003 《初等代数：系统精讲与深度应用 (Elementary Algebra: Systematic Elucidation and In-depth Applications)》

作者 Lou Xiao, gemini 创建时间 "2025-04-19 02:08:41" 更新时间 "2025-04-19 02:08:41"

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书籍大纲

1. chapter 1：代数基础与实数系统 (Algebraic Fundamentals and The Real Number System)

欢迎来到初等代数的世界！代数不仅仅是数学的一个分支，它更是一种强大的工具和一种通用的语言，帮助我们理解和解决各种问题，从简单的日常计算到复杂的科学难题。在本章中，我们将一起探索代数的基础，追溯它的起源，并深入理解构成代数基石的实数系统。我们将学习如何构建和解释代数表达式，掌握运算的顺序，并熟悉实数的重要性质。这些基础知识将为我们后续学习更复杂的代数概念奠定坚实的基础。

1.1 代数的起源与基本概念 (Origins and Basic Concepts of Algebra)

代数 (Algebra) 的历史源远流长，可以追溯到古代文明。古埃及和巴比伦的数学家们就已经在使用代数方法解决实际问题，尽管他们的方法与我们今天所学的符号代数 (Symbolic Algebra) 有很大不同。他们通常使用文字描述来表达代数关系，这被称为文字代数 (Rhetorical Algebra)。

到了公元9世纪，波斯数学家花拉子米 (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) 撰写了《代数学》(Al-Jabr wa'l-Muqabala) 一书，这本书系统地阐述了求解一次和二次方程的方法。书名中的“Al-Jabr”意为“还原”或“合并同类项”，“al-Muqabala”意为“对消”或“平衡等式两边”，这些概念构成了代数方程求解的核心思想。这本书对后来的欧洲数学产生了深远影响，“Algebra”一词也由此而来。

16世纪末，法国数学家韦达 (François Viète) 开始系统地使用字母表示未知数和已知数，这标志着符号代数 (Symbolic Algebra) 的诞生。符号代数极大地提高了代数运算的效率和抽象程度，为代数的发展开辟了新的道路。

那么，代数究竟是什么呢？简单来说，代数是算术 (Arithmetic) 的推广和发展。算术处理具体的数值计算，而代数则使用符号（通常是字母）来代表未知数 (Unknowns)、变量 (Variables) 或一般数值。通过使用符号，我们可以更普遍地表达数量关系和数学规律，解决更广泛的问题。

代数的核心概念包括：
⚝ 变量 (Variables)：用来表示不确定或可变数量的符号，通常用字母 $x, y, a, b$ 等表示。
⚝ 常数 (Constants)：表示固定不变的数值，例如 5, -3, $π$ 等。
⚝ 代数表达式 (Algebraic Expressions)：由变量、常数以及加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号组成的式子，例如 $2 x + 3$ , $y^{2} - 4 z$ , $\frac{a + b}{5}$ 等。
⚝ 方程 (Equations)：用等号连接的两个代数表达式，表示它们之间的相等关系，例如 $2 x + 1 = 5$ 。求解方程是代数的重要任务之一，目标是找到使等式成立的变量值。
⚝ 不等式 (Inequalities)：用不等号（ $<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ , $\neq$ ）连接的两个代数表达式，表示它们之间的不等关系，例如 $x - 2 > 0$ 。

代数提供了一种抽象和概括问题的方法，使我们能够建立数学模型 (Mathematical Models) 来描述现实世界的现象，并通过代数运算来分析和解决这些问题。

1.2 实数系统 (The Real Number System)

在代数中，我们主要处理实数 (Real Numbers)。实数系统是所有可以与数轴 (Number Line) 上的点一一对应的数的集合。理解实数系统及其不同子集对于掌握代数至关重要。

1.2.1 自然数 (Natural Numbers)、整数 (Integers)、有理数 (Rational Numbers)

我们从最基本的数集开始：

① 自然数 (Natural Numbers)：
⚝ 自然数是用于计数和排序的数。
⚝ 通常记作 $N$ 。
⚝ 根据不同的定义，自然数集合可以包含 0 或不包含 0。在本书中，我们采用包含 0 的定义，即 $N = {0, 1, 2, 3, . . .}$ 。
⚝ 如果不包含 0，则有时记作 $N^{*}$ 或 $Z^{+}$ ，即 ${1, 2, 3, . . .}$ 。

② 整数 (Integers)：
⚝ 整数包括所有的自然数、它们的负数以及零。
⚝ 记作 $Z$ (来自德语 "Zahlen"，意为“数”)。
⚝ $Z = {. . ., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, . . .}$ 。
⚝ 整数集合包含自然数集合，即 $N \subseteq Z$ 。

③ 有理数 (Rational Numbers)：
⚝ 有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。
⚝ 记作 $Q$ (来自英语 "Quotient"，意为“商”)。
⚝ $Q = {\frac{p}{q} ∣ p \in Z, q \in Z, q \neq 0}$ 。
⚝ 任何整数 $n$ 都可以表示为 $\frac{n}{1}$ ，所以整数集合包含在有理数集合中，即 $Z \subseteq Q$ 。
⚝ 有理数的小数表示形式是有限小数 (Terminating Decimals) 或无限循环小数 (Repeating Decimals)。
▮▮▮▮ⓐ 有限小数的例子： $0.5 = \frac{1}{2}$ ， $3.25 = \frac{13}{4}$ 。
▮▮▮▮ⓑ 无限循环小数的例子： $0.333 . . . = \frac{1}{3}$ ， $1.272727 . . . = \frac{14}{11}$ 。

1.2.2 无理数 (Irrational Numbers) 与实数轴 (The Real Number Line)

① 无理数 (Irrational Numbers)：
⚝ 无理数是不能表示为两个整数之比的数。
⚝ 记作 $I$ 或 $R ∖ Q$ 。
⚝ 无理数的小数表示形式是无限不循环小数 (Non-terminating, Non-repeating Decimals)。
⚝ 著名的无理数包括：
▮▮▮▮ⓐ $\sqrt{2}$ (最早由古希腊毕达哥拉斯学派发现，证明了其不可公度性)。
▮▮▮▮ⓑ $π$ (圆周率，用于计算圆的周长和面积)。
▮▮▮▮ⓒ $e$ (自然对数的底，在微积分和金融中有重要应用)。
⚝ 任何非完全平方数的平方根都是无理数，例如 $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$ 等。

② 实数 (Real Numbers)：
⚝ 实数集合 $R$ 是有理数集合 $Q$ 和无理数集合 $I$ 的并集。
⚝ $R = Q \cup I$ 。
⚝ 实数可以完全填充数轴。

③ 实数轴 (The Real Number Line)：
⚝ 实数轴是一条直线，其上的每一个点都唯一对应一个实数，反之亦然。
⚝ 通常在数轴上标出原点 (Origin) 0，正方向（通常向右）和单位长度。
⚝ 数轴直观地表示了实数的顺序关系：右边的数大于左边的数。
⚝ 数轴也用于表示不等式的解集 (Solution Sets)。

实数系统是初等代数研究的基础。理解不同数集之间的关系以及它们在数轴上的表示，对于后续学习代数运算和方程求解至关重要。

1.3 代数表达式 (Algebraic Expressions)

代数表达式是代数语言的基本组成部分。它们是由数字、变量和运算符号组合而成的数学短语。

1.3.1 变量 (Variables)、常数 (Constants) 与项 (Terms)

① 变量 (Variables)：
⚝ 变量是代表未知或可变数值的符号，通常是字母。
⚝ 例如，在表达式 $3 x + 5$ 中， $x$ 是一个变量。
⚝ 变量允许我们表达一般性的数学关系，例如矩形的面积公式 $A = l w$ ，其中 $A, l, w$ 都是变量，代表面积、长和宽。

② 常数 (Constants)：
⚝ 常数是具有固定数值的符号或数字。
⚝ 例如，在表达式 $3 x + 5$ 中，3 和 5 都是常数。
⚝ 像 $π$ 和 $e$ 这样的特殊数学常数也是常数。

③ 项 (Terms)：
⚝ 项是代数表达式中由加号或减号分隔的部分。
⚝ 项可以是单个数字、单个变量或数字与一个或多个变量的乘积（包括变量的幂）。
⚝ 例如，在表达式 $4 x^{2} - 7 x y + 5 y + 9$ 中，项包括 $4 x^{2}$ , $- 7 x y$ , $5 y$ , 和 $9$ 。
⚝ 同类项 (Like Terms)：具有相同变量和相同变量指数的项称为同类项。常数项也是同类项。
▮▮▮▮ⓐ 例如， $3 x^{2}$ 和 $- 5 x^{2}$ 是同类项。
▮▮▮▮ⓑ $2 x y$ 和 $6 x y$ 是同类项。
▮▮▮▮ⓒ $7$ 和 $- 10$ 是同类项。
▮▮▮▮ⓓ $4 x^{2}$ 和 $4 x$ 不是同类项，因为变量 $x$ 的指数不同。
⚝ 合并同类项 (Combining Like Terms) 是简化代数表达式的重要步骤，通过将同类项的系数相加或相减来完成。
▮▮▮▮例如： $3 x + 5 x - 2 y + y = (3 + 5) x + (- 2 + 1) y = 8 x - y$ 。

1.3.2 系数 (Coefficients) 与指数 (Exponents)

① 系数 (Coefficients)：
⚝ 在一个项中，数字因子称为该项的系数。
⚝ 例如，在项 $4 x^{2}$ 中，系数是 4。
⚝ 在项 $- 7 x y$ 中，系数是 -7。
⚝ 在项 $y$ 中，系数是 1 (因为 $y = 1 y$ )。
⚝ 在项 $- z$ 中，系数是 -1 (因为 $- z = - 1 z$ )。
⚝ 常数项（如 9）本身就是系数。

② 指数 (Exponents)：
⚝ 指数表示一个数（底数 - Base）自身相乘的次数。
⚝ 在表达式 $a^{n}$ 中， $a$ 是底数， $n$ 是指数。它表示 $a$ 乘以自身 $n$ 次： $a^{n} = a \times a \times . . . \times a$ (共 $n$ 个 $a$ )。
⚝ 例如， $x^{2}$ 表示 $x \times x$ ， $y^{3}$ 表示 $y \times y \times y$ 。
⚝ 指数为 1 时通常省略不写，例如 $x^{1} = x$ 。
⚝ 任何非零数的零次幂等于 1，即 $a^{0} = 1$ ( $a \neq 0$ )。
⚝ 指数在多项式 (Polynomials) 和其他代数表达式中扮演着重要角色。

1.4 运算顺序 (Order of Operations) 与表达式求值 (Evaluating Expressions)

在包含多种运算的代数表达式中，为了确保计算结果的唯一性，我们需要遵循一个标准的运算顺序。

① 运算顺序 (Order of Operations)：
⚝ 国际上通用的运算顺序规则通常用缩写词表示，如 PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication and Division, Addition and Subtraction) 或 BODMAS (Brackets, Orders, Division and Multiplication, Addition and Subtraction)。
⚝ 顺序如下：
▮▮▮▮ⓐ 括号 (Parentheses/Brackets)：首先计算所有括号内的表达式。如果有嵌套的括号，从最内层的括号开始计算。
▮▮▮▮ⓑ 指数 (Exponents/Orders)：计算所有涉及指数的运算。
▮▮▮▮ⓒ 乘法和除法 (Multiplication and Division)：从左到右依次进行乘法和除法运算。它们是同一优先级的运算。
▮▮▮▮ⓓ 加法和减法 (Addition and Subtraction)：从左到右依次进行加法和减法运算。它们是同一优先级的运算。

⚝ 记忆口诀（例如 PEMDAS）：Please Excuse My Dear Aunt Sally。
⚝ 例子：计算 $10 + 2 \times (6 - 3)^{2} \div 4$ ▮▮▮▮ⓐ 先计算括号内： $6 - 3 = 3$ 。表达式变为 $10 + 2 \times (3)^{2} \div 4$ 。
▮▮▮▮ⓑ 计算指数： $3^{2} = 9$ 。表达式变为 $10 + 2 \times 9 \div 4$ 。
▮▮▮▮ⓒ 计算乘法和除法（从左到右）：
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ $2 \times 9 = 18$ 。表达式变为 $10 + 18 \div 4$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ $18 \div 4 = 4.5$ 。表达式变为 $10 + 4.5$ 。
▮▮▮▮ⓕ 计算加法： $10 + 4.5 = 14.5$ 。
⚝ 所以， $10 + 2 \times (6 - 3)^{2} \div 4 = 14.5$ 。

② 表达式求值 (Evaluating Expressions)：
⚝ 对代数表达式求值是指将表达式中的变量替换为给定的数值，然后按照运算顺序计算表达式的值。
⚝ 例子：求表达式 $2 x^{2} - 3 y + 5$ 在 $x = - 2$ 和 $y = 4$ 时的值。
▮▮▮▮ⓐ 将 $x = - 2$ 和 $y = 4$ 代入表达式： $2 (- 2)^{2} - 3 (4) + 5$ 。
▮▮▮▮ⓑ 按照运算顺序计算：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 计算指数： $(- 2)^{2} = 4$ 。表达式变为 $2 (4) - 3 (4) + 5$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 计算乘法（从左到右）：
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ $2 (4) = 8$ 。表达式变为 $8 - 3 (4) + 5$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ $3 (4) = 12$ 。表达式变为 $8 - 12 + 5$ 。
▮▮▮▮ⓖ 计算加法和减法（从左到右）：
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ $8 - 12 = - 4$ 。表达式变为 $- 4 + 5$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❾ $- 4 + 5 = 1$ 。
⚝ 所以，当 $x = - 2$ 和 $y = 4$ 时，表达式 $2 x^{2} - 3 y + 5$ 的值为 1。

掌握运算顺序和表达式求值是进行代数计算的基础。

1.5 实数的性质 (Properties of Real Numbers)

实数运算遵循一些基本性质，这些性质是代数运算的理论基础。理解并熟练运用这些性质可以帮助我们简化表达式和求解方程。

1.5.1 交换律 (Commutative Properties)、结合律 (Associative Properties)

① 交换律 (Commutative Properties)：
⚝ 交换律说明在某些运算中，改变操作数的顺序不会改变结果。
▮▮▮▮ⓐ 加法交换律 (Commutative Property of Addition)：对于任意实数 $a$ 和 $b$ ，有 $a + b = b + a$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例子： $3 + 5 = 8$ 且 $5 + 3 = 8$ 。
▮▮▮▮ⓒ 乘法交换律 (Commutative Property of Multiplication)：对于任意实数 $a$ 和 $b$ ，有 $a \times b = b \times a$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 例子： $4 \times 6 = 24$ 且 $6 \times 4 = 24$ 。
⚝ 减法和除法不满足交换律，例如 $5 - 3 \neq 3 - 5$ ， $6 \div 2 \neq 2 \div 6$ 。

② 结合律 (Associative Properties)：
⚝ 结合律说明在某些运算中，改变操作数的组合方式（通过括号）不会改变结果。
▮▮▮▮ⓐ 加法结合律 (Associative Property of Addition)：对于任意实数 $a, b, c$ ，有 $(a + b) + c = a + (b + c)$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例子： $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ 且 $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ 。
▮▮▮▮ⓒ 乘法结合律 (Associative Property of Multiplication)：对于任意实数 $a, b, c$ ，有 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 例子： $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ 且 $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$ 。
⚝ 减法和除法不满足结合律，例如 $(10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3$ 但 $10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7$ 。

1.5.2 分配律 (Distributive Property)

⚝ 分配律连接了乘法和加法（或减法）。它说明一个数乘以一个和（或差）等于这个数分别乘以和（或差）中的每一项，然后再将结果相加（或相减）。
⚝ 乘法对加法的分配律 (Distributive Property of Multiplication over Addition)：对于任意实数 $a, b, c$ ，有 $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ 和 $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ 。
▮▮▮▮ⓐ 例子： $3 \times (4 + 5) = 3 \times 9 = 27$ ，同时 $3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27$ 。
▮▮▮▮ⓑ 例子： $5 (x + 2) = 5 x + 5 \times 2 = 5 x + 10$ 。
⚝ 乘法对减法的分配律 (Distributive Property of Multiplication over Subtraction)：对于任意实数 $a, b, c$ ，有 $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$ 和 $(a - b) \times c = a \times c - b \times c$ 。
▮▮▮▮ⓐ 例子： $6 \times (7 - 2) = 6 \times 5 = 30$ ，同时 $6 \times 7 - 6 \times 2 = 42 - 12 = 30$ 。
▮▮▮▮ⓑ 例子： $- 2 (y - 3) = - 2 y - (- 2) (3) = - 2 y + 6$ 。
⚝ 分配律是展开表达式和因式分解 (Factoring) 的基础。

1.5.3 恒等元 (Identity Elements) 与逆元 (Inverse Elements)

⚝ 恒等元是在某种运算下不改变其他元素值的特殊元素。
▮▮▮▮ⓐ 加法恒等元 (Additive Identity)：实数 0 是加法恒等元，因为对于任意实数 $a$ ，有 $a + 0 = a$ 且 $0 + a = a$ 。
▮▮▮▮ⓑ 乘法恒等元 (Multiplicative Identity)：实数 1 是乘法恒等元，因为对于任意实数 $a$ ，有 $a \times 1 = a$ 且 $1 \times a = a$ 。

⚝ 逆元是在某种运算下与给定元素结合产生恒等元的元素。
▮▮▮▮ⓐ 加法逆元 (Additive Inverse) (或相反数 - Opposite)：对于任意实数 $a$ ，存在一个唯一的实数 $- a$ ，使得 $a + (- a) = 0$ 且 $(- a) + a = 0$ 。 $- a$ 是 $a$ 的加法逆元。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例子：5 的加法逆元是 -5，因为 $5 + (- 5) = 0$ 。
▮▮▮▮ⓒ 乘法逆元 (Multiplicative Inverse) (或倒数 - Reciprocal)：对于任意非零实数 $a$ ，存在一个唯一的实数 $\frac{1}{a}$ (或 $a^{- 1}$ )，使得 $a \times \frac{1}{a} = 1$ 且 $\frac{1}{a} \times a = 1$ 。 $\frac{1}{a}$ 是 $a$ 的乘法逆元。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 例子：4 的乘法逆元是 $\frac{1}{4}$ ，因为 $4 \times \frac{1}{4} = 1$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 例子： $\frac{2}{3}$ 的乘法逆元是 $\frac{3}{2}$ ，因为 $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$ 。
⚝ 注意：0 没有乘法逆元，因为任何数乘以 0 都等于 0，不可能等于乘法恒等元 1。

这些实数的性质构成了代数运算的基础框架。在后续章节中，我们将频繁地运用这些性质来简化表达式、求解方程和不等式。熟练掌握它们是学好代数的关键。

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2. chapter 2：线性方程与不等式 (Linear Equations and Inequalities)

欢迎来到本书的第二章！在上一章中，我们回顾了代数的基础概念和实数系统。现在，我们将把这些基础知识应用到解决实际问题中，而解决问题的核心工具之一就是方程和不等式。本章将深入探讨一元线性方程和不等式的求解方法、性质以及它们在各种情境下的应用。掌握这些内容，将为我们后续学习更复杂的代数概念打下坚实的基础。

2.1 方程的基本概念 (Basic Concepts of Equations)

方程是代数的核心概念之一。简单来说，方程就是一个包含未知数的等式。通过求解方程，我们可以找到使等式成立的未知数的值。

2.1.1 方程 (Equations) 与解 (Solutions)

① 方程 (Equation)：一个方程是一个数学陈述，它表明两个表达式是相等的。方程通常包含一个或多个未知数，这些未知数通常用字母表示，如 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 等。
⚝ 例如： $2 x + 3 = 7$ 是一个方程。
⚝ 例如： $y^{2} - 4 = 0$ 是一个方程。
⚝ 例如： $a + b = c$ 是一个方程。

② 未知数 (Variable)：方程中代表未知数值的字母。
⚝ 在方程 $2 x + 3 = 7$ 中， $x$ 是未知数。

③ 解 (Solution)：方程的解是指能使方程成立的未知数的值。求解方程的过程就是找到它的解。
⚝ 对于方程 $2 x + 3 = 7$ ，如果我们将 $x = 2$ 代入方程，得到 $2 (2) + 3 = 4 + 3 = 7$ ，等式成立。因此， $x = 2$ 是这个方程的一个解。
⚝ 对于方程 $y^{2} - 4 = 0$ ，如果我们将 $y = 2$ 代入，得到 $2^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$ ，等式成立。如果我们将 $y = - 2$ 代入，得到 $(- 2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$ ，等式也成立。因此， $y = 2$ 和 $y = - 2$ 都是这个方程的解。

④ 解集 (Solution Set)：方程的所有解组成的集合。
⚝ 方程 $2 x + 3 = 7$ 的解集是 ${2}$ 。
⚝ 方程 $y^{2} - 4 = 0$ 的解集是 ${2, - 2}$ 。

⑤ 线性方程 (Linear Equation)：未知数的最高次数是 1 的方程。
⚝ 例如： $2 x + 3 = 7$ 是一元线性方程。
⚝ 例如： $3 x - 5 y = 10$ 是二元线性方程。
⚝ 例如： $z = 2 w - 1$ 是一元线性方程（如果 $z$ 是因变量， $w$ 是自变量）。

本章主要关注一元线性方程 (Linear Equations in One Variable)，即只含有一个未知数且未知数次数为 1 的方程。

2.1.2 等式的性质 (Properties of Equality)

求解方程的核心在于利用等式的性质来变形方程，使其最终形式为“未知数 = 一个常数”。等式的基本性质包括：

① 等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，等式仍然成立。
⚝ 如果 $a = b$ ，那么 $a + c = b + c$ 且 $a - c = b - c$ 。
⚝ 例子：求解方程 $x - 5 = 3$ 。
▮▮▮▮ⓐ 为了分离 $x$ ，我们在等式两边同时加上 5：
▮▮▮▮ⓑ $(x - 5) + 5 = 3 + 5$ ▮▮▮▮ⓒ $x = 8$ ② 等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立。
⚝ 如果 $a = b$ 且 $c \neq 0$ ，那么 $a c = b c$ 且 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ 。
⚝ 注意：除数不能为零！
⚝ 例子：求解方程 $2 x = 10$ 。
▮▮▮▮ⓐ 为了分离 $x$ ，我们在等式两边同时除以 2：
▮▮▮▮ⓑ $\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$ ▮▮▮▮ⓒ $x = 5$ ⚝ 例子：求解方程 $\frac{x}{3} = 4$ 。
▮▮▮▮ⓐ 为了分离 $x$ ，我们在等式两边同时乘以 3：
▮▮▮▮ⓑ $\frac{x}{3} \times 3 = 4 \times 3$ ▮▮▮▮ⓒ $x = 12$ ③ 对称性 (Symmetric Property)：如果 $a = b$ ，那么 $b = a$ 。
⚝ 例子：如果 $5 = x$ ，那么 $x = 5$ 。这允许我们将求解结果写成 $x = 常数$ 的标准形式。

④ 传递性 (Transitive Property)：如果 $a = b$ 且 $b = c$ ，那么 $a = c$ 。
⚝ 例子：如果 $x = y + 1$ 且 $y + 1 = 5$ ，那么 $x = 5$ 。

这些性质是求解方程的基础工具。我们的目标是通过运用这些性质，将方程逐步转化为 $x = 常数$ 的形式。

2.2 求解一元线性方程 (Solving Linear Equations in One Variable)

求解一元线性方程是初等代数中最基本也是最重要的技能之一。我们将从最简单的方程开始，逐步学习解决更复杂的类型。

2.2.1 一步方程 (One-Step Equations)

一步方程是指只需要一步运算（加、减、乘、除）就可以求解的方程。

① 加法/减法一步方程：形如 $x + a = b$ 或 $x - a = b$ 的方程。
⚝ 求解 $x + 7 = 12$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在等式两边同时减去 7：
▮▮▮▮ⓑ $x + 7 - 7 = 12 - 7$ ▮▮▮▮ⓒ $x = 5$ ⚝ 求解 $x - 3 = 4$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在等式两边同时加上 3：
▮▮▮▮ⓑ $x - 3 + 3 = 4 + 3$ ▮▮▮▮ⓒ $x = 7$ ② 乘法/除法一步方程：形如 $a x = b$ 或 $\frac{x}{a} = b$ (其中 $a \neq 0$ ) 的方程。
⚝ 求解 $4 x = 20$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在等式两边同时除以 4：
▮▮▮▮ⓑ $\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$ ▮▮▮▮ⓒ $x = 5$ ⚝ 求解 $\frac{x}{5} = 6$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在等式两边同时乘以 5：
▮▮▮▮ⓑ $\frac{x}{5} \times 5 = 6 \times 5$ ▮▮▮▮ⓒ $x = 30$ ⚝ 求解 $- 2 x = 8$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在等式两边同时除以 -2：
▮▮▮▮ⓑ $\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{8}{- 2}$ ▮▮▮▮ⓒ $x = - 4$ #### 2.2.2 多步方程 (Multi-Step Equations)

多步方程需要多于一步的运算来求解。通常涉及加减和乘除的组合。

① 形如 $a x + b = c$ 的方程：
⚝ 求解 $3 x + 5 = 14$ 。
▮▮▮▮ⓐ 首先，在等式两边同时减去 5 (消除常数项)：
▮▮▮▮ⓑ $3 x + 5 - 5 = 14 - 5$ ▮▮▮▮ⓒ $3 x = 9$ ▮▮▮▮ⓓ 然后，在等式两边同时除以 3 (分离未知数)：
▮▮▮▮ⓔ $\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3}$ ▮▮▮▮ⓕ $x = 3$ ② 形如 $a x + b = c x + d$ 的方程：这类方程在等式两边都含有未知数项和常数项。
⚝ 求解 $5 x - 3 = 2 x + 9$ 。
▮▮▮▮ⓐ 首先，将含有未知数的项移到等式的一边。例如，在两边同时减去 $2 x$ ：
▮▮▮▮ⓑ $5 x - 3 - 2 x = 2 x + 9 - 2 x$ ▮▮▮▮ⓒ $3 x - 3 = 9$ ▮▮▮▮ⓓ 然后，将常数项移到等式的另一边。在两边同时加上 3：
▮▮▮▮ⓔ $3 x - 3 + 3 = 9 + 3$ ▮▮▮▮ⓕ $3 x = 12$ ▮▮▮▮ⓖ 最后，分离未知数。在两边同时除以 3：
▮▮▮▮ⓗ $\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$ ▮▮▮▮ⓘ $x = 4$ ③ 求解多步方程的一般步骤：
⚝ 简化方程的两边（如果需要，使用分配律，合并同类项）。
⚝ 将含有未知数的项移到等式的一边（通常是左边）。
⚝ 将常数项移到等式的另一边（通常是右边）。
⚝ 分离未知数（通过乘或除以未知数的系数）。
⚝ 检验解（将求得的解代回原方程，看是否成立）。

2.2.3 含有括号和分母的方程 (Equations with Parentheses and Denominators)

处理含有括号和分母的方程需要额外的步骤来简化。

① 含有括号的方程：使用分配律 (Distributive Property) 去掉括号。
⚝ 求解 $2 (x + 3) = 10$ 。
▮▮▮▮ⓐ 使用分配律去掉括号：
▮▮▮▮ⓑ $2 x + 6 = 10$ ▮▮▮▮ⓒ 这是一个多步方程，按照之前的步骤求解：
▮▮▮▮ⓓ $2 x = 10 - 6$ ▮▮▮▮ⓔ $2 x = 4$ ▮▮▮▮ⓕ $x = 2$ ② 含有分母的方程：通过乘以所有分母的最小公倍数 (Least Common Multiple - LCM) 来“清除”分母。
⚝ 求解 $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ 。
▮▮▮▮ⓐ 分母是 2 和 3，它们的最小公倍数是 6。在等式两边同时乘以 6：
▮▮▮▮ⓑ $6 \times (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) = 6 \times 5$ ▮▮▮▮ⓒ 使用分配律：
▮▮▮▮ⓓ $6 \times \frac{x}{2} + 6 \times \frac{x}{3} = 30$ ▮▮▮▮ⓔ $3 x + 2 x = 30$ ▮▮▮▮ⓕ 合并同类项：
▮▮▮▮ⓖ $5 x = 30$ ▮▮▮▮ⓗ 分离未知数：
▮▮▮▮ⓘ $x = 6$ ③ 含有括号和分母的方程：先去分母，再去括号，然后按多步方程的步骤求解。
⚝ 求解 $\frac{1}{2} (x - 4) = \frac{1}{3} x + 1$ 。
▮▮▮▮ⓐ 分母是 2 和 3，LCM 是 6。在等式两边同时乘以 6：
▮▮▮▮ⓑ $6 \times \frac{1}{2} (x - 4) = 6 \times (\frac{1}{3} x + 1)$ ▮▮▮▮ⓒ $3 (x - 4) = 2 x + 6$ ▮▮▮▮ⓓ 去括号：
▮▮▮▮ⓔ $3 x - 12 = 2 x + 6$ ▮▮▮▮ⓕ 将未知数项移到一边：
▮▮▮▮ⓖ $3 x - 2 x - 12 = 6$ ▮▮▮▮ⓗ $x - 12 = 6$ ▮▮▮▮ⓘ 将常数项移到另一边：
▮▮▮▮ⓙ $x = 6 + 12$ ▮▮▮▮ⓚ $x = 18$ 重要提示：在去分母时，必须用 LCM 乘以等式两边的每一项。

2.3 线性方程的应用 (Applications of Linear Equations)

线性方程是解决实际问题非常有用的工具。关键在于如何将实际问题转化为数学方程。

2.3.1 建立数学模型 (Setting up Mathematical Models)

将实际问题转化为数学方程的过程称为建立数学模型。这通常涉及以下步骤：

① 理解问题 (Understanding the Problem)：仔细阅读问题，弄清楚已知条件是什么，要求什么。
② 设定变量 (Setting up Variables)：选择一个或多个字母代表问题中的未知量。通常用 $x$ 表示要求解的主要未知量。明确变量代表的意义和单位。
③ 建立方程 (Formulating Equations)：根据问题中的数量关系，利用设定的变量列出方程。这通常需要将问题中的文字描述转化为数学表达式。
④ 求解方程 (Solving the Equation)：使用之前学过的方法求解建立的方程。
⑤ 检验和解释 (Checking and Interpreting)：将求得的解代回原实际问题中检验是否合理，并用文字回答问题。

2.3.2 解决实际问题 (Solving Real-World Problems)

我们将通过一些典型例子来演示如何应用线性方程解决实际问题。

⚝ 例 1：数字问题 (Number Problem)
一个数的两倍减去 5 等于 11。求这个数。
▮▮▮▮ⓐ 理解问题：已知一个数经过一系列运算后的结果，求这个数。
▮▮▮▮ⓑ 设定变量：设这个数是 $x$ 。
▮▮▮▮ⓒ 建立方程：“一个数的两倍”是 $2 x$ ；“两倍减去 5”是 $2 x - 5$ ；“等于 11”表示等式。所以方程是 $2 x - 5 = 11$ 。
▮▮▮▮ⓓ 求解方程：
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ $2 x - 5 + 5 = 11 + 5$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❻ $2 x = 16$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❼ $\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❽ $x = 8$ ▮▮▮▮ⓘ 检验和解释：如果这个数是 8，它的两倍是 16，16 减去 5 是 11。符合题意。所以这个数是 8。

⚝ 例 2：年龄问题 (Age Problem)
小明今年 10 岁，爸爸今年 34 岁。几年后爸爸的年龄是小明年龄的 2 倍？
▮▮▮▮ⓐ 理解问题：求经过多少年后，爸爸年龄与小明年龄的关系满足特定条件。
▮▮▮▮ⓑ 设定变量：设经过 $x$ 年后，爸爸的年龄是小明年龄的 2 倍。
▮▮▮▮ⓒ 建立方程：经过 $x$ 年后，小明的年龄是 $10 + x$ ，爸爸的年龄是 $34 + x$ 。根据题意，“爸爸的年龄是小明年龄的 2 倍”，所以 $34 + x = 2 (10 + x)$ 。
▮▮▮▮ⓓ 求解方程：
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ $34 + x = 20 + 2 x$ (去括号)
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ $34 - 20 = 2 x - x$ (移项)
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ $14 = x$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❽ $x = 14$ ▮▮▮▮ⓘ 检验和解释：14 年后，小明 10 + 14 = 24 岁，爸爸 34 + 14 = 48 岁。48 是 24 的 2 倍。符合题意。所以 14 年后爸爸的年龄是小明年龄的 2 倍。

⚝ 例 3：行程问题 (Distance, Rate, Time Problem)
一辆汽车以每小时 60 公里的速度从 A 地开往 B 地，另一辆汽车以每小时 80 公里的速度从 B 地开往 A 地。两车同时出发，3 小时后相遇。求 A、B 两地之间的距离。
▮▮▮▮ⓐ 理解问题：两车相向而行，已知速度和相遇时间，求总距离。
▮▮▮▮ⓑ 设定变量：设 A、B 两地之间的距离是 $D$ 公里。或者，设 A、B 之间的距离是 $D$ ，但更直接的方法是利用“相遇时两车行驶的总距离等于总路程”。
▮▮▮▮ⓒ 建立方程：汽车行驶的距离 = 速度 × 时间。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 3 小时内，从 A 地出发的汽车行驶的距离是 $60 \times 3 = 180$ 公里。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 3 小时内，从 B 地出发的汽车行驶的距离是 $80 \times 3 = 240$ 公里。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 两车相遇时，它们行驶的总距离等于 A、B 两地之间的距离。所以 $180 + 240 = D$ 。
▮▮▮▮ⓖ 求解方程： $D = 420$ 。
▮▮▮▮ⓗ 检验和解释：A、B 两地距离 420 公里。A 车 3 小时行 180 公里，B 车 3 小时行 240 公里，180 + 240 = 420。符合题意。所以 A、B 两地之间的距离是 420 公里。

这些例子展示了如何将实际情境转化为代数方程。关键在于仔细分析问题中的数量关系，并用代数表达式准确地表示出来。

2.4 不等式的基本概念 (Basic Concepts of Inequalities)

除了等式，我们还会遇到表示数量之间不相等关系的数学陈述，这就是不等式。

2.4.1 不等式 (Inequalities) 与解集 (Solution Sets)

① 不等式 (Inequality)：一个数学陈述，表明两个表达式之间的关系不是相等，而是大于、小于、大于等于或小于等于。
⚝ 常用的不等号：
▮▮▮▮ⓐ $>$ 大于 (greater than)
▮▮▮▮ⓑ $<$ 小于 (less than)
▮▮▮▮ⓒ $\geq$ 大于等于 (greater than or equal to)
▮▮▮▮ⓓ $\leq$ 小于等于 (less than or equal to)
▮▮▮▮ⓔ $\neq$ 不等于 (not equal to)
⚝ 例如： $x + 2 > 5$ 是一个不等式。
⚝ 例如： $3 y - 1 \leq 8$ 是一个不等式。

② 不等式的解 (Solution of an Inequality)：能使不等式成立的未知数的值。
⚝ 对于不等式 $x + 2 > 5$ ，如果 $x = 4$ ，则 $4 + 2 = 6 > 5$ ，不等式成立。所以 $x = 4$ 是一个解。如果 $x = 2$ ，则 $2 + 2 = 4 ≯ 5$ ，不等式不成立。所以 $x = 2$ 不是解。

③ 不等式的解集 (Solution Set of an Inequality)：使不等式成立的所有未知数的值的集合。与方程不同，不等式的解集通常是一个范围，而不是单个或有限个值。
⚝ 对于不等式 $x + 2 > 5$ ，通过变形得到 $x > 3$ 。所有大于 3 的实数都是这个不等式的解。解集可以表示为 ${x ∣ x > 3}$ 或区间形式 $(3, \infty)$ 。

④ 一元线性不等式 (Linear Inequality in One Variable)：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式。
⚝ 例如： $2 x - 1 < 7$ 是一元线性不等式。

2.4.2 不等式的性质 (Properties of Inequality)

求解不等式与求解方程类似，也是利用不等式的性质进行变形。然而，不等式的性质与等式有一些重要的区别。

① 不等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，不等号的方向不变。
⚝ 如果 $a > b$ ，那么 $a + c > b + c$ 且 $a - c > b - c$ 。
⚝ 例子：求解 $x - 3 < 5$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在两边同时加上 3：
▮▮▮▮ⓑ $x - 3 + 3 < 5 + 3$ ▮▮▮▮ⓒ $x < 8$ ② 不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
⚝ 如果 $a > b$ 且 $c > 0$ ，那么 $a c > b c$ 且 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ 。
⚝ 例子：求解 $2 x \leq 10$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在两边同时除以正数 2：
▮▮▮▮ⓑ $\frac{2 x}{2} \leq \frac{10}{2}$ ▮▮▮▮ⓒ $x \leq 5$ ③ 不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向必须改变。
⚝ 如果 $a > b$ 且 $c < 0$ ，那么 $a c < b c$ 且 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ 。
⚝ 例子：求解 $- 3 x > 6$ 。
▮▮▮▮ⓐ 在两边同时除以负数 -3，不等号方向改变：
▮▮▮▮ⓑ $\frac{- 3 x}{- 3} < \frac{6}{- 3}$ ▮▮▮▮ⓒ $x < - 2$ ④ 传递性 (Transitive Property)：如果 $a > b$ 且 $b > c$ ，那么 $a > c$ 。

这些性质，特别是乘以或除以负数时需要改变不等号方向的性质，是求解不等式时必须牢记的关键点。

2.5 求解一元线性不等式 (Solving Linear Inequalities in One Variable)

求解一元线性不等式的步骤与求解一元线性方程非常相似，唯一的关键区别在于乘以或除以负数时要改变不等号方向。

2.5.1 求解方法 (Solving Methods)

求解一元线性不等式的一般步骤：

① 去分母 (Clear Denominators)：如果不等式含有分母，乘以所有分母的最小公倍数以清除分母。注意，如果 LCM 是负数（虽然通常我们选择正的 LCM），则需要改变不等号方向。通常选择正的 LCM。
② 去括号 (Remove Parentheses)：使用分配律去掉不等式中的括号。
③ 移项 (Transpose Terms)：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。注意移项时要变号。
④ 合并同类项 (Combine Like Terms)：合并不等式两边的同类项。
⑤ 系数化为 1 (Isolate the Variable)：将未知数的系数化为 1。如果在这一步需要乘以或除以一个负数，必须改变不等号的方向。

⚝ 例子：求解不等式 $5 x - 7 \leq 2 x + 5$ 。
▮▮▮▮ⓐ 移项：将 $2 x$ 移到左边，-7 移到右边：
▮▮▮▮ⓑ $5 x - 2 x \leq 5 + 7$ ▮▮▮▮ⓒ 合并同类项：
▮▮▮▮ⓓ $3 x \leq 12$ ▮▮▮▮ⓔ 系数化为 1：两边同时除以正数 3，不等号方向不变：
▮▮▮▮ⓕ $\frac{3 x}{3} \leq \frac{12}{3}$ ▮▮▮▮ⓖ $x \leq 4$ 不等式的解集是 ${x ∣ x \leq 4}$ 。

⚝ 例子：求解不等式 $4 - 2 (x + 1) > 8$ 。
▮▮▮▮ⓐ 去括号：
▮▮▮▮ⓑ $4 - 2 x - 2 > 8$ ▮▮▮▮ⓒ 合并同类项：
▮▮▮▮ⓓ $2 - 2 x > 8$ ▮▮▮▮ⓔ 移项：
▮▮▮▮ⓕ $- 2 x > 8 - 2$ ▮▮▮▮ⓖ $- 2 x > 6$ ▮▮▮▮ⓗ 系数化为 1：两边同时除以负数 -2，不等号方向改变：
▮▮▮▮ⓘ $\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{6}{- 2}$ ▮▮▮▮ⓙ $x < - 3$ 不等式的解集是 ${x ∣ x < - 3}$ 。

⚝ 例子：求解不等式 $\frac{x - 1}{2} + \frac{x}{3} \geq 1$ 。
▮▮▮▮ⓐ 去分母：分母是 2 和 3，LCM 是 6。两边同时乘以 6：
▮▮▮▮ⓑ $6 \times (\frac{x - 1}{2} + \frac{x}{3}) \geq 6 \times 1$ ▮▮▮▮ⓒ $6 \times \frac{x - 1}{2} + 6 \times \frac{x}{3} \geq 6$ ▮▮▮▮ⓓ $3 (x - 1) + 2 x \geq 6$ ▮▮▮▮ⓔ 去括号：
▮▮▮▮ⓕ $3 x - 3 + 2 x \geq 6$ ▮▮▮▮ⓖ 合并同类项：
▮▮▮▮ⓗ $5 x - 3 \geq 6$ ▮▮▮▮ⓘ 移项：
▮▮▮▮ⓙ $5 x \geq 6 + 3$ ▮▮▮▮ⓚ $5 x \geq 9$ ▮▮▮▮ⓛ 系数化为 1：两边同时除以正数 5，不等号方向不变：
▮▮▮▮ⓜ $x \geq \frac{9}{5}$ 不等式的解集是 ${x ∣ x \geq \frac{9}{5}}$ 。

2.5.2 解集在数轴上的表示 (Representing Solution Sets on the Number Line)

将不等式的解集在数轴上表示出来，可以更直观地理解解的范围。

① 数轴 (Number Line)：一条表示所有实数的直线。
② 表示方法：
⚝ 用一个点标记不等式解集的端点。
⚝ 如果不等号是 $>$ 或 $<$ ，端点用空心圆圈表示，表示该点不包含在解集中。
⚝ 如果不等号是 $\geq$ 或 $\leq$ ，端点用实心圆点表示，表示该点包含在解集中。
⚝ 根据不等号的方向，用一条粗线或箭头表示解集的范围。
▮▮▮▮ⓐ $x > a$ ：在数轴上 $a$ 处画空心圆圈，向右画粗线并带箭头。
▮▮▮▮ⓑ $x < a$ ：在数轴上 $a$ 处画空心圆圈，向左画粗线并带箭头。
▮▮▮▮ⓒ $x \geq a$ ：在数轴上 $a$ 处画实心圆点，向右画粗线并带箭头。
▮▮▮▮ⓓ $x \leq a$ ：在数轴上 $a$ 处画实心圆点，向左画粗线并带箭头。

⚝ 例子：将 $x < - 3$ 的解集在数轴上表示。
▮▮▮▮ⓐ 在数轴上找到 -3。
▮▮▮▮ⓑ 因为是不等号 $<$ ，在 -3 处画一个空心圆圈。
▮▮▮▮ⓒ 因为是 $x < - 3$ ，向左画一条粗线并带箭头。

        1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。
    
        <------o-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|------>
      -4    -3    -2    -1     0     1     2     3     4

⚝ 例子：将 $x \leq 4$ 的解集在数轴上表示。
▮▮▮▮ⓐ 在数轴上找到 4。
▮▮▮▮ⓑ 因为是不等号 $\leq$ ，在 4 处画一个实心圆点。
▮▮▮▮ⓒ 因为是 $x \leq 4$ ，向左画一条粗线并带箭头。

        1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。
    
        <------------------------------------●-----|-----|-----|------>
      -1     0     1     2     3     4     5     6     7

2.6 复合不等式 (Compound Inequalities)

复合不等式是由两个或多个不等式通过逻辑连接词“且 (and)”或“或 (or)”组合而成的不等式。

① “且”连接的复合不等式：形如 $a < x < b$ 或 $a \leq x < b$ 等。表示未知数同时满足两个不等式。解集是两个不等式解集的交集 (Intersection)。
⚝ 求解 $- 2 < x + 1 \leq 3$ 。
▮▮▮▮ⓐ 这是一个“且”连接的复合不等式，可以拆分为两个不等式：
▮▮▮▮ⓑ 不等式 1: $- 2 < x + 1$ ▮▮▮▮ⓒ 不等式 2: $x + 1 \leq 3$ ▮▮▮▮ⓓ 分别求解这两个不等式：
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 求解不等式 1: $- 2 < x + 1 ⟹ - 2 - 1 < x ⟹ - 3 < x$ ，即 $x > - 3$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 求解不等式 2: $x + 1 \leq 3 ⟹ x \leq 3 - 1 ⟹ x \leq 2$ 。
▮▮▮▮ⓖ 复合不等式的解集是 $x > - 3$ 和 $x \leq 2$ 的交集，即 $- 3 < x \leq 2$ 。
▮▮▮▮ⓗ 在数轴上表示：在 -3 处画空心圆圈，在 2 处画实心圆点，连接两点之间的区域。

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        <-----o--------------------●------>
     -3                   2

⚝ 另一种求解 $- 2 < x + 1 \leq 3$ 的方法是同时对三个部分进行运算：
▮▮▮▮ⓐ 为了分离 $x$ ，在三个部分同时减去 1：
▮▮▮▮ⓑ $- 2 - 1 < x + 1 - 1 \leq 3 - 1$ ▮▮▮▮ⓒ $- 3 < x \leq 2$ 这种方法更简洁，但只适用于形如 $a < 线性表达式 < b$ 的复合不等式。

② “或”连接的复合不等式：形如 $x < a$ 或 $x > b$ 。表示未知数满足其中任意一个不等式即可。解集是两个不等式解集的并集 (Union)。
⚝ 求解 $2 x - 1 < 3$ 或 $3 x + 2 \geq 11$ 。
▮▮▮▮ⓐ 这是一个“或”连接的复合不等式，分别求解两个不等式：
▮▮▮▮ⓑ 不等式 1: $2 x - 1 < 3$ ▮▮▮▮ⓒ 不等式 2: $3 x + 2 \geq 11$ ▮▮▮▮ⓓ 分别求解这两个不等式：
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 求解不等式 1: $2 x - 1 < 3 ⟹ 2 x < 4 ⟹ x < 2$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 求解不等式 2: $3 x + 2 \geq 11 ⟹ 3 x \geq 9 ⟹ x \geq 3$ 。
▮▮▮▮ⓖ 复合不等式的解集是 $x < 2$ 或 $x \geq 3$ 。解集可以表示为 ${x ∣ x < 2 或 x \geq 3}$ 或区间形式 $(- \infty, 2) \cup [3, \infty)$ 。
▮▮▮▮ⓗ 在数轴上表示：在 2 处画空心圆圈并向左画箭头，在 3 处画实心圆点并向右画箭头。

1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。

    
        <------o-----------●------>
      2           3

理解复合不等式的连接词“且”和“或”对于正确确定解集至关重要。“且”对应解集的交集，“或”对应解集的并集。

本章我们系统地学习了一元线性方程和不等式的概念、性质、求解方法以及它们在实际问题中的应用。这些是代数中最基础也是最重要的内容，务必熟练掌握。在下一章中，我们将转向多项式的学习，这是构建更复杂代数表达式的基础。

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1. chapter 1：代数基础与实数系统 (Algebraic Fundamentals and The Real Number System)

欢迎来到初等代数的世界！代数不仅仅是数学的一个分支，它更是一种强大的工具，一种用符号和规则来描述和解决问题的语言。在本章中，我们将一起探索代数的起源，理解其基本构成要素，并深入学习代数所依赖的基石——实数系统。无论您是初次接触代数，还是希望巩固基础，本章都将为您提供一个坚实而全面的起点。

1.1 代数的起源与基本概念 (Origins and Basic Concepts of Algebra)

代数 (Algebra) 的历史源远流长，其思想可以追溯到古巴比伦和古埃及文明。他们使用文字和符号来解决一些实际问题，比如土地测量和商业计算，这可以看作是代数的萌芽。然而，真正意义上的代数体系的建立，通常归功于公元9世纪的波斯数学家花拉子米 (Al-Khwarizmi)。他的著作《代数学》(Al-jabr) 系统地阐述了求解一次和二次方程的方法，"Algebra" 这个词就来源于这本书的书名。

早期的代数被称为“修辞代数” (Rhetorical Algebra)，完全依赖于文字描述。随后发展到“略记代数” (Syncopated Algebra)，开始使用一些缩写符号。直到16世纪末，法国数学家韦达 (François Viète) 引入了用字母表示未知数和已知数的方法，才标志着“符号代数” (Symbolic Algebra) 的诞生，这极大地推动了代数的发展，使其成为一门强大的通用工具。

代数的核心思想是将具体的问题抽象化，用符号（通常是字母）来代表未知数 (Unknowns) 或变量 (Variables)，然后通过一系列的运算和推理来找到这些未知数的值，或者揭示变量之间的关系。

代数的基本概念包括：

⚝ 变量 (Variables)：通常用字母表示，代表一个可以变化的量或一个未知的值。例如，在公式 $A = π r^{2}$ 中， $A$ 和 $r$ 都是变量。
⚝ 常数 (Constants)：代表一个固定不变的值。例如，在公式 $A = π r^{2}$ 中， $π$ 是一个常数。数字本身（如 2, -5, 1/3）也是常数。
⚝ 代数表达式 (Algebraic Expressions)：由变量、常数、数学运算符（如加、减、乘、除）和括号组成的有意义的组合。例如， $2 x + 3$ ， $y^{2} - 5 z$ ， $\frac{a + b}{c}$ 都是代数表达式。
⚝ 方程 (Equations)：用等号 (=) 连接的两个代数表达式，表示它们的值相等。方程通常包含一个或多个未知数，求解方程就是找到使等式成立的未知数的值。例如， $2 x + 3 = 7$ 是一个方程。
⚝ 不等式 (Inequalities)：用不等号（如 $<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ , $\neq$ ）连接的两个代数表达式，表示它们之间的不等关系。例如， $x - 5 < 10$ 是一个不等式。

代数是算术 (Arithmetic) 的推广和发展。算术处理具体的数值计算，而代数则提供了一种处理一般性问题的方法，通过符号运算来解决更广泛的问题。理解这些基本概念是学习代数的第一步。

1.2 实数系统 (The Real Number System)

在代数中，我们主要处理的是实数 (Real Numbers)。实数系统是所有有理数 (Rational Numbers) 和无理数 (Irrational Numbers) 的集合。理解实数系统的结构及其性质对于掌握代数运算至关重要。

1.2.1 自然数 (Natural Numbers)、整数 (Integers)、有理数 (Rational Numbers)

我们从最基本的数集开始：

① 自然数 (Natural Numbers)：用于计数，通常记作 $N$ 。
▮▮▮▮ⓑ 有些定义包括 0，即 ${0, 1, 2, 3, . . .}$ 。
▮▮▮▮ⓒ 另一些定义不包括 0，即 ${1, 2, 3, . . .}$ 。
本书中，我们采用包括 0 的定义： $N = {0, 1, 2, 3, . . .}$ 。

② 整数 (Integers)：包括所有的自然数、它们的负数以及零，通常记作 $Z$ 。
▮▮▮▮⚝ $Z = {. . ., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, . . .}$ 。
▮▮▮▮⚝ 整数集在加法、减法和乘法运算下是封闭的 (Closed)，这意味着任意两个整数进行这些运算，结果仍然是整数。

③ 有理数 (Rational Numbers)：可以表示为两个整数之比 $\frac{p}{q}$ 的数，其中 $p$ 是整数， $q$ 是非零整数，通常记作 $Q$ 。
▮▮▮▮⚝ 例如， $\frac{1}{2}$ ， $- 3$ ， $0.75 = \frac{3}{4}$ ， $5 = \frac{5}{1}$ ， $- 0.333 . . . = - \frac{1}{3}$ 都是有理数。
▮▮▮▮⚝ 所有的整数都是有理数（因为任何整数 $n$ 都可以写成 $\frac{n}{1}$ ）。
▮▮▮▮⚝ 有理数的小数表示形式是有限小数 (Terminating Decimals) 或无限循环小数 (Repeating Decimals)。
▮▮▮▮⚝ 有理数集在加法、减法、乘法和非零除法运算下是封闭的。 $N \subseteq Z \subseteq Q$ #### 1.2.2 无理数 (Irrational Numbers) 与实数轴 (The Real Number Line)

① 无理数 (Irrational Numbers)：不能表示为两个整数之比的数。它们的十进制表示是无限不循环小数 (Non-terminating, Non-repeating Decimals)。
▮▮▮▮⚝ 常见的无理数包括：
▮▮▮▮⚝⚝ 许多平方根，如 $\sqrt{2} \approx 1.41421356 . . .$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ 。
▮▮▮▮⚝⚝ 圆周率 $π \approx 3.14159265 . . .$ 。
▮▮▮▮⚝⚝ 自然对数的底 $e \approx 2.71828 . . .$ 。
▮▮▮▮⚝ 有理数和无理数是互斥的集合。

② 实数 (Real Numbers)：有理数和无理数的并集，通常记作 $R$ 。
▮▮▮▮⚝ $R = Q \cup {无理数}$ 。
▮▮▮▮⚝ 实数集包含了我们日常生活中遇到的所有可以度量的数。

③ 实数轴 (The Real Number Line)：一条直线，其上的每一个点都唯一对应一个实数，反之亦然。
▮▮▮▮⚝ 通常在直线上选取一个点表示 0 (Origin)，向右为正方向，向左为负方向。
▮▮▮▮⚝ 实数轴提供了一个可视化实数和理解它们之间关系的工具，例如大小比较和距离。 $R = Q \cup {Irrational Numbers}$ ### 1.3 代数表达式 (Algebraic Expressions)

代数表达式是代数语言的基本构成单位。它们是将数和变量通过运算符号连接起来的式子。

1.3.1 变量 (Variables)、常数 (Constants) 与项 (Terms)

① 变量 (Variables)：如前所述，用字母表示，代表不确定的值。例如， $x, y, a, b$ 。
② 常数 (Constants)：代表固定的值。例如， $5, - 2, π, \sqrt{7}$ 。
③ 项 (Terms)：代数表达式中通过加号或减号分隔的部分。一个项是常数、变量或常数与一个或多个变量的乘积。
▮▮▮▮⚝ 例如，在表达式 $3 x^{2} - 5 x y + 7$ 中，项是 $3 x^{2}$ ， $- 5 x y$ ，和 $7$ 。
▮▮▮▮⚝ 单独的常数或变量也是项。

1.3.2 系数 (Coefficients) 与指数 (Exponents)

① 系数 (Coefficients)：在一个项中，常数因子被称为该项的系数。
▮▮▮▮⚝ 例如，在项 $3 x^{2}$ 中，系数是 3。
▮▮▮▮⚝ 在项 $- 5 x y$ 中，系数是 -5。
▮▮▮▮⚝ 在项 $y$ 中，系数是 1 (因为 $y = 1 \cdot y$ )。
▮▮▮▮⚝ 在项 $- z$ 中，系数是 -1 (因为 $- z = - 1 \cdot z$ )。
▮▮▮▮⚝ 单独的常数项的系数就是它本身。例如，项 7 的系数是 7。

② 指数 (Exponents)：表示一个数或变量自身相乘的次数。它写在基数 (Base) 的右上角。
▮▮▮▮⚝ 例如，在项 $x^{2}$ 中， $x$ 是基数，2 是指数，表示 $x \cdot x$ 。
▮▮▮▮⚝ 在项 $y^{3}$ 中， $y$ 是基数，3 是指数，表示 $y \cdot y \cdot y$ 。
▮▮▮▮⚝ 如果一个变量没有显式写出指数，则其指数为 1。例如， $x = x^{1}$ 。
▮▮▮▮⚝ 任何非零数的零次幂等于 1。例如， $x^{0} = 1$ (当 $x \neq 0$ )。
▮▮▮▮⚝ 负指数表示倒数。例如， $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ (当 $x \neq 0$ )。

理解项、系数和指数是正确进行代数运算的基础。

1.4 运算顺序 (Order of Operations) 与表达式求值 (Evaluating Expressions)

为了确保对代数表达式的计算结果唯一，我们需要遵循一个标准的运算顺序。这个顺序通常用缩写词 PEMDAS 或 BODMAS 来记忆。

⚝ PEMDAS 代表：
▮▮▮▮⚝ Parentheses (括号) - 先计算所有括号内的表达式。
▮▮▮▮⚝ Exponents (指数) - 计算所有指数运算。
▮▮▮▮⚝ Multiplication (乘法) 和 Division (除法) - 从左到右依次计算乘法和除法。
▮▮▮▮⚝ Addition (加法) 和 Subtraction (减法) - 从左到右依次计算加法和减法。

⚝ BODMAS 代表：
▮▮▮▮⚝ Brackets (括号)
▮▮▮▮⚝ Orders (指数/幂次和根号)
▮▮▮▮⚝ Division (除法) 和 Multiplication (乘法)
▮▮▮▮⚝ Addition (加法) 和 Subtraction (减法)

这两个缩写词表示的顺序是相同的。

表达式求值 (Evaluating Expressions) 是指将表达式中的变量替换为特定的数值，然后按照运算顺序计算表达式的值。

例题 1.4.1 求表达式 $2 x^{2} - 3 x + 5$ 当 $x = 4$ 时的值。

解：
将 $x = 4$ 代入表达式： $2 (4)^{2} - 3 (4) + 5$ 按照 PEMDAS 顺序计算：
① 先计算指数： $4^{2} = 16$ $2 (16) - 3 (4) + 5$ ② 再计算乘法： $2 \cdot 16 = 32$ 和 $3 \cdot 4 = 12$ $32 - 12 + 5$ ③ 最后计算加减法（从左到右）： $32 - 12 = 20$ $20 + 5 = 25$ 所以，当 $x = 4$ 时，表达式的值为 25。

例题 1.4.2 求表达式 $\frac{y + 10}{2} - 3 z$ 当 $y = - 6$ 和 $z = 1$ 时的值。

解：
将 $y = - 6$ 和 $z = 1$ 代入表达式： $\frac{- 6 + 10}{2} - 3 (1)$ 按照 PEMDAS 顺序计算：
① 先计算括号内的加法： $- 6 + 10 = 4$ $\frac{4}{2} - 3 (1)$ ② 计算除法和乘法（从左到右）： $\frac{4}{2} = 2$ 和 $3 (1) = 3$ $2 - 3$ ③ 最后计算减法： $2 - 3 = - 1$ 所以，当 $y = - 6$ 和 $z = 1$ 时，表达式的值为 -1。

掌握运算顺序和表达式求值是进行更复杂的代数运算的基础。

1.5 实数的性质 (Properties of Real Numbers)

实数系统具有一些重要的性质，这些性质是代数运算规则的基石。理解并熟练运用这些性质，可以帮助我们简化表达式和求解方程。

1.5.1 交换律 (Commutative Properties)、结合律 (Associative Properties)

① 交换律 (Commutative Properties)：改变运算数的顺序，结果不变。
▮▮▮▮⚝ 加法交换律 (Commutative Property of Addition): 对于任意实数 $a$ 和 $b$ ， $a + b = b + a$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 例如， $3 + 5 = 5 + 3 = 8$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例如， $x + y = y + x$ 。
▮▮▮▮⚝ 乘法交换律 (Commutative Property of Multiplication): 对于任意实数 $a$ 和 $b$ ， $a \cdot b = b \cdot a$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 例如， $4 \cdot 7 = 7 \cdot 4 = 28$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例如， $x y = y x$ 。

② 结合律 (Associative Properties)：改变运算数的组合方式（括号的位置），结果不变。
▮▮▮▮⚝ 加法结合律 (Associative Property of Addition): 对于任意实数 $a$ ， $b$ ，和 $c$ ， $(a + b) + c = a + (b + c)$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 例如， $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ ， $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例如， $(x + y) + z = x + (y + z)$ 。
▮▮▮▮⚝ 乘法结合律 (Associative Property of Multiplication): 对于任意实数 $a$ ， $b$ ，和 $c$ ， $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 例如， $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ ， $2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例如， $(x y) z = x (y z)$ 。

交换律和结合律允许我们在进行一系列加法或乘法运算时，自由地改变项的顺序或组合方式，这在简化代数表达式时非常有用。

1.5.2 分配律 (Distributive Property)

⚝ 分配律 (Distributive Property): 乘法对加法（或减法）具有分配性。对于任意实数 $a$ ， $b$ ，和 $c$ ， $a (b + c) = a b + a c$ 和 $a (b - c) = a b - a c$ 。
▮▮▮▮⚝ 例如， $5 (2 + 3) = 5 \cdot 5 = 25$ ，同时 $5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25$ 。
▮▮▮▮⚝ 例如， $3 (x + 2) = 3 x + 3 \cdot 2 = 3 x + 6$ 。
▮▮▮▮⚝ 例如， $- 2 (y - 4) = - 2 y - (- 2) (4) = - 2 y + 8$ 。
▮▮▮▮⚝ 分配律也可以反过来使用，称为提取公因式 (Factoring out a Common Factor)。例如， $a x + a y = a (x + y)$ 。

分配律是连接加法和乘法的重要桥梁，在展开表达式和因式分解中扮演核心角色。

1.5.3 恒等元 (Identity Elements) 与逆元 (Inverse Elements)

⚝ 恒等元 (Identity Elements)：进行某种运算时，与恒等元运算后结果不变的特殊元素。
▮▮▮▮⚝ 加法恒等元 (Additive Identity): 0。对于任意实数 $a$ ， $a + 0 = a$ 且 $0 + a = a$ 。
▮▮▮▮⚝ 乘法恒等元 (Multiplicative Identity): 1。对于任意实数 $a$ ， $a \cdot 1 = a$ 且 $1 \cdot a = a$ 。

⚝ 逆元 (Inverse Elements)：进行某种运算时，与一个数运算后得到恒等元的数。
▮▮▮▮⚝ 加法逆元 (Additive Inverse) (或相反数 - Opposite): 对于任意实数 $a$ ，存在一个实数 $- a$ ，使得 $a + (- a) = 0$ 且 $(- a) + a = 0$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 例如，5 的加法逆元是 -5，因为 $5 + (- 5) = 0$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例如，-3 的加法逆元是 3，因为 $- 3 + 3 = 0$ 。
▮▮▮▮⚝ 乘法逆元 (Multiplicative Inverse) (或倒数 - Reciprocal): 对于任意非零实数 $a$ ，存在一个实数 $\frac{1}{a}$ ，使得 $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ 且 $\frac{1}{a} \cdot a = 1$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 例如，4 的乘法逆元是 $\frac{1}{4}$ ，因为 $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 例如， $\frac{2}{3}$ 的乘法逆元是 $\frac{3}{2}$ ，因为 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ 。
▮▮▮▮⚝ 注意：0 没有乘法逆元，因为任何数乘以 0 都等于 0，不可能等于乘法恒等元 1。

这些实数的性质构成了代数运算的逻辑基础。在后续章节中，我们将频繁地运用这些性质来推导和理解代数规则。

本章我们回顾了代数的历史渊源，明确了变量、常数、表达式等基本概念，系统地梳理了实数系统及其不同子集，学习了运算顺序，并深入探讨了实数的重要性质。这些知识是构建整个初等代数体系的基石。在接下来的章节中，我们将利用这些基础知识来学习如何求解方程和不等式，如何操作多项式和有理表达式，以及如何处理根式和二次方程。请务必扎实掌握本章内容，为后续的学习打下坚实的基础。💪

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2. chapter 2：线性方程与不等式 (Linear Equations and Inequalities)

欢迎来到本书的第二章！在第一章中，我们学习了代数的基础概念和实数系统。现在，我们将把这些基础知识应用到解决实际问题中，而解决问题的最常用工具之一就是方程和不等式。本章将深入探讨线性方程和不等式的概念、求解方法以及它们在现实世界中的应用。掌握这些内容，将为后续学习更复杂的代数概念打下坚实的基础。

2.1 方程的基本概念 (Basic Concepts of Equations)

方程是代数的核心。它是一种数学陈述，表达了两个表达式之间的相等关系。理解方程的本质以及如何找到它的解，是学习代数的关键第一步。

2.1.1 方程 (Equations) 与解 (Solutions)

① 方程的定义 (Definition of an Equation)
方程是一个包含等号 $=$ 的数学陈述，表示等号两边的表达式具有相同的值。方程通常包含一个或多个未知数 (unknowns)，这些未知数用字母表示，例如 $x$ 、 $y$ 或 $z$ 。
例如： $2 x + 3 = 7$ 就是一个方程，其中 $x$ 是未知数。

② 解的定义 (Definition of a Solution)
方程的解 (solution) 是指使方程成立的未知数的值。求解方程 (solving an equation) 的过程就是找到方程的所有解。
例如，对于方程 $2 x + 3 = 7$ ，如果我们将 $x = 2$ 代入方程，得到 $2 (2) + 3 = 4 + 3 = 7$ 。因为等号两边相等 ( $7 = 7$ )，所以 $x = 2$ 是这个方程的一个解。

③ 方程的分类 (Classification of Equations)
方程可以根据未知数的个数、未知数的最高次数等进行分类。
⚝ 根据未知数的个数：
▮▮▮▮⚝ 一元方程 (Equations in one variable)：只含有一个未知数，如 $3 x - 5 = 10$ 。
▮▮▮▮⚝ 二元方程 (Equations in two variables)：含有两个未知数，如 $2 x + y = 5$ 。
▮▮▮▮⚝ 多元方程 (Equations in multiple variables)：含有两个或两个以上未知数。
⚝ 根据未知数的最高次数：
▮▮▮▮⚝ 线性方程 (Linear equations)：未知数的最高次数是 1，如 $a x + b = c$ (其中 $a \neq 0$ )。
▮▮▮▮⚝ 二次方程 (Quadratic equations)：未知数的最高次数是 2，如 $a x^{2} + b x + c = 0$ (其中 $a \neq 0$ )。
▮▮▮▮⚝ 多项式方程 (Polynomial equations)：未知数的最高次数大于 1。

本章主要关注一元线性方程 (linear equations in one variable)。

2.1.2 等式的性质 (Properties of Equality)

求解方程的核心思想是利用等式的性质，在不改变方程解的前提下，将方程转化为更简单的形式，最终得到未知数的值。等式有以下基本性质：

① 对称性 (Symmetric Property)
如果 $a = b$ ，那么 $b = a$ 。
例如：如果 $7 = 2 x + 3$ ，那么 $2 x + 3 = 7$ 。

② 传递性 (Transitive Property)
如果 $a = b$ 且 $b = c$ ，那么 $a = c$ 。
例如：如果 $x = y$ 且 $y = 5$ ，那么 $x = 5$ 。

③ 加法性质 (Addition Property)
如果在等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，等式仍然成立。
如果 $a = b$ ，那么 $a + c = b + c$ 且 $a - c = b - c$ 。
例如：对于方程 $x - 5 = 2$ ，两边同时加上 5，得到 $(x - 5) + 5 = 2 + 5$ ，即 $x = 7$ 。

④ 乘法性质 (Multiplication Property)
如果在等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数或代数式，等式仍然成立。
如果 $a = b$ 且 $c \neq 0$ ，那么 $a c = b c$ 且 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ 。
例如：对于方程 $3 x = 12$ ，两边同时除以 3，得到 $\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$ ，即 $x = 4$ 。
注意：不能除以零。

这些性质是求解方程的理论基础。我们通过对等式两边进行相同的合法运算，逐步“隔离”未知数，从而求出其值。

2.2 求解一元线性方程 (Solving Linear Equations in One Variable)

一元线性方程通常可以化为 $a x + b = 0$ (或 $a x = b$ ) 的形式，其中 $a \neq 0$ 。求解这类方程的目标就是找到未知数 $x$ 的值。

2.2.1 一步方程 (One-Step Equations)

一步方程是指只需要一步运算（加、减、乘、除）就可以求解的方程。它们是理解等式性质如何应用的最好起点。

① 加法/减法一步方程
形式： $x + a = b$ 或 $x - a = b$ 。
求解方法：利用加法性质，在方程两边同时加上或减去 $a$ 。
例 1：求解方程 $x + 5 = 12$ 。
解：为了隔离 $x$ ，我们在方程两边同时减去 5。 $x + 5 - 5 = 12 - 5$ $x = 7$ 检验：将 $x = 7$ 代入原方程： $7 + 5 = 12$ ，等式成立。

例 2：求解方程 $y - 3 = 8$ 。
解：为了隔离 $y$ ，我们在方程两边同时加上 3。 $y - 3 + 3 = 8 + 3$ $y = 11$ 检验：将 $y = 11$ 代入原方程： $11 - 3 = 8$ ，等式成立。

② 乘法/除法一步方程
形式： $a x = b$ 或 $\frac{x}{a} = b$ (其中 $a \neq 0$ )。
求解方法：利用乘法性质，在方程两边同时乘以或除以 $a$ 。
例 3：求解方程 $4 z = 20$ 。
解：为了隔离 $z$ ，我们在方程两边同时除以 4。 $\frac{4 z}{4} = \frac{20}{4}$ $z = 5$ 检验：将 $z = 5$ 代入原方程： $4 (5) = 20$ ，等式成立。

例 4：求解方程 $\frac{w}{6} = 3$ 。
解：为了隔离 $w$ ，我们在方程两边同时乘以 6。 $\frac{w}{6} \times 6 = 3 \times 6$ $w = 18$ 检验：将 $w = 18$ 代入原方程： $\frac{18}{6} = 3$ ，等式成立。

2.2.2 多步方程 (Multi-Step Equations)

多步方程需要进行多于一步的运算才能求解。通常需要结合使用加法/减法性质和乘法/除法性质。

① 基本多步方程
形式： $a x + b = c$ 或 $a x - b = c$ 。
求解步骤：
① 先通过加法或减法将常数项移到方程的另一边。
② 再通过乘法或除法将未知数的系数化为 1。
例 5：求解方程 $2 x + 3 = 11$ 。
解：
步骤 1：两边同时减去 3。 $2 x + 3 - 3 = 11 - 3$ $2 x = 8$ 步骤 2：两边同时除以 2。 $\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2}$ $x = 4$ 检验： $2 (4) + 3 = 8 + 3 = 11$ ，等式成立。

例 6：求解方程 $5 y - 7 = 13$ 。
解：
步骤 1：两边同时加上 7。 $5 y - 7 + 7 = 13 + 7$ $5 y = 20$ 步骤 2：两边同时除以 5。 $\frac{5 y}{5} = \frac{20}{5}$ $y = 4$ 检验： $5 (4) - 7 = 20 - 7 = 13$ ，等式成立。

② 方程两边都含有未知数项和常数项
形式： $a x + b = c x + d$ 。
求解步骤：
① 通过加法或减法将含有未知数的项移到方程的一边（通常是左边）。
② 通过加法或减法将常数项移到方程的另一边（通常是右边）。
③ 将同类项合并。
④ 通过乘法或除法将未知数的系数化为 1。
例 7：求解方程 $3 x + 5 = x - 1$ 。
解：
步骤 1：两边同时减去 $x$ 。 $3 x + 5 - x = x - 1 - x$ $2 x + 5 = - 1$ 步骤 2：两边同时减去 5。 $2 x + 5 - 5 = - 1 - 5$ $2 x = - 6$ 步骤 3：两边同时除以 2。 $\frac{2 x}{2} = \frac{- 6}{2}$ $x = - 3$ 检验：左边 $3 (- 3) + 5 = - 9 + 5 = - 4$ 。右边 $- 3 - 1 = - 4$ 。左边等于右边，等式成立。

2.2.3 含有括号和分母的方程 (Equations with Parentheses and Denominators)

求解含有括号和分母的方程通常需要额外的步骤来化简方程。

① 含有括号的方程
求解步骤：
① 使用分配律 (Distributive Property) 去掉括号。
② 按照多步方程的求解方法继续求解。
例 8：求解方程 $2 (x + 3) = 10$ 。
解：
步骤 1：使用分配律去掉括号。 $2 \times x + 2 \times 3 = 10$ $2 x + 6 = 10$ 步骤 2：按照多步方程求解。两边同时减去 6。 $2 x + 6 - 6 = 10 - 6$ $2 x = 4$ 步骤 3：两边同时除以 2。 $\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$ $x = 2$ 检验： $2 (2 + 3) = 2 (5) = 10$ ，等式成立。

例 9：求解方程 $3 (y - 1) - 2 (y + 2) = 5$ 。
解：
步骤 1：使用分配律去掉括号。 $3 y - 3 - 2 y - 4 = 5$ 步骤 2：合并同类项。 $(3 y - 2 y) + (- 3 - 4) = 5$ $y - 7 = 5$ 步骤 3：两边同时加上 7。 $y - 7 + 7 = 5 + 7$ $y = 12$ 检验： $3 (12 - 1) - 2 (12 + 2) = 3 (11) - 2 (14) = 33 - 28 = 5$ ，等式成立。

② 含有分母的方程
求解步骤：
① 找到方程中所有分母的最小公倍数 (Least Common Multiple - LCM)。
② 方程两边同时乘以这个最小公倍数，以“去分母”。
③ 按照多步方程的求解方法继续求解。
例 10：求解方程 $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ 。
解：
步骤 1：分母是 2 和 3，它们的最小公倍数是 6。
步骤 2：方程两边同时乘以 6。 $6 \times (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) = 6 \times 5$ $6 \times \frac{x}{2} + 6 \times \frac{x}{3} = 30$ $3 x + 2 x = 30$ 步骤 3：合并同类项。 $5 x = 30$ 步骤 4：两边同时除以 5。 $\frac{5 x}{5} = \frac{30}{5}$ $x = 6$ 检验： $\frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5$ ，等式成立。

例 11：求解方程 $\frac{2 x - 1}{4} = \frac{x + 3}{2} - 1$ 。
解：
步骤 1：分母是 4 和 2，它们的最小公倍数是 4。
步骤 2：方程两边同时乘以 4。 $4 \times \frac{2 x - 1}{4} = 4 \times (\frac{x + 3}{2} - 1)$ $2 x - 1 = 4 \times \frac{x + 3}{2} - 4 \times 1$ $2 x - 1 = 2 (x + 3) - 4$ 步骤 3：去掉括号。 $2 x - 1 = 2 x + 6 - 4$ $2 x - 1 = 2 x + 2$ 步骤 4：将含有 $x$ 的项移到左边，常数项移到右边。 $2 x - 2 x = 2 + 1$ $0 = 3$ 结果是 $0 = 3$ ，这是一个假命题。这意味着原方程没有解。
注意：在求解方程的过程中，如果得到一个恒等式（如 $0 = 0$ ），则方程有无穷多解；如果得到一个矛盾式（如 $0 = 3$ ），则方程无解。

2.3 线性方程的应用 (Applications of Linear Equations)

线性方程是解决实际问题的重要工具。将实际问题转化为数学模型（即建立方程）是应用线性方程的关键。

2.3.1 建立数学模型 (Setting up Mathematical Models)

将实际问题转化为方程的过程通常包括以下步骤：

① 理解问题 (Understanding the Problem)
仔细阅读问题，弄清已知条件是什么，要求什么。识别问题中的关键信息和数量关系。

② 设定变量 (Setting up Variables)
选择一个或多个字母表示问题中的未知数。通常用 $x$ 或其他字母表示要求解的数量。明确变量代表的意义和单位。

③ 建立方程 (Formulating Equations)
根据问题中的数量关系，利用设定的变量和已知条件，列出方程。这通常是将问题中的文字描述转化为数学表达式和等式。

④ 求解方程 (Solving the Equation)
使用前面学到的方法求解建立的方程，找到未知数的值。

⑤ 检验和回答 (Checking and Answering)
将求得的解代回原问题中检验是否符合题意。最后，用完整的语言回答问题。

2.3.2 解决实际问题 (Solving Real-World Problems)

下面通过一些典型例子来说明如何应用线性方程解决实际问题。

例 12：一个长方形的周长是 30 厘米，长比宽多 3 厘米。求这个长方形的长和宽。
解：
步骤 1：理解问题。已知周长和长与宽的关系，求长和宽。
步骤 2：设定变量。设长方形的宽为 $w$ 厘米，则长为 $(w + 3)$ 厘米。
步骤 3：建立方程。长方形的周长公式是 $2 \times (长 + 宽)$ 。根据题意，周长是 30 厘米。 $2 \times (w + 3 + w) = 30$ $2 \times (2 w + 3) = 30$ 步骤 4：求解方程。 $4 w + 6 = 30$ $4 w = 30 - 6$ $4 w = 24$ $w = \frac{24}{4}$ $w = 6$ 宽是 6 厘米，长是 $w + 3 = 6 + 3 = 9$ 厘米。
步骤 5：检验和回答。周长是 $2 \times (9 + 6) = 2 \times 15 = 30$ 厘米，符合题意。长 9 厘米比宽 6 厘米多 3 厘米，符合题意。
答：这个长方形的长是 9 厘米，宽是 6 厘米。

例 13：小明步行去学校，速度是每小时 4 千米。小红骑自行车去学校，速度是每小时 12 千米。小红比小明晚出发 1 小时，结果两人同时到达学校。求学校离家有多远？
解：
步骤 1：理解问题。已知两人的速度和出发时间差，求路程。这是典型的行程问题 (Distance, Rate, Time Problem)。
步骤 2：设定变量。设学校离家距离为 $d$ 千米。
小明步行的时间是 $\frac{d}{4}$ 小时。
小红骑自行车的时间是 $\frac{d}{12}$ 小时。
步骤 3：建立方程。小红比小明晚出发 1 小时，但同时到达，说明小红用的时间比小明少 1 小时。
小明的时间 - 小红的时间 = 1 小时 $\frac{d}{4} - \frac{d}{12} = 1$ 步骤 4：求解方程。分母是 4 和 12，最小公倍数是 12。 $12 \times (\frac{d}{4} - \frac{d}{12}) = 12 \times 1$ $12 \times \frac{d}{4} - 12 \times \frac{d}{12} = 12$ $3 d - d = 12$ $2 d = 12$ $d = \frac{12}{2}$ $d = 6$ 步骤 5：检验和回答。学校离家 6 千米。小明用时 $\frac{6}{4} = 1.5$ 小时。小红用时 $\frac{6}{12} = 0.5$ 小时。小明比小红多用时 $1.5 - 0.5 = 1$ 小时，符合题意。
答：学校离家 6 千米。

这些例子说明，只要能准确地将实际问题中的数量关系用代数表达式表示出来，并根据等量关系建立方程，就可以利用求解方程的方法解决问题。

2.4 不等式的基本概念 (Basic Concepts of Inequalities)

除了相等关系，数学中也经常需要描述不等关系。不等式就是用来表达这种关系的数学陈述。

2.4.1 不等式 (Inequalities) 与解集 (Solution Sets)

① 不等式的定义 (Definition of an Inequality)
不等式是包含不等号 ( $<$ , $>$ , $\leq$ , $\geq$ , $\neq$ ) 的数学陈述，表示两个表达式之间的不等关系。
⚝ $a < b$ 表示 $a$ 小于 $b$ 。
⚝ $a > b$ 表示 $a$ 大于 $b$ 。
⚝ $a \leq b$ 表示 $a$ 小于或等于 $b$ 。
⚝ $a \geq b$ 表示 $a$ 大于或等于 $b$ 。
⚝ $a \neq b$ 表示 $a$ 不等于 $b$ 。

② 解集 (Solution Sets)
不等式的解 (solution) 是指使不等式成立的未知数的值。与方程不同，线性不等式的解通常不是一个或几个孤立的值，而是一个范围。不等式的所有解组成的集合称为解集 (solution set)。
例如，对于不等式 $x + 2 > 5$ ，如果 $x = 4$ ，则 $4 + 2 = 6 > 5$ ，不等式成立，所以 $x = 4$ 是一个解。如果 $x = 2$ ，则 $2 + 2 = 4 ≯ 5$ ，不等式不成立。
通过求解，我们可以发现 $x > 3$ 的所有实数都是这个不等式的解。解集可以表示为集合 ${x ∣ x > 3}$ 或区间 $(3, \infty)$ 。

2.4.2 不等式的性质 (Properties of Inequality)

求解不等式也依赖于不等式的性质。这些性质与等式的性质有些相似，但也有重要的区别。

① 加法性质 (Addition Property)
在不等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，不等号的方向不变。
如果 $a < b$ ，那么 $a + c < b + c$ 且 $a - c < b - c$ 。
如果 $a > b$ ，那么 $a + c > b + c$ 且 $a - c > b - c$ 。
例如：如果 $x - 3 < 5$ ，两边同时加上 3，得到 $x - 3 + 3 < 5 + 3$ ，即 $x < 8$ 。

② 乘法性质 (Multiplication Property)
⚝ 在不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
如果 $a < b$ 且 $c > 0$ ，那么 $a c < b c$ 且 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ 。
如果 $a > b$ 且 $c > 0$ ，那么 $a c > b c$ 且 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ 。
例如：如果 $2 x < 6$ ，两边同时除以 2 (正数)，得到 $\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$ ，即 $x < 3$ 。

⚝ 在不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向必须改变。
如果 $a < b$ 且 $c < 0$ ，那么 $a c > b c$ 且 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ 。
如果 $a > b$ 且 $c < 0$ ，那么 $a c < b c$ 且 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ 。
例如：如果 $- 3 x < 9$ ，两边同时除以 -3 (负数)，不等号方向改变，得到 $\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{9}{- 3}$ ，即 $x > - 3$ 。
注意：这是求解不等式时最容易出错的地方。

③ 传递性 (Transitive Property)
如果 $a < b$ 且 $b < c$ ，那么 $a < c$ 。
如果 $a > b$ 且 $b > c$ ，那么 $a > c$ 。

这些性质是求解不等式和表示解集的基础。

2.5 求解一元线性不等式 (Solving Linear Inequalities in One Variable)

求解一元线性不等式的方法与求解一元线性方程非常相似，主要区别在于当乘以或除以负数时需要改变不等号的方向。

2.5.1 求解方法 (Solving Methods)

求解一元线性不等式的步骤与求解方程类似：

① 去分母：如果不等式含有分母，找到所有分母的最小公倍数，不等式两边同时乘以这个最小公倍数。注意，如果最小公倍数是负数（虽然通常取正数），则需要改变不等号方向。通常我们取正的最小公倍数。
② 去括号：使用分配律去掉不等式中的括号。
③ 移项：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。注意移项时要变号。
④ 合并同类项：合并不等式两边的同类项。
⑤ 系数化为 1：不等式两边同时除以未知数的系数。注意，如果系数是负数，不等号方向必须改变。

例 14：求解不等式 $2 x - 5 < 7$ 。
解：
步骤 1：两边同时加上 5。 $2 x - 5 + 5 < 7 + 5$ $2 x < 12$ 步骤 2：两边同时除以 2 (正数)。 $\frac{2 x}{2} < \frac{12}{2}$ $x < 6$ 解集是 ${x ∣ x < 6}$ 。

例 15：求解不等式 $- 3 x + 4 \geq 10$ 。
解：
步骤 1：两边同时减去 4。 $- 3 x + 4 - 4 \geq 10 - 4$ $- 3 x \geq 6$ 步骤 2：两边同时除以 -3 (负数)，不等号方向改变。 $\frac{- 3 x}{- 3} \leq \frac{6}{- 3}$ $x \leq - 2$ 解集是 ${x ∣ x \leq - 2}$ 。

例 16：求解不等式 $\frac{x + 1}{3} > \frac{x - 1}{2}$ 。
解：
步骤 1：分母是 3 和 2，最小公倍数是 6。两边同时乘以 6。 $6 \times \frac{x + 1}{3} > 6 \times \frac{x - 1}{2}$ $2 (x + 1) > 3 (x - 1)$ 步骤 2：去括号。 $2 x + 2 > 3 x - 3$ 步骤 3：移项。将 $3 x$ 移到左边，将 2 移到右边。 $2 x - 3 x > - 3 - 2$ 步骤 4：合并同类项。 $- x > - 5$ 步骤 5：系数化为 1。两边同时除以 -1 (负数)，不等号方向改变。 $\frac{- x}{- 1} < \frac{- 5}{- 1}$ $x < 5$ 解集是 ${x ∣ x < 5}$ 。

2.5.2 解集在数轴上的表示 (Representing Solution Sets on the Number Line)

将不等式的解集在数轴上表示出来，可以更直观地理解解的范围。

① 表示方法
⚝ 使用实心圆点 ( $∙$ ) 表示包含端点（即 $\leq$ 或 $\geq$ ）。
⚝ 使用空心圆圈 ( $\circ$ ) 表示不包含端点（即 $<$ 或 $>$ ）。
⚝ 画一条从端点出发的射线，表示解的范围。射线方向与不等号方向一致（大于向右，小于向左）。

② 示例
⚝ $x > 3$ ：在数轴上 3 的位置画一个空心圆圈，然后从 3 向右画一条射线。
⚝ $x \leq - 2$ ：在数轴上 -2 的位置画一个实心圆点，然后从 -2 向左画一条射线。
⚝ $x \geq 0$ ：在数轴上 0 的位置画一个实心圆点，然后从 0 向右画一条射线。
⚝ $x < 5$ ：在数轴上 5 的位置画一个空心圆圈，然后从 5 向左画一条射线。

数轴表示示例：
对于 $x < 6$ ，在数轴上 6 处画空心圆，向左画射线。
对于 $x \leq - 2$ ，在数轴上 -2 处画实心圆，向左画射线。
对于 $x < 5$ ，在数轴上 5 处画空心圆，向左画射线。

2.6 复合不等式 (Compound Inequalities)

复合不等式是由两个或多个不等式通过逻辑连接词“且”(and) 或“或”(or) 连接而成的。

① “且”连接的复合不等式
形式： $a < x < b$ (表示 $x > a$ 且 $x < b$ ) 或 $a \leq x \leq b$ 等。
解集：是构成复合不等式的各个不等式解集的交集 (intersection)。
在数轴上表示时，是各个不等式解集射线重叠的部分。
例 17：求解复合不等式 $- 1 < 2 x + 3 \leq 5$ 。
解：这个复合不等式等价于两个不等式：
不等式 1: $- 1 < 2 x + 3$ 不等式 2: $2 x + 3 \leq 5$ 求解不等式 1: $- 1 < 2 x + 3$ $- 1 - 3 < 2 x$ $- 4 < 2 x$ $\frac{- 4}{2} < \frac{2 x}{2}$ $- 2 < x$ ，即 $x > - 2$ 。

求解不等式 2: $2 x + 3 \leq 5$ $2 x \leq 5 - 3$ $2 x \leq 2$ $\frac{2 x}{2} \leq \frac{2}{2}$ $x \leq 1$ 。

复合不等式的解集是 $x > - 2$ 和 $x \leq 1$ 的交集，即 $- 2 < x \leq 1$ 。
解集表示为 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ 或区间 $(- 2, 1]$ 。
在数轴上表示：在 -2 处画空心圆，在 1 处画实心圆，连接两点之间的线段。

求解形如 $a < b x + c < d$ 的复合不等式，也可以直接对三部分同时进行运算： $- 1 < 2 x + 3 \leq 5$ 三部分同时减去 3： $- 1 - 3 < 2 x + 3 - 3 \leq 5 - 3$ $- 4 < 2 x \leq 2$ 三部分同时除以 2 (正数)： $\frac{- 4}{2} < \frac{2 x}{2} \leq \frac{2}{2}$ $- 2 < x \leq 1$ 得到相同的解集。

② “或”连接的复合不等式
形式： $x < a$ 或 $x > b$ 。
解集：是构成复合不等式的各个不等式解集的并集 (union)。
在数轴上表示时，是各个不等式解集射线的总和。
例 18：求解复合不等式 $x - 2 < - 3$ 或 $x + 1 > 5$ 。
解：这个复合不等式由两个不等式通过“或”连接：
不等式 1: $x - 2 < - 3$ 不等式 2: $x + 1 > 5$ 求解不等式 1: $x - 2 < - 3$ $x < - 3 + 2$ $x < - 1$ 。

求解不等式 2: $x + 1 > 5$ $x > 5 - 1$ $x > 4$ 。

复合不等式的解集是 $x < - 1$ 的解集与 $x > 4$ 的解集的并集。
解集表示为 ${x ∣ x < - 1 或 x > 4}$ 或区间 $(- \infty, - 1) \cup (4, \infty)$ 。
在数轴上表示：在 -1 处画空心圆向左画射线，在 4 处画空心圆向右画射线。

本章我们系统地学习了线性方程和不等式的基本概念、求解方法以及简单的应用。这些是初等代数中非常重要的内容，也是解决更复杂数学问题的基础。在下一章中，我们将学习多项式的运算，这将进一步丰富我们的代数工具箱。

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3. chapter 3：多项式 (Polynomials)

欢迎来到初等代数的第三章！在本章中，我们将深入探索代数世界中的重要构建模块——多项式。多项式是代数表达式的一种特殊且基础的形式，它们在数学的各个分支以及科学、工程等领域都有着广泛的应用。理解多项式的结构、性质以及运算方法，是掌握更高级代数概念和解决实际问题的关键。

我们将从多项式的基本定义和分类入手，学习如何识别不同类型的多项式，并理解它们的次数和项数等重要特征。接着，我们将系统地学习多项式的加法、减法、乘法和除法运算。这些运算规则是建立在实数运算性质之上的，但需要我们更加细致地处理包含变量的表达式。特别地，多项式的乘法将引出一些非常有用的特殊乘法公式，它们能极大地简化计算。最后，我们将探讨多项式的除法，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式以及更复杂的长除法。

通过本章的学习，您将能够熟练地进行多项式的各种运算，为后续学习因式分解、有理表达式以及函数等内容打下坚实的基础。让我们一起开始多项式的探索之旅吧！🚀

3.1 多项式的定义与分类 (Definition and Classification of Polynomials)

在代数表达式中，多项式占据着核心地位。它们是由变量、常数以及加、减、乘、非负整数指数幂运算组成的表达式。

3.1.1 单项式 (Monomials)、多项式 (Polynomials)

① 单项式 (Monomial)：
⚝ 由数字与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数字或一个字母也是单项式。
⚝ 在单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数 (Coefficient)。
⚝ 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 (Degree)。
⚝ 例如： $5 x^{2} y$ ，系数是 $5$ ，次数是 $2 + 1 = 3$ 。
⚝ 例如： $- 3 a b$ ，系数是 $- 3$ ，次数是 $1 + 1 = 2$ 。
⚝ 例如： $7$ ，系数是 $7$ ，次数是 $0$ (因为 $7 = 7 x^{0}$ )。
⚝ 例如： $m$ ，系数是 $1$ ，次数是 $1$ 。
⚝ 注意：分母中含有字母的代数式不是单项式，例如 $\frac{2}{x}$ 不是单项式。

② 多项式 (Polynomial)：
⚝ 几个单项式的和叫做多项式。
⚝ 多项式中每个单项式叫做多项式的项 (Term)。
⚝ 不含字母的项叫做常数项 (Constant Term)。
⚝ 多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 (Degree)。
⚝ 例如： $2 x^{3} - 4 x + 7$ 。
▮▮▮▮ⓐ 这项多项式有三项： $2 x^{3}$ ， $- 4 x$ ， $7$ 。
▮▮▮▮ⓑ 各项的次数分别是 $3$ ， $1$ ， $0$ 。
▮▮▮▮ⓒ 常数项是 $7$ 。
▮▮▮▮ⓓ 这项多项式的次数是 $3$ 。
⚝ 例如： $x^{2} y + 3 x y^{3} - 5$ 。
▮▮▮▮ⓐ 这项多项式有三项： $x^{2} y$ ， $3 x y^{3}$ ， $- 5$ 。
▮▮▮▮ⓑ 各项的次数分别是 $2 + 1 = 3$ ， $1 + 3 = 4$ ， $0$ 。
▮▮▮▮ⓒ 常数项是 $- 5$ 。
▮▮▮▮ⓓ 这项多项式的次数是 $4$ 。

③ 整式 (Integral Expression)：
⚝ 单项式和多项式统称为整式。

3.1.2 次数 (Degree) 与项数 (Number of Terms)

① 多项式的次数 (Degree of a Polynomial)：
⚝ 多项式中次数最高的项的次数。
⚝ 例如： $5 x^{4} - 2 x^{3} + x - 1$ ，最高次项是 $5 x^{4}$ ，次数是 $4$ ，所以多项式的次数是 $4$ 。这是一个四次多项式。
⚝ 例如： $a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 2 b^{5}$ ，各项次数分别为 $2 + 3 = 5$ ， $1 + 4 = 5$ ， $5$ 。最高次数是 $5$ ，所以多项式的次数是 $5$ 。这是一个五次多项式。

② 多项式的项数 (Number of Terms in a Polynomial)：
⚝ 多项式是由几个单项式相加组成的，这些单项式的个数就是多项式的项数。
⚝ 根据项数，多项式可以有特殊的名称：
▮▮▮▮ⓐ 二项式 (Binomial)：含有两项的多项式，例如 $x + y$ ， $a^{2} - 4$ 。
▮▮▮▮ⓑ 三项式 (Trinomial)：含有三项的多项式，例如 $x^{2} + 2 x + 1$ ， $a^{3} - 2 a b + b^{2}$ 。
⚝ 含有更多项的多项式通常直接称为多项式。

③ 同类项 (Like Terms)：
⚝ 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
⚝ 常数项都是同类项。
⚝ 例如： $3 x^{2} y$ 和 $- 5 x^{2} y$ 是同类项。
⚝ 例如： $2 a b$ 和 $7 b a$ 是同类项 (字母顺序不同但字母及指数相同)。
⚝ 例如： $4 x^{3}$ 和 $4 x^{2}$ 不是同类项 (相同字母的指数不同)。
⚝ 例如： $6 x y$ 和 $6 x z$ 不是同类项 (所含字母不同)。

④ 多项式的排列 (Arrangement of Polynomials)：
⚝ 多项式可以按照某个字母的指数从大到小（降幂排列 - Descending Order）或从小到大（升幂排列 - Ascending Order）进行排列。
⚝ 例如，将多项式 $3 x - 5 x^{3} + 2 + x^{2}$ 按 $x$ 的降幂排列： $- 5 x^{3} + x^{2} + 3 x + 2$ 。
⚝ 例如，将多项式 $3 x - 5 x^{3} + 2 + x^{2}$ 按 $x$ 的升幂排列： $2 + 3 x + x^{2} - 5 x^{3}$ 。
⚝ 通常情况下，我们习惯使用降幂排列。

3.2 多项式的加法与减法 (Addition and Subtraction of Polynomials)

多项式的加法和减法是合并同类项的过程。其理论基础是实数的加法交换律、结合律和分配律。

① 多项式的加法 (Addition of Polynomials)：
⚝ 进行多项式加法时，实际上是去掉括号，然后合并同类项。
⚝ 去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变。
⚝ 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
⚝ 示例：计算 $(2 x^{2} + 3 x - 1) + (x^{2} - 5 x + 4)$ $\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x - 1) + (x^{2} - 5 x + 4) & = 2 x^{2} + 3 x - 1 + x^{2} - 5 x + 4 \\ = (2 x^{2} + x^{2}) + (3 x - 5 x) + (- 1 + 4) \\ = (2 + 1) x^{2} + (3 - 5) x + (4 - 1) \\ = 3 x^{2} - 2 x + 3 \end{aligned}$ ② 多项式的减法 (Subtraction of Polynomials)：
⚝ 进行多项式减法时，先将减号后面的多项式看作一个整体，然后根据去括号法则去掉括号，最后合并同类项。
⚝ 去括号法则：括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，原括号里各项的符号都要改变。
⚝ 示例：计算 $(3 a^{2} - 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - a b - 2 b^{2})$ $\begin{aligned} (3 a^{2} - 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - a b - 2 b^{2}) & = 3 a^{2} - 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b + 2 b^{2} \\ = (3 a^{2} - a^{2}) + (- 2 a b + a b) + (b^{2} + 2 b^{2}) \\ = (3 - 1) a^{2} + (- 2 + 1) a b + (1 + 2) b^{2} \\ = 2 a^{2} - a b + 3 b^{2} \end{aligned}$ ③ 加减混合运算 (Mixed Addition and Subtraction)：
⚝ 对于含有多个多项式的加减混合运算，可以按照从左到右的顺序进行，或者先去括号，再合并同类项。
⚝ 示例：计算 $(x^{3} - 2 x + 5) - (2 x^{3} + x - 3) + (x^{3} + 4 x - 1)$ $\begin{aligned} (x^{3} - 2 x + 5) - (2 x^{3} + x - 3) + (x^{3} + 4 x - 1) \\ = x^{3} - 2 x + 5 - 2 x^{3} - x + 3 + x^{3} + 4 x - 1 \\ = (x^{3} - 2 x^{3} + x^{3}) + (- 2 x - x + 4 x) + (5 + 3 - 1) \\ = (1 - 2 + 1) x^{3} + (- 2 - 1 + 4) x + (5 + 3 - 1) \\ = 0 x^{3} + 1 x + 7 \\ = x + 7 \end{aligned}$ ### 3.3 多项式的乘法 (Multiplication of Polynomials)

多项式的乘法是基于单项式乘法和分配律进行的。

3.3.1 单项式乘以多项式 (Monomial by Polynomial)

① 法则 (Rule)：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
⚝ 示例：计算 $3 x^{2} (2 x^{3} - 4 x + 5)$ $\begin{aligned} 3 x^{2} (2 x^{3} - 4 x + 5) & = 3 x^{2} \cdot (2 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot (5) \\ = (3 \cdot 2) (x^{2} \cdot x^{3}) + (3 \cdot - 4) (x^{2} \cdot x) + (3 \cdot 5) x^{2} \\ = 6 x^{2 + 3} - 12 x^{2 + 1} + 15 x^{2} \\ = 6 x^{5} - 12 x^{3} + 15 x^{2} \end{aligned}$ ⚝ 这个过程实际上是运用了乘法对加法的分配律： $a (b + c + d) = a b + a c + a d$ 。

3.3.2 多项式乘以多项式 (Polynomial by Polynomial)

① 法则 (Rule)：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
⚝ 示例：计算 $(x + 2) (x - 3)$ $\begin{aligned} (x + 2) (x - 3) & = x \cdot (x - 3) + 2 \cdot (x - 3) \\ = x \cdot x + x \cdot (- 3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (- 3) \\ = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 \\ = x^{2} - x - 6 \end{aligned}$ ⚝ 示例：计算 $(2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 4)$ $\begin{aligned} (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 4) & = 2 x \cdot (x^{2} + 3 x - 4) + (- 1) \cdot (x^{2} + 3 x - 4) \\ = (2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 3 x + 2 x \cdot (- 4)) + ((- 1) \cdot x^{2} + (- 1) \cdot 3 x + (- 1) \cdot (- 4)) \\ = (2 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x) + (- x^{2} - 3 x + 4) \\ = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x - x^{2} - 3 x + 4 \\ = 2 x^{3} + (6 x^{2} - x^{2}) + (- 8 x - 3 x) + 4 \\ = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 \end{aligned}$ ⚝ 这个过程可以形象地理解为“每一项都要乘以另一多项式的每一项”。

3.3.3 特殊乘法公式 (Special Product Formulas)

在多项式乘法中，有一些特定的形式经常出现，掌握它们的乘法公式可以大大提高计算效率。这些公式是多项式乘法的特例，但由于其重要性，我们将其单独列出。

① 平方差公式 (Difference of Squares)：
⚝ 公式： $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ⚝ 文字描述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
⚝ 证明： $\begin{aligned} (a + b) (a - b) & = a (a - b) + b (a - b) \\ = a^{2} - a b + b a - b^{2} \\ = a^{2} - a b + a b - b^{2} (因为 b a = a b) \\ = a^{2} - b^{2} \end{aligned}$ ⚝ 示例：计算 $(x + 5) (x - 5)$ $(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 5^{2} = x^{2} - 25$ ⚝ 示例：计算 $(2 y - 3) (2 y + 3)$ $(2 y - 3) (2 y + 3) = (2 y)^{2} - 3^{2} = 4 y^{2} - 9$ ② 完全平方公式 (Perfect Square Trinomials)：
⚝ 公式：
▮▮▮▮ⓐ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ▮▮▮▮ⓑ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ⚝ 文字描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的二倍。
⚝ 证明 $(a + b)^{2}$ ： $\begin{aligned} (a + b)^{2} & = (a + b) (a + b) \\ = a (a + b) + b (a + b) \\ = a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = a^{2} + a b + a b + b^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{aligned}$ ⚝ 证明 $(a - b)^{2}$ ： $\begin{aligned} (a - b)^{2} & = (a - b) (a - b) \\ = a (a - b) - b (a - b) \\ = a^{2} - a b - (b a - b^{2}) \\ = a^{2} - a b - b a + b^{2} \\ = a^{2} - a b - a b + b^{2} \\ = a^{2} - 2 a b + b^{2} \end{aligned}$ ⚝ 示例：计算 $(x + 3)^{2}$ $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ ⚝ 示例：计算 $(2 m - 5)^{2}$ $(2 m - 5)^{2} = (2 m)^{2} - 2 \cdot (2 m) \cdot 5 + 5^{2} = 4 m^{2} - 20 m + 25$ ③ 立方和与立方差公式 (Sum and Difference of Cubes) (虽然有时被归入因式分解，但其展开是乘法)：
⚝ 公式：
▮▮▮▮ⓐ $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ ▮▮▮▮ⓑ $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ ⚝ 证明 $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ ： $\begin{aligned} (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) & = a (a^{2} - a b + b^{2}) + b (a^{2} - a b + b^{2}) \\ = a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + b a^{2} - a b^{2} + b^{3} \\ = a^{3} - a^{2} b + a^{2} b + a b^{2} - a b^{2} + b^{3} \\ = a^{3} + b^{3} \end{aligned}$ ⚝ 证明 $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ ： $\begin{aligned} (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) & = a (a^{2} + a b + b^{2}) - b (a^{2} + a b + b^{2}) \\ = a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - (b a^{2} + a b^{2} + b^{3}) \\ = a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - b a^{2} - a b^{2} - b^{3} \\ = a^{3} + a^{2} b - a^{2} b + a b^{2} - a b^{2} - b^{3} \\ = a^{3} - b^{3} \end{aligned}$ ⚝ 这些公式在因式分解中更为常用，但在乘法中理解其展开过程也很重要。

3.4 多项式的除法 (Division of Polynomials)

多项式的除法是乘法的逆运算。根据除数的形式，可以分为多项式除以单项式和多项式除以多项式。

3.4.1 单项式除以单项式 (Monomial by Monomial)

① 法则 (Rule)：单项式相除，把系数相除，同底数幂相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。
⚝ 示例：计算 $12 x^{5} y^{3} \div (3 x^{2} y)$ $\begin{aligned} 12 x^{5} y^{3} \div (3 x^{2} y) & = \frac{12 x^{5} y^{3}}{3 x^{2} y} \\ = \frac{12}{3} \cdot \frac{x^{5}}{x^{2}} \cdot \frac{y^{3}}{y} \\ = 4 \cdot x^{5 - 2} \cdot y^{3 - 1} \\ = 4 x^{3} y^{2} \end{aligned}$ ⚝ 示例：计算 $- 15 a^{4} b^{2} c \div (5 a^{2} b)$ $\begin{aligned} - 15 a^{4} b^{2} c \div (5 a^{2} b) & = \frac{- 15 a^{4} b^{2} c}{5 a^{2} b} \\ = \frac{- 15}{5} \cdot \frac{a^{4}}{a^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{b} \cdot c \\ = - 3 \cdot a^{4 - 2} \cdot b^{2 - 1} \cdot c \\ = - 3 a^{2} b c \end{aligned}$ ⚝ 注意：除数不能为零。

3.4.2 多项式除以单项式 (Polynomial by Monomial)

① 法则 (Rule)：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
⚝ 示例：计算 $(6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) \div (3 x)$ $\begin{aligned} (6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) \div (3 x) & = \frac{6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x}{3 x} \\ = \frac{6 x^{3}}{3 x} - \frac{9 x^{2}}{3 x} + \frac{12 x}{3 x} \\ = (6 \div 3) x^{3 - 1} - (9 \div 3) x^{2 - 1} + (12 \div 3) x^{1 - 1} \\ = 2 x^{2} - 3 x^{1} + 4 x^{0} \\ = 2 x^{2} - 3 x + 4 (因为 x^{0} = 1, x \neq 0) \end{aligned}$ ⚝ 示例：计算 $(8 a^{2} b - 4 a b^{2} + 2 a b) \div (- 2 a b)$ $\begin{aligned} (8 a^{2} b - 4 a b^{2} + 2 a b) \div (- 2 a b) & = \frac{8 a^{2} b}{- 2 a b} - \frac{4 a b^{2}}{- 2 a b} + \frac{2 a b}{- 2 a b} \\ = (8 \div - 2) a^{2 - 1} b^{1 - 1} - (4 \div - 2) a^{1 - 1} b^{2 - 1} + (2 \div - 2) a^{1 - 1} b^{1 - 1} \\ = - 4 a^{1} b^{0} - (- 2) a^{0} b^{1} + (- 1) a^{0} b^{0} \\ = - 4 a + 2 b - 1 (因为 a^{0} = 1, b^{0} = 1, a \neq 0, b \neq 0) \end{aligned}$ #### 3.4.3 多项式除以多项式 (Polynomial by Polynomial) (长除法 - Long Division)

① 概念 (Concept)：多项式除以多项式类似于整数的除法，可以使用长除法 (Long Division) 的方法进行。
⚝ 设被除式为 $P (x)$ ，除式为 $D (x)$ ，商式为 $Q (x)$ ，余式为 $R (x)$ 。则有 $P (x) = D (x) \cdot Q (x) + R (x)$ ，其中 $R (x)$ 的次数小于 $D (x)$ 的次数，或者 $R (x) = 0$ 。
⚝ 当 $R (x) = 0$ 时，称 $P (x)$ 能被 $D (x)$ 整除。

② 步骤 (Steps)：
▮▮▮▮ⓑ 将被除式和除式都按某个字母（通常是变量 $x$ ) 的降幂排列。如果缺少某一项，用系数为 $0$ 的项补齐。
▮▮▮▮ⓒ 用被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的第一项。
▮▮▮▮ⓓ 用商式的第一项乘以除式，将所得结果写在被除式下方，同类项对齐。
▮▮▮▮ⓔ 从被除式中减去这个结果，得到第一个余式。
▮▮▮▮ⓕ 将第一个余式视为新的被除式，重复步骤ⓑ、ⓒ、ⓓ，直到余式的次数小于除式的次数。
▮▮▮▮⚝ 示例：计算 $(x^{2} - 5 x + 6) \div (x - 2)$ ```
x - 3

x - 2 | x² - 5x + 6
-(x² - 2x) <-- x * (x-2)

-3x + 6
-(-3x + 6) <-- -3 * (x-2)

        1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。
    
        
    

    
        ⚝ 解释：
▮▮▮▮ⓐ 被除式\( x^2 - 5x + 6 \)，除式\( x-2 \)，都已按\( x \)降幂排列。
▮▮▮▮ⓑ 用被除式最高次项\( x^2 \)除以除式最高次项\( x \)，得\( \frac{x^2}{x} = x \)。这是商式的第一项。
▮▮▮▮ⓒ 用\( x \)乘以除式\( (x-2) \)，得\( x(x-2) = x^2 - 2x \)。
▮▮▮▮ⓓ 从被除式中减去\( (x^2 - 2x) \)：\( (x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 2x) = x^2 - 5x + 6 - x^2 + 2x = -3x + 6 \)。这是第一个余式。
▮▮▮▮ⓔ 将\( -3x + 6 \)视为新的被除式。用其最高次项\( -3x \)除以除式最高次项\( x \)，得\( \frac{-3x}{x} = -3 \)。这是商式的第二项。
▮▮▮▮⚝ 用\( -3 \)乘以除式\( (x-2) \)，得\( -3(x-2) = -3x + 6 \)。
▮▮▮▮⚝ 从\( -3x + 6 \)中减去\( (-3x + 6) \)：\( (-3x + 6) - (-3x + 6) = -3x + 6 + 3x - 6 = 0 \)。余式为\( 0 \)。
⚝ 结果：商式是\( x-3 \)，余式是\( 0 \)。所以\( (x^2 - 5x + 6) \div (x-2) = x-3 \)。
⚝ 示例：计算\( (2x^3 + x^2 - 5x + 1) \div (x+1) \)```
        2x² -  x  - 4
      ________________
x + 1 | 2x³ +  x² - 5x + 1
        -(2x³ + 2x²)   <-- 2x² * (x+1)
        ___________
              - x² - 5x
            -(- x² -  x) <-- -x * (x+1)
            ___________
                    -4x + 1
                  -(-4x - 4) <-- -4 * (x+1)
                  _________
                          5

        
    

⚝ 解释：
▮▮▮▮ⓐ 用 $2 x^{3}$ 除以 $x$ ，得 $2 x^{2}$ 。
▮▮▮▮ⓑ $2 x^{2} (x + 1) = 2 x^{3} + 2 x^{2}$ 。
▮▮▮▮ⓒ $(2 x^{3} + x^{2}) - (2 x^{3} + 2 x^{2}) = - x^{2}$ 。余式为 $- x^{2} - 5 x + 1$ 。
▮▮▮▮ⓓ 用 $- x^{2}$ 除以 $x$ ，得 $- x$ 。
▮▮▮▮ⓔ $- x (x + 1) = - x^{2} - x$ 。
▮▮▮▮⚝ $(- x^{2} - 5 x) - (- x^{2} - x) = - 4 x$ 。余式为 $- 4 x + 1$ 。
▮▮▮▮⚝ 用 $- 4 x$ 除以 $x$ ，得 $- 4$ 。
▮▮▮▮⚝ $- 4 (x + 1) = - 4 x - 4$ 。
▮▮▮▮⚝ $(- 4 x + 1) - (- 4 x - 4) = 5$ 。余式为 $5$ 。
⚝ 余式 $5$ 的次数（0次）小于除式 $x + 1$ 的次数（1次），除法结束。
⚝ 结果：商式是 $2 x^{2} - x - 4$ ，余式是 $5$ 。
⚝ 可以写成 $\frac{2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 1}{x + 1} = 2 x^{2} - x - 4 + \frac{5}{x + 1}$ 。

③ 注意事项 (Notes)：
⚝ 进行长除法时，务必将被除式和除式按同一字母的降幂排列，并用 $0$ 补齐缺少的项。
⚝ 每一步相减时，要注意变号。
⚝ 除法过程直到余式的次数小于除式的次数为止。

本章我们系统地学习了多项式的基本概念和四则运算。多项式是代数学习的基石，熟练掌握这些内容对于后续章节的学习至关重要。特别是多项式的乘法公式和长除法，需要通过大量的练习来巩固。在下一章，我们将学习如何将多项式分解成更简单的因式的过程——因式分解，这正是多项式乘法的逆过程。

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4. chapter 4：因式分解 (Factoring)

欢迎来到初等代数的第四章：因式分解 (Factoring)。在前面的章节中，我们学习了如何进行多项式的乘法运算，例如将 $(x + a) (x + b)$ 展开为 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 。因式分解则是这个过程的逆运算，即将一个多项式分解为几个更简单的多项式的乘积。这项技能在代数学习中至关重要，它是求解方程、化简表达式以及后续学习更高级数学概念的基础。本章将系统地介绍因式分解的各种方法，并通过丰富的例子帮助大家掌握这些技巧。

4.1 因式分解的基本概念 (Basic Concepts of Factoring)

因式分解 (Factoring) 是指将一个多项式 (Polynomial) 分解成几个整式 (Integral Expression) 的乘积的过程。这里的“整式”包括单项式 (Monomials) 和多项式。如果一个多项式不能再分解为更简单的整式的乘积，那么我们就说它已经被彻底因式分解了。

因式分解与多项式乘法互为逆运算。
例如：
多项式乘法： $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ 因式分解： $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ 因式分解的意义：
⚝ 简化代数表达式 (Algebraic Expressions)。
⚝ 求解多项式方程 (Polynomial Equations)，特别是二次方程 (Quadratic Equations)。
⚝ 理解多项式的结构和性质。
⚝ 为学习有理表达式 (Rational Expressions) 和更高级的代数概念打下基础。

一个多项式因式分解的最终结果通常要求分解到不能再分解为止，即分解出的每个因式 (Factor) 都不能再进一步分解为更简单的整式的乘积。

4.2 提取公因式 (Factoring out the Greatest Common Factor - GCF)

提取公因式 (Factoring out the Greatest Common Factor) 是因式分解最基本也是最常用的方法。如果一个多项式的各项都含有相同的因式，我们就可以将这个共同的因式提取出来，使多项式变成公因式与另一个多项式的乘积。这个共同的因式称为各项的公因式 (Common Factor)。

公因式通常是各项系数的最大公约数 (Greatest Common Divisor - GCD) 与各项都含有的相同字母的最低次幂 (Lowest Power) 的乘积。

步骤：
① 确定多项式各项的系数 (Coefficients) 的最大公约数。
② 找出多项式各项都含有的字母，取这些字母中次数最低的。
③ 将步骤①和步骤②的结果相乘，得到公因式 (GCF)。
④ 用原多项式的每一项除以公因式，将所得结果写在括号内。
⑤ 将公因式写在括号前面，形成乘积形式。

例子：
将多项式 $6 x^{2} y - 9 x y^{2} + 3 x y$ 因式分解。
① 系数 6, -9, 3 的最大公约数是 3。
② 各项都含有字母 x 和 y。x 的最低次幂是 $x^{1}$ ，y 的最低次幂是 $y^{1}$ 。
③ 公因式是 $3 x y$ 。
④ 用原多项式的每一项除以 $3 x y$ ：
▮▮▮▮ⓔ $\frac{6 x^{2} y}{3 x y} = 2 x$ ▮▮▮▮ⓕ $\frac{- 9 x y^{2}}{3 x y} = - 3 y$ ▮▮▮▮ⓖ $\frac{3 x y}{3 x y} = 1$ ⑧ 结果为 $3 x y (2 x - 3 y + 1)$ 。

所以， $6 x^{2} y - 9 x y^{2} + 3 x y = 3 x y (2 x - 3 y + 1)$ 。

再如：
将 $- 4 a^{3} b^{2} + 8 a^{2} b^{3} - 12 a^{2} b^{2}$ 因式分解。
通常我们习惯将首项系数变为正数，所以可以提取负的公因式。
① 系数 -4, 8, -12 的最大公约数是 4。如果提取负的，则是 -4。
② 各项都含有字母 a 和 b。a 的最低次幂是 $a^{2}$ ，b 的最低次幂是 $b^{2}$ 。
③ 公因式是 $- 4 a^{2} b^{2}$ 。
④ 用原多项式的每一项除以 $- 4 a^{2} b^{2}$ ：
▮▮▮▮ⓔ $\frac{- 4 a^{3} b^{2}}{- 4 a^{2} b^{2}} = a$ ▮▮▮▮ⓕ $\frac{8 a^{2} b^{3}}{- 4 a^{2} b^{2}} = - 2 b$ ▮▮▮▮ⓖ $\frac{- 12 a^{2} b^{2}}{- 4 a^{2} b^{2}} = 3$ ⑧ 结果为 $- 4 a^{2} b^{2} (a - 2 b + 3)$ 。

所以， $- 4 a^{3} b^{2} + 8 a^{2} b^{3} - 12 a^{2} b^{2} = - 4 a^{2} b^{2} (a - 2 b + 3)$ 。

提取公因式是因式分解的第一步，在进行其他方法之前，总是应该先尝试提取公因式。

4.3 运用公式法进行因式分解 (Factoring using Formulas)

有些多项式具有特定的结构，可以直接套用已知的乘法公式进行因式分解。这要求我们熟练掌握一些基本的乘法公式，并能识别多项式是否符合这些公式的结构。

4.3.1 平方差公式 (Difference of Squares)

平方差公式是 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 。
这个公式用于分解形如“两个数的平方差”的多项式。

识别特征：
⚝ 多项式是两项。
⚝ 两项都是某个项的平方。
⚝ 两项之间是减号连接。

例子：
① 将 $x^{2} - 9$ 因式分解。 $x^{2}$ 是 $x$ 的平方， $9$ 是 $3$ 的平方，两项之间是减号。符合平方差公式。 $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x + 3) (x - 3)$ ② 将 $4 y^{2} - 25 z^{2}$ 因式分解。 $4 y^{2}$ 是 $(2 y)^{2}$ 的平方， $25 z^{2}$ 是 $(5 z)^{2}$ 的平方，两项之间是减号。符合平方差公式。 $4 y^{2} - 25 z^{2} = (2 y)^{2} - (5 z)^{2} = (2 y + 5 z) (2 y - 5 z)$ ③ 将 $1 - 16 a^{4}$ 因式分解。 $1$ 是 $1^{2}$ ， $16 a^{4}$ 是 $(4 a^{2})^{2}$ 。 $1 - 16 a^{4} = 1^{2} - (4 a^{2})^{2} = (1 + 4 a^{2}) (1 - 4 a^{2})$ 注意，分解后得到的因式 $(1 - 4 a^{2})$ 仍然是平方差的形式，可以继续分解。 $1 - 4 a^{2} = 1^{2} - (2 a)^{2} = (1 + 2 a) (1 - 2 a)$ 所以， $1 - 16 a^{4} = (1 + 4 a^{2}) (1 + 2 a) (1 - 2 a)$ 。
这强调了因式分解要进行到不能再分解为止。

4.3.2 完全平方公式 (Perfect Square Trinomials)

完全平方公式有两种形式： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ 这些公式用于分解形如“完全平方三项式”的多项式。

识别特征：
⚝ 多项式是三项。
⚝ 其中两项是某个项的平方（通常是首项和末项）。
⚝ 另一项是这两个项的乘积的 2 倍（带符号）。

例子：
① 将 $x^{2} + 6 x + 9$ 因式分解。
首项 $x^{2}$ 是 $x$ 的平方，末项 $9$ 是 $3$ 的平方。中间项 $6 x$ 是 $2 \times x \times 3$ 。符合 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 的形式，其中 $a = x, b = 3$ 。 $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ ② 将 $4 y^{2} - 12 y + 9$ 因式分解。
首项 $4 y^{2}$ 是 $(2 y)^{2}$ ，末项 $9$ 是 $3^{2}$ 。中间项 $- 12 y$ 是 $- 2 \times (2 y) \times 3$ 。符合 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的形式，其中 $a = 2 y, b = 3$ 。 $4 y^{2} - 12 y + 9 = (2 y - 3)^{2}$ ③ 将 $2 a^{3} + 4 a^{2} b + 2 a b^{2}$ 因式分解。
首先尝试提取公因式。各项都有公因式 $2 a$ 。 $2 a^{3} + 4 a^{2} b + 2 a b^{2} = 2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2})$ 括号内的多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 是完全平方三项式。 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ 所以， $2 a^{3} + 4 a^{2} b + 2 a b^{2} = 2 a (a + b)^{2}$ 。

熟练掌握平方差公式和完全平方公式对于快速进行因式分解非常重要。

4.4 十字相乘法 (Factoring Trinomials - "Cross-Multiplication" Method)

十字相乘法 (Cross-Multiplication Method) 主要用于分解形如 $a x^{2} + b x + c$ 的二次三项式 (Quadratic Trinomials)，特别是当 $a = 1$ 时，即分解 $x^{2} + b x + c$ 的形式。

当 $a = 1$ 时，分解 $x^{2} + b x + c$ 。
我们需要找到两个数 $m$ 和 $n$ ，使得 $m \times n = c$ 且 $m + n = b$ 。
如果找到这样的 $m$ 和 $n$ ，那么 $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ 。

例子：
① 将 $x^{2} + 5 x + 6$ 因式分解。
我们需要找到两个数，乘积为 6，和为 5。
考虑 6 的因数对：(1, 6), (2, 3), (-1, -6), (-2, -3)。
计算它们的和：1+6=7, 2+3=5, -1-6=-7, -2-3=-5。
找到符合条件的数是 2 和 3。
所以， $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ 。

② 将 $x^{2} - 7 x + 10$ 因式分解。
我们需要找到两个数，乘积为 10，和为 -7。
考虑 10 的因数对：(1, 10), (2, 5), (-1, -10), (-2, -5)。
计算它们的和：1+10=11, 2+5=7, -1-10=-11, -2-5=-7。
找到符合条件的数是 -2 和 -5。
所以， $x^{2} - 7 x + 10 = (x - 2) (x - 5)$ 。

③ 将 $x^{2} + x - 12$ 因式分解。
我们需要找到两个数，乘积为 -12，和为 1。
考虑 -12 的因数对：(1, -12), (-1, 12), (2, -6), (-2, 6), (3, -4), (-3, 4)。
计算它们的和：1-12=-11, -1+12=11, 2-6=-4, -2+6=4, 3-4=-1, -3+4=1。
找到符合条件的数是 -3 和 4。
所以， $x^{2} + x - 12 = (x - 3) (x + 4)$ 。

当 $a \neq 1$ 时，分解 $a x^{2} + b x + c$ 。
我们需要找到两对数，一对是 $a$ 的因数 $a_{1}, a_{2}$ (使得 $a_{1} a_{2} = a$ )，另一对是 $c$ 的因数 $c_{1}, c_{2}$ (使得 $c_{1} c_{2} = c$ )，并且满足 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1} = b$ 。
如果找到这样的 $a_{1}, a_{2}, c_{1}, c_{2}$ ，那么 $a x^{2} + b x + c = (a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$ 。
这个过程可以用“十字相乘”的图示来辅助记忆和操作：

1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。

    
          a1    c1
  / \  / \
 /   \/   \
a2----c2

交叉相乘的和 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}$ 应该等于 $b$ 。

例子：
④ 将 $2 x^{2} + 7 x + 3$ 因式分解。 $a = 2, b = 7, c = 3$ 。 $a$ 的因数对可以是 (1, 2)。 $c$ 的因数对可以是 (1, 3) 或 (-1, -3)。
尝试组合：
▮▮▮▮⚝ 使用 (1, 2) 和 (1, 3)：

        1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。
    
          1    1
  / \  / \
 /   \/   \
2----3

交叉相乘的和是 $1 \times 3 + 2 \times 1 = 3 + 2 = 5$ 。不等于 7。
▮▮▮▮⚝ 交换 c 的因数位置，使用 (1, 2) 和 (3, 1)：

        1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。
    
          1    3
  / \  / \
 /   \/   \
2----1

交叉相乘的和是 $1 \times 1 + 2 \times 3 = 1 + 6 = 7$ 。等于 7。
所以， $2 x^{2} + 7 x + 3 = (1 x + 3) (2 x + 1) = (x + 3) (2 x + 1)$ 。

⑤ 将 $3 x^{2} - 10 x - 8$ 因式分解。 $a = 3, b = - 10, c = - 8$ 。 $a$ 的因数对可以是 (1, 3)。 $c$ 的因数对可以是 (1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4), (4, -2), (-4, 2), (8, -1), (-8, 1)。
尝试组合 (1, 3) 和 (2, -4)：

        1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。
    
          1    2
  / \  / \
 /   \/   \
3----(-4)

交叉相乘的和是 $1 \times (- 4) + 3 \times 2 = - 4 + 6 = 2$ 。不等于 -10。
尝试组合 (1, 3) 和 (-4, 2)：

        1.双击鼠标左键复制此行；2.单击复制所有代码。
    
          1    -4
  / \  / \
 /   \/   \
3----2

交叉相乘的和是 $1 \times 2 + 3 \times (- 4) = 2 - 12 = - 10$ 。等于 -10。
所以， $3 x^{2} - 10 x - 8 = (1 x - 4) (3 x + 2) = (x - 4) (3 x + 2)$ 。

十字相乘法需要一定的尝试和练习，但对于分解二次三项式非常有效。

4.5 分组分解法 (Factoring by Grouping)

分组分解法 (Factoring by Grouping) 适用于项数大于三项（通常是四项）的多项式，通过适当的分组，使每组都可以提取公因式，并且提取公因式后，各组剩下的部分相同，从而可以进一步提取公因式。

步骤：
① 将多项式适当分组。分组的方式通常是两项一组或三项一组，目标是使每组都能提取公因式。
② 提取每组的公因式。
③ 观察提取公因式后的结果，如果出现相同的多项式因式，则可以将其作为公因式提取出来。
④ 如果提取公因式后没有出现相同的多项式因式，可能需要尝试其他的 группировка (grouping) 方式。

例子：
① 将 $a x + a y + b x + b y$ 因式分解。
将前两项分为一组，后两项分为一组： $(a x + a y) + (b x + b y)$ 提取每组的公因式： $a (x + y) + b (x + y)$ 现在 $(x + y)$ 是共同的因式，提取它： $(x + y) (a + b)$ 所以， $a x + a y + b x + b y = (x + y) (a + b)$ 。

② 将 $x^{3} - x^{2} + x - 1$ 因式分解。
将前两项分为一组，后两项分为一组： $(x^{3} - x^{2}) + (x - 1)$ 提取每组的公因式： $x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1)$ 现在 $(x - 1)$ 是共同的因式，提取它： $(x - 1) (x^{2} + 1)$ 所以， $x^{3} - x^{2} + x - 1 = (x - 1) (x^{2} + 1)$ 。

③ 将 $a^{2} + 2 a b + b^{2} - c^{2}$ 因式分解。
观察前三项，它们构成一个完全平方三项式： $(a^{2} + 2 a b + b^{2}) - c^{2}$ 将前三项用完全平方公式分解： $(a + b)^{2} - c^{2}$ 现在这是一个平方差的形式，其中一个项是 $(a + b)$ ，另一个项是 $c$ 。
运用平方差公式： $((a + b) + c) ((a + b) - c) = (a + b + c) (a + b - c)$ 所以， $a^{2} + 2 a b + b^{2} - c^{2} = (a + b + c) (a + b - c)$ 。

分组分解法的关键在于找到合适的分组方式，这通常需要观察多项式的结构和各项之间的关系。

4.6 综合运用各种方法进行因式分解 (Comprehensive Factoring Techniques)

在实际进行因式分解时，一个多项式可能需要结合使用多种方法才能分解到最简形式。通常的步骤是：

① 首先考虑提取公因式 (GCF)。 这是最简单也是最重要的一步，如果存在公因式，先提取出来可以简化后续的分解过程。
② 检查是否符合公式法。 提取公因式后，观察剩余的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的结构。
③ 尝试十字相乘法或分组分解法。 如果是二次三项式，尝试十字相乘法；如果是四项或更多项，尝试分组分解法。
④ 重复以上步骤。 对分解得到的每个因式，再次检查是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。

例子：
① 将 $3 x^{3} - 18 x^{2} + 27 x$ 因式分解。
▮▮▮▮ⓑ 提取公因式：各项都有公因式 $3 x$ 。 $3 x^{3} - 18 x^{2} + 27 x = 3 x (x^{2} - 6 x + 9)$ ▮▮▮▮ⓑ 检查括号内的多项式 $x^{2} - 6 x + 9$ 。它是一个二次三项式。
▮▮▮▮ⓒ 尝试公式法： $x^{2}$ 是 $x$ 的平方， $9$ 是 $3$ 的平方，中间项 $- 6 x$ 是 $- 2 \times x \times 3$ 。符合完全平方公式 $(a - b)^{2}$ ，其中 $a = x, b = 3$ 。 $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ ▮▮▮▮ⓓ 最终结果： $3 x (x - 3)^{2}$ 。

② 将 $x^{4} - 81$ 因式分解。
▮▮▮▮ⓑ 没有公因式可提。
▮▮▮▮ⓒ 检查是否符合公式法：这是一个两项式，且两项都是平方项 $(x^{2})^{2}$ 和 $9^{2}$ ，中间是减号。符合平方差公式。 $x^{4} - 81 = (x^{2})^{2} - 9^{2} = (x^{2} + 9) (x^{2} - 9)$ ▮▮▮▮ⓒ 检查分解得到的因式 $(x^{2} + 9)$ 和 $(x^{2} - 9)$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $(x^{2} + 9)$ 是两项相加，不能用实数范围内的公式分解。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ $(x^{2} - 9)$ 是平方差形式 $x^{2} - 3^{2}$ ，可以继续分解。 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$ ▮▮▮▮ⓓ 最终结果： $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ 。

③ 将 $a^{2} - b^{2} - 2 b - 1$ 因式分解。
▮▮▮▮ⓑ 没有公因式可提。
▮▮▮▮ⓒ 尝试分组：将后三项分为一组，并提取负号。 $a^{2} - (b^{2} + 2 b + 1)$ ▮▮▮▮ⓒ 观察括号内的多项式 $b^{2} + 2 b + 1$ 。它是一个完全平方三项式 $(b + 1)^{2}$ 。 $a^{2} - (b + 1)^{2}$ ▮▮▮▮ⓓ 现在这是一个平方差形式，其中一个项是 $a$ ，另一个项是 $(b + 1)$ 。
运用平方差公式： $(a + (b + 1)) (a - (b + 1)) = (a + b + 1) (a - b - 1)$ ▮▮▮▮ⓔ 最终结果： $(a + b + 1) (a - b - 1)$ 。

综合运用各种方法是解决复杂因式分解问题的关键。在进行因式分解时，要保持耐心，多尝试不同的方法和分组方式，并时刻记住要分解到不能再分解为止。

本章我们学习了因式分解的基本概念和几种主要方法：提取公因式、公式法（平方差公式和完全平方公式）、十字相乘法以及分组分解法。掌握这些方法并能灵活运用是学好初等代数的关键一步。在下一章中，我们将利用因式分解的知识来学习有理表达式的化简和运算。

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5. chapter 5：有理表达式 (Rational Expressions)

欢迎来到初等代数的第五章！📚 在前面的章节中，我们学习了多项式的概念、运算以及因式分解。这些知识为我们理解和处理更复杂的代数表达式奠定了坚实的基础。本章，我们将把目光投向一种新的代数形式——有理表达式。

有理表达式，顾名思义，与“有理数”有着紧密的联系。回想一下，有理数可以表示为两个整数的比值（分母不为零）。类似地，有理表达式可以理解为两个多项式的比值。它们在代数运算中扮演着重要角色，尤其是在解决涉及比例、分数形式的方程和问题时。

本章将系统地介绍有理表达式的定义、性质、基本运算（乘、除、加、减）以及如何化简复杂有理表达式。最后，我们将学习如何求解含有有理表达式的方程，并特别关注可能出现的“增根”问题。掌握有理表达式的处理方法，将极大地提升你解决代数问题的能力。让我们一起深入探索有理表达式的奇妙世界吧！✨

5.1 有理表达式的定义与性质 (Definition and Properties of Rational Expressions)

5.1.1 定义域 (Domain)

我们知道，有理数 $\frac{a}{b}$ 要求分母 $b \neq 0$ 。同样地，有理表达式 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ 是由两个多项式 $P (x)$ 和 $Q (x)$ 的比值构成，其中 $Q (x)$ 是分母。为了使这个表达式有意义，分母 $Q (x)$ 必须不等于零。

有理表达式的定义域 (Domain) 就是使表达式有意义的所有变量 (Variables) 的取值集合。对于有理表达式 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ ，其定义域是所有实数 (Real Numbers) 中，使得 $Q (x) \neq 0$ 的 $x$ 的集合。

要确定有理表达式的定义域，我们需要找到使分母为零的 $x$ 的值，然后将这些值从实数集合中排除。

例题 5.1.1.1 求下列有理表达式的定义域：
① $\frac{x + 1}{x - 2}$ ② $\frac{y^{2}}{y^{2} - 9}$ ③ $\frac{a - 5}{a^{2} + 1}$ 解析：
① 对于表达式 $\frac{x + 1}{x - 2}$ ，分母是 $x - 2$ 。令分母为零： $x - 2 = 0$ ，解得 $x = 2$ 。因此，定义域是所有不等于 2 的实数。用集合表示为 ${x ∣ x \in R, x \neq 2}$ 。
② 对于表达式 $\frac{y^{2}}{y^{2} - 9}$ ，分母是 $y^{2} - 9$ 。令分母为零： $y^{2} - 9 = 0$ ，即 $(y - 3) (y + 3) = 0$ 。解得 $y = 3$ 或 $y = - 3$ 。因此，定义域是所有不等于 3 和 -3 的实数。用集合表示为 ${y ∣ y \in R, y \neq 3 and y \neq - 3}$ 。
③ 对于表达式 $\frac{a - 5}{a^{2} + 1}$ ，分母是 $a^{2} + 1$ 。令分母为零： $a^{2} + 1 = 0$ 。在实数范围内， $a^{2} \geq 0$ ，所以 $a^{2} + 1 \geq 1$ 。分母 $a^{2} + 1$ 恒不为零。因此，定义域是所有实数。用集合表示为 ${a ∣ a \in R}$ 。

理解定义域非常重要，尤其是在求解有理方程时，我们需要检查解是否在定义域内。

5.1.2 约分 (Simplifying)

有理表达式的约分 (Simplifying) 类似于分数的约分，其目的是将有理表达式化为最简形式。一个有理表达式被称为最简形式，如果其分子和分母除了常数 (Constants) 外没有其他公因式 (Common Factors)。

约分的关键步骤是：
① 将分子和分母分别进行因式分解 (Factoring)。
② 找出分子和分母的公因式。
③ 消去分子和分母中的公因式。

注意： 约分时消去的公因式必须不为零。在讨论有理表达式本身时，我们通常假设变量取值在定义域内，因此消去的公因式不为零。

例题 5.1.2.1 约分下列有理表达式：
① $\frac{6 x^{2} y}{9 x y^{3}}$ ② $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ ③ $\frac{a - b}{b - a}$ 解析：
① $\frac{6 x^{2} y}{9 x y^{3}}$ 分子： $6 x^{2} y = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y$ 分母： $9 x y^{3} = 3 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$ 公因式是 $3 x y$ 。
约分： $\frac{6 x^{2} y}{9 x y^{3}} = \frac{(3 x y) (2 x)}{(3 x y) (3 y^{2})} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$ (其中 $x \neq 0, y \neq 0$ )

② $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ 分子： $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ (平方差公式 - Difference of Squares)
分母： $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ (十字相乘法 - "Cross-Multiplication" Method)
公因式是 $x - 2$ 。
约分： $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{x + 2}{x - 3}$ (其中 $x \neq 2, x \neq 3$ )

③ $\frac{a - b}{b - a}$ 注意到 $b - a = - (a - b)$ 。
约分： $\frac{a - b}{b - a} = \frac{a - b}{- (a - b)} = - 1$ (其中 $a \neq b$ )

约分是进行有理表达式加减乘除运算的基础步骤。

5.2 有理表达式的乘法与除法 (Multiplication and Division of Rational Expressions)

有理表达式的乘法和除法规则与分数的乘法和除法规则类似。

乘法规则： 两个有理表达式相乘，分子与分子相乘作为积的分子，分母与分母相乘作为积的分母。 $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ (其中 $B \neq 0, D \neq 0$ )

除法规则： 一个有理表达式除以另一个有理表达式，等于第一个有理表达式乘以第二个有理表达式的倒数 (Reciprocal)。 $\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$ (其中 $B \neq 0, D \neq 0, C \neq 0$ )

在进行乘除运算时，通常先将分子和分母因式分解，然后在相乘或相除后进行约分，以简化结果。

例题 5.2.1 计算并化简：
① $\frac{2 x}{3 y} \cdot \frac{9 y^{2}}{4 x^{2}}$ ② $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x - 6} \cdot \frac{x - 3}{x + 1}$ ③ $\frac{a^{2} b}{c} \div \frac{a b^{2}}{c^{2}}$ ④ $\frac{y^{2} - 2 y}{y^{2} - 4} \div \frac{y^{2} - 4 y + 4}{y^{2} + y - 2}$ 解析：
① $\frac{2 x}{3 y} \cdot \frac{9 y^{2}}{4 x^{2}} = \frac{2 x \cdot 9 y^{2}}{3 y \cdot 4 x^{2}} = \frac{18 x y^{2}}{12 x^{2} y}$ 约分： $\frac{18 x y^{2}}{12 x^{2} y} = \frac{6 x y (3 y)}{6 x y (2 x)} = \frac{3 y}{2 x}$ (其中 $x \neq 0, y \neq 0$ )

② $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x - 6} \cdot \frac{x - 3}{x + 1}$ 先因式分解： $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ 原式 $= \frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x + 1}$ 相乘： $= \frac{(x - 1) (x + 1) (x - 3)}{(x - 3) (x + 2) (x + 1)}$ 约分： $= \frac{x - 1}{x + 2}$ (其中 $x \neq 3, x \neq - 2, x \neq - 1$ )

③ $\frac{a^{2} b}{c} \div \frac{a b^{2}}{c^{2}}$ 转化为乘法： $= \frac{a^{2} b}{c} \cdot \frac{c^{2}}{a b^{2}}$ 相乘： $= \frac{a^{2} b c^{2}}{c a b^{2}}$ 约分： $= \frac{a b c (a c)}{a b c (b)} = \frac{a c}{b}$ (其中 $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ )

④ $\frac{y^{2} - 2 y}{y^{2} - 4} \div \frac{y^{2} - 4 y + 4}{y^{2} + y - 2}$ 先因式分解： $y^{2} - 2 y = y (y - 2)$ $y^{2} - 4 = (y - 2) (y + 2)$ $y^{2} - 4 y + 4 = (y - 2)^{2}$ $y^{2} + y - 2 = (y + 2) (y - 1)$ 原式 $= \frac{y (y - 2)}{(y - 2) (y + 2)} \div \frac{(y - 2)^{2}}{(y + 2) (y - 1)}$ 转化为乘法： $= \frac{y (y - 2)}{(y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{(y + 2) (y - 1)}{(y - 2)^{2}}$ 约分（注意定义域限制）： $= \frac{y}{y + 2} \cdot \frac{(y + 2) (y - 1)}{(y - 2)^{2}}$ $= \frac{y (y + 2) (y - 1)}{(y + 2) (y - 2)^{2}}$ $= \frac{y (y - 1)}{(y - 2)^{2}}$ (其中 $y \neq 2, y \neq - 2, y \neq 1$ )

5.3 有理表达式的加法与减法 (Addition and Subtraction of Rational Expressions)

有理表达式的加法和减法规则与分数的加法和减法规则类似，需要先找到公分母 (Common Denominator)。

5.3.1 同分母有理表达式 (Rational Expressions with Common Denominators)

如果两个有理表达式具有相同的分母，那么它们的加法或减法是将分子相加或相减，分母保持不变。 $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}$ (其中 $C \neq 0$ ) $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$ (其中 $C \neq 0$ )

运算完成后，通常需要对结果进行约分。

例题 5.3.1.1 计算并化简：
① $\frac{3 x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$ ② $\frac{y^{2}}{y - 3} - \frac{9}{y - 3}$ 解析：
① $\frac{3 x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{3 x + 2}{x + 1}$ (其中 $x \neq - 1$ )
分子 $3 x + 2$ 和分母 $x + 1$ 没有公因式，所以已经是最简形式。

② $\frac{y^{2}}{y - 3} - \frac{9}{y - 3} = \frac{y^{2} - 9}{y - 3}$ 分子 $y^{2} - 9$ 可以因式分解为 $(y - 3) (y + 3)$ 。
原式 $= \frac{(y - 3) (y + 3)}{y - 3}$ 约分： $= y + 3$ (其中 $y \neq 3$ )

5.3.2 异分母有理表达式 (Rational Expressions with Different Denominators) (最小公倍数 - Least Common Multiple - LCM)

如果两个有理表达式具有不同的分母，我们需要先通分 (Finding a Common Denominator)，将它们转化为同分母的有理表达式，然后再进行加减运算。

通分的关键是找到所有分母的最小公倍数 (Least Common Multiple - LCM)，作为它们的公分母。

寻找多项式 LCM 的步骤：
① 将每个多项式因式分解。
② 找出所有不同因式的最高次幂的乘积。

例题 5.3.2.1 求下列多项式的 LCM：
① $6 x^{2} y$ 和 $9 x y^{3}$ ② $x^{2} - 4$ 和 $x^{2} - 5 x + 6$ 解析：
① $6 x^{2} y = 2 \cdot 3 \cdot x^{2} \cdot y$ $9 x y^{3} = 3^{2} \cdot x \cdot y^{3}$ 不同因式有 2, 3, x, y。
最高次幂分别是 $2^{1}, 3^{2}, x^{2}, y^{3}$ 。
LCM $= 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{3} = 2 \cdot 9 \cdot x^{2} \cdot y^{3} = 18 x^{2} y^{3}$ 。

② $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ 不同因式有 $(x - 2), (x + 2), (x - 3)$ 。
最高次幂都是 1。
LCM $= (x - 2) (x + 2) (x - 3)$ 。

找到 LCM 后，将每个有理表达式的分母和分子同乘以一个适当的多项式，使分母变为 LCM。

例题 5.3.2.2 计算并化简：
① $\frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 y}$ ② $\frac{x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2}$ ③ $\frac{a + 1}{a^{2} - a} + \frac{a - 1}{a^{2} - 1}$ 解析：
① 分母是 $2 x$ 和 $3 y$ 。LCM 是 $6 x y$ 。 $\frac{1}{2 x} = \frac{1 \cdot (3 y)}{2 x \cdot (3 y)} = \frac{3 y}{6 x y}$ $\frac{1}{3 y} = \frac{1 \cdot (2 x)}{3 y \cdot (2 x)} = \frac{2 x}{6 x y}$ 原式 $= \frac{3 y}{6 x y} + \frac{2 x}{6 x y} = \frac{3 y + 2 x}{6 x y}$ (其中 $x \neq 0, y \neq 0$ )

② 分母是 $x^{2} - 4$ 和 $x - 2$ 。 $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ $x - 2$ LCM 是 $(x - 2) (x + 2)$ 。 $\frac{x}{x^{2} - 4}$ 的分母已经是 LCM。 $\frac{1}{x - 2} = \frac{1 \cdot (x + 2)}{(x - 2) \cdot (x + 2)} = \frac{x + 2}{(x - 2) (x + 2)}$ 原式 $= \frac{x}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{x + 2}{(x - 2) (x + 2)}$ $= \frac{x - (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{x - x - 2}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{- 2}{(x - 2) (x + 2)}$ $= \frac{- 2}{x^{2} - 4}$ (其中 $x \neq 2, x \neq - 2$ )

③ 分母是 $a^{2} - a$ 和 $a^{2} - 1$ 。 $a^{2} - a = a (a - 1)$ $a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)$ LCM 是 $a (a - 1) (a + 1)$ 。 $\frac{a + 1}{a^{2} - a} = \frac{a + 1}{a (a - 1)} = \frac{(a + 1) \cdot (a + 1)}{a (a - 1) \cdot (a + 1)} = \frac{(a + 1)^{2}}{a (a - 1) (a + 1)}$ $\frac{a - 1}{a^{2} - 1} = \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 1)} = \frac{(a - 1) \cdot a}{(a - 1) (a + 1) \cdot a} = \frac{a (a - 1)}{a (a - 1) (a + 1)}$ 原式 $= \frac{(a + 1)^{2}}{a (a - 1) (a + 1)} + \frac{a (a - 1)}{a (a - 1) (a + 1)}$ $= \frac{(a + 1)^{2} + a (a - 1)}{a (a - 1) (a + 1)}$ 展开分子： $(a + 1)^{2} + a (a - 1) = (a^{2} + 2 a + 1) + (a^{2} - a) = 2 a^{2} + a + 1$ 原式 $= \frac{2 a^{2} + a + 1}{a (a - 1) (a + 1)}$ (其中 $a \neq 0, a \neq 1, a \neq - 1$ )
分子 $2 a^{2} + a + 1$ 的判别式 $Δ = 1^{2} - 4 (2) (1) = 1 - 8 = - 7 < 0$ ，所以分子在实数范围内不能因式分解。因此，结果是最简形式。

5.4 复杂有理表达式的化简 (Simplifying Complex Rational Expressions)

复杂有理表达式 (Complex Rational Expressions) 是指分子或分母本身含有有理表达式的表达式。例如： $\frac{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}}{\frac{e}{f} - \frac{g}{h}}$ 化简复杂有理表达式有两种主要方法：

方法一：先化简分子和分母，再进行除法。
① 分别将分子和分母中的有理表达式进行加减运算，化简为单个有理表达式。
② 将原复杂有理表达式视为分子除以分母，进行有理表达式的除法运算。

方法二：乘以分子和分母中所有小分母的 LCM。
① 找到分子和分母中所有“小分母”的最小公倍数 (LCM)。
② 将原复杂有理表达式的分子和分母同时乘以这个 LCM。
③ 化简结果。

通常情况下，方法二更快捷，因为它能一次性消除所有小分母。

例题 5.4.1 化简下列复杂有理表达式：
① $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ ② $\frac{1 - \frac{4}{a^{2}}}{1 + \frac{2}{a}}$ 解析：
① $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ 方法一：
分子： $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{x y} + \frac{x}{x y} = \frac{x + y}{x y}$ 分母： $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{x y} - \frac{x}{x y} = \frac{y - x}{x y}$ 原式 $= \frac{\frac{x + y}{x y}}{\frac{y - x}{x y}} = \frac{x + y}{x y} \div \frac{y - x}{x y} = \frac{x + y}{x y} \cdot \frac{x y}{y - x}$ 约分： $= \frac{x + y}{y - x}$ (其中 $x \neq 0, y \neq 0, y \neq x$ )

方法二：
小分母是 $x$ 和 $y$ 。LCM 是 $x y$ 。
将分子和分母同乘以 $x y$ ： $\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot x y}{(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) \cdot x y} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x y + \frac{1}{y} \cdot x y}{\frac{1}{x} \cdot x y - \frac{1}{y} \cdot x y} = \frac{y + x}{y - x}$ 结果与方法一相同。

② $\frac{1 - \frac{4}{a^{2}}}{1 + \frac{2}{a}}$ 小分母是 $a^{2}$ 和 $a$ 。LCM 是 $a^{2}$ 。
将分子和分母同乘以 $a^{2}$ ： $\frac{(1 - \frac{4}{a^{2}}) \cdot a^{2}}{(1 + \frac{2}{a}) \cdot a^{2}} = \frac{1 \cdot a^{2} - \frac{4}{a^{2}} \cdot a^{2}}{1 \cdot a^{2} + \frac{2}{a} \cdot a^{2}} = \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a}$ 对结果进行约分：
分子： $a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2)$ 分母： $a^{2} + 2 a = a (a + 2)$ 原式 $= \frac{(a - 2) (a + 2)}{a (a + 2)} = \frac{a - 2}{a}$ (其中 $a \neq 0, a \neq - 2$ )

5.5 求解有理方程 (Solving Rational Equations)

有理方程 (Rational Equations) 是指含有有理表达式的方程。例如： $\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2 x}$ 求解有理方程的基本思想是消除分母，将方程转化为我们熟悉的线性方程或二次方程等。

5.5.1 求解步骤 (Solving Steps)

求解有理方程的典型步骤如下：
① 确定方程中所有有理表达式的定义域。这是非常关键的一步！
② 找到方程中所有分母的最小公倍数 (LCM)。
③ 方程两边同时乘以这个 LCM，以消除分母。
④ 解所得的新的方程（通常是线性方程或二次方程）。
⑤ 检验 (Checking) 所得的解。将解代回原方程的定义域，看是否使原方程的分母为零。如果使分母为零，则这个解是增根 (Extraneous Solution)，必须舍去。只有在定义域内的解才是原方程的解。

例题 5.5.1.1 求解方程： $\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2 x}$ 解析：
① 定义域：分母有 $x$ 和 $2 x$ 。要求 $x \neq 0$ 且 $2 x \neq 0$ ，所以定义域是 $x \neq 0$ 。
② 分母是 $x, 2, 2 x$ 。LCM 是 $2 x$ 。
③ 方程两边同乘以 $2 x$ ： $2 x \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) = 2 x \cdot (\frac{3}{2 x})$ $2 x \cdot \frac{1}{x} + 2 x \cdot \frac{1}{2} = 3$ $2 + x = 3$ ④ 解新的方程： $x = 3 - 2$ $x = 1$ ⑤ 检验：解是 $x = 1$ 。检查定义域， $x \neq 0$ 。因为 $1 \neq 0$ ，所以 $x = 1$ 在定义域内。
将 $x = 1$ 代回原方程：
左边 $= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 右边 $= \frac{3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$ 左边等于右边，所以 $x = 1$ 是原方程的解。

例题 5.5.1.2 求解方程： $\frac{y}{y - 2} = \frac{2}{y - 2} + 1$ 解析：
① 定义域：分母是 $y - 2$ 。要求 $y - 2 \neq 0$ ，所以定义域是 $y \neq 2$ 。
② 分母是 $y - 2$ 。LCM 是 $y - 2$ 。
③ 方程两边同乘以 $y - 2$ ： $(y - 2) \cdot \frac{y}{y - 2} = (y - 2) \cdot (\frac{2}{y - 2} + 1)$ $y = (y - 2) \cdot \frac{2}{y - 2} + (y - 2) \cdot 1$ $y = 2 + y - 2$ $y = y$ ④ 解新的方程： $y = y$ 是一个恒等式 (Identity)。这通常意味着原方程有无穷多解，或者在定义域内恒成立。
⑤ 检验：我们得到 $y = y$ ，这说明任何使原方程有意义的 $y$ 值都是解。然而，我们必须考虑定义域 $y \neq 2$ 。
因此，原方程的解是所有不等于 2 的实数。

5.5.2 增根 (Extraneous Solutions) 的检验与排除 (Checking and Excluding)

增根 (Extraneous Solutions) 是在求解有理方程过程中，通过同乘以含有未知数的代数式消去分母后，得到的使原方程分母为零的解。这些解不是原方程的解，必须在检验步骤中排除。

产生增根的原因是，当我们将方程两边同乘以一个可能为零的代数式时，可能会引入不满足原方程的解。例如，方程 $A = B$ 两边同乘以 $C$ ，得到 $A C = B C$ 。如果 $C = 0$ ，则 $A C = B C$ 恒成立（ $0 = 0$ ），但 $A = B$ 可能不成立。在有理方程中，我们乘以的分母的 LCM 可能在某些 $x$ 值下为零，而这些 $x$ 值恰好是原方程的禁区（定义域之外）。

例题 5.5.2.1 求解方程： $\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3} + 2$ 解析：
① 定义域：分母是 $x - 3$ 。要求 $x - 3 \neq 0$ ，所以定义域是 $x \neq 3$ 。
② 分母是 $x - 3$ 。LCM 是 $x - 3$ 。
③ 方程两边同乘以 $x - 3$ ： $(x - 3) \cdot \frac{x}{x - 3} = (x - 3) \cdot (\frac{3}{x - 3} + 2)$ $x = (x - 3) \cdot \frac{3}{x - 3} + (x - 3) \cdot 2$ $x = 3 + 2 (x - 3)$ $x = 3 + 2 x - 6$ $x = 2 x - 3$ ④ 解新的方程： $x - 2 x = - 3$ $- x = - 3$ $x = 3$ ⑤ 检验：解是 $x = 3$ 。检查定义域，要求 $x \neq 3$ 。我们得到的解 $x = 3$ 不在定义域内。
将 $x = 3$ 代回原方程，分母 $x - 3$ 将为零，原方程无意义。
因此， $x = 3$ 是一个增根，必须舍去。原方程没有解。

例题 5.5.2.2 求解方程： $\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$ 解析：
① 定义域：分母有 $x + 1$ , $x - 1$ , $x^{2} - 1$ 。 $x + 1 \neq 0 ⟹ x \neq - 1$ $x - 1 \neq 0 ⟹ x \neq 1$ $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1) \neq 0 ⟹ x \neq 1$ 且 $x \neq - 1$ 所以定义域是 $x \neq 1$ 且 $x \neq - 1$ 。
② 分母是 $x + 1$ , $x - 1$ , $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ 。LCM 是 $(x - 1) (x + 1)$ 。
③ 方程两边同乘以 $(x - 1) (x + 1)$ ： $(x - 1) (x + 1) \cdot (\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}) = (x - 1) (x + 1) \cdot \frac{4}{x^{2} - 1}$ $(x - 1) (x + 1) \cdot \frac{2}{x + 1} + (x - 1) (x + 1) \cdot \frac{1}{x - 1} = (x - 1) (x + 1) \cdot \frac{4}{(x - 1) (x + 1)}$ $2 (x - 1) + 1 (x + 1) = 4$ $2 x - 2 + x + 1 = 4$ $3 x - 1 = 4$ ④ 解新的方程： $3 x = 5$ $x = \frac{5}{3}$ ⑤ 检验：解是 $x = \frac{5}{3}$ 。检查定义域，要求 $x \neq 1$ 且 $x \neq - 1$ 。因为 $\frac{5}{3} \neq 1$ 且 $\frac{5}{3} \neq - 1$ ，所以 $x = \frac{5}{3}$ 在定义域内。
将 $x = \frac{5}{3}$ 代回原方程进行验证（可选，但推荐）：
左边 $= \frac{2}{\frac{5}{3} + 1} + \frac{1}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{2}{\frac{8}{3}} + \frac{1}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{8} + 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{8} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{9}{4}$ 右边 $= \frac{4}{(\frac{5}{3})^{2} - 1} = \frac{4}{\frac{25}{9} - 1} = \frac{4}{\frac{25 - 9}{9}} = \frac{4}{\frac{16}{9}} = 4 \cdot \frac{9}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ 左边等于右边，所以 $x = \frac{5}{3}$ 是原方程的解。

求解有理方程时，务必记住第一步和最后一步：确定定义域和检验解。这是避免引入增根的关键！🔑

本章我们深入学习了有理表达式的各种操作，从基本的定义和约分，到复杂的加减乘除以及方程求解。这些技能在解决实际问题和进一步学习高等数学中都至关重要。请务必通过练习巩固这些知识！💪

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6. chapter 6：根式表达式 (Radical Expressions)

亲爱的同学们，欢迎来到初等代数 (Elementary Algebra) 的第六章：根式表达式 (Radical Expressions)。在前面的章节中，我们学习了实数系统 (The Real Number System)、代数表达式 (Algebraic Expressions) 以及线性方程 (Linear Equations) 和不等式 (Inequalities) 的求解。今天，我们将探索一种新的代数表达式形式——根式表达式，它与我们之前学习的指数 (Exponents) 运算紧密相关，是解决许多数学问题和实际应用的关键工具。我们将从根式的基本概念出发，逐步深入到根式的运算、化简以及含有根式的方程求解。请大家准备好，让我们一起揭开根式的神秘面纱！

6.1 根式的概念与性质 (Concepts and Properties of Radicals)

根式是指数运算的逆运算。就像减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算一样，求根是乘方的逆运算。理解根式的概念，首先要回顾乘方。例如， $3^{2} = 9$ ， $(- 3)^{2} = 9$ ， $2^{3} = 8$ 。现在，如果我们想知道“哪个数的平方是 9？”，或者“哪个数的立方是 8？”，这就是求根的问题。

6.1.1 平方根 (Square Roots)、立方根 (Cube Roots) 与 n 次方根 (n-th Roots)

① 平方根 (Square Roots)：
如果一个数 $x$ 的平方等于 $a$ ，即 $x^{2} = a$ ，那么 $x$ 就称为 $a$ 的平方根。
⚝ 正数 $a$ 有两个平方根，它们互为相反数。例如，9 的平方根是 3 和 -3。
⚝ 0 的平方根是 0。
⚝ 负数没有实数平方根。
我们使用符号 $\sqrt{}$ 来表示非负平方根，称为算术平方根 (Principal Square Root)。例如， $\sqrt{9} = 3$ 。负平方根表示为 $- \sqrt{a}$ 。所以，9 的平方根可以表示为 $\pm \sqrt{9} = \pm 3$ 。
对于任意实数 $a$ ， $\sqrt{a^{2}} = | a |$ 。例如， $\sqrt{(- 3)^{2}} = \sqrt{9} = 3 = | - 3 |$ 。

② 立方根 (Cube Roots)：
如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$ ，即 $x^{3} = a$ ，那么 $x$ 就称为 $a$ 的立方根。
⚝ 任何实数 $a$ 都有唯一的实数立方根。
⚝ 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。
我们使用符号 $\sqrt[3]{}$ 来表示立方根。例如， $\sqrt[3]{8} = 2$ (因为 $2^{3} = 8$ )， $\sqrt[3]{- 27} = - 3$ (因为 $(- 3)^{3} = - 27$ )。

③ n 次方根 (n-th Roots)：
更一般地，如果一个数 $x$ 的 n 次方等于 $a$ ，即 $x^{n} = a$ ，那么 $x$ 就称为 $a$ 的 n 次方根。这里的 $n$ 是大于 1 的正整数，称为根指数 (Index)， $a$ 称为被开方数 (Radicand)。符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示 $a$ 的 n 次方根。
⚝ 当 $n$ 是偶数时：
▮▮▮▮ⓐ 如果 $a > 0$ ，则 $a$ 有两个互为相反数的实数 n 次方根， $\sqrt[n]{a}$ 表示非负的那个， $- \sqrt[n]{a}$ 表示负的那个。例如， $\sqrt[4]{16} = 2$ 。
▮▮▮▮ⓑ 如果 $a = 0$ ，则 $a$ 有唯一的实数 n 次方根 0，即 $\sqrt[n]{0} = 0$ 。
▮▮▮▮ⓒ 如果 $a < 0$ ，则 $a$ 没有实数 n 次方根。
⚝ 当 $n$ 是奇数时：
▮▮▮▮ⓐ 任何实数 $a$ 都有唯一的实数 n 次方根，记为 $\sqrt[n]{a}$ 。例如， $\sqrt[5]{32} = 2$ ， $\sqrt[5]{- 32} = - 2$ 。

总结：根式 $\sqrt[n]{a}$ 中，如果 $n$ 是偶数，要求被开方数 $a \geq 0$ 。如果 $n$ 是奇数，被开方数 $a$ 可以是任意实数。

根式与分数指数 (Fractional Exponents) 的关系：
对于 $a \geq 0$ (当 $n$ 是偶数时) 或任意实数 $a$ (当 $n$ 是奇数时)，且 $m, n$ 都是正整数，我们有： $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ 特别地， $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ 。这种表示方法在进行根式运算时非常有用。

6.1.2 根式的化简 (Simplifying Radicals)

化简根式是指将被开方数中的完全 n 次方因子移到根号外面，或者将被开方数中的分母有理化 (Rationalizing the Denominator)，使根式形式更简洁。

① 将被开方数中的完全 n 次方因子移到根号外面：
利用性质 $\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}$ (其中 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[n]{b}$ 都有意义)。
例如：
⚝ 化简 $\sqrt{18}$ ： $18 = 9 \times 2 = 3^{2} \times 2$ 。 $\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = \sqrt{3^{2}} \times \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ⚝ 化简 $\sqrt[3]{54}$ ： $54 = 27 \times 2 = 3^{3} \times 2$ 。 $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^{3} \times 2} = \sqrt[3]{3^{3}} \times \sqrt[3]{2} = 3 \sqrt[3]{2}$ ⚝ 化简 $\sqrt{x^{3} y^{4}}$ (假设 $x \geq 0, y \geq 0$ )： $\sqrt{x^{3} y^{4}} = \sqrt{x^{2} \cdot x \cdot (y^{2})^{2}} = \sqrt{x^{2}} \sqrt{x} \sqrt{(y^{2})^{2}} = x \sqrt{x} y^{2} = y^{2} x \sqrt{x}$ 如果变量没有非负限制，需要使用绝对值。例如， $\sqrt{x^{2}} = | x |$ 。

② 将被开方数中的分母移到根号外面：
利用性质 $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (其中 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[n]{b}$ 都有意义，且 $b \neq 0$ )。
例如：
⚝ 化简 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ ： $\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⚝ 化简 $\sqrt{\frac{5}{x^{2}}}$ (假设 $x \neq 0$ )： $\sqrt{\frac{5}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{\sqrt{5}}{| x |}$ ③ 将被开方数中的分母有理化 (Rationalizing the Denominator)：
这是指通过乘以一个适当的表达式，消除分母中的根号。这通常是为了方便计算或符合书写习惯。我们将在 6.3.1 小节详细讨论。

根式的基本性质：
⚝ $(\sqrt[n]{a})^{n} = a$ (如果 $\sqrt[n]{a}$ 有意义)
⚝ $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ (如果 $n$ 是奇数)
⚝ $\sqrt[n]{a^{n}} = | a |$ (如果 $n$ 是偶数)
⚝ $\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}$ (如果 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[n]{b}$ 都有意义)
⚝ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (如果 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[n]{b}$ 都有意义，且 $b \neq 0$ )
⚝ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$ (如果 $\sqrt[m n]{a}$ 有意义)

掌握这些性质是进行根式运算和化简的基础。

6.2 根式的加法与减法 (Addition and Subtraction of Radicals)

根式的加法和减法类似于多项式 (Polynomials) 的同类项 (Like Terms) 合并。只有当根式是同类根式 (Like Radicals) 时，才能进行加法或减法运算。

什么是同类根式？
⚝ 它们具有相同的根指数 (Index)。
⚝ 它们具有相同的被开方数 (Radicand)。

例如， $3 \sqrt{2}$ 和 $5 \sqrt{2}$ 是同类根式，因为它们的根指数都是 2 (平方根)，被开方数都是 2。而 $3 \sqrt{2}$ 和 $5 \sqrt{3}$ 不是同类根式， $3 \sqrt{2}$ 和 $5 \sqrt[3]{2}$ 也不是同类根式。

进行根式加减法的步骤：
① 先化简每个根式，将被开方数中的完全 n 次方因子移到根号外面。
② 识别同类根式。
③ 将同类根式的系数 (Coefficients) 相加或相减，根式部分不变。

例子：
⚝ 计算 $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$ ：
这两个是同类根式，直接合并系数： $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} = (2 + 4) \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ ⚝ 计算 $\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{2}$ ：
首先化简每个根式： $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ 现在表达式变为 $2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{2}$ 。它们都是同类根式 $\sqrt{2}$ 。
合并系数： $2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = (2 + 3 - 1) \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ ⚝ 计算 $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54}$ ：
化简根式： $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{2} = 2 \sqrt[3]{2}$ $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2} = 3 \sqrt[3]{2}$ 现在表达式变为 $2 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{2}$ 。它们是同类根式 $\sqrt[3]{2}$ 。
合并系数： $2 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{2} = (2 + 3) \sqrt[3]{2} = 5 \sqrt[3]{2}$ 如果化简后没有同类根式，则无法进一步合并，表达式就是最简形式。例如， $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 无法合并。

6.3 根式的乘法与除法 (Multiplication and Division of Radicals)

根式的乘法和除法相对直接，主要依赖于根式的基本性质。

① 根式的乘法：
⚝ 同指数根式相乘：
利用性质 $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$ (如果 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[n]{b}$ 都有意义)。
例如： $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$ $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4 \times 2} = \sqrt[3]{8} = 2$ $(2 \sqrt{3}) \times (4 \sqrt{5}) = (2 \times 4) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{5}) = 8 \sqrt{3 \times 5} = 8 \sqrt{15}$ ⚝ 不同指数根式相乘：
需要先将根式转化为分数指数形式，找到共同分母，再转化回根式形式。
例如：
计算 $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3}$ ： $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ $\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$ 找到指数的共同分母 (2和3的最小公倍数是6)： $2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{6}} = \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt[6]{8}$ $3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{3^{2}} = \sqrt[6]{9}$ 现在它们是同指数根式了： $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{8} \times \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{8 \times 9} = \sqrt[6]{72}$ ② 根式的除法：
⚝ 同指数根式相除：
利用性质 $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ (如果 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[n]{b}$ 都有意义，且 $b \neq 0$ )。
例如： $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$ $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$ $\frac{6 \sqrt{10}}{2 \sqrt{5}} = \frac{6}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 3 \sqrt{\frac{10}{5}} = 3 \sqrt{2}$ ⚝ 不同指数根式相除：
同样需要先转化为分数指数形式，找到共同分母，再转化回根式形式。
例如：
计算 $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt[4]{4}}$ ： $\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^{3})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ $\sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}$ $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt[4]{4}} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{2}} = 2^{1} = 2$ 或者转化为同指数根式： $\sqrt{8} = \sqrt[4]{8^{2}} = \sqrt[4]{64}$ $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt[4]{4}} = \frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}} = \sqrt[4]{\frac{64}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$ #### 6.3.1 有理化分母 (Rationalizing the Denominator)

有理化分母是指通过乘以一个适当的表达式，消除分母中的根号，使分母变成有理数 (Rational Number)。这通常是为了简化表达式或方便后续计算。

① 分母是单个根式 $\sqrt[n]{a^{m}}$ 的情况：
为了消除分母 $\sqrt[n]{a^{m}}$ 中的根号，我们需要将分母变成 $\sqrt[n]{a^{n}}$ 的形式。## 6. chapter 6：根式表达式 (Radical Expressions)

6.1 根式的概念与性质 (Concepts and Properties of Radicals)

根式是指数运算的逆运算。就像减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算一样，求根是乘方的逆运算。理解根式的概念，首先要回顾乘方。例如， $3^{2} = 9$ ， $(- 3)^{2} = 9$ ， $2^{3} = 8$ 。现在，如果我们想知道“哪个数的平方是 9？”，或者“哪个数的立方是 8？”，这就是求根的问题。🤔

6.1.1 平方根 (Square Roots)、立方根 (Cube Roots) 与 n 次方根 (n-th Roots)

总结：根式 $\sqrt[n]{a}$ 中，如果 $n$ 是偶数，要求被开方数 $a \geq 0$ 。如果 $n$ 是奇数，被开方数 $a$ 可以是任意实数。

6.1.2 根式的化简 (Simplifying Radicals)

化简根式是指将被开方数中的完全 n 次方因子移到根号外面，或者将被开方数中的分母有理化 (Rationalizing the Denominator)，使根式形式更简洁。化简的目的是使根号内的被开方数不含有能被根指数整除的幂，并且分母不含根号。

① 将被开方数中的完全 n 次方因子移到根号外面：
利用性质 $\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}$ (其中 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[n]{b}$ 都有意义)。
例如：
⚝ 化简 $\sqrt{18}$ ： $18 = 9 \times 2 = 3^{2} \times 2$ 。 $\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = \sqrt{3^{2}} \times \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ⚝ 化简 $\sqrt[3]{54}$ ： $54 = 27 \times 2 = 3^{3} \times 2$ 。 $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^{3} \times 2} = \sqrt[3]{3^{3}} \times \sqrt[3]{2} = 3 \sqrt[3]{2}$ ⚝ 化简 $\sqrt{x^{3} y^{4}}$ (假设 $x \geq 0, y \geq 0$ )： $\sqrt{x^{3} y^{4}} = \sqrt{x^{2} \cdot x \cdot (y^{2})^{2}} = \sqrt{x^{2}} \sqrt{x} \sqrt{(y^{2})^{2}} = x \sqrt{x} y^{2} = y^{2} x \sqrt{x}$ 如果变量没有非负限制，且根指数是偶数，需要使用绝对值。例如， $\sqrt{x^{2}} = | x |$ 。

掌握这些性质是进行根式运算和化简的基础。多加练习，才能熟练运用！💪

6.2 根式的加法与减法 (Addition and Subtraction of Radicals)

根式的加法和减法类似于多项式 (Polynomials) 的同类项 (Like Terms) 合并。只有当根式是同类根式 (Like Radicals) 时，才能进行加法或减法运算。

什么是同类根式？
⚝ 它们具有相同的根指数 (Index)。
⚝ 它们具有相同的被开方数 (Radicand)。

6.3 根式的乘法与除法 (Multiplication and Division of Radicals)

根式的乘法和除法相对直接，主要依赖于根式的基本性质。

有理化分母是指通过乘以一个适当的表达式，消除分母中的根号，使分母变成有理数 (Rational Number)。这通常是为了简化表达式或方便后续计算。

① 分母是单个根式 $\sqrt[n]{a^{m}}$ 的情况：
为了消除分母 $\sqrt[n]{a^{m}}$ 中的根号，我们需要将分母变成 $\sqrt[n]{a^{n}}$ 的形式。因此，我们需要乘以 $\sqrt[n]{a^{n - m}}$ 。
例如：
⚝ 有理化 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ：分母是 $\sqrt{2} = \sqrt[2]{2^{1}}$ ，需要乘以 $\sqrt[2]{2^{2 - 1}} = \sqrt{2}$ 。 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ⚝ 有理化 $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ ：分母是 $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^{2}}$ ，需要乘以 $\sqrt[3]{2^{3 - 2}} = \sqrt[3]{2}$ 。 $\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^{2}}} \times \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^{2} \times 2}} = \frac{3 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^{3}}} = \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$ ⚝ 有理化 $\frac{5}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ (假设 $x > 0$ )：分母是 $\sqrt[4]{x^{3}}$ ，需要乘以 $\sqrt[4]{x^{4 - 3}} = \sqrt[4]{x}$ 。 $\frac{5}{\sqrt[4]{x^{3}}} = \frac{5}{\sqrt[4]{x^{3}}} \times \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x}} = \frac{5 \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^{3} \times x}} = \frac{5 \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^{4}}} = \frac{5 \sqrt[4]{x}}{x}$ ② 分母是含有平方根的二项式的情况：
如果分母是 $a + \sqrt{b}$ 或 $a - \sqrt{b}$ 或 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 或 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 的形式，我们可以乘以它的共轭表达式 (Conjugate)。利用平方差公式 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ ，可以消除根号。
⚝ $a + \sqrt{b}$ 的共轭是 $a - \sqrt{b}$ ⚝ $a - \sqrt{b}$ 的共轭是 $a + \sqrt{b}$ ⚝ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的共轭是 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ⚝ $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 的共轭是 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 例如：
⚝ 有理化 $\frac{1}{3 + \sqrt{2}}$ ：分母的共轭是 $3 - \sqrt{2}$ 。 $\frac{1}{3 + \sqrt{2}} = \frac{1}{3 + \sqrt{2}} \times \frac{3 - \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{2}}{(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2})} = \frac{3 - \sqrt{2}}{3^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \frac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ ⚝ 有理化 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ ：分母的共轭是 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ 。 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$ 有理化分母是根式运算中的重要技巧，尤其在处理分母含有根号的表达式时。掌握共轭表达式的使用是关键。🔑

6.4 根式方程 (Radical Equations)

根式方程是含有未知数在根号下的方程。求解根式方程需要一些特殊的步骤，并且需要注意可能出现的增根 (Extraneous Solutions)。

6.4.1 求解方法 (Solving Methods)

求解根式方程的基本思想是通过乘方去掉根号，将根式方程转化为我们熟悉的有理方程（如线性方程或二次方程）。

求解根式方程的一般步骤：
① 隔离根式：将方程中的一个根式项移到等号的一边，其他项移到另一边。如果方程含有多个根式，可能需要多次隔离和乘方。
② 乘方：将方程的两边同时乘方，乘方的次数等于根式的根指数。例如，如果是平方根，就平方；如果是立方根，就立方。
③ 重复步骤：如果方程仍然含有根式，重复步骤 ① 和 ②，直到所有根式都被消除。
④ 求解转化后的方程：解由此得到的有理方程。
⑤ 检验解：将求得的解代入原方程进行检验。这是至关重要的步骤，因为乘方运算可能会引入增根。只有使原方程成立的解才是原方程的解。

例子：
⚝ 求解方程 $\sqrt{x - 1} = 2$ ：
① 根式已经被隔离。
② 两边平方： $(\sqrt{x - 1})^{2} = 2^{2}$ $x - 1 = 4$ ③ 求解： $x = 4 + 1$ $x = 5$ ④ 检验：将 $x = 5$ 代入原方程 $\sqrt{x - 1} = 2$ ：
左边： $\sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$ 右边：2
左边 = 右边，所以 $x = 5$ 是原方程的解。✅

⚝ 求解方程 $\sqrt{x + 2} + 3 = x$ ：
① 隔离根式：将 3 移到右边。 $\sqrt{x + 2} = x - 3$ ② 两边平方： $(\sqrt{x + 2})^{2} = (x - 3)^{2}$ $x + 2 = x^{2} - 6 x + 9$ ③ 转化为二次方程并求解： $0 = x^{2} - 6 x - x + 9 - 2$ $x^{2} - 7 x + 7 = 0$ 使用求根公式 (Quadratic Formula) $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ： $a = 1, b = - 7, c = 7$ $x = \frac{- (- 7) \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 (1) (7)}}{2 (1)}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 28}}{2}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}$ 得到两个可能的解： $x_{1} = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}$ 和 $x_{2} = \frac{7 - \sqrt{21}}{2}$ 。

④ 检验解：
将 $x_{1} = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}$ 代入原方程 $\sqrt{x + 2} + 3 = x$ ，或者代入隔离根式后的方程 $\sqrt{x + 2} = x - 3$ 。代入后者更方便，但必须确保 $x - 3 \geq 0$ (因为 $\sqrt{x + 2} \geq 0$ )。
对于 $x_{1} = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}$ ： $\sqrt{21}$ 大约是 4.something。所以 $x_{1} \approx \frac{7 + 4. s o m e t h i n g}{2} \approx \frac{11. s o m e t h i n g}{2} \approx 5. s o m e t h i n g$ 。 $x_{1} - 3 = \frac{7 + \sqrt{21}}{2} - 3 = \frac{7 + \sqrt{21} - 6}{2} = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ 。这个值是正的，满足 $x - 3 \geq 0$ 。
代入 $\sqrt{x + 2} = x - 3$ ：
左边： $\sqrt{\frac{7 + \sqrt{21}}{2} + 2} = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{21} + 4}{2}} = \sqrt{\frac{11 + \sqrt{21}}{2}}$ 右边： $\frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ 要检验 $\sqrt{\frac{11 + \sqrt{21}}{2}} = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ ，可以两边平方： $\frac{11 + \sqrt{21}}{2} = {(\frac{1 + \sqrt{21}}{2})}^{2} = \frac{1^{2} + 2 \sqrt{21} + (\sqrt{21})^{2}}{4} = \frac{1 + 2 \sqrt{21} + 21}{4} = \frac{22 + 2 \sqrt{21}}{4} = \frac{11 + \sqrt{21}}{2}$ 左边 = 右边，所以 $x_{1} = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}$ 是原方程的解。✅

对于 $x_{2} = \frac{7 - \sqrt{21}}{2}$ ： $x_{2} \approx \frac{7 - 4. s o m e t h i n g}{2} \approx \frac{2. s o m e t h i n g}{2} \approx 1. s o m e t h i n g$ 。 $x_{2} - 3 = \frac{7 - \sqrt{21}}{2} - 3 = \frac{7 - \sqrt{21} - 6}{2} = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$ 。这个值是负的，不满足 $x - 3 \geq 0$ 。
代入 $\sqrt{x + 2} = x - 3$ ：
左边： $\sqrt{x_{2} + 2}$ 是非负的。
右边： $x_{2} - 3$ 是负的。
非负数不可能等于负数，所以 $x_{2} = \frac{7 - \sqrt{21}}{2}$ 不是原方程的解，它是增根。❌

所以原方程的解只有 $x = \frac{7 + \sqrt{21}}{2}$ 。

6.4.2 增根 (Extraneous Solutions) 的检验与排除 (Checking and Excluding)

增根是在求解方程的过程中，由于进行了非等价变形（例如两边平方），引入了不属于原方程的解。对于根式方程，当我们将方程两边平方时，可能会将 $A = B$ 的解和 $A = - B$ 的解都包含进来，而原方程可能只对应其中一种情况。

例如，方程 $\sqrt{x} = - 2$ 。显然，算术平方根 $\sqrt{x}$ 必须是非负的，所以这个方程没有实数解。
但是，如果我们不加思考地两边平方： $(\sqrt{x})^{2} = (- 2)^{2}$ $x = 4$ 然后我们得到解 $x = 4$ 。将 $x = 4$ 代入原方程 $\sqrt{x} = - 2$ ：
左边： $\sqrt{4} = 2$ 右边：-2 $2 \neq - 2$ ，所以 $x = 4$ 不是原方程的解，它是增根。

如何检验和排除增根？
唯一的办法是将求得的每一个解都代入原方程**进行检验。**如果代入原方程后等式成立，则是原方程的解；如果等式不成立，则是增根，必须排除。

在求解根式方程时，务必养成检验的习惯！这是避免错误的关键步骤。🔑

同学们，根式表达式是初等代数中一个非常重要的概念。它不仅是指数运算的延伸，也是后续学习二次方程、函数图象等内容的基础。掌握根式的化简、运算以及根式方程的求解方法，特别是增根的检验，对于提升代数解题能力至关重要。请大家多做练习，巩固本章知识！下一章，我们将进入二次方程的世界！🚀

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7. chapter 7：二次方程 (Quadratic Equations)

欢迎来到初等代数中一个至关重要的章节：二次方程 (Quadratic Equations)。线性方程 (Linear Equations) 帮助我们解决了许多“一次”的问题，而二次方程则将我们带入了一个更广阔的数学世界，能够描述和解决更多复杂的现象，例如抛物线 (Parabolas) 的轨迹、物理中的自由落体 (Free Fall) 等。本章将系统地介绍二次方程的概念、多种求解方法、判别式 (Discriminant) 的作用以及韦达定理 (Vieta's Formulas)，并探讨其在实际问题中的应用。准备好了吗？让我们一起深入探索二次方程的奥秘！🚀

7.1 二次方程的定义与标准形式 (Definition and Standard Form of Quadratic Equations)

我们已经学习了线性方程，它们的形式通常是 $a x + b = 0$ (其中 $a \neq 0$ )。现在，我们来认识一种新的方程类型。

① 定义 (Definition)：
一个二次方程 (Quadratic Equation) 是一个形如 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的方程，其中 $x$ 是未知数 (Unknown)， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数 (Constants)，且 $a \neq 0$ 。

② 标准形式 (Standard Form)：
二次方程的标准形式 (Standard Form) 就是 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，其中：
▮▮▮▮⚝ $a x^{2}$ 是二次项 (Quadratic Term)， $a$ 是二次项系数 (Quadratic Coefficient)。
▮▮▮▮⚝ $b x$ 是一次项 (Linear Term)， $b$ 是一次项系数 (Linear Coefficient)。
▮▮▮▮⚝ $c$ 是常数项 (Constant Term)。

③ 为什么 $a$ 不能为零？
如果 $a = 0$ ，那么方程就变成了 $0 \cdot x^{2} + b x + c = 0$ ，即 $b x + c = 0$ 。这不再是一个二次方程，而是一个线性方程。因此，二次方程的定义要求 $a \neq 0$ 。

④ 例子 (Examples)：
⚝ $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 是一个二次方程。这里 $a = 1$ ， $b = - 3$ ， $c = 2$ 。
⚝ $2 y^{2} + 5 = 0$ 是一个二次方程。这里 $a = 2$ ， $b = 0$ ， $c = 5$ 。注意，一次项系数 $b$ 或常数项 $c$ 可以为零。
⚝ $3 z^{2} - 4 z = 0$ 是一个二次方程。这里 $a = 3$ ， $b = - 4$ ， $c = 0$ 。
⚝ $5 x - 1 = 0$ 不是二次方程，它是线性方程。
⚝ $x^{3} + 2 x^{2} - 1 = 0$ 不是二次方程，它是三次方程 (Cubic Equation)。

⑤ 方程的解 (Solutions of the Equation)：
二次方程的解 (Solutions)，也称为根 (Roots)，是使方程成立的 $x$ 的值。求解二次方程就是找到它的根。一个二次方程最多有两个不同的实数根 (Real Roots)。

7.2 求解二次方程的方法 (Methods for Solving Quadratic Equations)

求解二次方程有多种方法，每种方法都有其适用的场景和优缺点。掌握这些方法是解决二次方程问题的关键。🔑

7.2.1 因式分解法 (Factoring Method)

因式分解法 (Factoring Method) 是求解二次方程的一种基本且重要的方法。其核心思想是利用“如果两个因子的乘积为零，那么至少有一个因子为零”的性质。

① 基本步骤 (Basic Steps)：
▮▮▮▮ⓑ 将二次方程化为标准形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。
▮▮▮▮ⓒ 将二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 因式分解 (Factor) 为两个线性因子的乘积，例如 $(p x + q) (r x + s) = 0$ 。
▮▮▮▮ⓓ 令每个因子等于零，即 $p x + q = 0$ 或 $r x + s = 0$ 。
▮▮▮▮ⓔ 求解这两个线性方程，得到二次方程的根。

② 例子 (Examples)：
⚝ 例 1：求解方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 。
▮▮▮▮这是一个标准形式的二次方程。
▮▮▮▮将左边因式分解： $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ 。
▮▮▮▮所以方程变为 $(x - 2) (x - 3) = 0$ 。
▮▮▮▮令每个因子等于零：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $x - 2 = 0 ⟹ x = 2$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x - 3 = 0 ⟹ x = 3$ ▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$ 。

⚝ 例 2：求解方程 $2 x^{2} + 4 x = 0$ 。
▮▮▮▮这是一个标准形式的二次方程 ( $c = 0$ )。
▮▮▮▮提取公因式 (Factor out the GCF)： $2 x^{2} + 4 x = 2 x (x + 2)$ 。
▮▮▮▮所以方程变为 $2 x (x + 2) = 0$ 。
▮▮▮▮令每个因子等于零：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $2 x = 0 ⟹ x = 0$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x + 2 = 0 ⟹ x = - 2$ ▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 2$ 。

⚝ 例 3：求解方程 $x^{2} - 9 = 0$ 。
▮▮▮▮这是一个标准形式的二次方程 ( $b = 0$ )。
▮▮▮▮利用平方差公式 (Difference of Squares Formula)： $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ 。
▮▮▮▮所以方程变为 $(x - 3) (x + 3) = 0$ 。
▮▮▮▮令每个因子等于零：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $x - 3 = 0 ⟹ x = 3$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x + 3 = 0 ⟹ x = - 3$ ▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 3$ 。

③ 适用性 (Applicability)：
因式分解法适用于可以方便地进行因式分解的二次方程。对于一些复杂的二次方程，因式分解可能比较困难或不可能（在实数范围内），这时就需要其他方法。

7.2.2 直接开平方法 (Square Root Method)

直接开平方法 (Square Root Method) 适用于形如 $a x^{2} + c = 0$ 或 $(x + h)^{2} = k$ 的二次方程，即方程中不含一次项 $b x$ 或可以将含 $x$ 的项整理成完全平方形式。

① 基本原理 (Basic Principle)：
如果 $x^{2} = k$ ，那么 $x = \pm \sqrt{k}$ 。

② 基本步骤 (Basic Steps)：
▮▮▮▮ⓑ 将方程整理成 $x^{2} = k$ 或 $(x + h)^{2} = k$ 的形式。
▮▮▮▮ⓒ 对等号两边开平方，得到 $x = \pm \sqrt{k}$ 或 $x + h = \pm \sqrt{k}$ 。
▮▮▮▮ⓓ 求解 $x$ 。

③ 例子 (Examples)：
⚝ 例 1：求解方程 $x^{2} - 16 = 0$ 。
▮▮▮▮将方程整理为 $x^{2} = 16$ 。
▮▮▮▮两边开平方： $x = \pm \sqrt{16}$ 。
▮▮▮▮所以 $x = \pm 4$ 。
▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = - 4$ 。

⚝ 例 2：求解方程 $2 x^{2} - 10 = 0$ 。
▮▮▮▮将方程整理为 $2 x^{2} = 10$ 。
▮▮▮▮进一步整理为 $x^{2} = 5$ 。
▮▮▮▮两边开平方： $x = \pm \sqrt{5}$ 。
▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = \sqrt{5}$ ， $x_{2} = - \sqrt{5}$ 。

⚝ 例 3：求解方程 $(x - 1)^{2} = 9$ 。
▮▮▮▮方程已经是 $(x + h)^{2} = k$ 的形式。
▮▮▮▮两边开平方： $x - 1 = \pm \sqrt{9}$ 。
▮▮▮▮所以 $x - 1 = \pm 3$ 。
▮▮▮▮得到两个线性方程：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $x - 1 = 3 ⟹ x = 4$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x - 1 = - 3 ⟹ x = - 2$ ▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = - 2$ 。

④ 注意事项 (Notes)：
▮▮▮▮⚝ 如果 $k > 0$ ，方程有两个不同的实数根。
▮▮▮▮⚝ 如果 $k = 0$ ，方程有两个相等的实数根 ( $x = 0$ 或 $x + h = 0$ )。
▮▮▮▮⚝ 如果 $k < 0$ ，方程在实数范围内无解 (No Real Solutions)，但在复数 (Complex Numbers) 范围内有解（我们将在第 12 章简要介绍复数）。

7.2.3 配方法 (Completing the Square Method)

配方法 (Completing the Square Method) 是一种通用的求解二次方程的方法，它的核心思想是将二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 通过变形，转化为 $(x + h)^{2} = k$ 的形式，然后利用直接开平方法求解。配方法是推导二次方程求根公式的基础。

① 基本原理 (Basic Principle)：
将形如 $x^{2} + b x$ 的表达式配成一个完全平方项 $(x + \frac{b}{2})^{2}$ 。具体做法是加上 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ 。 $x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} = {(x + \frac{b}{2})}^{2}$ ② 基本步骤 (Basic Steps)：
▮▮▮▮ⓑ 将二次方程化为标准形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。
▮▮▮▮ⓒ 如果 $a \neq 1$ ，将方程两边同除以 $a$ ，使二次项系数变为 1： $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ 。
▮▮▮▮ⓓ 将常数项移到等号右边： $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ 。
▮▮▮▮ⓔ 在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ，完成配方：
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ $x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❼ ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❽ ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ▮▮▮▮ⓘ 利用直接开平方法求解： $x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ 。
▮▮▮▮ⓙ 整理得到 $x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 | a |}$ 。由于 $\pm$ 已经包含了正负两种情况，分母的绝对值可以去掉，得到 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 。这就是著名的二次方程求根公式！

③ 例子 (Examples)：
⚝ 例 1：用配方法求解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 。
▮▮▮▮方程已经是 $a = 1$ 的标准形式。
▮▮▮▮将常数项移到右边： $x^{2} - 4 x = - 1$ 。
▮▮▮▮一次项系数是 -4，它的一半是 -2，平方是 $(- 2)^{2} = 4$ 。
▮▮▮▮两边同时加上 4： $x^{2} - 4 x + 4 = - 1 + 4$ 。
▮▮▮▮左边配成完全平方： $(x - 2)^{2} = 3$ 。
▮▮▮▮两边开平方： $x - 2 = \pm \sqrt{3}$ 。
▮▮▮▮求解 $x$ : $x = 2 \pm \sqrt{3}$ 。
▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 2 + \sqrt{3}$ ， $x_{2} = 2 - \sqrt{3}$ 。

⚝ 例 2：用配方法求解方程 $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 。
▮▮▮▮二次项系数是 2，两边同除以 2： $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ 。
▮▮▮▮将常数项移到右边： $x^{2} + \frac{3}{2} x = 1$ 。
▮▮▮▮一次项系数是 $\frac{3}{2}$ ，它的一半是 $\frac{3}{4}$ ，平方是 ${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$ 。
▮▮▮▮两边同时加上 $\frac{9}{16}$ ： $x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}$ 。
▮▮▮▮左边配成完全平方： ${(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ 。
▮▮▮▮两边开平方： $x + \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}$ 。
▮▮▮▮所以 $x + \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}$ 。
▮▮▮▮得到两个线性方程：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $x + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} ⟹ x = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x + \frac{3}{4} = - \frac{5}{4} ⟹ x = - \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = - \frac{8}{4} = - 2$ ▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = \frac{1}{2}$ ， $x_{2} = - 2$ 。

④ 重要性 (Importance)：
配方法虽然在实际计算中可能不如求根公式直接，但它是理解和推导求根公式的关键，也是学习圆、椭圆、双曲线等二次曲线方程的基础。

7.2.4 求根公式法 (Quadratic Formula Method)

求根公式法 (Quadratic Formula Method) 是求解任意二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ (其中 $a \neq 0$ ) 的普适方法。它是通过对一般形式的二次方程使用配方法推导出来的。

① 求根公式 (The Quadratic Formula)：
对于二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ (其中 $a \neq 0$ )，其根由以下公式给出： $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 公式中的 $b^{2} - 4 a c$ 称为判别式 (Discriminant)，通常用希腊字母 $Δ$ (Delta) 表示，即 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 。判别式的值决定了方程根的性质（实数根还是复数根，以及根的个数）。

② 基本步骤 (Basic Steps)：
▮▮▮▮ⓑ 将二次方程化为标准形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，确定 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值。
▮▮▮▮ⓒ 计算判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的值。
▮▮▮▮ⓓ 将 $a$ 、 $b$ 、 $Δ$ 的值代入求根公式 $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ 中。
▮▮▮▮ⓔ 计算并化简，得到方程的根。

③ 例子 (Examples)：
⚝ 例 1：用求根公式求解方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 。
▮▮▮▮方程的标准形式为 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，所以 $a = 1$ ， $b = - 3$ ， $c = 2$ 。
▮▮▮▮计算判别式： $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 (1) (2) = 9 - 8 = 1$ 。
▮▮▮▮将 $a$ 、 $b$ 、 $Δ$ 代入求根公式：
▮▮▮▮ $x = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{1}}{2 (1)} = \frac{3 \pm 1}{2}$ ▮▮▮▮得到两个根：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $x_{1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ ▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 1$ 。

⚝ 例 2：用求根公式求解方程 $2 x^{2} + x - 3 = 0$ 。
▮▮▮▮方程的标准形式为 $2 x^{2} + x - 3 = 0$ ，所以 $a = 2$ ， $b = 1$ ， $c = - 3$ 。
▮▮▮▮计算判别式： $Δ = b^{2} - 4 a c = (1)^{2} - 4 (2) (- 3) = 1 - (- 24) = 1 + 24 = 25$ 。
▮▮▮▮将 $a$ 、 $b$ 、 $Δ$ 代入求根公式：
▮▮▮▮ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2 (2)} = \frac{- 1 \pm 5}{4}$ ▮▮▮▮得到两个根：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $x_{1} = \frac{- 1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x_{2} = \frac{- 1 - 5}{4} = \frac{- 6}{4} = - \frac{3}{2}$ ▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - \frac{3}{2}$ 。

⚝ 例 3：用求根公式求解方程 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 。
▮▮▮▮方程的标准形式为 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ，所以 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 1$ 。
▮▮▮▮计算判别式： $Δ = b^{2} - 4 a c = (2)^{2} - 4 (1) (1) = 4 - 4 = 0$ 。
▮▮▮▮将 $a$ 、 $b$ 、 $Δ$ 代入求根公式：
▮▮▮▮ $x = \frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2 (1)} = \frac{- 2 \pm 0}{2}$ ▮▮▮▮得到两个相等的根：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $x_{1} = \frac{- 2 + 0}{2} = - 1$ ▮▮▮▮▮▮▮▮❷ $x_{2} = \frac{- 2 - 0}{2} = - 1$ ▮▮▮▮方程有两个相等的实数根 $x_{1} = x_{2} = - 1$ 。

⚝ 例 4：用求根公式求解方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 。
▮▮▮▮方程的标准形式为 $x^{2} + x + 1 = 0$ ，所以 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = 1$ 。
▮▮▮▮计算判别式： $Δ = b^{2} - 4 a c = (1)^{2} - 4 (1) (1) = 1 - 4 = - 3$ 。
▮▮▮▮将 $a$ 、 $b$ 、 $Δ$ 代入求根公式：
▮▮▮▮ $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 (1)} = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ ▮▮▮▮其中 $i = \sqrt{- 1}$ 是虚数单位 (Imaginary Unit)。
▮▮▮▮方程的根是 $x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ ， $x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}$ 。这两个是共轭复数根 (Conjugate Complex Roots)。在初等代数阶段，如果只讨论实数根，我们会说方程无实数解。

④ 总结 (Summary)：
求根公式法是最可靠的求解二次方程的方法，因为它适用于所有情况。在实际解题时，可以优先尝试因式分解法（如果容易），否则直接使用求根公式。配方法更多用于理论推导和理解。

7.3 判别式 (The Discriminant)

判别式 (Discriminant) 是二次方程求根公式中根号内的部分，即 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 。它的值不包含在根的计算中，但却能“判别”出二次方程根的性质，而无需实际求解方程。这是一个非常有用的工具！🛠️

7.3.1 判别式的意义 (Meaning of the Discriminant)

判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的值决定了二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ (其中 $a \neq 0$ ) 的根的类型和个数。

① 判别式与根的关系 (Relationship between Discriminant and Roots)：
▮▮▮▮⚝ 如果 $Δ > 0$ (即 $b^{2} - 4 a c > 0$ )，方程有两个不相等的实数根 (Distinct Real Roots)。
▮▮▮▮⚝ 如果 $Δ = 0$ (即 $b^{2} - 4 a c = 0$ )，方程有两个相等的实数根 (Equal Real Roots)，也称为重根 (Double Root)。
▮▮▮▮⚝ 如果 $Δ < 0$ (即 $b^{2} - 4 a c < 0$ )，方程在实数范围内无解 (No Real Solutions)，但在复数范围内有两个不相等的共轭复数根 (Distinct Conjugate Complex Roots)。

7.3.2 根的性质 (Nature of the Roots)

利用判别式，我们可以快速判断二次方程根的性质：

① 例子 (Examples)：
⚝ 例 1：判断方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 根的性质。
▮▮▮▮ $a = 1$ ， $b = - 5$ ， $c = 6$ 。
▮▮▮▮ $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 (1) (6) = 25 - 24 = 1$ 。
▮▮▮▮因为 $Δ = 1 > 0$ ，所以方程有两个不相等的实数根。## 7. chapter 7：二次方程 (Quadratic Equations)

7.1 二次方程的定义与标准形式 (Definition and Standard Form of Quadratic Equations)

我们已经学习了线性方程，它们的形式通常是 $a x + b = 0$ (其中 $a \neq 0$ )。现在，我们来认识一种新的方程类型。

7.2 求解二次方程的方法 (Methods for Solving Quadratic Equations)

求解二次方程有多种方法，每种方法都有其适用的场景和优缺点。掌握这些方法是解决二次方程问题的关键。🔑

7.2.1 因式分解法 (Factoring Method)

7.2.2 直接开平方法 (Square Root Method)

① 基本原理 (Basic Principle)：
如果 $x^{2} = k$ ，那么 $x = \pm \sqrt{k}$ 。

7.2.3 配方法 (Completing the Square Method)

7.2.4 求根公式法 (Quadratic Formula Method)

7.3 判别式 (The Discriminant)

7.3.1 判别式的意义 (Meaning of the Discriminant)

判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的值决定了二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ (其中 $a \neq 0$ ) 的根的类型和个数。

7.3.2 根的性质 (Nature of the Roots)

利用判别式，我们可以快速判断二次方程根的性质：

① 例子 (Examples)：
⚝ 例 1：判断方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 根的性质。
▮▮▮▮ $a = 1$ ， $b = - 5$ ， $c = 6$ 。
▮▮▮▮ $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 (1) (6) = 25 - 24 = 1$ 。
▮▮▮▮因为 $Δ = 1 > 0$ ，所以方程有两个不相等的实数根。

⚝ 例 2：判断方程 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 根的性质。
▮▮▮▮ $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 1$ 。
▮▮▮▮ $Δ = b^{2} - 4 a c = (2)^{2} - 4 (1) (1) = 4 - 4 = 0$ 。
▮▮▮▮因为 $Δ = 0$ ，所以方程有两个相等的实数根。

⚝ 例 3：判断方程 $x^{2} + x + 2 = 0$ 根的性质。
▮▮▮▮ $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ 。
▮▮▮▮ $Δ = b^{2} - 4 a c = (1)^{2} - 4 (1) (2) = 1 - 8 = - 7$ 。
▮▮▮▮因为 $Δ = - 7 < 0$ ，所以方程在实数范围内无解，有两个不相等的复数根。

② 应用 (Applications)：
判别式常用于：
▮▮▮▮⚝ 判断二次方程是否有实数解。
▮▮▮▮⚝ 判断二次函数 (Quadratic Function) 图象（抛物线）与 x 轴的交点个数（两个交点对应 $Δ > 0$ ，一个交点对应 $Δ = 0$ ，无交点对应 $Δ < 0$ )。
▮▮▮▮⚝ 解决与方程根的性质相关的参数问题。

7.4 韦达定理 (Vieta's Formulas)

韦达定理 (Vieta's Formulas) 揭示了二次方程的根与系数之间的关系。对于二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ (其中 $a \neq 0$ )，如果它的两个根是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，那么根的和 (Sum of Roots) 与积 (Product of Roots) 与系数之间存在以下关系：

① 韦达定理的内容 (Content of Vieta's Formulas)： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ② 推导 (Derivation)：
根据求根公式，二次方程的两个根是 $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 和 $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 。
▮▮▮▮计算根的和：
▮▮▮▮ $x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}$ ▮▮▮▮计算根的积：
▮▮▮▮ $x_{1} \cdot x_{2} = (\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a})$ ▮▮▮▮利用平方差公式 $(u + v) (u - v) = u^{2} - v^{2}$ ，其中 $u = - b$ ， $v = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ ：
▮▮▮▮ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{(- b)^{2} - (\sqrt{b^{2} - 4 a c})^{2}}{(2 a)^{2}} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}$ 推导过程证明了韦达定理的正确性。👍

③ 应用 (Applications)：
韦达定理在解决涉及二次方程根的问题时非常有用，例如：
▮▮▮▮⚝ 已知一个根，求另一个根和未知系数。
▮▮▮▮⚝ 不求解方程，直接计算根的和与积。
▮▮▮▮⚝ 构造已知根的二次方程。
▮▮▮▮⚝ 解决与根的对称关系有关的问题。

④ 例子 (Examples)：
⚝ 例 1：已知方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 和 $x_{1} \cdot x_{2}$ 。
▮▮▮▮方程中 $a = 1$ ， $b = - 7$ ， $c = 10$ 。
▮▮▮▮根据韦达定理：
▮▮▮▮ $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 7}{1} = 7$ ▮▮▮▮ $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10$ ▮▮▮▮（实际上，方程可以因式分解为 $(x - 2) (x - 5) = 0$ ，根是 2 和 5，它们的和是 $2 + 5 = 7$ ，积是 $2 \times 5 = 10$ ，与韦达定理结果一致。）

⚝ 例 2：已知方程 $2 x^{2} - k x + 3 = 0$ 的一个根是 1，求另一个根和 $k$ 的值。
▮▮▮▮设另一个根为 $x_{2}$ 。方程中 $a = 2$ ， $b = - k$ ， $c = 3$ 。
▮▮▮▮根据韦达定理：
▮▮▮▮ $x_{1} + x_{2} = 1 + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- k}{2} = \frac{k}{2}$ ▮▮▮▮ $x_{1} \cdot x_{2} = 1 \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$ ▮▮▮▮从第二个等式，我们直接得到 $x_{2} = \frac{3}{2}$ 。
▮▮▮▮将 $x_{2} = \frac{3}{2}$ 代入第一个等式：
▮▮▮▮ $1 + \frac{3}{2} = \frac{k}{2}$ ▮▮▮▮ $\frac{5}{2} = \frac{k}{2}$ ▮▮▮▮ $k = 5$ ▮▮▮▮所以另一个根是 $\frac{3}{2}$ ， $k$ 的值是 5。

⚝ 例 3：已知两个数是 3 和 -4，构造一个以它们为根的二次方程。
▮▮▮▮设这两个根是 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 4$ 。
▮▮▮▮根的和 $x_{1} + x_{2} = 3 + (- 4) = - 1$ 。
▮▮▮▮根的积 $x_{1} \cdot x_{2} = 3 \cdot (- 4) = - 12$ 。
▮▮▮▮对于标准形式 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，我们可以选择 $a = 1$ 。
▮▮▮▮那么 $- \frac{b}{a} = - 1 ⟹ - \frac{b}{1} = - 1 ⟹ b = 1$ 。
▮▮▮▮ $\frac{c}{a} = - 12 ⟹ \frac{c}{1} = - 12 ⟹ c = - 12$ 。
▮▮▮▮所以，以 3 和 -4 为根的一个二次方程是 $x^{2} + x - 12 = 0$ 。
▮▮▮▮（实际上，任何形如 $k (x^{2} + x - 12) = 0$ (其中 $k \neq 0$ ) 的方程都以 3 和 -4 为根。）

7.5 二次方程的应用 (Applications of Quadratic Equations)

二次方程在科学、工程、经济以及日常生活中有着广泛的应用。许多实际问题经过数学建模 (Mathematical Modeling) 后，可以转化为求解二次方程。解决应用题的关键在于将实际情境转化为数学语言。🌍

① 解应用题的基本步骤 (Basic Steps for Solving Word Problems)：
▮▮▮▮ⓑ 仔细阅读问题，理解题意，找出已知量和未知量。
▮▮▮▮ⓒ 设定变量 (Set up Variables)，用字母表示未知量。
▮▮▮▮ⓓ 根据问题中的数量关系，建立二次方程。
▮▮▮▮ⓔ 求解所建立的二次方程。
▮▮▮▮ⓕ 检验解的合理性 (Check the Reasonableness of the Solutions)，看它们是否符合实际情境（例如，长度不能为负，人数不能为分数等）。
▮▮▮▮ⓖ 写出答案，并注意单位。

② 典型应用题类型 (Types of Typical Word Problems)：
⚝ 面积问题 (Area Problems)：例如，一块矩形土地的面积已知，已知长比宽多多少，求长和宽。
▮▮▮▮例 1：一块矩形花园的面积是 60 平方米，已知它的长比宽多 4 米，求花园的长和宽。
▮▮▮▮设花园的宽为 $x$ 米，则长为 $(x + 4)$ 米。
▮▮▮▮面积 = 长 $\times$ 宽，所以 $x (x + 4) = 60$ 。
▮▮▮▮展开得 $x^{2} + 4 x = 60$ 。
▮▮▮▮化为标准形式： $x^{2} + 4 x - 60 = 0$ 。
▮▮▮▮用因式分解法求解： $(x + 10) (x - 6) = 0$ 。
▮▮▮▮解得 $x = - 10$ 或 $x = 6$ 。
▮▮▮▮由于宽度不能为负，所以 $x = 6$ 米。
▮▮▮▮花园的宽是 6 米，长是 $6 + 4 = 10$ 米。
▮▮▮▮检验：长 $\times$ 宽 = $10 \times 6 = 60$ ，符合题意。
▮▮▮▮答案：花园的长是 10 米，宽是 6 米。

⚝ 物理问题 (Physics Problems)：例如，自由落体运动 (Free Fall) 的位移公式 $h = \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ (其中 $h$ 是高度， $g$ 是重力加速度， $t$ 是时间， $v_{0}$ 是初速度， $h_{0}$ 是初始高度) 常常涉及二次方程。
▮▮▮▮例 2：从楼顶以 10 米/秒的初速度向上抛出一个小球，其离地面的高度 $h$ (米) 与时间 $t$ (秒) 的关系近似为 $h = - 5 t^{2} + 10 t + 20$ 。问小球何时落地？
▮▮▮▮小球落地时，高度 $h = 0$ 。
▮▮▮▮所以我们需要解方程 $- 5 t^{2} + 10 t + 20 = 0$ 。
▮▮▮▮两边同除以 -5： $t^{2} - 2 t - 4 = 0$ 。
▮▮▮▮这是一个二次方程，用求根公式求解 ( $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = - 4$ )：
▮▮▮▮ $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 (1) (- 4) = 4 + 16 = 20$ 。
▮▮▮▮ $t = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{20}}{2 (1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$ ▮▮▮▮得到两个解： $t_{1} = 1 + \sqrt{5}$ 和 $t_{2} = 1 - \sqrt{5}$ 。
▮▮▮▮由于时间不能为负，所以 $t = 1 + \sqrt{5}$ 。
▮▮▮▮ $\sqrt{5} \approx 2.236$ ，所以 $t \approx 1 + 2.236 = 3.236$ 秒。
▮▮▮▮答案：小球大约在抛出后 3.236 秒落地。

⚝ 工程问题 (Engineering Problems)：例如，计算桥梁拱门的形状（常为抛物线）、电路设计等。
⚝ 经济问题 (Economic Problems)：例如，成本、收益、利润最大化问题，有时会涉及二次函数和二次方程。

③ 重要提示 (Important Tips)：
▮▮▮▮⚝ 仔细审题是关键！理解问题背景和各量之间的关系。
▮▮▮▮⚝ 设定变量时要明确表示变量代表什么。
▮▮▮▮⚝ 建立方程是核心步骤，需要将文字描述转化为数学表达式。
▮▮▮▮⚝ 求解方程后，务必检查解是否符合实际意义。

通过本章的学习，我们掌握了二次方程的定义、标准形式以及多种求解方法，了解了判别式和韦达定理的重要作用，并初步接触了二次方程在实际问题中的应用。这些知识是进一步学习代数和更高级数学的基础。继续努力！💪

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8. chapter 8：函数基础 (Introduction to Functions)

函数 (Function) 是数学中一个极其核心且强大的概念，它描述了两个集合元素之间的一种特殊关系。在初等代数 (Elementary Algebra) 中，我们已经接触了变量 (Variables) 和表达式 (Expressions)，而函数则提供了一种框架，让我们能够系统地研究变量之间的依赖关系。理解函数不仅是掌握后续代数知识（如线性函数 (Linear Functions)、二次函数 (Quadratic Functions) 等）的关键，也是学习更高级数学（如微积分 (Calculus)）以及物理、工程、经济等众多学科的基础。本章将从最基本的概念出发，逐步深入，帮助读者建立对函数的全面认识。

8.1 函数的概念 (Concept of a Function)

在日常生活中，我们经常遇到一个量依赖于另一个量的情况。例如，一个物体的运动距离取决于运动时间，商品的销售额取决于销售价格，圆的面积取决于半径。这些“取决于”的关系，在数学上可以用“函数”来精确描述。

8.1.1 关系 (Relations) 与函数 (Functions)

在数学中，一个关系 (Relation) 是指两个集合 $A$ 和 $B$ 之间元素的一种对应关系。这种对应关系可以用有序对 (Ordered Pair) 的集合来表示，其中每个有序对 $(x, y)$ 表示集合 $A$ 中的元素 $x$ 与集合 $B$ 中的元素 $y$ 之间存在某种联系。集合 $A$ 通常称为关系的定义域 (Domain)，集合 $B$ 称为关系的值域 (Range) 或上域 (Codomain)（更精确地说，值域是上域中与定义域元素对应的所有元素的集合）。

例如，考虑集合 $A = {1, 2, 3}$ 和集合 $B = {a, b, c}$ 。以下是一些可能的关系：
⚝ $R_{1} = {(1, a), (2, b), (3, c)}$ ⚝ $R_{2} = {(1, a), (1, b), (2, c)}$ ⚝ $R_{3} = {(1, a), (2, a), (3, a)}$ 函数 (Function) 是一种特殊的关系。它要求对于定义域 $A$ 中的每一个 (Every) 元素 $x$ ，在值域 $B$ 中都有且只有 (Exactly One) 一个元素 $y$ 与之对应。换句话说，在表示函数的有序对集合中，任意两个有序对不能有相同的第一个元素而有不同的第二个元素。

让我们分析上面给出的关系：
① $R_{1} = {(1, a), (2, b), (3, c)}$ ：集合 ${1, 2, 3}$ 中的每个元素都对应 ${a, b, c}$ 中的一个唯一元素。所以 $R_{1}$ 是一个函数。
② $R_{2} = {(1, a), (1, b), (2, c)}$ ：元素 $1$ 对应了 $a$ 和 $b$ 两个不同的元素。这违反了函数“有且只有一个”的要求。所以 $R_{2}$ 不是一个函数。
③ $R_{3} = {(1, a), (2, a), (3, a)}$ ：集合 ${1, 2, 3}$ 中的每个元素都对应 ${a, b, c}$ 中的一个唯一元素（尽管都是同一个元素 $a$ ）。这符合函数的要求。所以 $R_{3}$ 是一个函数。

在函数 $f$ 中，如果元素 $x$ 对应元素 $y$ ，我们通常记作 $y = f (x)$ 。这里的 $x$ 称为自变量 (Independent Variable)， $y$ 称为因变量 (Dependent Variable)， $f$ 表示这种对应关系或规则。

8.1.2 定义域 (Domain) 与值域 (Range)

对于一个函数 $f : A \to B$ ，
① 定义域 (Domain)：是函数 $f$ 的输入值集合，即集合 $A$ 。它是自变量 $x$ 可以取的所有允许值的集合。
② 值域 (Range)：是函数 $f$ 的输出值集合，即集合 $B$ 中与定义域中的元素对应的所有元素的集合。它是因变量 $y$ 可以取的所有值的集合。值域是上域 (Codomain) 的一个子集。

在初等代数中，我们主要研究实数集 (Set of Real Numbers) 上的函数。函数的定义域通常是实数集 $R$ 的一个子集。在没有特别说明的情况下，函数的定义域被认为是使函数表达式有意义的所有实数的集合。例如：
⚝ 函数 $f (x) = x + 2$ ：对于任何实数 $x$ ， $x + 2$ 都有意义。所以定义域是所有实数，记作 $R$ 或 $(- \infty, \infty)$ 。当 $x$ 取遍所有实数时， $x + 2$ 也能取遍所有实数。所以值域也是 $R$ 或 $(- \infty, \infty)$ 。
⚝ 函数 $g (x) = \frac{1}{x}$ ：分母不能为零，所以 $x \neq 0$ 。定义域是 ${x \in R ∣ x \neq 0}$ 或 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。当 $x \neq 0$ 时， $\frac{1}{x}$ 也能取遍所有非零实数。所以值域是 ${y \in R ∣ y \neq 0}$ 或 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。
⚝ 函数 $h (x) = \sqrt{x}$ ：平方根下的数不能为负，所以 $x \geq 0$ 。定义域是 ${x \in R ∣ x \geq 0}$ 或 $[0, \infty)$ 。当 $x \geq 0$ 时， $\sqrt{x}$ 的结果是非负实数。所以值域是 ${y \in R ∣ y \geq 0}$ 或 $[0, \infty)$ 。

确定函数的定义域是理解函数的第一步。常见需要考虑的限制包括：
⚝ 分母不能为零。
⚝ 偶次根号下的数不能为负。
⚝ 对数函数的真数必须大于零（虽然对数函数通常在更高级的代数中学习，但这是常见的定义域限制类型）。

8.2 函数的表示方法 (Ways to Represent Functions)

函数可以用多种方式来表示，每种方式都有其优点和适用场景。初等代数中常用的表示方法有：表格法、图象法和解析式法。

8.2.1 表格法 (Tables)

表格法通过列出自变量 $x$ 的一些特定值以及它们对应的因变量 $y$ 的值来表示函数。

⚝ 优点：直观地展示了函数在特定点上的对应关系，易于理解。
⚝ 缺点：只能表示有限个点的对应关系，无法全面展示函数的整体行为，特别是对于定义域是无限集合的函数。

例如，考虑函数 $y = 2 x + 1$ 。我们可以用表格表示它在几个点上的值：

$x$	$y = 2 x + 1$
-2	-3
-1	-1
0	1
1	3
2	5

这个表格表示了函数 $y = 2 x + 1$ 在 $x = - 2, - 1, 0, 1, 2$ 时的函数值。

8.2.2 图象法 (Graphs)

图象法是在直角坐标系 (The Rectangular Coordinate System) 中，将函数的每一对有序对 $(x, y)$ 作为点的坐标绘制出来。所有这些点组成的图形就是函数的图象 (Graph)。

⚝ 优点：直观地展示了函数的整体变化趋势、定义域、值域、零点 (Zeros)、单调性 (Monotonicity) 等性质。可以通过图象进行定性分析。
⚝ 缺点：绘制图象可能需要计算大量点，对于复杂的函数绘制困难；从图象上读取精确的函数值可能不准确。

判断一个图象是否表示函数，可以使用垂直线检验 (Vertical Line Test)：如果任何一条垂直线与图象相交最多一次，则该图象表示一个函数；如果存在一条垂直线与图象相交两次或两次以上，则该图象不表示一个函数（它表示一个关系，但不是函数）。

例如，函数 $y = 2 x + 1$ 的图象是一条直线。对于任何一个 $x$ 值，垂直于 $x$ 轴的直线（即垂直线）只会与这条直线相交于一点，所以它是一个函数。
而圆的图象 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 不是一个函数，因为对于一个 $x$ 值（除了 $\pm r$ ），可能对应两个不同的 $y$ 值（ $\pm \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ ）。在图象上，一条垂直线会与圆相交两次。

8.2.3 解析式法 (Equations/Formulas)

解析式法是用一个数学表达式（方程或公式）来表示函数中自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间的关系。这是初等代数中最常用和最重要的表示方法。

⚝ 优点：简洁、精确地表示了函数关系，可以通过代数运算求解函数值、研究函数性质。
⚝ 缺点：不如图象直观，有时需要通过计算才能了解函数行为。

例如：
⚝ $f (x) = 3 x - 5$ ⚝ $g (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ⚝ $h (x) = \frac{x}{x - 1}$ 解析式法是研究函数性质的基础。通过解析式，我们可以计算特定输入值对应的输出值，确定函数的定义域和值域，以及进行函数的各种运算和变换。

8.3 函数记号 (Function Notation) (f(x))

为了方便地表示和操作函数，数学家引入了函数记号。最常用的函数记号是 $f (x)$ ，读作“f of x”或“f at x”。

在记号 $y = f (x)$ 中：
⚝ $f$ 是函数的名称（可以是任何字母，如 $g, h$ 等）。
⚝ $x$ 是自变量 (Independent Variable)。
⚝ $f (x)$ 表示当自变量取值为 $x$ 时，函数 $f$ 对应的函数值 (Function Value) 或因变量 (Dependent Variable) 的值。

例如，如果函数由解析式 $y = 2 x + 1$ 定义，我们可以将其写成函数记号的形式： $f (x) = 2 x + 1$ 。
使用函数记号，我们可以方便地表示函数在特定点的值：
⚝ $f (3)$ 表示当 $x = 3$ 时函数的函数值。将 $x = 3$ 代入解析式： $f (3) = 2 (3) + 1 = 6 + 1 = 7$ 。
⚝ $f (- 1)$ 表示当 $x = - 1$ 时函数的函数值： $f (- 1) = 2 (- 1) + 1 = - 2 + 1 = - 1$ 。
⚝ $f (a)$ 表示当 $x = a$ 时函数的函数值： $f (a) = 2 a + 1$ 。
⚝ $f (x + h)$ 表示当自变量为 $x + h$ 时函数的函数值： $f (x + h) = 2 (x + h) + 1 = 2 x + 2 h + 1$ 。

函数记号 $f (x)$ 强调了函数值 $y$ 依赖于自变量 $x$ 。它使得在不指定具体数值的情况下讨论函数值成为可能，极大地简化了函数的表示和运算。

8.4 自变量 (Independent Variable) 与因变量 (Dependent Variable)

在一个函数关系 $y = f (x)$ 中：
① 自变量 (Independent Variable)：通常用 $x$ 表示，它是可以独立选取值的变量。自变量的取值范围就是函数的定义域 (Domain)。
② 因变量 (Dependent Variable)：通常用 $y$ 或 $f (x)$ 表示，它的值随着自变量 $x$ 的变化而变化。因变量的取值范围就是函数的值域 (Range)。

理解自变量和因变量的概念对于建立数学模型 (Mathematical Models) 和解决实际问题至关重要。在实际问题中，我们需要识别哪个量是独立的输入，哪个量是依赖于输入的输出。

例如：
⚝ 圆的面积 $A$ 与半径 $r$ 的关系是 $A = π r^{2}$ 。在这里，半径 $r$ 是自变量，面积 $A$ 是因变量。我们可以独立选择半径的值，而面积的值由半径决定。
⚝ 汽车行驶的距离 $d$ 与时间 $t$ 的关系（假设速度恒定为 $v$ ）是 $d = v t$ 。在这里，时间 $t$ 是自变量，距离 $d$ 是因变量。我们可以选择行驶的时间，而行驶的距离由时间和速度决定。
⚝ 购买商品的成本 $C$ 与购买数量 $n$ 的关系（假设单价为 $p$ ）是 $C = p n$ 。在这里，购买数量 $n$ 是自变量，成本 $C$ 是因变量。我们可以选择购买的数量，而总成本由数量和单价决定。

在函数图象中，自变量通常表示在水平轴（ $x$ 轴）上，因变量表示在垂直轴（ $y$ 轴）上。图象上的每一个点 $(x, y)$ 都表示一对对应的自变量和因变量的值。

理解自变量和因变量的概念有助于我们分析函数的变化规律，例如当自变量增加时，因变量是增加还是减少，以及变化的快慢等。这些将在后续章节中关于线性函数和二次函数的部分进行更深入的探讨。

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9. chapter 9：线性函数与二次函数 (Linear and Quadratic Functions)

欢迎来到初等代数的第九章！在本章中，我们将深入探讨两种基本且极其重要的函数类型：线性函数 (Linear Functions) 和二次函数 (Quadratic Functions)。它们不仅在数学理论中占有核心地位，更是解决现实世界中许多问题的强大工具。我们将学习如何识别、分析、绘制它们的图象，并理解它们各自的性质和应用。

9.1 直角坐标系 (The Rectangular Coordinate System)

在研究函数图象之前，我们需要一个工具来可视化点和函数关系，这就是直角坐标系 (The Rectangular Coordinate System)，也称为笛卡尔坐标系 (Cartesian Coordinate System)。

⚝ 构成 (Components):
▮▮▮▮⚝ 直角坐标系由两条互相垂直的数轴 (Number Lines) 构成，它们在原点 (Origin) 相交。
▮▮▮▮⚝ 水平的数轴称为 x 轴 (x-axis)，垂直的数轴称为 y 轴 (y-axis)。
▮▮▮▮⚝ 两条轴将平面分成四个区域，称为象限 (Quadrants)，通常用罗马数字 I, II, III, IV 按逆时针方向标记。

⚝ 点的表示 (Representing Points):
▮▮▮▮⚝ 平面上的每一个点都可以用一个有序对 (Ordered Pair) $(x, y)$ 来唯一表示。
▮▮▮▮⚝ 第一个数 $x$ 称为横坐标 (x-coordinate) 或阿布西萨 (abscissa)，表示点沿 x 轴方向相对于原点的位移。
▮▮▮▮⚝ 第二个数 $y$ 称为纵坐标 (y-coordinate) 或纵轴坐标 (ordinate)，表示点沿 y 轴方向相对于原点的位移。
▮▮▮▮⚝ 原点 (Origin) 的坐标是 $(0, 0)$ 。

⚝ 绘制点 (Plotting Points):
▮▮▮▮⚝ 要绘制点 $(x, y)$ ，从原点开始，沿 x 轴方向移动 $x$ 个单位（如果 $x > 0$ 向右，如果 $x < 0$ 向左），然后再沿 y 轴方向移动 $y$ 个单位（如果 $y > 0$ 向上，如果 $y < 0$ 向下）。

示例 (Example):
绘制点 $(3, 2)$ 、 $(- 1, 4)$ 、 $(- 2, - 3)$ 、 $(4, - 1)$ 。

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              |
    4 + . (-1, 4)
      |
    3 +
      |
    2 + . (3, 2)
      |
    1 +
------+-------+-------+-------+-------+--
   -3   -2   -1   0   1   2   3   4   x
      |
   -1 + . (4, -1)
      |
   -2 +
      | . (-2, -3)
   -3 +
      |
      y

        
    

9.2 线性函数 (Linear Functions)

线性函数是初等代数中最简单但用途广泛的函数类型。它的图象是一条直线。

⚝ 定义 (Definition):
▮▮▮▮⚝ 一个线性函数是可以写成 $f (x) = m x + b$ 形式的函数，其中 $m$ 和 $b$ 是常数 (Constants)， $m \neq 0$ 。
▮▮▮▮⚝ 如果 $m = 0$ ，函数变为 $f (x) = b$ ，这是一个常数函数 (Constant Function)，其图象是一条水平直线，通常也被归类为线性函数的一种特殊情况。
▮▮▮▮⚝ 变量 $x$ 的最高次幂是 1。

9.2.1 斜率 (Slope) 与截距 (Intercepts)

线性函数的关键特征由其斜率和截距决定。

⚝ 斜率 (Slope):
▮▮▮▮⚝ 斜率 $m$ 衡量了直线的陡峭程度和方向。它表示当 $x$ 变化一个单位时， $y$ 的变化量。
▮▮▮▮⚝ 计算公式：给定直线上两个不同的点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ ，斜率 $m$ 可以通过以下公式计算： $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{纵坐标的变化量 (Change in y)}{横坐标的变化量 (Change in x)}$ ▮▮▮▮⚝ 斜率的意义：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $m > 0$ ，直线从左到右上升。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $m < 0$ ，直线从左到右下降。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $m = 0$ ，直线是水平的 (Horizontal Line)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果直线是垂直的 (Vertical Line)，其斜率是未定义的 (Undefined)，垂直直线的方程形式是 $x = c$ (常数)，它不是一个函数。

⚝ 截距 (Intercepts):
▮▮▮▮⚝ y 截距 (y-intercept): 直线与 y 轴相交的点的 y 坐标。当直线与 y 轴相交时， $x = 0$ 。对于 $f (x) = m x + b$ ，令 $x = 0$ ，得到 $f (0) = m (0) + b = b$ 。所以 y 截距是 $b$ ，交点坐标是 $(0, b)$ 。
▮▮▮▮⚝ x 截距 (x-intercept): 直线与 x 轴相交的点的 x 坐标。当直线与 x 轴相交时， $y = 0$ (或 $f (x) = 0$ )。对于 $f (x) = m x + b$ ，令 $m x + b = 0$ ，解得 $x = - b / m$ (如果 $m \neq 0$ )。所以 x 截距是 $- b / m$ ，交点坐标是 $(- b / m, 0)$ 。

9.2.2 线性函数的不同形式 (Different Forms of Linear Functions)

线性函数可以有多种表示形式，每种形式都有其便利之处。

① 斜截式 (Slope-Intercept Form):
▮▮▮▮ⓑ 形式： $y = m x + b$ 或 $f (x) = m x + b$ ▮▮▮▮ⓒ 优点：直接显示斜率 $m$ 和 y 截距 $b$ 。
▮▮▮▮ⓓ 示例： $y = 2 x - 3$ 的斜率是 2，y 截距是 -3。

② 点斜式 (Point-Slope Form):
▮▮▮▮ⓑ 形式： $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ▮▮▮▮ⓒ 优点：已知直线上一点 $(x_{1}, y_{1})$ 和斜率 $m$ 时，可以直接写出方程。
▮▮▮▮ⓓ 示例：已知直线过点 $(1, 5)$ 且斜率为 3，则方程为 $y - 5 = 3 (x - 1)$ 。

③ 一般式 (Standard Form):
▮▮▮▮ⓑ 形式： $A x + B y = C$ ，其中 $A, B, C$ 是整数，且 $A$ 和 $B$ 不同时为零。通常要求 $A \geq 0$ 。
▮▮▮▮ⓒ 优点：形式简洁，方便处理方程组。可以表示所有直线，包括垂直直线 (当 $B = 0$ )。
▮▮▮▮ⓓ 示例： $2 x + 3 y = 6$ 。

⚝ 形式转换 (Converting Between Forms):
▮▮▮▮⚝ 从点斜式或一般式转换为斜截式：通过代数运算将方程整理成 $y = m x + b$ 的形式。
▮▮▮▮⚝ 从斜截式转换为一般式：将所有项移到等号一边，使常数项在另一边，并确保系数是整数。

示例 (Example):
将方程 $y - 2 = - 1 / 2 (x + 4)$ 转换为斜截式和一般式。
斜截式： $y - 2 = - 1 / 2 x - 2$ $y = - 1 / 2 x$ (斜率 $m = - 1 / 2$ ，y 截距 $b = 0$ )
一般式： $y = - 1 / 2 x$ $2 y = - x$ $x + 2 y = 0$ (这里 $A = 1, B = 2, C = 0$ )

9.2.3 线性函数的图象 (Graphs of Linear Functions)

绘制线性函数的图象有几种常用方法。

① 描点法 (Plotting Points Method):
▮▮▮▮ⓑ 选择几个 $x$ 值，计算对应的 $y$ 值，得到几个点 $(x, y)$ 。
▮▮▮▮ⓒ 在直角坐标系中绘制这些点。
▮▮▮▮ⓓ 用直线连接这些点。由于线性函数的图象是直线，理论上只需要两个点就可以确定一条直线，但多取几个点可以帮助检查计算是否正确。

② 斜截式法 (Slope-Intercept Method):
▮▮▮▮ⓑ 将方程写成斜截式 $y = m x + b$ 。
▮▮▮▮ⓒ 在 y 轴上找到 y 截距点 $(0, b)$ 。
▮▮▮▮ⓓ 从 $(0, b)$ 点出发，利用斜率 $m = \frac{纵坐标变化}{横坐标变化}$ 找到第二个点。例如，如果 $m = 2 / 3$ ，表示从当前点向右移动 3 个单位，向上移动 2 个单位到达新点。如果 $m = - 1 / 4$ ，表示向右移动 4 个单位，向下移动 1 个单位。
▮▮▮▮ⓔ 连接这两个点并延长形成直线。

③ 截距法 (Intercepts Method):
▮▮▮▮ⓑ 找到 y 截距：令 $x = 0$ ，解出 $y$ ，得到点 $(0, y)$ 。
▮▮▮▮ⓒ 找到 x 截距：令 $y = 0$ ，解出 $x$ ，得到点 $(x, 0)$ 。
▮▮▮▮ⓓ 在直角坐标系中绘制这两个截距点。
▮▮▮▮ⓔ 连接这两个点并延长形成直线。这种方法对于过原点 $(0, 0)$ 的直线不适用，因为 x 截距和 y 截距都是 0，只得到一个点。

示例 (Example):
绘制函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象。
使用斜截式法：
y 截距 $b = 4$ ，点为 $(0, 4)$ 。
斜率 $m = - 2 = - 2 / 1$ 。从 $(0, 4)$ 点出发，向右移动 1 个单位，向下移动 2 个单位，到达点 $(0 + 1, 4 - 2) = (1, 2)$ 。
连接 $(0, 4)$ 和 $(1, 2)$ 并延长。

使用截距法：
y 截距：令 $x = 0$ ， $y = - 2 (0) + 4 = 4$ 。点为 $(0, 4)$ 。
x 截距：令 $y = 0$ ， $0 = - 2 x + 4$ ， $2 x = 4$ ， $x = 2$ 。点为 $(2, 0)$ 。
连接 $(0, 4)$ 和 $(2, 0)$ 并延长。

9.3 二次函数 (Quadratic Functions)

二次函数是形如 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的函数，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ 。它的图象是一条抛物线 (Parabola)。

⚝ 定义 (Definition):
▮▮▮▮⚝ 一个二次函数是可以写成 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 形式的函数，其中 $a, b, c \in R$ (实数)，且 $a \neq 0$ 。
▮▮▮▮⚝ 变量 $x$ 的最高次幂是 2。

9.3.1 二次函数的标准形式 (Standard Form of Quadratic Functions)

二次函数最常见的形式是标准形式。

⚝ 标准形式 (Standard Form): $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 其中 $a, b, c$ 是常数， $a \neq 0$ 。

另一种重要的形式是顶点式 (Vertex Form)，它能直接显示抛物线的顶点坐标。
⚝ 顶点式 (Vertex Form): $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ 其中 $(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标。
可以通过配方法 (Completing the Square Method) 将标准形式转换为顶点式。 $a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$ $= a (x^{2} + \frac{b}{a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} - (\frac{b}{2 a})^{2}) + c$ $= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - a (\frac{b}{2 a})^{2} + c$ $= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c$ $= a (x - (- \frac{b}{2 a}))^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 所以，顶点坐标 $(h, k)$ 为 $(- \frac{b}{2 a}, \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$ 。注意 $k$ 也可以通过将 $x = - \frac{b}{2 a}$ 代入 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 计算得到，即 $k = f (- \frac{b}{2 a})$ 。

9.3.2 抛物线 (Parabolas) 的性质 (顶点 - Vertex, 对称轴 - Axis of Symmetry, 开口方向 - Direction of Opening)

抛物线是二次函数图象的名称，它具有一些重要的性质。

⚝ 开口方向 (Direction of Opening):
▮▮▮▮⚝ 由标准形式 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 中的系数 $a$ 决定。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $a > 0$ ，抛物线向上开口 (Opens Upward)，顶点是最低点 (Minimum Point)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $a < 0$ ，抛物线向下开口 (Opens Downward)，顶点是最高点 (Maximum Point)。

⚝ 对称轴 (Axis of Symmetry):
▮▮▮▮⚝ 抛物线是关于一条垂直直线对称的，这条直线称为对称轴。
▮▮▮▮⚝ 对称轴的方程是 $x = h$ ，其中 $h$ 是顶点的横坐标。
▮▮▮▮⚝ 对于标准形式 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，对称轴的方程是 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。

⚝ 顶点 (Vertex):
▮▮▮▮⚝ 顶点是抛物线的最高点（如果向下开口）或最低点（如果向上开口）。
▮▮▮▮⚝ 顶点位于对称轴上。
▮▮▮▮⚝ 顶点的横坐标是 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。
▮▮▮▮⚝ 顶点的纵坐标是将 $x = - \frac{b}{2 a}$ 代入函数方程得到的 $y$ 值，即 $y = f (- \frac{b}{2 a})$ 。
▮▮▮▮⚝ 顶点的坐标是 $(- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$ 。

⚝ 截距 (Intercepts):
▮▮▮▮⚝ y 截距 (y-intercept): 令 $x = 0$ ，得到 $f (0) = a (0)^{2} + b (0) + c = c$ 。所以 y 截距是 $c$ ，交点坐标是 $(0, c)$ 。
▮▮▮▮⚝ x 截距 (x-intercept): 令 $y = 0$ (或 $f (x) = 0$ )，解方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。x 截距是二次方程的实数根 (Real Roots)。一个二次函数可能有两个、一个或零个 x 截距，这取决于判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的值（详见第七章）。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $Δ > 0$ ，有两个不同的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $Δ = 0$ ，有两个相等的实数根（重根），抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上）。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $Δ < 0$ ，没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。

9.3.3 二次函数的图象 (Graphs of Quadratic Functions)

绘制二次函数图象（抛物线）的关键是找到其重要特征点。

① 绘制步骤 (Graphing Steps):
▮▮▮▮ⓑ 确定开口方向：观察 $a$ 的正负。
▮▮▮▮ⓒ 找到对称轴：计算 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。
▮▮▮▮ⓓ 找到顶点：计算 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，然后计算 $y = f (- \frac{b}{2 a})$ ，得到顶点坐标 $(- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$ 。
▮▮▮▮ⓔ 找到 y 截距：计算 $f (0) = c$ ，得到点 $(0, c)$ 。
▮▮▮▮ⓕ 找到 x 截距（如果存在）：解方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。
▮▮▮▮⚝ 如果有两个 x 截距，绘制它们。
▮▮▮▮⚝ 如果只有一个 x 截距，它就是顶点。
▮▮▮▮⚝ 如果没有 x 截距，跳过此步。
▮▮▮▮⚝ 如果需要更多点来描绘曲线，可以选择对称轴两侧的 $x$ 值，计算对应的 $y$ 值。由于对称性，选择对称轴一侧的点，可以在另一侧找到对称点。
▮▮▮▮⚝ 在直角坐标系中绘制顶点、截距和其他点。
▮▮▮▮⚝ 用平滑的曲线连接这些点，形成抛物线。

示例 (Example):
绘制函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ 的图象。 $a = 1, b = - 4, c = 3$ 。
开口方向： $a = 1 > 0$ ，向上开口。
对称轴： $x = - \frac{- 4}{2 (1)} = \frac{4}{2} = 2$ 。对称轴方程是 $x = 2$ 。
顶点：横坐标 $x = 2$ 。纵坐标 $f (2) = (2)^{2} - 4 (2) + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$ 。顶点坐标是 $(2, - 1)$ 。
y 截距： $f (0) = 0^{2} - 4 (0) + 3 = 3$ 。点为 $(0, 3)$ 。
x 截距：解 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 。因式分解得 $(x - 1) (x - 3) = 0$ 。所以 $x = 1$ 或 $x = 3$ 。x 截距点为 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$ 。
绘制点 $(2, - 1)$ 、 $(0, 3)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(3, 0)$ 。注意 $(0, 3)$ 关于对称轴 $x = 2$ 的对称点是 $(4, 3)$ 。
连接这些点形成向上开口的抛物线。

9.4 函数图象的变换 (Transformations of Function Graphs)

理解函数图象的变换有助于我们快速绘制和理解更复杂的函数图象。这里我们主要关注线性函数和二次函数图象的变换。

考虑一个基本函数 $y = f (x)$ 。

⚝ 垂直平移 (Vertical Translations):
▮▮▮▮⚝ 图象 $y = f (x) + k$ 是将 $y = f (x)$ 的图象向上平移 $| k |$ 个单位（如果 $k > 0$ ）或向下平移 $| k |$ 个单位（如果 $k < 0$ ）。
▮▮▮▮⚝ 示例： $y = x^{2} + 3$ 是将 $y = x^{2}$ 向上平移 3 个单位。 $y = x - 2$ 是将 $y = x$ 向下平移 2 个单位。

⚝ 水平平移 (Horizontal Translations):
▮▮▮▮⚝ 图象 $y = f (x - h)$ 是将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $| h |$ 个单位（如果 $h > 0$ ）或向左平移 $| h |$ 个单位（如果 $h < 0$ ）。注意这里的符号是反的。
▮▮▮▮⚝ 示例： $y = (x - 1)^{2}$ 是将 $y = x^{2}$ 向右平移 1 个单位。 $y = (x + 2)^{2} = (x - (- 2))^{2}$ 是将 $y = x^{2}$ 向左平移 2 个单位。

⚝ 垂直伸缩/翻折 (Vertical Stretches/Compressions/Reflections):
▮▮▮▮⚝ 图象 $y = c \cdot f (x)$ ，其中 $c$ 是常数。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $c > 1$ ，图象沿 y 轴方向垂直拉伸 (Vertical Stretch)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $0 < c < 1$ ，图象沿 y 轴方向垂直压缩 (Vertical Compression)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $c < 0$ ，图象关于 x 轴翻折 (Reflection across the x-axis)。如果 $c = - 1$ ，是简单的 x 轴翻折。如果 $c < - 1$ 或 $- 1 < c < 0$ ，则在翻折的同时伴随伸缩。
▮▮▮▮⚝ 示例： $y = 2 x^{2}$ 是将 $y = x^{2}$ 垂直拉伸。 $y = 0.5 x^{2}$ 是垂直压缩。 $y = - x^{2}$ 是关于 x 轴翻折。

⚝ 水平伸缩/翻折 (Horizontal Stretches/Compressions/Reflections):
▮▮▮▮⚝ 图象 $y = f (a x)$ ，其中 $a$ 是常数。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $| a | > 1$ ，图象沿 x 轴方向水平压缩 (Horizontal Compression)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $0 < | a | < 1$ ，图象沿 x 轴方向水平拉伸 (Horizontal Stretch)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 如果 $a < 0$ ，图象关于 y 轴翻折 (Reflection across the y-axis)。
▮▮▮▮⚝ 示例： $y = (2 x)^{2} = 4 x^{2}$ 是将 $y = x^{2}$ 水平压缩（等价于垂直拉伸）。 $y = (- x)^{2} = x^{2}$ 是关于 y 轴翻折（对于 $y = x^{2}$ 没有影响）。

⚝ 综合变换 (Combined Transformations):
▮▮▮▮⚝ 当函数包含多种变换时，通常按照一定的顺序进行，例如先进行伸缩/翻折，再进行平移。
▮▮▮▮⚝ 对于二次函数顶点式 $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ ，可以看作是将基本抛物线 $y = x^{2}$ 经过以下变换得到：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 垂直伸缩/翻折 $y = a x^{2}$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 水平平移 $y = a (x - h)^{2}$ 。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 垂直平移 $y = a (x - h)^{2} + k$ 。
▮▮▮▮⚝ 顶点 $(h, k)$ 就是基本抛物线顶点 $(0, 0)$ 经过水平平移 $h$ 和垂直平移 $k$ 后的位置。

理解这些变换规则，可以帮助我们更直观地认识函数图象的形状和位置变化，从而更有效地进行图象绘制和分析。

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10. chapter 10：方程组 (Systems of Equations)

方程组 (Systems of Equations) 是代数中一个核心概念，它允许我们同时处理多个变量之间的关系。在现实世界中，许多问题涉及多个未知量以及它们之间相互关联的条件，这时就需要建立方程组来求解。本章将深入探讨二元线性方程组 (Systems of Linear Equations in Two Variables) 的求解方法、解的类型，并简要介绍三元线性方程组 (Systems of Linear Equations in Three Variables)，最后通过丰富的应用题案例，展示方程组在解决实际问题中的强大作用。

10.1 二元线性方程组 (Systems of Linear Equations in Two Variables)

在前面的章节中，我们学习了如何求解含有单个变量的线性方程。然而，许多实际问题涉及两个或更多个相互关联的未知量。例如，购买两种不同价格的商品，总花费已知，总数量也已知，如何确定每种商品购买了多少？这类问题就需要引入多个变量，并建立相应的方程来描述它们之间的关系。

一个二元线性方程 (Linear Equation in Two Variables) 是形如 $A x + B y = C$ 的方程，其中 $A, B, C$ 是常数 (constants)，且 $A$ 和 $B$ 不全为零， $x$ 和 $y$ 是变量 (variables)。例如， $2 x + 3 y = 7$ 就是一个二元线性方程。这个方程的解 (solution) 是一个有序数对 (ordered pair) $(x, y)$ ，它能使方程成立。例如，对于方程 $2 x + 3 y = 7$ ，有序数对 $(2, 1)$ 是一个解，因为 $2 (2) + 3 (1) = 4 + 3 = 7$ 。

一个二元线性方程组 (System of Linear Equations in Two Variables) 由两个或多个二元线性方程组成，它们共享相同的变量。在初等代数中，我们主要关注由两个二元线性方程组成的方程组，其一般形式为： ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 其中 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ 都是常数。

方程组的解 (Solution of a System of Equations) 是一个有序数对 $(x, y)$ ，它能同时满足方程组中的每一个方程。求解方程组就是找到所有这样的有序数对。

10.2 求解二元线性方程组的方法 (Methods for Solving Systems of Linear Equations in Two Variables)

求解二元线性方程组有几种常用的方法，包括图象法 (Graphing Method)、代入消元法 (Substitution Method) 和加减消元法 (Elimination Method)。每种方法都有其优点和适用场景。

10.2.1 图象法 (Graphing Method)

图象法是通过绘制方程组中每个方程对应的直线图象，来确定方程组的解。我们知道，每一个二元线性方程 $A x + B y = C$ 在直角坐标系 (Rectangular Coordinate System) 中都对应一条直线。这条直线上的所有点 $(x, y)$ 都是该方程的解。因此，方程组的解就是组成方程组的各条直线的交点 (intersection point) 的坐标。

① 求解步骤：
▮▮▮▮ⓑ 将方程组中的每个方程都转化为斜截式 (Slope-Intercept Form) $y = m x + b$ 或易于绘制图象的形式。
▮▮▮▮ⓒ 在同一个直角坐标系中，分别绘制出每个方程对应的直线。
▮▮▮▮ⓓ 观察两条直线的交点。
▮▮▮▮ⓔ 如果两条直线相交于一点，则该点的坐标 $(x, y)$ 就是方程组的唯一解 (Unique Solution)。
▮▮▮▮ⓕ 如果两条直线平行 (parallel) 且不重合，则方程组无解 (No Solution)。
▮▮▮▮⚝ 平行线的斜率相等，但纵截距不同。
▮▮▮▮⚝ 在代数上表现为，方程组会推导出一个矛盾的等式，例如 $0 = 5$ 。
▮▮▮▮⚝ 这种情况下的方程组称为不相容方程组 (Inconsistent System)。
▮▮▮▮⚝ 如果两条直线重合 (coincident)，则方程组有无穷多解 (Infinitely Many Solutions)。
▮▮▮▮⚝ 重合线的斜率和纵截距都相等。
▮▮▮▮⚝ 在代数上表现为，方程组会推导出一个恒等式 (identity)，例如 $0 = 0$ 。
▮▮▮▮⚝ 这种情况下的方程组称为相依方程组 (Dependent System)。
▮▮▮▮⚝ 如果两条直线相交于一点，则方程组称为相容且独立方程组 (Consistent and Independent System)。
▮▮▮▮⚝ 在代数上表现为，方程组有唯一解。
▮▮▮▮⚝ 检验 (Check) 求得的解是否满足原方程组中的所有方程。

② 示例：
求解方程组： ${\begin{cases} x + y = 5 \\ 2 x - y = 1 \end{cases}$ ▮▮▮▮ⓐ 将两个方程都转化为斜截式：
▮▮▮▮⚝ 方程1: $y = - x + 5$ (斜率 $m_{1} = - 1$ ，纵截距 $b_{1} = 5$ )
▮▮▮▮⚝ 方程2: $- y = - 2 x + 1 ⟹ y = 2 x - 1$ (斜率 $m_{2} = 2$ ，纵截距 $b_{2} = - 1$ )
▮▮▮▮ⓑ 绘制这两条直线。直线 $y = - x + 5$ 通过点 $(0, 5)$ 和 $(5, 0)$ 。直线 $y = 2 x - 1$ 通过点 $(0, - 1)$ 和 $(1, 1)$ 。
▮▮▮▮ⓒ 观察图象，两条直线似乎相交于点 $(2, 3)$ 。
▮▮▮▮ⓓ 检验点 $(2, 3)$ ：
▮▮▮▮⚝ 方程1: $2 + 3 = 5$ (成立)
▮▮▮▮⚝ 方程2: $2 (2) - 3 = 4 - 3 = 1$ (成立)
▮▮▮▮ⓔ 因此，方程组的唯一解是 $(2, 3)$ 。

③ 优缺点：
⚝ 优点：直观，有助于理解方程组解的几何意义。
⚝ 缺点：当解不是整数时，从图象中精确读取坐标比较困难；绘制图象耗时。

10.2.2 代入消元法 (Substitution Method)

代入消元法是通过将一个方程中的一个变量用另一个变量的表达式表示出来，然后代入另一个方程，从而消去一个变量，将方程组转化为一个一元线性方程来求解。

① 求解步骤：
▮▮▮▮ⓑ 选择方程组中的一个方程，解出其中一个变量（例如，将 $x$ 用含 $y$ 的表达式表示，或将 $y$ 用含 $x$ 的表达式表示）。选择系数为 1 或 -1 的变量通常更方便。
▮▮▮▮ⓒ 将步骤ⓐ中解出的表达式代入方程组中的另一个方程。
▮▮▮▮ⓓ 求解由此得到的一元线性方程，求出剩余变量的值。
▮▮▮▮ⓔ 将步骤ⓒ中求得的变量值代入步骤ⓐ中得到的表达式，求出另一个变量的值。
▮▮▮▮ⓕ 将求得的有序数对 $(x, y)$ 代入原方程组中的两个方程进行检验。

② 示例：
求解方程组： ${\begin{cases} x + y = 5 & (1) \\ 2 x - y = 1 & (2) \end{cases}$ ▮▮▮▮ⓐ 从方程 (1) 中解出 $x$ ： $x = 5 - y$ 。
▮▮▮▮ⓑ 将 $x = 5 - y$ 代入方程 (2)： $2 (5 - y) - y = 1$ 。
▮▮▮▮ⓒ 求解关于 $y$ 的一元方程：
▮▮▮▮⚝ $10 - 2 y - y = 1$ ▮▮▮▮⚝ $10 - 3 y = 1$ ▮▮▮▮⚝ $- 3 y = 1 - 10$ ▮▮▮▮⚝ $- 3 y = - 9$ ▮▮▮▮⚝ $y = 3$ ▮▮▮▮ⓓ 将 $y = 3$ 代入 $x = 5 - y$ ： $x = 5 - 3 = 2$ 。
▮▮▮▮ⓔ 求得解为 $(2, 3)$ 。检验过程同图象法示例。

③ 优缺点：
⚝ 优点：适用于任何二元线性方程组，特别是当某个变量的系数为 1 或 -1 时，步骤简单。
⚝ 缺点：如果所有变量的系数都不是 1 或 -1，可能会涉及分数计算，过程稍显繁琐。

10.2.3 加减消元法 (Elimination Method)

加减消元法是通过将方程组中的两个方程进行相加或相减，使得某个变量的系数变为零，从而消去该变量，将方程组转化为一个一元线性方程来求解。在相加或相减之前，可能需要对一个或两个方程进行适当的乘法运算，以使某个变量的系数的绝对值相等。

① 求解步骤：
▮▮▮▮ⓑ 观察方程组中两个方程的同一个变量（例如 $x$ 或 $y$ ）的系数。
▮▮▮▮ⓒ 如果某个变量的系数的绝对值相等，且符号相同，则将两个方程相减；如果符号相反，则将两个方程相加。
▮▮▮▮ⓓ 如果某个变量的系数的绝对值不相等，则通过乘以适当的非零常数，使其中一个变量的系数的绝对值相等。然后根据符号选择相加或相减。
▮▮▮▮ⓔ 求解由此得到的一元线性方程，求出剩余变量的值。
▮▮▮▮ⓕ 将步骤ⓓ中求得的变量值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个变量的值。
▮▮▮▮⚝ 也可以重复步骤ⓐ-ⓒ，消去另一个变量，直接求出其值。
▮▮▮▮⚝ 推荐将求得的值代入原方程组进行检验。
▮▮▮▮⚝ 将求得的有序数对 $(x, y)$ 代入原方程组中的两个方程进行检验。

② 示例：
求解方程组： ${\begin{cases} x + y = 5 & (1) \\ 2 x - y = 1 & (2) \end{cases}$ ▮▮▮▮ⓐ 观察 $y$ 的系数，方程 (1) 中是 1，方程 (2) 中是 -1。它们的绝对值相等，符号相反。
▮▮▮▮ⓑ 将方程 (1) 和方程 (2) 相加：
▮▮▮▮⚝ $(x + y) + (2 x - y) = 5 + 1$ ▮▮▮▮⚝ $x + y + 2 x - y = 6$ ▮▮▮▮⚝ $3 x = 6$ ▮▮▮▮ⓒ 求解关于 $x$ 的一元方程： $x = 2$ 。
▮▮▮▮ⓓ 将 $x = 2$ 代入方程 (1)： $2 + y = 5$ 。
▮▮▮▮ⓔ 求解关于 $y$ 的一元方程： $y = 5 - 2 = 3$ 。
▮▮▮▮⚝ 求得解为 $(2, 3)$ 。检验过程同图象法示例。

③ 另一个示例 (需要乘法)：
求解方程组： ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 & (1) \\ 3 x - 2 y = 4 & (2) \end{cases}$ ▮▮▮▮ⓐ 观察 $x$ 的系数 (2和3) 和 $y$ 的系数 (3和-2)。没有系数的绝对值相等。
▮▮▮▮ⓑ 为了消去 $y$ ，可以将方程 (1) 乘以 2，方程 (2) 乘以 3，使得 $y$ 的系数变为 6 和 -6。
▮▮▮▮⚝ 方程 (1) * 2: $Misplaced &$ ▮▮▮▮⚝ 方程 (2) * 3: $Misplaced &$ ▮▮▮▮ⓒ 将方程 (3) 和方程 (4) 相加 (因为 $y$ 的系数符号相反)：
▮▮▮▮⚝ $(4 x + 6 y) + (9 x - 6 y) = 14 + 12$ ▮▮▮▮⚝ $4 x + 6 y + 9 x - 6 y = 26$ ▮▮▮▮⚝ $13 x = 26$ ▮▮▮▮ⓓ 求解关于 $x$ 的一元方程： $x = 2$ 。
▮▮▮▮ⓔ 将 $x = 2$ 代入原方程组中的任意一个方程，例如方程 (1)： $2 (2) + 3 y = 7$ 。
▮▮▮▮⚝ $4 + 3 y = 7$ ▮▮▮▮⚝ $3 y = 7 - 4$ ▮▮▮▮⚝ $3 y = 3$ ▮▮▮▮⚝ $y = 1$ ▮▮▮▮⚝ 求得解为 $(2, 1)$ 。
▮▮▮▮⚝ 检验：
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ 方程 (1): $2 (2) + 3 (1) = 4 + 3 = 7$ (成立)
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 方程 (2): $3 (2) - 2 (1) = 6 - 2 = 4$ (成立)

④ 优缺点：
⚝ 优点：适用于任何二元线性方程组，特别是当变量系数都不是 1 或 -1 时，通常比代入法更简洁。
⚝ 缺点：需要仔细选择要消去的变量，并进行正确的乘法和加减运算，容易出现计算错误。

10.3 方程组的解的个数 (Number of Solutions for Systems of Equations)

正如在图象法中提到的，二元线性方程组的解的个数有三种可能：唯一解 (Unique Solution)、无解 (No Solution) 和无穷多解 (Infinitely Many Solutions)。这三种情况在代数求解过程中也会自然地显现出来。

① 唯一解 (Unique Solution)：
⚝ 几何意义：两条直线相交于一点。
⚝ 代数表现：在求解过程中，可以得到变量的确定值。例如， $x = 2, y = 3$ 。
⚝ 系数关系：方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 具有唯一解当且仅当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ (假设 $a_{2}, b_{2} \neq 0$ )。如果 $a_{2}$ 或 $b_{2}$ 为零，则需要具体分析，但核心是两条直线的斜率不同。

② 无解 (No Solution)：
⚝ 几何意义：两条直线平行且不重合。
⚝ 代数表现：在求解过程中，会得到一个矛盾的等式，例如 $0 = 5$ 或 $3 = - 2$ 。这意味着不存在任何一对 $(x, y)$ 能同时满足两个方程。
⚝ 系数关系：方程组具有无解当且仅当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ (假设 $a_{2}, b_{2}, c_{2} \neq 0$ )。这意味着两条直线的斜率相等，但纵截距不同。

③ 无穷多解 (Infinitely Many Solutions)：
⚝ 几何意义：两条直线重合。
⚝ 代数表现：在求解过程中，会得到一个恒等式，例如 $0 = 0$ 或 $5 = 5$ 。这意味着一个方程实际上是另一个方程的倍数，两个方程是等价的，它们的所有解都相同。
⚝ 系数关系：方程组具有无穷多解当且仅当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ (假设 $a_{2}, b_{2}, c_{2} \neq 0$ )。这意味着两条直线的斜率和纵截距都相等。

理解这三种情况的几何和代数意义，有助于在求解过程中判断方程组的解的类型，并在遇到矛盾或恒等式时知道如何解释结果。

10.4 三元线性方程组简介 (Introduction to Systems of Linear Equations in Three Variables)

初等代数通常侧重于二元线性方程组，但了解如何处理更多变量的方程组也很重要。一个三元线性方程 (Linear Equation in Three Variables) 是形如 $A x + B y + C z = D$ 的方程，其中 $A, B, C, D$ 是常数，且 $A, B, C$ 不全为零， $x, y, z$ 是变量。在三维空间中，这样的方程表示一个平面 (plane)。

一个三元线性方程组 (System of Linear Equations in Three Variables) 通常由三个三元线性方程组成，其一般形式为： ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$ 方程组的解是一个有序三元组 (ordered triple) $(x, y, z)$ ，它能同时满足方程组中的每一个方程。

求解三元线性方程组的基本思想仍然是消元 (elimination)。常用的方法是多次运用加减消元法或代入消元法，将三元方程组转化为二元方程组，再转化为一元方程进行求解。

① 求解步骤概述 (使用加减消元法)：
▮▮▮▮ⓑ 选择两个方程，消去其中一个变量（例如 $z$ ），得到一个含有 $x$ 和 $y$ 的新方程。
▮▮▮▮ⓒ 选择另外两个方程（其中一个必须是步骤ⓐ中未使用的那个），同样消去同一个变量（ $z$ ），得到另一个含有 $x$ 和 $y$ 的新方程。
▮▮▮▮ⓓ 由步骤ⓐ和ⓑ得到的两个新方程组成一个二元线性方程组。
▮▮▮▮ⓔ 求解这个二元线性方程组，得到 $x$ 和 $y$ 的值。
▮▮▮▮ⓕ 将求得的 $x$ 和 $y$ 的值代入原方程组中的任意一个方程，求解关于 $z$ 的一元方程，得到 $z$ 的值。
▮▮▮▮⚝ 检验求得的有序三元组 $(x, y, z)$ 是否满足原方程组中的所有方程。

② 解的个数：
三元线性方程组的解的个数也有三种可能：唯一解（三个平面相交于一点）、无解（三个平面没有共同交点，例如两两平行或相交于三条平行线等情况）、无穷多解（三个平面重合或相交于一条直线）。

求解三元或更多变量的线性方程组是线性代数 (Linear Algebra) 的重要内容，通常会使用矩阵 (matrices) 和行列式 (determinants) 等更高级的工具来系统地解决。在初等代数阶段，掌握通过消元法求解三元方程组的基础是重要的。

10.5 方程组的应用 (Applications of Systems of Equations)

方程组是解决实际问题强有力的工具。许多现实情境可以被建模为方程组，通过求解方程组来找到问题的答案。解决应用题的关键在于准确地将文字描述转化为数学方程。

① 解应用题的策略：
▮▮▮▮ⓑ 理解问题 (Understanding the Problem): 仔细阅读题目，弄清已知条件和要求解的未知量。
▮▮▮▮ⓒ 设定变量 (Setting up Variables): 用字母（通常是 $x, y$ 等）表示问题中的未知量。明确每个变量代表什么。
▮▮▮▮ⓓ 建立方程组 (Formulating Equations): 根据题目中给出的关系或条件，列出包含这些变量的方程。需要几个未知量，通常就需要建立几个独立的方程。
▮▮▮▮ⓔ 求解方程组 (Solving the System): 选择合适的代数方法（代入法或加减法）求解建立的方程组。
▮▮▮▮ⓕ 检验并回答问题 (Checking and Answering): 将求得的解代回原问题情境中，检查是否符合所有条件。确保答案符合实际意义，并用完整的句子回答问题。

② 典型应用题类型 (与方程组相关)：
方程组常用于解决以下类型的应用题：
▮▮▮▮ⓐ 数字问题 (Number Problems): 关于数字之间关系的题目。
▮▮▮▮⚝ 示例：两个数的和是 15，差是 3，求这两个数。
▮▮▮▮ⓑ 年龄问题 (Age Problems): 关于不同人年龄之间关系的题目。
▮▮▮▮⚝ 示例：父亲现在的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年后，父亲的年龄将是儿子年龄的 2.5 倍，求他们现在的年龄。
▮▮▮▮ⓒ 行程问题 (Distance, Rate, Time Problems): 关于物体运动的距离、速度和时间关系的题目。通常涉及顺流/逆流、追赶、相遇等情境。
▮▮▮▮⚝ 示例：一艘船在静水中的速度是 20 千米/小时，它顺流航行 40 千米所需时间与逆流航行 24 千米所需时间相同，求水流的速度。
▮▮▮▮ⓓ 工程问题 (Work Problems): 关于合作完成某项工作的题目。通常涉及工作效率、工作时间和工作总量。
▮▮▮▮⚝ 示例：甲、乙两人合作完成一项工程需要 6 天。如果甲单独做 2 天，乙单独做 3 天，只能完成工程的 2/5。求甲、乙两人单独完成这项工程各需要多少天。
▮▮▮▮ⓔ 浓度与配比问题 (Concentration and Mixture Problems): 关于混合不同浓度或不同价格的物质的题目。
▮▮▮▮⚝ 示例：现有两种盐水，浓度分别为 10% 和 20%。要配制 15% 的盐水 100 克，需要这两种盐水各多少克？
▮▮▮▮⚝ 示例：混合两种不同价格的咖啡豆，得到一定重量和价格的混合咖啡豆。

③ 应用题示例解析 (以浓度问题为例)：
示例：现有两种盐水，浓度分别为 10% 和 20%。要配制 15% 的盐水 100 克，需要这两种盐水各多少克？
▮▮▮▮ⓐ 理解问题：已知两种盐水的浓度和目标盐水的总量及浓度，要求配制时各需要多少克原盐水。
▮▮▮▮ⓑ 设定变量：
▮▮▮▮⚝ 设需要 10% 的盐水 $x$ 克。
▮▮▮▮⚝ 设需要 20% 的盐水 $y$ 克。
▮▮▮▮ⓒ 建立方程组：
▮▮▮▮⚝ 根据盐水的总量：两种盐水的重量之和等于目标盐水的总重量。
▮▮▮▮▮▮▮▮❶ $Misplaced &$ ▮▮▮▮⚝ 根据盐的重量：两种盐水中所含盐的重量之和等于目标盐水中所含盐的重量。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 10% 的盐水中含盐 $0.10 x$ 克。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 20% 的盐水中含盐 $0.20 y$ 克。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 15% 的 100 克盐水中含盐 $0.15 \times 100 = 15$ 克。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 所以，方程为 $Misplaced &$ ▮▮▮▮⚝ 得到方程组： ${\begin{cases} x + y = 100 \\ 0.10 x + 0.20 y = 15 \end{cases}$ ▮▮▮▮ⓓ 求解方程组：
▮▮▮▮⚝ 可以使用代入法或加减法。使用代入法：从方程 (1) 得 $x = 100 - y$ 。
▮▮▮▮⚝ 代入方程 (2)： $0.10 (100 - y) + 0.20 y = 15$ ▮▮▮▮⚝ $10 - 0.10 y + 0.20 y = 15$ ▮▮▮▮⚝ $10 + 0.10 y = 15$ ▮▮▮▮⚝ $0.10 y = 5$ ▮▮▮▮⚝ $y = \frac{5}{0.10} = 50$ ▮▮▮▮⚝ 将 $y = 50$ 代入 $x = 100 - y$ ： $x = 100 - 50 = 50$ 。
▮▮▮▮⚝ 求得解为 $x = 50, y = 50$ 。
▮▮▮▮ⓔ 检验并回答：需要 10% 的盐水 50 克，20% 的盐水 50 克。
▮▮▮▮⚝ 总重量： $50 + 50 = 100$ 克 (符合)。
▮▮▮▮⚝ 总含盐量： $0.10 \times 50 + 0.20 \times 50 = 5 + 10 = 15$ 克。
▮▮▮▮⚝ 目标盐水含盐量： $0.15 \times 100 = 15$ 克 (符合)。
▮▮▮▮⚝ 答案：需要 10% 的盐水 50 克，20% 的盐水 50 克。✅

通过本章的学习，我们掌握了求解二元线性方程组的多种方法，理解了方程组解的几何意义和代数特征，并初步了解了三元线性方程组。更重要的是，我们学习了如何将实际问题转化为数学模型——方程组，并运用所学知识解决这些问题。方程组是代数中连接理论与实际应用的重要桥梁。

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11. chapter 11：应用题综合解析 (Comprehensive Analysis of Word Problems)

亲爱的同学们，欢迎来到初等代数学习的第十一章！📚 在前面的章节中，我们系统地学习了代数的基础知识，包括实数系统、代数表达式、方程与不等式的求解、多项式、有理表达式、根式表达式、二次方程以及函数和方程组的基础概念。这些都是代数这门语言的“词汇”和“语法”。然而，数学不仅仅是符号和规则的游戏，它更是解决现实世界问题的强大工具。应用题（Word Problems），正是连接抽象代数概念与具体实际情境的桥梁。

应用题往往以文字描述的形式呈现一个实际问题，要求我们运用代数知识来建立数学模型并求解。对于许多初学者来说，应用题可能是一个挑战，因为它需要我们将文字信息转化为数学语言，这本身就是一个重要的思维过程。本章将带领大家深入解析应用题的解题策略，探讨各种典型应用题的类型，并学习如何运用二次方程和方程组来解决更复杂的实际问题。通过本章的学习，我希望大家能够掌握解决应用题的关键技巧，提升将实际问题抽象为数学模型的能力，从而更加自信地面对各种挑战。

11.1 应用题的解题策略 (Strategies for Solving Word Problems)

解决应用题并非无迹可寻，我们可以遵循一套系统化的解题策略。这套策略可以帮助我们理清思路，避免遗漏关键信息，并有效地将问题转化为可解的数学形式。这套策略通常包括以下四个主要步骤：

11.1.1 理解问题 (Understanding the Problem)

这是解决任何应用题的第一步，也是最关键的一步。如果对问题本身没有透彻的理解，后续的步骤都将是徒劳的。

⚝ 仔细阅读问题：至少阅读两遍。第一遍快速浏览，了解问题的整体背景和大概内容；第二遍慢速精读，圈出或记下所有关键信息、已知条件以及最终要求我们求解什么。
⚝ 识别已知量和未知量：明确问题中给出了哪些数值或关系（已知量），以及要求我们找出什么（未知量）。
⚝ 确定问题类型：初步判断问题可能涉及哪些数学概念或工具（例如，是关于距离、时间、速度的问题？是关于混合物的问题？还是关于几何图形的问题？）。
⚝ 排除无关信息：有些应用题可能会包含一些与求解无关的背景信息，需要我们识别并忽略它们。
⚝ 用自己的话复述问题：尝试用自己的语言重新描述一遍问题，这有助于确认你是否真正理解了问题的含义和要求。
⚝ 画图或制作表格：对于一些问题，特别是涉及几何、行程或混合物的问题，画一个简单的示意图或制作一个表格可以帮助我们可视化问题，更清晰地组织信息。

11.1.2 设定变量 (Setting up Variables)

理解问题后，我们需要将问题中的未知量用代数符号表示出来。这通常意味着引入变量（Variables）。

⚝ 选择合适的变量：通常用字母（如 $x$ , $y$ , $z$ 等）来表示未知量。选择的字母最好能与未知量的含义相关联，例如用 $t$ 表示时间（time），用 $d$ 表示距离（distance），用 $w$ 表示工作量（work）等，这样有助于记忆和理解。
⚝ 明确变量的含义和单位：清楚地写下每个变量代表什么，以及它的单位是什么（例如，“设 $x$ 表示小明的年龄，单位是岁”）。这对于后续建立方程和检验解的合理性至关重要。
⚝ 如果有多个未知量，尝试用一个变量表示其他未知量：在许多应用题中，不同的未知量之间存在关系。如果可能，尽量只引入一个变量，然后根据已知关系用这个变量的代数表达式来表示其他未知量。例如，如果已知两个数的和是10，设其中一个数为 $x$ ，则另一个数可以表示为 $10 - x$ 。这有助于将问题转化为一元方程。如果无法用一个变量表示所有未知量，则可能需要引入多个变量，并准备建立方程组。

11.1.3 建立方程或不等式 (Formulating Equations or Inequalities)

这是将文字问题转化为数学模型的核心步骤。我们需要根据问题中给出的已知条件和未知量之间的关系，列出代数方程或不等式。

⚝ 寻找等量关系或不等量关系：仔细分析问题描述，找出其中蕴含的等量关系（例如，“A比B多5”，“总共是100”，“两者的乘积是50”）或不等量关系（例如，“至少需要10个”，“不超过20元”，“比原来减少了30%”）。
⚝ 将文字关系转化为代数表达式：使用设定的变量和已知的数值，将这些等量或不等量关系用代数表达式连接起来，形成方程（Equations）或不等式（Inequalities）。
⚝ 检查方程或不等式的数量：如果引入了一个变量，通常需要建立一个方程或不等式。如果引入了 $n$ 个变量，通常需要建立 $n$ 个独立的方程才能求解（对于方程组）。
⚝ 确保方程或不等式准确反映问题：在建立好方程或不等式后，重新对照问题描述，检查所列的数学表达式是否准确无误地表达了问题中的关系。

11.1.4 求解并检验 (Solving and Checking)

建立数学模型后，接下来就是运用我们学过的代数方法来求解方程或不等式。

⚝ 求解方程或不等式：根据所列方程或不等式的类型（线性方程、二次方程、方程组、线性不等式等），运用相应的求解方法（如移项、合并同类项、因式分解、公式法、代入法、加减法等）求出变量的值。
⚝ 检验解的数学正确性：将求得的变量值代回所列的方程或不等式中，检查等式或不等式是否成立。这是检验计算过程是否有误。
⚝ 检验解的实际意义和合理性：将求得的变量值代回原应用题的问题情境中，检查这个解是否符合实际情况。例如，如果求解的是人数或物品数量，结果必须是非负整数；如果求解的是时间或距离，结果通常必须是非负数；年龄不能是负数，等等。如果解在数学上正确但在实际中不合理，说明可能在建立模型时出现了错误，需要重新审视问题和设定的变量。
⚝ 回答问题：应用题最终要求回答的是一个具体的问题，而不是仅仅求出变量的值。在求得合理有效的解后，需要用完整的语言清晰地回答原问题。注意答案的单位是否正确。

这四个步骤是一个循环往复的过程。如果在任何一步发现问题（例如，无法建立方程，或者求出的解不合理），都需要回到前面的步骤重新审视和调整。

11.2 典型应用题类型 (Types of Typical Word Problems)

初等代数中常见的应用题类型多种多样，掌握不同类型问题的特点和常用的建模方法，有助于我们更快地找到解题思路。下面我们将介绍几种典型的应用题类型。

11.2.1 数字问题 (Number Problems)

这类问题通常涉及未知数之间的数量关系，例如两个数的和、差、积、商，或者关于数的位数等。

例题 11.2.1.1
有两个连续的奇数（Consecutive Odd Numbers），它们的平方差（Difference of Squares）是40。求这两个奇数。

解析：
① 理解问题：问题要求找出两个连续的奇数，已知它们的平方差是40。
② 设定变量：设较小的奇数为 $x$ 。因为是连续的奇数，所以较大的奇数是 $x + 2$ 。
③ 建立方程：根据题意，较大的奇数的平方减去较小的奇数的平方等于40。 $(x + 2)^{2} - x^{2} = 40$ ④ 求解并检验：
展开方程： $(x^{2} + 4 x + 4) - x^{2} = 40$ $4 x + 4 = 40$ $4 x = 36$ $x = 9$ 所以较小的奇数是9，较大的奇数是 $9 + 2 = 11$ 。
检验：这两个数是9和11，它们是连续的奇数。它们的平方差是 $11^{2} - 9^{2} = 121 - 81 = 40$ 。符合题意。
回答问题：这两个连续的奇数是9和11。✅

11.2.2 年龄问题 (Age Problems)

这类问题涉及不同人物在不同时间点（过去、现在、将来）的年龄关系。关键在于理解年龄随时间的变化规律：每个人年龄增长的速度是相同的。

例题 11.2.2.1
父亲现在的年龄（Father's Current Age）是儿子现在年龄（Son's Current Age）的3倍。10年后（In 10 years），父亲的年龄将是儿子年龄的2倍。求父子现在各是多少岁。

解析：
① 理解问题：已知父子现在的年龄关系和10年后的年龄关系，要求父子现在的年龄。
② 设定变量：设儿子现在的年龄为 $x$ 岁。根据题意，父亲现在的年龄是 $3 x$ 岁。
③ 建立方程：10年后，儿子的年龄是 $x + 10$ 岁，父亲的年龄是 $3 x + 10$ 岁。根据题意，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍。 $3 x + 10 = 2 (x + 10)$ ④ 求解并检验：
展开方程： $3 x + 10 = 2 x + 20$ $3 x - 2 x = 20 - 10$ $x = 10$ 所以儿子现在的年龄是10岁，父亲现在的年龄是 $3 \times 10 = 30$ 岁。
检验：现在父亲30岁，儿子10岁，父亲年龄是儿子的3倍（30 = 3 * 10），符合题意。10年后，父亲40岁，儿子20岁，父亲年龄是儿子年龄的2倍（40 = 2 * 20），符合题意。
回答问题：父亲现在30岁，儿子现在10岁。✅

11.2.3 行程问题 (Distance, Rate, Time Problems)

这类问题涉及物体运动的距离（Distance）、速度（Rate 或 Speed）和时间（Time）之间的关系。基本公式是：距离 = 速度 × 时间，即 $d = r \times t$ 。

常见的行程问题类型包括：
⚝ 相遇问题 (Meeting Problems)：两个物体从两地出发相向而行，直到相遇。总距离等于两物体各自走过的距离之和。
⚝ 追及问题 (Catch-up Problems)：两个物体同向而行，速度快的追赶速度慢的。追上时，速度快的比速度慢的多走的距离等于两物体出发时的距离差。
⚝ 往返问题 (Round Trip Problems)：物体从某地出发到达另一地，再返回原地。去程和回程的距离相等。

例题 11.2.3.1
甲乙两地相距450千米（km）。一辆汽车从甲地开往乙地，速度为每小时60千米（km/h）。一辆摩托车同时从乙地开往甲地，速度为每小时40千米（km/h）。两车相遇（Meet）需要多少小时？

解析：
① 理解问题：已知两地距离、汽车速度、摩托车速度，两车同时相向而行，要求相遇所需时间。这是一个相遇问题。
② 设定变量：设两车相遇需要 $t$ 小时。
③ 建立方程：在 $t$ 小时内，汽车行驶的距离是 $60 t$ 千米，摩托车行驶的距离是 $40 t$ 千米。两车相向而行，相遇时两车行驶的总距离等于甲乙两地之间的距离。 $60 t + 40 t = 450$ ④ 求解并检验：
合并同类项： $100 t = 450$ $t = \frac{450}{100} = 4.5$ 所以两车相遇需要4.5小时。
检验：4.5小时内，汽车行驶 $60 \times 4.5 = 270$ 千米，摩托车行驶 $40 \times 4.5 = 180$ 千米。两车总共行驶 $270 + 180 = 450$ 千米，等于甲乙两地距离。符合题意。
回答问题：两车相遇需要4.5小时。✅

11.2.4 工程问题 (Work Problems)

这类问题涉及完成某项工作（Work）的总量、工作效率（Rate of Work）和工作时间（Time）之间的关系。基本公式是：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。通常将工作总量设为单位“1”。

例题 11.2.4.1
一项工程（A Project），甲队单独完成需要10天（Days），乙队单独完成需要15天。如果两队合作（Work Together），需要多少天可以完成这项工程？

解析：
① 理解问题：已知甲乙两队单独完成某项工程所需时间，要求两队合作完成所需时间。
② 设定变量：设这项工程的总工作量为1。甲队每天完成的工作量（效率）是总工作量的 $\frac{1}{10}$ ，乙队每天完成的工作量是总工作量的 $\frac{1}{15}$ 。设两队合作完成这项工程需要 $x$ 天。
③ 建立方程：两队合作时，每天完成的工作量是甲队效率加上乙队效率。在 $x$ 天内，两队合作完成的总工作量是每天的效率之和乘以天数，等于总工作量1。 $(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) \times x = 1$ ④ 求解并检验：
计算括号内的和： $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ 方程变为： $\frac{1}{6} x = 1$ $x = 6$ 所以两队合作需要6天完成这项工程。
检验：甲队6天完成工作量的 $6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ，乙队6天完成工作量的 $6 \times \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ 。两队总共完成工作量的 $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$ 。符合题意。
回答问题：两队合作需要6天可以完成这项工程。✅

11.2.5 浓度与配比问题 (Concentration and Mixture Problems)

这类问题涉及溶液的浓度（Concentration）、溶质（Solute）的质量或体积、溶液（Solution）的总质量或总体积之间的关系。基本公式是：溶质的量 = 溶液的总量 × 浓度。浓度通常用百分数表示。

例题 11.2.5.1
有100克（g）浓度为10%的盐水（Salt Solution）。要将其浓度提高到20%，需要加入多少克盐（Salt）？

解析：
① 理解问题：已知初始盐水的质量和浓度，以及目标浓度，要求加入的盐的质量。加入盐会改变溶液的总质量和溶质（盐）的质量，但溶剂（水）的质量不变。
② 设定变量：设需要加入 $x$ 克盐。
③ 建立方程：
初始盐水中盐的质量是 $100 \times 10 % = 100 \times 0.10 = 10$ 克。
加入 $x$ 克盐后，盐的总质量变为 $10 + x$ 克。
加入 $x$ 克盐后，盐水的总质量变为 $100 + x$ 克。
根据题意，此时盐水的浓度为20%。 $\frac{盐的总质量}{盐水的总质量} = 浓度$ $\frac{10 + x}{100 + x} = 20 % = 0.20$ ④ 求解并检验：
将方程转化为线性方程： $10 + x = 0.20 \times (100 + x)$ $10 + x = 20 + 0.20 x$ $x - 0.20 x = 20 - 10$ $0.80 x = 10$ $x = \frac{10}{0.80} = \frac{100}{8} = 12.5$ 所以需要加入12.5克盐。
检验：加入12.5克盐后，盐的总质量为 $10 + 12.5 = 22.5$ 克，盐水的总质量为 $100 + 12.5 = 112.5$ 克。此时浓度为 $\frac{22.5}{112.5} = \frac{225}{1125}$ 。 $\frac{225}{1125} = \frac{25 \times 9}{25 \times 45} = \frac{9}{45} = \frac{1}{5} = 0.20 = 20 %$ 。符合题意。
回答问题：需要加入12.5克盐。✅

11.3 涉及二次方程和方程组的应用 (Applications Involving Quadratic Equations and Systems)

随着我们学习了二次方程和方程组，我们可以解决更广泛的应用题。这些问题往往涉及两个或多个未知量之间的非线性关系，或者需要同时满足多个线性关系。

11.3.1 涉及二次方程的应用

有些应用题在建立数学模型后会得到一个二次方程。这类问题通常与面积、物理运动（如抛物线轨迹）、优化问题等有关。

例题 11.3.1.1
一块矩形（Rectangle）草坪的长（Length）比宽（Width）多5米（m）。如果草坪的面积（Area）是84平方米（m²），求草坪的长和宽。

解析：
① 理解问题：已知矩形草坪长与宽的关系以及面积，要求长和宽。
② 设定变量：设草坪的宽为 $x$ 米。根据题意，长为 $x + 5$ 米。
③ 建立方程：矩形的面积等于长乘以宽。 $(x + 5) \times x = 84$ ④ 求解并检验：
展开方程，得到一个二次方程： $x^{2} + 5 x = 84$ 将方程化为标准形式： $x^{2} + 5 x - 84 = 0$ 尝试因式分解法求解。我们需要找到两个数，它们的积是-84，和是5。这两个数是12和-7。 $(x + 12) (x - 7) = 0$ 所以方程的解是 $x = - 12$ 或 $x = 7$ 。
检验解的实际意义： $x$ 代表草坪的宽度，必须是正数。因此， $x = - 12$ 这个解在实际问题中不合理，应舍去。
取 $x = 7$ 。此时宽为7米，长为 $7 + 5 = 12$ 米。
检验：长12米，宽7米。长比宽多 $12 - 7 = 5$ 米，符合题意。面积为 $12 \times 7 = 84$ 平方米，符合题意。
回答问题：草坪的长是12米，宽是7米。✅

11.3.2 涉及方程组的应用

当问题中存在多个未知量，并且这些未知量之间存在多个相互独立的线性关系时，通常需要建立线性方程组来求解。

例题 11.3.2.1
购买铅笔（Pencils）和橡皮（Erasers）。小明买了2支铅笔和3块橡皮，共花费7元（Yuan）。小红买了3支铅笔和1块橡皮，共花费5元。求每支铅笔和每块橡皮的价格。

解析：
① 理解问题：已知两次购买铅笔和橡皮的数量及总价，要求每支铅笔和每块橡皮的单价。问题中有两个未知量，且有两个独立的数量关系。
② 设定变量：设每支铅笔的价格为 $x$ 元，每块橡皮的价格为 $y$ 元。
③ 建立方程组：
根据小明的购买情况，可以列出第一个方程： $2 x + 3 y = 7$ 根据小红的购买情况，可以列出第二个方程： $3 x + y = 5$ 我们得到了一个二元线性方程组： ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 7 & (1) \\ 3 x + y = 5 & (2) \end{cases}$ ④ 求解并检验：
可以使用代入消元法或加减消元法。这里使用代入消元法。
从方程(2)中解出 $y$ : $Misplaced &$ 将方程(3)代入方程(1): $2 x + 3 (5 - 3 x) = 7$ $2 x + 15 - 9 x = 7$ $- 7 x = 7 - 15$ $- 7 x = - 8$ $x = \frac{- 8}{- 7} = \frac{8}{7}$ 将 $x = \frac{8}{7}$ 代入方程(3)求解 $y$ : $y = 5 - 3 \times \frac{8}{7} = 5 - \frac{24}{7} = \frac{35}{7} - \frac{24}{7} = \frac{11}{7}$ 所以每支铅笔的价格是 $\frac{8}{7}$ 元，每块橡皮的价格是 $\frac{11}{7}$ 元。
检验：
将 $x = \frac{8}{7}$ 和 $y = \frac{11}{7}$ 代入方程(1): $2 \times \frac{8}{7} + 3 \times \frac{11}{7} = \frac{16}{7} + \frac{33}{7} = \frac{49}{7} = 7$ 。方程(1)成立。
将 $x = \frac{8}{7}$ 和 $y = \frac{11}{7}$ 代入方程(2): $3 \times \frac{8}{7} + \frac{11}{7} = \frac{24}{7} + \frac{11}{7} = \frac{35}{7} = 5$ 。方程(2)成立。
解在数学上正确。价格是正数，符合实际意义。
回答问题：每支铅笔的价格是 $\frac{8}{7}$ 元，每块橡皮的价格是 $\frac{11}{7}$ 元。✅

通过本章的学习，我们掌握了解决应用题的基本流程和常见题型的建模方法。解决应用题的关键在于耐心、细致地分析问题，准确地将文字信息转化为代数表达式，并熟练运用各种方程和不等式的求解方法。多练习是提高解决应用题能力的不二法门。希望大家在今后的学习中，能够灵活运用这些策略，攻克应用题的难关！💪

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12. chapter 12：进阶主题与展望 (Advanced Topics and Outlook)

亲爱的同学们，我们已经一同走过了初等代数 (Elementary Algebra) 的基础旅程。从实数系统 (The Real Number System) 的基石，到方程 (Equations) 与不等式 (Inequalities) 的求解，再到多项式 (Polynomials)、有理表达式 (Rational Expressions) 和根式表达式 (Radical Expressions) 的运算，以及函数 (Functions) 和方程组 (Systems of Equations) 的初步探索，我们已经构建了一个坚实的代数知识体系。

本章作为本书的最后一章，旨在为您打开通往更广阔数学世界的大门。我们将简要介绍一些进阶概念，探讨初等代数与高等数学 (Higher Mathematics) 之间的联系，展示代数在现代科学技术中的广泛应用，并为您未来的学习提供一些建议和资源。希望本章能激发您对数学持续探索的兴趣，并认识到初等代数作为数学基础的重要性。

12.1 复数简介 (Introduction to Complex Numbers)

在求解二次方程 (Quadratic Equations) $a x^{2} + b x + c = 0$ 时，我们遇到了判别式 (The Discriminant) $Δ = b^{2} - 4 a c$ 。当 $Δ < 0$ 时，实数范围内没有解。为了解决这一问题，数学家引入了复数 (Complex Numbers) 的概念。

12.1.1 虚数单位 (The Imaginary Unit)'(i')我们定义一个特殊的数，称为虚数单位 (The Imaginary Unit)，记为'(i')，满足'(i^2 = -1')。这意味着'(i')是'(-1')的平方根 (Square Root)，即'(i = 'sqrt{-1}')。

利用虚数单位 $i$ ，我们可以表示任何负数的平方根。例如： $\sqrt{- 4} = \sqrt{4 \times (- 1)} = \sqrt{4} \times \sqrt{- 1} = 2 i$ $\sqrt{- 9} = \sqrt{9 \times (- 1)} = \sqrt{9} \times \sqrt{- 1} = 3 i$ 一般地，对于任意正实数 $a$ ，我们有 $\sqrt{- a} = \sqrt{a} i$ 。

12.1.2 复数的定义 (Definition of Complex Numbers)

一个复数 (Complex Number) 是形如 $a + b i$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数 (Real Numbers)， $i$ 是虚数单位。
⚝ 在复数 $z = a + b i$ 中， $a$ 称为复数 $z$ 的实部 (Real Part)，记作 $Re (z) = a$ 。
⚝ $b$ 称为复数 $z$ 的虚部 (Imaginary Part)，记作 $Im (z) = b$ 。
⚝ 当 $b = 0$ 时，复数 $a + 0 i = a$ 是一个实数。因此，实数是复数的特例。
⚝ 当 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，复数 $0 + b i = b i$ 称为纯虚数 (Pure Imaginary Number)。

12.1.3 复数的运算 (Operations with Complex Numbers)

复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，其规则类似于多项式的运算，但要记住 $i^{2} = - 1$ 。

① 加法 (Addition)： $(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$ ② 减法 (Subtraction)： $(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$ ③ 乘法 (Multiplication)： $(a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = a c + (a d + b c) i + b d (- 1) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ ④ 除法 (Division)：除法通常通过乘以分母的共轭复数 (Complex Conjugate) 来实现。复数 $a + b i$ 的共轭复数是 $a - b i$ 。 $\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)} = \frac{a c - a d i + b c i - b d i^{2}}{c^{2} - (d i)^{2}} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} - d^{2} i^{2}} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i$ #### 12.1.4 复数在求解二次方程中的应用 (Application of Complex Numbers in Solving Quadratic Equations)

引入复数后，对于判别式 $Δ < 0$ 的二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，其解为： $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{- | Δ |}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{| Δ |} i}{2 a}$ 这样，任何二次方程在复数范围内都有解。

复数不仅仅是为了解决二次方程而引入的，它们在电学、信号处理、量子力学等许多领域都有着极其重要的应用。

12.2 初等代数与高等数学的衔接 (Connection between Elementary Algebra and Higher Mathematics)

初等代数是数学学习的基石，它所建立的概念和技能是通往高等数学各个分支的必经之路。

⚝ 函数 (Functions): 初等代数中学习的线性函数 (Linear Functions) 和二次函数 (Quadratic Functions) 是高等数学中函数概念的起点。在微积分 (Calculus) 中，我们将深入研究函数的极限 (Limits)、导数 (Derivatives) 和积分 (Integrals)，这些都建立在对函数性质和图象的理解之上。
⚝ 方程与不等式 (Equations and Inequalities): 求解方程和不等式的能力在高等数学中无处不在。线性代数 (Linear Algebra) 专注于线性方程组 (Systems of Linear Equations) 的理论和求解方法；微分方程 (Differential Equations) 和积分方程 (Integral Equations) 则是描述自然现象和工程问题的强大工具。
⚝ 代数表达式与多项式 (Algebraic Expressions and Polynomials): 对代数表达式的化简、因式分解 (Factoring) 和运算是高等数学中进行符号计算的基础。多项式是微积分中泰勒级数 (Taylor Series) 和麦克劳林级数 (Maclaurin Series) 的重要组成部分，也是抽象代数 (Abstract Algebra) 中环 (Rings) 和域 (Fields) 概念的起点。
⚝ 图象 (Graphs): 在初等代数中学习的直角坐标系 (The Rectangular Coordinate System) 和函数图象的绘制是解析几何 (Analytic Geometry) 和微积分中可视化函数行为、理解概念的关键。

可以说，初等代数就像是数学语言的字母和语法，只有掌握了它们，才能阅读和书写更复杂的数学篇章。扎实的初等代数基础将极大地降低学习高等数学的难度，并帮助您更深入地理解抽象概念。

12.3 代数在现代科学技术中的应用 (Applications of Algebra in Modern Science and Technology)

代数不仅仅是纸面上的符号运算，它渗透在现代科学技术的方方面面，是解决实际问题的强大工具。

⚝ 物理学 (Physics): 物理定律常常用代数方程来表达，例如牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)、能量守恒定律 (Law of Conservation of Energy) 等。求解这些方程可以预测物体的运动轨迹、能量转换等。
⚝ 工程学 (Engineering):
▮▮▮▮⚝ 电气工程 (Electrical Engineering): 分析电路 (Circuit Analysis) 需要建立和求解线性方程组。
▮▮▮▮⚝ 机械工程 (Mechanical Engineering): 设计结构、分析受力需要运用代数方程和不等式。
▮▮▮▮⚝ 控制系统 (Control Systems): 设计自动控制系统需要理解和运用线性方程和函数。
⚝ 计算机科学 (Computer Science):
▮▮▮▮⚝ 算法 (Algorithms): 许多算法的描述和分析都依赖于代数表达式和方程。
▮▮▮▮⚝ 数据结构 (Data Structures): 数组、链表等数据结构的索引和操作涉及代数概念。
▮▮▮▮⚝ 图形学 (Computer Graphics): 计算机图形的变换（平移、旋转、缩放）使用矩阵运算，这是线性代数的核心，而线性代数建立在初等代数之上。
▮▮▮▮⚝ 密码学 (Cryptography): 现代密码学算法（如RSA）广泛使用数论 (Number Theory) 和抽象代数 (Abstract Algebra) 的原理。
⚝ 经济学 (Economics) 与金融学 (Finance):
▮▮▮▮⚝ 经济模型 (Economic Models): 描述供需关系、成本收益等的经济模型通常是代数方程或方程组。
▮▮▮▮⚝ 金融计算 (Financial Calculations): 利息计算、投资回报率、贷款分期等都涉及代数公式。
⚝ 数据科学 (Data Science) 与机器学习 (Machine Learning):
▮▮▮▮⚝ 统计模型 (Statistical Models): 线性回归 (Linear Regression) 等统计模型的核心是线性方程。
▮▮▮▮⚝ 机器学习算法 (Machine Learning Algorithms): 许多算法（如支持向量机 - Support Vector Machines, 神经网络 - Neural Networks）的数学基础涉及大量的线性代数和优化理论，这些都源于基础代数。
⚝ 生物学 (Biology) 与化学 (Chemistry):
▮▮▮▮⚝ 生物模型 (Biological Models): 描述种群增长、药物代谢等的模型常使用微分方程，其基础是代数。
▮▮▮▮⚝ 化学计量学 (Stoichiometry): 平衡化学方程式 (Balancing Chemical Equations) 需要求解线性方程组。

这些例子只是冰山一角。掌握代数思维和技能，意味着您拥有了理解和解决许多现实世界问题的强大工具。

12.4 学习建议与资源推荐 (Study Suggestions and Resource Recommendations)

学习数学是一个循序渐进的过程，需要耐心和毅力。以下是一些建议，希望能帮助您在未来的数学学习道路上走得更远、更稳：

① 勤加练习 (Practice Regularly): 数学是实践性很强的学科。仅仅理解概念是不够的，必须通过大量的练习来巩固知识，提高解题速度和准确性。
② 理解概念，而非死记硬背 (Understand Concepts, Not Just Memorize): 努力理解每个概念的含义、公式的推导过程以及不同知识点之间的联系。理解比记忆更重要，它能帮助您灵活运用知识解决新问题。
③ 利用资源 (Utilize Resources):
▮▮▮▮ⓓ 教材 (Textbooks): 本书为您提供了系统的知识框架和深度解析。请反复阅读，特别是对感到困难的部分。
▮▮▮▮ⓔ 习题集 (Problem Books): 配合教材使用习题集，通过不同难度和类型的题目来检验和提升自己。
▮▮▮▮ⓕ 在线教育平台 (Online Education Platforms): 许多平台提供高质量的数学课程和练习，如可汗学院 (Khan Academy)、Coursera、edX 等。
▮▮▮▮ⓖ 数学软件 (Mathematical Software): 尝试使用GeoGebra、Desmos等工具来绘制函数图象，使用Wolfram Alpha等工具来验证计算结果，这有助于可视化和理解概念。
⑧ 合作学习 (Collaborative Learning): 与同学一起讨论问题，互相讲解概念。教学相长，通过向他人解释，您自己的理解也会加深。
⑨ 将代数与实际生活联系 (Connect Algebra to Real Life): 尝试在日常生活中寻找代数的应用，例如计算购物折扣、规划旅行路线、理解财务报表等。这能让您看到代数的实用价值，增强学习动力。
⑩ 不畏困难，保持积极心态 (Don't Fear Difficulties, Maintain a Positive Attitude): 遇到难题是正常的。不要轻易放弃，尝试从不同角度思考，查阅资料，或者向老师和同学请教。相信自己能够克服困难。

A. 常用公式与性质汇总 (Summary of Common Formulas and Properties)

本附录汇总了初等代数中常用的公式、定理和性质，包括实数性质、运算顺序、多项式乘法公式、因式分解公式、二次方程求根公式、判别式、韦达定理等。这些是解决问题的基本工具，建议您经常查阅和记忆。

B. 符号表 (Glossary of Symbols)

本附录列出了本书中使用的数学符号及其含义，例如 $+$ (加号 - Plus Sign)、 $-$ (减号 - Minus Sign)、 $\times$ 或 $\cdot$ (乘号 - Multiplication Sign)、 $\div$ 或 $/$ (除号 - Division Sign)、 $=$ (等号 - Equals Sign)、 $<$ (小于号 - Less Than Sign)、 $>$ (大于号 - Greater Than Sign)、 $\leq$ (小于等于号 - Less Than or Equal To Sign)、 $\geq$ (大于等于号 - Greater Than or Equal To Sign)、 $\sqrt{}$ (平方根号 - Square Root Sign)、 $| x |$ (绝对值 - Absolute Value) 等。熟悉这些符号是阅读和理解数学文本的基础。

C. 参考文献 (References)

本附录列出了本书撰写过程中参考的相关书籍、论文和在线资源。如果您希望深入学习某个主题或了解更多背景知识，可以查阅这些文献。

D. 习题答案与解析 (Answers and Solutions to Exercises)

本附录提供了本书各章习题的答案和详细解析。在完成习题后，请对照本附录进行检查和订正。理解解题思路比仅仅得到正确答案更重要。

亲爱的同学们，初等代数的学习之旅即将告一段落，但这仅仅是您数学探索的开始。希望本书能为您打下坚实的基础，激发您对数学的兴趣，并陪伴您在未来的学习和生活中不断进步。祝您学习顺利，前程似锦！ 🚀

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1	<------o-----\|-----\|-----\|-----\|-----\|-----\|-----\|-----\|------>
2	-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1	<------------------------------------●-----\|-----\|-----\|------>
2	-1 0 1 2 3 4 5 6 7

1	⚝ 解释：
2	▮▮▮▮ⓐ 被除式\( x^2 - 5x + 6 \)，除式\( x-2 \)，都已按\( x \)降幂排列。
3	▮▮▮▮ⓑ 用被除式最高次项\( x^2 \)除以除式最高次项\( x \)，得\( \frac{x^2}{x} = x \)。这是商式的第一项。
4	▮▮▮▮ⓒ 用\( x \)乘以除式\( (x-2) \)，得\( x(x-2) = x^2 - 2x \)。
5	▮▮▮▮ⓓ 从被除式中减去\( (x^2 - 2x) \)：\( (x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 2x) = x^2 - 5x + 6 - x^2 + 2x = -3x + 6 \)。这是第一个余式。
6	▮▮▮▮ⓔ 将\( -3x + 6 \)视为新的被除式。用其最高次项\( -3x \)除以除式最高次项\( x \)，得\( \frac{-3x}{x} = -3 \)。这是商式的第二项。
7	▮▮▮▮⚝ 用\( -3 \)乘以除式\( (x-2) \)，得\( -3(x-2) = -3x + 6 \)。
8	▮▮▮▮⚝ 从\( -3x + 6 \)中减去\( (-3x + 6) \)：\( (-3x + 6) - (-3x + 6) = -3x + 6 + 3x - 6 = 0 \)。余式为\( 0 \)。
9	⚝ 结果：商式是\( x-3 \)，余式是\( 0 \)。所以\( (x^2 - 5x + 6) \div (x-2) = x-3 \)。
10	⚝ 示例：计算\( (2x^3 + x^2 - 5x + 1) \div (x+1) \)```
11	2x² - x - 4
12	________________
13	x + 1 \| 2x³ + x² - 5x + 1
14	-(2x³ + 2x²) <-- 2x² * (x+1)
15	___________
16	- x² - 5x
17	-(- x² - x) <-- -x * (x+1)
18	___________
19	-4x + 1
20	-(-4x - 4) <-- -4 * (x+1)
21	_________
22	5

1	\|
2	4 + . (-1, 4)
3	\|
4	3 +
5	\|
6	2 + . (3, 2)
7	\|
8	1 +
9	------+-------+-------+-------+-------+--
10	-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
11	\|
12	-1 + . (4, -1)
13	\|
14	-2 +
15	\| . (-2, -3)
16	-3 +
17	\|
18	y

003 《初等代数：系统精讲与深度应用 (Elementary Algebra: Systematic Elucidation and In-depth Applications)》

书籍大纲

1. chapter 1： 代数基础与实数系统 (Algebraic Fundamentals and The Real Number System)

1.1 代数的起源与基本概念 (Origins and Basic Concepts of Algebra)

1.2 实数系统 (The Real Number System)

1.2.1 自然数 (Natural Numbers)、整数 (Integers)、有理数 (Rational Numbers)

1.2.2 无理数 (Irrational Numbers) 与实数轴 (The Real Number Line)

1.3 代数表达式 (Algebraic Expressions)

1.3.1 变量 (Variables)、常数 (Constants) 与项 (Terms)

1.3.2 系数 (Coefficients) 与指数 (Exponents)

1.4 运算顺序 (Order of Operations) 与表达式求值 (Evaluating Expressions)

1.5 实数的性质 (Properties of Real Numbers)

1.5.1 交换律 (Commutative Properties)、结合律 (Associative Properties)

1.5.2 分配律 (Distributive Property)

1.5.3 恒等元 (Identity Elements) 与逆元 (Inverse Elements)

2. chapter 2： 线性方程与不等式 (Linear Equations and Inequalities)

2.1 方程的基本概念 (Basic Concepts of Equations)

2.1.1 方程 (Equations) 与解 (Solutions)

2.1.2 等式的性质 (Properties of Equality)

2.2 求解一元线性方程 (Solving Linear Equations in One Variable)

2.2.1 一步方程 (One-Step Equations)

2.2.3 含有括号和分母的方程 (Equations with Parentheses and Denominators)

2.3 线性方程的应用 (Applications of Linear Equations)

2.3.1 建立数学模型 (Setting up Mathematical Models)

2.3.2 解决实际问题 (Solving Real-World Problems)

2.4 不等式的基本概念 (Basic Concepts of Inequalities)

2.4.1 不等式 (Inequalities) 与解集 (Solution Sets)

2.4.2 不等式的性质 (Properties of Inequality)

2.5 求解一元线性不等式 (Solving Linear Inequalities in One Variable)

2.5.1 求解方法 (Solving Methods)

2.5.2 解集在数轴上的表示 (Representing Solution Sets on the Number Line)

2.6 复合不等式 (Compound Inequalities)

1. chapter 1： 代数基础与实数系统 (Algebraic Fundamentals and The Real Number System)

1.1 代数的起源与基本概念 (Origins and Basic Concepts of Algebra)

1.2 实数系统 (The Real Number System)

1.2.1 自然数 (Natural Numbers)、整数 (Integers)、有理数 (Rational Numbers)

1.3.1 变量 (Variables)、常数 (Constants) 与项 (Terms)

1.3.2 系数 (Coefficients) 与指数 (Exponents)

1.4 运算顺序 (Order of Operations) 与表达式求值 (Evaluating Expressions)

1.5 实数的性质 (Properties of Real Numbers)

1.5.1 交换律 (Commutative Properties)、结合律 (Associative Properties)

1.5.2 分配律 (Distributive Property)

1.5.3 恒等元 (Identity Elements) 与逆元 (Inverse Elements)

2. chapter 2： 线性方程与不等式 (Linear Equations and Inequalities)

2.1 方程的基本概念 (Basic Concepts of Equations)

2.1.1 方程 (Equations) 与解 (Solutions)

2.1.2 等式的性质 (Properties of Equality)

2.2 求解一元线性方程 (Solving Linear Equations in One Variable)

2.2.1 一步方程 (One-Step Equations)

2.2.2 多步方程 (Multi-Step Equations)

2.2.3 含有括号和分母的方程 (Equations with Parentheses and Denominators)

2.3 线性方程的应用 (Applications of Linear Equations)

2.3.1 建立数学模型 (Setting up Mathematical Models)

2.3.2 解决实际问题 (Solving Real-World Problems)

2.4 不等式的基本概念 (Basic Concepts of Inequalities)

2.4.1 不等式 (Inequalities) 与解集 (Solution Sets)

2.4.2 不等式的性质 (Properties of Inequality)

2.5 求解一元线性不等式 (Solving Linear Inequalities in One Variable)

2.5.1 求解方法 (Solving Methods)

2.5.2 解集在数轴上的表示 (Representing Solution Sets on the Number Line)

2.6 复合不等式 (Compound Inequalities)

3. chapter 3： 多项式 (Polynomials)

3.1 多项式的定义与分类 (Definition and Classification of Polynomials)

3.1.1 单项式 (Monomials)、多项式 (Polynomials)

3.1.2 次数 (Degree) 与项数 (Number of Terms)

3.2 多项式的加法与减法 (Addition and Subtraction of Polynomials)

3.3.1 单项式乘以多项式 (Monomial by Polynomial)

3.3.2 多项式乘以多项式 (Polynomial by Polynomial)

3.3.3 特殊乘法公式 (Special Product Formulas)

3.4 多项式的除法 (Division of Polynomials)

3.4.1 单项式除以单项式 (Monomial by Monomial)

3.4.2 多项式除以单项式 (Polynomial by Monomial)

4. chapter 4： 因式分解 (Factoring)

4.1 因式分解的基本概念 (Basic Concepts of Factoring)

4.2 提取公因式 (Factoring out the Greatest Common Factor - GCF)

4.3 运用公式法进行因式分解 (Factoring using Formulas)

4.3.1 平方差公式 (Difference of Squares)

4.3.2 完全平方公式 (Perfect Square Trinomials)

4.4 十字相乘法 (Factoring Trinomials - "Cross-Multiplication" Method)

4.5 分组分解法 (Factoring by Grouping)

1. chapter 1：代数基础与实数系统 (Algebraic Fundamentals and The Real Number System)

2. chapter 2：线性方程与不等式 (Linear Equations and Inequalities)

1. chapter 1：代数基础与实数系统 (Algebraic Fundamentals and The Real Number System)

2. chapter 2：线性方程与不等式 (Linear Equations and Inequalities)

3. chapter 3：多项式 (Polynomials)

4. chapter 4：因式分解 (Factoring)

5. chapter 5：有理表达式 (Rational Expressions)

6. chapter 6：根式表达式 (Radical Expressions)

7. chapter 7：二次方程 (Quadratic Equations)

8. chapter 8：函数基础 (Introduction to Functions)

9. chapter 9：线性函数与二次函数 (Linear and Quadratic Functions)

10. chapter 10：方程组 (Systems of Equations)