Smooth Vector Fields)，那么函数 \( p \mapsto g_p(X_p, Y_p) \) 是 \( M \) 上的光滑函数。

一个带有黎曼度量 \( g \) 的流形 \( (M, g) \) 称为一个黎曼流形 (Riemannian Manifold)。

在局部坐标系 \( (U, \phi) \)，其中 \( \phi(p) = (x^1, \dots, x^n) \)，切空间 \( T_p M \) 有一个自然的基底 \( \{\frac{\partial}{\partial x^1}|_p, \dots, \frac{\partial}{\partial x^n}|_p\} \)。黎曼度量 \( g_p \) 在这个基底下可以由一个对称的正定矩阵 \( (g_{ij}(p)) \) 来表示，其中
\[ g_{ij}(p) = g_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p, \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_p\right) \]
对于任意两个切向量 \( u = \sum u^i \frac{\partial}{\partial x^i} \) 和 \( v = \sum v^j \frac{\partial}{\partial x^j} \) 在点 \( p \)，它们的内积为：
\[ g_p(u, v) = g_p\left(\sum_i u^i \frac{\partial}{\partial x^i}, \sum_j v^j \frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \sum_{i,j} u^i v^j g_p\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \sum_{i,j} g_{ij}(p) u^i v^j \]
函数 \( g_{ij}: U \to \mathbb{R} \) 必须是光滑函数，这对应于黎曼度量的光滑性要求。矩阵 \( (g_{ij}(p)) \) 称为度量张量 (Metric Tensor) 在局部坐标系下的分量表示。

例子 💡:
⚝ 欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 上的标准黎曼度量：在标准坐标系 \( (x^1, \dots, x^n) \) 下，切空间 \( T_p \mathbb{R}^n \) 可以自然地与 \( \mathbb{R}^n \) 本身等同。标准内积 \( u \cdot v = \sum u^i v^i \) 对应于度量张量 \( g_{ij} = \delta_{ij} \) (Kronecker delta)。这是最简单的黎曼度量。
⚝ 球面 \( S^2 \) 上的标准黎曼度量：考虑单位球面 \( S^2 \subset \mathbb{R}^3 \)。在球面上的每一点 \( p \)，其切空间 \( T_p S^2 \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 中垂直于 \( p \) 的二维子空间。\( \mathbb{R}^3 \) 的标准内积诱导了 \( T_p S^2 \) 上的一个内积，这就是球面上的标准黎曼度量。在球坐标 \( (\theta, \phi) \) 下，度量张量为 \( g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta \end{pmatrix} \)。

黎曼度量赋予了流形“测量”的能力。向量的长度定义为 \( \|v\|_g = \sqrt{g_p(v, v)} \)。两个非零向量 \( u, v \in T_p M \) 之间的夹角 \( \theta \) 定义为满足 \( \cos \theta = \frac{g_p(u, v)}{\|u\|_g \|v\|_g} \) 的唯一角度 \( \theta \in [0, \pi] \)。

8.2 黎曼流形上的长度与体积 (Length and Volume on Riemannian Manifolds)

有了黎曼度量，我们就可以在流形上定义曲线的长度和区域的体积。

曲线的长度 📏:
考虑黎曼流形 \( (M, g) \) 上的一条光滑曲线 \( \gamma: [a, b] \to M \)。曲线在参数 \( t \) 处的切向量是 \( \gamma'(t) \in T_{\gamma(t)} M \)。这个切向量的长度由黎曼度量给出：\( \|\gamma'(t)\|_g = \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t), \gamma'(t))} \)。
曲线 \( \gamma \) 的长度 \( L(\gamma) \) 定义为切向量长度在参数区间上的积分：
\[ L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|_g dt = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t), \gamma'(t))} dt \]
在局部坐标系 \( (x^1, \dots, x^n) \) 下，如果 \( \gamma(t) \) 的坐标表示为 \( (x^1(t), \dots, x^n(t)) \)，则 \( \gamma'(t) = \sum_{i=1}^n \frac{dx^i}{dt} \frac{\partial}{\partial x^i} \)。因此，
\[ g_{\gamma(t)}(\gamma'(t), \gamma'(t)) = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\gamma(t)) \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} \]
曲线长度的公式变为：
\[ L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{\sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\gamma(t)) \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} dt \]
这个公式推广了欧氏空间中曲线长度的计算方法。

黎曼流形上的体积 📦:
在 \( n \) 维黎曼流形 \( (M, g) \) 上，黎曼度量 \( g \) 自然地诱导了一个体积形式 (Volume Form)。在局部坐标系 \( (x^1, \dots, x^n) \) 下，度量张量 \( (g_{ij}) \) 是一个对称正定矩阵。它的行列式 \( \det(g_{ij}) \) 总是正的。我们定义一个 \( n \) 形式 \( \omega_g \) 在局部坐标系下为：
\[ \omega_g = \sqrt{\det(g_{ij})} dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n \]
可以证明，这个 \( n \) 形式在坐标变换下表现为一个 \( n \) 形式，并且它不依赖于坐标系的选择（除了符号，这与流形的定向有关）。如果流形是可定向的 (Orientable)，我们可以选择一个一致的符号，从而得到一个全局定义的体积形式 \( \omega_g \)。

对于黎曼流形上的一个可测集 \( A \subset M \)，它的体积 \( \text{Vol}(A) \) 定义为体积形式 \( \omega_g \) 在 \( A \) 上的积分：
\[ \text{Vol}(A) = \int_A \omega_g \]
在局部坐标系下，如果 \( A \) 包含在一个坐标邻域内，积分可以写为：
\[ \text{Vol}(A \cap U) = \int_{\phi(A \cap U)} \sqrt{\det(g_{ij}(x))} dx^1 \dots dx^n \]
其中 \( \phi \) 是坐标映射，\( x = (x^1, \dots, x^n) \) 是 \( \phi(p) \) 的坐标。

体积形式 \( \omega_g \) 是一个重要的几何对象，它允许我们在黎曼流形上进行积分，从而计算区域的“大小”。这与我们在第7章讨论的流形上的积分概念紧密相连。

8.3 仿射联络与协变导数 (Affine Connections and Covariant Derivative)

在欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 中，我们可以很容易地对向量场进行微分。如果 \( X \) 是 \( \mathbb{R}^n \) 上的一个向量场，我们可以计算其偏导数 \( \frac{\partial X}{\partial x^i} \)。这是因为 \( \mathbb{R}^n \) 的切空间在每一点都是相同的向量空间 \( \mathbb{R}^n \)，所以我们可以直接比较不同点的切向量。

然而，在一般的流形 \( M \) 上，点 \( p \) 的切空间 \( T_p M \) 和点 \( q \) 的切空间 \( T_q M \) 是不同的向量空间。我们不能直接比较 \( X_p \in T_p M \) 和 \( X_q \in T_q M \)，因此也不能直接计算 \( \lim_{q \to p} \frac{X_q - X_p}{\text{distance}(p, q)} \) 这样的导数。我们需要一种方法来“连接”或“比较”不同切空间中的向量。这就是联络 (Connection) 的作用。

联络提供了在流形上对向量场进行微分的手段。有多种定义联络的方式，其中一种是定义协变导数 (Covariant Derivative)。

一个仿射联络 (Affine Connection) 是一个映射 \( \nabla \)，它将一对向量场 \( (X, Y) \) 映射到另一个向量场 \( \nabla_X Y \)，称为 \( Y \) 沿 \( X \) 的协变导数。这个映射 \( \nabla \) 必须满足以下性质：

① 对第一个变量 \( X \) 是 \( C^\infty(M) \)-线性的：
▮▮▮▮\( \nabla_{fX+hZ} Y = f \nabla_X Y + h \nabla_Z Y \) 对于任意光滑函数 \( f, h \) 和向量场 \( X, Z, Y \)。

② 对第二个变量 \( Y \) 是 \( \mathbb{R} \)-线性的：
▮▮▮▮\( \nabla_X (aY+bZ) = a \nabla_X Y + b \nabla_X Z \) 对于任意 \( a, b \in \mathbb{R} \) 和向量场 \( X, Y, Z \)。

③ 满足 Leibniz (莱布尼兹) 法则：
▮▮▮▮\( \nabla_X (fY) = (Xf) Y + f \nabla_X Y \) 对于任意光滑函数 \( f \) 和向量场 \( X, Y \)。这里 \( Xf \) 表示函数 \( f \) 沿向量场 \( X \) 的方向导数。

性质 ① 表明 \( \nabla_X Y \) 在点 \( p \) 的值 \( (\nabla_X Y)_p \) 仅依赖于 \( X \) 在点 \( p \) 的值 \( X_p \)，以及 \( Y \) 在点 \( p \) 附近的值。性质 ② 和 ③ 表明 \( \nabla \) 具有导数应有的线性性和乘法法则。

在局部坐标系 \( (x^1, \dots, x^n) \) 下，我们可以定义协变导数作用在坐标基向量场 \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) 上：
\[ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j} = \sum_{k=1}^n \Gamma_{ij}^k \frac{\partial}{\partial x^k} \]
这里的系数 \( \Gamma_{ij}^k \) 称为联络的 Christoffel符号 (Christoffel Symbols)。利用联络的性质，我们可以计算任意两个向量场 \( X = \sum X^i \frac{\partial}{\partial x^i} \) 和 \( Y = \sum Y^j \frac{\partial}{\partial x^j} \) 的协变导数：
\[ \nabla_X Y = \nabla_{\sum X^i \frac{\partial}{\partial x^i}} \left(\sum Y^j \frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \sum_i X^i \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \left(\sum_j Y^j \frac{\partial}{\partial x^j}\right) \]
\[ = \sum_i X^i \sum_j \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} (Y^j \frac{\partial}{\partial x^j}) = \sum_i X^i \sum_j \left( (\frac{\partial}{\partial x^i} Y^j) \frac{\partial}{\partial x^j} + Y^j \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j} \right) \]
\[ = \sum_i X^i \sum_j \left( \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial x^j} + Y^j \sum_k \Gamma_{ij}^k \frac{\partial}{\partial x^k} \right) \]
\[ = \sum_j \left( \sum_i X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} \right) \frac{\partial}{\partial x^j} + \sum_{i,j,k} X^i Y^j \Gamma_{ij}^k \frac{\partial}{\partial x^k} \]
\[ = \sum_k \left( \sum_i X^i \frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \sum_{i,j} X^i Y^j \Gamma_{ij}^k \right) \frac{\partial}{\partial x^k} \]
因此，\( \nabla_X Y \) 在基底 \( \{\frac{\partial}{\partial x^k}\} \) 下的第 \( k \) 个分量是 \( (\nabla_X Y)^k = \sum_i X^i \frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \sum_{i,j} X^i Y^j \Gamma_{ij}^k \)。

一个仿射联络有两个重要的张量：挠率张量 (Torsion Tensor) 和曲率张量 (Curvature Tensor)。挠率张量 \( T(X, Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y] \)，其中 \( [X, Y] \) 是向量场的 Lie括号 (Lie Bracket)。如果 \( T(X, Y) = 0 \) 对于所有 \( X, Y \)，则称联络是无挠的 (Torsion-free) 或对称的 (Symmetric)，此时 \( \Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k \)。

对于黎曼流形 \( (M, g) \)，存在一个唯一的无挠仿射联络 \( \nabla \) 满足与度量相容的条件：
\[ X(g(Y, Z)) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z) \]
对于所有向量场 \( X, Y, Z \)。这个唯一的联络称为 Levi-Civita联络 (Levi-Civita Connection)。与度量相容的条件意味着协变导数“保持内积”，即向量场沿另一个向量场的协变导数与原向量场和另一个向量场的内积的导数之间存在特定的关系。

Levi-Civita联络的 Christoffel 符号 \( \Gamma_{ij}^k \) 可以完全由度量张量 \( g_{ij} \) 及其偏导数表示出来。它们被称为第二类 Christoffel 符号，公式为：
\[ \Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} \sum_m g^{km} \left( \frac{\partial g_{jm}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{im}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m} \right) \]
其中 \( (g^{km}) \) 是矩阵 \( (g_{ij}) \) 的逆矩阵。

Levi-Civita联络是黎曼几何中最核心的概念之一，它允许我们在黎曼流形上定义曲率和测地线。

8.4 平行移动 (Parallel Transport)

联络 \( \nabla \) 提供了一种在流形上“移动”向量的方式，使得它们在某种意义上保持“不变”。这个过程称为平行移动 (Parallel Transport)。

考虑黎曼流形 \( (M, g) \) 上的一条光滑曲线 \( \gamma: [a, b] \to M \)。设 \( V(t) \) 是一个沿曲线 \( \gamma \) 的向量场，即对于每个 \( t \in [a, b] \)，\( V(t) \in T_{\gamma(t)} M \)。我们说 \( V(t) \) 沿 \( \gamma \) 是平行移动的 (Parallel Transported)，如果它的协变导数沿 \( \gamma \) 的切向量为零：
\[ \nabla_{\gamma'(t)} V(t) = 0 \]
这是一个关于 \( V(t) \) 的一阶线性常微分方程组。给定曲线 \( \gamma \) 和在起始点 \( \gamma(a) \) 处的一个初始向量 \( V_a \in T_{\gamma(a)} M \)，存在唯一的沿 \( \gamma \) 的平行移动向量场 \( V(t) \) 使得 \( V(a) = V_a \)。

这个过程定义了一个映射 \( P_\gamma: T_{\gamma(a)} M \to T_{\gamma(b)} M \)，它将 \( V_a \) 映射到 \( V(b) \)。这个映射 \( P_\gamma \) 称为沿曲线 \( \gamma \) 的平行移动映射 (Parallel Transport Map)。

性质 ✨:
⚝ 平行移动映射 \( P_\gamma \) 是一个向量空间的同构 (Isomorphism)。
⚝ 对于 Levi-Civita 联络，平行移动保持向量的长度和向量之间的夹角。即，如果 \( V(t) \) 和 \( W(t) \) 是沿 \( \gamma \) 平行移动的向量场，那么 \( g_{\gamma(t)}(V(t), W(t)) \) 是一个常数（不依赖于 \( t \)）。特别地，\( \|V(t)\|_g \) 是常数。

平行移动的几何意义在于，它提供了一种将切向量从一个点“无扭曲”地移动到另一个点的方式。在欧氏空间中，平行移动就是简单的向量平移，结果与路径无关。然而，在弯曲的流形上，平行移动的结果通常依赖于路径。

例子 🌐:
考虑球面 \( S^2 \)。从北极点出发，将一个切向量（例如指向东的向量）沿一条经线平行移动到赤道。然后在赤道上沿赤道平行移动一段距离（例如四分之一周长）。最后，沿另一条经线平行移动回到北极点。你会发现，最终得到的向量与最初的向量不同！这个差异正是流形曲率的表现。如果在平面上做同样的操作（沿直线移动，转弯，再沿直线移动），最终向量会与初始向量相同。

平行移动的概念是理解曲率的关键。曲率衡量了平行移动沿一个闭合回路一周后向量的变化量。在下一章，我们将利用联络和协变导数来定义黎曼流形的曲率张量。

本章我们引入了黎曼度量，它赋予了流形内在的度量结构，使得我们可以测量长度和体积。我们还引入了联络，特别是与黎曼度量相容的 Levi-Civita 联络，它提供了在流形上进行微分运算的工具，并定义了平行移动的概念。这些概念是黎曼几何的基石，为我们探索流形的弯曲性质打开了大门。

9. chapter 9：曲率 (Curvature)

在微分几何中，曲率 (curvature) 是一个核心概念，它量化了空间（或流形）偏离“平坦”的程度。在欧氏空间 (Euclidean space) 中，直线和平面是“平坦”的，它们的曲率为零。然而，在更一般的空间中，如球面 (sphere) 或双曲空间 (hyperbolic space)，空间本身是弯曲的，即使局部看起来是平坦的。曲率的概念允许我们描述和区分这些不同的几何结构。

对于黎曼流形 (Riemannian manifold) \((M, g)\)，曲率可以从联络 (connection) 的角度来理解。黎曼流形自然配备了一个特殊的联络，称为 Levi-Civita 联络 (Levi-Civita connection)，它是无挠 (torsion-free) 且与度量 (metric) 相容的。曲率张量 (curvature tensor) 正是衡量这个联络不可交换性 (non-commutativity) 的量，它描述了向量场 (vector field) 在沿着一个无穷小闭合回路进行平行移动 (parallel transport) 后的变化。

本章将深入探讨黎曼流形上的曲率概念，从最基本的黎曼曲率张量开始，然后介绍由它导出的 Ricci 曲率 (Ricci curvature) 和数量曲率 (scalar curvature)，最后讨论具有直观几何意义的截面曲率 (sectional curvature)。

9.1 黎曼曲率张量 (Riemann Curvature Tensor)

在黎曼流形 \((M, g)\) 上，我们通常使用 Levi-Civita 联络 \( \nabla \)。这个联络允许我们对向量场进行协变导数 (covariant derivative)。对于两个向量场 \( X, Y \) 和一个向量场 \( Z \)，我们考虑协变导数的交换子 \( [\nabla_X, \nabla_Y]Z \)。在欧氏空间中，使用标准的偏导数，这个交换子是零，因为 \( [\partial_i, \partial_j]Z^k = \partial_i \partial_j Z^k - \partial_j \partial_i Z^k = 0 \)。然而，对于一般的黎曼流形，由于联络中包含 Christoffel 符号 (Christoffel symbols)，这个交换子通常不为零。

黎曼曲率张量 \( R \) 正是用来衡量这个非零性的。它被定义为：
\[ R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z \]
其中 \( X, Y, Z \) 是流形 \( M \) 上的光滑向量场，\( [X, Y] \) 是向量场的 Lie 括号 (Lie bracket)。

这个定义中的 \( \nabla_{[X, Y]} Z \) 项是必需的，以确保 \( R(X, Y)Z \) 在每一点 \( p \in M \) 处仅依赖于 \( X_p, Y_p, Z_p \)，即 \( R \) 是一个张量 (tensor)。具体来说，如果 \( X_p = \tilde{X}_p \) 且 \( Y_p = \tilde{Y}_p \)，则 \( R(X, Y)Z|_p = R(\tilde{X}, \tilde{Y})Z|_p \)。

黎曼曲率张量 \( R \) 是一个 \((1, 3)\) 型张量，它接受三个向量场作为输入，输出一个向量场。在局部坐标系 \( (x^1, \dots, x^n) \) 下，向量场可以表示为 \( X = X^i \partial_i \)，联络可以表示为 \( \nabla_{\partial_i} \partial_j = \Gamma^k_{ij} \partial_k \)。黎曼曲率张量的分量 \( R^k_{ijk} \) 定义为：
\[ R(\partial_i, \partial_j)\partial_k = R^l_{ijk} \partial_l \]
通过计算，可以得到 \( R^l_{ijk} \) 的表达式：
\[ R^l_{ijk} = \partial_i \Gamma^l_{jk} - \partial_j \Gamma^l_{ik} + \Gamma^m_{jk} \Gamma^l_{im} - \Gamma^m_{ik} \Gamma^l_{jm} \]
这个表达式展示了曲率张量与 Christoffel 符号及其导数的关系。

黎曼曲率张量具有一系列重要的对称性质：
① 对前两个变元反对称 (Antisymmetry in the first two arguments):
\[ R(X, Y)Z = -R(Y, X)Z \]
即 \( R^l_{ijk} = -R^l_{jik} \)。
② 对后两个变元反对称 (Antisymmetry in the last two arguments)（在使用度量降指标后）：
定义 \((0, 4)\) 型曲率张量 \( R_{ijkl} = g_{lm} R^m_{ijk} \)。则有
\[ R_{ijkl} = -R_{ijlk} \]
③ 对前两个变元和后两个变元组成的对反对称 (Antisymmetry in pairs of arguments):
\[ R_{ijkl} = -R_{jikl} \]
\[ R_{ijkl} = -R_{ijlk} \]
④ 交换对称性 (Exchange symmetry):
\[ R_{ijkl} = R_{klij} \]
⑤ Bianchi 恒等式 (Bianchi identity)（第一 Bianchi 恒等式）：
\[ R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0 \]
或者用指标表示：
\[ R^l_{ijk} + R^l_{jki} + R^l_{kij} = 0 \]
这等价于 \( R_{ijkl} + R_{jkil} + R_{kilj} = 0 \)。
⑥ 微分 Bianchi 恒等式 (Differential Bianchi identity)（第二 Bianchi 恒等式）：
\[ (\nabla_W R)(X, Y)Z + (\nabla_X R)(Y, W)Z + (\nabla_Y R)(W, X)Z = 0 \]
其中 \( (\nabla_W R)(X, Y)Z = \nabla_W (R(X, Y)Z) - R(\nabla_W X, Y)Z - R(X, \nabla_W Y)Z - R(X, Y)\nabla_W Z \)。

这些对称性质大大减少了 \( n \) 维流形上黎曼曲率张量的独立分量个数。对于 \( n \) 维流形，\( (0, 4) \) 型张量 \( R_{ijkl} \) 的独立分量个数为 \( \frac{n^2(n^2-1)}{12} \)。例如，在 2 维流形上，只有一个独立分量；在 3 维流形上，有 6 个独立分量；在 4 维流形上，有 20 个独立分量。

黎曼曲率张量的几何意义可以通过平行移动来理解。考虑流形上一点 \( p \) 和两个向量 \( u, v \in T_p M \)。沿着由 \( u \) 和 \( v \) 张成的无穷小平行四边形进行平行移动。将一个向量 \( w \in T_p M \) 沿着边界 \( p \to p+tu \to p+tu+sv \to p+sv \to p \) 进行平行移动。当 \( t, s \to 0 \) 时，平行移动后的向量与原始向量 \( w \) 的差正比于 \( R(u, v)w \)。具体来说，如果 \( P_{C} \) 表示沿着回路 \( C \) 的平行移动映射，那么对于无穷小回路 \( C \) 由 \( tu \) 和 \( sv \) 张成，有
\[ P_C w - w \approx -ts R(u, v)w \]
这个公式表明，黎曼曲率张量度量了平行移动沿着无穷小闭合回路的失败程度。如果 \( R \equiv 0 \)，则流形是平坦的，平行移动与路径无关。

9.2 Ricci曲率与数量曲率 (Ricci Curvature and Scalar Curvature)

黎曼曲率张量 \( R_{ijkl} \) 包含了流形曲率的所有信息，但它是一个高阶张量，有时处理起来比较复杂。为了简化问题，我们可以对黎曼曲率张量进行缩并 (contraction)，得到低阶的曲率张量。最常用的缩并是得到 Ricci 张量 (Ricci tensor) 和数量曲率 (scalar curvature)。

Ricci 张量 \( \text{Ric} \) 是一个 \((0, 2)\) 型对称张量，由黎曼曲率张量通过缩并第一个和第三个指标得到：
\[ \text{Ric}(Y, Z) = g^{ik} R_{kijl} g^{jl} \]
或者更常见的定义是缩并第一个和第三个变元：
\[ \text{Ric}(Y, Z) = \text{trace}(X \mapsto R(X, Y)Z) \]
在局部坐标系下，Ricci 张量的分量 \( R_{ij} \) 定义为：
\[ R_{ij} = R^k_{ikj} = g^{kl} R_{kilj} \]
利用黎曼曲率张量的对称性 \( R_{kilj} = R_{ljki} \)，可以证明 Ricci 张量是对称的，即 \( R_{ij} = R_{ji} \)。

Ricci 张量的几何意义不如黎曼曲率张量或截面曲率直观，但它与体积的变形有关。粗略地说，正的 Ricci 曲率倾向于使体积收缩，而负的 Ricci 曲率倾向于使体积膨胀。更精确地，对于流形上一点 \( p \) 和单位向量 \( v \in T_p M \)，\( \text{Ric}(v, v) \) 是包含 \( v \) 的所有 2-平面截面曲率的平均值。具体来说，如果 \( \{v, e_2, \dots, e_n\} \) 是 \( T_p M \) 的一个标准正交基 (orthonormal basis)，则
\[ \text{Ric}(v, v) = \sum_{i=2}^n K(v, e_i) \]
其中 \( K(v, e_i) \) 是由 \( v \) 和 \( e_i \) 张成的 2-平面上的截面曲率（我们将在下一节定义）。

Ricci 张量在广义相对论 (General Relativity) 中扮演着核心角色。爱因斯坦场方程 (Einstein field equations) 将时空的几何（由 Ricci 张量描述）与物质和能量的分布（由应力-能量张量 (stress-energy tensor) 描述）联系起来：
\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]
其中 \( R_{\mu\nu} \) 是 Ricci 张量的分量，\( R \) 是数量曲率，\( g_{\mu\nu} \) 是度量张量，\( T_{\mu\nu} \) 是应力-能量张量，\( G \) 是万有引力常数，\( c \) 是光速。

数量曲率 \( S \)（有时也记作 \( R \)）是 Ricci 张量通过进一步缩并得到的标量 (scalar) 量。它定义为 Ricci 张量的迹 (trace)：
\[ S = \text{trace}(\text{Ric}) = g^{ij} R_{ij} \]
数量曲率是流形上每一点的一个函数。

数量曲率的几何意义与小球的体积有关。在黎曼流形上，半径为 \( \epsilon \) 的小球 \( B_p(\epsilon) \) 在点 \( p \) 处的体积 \( \text{Vol}(B_p(\epsilon)) \) 可以用数量曲率表示为：
\[ \text{Vol}(B_p(\epsilon)) = \text{Vol}(B_0(\epsilon))_{\mathbb{R}^n} \left( 1 - \frac{S(p)}{6(n+2)} \epsilon^2 + O(\epsilon^4) \right) \]
其中 \( \text{Vol}(B_0(\epsilon))_{\mathbb{R}^n} \) 是 \( n \) 维欧氏空间中半径为 \( \epsilon \) 的球的体积。这个公式表明，正的数量曲率使得小球的体积比欧氏空间中小球的体积小，而负的数量曲率使得小球的体积比欧氏空间中小球的体积大。数量曲率可以看作是平均的 Ricci 曲率，或者平均的平均截面曲率。

9.3 截面曲率 (Sectional Curvature)

截面曲率 \( K(\sigma) \) 是黎曼流形上最直观的曲率概念之一。它度量了流形在某个点 \( p \) 处沿着一个由两个线性无关的切向量 \( X, Y \in T_p M \) 张成的 2-维平面（称为 2-平面截面 (2-plane section) \( \sigma = \text{span}(X, Y) \)) 的弯曲程度。

考虑点 \( p \in M \) 和两个线性无关的切向量 \( X, Y \in T_p M \)。由 \( X \) 和 \( Y \) 张成的 2-平面截面 \( \sigma \) 上的截面曲率 \( K(X, Y) \) 定义为：
\[ K(X, Y) = \frac{g(R(X, Y)Y, X)}{g(X, X)g(Y, Y) - g(X, Y)^2} \]
分母 \( g(X, X)g(Y, Y) - g(X, Y)^2 \) 是由 \( X \) 和 \( Y \) 张成的平行四边形面积的平方。如果 \( X \) 和 \( Y \) 是标准正交向量，即 \( g(X, X) = 1 \)，\( g(Y, Y) = 1 \)，\( g(X, Y) = 0 \)，则定义简化为：
\[ K(X, Y) = g(R(X, Y)Y, X) \]
对于任意一对线性无关的向量 \( X, Y \)，截面曲率 \( K(X, Y) \) 仅依赖于由 \( X \) 和 \( Y \) 张成的 2-平面 \( \sigma \)，而与 \( X, Y \) 具体选择无关（只要它们张成 \( \sigma \)）。因此，我们可以记为 \( K(\sigma) \)。

截面曲率的几何意义非常清晰。它等于流形在点 \( p \) 附近沿着由 \( \sigma \) 定义的“切片”的 Gauss 曲率 (Gaussian curvature)。想象一下，在点 \( p \) 附近取一个与 \( \sigma \) 相切的 2 维曲面，这个曲面的 Gauss 曲率就是 \( K(\sigma) \)。

截面曲率的值反映了空间的局部几何形状：
⚝ 如果 \( K(\sigma) > 0 \) 对于所有 \( \sigma \) 都成立，流形被称为具有正截面曲率 (positively curved)。这样的空间局部上像球面一样“凸起”。例如，球面具有常数正截率。
⚝ 如果 \( K(\sigma) < 0 \) 对于所有 \( \sigma \) 都成立，流形被称为具有负截面曲率 (negatively curved)。这样的空间局部上像双曲空间一样“凹陷”。例如，双曲空间具有常数负截率。
⚝ 如果 \( K(\sigma) = 0 \) 对于所有 \( \sigma \) 都成立，流形是平坦的 (flat)。这样的空间局部上像欧氏空间。欧氏空间具有零截率。

截面曲率是黎曼曲率张量的最基本的不变量 (invariant)。事实上，黎曼曲率张量可以由所有的截面曲率完全确定。这个性质使得截面曲率成为研究黎曼流形几何性质的重要工具。许多重要的几何定理，如比较定理 (comparison theorems)，都与截面曲率的符号或界有关。例如，Myers 定理 (Myers' Theorem) 表明，如果完备黎曼流形具有正 Ricci 曲率（实际上，正截面曲率蕴含正 Ricci 曲率），则它是紧致的 (compact)。著名的球定理 (Sphere Theorem) 给出了流形同胚于球面所需的截面曲率条件。

总结来说，黎曼曲率张量 \( R \) 是最基本的曲率量，它描述了平行移动的非交换性。Ricci 张量 \( \text{Ric} \) 和数量曲率 \( S \) 是 \( R \) 的缩并，它们分别与体积变形和平均曲率有关，并在物理学中有重要应用。截面曲率 \( K \) 描述了流形在 2-维方向上的弯曲程度，具有直观的几何意义，并且完全决定了黎曼曲率张量。理解这些不同的曲率概念及其相互关系，是深入学习黎曼几何的关键。

10. chapter 10：测地线与完备性 (Geodesics and Completeness)

10.1 测地线的方程与性质 (Equations and Properties of Geodesics)

在黎曼几何中，测地线 (geodesic) 是欧氏空间中直线概念在弯曲空间中的推广。直观上，测地线可以理解为曲面上两点之间的“最短路径”，或者更精确地说，是局部最短路径。更正式地定义，测地线是加速度始终与速度方向垂直的曲线，这意味着它尽可能地“直行”。

为了更精确地描述测地线，我们需要引入一些数学工具。考虑黎曼流形 \( (M, g) \)，其中 \( M \) 是流形，\( g \) 是黎曼度量。设 \( \gamma: I \to M \) 是流形 \( M \) 上的光滑曲线，其中 \( I \subseteq \mathbb{R} \) 是一个区间。我们用局部坐标 \( (x^1, \dots, x^n) \) 来表示曲线 \( \gamma(t) \)，即 \( \gamma(t) = (x^1(t), \dots, x^n(t)) \)。

测地线的定义可以通过变分法 (calculus of variations) 来引入。我们希望找到曲线 \( \gamma \) 使得其长度泛函 \( L(\gamma) \) 在局部上最小。曲线 \( \gamma \) 的长度定义为：
\[ L(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t))} dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}(\gamma(t)) \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} dt \]
其中 \( \dot{\gamma}(t) \) 是曲线 \( \gamma \) 在 \( t \) 处的切向量，\( g_{ij} \) 是黎曼度量 \( g \) 在局部坐标下的分量。

利用变分法，可以导出测地线方程 (geodesic equation)。在局部坐标系下，测地线方程可以表示为：
\[ \frac{d^2x^k}{dt^2} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} = 0, \quad k = 1, \dots, n \]
其中 \( \Gamma_{ij}^k \) 是 Christoffel 符号 (Christoffel symbols)，由黎曼度量 \( g \) 及其导数决定。Christoffel 符号的具体表达式为：
\[ \Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} \sum_{l} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right) \]
这里 \( (g^{kl}) \) 是度量张量 \( (g_{ij}) \) 的逆矩阵。

测地线的性质 (Properties of Geodesics)：

① 常速性 (Constant Speed)：测地线的速度大小 \( g(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t)) \) 沿着曲线是常数。这意味着测地线以恒定速度参数化。我们可以选择弧长参数 (arc length parameter) \( s \) 来参数化测地线，此时 \( g(\gamma'(s), \gamma'(s)) = 1 \)，其中 \( \gamma'(s) = \frac{d\gamma}{ds} \)。

② 局部最短性 (Local Minimality)：测地线是局部最短路径。也就是说，对于测地线上的任意一点 \( p = \gamma(t_0) \)，存在一个邻域 \( U \) 包含 \( p \)，使得测地线 \( \gamma \) 在 \( U \) 中的任何两点之间的弧段是连接这两点的所有曲线中最短的。

③ 唯一性 (Uniqueness)：给定流形上一点 \( p \in M \) 和一个切向量 \( v \in T_pM \)，存在唯一的测地线 \( \gamma(t) \) 满足 \( \gamma(0) = p \) 和 \( \dot{\gamma}(0) = v \)。这由常微分方程解的存在唯一性定理保证。因此，测地线由其初始位置和初始速度唯一确定。

④ 逆向测地线也是测地线 (Reversal Property)：如果 \( \gamma(t) \) 是测地线，那么 \( \tilde{\gamma}(t) = \gamma(-t) \) 也是测地线。

例子 (Examples)：

⚝ 在欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 中，黎曼度量是标准的欧氏度量 \( g_{ij} = \delta_{ij} \)。此时 Christoffel 符号 \( \Gamma_{ij}^k = 0 \)，测地线方程简化为 \( \frac{d^2x^k}{dt^2} = 0 \)。解为 \( x^k(t) = a^k t + b^k \)，这表示欧氏空间中的直线。

⚝ 在单位球面 \( S^2 \) 中，测地线是大圆。例如，在球坐标 \( (\theta, \phi) \) 中，可以推导出测地线方程，并验证大圆满足这些方程。赤道、经线和纬线（除了赤道外）都是球面上的曲线，但只有赤道和经线是测地线。纬线不是测地线，除非它是赤道。

⚝ 在双曲空间 \( \mathbb{H}^n \) 中，测地线是双曲直线，其在庞加莱圆盘模型或上半平面模型中可以直观地表示出来。

理解测地线是研究黎曼流形几何性质的基础。它们扮演着欧氏空间中直线的重要角色，并为我们提供了在弯曲空间中度量距离和研究几何结构的关键工具。

10.2 指数映射 (Exponential Map)

指数映射 (exponential map) 是将切空间上的向量映射到流形上的一个重要工具，它将切向量与从该点出发的测地线联系起来。

设 \( (M, g) \) 是黎曼流形，\( p \in M \) 是流形上一点，\( T_pM \) 是点 \( p \) 处的切空间。根据测地线的存在唯一性定理，对于任意给定的初始速度 \( v \in T_pM \)，存在唯一的测地线 \( \gamma_v(t) \) 满足 \( \gamma_v(0) = p \) 和 \( \dot{\gamma}_v(0) = v \)。

定义 (指数映射)：对于 \( p \in M \)，指数映射 \( \exp_p: U_p \subseteq T_pM \to M \) 定义为
\[ \exp_p(v) = \gamma_v(1) \]
其中 \( U_p \) 是 \( T_pM \) 中使得测地线 \( \gamma_v(t) \) 在 \( t=1 \) 有定义的向量 \( v \) 的集合。通常，我们可以取 \( U_p \) 为 \( T_pM \) 中原点的一个星形邻域，使得对于 \( v \in U_p \)，测地线 \( \gamma_v(t) \) 在 \( t \in [0, 1] \) 上有定义。在完备黎曼流形上，测地线可以无限延伸，此时 \( U_p = T_pM \)。

指数映射的性质 (Properties of Exponential Map)：

① 光滑性 (Smoothness)：指数映射 \( \exp_p \) 是光滑映射。这可以从测地线方程解对初始条件的 smooth dependence 得到。

② 微分 (Differential)：指数映射在原点 \( 0 \in T_pM \) 处的微分 \( (d\exp_p)_0: T_pM \to T_pM \) 是恒等映射 \( \text{Id}_{T_pM} \)。换句话说，对于 \( v \in T_pM \)，我们有 \( (d\exp_p)_0(v) = v \)。这意味着在 \( p \) 点附近，指数映射近似于恒等映射。

③ 局部微分同胚 (Local Diffeomorphism)：根据逆映射定理，由于 \( (d\exp_p)_0 \) 是可逆的（实际上是恒等映射），因此指数映射 \( \exp_p \) 在 \( 0 \in T_pM \) 的某个邻域 \( V \subseteq U_p \) 上是到 \( \exp_p(V) \subseteq M \) 的微分同胚。这意味着 \( \exp_p \) 将 \( T_pM \) 原点附近的一个邻域微分同胚地映射到 \( M \) 中 \( p \) 点附近的一个邻域。这样的邻域 \( \exp_p(V) \) 称为 测地法坐标邻域 (geodesic normal neighborhood)。

④ 测地线与指数映射的关系 (Relation to Geodesics)：对于 \( v \in U_p \) 和 \( t \in [0, 1] \)，我们有 \( \exp_p(tv) = \gamma_v(t) \)。更一般地，对于使得 \( tv \in U_p \) 的 \( t \)，有 \( \exp_p(tv) = \gamma_v(t) \)。这意味着指数映射将切空间中的直线（穿过原点）映射到流形上的测地线（从 \( p \) 出发）。

测地法坐标 (Geodesic Normal Coordinates)：

利用指数映射的局部微分同胚性质，我们可以定义测地法坐标系 (geodesic normal coordinate system)。选择 \( T_pM \) 的一个正交基 \( \{e_1, \dots, e_n\} \)。我们可以将 \( T_pM \) 中的向量 \( v \) 表示为 \( v = \sum_{i=1}^n x^i e_i \)。然后，通过指数映射 \( \exp_p \) 将 \( (x^1, \dots, x^n) \) 映射到 \( M \) 中的点 \( q = \exp_p(\sum_{i=1}^n x^i e_i) \)。在 \( p \) 点附近，\( (x^1, \dots, x^n) \) 构成了一个局部坐标系，称为以 \( p \) 为中心的测地法坐标系。

在测地法坐标系下，原点 \( p \) 对应于坐标 \( (0, \dots, 0) \)。并且，在原点 \( p \) 处，Christoffel 符号 \( \Gamma_{ij}^k(p) = 0 \)，度量张量满足 \( g_{ij}(p) = \delta_{ij} \)。这简化了在 \( p \) 点附近的计算。

指数映射是连接局部切空间结构和流形全局几何结构的关键桥梁。它在研究测地线、曲率以及黎曼流形的完备性等方面都起着核心作用。

10.3 完备黎曼流形 (Complete Riemannian Manifolds)

完备黎曼流形 (complete Riemannian manifold) 是微分几何中一个至关重要的概念，它在很大程度上决定了流形的全局几何性质。完备性有多种等价定义，其中最常用的定义与测地线的延伸性有关。

定义 (测地完备性 - Geodesic Completeness)：黎曼流形 \( (M, g) \) 被称为测地完备的 (geodesically complete)，如果对于任意点 \( p \in M \) 和任意切向量 \( v \in T_pM \)，从 \( p \) 出发、初始速度为 \( v \) 的测地线 \( \gamma_v(t) \) 可以无限延伸，即对于所有 \( t \in \mathbb{R} \) 都有定义。

换句话说，对于任何初始条件，测地线都不会“跑出”流形。

完备性的其他等价定义 (Other Equivalent Definitions of Completeness)：

除了测地完备性，完备黎曼流形还有其他几种等价的刻画方式，其中最重要的是度量完备性 (metric completeness)。

定义 (度量完备性 - Metric Completeness)：黎曼流形 \( (M, g) \) 作为一个度量空间 \( (M, d_g) \) 是完备的，其中 \( d_g(p, q) \) 是 \( M \) 上两点 \( p, q \) 之间的距离，定义为连接 \( p, q \) 的所有分段光滑曲线的长度的下确界。一个度量空间是完备的，如果每个柯西序列都收敛。

定理 (Hopf-Rinow 定理 - Hopf-Rinow Theorem，部分)：对于连通黎曼流形 \( (M, g) \)，以下条件等价：
① \( (M, g) \) 是测地完备的。
② \( (M, d_g) \) 作为度量空间是完备的。
③ 对于 \( M \) 中任意点 \( p \)，指数映射 \( \exp_p \) 在整个切空间 \( T_pM \) 上都有定义。
④ \( M \) 中所有闭的、有界子集是紧致的 (Heine-Borel 性质)。

完备与非完备的例子 (Examples of Complete and Incomplete Manifolds)：

⚝ 完备黎曼流形 (Complete Riemannian Manifolds)：
⚝ 欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 配备标准欧氏度量是完备的。
⚝ 单位球面 \( S^n \) 配备标准球面度量是完备的。
⚝ 双曲空间 \( \mathbb{H}^n \) 配备双曲度量是完备的。
⚝ 紧致黎曼流形一定是完备的。

⚝ 非完备黎曼流形 (Incomplete Riemannian Manifolds)：
⚝ 欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 去掉一点 \( \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \) 配备诱导度量是非完备的。例如，在 \( \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \) 中，从点 \( (1, 0) \) 出发朝原点方向的测地线（直线）在有限时间内“跑出”流形，无法无限延伸。
⚝ 开圆盘 \( D^2 = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} \) 配备欧氏度量是非完备的。
⚝ 开圆盘 \( D^2 \) 配备庞加莱圆盘度量是完备的。这表明流形的完备性不仅取决于拓扑结构，还取决于黎曼度量。

完备性是研究黎曼流形全局性质的关键。Hopf-Rinow 定理提供了判断完备性的多种有效方法，并揭示了测地完备性、度量完备性以及拓扑性质之间的深刻联系。完备黎曼流形具有许多良好的性质，例如任意两点之间存在极小化测地线连接，这在研究流形的几何和拓扑结构时非常重要。

10.4 Hopf-Rinow定理 (Hopf-Rinow Theorem)

Hopf-Rinow 定理 (Hopf-Rinow Theorem) 是黎曼几何中的一个基石定理，它深刻地揭示了完备黎曼流形的几个等价刻画，并将测地线的性质、度量空间的完备性以及流形的拓扑性质联系起来。

定理 (Hopf-Rinow 定理)：设 \( (M, g) \) 是连通黎曼流形，则以下命题等价：
① \( (M, g) \) 是测地完备的（即，对于任意 \( p \in M \) 和 \( v \in T_pM \)，测地线 \( \gamma_v(t) \) 对所有 \( t \in \mathbb{R} \) 有定义）。
② \( (M, d_g) \) 作为度量空间是完备的（即，每个柯西序列都收敛）。
③ 对于任意点 \( p \in M \)，指数映射 \( \exp_p: T_pM \to M \) 在整个切空间 \( T_pM \) 上都有定义。
④ 存在一点 \( p \in M \)，使得指数映射 \( \exp_p: T_pM \to M \) 在整个切空间 \( T_pM \) 上都有定义。
⑤ \( M \) 中所有闭的、度量有界子集是紧致的（Heine-Borel 性质）。
⑥ 对于任意两点 \( p, q \in M \)，存在一条连接 \( p \) 和 \( q \) 的极小化测地线（即，长度等于距离 \( d_g(p, q) \) 的测地线）。

定理的意义与应用 (Significance and Applications of Hopf-Rinow Theorem)：

⚝ 等价刻画 (Equivalent Characterizations)：Hopf-Rinow 定理提供了完备性的多种等价定义，使得我们可以从不同角度理解和判断一个黎曼流形是否完备。例如，我们可以通过检查测地线是否可以无限延伸（测地完备性），或者检查度量空间是否完备（度量完备性），或者验证 Heine-Borel 性质。

⚝ 指数映射的全局性 (Globality of Exponential Map)：条件 ③ 和 ④ 表明，完备性与指数映射的定义域有关。对于完备流形，指数映射在整个切空间上都有定义，这使得我们可以利用指数映射研究流形的全局性质。

⚝ 极小化测地线的存在性 (Existence of Minimizing Geodesics)：条件 ⑥ 是非常重要的结论。它保证了在完备黎曼流形上，任意两点之间都存在一条测地线，其长度等于这两点之间的距离。这为研究黎曼流形上的距离和最短路径问题提供了理论基础。

⚝ 完备性的验证 (Verification of Completeness)：在实际应用中，Hopf-Rinow 定理为验证黎曼流形的完备性提供了便利。例如，要证明一个黎曼流形是完备的，我们可以验证其是否满足 Heine-Borel 性质（条件 ⑤），或者证明指数映射在整个切空间上都有定义（条件 ③ 或 ④）。

⚝ 紧致性与完备性 (Compactness and Completeness)：Hopf-Rinow 定理表明，紧致黎曼流形一定是完备的（因为紧致空间中的闭子集一定是紧致的，且紧致空间本身是有界的，所以满足条件 ⑤）。反之不成立，例如欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 是完备的，但不是紧致的。

Hopf-Rinow 定理是黎曼几何中一个深刻而重要的结果，它连接了完备性、测地线、指数映射、度量空间理论和拓扑性质，为研究黎曼流形的全局几何性质提供了强有力的工具。理解和应用 Hopf-Rinow 定理是深入学习黎曼几何的关键一步。

11. chapter 11：进阶主题 (Advanced Topics)

11.1 Lie群与齐性空间初步 (Introduction to Lie Groups and Homogeneous Spaces)

Lie群 (Lie Groups) 与齐性空间 (Homogeneous Spaces) 是微分几何中极其重要的进阶概念，它们不仅是研究对称性的有力工具，也在物理学、拓扑学等领域有着广泛的应用。本节将初步介绍 Lie群和齐性空间的基本概念、性质以及它们在微分几何中的地位。

11.1.1 Lie群的定义与基本概念 (Definition and Basic Concepts of Lie Groups)

定义 11.1.1 (Lie群)：一个 Lie群 \(G\) 是一个同时具有 群结构 和 光滑流形结构 的数学对象，并且这两个结构是相容的，即群的乘法运算 \( \mu: G \times G \rightarrow G, \mu(g, h) = g \cdot h \) 和求逆运算 \( \iota: G \rightarrow G, \iota(g) = g^{-1} \) 都是光滑映射。

简单来说，Lie群就是一个“光滑的群”。它既是一个群，满足群的公理（结合律、单位元、逆元），又是一个光滑流形，可以进行微分运算。群结构和流形结构的光滑相容性保证了群运算在流形上是“平滑”地进行的。

Lie群的关键组成部分：

① 群结构 (Group Structure)：
⚝ 结合律 (Associativity): 对于任意 \( g, h, k \in G \)，有 \( (g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k) \)。
⚝ 单位元 (Identity Element): 存在单位元 \( e \in G \)，对于任意 \( g \in G \)，有 \( e \cdot g = g \cdot e = g \)。
⚝ 逆元 (Inverse Element): 对于任意 \( g \in G \)，存在逆元 \( g^{-1} \in G \)，有 \( g \cdot g^{-1} = g^{-1} \cdot g = e \)。

② 光滑流形结构 (Smooth Manifold Structure)：
⚝ \(G\) 是一个流形，意味着在局部上它看起来像欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \)。
⚝ \(G\) 上定义了光滑结构，允许我们定义光滑函数、切向量、向量场等微分几何概念。

③ 光滑相容性 (Smooth Compatibility)：
⚝ 乘法映射 \( \mu: G \times G \rightarrow G, (g, h) \mapsto g \cdot h \) 是光滑的。
⚝ 求逆映射 \( \iota: G \rightarrow G, g \mapsto g^{-1} \) 是光滑的。

常见的 Lie群例子：

① 一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\) (General Linear Group)：所有 \(n \times n\) 可逆实矩阵构成的群，群运算是矩阵乘法。它是一个 \(n^2\) 维的 Lie群。
② 特殊线性群 \(SL(n, \mathbb{R})\) (Special Linear Group)：行列式为 1 的 \(n \times n\) 实矩阵构成的群，是 \(GL(n, \mathbb{R})\) 的子群，也是一个 Lie群。
③ 正交群 \(O(n)\) (Orthogonal Group)：所有 \(n \times n\) 正交矩阵（\(A^T A = I\)) 构成的群，是 \(GL(n, \mathbb{R})\) 的子群，也是一个 Lie群。
④ 特殊正交群 \(SO(n)\) (Special Orthogonal Group)：行列式为 1 的正交矩阵构成的群，是 \(O(n)\) 的子群，也称为旋转群 (Rotation Group)。例如 \(SO(3)\) 描述三维空间中的旋转。
⑤ 酉群 \(U(n)\) (Unitary Group)：所有 \(n \times n\) 酉矩阵（\(A^* A = I\)) 构成的群，其中 \(A^*\) 是 \(A\) 的共轭转置，是复数域上的正交群的推广。
⑥ 特殊酉群 \(SU(n)\) (Special Unitary Group)：行列式为 1 的酉矩阵构成的群，是 \(U(n)\) 的子群。
⑦ 加法群 \((\mathbb{R}^n, +)\) (Additive Group)：\(n\) 维欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 在向量加法运算下构成一个 Lie群。
⑧ 环面群 \(T^n = S^1 \times \cdots \times S^1\) (Torus Group)：\(n\) 个单位圆 \(S^1\) 的直积，也是一个 Lie群。例如 \(T^2\) 是二维环面。

Lie代数 (Lie Algebra)：与每个 Lie群 \(G\) 关联的是它的 Lie代数 \( \mathfrak{g} = T_e G \)，即单位元 \(e\) 处的切空间。Lie代数是一个向量空间，并配备了一个称为 Lie括号 (Lie Bracket) 的双线性运算 \( [\cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g} \)。Lie代数在研究 Lie群的结构和表示理论中起着核心作用。

11.1.2 齐性空间的定义与例子 (Definition and Examples of Homogeneous Spaces)

定义 11.1.2 (齐性空间)：设 \(G\) 是一个 Lie群，\(H\) 是 \(G\) 的一个闭子群。齐性空间 \(G/H\) 定义为 \(G\) 在 \(H\) 上的左陪集空间，即 \(G/H = \{gH \mid g \in G\}\)。如果 \(G\) 通过群作用在流形 \(M\) 上传递地作用，即对于任意 \(x, y \in M\)，存在 \(g \in G\) 使得 \(g \cdot x = y\)，则称 \(M\) 为 \(G-\)齐性空间。

换句话说，齐性空间是一个流形，其上有一个 Lie群传递地作用，使得空间中的任何两点都可以通过群作用相互转换。齐性空间可以看作是 Lie群的推广，它们继承了 Lie群的对称性，但结构更为丰富。

构造齐性空间 \(G/H\)：

① 陪集空间 (Coset Space)：将 \(G\) 中的元素按照左陪集 \(gH\) 进行划分，每个陪集 \(gH\) 可以看作是 \(H\) 在 \(g\) 作用下的“平移”。
② 商流形结构 (Quotient Manifold Structure)：如果 \(H\) 是 \(G\) 的闭子群，那么陪集空间 \(G/H\) 可以赋予一个光滑流形结构，使得商映射 \( \pi: G \rightarrow G/H, g \mapsto gH \) 是光滑的。
③ 群作用 (Group Action)：\(G\) 自然地通过左乘作用在 \(G/H\) 上：\(g' \cdot (gH) = (g'g)H\)。这个作用是传递的。

常见的齐性空间例子：

① 欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \)：作为加法群 \((\mathbb{R}^n, +)\) 在自身上的作用，它是 \((\mathbb{R}^n, +)\) -齐性空间。
② 球面 \(S^n\)：特殊正交群 \(SO(n+1)\) 传递地作用在 \(n\) 维球面 \(S^n\) 上。例如，\(S^2 = SO(3)/SO(2)\)。
③ 实射影空间 \( \mathbb{R}P^n \)：一般线性群 \(GL(n+1, \mathbb{R})\) 作用在 \( \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \) 上，诱导出在射影空间 \( \mathbb{R}P^n \) 上的传递作用。\( \mathbb{R}P^n = O(n+1)/O(1) \times O(n) = SO(n+1)/SO(1) \times SO(n)\)。
④ 复射影空间 \( \mathbb{C}P^n \)：酉群 \(U(n+1)\) 传递地作用在复射影空间 \( \mathbb{C}P^n \) 上。\( \mathbb{C}P^n = U(n+1)/U(1) \times U(n) = SU(n+1)/S(U(1) \times U(n))\)。
⑤ 格拉斯曼流形 \(Gr(k, n)\) (Grassmannian Manifold)：格拉斯曼流形 \(Gr(k, n)\) 是指 \( \mathbb{R}^n \) 中所有 \(k\) 维子空间的集合。正交群 \(O(n)\) 传递地作用在 \(Gr(k, n)\) 上。\(Gr(k, n) = O(n)/(O(k) \times O(n-k))\)。

齐性空间的重要性：

① 对称性 (Symmetry)：齐性空间具有丰富的对称性，这使得它们成为研究几何和物理问题的理想场所。
② 简化计算 (Simplification of Calculations)：齐性空间的对称性可以大大简化几何计算，例如曲率计算、测地线研究等。
③ 模型空间 (Model Spaces)：许多重要的几何模型，如球面、射影空间、双曲空间等，都是齐性空间。
④ 物理应用 (Physical Applications)：齐性空间在物理学中，特别是在规范场论、广义相对论等领域，扮演着重要角色。例如，时空可以被建模为某些齐性空间。

11.1.3 Lie群与齐性空间在微分几何中的地位 (Role of Lie Groups and Homogeneous Spaces in Differential Geometry)

Lie群和齐性空间是微分几何的重要研究对象，它们在理论和应用层面都具有深远的影响。

在微分几何理论中的地位：

① 对称性的体现 (Manifestation of Symmetry)：Lie群和齐性空间是对称性的数学体现。研究它们的几何性质，可以深入理解对称性在几何结构中的作用。
② 几何不变量 (Geometric Invariants)：Lie群的表示理论和齐性空间的几何结构为我们提供了丰富的几何不变量，例如特征标、曲率积分等。
③ 几何结构的分类 (Classification of Geometric Structures)：Lie群和齐性空间在几何结构的分类中起着关键作用。例如，常曲率空间、对称空间等重要几何结构都可以用 Lie群和齐性空间的语言来描述和分类。
④ 研究工具 (Research Tools)：Lie群和齐性空间的理论为微分几何提供了强大的研究工具，例如 Lie代数、表示理论、调和分析等。

在微分几何应用中的地位：

① 物理学 (Physics)：Lie群和齐性空间在物理学中有着广泛的应用。例如：
⚝ 规范场论 (Gauge Theory)：规范群通常是 Lie群，例如 \(U(1), SU(2), SU(3)\) 等。规范场的作用空间常常是齐性空间。
⚝ 广义相对论 (General Relativity)：时空的对称性可以用 Lie群来描述，例如 de Sitter 空间、Anti-de Sitter 空间等都是齐性空间。
⚝ 量子力学 (Quantum Mechanics)：量子力学的对称性群，例如旋转群 \(SO(3)\)、洛伦兹群 \(SO(1, 3)\) 等，都是 Lie群。
② 计算机视觉与机器人学 (Computer Vision and Robotics)：旋转群 \(SO(3)\) 在三维计算机视觉和机器人学中至关重要，用于描述和处理三维旋转。
③ 信号处理与图像分析 (Signal Processing and Image Analysis)：Lie群和齐性空间的调和分析方法被应用于信号处理和图像分析中，例如在流形上的数据分析。
④ 几何建模与计算机图形学 (Geometric Modeling and Computer Graphics)：齐性空间的几何性质被用于几何建模和计算机图形学中，例如曲面参数化、形状分析等。

进一步学习建议：

对于想要深入学习 Lie群与齐性空间的读者，可以参考以下方向：

① Lie群理论 (Lie Group Theory)：系统学习 Lie群的定义、性质、Lie代数、表示理论等。推荐书籍如：
⚝ "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras" by Kirillov, A.A.
⚝ "Lie Groups Beyond an Introduction" by Knapp, A.W.
② 齐性空间理论 (Homogeneous Space Theory)：学习齐性空间的构造、几何结构、不变度量、曲率计算等。推荐书籍如：
⚝ "Riemannian Geometry and Geometric Analysis" by Jost, J.
⚝ "Foundations of Differential Geometry" by Kobayashi, S., Nomizu, K.
③ 应用领域 (Application Fields)：结合自身兴趣，深入了解 Lie群和齐性空间在物理学、计算机科学等领域的应用。

通过本节的初步介绍，希望读者能够对 Lie群与齐性空间建立基本的认识，并激发进一步学习的兴趣。它们是微分几何中充满活力且应用广泛的研究领域，值得深入探索。

11.2 纤维丛初步 (Introduction to Fiber Bundles)

纤维丛 (Fiber Bundles) 是现代微分几何和拓扑学中一个核心概念，它提供了一种将局部结构“粘合”成整体结构的框架。纤维丛的概念在物理学（例如规范场论、广义相对论）、拓扑学、代数几何等领域都有着广泛而深刻的应用。本节将初步介绍纤维丛的基本定义、类型和例子，以及它们在微分几何中的作用。

11.2.1 纤维丛的定义与基本概念 (Definition and Basic Concepts of Fiber Bundles)

定义 11.2.1 (纤维丛)：一个 纤维丛 是由以下要素构成的一个结构 \( (E, B, F, \pi) \)：

① 全空间 (Total Space) \(E\)：一个拓扑空间（通常是流形）。
② 底空间 (Base Space) \(B\)：一个拓扑空间（通常是流形）。
③ 纤维 (Fiber) \(F\)：一个拓扑空间（通常是向量空间或流形）。
④ 投影映射 (Projection Map) \( \pi: E \rightarrow B \)：一个连续满射，且对于每个点 \(b \in B\)，其逆像 \( \pi^{-1}(b) = F_b \) 同胚于纤维 \(F\)。\(F_b\) 称为在点 \(b\) 处的纤维。
⑤ 局部平凡化 (Local Trivialization)：对于 \(B\) 的每个点 \(b\)，存在一个邻域 \(U \subset B\) 和一个同胚 \( \phi_U: \pi^{-1}(U) \rightarrow U \times F \)，使得对于任意 \(e \in \pi^{-1}(U)\)，有 \( \text{pr}_1(\phi_U(e)) = \pi(e) \)，其中 \( \text{pr}_1: U \times F \rightarrow U \) 是到第一个分量的投影。\( \phi_U \) 称为在 \(U\) 上的 局部平凡化。

纤维丛的关键组成部分：

① 全空间 \(E\)：纤维丛的“总载体”，包含了所有纤维的信息。
② 底空间 \(B\)：纤维丛的“基底”，纤维是“附加”在底空间上的。
③ 纤维 \(F\)：在每一点“附加”的结构，所有纤维都同胚于 \(F\)。
④ 投影映射 \( \pi \)：将全空间“投影”到底空间，将每个纤维“压缩”成底空间的一个点。
⑤ 局部平凡化 \( \phi_U \)：保证在局部上，纤维丛看起来像底空间和纤维的直积 \(U \times F\)。“局部平凡化”是“纤维丛”概念的核心，它描述了纤维丛的局部结构。

直观理解纤维丛：

可以将纤维丛想象成一个“空间”，它在每一点“上方”都“附着”着一个相同的“纤维”。局部来看，这个“空间”看起来像底空间和纤维的直积，但整体上可能具有非平凡的拓扑结构。例如，莫比乌斯带 (Möbius band) 可以看作是一个纤维丛，其底空间是圆 \(S^1\)，纤维是线段 \(I = [-1, 1]\)。

纤维丛的类型：

根据纤维 \(F\) 的类型和结构，纤维丛可以分为不同的类型：

① 向量丛 (Vector Bundle)：如果纤维 \(F\) 是一个向量空间（例如 \( \mathbb{R}^k \) 或 \( \mathbb{C}^k \))，并且局部平凡化保持向量空间结构（即在每个纤维上是线性同构），则称 \( (E, B, F, \pi) \) 为 向量丛。向量丛是微分几何中最重要的一类纤维丛。
② 主丛 (Principal Bundle)：如果纤维 \(F\) 是一个 Lie群 \(G\)，并且 \(G\) 通过右乘作用在纤维上，局部平凡化与 \(G\) 的作用相容，则称 \( (P, B, G, \pi) \) 为 主 \(G-\)丛。主丛在规范场论中扮演着核心角色。
③ 切丛 \(TB\) (Tangent Bundle)：对于一个光滑流形 \(B\)，其切丛 \(TB\) 是一个向量丛，其底空间是 \(B\)，在每点 \(b \in B\) 处的纤维是切空间 \(T_b B\)。切丛描述了流形上所有切向量的集合。
④ 法丛 \(NB\) (Normal Bundle)：如果 \(B\) 是一个浸入到另一个流形 \(M\) 中的子流形，则 \(B\) 的法丛 \(NB\) 是一个向量丛，其底空间是 \(B\)，在每点 \(b \in B\) 处的纤维是 \(B\) 在 \(M\) 中垂直于 \(T_b B\) 的法空间。
⑤ 线丛 (Line Bundle)：如果纤维 \(F\) 是一维向量空间（例如 \( \mathbb{R} \) 或 \( \mathbb{C} \))，则称之为线丛。莫比乌斯带可以看作是一个实线丛。

11.2.2 纤维丛的例子 (Examples of Fiber Bundles)

例子 11.2.2.1 (平凡丛 (Trivial Bundle))：设 \(B\) 和 \(F\) 是拓扑空间，则直积空间 \(E = B \times F\) 连同投影映射 \( \pi: E \rightarrow B, (b, f) \mapsto b \) 构成一个纤维丛 \( (B \times F, B, F, \pi) \)，称为 平凡丛。对于平凡丛，我们可以取全局平凡化 \( \phi: E \rightarrow B \times F \) 为恒等映射。

例子 11.2.2.2 (莫比乌斯带 (Möbius Band))：莫比乌斯带可以构造为一个纤维丛。设 \(B = S^1 = [0, 1] / \{0 \sim 1\}\) 为单位圆，纤维 \(F = [-1, 1]\) 为闭区间。全空间 \(E\) 可以定义为单位正方形 \( [0, 1] \times [-1, 1] \) 通过如下等同关系得到的商空间：\( (0, t) \sim (1, -t) \) 对于 \( t \in [-1, 1] \)。投影映射 \( \pi: E \rightarrow S^1 \) 由 \( \pi([s, t]) = [s] \) 给出，其中 \( [s, t] \) 表示 \( (s, t) \) 在商空间 \(E\) 中的等价类，\( [s] \) 表示 \( s \in [0, 1] \) 在 \(S^1\) 中的等价类。莫比乌斯带是一个非平凡的纤维丛，因为它不是全局平凡的，即它不同胚于 \(S^1 \times [-1, 1]\) (圆柱面)。

例子 11.2.2.3 (切丛 \(TS^2\) (Tangent Bundle of Sphere \(S^2\)))：球面 \(S^2\) 的切丛 \(TS^2\) 是一个向量丛，其底空间是 \(S^2\)，在每点 \(p \in S^2\) 处的纤维是切空间 \(T_p S^2\)。切丛 \(TS^2\) 不是平凡丛，著名的“毛球定理” (Hairy Ball Theorem) 说明在 \(S^2\) 上不存在处处非零的光滑向量场，这等价于 \(TS^2\) 不是平凡丛 \(S^2 \times \mathbb{R}^2\)。

例子 11.2.2.4 (霍普夫丛 (Hopf Bundle))：霍普夫丛是一个重要的主 \(S^1-\)丛，定义为 \( (S^3, S^2, S^1, \pi) \)，其中 \(S^3\) 是三维球面，\(S^2\) 是二维球面，\(S^1 \cong U(1)\) 是单位圆群。投影映射 \( \pi: S^3 \rightarrow S^2 \) 是霍普夫映射。霍普夫丛在拓扑学和物理学中都有重要应用。具体构造可以使用四元数或者复数来描述。例如，将 \(S^3\) 看作是复数空间 \( \mathbb{C}^2 \) 中的单位球面 \( \{ (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2 \mid |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1 \} \)，将 \(S^2\) 看作是黎曼球面 \( \mathbb{C}P^1 = \mathbb{C} \cup \{\infty\} \)。霍普夫映射 \( \pi: S^3 \rightarrow S^2 \) 定义为 \( \pi(z_1, z_2) = [z_1 : z_2] \)，即复射影坐标。纤维 \( \pi^{-1}([z_1 : z_2]) \) 同胚于 \(S^1\)。霍普夫丛是一个非平凡的主 \(S^1-\)丛。

11.2.3 纤维丛在微分几何中的作用 (Role of Fiber Bundles in Differential Geometry)

纤维丛在微分几何中扮演着至关重要的角色，它们提供了一个统一的框架来研究各种几何结构和物理理论。

① 几何结构的载体 (Carriers of Geometric Structures)：许多重要的几何结构都可以用纤维丛来描述。例如：
⚝ 向量场与张量场 (Vector Fields and Tensor Fields)：向量场是切丛 \(TB\) 的截面，张量场是张量丛的截面。
⚝ 联络 (Connections)：联络是主丛上的特定结构，用于定义协变导数和平行移动。
⚝ 度量 (Metrics)：黎曼度量可以看作是切丛上的内积结构。
⚝ 曲率 (Curvature)：曲率可以用联络的曲率形式来描述，曲率形式是与主丛关联的向量丛上的微分形式。

② 规范场论的数学基础 (Mathematical Foundation of Gauge Theory)：在物理学的规范场论中，规范场（例如电磁场、杨-米尔斯场）可以用主丛上的联络来描述，物质场可以用与主丛关联的向量丛的截面来描述。纤维丛语言为规范场论提供了精确的数学框架。

③ 拓扑不变量的计算 (Computation of Topological Invariants)：纤维丛是计算流形拓扑不变量的重要工具。例如，陈示性类 (Chern classes)、庞特里亚金示性类 (Pontryagin classes)、欧拉示性类 (Euler class) 等示性类理论都是建立在纤维丛的基础上。这些示性类可以用来研究流形的拓扑性质，例如可定向性、欧拉示性数等。

④ 整体与局部性质的联系 (Connection between Global and Local Properties)：纤维丛的局部平凡化性质使得我们可以通过研究局部结构来理解整体性质。例如，通过局部坐标系和局部联络来研究整体流形的曲率和拓扑性质。

⑤ 构造新的几何对象 (Construction of New Geometric Objects)：通过纤维丛的构造方法，例如拉回丛 (pullback bundle)、惠特尼和 (Whitney sum)、张量积丛 (tensor product bundle) 等，可以从已有的纤维丛构造出新的纤维丛，从而研究更复杂的几何对象。

进一步学习建议：

对于想要深入学习纤维丛的读者，可以参考以下方向：

① 纤维丛理论 (Fiber Bundle Theory)：系统学习纤维丛的定义、类型、构造方法、示性类理论等。推荐书籍如：
⚝ "Differential Geometry, Gauge Theory, and Gravity" by Frankel, T.
⚝ "Principles of Fiber Bundles" by Husemoller, D.
⚝ "Characteristic Classes" by Milnor, J.W., Stasheff, J.D.
② 规范场论 (Gauge Theory)：学习纤维丛在规范场论中的应用，例如主丛、联络、曲率形式、杨-米尔斯方程等。推荐书籍如：
⚝ "Geometry, Topology and Physics" by Nakahara, M.
⚝ "Gauge Fields and Strings" by Polyakov, A.M.
③ 拓扑学 (Topology)：学习纤维丛在拓扑学中的应用，例如示性类理论、同伦理论、上同调理论等。

通过本节的初步介绍，希望读者能够对纤维丛建立基本的认识，并了解其在微分几何中的重要作用。纤维丛是一个深刻而强大的概念，掌握它可以帮助我们更好地理解现代几何学和物理学的核心思想。

11.3 曲率比较定理初步 (Introduction to Curvature Comparison Theorems)

曲率比较定理 (Curvature Comparison Theorems) 是黎曼几何中一类重要的定理，它们将黎曼流形的曲率与几何性质联系起来，通过比较给定流形的曲率与常曲率空间（例如欧氏空间、球面、双曲空间）的曲率，来推导出关于距离、体积、特征值等几何量的估计和比较结果。曲率比较定理是研究黎曼流形整体性质的有力工具，在几何分析、拓扑学、物理学等领域都有着广泛的应用。本节将初步介绍曲率比较定理的基本思想、几个重要的定理以及它们在微分几何中的意义。

11.3.1 曲率比较定理的基本思想 (Basic Idea of Curvature Comparison Theorems)

曲率比较定理的核心思想是：曲率控制几何。黎曼流形的曲率反映了空间的弯曲程度。正曲率使得测地线趋于会聚，负曲率使得测地线趋于发散，零曲率对应于平坦空间。曲率比较定理通过将给定流形的曲率与常曲率空间的曲率进行比较，来推断出关于流形几何性质的信息。

常曲率空间 (Space Forms)：常曲率空间是指黎曼曲率张量处处为常数的黎曼流形。重要的常曲率空间包括：

① 欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \)：曲率为零。
② 球面 \(S^n(R)\)：半径为 \(R\) 的 \(n\) 维球面，截面曲率为 \(K = 1/R^2 > 0\)。
③ 双曲空间 \(H^n(R)\)：曲率为 \(K = -1/R^2 < 0\)。

比较原理 (Comparison Principle)：曲率比较定理通常基于比较原理，即将给定流形上的几何量（例如距离、角度、体积）与常曲率空间中对应的几何量进行比较。通过比较，我们可以获得关于给定流形几何性质的定量或定性信息。

曲率条件 (Curvature Conditions)：曲率比较定理通常需要对黎曼流形的曲率施加一定的条件，例如：

① 截面曲率 (Sectional Curvature)：截面曲率 \(K(\sigma)\) 是黎曼曲率的最基本形式，它描述了流形在二维切平面 \( \sigma \) 上的弯曲程度。常见的曲率条件包括截面曲率有上界 \(K(\sigma) \leq K_0\) 或下界 \(K(\sigma) \geq K_0\)。
② 里奇曲率 (Ricci Curvature)：里奇曲率 \(Ric(v, v)\) 是截面曲率在所有包含向量 \(v\) 的二维切平面上的平均值。常见的曲率条件包括里奇曲率有下界 \(Ric \geq (n-1)k\)。
③ 数量曲率 (Scalar Curvature)：数量曲率 \(S\) 是里奇曲率的迹，是曲率的最弱形式。

11.3.2 重要的曲率比较定理 (Important Curvature Comparison Theorems)

以下介绍几个重要的曲率比较定理：

① 劳赫比较定理 (Rauch Comparison Theorem)：劳赫比较定理是最早也是最经典的曲率比较定理之一，它比较了黎曼流形和常曲率空间中测地线的长度和雅可比场 (Jacobi field) 的范数。

定理 11.3.2.1 (劳赫比较定理，长度形式)：设 \( (M, g) \) 是一个完备黎曼流形，假设其截面曲率满足 \( K(\sigma) \leq K_0 \) (或 \( K(\sigma) \geq K_0 \))。考虑 \(M\) 上从点 \(p\) 出发的两条测地线 \( \gamma_1(t), \gamma_2(t) \) (参数化为弧长，\( \gamma_1(0) = \gamma_2(0) = p \))，以及它们在常曲率空间 \(M_{K_0}\) (曲率为 \(K_0\)) 中对应的测地线 \( \tilde{\gamma}_1(t), \tilde{\gamma}_2(t) \) (从点 \( \tilde{p} \) 出发，初始速度向量具有相同的长度和夹角)。则在一定条件下，\(M\) 中测地线端点之间的距离与 \(M_{K_0}\) 中对应测地线端点之间的距离满足比较关系。

定理 11.3.2.2 (劳赫比较定理，指标形式)：设 \( (M, g) \) 是一个完备黎曼流形，\( \gamma: [0, L] \rightarrow M \) 是一条测地线，\(J(t)\) 是沿 \( \gamma \) 的雅可比场，\(J(0) = 0\)。假设 \(M\) 的截面曲率满足 \( K(\sigma) \leq K_0 \) (或 \( K(\sigma) \geq K_0 \))。考虑常曲率空间 \(M_{K_0}\) 中对应的测地线 \( \tilde{\gamma} \) 和雅可比场 \( \tilde{J}(t) \)，\( \tilde{J}(0) = 0, |\tilde{J}'(0)| = |J'(0)|\)。则在一定条件下，有 \( |J(t)| \geq |\tilde{J}(t)| \) (如果 \( K(\sigma) \leq K_0 \)) 或 \( |J(t)| \leq |\tilde{J}(t)| \) (如果 \( K(\sigma) \geq K_0 \))。

② 托波诺戈夫定理 (Toponogov Theorem)：托波诺戈夫定理是一个关于测地三角形的曲率比较定理，它将黎曼流形上的测地三角形与常曲率空间中的测地三角形进行比较，得到了关于边长和角的不等式。

定理 11.3.2.3 (托波诺戈夫定理，三角形比较)：设 \( (M, g) \) 是一个完备黎曼流形，截面曲率 \( K(\sigma) \geq K_0 \)。考虑 \(M\) 上的一个测地三角形 \( \triangle(p, q, r) \)，其边为测地线段 \( \gamma_{pq}, \gamma_{qr}, \gamma_{rp} \)。在常曲率空间 \(M_{K_0}\) 中，存在一个测地三角形 \( \triangle(\tilde{p}, \tilde{q}, \tilde{r}) \)，其边长与 \( \triangle(p, q, r) \) 相同，即 \( d(\tilde{p}, \tilde{q}) = d(p, q), d(\tilde{q}, \tilde{r}) = d(q, r), d(\tilde{r}, \tilde{p}) = d(r, p) \)。则 \( \triangle(p, q, r) \) 的内角不小于 \( \triangle(\tilde{p}, \tilde{q}, \tilde{r}) \) 的对应内角。

③ 毕肖普-格罗莫夫不等式 (Bishop-Gromov Inequality)：毕肖普-格罗莫夫不等式是一个关于测地球体积的曲率比较定理，它比较了黎曼流形和常曲率空间中测地球的体积。

定理 11.3.2.4 (毕肖普-格罗莫夫不等式，体积比较)：设 \( (M, g) \) 是一个 \(n\) 维完备黎曼流形，里奇曲率 \( Ric \geq (n-1)k \)。设 \(V_M(p, r)\) 表示以 \(p \in M\) 为中心，半径为 \(r\) 的测地球的体积，\(V_{k}^n(r)\) 表示 \(n\) 维常曲率空间 \(M_k^n\) (曲率为 \(k\)) 中半径为 \(r\) 的测地球的体积。则对于任意 \(r > 0\)，有体积比率的不等式：
\[ \frac{V_M(p, r)}{V_{k}^n(r)} \leq \frac{V_M(p, r')}{V_{k}^n(r')} \quad \text{对于 } 0 < r' \leq r \]
特别地，当 \(k=0\) (欧氏空间) 时，有 \( V_M(p, r) \leq V_{0}^n(r) = \omega_n r^n \)，其中 \( \omega_n \) 是 \(n\) 维单位球的体积。

11.3.3 曲率比较定理的意义与应用 (Significance and Applications of Curvature Comparison Theorems)

曲率比较定理在黎曼几何中具有重要的理论意义和广泛的应用价值。

① 理解曲率与几何的关系 (Understanding the Relationship between Curvature and Geometry)：曲率比较定理深刻地揭示了黎曼流形的曲率如何影响其几何性质，例如测地线的行为、距离函数、体积增长等。它们为我们理解“曲率控制几何”这一基本思想提供了定量的工具。

② 证明整体几何定理 (Proving Global Geometry Theorems)：曲率比较定理是证明许多重要的整体几何定理的基础。例如：
⚝ 迈耶定理 (Bonnet-Myers Theorem)：利用劳赫比较定理可以证明，若完备黎曼流形的里奇曲率有正下界 \(Ric \geq (n-1)k > 0\)，则流形是紧致的，且直径有上界 \( \leq \pi / \sqrt{k} \)。
⚝ 灵魂定理 (Soul Theorem)：利用毕肖普-格罗莫夫不等式可以研究非紧完备黎曼流形的拓扑结构。灵魂定理断言，具有非负截面曲率的非紧完备黎曼流形微分同胚于一个向量丛，该向量丛的底空间是一个紧致全凸子流形，称为流形的“灵魂”。
⚝ 格罗莫夫紧致性定理 (Gromov's Compactness Theorem)：曲率比较定理在证明格罗莫夫紧致性定理中起着关键作用，该定理是研究黎曼流形空间的重要工具。

③ 几何估计与不等式 (Geometric Estimates and Inequalities)：曲率比较定理可以用来导出各种几何量的估计和不等式，例如直径估计、体积估计、特征值估计等。这些估计在几何分析、谱几何等领域有着重要应用。

④ 物理学应用 (Physical Applications)：曲率比较定理在物理学中也有应用，例如在广义相对论中，时空的曲率与物质分布有关，曲率比较定理可以用来研究时空的几何性质和宇宙学模型。

进一步学习建议：

对于想要深入学习曲率比较定理的读者，可以参考以下方向：

① 黎曼几何 (Riemannian Geometry)：系统学习黎曼几何的基本概念、曲率理论、测地线、雅可比场等。推荐书籍如：
⚝ "Riemannian Geometry" by do Carmo, M.P.
⚝ "Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature" by Lee, J.M.
② 曲率比较定理专题 (Special Topics on Curvature Comparison Theorems)：深入学习劳赫比较定理、托波诺戈夫定理、毕肖普-格罗莫夫不等式等重要定理的证明、推广和应用。推荐书籍和综述文章：
⚝ "Metric Geometry of Riemannian Manifolds" by Burago, D., Burago, Y., Ivanov, S.
⚝ "Comparison Theorems in Riemannian Geometry" by Cheeger, J., Ebin, D.G.
③ 几何分析与拓扑学 (Geometric Analysis and Topology)：了解曲率比较定理在几何分析和拓扑学中的应用，例如在研究调和映射、特征值问题、流形拓扑结构等方面。

通过本节的初步介绍，希望读者能够对曲率比较定理建立基本的认识，并了解其在微分几何中的重要意义。曲率比较定理是黎曼几何中一个深刻而富有成果的研究方向，值得进一步学习和探索。

12. chapter 12：应用简介 (Introduction to Applications)

12.1 微分几何在物理学中的应用 (Applications of Differential Geometry in Physics)

微分几何作为研究光滑流形上几何结构的数学分支，其深刻的思想和强大的工具在现代物理学的多个领域中发挥着至关重要的作用。从描述宇宙时空结构到理解基本粒子相互作用，微分几何都提供了不可或缺的数学语言和分析框架。本节将深入探讨微分几何在物理学中的一些核心应用。

首先，在广义相对论 (General Relativity) 中，微分几何是其理论基石。爱因斯坦的广义相对论将引力描述为时空弯曲的几何效应。时空被视为一个四维的伪黎曼流形 (pseudo-Riemannian manifold)，而引力的存在正是由这个流形的曲率来体现。

① 时空流形 (Spacetime Manifold)：广义相对论中，宇宙时空不再是牛顿力学中平坦的欧氏空间，而是一个可以弯曲和扭曲的四维流形。这个流形通常用洛伦兹流形 (Lorentzian manifold) 来建模，它是一种特殊的黎曼流形，其度量张量 (metric tensor) 具有闵可夫斯基度量 (Minkowski metric) 的符号特征 (+, -, -, -) 或 (-, +, +, +)。
② 爱因斯坦场方程 (Einstein Field Equations)：描述了时空曲率与物质能量分布之间关系的 fundamental equation。这个方程本质上是一个偏微分方程组，它将描述时空几何的 爱因斯坦张量 (Einstein tensor) \( G_{\mu\nu} \) 与描述物质能量动量分布的 能量-动量张量 (energy-momentum tensor) \( T_{\mu\nu} \) 联系起来：
\[ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]
其中，\( G \) 是牛顿引力常数 (Newtonian constant of gravitation)，\( c \) 是光速 (speed of light)。爱因斯坦张量 \( G_{\mu\nu} \) 本身是由度量张量 \( g_{\mu\nu} \) 及其导数通过微分几何中的曲率计算方法构造出来的。求解爱因斯坦场方程，就是在给定物质分布 \( T_{\mu\nu} \) 的情况下，确定时空流形的度量 \( g_{\mu\nu} \)，从而了解时空的几何结构和引力场。
③ 测地线 (Geodesics)：在弯曲时空中，粒子的自由运动轨迹不再是直线，而是沿着时空流形上的测地线。测地线可以理解为弯曲空间中的“最短路径”，更精确地说，是连接两点之间路径的 类时 (time-like) 或 类空 (space-like) 弧长泛函的临界点。在广义相对论中，自由落体的物体沿着时空的类时测地线运动，光线则沿着零测地线 (null geodesics) 传播。研究测地线对于理解引力场中物体的运动至关重要，例如行星绕恒星的轨道、光线在引力场中的偏折等。

其次，微分几何在经典力学 (Classical Mechanics) 中也扮演着重要角色，尤其是在拉格朗日力学 (Lagrangian mechanics) 和哈密顿力学 (Hamiltonian mechanics) 的现代表述中。

① 构型空间 (Configuration Space)：一个力学系统的所有可能的构型 (configurations) 可以构成一个流形，称为构型空间。例如，一个单摆的构型空间是一个圆 \( S^1 \)，一个三维空间中运动的质点的构型空间是 \( \mathbb{R}^3 \)。更复杂的系统，如多体系统或连续介质，其构型空间可能是更高维甚至无限维的流形。
② 相空间 (Phase Space)：在哈密顿力学中，系统的状态由广义坐标 (generalized coordinates) 和广义动量 (generalized momenta) 共同描述，它们构成相空间。相空间通常是一个 辛流形 (symplectic manifold)，即一个配备了非退化闭 2-形式 (non-degenerate closed 2-form) 的流形，称为辛形式 (symplectic form)。辛形式赋予相空间特殊的几何结构，使得哈密顿动力学可以用几何语言来描述。
③ 拉格朗日量与哈密顿量 (Lagrangian and Hamiltonian)：拉格朗日量 \( L \) 和哈密顿量 \( H \) 可以看作是定义在切丛 (tangent bundle) 和余切丛 (cotangent bundle) 上的函数。运动方程可以通过 变分原理 (variational principle) 从拉格朗日量导出，也可以通过 哈密顿方程 (Hamilton's equations) 从哈密顿量导出。微分几何的语言使得经典力学的理论框架更加简洁和优雅，也为量子力学 (quantum mechanics) 的发展提供了重要的启示。

再者，规范场论 (Gauge Theory)，如电磁理论 (electromagnetic theory)、弱相互作用理论 (weak interaction theory)、强相互作用理论 (strong interaction theory) 等，是现代物理学的核心组成部分，而微分几何中的 纤维丛 (fiber bundle) 和 联络 (connection) 的概念是描述规范场的关键数学工具。

① 规范场与联络 (Gauge Fields and Connections)：规范场，例如电磁场的 电磁势 (electromagnetic potential)、杨-米尔斯场 (Yang-Mills field) 等，可以被理解为纤维丛上的联络。纤维丛由 底空间 (base space) (通常是时空流形)、纤维 (fiber) (规范群作用的空间) 和 投影映射 (projection map) 组成。联络定义了纤维在底空间上如何“平行移动”的方式，它描述了规范场的相互作用。
② 规范变换 (Gauge Transformations)：规范变换对应于纤维丛的 丛自同构 (bundle automorphism)，它保持物理量的 规范不变性 (gauge invariance)。物理理论的规范不变性是规范场论的核心特征，它要求物理规律在规范变换下保持不变。
③ 杨-米尔斯方程 (Yang-Mills Equations)：描述非阿贝尔规范场 (non-Abelian gauge fields) 动力学的方程，是规范场论的基础方程。杨-米尔斯方程可以从 作用量泛函 (action functional) 的变分原理导出，作用量泛函通常由联络的 曲率形式 (curvature form) (也称为场强张量) 构造而成。杨-米尔斯方程是非线性的偏微分方程组，其解描述了基本粒子的相互作用，例如量子色动力学 (quantum chromodynamics, QCD) 中的胶子场 (gluon field)。

此外，微分几何在弦理论 (String Theory)、宇宙学 (Cosmology)、流体动力学 (Fluid Dynamics) 等领域也有重要应用。

① 弦理论与卡拉比-丘流形 (String Theory and Calabi-Yau Manifolds)：弦理论为了解决量子引力 (quantum gravity) 的问题，提出了基本粒子不是点粒子，而是一维的弦。为了使弦理论在数学上自洽，通常需要在十维时空中构建理论模型。为了与我们观测到的四维时空相容，弦理论引入了 紧致化 (compactification) 的概念，即将额外的六个维度紧致化成一个非常小的空间。卡拉比-丘流形 (Calabi-Yau manifold) 是一类重要的复流形 (complex manifold)，在弦理论的紧致化中扮演着关键角色。卡拉比-丘流形具有特殊的几何性质，例如 里奇平坦性 (Ricci-flatness)，这使得它们能够保持超对称性 (supersymmetry)，从而构建物理上合理的弦理论模型。
② 宇宙学与FLRW度量 (Cosmology and FLRW Metric)：在宇宙学中，为了描述宇宙的大尺度结构和演化，通常使用 弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克度量 (Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric, FLRW metric)。FLRW度量描述了一个均匀且各向同性的宇宙，其空间部分具有常曲率。通过求解广义相对论的爱因斯坦场方程，并代入 FLRW 度量，可以得到描述宇宙膨胀的 弗里德曼方程 (Friedmann equations)。这些方程是现代宇宙学模型的基础，用于研究宇宙的起源、演化和未来。
③ 流体动力学中的黎曼几何 (Riemannian Geometry in Fluid Dynamics)：在流体动力学中，特别是在研究 测地线流 (geodesic flow) 和 欧拉流 (Euler flow) 等问题时，黎曼几何的概念和方法也很有用。例如，可以将理想流体的运动视为在某个无限维流形上的测地线运动，利用黎曼几何的工具来分析流体的性质和行为。

总而言之，微分几何为物理学提供了一套强大而精密的数学语言，使得物理学家能够更深刻地理解自然界的规律。从宏观的宇宙结构到微观的基本粒子，微分几何都展现了其独特的魅力和不可替代的作用。随着物理学和数学的不断发展，微分几何在物理学中的应用前景将更加广阔。

12.2 微分几何在其他领域中的应用 (Applications of Differential Geometry in Other Fields)

微分几何的应用远不止于物理学。其深刻的几何思想和强大的分析工具，使其在计算机科学、工程学、生物学、经济学等众多领域都展现出重要的应用价值。本节将探讨微分几何在这些其他领域中的一些典型应用。

在计算机图形学与计算机视觉 (Computer Graphics and Computer Vision) 领域，微分几何提供了描述和分析三维形状的有力工具。

① 曲面建模与表示 (Surface Modeling and Representation)：计算机图形学中，三维物体通常用曲面来表示。微分几何提供了多种曲面建模方法，例如 参数曲面 (parametric surfaces)、隐式曲面 (implicit surfaces)、细分曲面 (subdivision surfaces) 等。利用微分几何的概念，如曲率、法向量、切平面等，可以精确地描述曲面的局部和整体几何性质，从而实现逼真的三维模型渲染和显示。
② 形状分析与识别 (Shape Analysis and Recognition)：在计算机视觉中，形状分析和识别是重要的研究方向。微分几何的工具可以用于提取形状的几何特征，例如 曲率分布 (curvature distribution)、测地距离 (geodesic distance)、谱几何特征 (spectral geometric features) 等。这些特征可以用于形状匹配、形状检索、物体识别等任务。例如，可以使用 热核签名 (heat kernel signature) 或 波核签名 (wave kernel signature) 等谱几何方法来描述曲面的局部几何特征，从而实现鲁棒的形状识别。
③ 网格处理与优化 (Mesh Processing and Optimization)：在计算机图形学和几何建模中，三维模型通常表示为 三角网格 (triangular mesh)。微分几何的方法可以用于网格的平滑、简化、参数化、重网格化等处理和优化。例如，可以使用 离散曲率 (discrete curvature) 的概念来平滑网格，可以使用 调和映射 (harmonic map) 或 共形映射 (conformal map) 来参数化网格，从而方便纹理映射、形状变形等操作。

在机器人学 (Robotics) 领域，微分几何为机器人运动规划、控制和感知提供了重要的数学框架。

① 机器人运动学与动力学 (Robot Kinematics and Dynamics)：机器人的构型空间 (configuration space) 可以看作是一个流形。机器人的运动学 (kinematics) 描述了机器人关节角度与末端执行器位置和姿态之间的关系，动力学 (dynamics) 描述了机器人运动与力和力矩之间的关系。微分几何的语言可以用来描述机器人的构型空间、速度空间、力空间等，并建立运动学和动力学模型。例如，可以使用 李群 (Lie group) 和 李代数 (Lie algebra) 的理论来描述刚体运动，从而分析机器人的运动学和动力学特性。
② 路径规划与轨迹优化 (Path Planning and Trajectory Optimization)：机器人的路径规划 (path planning) 是指在给定起始点和目标点之间，找到一条无碰撞的路径。轨迹优化 (trajectory optimization) 是指在满足运动学和动力学约束的条件下，找到一条最优的轨迹，例如最短时间、最小能量等。微分几何的方法可以用于描述机器人的工作空间、障碍物空间等，并设计高效的路径规划和轨迹优化算法。例如，可以使用 黎曼几何 (Riemannian geometry) 的方法来定义机器人在构型空间中的距离和度量，从而实现基于几何的路径规划算法。

在数据分析与机器学习 (Data Analysis and Machine Learning) 领域，微分几何为处理高维数据、发现数据中的非线性结构提供了新的视角和方法。

① 流形学习 (Manifold Learning)：在高维数据分析中，一个重要的假设是高维数据实际上可能分布在一个低维流形上。流形学习 (manifold learning) 的目标是从高维数据中发现和提取这个低维流形结构。微分几何提供了流形学习的理论基础和算法工具。例如，等距映射 (Isometric Mapping, Isomap)、局部线性嵌入 (Locally Linear Embedding, LLE)、拉普拉斯特征映射 (Laplacian Eigenmaps) 等经典的流形学习算法，都利用了微分几何中的测地距离、切空间、拉普拉斯算子等概念。
② 几何深度学习 (Geometric Deep Learning)：传统的深度学习方法主要处理欧氏空间中的数据，例如图像、文本等。然而，现实世界中存在许多非欧氏结构的数据，例如图数据、社交网络数据、分子结构数据等。几何深度学习 (geometric deep learning) 旨在将深度学习方法推广到非欧氏空间，特别是流形和图结构的数据。微分几何为几何深度学习提供了重要的理论基础和工具，例如 图神经网络 (Graph Neural Networks, GNNs)、流形神经网络 (Manifold Neural Networks, MNNs) 等模型，都借鉴了微分几何中的概念和方法，例如 图拉普拉斯算子 (graph Laplacian)、黎曼流形上的梯度下降 (gradient descent on Riemannian manifolds) 等。
③ 降维与可视化 (Dimensionality Reduction and Visualization)：微分几何的流形学习方法可以用于高维数据的降维和可视化。通过将高维数据映射到低维空间 (例如二维或三维)，可以方便地进行数据可视化和探索性数据分析。例如，t-分布邻域嵌入算法 (t-distributed Stochastic Neighbor Embedding, t-SNE) 是一种常用的非线性降维算法，它在一定程度上保留了高维数据中的局部结构，并将其映射到低维空间进行可视化。

此外，微分几何在生物学与医学 (Biology and Medicine)、经济学与金融学 (Economics and Finance)、工程学 (Engineering) 等领域也有广泛的应用。

① 生物学与医学中的形状分析 (Shape Analysis in Biology and Medicine)：微分几何的形状分析方法可以用于生物医学图像分析，例如细胞形状分析、器官形状分析、蛋白质结构分析等。例如，可以使用曲率、平均曲率、高斯曲率等几何特征来描述细胞或器官的形状，从而进行疾病诊断、药物研发等应用。
② 经济学与金融学中的经济流形 (Economic Manifolds in Economics and Finance)：在经济学和金融学中，一些经济模型可以用流形来描述，例如 状态空间模型 (state space models)、金融市场模型 (financial market models) 等。微分几何的工具可以用于分析经济系统的稳定性、优化问题、风险管理等。例如，可以使用 黎曼几何优化 (Riemannian optimization) 的方法来解决金融投资组合优化问题。
③ 工程学中的结构力学与控制理论 (Structural Mechanics and Control Theory in Engineering)：在工程学中，微分几何的概念和方法可以应用于结构力学分析、控制系统设计等。例如，可以使用 有限元方法 (Finite Element Method, FEM) 来求解弹性力学方程，其中涉及到曲面和流形的离散化和数值计算。在控制理论中，非线性控制系统 (nonlinear control systems) 的状态空间通常是一个流形，微分几何的工具可以用于分析系统的可控性、可观性、稳定性等。

综上所述，微分几何的应用已经渗透到众多科学和工程领域，成为连接数学与现实世界的桥梁。随着学科交叉和技术融合的不断深入，微分几何的应用前景将更加广阔，为解决各领域的复杂问题提供强大的理论支持和方法工具。

13. chapter 13：参考文献与进一步阅读 (References and Further Reading)

13.1 主要参考书籍 (Main Reference Books)

⚝ 经典教材 (Classic Textbooks)：
▮▮▮▮⚝ 《微分几何》 (Differential Geometry)，作者：Manfredo P. do Carmo。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书是微分几何领域的经典入门教材，以清晰的几何直观和严谨的数学推导著称。内容覆盖了曲线和曲面的基本理论，以及黎曼几何的初步知识，非常适合作为本科生和研究生的入门教材。(For beginners and intermediate learners)
▮▮▮▮⚝ 《微分几何原理》 (Principles of Differential Geometry)，作者：Richard S. Palais and Chuu-Lian Terng。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书以现代的观点和方法系统地介绍了微分几何的基础理论，内容深入浅出，涵盖了流形、向量场、微分形式、黎曼几何等核心内容。本书在理论深度和广度上都达到了较高的水平，适合有一定数学基础的读者深入学习。(For intermediate and advanced learners)
▮▮▮▮⚝ 《黎曼几何引论》 (Riemannian Geometry)，作者：Isaac Chavel。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书专注于黎曼几何，内容详实，讲解细致，从黎曼度量、联络、曲率到测地线、完备性等，进行了深入的探讨。本书强调几何直观，并提供了大量的例题和习题，有助于读者深入理解黎曼几何的核心概念和方法。(For intermediate and advanced learners)
▮▮▮▮⚝ 《微分几何与流形》 (Differential Geometry and Manifolds)，作者：Victor Guillemin and Alan Pollack。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书以拓扑学的视角切入微分几何，强调流形的概念和性质，内容涵盖了微分流形、向量场、微分形式、积分等重要主题。本书风格简洁明快，注重概念的清晰表达和逻辑的严谨性，适合希望从拓扑角度理解微分几何的读者。(For intermediate learners)
▮▮▮▮⚝ 《微分几何：曲线、曲面与流形》 (Differential Geometry: Curves, Surfaces, and Manifolds)，作者：Wolfgang Kühnel。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书内容全面，从欧氏空间中的曲线和曲面出发，逐步过渡到抽象流形上的微分几何。本书在内容组织上循序渐进，从具体到抽象，有助于读者逐步建立起完整的微分几何知识体系。同时，本书也包含了许多现代微分几何的重要内容，如黎曼几何、纤维丛等。(For beginners, intermediate and advanced learners)

⚝ 进阶教材 (Advanced Textbooks)：
▮▮▮▮⚝ 《黎曼几何基础》 (Foundations of Riemannian Geometry)，作者：Detlef Gromoll, Wolfgang Klingenberg, and Werner Meyer。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书是黎曼几何领域的经典著作，内容深入而全面，对黎曼几何的许多核心定理和理论进行了深入的探讨，如完备性、曲率、测地线等。本书适合作为研究生的教材和专业研究人员的参考书。(For experts)
▮▮▮▮⚝ 《黎曼几何及其应用》 (Riemannian Geometry and Geometric Analysis)，作者：Jürgen Jost。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书不仅深入探讨了黎曼几何的理论，还强调了黎曼几何在几何分析、物理学等领域的应用。内容涵盖了Ricci流、调和映射等现代研究热点。本书适合希望了解黎曼几何前沿研究的读者。(For experts)
▮▮▮▮⚝ 《微分几何、李群和对称空间》 (Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces)，作者：Sigurdur Helgason。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书将微分几何与李群理论相结合，深入探讨了对称空间等重要的几何结构。本书内容深刻，理论性强，适合对李群和对称空间感兴趣的读者。(For experts)

13.2 经典论文与期刊 (Classic Papers and Journals)

⚝ 经典论文 (Classic Papers)：
▮▮▮▮⚝ 《论活动标架法及其在微分几何中的应用》 (On moving frames of reference and their application to differential geometry)，作者：Élie Cartan (埃利·嘉当)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：嘉当的活动标架法 (Moving Frame Method) 是微分几何中极其重要的工具，这篇论文是该方法的奠基之作。嘉当的方法以其简洁性和强大性著称，在曲线、曲面和高维流形的研究中都有广泛的应用。(Fundamental work on Moving Frame Method)
▮▮▮▮⚝ 《论具有常曲率的黎曼空间》 (Über Riemannsche Räume mit konstant Krümmung)，作者：Bernhard Riemann (波恩哈德·黎曼)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：黎曼的这篇就职演说标志着黎曼几何的诞生。在这篇论文中，黎曼提出了黎曼度量、曲率等核心概念，并对常曲率空间进行了研究，为现代微分几何的发展奠定了基础。(Foundational work of Riemannian Geometry)
▮▮▮▮⚝ 《绝妙定理》 (Theorema Egregium)，作者：Carl Friedrich Gauss (卡尔·弗里德里希·高斯)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：高斯的“绝妙定理” (Theorema Egregium) 是曲面论中的一个里程碑式的成果，它表明高斯曲率是曲面的内蕴性质，只依赖于第一基本形式。这个定理深刻地揭示了曲面的几何性质。(Fundamental theorem in surface theory)
▮▮▮▮⚝ 《调和映射的存在性》 (Existence of harmonic mappings)，作者：James Eells and Joseph Sampson。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：这篇论文开创了调和映射理论的研究，调和映射在微分几何、几何分析和物理学中都有重要的应用。论文证明了在一定条件下调和映射的存在性，为后续研究奠定了基础。(Pioneering work on Harmonic Mappings)
▮▮▮▮⚝ 《关于完备黎曼流形》 (Über vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten)，作者：Heinz Hopf and Willi Rinow。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：Hopf-Rinow定理 (Hopf-Rinow Theorem) 是黎曼几何中关于完备性的基本定理，这篇论文证明了完备黎曼流形的一些重要性质，如测地线的存在性、有界闭集是紧集等。定理对于理解完备黎曼流形的结构至关重要。(Fundamental theorem on Complete Riemannian Manifolds)

⚝ 重要期刊 (Important Journals)：
▮▮▮▮⚝ 《Journal of Differential Geometry》 (微分几何杂志)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：微分几何领域最顶级的专业期刊之一，发表高质量的原创研究论文，涵盖微分几何的各个分支，包括黎曼几何、辛几何、复几何等。期刊以其严格的审稿标准和高水平的论文质量而著称。(Top-tier journal in Differential Geometry)
▮▮▮▮⚝ 《Geometry & Topology》 (几何与拓扑)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：一份涵盖几何学和拓扑学交叉领域的顶级期刊，发表高质量的研究论文，内容涉及微分几何、拓扑学、几何分析等。期刊以其开放获取 (Open Access) 的模式和快速的发表速度而受到研究人员的欢迎。(Top-tier journal in Geometry and Topology)
▮▮▮▮⚝ 《Communications in Analysis and Geometry》 (分析与几何通讯)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：一份专注于分析和几何交叉领域的期刊，发表高质量的研究论文，内容涵盖几何分析、偏微分方程、微分几何等。期刊在几何分析领域具有很高的影响力。(Leading journal in Analysis and Geometry)
▮▮▮▮⚝ 《Advances in Mathematics》 (数学进展)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：一份综合性的数学期刊，发表各个数学领域的高水平综述和原创研究论文，包括微分几何。期刊以其严格的审稿标准和高水平的论文质量而著称。(General mathematics journal with high impact)
▮▮▮▮⚝ 《Inventiones Mathematicae》 (数学新进展)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：一份综合性的数学期刊，发表各个数学领域的最前沿、最重要的研究成果，包括微分几何。期刊以其极高的学术声誉和影响力而著称。(Top-tier general mathematics journal)
▮▮▮▮⚝ 《Annals of Mathematics》 (数学年刊)
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：数学领域最顶级的综合性期刊之一，发表各个数学领域的最具突破性和影响力的研究成果，包括微分几何。期刊以其极高的学术声誉和悠久的历史而著称。(Top-tier general mathematics journal, highly prestigious)

13.3 推荐的进一步阅读材料 (Recommended Further Reading Materials)

⚝ 专题深入 (In-depth Study on Specific Topics)：
▮▮▮▮⚝ 《辛几何引论》 (An Introduction to Symplectic Geometry)，作者：Dietmar Salamon。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：辛几何是微分几何的一个重要分支，与哈密顿力学、量子力学等物理理论密切相关。本书系统地介绍了辛几何的基础理论，包括辛流形、拉格朗日子流形、莫尔斯理论等。适合希望深入学习辛几何的读者。(For those interested in Symplectic Geometry)
▮▮▮▮⚝ 《复流形与柯勒几何》 (Principles of Algebraic Geometry)，作者：Phillip Griffiths and Joseph Harris (Chapter on Complex Manifolds and Kähler Geometry)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：复流形和柯勒几何是微分几何与复分析的交叉领域，在代数几何、理论物理等领域有重要的应用。本书的章节系统地介绍了复流形和柯勒几何的基本概念和理论，适合希望了解复几何的读者。(For those interested in Complex and Kähler Geometry)
▮▮▮▮⚝ 《规范场与微分几何》 (Gauge Fields and Differential Geometry)，作者：Robert Wald。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书探讨了微分几何在规范场论中的应用，将微分几何的语言和工具应用于物理学中的规范场理论，如杨-米尔斯理论、广义相对论等。适合希望了解微分几何在物理学中应用的读者。(For applications in Physics, especially Gauge Theory)
▮▮▮▮⚝ 《热核与狄拉克算子》 (Heat Kernels and Dirac Operators)，作者：Nicole Berline, Ezra Getzler, and Michèle Vergne。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书深入探讨了热核方法和狄拉克算子在微分几何和指标理论中的应用。内容涉及Atiyah-Singer指标定理等深刻的理论。适合希望了解微分几何与指标理论的读者。(For advanced topics like Heat Kernel and Index Theory)
▮▮▮▮⚝ 《度量几何》 (Metric Geometry)，作者：Dmitri Burago, Yuri Burago, and Sergei Ivanov。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 推荐理由：本书介绍了度量几何的基本概念和理论，度量几何研究不光滑空间上的几何性质，与黎曼几何有所不同。内容包括Alexandrov空间、格罗莫夫-豪斯多夫收敛等。适合希望了解更广义的几何理论的读者。(For those interested in Metric Geometry and non-smooth spaces)

⚝ 在线资源 (Online Resources)：
▮▮▮▮⚝ MathOverflow：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：一个面向数学研究人员的问答网站，可以在上面找到关于微分几何的各种问题和解答，是解决学习和研究中疑问的好去处。(Q&A website for mathematical research)
▮▮▮▮⚝ arXiv (数学分类：math.DG)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：预印本服务器，可以在上面找到最新的微分几何研究论文，了解学科的最新进展。(Preprint server for mathematics, including Differential Geometry)
▮▮▮▮⚝ nLab：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：一个协作式的数学wiki，包含了大量的数学知识，包括微分几何。可以作为学习和查阅微分几何概念的参考资料。(Collaborative wiki for mathematics)
▮▮▮▮⚝ YouTube 上的微分几何课程：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：许多大学和机构在YouTube上发布了微分几何的课程视频，可以作为学习的补充资源。例如，MIT OpenCourseware, Stanford Online 等。(Online video lectures on Differential Geometry)
▮▮▮▮⚝ PlanetMath：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 简介：一个免费的在线数学百科全书，包含了大量的数学定义、定理和证明，可以作为学习和查阅微分几何知识的参考资料。(Free online mathematics encyclopedia)

希望以上参考文献和进一步阅读材料能够帮助读者更深入地学习和研究微分几何。微分几何是一个充满活力和魅力的学科，期待读者在探索微分几何的旅程中取得丰硕的成果。

1	这是一个 \((k+1)\)-形式。
2
3	③ 外微分与经典向量分析算子 (Exterior Derivative and Classical Vector Calculus Operators)
4
5	在 \(\mathbb{R}^3\) 中，外微分与经典向量分析中的梯度、旋度和散度有着深刻的联系。这种联系通过 Hodge 星号算子 (Hodge star operator) 建立，但即使不引入星号算子，我们也可以看到对应关系：
6	* 梯度 (Gradient): 对于 0-形式 \(f \in \Omega^0(\mathbb{R}^3)\)，\(df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz\)。这对应于函数 \(f\) 的梯度向量 \(\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})\) 的协变表示。
7	* 旋度 (Curl): 对于 1-形式 \(\omega = P dx + Q dy + R dz \in \Omega^1(\mathbb{R}^3)\)，
8	```
9
10	\[ d\omega = dP \wedge dx + dQ \wedge dy + dR \wedge dz \]
11	\[ = (\frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy + \frac{\partial P}{\partial z} dz) \wedge dx \]
12	\[ + (\frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial y} dy + \frac{\partial Q}{\partial z} dz) \wedge dy \]
13	\[ + (\frac{\partial R}{\partial x} dx + \frac{\partial R}{\partial y} dy + \frac{\partial R}{\partial z} dz) \wedge dz \]
14	\[ = \frac{\partial P}{\partial y} dy \wedge dx + \frac{\partial P}{\partial z} dz \wedge dx \]
15	\[ + \frac{\partial Q}{\partial x} dx \wedge dy + \frac{\partial Q}{\partial z} dz \wedge dy \]
16	\[ + \frac{\partial R}{\partial x} dx \wedge dz + \frac{\partial R}{\partial y} dy \wedge dz \]
17	\[ = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dx \wedge dy + (\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}) dx \wedge dz + (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) dy \wedge dz \]

1	\[ d\eta = dP \wedge dy \wedge dz + dQ \wedge dz \wedge dx + dR \wedge dx \wedge dy \]
2	\[ = (\frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy + \frac{\partial P}{\partial z} dz) \wedge dy \wedge dz \]
3	\[ + (\frac{\partial Q}{\partial x} dx + \frac{\partial Q}{\partial y} dy + \frac{\partial Q}{\partial z} dz) \wedge dz \wedge dx \]
4	\[ + (\frac{\partial R}{\partial x} dx + \frac{\partial R}{\partial y} dy + \frac{\partial R}{\partial z} dz) \wedge dx \wedge dy \]
5	\[ = \frac{\partial P}{\partial x} dx \wedge dy \wedge dz + \frac{\partial Q}{\partial y} dy \wedge dz \wedge dx + \frac{\partial R}{\partial z} dz \wedge dx \wedge dy \]
6	\[ = (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dx \wedge dy \wedge dz \]